apostila cálculo 1-sebastião

MAT – 001 – CÁLCULO 1

Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG

CÁLCULO 1 – AULA 01

CAP. 1– FUNÇÕES:

1.1– RELAÇÕES:

Consideremos os conjuntos 4,3,2,1=A e 8,7,6,5,4,3,2,1=B . Vamos determinar o Produto

Cartesiano AXB , que é o conjunto dos pares ordenados ( )yx, , onde Ax∈ e

By∈ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,4,7,4,6,4,...,3,1,2,1,1,1=AXB .

Podemos perceber que este conjunto possui 32 pares ordenados.

Vamos, agora, fazer uma correspondência entre os elementos Ax∈ e By∈ , de acordo com

uma lei de formação qualquer, por exemplo, y é o dobro de x .

Num diagrama de flechas:

Conjunto Partida Contra-Domínio

Podemos expressar o resultado obtido por um conjunto de pares ordenados relacionados pela

lei xy 2= . Este conjunto é: ( ) ( ) ( ) ( ) 8,4,6,3,4,2,2,1

A este conjunto damos o nome de RELAÇÃO e representamos pela letra R:

( ) ( ) ( ) ( ) 8,4,6,3,4,2,2,1=R

Uma forma mais prática de representar esta Relação é: ( ) xyAXByxR 2/, =∈= .

A Relação acima pode ser ainda representada graficamente num sistema de coordenadas

cartesianas, onde convenciona-se representar y no eixo vertical (ordenada) e x no eixo

horizontal (abscissa).

1

2

3 4

1 2

4

6

8

3

5

7

A B

y = 2x

x y



By∈

Vamos admitir, agora, que esta relação xy 2= seja definida no Produto Cartesiano ℜℜX , isto

é, o Produto AXB , onde ℜ=A e ℜ=B , sendo ℜo Conjunto dos Números Reais.

Assim, ( ) xyXyxR 2/, =ℜℜ∈= .

Neste caso, a representação geométrica da Relação é a reta:

OBSERVAÇÃO:

Quando a Relação é definida no Produto Cartesiano ℜℜX não é necessário representa-la na

forma de Conjuntos ( ) xyXyxR 2/, =ℜℜ∈= . Uma vez que o Conjunto Partida e o Contra-

domínio estão bem definidos, basta indicar a Relação apenas pela Lei de Correspondência, ou

seja, xy 2= .

1

1

2

2

3

3

4

4

5

6

7

8

0 Ax∈

1

1

2

2

3

3

4

4

5

6

7

8

ℜ∈y

ℜ∈x



1.2 – FUNÇÃO: DEFINIÇÃO:

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B recebe o nome de Função

se, e somente se, para todo elemento Ax∈ existir um e somente um elemento By∈ tal que o par

ordenado ( )yx, satisfaça a relação f .

Simbolicamente, escrevemos: ( ) ( ) xfyAXByxf =∈= /, , onde:

• ( )xfy = é a lei de correspondência entre as variáveis x e y ;

• x é a variável independente;

• y é a variável dependente.

EXEMPLOS:

01) A relação xy 5= é uma função definida de ℜ=A em ℜ=B pois, para cada valor real da

variável independente x podemos obter um e somente um valor real para a variável

dependente y , tais que xy 5= .

02) A relação 2xy = é uma função definida de ℜ=A em +ℜ=B .

03) A relação xy =2 NÃO é função, pois xy ±= , ou seja, para um único valor de x existem dois valores diferentes para y .

x y

ℜ ℜ

xy 5=

- 1

1

- 2

2

1

4

ℜ

x y

2xy =

ℜ



1.3 – DOMÍNIO:

Seja a função f definida de ℜ⊂A em ℜ⊂B pela lei ( )xfy = .

Chama-se de Domínio da função f ao conjunto ( )fD dos elementos Ax∈ para os quais

existem os elementos By∈ , tais que cada par ordenado ( )yx, satisfaça a lei ( )xfy = .

Para se determinar, algebricamente, o Domínio ( )fD de uma função, basta verificar as suas

condições de existência. Verifique, nos exemplos a seguir, como isto pode ser feito.

EXEMPLOS:

Determinar o Domínio ( )fD das funções definidas pelas sentenças a seguir no campo dos

números reais:

01) xy =

Para que ℜ∈x , devemos ter 0≥x . Portanto ou

02) 216 xy −=

Devemos ter 016 2 ≥− x , isto é, o Domínio desta função é o conjunto de valores de x que

verificam uma inequação de segundo grau, cujas raízes são 4−=x e 4=x .

Fazendo o estudo de sinais no eixo dos números reais teremos:

Portanto:

4 2

ℜ ℜ

- 2

- 4 4

- - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + x

m/a m/a c/a

( ) 44/ ≤≤−ℜ∈= xxfD

( ) +ℜ=fD

( ) 0/ ≥ℜ∈= xxfD

xy =2



03) ( )4log 2 −= xy

Devemos ter 042 >−x . Tal como no exemplo anterior, devemos resolver uma inequação de

segundo grau cujas raízes são 2−=x e 2=x .

Fazendo o estudo de sinais, obtemos:

Portanto:

04) xxy −−= 4.3

Chamando ( )( )

−=

−=

xxh

xxg

4

3 teremos ( ) ( ) ( )xhxgxf .= .

Para que ( )xf exista, é necessário que ( )xg e ( )xh sejam definidas simultaneamente. Sendo

assim, o Domínio de ( )xf será a interseção dos Domínios de ( )xg e ( )xh .

a) Domínio de ( )xg :

Devemos ter 303 ≥⇒≥− xx

b) Domínio de ( )xh :

Devemos ter 404 ≤⇒≥− xx

Portanto

05) 3−

=x

xy

Chamando ( )( )

−=

=

3xxh

xxg teremos ( ) ( )

( )xhxg

xf = .

Novamente, para que ( )xf exista, é necessário que ( )xg e ( )xh sejam definidas

simultaneamente. E, tal como aconteceu no exemplo anterior, o Domínio de ( )xf será a

interseção dos Domínios de ( )xg e ( )xh .

- 2 2 x

m/a m/a c/a

+ + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - -

( ) 43/ ≤≤ℜ∈= xxfD

( ) 22/ >−<ℜ∈= xouxxfD



a) Domínio de ( )xg :

Devemos ter 0≥x

b) Domínio de ( )xh ;

Devemos ter 303 >⇒>− xx

Portanto

06) 3−

=x

xy

Devemos ter 03≥

−xx

e 3≠x .

Para resolvermos esta equação, devemos fazer o estudo de sinais do numerador e do

denominador e fazer a interseção. Assim:

Portanto:

OBSERVAÇÃO:

As funções estudadas nos exemplos 05 e 06 parecem iguais, mas não são. Observe que elas

possuem Domínios diferentes. Quando se fala que “a raiz do quociente é igual ao quociente das

raízes do numerador e do denominador” estamos nos referindo a uma Propriedade Operatória.

Isto quer dizer que essa propriedade só é válida se ambas as raízes existirem simultaneamente.

Não foi isto que aconteceu no nosso caso.

Só podemos afirmar que duas funções são iguais quando possuírem:

• o mesmo Domínio;

• a mesma Imagem;

• o mesmo gráfico.

x 0

x 3

x 0 3

- - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + +

+ + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + +

( ) 3/ >ℜ∈= xxfD

( ) 30/ >≤ℜ∈= xouxxfD



1.4 – IMAGEM:

Chama-se de Imagem de uma função f definida de ℜ⊂A em ℜ⊂B pela lei ( )xfy = ao

conjunto ( )fIm dos elementos By∈ para os quais existem os elementos Ax∈ , tais que os pares

ordenados ( )yx, pertençam à função.

A Imagem é um subconjunto do Contra-domínio.

A melhor estratégia para se descobrir a Imagem de uma função é obter o seu Domínio,

esboçar o seu gráfico e, aí sim, identificar no gráfico obtido a Imagem. Este raciocínio se justifica

pelo fato de que a Imagem de uma função é conseqüência imediata do seu domínio.

Entretanto, para o caso de algumas funções elementares, pode-se tentar obter a Imagem

algebricamente. Para isto, devemos explicitar x como função de y e estudar as condições de

existência da função obtida.

EXEMPLOS:

Determinar a Imagem ( )fIm das funções definidas pelas sentenças a seguir no campo dos

números reais:

01) 12 += xy

Isolando a variável x :

112 −±=⇒−= yxyx

Devemos ter: 101 ≥⇒≥− yy

Portanto:

ℜ⊂A ℜ⊂B

( )xfy =

( )fIm ( )fD

x y

( ) 1/Im ≥ℜ∈= yyf



02) 24 xy −= Isolando a variável x :

22222 444 yxyxxy −±=⇒−=⇒−=

Devemos ter:

≥

≥−

0

04 2

y

y

Estudando-se os sinais e fazendo a interseção, obtemos:

OBSERVAÇÃO:

A determinação da Imagem ( )fIm de uma função se torna mais simples após fazermos o

esboço do gráfico da função. Isto será estudado na próxima aula.

( ) 20/Im ≤≤ℜ∈= yyf




CAP. 1– FUNÇÕES:

1.5 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO:

O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos ( )yx, do plano cartesiano xy tais

que ( )fDx∈ , ( )fy Im∈ e ( )xfy = .

OBSERVAÇÃO:

De acordo com a definição, a necessidade de que uma função f associe um e somente um

valor de y para cada valor particular de x corresponde à condição geométrica de que dois pontos

distintos do gráfico de uma função não podem possuir a mesma abscissa. As figuras abaixo

mostram exemplos de gráficos de relações que não correspondem a funções.

y

x

( )fIm

( )fD

( )xfy =

x = abscissa y = ordenada

1x

1y

2y

x

y

Não é função



EXEMPLOS

A seguir são esboçados alguns gráficos de algumas funções elementares com os respectivos

Domínios e Imagens:

01) 1

2 += xy ou ( ) 12 += xxf .

02) 24 xy −= ou ( ) 2

4 xxf −=

x

y

Não é função

y

x 0

1

12 += xy

( )( ) 1/Im ≥ℜ∈=

ℜ=

yyf

fD

y

x 2− 2

24 xy −=

2

( ) ( ) 20/Im

22/

≤≤ℜ∈=

≤≤−ℜ∈=

yyf

xxfD

0



03) xy = ou ( ) xxf =

04) x

y1

= ou ( )x

xf1

= .

0

y

x

xy

1= ( )

( ) *

*

Im ℜ=

ℜ=

f

fD

y

x 0

xy =

( )

( ) +

+

ℜ=

ℜ=

f

fD

Im




1.6 - TIPOS DE FUNÇÕES:

1.6.1 – FUNÇÃO PAR:

Uma função f definida pela lei ( )xfy = é chamada de Função Par se, e somente se,

tivermos:

( ) ( )xfxf =− para todo ( )fDx∈

A conseqüência desta definição é que o gráfico de uma função par possui uma simetria em

relação ao eixo y (eixo das ordenadas).

EXEMPLOS:

01) ( ) 24 xxf −= é uma função Par, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf =−=−−=− 2244 .

02) ( )2

1

xxf = é uma função Par, pois ( )

( )( )xf

xxxf ==

−=−

22

11.

y

x

y

x x− 0

( ) ( ) fyxfyx ∈−⇒∈ ,,

y

x 2 2−

4

0

( ) 24 xxf −= ( )( ) 4/Im ≤ℜ∈=

ℜ=

yyf

fD

y

x 0

( )2

1

xxf = ( )

( ) *

*

Im +ℜ=

ℜ=

f

fD



1.6.2 – FUNÇÃO ÍMPAR:

Uma função f definida pela lei ( )xfy = é chamada de Função Ímpar se, e somente se,

tivermos:

( ) ( )xfxf −=− para todo ( )fDx∈

A conseqüência desta definição é que o gráfico de uma função ímpar possui uma simetria em

relação à origem dos eixos coordenados.

EXEMPLOS:

01) ( ) xxf 2= é uma função Ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 2.2 .

02) ( ) 3xxf = é uma função Ímpar, pois ( ) ( ) ( )xfxxxf −=−=−=− 33 .

y

y

y−

x x

x−

0

( ) ( ) fyxfyx ∈−−⇒∈ ,,

y

x 0

( ) xxf 2= ( )( ) ℜ=

ℜ=

f

fD

Im

y

x 0

( ) 3xxf = ( )( ) ℜ=

ℜ=

f

fD

Im



OBSERVAÇÃO:

O fato de havermos definido funções pares ou ímpares não significa, necessariamente, que

toda função deva ter uma dessas classificações. Existem funções que não são pares e nem

ímpares.

EXEMPLO: A função f definida por ( ) xxxf −= 2 não é par e nem ímpar, pois:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

−≠−

≠−⇒+=−−−=−

xfxf

xfxfxxxxxf 22

1.6.3 – FUNÇÃO POLINOMIAL:

É toda função f definida da forma ( ) n

nnn AxAxAxAxf ++++= −− ...2

2

1

10, onde

ℜ∈nAAAA ,...,,, 210 são os coeficientes e ℵ∈n representa o grau da função polinomial.

CASOS PARTICULARES:

A) Função Constante: É toda função f definida por uma equação da forma ( ) kxf = , onde

ℜ∈k . O seu gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

y

x 0

( ) xxxf −= 2

1 41

( )

( )

≥ℜ∈=

ℜ=

4

1/Im yyf

fD

y

x

k

0

ky =

( )( ) kf

fD

=

ℜ=

Im



B) Função Linear: É toda função f definida por uma equação do tipo ( ) baxxf += , onde

ℜ∈ba, .

Nesta função a é chamado de Coeficiente Angular e b é chamado de Coeficiente Linear.

O seu gráfico é uma reta.

C) Função Identidade: É a função f definida por ( ) xxf = . O seu gráfico é a bissetriz dos

quadrantes ímpares do sistema de coordenadas cartesianas.

D) Função Quadrática: É toda função f definida pela equação cbxaxy ++= 2 , com *ℜ∈a e

ℜ∈cb, . O Domínio ( )fD de qualquer Função Quadrática é o conjunto dos Reais e o seu gráfico

é uma parábola que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo do

sinal do coeficiente a .

y

x 0

( ) baxxf += ( )( ) ℜ=

ℜ=

f

fD

Im

y y

x x 0

0

0>a0<a

y

x 0

( ) xxf = ( )( ) ℜ=

ℜ=

f

fD

Im



Observação:

O ponto de ordenada máxima da parábola (quando 0>a ) ou o ponto de ordenada mínima

(quando 0<a ) é chamado de Vértice dessa parábola e as suas coordenadas podem ser

determinadas tomando-se: a

bxV

2−= e

ayV

4

∆−= , sendo acb 42 −=∆ o Discriminante da

equação 02 =++ cbxax .

1.6.4 – FUNÇÃO RACIONAL:

É toda função definida da forma ( ) ( )( )xQxP

xf = , com ( ) 0≠xQ , onde ( )xP e ( )xQ são funções

polinomiais.

EXEMPLOS:

01) ( )1

12 ++

+=

xx

xxf

02) ( )32

42

3

++

−=

xx

xxf

03) ( ) 52 += xxf

1.6.5 – FUNÇÕES ALGÉBRICAS:

São funções que podem ser obtidas através de um número finito de operações algébricas

elementares, isto é, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

EXEMPLOS:

01) ( ) 2xxxf +=

02) ( ) 753 2 +−= xxxf

03) ( )xx

xxf

+

−=4 3

1



1.6.6 – FUNÇÕES TRANSCEDENTES:

Chamamos de Transcedente a toda função que não á algébrica, isto é, toda função que não

possa ser definida usando somente as operações algébricas elementares. São transcedentes as

funções:

• Exponenciais;

• Logarítmicas;

• Trigonométricas;

• Hiperbólicas.

EXEMPLOS: 01) ( ) xxf 2=

02) ( ) xxf log=

03) ( ) xxf sen=

04) ( ) 43cos2 −+−= xxxxf

1.6.7 – FUNÇÕES MODULARES:

São funções definidas com o uso do Módulo. De maneira geral, poderemos definir essas

funções na forma ( )xfy = , lembrando que ( ) ( ) ( )( ) ( )

<−

≥=

0,

0,

xfsexf

xfsexfxf .

EXEMPLOS:

01) ( ) xxf =

De acordo com a definição teremos ( )

<−

≥=

0,

0,

xsex

xsexxf

y

x 0

( ) xxf =

( )( ) +ℜ=

ℜ=

f

fD

Im



02) ( ) ( ) ( )

−<−−

−≥+=⇒

<+−−

≥++=⇒+=

3,3

3,3

03,3

03,33

xsex

xsexxf

xsex

xsexxfxxf

03) ( ) 652 +−= xxxf

( ) ( )

<<−+−

≥≤+−=⇒

<+−−+−

≥+−+−=

32,65

32,65

065,65

065,65

2

2

22

22

xsexx

xouxsexxxf

xxsexx

xxsexxxf

1.6.8 – FUNÇÃO PERIÓDICA:

Dizemos que uma função f é periódica se existir um número positivo T tal que:

( ) ( )xfTxf =± para todo ( )fDx∈

Ao menor valor de T que satisfaz esta condição damos o nome de Período da função f .

Os exemplos mais conhecidos de funções periódicas são as funções trigonométricas, que

serão estudadas futuramente.

y

x 3− 0

( ) 3+= xxf

( )( ) +ℜ=

ℜ=

f

fD

Im

y

x 0 2 3

( ) 652 +−= xxxf ( )( ) +ℜ=

ℜ=

f

fD

Im



EXEMPLO: ( ) ( ) ( )xfxfexse

xsexxf =±

<<

≤≤= 2

21,1

10,

y

x 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4




1.6 – TIPOS DE FUNÇÕES:

1.6.7 – FUNÇÃO INJETORA:

Uma função f , definida de A em B pela lei ( )xfy = , é chamada Injetora quando:

( ) ( )212121

,, xfxfxxseAxx ≠⇒≠∈∀

EXEMPLO:

A função ( ) xxf 5= é Injetora, pois 212121

55,, xxxxsexx ≠⇒≠∀ .

1.6.8 – FUNÇÃO SOBREJETORA:

Uma função f , definida de A em B pela lei ( )xfy = , é chamada Sobrejetora se:

( )xfyAxBy =∈∃∈∀ /,

Isto significa dizer que não sobram elementos no conjunto B, ou seja, a Imagem da função é o

próprio conjunto B.

A B

Ax∈ By∈

( )xfy =

A B

Ax∈ By∈

( )xfy =



EXEMPLO:

A função f definida de ℜ=A em +ℜ=B por 2xy = é Sobrejetora, pois todo +ℜ∈y tem

correspondente ℜ∈x .

1.6.9 – FUNÇÃO BIJETORA:

Chamamos de Bijetora às funções que são Injetoras e Sobrejetoras, simultaneamente.

EXEMPLO:

A função f , definida de ℜ em ℜ pela lei 14 += xy , é Bijetora.

1.6.10 – FUNÇÃO INVERSA:

Se uma função f definida de A em B pela equação ( )xfy = é Bijetora, então podemos definir

de B em A a função 1−f que é a Inversa da função f .

EXEMPLO:

A função Inversa de xy 2= é a função 2

xy =

OBSERVAÇÕES:

O1: Se uma função f admite uma função Inversa 1−f , então:

( ) ( )1Im−⊃ ffD

( ) ( )1Im−⊃ fDf

O2: Para se determinar a função Inversa 1−f de uma função ( )xfy = , caso ela exista, deve-se

proceder da seguinte maneira:

• na sentença ( )xfy = trocar y por x e x por y ;

• em seguida, expressar y como função de x .



EXEMPLO: Obter a função Inversa de 35 −= xy .

Trocando as variáveis: 35 −= yx

Isolando a variável y : 5

3

5+=x

y , que é a função Inversa da função dada.

O3: Os gráficos de f e 1−f são simétricos em relação à reta xy = .

De fato, se o ponto ( )ba, pertence ao gráfico de f , então o ponto ( )ab, pertence a 1−f , e

vice-versa.

EXEMPLOS:

01) Seja a função f definida pela lei 2xy = , com 0≥x .

Trocando x por y : xyyx ±=⇒= 2

Porém 0≥y , logo xy = é a função inversa de 2xy = para 0≥x .

.

y

x

xy =

a

a

b

b ( )ba,

( )ab,

0

y

x

xy =

2xy =

xy = ( ) ( )( ) ( ) +

−

+

−

ℜ==

ℜ==

1

1

Im

Im

fDf

ffD



02) Sejam, agora, as funções ( ) 3xxf = e ( ) 31 xxf =− .

1.6.11 – FUNÇÃO COMPOSTA:

Dados os conjuntos não vazios A, B e C, uma função f definida de A em B por ( )tfy = e

uma função g definida de B em C por ( )xgt = , chama-se de Função Composta à função definida

pela lei ( )[ ]xgfy = , definida de A em C.

Observe os diagramas abaixo:

EXEMPLOS:

01) Seja a função f definida por 32 += xy .

Chamando 32 += xt , teremos ty = .

Portanto, ( )tfy = e ( )xgt = , ou seja, ( )[ ]xgfy = é uma função composta.

y

x 0 1

1

1−

1−

xy =

3xy =

3 xy = ( ) ( )( ) ( ) ℜ==

ℜ==

−

−

1

1

Im

Im

fDf

ffD

A

B

C ( )tfy = ( )xgt =

( )[ ]xgfy =



02) Seja a função definida pela lei ( )83sen3 +−= xxy .

Fazendo 833 +−= xxt , teremos ty sen= .

Portanto, ( )tfy = e ( )xgt = , isto é, ( )[ ]xgfy = é uma função composta.

03) Seja a função definida pela lei ( )xtgy 2= .

Fazendo xu = e ut 2= , teremos tgty = .

Portanto, ( )tfy = , ( )ugt = e ( )xhu = , isto é, ( )[ ] xhgfy = é um função composta.




1.7 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS:

1.7.1 – FUNÇÃO EXPONENCIAL:

A Função Exponencial é definida por uma equação que tem a forma xay = , com *

+ℜ∈a e

1≠a , isto é, a base a é um número Real positivo e diferente da unidade.

Curiosamente, o gráfico da Função Exponencial pode ser representado de duas formas, de

acordo com o valor da base.

a) Para 1>a , o gráfico da Função Exponencial tem a forma abaixo:

b) Para 10 << a , o gráfico da Função Exponencial tem a seguinte forma:

OBSERVAÇÃO:

Aplicam-se para as Funções Exponenciais as mesmas propriedades fundamentais da

Potenciação.

y

x

( )1>= aay x

0

1

( )

( ) *Im +ℜ=

ℜ=

f

fD

x

y

0

1 ( )10 <<= aay x

( )

( ) *Im +ℜ=

ℜ=

f

fD



Exemplos:

01) Produto de Potências de mesma base: xxxx 22 22

33.3 +=

02) Quociente de Potências de mesma base: xxx

x

x

222

2 23

2

3

== −

03) Potência de potência: ( ) xx 331010 =

1.7.2 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA:

Define-se uma Função Logarítmica pela equação logx

ay = , onde *

+ℜ∈a e 1≠a é a base e

0>x . A Função Logarítmica é a função Inversa da Exponencial xay = .

Como a Função Exponencial pode ter duas formas geométricas de representação, que

dependem do valor da base a , então a Função Logarítmica terá igualmente duas formas de

gráficos, de acordo com o valor da base. Vejamos um esboço desses gráficos:

a) Para 1>a o gráfico da Função Logarítmica tem a seguinte forma:

b) Para 10 << a o gráfico da Função Logarítmica tem a forma abaixo:

y

x 0 1

( )1log >= ayx

a

( )

( ) ℜ=

ℜ= +

f

fD

Im

*

y

x 0 1

( )10log <<= ayx

a ( )

( ) ℜ=

ℜ= +

f

fD

Im

*



OBSERVAÇÃO:

Uma vez que definimos a Função Logarítmica, é importante que façamos uma revisão das

Propriedades Operatórias de Logaritmos. Essas propriedades, com certeza, serão úteis em

problemas envolvendo este tipo de função.

PROPRIEDADE 1: Adição de Logaritmos: logloglogMN

a

N

a

M

a=+

PROPRIEDADE 2: Subtração de Logaritmos: logloglog N

M

a

N

a

M

a=−

PROPRIEDADE 3: Logaritmo de Potência: 0,loglog >= MparakM

a

M

a

k

PROPRIEDADE 4: Mudança de Base: 10,

log

loglog ≠>= bebpara

a

b

M

bM

a.




1.8 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

Apresentamos abaixo, a título de revisão os gráficos das Funções Trigonométricas, com os

respectivos Domínios, as Imagens e os respectivos Períodos.

A– FUNÇÃO SENO: B– FUNÇÃO COSSENO:

y

x

períodoT =

0 π π2 π− π2−

xy sen=

( )( )

π211/Im

=

≤≤−ℜ∈=

ℜ=

T

yyf

fD

1

1−

2

π

2

3π

2

5π

2

π−

2

3π−

2

5π−

y

x 0

1

1− períodoT =

xy cos=

π2−

2

3π−

π−

2

π−

2

π

π 2

3π

π2



O Domínio, a Imagem e o Período da função cosseno são idênticos ao da função seno. C– FUNÇÃO TANGENTE: D– FUNÇÃO COTANGENTE:

y

x

períodoT =

tgxy =

0

2

π

π

2

3π

2

π−

π−

2

3π−

( ) ( )

( )π

π

=

ℜ=

Ζ∈

+−ℜ=

T

f

kkfD

Im

)(2.12

y

x 0

2

π

π 2

3π

π2

gxy cot=

2

π−

π−

2

3π−

π2−

períodoT =



E – FUNÇÃO SECANTE: F – FUNÇÃO COSSECANTE:

( ) [ ] ( )( )π

π

=

ℜ=

Ζ∈−ℜ=

T

f

kkfD

Im

xy sec=

períodoT =

y

x 0

1

1−

2

π

π

2

3π

2

π− π−

2

3π−

( ) ( ) ( )

( ) ( ] [ )π

π

2

,11,Im

2.12

=

∞−∞−=

Ζ∈

+−ℜ=

T

f

kkfD

U

y

x

períodoT =

0

1−

1

xy seccos=

2

π

π 2

3π

π2

2

π−

π−

2

3π−

π2−

( ) ( )( ) ( ] [ )

π

π

2

,11,Im

=

∞−∞−=

Ζ∈−ℜ=

T

f

kkfD

U



1.9 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:

Como as Funções Trigonométricas são todas periódicas, então nenhuma delas é Bijetora.

Portanto, dentro do Domínio de cada uma, nenhuma delas tem função inversa.

Entretanto, podemos definir as funções inversas das trigonométricas, se restringirmos os seus

Domínios, para que elas se tornem Bijetoras nesses intervalos. Vejamos essas funções.

A– FUNÇÃO INVERSA DO SENO: B– FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO:

y

x 1− 1

2

π−

0

2

π

xy arcsen=

( )

( )

≤≤−ℜ∈=

≤≤−ℜ∈=

22/Im

11/

ππyyf

xxfD

y

x 1− 0 1

xy arccos=

2

π

π

( ) ( ) π≤≤ℜ∈=

≤≤−ℜ∈=

yyf

xxfD

0/Im

11/



C– FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE: D– FUNÇÃO INVERSA DA COTANGENTE: E– FUNÇÃO INVERSA DA SECANTE:

y

x

arctgxy =

0

2

π

2

π−

( )

( )

−=

ℜ=

2,2

Imππ

f

fD

y

x

gxarcy cot=

0

2

π

π

( )( ) ( )π,0Im =

ℜ=

f

fD

y

x

xarcy sec=

1− 0 1

2

π

π

( ) ( ] [ )

( )

=

∞−∞−=

πππ,22

,0Im

,11,

U

U

f

fD



F– FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE:

y

x 0

1−

1

xy secarccos=

2

π−

2

π

( ) ( ] [ )

( )

−=

∞−∞−=

2,00,

2Im

,11,

ππU

U

f

fD




1.10 – TRANSLAÇÃO DE GRÁFICOS:

O estudo da translação de gráficos é importante, pois nos permite obter gráficos de outras

funções semelhantes a funções conhecidas, a partir dos gráficos também conhecidos.

A translação pode ser Vertical, horizontal ou simultânea (vertical e horizontal).

Vamos estudar cada uma separadamente.

1.10.1 – TRANSLAÇÃO VERTICAL:

Para que possamos entender como interpretar a translação vertical do gráfico de uma função,

vamos fazer um exemplo envolvendo funções elementares.

Vamos, então, traçar, no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções

quadráticas definidas por 2xy = , 12 −= xy e 12 += xy .

Percebemos que os gráficos das funções definidas por 12 += xy e 12 −= xy nada mais são

do que o resultado da translação do gráfico de 2xy = de uma unidade para cima e para baixo,

respectivamente.

Observamos também que, com a translação vertical, o Domínio se manteve o mesmo para as

três funções, porém a Imagem dessas funções foi alterada.

12 += xy

2xy =

12 −= xy

y

x

1

0

1−



Podemos, então, generalizar a translação vertical de k unidades ( )Ζ∈k de uma função

definida por ( )xfy = para ( ) kxfy += .

1.10.2 – TRANSLAÇÃO HORIZONTAL:

Tal como fizemos na translação Vertical, vamos também tomar um exemplo para mostrar a

translação horizontal.

Vamos construir, no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções

quadráticas definidas pelas equações 2xy = , ( )21−= xy e ( )21+= xy .

Observamos que os gráficos das funções definidas por ( )21−= xy e ( )21+= xy nada mais são

do que os resultados da translação horizontal do gráfico de 2xy = de uma unidade para a direita e

para a esquerda, respectivamente.

Podemos, então, generalizar a translação horizontal de k unidades ( )Ζ∈k de uma função

definida por ( )xfy = para ( )kxfy += .

( ) ( ) ( )xffunçãodaunidadeskdeverticaltranslaçãokkxf ⇒Ζ∈+

2xy =

( )21+= xy

( )21−= xy

y

x 1− 0 1

( ) ( ) ( )xffunçãodaunidadeskdehorizontaltranslaçãokkxf ⇒Ζ∈+



EXEMPLOS:

01) x

yemunidadesdeverticaltranslaçãox

yxx

xy

x

xy

12

12

1212=⇒+=⇒+=⇒

+= .

02) ( ) xycurvanaunidadedehorizontaltranslaçãoxy log11log =⇒−=

03) ⇒+−

= 32

1

xy Neste exemplo, temos uma translação horizontal de 2 unidades para a direita

e uma translação vertical de 3 unidades para cima no gráfico da função x

y1

= .

x

xy

12 +=

y

x

2

2

1−

0

( )( ) 2Im

*

−ℜ=

ℜ=

f

fD

y

x 0 1 2

( )1log −= xy

( ) ( )( ) ℜ=

∞=

f

fD

Im

,1

y

x

32

1+

−=x

y

3

2 0

( ) ( ) 3Im

2

−ℜ=

−ℜ=

f

fD




1.11 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS:

1.11.1 – INTRODUÇÃO:

O estudo de Funções Hiperbólicas visa a simplificar e resolver uma infinidade de problemas

matemáticos e físicos que envolvem combinações de Funções Exponenciais de base Natural.

Chamamos de exponencial ou logaritmo de base natural àqueles cuja base é o número

irracional e, chamado de Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718.

Assim: ⇒xe exponencial de base natural

⇒xelog logaritmo de base natural

Teremos oportunidade de conhecer e definir este número irracional com todos os detalhes no

próximo capítulo, quando tratarmos de Limites.

Por enquanto, é suficiente aceitarmos a definição dada a este número e realizarmos

operações com ele, com faríamos com qualquer outro número irracional.

Teremos oportunidade de verificar, futuramente, que o Número Neperiano representa para o

Cálculo uma importância igual ou até maior que alguns números irracionais conhecidos (e

essenciais) como são os números π , 2 , 3 , etc.

1.11.2 – ORIGEM DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS:

Consideremos a circunferência de raio unitário e centro na origem dos eixos coordenados,

cuja equação é 122 =+ yx .

y

x

122 =+ yx

0

y

x

α



Da Trigonometria sabemos que, para um determinado ângulo α, temos:

αcos=x ⇒abscissa da circunferência

⇒= αseny ordenada da circunferência

Vemos que estas expressões satisfazem a equação da circunferência 122 =+ yx .

Vamos considerar, agora, a Hipérbole Eqüilátera 122 =− yx , cujo gráfico é mostrado abaixo:

Podemos mostrar que as expressões 2

αα −+=

eex e

2

αα −−=

eey , com ℜ∈α , satisfazem a

equação desta hipérbole eqüilátera.

Substituindo as expressões acima na equação, teremos:

14

4

4

2

4

2

22

222222

==+−

−++

=

−−

+ −−−− αααααααα eeeeeeee

Portanto, podemos afirmar que:

2

αα −+=

eex é abscissa da hipérbole eqüilátera 122 =− yx ;

2

αα −−=

eey é ordenada da hipérbole eqüilátera 122 =− yx .

Por analogia com a Trigonometria, estas expressões recebem nomes apropriados, que são:

2

αα −+=

eex ⇒ Cosseno Hiperbólico de α ⇒ αcosh=x

y

x 0 x

y

xy =

xy −=

122 =− yx



2

αα −−=

eey ⇒ Seno Hiperbólico de α ⇒ αsenh=y

αα

αα

−

−

+−

=ee

ee

x

y ⇒ Tangente Hiperbólica de α ⇒ αtgh

x

y=

αα

αα

−

−

−

+=

ee

ee

y

x ⇒ Cotangente Hiperbólica de α ⇒ αgh

y

xcot=

αα −+=

eex

21 ⇒ Secante Hiperbólica de α ⇒ αh

xsec

1=

αα −−=

eey

21 ⇒ Cossecante Hiperbólica de α ⇒ αh

yseccos

1=

O número Real α é chamado de argumento hiperbólico.

1.11.3 – FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO: Definição:

Gráfico:

Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) xx senhsenh −=−

2senh

xx eexy

−−==

y

x 0

xy senh=

( )( ) ℜ=

ℜ=

f

fD

Im



1.11.4 – FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO:

Definição:

Gráfico:

Paridade: Função Par ⇒ ( ) xx coshcosh =−

1.11.5 – FUNÇÃO TANGENTE HIPERBÓLICA:

Definição:

Gráfico:

2cosh

xx eexy

−+==

y

x 0

1

xy cosh= ( )( ) [ )∞=

ℜ=

,1Im f

fD

xx

xx

ee

eetghxy

−

−

+

−==

y

x

1

0

1−

tghxy =

( )( ) ( )1,1Im −=

ℜ=

f

fD



Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) tghxxtgh −=−

1.11.6 – FUNÇÃO COTANGENTE HIPERBÓLICA:

Definição:

Gráfico:

Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) ghxxgh cotcot −=−

1.11.7 – FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA:

Definição:

Gráfico:

xx

xx

ee

eeghxy

−

−

−

+== cot

y

x

1

0

1−

ghxy cot=

( )( ) ( ) ( )∞−∞−=

ℜ=

,11,Im

*

Uf

fD

xx eehxy

−+==

2sec

y

x 0

1

hxy sec= ( )( ) ( ]1,0Im =

ℜ=

f

fD



Paridade: Função Par ⇒ ( ) hxxh secsec =−

1.11.8 – FUNÇÃO COSSECANTE HIPERBÓLICA:

Definição:

Gráfico:

Paridade: Função Ímpar ⇒ ( ) hxxh seccosseccos −=−

xx eehxy

−−==

2seccos

y

x 0

hxy seccos=

( )( ) *

*

Im ℜ=

ℜ=

f

fD




1.12 – RELAÇOES ENTRE AS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS:

Demonstramos a seguir três tipos de relações entre as Funções Hiperbólicas. Teremos a

oportunidade de ver que essas relações são muito parecidas com as relações que já conhecemos

entre as funções trigonométricas.

1.12.1 – RELAÇÃO FUNDAMENTAL: Demonstração:

Vimos que 2

coshxx ee

x−+

= e 2

senhxx ee

x−−

= .

Portanto:

22

22

22senhcosh

−−

+=−

−− xxxx eeeexx

4

22senhcosh

222222

xxxx eeeexx

−− −+−++=−

14

4senhcosh 22 ==− xx

1.12.2 – RELAÇÕES DERIVADAS:

Demonstração:

Dividindo a Relação Fundamental 1senhcosh 22 =− xx por x2cosh , obtemos:

1senhcosh 22 =− xx

1sec 22 =+ xtghxh 1seccoscot 22 =− xhxgh



1secsec1cosh

1

cosh

senh

cosh

cosh 2222

22

2

2

2

=+⇒=−⇒=− xtghxhxhxtghxx

x

x

x

Dividindo a Relação Fundamental 1senhcosh 22 =− xx por x2senh , obtemos:

1seccoscotseccos1cotsenh

1

senh

senh

senh

cosh 2222

22

2

2

2

=−⇒=−⇒=− xhxghxhxghxx

x

x

x

1.12.3 – RELAÇÕES COM A EXPONENCIAL:

Demonstração:

Usando as definições das Funções Hiperbólicas, temos:

xxxxxxxxxx

eeeeeeeeee

xx ==−++

=−

++

=+−−−−

2

2

222senhcosh

xxxxxxxxxx

eeeeeeeeee

xx −−−−−−

==+−+

=−

−+

=−2

2

222senhcosh

APLICAÇÕES:

01) Sendo 0<x e hxx sec3cosh = , achar todas as Funções Hiperbólicas de x .

SOLUÇÃO:

3cosh3coshcosh

3cosh 2 ±=⇒=⇒= xx

xx

Porém, ℜ∈∀> xx ,1cosh . Portanto:

Da Relação Fundamental: 1senhcosh 22 =− xx

Portanto: ( ) 2senh2senh13senh1senh3 2222

±=⇒=⇒−=⇒=− xxxx

Como 0senh0 <⇒< xx . Logo:

xexx =+ senhcosh xexx −=− senhcosh

3cosh =x

2senh −=x



Para obter as demais funções hiperbólicas basta usar as suas definições, ou seja:

3

2

cosh

senh −==

x

xtghx . Racionalizando:

2

3

senh

coshcot

−==

x

xghx . Racionalizando:

3

1

cosh

1sec ==

xhx . Racionalizando:

2

1

senh

1seccos

−==

xhx . Racionalizando:

02) Provar que ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+

SOLUÇÃO:

Usando a definição do seno hiperbólico:

( )2

..

2senh

babababa eeeeeeba

−−−−+ −=

−=+

Aplicando as relações com a exponencial:

( ) ( )( ) ( )( )2

senhcosh.senhcoshsenhcosh.senhcoshsenh

bbaabbaaba

−−−++=+

Mas: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +++=++

e: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +−−=−−

Portanto: ( )2

cosh.senh2senh.cosh2senh

bababa

+=+ ⇒ ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+

3

6−=tghx

2

6cot −=ghx

3

3sec =hx

2

2seccos −=hx



03) Provar que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+

SOLUÇÃO:

Usando a definição do cosseno hiperbólico:

( )2

..

2cosh

babababa eeeeeeba

−−−−+ +=

+=+

Aplicando as relações com a exponencial:

( ) ( )( ) ( )( )2

senhcosh.senhcoshsenhcosh.senhcoshcosh

bbaabbaaba

−−+++=+

Mas: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +++=++

e: ( )( ) bababababbaa senh.senhcosh.senhsenh.coshcosh.coshsenhcosh.senhcosh +−−=−−

Portanto: ( )2

senh.senh2cosh.cosh2cosh

bababa

+=+ ⇒ ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+

04) Provar que xxx cosh.senh22senh =

SOLUÇÃO:

Do exercício 02, vimos que ( ) abbaba cosh.senhcosh.senhsenh +=+ .

Fazendo xba == , teremos:

( ) xxxxxx cosh.senhcosh.senhsenh +=+

xxx cosh.senh22senh =

05) Provar que xxx 22 senhcosh2cosh +=

SOLUÇÃO:

Do exercício 03, vimos que ( ) bababa senh.senhcosh.coshcosh +=+ .

Fazendo xba == , teremos:



( ) xxxxxx senh.senhcosh.coshcosh +=+

xxx 22 senhcosh2cosh +=

06) Sendo 3senhcosh =+ xx , achar x , xsenh e xcosh .

SOLUÇÃO:

Das relações com a exponencial: xexx =+ senhcosh

Portanto: log3

3e

x xe =⇒=

Observação:

O logaritmo cuja base é o Número Neperiano e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo

Neperiano, e é indicado por eln .

Então:

2

313

322senh

13ln3ln3ln3ln −=

−=

−=

−=

−−− eeeeeex

xx

⇒

2

313

322cosh

13ln3ln3ln3ln +=

+=

+=

+=

−−− eeeeeex

xx

⇒

3ln=x

3

4senh =x

3

5cosh =x




1.13 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS:

Estudaremos nesta aula as Funções Hiperbólicas Inversas. Como as Funções Hiperbólicas

são definidas por combinações de exponenciais, veremos que cada Função Hiperbólica Inversa

terá a sua definição dada por uma expressão logarítmica.

1.13.1 – FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO:

A – Notação: xy senharg= ou xy 1senh −= , onde arg = argumento.

B – Definição:

Se xy senharg= , então yx senh=

Assim, por definição: 2

yy eex

−−= .

Resolvendo esta equação exponencial na variável y :

xe

exeey

yyy 21

2 =−⇒=− −

Multiplicando por ye , obtemos:

0122 =−− yy xee , que é uma equação de 2o grau cuja variável é ye .

Aplicando a Fórmula de Bhaskara, resulta:

12

122

2

442 222

+±=⇒+±

=⇒+±

= xxexx

exx

e yyy

Como 0>ye e ℜ∈∀>+ xxx ,12 , então 12 ++= xxe y

Isolando a variável y , obtém-se:

( )1ln 2 ++= xxy



C – Gráfico:

1.13.2 – FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO:

A – Notação: xy cosharg= ou xy 1cosh −=

B – Definição:

Se xy cosharg= , então yx cosh=

Assim, por definição: 2

yy eex

−+= .

Resolvendo esta equação exponencial na variável y :

xe

exeey

yyy 21

2 =+⇒=+ −


0122 =+− yy xee , que é uma equação de 2o grau cuja variável é ye .


12

122

2

442 222

−±=⇒−±

=⇒−±

= xxexx

exx

e yyy

Uma vez que 0>ye e ℜ∈∀<− xxx ,12 , então devemos ter 1≥x .

Nestas condições, a exponencial ye tanto pode ser definida para 12 −+= xxe y quanto para

12 −−= xxe y .

Porém, como a função cosseno hiperbólico não é bijetora (lembre-se de que ela é par), então

convenciona-se tomar apenas o ramo positivo da função.

y

x 0

xy senharg=

( )( ) ℜ=

ℜ=

f

fD

Im



Isto equivale a tomarmos:

⇒−+= 12xxe y

C – Gráfico:

1.13.3 – FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE HIPERBÓLICA:

A – Notação: tghxy arg= ou xtghy 1−=

B – Definição:

Se tghxy arg= , então tghyx =

Assim, por definição: yy

yy

ee

eex

−

−

+

−= .

y

y

y

yyyyy

ee

e

xxeeexexe

1−=+⇒−=+ −−


( )x

xe

x

xexxeexxe yyyyy

−+

=⇒−+

=⇒+=−⇒−=+1

1

1

1111 2222 .

Como 0>ye , devemos ter 1101

1<<−⇒>

−+

xx

x,

( )1ln 2 −+= xxy

y

x 0 1

xy cosharg= ( ) [ )( ) +ℜ=

∞=

f

fD

Im

,1



Portanto:

C – Gráfico:

1.13.4 – FUNÇÃO INVERSA DA COTANGENTE HIPERBÓLICA:

A – Notação: ghxy cotarg= ou xghy 1cot −=

B – Definição:

Se ghxy cotarg= , então ghyx cot=

Assim, por definição: yy

yy

ee

eex

−

−

−

+= .

y

y

y

yyyyy

ee

e

xxeeexexe

1+=−⇒+=− −−


( )1

1

1

1111 2222

−+

=⇒−+

=⇒+=−⇒+=−x

xe

x

xexxeexxe yyyyy .

Como 0>ye , devemos ter 1101

1>−<⇒>

−+

xouxx

x.

x

xy

−+

=1

1ln

y

x 1− 0 1

tghxy arg=

( ) ( )( ) ℜ=

−=

f

fD

Im

1,1



Portanto:

C – Gráfico:

1.13.5 – FUNÇÃO INVERSA DA SECANTE HIPERBÓLICA:

A – Notação: hxy secarg= ou xhy 1sec −=

B – Definição:

Se hxy secarg= , então hyx sec=

Assim, por definição: yy ee

x−+

=2

.

22 =+⇒=+ −y

yyy

e

xxexexe


022 22 =+−⇒=+ xeexexxe yyyy .

1

1ln

−+

=x

xy

y

x 1− 0 1

ghxy cotarg=

( ) ( ) ( )( ) *Im

,11,

ℜ=

∞⊂−∞−=

f

fD




x

xe

x

xe

x

xe yyy

222 11

2

122

2

442 −±=⇒

−±=⇒

−±=

Como a função hxy sec= não é bijetora, toma-se o ramo positivo da função, isto é:

⇒≤<−+

= 1011 2

xex

xe y

C – Gráfico:

1.13.6 – FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE HIPERBÓLICA:

A – Notação: hxy seccosarg= ou xhy 1seccos −=

B – Definição:

Se hxy seccosarg= , então hyx seccos=

Assim, por definição: yy ee

x−−

=2

.

22 =−⇒=− −y

yyy

e

xxexexe

−+=

x

xy

211ln

y

x 0 1

hxy secarg=

( ) ( ]( ) +ℜ=

=

f

fD

Im

1,0




022 22 =−−⇒=− xeexexxe yyyy .


x

xe

x

xe

x

xe yyy

222 11

2

122

2

442 +±=⇒

+±=⇒

+±=

Como 0>ye e *2 ,11 ℜ∈∀>+ xx , então:

• para x

xex y

2110

++=⇒>

• para x

xex y

2110

+−=⇒<

Podemos, ainda, escrever:

⇒+

+=x

x

xe y

211

C – Gráfico:

++=

x

x

xy

211ln

y

x 0

hxy seccosarg=

( )( ) *

*

Im ℜ=

ℜ=

f

fD




1.14 – RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES HIPERBÓLICAS E TRIGONOMÉTRICAS:

Nesta aula conheceremos as relações entre as Funções Hiperbólicas e as Funções

Trigonométricas. Veremos que essas relações só poderão ser definidas com a aplicação da

unidade imaginária.

Para chegarmos até as relações, devemos primeiramente conhecer as chamadas Fórmulas de

Euler.

Essas Fórmulas serão obtidas utilizando-se Séries de Potências, que será objeto de estudos

futuros.

O estudo de Série de Potências mostra que as funções xe , xsen e xcos podem ser definidas

como polinômios generalizados da seguinte maneira:

( )...

!1...

!3!2!1!0

13210

+−

+++++=−

n

xxxxxe

nx , onde ...,3,2,1=n

( )...

!1...

!3!21

132

+−

+++++=−

n

xxxxe

nx (A)

( )( )

( )...

!121...

!6!4!2!0cos

121

6420

+−

−++−+−=−

−

n

xxxxxx

nn , onde ...,3,2,1=n

( )( )

( )...

!121...

!6!4!21cos

121

642

+−

−++−+−=−

−

n

xxxxx

nn (B)

( )( )

...!12

1...!7!5!3!1

sen

121

7531

+−

−++−+−=−

−

n

xxxxxx

nn , onde ...,3,2,1=n (C)

Fazendo em (A) ix α= , onde ℜ∈α e 1−=i (unidade imaginária), temos:

...!7!6!5!4!3!2

1

765432

+−−++−−+=αααααα

αα iiiie i

Reagrupando os termos, teremos:

+−+−++−+−= ...!7!5!3

...!6!4!2

1

753642 αααα

αααα ie i (D)



Substituindo (B) e (C) em (D), resulta:

(E)

Trocando α por α− em (E), obtemos:

( ) ( )ααα −+−=−sencos ie i

mas: ( ) αα coscos =− e ( ) αα sensen −=−

Logo:

(F)

As expressões (E) e (F) acima são chamadas de Fórmulas de Euler.

Fazendo (E) + (F), tem-se:

ααααα ααααcos2sencossencos =+⇒−++=+ −− iiii eeiiee

Então: 2

cos

ii ee αα

α−+

=

Comparando com a definição do cosseno hiperbólico, podemos escrever que:

Fazendo (E) - (F), tem-se:

ααααα ααααsen2sencossencos ieeiiee iiii =−⇒+−+=− −−

Então: 2

sen

ii eei

αα

α−−

=

Comparando com a definição do seno hiperbólico, podemos escrever que:

αααsencos ie i +=

αααsencos ie i −=−

( ) αα coscosh =i

( ) αα sensenh ii =



Da mesma forma, podemos definir as relações entre as demais funções por:

As expressões obtidas acima mostram as relações entre Funções Hiperbólicas de argumento

imaginário puro com Funções Trigonométricas de argumento real.

Vamos obter agora as relações contrárias, isto é, as relações entre Funções Trigonométricas

de argumento imaginário puro e Funções Hiperbólicas de argumento real.

Vimos que:

αα sensenh ii = (1)

αα coscosh =i (2)

Fazendo xi=α em (1), teremos:

( ) ( )xi

ixixixixiiix −=⇒=−⇒= senh1

sensensenhsen.senh

mas: ( ) xx senhsenh −=− (função ímpar) e ii

−=1

Portanto:

Fazendo xi=α em (2), teremos:

( ) ixxixiix coscoshcos.cosh =−⇒=

mas: ( ) xx coshcosh =− (função par).

Portanto:

Da mesma forma que se fez no caso anterior, obtemos as demais relações, que são:

( ) αα tgiitgh =

( ) αα giigh cotcot −=

( ) αα secsec =ih

( ) αα seccosseccos iih −=

xiix senhsen =

xix coshcos =

itghxixtg = ghxiixg cotcot −= hxix secsec = hxiix seccosseccos −=




CAP. 2 – LIMITES

2.1 – CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE :

Nesta aula, iniciaremos o estudo de Limites.

Para começarmos a entender o conceito de Limite de uma função num ponto, vamos agir de

forma intuitiva.

Para isto, vamos considerar, por exemplo, a função definida por ( )2

42

−−

=x

xxf , cujo Domínio é

( ) 2/ ≠ℜ∈= xxfD , isto é, a função é definida para todo valor Real de x , com exceção de 2=x .

Vamos estudar o comportamento da função ( )xf nas proximidades (ou vizinhanças) do ponto

2=x , isto é, vejamos o que acontece com a função quando atribuímos à variável x valores cada

vez mais próximos de 2.

Neste caso, dizemos que vamos fazer x tender a 2.

Temos duas possibilidades:

1a: x tende a 2 por valores inferiores a 2:

Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos:

x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 …

( )xf 3 3,5 3,75 3,9 3,99 3,999 …

2a: x tende a 2 por valores superiores a 2:

Construindo uma tabela, dando valores para x e efetuando os cálculos, temos:

x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 …

( )xf 5 4,5 4,25 4,1 4,01 4,001 …



Analisando os resultados obtidos nas duas tabelas, podemos verificar que:

a) ( ) 01,499,301,299,1 <<⇒<< xfx

( ) 01,0401,0401,0201,02 +<<−⇒+<<− xfx

( ) 01,0401,001,0201,0 <−<−⇒<−<− xfx ou

b) ( ) 001,4999,3001,2999,1 <<⇒<< xfx

( ) 001,04001,04001,02001,02 +<<−⇒+<<− xfx

( ) 001,04001,0001,02001,0 <−<−⇒<−<− xfx ou

Notamos que, quando x tende a 2, ( )xf tende a 4, isto é, quanto mais próximo do valor 2

tomarmos o valor de x , mais próximo de 4 vamos obter o valor de ( )xf .

Observamos também que podemos ter ( )xf tão próximo de 4 quanto quisermos. Para isto,

basta tomar x cada vez mais próximo de 2.

Generalizando, se quisermos que ( )xf esteja próximo do valor 4 de uma distância menor que

0>ε , basta tomar valores de x próximos a 2 de uma distância 0>δ .

Por exemplo,se queremos que ( )xf esteja próximo de 4 de uma distância 001,0<ε , devemos

tomar x próximo a 2 de uma distância 001,0<δ .

ATENÇÃO: Observe que ( )xf não é definida para 2=x . Porém, podemos tomar valores para

x tão próximos de 2 quanto quisermos, obtendo valores para ( )xf tão próximos de 4 quanto

também o quisermos. Mas jamais estamos fazendo 2=x (e nem podemos fazê-lo).

Vamos verificar o que está acontecendo graficamente com esta função nas proximidades (ou

vizinhanças) do ponto 2=x .

( ) 01,0401,02 <−⇒<− xfx

( ) 001,04001,02 <−⇒<− xfx



2.2 – DEFINIÇÃO DE LIMITE NO PONTO:

Dizemos que o limite de uma função ( )xf quando x tende a a ( ℜ∈a ) é igual a L, e

escrevemos ( ) Lxfax

=→lim se, para um número infinitesimal 0>ε , existir em correspondência um

número infinitesimal 0>δ , sendo ( )εδδ = , tais que:

Observe que “construímos” esta definição no item anterior, quando conceituamos a definição

de Limites de uma forma intuitiva.

Exemplo:

Usando a definição, mostre que ( ) 1747lim3

=−−

xx

.

SOLUÇÃO:

Devemos mostrar que, para qualquer número infinitesimal 0>ε existe um número infinitesimal

0>δ , sendo δ função de ε , tais que ( ) ε<−17xf sempre que δ<− 3x .

y

x 0

ε+4

4

ε−4

δ−2 2 δ+2

( ) 2,22

42

≠+=−−

= xsexx

xxf

( ) ( ) 4Im

2

−ℜ=

−ℜ=

f

fD

( ) δε <−≠<− axeaxquesempreLxf



Assim: ε<−− 1747x ε<− 217x

( ) ε<− 3.7 x ε<− 3.7 x

ε<− 3.7 x 7

3ε

<−x

Portanto, existe 7

εδ = que satisfaz a definição de limite no ponto.

Então podemos dizer que ( ) 1747lim3

=−→

xx

.

2.3 – PROPRIEDADES DE LIMITES :

Uma vez que conceituamos e definimos o Limite de uma função num ponto, vamos enunciar

as suas propriedades.

É importante observar que essas propriedades se aplicam para limites gerais, isto é, limites

que não tenham indeterminação.

O estudo de limites indeterminados será feito mais adiante.

Sejam, então, as funções ( )xf e ( )xg , e os números reais k, a, L e M.

Vamos, ainda, admitir que ( ) Lxfax

=→lim e lim

ax→

( ) Mxg = .

P1: Teorema da Unicidade e Existência:

O Limite de uma função, quando existe, é único.

Podemos ilustrar esta propriedade graficamente.

y

x 0 a

L

( )xfy =

y

x 0 a

1L

2L

( )xfy =

( ) Lxfax

=→lim

( ) existenãoxfax

lim→



Observa-se que o Limite no ponto 2=x da função mostrada no gráfico da direita não existe,

pois o comportamento da função é diferente para valores menores e maiores que 2.

Estes Limites serão tratados nas próximas aulas.

P2:

Exemplos:

01) ( ) 3562722 limlimlim3

3

3

3

3

=+=+=+→→→

xxxxxxx

02) ( ) 60401008484 limlimlim5

2

5

2

5

=−=−=−→→→

xxxxxxx

P3:

Exemplo:

322.16.. limlimlim4

2

4

2

4

===→→→

xxxxxxx

P4:

Exemplos:

01) 55lim1

=→x

02) 100100lim50

=−→x

( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxfaxaxax

±=±=±→→→limlimlim

( ) ( )[ ] ( ) ( ) MLxgxfxgxfaxaxax

... limlimlim ==→→→

kkax

=→lim



P5:

Exemplo:

( ) 7

4

332

2

2

2

2

2

2 lim

limlim =

+=

+→

→

→ x

x

x

x

x

x

x

P6:

Exemplo:

( ) ( ) 1255113

3

2

2

32

2limlim ==

+=+

→→

xxxx

P7:

Exemplo:

883

2

3

2limlim =−==

−→−→

xxxx

P8: Teorema do Confronto:

Sejam f , g e h funções tais que os seus Domínios sejam subconjuntos de ℜe seja ax =

um ponto pertencente a esses subconjuntos.

Se ( ) Lxfax

=→lim , ( ) Lxg

ax

=→lim e se ( ) ( ) ( )xgxhxf ≤≤ nas vizinhanças do ponto ax = , então

podemos afirmar que ( ) Lxhax

=→lim .

( )( )

( )

( )0,

lim

limlim ≠==

→

→

→

MparaM

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

( )[ ] ( ) n

n

ax

n

ax

Lxfxf =

=

→→limlim

( ) ( ) Lxfxfaxax

==→→limlim



A demonstração deste Teorema pode ser feita usando-se a definição de Limites. Entretanto,

podemos visualizá-lo graficamente.

y

x 0 a

L

f

h

g




2.4 – CONTINUIDADE NUM PONTO :

O conceito de Continuidade, aplicado a funções reais a variáveis reais, é de extrema

importância para o Cálculo.

Devemos estar atentos para os pontos de descontinuidade de uma função, principalmente

quanto ao comportamento da função nas vizinhanças desses pontos.

Por exemplo, serão nesses pontos de descontinuidade que o gráfico da função pode possuir

Assíntotas, que serão estudadas mais adiante.

Definimos a Continuidade de uma função da seguinte maneira:

⇒ Dizemos que uma função f definida pela equação ( )xfy = é contínua num ponto ax = do

seu Domínio se forem verificadas, simultaneamente, as três condições abaixo:

Se pelo menos uma das condições acima não for satisfeita, dizemos que a função é

descontínua no ponto ax = .

EXEMPLOS:

01) Estudar a continuidade da função ( ) 22 −= xxf no ponto 2=x .

SOLUÇÃO:

⇒ ( ) ( ) 222222 =⇒−= ff (existe)

⇒ ( ) ( ) 222222

2

2

2

2

22limlimlimlim =−=−=−=

→→→→ xxxx

xxxf (existe)

(1) existe ( )af , isto é, a função possui valor numérico em ax = ;

(2) existe e é finito o ( )xfax

lim→

;

(3) ( ) ( )afxfax

=→lim



⇒ como ( ) ( )222

2lim fxx

=−→

, então a função é contínua no ponto 2=x .

Podemos confirmar esta continuidade, pelo esboço do gráfico da função.

02) Verificar se a função definida por ( )

=

≠−

+−=

2,3

2,2

442

xse

xsex

xx

xf é contínua no ponto 2=x .

SOLUÇÃO:

Para 2≠x , podemos fazer ( )

21

2

2

4422

−=−−

=−

+−x

x

x

x

xx

⇒ ( ) 32 =f (existe)

⇒ ( ) ( ) 0222limlim22

=−=−=→→

xxfxx

(existe)

⇒ Como ( ) ( )2lim2

fxfx

≠→

, entendemos que a função é descontínua no ponto 2=x .

Graficamente:

y

x

2−

0 2

2 ( ) 2

2 −= xxf

( )( ) [ )∞−=

ℜ=

,2Im f

fD

y

x 0 2

2−

3

( )xf ( )( ) *

Im ℜ=

ℜ=

f

fD



03) Verificar a descontinuidade da função ( )

>

≤−=

3,2

3,2

xse

xsexxf no ponto 3=x .

SOLUÇÃO:

⇒ ( ) 1233 =−=f (existe)

⇒ Para ( ) ( ) 12323 limlim33

=−=−=⇒<→→

xxfxxx

⇒ Para ( ) 223 limlim33

==⇒>→→ xx

xfx

Podemos perceber que o comportamento da função para valores de x próximos de 3, mas

menores que 3, é diferente do seu comportamento para valores próximos de 3, mas maiores que

3, isto é, o Limite da função à esquerda de 3 é diferente do Limite à direita.

Então, de acordo com o Teorema da Unicidade, podemos afirmar que a função dada não

possui limite no ponto 3=x .

Portanto, a função é descontínua nesse ponto.

Graficamente:

Os conceitos aqui estudados sobre continuidade e descontinuidade serão muito explorados

nas próximas aulas.

y

x 0

2−

2 3

1

2

( )xf



2.5 – LIMITES LATERAIS:

Para que possamos conceituar Limites Laterais, vamos considerar o seguinte exemplo:

Estudar a continuidade da função ( )

≥+−

<+=

2,62

2,2

xsex

xsexxf no ponto 2=x .

SOLUÇÃO:

Aplicando as condições de Continuidade num ponto, temos:

a) ( ) ( ) 226222 =⇒+−= fxf (existe);

b) ( ) ????lim2

=→

xfx

⇒ Para ( ) ( ) ( ) 422 limlim22

=+=⇒+=→→

xxfxxfxx

⇒ Para ( ) ( ) ( ) 26262 limlim22

=+−=⇒+−=→→

xxfxxfxx

De acordo com o Teorema da Unicidade, o limite de uma função num ponto, quando existe,

deve ser único.

Então, no nosso exemplo, entendemos que não existe o ( )xfxlim

2→

.

Portanto, a função é descontínua em 2=x .

Graficamente:

A descontinuidade apresentada neste exemplo nos permite enxergar o conceito de Limites

Laterais.

y

x

4

2

2−

0 2

3

( ) 2+= xxf

( ) 62 +−= xxf

( )( ) ( )4,Im ∞−=

ℜ=

f

fD



Pode-se observar que, quando x tende a 2 por valores inferiores a 2, ( )xf tende a 4.

Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Esquerda de 2=x é igual a 4, e representamos

por: ( ) 4lim2

=−→

xfx

.

Da mesma forma, quando x tende a 2 por valores superiores a 2, ( )xf tende a 2.

Neste caso, dizemos que o Limite Lateral à Direita de 2=x é igual a 2, e representamos

por : ( ) 2lim2

=+→

xfx

.

Concluímos ainda que, para que uma função ( )xf tenha limite num ponto ax = , é necessário

que ela tenha Limites Laterais neste ponto e que eles sejam iguais.

Se ( ) ( )xfxfaxaxlimlim

+− →→

≠ , então não existe ( )xfxlim

→

.

OBSERVAÇÃO:

Para se estudar os Limites Laterais de uma função ( )xf num ponto ax = , podemos

considerar dois pontos, um à esquerda e outro à direita de ax = , situados a uma distância 0>h

deste ponto.

Pode-se estudar os Limites Laterais da função no ponto ax = , fazendo-se:

EXEMPLOS:

01) Calcular os Limites Laterais da função ( )3

92

−−

=x

xxf no ponto 3=x e verificar se o limite

da função existe neste ponto.

SOLUÇÃO:

a) Limite Lateral à Esquerda:

ha − a ha + x

( ) ( )

( ) ( )hafxf

hafxf

hax

hax

+=

−=

→→

→→

+

−

limlim

limlim

0

0



( ) ( ) ( ) 666969

33

93

3

9limlimlimlimlim

00

2

0

2

0

2

3

=−=−−−

=−

−+−=

−−−−

=−−

→→→→→ −

hh

hh

h

hh

h

h

x

x

hhhhx

b) Limite Lateral à Direita:

( ) ( ) ( ) 666969

33

93

3

9limlimlimlimlim

00

2

0

2

0

2

3

=+=+

=−++

=−+−+

=−−

→→→→→ +

hh

hh

h

hh

h

h

x

x

hhhhx

Como os Limites Laterais existem e são iguais, podemos afirmar que 63

92

3lim =

−−

→ x

x

x

.

Graficamente:

02) Repetir o exercício anterior para a função ( )x

xxf

−−

=2

2 no ponto 2=x .

SOLUÇÃO:

a) Limite Lateral à Esquerda:

( )( )

122

22

22

22

2

2limlimlimlimlim

00002

===+−+−

=−−−−

=−−

→→→→→ − h

h

h

h

h

h

h

h

x

x

hhhhx

b) Limite Lateral à Direita:

( )( )

122

22

22

22

2

2limlimlimlimlim

00002

−=−

=−−

=−−−−

=+−+−

=−−

→→→→→ + h

h

h

h

h

h

h

h

x

x

hhhhx

Como x

x

x

x

xx −−

≠−−

+− →→ 2

2

2

2limlim

22

, então não existe o x

x

x −−

→ 2

2lim

2

.

y

x

6

3

3−

0 3

( )3

92

−−

=x

xxf

( ) ( ) 6Im

3

−ℜ=

−ℜ=

f

fD



Graficamente:

x

y

1

1−

0

( )x

xxf

−−

=2

2




2.6 – LIMITES ENVOLVENDO INFINITO:

Vamos procurar entender o conceito de Limites Envolvendo Infinito de uma forma intuitiva,

como fizemos com o Limite de uma função num ponto.

Por exemplo, vamos estudar o comportamento da função ( )2

1

xxf = nas proximidades (ou

vizinhanças) do ponto 0=x , isto é, vamos atribuir valores para x cada vez mais próximos de zero

e verificar o que acontece com a função.

Temos duas possibilidades:

1a - x tende a zero pela direita:

x 1 0,5 0,25 0,1 0,01 0,01 •••

f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 •••

2a - x tende a zero pela esquerda:

x -1 - 0,5 - 0,25 - 0,1 - 0,01 - 0,001 •••

f(x) 1 4 16 100 10.000 1.000.000 •••

Os resultados obtidos nas tabelas acima indicam que, à medida em que a variável x tende a

zero, a função assume valores cada vez maiores.

Como podemos tomar a variável x tão próxima de zero quanto quisermos, a função tende a

crescer indefinidamente.

Neste caso, expressamos este comportamento da função dizendo que o limite de ( )2

1

xxf = ,

quando x tende a zero, é infinito , e escrevemos:

( ) ∞==

→→2

00

1

limlimx

xfxx



Graficamente:

Vamos tomar agora a função definida por ( )2

2

−=x

xf , cujo gráfico é apresentado na figura

abaixo:

Observando atentamente o gráfico acima, podemos verificar que:

• quando x tende a 2 pela direita, ( )xf aumenta indefinidamente;

• quando x tende a 2 pela esquerda, ( )xf diminui indefinidamente.

Expressamos estes fatos escrevendo:

∞=−+→ 2

2

lim2 xx

e −∞=−−→ 2

2

lim2 xx

x

y

0

( )2

1

xxf =

x

y

0

1−

2

( )2

2

−=x

xf



Em geral, podemos dizer que existem quatro possibilidades para limites laterais num ponto

( )ℜ∈= aax que envolvem o infinito.

Para nossa melhor compreensão, vamos visualiza-las graficamente:

1a)

2a)

3a)

x

y

0 a

( )xf

( ) ∞=+→

xfaxlim

y

x 0 a

( )xf

( ) ∞=−

→

xfaxlim

y

x 0 a

( )xf

( ) −∞=+

→

xfaxlim



4a)

2.7 – LIMITES NO INFINITO:

Tal como foi feito no item anterior, vamos conceituar Limites no Infinito a partir de um exemplo,

isto é, vamos atingir este conceito de uma forma intuitiva.

Para isto, vamos tomar a função definida por ( )x

xf1

= e estudar o seu comportamento quando

a variável x cresce ou decresce indefinidamente.

1o Caso: x cresce indefinidamente:

x 1 5 10 100 1.000 10.000 •••

f(x) 1 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 •••

2o Caso: x decresce indefinidamente:

x - 1 - 5 - 10 - 100 - 1.000 - 10.000 •••

f(x) - 1 - 0,2 - 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 •••

Em ambos os casos, observamos que ( )xf tende a zero.

Então escrevemos:

e

y

x 0 a

( )xf

( ) −∞=−

→

xfaxlim

( ) 01

limlim ==∞→∞→ x

xfxx

( ) 01

limlim ==−∞→−∞→ x

xfxx



Graficamente:

Vamos tomar, agora, como exemplo, a função definida por ( ) xxf

1

2= cujo Domínio é

( ) ∗ℜ=fD e estudar o seu comportamento nas vizinhanças do ponto 0=x (usando Limites

Laterais) e no infinito.

a) Limite Lateral à Direita de zero:

Se ∞→→∞→⇒→ ∞+22

10

1

xex

x , portanto ∞=+

→

x

x

1

0

2lim

b) Limite Lateral à Esquerda de zero:

Se 01

2

122

10

1

→∞

→→→−∞→⇒→∞

∞−− xex

x , portanto 02

1

0

lim =−

→

x

x

c) Limite no Infinito:

Se 12201 0

1

→→→⇒∞→ xex

x

Se 12201 0

1

→→→⇒−∞→ xex

x

y

x 0

( )x

xf1

=



Portanto: 12

1

lim =∞→

x

x

e 12

1

lim =−∞→

x

x

Graficamente:

y

1

0

x

( ) xxf

1

2=




2.8 – ASSÍNTOTAS:

2.8.1 – Definição:

Dizemos que uma reta r é Assíntota da curva de uma função ( )xf se a distância de um ponto

variável ( )yxP , da curva até essa reta tende a zero, à medida em que o ponto tende ao infinito.

A Assíntota pode ser uma reta vertical, horizontal ou oblíqua.

Podemos observar que, quando a curva da função possui uma Assíntota, a curva tende a

essa reta.

A determinação das Assíntotas de uma curva (quando existem), é feita com a aplicação de

limites.

Vejamos como isto é feito.

2.8.2 – Assíntota Vertical:

Dizemos que a reta ax = é Assíntota Vertical da função ( )xf se pelo menos uma das

condições abaixo for verificada:

1a)

y

x

( )xf

0

r

( )yxP ,

( ) ∞=+→

xfaxlim



2a)

3a)

4a)

OBSERVAÇÃO:

O ponto ax = deve ser um ponto de descontinuidade da função.

EXEMPLO:

Seja a função definida por ( ) tgxxf = para 22

ππ<<− x

Temos: ∞=

−

→

tgx

x

lim2

π

e −∞=+

−→

tgx

x

lim2

π

Portanto, as retas 2

π−=x e

2

π=x são Assíntotas Verticais da função ( ) tgxxf = .

( ) ∞=−→

xfaxlim

( ) −∞=+→

xfaxlim

( ) −∞=−→

xfaxlim

y

x 0

2

π−

2

π

( ) tgxxf =



2.8.3 – Assíntota Horizontal:

Dizemos que a reta by = , com ℜ∈b , é uma Assíntota Horizontal da função ( )xf se pelo

menos uma das condições abaixo for satisfeita:

1a)

2a)

EXEMPLO:

Seja a função definida por ( ) arctgxxf = .

Temos: 2

limπ

=∞→

arctgxx

e 2

limπ

−=−∞→

arctgxx

.

Portanto, as retas 2

π−=y e

2

π=y são Assíntotas Horizontais da função ( ) arctgxxf = .

2.8.4 – Assíntota Oblíqua:

Caso uma função ( )xf tenha uma Assíntota Oblíqua, essa Assíntota será uma reta cuja

equação tem a forma reduzida baxy += , com ∗ℜ∈a e ℜ∈b , onde:

( ) bxfx

=∞→

lim

( ) bxfx

=−∞→lim

y

x 0

2

π

2

π−

( ) arctgxxf =



OBSERVAÇÃO:

Caso ( )x

xf

xlim

∞→

seja nulo ou infinito, então não existem Assíntotas Oblíquas.

EXEMPLO:

Determinar a equação da Assíntota Oblíqua da curva da função definida por ( )x

xxxf

122 −+

= .

( )1

121

1222

2

limlimlim =

−+=−+

==∞→∞→∞→ xxx

xx

x

xfa

xxx

( )[ ] 21

21212

limlimlimlim222

=

−=−−+

=

−

−+=−=

∞→∞→∞→∞→ xx

xxxx

x

xxaxxfb

xxxx

Portanto, a reta 2+= xy é uma Assíntota Oblíqua do gráfico da função dada.

Graficamente:

( )x

xfa

xlim

∞→

= ( )[ ]axxfb

x

−=∞→

lim

y

x 0 2−

2

21−−

21+−

2+= xy

( )x

xxxf

122 −+

=



OBSERVAÇÃO:

Pode-se comprovar também que a reta 0=x (eixo y ) é uma Assíntota Vertical do gráfico

desta função, isto é, ∞=−+

−→ x

xx

x

122

0

lim e −∞=−+

+→ x

xx

x

122

0

lim (VERIFIQUE).

APLICAÇÃO IMPORTANTE DE ASSÍNTOTAS:

O exemplo resolvido a seguir ilustra uma particularidade de certas funções que possuem

Assíntotas.

Consideremos, então, o problema de se determinar todas as Assíntotas do gráfico da função

definida por ( )4

22

2

−

++=

x

xxxf , cujo Domínio é ( ) 2,2−−ℜ=fD , isto é, esta função é descontínua

nos pontos 2−=x e 2=x .

a) Assíntotas Verticais:

Temos: ∞=−

++−−→ 4

22

2

2

limx

xx

x

; −∞=−

+++−→ 4

22

2

2

limx

xx

x

−∞=−

++−→ 4

22

2

2

limx

xx

x

; ∞=−

+++→ 4

22

2

2

limx

xx

x

Portanto, as retas 2−=x e 2=x são Assíntotas Verticais desta função.

b) Assíntota Horizontal:

Temos 14

22

2

lim =−

++

∞→ x

xx

x

e 14

22

2

lim =−

++

−∞→ x

xx

x

Portanto, 1=y é Assíntota Horizontal desta função.

c) Assíntota Oblíqua:

A função dada não possui Assíntota Oblíqua, pois ( )

0lim ==∞→ x

xfa

x

.

De acordo com os resultados obtidos acima, o gráfico desta função,aparentemente, é:



Entretanto, existe algo errado com o esboço deste gráfico.

O gráfico desenhado acima mostra que as curvas têm simetria com relação ao eixo y .

Esta é uma característica das funções pares e a função estudada não é par.

Portanto, o gráfico acima está errado. O gráfico correto é mostrado abaixo.

y

x 0

1

2− 2 21−

y

x 0

1

2− 2 21− 6−

( )4

22

2

−

++=

x

xxxf



O que ocorreu com esta função é um caso particular em que a curva intercepta a Assíntota.

Isto pode ocorrer também com relação à Assíntota Oblíqua. Isto é, se a curva possui uma

Assíntota Oblíqua, ela pode interceptar essa Assíntota.

Para verificar se o gráfico de uma determinada função intercepta as Assíntotas Horizontal ou

Oblíqua (quando existirem), basta igualar a equação da curva com a equação da Assíntota.

Se a equação resultante possuir solução Real, é porque existe essa interseção e ela ocorre

exatamente sobre a(s) raiz(es).

No exemplo anterior isto ocorreu no ponto 6−=x pois, para 1=y , temos:

6424214

2 22

2

2

−=⇒−=+⇒−=++⇒=−

++xxxxx

x

xx




2.9 – SÍMBOLOS DE INDETERMINAÇÃO:

Na resolução de Limites, são freqüentes os casos em que aparecem operações que não têm

significado algébrico, isto é, operações que não podem ser realizadas algebricamente.

Essas operações recebem o nome de Símbolos de Indeterminação.

São elas:

EXEMPLOS:

1) 0

0

3

92

3lim =

−−

→ x

x

x

(indeterminado)

2) ∞=→

.01.sen

20

limx

xx

(indeterminado)

3) ∞∞

=+∞→ 1

53

2

limx

x

x

(indeterminado)

4) ( ) ∞−∞=−∞→

322lim xxx

(indeterminado)

5) 0log

1

0

0lim =+→

x

x

x (indeterminado)

6) 0log

1

lim ∞=∞→

x

x

x (indeterminado)

7) ∞

→

= 1log

1

1lim

x

x

x (indeterminado)

Para se resolver um Limite que tenha uma destas indeterminações, é necessário eliminar a

indeterminação.

Isto pode ser feito, dependendo do Limite, com o uso da Fatoração, da aplicação de

Conjugados ou aplicando-se Limites Fundamentais.

∞∞−∞∞∞∞∞

1;;.0;0;;0

0 00e



EXEMPLOS:

1) 0

0

1

133lim

1

=−

+−+

→ x

xx

x

(indeterminado)

Multiplicando e dividindo por ( )133 +++ xx , que é o conjugado do numerador, temos:

( )( )1331

133

133

133.

1

133

1

133limlimlim

111 +++−

−−+=

+++

+++−

+−+=

−+−+

→→→ xxx

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

xxx

( )( )( ) ( ) 2

1

133

2

1331

12

1

133limlimlim

111

−=+++

−=

+++−

−−=

−+−+

→→→ xxxxx

x

x

xx

xxx

2) ( ) ∞−∞=+−−∞→

11lim xxx

(indeterminado)

Multiplicando e dividindo pelo conjugado ( )11 ++− xx , obtemos:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

11

2

11

11

11

11.11 limlimlim =

++−

−=

++−

−−−=

++−

++−+−−

∞→∞→∞→ xxxx

xx

xx

xxxx

xxx

3) ( )

0

0133

2

lim =−

++−

→ ax

axax

ax

( )0≠a (indeterminado)

Fatorando o numerador e o denominador, encontramos:

( ) ( )( )( )( ) 2222233

2

3

1111limlimlim

a

a

aaxx

x

aaxxax

xax

ax

axax

axaxax

−=

++

−=

++−

−−=

−

++−

→→→

2.10 – LIMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO:

O limite da razão x

xsen, quando x tende a zero, é igual à unidade, isto é:

1sen

lim0

=→ x

x

x



DEMONSTRAÇÃO:

Temos dois casos a considerar:

1o Caso: x pertence ao 1o Quadrante

<<2

0π

x .

Vamos considerar a circunferência trigonométrica, cuja equação é 122 =+ yx .

.

Da figura , observamos que:

tgxxxBDBCAC <<⇒<< sen

Tomando os inversos:

x

x

xxtgxxx sen

cos1

sen

111

sen

1>>⇒<<

Multiplicando por xsen ( 0sen >x no 1o Quadrante):

xx

xcos

sen1 >> ou 1

sencos <<

x

xx (A)

y

x O A B

C

D

122 =+ yx

tgxBD

xBC

xAC

=

=

= sen



2o Caso: x pertence ao 4o Quadrante

<<− 02

xπ

.

.

Da figura, podemos notar que:

xxtgxACBCBD sen<<⇒<<

Tomando os inversos:

xxx

x

xxtgx sen

11

sen

cos

sen

111>>⇒>>

Multiplicando por xsen ( 0sen <x no 4o Quadrante):

1sen

cos <<x

xx (B)

Percebemos que, tanto no primeiro quanto no segundo caso, as desigualdades são as

mesmas, isto é A = B.

Tomando, agora, o limite para x tendendo a zero, teremos:

1coslim0

=→

xx

e 11lim0

=→x

Portanto, pelo Teorema do Confronto, podemos afirmar que 1sen

lim0

=→ x

x

x

.

EXEMPLOS:

1) 0

0

senlim

0

=→ x

x

x

(indeterminado)

y

x O A B

C

D

122 =+ yx

tgxBD

xBC

xAC

=

=

= sen



Podemos escrever:

11

1

sen

1

sen

1

senlim

limlim

0

00

====

→

→→

x

x

x

xx

x

x

xx

2) 0

0arcsenlim

0

=→ x

x

x

(indeterminado)

Chamando: txxt senarcsen =⇒=

Se 00 →⇒→ tx

Então:

1sen

arcsenlimlim

00

==→→ t

t

x

x

tx

Observação:

Os limites resolvidos acima também podem ser considerados como fundamentais.

3) 0

0

2

cos

lim2

=−→ x

x

x

π

(indeterminado)

Se 2

2ππ

→⇒→x

z

Da Trigonometria, sabemos que

−= xx2

sencosπ

.

Portanto, podemos escrever:

2

2

2sen

2

1

2

1sen

2

2sen

2

cos

limlimlimlim2222 −

−

=−

−=

−

−=

− →→→→ x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

πππππ

Multiplicando o numerador e o denominador por x2

π, teremos:



( )

−

−

=−

−

=− →→→→

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

xxxx

2

2.

2

2.sen

.2

2.2

2

2sen.

2

2

cos

limlimlimlim2222 π

ππ

π

πππ

Fazendo tx

x=

−2

2.π , podemos observar que, se 2→x , então 0→t .

Assim, podemos escrever:

41.

4

sen.

22

cos

limlimlim022

ππππ

===− →→→ t

t

xx

x

txx

4) 0

0

2

3lim

0

=

→ xtg

x

x

(indeterminado)

=

=

=

→

→

→→→

2sen

2cos.3

2sen

2cos.3

3cos

2sen

3

2

3

lim

limlimlimlim

0

0

000 x

xx

x

xx

x

x

x

xtg

x

x

x

xxx

Dividindo o numerador e o denominador por x3 , temos:

6

1.6

1

1

2

2sen

..6

1

2cos

6

3

2sen.

6

1

2cos

3

2sen

2cos

2

3

lim

lim

lim

lim

lim

limlim

0

0

0

0

0

0

0

==

=

=

=

→

→

→

→

→

→

→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xtg

x

x

x

x

x

x

x

x




2.11 – LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL:

O limite da seqüência x

x

+1

1 , quando ∞→x , é igual ao número irracional e, chamado de

Número Neperiano e aproximadamente igual a 2,718.

DEMONSTRAÇÃO:

Queremos provar que ex

x

x

=

+∞→

11lim .

Para isto, vamos inicialmente desenvolver a expressão ( )nba + aplicando o conceito de

Binômio de Newton.

( ) 011133322211100... ababababababba nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

CCCCCC +++++=+ −−−−−

Temos:

( ) !0

1

!!0

!

!0!0

!0==

−=

n

n

n

nC n

( )( )( ) !1!1!1

!1

!1!1

!1 n

n

nn

n

nC n

=−−

=−

=

( )( )( )

( )( )

!2!2

1

!2!2

!21

!2!2

! 22 nnnn

n

nnn

n

nCn

−=

−=

−−−

=−

=

( )( )( )( )

( )( )( )

!3

23

!3

21

!3!3

!321

!3!3

! 233 nnnnnn

n

nnnn

n

nC n

+−=

−−=

−−−−

=−

=

•

•

•

Fazendo 1=a , x

b1

= e xn = , teremos:

•••+

+−+

−+

+

=

+ −−− 3

3232

221

10

1.1.

!3

231.

1.

!21.

1.!1

1.1.!0

111 xxxx

x

x

xxx

x

xx

x

x

xx

•••+

+−+

−++=

+2

231

!3

111

!2

1

!1

1

!0

111

xxxx

x



Tomando o limite para ∞→x , resulta:

•••++++++=

+∞→ !5

1

!4

1

!3

1

!2

1

!1

1

!0

111lim

x

x x

Pode-se observar que o resultado do limite é uma soma de infinitos termos, que decrescem

cada vez mais rapidamente.

Esta soma particular recebe o nome de Número Neperiano e é indicada pela letra e.

Assim:

APLICAÇÕES:

1) Prove que ( ) ex x

x

=+→

1

0

1lim

Fazendo x

tt

x11

=⇒=

Se ∞→⇒→ tx 0

Então: ( ) et

x

t

t

x

x

=

+=+∞→→

111 limlim

1

0

2) Prove que ( )ℜ∈=

+∞→

kex

k k

x

x

1lim

Fazendo t

kxt

x

k=⇒=

Se 0→⇒∞→ tx

Então: ( ) ( ) k

k

t

t

t

k

t

x

x

ettx

k=

+=+=

+→→∞→

1

00

111 limlimlim

3) Prove que ( )ℜ∈=

++

∞→

kex

kx

x

11lim

ex

x

x

=

+∞→

11lim



eeexxx

k

k

x

x

x

kx

x

===

+

+=

+∞→∞→

+

∞→

1.1.1

1.1

11

1 limlimlim

OBSERVAÇÃO:

Os limites resolvidos acima podem ser considerados também como fundamentais.

4) Calcular ( )101

lim0

≠>−

→

aeax

ax

x

Podemos verificar que o limite acima possui indeterminação da forma 0

0.

Vamos, então, fazer a substituição: tata xx +=⇒=− 11

Tomando logaritmos na base a em ambos os termos dessa igualdade, teremos:

( ) ( )logloglog

11 t

a

t

a

a

ax

x ++=⇒=

Se 00 →⇒→ tx

Tomando os limites:

( )log

limlim 100

1t

a

t

x

x

t

x

a+

→→

=−

Dividindo o numerador e o denominador por t, resulta:

( ) ( ) ( ) logloglimloglim

lim

loglimlim

11

.1

11

1

1

0

1

0

0

100

e

a

t

at

t

at

t

t

a

t

x

x t

tt

t

t

x

a====

−+

→

+

→

→+

→→

Mas: loglog

log

log

1 a

ee

a

a

a

e

a

== (Propriedade de Mudança de Bases)

O logaritmo de base e é chamado de Logaritmo Natural ou Logaritmo Neperiano e é indicado

pela notação: aa

elnlog = .

Portanto:

ax

a x

x

ln1

lim0

=−

→



OBSERVAÇÃO:

O limite acima deve ser considerado como fundamental a partir dessa demonstração.

5) Calcule x

x x

x

+−

∞→ 1

1lim

Podemos observar que este limite possui a indeterminação da forma ∞∞

.

Como ele é um limite que envolve Função Exponencial, vamos tentar escreve-lo na forma do

Limite Exponencial Fundamental.

Podemos fazer:

x

x

x

x

x

x

x

x xxx

x

x

x

x

x

+

−=

+

−++

=

+

−+−=

+−

∞→∞→∞→∞→ 1

21

1

2

1

1

1

111

1

1limlimlimlim

Tomando: 12

1

2−−=⇒=

+−

txt

x

Se 0→⇒∞→ tx

Com estas substituições, teremos:

( ) ( ) ( ) 221

0

21

0

12

0

1.1.111

1limlimlimlim

−−−

→

−

→

−−

→∞→

==+

+=+=

+−

eetttx

x

t

t

t

t

t

x

x

2.12 – LIMITE FUNDAMENTAL POLINOMIAL:

Vamos considerar a função polinomial:

( ) m

mmm AxAxAxAxP ++++= −− ...2

2

1

10

onde ℜ∈mAAAA ,...,,, 210 e Ν∈m .

Podemos considerar dois casos:

1o Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax

Neste caso:



( ) )...( 2

2

1

10limlim m

mmm

axax

AxAxAxAxP ++++= −−

→→

( ) ( )aPAaAaAaAxP m

mmm

ax

=++++= −−

→

...2

2

1

10lim

Assim:

Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ( )ℜ∈→ aax , é igual

ao valor numérico desse polinômio para ax = .

EXEMPLO:

( ) 1028422.4224 22

2lim =−+=−+=−+

→

xxx

2o Caso: A variável ±∞→x

Neste caso:

( ) )...( 2

2

1

10limlim m

mmm

xx

AxAxAxAxP ++++= −−

±∞→±∞→

A probabilidade desse limite possuir uma indeterminação da forma ∞−∞ é muito grande.

Vamos, então, usar o artifício de colocar em evidência o termo de maior grau do polinômio.

( )

++++=

±∞→±∞→m

mm

xx xA

A

xA

A

xA

AxAxP

0

2

0

2

0

10 ...1limlim

Porém, quando ±∞→x , podemos verificar que:

0;...;0;00

2

0

2

0

1 →→→m

m

xA

A

xA

A

xA

A

Portanto, podemos concluir que:

Isto é, o limite de um polinômio inteiro e racional na variável x , quando ±∞→x , é igual ao

limite quando ±∞→x do seu termo de maior grau.

( ) ( )aPxPax

=→lim

( ) m

xx

xAxP 0limlim±∞→±∞→

=



EXEMPLOS:

1) ( ) ∞==−+−∞→∞→

323 2432 limlim xxxxxx

2) ( ) ( ) −∞=−=−−∞→∞→

442 3324 limlim xxxxx

3) ( ) −∞==+−−∞→−∞→

545 2532 limlim xxxxxx

4) ( ) ( ) ∞=−=−−−∞→−∞→

55 3324 limlim xxxxx

2.13 – LIMITE FUNDAMENTAL RACIONAL:

Vamos considerar a função racional:

( )( )

n

nnn

m

mmm

BxBxBxB

AxAxAxA

xQ

xP

...

...2

2

1

10

2

2

1

10

+++

++++=

−−

−−

onde: Ν∈Ν∈ℜ∈ℜ∈ nemBBBBAAAA nm ;,...,,,;,...,,, 210210

Podemos considerar dois casos:

1o Caso: A variável ( )ℜ∈→ aax

( )( )

n

nnn

m

mmm

axax BxBxBxB

AxAxAxA

xQ

xP

...

...2

2

1

10

2

2

1

10

limlim +++

++++=

−−

−−

→→

Neste caso:

( )( )

( )( )aQaP

BaBaBaB

AaAaAaA

xQ

xP

n

nnn

m

mmm

ax

=+++

++++=

−−

−−

→ ...

...2

2

1

10

2

2

1

10

lim

Ou seja:

( )( )

( )( )aQaP

xQ

xP

ax

=→lim



Podemos fazer três observações a respeito deste resultado:

1a) Se ( ) 0=aP e ( ) 0≠aQ , então ( )( )

0lim =→ xQ

xP

ax

;

2a) Se ( ) 0=aP e ( ) 0=aQ , então ( )( ) 0

0lim =→ xQ

xP

ax

(indeterminado)

Neste caso, o limite é resolvido com o uso da fatoração, pois tanto ( )xP quanto ( )xQ são

divisíveis por ( )ax − .

3a) Se ( ) 0≠aP e ( ) 0=aQ , teremos ( )( )

( )0limaP

xQ

xP

ax

=→

.

Neste caso, devemos aplicar Limites Laterais para verificar a existência ou não do limite.

2o Caso: A variável ±∞→x

( )( )

n

nnn

m

mmm

xx BxBxBxB

AxAxAxA

xQ

xP

...

...2

2

1

10

2

2

1

10

limlim +++

++++=

−−

−−

±∞→±∞→

Neste caso, é muito grande a possibilidade de se obter indeterminações das formas

∞−∞∞∞ou .

Repetindo o procedimento adotado para limites de funções polinomiais, vamos colocar em

evidência os termos de maior grau do numerador e do denominador.

Assim:

( )( )

++++

++++

=±∞→±∞→

n

nn

m

mm

xx

xB

B

xB

B

xB

BxB

xA

A

xA

A

xA

AxA

xQ

xP

0

2

0

2

0

10

0

2

0

2

0

10

...1

...1

limlim

Para ±∞→x , teremos:

0;...;0;0;0;...;0;00

2

0

2

0

1

0

2

0

2

0

1 →→→→→→n

n

m

m

xB

B

xB

B

xB

B

xA

A

xA

A

xA

A

Portanto:

( )( ) n

m

xx xB

xA

xQ

xP

0

0

limlim±∞→±∞→

=



Isto é, o limite de uma função racional no infinito é igual ao limite no infinito do quociente dos

termos de maior grau do numerador e do denominador dessa função.

OBSERVAÇÃO:

Podemos tirar três conclusões a respeito deste resultado:

1a) Se nm = , então ( )( ) 0

0

lim B

A

xQ

xP

x

=±∞→

;

2a) Se nm > , então ( )( )

±∞=±∞→ xQ

xP

xlim ;

3a) Se nm < , então ( )( )

0lim =±∞→ xQ

xP

x

EXEMPLOS:

1) 9

7

144

568

12.22

52.32.2

12

5322

2

2

2

2lim =

+++−

=++

+−=

++

+−

→ xx

xx

x

2) 05

0

32

12

1lim ==

+−

→ x

x

x

3) 0

0

1

13

1lim =

−−

→ x

x

x

(indeterminado)

Usando a fatoração:

( )( ) ( ) 311111

11

1

1 2

1

2

1

3

1limlimlim =++=++=

−++−

=−−

→→→

xxx

xxx

x

x

xxx

4) 0

1

3

25lim

3

−=

−−

→ x

x

x

Neste caso, temos que aplicar Limites Laterais para verificar a existência do limite.

a) Limite Lateral à Direita:

( )−∞=

−−=

−++−

=−−

→→→ + h

h

h

h

x

x

hhx

21

33

3.25

3

25limlimlim

003



b) Limite Lateral à Esquerda:

( )∞=

−+−

=−−−−

=−−

→→→ − h

h

h

h

x

x

hhx

21

33

3.25

3

25limlimlim

003

Como os limites laterais no ponto 3=x são diferentes, entendemos que não existe o limite.

5) ∞===+−++

∞→∞→∞→

2

3

5

3

45

32

6

12

226limlimlim x

x

x

xx

xx

xxx

6) 05

2

5

2

15

132limlimlim 3

2

3

2

===−+−

−∞→−∞→−∞→ xx

x

x

xx

xxx

7) 3

7

3

7

3

7

352

27limlimlim 9

9

942

59

−=−

=−

=−−

+

∞→∞→∞→ xxx x

x

xxx

xx

8) −∞===++

−∞→−∞→−∞→ 2

3

2

3

52

23 3

6

9

6

9

limlimlimx

x

x

x

x

xxx

9) ( )( )

∞===+

−=

+

−

∞→∞→∞→∞→

10

45

106

105

1023

52

5 3

2

4

.3

4

.3

12

53

12

53limlimlimlim

x

x

x

x

x

x

x

xxxx




CAP. 3 - DERIVADAS

3.1 – INTRODUÇÃO:

O estudo de Derivadas, de maneira geral, trata do problema de se determinar a taxa de

variação de uma grandeza quando outra grandeza, da qual ela depende, sofrer alterações.

A motivação para a descoberta desse conceito veio de problemas físicos simples, como

problemas de cinemática onde se quer, por exemplo, conhecer a velocidade de um objeto em

movimento num determinado instante.

Para se chegar ao conceito de Derivada, é necessário primeiramente que façamos algumas

definições, como faremos a seguir.

3.2 – ACRÉSCIMOS: 3.2.1 – ACRÉSCIMO DE UMA VARIÁVEL:

Chama-se Acréscimo de uma variável x , e representa-se por x∆ , à diferença entre dois

valores particulares 1x e

2x dessa variável.

3.2.2 – ACRÉSCIMO DE UMA FUNÇÃO:

Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio é um subconjunto de ℜ .

Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , vamos obter em correspondência um

acréscimo para a função ( )xfy = , que indicaremos por y∆ .

x 1x

2x

x∆

12xxx −=∆



Graficamente:

Temos: ⇒∆=− xxx12

acréscimo da variável

( ) ( ) ⇒∆=− yxfxf12

acréscimo da função

Como: xxx ∆+=12

, podemos escrever:

( ) ( )11xfxxfy −∆+=∆

ou, genericamente:

Esta é a forma generalizada de se escrever o Acréscimo de uma função definida pela lei

( )xfy = para um Acréscimo x∆ na sua variável x .

EXEMPLOS: 01) Achar o Acréscimo da função definida por ( )ℜ∈+= babaxy ,

Temos: ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆

No nosso caso:

( ) ( )baxbxxay +−+∆+=∆

baxbxaaxy −−+∆+=∆

xay ∆=∆ (o acréscimo da função é diretamente proporcional ao acréscimo da variável)

02) Encontrar o Acréscimo da função dada por 2xy = .

( ) ( )xfxxfy −∆+=∆

( ) 22xxxy −∆+=∆

y

x 0

( )22xfy =

( )11xfy =

y∆

1x

2x

x∆

( )xfy =

( ) ( )xfxxfy −∆+=∆



2222 xxxxxy −∆+∆+=∆

( )xxxy ∆+∆=∆ 2 (O acréscimo da função não é proporcional ao acréscimo da variável).

3.3 – TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO:

Chama-se de Taxa Média de Variação (ou Razão Incremental) de uma função ( )xfy = ao

quociente de y∆ por x∆ .

A Taxa Média indica a “velocidade média de variação” de uma função num determinado

intervalo do seu Domínio.

EXEMPLOS:

01) Achar a Taxa Média de Variação da função definida por 85 += xy

Temos: ( ) ( )

x

xfxxf

x

y

∆

−∆+=

∆

∆

No nosso caso: ( ) ( )

x

xxx

x

y

∆

+−+∆+=

∆

∆ 8585

x

xxx

x

y

∆

−−+∆+=

∆

∆ 85855

55

=∆

∆=

∆

∆

x

x

x

y

Conclusão: a velocidade de variação da função é constante em qualquer ponto.

02) Encontre a Taxa Média de Variação da função xxy 32 += no ponto 2=x .

Temos: ( ) ( )

x

xfxxf

x

y

∆

−∆+=

∆

∆

No nosso caso: ( ) ( ) ( )

x

xxxxxx

x

y

∆

+−∆++∆+=

∆

∆ 3322

( ) ( )x

xfxxf

x

yMT

∆

−∆+=

∆

∆=..



x

xxxxxxxx

x

y

∆

−−∆++∆+∆+=

∆

∆ 3332222

( )32

32+∆+=

∆

∆⇒

∆

+∆+∆=

∆

∆xx

x

y

x

xxx

x

y

No ponto 2=x , teremos: xx

y∆+=

∆

∆7

3.4 – TAXA INSTANTÂNEA:

Consideremos, por exemplo, a função definida por 12 += xy .

Vamos determinar as Taxas Médias de Variação desta função nos seguintes intervalos:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xe ∆+1;105,1;1;1,1;1;2,1;1;5,1;1;2;1

a) Intervalo [ ]2;1 :

( ) ( )3

1

25

12

12=

−=

−

−=

∆

∆ ff

x

y

b) Intervalo [ ]5,1;1 :

( ) ( )5,2

5,0

225,3

15,1

15,1=

−=

−

−=

∆

∆ ff

x

y

c) Intervalo [ ]2,1;1 :

( ) ( )2,2

2,0

244,2

12,1

12,1=

−=

−

−=

∆

∆ ff

x

y

d) Intervalo [ ]1,1;1 :

( ) ( )1,2

1,0

221,2

11,1

11,1=

−=

−

−=

∆

∆ ff

x

y

e) Intervalo [ ]05,1;1 :

( ) ( )05,2

05,0

21025,2

105,1

105,1=

−=

−

−=

∆

∆ ff

x

y

f) Intervalo [ ]x∆+1;1 :

( ) ( )x

x

xx

x

fxf

x

y∆+=

∆

∆+∆=

−∆+

−∆+=

∆

∆2

2

11

112



Os resultados obtidos acima parecem nos dizer que a Taxa Média tende a 2 , à medida em

que o acréscimo x∆ tende a zero.

Portanto, o Limite da Taxa Média de Variação desta função, quando o acréscimo x∆ tende a

zero é igual a 2 .

Este resultado é chamado de Taxa Instantânea de Variação.

Então, definimos:

“Taxa Instantânea de uma função ( )xfy = é o limite da Taxa Média de Variação x

y

∆

∆ desta

função quando x∆ tende a zero.”

3.5 – DERIVADA OU FUNÇÃO DERIVADA:

Vamos considerar uma função definida no campo dos Reais pela lei ( )xfy =

.Chama-se de Derivada ou Função Derivada de ( )xfy = ao limite do quociente de y∆ por

x∆ , quando x∆ tende a zero.

A Derivada da função ( )xfy = pode ser indicada por um dos símbolos abaixo:

( ) ( ) ( )[ ].

.

;;;;; xfdx

dxfyxfy

dx

dy′′

Neste curso, nos limitaremos a utilizar apenas uma das três primeiras notações apresentadas

acima.

A Derivada nada mais é do que a Taxa Instantânea genérica, ou seja:

EXEMPLOS:

Usando a definição, encontre as derivadas das seguintes funções:

01) 22xy =

x

yIT

x ∆

∆=

→∆lim

0

..

( ) ( )x

xfxxf

x

y

dx

dy

xx ∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆limlim

00



Por definição: ( ) ( )

x

xfxxf

dx

dy

x ∆

−∆+=

→∆lim

0

No nosso caso: ( )

x

xxx

dx

dy

x ∆

−∆+=

→∆

22

0

22lim

x

xxxxx

dx

dy

x ∆

−∆+∆+=

→∆

222

0

2242lim

( )( ) x

dx

dyxx

x

xxx

dx

dy

xx

42424.

limlim00

=⇒∆+=∆

∆+∆=

→∆→∆

Portanto, a Derivada da função ( ) 22xxf = é a função ( ) xxf 4=′ .

02) 3xy =


x

xfxxf

dx

dy

x ∆

−∆+=

→∆lim

0

No nosso caso: ( )

x

xxx

dx

dy

x ∆

−∆+=

→∆

33

0lim

x

xxxxxxx

dx

dy

x ∆

−∆+∆+∆+=

→∆

33223

0

33lim

( ) ( ) 222

0

22

0

33333.

limlim xdx

dyxxxx

x

xxxxx

dx

dy

xx

=⇒∆+∆+=∆

∆+∆+∆=

→∆→∆

03) ( ) xxf =

Por definição: ( )( ) ( )

x

xfxxfxf

x ∆

−∆+=′

→∆lim

0

No nosso exemplo: ( )x

xxxxf

x ∆

−∆+=′

→∆lim

0

Observamos que o limite acima possui uma indeterminação da forma 0

0. Portanto, vamos

fazer uso do conjugado, isto é, vamos tomar:

( )( ) ( )xxxx

x

xxxx

xxx

xxx

xxx

x

xxxxf

xxx +∆+∆

∆=

+∆+∆

−∆+=

+∆+

+∆+

∆

−∆+=′

→∆→∆→∆limlimlim

000

.

( ) ( )x

xfxxx

xfx 2

11lim

0

=′⇒+∆+

=′→∆



04) ( )x

xf1

=

Por definição: ( )( ) ( )

x

xfxxfxf

x ∆

−∆+=′

→∆lim

0

No nosso exemplo: ( )x

xxxxfx ∆

−∆+=′

→∆

11

lim0

( )( )

( )xxxx

x

x

xxx

xxx

xfxx ∆+∆

∆−=

∆

∆+

∆−−

=′→→∆ ..limlim

00

( )( )

( )2

0

11lim

xxf

xxxxf

x

−=′⇒∆+

−=′

→∆




3.6 – DERIVADA NUM PONTO:

Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 0x um ponto

desse Domínio.

A derivada desta função no ponto 0x , que indicaremos pelas notações ( )

0xf ′ ou ( )

0xy′ , é

definida por:

OBSERVAÇÕES:

O1: Como conseqüência da definição, podemos verificar que a função ( )xfy = só será

derivável no ponto 0x se:

a) existir ( )0xf , isto é, a função possui valor numérico no ponto

0x ;

b) a função seja definida nas vizinhanças do ponto 0x (para justificar a aplicação do limite

neste ponto);

c) exista e seja finito o ( ) ( )

0

0

lim0

xx

xfxf

xx −

−

→

.

O2: Se ( ) ( )

0

0

lim0

xx

xfxf

xx −

−

→

existir somente para valores inferiores ou superiores a 0x , ou se este

limite possui resultados diferentes à esquerda e à direita de 0x , dizemos que se trata de

Derivadas Laterais e indicamos por:

( ) ( ) ( )⇒

−

−=′

−→−

0

0

0 lim0

xx

xfxfxf

xx

Derivada Lateral à Esquerda de 0x

( ) ( ) ( )0

0

0 lim0

xx

xfxfxf

xx −

−=′

→



( ) ( ) ( )⇒

−

−=′

+→+

0

0

0 lim0

xx

xfxfxf

xx

Derivada Lateral à Direita de 0x

O3: Se ( ) ( )00xfxf +− ′=′ então dizemos que a derivada da função ( )xfy = existe no ponto

0x e

é igual a ( )0xf ′ .

O4: A derivada de uma função num ponto (quando existe) nada mais é do que o valor

numérico da função derivada naquele ponto

EXEMPLOS:

Usando a definição, achar as derivadas das funções definidas a seguir nos pontos dados: 01) ( ) 2

3xxf = no ponto 5=x .

1a Solução:

Aplicando a definição de Derivada, temos:

( ) ( ) ( )x

xfxxfxf

x ∆−∆+

=′→∆lim

0

( ) ( )x

xxxxx

x

xxxxf

xx ∆−∆+∆+

=∆

−∆+=′

→∆→∆

222

0

22

0

336333limlim

( ) ( ) ( ) ( ) xxfxxx

xxxxf

xx

63636.

limlim00

=′⇒∆+=∆

∆+∆=′

→∆→∆

No ponto 5=x , teremos: ( ) ( ) 3055.65 =′⇒=′ ff .

2a Solução:

Aplicando a definição de Derivada no Ponto:

( ) ( ) ( )0

0

0 lim0

xx

xfxfxf

xx −

−=′

→



( ) ( ) ( )5

753

5

55

2

55limlim −

−=

−−

=′→→ x

x

x

fxff

xx

( ) ( ) ( )( )5

5.5.3

5

25.35 limlim

5

2

5 −−+

=−−

=′→→ x

xx

x

xf

xx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30555.355.35 lim5

=′⇒+=′⇒+=′→

ffxfx

02) ( ) 1+= xxf no ponto 15=x .

( ) ( ) ( )15

41

15

1515 limlim

1515 −−+

=−−

=′→→ x

x

x

fxff

xx

Aplicando o conjugado do numerador, obtemos:

( )( )( )41.15

15

41

41.

15

4115 limlim

1515 ++−

−=

++

++−

−+=′

→→ xx

x

x

x

x

xf

xx

( ) ( )8

115

41

115 lim

15

=′⇒++

=′→

fx

fx

03) ( ) tgxxf = no ponto 4

π=x .

( )

4

4

4

4

4limlim

44

π

π

π

ππ

ππ −

−=

−

−=

′→→ x

tgtgx

x

fxf

f

xx

−

−

=−

−

=

′→→

4cos.cos.

4

cos.4

sen4

cos.sen

4

4cos

4sen

cos

sen

4limlim

44

ππ

ππ

π

π

π

πππ

xx

xx

x

x

x

f

xx

Da Trigonometria, sabemos que: ( )BAABBA −=− sencos.sencos.sen .

Portanto, pode-se dizer que:

−=

−

4

sencos.4

sen4

cos.senπππ

xxx .




−

−=

′→→

4cos.cos

1.

4

4sen

4limlim

44

ππ

ππ

ππxx

x

f

xx

Como o primeiro limite é Fundamental e vale 1, então:

24

2

2

1

4cos

1

4cos.cos

1

42

2

4

lim =

′⇒

=

=

=

′→

πππ

ππ

f

x

f

x

04) ( ) 1−= xxf no ponto 1=x .

( ) ( ) ( )1

1

1

111

1

11 limlimlim

111 −

−=

−

−−−=

−−

=′→→→ x

x

x

x

x

fxff

xxx

Porém, de acordo com a definição de Módulo ou Valor Absoluto, podemos escrever:

( )

<−−−=−

≥−−=−

01,11

01,11

xsexx

xsexx ⇒

( )

<−−=−

≥−=−

1,11

1,11

xsexx

xsexx

Como queremos obter a derivada no ponto 1=x , entendemos que devemos calcular as

derivadas laterais neste ponto, isto é:

( ) ( ) ( ) 111

1

1

11 limlimlim

111

−=−=−−−

=−

−=′

→→→−

− xxx x

x

x

xf

( ) 111

1

1

11 limlimlim

111

==−−

=−

−=′

→→→+

+ xxx x

x

x

xf

Como ( ) ( )11 +− ′≠′ ff , entendemos que a função dada não possui derivada no ponto 1=x .

SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS:

Para que você se auto-avalie com relação ao assunto estudado nesta aula, sugerimos que

você tente resolver os exercícios abaixo:



01) Mostre que a derivada da função ( )1

3

−=x

xf no ponto 4=x é igual a 3

1− .

02) Mostre que a derivada da função ( ) xexf = no ponto 3=x é igual a 3e .

03) Mostre que a função ( ) xxxf 42 −= não possui derivada no ponto 4=x .

3.7 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA NO PONTO:

Seja ( )xfy = uma função cujo Domínio ( )fD é um subconjunto dos Reais e seja 0x um ponto

desse Domínio.

Vamos admitir que o gráfico dessa função possua uma reta tangente pelo ponto 0x e que essa

tangente não seja perpendicular ao eixo x e vamos considerar também uma reta secante curva

pelos pontos 0x e x , conforme se pode ver na figura abaixo:

Da figura, temos:

α = inclinação da reta tangente (ângulo que a reta tangente forma com o sentido positivo do

eixo x );

β = inclinação da reta secante (ângulo que a reta secante forma com o sentido positivo do

eixo x );

0xxx −=∆ (Acréscimo da variável);

( ) ( )0xfxfy −=∆ (Acréscimo da função)

y

x 0

( )xf

( )0xf

α β

β

y∆

x∆

0x x

( )xfy =

Reta secante

Reta tangente



( ) ( )0

0

xx

xfxftg

x

ytg

−

−=⇒

∆∆

= ββ

Tomando limites para 0xx→ nos dois membros dessa igualdade:

( ) ( )0

0

limlim00

xx

xfxftg

xxxx −

−=

→→

β

Porém, quando 0xx→ então αβ → .

Assim, podemos dizer que:

( ) ( )β

αβ

tgxx

xfxf

xxlimlim

0

0

0 →→

=−

−

Mas: ( ) ( ) ( )

0

0

0

lim0

xfxx

xfxf

xx

′=−

−

→

e αβαβ

tgtg =→lim

Portanto, concluímos que:

Isto é, a derivada de uma função num ponto (quando existe) é numericamente igual ao

coeficiente angular da reta tangente à curva dessa função nesse ponto.

A princípio este parece ser um conceito muito elementar.

Porém, em aulas futuras, teremos a oportunidade de observar aplicações importantes deste

resultado.

Para a melhor fixação desse conceito, vamos mostrar algumas aplicações simples do mesmo.

EXEMPLOS:

01) Obter a equação geral da reta tangente à curva da função ( ) xxf = pelo ponto 1=x .

Solução:

No estudo da Geometria Analítica, aprendemos que a equação de uma reta que passa por um

ponto dado ( )00

, yx e tem coeficiente angular conhecido m é dada por:

( )00xxmyy −=−

( ) αtgxf =′0



No nosso caso: 10=x e ( ) 111

0=== fy

Como a reta procurada é tangente à curva de ( )xf pelo ponto 1=x , devemos ter ( )1fm ′= , ou

seja:

( ) ( ) ( )1

1

1

11 limlim

11 −−

=⇒−−

=′=→→ x

xm

x

fxffm

xx

Como o limite obtido é indeterminado, vamos multiplicar e dividir pelo conjugado do

numerador, isto é:

( )( )( )( ) ( )( )11

1

11

11limlim

11 +−

−=⇒

+−

+−=

→→ xx

xm

xx

xxm

xx

2

1

1

1lim

1

=⇒+

=→

mx

mx

Então, a equação procurada é: ( )12

11 −=− xy

Na forma geral: 012 =+− yx

02) Determine a equação da reta tangente à curva da hipérbole definida pela equação x

y4

−=

pelo ponto 2−=x .

Solução:

A equação procurada tem a forma: ( )( )000

. xxxfyy −′=−

onde: 20

−=x e 22

40 =

−−=y

( ) ( ) ( )( )2

22 lim

2 −−−−

=−′−→ x

fxff

x

( )( )2.

24

2

24

2 limlim22 +

−−=

+

−−=−′

−→−→ xx

x

x

xfxx



( ) ( )( )

( ) ( ) 122

22.

2.22 limlim

22

=−′⇒−

=−′⇒++−

=−′−→−→

fx

fxx

xf

xx

Portanto, a equação da reta é:

( )2.12 +=− xy

Na forma reduzida: 4+= xy

03) Mostre que a equação da reta tangente à curva da função ( ) gxxf cot= no ponto 3

2π=x é

3

3

9

8

3

4−+−=

πxy .

Solução:

A equação procurada tem a forma: ( )( )000

. xxxfyy −′=−

onde: 3

20

π=x e

3

3

3

2cot

0−=

=π

gy

3

2

3

2sen

3

2cos

sen

cos

3

2

3

2cotcot

3

2limlim

3

2

3

2 π

π

π

π

ππ

ππ −

−

=−

−=

′→→ x

x

x

x

ggx

f

xx

−−

−=

−

−

=

′→→

3

2sen.sen.

3

2

3

2sen

3

2sen.sen.

3

2

3

2cos.sencos.

3

2sen

3

2limlim

3

2

3

2 ππ

π

ππ

πππ

ππxx

x

xx

xx

f

xx

3

4

2

3

1

3

2sen.sen

1.

3

2

3

2sen

3

22

3

2

3

2limlim −=

−=

−−

−=

′→→

ππ

ππ

ππxx

x

f

xx

Portanto, a equação da reta é:

9

8

3

4

3

3

3

2

3

4

3

3 ππ+−=+⇒

−−=

−− xyxy



Na forma reduzida: 3

3

9

8

3

4−+−=

πxy

OBSERVAÇÃO:

Exercícios como os mostrados acima se tornarão mais fáceis de resolver quando

conhecermos as regras de derivação, pois não precisaremos mais de resolver Limites.

Este assunto será objeto de estudo a partir da próxima aula!




3.8 - REGRAS GERAIS DE DERIVAÇÃO:

Neste item vamos começar a estudar as regras que nos permitem obter as derivadas de todas

as funções da forma ( )xfy = .

Este assunto começará a ser desenvolvido nesta aula e se estenderá para as aulas seguintes.

3.8.1 – FUNÇÃO CONSTANTE:

Seja a função definida por ( ) kxf = , onde ℜ∈k .

Por definição: ( ) ( ) ( )x

xfxxfxf

x ∆−∆+

=′→∆lim

0

No nosso caso: ( ) ( ) 00

limlim00

=∆

=′⇒∆−

=′→∆→∆ x

xfx

kkxf

xx

Portanto:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( ) 01 =′⇒= xfxf

02) ( ) ( ) 07 =′⇒−= xfxf

03) ( ) ( ) 013 =′⇒= xfxf

04) ( ) ( ) 011

3=′⇒

= xftgxfπ

3.8.2 – FUNÇÃO LINEAR:

Seja ( ) baxxf += , onde ℜ∈a e ℜ∈b , isto é uma Função Linear.


xfxxfxf

x ∆−∆+

=′→∆lim

0

( ) ( ) 0,, =′ℜ∈= xfentãokcomkxfSe



Neste caso: ( ) ( ) ( )x

baxbxxaxf

x ∆+−+∆+

=′→∆lim

0

( ) ( ) ( ) aaxfx

xaxf

x

baxbxaaxxf

xxx

==′⇒∆∆

=′⇒∆

−−+∆+=′


000

Portanto:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( ) 1=′⇒= xfxxf

02) ( ) ( ) 575 −=′⇒+−= xfxxf

03) ( ) ( )3

21

3

2=′⇒−= xfxxf

04) ( ) ( ) loglog5

2

5

2 5. =′⇒+

= xfxxf

π

3.8.3 – FUNÇÃO POTÊNCIA:

Seja a função definida por ( ) nxxf = .


xfxxfxf

x ∆−∆+

=′→∆lim

0

No nosso caso: ( ) ( )x

xxxxf

nn

x ∆−∆+

=′→∆lim

0

Fazendo o desenvolvimento do Produto Notável ( )nxx ∆+ por Binômio de Newton, teremos:

( ) 033322211100... xxxxxxxxxxxx nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

CCCCC ∆++∆+∆+∆+∆=∆+ −−−

( ) ( ) ( )( ) nnnnnnxxx

nnnxx

nnxxnxxx ∆++∆

−−+∆

−+∆+=∆+ −−− .....

!3

21..

!2

1.. 33221

Substituindo no limite:

( )( ) ( )( )

x

xxxxnnn

xxnn

xxnx

xf

nnnnnn

x ∆

−∆++∆−−

+∆−

+∆+=′

−−−

→∆

.....!3

21..

!2

1.. 33221

0lim

( ) ( ) axfentãobeacombaxxfSe =′ℜ∈ℜ∈+= ,,



( )

( ) ( )( )

x

xxxnnn

xxnn

xnx

xf

nnnn

x ∆

∆++∆−−

+∆−

+∆=′

−−−−

→∆

13221

0

.....!3

21..

!2

1..

lim

( ) ( ) ( )( ) ( ) 113221

0

......!3

21..

!2

1.lim

−−−−−

→∆

=′⇒

∆++∆−−

+∆−

+=′ nnnnn

x

xnxfxxxnnn

xxnn

xnxf

Portanto:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( ) ( ) 7188 8.8 xxfxxfxxf =′⇒=′⇒= −

02) ( ) ( ) 99100 100xxfxxf =′⇒=

03) ( ) ( ) ( ) ( )2

21 1.1

1

xxfxxfxxf

xxf −=′⇒−=′⇒=⇒= −−

04) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xfxxfxxfxxfxxf2

1.2

1.2

12

11

2

1

2

1

=′⇒=′⇒=′⇒=⇒=−−

05) ( ) ( ) ( ) ( )4

43

3

3.3

1

xxfxxfxxf

xxf −=′⇒−=′⇒=⇒= −−

06) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

5

11

5

4

5

4

5 4

5

4

5

4

5

4

xxfxxfxxfxxfxxf =′⇒=′⇒=′⇒=⇒=

−−

3.8.4 – FUNÇÃO SOMA:

Seja tvuy −+= , onde ( )xuu = , ( )xvv = e ( )xtt = , isto é, u , v e t são funções de x .

Se atribuirmos à variável x um acréscimo x∆ , obtemos em correspondência acréscimos y∆ ,

u∆ , v∆ e t∆ para as funções y , u , v e t , respectivamente.


( ) ( ) ( )ttvvuuyy ∆+−∆++∆+=∆+

ttvvuuyy ∆−−∆++∆+=∆+

( ) ( )tvutvuyy ∆−∆+∆+−+=∆+

( ) ( ) 1., −=′= nn xnxfentãoxxfSe



Como tvuy −+= , então: tvuy ∆−∆+∆=∆

Dividindo os dois membros dessa igualdade por x∆ , teremos:

x

t

x

v

x

u

x

y

∆∆

−∆∆

+∆∆

=∆∆

Tomando os limites para 0→∆x :

x

t

x

v

x

u

x

y

xxxx ∆∆

−∆∆

+∆∆

=∆∆

→∆→∆→∆→∆limlimlimlim

0000

Porém, de acordo com a definição de Acréscimos, podemos afirmar que:

Se 0→∆x , então 0→∆y , 0→∆u , 0→∆v e 0→∆t

Isto significa que todos os limites relacionados acima representam derivadas, ou seja:

dx

dt

dx

dv

dx

du

dx

dy−+= ou tvuy ′−′+′=′

Portanto:

Podemos interpretar este resultado afirmando que “a derivada de uma soma algébrica de

funções é igual à soma algébrica das derivadas das parcelas”.

EXEMPLOS:

01) 256367 367 xxxyxxxy +−=′⇒+−=

02) 334 4047 xyxyxy =′⇒−=′⇒−=

03) 2

1

2

11

xxy

xxy −=′⇒+=

3.8.5 – FUNÇÃO PRODUTO:

Seja a função definida por vuy .= , onde ( )xuu = e ( )xvv = , isto é, y é definida por um

produto de funções de x .

Se atribuimos à variável x um acréscimo x∆ , obtemos acréscimos correspondentes y∆ , u∆ e

v∆ para as variáveis y , u e v , respectivamente.

tvuyentãotvuySe ′−′+′=′−+= ,




( )( )vvuuyy ∆+∆+=∆+ .

vuuvvuuvyy ∆∆+∆+∆+=∆+

Como uvy = , podemos simplificar e escrever:

vuuvvuy ∆∆+∆+∆=∆

Dividindo membro a membro por x∆ , fica:

x

vu

x

uv

x

vu

x

y

∆∆

∆+∆∆

+∆∆

=∆∆

.

Tomando os limites para

→∆

→∆

→∆

⇒→∆

0

0

0

0

v

u

y

x :

x

vu

x

uv

x

vu

x

y

xxxx ∆∆

∆+∆∆

+∆∆

=∆∆

→∆→∆→∆→∆

.limlimlimlim0000

x

vu

x

uv

x

vu

x

y

xxxx ∆∆

∆+∆∆

+∆∆

=∆∆

→∆→∆→∆→∆

... limlimlimlim0000

De acordo com a definição de Derivada, temos como resultado:

vuvuyoudx

duv

dx

dvu

dx

dy ′+′=′+= ..

Portanto:

EXEMPLOS:

01) 3010 .xxy =

Temos: 910 10xuxu =′⇒= e 2930 30xvxv =′⇒=

Então:

vuvuyvuy ′+′=′⇒= .

2910309 30..10 xxxxy +=′

393939 403010 xyxxy =′⇒+=′

( ) ( ) vuvuyentãoxvvexuuondevuySe ′+′=′=== ,,.



02) ( ) 11 22 +==⇒+= xvexuxxy

( ) 1.1.2 2xxxy ++=′

xxyxxxy 2322 222 +=′⇒++=′

03) xvex

uxx

yx

xy ==⇒=⇒=

1.1

xxx

xy

xxx

xy

2

1

2

1.1

.1

22+−=′⇒+−=′

OBSERVAÇÃO:

Se tivermos um produto de 3 ou mais funções, a regra de derivação é semelhante.

Assim, por exemplo, se tvuy ..= , onde ( )xuu = , ( )xvv = e ( )xtt = , então:

uvtutvvtuy ′+′+′=′

EXEMPLO:

=′⇒=

=′′⇒=

=′⇒=

⇒=56

45

34

654

6

5

4

..

xtxt

xvxv

xuxu

xxxy

545644653 ..6..5..4 xxxxxxxxxy ++=′

14141414 15654 xyxxxy =′⇒++=′

3.8.6 – FUNÇÃO QUOCIENTE:

Seja a função definida pela equação v

uy = , onde ( )xuu = e ( )xvv = .

Atribuindo à variável x um acréscimo x∆ , obtemos acréscimos y∆ , u∆ e v∆ , para as funções

y , u e v , de modo que podemos escrever:

vv

uuyy

∆+∆+

=∆+

v

u

vv

uuyy

vv

uuy −

∆+∆+

=∆⇒−∆+∆+

=∆



( ) ( )( )vvv

vvuuuvy

∆+∆+−∆+

=∆.

..

( ) ( )vvv

vuuvy

vvv

vuuvuvuvy

∆+∆−∆

=∆⇒∆+

∆−−∆+=∆

..

Dividindo membro a membro por x∆ , teremos:

( ) xvvv

vuuv

x

y

∆∆+∆−∆

=∆∆

..

Podemos ainda escrever esta igualdade na forma:

( )vvv

x

vu

x

uv

x

y

∆+∆∆

−∆∆

=∆∆

.


→∆

→∆

→∆

⇒→∆

0

0

0

0

v

u

y

x

( ) 2

0

00

0

..

.

..

lim

limlimlim

v

dx

dvu

dx

duv

dx

dy

vvv

x

vu

x

uv

x

y

x

xx

x

−=⇒

∆+∆∆

−∆∆

=∆∆

→∆

→∆→∆

→∆

Portanto:

EXEMPLOS:

01)

=′⇒=

=′⇒==

67

1920

7

20

7

20

xvxv

xuxu

x

xy

( )12

14

26

14

2626

27

620719

13137207..20

xyx

x

x

xxy

x

xxxxy =′⇒=

−=′⇒

−=′

02)

=′⇒−=

=′⇒+=

−+

=12

353

2

53

vxv

uxu

x

xy

( ) ( )( ) ( ) ( )222

2

11

2

5363

2

53.12.3

−

−=′⇒

−

−−−=′⇒

−

+−−=′

xy

x

xxy

x

xxy

( ) ( )2

,,v

vuvuyentãoxvvexuuonde

v

uySe

′−′=′===



3.8.7 – FUNÇÃO COMPOSTA:

Sejam ( )ufy = e ( )xgu = .

Então ( )[ ]xgfy = , isto é, a variável dependente y é escrita como uma função composta da

variável independente x .


acréscimo u∆ para a função u e um acréscimo y∆ para a função y .

Nestas condições, podemos escrever:

x

u

u

y

x

y

∆∆

∆∆

=∆∆

.


→∆

→∆⇒→∆

0

00

y

ux

x

u

u

y

x

y

xux ∆∆

∆∆

=∆∆


000

.

Portanto, de acordo com a definição, podemos escrever:

Com isto, concluímos que a derivada da função composta é igual ao produto das derivadas

das funções em relação às suas variáveis imediatas.

Esta regra é conhecida como Regra da Cadeia e é igualmente válida para funções compostas

de três ou mais partes.

Assim, por exemplo, se ( )ufy = , ( )tgu = e ( )xht = , então podemos empregar a Regra da

Cadeia e afirmar que:

Esta regra é considerada a mais importante entre todas as regras de derivação, uma vez que

é ela quem nos permite obter a derivada de certas funções aparentemente complicadas, conforme

teremos oportunidade de comprovar nas próximas aulas.

EXEMPLOS:

01) Encontre dx

dy, sendo 2uy = , 3vu = , 4tv = e 5xt =

dx

du

du

dy

dx

dy.=

dx

dt

dt

du

du

dy

dx

dy..=



Pela Regra da Cadeia: dx

dt

dt

dv

dv

du

du

dy

dx

dy...=

432 5.4.3.2 xtvudx

dy=

A derivada já está pronta na expressão acima. Entretanto, como entendemos que y é uma

função composta na variável x , então a derivada y′ deve ser também uma função de x .

Para obter essa função, basta substituir as funções na expressão obtida para a derivada, ou

seja:

( ) ( ) 435243 ....120 xxtvdx

dy=

( ) ( ) 4158534 ....120 xxxtdx

dy=

( ) 119415406041540125 120....120....120 xdx

dyxxxx

dx

dyxxxx

dx

dy=⇒=⇒=

02) Achar dx

dy, sabendo que 72 −= uy , 2tu = e 5xt =


dt

dt

du

du

dy

dx

dy..=

1945104524 20...20...205.2.2 xdx

dyxxx

dx

dyxxt

dx

dyxtu

dx

dy=⇒=⇒=⇒=

3.8.8 – FUNÇÃO INVERSA:

Vamos considerar uma função definida pela lei ( )xfy = , que seja bijetora num intervalo ℜ⊂I

e que seja derivável nesse intervalo.

Nestas condições, podemos afirmar que:

x

yy

x ∆∆

=′→∆lim

0

existe e é finito para todo Ix∈ .

Como, por hipótese, a nossa função ( )xfy = é bijetora no intervalo I , podemos definir nesse

intervalo a sua função inversa, isto é:

Se ( )xfy = , então ( )yfx 1−= (Inversa)



Portanto, de acordo com a definição de derivada, podemos também escrever:

y

xx

y ∆∆

=′→∆lim

0

(lembrando que, se 00 →∆⇒→∆ yx )


x

yx

x

yx

x

y

∆∆

=′⇒

∆∆

=′

→∆

→∆lim

lim

0

0

11

Finalmente, percebemos que:

Conclusão: A derivada da função inversa é igual ao inverso da derivada da função.

Tanto quanto a regra da função composta, estudada anteriormente, a regra da função inversa

será de grande aplicação para obter as derivadas de certos tipos de funções, como as

trigonométricas, por exemplo.

EXEMPLO:

Seja xy = , com 0>x , isto é, ( )xfy = .

Então, podemos escrever 2yx = , ou seja, ( )yfx 1−= (função inversa).

Neste caso: yx 2=′

Como x

y′

=′1

, então: x

yy

y2

1

2

1=′⇒=′

OBSERVAÇÃO: Este resultado está comprovado, pois já foi obtido anteriormente.

xyou

yx

′=′

′=′

11




3.8.9 – FUNÇÃO POTÊNCIA:

Na aula anterior aprendemos a regra para se derivar funções da forma nxy = , cuja derivada é

1. −=′ nxny .

Agora, que já conhecemos a regra da Função Composta, vamos aprender a derivar funções

potência da forma ( )[ ]nxfy = , onde ( )xf é uma função qualquer.

Fazendo nuy = e ( )xfu = , percebemos que y é uma função composta da variável x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: 1. −= nundu

dy e ( )xfdx

du ′=

Portanto: ( )xfundx

dy n ′= − .. 1 , ou seja:

EXEMPLOS:

01) ( )10023 3845 −+−= xxxy

( ) ( )8815.3845.100 29923 +−−+−= xxxxxdx

dy

Este exemplo mostra, com bastante clareza, a importância e praticidade desta regra.

Observe que a derivada foi obtida rapidamente e, principalmente, na forma fatorada.

Caso esta regra não existisse, teríamos primeiramente que desenvolver o produto notável, isto

é, elevar o polinômio à centésima potência, dando origem a um polinômio de grau 300, e só

depois o derivarmos para obter um polinômio de grau 299.

Além do trabalho de se desenvolver o polinômio, teríamos ainda o trabalho de deriva-lo e

fatorá-lo.

( )[ ] ( )xfxfndx

dy n ′= −..1



02) 5

52

23

+−

=x

xy

Fazendo 52

23

+−

=x

xu , teremos 5uy =


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: ( ) ( )

( ) ( )2252

19

52

23.252.3

+=

+

−−+=

xx

xx

dx

du e 45udu

dy=

Portanto: ( )

4

2 52

23.

52

95

+−

+=

x

x

xdx

dy

3.8.10 – FUNÇÃO EXPONENCIAL:

Seja a função exponencial definida por xay = , onde 0>a e 1≠a .

Por definição, sabemos que: ( ) ( )

x

xfxxf

dx

dy

x ∆−∆+

=→∆lim

0

Então: ( )x

aa

dx

dy

x

aa

dx

dy xx

x

xxx

x ∆−

=⇒∆−

=∆

→∆

∆+

→∆

1.limlim

00

x

aa

dx

dy x

x

x

x ∆−

=∆

→∆→∆

1.limlim

00

O primeiro limite é imediato e o segundo é um limite fundamental exponencial.

Portanto:

Esta regra, aplicada para exponenciais da forma xay = , pode ser estendida para funções

exponenciais da forma ( )xfay = , isto é, na forma composta.

Se aplicarmos a estas funções a Regra da Cadeia, veremos que a derivada será quase a

mesma que acabamos de mostrar.

Basta trocar x por ( )xf e multiplicar o resultado por ( )xf ′ , ou seja:

aadx

dyentãoaeacomaySe xx ln.,10, =≠>=



EXEMPLOS:

01) 3ln.33 xx

dx

dyy =⇒=

02) xxx edx

dyee

dx

dyey =⇒=⇒= ln.

Observe que, quando a base for Número Neperiano e, a constante irracional aln é 1.

03) xdx

dy

xdx

dyy

xxx

2

5ln.5

2

1.5ln.55 =⇒=⇒=

04) 3322

.2 −− =⇒= xx exdx

dyey

3.8.11 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA:

Como já aprendemos a derivar funções exponenciais e funções inversas, podemos obter a

derivada das funções logarítmicas aplicando essas regras, uma vez que as funções logarítmicas

são inversas das exponenciais.

Seja, então a função logarítmica definida pela equação: logx

ay = , onde 10,0 ≠>> aeax .

Nestas condições, podemos dizer que yax = (função inversa).

Aprendemos também que, para duas funções inversas: x

y′

=′1

.

No nosso caso: ax

yaa

yaaxy

y

ln.

1

ln.

1ln. =′⇒=′⇒=′

Porém: logln

1

ln

ln

ln

1 e

aaa

e

a=⇒= (pela Propriedade de mudança de bases em logaritmos)

( ) ( ) ( )xfaadx

dyentãoaySe xfxf ′== .ln.,



Portanto:

Observe que loge

a é uma constante irracional e que se tornará igual a 1 quando a base do

logaritmo for a base Natural e, ou seja, 1log =e

e.

Uma vez que a regra está demonstrada para logx

ay = , podemos utilizar a Regra da Cadeia e

estende-la para funções da forma ( )

logxf

ay = , isto é:

EXEMPLOS:

01) loglog33

1 ex

xyy =′⇒=

02) x

yx

yxye

e

11ln log =′⇒=′⇒=

03) logloglog555 2

1.

2

1

eex

xy

x

xyy =′⇒=′⇒=

04) ( )1

121ln

2

2

+−

−=′⇒+−=

xx

xyxxy

loglog1

,e

a

x

a xyentãoySe =′=

( ) ( )( ) loglog .,

e

a

xf

a xf

xfyentãoySe

′=′=




3.8.12 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

A) FUNÇÃO SENO:

Seja a função definida por xy sen= .


x

xfxxf

dx

dy

x ∆−∆+

=→∆lim

0

No nosso caso: ( )

x

xxx

dx

dy

x ∆−∆+

=→∆

sensenlim

0

Porém, da Trigonometria, sabe-se que:

+

−=−

2cos.

2sen.2sensen

BABABA (transformação de diferença em produto)

Então: ( )

∆+

∆=−∆+2

2cos.

2sen.2sensen

xxxxxx


x

xxx

dx

dy

x ∆

∆+

∆

=→∆

2

2cos.

2sen.2

lim0

Dividindo o numerador e o denominador por 2, podemos escrever:

∆+∆

∆

=→∆→∆ 2

2cos.

2

2sen

limlim00

xx

x

x

dx

dy

xx

Como o primeiro limite é fundamental e igual a 1, concluímos que:

xdx

dyentãoxySe cos,sen ==



Pela regra da função composta, podemos estender esta regra, ou seja:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( )2cos.22sen22 −=′⇒−= xxyxy

02) ( ) ( )xyxy 7cos77sen =′⇒=

03) ( ) ( )xxx eeyey cos.sen =′⇒=

B) FUNÇÃO COSSENO:

Seja a função definida por xy cos= .

Sabemos, por definição, que: ( ) ( )

x

xfxxf

dx

dy

x ∆−∆+

=→∆lim

0

No nosso caso: ( ) ( )

x

xxx

dx

dy

x ∆−∆+

=→∆

coscoslim

0

Da Trigonometria, mostra-se a seguinte identidade:

−

+−=−

2sen.

2sen.2coscos

BABABA

Assim: ( )

−∆+

+∆+−=−∆+

2sen.

2sen2coscos

xxxxxxxxx


x

xxx

dx

dy

x ∆

∆

∆+−

=→∆

2sen.

2

2sen2

lim0

Dividindo o numerador e o denominador por 2 e separando os limites, teremos:

( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxfdx

dyentãoxfySe cos.,sen ′==



∆+−

∆

∆

=→∆→∆ 2

2sen2.

2

2sen

limlim00

xx

x

x

dx

dy

xx

Como o primeiro limite é fundamental e vale 1, portanto:

Estendendo esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xfy cos= , teremos:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( )baxadx

dybaxy +−=⇒+= sencos

02) ( ) ( )22lnsen.2

1lncos xxx

xyxxy +

+−=′⇒+=

03) ( ) ( )xxyxy sensen.cossencos −=′⇒=

C) FUNÇÃO TANGENTE:

Se tgxy = , então podemos escrever x

xy

cos

sen= .

Assim, podemos derivar a tangente como uma função quociente, ou seja:

( )x

xx

xx

x

xxxx

dx

dy 2

22

22

2sec

cos

1

cos

sencos

cos

sen.sencos.cos==

+=

−−=

Portanto:

xdx

dyentãoxySe sen,cos −==

( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxfyentãoxfySe sen.,cos ′−=′=

xdx

dyentãotgxySe 2

sec, ==



Estendendo esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xftgy = , temos:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( )xxx ytgy 2sec;2ln.222=′⇒=

02) ( ) ( )7267sec.7 xxyxtgy =′⇒=

03) ( ) ( )xx

yxtgy lnsec1

ln2=′⇒=

D) FUNÇÃO COTANGENTE:

Se gxy cot= , então podemos escrever: x

xy

sen

cos= .

Derivando pela regra da função quociente, resulta:

xxx

xx

x

xxxx

dx

dy 2

22

22

2seccos

sen

1

sen

cossen

sen

cos.cossen.sen−=−=

+−=

−−=

Portanto:

Podemos estender esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xfgy cot= .

Assim:

( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxfdx

dyentãoxftgySe 2

sec., ′==

xdx

dyentãogxySe 2

seccos,cot −==

( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxfdx

dyentãoxfgySe 2

seccos.,cot ′−==



EXEMPLOS:

01) ( ) ( )xx

yxgy 2seccos

2

1cot −=′⇒=

02) ( ) ( )53seccos353cot2 +−=′⇒+= xyxgy

03) ( ) ( )xxyxgy senseccos.cossencot2−=′⇒=

E) FUNÇÃO SECANTE:

Se xy sec= , então x

ycos

1= .

Derivando pela regra da função quociente:

( )tgxx

x

x

xx

x

x

xx

dx

dy.sec

cos

sen.

cos

1

cos

sen

cos

sen.1cos.022

===−−

=

Portanto:

Estendendo esta regra para funções da forma ( )[ ]xfy sec= , teremos:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( ) ( )xtgxxyxy sen.sensec.cossensec =′⇒=

02) ( ) ( ) ( )xxxx etgeeyey .sec.sec =′⇒=

tgxxdx

dyentãoxySe .sec,sec ==

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]xftgxfxfdx

dyentãoxfySe .sec.,sec ′==



03) ( ) ( ) ( )mmmm xtgxxmyxy .sec..sec1−=′⇒=

F) FUNÇÃO COSSECANTE:

Se xy seccos= , então x

ysen

1= .

Pela regra da função quociente:

gxxx

x

xx

x

x

xx

dx

dycot.seccos

sen

cos.

sen

1

sen

cos

sen

cos.1sen.022

−=−=−=−

=

Portanto:

Estendendo esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xfy seccos= , teremos:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( ) ( ) ( )13cot.13seccos.3213seccos222 +−=−−−=′⇒+−= xxgxxxyxxy

02) ( ) ( ) ( )tgxgtgxxytgxy cot.seccos.secseccos2−=′⇒=

3.8.13 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:

Para obtermos as derivadas das Funções Trigonométricas Inversas, vamos recordar a Aula 7,

quando definimos essas funções adequadamente, em intervalos onde elas fossem bijetoras e

vamos aplicar a todas elas a Regra da Função Inversa.

gxxdx

dyentãoxySe cot.seccos,seccos −==

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]xfgxfxfdx

dyentãoxfySe cot.seccos,seccos ′−==



A) FUNÇÃO INVERSA DO SENO:

Se xy arcsen= , então yx sen= .

Logo: yx cos=′ e x

y′

=′1

(Regra da Função Inversa)

Assim: 22

1

1

sen1

1

xyy

−=

−=′

Portanto:

Para ( )[ ]xfy arcsen= , teremos:

EXEMPLOS:

01) ( )( ) 6

2

23

2

3

1

3

1

3arcsen

x

x

x

xyxy

−=

−=′⇒=

02) ( )( ) x

x

x

xx

e

e

e

eyey

2211

arcsen−

=−

=′⇒=

B) FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO:

Se xy arccos= , então yx cos= .

yx sen−=′ e x

y′

=′1

21

1,arcsen

xyentãoxySe

−=′=

( )[ ] ( )( )[ ]21

,arcsen

xf

xfyentãoxfySe

−

′=′=



Assim: 22

1

1

cos1

1

sen

1

xyyy

−−=

−−=

−=′

Portanto:

Estendendo para funções da forma ( )[ ]xfy arccos= , resulta:

EXEMPLOS:

01) ( )( )2251

525arccos

−−−=′⇒−=

xyxy

02) ( )( ) x

x

x

xx yy

2231

3ln3

31

3ln33arccos

−−=

−−=′⇒=

C) FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE:

Se arctgxy = , então tgyx = .

Neste caso: yx 2sec=′ e

xy

′=′1

Assim: 222

1

1

1

1

sec

1

xytgyy

+=

+==′

Portanto:

21

1,arccos

xyentãoxySe

−−=′=

( )[ ] ( )( )[ ]21

,arccos

xf

xfyentãoxfySe

−

′−=′=

21

1,

xyentãoarctgxySe

+=′=



Estendendo esta regra para funções compostas da forma ( )[ ]xfarctgy = :

EXEMPLOS:

01) ( )( ) 14

6

27

6

7

1

7

1

7

x

xy

x

xyxarctgy

+=′⇒

+=′⇒=

02) ( )x

xx yarctgy

221

2ln22

+=′⇒=

D) FUNÇÃO INVERSA DA COTANGENTE:

Se gxarcy cot= , então gyx cot=

Neste caso: yx 2seccos−=′ e

xy

′=′1

Assim: 222

1

1

cot1

1

seccos

1

xygyy

+−=

+−=

−=′

Portanto:

Estendendo esta regra para função composta:

EXEMPLOS:

01) ( )( ) 22

811

9

91

99cot

xy

xyxgarcy

+−=′⇒

+−=′⇒=

( )[ ] ( )( )[ ]21

,xf

xfyentãoxfarctgySe

+

′=′=

21

1,cot

xyentãogxarcySe

+−=′=

( )[ ] ( )( )[ ]21

,cotxf

xfyentãoxfgarcySe

+

′−=′=



02) ( )x

xyxgarcy

2sen1

cossencot

+−=′⇒=

E) FUNÇÃO INVERSA DA SECANTE:

Se xarcy sec= , então yx sec= .

Temos: tgyyx .sec=′ e x

y′

=′1

1

1

1sec.sec

1

.sec

1

22 −=

−==′

xxyytgyyy

Portanto:

Estendendo esta regra para função composta:

EXEMPLOS:

01) ( )( ) 12

1

1.

2

1

sec2 −

=′⇒−

=′⇒=xx

y

xx

xyxarcy

02) ( )( ) 1

1

1

sec22 −

=′⇒−

=′⇒=xxx

xx

ey

ee

eyearcy

F) FUNÇÃO INVERSA DA COSSECANTE:

Se xy secarccos= , então yx seccos= .

Neste caso: gyyx cot.seccos−=′ e x

y′

=′1

1

1,sec

2 −=′=

xxyentãoxarcySe

( )[ ] ( )( ) ( )[ ] 1

,sec2 −

′=′=

xfxf

xfyentãoxfarcySe



Logo: 1

1

1seccosseccos

1

cot.seccos

1

22 −−=

−−=

−=′

xxyygyyy

Portanto:

Estendendo a regra para função composta, teremos:

EXEMPLOS:

01) ( )( ) 1

5

1

5secarccos

10255

4

5

−−=′⇒

−−=′⇒=

xxy

xx

xyxy

02) ( )( ) 15

5ln

155

5ln55secarccos

22 −−=′⇒

−−=′⇒=

xxx

xx yyy

3.8.14 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS:

Como as Funções Hiperbólicas são todas definidas usando exponenciais de base natural,

podemos obter as suas derivadas a partir da definição de cada uma delas.

A) FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO:

Se xy senh= então, por definição, 2

xx eey

−−= .

A derivada será: ( )

xeeee

dx

dy xxxx

cosh22

=+

=−−

=−−

1

1,secarccos

2 −−=′=

xxyentãoxySe

( )[ ] ( )( ) ( )[ ] 1

,secarccos2 −

′−=′=

xfxf

xfyentãoxfySe



Portanto:

No caso da função composta, teremos:

EXEMPLOS:

01) ( ) ( ) ( )xxxxxyxxxy 52cosh.54352senh23223 +−+−=′⇒+−=

02) ( ) ( )xxx eeyey cosh.senh =′⇒=

B) FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO:

Se xy cosh= então, por definição, 2

xx eey

−+= .

A derivada será: ( )

xeeee

dx

dy xxxx

senh22

=−

=−+

=−−

Portanto:


xdx

dyentãoxySe cosh,senh ==

( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxfdx

dyentãoxfySe cosh,senh ′==

xdx

dyentãoxySe senh,cosh ==

( )[ ] ( ) ( )[ ]xfxfdx

dyentãoxfySe senh,cosh ′==



EXEMPLOS:

01) ( ) ( )xx

yxy senh2

1cosh =′⇒=

02) ( ) ( )xxyxy sensenh.cossencosh =′⇒=

C) FUNÇÃO TANGENTE HIPERBÓLICA:

Se tghxy = então, por definição, x

xy

cosh

senh= .

A derivada será: xhxx

xx

dx

dy 2

22

22

seccosh

1

cosh

senhcosh==

−=

Portanto:


EXEMPLOS:

01)

−=′⇒

=x

hx

yx

tghy1

sec11 2

2

02) ( ) ( )xxx hytghy 2sec.2ln.222=′⇒=

xhdx

dyentãotghxySe 2

sec, ==

( )[ ] ( ) ( )[ ]xfhxfdx

dyentãoxftghySe 2

sec, ′==



D) FUNÇÃO COTANGENTE HIPERBÓLICA:

Se ghxy cot= então, por definição, x

xy

senh

cosh= .

A derivada será: xhxx

xx

dx

dy 2

22

22

seccossenh

1

senh

coshsenh−=

−=

−=

Portanto:


EXEMPLOS:

01) ( ) ( )xhx

yxghy lnseccos1

lncot2−=′⇒=

02) ( ) ( )tgxhxytgxghy 22seccos.seccot −=′⇒=

E) FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA:

Se hxy sec= então, por definição, x

ycosh

1= .

A derivada será: tghxhxx

x

xxx

x

x

xx

dx

dy.sec

cosh

senh.

cosh

1

cosh.cosh

senh

cosh

senh.1cosh.02

−=−=−

=−

=

Portanto:

xhdx

dyentãoghxySe 2

seccos,cot −==

( )[ ] ( ) ( )[ ]xfhxfdx

dyentãoxfghySe 2

seccos,cot ′−==

tghxhxdx

dyentãohxySe .sec,sec −==




EXEMPLOS:

01) ( ) ( ) ( )5545.sec.5sec xtghxhxyxhy −=′⇒=

02) ( ) ( ) ( )xxxx tghhyhy 10.10sec.10ln1010sec −=′⇒=

F) FUNÇÃO COSECANTE HIPERBÓLICA:

Se hxy seccos= então, por definição, x

ysenh

1= .

A derivada será: ghxhxx

x

xxx

x

x

xx

dx

dycot.seccos

senh

cosh.

senh

1

senh.senh

cosh

senh

cosh.1senh.02

−=−=−

=−

=

Portanto:


EXEMPLOS:

01) ( ) ( ) ( )baxghbaxhaybaxhy ++−=′⇒+= cot.seccos.seccos

02) ( ) ( ) ( )xghxhxyxhy coscot.cosseccos.sencosseccos =′⇒=

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]xftghxfhxfdx

dyentãoxfhySe .sec,sec ′−==

ghxhxdx

dyentãohxySe cot.seccos,seccos −==




APLICAÇÕES:

Agora que já estudamos todas as regras de derivação de funções da forma ( )xfy = , e já

termos feito exemplos específicos para cada uma delas em particular, achamos importante fazer

esta aula apenas com exercícios resolvidos.

01) Achar a derivada y′ nas seguintes funções:

a) ( )xy arcsencos=

Fazendo xu arcsen= , temos uy cos=


du

du

dy

dx

dy.=

( )222

11

1.arcsensen

1

1.sen

x

x

dx

dy

xx

xu

dx

dy

−−=⇒

−−=

−−=

b) 2

2

.

x

exy−

=

( )xeyex

xxey

xxx

21..2

..1 222

222

−=′⇒

−+=′−−−

c) x

xy

−

+=1

1

( ) ( )( )21

1.2

11.

2

1

x

xx

xx

y−

+

−−−

=′

( ) ( )22

1.

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

xxy

x

xxy

−=′⇒

−

++−=′



d) 3 43 2 x

b

x

ay −=

3

4

3

2

..−−

−= xbxay

13

41

3

2

..3

4..

3

2 −−−−

−−−=′ xbxay

3 73 5

3

7

3

5

3

4

3

2..

3

4..

3

2

x

b

x

ayxbxay +−=′⇒+−=′

−−

e) ( )

( )[ ] 23

2

235sen

5sen

1 −=⇒= xy

xy

( )[ ] ( )212

32

5cos.10.5sen2

3xxxy

−−−=′

( )[ ] ( ) ( )( )25

22

2

52

5sen

5cos.155cos.10.5sen

2

3

x

xxyxxxy −=′⇒−=′

−

02) Se

=6

3 xtgy

π, calcule ( )2y′

6.

6sec.

6.3

22 πππ

=′xx

tgy

Para 2=x , teremos:

( )6.

3sec.

3.32

22 πππ

=′ tgy

Da Trigonometria, sabemos que: 33=

πtg e 2

3sec =

π

Então: ( ) ( ) ( ) ππ

626.2.3.322

2

=′⇒=′ yy

03) Se ( )

++=2

arcsen1lnx

xy , calcule o valor de ( )1y′ .



224

1

1

1

41

2

1

1

1

xxy

xxy

−+

+=′⇒

−

++

=′

No ponto 1=x , teremos:

( ) ( ) ( )6

3231

3

3

2

11

3

1

2

11

+=′⇒+=′⇒+=′ yyy

04) Prove que, se x

xy

2cos1

2cos1

−+

= , então x

xy

3sen

cos2−=′ .

( ) ( )( )22cos1

2sen2.2cos12cos1.2sen2

x

xxxxy

−

+−−−=′

( )22cos1

2cos.2sen22sen22cos.2sen22sen2

x

xxxxxxy

−

−−+−=′

( ) x

xy

x

xxy

xx

xy

34222 sen

cos2

sen.4

cos.sen2.4

sencos1

2sen4−=′⇒−=′⇒

+−−=′

05) Sendo ty sen= , tu cos= e

=u

x1

arccos e ( )xfy = , achar y′ .

Temos y como uma função composta da variável x .

Neste caso, devemos ter ( )tfy = , ( )ugt = e ( )xhu = .

Portanto, devemos reescrever as expressões dadas, isto é:

ty sen= ; ut arccos= e xx

uxu

seccos

1cos

1==⇒=

Pela Regra da Cadeia:

dx

du

du

dt

dt

dy

dx

dy..=

Assim: x

tgxx

dx

dytgxx

ut

dx

dy

2

2

2sec1

.sec.sec.

1

1.cos

−−=⇒

−−=

Atenção: Observe que, embora tenhamos determinado uma expressão para a derivada desta

função composta, ela não existe no campo dos Reais, uma vez que xtgx 22sec1 −=− . No entanto,

o exercício é didaticamente válido, como uma aplicação de funções compostas.




3.9 – DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS:

Dizemos que uma função é Implícita ou é definida implicitamente quando ela é representada

por uma equação da forma ( ) 0, =yxf .

EXEMPLOS:

01) 023 2 =+ xyx

02) ( ) ( ) 0sencoscot 232 =+− yxyxyg

03) 133 =− yx

04) 1cossenlnln 2 −=+−+ xyxyx

05) ( )6

arcsenπ

=+ yx

Uma função dada na forma implícita ( ) 0, =yxf geralmente está representando numa única

equação duas ou mais funções explícitas da forma ( )xfy = .

Algumas funções implícitas podem ser escritas na forma explícita, mas a maioria não.

Neste item queremos obter a derivada y′ de uma função implícita, independentemente do fato

de podermos ou não escreve-la na forma explícita.

Para isto, procedemos da seguinte maneira:

a) usando as regras de derivação conhecidas derivamos a equação com relação a x e a y ,

simultaneamente;

b) quando derivarmos com relação a y devemos multiplicar o resultado por y′ ;

c) como y′ irá aparecer como um fator comum, então o colocamos em evidência e o

isolamos.

Desta forma teremos obtido a expressão da derivada da função implícita, que será outra

função implícita.



Esta derivada é válida para todas as funções explícitas que essa função implícita está

representando.

EXEMPLOS:

Achar a derivada y′ nas funções dadas na forma implícita:

01) 122 =+ yx

Derivando implicitamente:

0.22 =′+ yyx

Isolando y′ , temos: y

xy

y

xy −=′⇒

−=′2

2

Observação:

A equação 122 =+ yx representa no plano cartesiano uma circunferência de centro na Origem

e raio unitário. Portanto, esta equação não representa uma função e sim uma relação.

Entretanto, interpretando essa relação como uma função dada na forma implícita, foi possível

encontrar uma expressão para a sua derivada.

Usando o conceito da Interpretação Geométrica da Derivada, observe que a expressão obtida

para a derivada de 122 =+ yx é válida para qualquer ponto ( )yx, da circunferência,

independentemente do quadrante ao qual pertença esse ponto.

Este exemplo ilustra o fato de que, mesmo quando a função implícita representar várias

funções, é possível obter uma única expressão para as derivadas de todas essas funções.

02) 253 2 =− xyx


( ) 0..1.56 =′+− yxyx

yxyxyxyx 5650556 −=′⇒=′−−

Isolando y′ , obtemos: x

yxy

5

56 −=′

03) 0333 =−+ axyyx


( ) 03.33 22 =′+−′+ yxyayyx



033.33 22 =′−−′+ yaxayyyx

( ) ( )22 33 xayaxyy −=−′

Isolando y′ , resulta: axy

xayy

−

−=′

2

2

04) ( ) yyxarctg =+

Podemos escrever: tgyyx =+


yyy ′=′+ .sec1 2

( ) 11sec2 =−′ yy

Isolando y′ , teremos: ygyytg

yy

y 2

22cot

1

1sec

1=′⇒=′⇒

−=′

05) xey xy =+ln


( ) 1.1

=′++′ yxyeyy

xy

1.. =′++′ xyxy eyxeyy

y

Multiplicando por y :

yeyxyeyy xyxy =′++′ ..2

( ) xyxy eyyexyy ..1 2−=+′

Isolando y′ , obtemos: xy

xy

exy

eyyy

.1

.2

+

−=′

06) Mostre que a equação da reta tangente ao gráfico da função 28y2xyx 22 =++ no ponto

)3,2(P é 08y2x =−+ .

A equação da reta tangente à curva da função ( )xfy = no ponto ( )00 , yx é dada por:

( )( )000 . xxxyyy −′=− , onde 20 =x e 30 =y .

Falta-nos apenas o valor da derivada ( ) ( )20 yxy ′=′ .

Como a função foi dada na forma implícita, vamos deriva-la implicitamente.

Assim: 042 =′+′++ yyyxyx



( ) yxyxy −−=+′ 24

Isolando y′ , obtemos yx

yxy

4

2

+

−−=′

No ponto ( ) ( )2

1

14

7

122

3423,2 −=

−=

+−−

=′⇒ yP

Então, a reta tangente será: ( )22

13 −−=− xy , ou, na forma geral: 082 =−+ yx

3.10 – DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL GERAL:

Dizemos que uma função é Exponencial Geral quando ela se apresenta sob a forma vuy = ,

onde ( )xuu = e ( )xvv = , isto é, uma função exponencial particular onde tanto a base como o

expoente são funções da variável x

EXEMPLOS:

01) xxy =

02) xxy sen=

03) ( ) xtgxy

cosh=

Como não se trata de uma função potência e muito menos de uma função exponencial

comum, devemos dar um tratamento especial para essa classe de funções.

Este tratamento consiste em transformar a função dada com o uso de logaritmos e, depois,

deriva-la implicitamente.

De modo geral:

Se vuy = , podemos tomar logaritmos e obter:

uvyuy v ln.lnlnln =⇒= (que é uma função implícita)


u

uvuvy

y

′+′=′ .ln..

1



′+′=′u

vuuvyy ln.

Como vuy = , podemos escrever:

EXEMPLOS:

01) xx xyxy

1

=⇒=

Tomando logaritmos:

xx

yxy x ln.1

lnlnln

1

=⇒=


xxx

xy

y

1.1

ln.1

.1

2+−=′

( ) ( )xx

xyx

x

yy

x

ln1.ln1.22

−=′⇒−=′

02) xxy ln=

Tomando logaritmos:

xxyxy x ln.lnlnlnln ln =⇒=


xx

xx

yy

ln.1

ln.1

.1

+=′

xx

xyx

x

yy

x

ln.2

ln2 ln

=′⇒=′

03) ( )xxy sen=

Tomando logaritmos:

( ) ( )xxyxyx

senln.lnsenlnln =⇒=


( )x

xxxy

y sen

cos.senln.1.

1+=′

′+′=′u

vuuvuy v ln.



( )

+=′x

xxxyy

sen

cossenln.

( ) ( )[ ]gxxxxyx

cot.senln.sen +=′

3.11 – DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR:

Consideremos que a função definida por ( )xfy = seja Contínua num intervalo ℜ⊂I e

derivável num intervalo II ⊂1 .

Então, nesse intervalo 1I , podemos definir a função ( )xfy ′=′ , isto é, a função derivada

primeira de y em relação a x ou derivada de primeira ordem.

Se ( )xfy ′=′ for derivável num intervalo 12 II ⊂ , podemos definir em

2I a função ( )xfy ′′=′′ ,

isto é, a função derivada segunda de y em relação a x ou derivada de segunda ordem.

Se tomarmos intervalos 23 II ⊂ , 34 II ⊂ , etc., podemos definir as derivadas:

( ) ⇒′′′=′′′ xfy derivada terceira ou de terceira ordem;

( ) ⇒= xfy IVIV derivada quarta ou de quarta ordem;

M

( ) ( )( ) ⇒= xfy nn derivada enésima ou de enésima ordem.

Estas derivadas, chamadas de Derivadas de Ordem Superior ou Derivadas Sucessivas,

podem ainda ser denotadas por:

Cada derivada de ordem superior é obtida derivando-se a derivada anterior, isso é:

( )

==

==′′′

==′′

−

−

1

1

2

2

3

3

2

2

n

n

n

nn

dx

yd

dx

d

dx

ydy

dx

yd

dx

d

dx

ydy

dx

dy

dx

d

dx

ydy

M



- a derivada de segunda ordem é a derivada da derivada de primeira ordem;

- a derivada de terceira ordem é a derivada da derivada de segunda ordem;

- a derivada de quarta ordem é a derivada da derivada de terceira ordem;

e assim, sucessivamente.

EXEMPLOS:

01) Obter todas as derivadas da função definida por 15234 2345 ++−+−= xxxxxy .

11081220 234 +−+−= xxxxdx

dy (derivada de primeira ordem)

10163680 23

2

2

−+−= xxxdx

yd (derivada de segunda ordem)

1672240 2

3

3

+−= xxdx

yd (derivada de terceira ordem)

724804

4

−= xdx

yd (derivada de quarta ordem)

4805

5

=dx

yd (derivada de quinta ordem)

06

6

=dx

yd (derivada de sexta ordem)

07

7

=dx

yd (derivada de sétima ordem)

De maneira geral, podemos então afirmar que 0=n

n

dx

yd, para todo 6≥Ν∈ nen

02) Achar todas as derivadas da função definida pela equação 10, ≠>= aeacomay x .

aay x ln.=′

( )2ln.ln.ln. aayaaay xx =′′⇒=′′

( ) ( )32ln.ln.ln. aayaaay xx =′′′⇒=′′′

Por indução, podemos dizer que: ( ) ( )nxn aay ln.= .



03) Obtenha uma expressão que represente a enésima derivada da função x

y1

= .

22

!11

xxdx

dy−=−=

( )332

2

4

2

2

2 !222.1.0

xxdx

yd

x

xx

dx

yd==⇒

−−=

443

3

6

23

3

3 !363.2.0

xxdx

yd

x

xx

dx

yd−=−=⇒

−=

( )554

4

8

34

4

4 !4244.6.0

xxdx

yd

x

xx

dx

yd==⇒

−−=

Podemos, então, induzir que ( ) Ν∈−=+

ncomx

n

dx

ydn

n

n

n

,!

.11

.

04) Mostre que a função xey x cos.−= verifica a equação 044

4

=+ ydx

yd

( )xxeexxedx

dy xxx sencos..sencos. +−=−−= −−−

( ) ( ) xedx

ydxxexxe

dx

yd xxx sen.2cossen.sencos.2

2

2

2−−− =⇒+−−+=

( )xxedx

ydxexe

dx

yd xxx sencos.2cos.2sen.23

3

3

3

−=⇒+−= −−−

( ) ( ) xedx

ydxxexxe

dx

yd xxx cos.4cossen.2sencos.24

4

4

4−−− −=⇒−−+−−=

Substituindo na equação 044

4

=+ ydx

yd, temos:

0cos.4cos.4 =+− −− xexe xx

Observação: A equação do exercício é chamada de Equação Diferencial e a função dada,

que a verifica, é uma das soluções dessa Equação Diferencial. Este assunto será objeto de estudo

em outro curso de Cálculo que você terá futuramente.



05) Se ( )3xfy = e ( ) 3 xxf =′ , achar ( )4y ′′ .

Temos: ( ) 23 3. xxfy ′=′ , pois y é uma função composta de x .

Como ( ) 3 xxf =′ , então ( ) ( )xxfxxf 33 33 ′⇒=′

Portanto: 232 93.3 xyxyxxy =′′⇒=′⇒=′

Para 4=x , teremos: ( ) ( ) 14444.94 2 =′′⇒=′′ yy

06) Se 022222 =++++ yxxyyx , encontre y ′′ no ponto ( )3,1 −P .


0.22.22.22 =′++′++′+ yyxyyyx (1)

Derivando mais uma vez implicitamente, temos:

02.222.2.22 =′′+′′+′+′+′′+′′+ yyxyyyyyy (2)

Substituindo o ponto P em (1):

10222662 −=′⇒=′++′+−′− PPPP yyyy

Levando na equação (2) :

( ) 0224.6222 =′′+′′+′+′′−′+ PPPPP yyyyy

Calculando, temos:

004222 =′′⇒=−′′−+ PP yy




3.12 – DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO: DEFINIÇÃO:

Consideremos uma função definida por ( )xfy = e derivável no seu Domínio.

Por definição, sabemos que:

( )x

yxf

x ∆∆

=′→∆lim

0

Podemos tirar o limite, escrevendo:

( ) ε±′=∆∆

xfx

y , onde 0→ε

Multiplicando membro a membro por x∆ , temos:

( ) xxxfy ∆±∆′=∆ .. ε

Como 0→∆x e 0→ε , então o produto x∆.ε tende a zero muito mais rapidamente do que os

fatores ε e x∆ isoladamente.

Logo, a parte principal do Acréscimo y∆ deve-se à primeira parcela ( ) xxf ∆′ . .

A esta parte principal damos o nome de Diferencial da função, e indicamos por dy .

Assim: ( ) xxfdy ∆′= .

Porém, como x é a variável independente, podemos chamar dxx =∆ .

Portanto, a Diferencial dy é definida por:

CONCLUSÃO: A Diferencial dy de uma função ( )xfy = é igual ao produto da sua derivada

( )xf ′ pela diferencial dx da variável x .

OBSERVAÇÃO: Não devemos confundir a Diferencial dy com o Acréscimo y∆ de uma

função ( )xfy = . Na verdade, eles são valores aproximados e, sempre que necessário, podemos

utilizar a Diferencial como uma aproximação do Acréscimo, isto é, ydy ∆≅ .

Para ilustrar esta observação, vamos considerar o seguinte exemplo:

( )dxxfdy .′=



“Sendo 27 cm3 o volume de uma caixa cúbica, de quanto devemos aumentar a aresta para

que a mesma atinja, aproximadamente, 30 cm3?”

1a Solução - Usando acréscimos:

Supondo que a aresta do cubo tenha medida x , temos 3xV = (volume)

Portanto: ( )3xxVV ∆+=∆+

3223.3.3 xxxxxxVV ∆+∆+∆+=∆+

322.3.3 xxxxxV ∆+∆+∆=∆

Tomando cmx 3= e 332730 cmV =−=∆ , temos:

03.27.9.9.2732332 =−∆+∆+∆⇒∆+∆+∆= xxxxxx

A equação obtida é do terceiro grau, cuja solução não é elementar.

Se resolvermos numericamente esta equação, vamos obter, à custa de muito trabalho, o

seguinte resultado:

2a Solução - Usando diferenciais:

( ) ( ) dxxdVdxxfdVxfVxV .3.23 =⇒′=⇒=⇒=

Tomando cmx 3= e 33 cmdV = , teremos:

cmdxdx9

1.9.33 =⇒= ⇒

cm3

cm3

cm3

cmx 107,0=∆

cmdx 11,0≅



3.13 – PROPRIEDADES DA DIFERENCIAL:

Para enunciar as propriedades das Diferenciais, vamos considerar ℜ∈k , ( )xuu = e ( )xvv = ,

isto é, u e v são duas funções de x .

EXEMPLOS:

Achar as diferenciais das seguintes funções:

01) xxtgxy ++= 3

dxx

xxdy .2

13sec

22

++=

02) xexy += ln

dxex

dy x.

1

+=

03) xxy sen.2=

( ) dxxxxxdy .cos.sen.22+=

[ ] 0:1

=kdP

[ ] dukkudP ..:2

=

[ ] dvduvudP +=+:3

[ ] dvuduvvudP ...:4

+=

25

..:

v

dvuduv

v

udP

−=



04) 53223 =+ xyyx

Diferenciando implicitamente:

03346322 =+++ xdyydxydyxdxyx

( ) ( ) ( )( ) dxyxx

yyxdydxyyxxyxdy .

34

232334

2

22

223

+

+−=⇒+−=+

3.14 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DIFERENCIAL:

Seja ( )xfy = uma função definida e derivável num intervalo dos Reais, cujo gráfico é o da

figura abaixo:

Vamos considerar, ainda, uma reta tangente à curva no ponto ( )00

, yx , formando um ângulo α

com o sentido positivo do eixo das abscissas.

0

y

x

( )xfy =

y

x α

0y

reta tangente

0x 0



Se atribuirmos à variável x um acréscimo xdx ∆= , com 0→∆x , em correspondência vamos

obter um acréscimo dy para y .

Do triângulo ABC, temos:

AB

BCtg =α

Mas: xdxAB ∆==

Logo: dx

BCtg =α

Porém, da Interpretação Geométrica da Derivada, sabemos que ( )xftg ′=α para todo x do

Domínio da função ( )xf onde ela é derivável.

Assim:

( ) ( ) dxxfBCdx

BCxf .′=⇒=′

Como, por definição, ( )xfdy ′= , teremos dyBC = .

CONCLUSÃO:

Numa função ( )xfy = , quando atribuímos à variável x um acréscimo dxx =∆ , vamos obter

em correspondência um acréscimo dy na ordenada da reta tangente à curva desta função em

cada ponto do seu Domínio.

0

y

x α

0x

0y

xx ∆+0

yy ∆+0

α A

B

C

x∆

dx

dy

y∆



3.15 – DERIVADA DE FUNÇÕES PARAMÉTRICAS:

Chamamos de Paramétrica a toda função definida de modo que as variáveis independente ( )x

e dependente ( )y são escritas em função de uma terceira variável chamada de Parâmetro.

Vamos admitir, então, que a função ( )xfy = seja definida na forma paramétrica da seguinte

maneira: ( )( )

=

=

thx

tgy , onde t é o parâmetro, isto é, tanto x quanto y são funções de t .

As diferenciais dy e dx são, respectivamente:

( )dttgdy .′= e ( )dtthdx .′=

Dividindo dy por dx , teremos:

( )( )

( )( )thtg

dtth

dttg

dx

dy

′′

=′′

=.

. ⇒

Da mesma forma, se dividirmos dx por dy , obtemos:

( )( )

( )( )tgth

dttg

dtth

dy

dx

′′

=′′

=.

. ⇒

CONCLUSÃO:

Para derivar uma Função Paramétrica, basta derivar as variáveis dependente e independente

com relação ao parâmetro e dividir uma derivada pela outra.

EXEMPLOS:

01) Calcular dx

dy, sendo

=

+=

tx

tty

1

2

, com 0≠t .

dtdxdt

dy

dx

dy= ⇒

23

2

21

12tt

t

t

dx

dy−−=

−

+=

dtdxdt

dy

dx

dy=

dtdydt

dx

dy

dx=



02) Calcule dy

dx, sabendo que

=

=

tbx

tay

2

2

cos

sen, onde *ℜ∈a e *ℜ∈b

dtdydt

dx

dy

dx= ⇒

( )a

b

dy

dx

tta

ttb

tta

ttb

dy

dx−=⇒

−=

−=

cossen2

cossen2

cos.sen2.

sen.cos2.

03) Calcule 2

2

dx

yd, sendo

=

=

θ

θθ

θ

sen.

cos.

ey

ex

θθθθ

θθθθ

θ

θθθ

θθ

sencos

cossen

sen.cos.

cos.sen.

−+

=⇒−

+=⇒=

dx

dy

ee

ee

dx

dy

ddxd

dy

dx

dy

Temos:

−+

=⇒

=θθθθ

sencos

cossen2

2

2

2

dx

d

dx

yd

dx

dy

dx

d

dx

yd

Porém, não podemos derivar com relação à variável x uma função definida na variável θ , que

é o parâmetro.

Portanto, para obtermos a derivada de segunda ordem, devemos fazer:

dx

d

dx

dy

d

d

dx

yd θθ

.2

2

=

Como

θ

θ

d

dxdx

d 1= , podemos escrever:

Igualmente, faríamos:

E assim, sucessivamente.

No nosso caso: θθθθ

θθθ θθ

sen.cos.

1.

sencos

cossen2

2

eed

d

dx

yd

−

−+

=

( ) ( )( ) ( )θθθθ

θθθθθ

sencos.

1.

sencos

cossensencos2

22

2

2

−−

++−=

edx

yd

( )32222

2

2

sencos.

coscos.sen2sensencos.sen2cos

θθθθθθθθθθ

θ −

++++−=

edx

yd

θθ

d

dxdx

dy

d

d

dx

yd 1.

2

2

=

θθ

d

dxdx

yd

d

d

dx

yd 1.

2

2

3

3

=



Simplificando: ( )32

2

sencos.

2

θθθ −=edx

yd .

04) Calcule 2

2

dy

xd, sabendo que

−=

−=

ty

ttx

cos1

sen.

t

t

dy

dx

dtdydt

dx

dy

dx

sen

cos1−=⇒=

dt

dyt

t

dt

d

dy

xd

dy

dt

dy

dx

dt

d

dy

xd 1.

sen

cos1.

2

2

2

2

−=⇒

=

( )tt

ttt

dy

xd

sen

1.

sen

cos1.cossen2

2

2

2 −−=

t

t

dy

xd

t

ttt

dy

xd32

2

3

22

2

2

sen

cos1

sen

coscossen −=⇒

+−=




3.16 – REGRA DE L’HÔPITAL:

A Regra de L’Hôpital é uma aplicação imediata de derivadas na resolução de limites que

tenham indeterminações das formas 0

0 ou

∞∞

, conforme teremos oportunidade de demonstrar

nesta aula.

3.16.1 – Indeterminação da forma 0/0:

Sejam as funções ( )xf e ( )xg , deriváveis num intervalo ℜ⊂I e seja Ix ∈0

um ponto para o

qual se tem ( ) ( ) 000== xgxf .

Neste caso: ( )( )

( )( ) 0

0

0

0

lim0

==→ xg

xf

xg

xf

xx

(indeterminado)

Como, por hipótese, ( ) ( ) 000== xgxf , podemos escrever:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

0

0

limlim00

xgxg

xfxf

xg

xf

xxxx −

−=

→→

Dividindo o numerador e o denominador por ( )0xx − , resulta:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )0

0

0

0

limlim00

xx

xgxg

xx

xfxf

xg

xf

xxxx

−

−−

−

=→→

Separando os limites, teremos:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )0

0

0

0

lim

lim

lim

0

0

0

xx

xgxg

xx

xfxf

xg

xf

xx

xx

xx

−

−−

−

=

→

→

→



Como, por definição: ( ) ( ) ( )

0

0

0

lim0

xfxx

xfxf

xx

′=−

−

→

e ( ) ( ) ( )

0

0

0

lim0

xgxx

xgxg

xx

′=−

−

→

, podemos

concluir que:

EXEMPLOS:

01) 0

0sen

lim0

=→ x

x

x

(indeterminado)

Pela Regra de L’Hôpital:

11

1

1

0cos

1

cossen

limlim00

====→→

x

x

x

xx

02) 0

0

20

16

2

2

4

lim =−+

−

→ xx

x

x

(indeterminado)


9

8

12

2

20

16

limlim4

2

2

4

=+

=−+

−

→→ x

x

xx

x

xx

03) 0

0

lim =−−

→ ax

ax nn

ax

(indeterminado)


1

1

.1

.

limlim−

−

→→

==−− n

n

ax

nn

ax

anxn

ax

ax

04) 0

0

senlim

0

=− −

→ x

ee xx

x

(indeterminado)


21

11

cossenlimlim

00

=+

=+

=− −

→

−

→ x

ee

x

ee xx

x

xx

x

( )( )

( )( )

( )( )0

0

limlim00

xg

xf

xg

xf

xg

xf

xxxx ′

′=

′′

=→→

Regra de L’Hôpital



3.16.2 – Indeterminação da forma 00/00:

Sejam as funções ( )xf e ( )xg , deriváveis num intervalo ℜ⊂I .

Vamos admitir ainda que ( ) ∞→0xf e que ( ) ∞→

0xg .

Neste caso: ( )( ) ∞

∞=

→ xg

xf

xxlim

0

(indeterminado)


( )( )

( )

( )0

0

1

1

limlim00

==→→

xf

xg

xg

xf

xxxx

(indeterminado)

Como há uma indeterminação da forma 0

0 no segundo limite, então podemos aplicar a ele a

Regra de L’Hôpital, ou seja:

( )( )

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( )( )

( )( )[ ]( )( )[ ]2

2

2

2

limlimlimlim0000

.1.0

.1.0

xf

xf

xg

xg

xg

xf

xf

xfxf

xg

xgxg

xg

xf

xxxxxxxx′

−

′−

=⇒′−

′−

=→→→→

( )( )

( )[ ]( )[ ]

( )( )xfxg

xg

xf

xg

xf

xxxx ′′

=→→

.2

2

limlim00

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )xfxg

xg

xf

xg

xf

xg

xf

xxxxxxxx ′′

=→→→→limlimlimlim

0000

..

( )( )

( )( )xgxf

xf

xg xx

xx

limlim

0

0

1

→

→

=

′′


Isto é, a Regra de L’Hôpital é a mesma para os dois tipos de indeterminação.

( )( )

( )( )

( )( )0

0

limlim00

xg

xf

xg

xf

xg

xf

xxxx ′

′=

′′

=→→

Regra de L’Hôpital



EXEMPLOS:

01) ( ) ∞

∞=

+∞→ 1ln

ln

limx

x

x

(indeterminado)


( )1

11

1

1

1

1

1ln

ln

limlimlimlim =

+=+

=

+

=+ ∞→∞→∞→∞→ xx

x

x

x

x

x

xxxx

02) ∞∞

=++

∞→3

32623

limx

xx

x

(indeterminado)


222

3

66623

limlimlim 2

2

3

32

=

+=+

=++

∞→∞→∞→ xx

xx

x

xx

xxx

03) Resolver x x

x

a+∞→

1lim , com 10 ≠> aea e 1≥x .

Temos: ( ) 0

1

11 limlim ∞=+=+∞→∞→

xx

x

x x

x

aa (indeterminado)

Percebemos que o limite em questão é indeterminado, porém não das formas 0

0 ou

∞∞

. Então,

aparentemente, não podemos aplicar a este limite a Regra de L’Hôpital.

No entanto, vamos tentar fazer uma modificação neste limite.

Chamando: ( )xxay1

1+= e tomando logaritmos nos dois membros, teremos:

( ) ( ) ( )x

aya

xyay

xx

xx +

=⇒+=⇒+=1ln

ln1ln.1

ln1lnln

1

Tomando limites para ∞→x :

( )∞∞

=+

=∞→∞→ x

ay

x

xx

1lnln limlim (indeterminado)

Aplicando a Regra de L’Hôpital no segundo limite, resulta:

∞∞

=+

=∞→∞→

x

x

xx a

aay

1

lnln limlim (indeterminado)



Aplicando novamente L’Hôpital:

( )aaa

aa

aay x x

xx

x

xx

=+⇒==

∞→∞→∞→

1lnln

lnln limlimlim

2

OBSERVAÇÃO:

Uma vez que definimos a Regra de L’Hôpital, você pode voltar ao capítulo anterior e resolver

novamente os limites que foram propostos usando esta regra.




3.17 – CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES:

3.17.1 – Funções Crescentes e Decrescentes:

Neste item procuraremos empregar o conceito de derivadas para identificar funções

crescentes ou decrescentes.

Porém, é necessário primeiramente definir Função Crescente e Função Decrescente.

Seja a função definida pela lei ( )xfy = , que seja contínua num intervalo ℜ⊂I e seja 0x um

ponto desse intervalo.

Então definimos:

A – Função Crescente:

Para todo ( ) ( )( ) ( )

>⇒>

<⇒<∈

00

00:

xfxfxxse

xfxfxxseIx , então dizemos que a função é crescente neste

intervalo.

Graficamente:

y

x 0 x 0

x x

( )xf

( )0xf

( )xf

( )xfy =



B – Função Decrescente:

Para todo ( ) ( )( ) ( )

<⇒>

>⇒<∈

00

00:

xfxfxxse

xfxfxxseIx , então dizemos que a função é decrescente neste

intervalo.

Graficamente:

3.17.2 – Intervalos de Crescimento e Decrescimento de Funções:

Podemos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função definida

pela lei ( )xfy = simplesmente analisando os sinais de sua derivada ( )xf ′ .

Seja ( )xfy = uma função crescente num intervalo ℜ⊂I e vamos tomar retas tangentes à

curva dessa função em pontos variados deste intervalo.

y

x 0 x 0

x x

( )xf

( )0xf

( )xf

( )xfy =

y

x 0

α α α

( )xfy =



Neste caso, percebemos que

∈2,0π

α e 0>αtg .

Vamos, agora, repetir este procedimento, considerando que a função ( )xfy = seja

decrescente num intervalo ℜ⊂I .

Neste caso, percebemos que

∈ ππ

α ,2

e 0<αtg .

De acordo com a Interpretação Geométrica da Derivada, ( ) αtgxf =′ para todo ponto x do

Domínio da função onde ela é derivável.

Portanto, para um intervalo ℜ⊂I onde a função é contínua, podemos concluir que:

Assim, para identificarmos os intervalos de crescimento ou decrescimento de uma função

( )xf , basta estudarmos os sinais de sua derivada ( )xf ′ .

EXEMPLOS:

01) Identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função ( ) 762

5

3

23

−+−= xxx

xf .

y

0 x

α α α

( )xfy =

( ) ( )( ) ( ) IemedecrescentéxfentãoIemxfSe

IemcrescenteéxfentãoIemxfSe

,0

,0

<′

>′



Temos: ( ) 652 +−=′ xxxf

Como a derivada é um polinômio de 2o grau e devemos estudar os seus sinais, vamos

primeiramente achar as suas raízes.

Para 0652 =+− xx temos 2=x ou 3=x .

Estudo de Sinais:

Concluímos que:

• ( )xf é crescente para 2<x ou 3>x ;

• ( )xf é decrescente para 32 << x .

02) Estudar os intervalos de crescimento e decrescimento da função ( ) 1249223 +−−= xxxxf .

Temos: ( ) 241862 −−=′ xxxf

Resolvendo a equação ( ) 0=′ xf , temos as raízes: 1−=x e 4=x .

Estudo de Sinais:

Concluímos que:

• ( )xf é crescente para 1−<x ou 4>x ;

• ( )xf é decrescente para 41 <<− x .

03) Estude a função ( )3

3

−+

=x

xxf quanto ao seu crescimento ou decrescimento.

Temos: ( ) ( ) ( )( )

( )( )22

3

6

3

3.13.1

−

−=′⇒

−

+−−=′

xxf

x

xxxf

Estudo de Sinais:

+++++++−−−−−−−−−++++++

2 3 x ( )xf ′

+++++++−−−−−−−−−++++++

1− 4 x ( )xf ′

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+++++++++++++ +++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3

3

x

x

x



Percebemos que a derivada ( )xf ′ é negativa para todos os pontos do Domínio desta função.

Portanto, a função dada é estritamente decrescente (ou monótona) no seu domínio.

3.18 – MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS:

3.18.1 – Definições:

Seja ( )xfy = uma função contínua num intervalo ℜ⊂I e seja Ix ∈0

.

Então definimos:

A – Máximo Relativo:

A função ( )xfy = tem Máximo Relativo no ponto 0x se ( ) ( )

0xfxf < para todo x nas

vizinhanças de 0x .

Graficamente:

0x = ponto de Máximo Relativo

( )0xf = Máximo Relativo

y

x 0 x

0x x

( )0xf

( )xf

( )xfy =



B – Mínimo Relativo:

A função ( )xfy = tem Mínimo Relativo no ponto 0x se ( ) ( )

0xfxf > para todo x nas

vizinhanças de 0x .

Graficamente:

0x = ponto de Mínimo Relativo

( )0xf = Mínimo Relativo

Observação:

Os pontos de Máximo ou Mínimo Relativos são chamados de extremantes e os valores

Máximo e Mínimo Relativos são chamados de extremos.

0x = Extremante

( )0xf = Extremo

EXEMPLO: 7249223 +−−= xxxy

y

0 x 0x x

( )0xf

( )xf

x

( )xfy =

y

x 0 1−

20

4

105−

7249223 +−−= xxxy



Conclusões:

1−=x ⇒ Ponto de Máximo Relativo 20=y ⇒ Máximo Relativo

4=x ⇒ Ponto de Mínimo Relativo 105−=y ⇒ Mínimo Relativo

3.18.2 – Teorema de Fermat:

O Teorema de Fermat é importante para o estudo de Máximos e Mínimos Relativos, porque

ele é o primeiro passo que se deve dar para a determinação dos extremantes de uma função,

quando eles existem.

Este Teorema afirma que:

“Se 0x é extremante de uma função ( )xf e se existe ( )

0xf ′ , então ( ) 0

0=′ xf .”

Demonstração:

Conforme é do nosso conhecimento, todo Teorema é composto de Hipóteses e Teses. As

Hipóteses são as afirmações que são feitas e consideradas verdadeiras. Tese é aquilo que se

quer provar a partir das Hipóteses.

No nosso caso, as Hipóteses são:

• 0x é extremante da função ( )xf (ponto de Máximo ou Mínimo Relativo);

• ( )0xf ′ existe

Nestas condições, a Tese a ser provada é que ( ) 00=′ xf .

Vamos admitir que ( )0xf ′ fosse diferente de zero.

Desta forma, temos dois casos a considerar:

1o Caso: ( ) 00>′ xf

Se ( ) 00>′ xf então, por definição, a função ( )xfy = é crescente nas vizinhanças de

0x .

Neste caso, podemos admitir dois valores 1x e

2x nas vizinhanças do ponto

0x , de modo que

se tenha: ( ) ( ) ( )201201xfxfxfxxx <<⇒<< .



Como ( ) ( )01xfxf < e ( ) ( )

02xfxf > então não podemos afirmar que

0x seja extremante da

função ( )xfy = .

Logo, ( )0xf ′ não pode se maior que zero.

2o Caso: ( ) 00<′ xf

Se ( ) 00<′ xf então, por definição, a função ( )xfy = é decrescente nas vizinhanças de

0x .

Neste caso, podemos admitir dois valores 1x e

2x nas vizinhanças do ponto

0x , de modo que

se tenha: ( ) ( ) ( )201201xfxfxfxxx >>⇒<< .

Como ( ) ( )01xfxf > e ( ) ( )

02xfxf < então não podemos afirmar que

0x seja extremante da

função ( )xfy = .

Logo, ( )0xf ′ não pode se menor que zero.

Concluímos, finalmente, que ( )0xf ′ só pode ser igual a zero.

EXEMPLO:

Na aula anterior mostramos que a função definida por ( ) 7249223 +−−= xxxxf tinha como

extremantes os valores 1−=x (ponto de Máximo Relativo) e 4=x (ponto de Mínimo Relativo).

Temos: ( ) 241862 −−=′ xxxf

Para ( ) ( ) 012418611 =−′⇒−+=−′⇒−= ffx

Para ( ) ( ) 0424729644 =′⇒−−=′⇒= ffx

Observações:

O1: O Teorema de Fermat afirma que uma condição necessária para que 0x seja extremante

de uma função ( )xf é que ( ) 00=′ xf .

Porém, esta condição não é suficiente, ou seja, o fato de se ter ( ) 00=′ xf não implica,

necessariamente, que 0x é um extremante da função.



Consideremos, por exemplo, a função ( ) 3xxf = .

Temos: ( ) 23xxf =′

Para ( ) 000 =′⇒= fx

Observamos que a derivada é nula quando 0=x .

Entretanto, para ( ) 00 >′⇒< xfx e para ( ) 00 >′⇒> xfx .

Isto significa que a função é crescente nas vizinhanças do ponto 0=x , o que caracteriza

que este ponto não pode ser extremante da função.

Graficamente:

Percebemos que a função é estritamente crescente, portanto não possui Máximo e nem

Mínimo Relativos.

O ponto 0=x , neste caso em particular, recebe o nome de Ponto de Inflexão Horizontal da

função, isto é, ponto em que a curva muda de concavidade.

O2: Os pontos em que se tem ( ) 0=′ xf são chamados de Pontos Críticos da função e são os

possíveis pontos de Máximo ou Mínimo Relativos dessa função.

y

0 x

( ) 3xxf =




3.18.3 – DETERMINAÇÃO DOS EXTREMANTES: 1a REGRA:

A determinação dos extremantes de uma função, quando existem, pode ser feita de duas

maneiras, ou pelo uso de duas regras distintas. Vejamos primeira delas.

Seja ( )xfy = uma função contínua e derivável num intervalo ℜ⊂I e seja Ix ∈0

.

Vamos admitir, ainda, que ( ) 00=′ xf .

Neste caso, 0x é um Ponto Crítico da função e um provável Extremante (Ponto de Máximo ou

Mínimo Relativo) dessa função.

Vamos estudar os sinais da derivada ( )xf ′ nas vizinhanças do ponto 0x , nos casos em que

esse ponto seja de Máximo ou de Mínimo Relativo:

A) MÁXIMO RELATIVO:

B) MÍNIMO RELATIVO:

y

x 0x

( )xfy =

y

x 0x

( )xfy =



Analisando as figuras acima, percebemos que:

• se 0x é Ponto de Máximo Relativo, então

( )( )

><′

<>′

0

0

0

0

xxparaxf

xxparaxf. Em outras palavras, a

função ( )xf é Crescente à esquerda de 0x e Decrescente à direita de

0x .

• se 0x é Ponto de Mínimo Relativo, então

( )( )

>>′

<<′

0

0

0

0

xxparaxf

xxparaxf. Em outras palavras, a

função ( )xf é Decrescente à esquerda de 0x e Crescente à direita de

0x .

Com estas observações, podemos definir a 1a Regra para a determinação de extremantes da

seguinte forma:

1o Passo: identificar os Pontos Críticos 0x , isto é, resolver a equação ( ) 0=′ xf ;

2o Passo: estudar os sinais de ( )xf ′ à esquerda e à direita de 0x , e concluir:

• se ( )xf ′ mudar de sinais ⊕ para Θ ao passar por 0x , então

0x será Ponto de Máximo

Relativo da função;

• se ( )xf ′ mudar de sinais Θ para ⊕ ao passar por 0x , então

0x será Ponto de Mínimo

Relativo da função;

• se ( )xf ′ não mudar de sinais ao passar por 0x , então

0x será Ponto de Inflexão

Horizontal da função;

EXEMPLOS:

01) Determinar os extremos da função ( )x

xxf1

4 += .

a) Pontos Críticos:

Devemos ter ( ) 0=′ xf

( ) ( )2

2

2

1414

x

xxf

xxf

−=′⇒−=′



Assim: 2

1

4

1014

22 ±=⇒=⇒=− xxx

Portanto, são Pontos Críticos: 2

1=x e

2

1−=x

b) Estudo dos sinais da derivada:

Como a derivada ( )xf ′ é um quociente de funções, então devemos estudar os sinais do

numerador e do denominador e fazer a interseção.

Conclusões:

• 2

1−=x é ponto de Máximo Relativo ( )−→+

• Para 2

1−=x , temos 4

2

1−=

−f (Máximo Relativo)

• 2

1=x é ponto de Mínimo Relativo ( )+→−

• Para 2

1=x , temos 4

2

1=

f (Mínimo Relativo)

Observação: No ponto 0=x , embora não exista a derivada, temos uma Inflexão Vertical.

02) A derivada da função ( )xfy = é: ( ) ( )( ) ( ) ( )4324.3.2.1 −−−−=′ xxxxxf .

Determinar os extremantes e os pontos de inflexão horizontal dessa função.



++++++−−−−−−−−+++++

+++++++++++++++++++++++

+−−+

2

1−

2

1

0

2

1−

0

2

1

x

x

x



No nosso caso: ( )( ) ( ) ( ) 04.3.2.1432 =−−−− xxxx .

Os pontos Críticos serão: 1=x , 2=x , 3=x e 4=x


Como a derivada ( )xf ′ é um produto de funções, então devemos estudar os sinais de cada

fator e fazer a interseção.

Conclusões:

• 1=x é ponto de Máximo Relativo ( )−→+

• 2=x é ponto de Inflexão ( )−→−

• 3=x é ponto de Mínimo Relativo ( )+→−

• 4=x é ponto de Inflexão ( )+→+

03) Determinar os pontos de Máximo Relativo, Mínimo Relativo e Inflexão Horizontal da função

definida por 3 326 xxy −= .


Devemos ter ( ) 0=′ xf ou 0=dx

dy

No nosso caso: ( )31

326 xxy −=

++++++++++++++++++++++++−−−−−−

+++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++−−−−−−−−−−−−−−−−−

++++++++++++++++++++++++++++++

+ _ _ + +

1

2

3

4

1 2 3 4

x

x

x

x

x

1−x

( )22−x

( )33−x

( )44−x

( )xf ′



( ) ( )( )3

232

2

23

232

6

4312.6.

3

1

xx

xx

dx

dyxxxx

dx

dy

−

−=⇒−−=

−

Para 0=dx

dy, teremos 04

2 =− xx .

Portanto, os Pontos Críticos serão: 0=x e 4=x

Porém, observamos que a derivada não é definida quando o denominador é igual a zero, isto

é, devemos ter: 600632 ≠≠⇒≠− xexxx .

Ainda assim, vamos fazer o estudo dos sinais de dx

dy.


Conclusões:

Percebemos que, embora a derivada não seja definida para 0=x , o Domínio da função é

Real, isto é, a função é definida em 0=x .

Observamos também que a derivada muda de sinais ao passar por 0=x .

Neste caso, podemos afirmar que 0=x é extremante.

Assim:

• 0=x é ponto de Mínimo Relativo ( )+→− ;

• 4=x é ponto de Máximo Relativo ( )−→+ ;

• 6=x é ponto de Inflexão.

.Num

.Den

dx

dy

x

x

x

0

0

0

4

4

6

6

−−−−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−

++++++++++++++++++++++++++++

+ _ _ _



Graficamente:

3.18.4 – DETERMINAÇÃO DOS EXTREMANTES: 2a REGRA:

A segunda regra para a identificação dos extremantes de uma função, ao invés de estudar os

sinais da derivada primeira, estuda o sinal da derivada segunda nos Pontos Críticos.

Sejam ( )xf , ( )xf ′ e ( )xf ′′ funções contínuas e deriváveis num intervalo ℜ⊂I e seja o ponto

Ix ∈0

.

Podemos demonstrar que:

A) Se 0x é Ponto Crítico da função, isto é, se ( ) 0

0=′ xf e ( ) 0

0>′′ xf , então

0x é ponto de

Mínimo Relativo;

B) Se 0x é Ponto Crítico da função, isto é, se ( ) 0

0=′ xf e ( ) 0

0<′′ xf , então

0x é ponto de

Máximo Relativo;

DEMONSTRAÇÃO:

PARTE A:

Se ( ) 00>′′ xf , então existe uma vizinhança de

0x na qual a função é crescente.

y

x 0 4 6

2+−= xy

3 326 xxy −=

.Máx

.Mín



Neste caso: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

>′⇒′>′⇒>

<′⇒′<′⇒<

0

0

00

00

xfxfxfxxse

xfxfxfxxse.

Isto significa que ( )xf ′ muda de sinais Θ para ⊕ ao passar por 0x .

Então, 0x é Ponto de Mínimo Relativo da função ( )xf .

PARTE B:

Se ( ) 00<′′ xf , então existe uma vizinhança de

0x na qual a função é decrescente.

Neste caso: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

<′⇒′<′⇒>

>′⇒′>′⇒<

0

0

00

00

xfxfxfxxse

xfxfxfxxse.

Isto significa que ( )xf ′ muda de sinais ⊕ para Θ ao passar por 0x .

Então, 0x é Ponto de Máximo Relativo da função ( )xf .

EXEMPLOS:

01) Determinar os extremos da função ( )x

xxf1

4 += .



( ) ( )2

2

2

1414

x

xxf

xxf

−=′⇒−=′

Assim: 2

1

4

1014

22 ±=⇒=⇒=− xxx

Portanto, são Pontos Críticos: 2

1=x e

2

1−=x

b) Sinal da Derivada Segunda:

Temos: ( )3

2

xxf =′′ .

•

•



• Para 2

1−=x , obtemos 16

8

1

2

2

1−=

−=

−′′f . Portanto 2

1−=x é Ponto de Máximo

Relativo da função.

• Para 2

1=x , obtemos 16

8

1

2

2

1==

′′f . Portanto 2

1=x é Ponto de Mínimo Relativo da

função.

02) Encontrar os extremantes da função ( ) 133 +−= xxxf


Devemos ter ( ) 0=′ xf .

Temos: ( ) 1103333222 ±=⇒=⇒=−⇒−=′ xxxxxf

Portanto, os pontos críticos são 1−=x e 1=x .

b) Sinal da Derivada Segunda:

Temos: ( ) xxf 6=′′ .

• Para 1−=x , tem-se ( ) 61 −=−′′f (menor que zero). Portanto, 1−=x é Ponto de Máximo

Relativo da função.

• Para 1=x , tem-se ( ) 61 =′′f (maior que zero). Portanto, 1=x é Ponto de Mínimo Relativo

da função.

03) Determinar valores para a e b, de modo que a função ( ) baxxxf ++= 232 tenha Máximo

Relativo no ponto ( )2,1−P .

Devemos ter ( ) 01 =−′f , ou seja, 1−=x deve ser Ponto Crítico.

( ) ( ) ( ) ( ) 32601.21.612622 =⇒−=⇒−+−=−′⇒+=′ aaafaxxxf

No ponto ( )2,1−P , temos: ( ) ( ) 11.31.2223 =⇒+−+−= bb



Verificação:

Para 3=a e 1=b temos ( ) ( ) xxxfxxxf 66132223 +=′⇒++=


Fazendo ( ) 0=′ xf , resulta: 100662 −==⇒=+ xouxxx (Pontos Críticos)

Por outro lado: ( ) 612 +=′′ xxf

Para 1−=x , temos ( ) 61 −=−′′f .

Como ( ) 01 <−′′f , então 1−=x é Ponto de Máximo Relativo da função.




3.19 – APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS:

Nas aulas anteriores aprendemos como determinar os pontos de Máximo e Mínimo Relativos

de uma função ( )xfy = .

Neste item, faremos algumas aplicações desses conceitos na resolução de problemas

geométricos. A resolução destes problemas pode ser muito útil no futuro.

Para resolve-los, procedemos da seguinte maneira:

• identificamos primeiramente a grandeza existente no problema, da qual queremos

conhecer o Máximo ou o Mínimo;

• escrevemos esta grandeza em função de uma das outras grandezas envolvidas no

problema. Em outras palavras, devemos obter uma função da forma ( )xfy = ;

• obtemos os Pontos Críticos, isto é, resolvemos a equação ( ) 0=′ xf ;

• aplicamos a 1a ou a 2a Regra para identificar cada Ponto Crítico obtido.

OBSERVAÇÃO:

A maioria das aplicações práticas trata de problemas bem determinados, isto é, problemas

onde só faz sentido a existência de um Máximo ou de um Mínimo.

Nesses casos, a simples determinação dos Pontos Críticos já é suficiente para a resolução do

nosso problema.

EXEMPLOS:

01) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico com tampa para armazenar um volume de

3250 mπ . Quais devem ser o raio e a altura desse reservatório para que o consumo de

material usado na sua construção seja mínimo?



Do enunciado do problema, podemos interpretar que a grandeza da qual se deseja conhecer o

mínimo é a Área Total do reservatório cilíndrico.

O reservatório do problema tem a forma da figura abaixo:

Volume: hRV 2π= (1)

Área Total: RhRS ππ 22 2 += (2)

Como queremos determinar o Mínimo da área total S , então devemos escrever esta grandeza

em função de uma das outras grandezas do problema, no caso R ou h .

De (1), temos: 2R

Vh

π=

Em (2): R

VRS

R

VRRS

22.22 2

2

2 +=⇒+= ππ

ππ

Na expressão acima, obtivemos a grandeza S (área total) em função do raio R , isto é,

encontramos a função ( )RfS =

Para a determinação dos Pontos Críticos, devemos fazer 0=dR

dS.

2

3

2

2424

R

VR

dR

dS

R

VR

dR

dS −=⇒−=

ππ

Para 0=dR

dS, resulta 3

33

22024

πππ

VR

VRVR =⇒=⇒=−

O valor obtido acima é o único Ponto Crítico da função. Portanto, ele já corresponde ao Ponto

de Mínimo procurado. Isto porque o problema em questão é bem determinado, ou seja, não faz

sentido procurar neste problema o máximo relativo.

R

h



Entretanto, podemos comprovar esta conclusão verificando se o Ponto Crítico obtido

corresponde a Máximo ou Mínimo Relativo, usando a primeira ou a segunda regra.

Vamos usar, neste caso, a segunda regra, isto é, vamos estudar o sinal da derivada segunda

no Ponto Crítico.

Temos: 32

2 44

R

V

dR

Sd+= π

Para ππ

π

π

ππ

128

4

2

44

2 2

2

2

2

2

2

3 =⇒+=⇒+=⇒=dR

Sd

V

V

dR

Sd

V

V

dR

SdVR

Como 02

2

>dR

Sd, o valor 3

2πV

R = corresponde ao ponto de Mínimo da função.

Assim, teremos mhR

VhemRR 10

25

2505125

2

2502

33 =⇒===⇒==ππ

πππ

02) Dentre todos os retângulos de mesmo perímetro, qual é o de maior área?

Consideremos um retângulo de base x e altura y , como o da figura abaixo:

Temos:

xyS = (área) (1)

yxP 22 += (perímetro) (2)

De (2): xP

y −=2

Em (1): 2

22. x

PxSx

PxS −=⇒

−= , isto é, ( )xfS =

Devemos ter: 0=dx

dS e x

P

dx

dS2

2−=

x

y



Portanto: 4

022

Pxx

P=⇒=− (Ponto Crítico)

Tal como ocorreu no problema anterior, a simples determinação do Ponto Crítico já é

suficiente para respondermos ao problema. Ou seja, o valor 4

Px = já corresponde ao Máximo

Relativo.

Entretanto, vamos fazer a verificação usando a 2a regra, isto é, vamos estudar o sinal da

segunda derivada no Ponto Crítico.

Temos: 022

2

2

2

<⇒−=dx

Sd

dx

Sd para todo valor de x .

Então, 4

Px = é Ponto de Máximo Relativo da função.

Para 4

Px = , tem-se

442

Py

PPy =⇒−= .

Portanto, nas condições impostas pelo problema, concluímos que o retângulo de área máxima

é o quadrado de lados medindo 4

P.

03) Qual é a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de

raio mR 3= ?

Temos: ⇒= 3R Raio da esfera

r = raio do cilindro

h= altura do cilindro

R

r2

h R2

r2

h



⇒= hrV 2π Volume do cilindro (1)

Do triângulo retângulo:

4341244

2222222 hrhrhrR −=⇒+=⇒+= (2)

Substituindo (2) em (1):

( )hfVh

hVh

hV =⇒−=⇒

−=

43

43

32 πππ

Devemos ter 0=dh

dV.

4

312

4

33

22 hh

dh

dV ππππ

−=−=

mhhh 240312 22 =⇒=⇒=− ππ

O único Ponto Crítico compatível com o problema é 2=h . Portanto, esta deve ser a altura do

cilindro inscrito na esfera e que tenha volume máximo.

Para verificar, podemos utilizar a segunda regra, isto é, estudar o sinal da derivada segunda

no Ponto Crítico.

Temos: 2

3

4

62

2 hh

dh

Vd ππ−=−=

Para mh 2= , encontramos: π32

2

−=dh

Vd.

Portanto, como a derivada segunda no Ponto Crítico é negativa, este ponto é de Máximo

Relativo.

3.20 – OUTRAS APLICAÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS:

No item anterior aprendemos como determinar os pontos de Máximo e Mínimo Relativos

aplicados a problemas geométricos.

Neste item faremos aplicações desses conceitos a problemas físicos e outros problemas em

geral, sempre adotando o mesmo procedimento que usamos para problemas geométricos.



Ou seja, inicialmente escrevemos a grandeza da qual queremos conhecer o Máximo ou o

Mínimo Relativo em função de qualquer outra grandeza do problema e depois resolvemos

normalmente, como fazemos com uma função.

EXEMPLOS:

01) O Momento Fletor M de uma viga, à distância x de uma extremidade, é dado pela equação

( )xlqxM −=2

1, onde q é a carga por unidade de comprimento e l é o comprimento da viga.

Achar o Momento Fletor Máximo dessa viga.

Como q e l são constantes, temos ( )xfM = .

Para a determinação do Momento Fletor Máximo, devemos obter primeiramente o(s) ponto(s)

crítico(s) da função, isto é, as raízes da equação 0=dx

dM.

Temos: qxql

dx

dMqxqlxM −=⇒−=

222

2

Portanto: 22

02

lx

qlqxqx

ql=⇒=⇒=−

O Ponto Crítico obtido é 2

lx = que, provavelmente, é o valor procurado.

Entretanto, podemos verificar estudando o sinal da derivada segunda.

Assim: qdx

Md−=

2

2

, ou seja, a derivada segunda é negativa para todo valor de x .

Portanto, o valor encontrado como Ponto Crítico é de Máximo Relativo.

O Momento Fletor máximo será:

82.2.

2

1 2qlM

ll

lqM máxmáx =⇒

−=.



02) A potência W transmitida por uma correia é dada pela fórmula

−=

g

PvTvkW

2

, onde 0>k é

um coeficiente de proporcionalidade, T a temperatura máxima admissível pra a correia, P o

peso por unidade de comprimento, g a aceleração da gravidade e v a velocidade.

Achar a velocidade que corresponde à potência máxima.

Temos: g

kPvkTvW

2

−=

g

kPvkT

dv

dW 2−=

Pontos Críticos:

Devemos ter: 0=dv

dW

Assim: P

gTvkT

g

kPv

g

kPvkT

2

20

2=⇒=⇒=−

Para verificar se P

gTv

2= realmente é Ponto de Máximo, vamos estudar o sinal de

2

2

dv

Wd neste

ponto.

Temos: g

kP

dv

Wd 22

2

−=

Como a derivada segunda é negativa para qualquer valor de v , então o valor obtido P

gTv

2= é

a velocidade que corresponde à potência máxima.

03) Dadas 10=n pilhas de f.e.m. (Força Eletromotriz) 2,1=e volts e resistência interna Ω= 2r ,

dispô-las em agrupamento misto, de modo que ligando-as a uma resistência externa de

Ω= 5R a corrente seja máxima.

OBS: num agrupamento misto, a corrente é dada pela fórmula

Rn

rx

exI

+

=2

, onde x é o número

de elementos em série.



Como o problema nos forneceu os valores de nRre ,,, , então temos ( )xfI = , isto é, a

corrente I é função apenas do número de elementos em série x .

Queremos determinar exatamente o valor de x para que a corrente seja máxima.

Portanto, devemos ter 0=dx

dI.

Temos: 25

6

502

12

510

2

2,1222 +

=⇒+

=⇒

+

=x

xI

x

xI

x

xI

( )( ) ( )22

2

22

2

25

6150

25

2.6256

+

−=⇒

+

−+=

x

x

dx

dI

x

xxx

dx

dI

Para 0=dx

dI, resulta:

−=

=⇒=⇒=−

)(5

52506150 22

convémnãox

xxx

Portanto, 5=x é Ponto Crítico.

Para verificar se este ponto corresponde a Máximo ou Mínimo Relativo, vamos aplicar a Regra

da Derivada Segunda.

( ) ( ) ( )( )42

2222

2

2

25

2.25.2.615025.12

+

+−−+−=

x

xxxxx

dx

Id

Dividindo o numerador e o denominador por ( )252 +x , encontramos:

( ) ( )( )32

22

2

2

25

6150.425.12

+

−−+−=

x

xxxx

dx

Id

( ) ( )32

3

2

2

32

33

2

2

25

90012

25

2460030012

+

−=⇒

+

+−−−=

x

xx

dx

Id

x

xxxx

dx

Id

Para 5=x , obtemos:

( ) 125

3

125000

3000

125000

45001500

2525

5.900125.122

2

32

2 −=

−=

−=⇒

+

−=

dx

Id

dx

Id

Como 02

2

<dx

Id, então 5=x elementos em série produzirão corrente máxima.

Esta máxima corrente será: ampéresIII máxmáxmáx 6,050

30

255

5.62

=⇒=⇒+

=



04) Sabe-se que a intensidade de iluminação varia na razão inversa do quadrado da distância da

fonte luminosa. Duas lâmpadas de 64 e 125 watts, respectivamente, estão a 180 cm uma da

outra. Achar o ponto entre as duas lâmpadas em que a iluminação é mínima.

Chamando de I a intensidade de iluminação no ponto P , e obedecendo às condições dadas

pelo enunciado do problema, teremos ( )22180

12564

x

k

x

kI

−+= , onde teconsk tan= e 0>k .

Para obter o(s) ponto(s) crítico(s) devemos ter 0=dx

dI.

( ) ( )( )( )4

2

4

2

180

1.180.2.125180.02.64.0

x

xkx

x

xkx

dx

dI

−

−−−−+

−=

( )33180

250128

x

k

x

k

dx

dI

−+

−=

Para ( ) k

k

x

x

x

k

x

k

dx

dI

128

250180

180

2501280

3

33=

−⇒

−=⇒=

807209547204

5180

4

5

64

12518033

=⇒=⇒=−⇒=−

⇒

==

−xxxx

x

x

x

x

Portanto, 80=x representa o Ponto Crítico para este problema.

Vamos verificar se ele realmente é ponto de Mínimo, aplicando a Regra da Derivada Segunda

( )442

2

180

750384

x

k

x

k

dx

Id

−+= (VERIFIQUE)

Para 80=x , temos 02

2

>dx

Id.

Portanto, o ponto em que a iluminação é mínima está situado a mx 80= da lâmpada de

potência menor.

641 =F P 1252 =F

x−180 x

180




3.21 - CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO:

3.21.1 – Definições:

Consideremos o gráfico de uma função ( )xfy = , contínua e derivável num intervalo aberto

( ) ℜ⊂ba, . Então definimos:

A) a curva de ( )xfy = tem a concavidade voltada para baixo nesse intervalo se todos os seus

pontos se encontram abaixo da reta tangente traçada por qualquer ponto ( )bax ,0 ∈ .

Graficamente:

Se ( )

=

=

gentedaordenaday

curvadaordenadaxf

tan , então ( ) 0<− yxf

B) a curva tem a concavidade voltada para cima nesse intervalo se todos os seus pontos se

encontram acima da reta tangente traçada por qualquer ponto ( )bax ,0 ∈ .

y

x 0 a

0x x b

y

( )xf

( )xfy =

tangente



Graficamente:

Se ( )

=

=

gentedaordenaday

curvadaordenadaxf

tan , então ( ) 0>− yxf

3.21.2 – Teorema:

Vamos admitir que a derivada segunda ( )xf ′′ seja definida no intervalo ( )ba, . Neste caso:

A) se ( ) 0>′′ xf , então a curva tem a concavidade voltada para cima nesse intervalo;

B) se ( ) 0<′′ xf , então a curva tem a concavidade voltada para baixo nesse intervalo.

DEMONSTRAÇÃO DA PARTE (A):

Demonstraremos apenas a parte (A) do Teorema, uma vez que a demonstração da parte (B) é

semelhante.

Seja ( )bax ,0 ∈ .

A reta tangente à curva pelo ponto 0x é dada pela equação:

( ) ( )( )000 . xxxfxfy −′=− ou ( ) ( )( )000 . xxxfxfy −′+=

Da figura imediatamente anterior, observamos que a cada ponto ( )bax ,∈ podemos associar a

diferença entre as ordenadas da curva e da reta tangente, isto é, ( )xf e y , respectivamente.

Chamando esta diferença de ( )xF , temos:

( ) ( ) yxfxF −= ou ( ) ( ) ( ) ( )( )000 . xxxfxfxfxF −′−−=

y

x

( )xf

y

a 0x x b

tangente



Esta função ( )xF é tal que:

(a) ( ) ( ) 000 =−= yxfxF , pois em 0xx = temos ( ) yxf =0

;

(b) ( ) 00 =′ xF , pois ( ) ( ) ( )00 xfxfxF ′−−′=′ ;

Para ( ) ( ) ( ) 00000 =′−′=′⇒= xfxfxFxx

(c) ( ) 00 >′′ xF , pois ( ) ( )xfxF ′′=′′ e, por hipótese, ( ) 0>′′ xf .

Podemos então concluir que a função ( )xF tem um Mínimo Relativo em 0xx = .

Logo: ( ) 0>xF para todo ( ) 0, xxebax ≠∈ .

Como ( ) ( ) yxfxF −= , então ( ) 0>− yxf e, por definição, a curva tem a concavidade voltada

para cima no intervalo ( )ba, .

3.22 – Pontos de Inflexão:

Dizemos que um ponto ( )00 , yxP é Ponto de Inflexão da função ( )xfy = se, neste ponto, a

curva da função muda de concavidade.

No ponto de Inflexão a reta tangente intercepta a curva da função.

Podemos ter três tipos de Inflexão:

A) INFLEXÃO HORIZONTAL:

Neste caso, a reta tangente é paralela ao eixo x .

y

x

( )xfy =

tangente



B) INFLEXÃO VERTICAL:

Neste caso, a reta tangente é perpendicular ao eixo x .

C) INFLEXÃO OBLÍQUA:

Neste caso, a reta tangente é oblíqua ao eixo x .

Se ( ) 00 =′′ xf ou ( )0xf ′′ não existir e se ( )xf ′′ muda de sinais ao passar por 0x , então 0x será

um Ponto de Inflexão da função.

Além disso, se tivermos ( ) 00 =′ xf então 0x é Ponto de Inflexão Horizontal e se ( ) ∞→′0xf ,

então 0x á Ponto de Inflexão Vertical.

y

x

( )xfy =

tangente

y

x

( )xfy =

tangente



EXEMPLOS;

01) Determinar os intervalos de concavidade da função ( ) 162 −+−= xxxf .

Temos: ( ) 62 +−=′ xxf e ( ) 2−=′′ xf

Como ( ) 0<′′ xf para todo ℜ∈x , concluímos que a função dada tem a concavidade voltada

para baixo em todo o seu Domínio.

OBSERVAÇÃO: Independentemente de termos estudado os sinais da derivada segunda, já

era sabido que o gráfico desta função tem sempre a concavidade voltada para baixo, uma vez que

se trata de uma função quadrática da forma cbxaxy ++= 2 , com 0<a .

02) Determinar os intervalos de concavidade da função ( ) 2xexf −= .

Temos: ( ) 2

.2xexxf −−=′

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

222 2424..2.22

22

x

xxx

e

xxfxexfexxexf

−=′′⇒−=′′⇒−−−=′′ −−−

Raízes de ( )xf ′′ : 2

2

2

2=−= xex

Estudo dos sinais de ( )xf ′′ :

Conclusões:

• os pontos 2

2

2

2=−= xex são Pontos de Inflexão da função;

++++++++−−−−−−−−−−+++++

+++++++++++++++++++++++

+ _

+

x

x

x

2

2−

2

2

2

2−

2

2



• para 2

2−<x a curva tem a concavidade voltada para cima;

• para 2

2

2

2<<− x a curva tem a concavidade para baixo;

• para 2

2>x a curva tem a concavidade voltada para cima;

03) Encontre o(s) ponto(s) de inflexão da função ( ) ( ) ( )2.12 +−= xxxf , identifique os seus intervalos

de concavidade e o tipo de inflexão.

Temos: ( ) ( )( ) ( )21.12.1.2 −++−=′ xxxxf

( ) ( ) 33124242 222 −=′⇒+−+−−+=′ xxfxxxxxxf

A derivada segunda será: ( ) xxf 6=′′

Para ( ) 0=′′ xf , temos 0=x , que é o ponto de inflexão.

Para verificar a concavidade, vamos estudar os sinais de ( )xf ′′ .

Conclusões:

• para 0<x a curva tem a concavidade voltada para baixo;

• para 0>x a curva tem a concavidade voltada para cima;

• como ( ) 30 −=′f , isto é, ( )0f ′ existe e é diferente de zero, então a inflexão é oblíqua.

x 0

+++++++++−−−−−−−




CAP. 4 - INTEGRAIS

4.1 – INTRODUÇÃO:

O primeiro e principal objetivo da Integração é obter uma função ( )xf quando se conhece a

sua derivada ( )xf ′ .

EXEMPLOS;

01) Se ( ) 23xxf =′ , então ( ) 3xxf = .

02) Se ( ) xxf cos=′ , então ( ) xxf sen=

03) Se ( )x

xf1

=′ , então ( ) xxf ln=

04) Se ( )x

xexf x

2

1sec2 −+=′ , então ( ) xtgxexf x −+=

4.2 – PRIMITIVAS:

Dizemos que uma função ( )xF , derivável num subconjunto de ℜ , é Primitiva de outra função

( )xf quando ( ) ( )xfxF =′ , ou ( )[ ] ( )xfxFdx

d= .

EXEMPLOS;

01) A função ( ) xxF ln= é uma Primitiva da função ( )x

xf1

= , pois [ ]x

xdx

d 1ln = .



02) A função ( )5

5xxF = é uma Primitiva da função ( ) 4xxf = , pois 4

45

5

5

5x

xx

dx

d==

.

03) A função ( ) ( )xxF 5sen= é uma Primitiva da função ( ) ( )xxf 5cos5= , pois ( )[ ] ( )xxdx

d5cos55sen = .

04) A função ( ) xxxx

xF 32

7

3

5

4

234

−+−= é uma Primitiva da função ( ) 375 23 −+−= xxxxf , pois

37532

14

3

15

4

43

2

7

3

5

4

2323234

−+−=−+−=

−+− xxx

xxxx

xxx

dx

d.

Não é muito difícil percebermos que uma determinada função ( )xf pode possuir infinitas

Primitivas.

Vamos considerar, por exemplo, a função definida por ( ) xxf cos= .

As suas Primitivas serão:

( ) xxF sen=

( ) 1sen += xxF

( ) 3sen −= xxF

( ) 5logsen += xxF

( )

+=7

3sensen

πxxF

M

( ) ( )ℜ∈+= CCxxF sen

Podemos então, de maneira generalizada, dizer que a família de funções definidas da forma

( ) CxxF += sen representa as infinitas Primitivas da função ( ) xxf cos= , uma vez que

[ ] xCxdx

dcossen =+ , para todo número Real C .



EXEMPLOS;

01) As infinitas Primitivas da função ( )x

xf1

= constituem a família de funções definidas por

( ) CxxF += ln , onde ℜ∈C , pois ( )[ ] ( )xfxFdx

d= .

02) As infinitas Primitivas da função ( ) 4xxf = constituem a família de funções definidas por

( ) Cx

xF +=5

5

, onde ℜ∈C , pois ( )[ ] ( )xfxFdx

d= .

03) As infinitas Primitivas da função ( ) ( )xxf 5cos5= constituem a família de funções definidas por

( ) ( ) CxxF += 5sen , onde ℜ∈C , pois ( )[ ] ( )xfxFdx

d= .

04) As infinitas Primitivas da função ( ) 375 23 −+−= xxxxf constituem a família de funções

definidas por ( ) Cxxxx

xF +−+−= 32

7

3

5

4

234

, onde ℜ∈C , pois ( )[ ] ( )xfxFdx

d= .

4.3 – INTEGRAL INDEFINIDA:

4.3.1 – DEFINIÇÃO:

Se a função ( )xF é uma Primitiva da função ( )xf , então à expressão ( ) CxF + , com ℜ∈C ,

damos o nome de Integral Indefinida de ( )xf , e indicamos pela notação:

( ) ( )∫ += CxFdxxf .



Onde:

• ∫ é o Símbolo de Integração;

• ( )xf é o Integrando ou Função Integrando;

• ( )dxxf . é o Elemento de Integração;

• ( )xF é a Primitiva de ( )xf ;

• C é a Constante Arbitrária ou Constante de Integração.

EXEMPLOS;

01) ∫ += Cx

dxx4

43 , pois 3

4

4xC

x

dx

d=

+ .

02) ∫ += Ctgxdxx.sec2 , pois [ ] xCtgxdx

d 2sec=+ .

03) ∫ += Cdxx

x

3ln

3.3 , pois x

xx

Cdx

d3

3ln

3ln.3

3ln

3==

+ .

04) ∫ +=+

Carctgxdxx 21

1, pois [ ]

21

1

xCarctgx

dx

d

+=+ .

05) ( ) ( )∫ +−= C

xdxx

3

3cos.3sen , pois

( ) ( ) ( )xxC

x

dx

d3sen

3

3sen.3

3

3cos=

−−=

+− .

CONCLUSÃO;

Pela definição e pelos exemplos acima apresentados, percebemos que resolver uma Integral

Indefinida significa determinar as infinitas Primitivas da Função Integrando, isto é, obter todas as

funções da forma ( ) CxF + , com ℜ∈C , cujas derivadas sejam iguais a ( )xf .

Portanto, a Integração é uma operação inversa da Derivação.



Percebemos que, para entender bem a operação de Integração, é necessário conhecermos

suficientemente as regras de derivação.

4.3.2 – PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA:

1a PROPRIEDADE:

A derivada de uma Integral Indefinida em relação à variável de integração é igual ao

Integrando, ou seja:

Esta propriedade não necessita de demonstração uma vez que, ao integrarmos e derivarmos

sucessivamente uma determinada função em relação à mesma variável, nada mais estamos

fazendo do que aplicarmos duas operações inversas de mesma grandeza numa única função.

EXEMPLOS;

01) [ ] 55 xdxxdx

d=∫

02) x

xdx

x

x

dx

d sensen=

∫

03) [ ] tt dtdt

d coscos 55 =∫

04) [ ] 0. =∫ dxarctgxdt

d

( )[ ] ( )xfdxxfdx

d=∫ .



Observe, no exemplo anterior, que estamos derivando com relação à variável t uma função

dada na variável x. Portanto, é equivalente a estarmos derivando uma constante. Daí o fato do

resultado ser igual a zero.

2a PROPRIEDADE:

A Integral Indefinida de uma soma (ou diferença) de funções é igual à soma (ou diferença) das

Integrais Indefinidas das parcelas.

A demonstração desta propriedade também é imediata, uma vez que a derivada de uma soma

(ou diferença) de funções é igual à soma (ou diferença) das derivadas das parcelas. Ou seja, de

acordo com a definição de Integrais Indefinidas, a derivada da família de primitivas é igual ao

Integrando.

Assim:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )xhxgxfdxxhdx

ddxxg

dx

ddxxf

dx

d−+=−+ ∫∫∫ ...

EXEMPLOS;

01) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +++−+=+−=+− 32

2

1

322 3323.323 CxCxCxdxxdxdxxdxxx

( ) ( )∫ +−++−=+− 321

232 3.323 CCCxxxdxxx

Como 1C , 2C e 3C são constantes arbitrárias, podemos chamar CCCC =+− 321 .

Assim, a integral fica:

( )∫ ++−=+− Cxxxdxxx 3.323 232

02) ( )∫ ∫ ∫ ∫++=++ dxxdxxdxedxxxe xx .sen.cos.sencos 22

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf



( )∫ +−++=++ Cxxxedxxxe xx 2sen4

1

2

1sen.sencos 2

03) ( )∫ ++−+=

−+ Ctgxxtgxxdxxxx

seclnln.secsec1 2

3a PROPRIEDADE:

O fator constante que eventualmente apareça multiplicando o integrando pode ser tirado do

símbolo de integração.

EXEMPLOS;

01) ( )∫ ∫ +−=+−== CxCxdxxdxx sen3sen.3.cos.3.cos3

02) ∫ ∫ +−=

+−=−=− C

xC

xdxxdxx

6

7

6.7.77

6655

OBSERVAÇÕES;

O1: Observe que, nos exemplos acima, não multiplicamos a constante de integração C pelos

valores 3 e –7. Isto não significa que o resultado estaria errado caso efetuássemos as

multiplicações.

Acontece que, pelo fato da constante de integração ser arbitrária, isto é, qualquer constante

serve, então não há necessidade de multiplicas os valores 3 e –7 pela constante de

integração C.

( ) ( )∫ ∫ ℜ∈= kdxxfkdxxfk ,....



O2: Esta propriedade, apesar de parecer muito elementar, na verdade não é. Na resolução de

integrais, são muito freqüentes os casos em que necessitamos de um fator constante

multiplicando o integrando.

Isto acontece porque vamos precisar da derivada ( )xf ′ de uma função ( )xf que aparece no

integrando.

Portanto, se houver necessidade de uma constante multiplicando o integrando, podemos

acrescenta-la, desde que multipliquemos a integral pela sua inversa.

Este procedimento é equivalente a enxergarmos a 3a propriedade da seguinte maneira:

EXEMPLOS;

01) ( )∫ ∫ +=+== Cx

Cxdxxdxx66

16

6

1 6655

02) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ +=+== CxCxdxxdxx 2sen2

12sen

2

1.2cos2

2

1.2cos

03) ∫∫ +−=

+−=−−=

−−−−CeCedxedxe

xxxx

2222 222

12

ATENÇÃO;

Não se preocupe ainda com os resultados apresentados para as integrais acima. Por

enquanto, basta saber verificar se esses resultados estão corretos.

( ) ( )∫ ∫ ℜ∈= *,..1

. kdxxfkk

dxxf



Para isto, basta derivar os resultados e observar se as derivadas são iguais aos respectivos

integrandos.

Se isto acontecer, as integrais estão corretas.

Você vai começar a resolver propriamente dito as integrais a partir da próxima aula.




4.4 - CÁLCULO DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS- DIRETIVAS:

Estudaremos, a partir desse instante, alguns métodos conhecidos por Diretivas, que permitem

resolver as integrais indefinidas mais elementares.

As Diretivas serão regras aplicadas a determinados tipos de funções, cujas integrais serão

chamadas de imediatas, pois a sua solução é direta.

Essas Diretivas serão identificadas pelos nomes das funções envolvidas e deverão ser do

nosso conhecimento para os assuntos futuros.

Quer dizer, qualquer integral que tenhamos que resolver algebricamente daqui por diante

requer o uso de uma ou mais das Diretivas que vamos aprende neste tópico.

Portanto, é necessário que pratiquemos bastante a resolução de integrais imediatas, para que

não tenhamos dificuldades nos assuntos futuros.

ATENÇÃO;

Acostume-se, de agora em diante, a verificar se o resultado que você encontrou para cada

integral que você resolver está correto. Para isto, basta derivar o resultado e ver se ele é igual ao

integrando.

Faça isto, pelo menos até que você adquira bastante treinamento e possa confiar no seu

resultado.

4.4.1 – 1a DIRETIVA – FUNÇÃO CONSTANTE:

∫ ℜ∈+= kCkxdxk ,.



EXEMPLOS;

01) ∫ ∫ +=+== CxCxdxdx 11

02) ∫ +−=− Cxdx 77

03) ∫ += Cxdx ).7(log.7log

04) ( ) ( )∫ +−=− Cxarctgdxarctg .40.40

4.4.2 – 2a DIRETIVA – FUNÇÃO POTÊNCIA:

DEMONSTRAÇÃO;

Devemos mostrar que a derivada do resultado é igual ao integrando.

Sejam, então, Cn

uy

n

++

=+

1

1

e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: ( ) n

n

un

un

du

dy=

+

+=

1

.1 e ( )xf

dx

du′=

Portanto: ( ) ( )[ ] ( )xfxfdx

dyxfu

dx

dy nn ′=⇒′= .. , que é igual ao integrando.

( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ −≠+

+=′

+

1,1

..

1

nCn

xfdxxfxf

nn



EXEMPLOS;

01) ∫ += Cx

dxx4

.4

3

02) ∫ ∫ +−=+−

==−

− Cx

Cx

dxxdxx 2

23

3 2

1

2.

1

03) ∫ ∫ +=+=++

==

+

CxCx

Cx

dxxdxx 32

31

2

1

2

1

3

2

2

31

2

1..

04) ( )∫ ∫ +== Cx

dxxxdxxx5

sen.cos.sen.cos.sen

544

05) ( )∫ ∫ +== Cx

dxxx

dxx

x

5

ln.ln.

1.

ln 54

4

06) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +

+=+

+=+=+ C

xC

xdxxxdxxx

9

31

2

3

31.6

1.31.6

6

131.

322

32

2

122

07) ( )

∫ ∫ +=+

=+

Carctgx

dxarctgxx

dxx

arctgx

2..

1

1.

1

2

22

08) ∫ ∫ +== Cxtg

dxxtgxdxgx

x

2.sec..

cot

sec 22

2

09) ( )∫ ∫ ∫ +−=−−== Cxg

dxxxgdxxxgdxx

xg

4

cot.seccos.cot.seccos.cot.

sen

cot 42323

2

3



10) ( )dxxxdxxxdxx

x

xdxtgxx .sen.cos.sen.cos.

cos

sen.

cos

1..sec 22 −−=== ∫∫ ∫ ∫ −−

∫ +=+=+−

−=−

CxCx

Cx

dxtgxx seccos

1

1

cos..sec

1

11) ∫ ∫ ∫ +−=+−

===−

− CxCx

dxxxdxx

x

xdxgxx seccos

1

sen.cos.sen.

sen

cos.

sen

1.cot.seccos

12

4.4.3 – 3a DIRETIVA – FUNÇÃO QUOCIENTE:

DEMONSTRAÇÃO;


Sejam, então, Cuy += ln e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: udu

dy 1= e ( )xf

dx

du′=

Portanto: ( ) ( )( )xfxf

dx

dyxf

udx

dy ′=⇒′= .

1, que é igual ao integrando.

EXEMPLOS;

01) ∫ += Cxdxx

ln.1

( )( )

( )[ ]∫ +=′

Cxfdxxf

xfln.



02) ( )∫ ∫ +== Cxdxx

x

xx

dxlnln.

ln

1

ln

03) ( )∫ ∫ ++=+

=+

Cxdxx

xdx

x

x 2

2221ln

4

1.

21

4

4

1

21

04) ( )∫ ∫ ++=+

=+

Ctgxdxtgx

xdx

tgx

x35ln

3

1.

35

sec3

3

1.

35

sec 22

05) ( )∫ ∫ ∫ +−=−

−== Cxdxx

xdx

x

xdxtgx cosln.

cos

sen.

cos

sen.

06) ( )∫ ∫ +== Cxdxx

xdxgx senln.

sen

cos.cot

07) ( )∫ ∫ +−−=−

−−=

−Cxdx

xx

dx51ln

5

1.

51

5

5

1

51

08) ( )∫ ∫ ∫ ++=+

=+

=+ −

Cedxe

e

e

dx

e

dx x

x

x

x

x1ln.

111

1

09) ( )

∫ −dx

x

x.

cos21

2sen2

Temos: [ ] ( ) ( )xxxxxxdx

d2sen2cos.sen2.2sen.cos2.2cos21 2 ==−−=−

Então: ( ) ( ) ( )∫∫ +−=

−=

−Cxdx

x

xdx

x

x 2

22cos21ln

2

1.

cos21

2sen2

2

1.

cos21

2sen

10) ∫ +

+dx

xx

x.

ln1

ln1

Temos: [ ] 1ln1.ln.1ln1 +=+=+ xx

xxxxdx

d, que é o numerador do integrando.



Portanto, essa integral é imediata e o seu resultado é:

( ) Cxxdxxx

x++=

+

+∫ ln1ln.

ln1

ln1




4.4 - CÁLCULO DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS- DIRETIVAS:

4.4.4 – 4a DIRETIVA – FUNÇÃO EXPONENCIAL:

DEMONSTRAÇÃO;


Sejam, então, Ca

ay

u

+=ln



du

du

dy

dx

dy.=

Temos: uu

aa

aa

du

dy==

ln

ln. e ( )xf

dx

du′=

Portanto: ( ) ( ) ( )xfadx

dyxfa

dx

dy xfu ′=⇒′= .. , que é igual ao integrando.

EXEMPLOS;

01) ∫ += Cdxx

x

3ln

3.3

02) ∫ +=+=+= CeCe

Ce

edxe x

xxx

1ln.

( ) ( )( )

∫ ≠>+=′ 10,ln

.. aeaCa

adxxfa

xfxf



03) ( ) ( )

( )

∫ ∫ +−=−−=−

−−Cdxdx

xxx

3ln

3.2

1.3.2

2

1.3

21

2121

04) ∫∫ +== Cdxx

dxx

xx

x

2ln

2.1.2.

2ln

lnln

05) ∫ ∫ +=+== CeaCe

eadxe

aadxe a

xa

x

a

x

a

x

.ln...

1.

06) ∫ ∫ +−=−−= −−− Cedxexdxex xxx 222

.2

1..2

2

1..

07) ∫ ∫ +== Cedxexdxx

e xxx

sensensen

..cos.sec

4.4.5 – 5a DIRETIVA – FUNÇÃO SENO:

DEMONSTRAÇÃO;


Sejam, então, Cuy +−= cos e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: ( ) uudu

dysensen =−−= e ( )xf

dx

du′=


dyxfu

dx

dy ′=⇒′= .sen.sen , que é igual ao integrando.

( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +−=′ Cxfdxxfxf cos..sen



EXEMPLOS;

01) ∫ +−= Cxdxx cos.sen

02) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−== Cxdxx

xdx

x

xlncos.lnsen.

1.

lnsen

03) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−== Cxdxxxdxx

xsencos.cos.sensen.

sec

sensen

04) ∫ ∫ +

−=

−−−=

− Cx

dxx

dxx

3cos.3.

3sen.

3

13.

3sen

05) ∫ ∫ +−== Cxdxxx

dxx

xcos2.sen.

2

12.

sen

06) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−=

+=

+Carctgxdxarctgx

xdx

x

arctgxcos.sen.

1

1.

1

sen22

07) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +=−−== −−−−−−

Cedxeedxeedxee

dx xxxxx

xxcos.sen..sen..

seccos.

4.4.6 – 6a DIRETIVA – FUNÇÃO COSSENO:

DEMONSTRAÇÃO;

( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +=′ Cxfdxxfxf sen..cos




Sejam, então, Cuy += sen e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: udu

dycos= e ( )xf

dx

du ′=


dyxfu

dx

dy ′=⇒′= .cos.cos , que é igual ao integrando.

EXEMPLOS;

01) ∫ += Cxdxx sen.cos

02) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ++=+=

+Cxdxx

xdx

x

x3lnsen.3lncos.

1.

3lncos

03) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +== Ctgxdxtgxxdxx

tgxsen.cos.sec.

cos

cos 2

2

04) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +== Cdxdx xxxxx3sen.

3ln

1.3cos.3ln.3

3ln

1.3cos.3

05) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +−−=−−−=−=−

Cxdxxxdxxxdxx

x 222

251sen.

10

1.51cos.10

10

1.51cos..

51sec

.

06) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ≠++=+=+ 0,sen.1

.cos.1

.cos aCbaxa

dxbaxaa

dxbax

4.4.7 – 7a DIRETIVA – FUNÇÃO SECANTE:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ∫ ++=′ Cxftgxfdxxfxf secln..sec



DEMONSTRAÇÃO;


Sejam, então, [ ] Ctguuy ++= secln e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: ( )

utguu

utguu

tguu

utguu

du

dysec

sec

sec.sec

sec

sec.sec2

=++

=++

= e ( )xfdx

du ′=


dyxfu

dx

dy ′=⇒′= .sec.sec , que é igual ao integrando.

EXEMPLOS;

01) ( )∫ ++= Ctgxxdxx secln.sec

02) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ ++== Cxtgxdxxxdxxx 2222secln.

2

1.sec.2

2

1.sec.

03) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ +−+−=−=−=−

Cxtgxdxxdxxx

dx8585secln

5

1.85sec.5

5

1.85sec

85cos

04) ∫ ∫ ∫ +

+

−=

−−=

=

C

xtg

xdx

xxdx

x

x

xx

dx 33secln

3

1.

3sec.

3

3

1.

3sec

3cos.

222

05) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ++= Ctgxtgtgxdxxtgx secln.sec.sec2

4.4.8 – 8a DIRETIVA – FUNÇÃO COSSECANTE:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ∫ +−=′ Cxfgxfdxxfxf cotseccosln..seccos



DEMONSTRAÇÃO;


Sejam, então, [ ] Cguuy +−= cotseccosln e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos:( ) ( )

uguu

guuu

guu

uguu

du

dyseccos

cotseccos

cotseccos.seccos

cotseccos

seccoscot.seccos2

=−

−=

−−−−

= e ( )xfdx

du ′=


dyxfu

dx

dy ′=⇒′= .seccos.seccos , que é igual ao integrando.

EXEMPLOS;

01) ( )∫ +−= Cgxxdxx cotseccosln.seccos

02) ∫ ∫ +

−

=

=

C

xg

xdx

xdx

x

3cot

3seccosln3.

3seccos.

3

13.

3seccos

03) ( )

( ) ( )∫ ∫ ∫ −−−=−=−

dxxdxxx

dx.43seccos.4

4

1.43seccos

43sen

( )

( ) ( )[ ]∫ +−−−−=−

Cxgxx

dx43cot43seccosln

4

1

43sen

04) ∫ ∫ ∫

=

=

−dxeedxeedx

e

exxxx

x

x

.seccos..2

12.seccos..

seccos

2222

2

2

∫ +

−

=

−Cegedx

e

exx

x

x

22

2

2

cotseccosln2.

seccos



05) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫ +−== Cxgxdxx

xdx

x

xlncotlnseccosln.lnseccos.

1.

lnseccos

4.4.9 – 9a DIRETIVA – FUNÇÃO SEC2f(x):

DEMONSTRAÇÃO;


Sejam, então, Ctguy += e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: udu

dy 2sec= e ( )xf

dx

du ′=


dyxfu

dx

dy ′=⇒′= .sec.sec22 , que é igual ao integrando.

EXEMPLOS;

01) ∫ += Ctgxdxx.sec2

02) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−=−=− Cxtgdxxdxx πππ 5.5

1.5sec.5

5

1.5sec

22

03) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−=−=− Cxtgdxxxdxxx 7515

1.75sec.15

15

1.75sec.

3322322

( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +=′ Cxftgdxxfxf ..sec2



04) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]∫ ∫ +== Cxtgdxxxdxxx 2sen2

1.2sensec.2cos2

2

1.2sensec.2cos

22

05) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )∫ ∫ ∫==x

dx

x

xx

dx

xgx

dx

3cos

3sen

3cos.3sen

3cot.3sen2

2

22

22

( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +=== Cxtgdxxdxxxgx

dx3.

3

1.3sec.3

3

1;3sec

3cot.3sen

22

22

4.4.10 – 10a DIRETIVA – FUNÇÃO COSSEC2f(x):

DEMONSTRAÇÃO;


Sejam, então, Cguy +−= cot e ( )xfu = , isto é, y é uma função composta de x .


du

du

dy

dx

dy.=

Temos: ( ) uudu

dy 22seccosseccos =−−= e ( )xf

dx

du′=


dyxfu

dx

dy ′=⇒′= .seccos.seccos22 , que é igual ao integrando.

EXEMPLOS;

01) ∫ +−= Cgxdxx cot.seccos2

02) ( )

( ) ( )∫ ∫ ∫ −−−=−=−

dxxdxxx

dx.1seccos.1seccos

1sen

22

2

( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +−=′ Cxfgdxxfxf cot..seccos2



( )( )[ ] ( )∫ +−=+−−−=

−CxgCxg

x

dx1cot1cot

1sen2

03) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−== Cxgdxxdxx ππ

ππ

π cot1

.seccos1

.seccos22

04) ( )

( ) ( )∫ ∫ +−== Cxgdxxxxx

dxlncot.lnseccos.

1

lnsen.

2

2

05) ( )( )

( )( )( )

( )( )∫ ∫ ∫ ∫ −=

−=

−

−−

=−

−dxxdx

xdx

x

x

xdx

xtg

x.83seccos.

83sen

1.

83cos

83sen

83cos

1

.83

83sec 2

2

2

2

2

2

2

( )( )

( ) ( )∫ ∫ +−−=−=−

−Cxgdxxdx

xtg

x83cot.

3

1.83seccos3

3

1.

83

83sec 2

2

2

4.4.11 – 11a DIRETIVA – FUNÇÃO INVERSA DA TANGENTE:

DEMONSTRAÇÃO;


Sejam, então, Ca

uarctga

y +

=1



du

du

dy

dx

dy.=

( )( )[ ]

( )∫ ℜ∈+

=+

′ *

22,.

1. aC

a

xfarctg

adx

xfa

xf



Temos:22

2

22

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

.1

ua

a

ua

a

a

u

a

a

u

a

adu

dy

+=

+=

+

=

+

= e ( )xfdx

du ′=

Portanto: ( ) ( )( )[ ]2222

.1

xfa

xf

dx

dyxf

uadx

dy

+

′=⇒′

+= , que é igual ao integrando.

EXEMPLOS;

01) ∫ ∫ +=+

=+

=+

CarctgxCx

arctgdxxx

dx

11

1.

1

1

1222

02) ∫ ∫ +

=+

=+

Cx

arctgdxxx

dx

2.2

1.

2

1

4222

03) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫

+=

+=

+dx

x

xdx

x

x

x

xdx.

23

4

4

1.

2343 22222

24

∫ +

=+

=

+C

xarctgC

xarctg

x

xdx

3

2.34

1

3

2.3

1.4

1

43

22

4

04) ( ) ( )∫ ∫ +

=

+=

+C

earctgdx

e

edx

e

e x

x

x

x

x

7.7

1.

7

.7 222

05) ( )∫ ∫ +

−=+

−−=

+C

xarctgdx

x

xdx

x

x

5

cos.5

1.

cos5

sen.

cos25

sen222




EXERCÍCIOS – DIRETIVAS:

Apresentamos nesta aula a resolução de algumas integrais indefinidas imediatas, isto é,

integrais cujas soluções são obtidas pela simples aplicação das diretivas estudadas nas últimas

aulas.

Um fato importante, que devemos lembrar de agora em diante, é que, qualquer integral que

possua solução analítica, isto é, qualquer integral em que seja possível obter a primitiva do

integrando, só será resolvida mediante o uso de Diretivas.

Aprenderemos nas próximas aulas algumas técnicas e métodos para resolver integrais que

não sejam imediatas. E, mesmo quando estivermos empregando essas técnicas, o nosso objetivo

sempre será transformar a integral dada em uma ou mais integrais que sejam todas imediatas.

Em outras palavras, a solução analítica de uma integral indefinida só é possível com o

emprego das Diretivas.

Portanto, o conhecimento dessas Diretivas e a prática no seu uso, serão fundamentais para o

desenvolvimento deste assunto daqui por diante.

Assim, o nosso conselho é que você, estudante, pratique bastante até adquirir habilidade

suficiente para resolver integrais.

Para finalizar estes comentários, queremos destacar que o uso dessa ferramenta no

desenrolar do curso de Física (ou qualquer outra ciência exata), será quase diário. Daí a

importância de estudarmos detalhadamente o assunto.

Nos exercícios a seguir procuramos apresentar algumas integrais imediatas devidamente

resolvidas.

Sugerimos que, antes de passar aos exercícios propostos, você resolva novamente estas

integrais por sua conta.

EXERCÍCIOS;

01) ( ) ( )∫ ∫∫∫∫∫

−−−−++=++=

++=

+dxxxdxxxdxxdxxxxdx

x

xxdx

x

x....2..21..

21.

12

1

22

1

2

1

22

1

2

1

22



( )∫ ∫∫∫ +

++

++

+−=++=

++++−

−C

xxxdxxdxxdxxdx

x

x

12

31

2

1.2

12

1..2..

11

2

31

2

11

2

1

2

3

2

1

2

12

( )∫ +++=+++=

+CxxxC

xxxdx

x

x 532

5

2

3

2

12

5

2

3

42

2

5

2

3.2

2

1.

1

OBSERVAÇÃO;

Na resolução da integral acima, usamos apenas a diretiva da Função Potência, fazendo o

desenvolvimento do numerador aplicando Produtos Notáveis.

02) ( )( )

dxx

xxxxxxdx

x

xxxx.2422363

.12.23 1212122

∫∫++++++++

=++++ −−−−−

( )( )

∫∫−−−− ++++

=++++

dxx

xxxxdx

x

xxxx.

25377.12.23 212122

( )( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ −−−−

++++=++++

dxxdxxdxxdxdxx

dxx

xxxx 32122

2.5.37.7

.12.23

( )( )

Cxx

xxxdxx

xxxx+

−+

−+++=

++++ −−−−

∫ 2.2

1.5

2

37ln7.

12.23 212

122

( )( )

Cxx

xxxdxx

xxxx+−−++=

++++∫

−−

2

2122 15

2

37ln7.

12.23

OBSERVAÇÃO;

A integral acima foi resolvida de maneira parecida com a primeira, só que ela foi

desmembrada em 5 integrais, sendo uma delas de Função Quociente, outra de Função Constante

e 3 delas de Função Potência.

03)

( )( )∫ ∫ ∫ ∫∫∫

−−−−=−=

−=

−=

−dxadxadxaadx

a

adx

a

adx

a

axx

xx

x

x

x

x

x

x

x

...1..1

.1

.1

222

22

2

2

2

1

22



( )∫ ∫ ∫∫∫−−

−−−=−=−

dxadxadxadxadxa

axxxx

x

x

..2

12..

2

3

3

2...

122

3

22

32

∫ ++=++=−

−

Caa

aa

Ca

a

a

adx

a

a

x

x

xx

x

x 1.

ln

2.

ln3

2

ln.2

ln.3

2.1 3

22

3

2

OBSERVAÇÃO;

Esta integral envolveu especificamente Funções Exponenciais, devidamente arrumadas para

que as integrais resultantes fossem imediatas.

04) ( ) ( )

( )∫ ∫ ∫ +=+

=+

=+

Cxarctgdxx

xdx

x

xdx

x

x 3

232

2

232

2

6

2

.3

1.

1

3

3

1.

1.

1

OBSERVAÇÃO;

A integral acima já era imediata de acordo com a 11a Diretiva. Foi necessário apenas

identificar a função ( ) 3xxf = e a sua derivada ( ) 23xxf =′ .

05) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ++

=++

=+−+

=++

dxx

dxx

dxxxx

dx.

35

1.95

1.

34255

1

3410 22222

∫ +

+=

++C

xarctg

xx

dx

3

5.3

1

34102

OBSERVAÇÃO;

Para resolver esta integral fomos obrigados a fatorar uma parte do denominador, a fim de

obter um quadrado perfeito, no caso ( )25+x . Com este procedimento, a integral tornou-se

imediata, novamente envolvendo a 11a Diretiva.



ATENÇÃO:

Cuidado para não escrever 34

1

10

11

3410

122

++=++ xxxx

, que é um dos erros mais absurdos

cometidos por estudantes mal formados conceitualmente.

06) dxx

xxx.

1

41062

23

∫ +

+−

OBSERVAÇÃO;

Observe que esta integral envolve uma Função Racional, como as integrais 04 e 05 acima.

Entretanto, ao contrário do que aconteceu com aquelas integrais, esta envolve uma Função

Racional Imprópria, isto é, o polinômio do numerador tem o grau maior que o polinômio do

denominador.

Isto significa que existe uma parte inteira na divisão do numerador pelo denominador.

Portanto, para resolvermos a integral, devemos primeiramente efetuar esta divisão, sem nos

preocuparmos se ela será exata ou não.

Lembremo-nos que, na divisão de um polinômio ( )xP por outro polinômio ( )xQ obtemos um

quociente ( )xq e podemos encontrar um resto ( )xR . Neste caso, podemos dizer que:

( )( )

( ) ( )( )xQxR

xqxQ

xP+=

onde ( )xq é um polinômio inteiro e racional na variável x e ( )( )xQxR

é uma Função Racional

Própria, isto é, o grau do polinômio ( )xR é menor que o grau do polinômio ( )xQ .

No nosso exemplo, ao dividirmos o polinômio ( ) xxxxP 4106 23 +−= por ( ) 12+=xxQ , obtemos o

quociente ( ) 106 −= xxq e o resto ( ) 102 +−= xxR (VERIFIQUE!).

Portanto, podemos escrever: 1

102106

1

410622

23

+

+−+−=

+

+−

x

xx

x

xxx.

Integrando membro a membro em relação à variável x , teremos:



∫ ∫ ∫ ∫ +

+−+−=

+

+−dx

x

xdxdxxdx

x

xxx.

1

10210.6.

1

410622

23

Note que a primeira integral é imediata (Função Potência) e a segunda também é imediata

(Função Constante), mas a terceira ainda não é. Ela parece ser a Diretiva da Função Quociente

ou da Função Inversa da Tangente, mas não é uma coisa nem outra – ainda!

Vamos, então, desmembrar a terceira integral em duas.

Assim:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++

+−−=

+

+−dx

xdx

x

xdxdxxdx

x

xxx.

1

110.

1

2.10.6.

1

41062222

23

Observe que a terceira integral foi desmembrada em duas integrais imediatas: a primeira de

Função Quociente e a segunda é a 11a Diretiva.

Finalmente:

( )∫ +++−−=+

+−Carctgxxxxdx

x

xxx.101ln103.

1

4106 22

2

23

07) ∫ + x

dx

cos1

OBSERVAÇÃO;

Observe que esta não se parece com nenhuma integral daquelas que resolvemos até agora.

O integrando é uma Função Racional Trigonométrica, e este tipo específico de integrais será

objeto de nosso estudo em aulas futuras.

Entretanto, neste caso em particular, podemos tentar obter uma solução para esta integral

usando o artifício de aplicar o conjugado do denominador no nosso integrando.

Assim procedendo, vamos obter:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ −=−

=−−

=−−

+=

+dx

x

xdx

xdx

x

xdx

x

xdx

x

x

xx

dx.

sen

cos.

sen

1.

sen

cos1.

cos1

cos1.

cos1

cos1.

cos1

1

cos1 2222

( ) ( )∫ ∫∫ +

−−−=−=

+

−−

Cx

gxdxxxdxxx

dx

1

sencot.cos.sen.seccos

cos1

122



CxgxCx

gxx

dx++−=++−=

+∫ seccoscotsen

1cot

cos1

08) ( )

∫ +

++dx

x

xx.

1

1ln2

2

OBSERVAÇÃO;

A integral acima parece totalmente estranha aos tipos de integrais que observamos até agora.

Para começar, ela envolve um radical e uma Função Logarítmica, e não existe nenhuma

Diretiva que trate especificamente de funções logarítmicas.

Portanto, esta integral só poderá ser imediata se envolver a Diretiva da Função Potência

(devido ao radical).

Vamos tentar enxergar esta Diretiva, escrevendo a integral de outra maneira:

( ) ( )[ ]∫ ∫

+++=

+

++dx

xxxdx

x

xx.

1

1.1ln.

1

1ln

2

2

1

2

2

2

Esta integral será imediata se tivermos no integrando a derivada ( )xf ′ da função definida por

( ) ( ) ( )

++=++= 2

122 1ln1ln xxxxxf .

Vamos, então, encontrar a derivada desta função ( )xf .

Temos: ( )( )

( ) 1

1

1.1

1

1

11

1

2.1.2

11

222

2

2

2

2

2

12

+=

+++

++=

++

++

=++

++=′

−

xxxx

xx

xx

x

x

xx

xx

xf

Comprovamos, portanto, ser esta uma integral da forma: ( )[ ] ( )∫ ′ dxxfxfn

.. , isto é, uma Diretiva

da Função Potência, onde ( ) ( )

++= 2

12 1ln xxxf ,

2

1=n e ( )

21

1

xxf

+=′ .

Logo: ( ) ( )[ ] ( )[ ]∫ +++=+

++=

+

++CxxC

xxdx

x

xx 32

2

3

2

2

2

1ln3

2

2

3

1ln.

1

1ln



09) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −−−=

−=

−dxxa

xadx

xa

xadx

ax

xa..

2

12.

1.

..

444

( ) ( ) ( ) Cxa

aC

xa

adx

ax

xa+−−=+

−−=

−∫

554

.5

2

5.

2.

OBSERVAÇÃO;

Na resolução da integral acima, usamos a diretiva da Função Potência, fazendo com que

aparecesse no integrando a derivada da função ( ) ( )xaxf −= que é ( )x

xf2

1−=′ .

10) ( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ +

−+

=+

−dxxarctg

xdx

x

xdx

x

xarctgx.2.

41

1.

41.

41

22

1

222

( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ +

−+

=+

−dxxarctg

xdx

x

xdx

x

xarctgx.2.

41

2

2

1.

41

8

8

1.

41

22

1

222

( ) ( ) ( )[ ]

∫ +−+=+

−C

xarctgxdx

x

xarctgx

2

3

2.2

141ln.

8

1.

41

2 2

3

2

2

( ) ( ) ( )[ ]∫ +−+=

+

−Cxarctgxdx

x

xarctgx 32

22

3

141ln.

8

1.

41

2

OBSERVAÇÃO;

A integral dada foi desmembrada em duas: uma diretiva de Função Quociente (a primeira) e

outra diretiva de Função Potência (a segunda).

11) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫∫ −=−=

−= dxxdxdxxdxdx

xdxx .2cos2

2

1.2

1.2

1.2cos

2

1.2

1.

2

2cos1.sen 2

( ) Cxxdxx +−=∫ 2sen4

1

2

1.sen 2



OBSERVAÇÃO;

Para a resolução desta integral, fizemos uso de uma identidade trigonométrica, que é dada

por: ( )2

2cos1sen 2

xx

−= .

Para a demonstração desta identidade, vamos partir do segundo membro e tentar chegar ao

primeiro:

Sabemos que ( ) xxx 22 sencos2cos −= (1)

Por outro lado, também sabemos que: 1cossen 22 =+ xx (2)

Da relação (2) tiramos: xx 22 sen1cos −=

Substituindo em (1): ( ) xxx 22 sensen12cos −−=

( ) ( ) ( )2

2cos1sen2cos1sen2sen212cos 222 x

xxxxx−

=⇒−=⇒−=

Portanto, com a troca do integrando pela identidade correspondente, obtivemos duas integrais

imediatas: uma de Função Constante e outra da Função Cosseno.

12) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫∫ +=+=

+= dxxdxdxxdxdx

xdxx .2cos2

2

1.2

1.2

1.2cos

2

1.2

1.

2

2cos1.cos2

( ) Cxxdxx ++=∫ 2sen4

1

2

1.cos2

OBSERVAÇÃO;

Para a resolução desta integral, fizemos uso de uma identidade trigonométrica, que é dada

por: ( )2

2cos1cos2

xx

+= , cuja demonstração é semelhante àquela do exemplo anterior.

13) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −+=−== dxxxdxxdxxxdxxxdxx .sen.cos.sen.cos1.sen.sen.sen.sen 2223

∫ ++−= Cxxdxx 33 cos.3

1cos.sen



14) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫ −=−== dxxxdxxdxxxdxxxdxx .cos.sen.cos.sen1.cos.cos.cos.cos 2223

∫ +−= Cxxdxx 33 sen.3

1sen.cos

15) ( )∫ ∫ ∫ ∫+−

=

−== dx

xxdx

xdxxdxx .

4

2cos2cos21.

2

2cos1.sen.sen

22224

[ ]∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

++−=+−= dx

xdxxdxdxxdxxdxdxx .

2

4cos1.2cos2

4

1.2cos.2cos21

4

1.sen 24

∫ ∫ ∫ ∫∫

++−= dxxdxdxxdxdxx .4cos2

1.

2

1.2cos2

4

1.sen 4

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

++−= dxxdxdxxdxdxx .4cos.44

1.2

1

2

1.2cos2

4

1.sen 4

∫ +

++−= Cxxxxdxx 4sen.8

1

2

12sen

4

1.sen 4

∫ +

+−= Cxxxdxx 4sen.8

12sen

2

3

4

1.sen 4

OBSERVAÇÃO;

Observe que, para resolver esta integral, foi necessário utilizar por duas vezes a mesma

identidade trigonométrica que utilizamos no exemplo 11.

16) ( )∫ ∫ ∫ ∫++

=

+== dx

xxdx

xdxxdxx .

4

2cos2cos21.

2

2cos1.cos.cos

22224

[ ]∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

+++=++= dx

xdxxdxdxxdxxdxdxx .

2

4cos1.2cos2

4

1.2cos.2cos21

4

1.cos 24

∫ ∫ ∫ ∫∫

+++= dxxdxdxxdxdxx .4cos2

1.

2

1.2cos2

4

1.cos 4

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

+++= dxxdxdxxdxdxx .4cos.44

1.2

1

2

1.2cos2

4

1.cos 4



∫ +

+++= Cxxxxdxx 4sen.8

1

2

12sen

4

1.cos 4

∫ +

++= Cxxxdxx 4sen.8

12sen

2

3

4

1.cos4

17) Uma função f(x) é tal que ( ) 322 x

2

x1

x62)x(f −

+−=′′ . Achar f(x), sabendo que a curva passa

pelo ponto ),1(P π e que a reta tangente à curva pelo ponto P tem coeficiente angular igual

ao da reta 010x9y2 =+− .

Antes de começar a resolver este problema, vamos reconhecer o que foi dado e o que foi

pedido e, principalmente, que caminhos devemos tomar para atingir o nosso objetivo.

Conhecemos a expressão da derivada segunda e podemos obter a derivada primeira através

da integração da derivada segunda.

Ao integrarmos a derivada segunda para obter a derivada primeira, vamos chegar a uma

constante de integração, que aqui vamos chamar de 1C . Para obtermos o valor dessa constante,

vamos usar o fato de que a curva da função passa pelo ponto ),1(P π e tem nesse ponto o

mesmo coeficiente angular da reta 010x9y2 =+− . Em outras palavras, basta tomarmos a

derivada primeira da função no ponto igual ao coeficiente angular da reta dada (Interpretação

Geométrica da Derivada no Ponto).

Uma vez obtida a constante 1C , conhecemos a derivada primeira. Integrando a derivada

primeira vamos obter a nossa função ( )xf .

Assim:

( ) ( )( )

dxxx

xdxxfxf .

2

1

62.

322∫∫

−

+−=′′=′

( ) ( )∫ ∫ ∫ −−−+−=′ dxxdxxxdxxf .2.1.232 322

( ) ( )1

212

2.2

1

1.32 C

xxxxf +

−−

−+

−=′−−

( ) 1

2

21

32 Cx

xxxf ++

++=′ −



Da reta tangente, temos: 52

9−= xy , cujo coeficiente angular é igual a

2

9.

Portanto, devemos ter a derivada ( )xf ′ no ponto ),1(P π igual a 2

9, ou seja:

0122

3

2

91

2

32

2

9111 =⇒−−−=⇒+++= CCC

Logo, a derivada primeira da função procurada é ( ) 2

21

32 −+

++=′ x

xxxf .

Integrando esta expressão, obtemos:

( ) ( )∫ ∫

++

+=′= − dxxx

xdxxfxf .1

32. 2

2

( ) ∫ ∫ ∫ −++

+= dxxdxx

dxxxf ..1

13.2 2

2

( ) 2

12

1.3 C

xarctgxxxf +

−++=

−

( ) 2

2 13 C

xarctgxxxf +−+=

Como a curva de ( )xf passa pelo ponto ),1(P π , então:

21131 Carctg +−+=π

44.3 22

πππ =⇒−= CC

Finalmente, a função procurada é:

( )4

132 π

+−+=x

arctgxxxf




4.5 - INTEGRAIS DEFINIDAS:

4.5.1 – DIFERENCIAL DA ÁREA SOB UMA CURVA:

Seja ( )xfy = uma função contínua num intervalo [ ]ba, , cujo gráfico é a curva AB , onde

admitimos ( ) Aaf = e ( ) Bbf = .

Vamos considerar agora a área S , limitada pela curva AB , pelo eixo das abscissas e pelas

ordenadas ( ) Aaf = (fixa) e ( )xfy = (variável).

y

x 0

( )xfy =

A

B

a b

( )af

( )bf

x 0

( )xfy =

A

B

a b

( )af

( )bf

x

( )xf

S

y




acréscimo S∆ para a área S , conforme a figura:

Da figura, podemos tirar a seguinte relação:

QNORMNORMNOP SSS <<

xORSxOP ∆<∆<∆ ..

Dividindo por x∆ , teremos:

ORx

SOP <

∆∆

<

Tomando os limites para 0→∆x , obtemos:

( )xfyMNOPx

===→∆lim

0

( )xfyMNORx

===→∆lim

0

Portanto, de acordo com o Teorema do Confronto, podemos afirmar que:

( ) ( ) ⇒=⇒=∆∆

→∆

xfdx

dSxf

x

S

xlim

0

x 0

A

B

a b

( )af

( )bf

x

( )xf

S

y

xx ∆+

S

Q R

M P

N O

S∆

( )dxxfdS .=



CONCLUSÃO:

A diferencial dS da área sob uma curva, limitada pela curva, pelo eixo das abscissas e por

uma ordenada fixa e outra móvel, é igual ao produto da ordenada variável ( )xf pela diferencial da

variável independente x .

4.5.2– INTEGRAL DEFINIDA – DEFINIÇÃO:

Consideremos a diferencial dS da área S sob a curva de uma função ( )xf :

( )dxxfdS .=

Integrando membro a membro, teremos:

( )∫ ∫= dxxfdS .

( )∫= dxxfS .

( ) CxFS +=

onde ( )xF é a Primitiva de ( )xf .

Se a curva da função ( )xf é definida no intervalo [ ]ba, , temos:

• Para 0=⇒= Sax

Logo: ( ) ( )aFCCaF −=⇒+=0

• Para SSbx =⇒= (área total sob a curva)

Logo: ( ) ( )aFbFS −=

A área S será, então, representada pela notação:

( ) ( ) ( ) ( )aFbFxFdxxfSb

a

b

a−=== ∫ .

e ( )∫b

adxxf . é chamada de Integral Definida de ( )xfy = no intervalo [ ]ba, .

Assim:

( ) ( ) ( ) ( )∫ −==b

a

b

aaFbFxFdxxf .



onde:

• ( )xf é o Integrando ou Função Integrando;

• ( )xF é a Primitiva de ( )xf ;

• a é o Limite Inferior de Integração;

• b é o Limite Superior de Integração

4.5.3 – PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS:

P1:

P2:

P3:

P4:

P5:

( )∫ =a

adxxf 0.

( ) ( )∫ ∫ ℜ∈=b

a

b

akparadxxfkdxxfk ,....

( ) ( )∫ ∫−=b

a

a

bdxxfdxxf ..

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+b

a

b

a

b

a

b

adxxhdxxgdxxfdxxhxgxf ....

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ <<+=b

a

c

a

d

cbcaparadxxfdxxfdxxf ,...



4.5.4 – RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS DEFINIDAS:

Para o cálculo de uma Integral Definida da forma ( )∫b

adxxf . , devemos proceder da seguinte

maneira:

• obtemos a Primitiva ( )xF da Função Integrando e desprezamos a constante de

integração;

• substituímos na Primitiva obtida os limites superior e inferior de integração e subtraímos

os resultados nesta ordem.

EXEMPLOS;

01) ∫ ==−=−==5

2

335

2

32

393

117

3

8

3

125

3

2

3

5

3.

xdxx

02) ( )

∫−−

==−=−

−==3

1

443

1

43

204

80

4

1

4

81

4

1

4

3

4.

xdxx

03) ∫ ==−=

−

=

=+

aa

aaarctg

aaarctg

aa

aarctg

aa

xarctg

axa

dx

00

2244

.1

01.10

.1

.1

.1 ππ

04) ( ) ( )∫ ∫ −=+=

+=+=

+

−1

0

1

0

2

1

0

1

0

2

12

2

12

2121

2

1

1.2

1.1.2

2

1

1

.x

xdxxx

x

dxx

05) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫ −+=−==3

0

3

0

3

0

3

0

23

0

223.sen.cos.sen.cos1.sen.sen.sen.sen

π π π ππ

dxxxdxxdxxxdxxxdxx

∫ −++−=+−=3

0

33

3

0

3

3

0

3

3

0cos

3

3cos

0cos3

cos3

coscos.sen

ππ

ππ

πxxdxx



∫ =−++−

=−++−=3

0

3

24

5

24

812412

3

1

24

11

2

1.sen

π

dxx

06) ( )

( )∫ ∫ ∫−−=

−=

+−

1

0

1

0

1

0

2

22.2

244dxx

x

dx

xx

dx

( )

∫ =−=−

+−

−=−

−=−−

=+−

−1

0

1

0

1

0

1

22

1

2

11

20

1

21

1

2

1

1

2

44 x

x

xx

dx




4.6 - INTEGRAÇÃO POR PARTES:

O Método de Integração Por Partes constitui-se numa das técnicas mais importantes e

utilizadas na resolução de integrais que, em geral, não são imediatas.

Ele se fundamenta em interpretar o Integrando como sendo resultado do produto de uma

função pela diferencial de outra função ou, se quisermos simplificar, no produto de duas funções.

Consideremos, então, o produto de duas funções ( )xuu = e ( )xvv = .

A derivada do produto vu. destas funções, com relação à variável x , é dado por:

( )dx

duv

dx

dvuvu

dx

d... +=

A Diferencial deste produto será:

( ) duvdvuvud ... +=

Integrando membro a membro, teremos:

( )∫ ∫ ∫+= duvdvuvud ...

∫ ∫+= duvdvuvu ...

Isolando uma das integrais do segundo membro, resulta:

que é o chamado Método de Integração Por Partes.

Se a integral é Definida no intervalo [ ]ba, , fazemos:

∫ ∫−= duvvudvu ...

∫ ∫−=b

a

b

a

b

aduvvudvu ...



OBSERVAÇÃO;

Provavelmente, você não deve ter entendido muito bem a definição formulada acima. Talvez

esteja se perguntando: por que Integração Por Partes?

As razões para este nome são que devemos enxergar o integrando como formado por duas

partes: uma função ( )u e uma diferencial ( )dv , e também de que devemos resolver a integral dada

em duas partes.

Nos exemplos resolvidos a seguir você, com certeza, vai conseguir entender o método.

EXEMPLOS;

Resolver as integrais abaixo, usando o Método de Integração por Partes:

01) ∫ dxex x..

Por Partes ∫ ∫−= duvvudvu ... :

fazemos:

=⇒=⇒=

=⇒=

∫ ∫ xxx evdxedvdxedv

dxduxu

..

Observe que não escrevemos a constante de integração quando integramos dv . É assim

mesmo que devemos proceder. A constante de integração C só será escrita no final e, é claro, se

a integral dada for indefinida.

Então: ∫ ∫−= dxeexdxex xxx....

( )∫ +−=+−= CxeCeexdxex xxxx1....

(VERIFIQUE esta solução, derivando o resultado e comparando com o integrando).

OBSERVAÇÃO;

Note que escolhemos uma parte do integrando para chamar de u e a parte restante para

chamar de dv , ou seja, neste exemplo fizemos a escolha xu = e dxedv x.= .



Com este procedimento, transformamos a integral dada numa diferença entre uma função,

que é vu. , e uma nova integral, que é ∫ duv. .

O que aconteceria se trocássemos as escolhas, isto é, se fizéssemos xeu = e dxxdv .= ? Será

que a integral teria a mesma solução?

Vamos experimentar fazer a troca para ver o que acontece.

Para xeu = , teremos dxedu x.=

Para dxxdv .= , teremos 2

.

2xvdxxdv =⇒= ∫∫

Assim, a integral dada ficaria:

∫ ∫−= dxex

ex

dxex xxx..

2.

2..

22

∫ ∫−= dxexex

dxex xx

x..

2

1

2..

2

2

Ou seja, a segunda integral, além de não ser imediata, como aconteceu na nossa primeira

escolha, ainda traz no integrando uma função mais complexa que aquela dada inicialmente.

Portanto, esta escolha não é uma escolha feliz.

Em outras palavras, partimos de uma integral que não era imediata e chegamos a outra que

também não era imediata.

Percebemos também que a escolha da função u e da diferencial dv é subjetiva, isto é,

podemos fazer a escolha que julgarmos ser mais conveniente para nós em cada caso. Quer dizer,

não existe uma regra que especifique qual o tipo de função devemos chamar de u e qual

devemos chamar de dv para que possamos resolver nossa integral.

Infelizmente, esta escolha deve ser feita por tentativa, mas sempre usando o bom senso e

escolhendo para dv a parte da integral dada que resultará numa segunda integral imediata.

Isto nos leva a concluir que só mesmo a prática é que nos levará a aplicar corretamente e com

sucesso este método.

02) ∫= 2

0.cos.

π

dxxxI

Por Partes: ∫ ∫−= duvvudvu ...



Fazendo:

=⇒=⇒=

=⇒=

∫∫ xvdxxdvdxxdv

dxduxu

sen.cos.cos

Assim, a nossa integral que chamamos de I , torna-se:

∫−= 2

0

20

.sensen.

ππ

dxxxxI

( ) 12

1001.2

cossen.cossen. 20

20

20

−=−+−=+=+=πππππ

xxxxxxI

03) ∫= dxxxI .ln.


Fazendo:

=⇒=⇒=

=⇒=

∫∫ 2..

.1

ln

2xvdxxdvdxxdv

dxx

duxu

Portanto, a integral torna-se:

∫−= dxx

xx

xI .

1.

2ln.

2

22

Cxxx

Cxxx

dxxxx

I +−=+−=−= ∫ 42

ln

2.2

1

2

ln.

2

1ln.

2

22222

04) ∫= dxxeI x.sen.


Fazendo:

−=⇒=⇒=

=⇒=

∫ ∫ xvdxxdvdxxdv

dxedueu xx

cos.sen.sen

.

∫+−= dxxexeI xx.cos.cos.

Chamando de ∫= dxxeI x.cos.

1, teremos:

1cos. IxeI x +−= (1)

Aplicamos novamente a Integração Por Partes:



Fazendo:

=⇒=⇒=

=⇒=


dxedueu xx

sen.cos.cos

.

Assim, teremos:

∫−= dxxexeI xx.sen.sen.

1

Observe que chegamos novamente à integral dada para ser resolvida.

Este fato nos leva a supor que não conseguimos resolver a integral, mas isto não é verdade.

O que aconteceu (e que pode voltar a acontecer com outras integrais) é que partimos de uma

determinada integral e voltamos a ela novamente. Entretanto, conseguimos resolve-la como era o

nosso objetivo.

Note que podemos escrever:

IxeI x −= sen.1

(2)

Substituindo agora (2) em (1), resulta:

IxexeI xx −+−= sen.cos.

( ) ( ) Cxxe

IxxeIx

x +−=⇒−= cossen.2

cossen2

OBSERVAÇÃO;

Observe que escolhemos chamar xeu = e dxxdv .sen= para começarmos a resolver esta

integral.

Se tivéssemos feito a escolha trocada, ou seja, se tomássemos xu sen= e dxedv x.= ,

resolveríamos do mesmo jeito esta integral (EXPERIMENTE).

05) ∫= dxxI .sec3

Se quisermos resolver esta integral diretamente, devemos encontrar sérias dificuldades.

Vamos, então, fazer: ∫= dxxxI .sec.sec2 .


Fazendo:

=⇒=⇒=

=⇒=

∫∫ tgxvdxxdvdxxdv

dxtgxxduxu

.sec.sec

..secsec

22

Desta forma, teremos:



∫−= dxxtgxtgxxI ..sec.sec2

Mas: 1sec22 −= xxtg

Logo: ( )∫ −−= dxxxtgxxI .1sec.sec.sec2

∫ ∫+−= dxxdxxtgxxI .sec.sec.sec3

∫+−= dxxItgxxI .sec.sec

( ) CtgxxtgxxI +++= secln.sec2

( )[ ] CtgxxtgxxI +++= secln.sec2

1

06) ∫= dxarctgxI .

Em integrais como esta, que apresentam apenas uma função no integrando, devemos chamar

esta função de u , no caso de aplicarmos este método.

Portanto, pelo Método de Integração Por Partes: ∫ ∫−= duvvudvu ...

Fazendo:

=⇒=⇒=

+=⇒=

∫ ∫ xvdxdvdxdv

dxx

duarctgxu .1

12

Assim, teremos:

∫ +−= dx

x

xarctgxxI .

1.

2

A segunda integral é imediata (Diretiva da Função Quociente). Basta arrumarmos o numerador

do integrando, ou seja:

∫ +−= dx

x

xarctgxxI .

1

2

2

1.

2

( ) CxarctgxxI ++−= 21ln.

2

1.

07) ∫∫ =⇒= dxxxIdxxI .sen.sen.sen2

Embora esta integral já tenha sido resolvida por aplicação de Diretivas, nós também podemos

resolve-la por este método, desde que façamos xxx sen.sensen2 = .




Fazemos:

−=⇒=⇒=

=⇒=


dxxduxu

cos.sen.sen

.cossen

Assim, a integral torna-se:

∫+−= dxxxxI .coscos.sen2

Mas: xx 22sen1cos −=

Logo: ( )∫ −+−= dxxxxI .sen1cos.sen2

∫ ∫−+−= dxxdxxxI .sencos.sen2

IxxxI −+−= cos.sen

( ) CxxxIxxxI +−=⇒−= cos.sen.2

1cos.sen2




4.7 - INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS:

Tão importante quanto o Método de Integração por Partes é o Método de Integração por

Substituição de Variáveis.

Em linhas gerais, este Método se propõe a fazer uma troca conveniente na variável de

integração, de modo que a integral se torne mais simples de ser resolvida e, às vezes, até mesmo

imediata.

Genericamente, se temos uma integral da forma ( )∫ dxxf . , podemos fazer a substituição:

( ) ( )dttgdxtgx .′=⇒= .

Com esta substituição, a integral torna-se:

( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ ′= dttgtgfdxxf ...

Isto é, uma integral para ser resolvida na variável x passará a ser resolvida na variável t .

OBSERVAÇÃO;

Se a integral é Definida e vamos usar substituição de variáveis para resolve-la, então é

conveniente mudar também os limites de integração, ao fazer a mudança de variável.

Não existe uma regra básica que estabeleça se devemos ou não trocar a variável para

resolver a integral. A princípio, podemos efetuar a mudança de variáveis quando quisermos.

Entretanto, existem certas situações particulares para as quais é aconselhável, ou até mesmo

necessário, que se faça essa substituição de variáveis.

Dessas situações, a mais comum é aquela em que aparecem radicais no integrando. Nesses

casos, a mudança de variáveis servirá exatamente para eliminar esses radicais.

Nesta aula, vamos estudar dois dos quatro casos mais comuns envolvendo essas situações.



4.7.1 – 1o CASO:

Se o integrando apresenta um radical da forma ( )*22 ℜ∈− axa então é conveniente fazer a

substituição:

Com esta substituição, teremos:

( ) tatatataaxa cos.cos.sen1.sen.222222222 ==−=−=−

ou seja, o radical é eliminado.

EXEMPLOS;

01) ∫ ∫−

=⇒−

= dxx

xI

x

dxxI .

11

.

222

Vemos que esta integral possui um radical da forma 22 xa − , com 1=a .

Podemos, então, fazer: txedttdxtx cos1.cossen.12 =−=⇒= .


∫∫ +−=== Ctdttt

dtttI cos.sen

cos

.cos.sen

Voltando para a variável original, teremos: CxI +−−= 21 .

OBSERVAÇÃO;

A integral acima já era imediata. No entanto, isto não invalidou o fato de tê-la resolvido por

substituição de variáveis.

02) ∫ ∫ −=⇒−= dxxIdxxI .4.16222

Novamente, temos um radical da forma 22 xa − , com 4=a .

Fazendo: txedttdxtx cos416.cos.4sen.42 =−=⇒=


dttadxtax .cossen. =⇒=



∫∫ == dttdtttI .cos16.cos4.cos42

Lembrando que 2

2cos1cos

2 tt

+= , podemos escrever:

[ ]∫ ∫ ∫+=+

= dttdtdtt

I .2cos8.2

2cos116

+= ∫∫ dttdtI .2cos.22

18

CttICttI +−=⇒+

−= 2sen282sen4

18

CtttICtttI +−=⇒+−= cos.sen48cos.sen2.28

Voltando para a variável x , temos:

4

16coscos416

4arcsen;

4sensen4

22 x

ttxex

tx

ttx−

=⇒=−

==⇒=

Finalmente, a integral torna-se:

Cxxx

ICxxx

I +−

−

=⇒+−

−

=4

16

4arcsen8

4

16.4.4

4arcsen8

22

4.7.2 – 2o CASO:

Se o integrando apresenta um radical da forma ( )*22 ℜ∈+ axa então é conveniente fazer a

substituição:


( ) tatattgattgaaxa sec.sec.1..222222222 ==+=+=+


EXEMPLOS;

01) ∫ ∫+

=⇒+

=22239 xx

dxI

xx

dxI

dttadxtgtax .sec.2=⇒=



Temos um radical da forma 22 xa + , com 3=a .

Fazendo: tgtx 3= , teremos dttdx .sec32= e tx sec39

2 =+

Com isto, a integral torna-se:

∫ ∫ ∫ ∫==== dtt

dt

t

ttdt

tgt

tdtttgt

tI .

sen

1

3

1.

cos

sen

cos

1

3

1.

sec

3

1.

sec3.3

sec32

( )∫ +−== CgttdttI cotseccosln3

1.seccos

3

1

Voltando para a variável x , resulta:

xtgtgt

xtgt

31cot

3==⇒=

Mas: x

x

xtgt

991cot1seccos

2

2

2 +=+=+=

Assim: Cx

xI +

−+=

39ln3

12

02) ∫ ∫+

=⇒+

=3

1

3

1

222

.1

.1

dxx

xIdx

x

xI

Fazendo: txdttdxtgtx sec1.sec22 =+⇒=⇒=

Como a integral é definida, vamos mudar também os limites de integração:

Para 1=x , temos 4

1π

=⇒= ttgt

Para 3=x , temos 3

3π

=⇒= ttgt


( )dt

tgt

ttgtdtt

tgt

tI .

1.sec.sec.

sec3

4

3

4

2

2∫ ∫+

==π

π

π

π

∫ ∫ ∫∫ +=+= 3

4

3

4

3

4

3

4

..sec.seccos..sec.sec

π

π

π

π

π

π

π

π dttgttdttdttgttdttgt

tI



( )[ ] 34

seccotseccosln

π

πtgttI +−=

Substituindo os limites de integração:

4sec

3sec

4cot

4seccosln

3cot

3seccosln

ππππππ−+

−−

−= ggI

Porém:

3

32

3

2

2

3

1

3sen

1

3seccos ====

ππ

; 22

22

2

2

2

2

1

4sen

1

4seccos =====

ππ

3

3

3

1

3

1

3cot ===

ππ

tg

g ; 14

cot =πg

2

2

1

1

3cos

1

3sec ===

ππ

; 22

22

2

2

2

2

1

4cos

1

4sec =====

ππ

Logo: ( ) 2212ln3

3

3

32ln −+−−

−=I

( ) 2212ln3

3ln −+−−

=I




4.7 - INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS:

4.7.3 – 3o CASO:

Se o integrando apresenta um radical da forma ( )*22 ℜ∈− aax então é conveniente fazer a

substituição:


( ) tgtattgataataax ..1sec.sec. 222222222 ==−=−=−


EXEMPLOS;

01) ∫ ∫−

=⇒−

=222 11 xx

dxI

xx

dxI

Vemos que esta integral possui um radical da forma 22 ax − , com 1=a .

Podemos, então, fazer: tgtxedttgttdxtx =−=⇒= 1..secsec.1 2 .


∫∫ +=== Ctdttgtt

dttgttI .

.sec

..sec

Mas xarcttx secsec =⇒=

Portanto: CxarcI += sec

OBSERVAÇÃO;

A integral acima já era imediata, quer dizer, o integrando é igual à derivada da função inversa

da secante. Entretanto, nada impede que tenhamos resolvido esta integral por substituição de

variáveis, uma vez que o resultado será aquele que já esperávamos.

dttgttadxtax ..secsec. =⇒=



02) ∫ ∫−

=⇒−

= dxx

xIdx

x

xI

222 2.4

Novamente, temos um radical da forma 22 ax − , com 2=a .

Fazendo: tgtxedttgttdxtx 24..sec.2sec.2 2 =−=⇒=


( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=−=== Cttgtdttdtttgt

dttgtttgtI .2.1sec2.2

sec.2

..sec.2..2 22

Mas: 2

42 −=

xtgt e

=2

secx

arct

Logo: Cx

arcxI +

−−=2

sec242

4.7.4 – 4o CASO – FUNÇÕES IRRACIONAIS:

Se a integral é do tipo ∫

= dxxxxxRI s

r

q

p

n

m

.,...,,, , então fazemos a substituição:

Esta substituição é a mais conveniente, pois ela elimina todos os radicais ao mesmo tempo.

EXEMPLOS;

01) ∫ ∫+

=+

= dx

x

xdx

x

xI .

1

.1 4

3

2

1

4 3

Temos: ( ) 44,2 =MMC

Fazendo, então, a substituição: dttdxtx .4 34 =⇒= .

Logo, a integral torna-se:

sqnMMCkondedttkdxtx kk ,...,,(,.. 1 ==⇒= −



∫ ∫ +=

+= dt

t

tdtt

t

tI .

14.4.

1 3

53

3

2

Como o integrando é uma função racional imprópria, devemos efetuar a divisão antes de

integrarmos:

Assim: 11 3

22

3

5

+−=

+ t

tt

t

t

Portanto:

+−= ∫ ∫ dtt

tdttI .

1.4

3

22

+−= ∫ ∫ 1

3.3

1.4

3

22

t

tdttI

( ) ( )[ ] CttICtt

I ++−=⇒+

+−= 1ln.

3

41ln.

3

1

34 333

3

Como 4tx = , então 4 xt = e 4 33 xt = .

Finalmente: ( )[ ] CxxI ++−= 1ln.3

4 4 34 3

02) ∫ ∫+

=+

= dx

x

xdx

x

xI .

1

.1

2

1

4

1

4

Temos: ( ) 42,4 =MMC

Fazendo: dttdxtx .4 34 =⇒=

Com esta substituição, a integral torna-se:

∫ ∫ +=

+= dt

t

tdtt

t

tI .

14.4.

1 2

43

2

Novamente, temos no integrando uma função racional imprópria.

Efetuando a divisão, obtemos:

1

11

1 2

2

2

4

++−=

+ tt

t

t



Portanto:

+

+−= ∫ ∫ ∫ dtt

dtdttI .1

114

2

2

Carctgttt

I +

+−=

34

3

Como 4tx = , então 4 xt = .

Logo: Cxarctgxx

I +

+−= 44

4 3

34

03) Calcule dx3e

1eeI

5ln

0x

xx

∫ +

−=

Para eliminarmos o radical, vamos fazer a substituição:

111 22 +=⇒=−⇒=− tetete xxx

Diferenciando membro a membro, obtemos: dttdxe x .2. =

Como a integral é definida, vamos mudar também os limites de integração:

Para 01110 0 =−=−=⇒= etx

Para 241515ln 5ln ==−=−=⇒= etx

Substituindo na integral, resulta:

∫ ∫ ∫ ∫

+

−=

+−

+

+=

+

−+=

+=

2

0

2

0

2

0

2

0 222

2

2

2

2

2

.4

412.

4

4

4

4.2.

4

44.2

4

.2dt

tdt

tt

tdt

t

t

t

dttI

∫ ∫ −=−=

−=+

−=2

0

2

0

2

0

24

4.44

242.

4

18.2 π

πtarctgtdt

tdtI

04) Calcule ∫− +=

8

1 32 x

dxI

Neste exemplo, observamos que existe um radical dentro do outro. Isto não tem importância

nenhuma. Podemos eliminar os dois radicais simultaneamente com uma única substituição.



Portanto, vamos fazer:

( )3223233 2222 −=⇒−=⇒=+⇒=+ txtxtxtx

Diferenciando, obtemos: ( ) ( ) dtttdxdtttdx .2.6.2.2.32222 −=⇒−=

Novamente, a integral é definida. Uma vez que fizemos a substituição de variáveis, vamos

fazer também a mudança nos limites de integração:

Para 1112121 3 ==−=−+=⇒−= tx

Para 2422828 3 ==+=+=⇒= tx

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=−=−

=2

1

2

1

2

1

2422

22

.446.26.2.6

dtttdttt

dtttI

+−−

+−=

+−= 1.4

3

1.4

5

1.62.4

3

2.4

5

2.64

3

4

5.6

35352

1

35

ttt

I

5

2632

5

186248

5

64864

5

1924

3

4

5

1.68

3

32

5

32.6 =−=−+−+−=

+−−

+−=I




4.8 - INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS:

Dizemos que uma função é Racional quando ela se apresenta sob a forma ( )( )xQxP

, onde:

( ) m

mmm AxAxAxAxP ++++= −−...

2

2

1

10 e ( ) n

nnn BxBxBxBxQ ++++= −−...

2

2

1

10 são funções

polinomiais de graus m e n , respectivamente.

Para esta classe de funções, são válidas as seguintes definições:

• Se nm ≥ , dizemos que a Função Racional é Imprópria;

• Se nm < , dizemos que a Função Racional é própria.

Toda Função Racional Imprópria representa uma Função Polinomial (quando a divisão de

( )xP por ( )xQ é exata), ou pode ser decomposta na soma de uma Função Polinomial com uma

Função Racional Própria (quando a divisão não é exata).

Assim, podemos dizer que: ( )( )

( ) ( )( )xQxR

xqxQ

xP+= , onde ( )xq é o quociente e ( )xR o resto desta

divisão.

A integral da Função Polinomial é imediata. Estamos interessados em saber como resolver a

integral da Função Racional Própria.

Para isto, basta lembrar que uma Função Racional Própria pode ser decomposta numa soma

de Frações Parciais.

Vamos considerar 4 casos:

4.8.1 – 1o CASO – FATORES LINEARES DISTINTOS:

A cada fator linear da forma ( )bax + que aparece no denominador da Função Racional Própria

corresponde uma Fração Parcial do tipo bax

A

+, onde ℜ∈A .



EXEMPLOS;

01) ( )( )

ℜ∈+

+−

=+−

BAx

B

x

A

xx

x,,

2121

02) ( )( )( )

ℜ∈+

+−

++

=+−+

−CBA

x

C

x

B

x

A

xxx

x,,,

53235323

43

Portanto, para resolver uma integral cujo integrando é uma Função Racional como as dos

exemplos acima, basta decompor essa função em frações parciais.

EXERCÍCIOS;

01) ( )( )∫ ∫ +−

=−

= dxxxx

dxI .

22

1

42

Podemos observar que o integrando é uma Função Racional Própria, pois é o quociente de

um polinômio de grau zero por um polinômio de grau 2.

Vemos também que o denominador dessa função é um produto de fatores de primeiro grau

(lineares) diferentes (distintos).

Portanto, por Frações Parciais, podemos escrever:

( )( ) 2222

1

−+

+=

−+ x

B

x

A

xx

Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador, temos:

( )( )( ) ( )( )( )22

22

22

1

−+++−

=−+ xx

xBxA

xx

Como os denominadores são iguais, basta igualar os numeradores.

Assim, devemos ter: ( ) ( ) 122 =++− xBxA .

O nosso objetivo, agora, é determinar valores positivos para as constantes A e B que

satisfaçam a equação acima.

Aparentemente temos uma só equação com duas variáveis ( A e B ). Entretanto, não é assim

que devemos olhar para igualdades como esta. Vamos obter os valores destas constantes por

comparação, ou seja, vamos impor a condição de que o primeiro membro desta igualdade (e de

outras que irão aparecer no futuro) seja igual ao segundo membro.



Temos duas maneiras de fazer isto:

1a MANEIRA:

Um procedimento que podemos usar para obter os valores destas constantes é desenvolver o

primeiro membro e compara-lo com o segundo, termo a termo.

Temos: ( ) ( ) 122 =++− xBxA

Abrindo os parênteses:

122 =++− BBxAAx

Reagrupando os termos semelhantes:

( ) ( ) 122 =−++ ABxBA

Comparando o primeiro com o segundo membro, devemos ter:

=−

=+

122

0

AB

BA

Resolvendo este sistema, obtemos: 4

1−=A e

4

1=B (Confira!)

2a MANEIRA:

Podemos atribuir valores para a variável x de maneira conveniente a eliminar todas as

constantes, menos uma, e assim calcular o valor dessa constante.

No nosso exemplo, temos: ( ) ( ) 122 =++− xBxA .

• Para 2=x , temos ( )4

114122 =⇒=⇒=+ BBB

• Para 2−=x , temos ( )4

114122 −=⇒=−⇒=−− AAA

Encontramos, portanto, os mesmos resultados.

Á princípio, a segunda solução parece ser a mais simples por ser mais prática. Podemos,

então, lançar mão deste procedimento sempre que quisermos.

Entretanto, é bom saber que esta segunda solução só será eficiente quando o denominador

da Função Racional Própria tiver raízes reais. São essas raízes que nós vamos utilizar para obter

os valores das constantes procuradas, com fizemos acima com as raízes 2=x e 2−=x .

Logo: ( )( )

+

−−

=−

++

−=

−+ 2

1

2

1

4

1

2

4

1

2

4

1

22

1

xxxxxx



Assim: ∫ ∫ ∫ ∫

+

−−

=

+

−−

=−

= dxx

dxx

dxxxx

dxI .

2

1.2

1

4

1.

2

1

2

1

4

1

42

Resolvendo: ( ) ( )[ ] CxxI ++−−= 2ln2ln4

1

ATENÇÃO;

Alguns livros trazem a solução de integrais como esta da forma: Cx

xI +

+−

=4

2ln4

1, isto é,

aplicam uma propriedade de Logaritmos para juntar os dois logaritmos obtidos na integração.

Entretanto, esta solução está ERRADA, uma vez que esta propriedade é operatória, isto é, só

tem validade quando existirem os dois logaritmos.

Por outro lado, quem nos garante que as funções ( ) ( ) ( )[ ]2ln2ln4

1+−−= xxxf e

( )

+−

=2

2ln4

1

x

xxg são iguais?

02) ( )( )( )∫ −+−

−+= dx

xxx

xxI .

413

77852

Novamente, vemos que o denominador apresenta um produto de três fatores de primeiro grau

distintos.


( )( )( ) 413413

77852

−+

++

−=

−+−−+

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador, temos:

( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )413

134341

413

77852

−+−+−+−−+−+

=−+−

−+xxx

xxCxxBxxA

xxx

xx

Comparando os numeradores:

( )( ) ( )( ) ( )( )13434177852 +−+−−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

Percebemos que o denominador possui três raízes reais, que são 3=x , 1−=x e 4=x .

Portanto, podemos usar a segunda maneira para encontrar os valores de A , B e C .



• Para ( )( ) 2484313773.83.532 =⇒−=−⇒−+=−+⇒= AAAx

• Para ( ) ( ) ( )( ) 420804131771.81.512 −=⇒=−⇒−−−−=−−+−⇒−= BBBx

• Para ( )( ) 75351434774.84.542 =⇒=⇒+−=−+⇒= CCCx


( )( )( )∫ ∫ ∫ ∫ −+

+−

+−

=−+−

−+= dx

xdx

xdx

xdx

xxx

xxI .

4

7.1

4.3

2.

413

77852

Resolvendo:

( ) ( ) ( ) CxxxI +−++−−= 4ln71ln43ln2

03) ( )( ) dxxxx

xxI .

65.1

5322

2

∫ +−−+−

=

Vemos que o integrando traz uma Função Racional Própria, porém aparecem no denominador

dois fatores: um de primeiro e outro de segundo grau.

O polinômio de segundo grau pode ser fatorado, de modo que podemos escrever a integral na

forma: ( )( )( )∫ −−−

+−= dx

xxx

xxI .

321

5322

.

Por Frações Parciais:

( )( )( ) 321321

5322

−+

−+

−=

−−−+−

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador:

( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )321

213132

321

5322

−−−−−+−−+−−

=−−−

+−xxx

xxCxxBxxA

xxx

xx

Comparando os numeradores, devemos ter:

( )( ) ( )( ) ( )( )2131325322 −−+−−+−−=+− xxCxxBxxAxx

• Para ( )( ) 224312151.31.212 =⇒=⇒−−=+−⇒= AAAx

• Para ( )( ) 77321252.32.222 −=⇒−=⇒−−=+−⇒= BBBx

• Para ( )( ) 7214231353.33.232 =⇒=⇒−−=+−⇒= CCCx

Portanto:

( )( ) ∫∫ ∫∫ −+

−−

+−

=+−−

+−= dx

xdx

xdx

xdx

xxx

xxI .

3

7.2

7.1

2.

65.1

5322

2

Resolvendo estas integrais, resulta:



( ) ( ) ( ) CxxxI +−+−−−= 3ln72ln71ln2

4.8.2 – 2o CASO – FATORES LINEARES REPETIDOS:

A cada fator linear repetido da forma ( ) ( )Ν∈+ nbaxn que aparece no denominador de uma

Função Racional Própria, corresponde à soma de n Frações Parciais da forma:

( ) ( ) ( )nbax

N

bax

C

bax

B

bax

A

+++

++

++

+...

32 , onde ℜ∈NCBA ,...,,, .

EXEMPLOS;

01) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32232

2

111221.2

42

++

++

++

−+

−=

+−

++

x

E

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

xx

02) ( ) 11.

73323 −+++=

−−

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x

OBSERVAÇÃO;

Observe que, no primeiro exemplo existem dois fatores lineares repetidos, um deles duas

vezes e o outro, três vezes. No segundo exemplo, apenas um fator linear aparece repetido três

vezes e o outro é distinto.

Porém, o mais importante é observar que, no primeiro exemplo, existe no denominador um

polinômio de quinto grau. Quando decompomos em Frações Parciais, aparecem cinco constantes

a serem determinadas. Ao mesmo tempo, no segundo exemplo temos um polinômio de quarto

grau no denominador e, como conseqüência, quatro constantes a serem calculadas.

Isto não foi uma coincidência, ou seja, quando decompomos uma Função racional Própria em

Frações Parciais, o número de constantes a serem calculadas é o mesmo número que mede o

grau do polinômio do denominador.



EXERCÍCIOS;

01) ( )( )∫ −+

+= dx

xx

xI .

11

532

Percebemos que o integrando traz uma Função Racional Própria e que no denominador

aparecem dois fatores lineares, sendo que um deles está repetido duas vezes.


( )( ) ( )2211111

53

−+

−+

+=

−+

+

x

C

x

B

x

A

xx

x

Reduzindo ao mesmo denominador:

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )22

211

1111

11

53

−+

++−++−=

−+

+

xx

xCxxBxA

xx

x


( ) ( )( ) ( )1111532 ++−++−=+ xCxxBxAx

Embora, neste caso, o denominador apresente apenas duas raízes reais, vamos tentar obter

os valores das constantes pela segunda maneira, isto é:

• Para ( ) ( )2

1421151.31

2 =⇒=⇒−−=+−⇒−= AAAx

• Para ( ) 4281151.31 =⇒=⇒+=+⇒= CCCx

• Para ( ) ( )( ) ( )2

14

2

1510.4101010.

2

150.30

2 −=⇒+−=⇒++−++−=+⇒= BBBx


( )( ) ( )∫ ∫ ∫∫ −+

−

−+

+=

−+

+= dx

xdx

xdx

xdx

xx

xI .

1

4.1

2

1

.1

2

1

.11

5322

( )∫ ∫ ∫−−+

−−

+= dxxdx

xdx

xI .14.

1

1

2

1.1

1

2

1 2

( ) ( ) Cx

xxI +−

−−−+=1

41ln

2

11ln

2

1

02) Resolver ( )∫ −

−−= dx

ee

eI

xx

x

1

132



Neste exercício, observamos que o integrando traz um quociente de funções. Porém, não se

trata de uma Função Racional Polinomial.

Portanto não podemos, ainda, aplicar Frações Parciais.

Vamos, então, fazer uma mudança de variáveis.

Chamando: dtt

dxtxte x .1

ln =⇒=⇒=

Assim: ( ) ( )( )∫ ∫ −+

−−=

−

−−= dt

ttt

tdtttt

tI .

11

13.1.

1

1322

Podemos perceber, agora, que o novo integrando apresenta uma Função Racional Própria,

onde aparece no denominador um produto de fatores lineares na variável t , sendo um deles

repetido duas vezes.

Vamos resolver esta integral por Frações Parciais e depois voltar à variável original x .


( )( ) 1111

1322 −

++

++=−+

−−t

D

t

C

t

B

t

A

ttt

t

Reduzindo ao mesmo denominador:

( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )11

111111

11

132

22

2 −+

++−+−++−+=

−+

−−

ttt

tDttCtttBttAt

ttt

t


( )( ) ( )( ) ( ) ( )1111111322 ++−+−++−+=−− tDttCtttBttAtt

• Para ( )( ) 11101010.30 =⇒−=−⇒−+=−−⇒= BBBt

• Para ( ) 224111.11.312 −=⇒=−⇒+=−−⇒= DDDt

• Para ( ) ( ) ( ) 12211.1.11.312 −=⇒−=⇒−−−=−−−⇒−= CCCt

• Para ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 312.2.212.2.11212.11212.2.12.3222 =⇒+−−−−++−+=−−⇒= AAt

Portanto:

( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−

++−

++=−−−

= dtt

dtt

dtt

dtt

dtttt

tI .

1

2.1

1.

1.3

.1.

1

1322

Resolvendo:

( ) ( ) Cttt

tI +−−+−−= 1ln21ln1

ln3



Porém xeteetet

et xx

x

x ===⇒=⇒= −lnln

111

Logo: ( ) ( ) CeeexI xxx +−−+−−= −1ln21ln3




4.8 - INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS:

4.8.3 – 3o CASO – FATORES DE SEGUNDO GRAU DISTINTOS:

A cada fator de segundo grau irredutível da forma ( )ℜ∈++ cbacbxax ,,2 que aparece no

denominador de uma Função Racional Própria, corresponde uma Fração Parcial da forma:

cbxax

BAx

++

+2

, onde ℜ∈CBA ,, .

OBSERVAÇÃO;

Chamamos um polinômio de segundo grau de IRREDUTÍVEL quando ele não pode ser

fatorado, isto é, quando ele não possui raízes Reais.

EXEMPLOS;

01) ( )( ) 431431

72322

2

++

++

+=

+++

−+

xx

CBx

x

A

xxx

xx

02) ( )( ) 4141

952222 ++

+++

=++

−x

DCx

x

BAx

xx

x

EXERCÍCIOS;

01) ( )( )∫ ++−

+= dx

xxx

xI .

221

22

2

Nesta integral, podemos perceber que o integrando é uma Função Racional Própria e que o

denominador possui um fator linear e um fator de segundo grau que é irredutível, uma vez que o

discriminante do polinômio de segundo grau é negativo, portanto ele não possui raízes reais.




( )( ) 221221

222

2

++

++

−=

++−

+

xx

CBx

x

A

xxx

x


( )( )( ) ( )( )

( )( )221

122

221

22

2

2

2

++−

−++++=

++−

+

xxx

xCBxxxA

xxx

x


( ) ( )( )122222 −++++=+ xCBxxxAx

Embora exista apenas uma raiz real no denominador, que é 1=x , ainda assim podemos

tentar obter os valores das constantes A, B e C pelo segundo método.

Assim:

• Para ( )5

35321.21211

22 =⇒=⇒++=+⇒= AAAx

• Para ( ) ( )5

4

5

621020.20

5

3200

22 −=⇒−=⇒−+++=+⇒= CCCx

• Para ( ) ( ) ( )( ) ( )5

211

5

421.21

5

3211

22 =⇒−−

−−++−+−=+−⇒−= BBx

Portanto:

( )( ) dxxx

x

dxx

dxxxx

xI .

22

5

4

5

2

.1

5

3

.221

222

2

∫ ∫∫ ++

−+

−=

++−

+=

∫ ∫ ++−

+−

= dxxx

xdx

xI .

22

42

5

1.1

1

5

32

A primeira integral já é imediata. Precisamos arrumar a segunda integral pra que ela também

se torne imediata.

Então, vamos fazer:

∫ ∫ ++−+−

+−

= dxxx

xdx

xI .

22

2242

5

1.1

1

5

32

∫ ∫ ∫ ++−

+++

++

−= dx

xxdx

xx

xdx

xI .

22

6

5

1.22

22

5

1.1

1

5

322

Observe, agora, que a segunda integral também já é imediata (Diretiva da Função Quociente).

Quanto à terceira integral, podemos arrumar o integrando de modo a que ela também se torne

imediata (Diretiva do arco tangente).



Assim: ( )∫ ∫ ∫ ++

−++

++

−= dx

xdx

xx

xdx

xI .

11

1

5

6.22

22

5

1.1

1

5

3222

Resolvendo estas integrais, obtemos:

( ) ( ) ( ) CxarctgxxxI ++−+++−= 15

622ln

5

11ln

5

3 2

02) ( )( )∫ ++−−

= dxxx

xxI .

94

122

2

Podemos perceber que o integrando acima é uma Função Racional Própria, na qual o

denominador é um produto de dois polinômios de segundo grau irredutíveis.


( )( ) 9494

12222

2

++

+++

=++

−−x

DCx

x

BAx

xx

xx

Reduzindo o segundo membro ao mesmo denominador, tem-se:

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )94

49

94

122

22

22

2

+++++++

=++

−−xx

xDCxxBAx

xx

xx


( )( ) ( )( )491222 +++++=−− xDCxxBAxxx

Como não existe nenhuma raiz real no denominador, o processo de atribuir valores para x a

fim de obter os valores de A B, C e D se torna ineficiente.

Neste caso, vamos encontrar os valores destas constantes por comparação, ou seja, vamos

desenvolver o segundo membro e compara-lo com o primeiro.

Assim:

DDxCxCxBBxAxAxxx 4499123232 +++++++=−−

Reduzindo os termos semelhantes:

( ) ( ) ( ) ( )DBxCAxDBxCAxx 49491232 +++++++=−−

Por comparação, devemos ter o seguinte sistema:

( )( )

( )( )

−=+

−=+

=+

=+

4149

3149

21

10

DB

CA

DB

CA

.

Da equação (1): AC −=

Em (3): 5

1

5

115149 =⇒−=⇒−=⇒−=− CAAAA



Da equação (2): BD −= 1

Em (4): ( ) 215514491149 =⇒−=⇒−=⇒−=−+⇒−=−+ DBBBBBB


( )( ) ∫ ∫∫ +

++

+

−−=

++−−

= dxx

x

dxx

x

dxxx

xxI .

9

25

1

.4

15

1

.94

12222

2

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ++

++

+−

+−=

++

+++

−= dxx

dxx

xdx

xdx

x

xdx

x

xdx

x

xI .

9

10

5

1.95

1.4

5

5

1.45

1.9

10

5

1.4

5

5

1222222

∫ ∫ ∫ ∫ ++

++

+−

+−= dx

xdx

x

xdx

xdx

x

xI .

3

12.

9

2

2

1.5

1.

2

1.4

2

2

1.5

1222222

Portanto: ( ) ( ) Cx

arctgxx

arctgxI +

+++

−+−=33

29ln

10

1

22

14ln

10

1 22

4.8.4 – 4o CASO – FATORES DE SEGUNDO GRAU REPETIDOS:

A cada fator irredutível do segundo grau, repetido n vezes e da forma ( )ncbxax ++2 , que

aparece no denominador de uma Função Racional Própria, corresponde uma soma de Frações

Parciais do tipo:

( ) ( ) ( )ncbxax

NMx

cbxax

FEx

cbxax

DCx

cbxax

BAx

++

+++

++

++

++

++

++

+232222

... .

EXEMPLOS;

01) ( )( ) ( ) ( )3222232

2

444141

743

+

++

+

++

+

++

−=

+−

+−

x

GFx

x

EDx

x

CBx

x

A

xx

xx

02) ( ) ( ) ( ) ( )2222222222

3

221121

2

+

++

+

++

+

++

+

+=

++

+−

x

HGx

x

FEx

x

DCx

x

BAx

xx

xx



EXERCÍCIO;

Resolver a integral ( )∫

++

++= dx

xx

xxI .

32

222

2

Neste exercício, percebemos que o integrando possui uma Função Racional Própria, tendo no

denominador um polinômio de segundo grau irredutível e que está repetido duas vezes.


( ) ( )22222

2

323232

2

++

++

++

+=

++

++

xx

DCx

xx

BAx

xx

xx


( )( )( )

( )22

2

22

2

32

32

32

2

++

+++++=

++

++

xx

DCxxxBAx

xx

xx

Igualando os numeradores:

( )( ) DCxxxBAxxx +++++=++ 32222

DCxBBxBxAxAxAxxx +++++++=++ 323222232

Reduzindo os termos semelhantes:

( ) ( ) ( )DBxCBAxBAAxxx +++++++=++ 32322232

Comparando, devemos ter:

0=A

112 =⇒=+ BBA

1123 −=⇒=++ CCBA

123 −=⇒=+ DDB

Portanto: ( )∫ ∫

++

−−+

++= dx

xx

xdx

xxI .

32

1.32

1222

( ) ( )( )( )∫ ∫

−+++−

++= dxxxxdx

xI .32.22

2

1.

21

1 22

22

Resolvendo, obtemos:

( ) Cxx

xarctgI +

+++

+=

322

1

2

1

2

12




4.9 - INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS TRIGONOMÉTRICAS:

4.9.1 – SUBSTITUIÇÃO UNIVERSAL:

Consideremos a integral ( )∫= dxxxRI .cos,sen , isto é, uma integral cujo integrando é uma

função racional trigonométrica.

Podemos mostrar que a substituição

=2

xtgt , chamada de Universal, transforma I numa

integral de função racional polinomial na variável t .

Para isto, devemos considerar as seguintes identidades trigonométricas:

aaa cos.sen22sen = e aaa 22sencos2cos −=

Para 2

xa = , teremos:

=

2

cos.2

sen.22.2sen

xxx


1

2cos.

2sen.2

sen

=

xx

x

Porém, sabemos que:

+

=2

sen2

cos122 xx

.

Assim:

+

=

2sen

2cos

2cos.

2sen.2

sen22 xx

xx

x

Dividindo o numerador e o denominador por

2

cos2 x , resulta:

Da mesma maneira:

+

=

21

2.2

sen2 xtg

xtg

x



−

=

2

sen2

cos2.2cos

22 xxx

+

−

=

−

=

2sen

2cos

2sen

2cos

1

2sen

2cos

cos22

2222

xx

xxxx

x

Dividindo o numerador e o denominador por

2

cos2 x , resulta:

Fazendo nestas expressões a substituição

=2

xtgt , teremos:

Se ⇒=⇒

= arctgtxx

tgt 22

Com estas substituições, a integral torna-se:

Isto é, uma integral cujo integrando passa a ser uma Função Racional Polinomial definida na

variável t e que pode ser resolvida por Frações Parciais.

+

−=

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x

21

2sen

t

tx

+=

2

2

1

1cos

t

tx

+

−=

21

2

t

dtdx

+=

( )∫ ∫ +

+

−

+==

22

2

21

2.

1

1,

1

2.cos,sen

t

dt

t

t

t

tRdxxxRI



OBSERVAÇÃO;

A substituição que acabamos de estudar é chamada de Universal porque ela é capaz de

transformar qualquer integral racional trigonométrica em racional polinomial.

EXEMPLOS;

01) ∫ −+=

xx

dxI

cossen1

Fazendo

=2

xtgt , teremos:

+=

+

−=

+=

2

2

2

2

1

2

1

1cos

1

2sen

t

dtdx

t

tx

t

tx

.

Assim, teremos:

( )∫ ∫ ∫ +=

+=

+

−−

++

+= dttttt

dt

t

t

t

t

t

dt

I .1

1

22

2

1

1

1

21

1

2

2

2

2

2

2

A integral acima pode ser resolvida por Frações Parciais:

( ) 11

1

++=

+ t

B

t

A

tt

( )( )( )11

1

1

+++

=+ tt

BttA

tt


( ) BttA ++= 11

• Para 10 =⇒= At

• Para 111 −=⇒=−⇒−= BBt

Então: ( )∫ ∫ ++−=+−

+= Cttdtt

dtt

I 1lnln.1

1.1

Como

=2

xtgt , portanto: C

xtg

xtgI +

+

−

= 12

ln2

ln



02) ∫ −=

x

dxI

cos23

Fazendo

=2

xtgt , teremos:

+=

+

−=

2

2

2

1

2

1

1cos

t

dtdx

t

tx


( )∫ ∫ ∫ ∫+

=+

=

+

+−++=

+

−−

+= dttt

dt

t

tt

t

dt

t

t

t

dt

I .

15

12

15

2

1

2233

1

2

1

1.23

1

2

222

2

22

2

2

2

2

( )( )∫ +=

+= Ctarctgdt

tI 5

5

2.

15

5

5

2

22

Como

=2

xtgt , então: C

xtgarctgI +

=2

.55

2

03) ∫ ++=

3sen2cos xx

dxI

Fazendo

=2

xtgt , teremos:

+=

+

−=

+=

2

2

2

2

1

2

1

1cos

1

2sen

t

dtdx

t

tx

t

tx


∫ ∫ ∫ ∫ ++=

++=

+

+++−+=

++

++

−+= dt

tttt

dt

t

ttt

t

dt

t

t

t

t

t

dt

I .22

1

442

2

1

3341

1

2

31

2.2

1

1

1

2

22

2

22

2

22

2

2

( )( )∫ ++=

++= Ctarctgdt

tI 1.

11

122

Como

=2

xtgt , então: C

xtgarctgI +

+

= 12



4.9.2 – CASOS PARTICULARES:

Vimos que a substituição

=2

xtgt sempre permite transformar uma integral racional

trigonométrica em racional polinomial, portanto ela sempre pode ser utilizada.

Entretanto, existem certos casos particulares para os quais podemos fazer uso de outro tipo

de substituição, que também vão transformar a integral dada numa integral racional polinomial. E

com a vantagem de se obter uma integral mais simples de ser resolvida.

Por este motivo, é importante estudarmos esses casos. São eles:

1o CASO;

Se a integral é do tipo ( )∫= dxxxRI .cos.sen , isto é, se o integrando é o produto de uma função

racional em xsen , e se essa função racional está sendo multiplicada pelo xcos , então o mais

conveniente a fazer é usar a substituição dxxdtxt .cossen =⇒= .

Com esta substituição, a integral torna-se: ( )∫= dttRI . , ou seja, uma integral de função

racional polinomial na variável t .

Resumindo:

EXEMPLOS;

01) ∫ ∫ +=

+= dxx

x

xdx

x

xxI .cos.

sen1

sen.

sen1

cos.sen

Fazendo: dxxdtxt .cossen =⇒=


∫ ∫ ∫

+

−++

=+−+

=+

= dttt

tdt

t

tdtt

tI .

1

1

1

1.

1

11.

1

( )∫ ∫ ++−=+

−= Cttdtt

dtI 1ln.1

1

( ) ( )∫ ∫=⇒

=

=⇒= dttRI

dxxdt

xtfazemosdxxxRI .

.cos

sen.cos.sen



Como xt sen= , então: ( ) CxxI ++−= sen1lnsen

02) ( )∫ ∫ ∫ +

=+

=+

= dxxxx

dxx

x

x

dxx

gxI .cos.

sen1.sen

1.

sen1

sen

cos

.sen1

cot

Fazendo: dxxdtxt .cossen =⇒=

Com estas substituições, a integral torna-se: ( )∫ +

= dttt

I .1

1

Por Frações Parciais, podemos escrever:

( ) ( )( )( )tt

BttA

ttt

B

t

A

tt +++

=+

⇒+

+=+ 1

1

1

1

11

1

Igualando os numeradores: ( ) BttA ++= 11

• Para 10 =⇒= At

• Para 111 −=⇒−=⇒−= BBt

Portanto: ( )∫ ∫ ++−=+−

+= Cttdtt

dtt

I 1lnln.1

1.1

Como xt sen= , então: ( ) ( ) CxxI ++−= sen1lnsenln

2o CASO;

Se a integral é do tipo ( )∫= dxxxRI .sen.cos , isto é, se o integrando é o produto de uma função

racional em xcos , e se essa função racional está sendo multiplicada pelo xsen , então o mais

conveniente a fazer é usar a substituição dxxdtdxxdtxt .sen.sencos =−⇒−=⇒= .

Com esta substituição, a integral torna-se: ( )( )∫ −= dttRI . , ou seja, uma integral de função


Resumindo:

( ) ( )( )∫ ∫ −=⇒

−=

=⇒= dttRI

dxxdt

xtfazemosdxxxRI .

.sen

cos.sen.cos



EXEMPLOS;

01) ∫ ∫ +=

+= dxx

x

x

x

dxxxI .sen.

cos1

cos

cos1

.sen.cos2

2

2

2

Fazendo dxxdtxt .sencos =−⇒=

( )∫ ∫ ∫

+−

+

+−=

+

−+−=−

+= dt

tt

tdt

t

tdt

t

tI .

1

1

1

1.

1

11.

122

2

2

2

2

2

∫∫ ++−=+

+−= Carctgttdtt

dtI .1

122

Mas xt cos= , logo: ( ) CxarctgxI ++−= coscos

02) ( )

∫ ∫∫ +=

+=

+= dxx

x

xdx

x

xxdx

x

xI .sen.

cos2

cos2.

cos2

cos.sen.2.

cos2

2sen

Fazendo dxxdtxt .sencos =−⇒=

( )∫ ∫ ∫

+

−++

−=+−+

−=−+

= dttt

tdt

t

tdt

t

tI .

2

2

2

22.

2

222.

22

( )∫∫ +++−=+

+−= Cttdtt

dtI 2ln42.2

142

Mas xt cos= , logo: ( ) CxxI +++−= cos2ln4cos2

3o CASO;

Se a integral é do tipo ( )∫= dxtgxRI . , isto é, se o integrando é uma função racional em tgx ,

então o mais conveniente a fazer é usar a substituição:

21 t

dtdxarctgtxtgxt

+=⇒=⇒= .

Com esta substituição, a integral torna-se: ( )∫ +=

21.

t

dttRI , ou seja, uma integral de função


Resumindo:

( ) ( )∫ ∫ +=⇒

+=

=⇒=

2

21.

1

.t

dttRI

t

dtdx

tgxt

fazemosdxtgxRI



EXEMPLOS;

01) ∫ += dx

tgx

tgxI .

1

Fazendo: 2

1 t

dtdxtgxt

+=⇒=


( )( )∫ ∫ ++=

++= dt

tt

t

t

dt

t

tI .

1.11.

1 22

Observe que o integrando é uma função racional própria que traz no denominador o produto

de um fator linear por um fator de segundo grau irredutível.

Por Frações Parciais: ( )( ) 22

111.1 t

CBt

t

A

tt

t

+

++

+=

++

( )( )( ) ( )( )

( )( )22

21.1

1.1

1.1 tt

tCBttA

tt

t

++

++++=

++

Igualando os numeradores: ( ) ( )( )tCBttAt ++++= 1.12

• Para 2

1211 −=⇒=−⇒−= AAt

• Para 2

1

2

100 =⇒+−=⇒= CCt

• Para 2

11212111 =⇒=⇒++−=⇒= BBBt

Logo:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ++

++

+−=

+

++

+−=

+

++

+

−= dt

tdt

t

tdtt

dtt

tdtt

dtt

t

dtt

I .1

1

2

1.

12

1.

1

1

2

1.

1

1

2

1.

1

1

2

1.

1

2

1

2

1

.1

2

1

2222

∫ ∫ ∫ ++

++

+−= dt

tdt

t

tdtt

I .1

1

2

1.

1

2

2

1.2

1.

1

1

2

1222

Resolvendo: ( ) ( ) CarctgtttI +++++−=2

11ln

4

11ln

2

1 2

Como arctgtxtgxt =⇒= , então:

( ) ( ) Cx

xtgtgxI ++++−=2

1ln4

1ln2

1 2



02) ∫ −=

tgx

dxI

1

Fazendo: 2

1 t

dtdxtgxt

+=⇒=


( )( )∫ ∫ +−=

−+= dt

ttt

t

dt

I .11

1

1

12

2


( )( ) 221111

1

t

CBt

t

A

tt ++

+−

=+−


( )( )( ) ( )( )

( )( )22

211

11

11

1

tt

tCBttA

tt +−

−+++=

+−


( ) ( )( )tCBttA −+++= 1112

• Para 2

1211 =⇒=⇒= AAt

• Para 2

1

2

110 =⇒+=⇒= CCt

• Para 2

112111 =⇒+−=⇒−= BBt

Logo: ∫ ∫ ∫ ∫ +

++

−=

+

++

−= dt

t

tdtt

dtt

t

dtt

I .1

1

2

1.

1

1

2

1.

1

2

1

2

1

.1

2

1

22

∫ ∫ ∫ ++

++

−−

−= dtt

dtt

tdtt

I .1

1

2

1.

1

2

2

1.2

1.

1

1

2

1222

( ) ( ) CarctgtttI ++++−−=2

11ln

4

11ln

2

1 2

Como tgxt = , então arctgtx = .

Portanto: ( ) ( ) Cx

xtgtgxI ++++−−=2

1ln4

11ln

2

1 2



4o CASO;

Se a integral é do tipo ( )∫= dxxxRI .cos,sen22 , isto é, se o integrando for uma função racional

em x2sen e/ou x2cos , podemos mostrar que a substituição tgxt = transforma I numa integral de

função racional polinomial.

Sabemos que:

xtgxx

22

2

1

1

sec

1cos

+== ⇒

xtg

xtgxxtgx

2

2

222

1cos.sen

+== ⇒

Fazendo, nas expressões acima, tgxt = , teremos:

Como tgxt = , então ⇒= arctgtx


xtgx

2

2

1

1cos

+=

xtg

xtgx

2

2

2

1sen

+=

2

2

2

1sen

t

tx

+= 2

2

1

1cos

tx

+=

21 t

dtdx

+=

( )∫ ∫ +

++==

222

2

22

1.

1

1,

1.cos,sen

t

dt

tt

tRdxxxRI



Isto é, uma integral cujo integrando passa a ser uma Função Racional Polinomial definida na

variável t e que pode ser resolvida por Frações Parciais.

EXEMPLOS;

01) ∫ −=

x

dxI

2sen2

Fazendo tgxt = , obtemos:

+=

+=

2

2

2

2

1

1sen

t

dtdx

t

tx


( )∫ ∫ ∫ ∫ +

=

+=

+=

+

−++=

+−

+= Ct

arctgdtt

dtt

t

tt

t

dt

t

t

t

dt

I22

1.

2

1.

2

1

1

22

1

12

12

22

2

22

2

2

2

2

Como tgxt = , então Ctgx

arctgI +

=

2.2

1

02) ∫ +=

x

dxI

2cos31

Fazendo tgxt = , obtemos:

+=

+=

2

2

2

1

1

1cos

t

dtdx

tx


∫ ∫ ∫ ∫ +

=+

=+

=

+++

+=

++

+= Ct

arctgdtt

dtt

t

t

t

dt

t

t

dt

I22

1.

2

1.

4

1

1

31

1

1

31

1222

2

2

2

2

2

Como tgxt = , então: Ctgx

arctgI +

=22

1




4.10 - APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS:

4.10.1 – TEOREMA FUDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL:

Vamos admitir que ( )xfy = seja uma função contínua num intervalo [ ]ba, contido no conjunto

dos Números Reais, de modo que ( ) 0≥xf neste intervalo.

Da definição de Integrais Definidas, vimos que ( )∫=b

adxxfS . , onde S é a área limitada pela

curva da função ( )xfy = , pelo eixo x e pelas ordenadas correspondentes aos pontos a e b .

Vamos dividir o intervalo [ ]ba, em n intervalos de amplitude ( )nixi ,...,3,2,1=∆ e construir

retângulos elementares de base ix∆ e altura ( )ixf , conforme mostrado na figura acima.

A área iS∆ de cada um desses retângulos elementares é dada por ( ) iii SxfS ∆=∆ . .

Chamando de nS a soma das áreas dos n retângulos elementares construídos, teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nniin xxfxxfxxfxxfxxfS ∆++∆++∆+∆+∆= ...........332211

Esta soma pode ser representada pela notação: ( )∑=

∆=n

i

iin xxfS1

.

y

x a b 1

x∆ 2x∆

( )xfy =

( )1xf

( )2xf



Podemos observar que:

Se SSexn ni →→∆⇒∞→ 0

Portanto, podemos dizer que:

( )∑=∞→∞→

∆==n

i

iin

nn

xxfSS1

.limlim

Porém, como ( )∫=b

adxxfS . , então podemos afirmar que:

CONCLUSÃO:

O resultado que acabamos de obter é o Teorema Fundamental do Cálculo e ele nos mostra

que a Integral Definida nada mais é do que o limite de uma somatória de infinitos termos.

Este Teorema é que nos permite a aplicação de Integrais Definidas na resolução de

problemas geométricos e físicos.

4.10.2 – CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS:

O cálculo de áreas de figuras planas é uma aplicação imediata do Teorema Fundamental do

Cálculo, que aprendemos na aula anterior.

Para efetuar o cálculo da área solicitada, devemos:

• esboçar os gráficos das funções envolvidas, para identificarmos a área a ser calculada;

• a partir do gráfico, identificarmos os limites de integração;

• integrar entre os limites identificados.

Antes de escolhermos os limites de integração, é conveniente tomar retângulos elementares,

das maneiras como estão mostradas nas figuras abaixo:

( ) ( )∫ ∑=∞→

∆=b

a

n

i

iin

xxfdxxf1

.. lim



OBSERVAÇÃO:

A escolha do retângulo elementar vai depender da área a ser calculada. Devemos fazer a

escolha que torne o mais simples possível o cálculo da área.

EXEMPLOS:

01) Calcular a área limitada pelas curvas 2xy = , 0=x e 3=x , e pelo eixo das abscissas.

y

x 0 a b

y

S

( )xfy =

∫=b

adxyS .

y

x 0

c

d

S

x

( )ygx =

x∆

y∆

∫=d

cdyxS .



A curva 2xy = é uma parábola com vértice na origem e concavidade voltada para cima. A reta

0=x é o próprio eixo das ordenadas e a reta 3=x é uma reta paralela a este eixo.

Então, a área a ser calculada pode ser esboçada da seguinte maneira:

Como a área a ser calculada se situa acima do eixo x , optamos por escolher o retângulo

elementar da forma xy ∆. .

Assim: [ ]∫ ∫ =⇒−====3

0

3

0

333

0

3

2.9

3

0

3

3

3.. AuS

xdxxdxyS

OBSERVAÇÂO: =Au. unidades de área.

02) Achar a área limitada no quarto quadrante pela curva xxy 32 −= e pelo eixo x .

A curva xxy 32 −= representa uma parábola com a concavidade voltada para cima e que

intercepta o eixo x nos pontos 0=x e 3=x , que são as raízes da equação 032 =− xx .

y

0 x

3

y

3=x

2xy =

x∆

y

0

x∆

y−

x

xxy 32 −=

3



Como a área a ser calculada situa-se toda abaixo do eixo x , escolhemos o retângulo

elementar desta forma, porém considerando-o da forma xy ∆− . , uma vez que a ordenada é

negativa e a área é positiva.

Assim: ( ) ( )∫ ∫ ∫ −=−−=−=3

0

3

0

3

0

22.3.3. dxxxdxxxdxyS

[ ]..2

9090

2

27

32

33

0

32

AuSxx

S =⇒+−−=

−=

03) calcular a área limitada pela parábola 228 yyx −+= , pelo eixo das ordenadas e pelas retas

1−=y e 3=y .

A parábola 228 yyx −+= tem a concavidade voltada para a direita e intercepta o eixo y nos

pontos 2−=y e 4=y , que são as raízes da equação 0282 =−+ yy . Já as retas 1−=y e 3=y

são paralelas ao eixo x .

Como a área a ser calculada situa-se toda à direita do eixo y , optamos por escolher o

retângulo elementar da forma yx ∆. .

Assim: ( )∫ ∫− −−+==

3

1

3

1

2.28. dyyydyxS

[ ]..3

92

3

1919824

38

3

1

32 AuSy

yyS =⇒−−−++=

−+=

−

y

x 0

4

3

1−

2−

y∆

3=y

x

228 yyx −+=

1−=y



04) Calcular a área plana limitada pela parábola xy 42 = e pela reta 42 −= xy .

A parábola xy 42 = tem o vértice na origem e a concavidade voltada para a direita e a reta

42 −= xy é oblíqua aos eixos coordenados.

Como a área a ser calculada situa-se toda à direita do eixo y , optamos por escolher um

retângulo elementar da forma yx ∆.* , onde parábolareta xxx −=* .

Por outro lado, para identificarmos os limites de integração, é necessário encontrar os pontos

de interseção da reta e da parábola.

Assim, obtivemos os pontos 2−=y e 4=y .

Portanto: ∫ −=4

2

*.dyxS , onde

42

2

2

* yyx −+=

Logo: [ ]∫ −−

=⇒−−++−=

−+=

−+=

4

2

4

2

322

..93

2

3

164814

122

4.

42

2AuS

yy

ydy

yyS

05) Calcular a área de um círculo de raio R .

Como a área do círculo depende apenas do seu raio, vamos tomar esse círculo com o centro

na origem, ou seja, aquele cuja equação é 222 Ryx =+ .

4

x

y

0

2−

y∆

42 −= xy

*x

xy 42 =

4−

2



Neste caso, os eixos coordenados vão dividir o círculo em quatro partes iguais. Portanto, não

é necessário calcular toda a área de uma vez. Podemos calcular a sua quarta parte e multiplicar

por 4.

Portanto: ∫ ∫∫ −=⇒−==R RR

dxxRSdxxRdxyS

0 0

22

0

22.4..

4

Como a integral obtida não é imediata, vamos resolve-la por substituição de variáveis.

Fazendo: tRx sen= , teremos dttRdx .cos= e tRxR cos22 =− .

• Para 00sensen00 =⇒=⇒=⇒= tttRx

• Para 2

1sensenπ

=⇒=⇒=⇒= tttRRRx

Portanto:

∫ ∫== 2

0

2

0

22.cos4.cos.cos4

π π

dttRdttRtRS

( )∫

+=+

= 2

0

2

0

222sen

4

1

2

14.

2

2cos14

ππ

ttRdtt

RS

[ ]..4.40.

4

10.

4

10.

2

1

2.2

14

222 AuRSRSRS πππ

=⇒=⇒

−+−=

y

0

4

S

R

R x

x∆

222 Ryx =+

y




4.10.3 - CÁLCULO DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO:

Chamamos de Sólido de Revolução ao sólido obtido pela rotação de uma área plana em

torno de um eixo do seu plano, chamado Eixo de Revolução.

Por exemplo, são Sólidos de Revolução o cilindro reto, o cone reto e a esfera.

Genericamente:

Consideremos uma área plana S , limitada pela curva ( )xfy = , pelo eixo x e pelas ordenadas

( )af e ( )bf no intervalo [ ]ba, .

y

0 x

S

y

0 x

S

a b

ix∆

iy



Dividindo a área S em n retângulos elementares de base ( )nixi ,...,3,2,1=∆ e altura iy , esses

retângulos terão área elementar iii xyS ∆=∆ . .

Fazendo a rotação desses retângulos em torno do eixo x iremos obter cilindros elementares

de raio iy e altura ix∆ , com volumes elementares iii xyV ∆=∆ ..2π .

O volume nV de todos os n cilindros elementares gerados será ∑ ∑= =

∆=∆=n

i

n

i

iiin xyVV1 1

2..π .

Porém, quando VVexn ni →→∆⇒∞→ 0 (volume total).

Neste caso, podemos dizer que: ∑=∞→∞→

∆==n

i

iin

nn

xyVV1

2..limlim π .

Portanto, pelo Teorema Fundamental, podemos afirmar que:

A integral acima serve para rotação em torno do eixo x ou em torno de um eixo paralelo a ele.

Se quisermos a rotação ao redor do eixo y ou de outro eixo paralelo a y , fazemos:

OBSERVAÇÃO:

Para o cálculo do volume de um sólido de revolução, não é necessário desenhar o sólido.

Procedemos como se estivéssemos calculando áreas de figuras planas. Para isto:

• esboçamos os gráficos das funções envolvidas para identificarmos a área que devemos

fazer a rotação;

• identificamos os limites de integração, conforme o eixo de rotação;

• construímos um retângulo elementar de acordo com o eixo de rotação, porém mantendo a

base desse retângulo sempre sobre o eixo de rotação, ao longo do intervalo de integração;

• aplicamos a integral conveniente para o caso.

∫=b

adxyV .

2π

∫=d

cdyxV .

2π



EXEMPLOS:

01) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da área limitada pelas

curvas xy = , 1=x e pelo eixo x .

A curva xy = representa o ramo positivo da parábola 2yx = e a reta 1=x é paralela ao eixo

y. Portanto, a área a ser girada é a da figura abaixo:

Como a rotação é em torno do eixo x , escolhemos o retângulo elementar da forma xy ∆.

Assim:

( ) [ ]∫ ∫ ∫ =⇒

−=====

1

0

1

0

1

0

221

0

22

2..

22

0

2

1.

2.... VuVx

dxxdxxdxyVπ

πππππ

02) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da área compreendida

pela parábola 2xy = e pela reta 4=y .

A área a ser girada é:

y

xy =

0 1 x∆

y

1=x

x

y

4

0

2xy =

2− 2

4=y

x

1y

x∆

2y

x∆



Como a rotação se dará em torno do eixo x e como a base do retângulo elementar deve estar

sobre o eixo de rotação ao longo do intervalo de integração, então, neste caso, somos obrigados a

proceder da seguinte maneira:

- giramos a área retangular limitada pelo eixo x e pela reta 4=y entre 2−=x e 2=x ,

obtendo um volume 1V ;

- fazemos a rotação da área compreendida abaixo da parábola e acima do eixo x entre

2−=x e 2=x , obtendo um volume 2V ;

- fazemos 21VVV −= .

Portanto: ∫ ∫− −−=

2

2

2

2

2

2

2

1 .. dxydxyV ππ

( )∫ ∫∫∫− −−−−=−=

2

2

2

2

42

2

2

2

222.16..4 dxxdxdxxdxV ππππ

( ) [ ]..5

256

5

32

5

322216

5.16.

2

2

52

2VuV

xxV

πππππ =⇒

+−+=−=−

−

03) Calcular o volume de uma esfera de raio R .

Para calcularmos o volume da esfera, vamos considerar um círculo com centro na origem,

cuja equação é 222 Ryx =+ .

Se girarmos apenas um quarto desse círculo ao redor de um dos eixos (o eixo x , por

exemplo), vamos obter uma semi-esfera de volume 2

V, isto é, vamos usar a simetria para

resolvermos o nosso problema.

Assim:

y

0

R

R

y

x∆

222 Ryx =+

x



Neste caso: ( )∫ ∫ −== R R

dxxRdxyV

0 0

222..

2ππ

[ ]..3

40

302

32

33

3

0

32 VuRV

RR

xxRV

R

πππ =⇒

+−−=

−=

04) Achar o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola xy 82 = e pela

reta 2=x :

a) em torno do eixo x ;

b) em torno do eixo y ;

c) em torno da reta 2=x .

Neste problema temos uma única área que deverá sofrer três rotações diferentes. Então, na

verdade, temos três problemas diferentes.

a) Rotação em torno do eixo x ;

Neste caso:

∫ ∫==2

0

2

0

2.8. dxxdxyV ππ

( ) [ ]..1602.44.22

2

0

2 VuVxV πππ =⇒−==

y

0

4

4−

y

xy 82 =

x∆

2=x

x 2



b) em torno do eixo y ;

Neste caso, vamos proceder como no exercício 02, isto é, vamos obter o volume através de

duas rotações.

Temos: ∫ ∫ ∫ ∫− − − −

−=−=−=

4

4

4

4

4

4

4

4

22

22

2

2

121.

8.2.. dy

ydydyxdyxVVV ππππ

[ ]..5

128

320.4.

4

4

54

4VuV

yyV

πππ =⇒−=

−−

c) em torno da reta 2=x .

y

4

0

xy 82 =

4−

2x

y∆

y∆ 1x

2=x

x 2

y

4 xy 8

2 =

0

4−

*x y∆

2 x

2=x

parábolareta xxx −=*



Como a área a ser rotacionada é simétrica em relação ao eixo x , podemos girar apenas a

metade da área, obtendo a metade do volume, isto é:

( )∫ ∫

−==

4

0

4

0

22

2*.

82.

2dy

ydyx

Vππ

∫

+−=

4

0

42

.642

42 dyyy

V π

4

0

53

32064.2

+−=yy

yV π

[ ]..15

256

320

4

3

3216.2

5

VuVVπ

π =⇒

+−=




4.10.4 - CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCOS:

Seja l o comprimento de um arco da curva AB da função ( )xfy = , contínua e derivável um

intervalo [ ]ba, contido no conjunto dos Reais.

Vamos dividir o intervalo [ ]ba, em n intervalos de amplitude ( )nixi ,...,3,2,1=∆ , obtendo sobre

o arco AB n pontos ni PPPPP ,...,,...,,,

321.

Consideremos o comprimento elementar il∆ compreendido entre os pontos 1−iP e iP .

Esse comprimento pode ser calculado pela resolução do triângulo retângulo abaixo:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos verificar que:

22222

iiiiii yxyx ∆+∆=∆⇒∆+∆=∆ ll

Colocando 2

ix∆ em evidência, teremos:

i

i

ii

i

iii x

x

y

x

yx ∆

∆

∆+=∆⇒

∆

∆+∆=∆ .11.

2

2

2

2ll

y

0

A

B

( )xfy =

x a b

1P

2P

1−iP

iP il∆

ix∆

iy∆

ix∆

il∆

ix∆

iy∆



O comprimento nl de todos os arcos elementares será: i

n

i i

in

i

in xx

y∆

∆

∆+=∆= ∑∑

==

.11

2

1

ll

Porém, quando ll →→∆→∆⇒∞→ nii eyxn 0,0

Portanto, podemos dizer que: i

n

i i

i

n

n

n

xx

y∆

∆

∆+== ∑

=∞→∞→

.11

2

limlimll .

Assim, de acordo com o Teorema Fundamental, podemos concluir que:

Da mesma forma, se tivermos ( )ygx = , podemos fazer:

EXEMPLOS:

01) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio R .

Tal como fizemos com o cálculo da área do círculo e com o volume da esfera, vamos tomar a

circunferência com centro na origem dos eixos coordenados e usar a simetria.

Temos: ∫∫

+=⇒

+=RR

dxdx

dydx

dx

dy

0

2

0

2

.14.14

ll

dxdx

dyb

a.1

2

∫

+=l

dydy

dxd

c.1

2

∫

+=l

y

R

0 R x

4

l

222 Ryx =+



Derivando implicitamente a função 222 Ryx =+ com relação à variável x , temos:

220.22

xR

x

dx

dy

y

x

dx

dy

dx

dyyx

−−=⇒−=⇒=+

Substituindo na integral:

∫ ∫∫−

=−

+−=

−+=

R RR

dxxR

RdxxR

xxRdx

xR

x

0 0 220 22

222

22

2

.1

4.4.14l

Como a integral obtida não é imediata, podemos usar uma substituição de variáveis.

Fazendo tRxRedttRdxtRx cos.cossen22 =−=⇒=

• Para 00sensen00 =⇒=⇒=⇒= tttRx

• Para 2

1sensenπ

=⇒=⇒=⇒= tttRRRx

Portanto: [ ]..22.4.44.cos.

cos

14 2

0

2

0

2

0CuRRtRdtRdttR

tRR π

ππππ

=⇒==== ∫∫ ll

02) Calcular o comprimento do arco da astróide

=

=

θ

θ3

3

sen

cos

ay

ax .

A função acima foi dada na forma paramétrica. Para esboçarmos o seu gráfico, devemos

atribuir valores para o parâmetro θ e obtendo os pontos ( )yx, .

O gráfico procurado tem a forma abaixo:

y

a

a−

a−

a 0 x

astróide 4

l



A curva especial acima tem o nome de Astróide porque tem a forma de uma estrela. Observa-

se, também, que a curva é simétrica em relação aos eixos coordenados.

Portanto, podemos calcular apenas a quarta parte do comprimento e multiplicar por 4 o

resultado obtido.

Assim: dxdx

dydx

dx

dy aa

.14.14 0

2

0

2

∫∫

+=⇒

+= ll

Mas: θθθθθ

θ

θ tgdx

dy

a

a

dx

dy

d

dxd

dy

dx

dy−=⇒

−=⇒=

sen.cos3

cos.sen32

2

e θθθ dadx .sen.cos32−=

• Para 2

0coscos003 π

θθθ =⇒=⇒=⇒= ax

• Para 01coscos3 =⇒=⇒=⇒= θθθaaax

Portanto: ( )∫ −+=0

2

22.sen.cos3.14 π θθθθ datgl

∫∫ == 2

0

222

0.sen.cos.

cos

112.sen.cossec.3.4

ππ

θθθθ

θθθθ dadal

( ) [ ]∫ =⇒−=== 2

0

2

0

2

..60162

sen.12.cos.sen12

ππ

θϑθθ Cuaaada ll

03) Calcular o comprimento do arco da curva 3xy = , desde 0=x até 5=x .

Temos: ∫

+=5

0

2

.1 dxdx

dyl

Como: xdx

dyx

dx

dyxy .

2

3.2

32

1

2

3

=⇒=⇒=

Portanto: ∫ ∫∫

+=

+=+=5

0

5

0

2

1

2

1

5

0.

4

91.

4

9.9

4.

4

91.

4

91 dxxdxxdxxl

( ) [ ]Cux .27

33501

4

451.

27

8

4

91.

3

2.9

42

32

35

0

2

3

=⇒

+−

+=⇒

+= lll

apostila cálculo 1-sebastião

Engineering