apostila topografia cálculo poligonal

7/24/2019 Apostila TOPOGRAFIA Clculo Poligonal

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Universidade de Mogi das CruzesC.C.E.T.Faculdade de Engenharia Civil

Noes de Topografia Prticaprof LUIZ B. S. MELODefinio

A topografia (do grego topos = lugar , e graphen = descrever) a tcnica que permitrepresentar graficamente a configurao de uma parcela da superfcie terrestre (com - osem - as benfeitorias nela contidas) , determinando o contorno, dimenses e posio destsuperfcie.

A topografia permite representar num desenho em planta, e em escala grfica adequada, os limites de um terreno, becomo outros detalhes, tais como: posio e dimenses de casas e demais construes, estradas, cercas, valas, crregos rios, audes e lagos, campos cultivados ou matas e florestas, nos chamados levantamentos topogrficos planimtricosTambm permitindo a representao de forma isolada ou simultnea num mesmo desenho, do relevo da superfcie dterreno ou acidentes topogrficos, tais como: vales, morros e espiges, representando os locais de terrenos com maior omenor declividade, tambm barrancos e taludes, com respectivas diferenas de altura, nos chamados levantamentotopogrficos planialtimtricos.

Figura 1 - Planimetria - Desenho em planta baix

Em topografia, uma tcnica especial permite representar num desenho o relevo da superfci

do terreno, quer seja por pontos cotados, ou desenho por curvas de nvel, ou perflongitudinais e transversais, permitindo a interpretao e identificao dos locais delevaes ou depresses da superfcie, permitindo determinar a diferena de altura entrdois pontos conhecidos do terreno, nos ditos levantamentos topogrficos altimtricos.


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Figura 2 - Altimetria - desenho em perfil Longitudin

Figura 3 - Planialtimtrico - Desenho por curvas de nve

A topografia permite mapear uma determinada regio, para fins de estudo ou planejamento, quer seja; para a construde uma nova estrada de rodagem ou de ferro; construo de pontes e viadutos; construo de barragem em rios, usinahidreltricas; construo de linhas de transmisso de energia eltrica; retificao de crregos, rios e canais; estudo planejamento de glebas de imveis rurais, para fins de aproveitamento ou sub-diviso agrcola; estudo e planejamento dglebas de terrenos urbanos para parcelamento em novos loteamentos; planejamento e construo de aeroporto

construes industriais; movimentao de terras em obras de terraplenagem. Nesses servios permitindo determinar ovolumes de terra - calculados em metros cbicos - necessrios para remoo ou recolocao, para atingirmos opatamares de solo projetados. Noutros casos permitindo identificar quais locais sero alagados na construo de barragenem rios.

Tambm de grande importncia em obras de saneamento, para a determinao de alturas de terrenos, e na seleoposicionamento de caixas de gua e rdes pblicas de distribuio de gua, Estaes para captao e Tratamento d

gua. Rdes pblicas de captao e conduo de esgotos sanitrios, Estaes de Tratamento de Esgotos. Tambm nconstruo de Galerias para captao e conduo de guas de chuva.


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Em edificaes, a topografia utilizada: para definio do terreno de construo; marcasegundo projeto, dos locais adequados para movimentao de terras; controle dos serviode corte e aterro e verificao de medidas; quantificao dos servios executados comvolumes definidos em metros cbicos; marcao de limites para construo de murosposicionamento da construo futura conforme projeto; locao de estruturas de funda

(posio e dimenses de: estacas, sapatas, blocos ou baldrames); verificao dos nveis dfundao; verificao dos nveis de alvenaria e lajes; controle da verticalidade ou prumadados edifcios; controle ou fiscalizao dimensional na execuo de obra civil; medies quantificao dos trabalhos executados.

Tambm a topografia se presta para servios especiais de engenharia em: construo dtneis, viadutos, trechos em curva em estradas de rodagem e de ferro, Posicionamento controle de servios de sondagens de sub-solo e geotecnia, Mapeamento ou identificade novos trechos na explorao de minas subterrneas e de seus tneis e galeriasCadastro e quantificao na explorao mineral, cadastro na largura e profundidade de rioe lagos (batimetria), com o mapeamento do leito dos mesmos; construo naval aeronutica (na montagem e alinhamento das estruturas de navios e aeronavesposicionamento e montagem de mquinas industriais tais como: silos e fornos, laminadorade ao, mquinas para fabricao de papel, prensas hidrulicas, cortadoras, etc. topografia se presta para a locao inicial da obra, controle dimensional durante a execuomedies peridicas do que executado para quantificao e pagamentos, medies finaipara cadastro e verificao de possveis alteraes de projeto, medies e desenho emcadastro final do como foi construdo as-built.

Para tais trabalhos a topografia se vale particularmente das ferramentas matemticas fornecidas pela geometria trigonometria.

Desde a antiguidade, a tarefa inicial da Topografia cuidava do dimensionamento d

superfcies agrrias, tambm sendo conhecida essa cincia por: Agrimensura.Atualmente Agrimensura considerada a parte da topografia que compreende a medida representao grfica planimtrica de superfcies, bem como a diviso e sub-diviso, oparcelamento de terras.

Classificao da Topografia:O Estudo da topografia compreende vrios ramos:TopometriaTopologiaTaqueometriaFotogrametria

Batimetria

1) A Topometriacuida dos mtodos de medio e determinao das dimenses, quesejam lineares ou angulares. Estes mtodos no geral, baseiam-se na geometria aplicada tambm com uso da trigonometria. A topometria compreende duas sub-divises principais: planimetria e altimetria.1.a) Planimetr ia : nesta tcnica todo o terreno tem suas grandezas angulares e linearedeterminadas, sendo estas medidas consideradas projetadas em um plano horizontal d


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referncia. Portanto as distncias horizontais das linhas do terreno, e os angulos horizontaiformados por estas linhas, sero considerados e representados em desenho, atravs duma vista de cima, onde as mesmas aparecero projetadas num mesmo plano horizontaEsta representao chamada: desenho em planta.1.b) Al t imetr ia permite determinar as diferenas de altura entre dois ou mais pontos d

terreno, pela avaliao das distncias e ngulos verticais. Normalmente tais dados npodem ser representados de forma simples no desenho em planta, utilizando-se ddesenhos especiais denominados: corte, elevao, perfil longitudinal, perfil transversadesenhos em vista lateral. Sendo as dimenses definidas pela altimetria marcadas em umdesenho que representa um plano vertical.O mtodo utilizado para determinao de dimenses altimtricas, chamadas cotas , nivelamento (geomtrico ou trigonomtrico - ou ainda baromtrico)

Especialmente para trabalhos topogrficos ditos plani-altimtricos, utilizamo-nos da tcnicde representao em desenho das cotas (ou altitudes) do terreno, por curvas de nvel

2) Topologia o estudo da forma da superfcie terrestre, compreende a formao dmontanhas ou vales, cursos de rios, recortes de margens de lagos ou mares. Tais acidentegeogrficos, tendo sido formados por processos geolgicos, obedecem a certas leis , oprocessos naturais de formao, de cujo estudo se ocupa a Topologia , Assim visando aentendimento na ocorrncia local de: Campos, colinas, serras, montanhas, vales, planciesplanaltos, espiges, contrafortes, talvegues, etc. Sua principal aplicao d-se na execude plantas topogrficas plani-altimtricas, com representao da altimetria por curvas dnvel.

3) Taqueometria o estudo dos mtodos, processos e instrumentos adequados para determinao indireta de distncias. Tambm se diz da coleta de dados ou pontos doterreno, para cuja resoluo, e localizao desses pontos, utilizamo-nos das propriedadematemticas dos tringulos retngulos

4) Fotogrametria o estudo de mtodos , processos e instrumentos adequados para obteno de representaes grficas de superfcies de terrenos, sejam planimtricas, oaltimtricas, baseadas em comparao com fotografias estereoscpicas do terreno . Sejamestas fotos terrestres ou areas . No caso particular de fotografias obtidas por avies, comuso de Cmeras fotogrficas especiais, denominamos aerofotogrametria.

5) Batimetria ( do grego: bathus = profundo ; e metron = medida) o estudo e representao grfica do fundo dos grandes rios, lagos, mares e oceanos.

ESCALAS DE DESENHO

ESCALA, uma proporo que deve existir entre as dimenses de um desenhrepresentativo de um objeto e as dimenses deste objeto, para que esta representagrfica possua autenticidade e o objeto seja fielmente representado.Entre as vrias escalas existentes, em topografia utilizamos a escala linear.


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Nem sempre a escala a mesma em todo o desenho, h casos em que convm, poquestes tcnicas ou de ordem prtica, adotar-se mais de uma escala em um mesmdesenho. (por exemplo nos desenhos deperfisde superfcies topogrficas).

Para alguns tipos de desenhos j existem determinadas escalas convencionalment

adotadas e aprovadas. Por exemplo; para o desenho de mquinas, ou construo navapara a construo civil ou desenhos topogrficos, existem escalas preferencialmentutilizadas.

Escala numricaChama-se escala numricaa expresso que define a proporo existente entre um desenhe o respectivo objeto. No caso particular da escala linear, definida como a relao entre adimenses de um desenho, e as respectivas dimenses do objeto natural.

Os comprimentos considerados num desenho so as distncias grficas, e os respectivocomprimentos considerados no objeto so as distncias naturais. Se temos uma distncigrfica d, e uma distncia natural D, a escala E do desenho ser: E=d:D, ou E=d/D.

Assim para determinarmos em qual escala est desenhado um objeto, dividimos a distncigrfica pela distncia natural (d/D = E)Para determinarmos o comprimento de um objeto, dividimos a distncia grfica pela escaldo desenho

Tomemos por exemplo , d=1 , e D=1000 , a escala do desenho : E=1/1000, nocostumamos dizer: a escala do desenho um sobre mil, nem mesmo: a escala ddesenho um dividido por mil, na prtica costumamos dizer: a escala do desenho umpara mi l.

Podemos tambm representar a escala por frao decimal, considerando o exemplo acima, temos: E=0,001 , dizemo

ento a escala do desenho ser um milsimo . Esta forma de notao porm, na prtica, no utilizada devido impossibilidade de se representar uma escala em que d seja primo com D, por exemplo E=1/3 , ou E=1/300. A escaanotada por frao decimal tem o inconveniente de no indicar prontamente a relao entre o desenho e o objeto. Poexemplo, um desenho feito na escala 1/200, imediatamente verifica-se que o objeto duzentas vezes maior que o desenhse essa mesma escala do desenho fosse representado na forma 0,005, no se teria essa idia de imediato. Alm disso representao da escala por frao decimal, pode causar confuso com a unidade de escala, que justamente o quocienda diviso de d por D.

A unidade de escala a grandeza do desenho que representa a unidade de medida. Numdesenho na escala 1/200 , a unidade de escala 0,005, que dizer; se a unidade do objetfor o metro , a unidade de escala cinco milmetros.Ou seja, cada cinco milmetros ndesenho, corresponde a um metro no objeto. Resumidamente temos que; num desenho feitna escala 1/200: a) um metro no desenho corresponde a 200 metros no objeto, e b) ummetro no objeto corresponde a 5 milmetros no desenho.

Chamamos ttulo de uma escala a frao d/D , quando reduzida a sua expresso masimples. O ttulo de uma escala tambm chamado fator da escala.Por praticidade damopreferncia ao uso de escalas cujo fator da escala tenha para numerador a unidade. Pormd e D podem admitir quaisquer valores, e podemos ter os seguintes casos:


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- d = D : O objeto est representado em verdadeira grandeza. Diz-se que o objeto est nescala natural.- d < D : A figura menor que o objeto. Trata-se de uma reduo.- d > D : A figura maior que o objeto. Trata-se de uma ampliao.

A escolha da escala adequada para um desenho, de fundamental importncia porque preciso das medidas do desenho funo da escala. Isto porque, nas limitaes humanapara estimar visualmente uma dimenso de um desenho, ou mesmo o menor comprimentque podemos demarcar num desenho, considerado igual a 0,2 mm. Assim para cadescala adotada, temos uma preciso diferente nas grandezas dos objetos, ou na avaliada dimenso natural. O valor de 0,2 mm , quando avaliamos uma dimenso em um desenh chamado limite de preciso grfica. Ou de outro modo, quando demarcamos em umdesenho a menor dimenso considerada possvel , sendo 0,2 mm, temos o erro dgraficismo.

Assim, sempre que estimamos uma dimenso grfica num desenho, cometemos um erro de graficismo, e tal erro davaliao quando considerada para a dimenso natural do objeto, ser tanto maior em funo da escala utilizada. P

exemplo, se considerarmos a unidade de medida o metro, num desenho na escala 1/20, um milmetro no desenhcorresponder a uma dimenso natural de 20 milmetros no objeto. Mas na avaliao da dimenso grfica no desenhpodemos ter cometido erro de medida de 0,2 mm, erro no percebido, com o que poder haver variao na dimensconsiderada para o objeto de at 0,2mm x 20 = 4 mm. J num desenho na escala 1/500, tal erro na dimenso natural dobjeto ser de 0,2 mm x 500 = 100 mm, ou dez centmetros.

E por conseguinte, num desenho na escala 1/1000 , o erro possvel na determinao da dimenso natural de um objetser de at 0,2 mm x 1000 = 200 mm, ou vinte centmetros, quando avaliado a partir da dimenso grfica do desenho.Consideramos assim que para um desenho de construo civil de uma obra que requeira uma certa preciso, surepresentao pura e simples por desenho tcnico, embora feita em grande escala, de certa forma imprecisa. Pacontornar tal problema, escrevemos no desenho, as medidas exatas que devem ter na obra a ser executadaindependentemente da escala utilizada no desenho.

Igualmente nos desenhos topogrficos, por exemplo na representao de um lote de terren

urbano, gleba de terras, uma chcara ou stio , e mesmo uma grande fazenda, junto a linhde representao grfica das divisas do terreno no desenho, escrevemos a dimensnatural medida. Uma informao adicional junto a esta dimenso pode ser o angulhorizontal que esta linha topogrfica forma com a linha Norte-Sul local. (que pode ser dadem Rumo , ou em Azimute)

Tambm a escolha da escala do desenho torna-se importante porque, por exemplo, numdesenho em escala 1/1000, fica impossvel representar objetos com dimenso natural menoque 20 centmetros, e muito difcil representar graficamente objetos com dimenso naturacom aproximadamente 0,5 m ou menos, tais como: tampes de ferro em ruas, postesespessuras de muros, guias e sarjetas, etc.

Para a elaborao de desenhos, temos por exemplo: Para um terreno que fora medido, que possua um lado com dimenso de 100 metros, desejando a representao grfica empapel do mesmo, teremos de adotar uma escala adequada. Pois que; numa escala de umpara um, teramos de dispor um papel com cem metros de comprimento. J numa escalum para cem , bastaria um papel com um metro de comprimento.


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Temos pois que adotar sempre , na execuo de representao grfica por desenho, duma escala adequada. Tais escalas devem ser convenientemente estudadas para ovrios servios a que se aplicam, nos casos de trabalhos planimtricos, ou altimtricos, considerando a finalidade a que se destinam tais trabalhos topogrficos, e tambm tamanho que se deseja para o desenho final, de forma a termos o desenho em papel em

pranchas fceis de serem manuseadas e trabalhadas.Para uso em trabalhos topogrficos planimtricos , so utilizadas mais comumente as seguintes escalas:1) planta de detalhamento de terrenos em lotes urbanos= escala; 1:50 ,2) planta de terrenos em lotes urbanos, ou planta de edificaes= escalas; 1:100 ou 1:200.3) Plantas de arruamentos, quarteires e loteamentos urbanos= escalas; 1:500 ou 1:1000.4) Plantas de propriedades rurais, dependente do tamanho (se chcaras,

Stios ou fazendas)= escalas; 1:1000, a 1:5000.5) Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais= escalas; 1:5000 a 1:25000.6) Mapas de estados, pases e continentes= escalas; 1:200.000 ou menor

Para uso em trabalhos topogrficos altimtricos, conveniente utilizarmos escalas diferentepara as grandezas horizontais e verticais, normalmente na razo de um para dez. Assim

podemos Ter um perfil longitudinal, onde se utiliza no eixo horizontal uma escala 1:100 , eno eixo vertical uma escala 1:10. Por exemplo, de uma rua com cem metros dcomprimento, e cuja extremidade possua uma diferena de nvel de meio metro, em relaao ponto inicial, com uso de iguais escalas horizontais e verticais, ficaria o perflongitudinal , com pequena diferena de altura no desenho (meio centmetro em um metrde desenho), dificultando a identificao por observao visual dos elementos grficos. Comuso de escalas diferentes, realamos as diferenas de altura existentes, permitindo fcidentificao das declividades apresentadas no terreno. Os desenhos em perfil longitudinaso utilizados para projetos geomtrico de vias urbanas (ruas e avenidas), e estrada(rodovias e ferrovias), projetos de rdes de gua e esgotos, projeto de galerias descoamento de guas pluviais, projeto e implantao de redes de adutoras, oleodutos

gasodutos, linhas de transmisso de energia eltrica, etc.

Para sabermos com que dimenso em um desenho, se representa uma medida tomada nterreno, basta dividirmos pela escala. Exemplo: Marcar em um desenho, em escala 1:100uma medida de terreno de 32 metros. Desenho= 32 m/ 100 = 0,32 m , ou seja, o desenhter uma linha de 0,32 m ou 32 centmetros. Ou ainda; Num desenho topogrfico emplanta, elaborado na escala 1:250 , dois pontos, no papel de desenho, esto afastados d43,2 cm., Qual a distncia real (medido no terreno) entre esses pontos? Resp.: 0,432 m 250 = 108 metros , ou seja tais pontos, no terreno, esto distantes 108 metros entre si.

Para a avaliao de reas ou superfcies de terreno, os valores obtidos no desenho, devem

ser multiplicados pelo quadrado da escala. Exemplo: sobre um desenho em planta, nescala 1:200, mede-se um retngulo de 12 e 5 centmetros de lado, respectivamente. Qual superfcie de terreno, em metros quadrados, que o retngulo do desenho representa Resp. rea no desenho= 0,12 m x 0,05 m = 0,0060 mrea real no terreno= 0,0060 m (200)= 240,00 m.

Efetivamente, se temos um retngulo representado no desenho, a rea deste calculamofacilmente por: medida da base vezes medida da altura. A dimenso da base no desenh


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que de 0,12 m x 200, representa no terreno uma base de 24,00 metros . O outro lado dretngulo , que no desenho possui 0,05 m , vezes a escala 200 , representa no terreno umlado de 10,00 metros. E o retngulo com base de 24,00 metros, e altura de 10,00 metrospossui rea de 240,00 metros quadrados.

0,12 m x 200 = 24,00 m ; e 0,05 m x 200 = 10,00 m : 24,00 m x 10,00 m = 240,00 m , ou0,12 m x 200 x 0,05 m x 200 = 240,00 m , ou= 0,12m x 0,05m x (200)2 = 240,00m(valores dos lados do retngulo, obtidos do desenho, vezes o quadrado do valor da escalgrfica)

Para facilidade de execuo do desenho e para simplificar a interpretao do mesmo, aconselhvel utilizarmos escalas cujos valores sejam fceis de dividir e multiplicausualmente mltiplos dos nmeros : 1, 2 e 5. Tais como: 1: 5 , 1: 10 , 1: 20 , 1: 50, 1: 1001: 200, 1: 500 , 1: 1.000, 1: 2.000, 1:5.000 , etc. Eventualmente podendo empregaescalas tais como: 1: 75, 1: 125, 1: 150 , 1: 300 , 1:400, 1: 600, 1: 750, em casoespeciais porm, e sempre que possvel dando prioridade s escalas mltiplas dos menorenmeros.

Escalas GrficasChama-se escala grfica , qualquer forma que represente graficamente a lei drelacionamentoexistente entre um desenho representativo de um objeto e o objeto, dandimediatamente uma distncia natural correspondente a uma distncia grfica consideradasem o auxlio de qualquer clculo.

A escala grfica pode ser simples (ou ordinria) , ou mltipla (ou decimal ), diferenciando-se ambas na preciso tericpossvel em uma dimenso grfica, enquanto a escala grfica simples permite uma avaliao decimal direta, a escamltipla permite teoricamente uma avaliao centesimal , devendo-se considerar que tal avaliao da dimenso grficpode conter em si uma impreciso de at 0,2 mm, ou mais.Basicamente uma escala grfica simples constituda por um desenho de um segmento de reta, com vrias unidades descala, sendo uma delas (a inicial) dividida em dez partes iguais, permitindo avaliar os dcimos da unidade adotada, em

uma dimenso grfica considerada. A unidade de escala dividida em dez partes iguais, chama-se talo da escala.Para a construo de uma escala grfica, devemos considerar a escala adotada, e conhecer o comprimento que deve terunidade de escala. Importante que mesmo com uso de escala grfica, para termos uma idia da grandeza do objeto emsua dimenso natural, devemos escrever junto escala grfica o ttulo da escala que foi utilizada no desenho.Quando a unidade de medida no especificada, admitimos ser o metro, por ser esta a unidade de medida lineafundamental de uso em topografia.Por exemplo: Construir uma escala grfica simples de fator de escala 1/50, para a unidade de medida metro.Dividindo-se 1 por 50 , temos 0,02 , para a unidade de medida metro, significa que a unidade da escala deve ter 0,02 mTraamos ento no desenho uma reta, marcando-se na mesma um ponto arbitrrio zero que ser a origem. Para a direida origem, sucessivamente marcamos tantos segmentos de 2 centmetros quantos necessrios, a partir da origenumerando o primeiro e seqencialmente todos os demais, e colocando a letra m indicativa e smbolo da unidadutilizada. Para o outro lado da origem, marcamos um segmento tambm com 2 centmetros, dividindo-o em dez parteiguais. Este o talo da escala.Se por outro lado, necessitarmos construir uma escala grfica simples de ttulo 1/100, sendo a unidade de medida o metrteremos que a unidade de escala ser de 1 centmetro. Assim quanto menor for a escala, menor tambm ser a unidad

de escala, para a mesma unidade de medida considerada. Para uso de escala menores, trabalharemos com mltiplos dunidade de escala, o que significa uma mudana de unidade.Por exemplo: construir uma escala grfica de ttulo 1/500, unidade de medida sendo o metro. A unidade de escala val0,002 m. Como a medida de 2 milmetros muito pequena, adotamos um mltiplo, por exemplo dez. Assim a unidade descala mltipla a ser utilizada ser no desenho de 2 centmetros, e cada diviso da escala grfica valer dez metros. Oainda por exemplo, desejamos construir uma escala grfica simples de ttulo 1/100.000 , unidade de medida o metro, unidade de escala ser de 0,00001 m , o que impossvel de ser desenhado. Adotamos portanto um mltiplo, mil vezemaior, fazendo com que a unidade de escala seja de 1 centmetro. Desenhamos uma reta, marcando o ponto arbitrrinicial zero, a partir deste marcamos vrios segmentos de 1 cm, cada um representando uma dimenso natural d100.000 cm, ou seja 1 cm de escala grfica equivalente a uma dimenso natural de 1 quilometro.


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Figura 4escalas grficas

DESENHOSFORMATOS E DIMENSES DE PAPELconvenes desenho, segundo A.B.N.T.

Os desenhos topogrficosdevem ser elaborados segundo norma tcnica especial, conformaprovado pela Associao Brasileira de Normas Tcnicas A.B.N.T. , em sua NormBrasileira NBR.13.133/94 . As representaes especiais e convenes tcnicas e ddesenho, tambm devem ser em obedincia citada norma.

Fig. 5fonte ABNT

Em se tratando de desenho tcnico, tambm devem atendimento s normas gerais ddesenho tcnico da A.B.N.T. (NBR.10.647, para o desenho; NBR.10.067, para representao; NBR.10.126, para a cotagem).Todos os desenhos devem possuir tamanho de letras e espessura de linhas, ematendimento as normas tcnicas (NBR.8402 e NBR.8.403, respectivamente), especialmentpara finalidade de micro-filme dos referidos desenhos. Espessura de linhas, ou tamanhos d


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letras fora das especificaes, podem produzir cpias em micro-filme no adequados parreproduo, produzindo cpias ilegveis.Os desenhos tcnicos devem ser produzidos em tamanhos de papel adequados parreproduo em cpias, e sistemas para arquivo tcnico dos desenhos e respectivas cpiasNo Brasil devem obrigatoriamente obedecer s normas tcnicas da A.B.N.T., quer seja na

escalas utilizadas (NBR.8.196), ou seleo do tamanho final do papel de desenh(NBR.10.068).Os tamanhos de papel para desenho, foram estudados segundo critrios de racionalidade economia, permitindo a otimizao do uso de papel pelas dimenses adotadas. No Brasil formato de papel definido pela norma tcnica ABNT (NBR.10.068) baseada na normalemDIN.O tamanho bsico, o de um retngulo de papel com rea de um metro quadrado, e quepossui seus lados na razo de uma unidade para uma unidade vezes raiz quadrada ddois . A este formato bsico de papel denominamos formato A -zero . Este papel pode seseqencialmente sub-dividido, sempre pela metade, e em lado paralelo menor dimenso.Temos ento o papel formato A.1 , e que possui meio metro quadrado de reaSucessivamente temos os formatos: A.2 , A. 3 , A.4 , A.5 , A.6 , A.7 , etc.

Se imaginarmos um quadrado com lados de um metro, temos uma rea de um metroquadrado. A diagonal desse quadrado ser igual a raiz quadrada de dois. Se adotarmos umretngulo com rea de um metro quadrado, e lados a e b, sendo o lado b, proporcionaao lado a, segundo a raiz quadrada de dois, temos:a x b = 1 m2a= 1/b b = ax 21/2 b = 1/b x 21/2b2= 21/2b = 1,189 ma= 1 / 1,189 m a = 0,841 m , portanto o formato bsico de papel, ABNT, srie A, o dum retngulo com rea de um metro quadrado, e com lados de 1,189 m x 0,841 mdenominado formato A.0 (A.zero), subdividindo-se este formato, sequencialmente e semprpela metade do lado maior, temos os demais formatos, temos tambm o formato 2.A0, comrea de dois metros quadrados.

Figura 6- Tamanhos papel desenhosrie A-ABNT

Os formatos maiores que o formato A.4, nas cpias de desenho para arquivo, podem sedobrados segundo a norma NBR. 13.142.


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Form ato rea do papel dim enses tamanho Folh a no reco rtad ana rea de des enho Lin ha de cor te marg em (mnim os )

sri e A m mm mm mm2 A.zero 2 1.189x1.682 15 1.230x1.720A.zero 1 841x1.189 10 880x1.230

A.1 0,5 594x841 10 625x880A.2 0,25 420x594 7 450x625A.3 0,125 297x420 7 330x450A.4 0,0625 210x297 7 240x330

Em todos os casos, dever ser obedecido uma margem esquerda de 25mm. As linhas de margem devem teespessuras de: formato A.0 = 1,4 mm; formato A.1 = 1,0 mm; formato A.2 = 0,7 mm; e formatos A.3 e A.4 = 0mm.Podemos compor outros formatos de papel, mas sempre modulados com os formatobsicos da srie A, um papel com largura de 0,630 m x altura de 0,297 m, pode ser utilizadosendo denominado um formato 3.A4-

Todos os desenhos tcnicos executados, no Brasil, devem atendimento as normas tcnicaABNT de desenho. Formatos de desenho, em no conformidade as normas tcnicas ABNTpodem ser recusados para recebimento. Desenhos tcnicos, em no conformidade com anormas tcnicas ABNT, no tem validade jurdica. A seguir convenes de desenho tcnictopogrfico, segundo normas ABNT.


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Fig.7- convenes de desenho topogrfico - abnt


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EXERCCIOS COM ESCALAS:1) Um terreno de formato retangular, com lados, na direo norte-Sul, de 127 metros

lados na direo leste-oeste, com 267 metros, para ser desenhado em um papel sriA3-ABNT, Qual escala devo adotar?

Tomemos o papel A3, que tem dimenses de 0,420 metros largura x 0,297 m altura, temos ento qucomparar a dimenso natural de 127 metros com o dimenso grfica do papel de 0,297 m (considerando qu

temos de deixar uma margem de 0,007 m em ambas as margens superior e inferior), ficamos com umdimenso livre de papel disponvel para o desenho de 0,283 m, Escala, podemos definir como a razo entrdimenso grfica dividido pela dimenso natural, temos ento que a escala nessa dimenso poderia seutilizada;E= d / D E=0,283m / 127 m = 0,00223 (escala em frao decimal) calculando o inverso temos a forma dfrao ordinria E=1/448 (aproximadamente um para 448, que no uma escala usual).Porm temos ainda a dimenso leste oeste do terreno, em medida de 267 metros, e para tanto temos um papcom 0,420 m , do qual temos de considerar uma margem esquerda de 0,025 m e uma margem direita d0,007m, temos ento um tamanho livre, disponvel para o desenho, descontando as margens de 0,388mtemos ento E=0,388 / 267 m= 0,00145 (em modo de frao decimal, calculando o inverso temos: E= 1/ 688Fosse somente pela dimenso norte sul, poderia ser utilizado uma escala um para 500, porm nessa escalafica impossvel o desenho da dimenso na direo leste-oeste, e para levantamentos planimtricos temosempre que utilizar uma s escala, ento a prxima escala usual de um para setecentos e cinquenta

adotamos portanto E = 1 /750.

2) Uma dimenso natural de terreno, com 222 metros, para ser representada em papeem escala E =1 / 500, qual a dimenso desta linha topogrfica no papel ?

Temos que E=d/D, portanto d= E x D d im enso g rfi ca d= (1/500) x 222 m =0,444 m, ou seja umdimenso no terreno de 222 metros, em escala 1/500, e representada no papel com 0,444 metros (ou 44milmetros)

3) Um terreno de formato retangular, possui dimenses grficas de 0,137 m x 0,332 mnum desenho em escala 1/200. Qual a rea natural, em metros quadrados, destterreno? Quais as medidas de largura e comprimento, medidas naturais no terrenoem metros?

Temos 0,137m x 0,332 m x (200)2 = 0,04548 m2 x 40000 =rea = 1.819,36 m2 (hum mil e oitocentos dezenove metros quadrados e trinta e seis decmetros quadrados).Temos que E=d/D, ou D= d / E, temos ento a largura de 0,137 / (1/200) = 0,137mx200= 27,40m, comcomprimento de 0,332m x 200 = 66,40m. Ou seja o terreno possui formato retangular com 27,40m x 66,40m 1.819,36 m2.

4) Para um terreno de formato quadrado, com 48,40 metros de lado, dois dos ladoorientados na direo norte sul, para executarmos um desenho em papel A.4-ABNTqual escala no desenho devemos adotar ?

Temos que E = d / D, ento E = d / D , sendo o papel A.4 com largura de 0,210 ,. Porm necessitando dmargem esquerda com 0,025 m e margem direita de 0,007 m, ficamos com uma dimenso livre para desenho com 0,178 m, temos ento:

E= 0,178m / 48,40 m =0,00368 E= 1/272, podemos adotar uma escala = 1 /300.


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Limites da Topografia

Na topografia, para as representaes e clculos dos terrenos medidos, utilizando-se doprocessos geomtricos e trigonomtricos clssicos, supomos a parcela de terrenconsiderado como pertencente a um plano horizontal.

Porm sabemos ser o planeta de formato quase esfrico, mais precisamente um elipside de revoluo, achatando-se noplos (Sul e norte). Para a representao do nosso planeta, temos frmulas matemticas que melhor definem o mesme o modelo matemtico proposto, que melhor se aproxima do planeta , recebeu o nome de geide . Podemos consideraque para distncias pequenas, os valores medidos sobre a superfcie esfrica, e os valores medidos sobre um plano, serbem aproximados, com diferenas muito pequenas, e mesmo insignificantes. Devemos ento cuidar de estabelecermolimites na grandeza dos servios topogrficos, acima dos quais a curvatura do planeta conduzir a erros. Mesmo que coacuidade nos mtodos e processos utilizados, estes erros no podero ser eliminados, por maior cuidado que se tenha noperao do trabalho, pois temos o trabalho tomado sobre uma superfcie esfrica, e teoricamente estaramos a considerlo sobre um plano.

Segundo W. Jordan, o limite para considerar a superfcie terrestre equivalente a um plano, de 55 km2, ou 5.500 hectares , ou ainda 55.000.000 m2 , isto para servios de mdipreciso. Para as estimativas de tamanho das propriedades, os processos descritos podem

ser utilizados para aproximadamente o dobro do preconizado. Para trabalhos de maiopreciso, tais limites devem ser reduzidos.

Se temos um imvel com rea de aproximadamente 55.000.000 m2, isto equivale, se adotarmos por exemplo, um formacircular, com raio de mais ou menos 4.200 m, ou dimetro de aproximadamente 8,4 km. Assim haveria uma diferena, ddimenses, entre as medidas de uma linha diametral, medida na superfcie do terreno, que sabemos ser aproximadamenesfrica, mas que para efeitos de clculos, estaramos a considerar projetada num plano, e ento haveria uma diferena dmedida, de aproximadamente 1/5.400, o que caracteriza mdia preciso. Se necessitarmos maior preciso, teremos dreduzir o limite de rea para um levantamento planimtrico. Como os imveis rurais, fazendas por exemplo, tem a redeterminada, e ns somente cabe executar a medio, para propriedades de grandes dimenses, temos de fazer medio subdividindo a rea em glebas menores, dentro dos limites adequados, para obtermos precises requeridas.

Segundo determinaes, temos para o planeta, as seguintes constantes da elipse meridiana:

Autor ano semi- eixo maior (a) semi- eixo menor (b) achatamento (f)BESSEL 1841 6.377.397,16 m 6.356.078,96 m 1/ 299,15CLARKE 1858 6.378.249,17 m 6.356.514,99 m 1/293,46HELMERT 1907 6.378.200,00 m 6.356.818,17 m 1/298,30HAYFORD* 1909 6.378.388,00 m 6.356.912,00 m 1/ 297,00

Atualmente, os referenciais dos elipsides utilizados, no Brasil, so:SAD.69* 1967 6.378.150,00 m -- 1/298,25WGS.84* 1984 6.378.137,00 m -- 1/298,25722356SIRGAS* 2000 6.378.137,00 m -- 1/298,27722101

NOTAS* = 1) o elipside de Hayford, foi oficializado em 1924, sendo adotado pela UGGI Unio Geodsica GeofsicInternacional, e como tal foi oficial no Brasil, por uso corrente por mais de 40 anos. 2) A partir de 1969, tambm poindicao da UGGI, foi oficializado no Brasil pelo IBGEInstituto Brasileiro de Geografia e Estatstica, o elipside UGGI-6

adotado com o nome SAD.69 (South American Datum). 3) O elipside WGSWorld Geodetic System, o elipside padrpara todo o sistema GPSGlobal Positioning System. 4) A partir do ano de 2005 oficial no Brasil, adotado pelo IBGE, elipside SIRGAS.2000 Sistema de Referncia Geocntrico para as Amricas, cuja rde de materializao pode seobservada abaixo.


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Figura 8Sistema de Referncia SIRGASAssim, a topografia cuida do levantamento de limitadas pores da superfcie terrestredentro destes limites no sendo relevante a curvatura do planeta, e fazendo a representaem desenho chamadoplanta topogrfica.

A tcnica adequada para o levantamento de grandes extenses de terras, acima dos limiteacima fixados, a : geodsia, que faz a representao cartogrfica, de grandes extenseda superfcie terrestre, dentro de um Estado ou Pas .A geodsia produz cartas e mapascom desenhos das parcelas de terra em projees num sistema baseado no elipside. Unio Geodsica e Geofsica Internacional, desde o ano de 1.924 adota o elipsidinternacional da terra, com parmetros baseados nas determinaes de Hayford, contidono quadro acima. No Brasil, atualmente adotado o elipside SIRGAS.2000, que possuadequada correspondncia com o elipside WGS.84, padro para o sistema GPS. Assim olevantamentos topogrficos ou geodsicos, efetuados com equipamento em sistema GPSficam adequados para a representao no elipside SIRGAS-2000, com maior facilidadpara os clculos.


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Com as medies e determinaes de Hayford, tambm temos que, a Terra apresenta os seguintes valores:Quarta parte do meridiano 10.002.288,00 mComprimento mdio do arco de um grau do meridiano 111.136,00 mCircunferncia equatorial 40.076.593,00 mSuperfcie em quilmetros quadrados 510.100.934,00 kmRaio da esfera de mesma superfcie 6.371.227,00 mRaio da esfera que tem o mesmo meridiano do que a terra 6.367.654,00 m

Elementos de Geodsia

Definio - Geodsia: a cincia que estuda os mtodos e procedimentos, utilizados pardefinir a forma e dimensesdo planeta Terra.

A geodsia, uma cincia nica, para fins de estudo dividida em algumas reas de atuaoa saber; -- a) em Geodsia Fsica; determina a mensurao das foras gravimtricas quagem na Terra, estuda o campo gravitacional, a direo ou grandeza de tais foras. -- b) emGeodsia Geomtrica; determina as Coordenadas Geodsicas de pontos na superfcie dTerra, os comprimentos e direo de linhas de superfcie terrestre (azimutes= ngulo qu

uma linha terrestre forma com a direo do norte). Para tanto, estuda, determina e se refereao tamanho e forma do planeta, em relao localizao do ponto considerado. -- c) emGeodsia Astronmica; trata dos mtodos de determinao de latitude, longitude e azimuteverdadeiros, a partir de observaes astronmicas. -- d) Geodsia por Satlites; determina geometria das rbitas, e posio espacial de tais satlites, e coordenadas de pontos nsuperfcie terrestre, e mesmo outros pontos em volta do planeta, como a posio de outrosatlites, por exemplo, fazendo uso das constelaes de satlites disponveis, notadamento sistema norte-americano GPS- Global Positioning System (24 satlites em operao, em rbitas de aproximadamente 22 mil quilmetros, mais 3 satlites em reserva), atualmentcom uso do sistema de Russia Glonass- GLObalnayNAvigatsionnaya Sputnikovaya Sistema (14 satlites), ou GLObal NAv

gation Satellite System, e futuramente o sistema do consrcio europeu, Galileo (previstinicialmente para operao no ano de 2012, o programa atualmente encontra-se em atraso)

A geodsia determina; a forma e o tamanho deste planeta, as coordenadas de pontosituados na superfcie (em vrios sistemas convencionais), os comprimentos e direes dlinhas da superfcie entre dois, ou mais, pontos considerados, e variaes havidas na forde gravidade, entre vrios lugares.

Geide: uma superfcie fsica, que o lugar geomtrico dos locais de mesmo potenciagravimtrico, coincide aproximadamente com o nvel mdio dos mares, estendendo-se posob os continentes. O geide tem uma forma irregular, devido no conformidade ndistribuio de massas entre as regies de continentes, e na distribuio global da

superfcies do planeta, tambm pela espessura da crosta e composio desta, em rochas dmaior ou menor densidade.


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Fig. 9 Europa/Africa - Chile/Andes Oceano Pacfico/Anel de Fogo Oceano ndico Ao centro OceanAtlntico // Fora gravitacional mais intensa nas partes amarelas, menos intensa nas partes azuis.

O formato irregular, no causaria propriamente problemas, para as observaeastronmicas ou geodsicas, se considerarmos o pequenssimo tamanho de nosso planetaquando comparado com as imensas, ou astronmicas distncias entre as estrelas, omesmo o Sol, e o nosso planeta. Mas esse formato no permite a adoo de um modelmatemtico exato, que represente precisamente o planeta. Adotou-se uma superfcie dmodelo matemtico adequado, denominado Elipside, para o desenvolvimento dos clculo

necessrios.Elipside de referncia: uma superfcie, gerada pela revoluo e uma semi-elipse em tornde um eixo vertical.Possui uma bem definida representao matemtica, e tem superfcibem prxima da forma do geide, tanto na forma, quanto no tamanho. O Elipside adotadcomo superfcie de referncia para os levantamentos e clculos geodsicos. O Elipside definido, pelo comprimento de seu semi-eixo maior - a (equatorial), pelo achatamento f , e pela excentricidade e de suas elipses meridianas (elipses que contm o eixo drotao do elipside).

fig.10


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Temos ento a superfcie fsica, por exemplo; em Mogi das Cruzescentro da cidade, numaltitude prxima de 760 metros acima do nvel do mar. Temos a superfcie do geide, e superfcie do elipside.

Fig.11

Um Elipside, entre os vrios existentes, e os parmetros que o definem, adotadconvencionalmente, pela melhor adequao regio do planeta em que ser utilizado seus parmetros, respectiva forma e dimenses, ficam melhor adaptados, e melhorepresentam a superfcie desta regio. No Brasil adotado e tem uso convencionado pelI.B.G.E.Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica.

Abaixo alguns elipsides usados no Brasil.


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Fig.12

Acima, a representao de um elipside terrestre, com os parmetros considerados, seguir:- a = semi-eixo maiorequatorial.- b = semi-eixo menorpolar.

- e = primeira excentricidade = c / a = sen

- e = segunda excentricidade = c / b = tg- f = fator achatamento = (ab) / a = 1(b / a)

O elipside de Hayford, foi adotado em muitas ocasies no Brasil, recomendado o seu usdesde o ano de 1924, pela conveno da UGGI - Unio Geodsica e Geofsic

Internacional, por exemplo nas cartas e mapas efetuados no datum crrego alegre naproximidade de Uberaba, MG. Essa denominao refere-se ao ponto de apoio fundamentada rde geodsica da antiga cadeia de triangulao do paralelo 20 Sul. Praticamente toda rde de triangulao brasileira foi referida a esse datum, e os parmetros utilizados foramos do elipside de Hayford. Posteriormente procurou-se um elipside melhor adaptado partoda a Amrica do Sul, utilizando-se do PSAD (provisional south American Datum de 1956este com origem no vrtice La Canoa, sito na Venezuela, ainda utilizando-se doparmetros do elipside de Hayford. Verificando-se esta adoo, poca, no ficar muitbem adaptada ao continente sulamericano, adotou-se um novo vrtice, o Astro-Chucorrespondente ao vrtice Chu, da mesma cadeia j existente do Crrego Alegre, e cujacoordenadas foram determinadas astronomicamente. Foram efetuados novos estudos

determinaes para o vrtice Chu. Esta adoo mostrou-se bem ajustada no s para Brasil, mas em geral para toda a Amrica do Sul, e adotando-se o elipside da AssociaGeodsica Internacional, e recebeu o nome de SAD-69 (South American Datum of 1969

A partir do ano de 1978, o SAD-69, com origem em Chu, passou a ser usado oficialmentpelo Brasil como novo datum, conforme adotado pelo IBGE. A localizao do vrtice Chusad69 latitude Sul = 19 41 41,6527, e longitude WGr = 48 06 04,0639 (oestGreenwich).


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Atualmente com o posicionamento a partir da constelao de satlites, especialmentprojetados para tal, notadamente a rde GPS, definiu-se com essa tecnologia, o uso de umnovo elipside de uso mundial, o World Geodetic System WGS 84. Todas acoordenadas obtidas com uso da rde de satlites - GPS, so originalmente referidas a essnovo elipside.

A partir do ano de 2005, o IBGE adotou oficialmente como sistema geodsico de refernciapara o Brasil, o SIRGAS-2000 (Sistema Referencial Geodsico das Amricas), com oparmetros indicados no quadro acima. Utilizou-se para a definio desse sistema, experincia dos vinte anos de uso da tecnologia GPS, de comprovada preciso.

SISTEMAS DE PROJEO CARTOGRFICASabemos que a superfcie esfrica, ou uma pequena parte desta superfcie (calota), omesmo o elipside, no so facilmente representados em figura plana. No entanto a maioparte dos projetos de engenharia, necessita de uma representao plana das figuraexistentes sobre a superfcie da Terra. Para obras de barragens de rios e hidreltricas, comconseqente formao dos grandes lagos, canais de irrigao entre locais distantestransposio de rios, estradas rodovirias ou ferrovirias, planejamento urbano e obras durbanizao, construo de extensas redes de gasodutos, oleodutos, rdes de transmissde energia eltrica, redes de cabos de comunicao convencional ou fibra-tica, em todaessas atividades de construo, h a necessidade de mapeamento ou cartografia, emsistema adaptado utilizao pela engenharia. A tcnica cartogrfica possui vrios sistemade projeo, utilizados na confeco de mapas. Particularmente em engenharia se usa umsistema de projeo, e que estabelece uma correspondncia entres os elementos de umposio no elipside (latitude e longitude), e a sua respectiva representao em plan(preferencialmente uma coordenada x = E , e uma coordenada y = N), de um sistemcartesiano, no qual o eixo de ordenadas alinhado ao Norte, e o eixo de abscissas orientado na direo Leste, tal qual o sistema UTM. Os pontos cardeais so semprindicados pelas abreviaturas internacionais na lngua inglesa.

Fig.13


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Classificao das ProjeesVrios so os modos possveis de se classificar uma projeo, segundo o critrio adotadpara a construo da mesma. A seguir apenas algumas delas, e suas caractersticas, parentendimento e comparao, com o objetivo de melhor compreender as propriedades dsistema adotado: UTM Universal Transversa de Mercator. Uma superfcie terrestre, o

uma parcela desta superfcie esfrica, com as suas caractersticas, ao ser representada emfigura plana, no tem como conservar todas as propriedades, que definem o local, tais comdireo e comprimento das linhas do terreno, ngulos formados pelas linhas, etc., algumacaractersticas so preservadas e outras podem ser prejudicadas, como vemos, naprojees a seguir nomeadas:a) Projeo Equidistante: no apresenta deformaes lineares em uma, ou algumadirees. A projeo meridiana mantm a eqidistncia ao longo dos meridianos. A projetransversal mantm a equidistncia ao longo dos paralelos.b) Projeo Equivalente: no apresenta deformaes nas reas, dentro de certos limites dextenso.c) Projeo Conforme: no deforma os ngulos e mantm assim a forma, tambm dentro dcertos limites de extenso.d) Projeo Afiltica: no conserva nenhuma das propriedades, mas no conjunto minimizas deformaes (ngulos, reas e distncias considerados no conjunto).

Tipos de projees adotadosa) Projees planas ou azimutais (zenitais): nestas a superfcie de projeo um plano

que pode ser tangente ou secante superfcie, nesta projeo as direes (azimutesse mantm em conformidade.

Fig.14 - projeo plana polarplano tangente ao plo.

Fig.15 - projeo plana equatorialplano tangente no equador.


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b) Projees em desenvolvimento: as representaes so desenvolvidas conforme projeo adotada, que pode ser:

b.1) projees cnicas;

Fig.16 - projeo cnica normaleixo do cone paralelo ao eixo da terra.

Fig.17 - projeo cnica transversaeixo do cone perpendicular ao eixo da terra.

Fig.18abaixoprojeo conforme de Lambert


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Fig.19 - Acima: projeo cnica de Albers (exemplos de projeo cnica)

b.2) projees cilndricas;

Fig.20 - projeo cilndrica equatorialeixo do cilindro paralelo ao eixo da terra.

Fig.21 - projeo cilndrica TRANSVERSAeixo do cilindro perpendicular ao eixo da terra


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conservao dos ngulos, para a elaborao dos planos de navegao, sendo nestes casoindicados a projeo conforme.Para os projetos de engenharia e construo, importante se conhecer com preciso escala de desenho utilizada. Nestes casos indicado principalmente a projeo no sistemUTM Universal Transversa de Mercator, e mesmo o sistema LTM Local Transverso d

Mercator, uma adaptao do primeiro sistema, mais adequado para pequenas regies, ozonas de transio entre faixas ou fusos, adotados pelo UTM. Tambm eventualmentutilizado o sistema RTMRegional Transverso de Mercator.

Fig.24 - projeo de mercator

O Sistema Universal Transverso de MercatorUTMO moderno sistema UTM, foi inicialmente estudado e apresentado por Johann HeinricLambert, sendo tambm utilizado na Alemanha, por Karl Friedrich Gauss,num trabalho dtriangulao nas imediaes da cidade de Hanover. Nessa poca utilizava-se geralmente aposies aproximadas sobre uma esfera, que so representadas por expressematemticas simples. A partir dos trabalhos sobre gravidade, devidos Isaac Newton, e confirmao e aceitao do achatamento do planeta Terra em seus polos, o clculo dprojees e posies, na superfcie do elipside, torna-se mais complexo, para cuj


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resoluo se adota o mtodo do desenvolvimento de sries e aproximaes. No ano d1912 foi introduzido um aperfeioamento do sistema mtodo Gauss-Kruger, em que susam clculos logartmicos, mas sendo necessrio clculo intensivo e uso de valorenumricos tabelados, para o clculo logartmico no se dispunham de calculadoras ocomputadores. No intervalo entre a primeira e segunda grandes guerras mundiais, diverso

pases europeus e a URSS, adotam esse sistema para a elaborao de mapas militaresEste sistema UTM, foi melhor desenvolvido em seu uso, a partir da segunda guerrmundial, com grande aplicao por parte dos Estados Unidos, no desenvolvimento de cartade navegao area e martima, e na execuo de cartas aerofotogramtricas (cartaelaboradas a partir de fotos tomadas por avies). Em 1950, os Estados Unidos propuseramas adaptaes, que deram a atual forma de uso do sistema, na finalidade de aplicao para totalidade das longitudes, e o sistema recebeu a denominao atual: Projeo UniversaTransversa de Mercator (U.T.M.), este sistema de projeo, Universal, pois aplicveem toda a extenso da superfcie terrestre; Transverso porque o eixo do cilindro dprojeo, perpendicular linha dos plos; e Mercator nomeado em homenagem aprimeiro idealizador desse tipo de projeo, Gerhard Kremer (1512-1594), cujo nomlatinizado Gerardus Mercator. No sistema, esta projeo cilndrica transversa, mantm forma das figuras representadas ao longo da superfcie do planeta, a tangncia dos cilindro(60 fusos distribudos de 6 em 6 graus), se daria ao longo dos meridianos. Nestadaptao do sistema, para minimizar os erros, os cilindros so secantes superfciterrestre. As especificaes do sistema, vlido universalmente, so as seguintes:

Especificaes do Sistema UTM:1) projeo cilndrica conforme, segundo Mercator-Gauss, com rotao de 90 do eix

do cilindro de projeo, de modo ao cilindro ficar contido no plano do equado(transversa). Essa construo faria o cilindro tangenciar a esfera ao longo da linha dum meridiano, todos os locais representados na projeo UTM, teriam umdeformao para maior. Para minimizar a deformao, foi adotado o cilindro secant superfcie terrestre.

2) Foi adotado um elipside de referncia (em substituio considerao da terresfrica), originalmente indicado um elipsde para cada regio, pas, ou grupo dpases. Atualmente tem-se procurado a unificao de uso de um elipsidinternacional, e cuja tecnologia GPS, tem permitidodeterminao com grande grade preciso de tais parmetros (SAD.69WGS.84...)

3) Foi adotado um fator de reduo de escala K, sendo K0 = 1- (1/2500) = 0,9996, nmeridiano central, que equivale a tornar um cilindro reduzido desse valor, de modo estar secante esfera terrestre. Isto diminui as deformaes havidas nrepresentao grfica. Temos ento duas linhas de deformaes nulas a e c, ndesenho abaixo, com valor de K = 1, entre estas duas linhas, o fator de reduo, k menor que 1, coeficiente de reduo, at o valor de K=0,9996 ao longo da projeodo Meridiano Central, linha b. Nas alas exteriores s linhas a e c, at o limite dtrs graus, direita ou esquerda do meridiano central, temos o fator de escala Kmaior que 1, coeficiente de ampliao.

4) Foi adotado, o uso de 60 cilindros de eixo transverso, obtidos atravs da rotadeste cilindro no plano do equador, de modo que cada posio, cubra a longitude d6 (seis graus sendo 3 para cada lado do meridiano central). Os fusos snumerados de 1 a 60, a partir do antimeridiano de Greenwich, no sentido de rotao


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Pela simetria do elipside, os clculos so os mesmos utilizados para todos ofusos, e os resultados so vlidos para todo o planeta.

Fig.25

5) Foi adotado para a latitude nos fusos, o limite junto ao paralelo 80 N e 80 S, poalm desses locais, as deformaes das projees seriam muito acentuadasdescaracterizando a preciso do sistema. Para as regies polares adotado um outrtipo de projeo.

6) Na representao plana, do sistema UTM, que se obter pela planificao do cilindroa origem das coordenadas (no ponto de cruzamento da linha do equador com meridiano central), ser acrescida para cada fuso, das constantes 10.000.000 metrossomente para o hemisfrio Sul (para o hemisfrio Norte este valor igual zeroaplicado para o eixo das ordenadas (N-S), e do valor de +500.000 metros no eixo daabscissas (E-W). Com isto evitamos coordenadas negativas que surgiriam na dire

ao sul do meridiano, e idem, na direo oeste em relao a qualquer meridiancentral.


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Fig.26 - UTM

7) No sistema L.T.M. Local Transversa de Mercator, todas as especificaes acimnumeradas de 1 a 4, so vlidas, somente que o campo de aplicao da longitude, reduzido de 6 para 1 (um grau), temos portanto 360 cilindros, ou fusos.

8) Para calcular a longitude do meridiano central, em funo do fuso, podemos usa(MC= 1836 x F). Para os limites de cada fuso, somamos ou subtramos 3 ao valodo meridiano central.


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Fig.27fusos UTM

Fig.28


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Fig. 29sub-diviso das cartas UTM no Brasil.


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Unidades empregadas na Topografia

As grandezas mais freqentes so as distncias e os ngulos , tambm as reas e ovolumes.

Para as distncias a unidade fundamental o metro SI- ,Para as reas usamos como unidade o metro quadrado SI-,Para os volumes usamos o metro cbico SI-,Para os ngulos a unidade utilizada o grau sexagesimal,

Ainda como unidade SI , suplementar para ngulo plano: radiano (rad) -

(as unidades indicadas SI- estando em conformidade ao Sistema Internacional dUnidades, segundo adotado pela ISOInternational Standardization Organization)

Medidas LinearesAs distncias medidas entre dois pontos, na superfcie de um terreno, so obrigatriamentee sempre consideradas em distncias horizontais - DH, ou ditas reduzidas ao horizonte quando tomamos as medidas acompanhando o terreno, ou estando a trena inclinada emrelao ao plano horizontal, temos tambm que indicar o ngulo vertical, ou a diferena daltura (diferena de cota).

Figura 30Distncia inclinada-Distncia Horizontal.

No esquema acima a distncia do terreno entre o ponto P e Q, sempre ser expresso equivalente a distncia reduzida ahorizonteDH ( igual a P- S). Se eventualmente for tomada no terreno a distncia P - Q ( com a trena inclinada em relaao plano horizontal), devemos indicar como Distncia Inclinada DI, e indicar o ngulo que esta linha forma com o planhorizontal, ou a diferena de cotas (alturas do terreno), entre os dois pontos (igual a distncia Q S), e ao final efetuarclculo de reduo da distncia inclinada para indicar o resultado na distncia reduzida ao horizonte.


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Figura 31Distncia Horizontal em terreno inclinado

Para a medida de distncias maiores, deve-se subdividir a linha em trechos menores, trecho a trecho executar a medida da distncia parcial em linha horizontal, ao final somandose as parciais, teremos a medida total. Por exemplo conforme desenho acima, a distncia AB, deve ser considerada como a distncia horizontal L, tomada em projeo A -B, resultadda soma das distncias parciais l, obtidas pela medida da distncia horizontal entre G-C H-D + I-E + J-F + K-B. Para a verticalidade do ponto pode-se usar balizas de ferrverticalizadas, ou fio de prumo-de-centro.

Considerando-se dois pontos a serem medidos em planta baixa, para a determinao d

distncia horizontal entre os mesmos, se houver medidas intermedirias, importante preciso alinhamento da trena, para a determinao da distncia correta. Erros tambmpodem ocorrer; pela no perfeita verticalizao da baliza, pela falta de horizontalidade dtrena, pelo uso da trena fora da tenso adequada, o que produzir catenria (linha da trensuspensa, formando uma barriga pelo seu peso prprio, etc.)

Fig.32


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Para as distncias a unidade fundamental de comprimento, o metro, utilizando-sdos mltiplos e sub-mltiplos:1 metro = 10 decmetros (dm) , ou = 100 centmetros (cm) , ou = 1.000 milmetros (mm10 metros = 1 decmetro (dam), ou100 metros = 1 hectmetro (hm), ou

1.000 metros = 1 quilmetro ( km),1 decmetro = 0,1 m (1 x 10-1m); ou 1 dm = 10 cm, ou = 100 milmetros.1 centmetro = 0,01 m ( 1 x 10-2m), ou 1 cm = 10 mm.1 milmetro = 0,001 m ( 1 x 10-3m),

O nome metro , proposto por Borda (do grego metron = medida), denomina a unidade de medida line,correspondente dcima milionsima parte do quarto de circunferncia terrestre (meridiano), conforme proposto pe

Academia de Cincias de Paris em 1790, incumbida de organizar um novo sistema de medidas. A comisso dacadmicos, constituda por cientistas tais como: Monge, Borda, Lagrange, Condorcet, encarregou os astrnomoDelambre e Mchain , de executarem os trabalhos necessrios para a medida do arco de meridiano de Paris. comprimento da quarta parte do arco de meridiano de Paris, comparadas com outras medies executadas no Peru e nLapnia, foi de 5.130.740 toesas(na realidade o meridiano de Paris, foi medido prximo a esta cidade, indo o arco dmeridiano medido desde Dunquerque, cidade sita no norte da Frana, at as proximidades de Barcelona na Espanha padro utilizado nas medies foi a toesa do Peru com comprimento equivalente a 6 ps, ou 72 polegadas, ou aindaproximadamente 1,949 metros). Definido o arco de meridiano com a medida de 5.130.740 toesas, a dcima milionsimparte definiu o metro. Adotado o metro pelaAssemblia Nacional da Frana a partir de 26 de maro de 1791. No Brasadotado desde 15 de junho de 1839, pelo decreto n. 4257, tendo sido institudo o Sistema Mtrico Decimal a partir de de janeiro de 1874. Tambm institudo pelo decreto federal 63.233 de 12.09.1968, e atualmente em vigor o decreto federn. 81.621 de 03.05.1978, adotando-se o Sistema Internacional de Unidades SI, conforme atualizado pela 1Conferncia Geral de Pesos e Medidas/1.975. Unidade de comprimento : metro (m) . Sendo um metro com comprimenigual a 1.650.763,73 comprimentos de onda, no vcuo, da radiao correspondente transio entre os nveis 2p 10e 5do tomo de criptnio 86.

Algumas medidas lineares de uso antigo no Brasil, anteriormente ao Sistema Mtrico Decimal legal, so:

1 polegada = 2,75 cm = 0,0275 m (a polegada inglesainchvale 2,539954 cm)1 palmo = 0,22 m

1 jarda = 0,88 m = 4 palmos (a jarda inglesayardvale 0,914399 m)1 vara = 1 auna = 5 palmos = 1,10 m1 braa = 2 varas = 2,20 m ( a braa inglesa vale 1,8288 m)1 corda = 15 braas = 33,00 m1 quadra = 4 cordas = 132,00 m.

De pouco uso no Brasil, outras medidas em sistema antigo, temos:1 estdio = 206,25 m1 linha = 0,2292 cm1 passo simples = 0,825 m1 passo geomtrico = 1,65 m1 quadra = 132 m1 milha geomtrica = 2 km

1 p = 0,33 m1 cvado = 3 palmos = 0,66 m1 toesa portuguesa = 3 cvados = 1,98 metros

Tambm utilizando algumas medidas itinerrias do sistema antigo:1 milha brasileira =1.000 braas =2.200,00 metros1 lgua brasileira (de sesmaria) = 3.000 braas =6.600,00 metros


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Antigamente de uso difundido, as medidas inglesas, hoje no fazendo parte do SI ISO:1 polegada inglesa (inch) = 0,0254 metro1 p ingls (foot) = 12 polegadas = 0,30479 m1 jarda inglesa (yard) = 3 ps ingleses (36 ft) = 0,91438 m1 corda inglesa (chain) - (cadeia ou corrente) = 22 jardas = 20,11636 m1 milha inglesa (statute mile) =1.760 jardas = 80 chains =1.609,34 metros1 milha geogrfica (martima) - SI =841,75braas =1.851,85m =1 milha martima = (arco de 1de meridiano)1 lgua martima = 3 milhas =5.555,55 metros

AVALIAO DE DISTNCIASPara a determinao da distncia horizontal entre dois pontos, devemos utilizar instrumentoe metodologia adequada. Usualmente para trabalhos de mdia e alta preciso devemoutilizar trena de ao milimetrada e aferida. Tambm podemos utilizar Medidor Eletrnico dDistnciaMED, tambm chamado Distancimetro.

Trenas de ao, so aferidas para uso em uma temperatura ambiente (usualmente 20 C), e tenso de trao de 20 a 5Newtons (2 a 5 kgf). As condies de uso de trenas so normalmente gravadas na prpria fita, em sua parte inicial. Partrabalhos de alta preciso devemos anotar e corrigir a temperatura ambiente, com um termmetro graduado de grau egrau Celsius, e monitorar a tenso na trao da fita, com uso de fora conforme a tenso indicada nesta, podendo utilizapesos, roldanas, ou dinammetro. Em maiores temperaturas devemos tambm corrigir as medidas de distncia tomadacom a trena, em virtude da dilatao trmica da fita de ao. Trenas de ao devem ser aferidas peridicamente, podendo scertificadas em sua aferio por rgos oficiais.

Atualmente os MED so acoplados ao teodolito, no que chamamos Estao Total, que o instrumento eletrnicadequado para medies de ngulos e tambm de distncias. MED deve ser aferido de dois em dois anos, devendo esaferio ser efetuada em rgo oficial com certificao.

INDICAO DE DISTNCIAS EM LINHAS TOPOGRFICASPara as obras de engenharia, tais como: a distncia no eixo de rodovias (ou a posio destruturas ou obras de arte (pontes, viadutos, bueiros), igualmente a distncia ou posi

de projeto para a construo de estruturas ou obras de arte no eixo de ferrovias, obras dsaneamento (linhas de tubos em rdes de esgotos, linhas de tubulao para coletoretronco), adutoras para gua bruta ou tratada, redes de coletores e galerias de guas pluviailinhas de oleodutos e gasodutos, linhas de transmisso de energia eltrica, estradas ruraisprojeto virio em ruas de um loteamento, obras para tratamento, desassoreamento oretificao em rios, crregos, construo de canais, etc. Em todas as obras consideradacom um ponto de partida, e a partir deste o desenvolvimento em linhas, em engenharia, taidistncias so consideradas e marcadas em uma unidade de medida particular, denominadEstaca.

Uma Estaca uma unidade de medida linear considerada em distncia de vinte metros, o

frao decimal desta unidade.

A origem de tal medida est no fato de antigamente a topografia, para a marcao dadistncias, na falta de boas trenas de ao, ou medidores eletrnicos, usava-se uma correntde agrimensor, e devido as caractersticas de construo, peso do instrumento e dificuldadde manuseio, tais correntes eram sempre fabricadas em comprimento de vinte metros.Acorrentes inicialmente importadas eram fabricadas na unidade de 1 chain, ou vinte e dua

jardas (20,1164 m), ento ao final de cada medida era colocada no solo uma estaca d


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madeira, com uma tacha ou prego de centralizao, para a materializao da distncimarcada. Aps, as correntes passaram a ser fabricadas na unidade mtrica, com marcade cinco em cinco metros com pequenas medalhas triangulares, e de metro em metro commedalhinhas redondas, nas quais eram marcadas numericamente as distncias. Taicorrentes no possuam subdiviso de centmetro, mas eram construdas com elos a cad

vinte centmetros. A marcao no solo a cada vinte metros por uma estaca de madeira, opiquete, deu origem a unidade utilizada.

Uma rua ou estrada, tem o seu eixo, na elaborao do projeto, marcada a partir do pontoinicial, ou ponto de partida, considerado em Estaca Zero, e a partir deste ponto marcada cada vinte metros uma unidade de estaca, as distncias intermedirias so consideradas emfrao decimal desta estaca de vinte metros.As obras lineares de engenharia, a partir dponto inicial, so numeradas sequencialmente em ordem crescente, a patir do ponto iniciaconsiderada na estaca zero.

Em uma obra em rodovia, o ponto inicial de uma ponte que esteja a 3748,60 metros dponto inicial desta rodovia, consideramos a ponte localizada na Estaca 187 + 8,60m. Ou sejteremos 187 estacas de vinte metros, que totaliza uma distncia de 3740 metros, mais frao decimal desta unidade de vinte metros.

Portanto as estacas so distncias padronizadas de 20,00 m (vinte metros), e com adistncias intermediarias dadas em metros. Assim um ponto situado em distncia de 424,1metros, do ponto de partida PP, ser indicado como estando na posio: E21+4,13 m, oEstaca n 21 mais 4,13 metros. Cada estaca com 20 metros,vezes 21 estacas, totaliza 42metros, mais a frao de 4,13 metros, somando os 424,13 metros. A indicao em Estacas geralmente considerada na preciso mnima do centmetro, para projetos ou obras, mana fase de clculos devemos considerar submltiplos menores.

A indicao em Estacas e fraes, pode ser somada ou subtrada, no modo da indicaopor exemplo: somar: E12+4,20m,mais E31+7,13m. Temos E12+E31, o que totaliza E43somando as fraes 4,20m+7,13m, totaliza 11,33 m, ficando o resultado final da soma igua= E43+11,33 m. Analisando por partes, a estaca inicial E12+4,20m, equivale distncia d244,20m, e a estaca E31+7,13m, equivale a distncia 627,13 m, a soma das distncias d244,20m+627,13m, totaliza 871,33 m, o que equivale a 43 estacas de 20 m=860m, maiuma frao de 11,33, para a distncia considerada de 871,33m, ou seja E43+11,33m.

No caso da distncia da frao da estaca, exceder vinte metros, soma-se mais umestaca, na estaca numerada. Idntico processo se aplica para a subtrao de estacas. Oconverte-se as estacas para distncias em metros, efetua-se a soma ou subtrao, novamente volta-se para a unidade de Estacas.

Medidas de SuperfcieA unidade fundamental de medida de superfcie o metro quadrado (m) SI- , ocentiare , correspondente a rea de um quadrado cujo lado tem um metro de comprimento

Para propriedades rurais, utilizamos o hectare (ha) (SI = 104m) , sendo um hectare rea de um quadrado cujo lado tem 100 (cem) metros de comprimento.


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Alm do que temos:Milmetro quadrado = 1 mm2 = 0,000001 m2 1 m2= 1.000.000 mm2 (1x106)Centmetro quadrado = 1 cm2 = 0,0001 m2 1 m2= 10.000 cm2 (1x104)Decmetro quadrado = 1 dm2 = 0,01 m2 1 m2 = 100 dm2 (1x102)Metro Quadrado = 1 m2

Para superfcies agrrias, ou imveis rurais, utilizamos as unidades de superfcie:CENTIARE (1 m2) = 1 m2 (1x100)

ARE (10 x 10 m) = 100 m2 (1x102) 1 are = 100 centiaresHECTARE (100 x 100 m) = 10.000 m2 (1 ha) (1x104) 1 ha = 100 aresQUILOMETRO QUADRADO = 1.000.000 m2 ( 1km2) (1x106) 1 km2 = 100 hectares.

Por serem medidas de superfcie em unidades ao quadrado , notar que de uma unidadpara a imediatamente superior, ou inferior neste sistema decimal utilizado h umvariao de dois em dois zeros ou de duas em duas casas decimais. A converso duma superfcie para uma ou outra unidade do sistema decimal bastante fcil, bastandseparar a grandeza apresentada em casas de dois em dois algarismos , a partir da direita.

Exemplos de medidas de superfcie e respectivas leituras:123,456789 m (Cento e vinte e trs metros quadrados, quarenta e cinco decmetroquadrados, sessenta e sete centmetros quadrados e oitenta e nove milmetros quadrados)1.234.567 m (Cento e vinte e trs hectares, quarenta e cinco ares e sessenta e setcentiares).Ou 123,4567 ha

Para medidas agrrias, a unidade fundamental oficial no Brasil o hectare(SI). Na prticutilizamos tambm a unidade tradicional denominada alqueire correspondente a umquadrado de 100 braas de lado (220 x 220 m) ou 48.400 m 2 , este denominado: alqueirgeomtrico, alqueire maior, alqueire mineiro, ou alqueire goiano. Tambm utilizadparticularmente neste Estado, o alqueire paulista , corresponde a um retngulo com ladode 100 x 50 braas (220 x 110 m) ou 24.200 m 2.

Portanto um alqueire paulista corresponde a 2,42 hectares.

Outras medidas agrrias do Sistema Antigo, utilizado no Brasil, so:1 alqueire mineiro (100 x 100 braas) = 220 x 220 m)= 50 litros =48.400 m21 alqueire paulista(50 x 100 braas ) = 110 x 220 m) = 5.000 br. quadr. =24.200 m2

1 alqueire nordestino =27.225 m1 are (quadrado com 10 m x 10 m) = 100 m =102 m21 quadra quadrada (132 x 132 m ) = quadra gacha = 3.600 braas quadr. =17.424 m2

1 quadra de sesmaria =871.200m1 jeira ( 20 x 20 braas = 400 braas quadradas) = 1.936 m2

1 braa quadrada = 4 varas quadradas = 4,84 m1 vara quadrada = 25 palmos quadrados = 1,21 m1 corda quadrada = 225 braa quadradas = 1.089 m1 braa de sesmaria =14.520 m1 lgua quadrada SP = 1.800 alqueires pta. =43,56 km1 litro MG, RJ = 968 m1 lgua de sesmaria =4.356 ha1 milha quadrada SP = 200 alqueires pta. =4,84 km1 tarefa nordestina = 625 braas quadradas =3.025 m1 tarefa gacha = 200 braas quadradas = 968 m


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A unidade agrria are no deve ser confundida com a unidade agrria inglesa acre, que corresponde a um retngulo d1 chain x 10 chains =(22 yards x 220 yards) = 4.840 square yards (22 jardas x 220 jardas = 4.840 jardas quadradaequivalente a aproximadamente 4.046,856422 m).

Unidades de Volume

A unidade utilizada o metro cbico(SI)-(m3

) , correspondente ao volume de um cubo cuja aresta tem um metro de comprimento.

Unidades Angulares:Para avaliao de medidas angulares, em ngulo plano, temos as seguintes unidades: grau (com dois modos de notao: sexagesimal e decimal) : o grado , o radiano(SI) , o milsimo , estas trs unidades anotadas em frao decimal.

Unidade de Medida Angular: GRAU sexagesimal.Para a avaliao de ngulo, o grau ( ) SI o ngulo plano igual frao 1/360 dngulo central de um crculo completo (equivalente SI = /180 rad ), sendo sub-dividido em

minutose segundos , sendo o minuto () definido como ngulo plano igual frao de 1/60de 1 grau (equivalente SI = /10.800 rad) , e o segundo () definido como o ngulo planigual frao de 1/60 de 1 minuto (equivalente SI = /648.000 rad).

O grau () , o minuto () , e o segundo (), so anotados usando os smbolos convencionais eacima indicados entre parnteses, sendo o smbolo do grau posicionado logo aps numeral indicativo do grau inteiro. Igualmente o smbolo do minuto aps o numeral indicativdo minuto, e igualmente o smbolo do segundo logo aps o numeral indicativo do segundoTodos os trs smbolos so posicionados entre os numerais pelo alinhamento superior. Ex1891827 (cento e oitenta e nove graus, dezoito minutos e vinte e sete segundos) nota: Ngrau sexagesimal, no se utiliza indicar ngulos maiores de 360 , para um ngulo de 480

devemos subtrair um circulo completo de 360 , e indicar o angulo equivalente de 120.

Tambm no usamos indicar minutos ou segundos quando maiores de 60. Se temos: 72p.exemplo, indicamos ser 112 (sessenta segundos perfazem um minuto, com um resto d12), em outro exemplo temos: 76 19 59,9(Setenta e seis graus, dezenove minutos dgrau), e cinqenta e nove segundos (de grau), mais nove dcimos de segundo (de grau).

Este modo sexagesimal , possui uma fcil relao com o tempo, sendo o grau sexagesimal nica unidade angular empregada em Astronomia.

O grau angular trata-se de medida conhecida desde a antiguidade, sendo utilizada no modo sexagesimal pelos povocaldeus, egpcios, romanos, persas, chineses, etc., pela facilidade de uso e construo, dada conhecida propriedade d

hexgono inscrever-se exatamente no crculo (Construdo um circulo a compasso, o raio deste divide a circunferncexatamente em seis partes) , motivando o uso em seis partes de uma circunferncia, cada qual equivalente a 60 graussendo o circulo completo dividido em 360 graus. Cada grau dividido em 60 minutos de grau , e cada minuto sendo divididem 60 segundos de grau. No havendo tradicionalmente nome para dimenses angulares inferiores ao segundo, utiliza-sdividi-lo em dcimos ou mesmo centsimos e milsimos de segundo.

Um crculo completo possui 360 graus , no modo sexagesimal ,Cada grau possui 60 minutos , portanto o circulo possui 21.600 minutosCada minuto possui 60 segundos , portanto o circulo possui 1.296.000 segundos


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Grau decimal.Tambm utilizamos o grau decimal , onde um crculo dividido em 360 graus e cada grapossui diviso em base numrica decimal. Nesse caso temos a notao : 76,3333 (Setenta e seis graus inteiros, trs dcimos, trs centsimos, trs milsimos e trs dcimos

milsimos de grau), ou setenta e seis graus, trinta e trs centsimos, ou setenta e seigraus, trezentos e trinta e trs milsimos de grau setenta e seis graus inteiros maaproximadamente um tero de um grau).

Cuidado especial na forma da notao utilizada para os dois casos, pois : 76 30 ,diferente de 76,30 , sendo 7630 (setenta e seis graus e trinta minutos de grau) igual 76,50 (setenta e seis graus mais meio grau). Igual cuidado no uso de calculadoraeletrnicas de funes cientficas.Quando em clculos trigonomtricos, o modo normal das calculadoras para uso em funetrigonomtricas, deve ser o modo decimal. Por exemplo: o seno de um angulo de 76 30no devemos digitar na calculadora : 76,30 , e sim 76,50 , para obtermos o valor correto dseno, que = 0,9724.

Assim em alguns casos devemos efetuar a transformao de modos: sexagesimal pardecimal ou vice-versa. O que fcil utilizando regra de trs simples.

Por exemplo, um ngulo de 76,3 (setenta e seis graus, mais tres dcimos de grau).Sabemos que 1 grau subdividido em 60 minutos, e cada 1 minuto subdividido em 60 segundos. Temos 76 grauinteiros. Restando 0,3. Por regra de trs simples, se 1 est para 60, ento 0,3 estar para x, ou x= (0,3 x 60) / 118. Portanto o ngulo em grau decimal de 76,3 igual ou ngulo em grau sexagesimal = 76 18. (setenta e seis grausdezoito minutos).

UM CRCULO COMPLETO POSSUI 360 GRAUS. NO BRASIL, E PARA USO EMTOPOGRAFIA, SOMENTE UTILIZAMOS O GRAU NO MODO GMS (grau, minuto

segundo), ou grau sexagesimal.

EXERCCIOS COM NGULOSGRAU5) Um angulo de 76,2525 (decimal) igual a 76 15 09 (GMS).

Temos 76 graus inteiros , mais 0,2525 graus , se 1 grau possui 60 minutos, para 0,2525 graus temopor regra de trs simples: 0,2525 graus = 15,15 minutos , ou seja 15 minutos inteiros mais 0,15 minuto, por conseqncia , se 1 minuto igual a 60 segundos, para 0,15 minutos, temos por regra de trsimples que: 0,15 minutos = 9 segundos. Ou : 76,2525 , sendo 76 inteiros mais 0,2525 x 6=15,15 , ou seja 15 inteiros mais 0,15 x 60 = 9 , resulta (76,2525) = 761509(setenta e segraus, quinze minutos e nove segundos)

6) Para um ngulo dado no modo : Graus, Minutos e Segundos (GMS), transformar par

o modo decimal, temos: 76 1509;Fazemos a converso de forma inversa anterior. Se temos 9 , sabemos que com 60 temos minuto, portanto 9 / 60 (nove dividido por sessenta)= 0,15 minutos , podemos somar com 15 , e temo15,15. Ficamos assim com 7615,15 (setenta e seis graus,mais quinze virgula quinze minutos). Squando com 60 minutos temos um grau inteiro, com 15,15, temos 15,15/60 = 0,2525 , somando comos 76 graus inteiros, temos 76,2525 , portanto: 76 1515 = 76,2525.


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Por frmula, podemos realizar esta converso conforme segue:GMS G.dec.= 76 1509 = 76+ { [(15x60) + 9] / 3.600} =grau inteiro + { [ (minx60) + seg ] / 3.600}=resulta grau no modo decimal.

7) Operaes aritmticas de soma, subtrao, multiplicao e diviso, com nguloanotados no modo Graudecimal, so operadas normalmente, p. Exemplo:Somar: 23,5025 + 180,4143 = 203,9168Subtrair: 180,4143 - 23,5025 = 156,9118Multiplicar: 23,5025 * 3 = 70,5075Dividir: 180,4143 / 3 = 60,1381

8) Operaes aritmticas de soma, subtrao, multiplicao e diviso, com nguloanotados no modo Grau, Minuto e Segundo, so operadas sempre em modespecial, como segue:

Somar: 235025 + 1804143 = 2043208Devemos primeiramente somar os segundos: 25+43=68 , assim sessenta e oito segundos equivalente um minuto inteiro (sessenta segundos), mais oito segundos, anotamos : 08, e somamos 1 aos minutoindicados e temos a soma: 1+50+41= 92 , igualmente noventa e dois minutos equivalente a um grainteiro (sessenta minutos), mais um resto de trinta e dois minutos, anotamos 32, e somamos 1aos valoreindicados para o grau, e temos a soma: 1+23+180= 204 , resultando 204 32 08.

9) Subtrao: 1804143 - 235025 = 1565118Devemos primeiramente subtrair os segundos conforme indicado:43-25=18 , anotando 18.Aps. subtramos os minutos conforme indicado: 41-50= ? , no possvel, poora, de 41 subtrair 50, pois resultaria nmero negativo. Por artifcio, emprestamos um grau inteiro (equivalena 60 minutos), e o primeiro angulo ficaria anotado: 179 10143. Assim de 101-50= 51, anotamos o resultadde 51. Finalmente subtramos os ngulos inteiros, lembrando que do emprstimo feito de 1 , temoatualmente : 179 - 23 = 156 , anotando o resultado, e obtendo finalmente : 156 5118.

10)Multiplicar: 235025 * 3 = 713115Para esta operao o modo mais simples, utilizando o grau decimal, devemoprimeiramente converter 235025, para o modo decimal = 23,84028 , multiplicamos por 3 71,52083 , e retornamos em sexagesimal, convertendo ao modo GMS = 713115.

11)Diviso : 1804142 / 3 = 601354Mesmo mtodo aplicado para multiplicao, devemos converter 1804142 para gradecimal, obtendo: 180,695 , dividindo por 3 = 60,23167 , transformando para o modo GMStemos : 601354 .

Calculadoras eletrnicas cientficas modernas, operam usualmente em vrios modos angulares, notadamente em unidad

de Grau, Grado ou Radiano. Especial cuidado devemos observar, no modo estabelecido para a operao da calculadoraConforme acima anotado, no Brasil, em topografia somente utilizamos o modo angular: Grau Sexagesimal (Grau, Minuto Segundo). Se indevidamente uma calculadora estiver selecionada para operao em grado, todos os valoretrigonomtricos calculados para as respectivas grandezas angulares, conduziro a resultados incorretos. Igualmente sestiver selecionada para o modo: Radiano. Do idioma ingls: Grau = Degree, abreviado e como smbolo convenciondeg ; Grad = grad , radian = rad.

Calculadoras do tipo Casio, operam ngulos no modo sexagesimal, possuindo uma tecla dedicada: < >, aparecendno visor o n : 78 18 30 ,8 , significando setenta e oito graus, dezoito minutos e trinta segundos, mais oito dcimos dsegundo de grau. Nesse modo, operam soma, subtrao, multiplicao ou diviso, tambm operam fune


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trigonomtricas. Tambm operam no modo decimal, nesse caso deve-se usar o ponto decimal, separador da parfracionria decimal (tecla de ponto decimal ao lado do n zero), ficando o visor : 78 ,183, nesse caso um ngulo de setene oito graus, mais cento e oitenta e trs milsimos de grau (que um ngulo diferente de 781830). Tambm a calculadopossui tecla de funo para converso de unidades de medida angular; de grau para grado ou radiano; de grado para graou radiano; de radiano para grau ou grado, etc (tecla : shift >DRG).

Calculadoras do tipo HP (hewllet-packard), somente operam no modo de grau decimaPossuem funo para converso de grau decimal para radiano ou vice-versa. Alguns modelos possuem funo dconverso de grau sexagesimal para grau decimal e vice-versa.

Unidade de medida angular : Grado (decimal)A comisso francesa encarregada de estudar um novo Sistema de Medidas, no ano de 1.790, para fins de uma novunidade angular, havia proposto a diviso da circunferncia em 400 partes, cada parte denominada grado.

Um grado o ngulo central da frao 1/400 (um quatrocentos avos) de um circulcompleto. O grado possui subdiviso decimal.

Um crculo completo possui 400 grados, um ngulo reto possui 100 grados. Cada grado, originalmente subdividido em 10minutos de grado , e cada minuto dividido em 100 segundos de grado . Estas denominaes minuto e segundo , tendsido mantidas pelo uso tradicional. Esta unidade angular grado , com sub-divises na base numrica

decimal, torna-s

bastante cmoda para utilizao em clculos, at o sculo passado, porm tinha seu uso restrito em alguns paiseeuropeus, praticamente s na Frana e Alemanha , e ainda assim somente em alguns setores industriais. Um angumedido em grados anotado: 383g79 91 , ou ainda 383g79-91= (sendo esta forma pouco utilizada, pois pode dar margea confuses com o sistema sexagesimal). Notar que no se usa um angulo de 383 graus, sendo este equivalente ao angude 23 graus. Mas existe o angulo com 383 grados. Da mesma forma no se usa anotar 79 minutos de grau, pois seriequivalente a um grau inteiro (60 minutos) mais 19 minutos de grau. Mas existe 79 minutos de grado. O mesmo se aplicaos segundos de grau, e/ou segundos de grado. Atualmente, possivelmente pela influncia alem na formao da unidadEuropia, muitos outros pases europeus, esto utilizando o grado, como o caso de Portugal. Tambm atualmente, amodo antigo de anotao do grado (minutos e segundos), d-se preferncia ao uso do grado decimal.

A transformao de unidades angulares de grado decimal para grau decimal, ou vice versa facilitada, sabendo-se que um crculo completo possui 360 ou 400g, assim podemoestabelecer a razo:

/ g = 360/ 400g = 9/10 , assim: = 9/10 g e; g = 10/9

Portanto para converter um ngulo dado em grau decimal para grados, multiplicamos podez nonos (10/9), ou multiplicamos por dez e dividimos por nove.

Para converter um ngulo dado em grado decimal, para grau decimal, multiplicamos ponove dcimos (9/10), ou multiplicamos por nove e dividimos por dez.

UM CRCULO COMPLETO POSSUI 400 GRADOS.

EXERCCIOS COM NGULOSGRADO.

12) Dado um ngulo de 45 graus; vezes 10 = 450, dividido por 9 = 50 grados.

13) Para converter um ngulo de grados para graus decimais, multiplicamos por novdcimos (9/10), ou multiplicamos por nove e dividimos por dez. Exempo 100 gradosvezes 9 = 900, dividido por 10 = 90 graus. O resultado final deve ser expresso emgrau sexagesimal.


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Unidade de medida angular: RADIANO (decimal)Chama-se radiano (rad), ao ngulo central que subentende um arco de crculo dcomprimento igual ao respectivo raio deste crculo(SI) .

Quando tomamos o valor do raio de um dado circulo, e este comprimento de raio desretificado sobre um trecho do arcda mesma circunferncia, este comprimento de arco da circunferncia de valor igual ao raio, forma o ngulo central qu

define a unidade angular denominada radiano . Se, de um circulo qualquer, tomarmos o comprimento desta circunfernce dividirmos pelo comprimento do respectivo dimetro, temos resultante o valor de Pi , portanto um crculo completsendo o dimetro = 2xraio , ter ( 2 Pi ) radianos. O Radiano, como unidade para avaliao de grandezas angulares,fundamentalmente, a nica unidade usada em computao, salvo quando com uso de programas compiladores. Um ngumedido em radianos anotado: 1 rad ; 2,3845 rad, etc. Unidade anotado sempre no modo decimal.

Portanto para converter um ngulo dado em radiano, para a correspondente medida emgraus decimais, devemos multiplicar o ngulo em radiano por 180, e dividirmos por Pi.

Para converter um ngulo dado em graus decimais, para a correspondente medida emradiano, devemos multiplicar o ngulo em graus decimais por Pi, e dividir por 180.

Exemplo 0,78539816 radianos, vezes 180 = 141,37166941 , dividido por Pi=3,14159265igual a 45,0000 graus decimais. O resultado final deve ser expresso em grasexagesimal.

Um ngulo de 1 radiano igual aproximadamente a 57 17 44,8.

UM CRCULO COMPLETO POSSUI = 2.rad(360 = 2.Pi.rad, aproximadamente = 6,28319 radianos).

Unidade de medida angular : milsimo (decimal)

O milsimo definido como a paralaxe de um para mil . Ou seja um milsimo , seria o ngulo pelo qual observaramos aextremidades de um objeto com dimenso de um metro, quando posicionado a 1.000 metros de distncia. Neste casconsiderando o valor de Pi= 3,1415927 , para um circulo completo teramos 6.283,1853 milsimos . Porm para efeitoprticos, o milsimo foi definido como um crculo dividido por 6.400 partes, sendo este nmero mltiplo de 2, 4 , 8 , etc.,que facilita amplamente o uso. Um crculo completo = 6400 milsimos . Meio circulo = 3.200 milsimos , e um quarto dcrculo = 1.600 milsimos, e assim por diante. O milsimo , tem uso notadamente militar.

Para comparao temos para os diversos ngulos:

Grau Grado Radiano Milsimo45 50g /4 rad 800 mil

90 100g

/2 rad 1.600 mil180 200g rad 3.200 mil270 300g 3/2 rad 4.800 mil360 400g 2 rad 6.400 mil


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Portanto para converter um ngulo dado em grado decimal para radiano, multiplicamos poPi e dividimos por 200 gr.Para converter um ngulo dado em radiano, para grado decimal, multiplicamos por duzentogrados, e dividimos por Pi.

EXERCCIOS COM NGULOS;

14) Converter os ngulos dados abaixo, para a unidade angular: radiano.a) 675747 = 67,96306 ,

por regra de trs simples, 180 est para Pi radianos, assim como 67,96306 est para x: portanto x (67,96306 x 3,1415927 rad) / 180 = 1,18618 rad 67 5747 = 1,18618 rad.

b) 44,44 =Este ngulo j est no modo grau decimal, por regra de trs simples, temos: (44,44 x 3,1415927 rad) / 1800,77562 rad.

44,44 = 0,77562 rad.

c) 383,44 grados =O ngulo em grados sempre anotado no modo decimal, sabemos que um crculo completo possui 400 gradosigual a 2Pi radianos, portanto 200 gr = pi rad. Por regra de trs simples: 200 gr est para Pi rad, assim com383,44 gr est para x, ou x = (383,44gr x 3,1415927 rad) / 200 gr = 6,02306 rad.

383,44 gr = 6,02306 rad.

15)Converter os ngulos abaixo, dados em radiano, para graus sexagesimais e grados.a) 1,1515 rad =655833,9, ou = 73,30677 gr.b) 3,1415927 rad = 180 = 200 grados.c) 2,3333 rad = 1334117,7= 148,54249 gr.

Resolvendo:15.a.1) por regra de trs simples: se Pi rad, est para 180, ento 1,1515 rad est para x graus decimais, temos que x

(1,1515 rad x 180) / 3,1415927 rad = 65,97609, convertendo para grau sexagesimal = 655833,9.15.a.2) igualmente se pi radianos, est para 200 grados, ento 1,1515 rad est para x! grados, temos: x = (1,1515 rad200 gr) / 3,1415927 rad = 73,30677 gr.

15.b.1) Se pi rad, est para 180, ento 3,1415927 rad est para x graus, temos:x = (3,1415927 rad x 180) / pi rad = 180 = 200 gr.

15.c.1) igualmente x= (2,3333 rad x 180) / 3,1415927 rad = 133,68824= 1334117,7,15.c.2) se temos o ngulo em grau decimal = 133,68824 x (10/9), convertemos para grado = 133,68821 x 10 1.336,88240 / 9 = 148,54249 grados.

16)Efetuar as operaes com ngulos indicadas abaixo, resultados em grasexagesimal:a) 2,4525 rad + 222,14 gr1518 = 3250838,0c) 55,55 - 0,14 rad + 12,12 gr = 3250838,0d) 671814 + 33,33 - 0,88 rad = 501249,0

Como foram solicitados todos os resultados em grau (sexagesimal), e temos ngulos dados em grau sexagesimal, gradecimal, grados e radianos, o melhor modo converter todas as medidas angulares dadas, para grau decimal. Podemoento fazer as operaes de adio ou subtrao, e ao final teremos os resultados em grau decimal, temos que finalmentfazer a converso de grau decimal para grau sexagesimal, para o resultado conforme solicitado.


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16.a) Temos ento (2,4525 rad = 140,51790) + (222,14 gr = 199,92600)(1518 = 15,30)=Ficamos com (140,51790 + 199,92600 - 15,30 = 325,14390 = 3250838,0

16.b) (55,55)(0,14 rad = 8,02141) + (12,12 gr = 10,90800), ou(55,55 - 8,02141 + 10,90800) = 87,43659 = 582611,7.

16.c) (671814 = 67,30389) + (33,33) (0,88 rad = 50,42029) =

(67,30389 + 33,33 - 50,42029) = 50,21360 = 501249,0

EXECUO DAS MEDIES DE CAMPOA determinao de distncia entre dois pontos, numa linha topogrfica, ou a determinado ngulo formado pela interseco de duas linhas topogrficas, tais medidas sexecutadas em campo, com uso de instrumentos ou equipamentos topogrficos.Para a medio das linhas topogrficas, podemos utilizar; trenas com fitas de ao, fita dao, trenas com fita em fibra de vidro, trenas eletrnicas a laser, medidores eletrnico ddistancia-MED, ou distancimetros. Antigos instrumentos, atualmente obsoletos, eramutilizados, tais como: corrente de agrimensor, trenas de lona, telurmetros, etc. Os trabalhode medio em campo devem ser sempre executados com uso de instrumentos de bo

qualidade e com sua preciso aferida.A determinao dos ngulos formados na interseco de duas linha topogrficas, efetuadcom uso de gonimetros, tais como: bssola graduada, trnsito, teodolito, estao total, opor clculo trigonomtrico.Em campo, quando o alinhamento da linha topogrfica estiver indetermi

apostila topografia cálculo poligonal

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