apostila cálculo ii - professora lisiane

Calculo IIEngenharia Eletrica

Lisiane Ramires Meneses

Pelotas, RS.

2o Semestre de 2009

2Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que es-tudam seriamente esta ciencia acabam tomados de umaespecie de paixao pela mesma. Em verdade, o que pro-porciona o maximo prazer nao e o conhecimento e sim aaprendizagem, nao e a posse mas a aquisicao, nao e a pre-senca mas o ato de atingir a meta.

Carl F. Gauss.

Prefacio

Esta apostila foi elaborada para servir de base para a disciplina de Calculo II docurso de Engenharia Eletrica do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense.

Lisiane R. Meneses - Instituto Federal Sul-Rio-Grandense - IF

3

Conteudo

1 Funcoes de Varias Variaveis Reais 7

1-1 Funcoes de Duas Variaveis Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1-1.a Domnio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1-1.b Grafico de Funcoes de Duas Variaveis . . . . . . . . . . . 12

1-1.c Curvas de Nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1-2 Funcoes de Tres Variaveis Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1-2.a Domnio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1-2.b Superfcies de Nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1-3 Funcoes de n Variaveis Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1-4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Limite e Continuidade 23

2-1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2-2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2-3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Derivadas Parciais 29

3-1 Derivadas Parciais de Funcoes de Duas Variaveis . . . . . . . . 29

3-1.a Regra Pratica para Determinar Derivadas Parciais . . 30

3-2 Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3-3 Diferenciacao Parcial Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3-4 Derivadas Parciais de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . 39

3-4.a Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3-4.a.1 Equacao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3-4.a.2 Equacao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3-5 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . 44

3-6 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3-7 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3-8 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . 56

3-8.a Derivadas Direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3-9 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3-9.a Propriedades Algebricas dos Gradientes . . . . . . . . . 61

3-10 Planos Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5

6 CONTEUDO

3-11 Reta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3-12 Valores Extremos de Funcoes de Duas Variaveis . . . . . . . . 68

3-12.a Extremos Absolutos em Conjuntos Fechados e Limi-tados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3-12.b Problemas Aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3-13 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3-13..1 Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . 84

4 Integrais Duplas 89

4-1 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4-2 Problema Motivador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4-3 Funcoes Integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4-4 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4-5 Integrais Iteradas - Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . 92

4-6 Integrais duplas sobre regioes nao retangulares limitadas . . 94

4-7 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . 99

4-8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4-9 Area de Superfcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4-10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4-11 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4-11.a Coordenadas Cilndricas e Esfericas . . . . . . . . . . . . 106

Captulo 1

Funcoes de Varias Variaveis Reais

No estudo de fenomenos fsicos, uma quantidade normalmente depende de duas oumais variaveis. Portanto, precisamos ampliar a ideia basica do calculo de funcoesde uma unica variavel para funcoes de varias variaveis.

A seguir sao apresentados alguns exemplos de funcoes que dependem de maisde uma variavel.

A lei dos gases ideais PV = nRT , onde n e R sao constantes, permite expressarqualquer uma das variaveis P , V e T como funcoes das outras duas.

A quantidade de energia utilizavel que um painel solar pode captar dependede sua eficiencia, do seu angulo de inclinacao um relacao aos raios solares, doangulo de elevacao do sol acima do horizonte, e outros fatores.

O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio r e de sua alturah. De fato, sabemos que V = pir2h. Podemos dizer que V e funcao de r e h,e escrevemos V (r, h) = pir2h

1-1 Funcoes de Duas Variaveis Reais

Definicao 1.1 Uma funcao f de duas variaveis reais x e y, e uma lei que associacada ponto (x, y) de algum subconjunto D do R2 a um unico numero real denotadopor z = f(x, y).

Quando escrevemos z = f(x, y), queremos tornar explcitos os valores tomados porf em um ponto generico (x, y) D. As variaveis x e y sao variaveis independentes,e z e a variavel dependene.

7

8 1. funcoes de varias variaveis reais

1-1.a Domnio e Imagem

Definicao 1.2 Seja f uma funcao de duas variaveis reais x e y, com z = f(x, y),definimos o domnio de f , denotado por D(f), como o maior conjunto do R2 parao qual a lei de formacao de f gera numeros reais a menos que esse domnio sejaespecificado de forma explcita.

Definicao 1.3 A imagem de uma funcao f de duas variaveis reais, denotada porIm(f), e definida como o conjunto dos valores z = f(x, y), com (x, y) D.

A seguir apresentamos alguns exemplos de obtencao do domnio.

Exemplo 1.1 Determine o domnio de f , sendo f definida por:

f(x, y) =

x+ y + 1

x 1 .

Solucao: A expressao para f esta bem definida se o denominador for diferente dezero e o numero cuja raiz quadrada sera extrada for nao negativo. Portanto, odomnio de f e:

D(f) = {(x, y) R2/x+ y + 1 0 e x 6= 1}.A desigualdade x+ y+1 0, ou y x 1, descreve os pontos que estao sobre ouacima da reta de equacao y = x 1, ao passo que x 6= 1 significa que os pontossobre a reta x = 1 precisam ser excludos do domnio. A figura a seguir, mostra oesboco grafico do domnio da funcao f , definida acima.

1-1. funcoes de duas variaveis reais 9

Exemplo 1.2 Determine o domnio de f , sendo f definida por f(x, y) = x ln(y2x).

Solucao: Como ln(y2 x) e definido somente quando y2 x > 0, ou seja, x < y2,segue que o domnio de f sera:

D(f) = {(x, y) R2/x < y2}.

Isso representa o conjunto de pontos a` esquerda da parabola x = y2. O esbocografico do domnio e apresentado na figura a seguir.

Exemplo 1.3 Determine o domnio de f , sendo f dada por:

f(x, y) =y x2 +

2x y.

Solucao: Esta funcao esta definida se o numero cuja raiz quadrada sera extrada fornao negativo. Assim, o domnio de f e

D(f) = {(x, y) R2/y x2 e y 2x}.

A desigualdade y x2 descreve os pontos que estao acima da parabola de equacaoy = x2, enquanto que y 2x representa o conjunto dos pontos que estao abaixo dareta de equacao y = 2x. Assim, o esboco grafico do domnio e apresentado na figuraa seguir.


Exemplo 1.4 Determine o domnio da funcao z = f(x, y) definida dada por

z2 + 4 = x2 + y2, z 0.

Solucao: Como z 0, a expressao z2 + 4 = x2 + y2 pode ser reescrita comoz =

x2 + y2 4. Note que, esta funcao esta definida se x2 + y2 4 0. Assim, o

domnio de f e dado por:

D(f) = {(x, y) R2/x2 + y2 4}.

A desigualdade x2 + y2 4 descreve os pontos que estao sobre a circunferencia deequacao x2 + y2 = 4 e os pontos exteriores a ela, como podemos ver na ilustracao aseguir.

Exemplo 1.5 Determine o domnio da funcao f definida dada por

f(x, y) =

x+ y

x y .

Solucao: Esta funcao esta definida sex+ y

x y 0. Note que, uma fracao assumeum valor positivo, se o numerador e o denominador forem ambos positivos, ou, se onumerador e o denominador forem ambos negativos. Assim, temos:

x+ y

x y 0

x+ y 0 e x y > 0ou

x+ y 0 e x y < 0Logo, o domnio da funcao f e:

D(f) = {(x, y) R2/y x e y < x ou y x e y > x}.

As desigualdades y x e y < x descrevem os pontos que estao acima da reta deequacao y = x e abaixo da reta de equacao y = x, enquanto que as desigualdadesy x e y > x descrevem os pontos que estao abaixo da reta de equacao y = xe acima da reta de equacao y = x. A figura a seguir apresenta o esboco grafico dafuncao f .


Exemplo 1.6 Determine o domnio da funcao f definida dada por

f(x, y) = arcsin(xy).

Solucao: Esta funcao esta definida se 1 xy 1. Assim, o domnio de f e dadopor:

D(f) = {(x, y) R2/ 1 xy 1}.A desigualdade xy 1 descreve os pontos que estao sobre a hiperbole de equacaoxy = 1, bem como os pontos interiores aos ramos dela; e a desigualdade xy 1descreve os pontos que estao sobre a hiperbole de equacao xy = 1, bem como ospontos interiores aos ramos dela. Assim, o esboco grafico do domnio da funcaodefinida acima e dado pela interseccao das regioes mencionadas, como podemos verna ilustracao a seguir.


1-1.b Grafico de Funcoes de Duas Variaveis

Definicao 1.4 Se f e uma funcao de duas variaveis com domnio D, entao o graficode f e o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R3 tal que z = f(x, y) e (x, y)pertencam a D.

Considerando-se um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no R3, o graficode f pode ser pensado como o lugar geometrico descrito pelo ponto (x, y, f(x, y)),quando (x, y) percorre o domnio de f . Assim, o grafico de uma funcao com duasvariaveis e uma superfcie S com equacao z = f(x, y).

Vejamos alguns exemplos de esbocos graficos.

Exemplo 1.7 O grafico da funcao constante f(x, y) = k e um plano paralelo aoplano xy.

Exemplo 1.8 O grafico da funcao definida por z = 2x + y e um plano passandopela origem e normal ao vetor n = (2, 1,1).Este plano, cujo esboco grafico e apresentado a seguir, e determinado pelas retas deequacoes:

r1 :

{x = 0z = y

e r2 :

{y = 0z = 2x


Exemplo 1.9 O grafico de f(x, y) =16 x2 y2 e o grafico da equacao z =

16 x2 y2. Note que, apos elevar ambos os membros ao quadrado e realizaralgumas manipulacoes algebricas, a equacao anterior pode ser reescrita como

x2 + y2 + z2 = 16,

a qual representa uma esfera de raio 4, centrada na origem. Como z 0, o graficoe somente a semi-esfera superior.

1-1.c Curvas de Nvel

Definicao 1.5 As curvas de nvel ou curvas de contorno de uma funcao f de duasvariaveis sao aquelas com equacao f(x, y) = k, onde k e uma constante real.

Se a superfcie z = f(x, y) for interceptada pelo plano horizontal z = k, entao ascurvas de nvel f(x, y) = k sao apenas tracos do grafico de f no plano horizontalz = k projetado sobre o plano xy.

A figura a seguir ilustra este fato.


Um conjunto de curvas de nvel para z = f(x, y) e chamado de mapa de contornode f .

Um exemplo comum de curvas de nvel ocorre em mapas topograficos deregioes montanhosas. As curvas de nvel sao aquelas em que a elevacao em relacaoao nvel do mar e constante. A superfcie sera mais inclinada onde as curvas denvel estiverem mais proximas umas das outras. Ela e mais ou menos plana ondeas curvas de nvel estao distantes umas das outras. Isto pode ser observado nailustracao abaixo.

Outro exemplo comum e a funcao pressao p(x, y) definida nos pontos geograficos(x, y), representados no mapa. Uma curva conectando os pontos de pressao at-mosferica constante sobre um mapa meteorologico e chamada de linha isobarica ouisobara. Matematicamente, as isobaras sao curvas de nvel para a funcao pressao.Linhas isobaricas muito proximas correspodem a inclinacoes ngremes no graficoda funcao pressao, e estao usualmente associados a fortes ventos, quanto maior ainclinacao, maior sera a velocidade do vento.


Exemplo 1.10 O grafico da funcao f(x, y) = y2 x2 no R3 e um paraboloidehiperbolico.

As curvas de nvel desta funcao tem a forma y2 x2 = k. Para k > 0, essas curvassao hiperboles com eixo real sobre o eixo dos y; para k < 0, elas sao hiperbolescom eixo real sobre o eixo dos x, e para k = 0, a curva de nvel consiste nas retasy + x = 0 e y x = 0.


Exemplo 1.11 O grafico da superfcie z = 1 2x y e o plano que passa pelospontos A(1

2, 0, 0), B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1), ilustrado na figura a seguir.

A curva de nvel de altura k tem a equacao 12xy = k, a qual podemos reescrevercomo

y = 2x+ (1 k).Isto representa no plano xy, uma famlia de retas paralelas de inclinacao 2. Omapa de contorno e apresentado na figura a seguir.

A representacao geometrica do grafico de uma funcao de duas variaveis nem sempree tarefa facil. Assim, quando se pretende ter uma visao geometrica da funcao, lanca-se mao de suas curvas de nvel, cuja representacao geometrica e sempre mais facilde ser obtida do que o grafico da funcao. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo 1.12 Seja f a funcao definida por

f(x, y) =1

x2 + y2.

(a) Determine o domnio e a imagem de f .(b) Desenhe as curvas de nvel de f .(c) Esboce o grafico de f .

Solucao: (a) Esta funcao nao esta definida na origem, pois 02 + 02 = 0 e 10nao

existe. Assim,D(f) = {(x, y) R2/(x, y) 6= (0, 0)}


Como1

x2 + y2 0, temos

Im(f) = {z R/z > 0}.(b) A curva de nvel correspondente a z = k, com k > 0, e:

1

x2 + y2 x2 + y2 = 1

k

Assim, as curvas de nvel sao circunferencias concentricas de centro na origem e raio1k. Note que, quando k tende a +, o raio tende a zero e quando k tende a zero,

o raio tende a +.

(c) O traco desta superfcie no plano yz e a curva de equacao

{x = 0z = 1

y2, enquanto

que, o traco desta superfcie no plano xz e a curva de equacao

{y = 0z = 1

x2. Para

cada k > 0, o plano z = k intercepta o grafico de f segundo a circunferencia{z = kx2 + y2 = 1

k

.

Observacao 1.1 Note que a denominacao curva de nvel varia de acordo com oque a funcao f representa. Se f e uma distribuicao de temperatura, ou seja, f(x, y)e a temperatura no ponto (x, y), as curvas de nvel denominam-se isotermas (pontosde temperatura constante); se f e a energia potencial de um certo campo de forcasbidimensionais, as curvas de nvel denominam-se curvas equipotenciais, etc.


1-2 Funcoes de Tres Variaveis Reais

Definicao 1.6 Uma funcao f de tres variaveis reais x, y e z, e uma lei que associacada ponto (x, y, z) de algum subconjunto D do R3 a um unico numero realdenotado por w = f(x, y, z). Chamamos x, y e z de variaveis independentes e w devariavel dependente.

Exemplo 1.13 Seja f(x, y, z) =x2 + y2 + z2, determine f(3, 0,4) e

f(1,1,2).

Solucao: f(3, 0,4) =32 + 02 + (4)2 = 9 + 0 + 16 = 5f(1,1,2) =(1)2 + (1)2 + (2)2 = 1 + 1 + 4 = 6Note que, o valor funcional de f , representa a distancia do ponto de coorde-nadas x, y e z a` origem.

1-2.a Domnio e Imagem

Definicao 1.7 Seja f uma funcao de tres variaveis reais x, y e z, com w = f(x, y, z),definimos o domnio de f , denotado por D(f), como o maior conjunto do R3 parao qual a lei de formacao de f gera numeros reais a menos que esse domnio sejaespecificado de forma explcita.

Definicao 1.8 A imagem de uma funcao f de tres variaveis reais, denotada porIm(f), e definida como o conjunto dos valores w = f(x, y, z), com (x, y, z) D.

Exemplo 1.14 Determine e faca o esboco grafico do domnio da funcao definidapor f(x, y, z) = ln(16 4x2 4y2 z2).

Solucao: Como ln(164x24y2z2) e definido somente quando 164x24y2z2 >0, ou seja,

x2

4+y2

4+z2

16< 1, temos que, o domnio de f e:

D(f) =

{(x, y, z) R3 / x

2

4+y2

4+z2

16< 1

}Isso representa o conjunto de pontos interiores ao elipsoide de centro na origem, cujografico e apresentado a seguir.

1-2. funcoes de tres variaveis reais 19

Observacao 1.2 Note que o grafico de y = f(x) e uma curva no R2 e o grafico dez = f(x, y) e uma superfcie no R3, logo o numero de dimensoes necessarias paraesses graficos e o numero de variaveis mais 1. Consequentemente, nao ha maneirade fazer o grafico de uma funcao de tres variaveis, uma vez que a quarta dimensaoe necessaria.

1-2.b Superfcies de Nvel

Definicao 1.9 As superfcies de nvel de uma funcao f de tres variaveis reais saoaquelas com equacao f(x, y, z) = k, onde k e uma constante.

Assim, de acordo com esta definicao, se um ponto (x, y, z) se move ao longo de umasuperfcie de nvel, o valor de f(x, y, z) permanece fixo.

Exemplo 1.15 Determine as superfcies de nvel da funcao

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

Solucao: As superfcies de nvel sao x2+ y2+ z2 = k, onde k 0. Elas formam umafamlia de esferas concentricas com raio

k. Veja a figura a seguir. Entao, quando

(x, y, z) varia sobre uma das esferas com centro O, o valor de f(x, y, z) permanecefixo.


1-3 Funcoes de n Variaveis Reais

A definicao de funcao de duas ou tres variaveis pode ser estendida para maisvariaveis, conforme definicao abaixo.

Definicao 1.10 Uma funcao f de n variaveis reais x1, x2, x3, ... xn e uma lei queassocia cada ponto (x1, x2, x3, ..., xn) de algum subconjunto D do espaco Rn a umunico numero real, denotado por f(x1, x2, x3, ..., xn).

1-4 Exerccios

1. Seja f(x, y) = x2y + 1. Calcule:

(a) f(1,3)(b) f(uv, u v)

(c)f(x+ h, y) f(x, y)

h

(d)f(x, y + h) f(x, y)

h

2. Seja f(x, y) =x yx+ 2y

.

(a) Determine o domnio de f .

(b) Calcule f(2u+ v, v u).3. Determine o domnio das funcoes z = f(x, y) definidas a seguir. Esboce-os

graficamente.

(a) f(x, y) =1

x y2(b) f(x, y) = ln(y 2x)(c) f(x, y) = ln(1 x2 y2)(d) f(x, y) = ln x y

(e) f(x, y) =

4 x2y2 + 3

(f) f(x, y) =x y

x2 + y2 9(g) f(x, y) =

|x| |y|(h) f(x, y) =

x ysinx sin y

(i) f(x, y) =x2 + y2 1 + ln(4 x2 y2)

(j) f(x, y) = 4x2 + y2 + z2 = 1, z 0

1-4. exerccios 21

4. Esboce o grafico de f , sendo f definida por:

(a) f(x, y) = x+ 3y

(b) f(x, y) = 6 3x 2y(c) f(x, y) = x2, 1 x 0(d) f(x, y) = 4 x2 y2(e) f(x, y) =

x2 + y2 1

(f) f(x, y) = 1 + x2 + y2

(g) f(x, y) =x2 + y2

(h) f(x, y) = 1 x2, x 0, y 0 e x+ y 1(i) f(x, y) = sin y

(j) f(x, y) = arctan(x2 + y2)

5. Esboce a curva de nvel z = k para os valores especificados de k.

(a) z = x2 + y2, k = 0, 1, 2, 3, 4

(b) z =y

x, k = 2,1, 0, 1, 2

(c) z = x2 + y, k = 2,1, 0, 1, 2(d) z = x2 + 9y2, k = 0, 1, 2, 3, 4

(e) z = y cscx, k = 2,1, 0, 1, 26. Seja f(x, y) = yex. Determine uma equacao da curva de nvel que passa pelo

ponto:

(a) (ln 2, 1)

(b) (0, 3)

(c) (1,2)7. Se V (x, y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x, y) no plano xy e

V =8

16 + x2 + y2

esboce as curvas equipotenciais nas quais V = 2, V = 1 e V = 0, 5.

8. Suponha que T (x, y) = xy represente uma distribuicao de temperatura noplano xy: T (x, y) e a temperatura, que podemos supor em C, no ponto(x, y).(a) Esboce as curvas isotermicas sobre as quais T = 1, T = 2 e T = 3.(b) Determine a equacao da curva de nvel que passa pelo ponto (1, 4).

Captulo 2

Limite e Continuidade

2-1 Limite

Definicao 2.1 Seja f uma funcao de duas variaveis reais, definida em um domnioD R2. Dizemos que f possui limite L quando (x, y) D aproxima-se (x0, y0), se,dado qualquer numero positivo , existe um numero positivo tal que, para todo(x, y) no domnio de f ,

0 0, podemos achar > 0 tal que, se (x, y) 6= (x0, y0), sua imagem estaraentre os planos horizontais z = L e z = L+ .

Para funcoes de uma variavel real, quando fazemos x se aproximar de x0, ha ape-nas dois sentidos possveis de aproximacao: pela esquerda ou pela direita. Assim,definimos os limites laterais no ponto x0, isto e

limxx0

f(x) e limxx+0

f(x).

23

24 2. limite e continuidade

Lembre-se do Calculo I que, se limxx0

f(x) 6= limxx+0

f(x), entao limxx0

f(x) nao existe.

Para funcoes de duas ou tres variaveis, a situacao e mais complicada, pois ha infinitasmaneiras de (x, y) se aproximar de (x0, y0) por uma quantidade infinita de direcoes,bastando que (x, y) se mantenha no domnio de f .

Se o limite existe, f(x, y) deve se aproximar do mesmo valor limite, indepen-dentemente do modo como (x, y) se aproxima de (x0, y0). Assim, se acharmosdois caminhos diferentes de aproximacao ao longo dos quais f(x, y) tem limitesdiferentes, segue entao que lim

(x,y)(x0,y0)f(x, y) nao existe.

Exemplo 2.1 Mostre que lim(x,y)(0,0)

x2 y2x2 + y2

nao existe.

Solucao: Considere f(x, y) =x2 y2x2 + y2

. Inicialmente determinaremos este limite ao

longo do eixo x. Assim, tomando y = 0, temos f(x, 0) = x2

x2= 1 para todo x 6= 0,

logof(x, y) 1 quando (x, y) (0, 0) ao longo do eixo x.

Agora, determinaremos este limite ao longo do eixo y, fazendo-se x = 0, logof(0, y) = y2

y2= 1, para todo y 6= 0. Assim,

f(x, y) 1 quando (x, y) (0, 0) ao longo do eixo y.

Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas distintas, conclumos queo limite nao existe.

Observacao 2.1 Nao podemos provar que f(x, y) L quando (x, y) (x0, y0)provando que f(x, y) L quando (x, y) (x0, y0) ao longo de uma curvaespecificada ou mesmo de uma famlia de curvas. Isto porque, pode existir algumacurva fora da famlia para a qual o limite nao exista ou tenha um limite que ediferente de L.

2-1. limite 25

Figura 2.2: Grafico da funcao definida por f(x, y) =x2 y2x2 + y2

Exemplo 2.2 Determine lim(x,y)(0,0)

2x2y

x2 + y2, se este existir.

Solucao: Inicilamente determinaremos este limite ao longo de uma reta qualquerque passa pela origem. Tomando y = mx, temos

f(x, y) = f(x,mx) =2x2(mx)

x2 + (mx)2=

2x3m

x2 + x2m2=

2mx

1 +m2

Portanto, f(x, y) 0 quando (x, y) (0, 0) ao londo de y = mx.

Fazendo-se (x, y) se aproximar de (x0, y0) ao longo da parabola de equacaoy = x2 tambem obtemos o limite 0. Assim, fazendo-se y = x2, temos:

f(x, y) = f(x, x2) =2x2x2

x2 + x4=

2x4

x2(1 + x2)=

2x2

1 + x2

Logo, f(x, y) 0 quando (x, y) (0, 0) ao longo de y = x2.

Isto nao prova a existencia do limite igual a 0, mas suspeitamos que o limiteexista e seja igual a 0.

Para provar a existencia deste limite, devemos provar que dado > 0, existeum > 0, tal que 2x2yx2 + y2 0

< sempre que 0

26 2. limite e continuidade

Assim, se escolhermos = 2e considerando 0 0, contante

(a) z = et sin(xc

)(b) z = et cos

(xc

)5. Quando dois resistores de resistencia R1 em ohms e R2 em ohms sao conecta-

dos em paralelo, sua resistencia R em ohms e R =R1 R2R1 +R2

. Mostre que

2R

R21

2R

R22=

4R2

(R1 +R2)4

6. A energia cinetica de um corpo com massa m e velocidade v e K = 12mv2.

Mostre queK

m

2K

v2= K.

44 3. derivadas parciais

3-5 Derivadas Parciais de Ordem Superior

Apesar de lidarmos na maioria das vezes com derivadas parciais de primeira e se-gunda ordens, porque elas aparecem com mais frequencia em aplicacoes, nao existelimite teorico para o numero de vezes que podemos diferenciar uma funcao desdeque as derivadas envolvidas existam. Assim, obtemos derivadas parciais de terceiraordem que denotamos por

3f

xy2= fyyx

4f

x2y2= fyyxx

e assim, por diante. Como acontece com derivadas de segunda ordem, a ordemde diferenciacao e irrelevante desde que as derivadas na ordem em questao sejamcontnuas.

Exerccios

1. Determine as derivadas parciais indicadas:

(a) f(x, y) = 3xy4 + x3y2; fxxy, fyyy

(b) f(x, y, z) = cos(4x+ 3y + 2z); fxyz, fyzz

(c) f(x, y, z) = (4x 3y + 2z)5; fzyx, fzyy, fxxyz

3-6. diferenciabilidade 45

3-6 Diferenciabilidade

Voce deve lembrar do trabalho com funcoes de uma variavel real que se f , definidapor y = f(x), for uma funcao derivavel, entao:

f (x) = limx0

y

x

onde y e x sao incrementos de x e y e

y = f(x+x) f(x).

Quando |x| for pequeno e x 6= 0, yx

difere de f (x) por um numero pequeno

que depende de |x| e sera denotado por . Entao,

=y

x f (x) se x 6= 0

onde e uma funcao de x. Dessa forma, podemos reescrever a equacao acima com:

y = f (x)x+ x.

Note que, 0 quando x 0.Quando isto ocorre para funcoes de uma variavel real dizemos que a mesma ediferenciavel em x.

Para funcoes de duas ou mais variaveis, uma equacao correspondente a estae usada para definir a diferenciabilidade da funcao.

Definicao 3.4 Se f for uma funcao de duas variaveis x e y, entao o incremento def no ponto (x0, y0), denotado por f(x0, y0), e dado por

f(x0, y0) = f(x0 +x, y0 +y) f(x0, y0)

Definicao 3.5 Se f for uma funcao de duas variaveis x e y e o incremento de f em(x0, y0) puder ser escrito como

f(x0, y0) = fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0)y + 1x+ 2y,

onde 1 e 2 sao funcoes de x e y, tais que 1 0 e 2 0 quando (x,y)(0, 0), entao dizemos que f e diferenciavel em (x0, y0).


Teorema 3.2 Se uma funcao f de duas variaveis for diferenciavel em um ponto,ela sera contnua neste ponto.

Prova: Se f for diferenciavel em (x0, y0), temos:

f(x0 +x, y0 +y) f(x0, y0) = fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0)y + 1x+ 2y

f(x0 +x, y0 +y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0)y + 1x+ 2y

Tomando o limite de ambos os membros da equacao quando (x,y) (0, 0),obtemos

lim(x,y)(0,0)

f(x0 +x, y0 +y) = f(x0, y0).

Note que, considerando x = x0 + x e y = y0 + y, entao (x,y) (0, 0) eequivalente a (x, y) (x0, y0). Logo,

lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)

o que prova a continuidade da funcao.

Observacao 3.1 O Teorema 3.2 estabelece que para uma funcao de duas variaveis,diferenciabilidade implica continuidade. No entanto, a existencia de derivadasparciais num ponto nao implica diferenciabilidade naquele ponto. Verifiquemos istono exemplo abaixo.

Exemplo 3.11 No exemplo 3.3, mostramos que a funcao f , definida por

f(x, y) =

{ xyx2 + y2

, se (x, y) 6= (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0)

,

admite derivadas parciais em (0, 0), no entanto, nao e contnua neste ponto. Logo,conclumos que f nao e diferenciavel em (0, 0).

3-7 Regra da Cadeia

Considerando-se o Calculo de funcoes de uma variavel real, quando y = f(x) era umafuncao diferenciavel de x e x = g(t) era uma funcao diferenciavel de t, y tornava-seuma funcao diferenciavel de t e a regra da cadeia dizia que

dy

dt=

dy

dx dxdt

Para funcoes de duas ou mais variaveis, a regra da cadeia possui diversas formasque dependem da quantidade de variaveis envolvidas. A seguir, sao apresentadasalgumas delas.

3-7. regra da cadeia 47

Teorema 3.3 (Derivada Total)Se z = f(x, y) possui derivadas parciais contnuas fx e fy e se x = x(t) e y = y(t)forem funcoes diferenciaveis de t, entao a composta z = f(x(t), y(t)) sera uma funcaodiferenciavel de t e

df

dt= fx(x(t), y(t))

dx

dt+ fy(x(t), y(t))

dy

dt

oudf

dt=f

x

dx

dt+f

y

dy

dt,

ondedf

dtchama-se Derivada Total de f .

Prova: Devemos mostrar que, se x e y forem diferenciaveis em t = t0, entao f seradiferenciavel em t0.

Consideremos x, y e f os incrementos que resultam da variacao de t0 at0 +t. Como f e diferenciavel, podemos escrever

f(x(t0), y(t0)) =f

x(x(t0), y(t0))x+

f

y(x(t0), y(t0))y + 1x+ 2y (3.2)

onde 1 0 e 2 0 quando (x,y) (0, 0).

Para encontrarmosdf

dt, dividimos ambos os membros da equacao por t e

tomamos o limite quando t 0. Assim, dividindo 3.2 por t e, em seguida,tomando o limite quando t 0, no ponto P0(x(t0), y(t0)), obtemos:

limt0

(f

t

)P0

=

(f

x

)P0

(limt0

x

t

)+

(f

y

)P0

(limt0

y

t

)+

+(limt0

1

)limt0

x

t+(limt0

2

)limt0

y

t

Logo, (df

dt

)P0

=

(f

x

)P0

(dx

dt

)t0

+

(f

y

)P0

(dy

dt

)t0

+ 0 dxdt

+ 0 dydt(

df

dt

)P0

=

(f

x

)P0

(dx

dt

)t0

+

(f

y

)P0

(dy

dt

)t0

.

Isto prova o teorema.


O diagrama a seguir mostra um esquema pratico para montar a derivada total. Bemacima, indicamos f , a funcao dada. De f , partem duas ramificacoes, chegando emx e y, variaveis principais. Como x e y sao, ainda, funcoes de t, o esquema terminacom as ramificacoes de x e de y migrando para t.Assim, cada malha sera um produto e a soma das duas malhas resulta na igualdadeestabelecida pelo teorema.

Exemplo 3.12 Determine a derivada total de f , utilizando a regra da cadeia, sendo

f(x, y) =x+ t

y + t, x = ln t e y = ln

1

t.

Solucao:df

dt=f

x

dx

dt+f

y

dy

dt

df

dt=

1

y + t 1t+

((y + t) 0 (x+ t) 1

(y + t)2

)

1t21t

df

dt=

1

t(y + t) (x+ t)t(y + t)2

(1t

)df

dt=y + t+ x+ t

t(y + t)2

df

dt=x+ y + 2t

t(y + t)2

Teorema 3.4 Se w = f(x, y, z) for diferenciavel e x, y e z forem funcoes diferen-ciaveis de t, entao w sera uma funcao derivavel de t e

dw

dt=w

x

dx

dt+w

y

dy

dt+w

z

dz

dt

3-7. regra da cadeia 49

O diagrama a seguir mostra um esquema pratico para determinar a derivada totalde w.

Exemplo 3.13 Determine a derivada totaldw

dt, utilizando a Regra da Cadeia, sendo

w =x2 + y2 + z2, x = tan t, y = cos t e z = sin t, com 0 < t 0, logo,

f(x0 +x, y0) f(x0, y0)x

0

Logo, se fx(x0, y0) existir, fx(x0, y0) 0.

Analogamente, se x tender a zero pela esquerda, x < 0 e assim,

f(x0 +x, y0) f(x0, y0)x

0.

Logo, se fx(x0, y0) existir, fx(x0, y0) 0.

Assim, conclumos que, se fx(x0, y0) existir, ambas as desigualdades, fx(x0, y0) 0e fx(x0, y0) 0, devem ser satisfeitas. Consequentemente, segue que fx(x0, y0) = 0.

A demonstracao de que fy(x0, y0) = 0 se fy(x0, y0) existir e f tiver um valormaximo retalivo em (x0, y0) e analoga.

Definicao 3.11 Um ponto (x0, y0) e chamado de um ponto crtico da funcao f , sefx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0, ou, se uma ou ambas derivadas parciais nao existiremem (x0, y0).

Note que, da definicao 3.11 e do teorema 3.9 segue que os extremos relativos ocorremnos pontos crticos. No entanto, como no calculo de funcoes de uma variavel real,uma funcao de duas variaveis reais nao precisa ter um extremo relativo em cadaponto crtico.


Exemplo 3.26 Determine os valores extremos da funcao f , definida por f(x, y) =y2 x2.

Solucao: Esta funcao, cujo grafico e a superfcie S, que representa um paraboloidehiperbolico, tem um ponto crtico em (0, 0), pois

fx(x, y) = 2x e fy(x, y) = 2y{fx(x, y) = 0fy(x, y) = 0

{ 2x = 0

2y = 0 x = y = 0

Note que, a funcao f nao admite ponto de maximo nem mnimo em (0, 0), poisconsiderando C1 a curva que representa o traco da superfcie S com o plano verticalyz e C2 a curva que representa o traco da superfcie S com o plano xz, vemos que(0, 0) e um ponto de mnimo de C1 e (0, 0) e um ponto de maximo de C2. Nestecaso, o ponto (0, 0) e chamado ponto de sela da funcao f .

Teorema 3.10 Teste da Derivada SegundaSeja f uma funcao de duas variaveis reais com derivadas parciais de segunda ordemcontnuas em uma bola aberta com centro em um ponto crtico (x0, y0) e seja

D = D(x0, y0) = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) [fxy(x0, y0)]2

(a) Se D > 0 e fxx(x0, y0) > 0, entao f tem um mnimo relativo em (x0, y0).(b) Se D > 0 e fxx(x0, y0) < 0, entao f tem um maximo relativo em (x0, y0).(c) Se D < 0, entao f tem um ponto de sela em (x0, y0).(d) Se D = 0, entao nenhuma conclusao pode ser tirada.

Observacao 3.4 Para lembrar da formula de D e util escreve-la como um deter-minante

D =

fxx fxyfyx fyy

O determinante acima e chamado Hessiano da funcao f .

Exemplo 3.27 Determine os valores de maximo e mnimo relativo e os pontos desela da funcao f , definida por f(x, y) = x4 + y4 4xy + 1, se estes existirem.

Solucao: Inicialmente determinaremos os pontos crticos de f . Assim, temos:

fx(x, y) = 4x3 4y e fy(x, y) = 4y3 4x{

fx(x, y) = 0fy(x, y) = 0

{

4x3 4y = 04y3 4x = 0

{x3 y = 0y3 x = 0

3-12. valores extremos de funcoes de duas variaveis 71

Isolando-se x na equacao (2) e substituindo-se na equacao (1), obtemos:

(y3)3 y = 0 y9 y = 0 y(y8 1) = 0 y(y4 1)(y4 + 1) = 0 y(y2 1)(y2 + 1)(y4 + 1) = 0

A equacao acima admite como solucao y = 1, y = 0 e y = 1, logo, os pontoscrticos de f sao: (1,1), (0, 0) e (1, 1).Para o teste da derivada segunda, precisamos determinar as derivadas de segundaordem

fxx(x, y) = 12x2

fyy(x, y) = 12y2

fxy(x, y) = 4 D = 144x2y2 16

Assim, obtemos a seguinte tabela:

Ponto Crtico D(x, y) = 144x2y2 16 fxx(x, y) = 12x2(1,1) D = 144(1)2(1)2 16 = 128 fxx = 12(1)2 = 12(0, 0) D = 144(0)2(0)2 16 = 16 fxx = 12(0)2 = 0(1, 1) D = 144(1)2(1)2 16 = 128 fxx = 12(1)2 = 12

Note que, fxx > 0 e D > 0, nos pontos (1,1) e (1, 1), assim nestes pontosocorrem mnimos relativos e, como D < 0 no ponto (0, 0), conclumos que este eum ponto de sela da funcao f . A figura a seguir, ilustra o grafico da funcao f .

Figura: Grafico da funcao definida por f(x, y) = x4 + y4 4xy + 1


Exemplo 3.28 Seja f , uma funcao definida por f(x, y) = x2 + y ey. Localizetodos os pontos maximos e mnimos relativos e os pontos de sela de f , se estesexistirem.

Solucao: Inicialmente determinaremos os pontos crticos. Assim, temos:

fx(x, y) = 2x e fy(x, y) = 1 ey{fx(x, y) = 0fy(x, y) = 0

{

2x = 01 ey = 0 x = y = 0

Logo, o unico ponto crtico de f e (0, 0).

Agora, aplicaremos o teste da derivada segunda. Para isto, precisamos determinaras derivadas parciais de segunda ordem de f .

fxx = 2fyy = eyfxy = 0

D(x, y) = fxx(x, y) fyy(x, y) [fxy(x, y)]2 = 2ey

Assim, fxx(0, 0) = 2 > 0 e D(x, y) = 2 < 0, logo (0, 0) e um ponto de sela dafuncao f . A figura a seguir, ilustra o grafico da funcao f .

Figura: Grafico da funcao definida por f(x, y) = x2 + y ey

Exemplo 3.29 Seja f uma funcao definida por f(x, y) = ex sin y. Localize todosos pontos maximos e mnimos relativos e pontos de sela, se estes existirem.

Solucao: Determinaremos inicialmente os pontos crticos de f .

fx(x, y) = ex sin y e fy(x, y) = e

x cos y{fx(x, y) = 0fy(x, y) = 0

{

ex sin y = 0ex cos y = 0

Note que, o sistema acima nao admite solucao, pois ex > 0 e nao existe em R umvalor para y tal que sin y = 0 e cos y = 0. Assim, f nao possui pontos crticos.Sabemos pelo teorema 3.9 e pela definicao 3.11, que os extremos relativos ocorremnos pontos crticos. Logo, como a funcao f nao possui pontos crticos, nao possuiextremos relativos.


Figura: Grafico da funcao definida por f(x, y) = ex cosx

3-12.a Extremos Absolutos em Conjuntos Fechados e Limi-tados

Teorema 3.11 Teorema do Valor ExtremoSeja f uma funcao de duas variaveis x e y. Se f for contnua em um conjuntofechado e limitado R, entao f tem ambos maximo e mnimo absolutos em R.

Este teorema nos garante a existencia do maximo e mnimo absoluto de f em umconjunto R fechado e limitado. Esses extremos absolutos podem ocorrer ou nafronteira de R ou no interior, entao ele ocorre em um ponto crtico.

Para determinar um maximo ou mnimo absolutos de uma funcao contnua fem um conjunto fechado e limitado R, adotaremos o seguinte procedimento:

(a) Determinar os pontos crticos que estao situados no interior de R.(b) Determinar todos os pontos de fronteira nos quais os extremos podem ocorrer.(c) Calcular f(x, y) nos pontos obtidos nos passos (a) e (b). O maior desses valorese o maximo absoluto e o menor valor e o mnimo absoluto.

Exemplo 3.30 Determine os extremos absolutos da funcao f , definida porf(x, y) = xy x 3y sobre a regiao triangular R com vertices (0, 0), (0, 4) e (5, 0).


Solucao: A figura a seguir, representa a regiao R.

Como R e uma regiao fechada e limitada, pelo teorema do valor extremo, podemosafirmar que f assume maximo e mnimo absolutos em R.Inicialmente determinaremos os pontos crticos de f . Assim, temos:

fx(x, y) = y 1 e fy(x, y) = x 3{fx(x, y) = 0fy(x, y) = 0

{

y 1 = 0x 3 = 0 x = 3 e y = 1

Logo, (3, 1) e o unico ponto crtico de f e esta no interior de R.

Aplicando-se o teste da derivada segunda, temos:fxx(x, y) = 0fyy(x, y) = 0fxy(x, y) = 1

D(x, y) = fxx(x, y) fyy(x, y) [fxy(x, y)]2 = 1

Note que, neste caso, pelo teste da derivada segunda (3, 1) e um ponto de sela.

Agora, devemos determinar os pontos sobre a fronteira de R nos quais umvalor extremo pode ocorrer. A fronteira de R e constituda por tres segmentos dereta. O segmento de reta L1, entre (0, 0) e (0, 4); o segmento de reta L2, entre (0, 4)e (5, 0) e o segmento de reta L3, entre (5, 0) e (0, 0).

Em L1, temos x = 0, logo

g(y) = f(0, y) = 3y, 0 y 4

Note que, trata-se de uma funcao decrescente de y, portanto seu maximo ef(0, 0) = 0 e seu mnimo e f(0, 4) = 12.

Em L2, temos y = 45x+ 4, logo

h(x) = f

(x,4

5x+ 4

)= x

(45x+ 4

) x 3

(45x+ 4

)

h(x) = 45x2 +

27

5x 12, 0 x 5


Como h(x) = 85x +

27

5, a equacao para h(x) admite x =

27

8como unico ponto

crtico de h. Assim, os valores extremos de h ocorrem ou no ponto crtico x =27

8ou nos extremos x = 0 e x = 5. Os extremos correspondem aos pontos (0, 4) e (5, 0)

de R, e o ponto crtico corresponde a

(27

8,13

10

).

Em L3, temos y = 0, logo

j(x) = f(x, 0) = x, 0 x 5

Trata-se de uma funcao decrescente de x, portanto seu maximo e f(0, 0) = 0 e seumnimo e f(5, 0) = 5.

A tabela a seguir apresenta os valores de f(x, y) nos pontos mencionadosanteriormente.

(x, y) (0, 0) (0, 4) (5, 0) (1, 3)

(27

8,13

10

)f(x, y) 0 12 5 7 231

80

Da tabela acima, conclumos que o valor maximo absoluto e f(0, 0) = 0 e o valormnimo absoluto e f(0, 4) = 12.

Exemplo 3.31 Determine os pontos de maximo e mnimo absolutos da funcao f ,

definida por f(x, y) = 3x2 + 2y2 +y3

9sobre a regiao : {(x, y) R2/x2 + y2 1}

Solucao: A figura a seguir representa a regiao .

Como e um conjunto fechado e limitado, pelo teorema do valor extremo, podemosafirmar que f a assume maximo e mnimo absolutos em .

Inicialmente determinaremos os pontos crticos de f . Assim, temos:

fx(x, y) = 6x e fy(x, y) = 4y +y2

3

76 3. derivadas parciais{fx(x, y) = 0fy(x, y) = 0

6x = 04y + y2

3= 0

x = 0y = 0 ou y = 12

Como 1 y 1, o unico ponto crtico em e (0, 0). Aplicando o teste dasegunda derivada, temos:

fxx(x, y) = 6

fyy(x, y) = 4 +2

3y

fxy(x, y) = 0

D(x, y) = fxx(x, y) fyy(x, y) [fxy(x, y)]2

D(x, y) = 6 (4 +

2

3y

)Como fxx(0, 0) = 6 > 0 e D(0, 0) = 24 > 0, conclumos que (0, 0) e um ponto demnimo relativo.

Agora, determinaremos os pontos sobre a fronteira de nos quais um valorextremo pode ocorrer. A fronteira de consiste no conjunto dos pontos (x, y), taisque, x2 + y2 = 1, logo temos:

f(x, y) = g(y) = 3(1 y2) + 2y2 + y3

9

g(y) = 3 y2 + y3

9, 1 y 1

Note que, g(y) = 2y+ y2

3, assim a equacao g(y) = 0 admite y = 0 ou y = 6 como

solucoes. No entanto, 1 y 1, logo, a unica solucao admissvel e y = 0.Como x2 + y2 = 1, para y = 0, temos x = 1 ou x = 1. Assim, (1, 0) e (1, 0) saopontos crticos de g.Tambem devemos considerar os extremos do intervalo de variacao de y, ou seja,y = 1 e y = 1. Para y = 1 ou y = 1, temos x = 0.

A tabela a seguir, apresenta os valores de f(x, y) nos pontos mencionados.

(x, y) (0, 0) (0,1) (0, 1) (1, 0) (1, 0)f(x, y) 0

17

9

19

93 3

Como f(0, 0) = 0 e f(0,1) = 179, temos que (0, 0) e ponto de mnimo absoluto de

f em . Os pontos (1, 0) e (1, 0) sao pontos de maximo absoluto de f em comvalor maximo f(1, 0) = f(1, 0) = 3.


3-12.b Problemas Aplicados

Exemplo 3.32 Uma caixa retangular tem um volume de 20m3. O material usadonos lados custa R$ 1, 00 por metro quadrado, o material usado no fundo custaR$ 2, 00 por metro quadrado e o usado na parte superior custa R$ 3, 00 por metroquadrado. Quais as dimensoes da caixa mais barata?

Solucao: Sejamx = comprimento da caixa (m);y = largura da caixa (m);z = altura da caixa (m);S = area superficial da caixa (m2);V = volume da caixa (m3);C = custo da caixa (R$)

Assim, temos:S(x, y, z) = 2xy + 2yz + 2xzV (x, y, z) = x y zC(x, y, z) = 5xy + 2yz + 2xz

Nosso objetivo e minimizar a funcao custo C, sujeita a` restricao de volume

xyz = 20 (3.16)

De 3.16, obtemos z =20

xy, logo a funcao custo pode ser reescrita como

C(x, y) = 5xy +40

x+40

y

As dimensoes x e y, na formula acima devem ser positivas. Logo, devemos deter-minar o valor mnimo absoluto de C sobre a regiao para a qual x > 0 e y > 0.Como esta regiao nao e limitada, nao temos nenhuma garantia de que um valor demnimo absoluto exista. No entanto, se houver um, ele ocorre num ponto crtico deC. Assim, inicialmente determinaremos os pontos crticos de C.

C

x(x, y) = 5y 40

x2e

C

y(x, y) = 5x 40

y2C

x(x, y) = 0

C

y(x, y) = 0

5y 40

x2= 0

5x 40y2

= 0

y 8

x2= 0

x 8y2

= 0


Isolando-se x na segunda equacao do sistema acima e substituindo-se na primeira,obtemos:

y 8(8

y2

)2 = 0 y 8 y464 = 0 y(y3 8) = 0A equacao acima admite como solucao y = 0 ou y = 2. Como queremos y > 0, aunica solucao admissvel e y = 2. Note que, para y = 2, obtemos x = 2.Para verificar se realmente temos um mnimo relativo, aplicaremos o teste daderivada segunda.

2C

x2(x, y) =

80

x3

2C

y2(x, y) =

80

y3

2C

xy(x, y) = 5

D(x, y) =

2C

x2(x, y)

2C

y2(x, y)

[2C

xy(x, y)

]D(x, y) =

80

x3 80y3 25

Como2C

x2(2, 2) = 10 > 0 e D(2, 2) = 75 > 0, temos que (2, 2) e um ponto de

mnimo absoltuto. Para determinarmos a terceira dimensao da caixa, substitumos

x = 2 e y = 2 na equacao z =40

xy, obtendo z = 5. Logo, as dimensoes da caixa

mais barata sao 2m, 2m e 5m.

Exemplo 3.33 De uma folha de metal com 27 cm de largura deseja-se obter umacalha dobrando-se as bordas da folha de iguais quantidades de modo que as abasfacam o mesmo angulo com a horizontal. Qual a largura das abas e qual o anguloque devem fazer a fim de ter uma capacidade maxima?

Solucao: A figura a seguir mostra a secao transversal da calha.

Como nosso objetivo e determinar a largura das abas e o angulo para que acapacidade da calha seja maxima, devemos maximizar a area da secao transversal.Considerando-se S a area da secao transversal, temos:

S(x, ) =(27 2x+ 27 2x+ 2x cos) x sin

2

S(x, ) = 27x sin 2x2 sin+ x2 sin cosNote que, neste caso, 0 < x 0

Como2S

x2

(9,pi

3

)< 0 e D

(9,pi

3

)> 0, conclumos que

(9,pi

3

)e um ponto de

maximo absoluto. Assim, para que se tenha a area da secao transversal maxima,

a largura da aba deve ser 9 cm e o angulo =pi

3rad. A saber, a area maxima e

S =459

3

4cm3.

Exerccios

1. Determine todos os maximos e mnimos relativos e os pontos de sela, nasfuncoes definidas a seguir.

(a) f(x, y) = x2 + xy + y2 + 3x 3y + 4(b) f(x, y) = 5xy 7x2 + 3x 6y + 2(c) f(x, y) =

1

x2 + y2 1(d) f(x, y) = x2 + y2 +

2

xy

(e) f(x, y) = e(x2+y2+2x)

2. Determine os extremos absolutos da funcao dada sobre o conjunto fechado elimitado R indicado.

(a) f(x, y) = xy 2x; R e a regiao triangular com vertices (0, 0), (0, 4) e(4, 0).

(b) f(x, y) = xeyx2 ey; R e a regiao retangular com vertices (0, 0), (0, 1),(2, 1) e (2, 0).

(c) f(x, y) = x2 + 2y2 x; R e a regiao circular x2 + y2 4.

3. Determine tres numeros positivos cuja soma e 27 e tais que seu produto e omaior possvel.

4. Determine os pontos da superfcie x2 yz = 5 que estao mais proximos daorigem.

3-13. multiplicadores de lagrange 81

5. Determine as dimensoes da caixa retangular de volume maximo que pode serinscrita em uma esfera de raio a.

6. Determine o volume maximo da caixa retangular com tres faces nos planoscoordenados e um vertice no primeiro octante sobre o plano x+ 2y + 3z = 6.

7. Uma caixa de papelao sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Deter-mine as dimensoes que minimizem a quantidade de papelao utilizado.

8. Encontre o ponto crtico de

f(x, y) = xy + 2x lnx2yno primeiro quadrante aberto (x > 0 e y > 0) e mostre que f assume umvalor mnimo nesta regiao.

3-13 Multiplicadores de Lagrange

No exemplo 3.32 da secao anterior, resolvemos o problema de minimizar o custo Cde uma caixa retangular de volume 20m3 feita de determinado material, ou seja,minimizamos a funcao C(x, y, z) = 5xy + 2yz + 2xz, sujeita a` restricao xyz = 20.Para resolver este tipo de problema podemos resolver a equacao de restricao parauma variavel em termos das outras e substituir o resultado em C. Assim, obteremosuma nova expressao para C em funcao de x e y. Determinando os pontos crticosde C e aplicando o teste da derivada segunda, minimizamos a funcao custo. Noentanto, em alguns problemas pode ser difcil (ou impossvel) resolver a equacaorestrita para uma das variaveis em termos das outras. Nestes casos, em quequeremos determinar os extremos de uma funcao sujeita a uma restricao, podemosutilizar um metodo poderoso chamado Metodo dos Multiplicadores de Lagrange, oqual sera discutido nesta secao.

Primeiramente vamos considerar um caso simples: maximizar ou minimizaruma funcao de duas variaveis, com uma condicao do tipo g(x, y) = 0, que determinauma curva no plano.O procedimento para esse caso e obtido a partir do resultado dado no proximoteorema.

Teorema 3.12 (Multiplicadores de Lagrange - Duas Variaveis, Uma Restricao)Sejam f e g funcoes de duas variaveis com derivadas parciais de primeira ordemcontnuas em algum conjunto aberto contendo a curva de restricao g(x, y) = 0, eadmitamos que g 6= 0 em qualquer ponto da curva. Se f tiver um extremo relativorestrito, entao este extremo ocorre em um ponto (x0, y0) da curva de restricao noqual os vetores gradientesf(x0, y0) eg(x0, y0) sao paralelos; isto e, ha um numeroreal tal que

f(x0, y0) = g(x0, y0),onde o escalar e chamado Multiplicador de Lagrange.


Prova: Sejam f e g funcoes de duas variaveis com derivadas parciais de primeiraordem contnuas em algum conjunto aberto contendo a curva de restricao g(x, y) =0. Se g(x0, y0) = 0, esse vetor e paralelo a qualquer vetor, em particular seraparalelo a f(x0, y0). Podemos entao supor g(x0, y0) 6= 0. Isso significa que(g

x(x0, y0),

g

y(x0, y0)

)6= (0, 0).

Suponhamos queg

y6= 0. Considerando-se a expressao g(x, y) = 0, podemos escre-

ver y como uma funcao de x numa vizinhanca de (x0, y0). Assim, temos pela regrada Cadeia que:

g

y(x0, y0)

dy

dx(x0) +

g

x(x0, y0) = 0

Logo,

dy

dx(x0) =

g

x(x0, y0)

g

y(x0, y0)

(3.18)

Agora consideremos a funcao f(x, y(x)). Essa e uma funcao de uma variavel realqua admite maximo ou mnimo em x = x0. Assim, sua derivada anula-se nesteponto.Calculando-se esta derivada pela regra da cadeia, obtemos:

f

x(x0, y0) +

f

y(x0, y0)

dy

dx(x0) = 0 (3.19)

Substituindo 3.18 em 3.19, temos

f

x(x0, y0) +

f

y(x0, y0)

gx

(x0, y0)

g

y(x0, y0)

= 0.

Multiplicando ambos os membros da equacao porg

y(x0, y0), uma vez que supomos

este termo diferente de zero, obtemos:

g

y(x0, y0) f

x(x0, y0) f

y(x0, y0) g

x(x0, y0) = 0.

Note que, tal igualdade equivale af

x(x0, y0)

f

y(x0, y0)

g

x(x0, y0)

g

y(x0, y0)

= 0.Logo, temos que as duas linhas representam vetores paralelos, ou seja, R, talque

f(x0, y0) = g(x0, y0).Isto mostra que f(x0, y0) e g(x0, y0) sao paralelos, provando assim o teorema.


Exemplo 3.34 Determine os valores extremos que a funcao f , definida porf(x, y) = xy, assume na circunferencia de equacao x2 + y2 = 10.

Solucao: Queremos maximizar a funcao f , definida por f(x, y) = xy, sujeita arestricao x2 + y2 = 10.

A restricao pode ser interpretada como g(x, y) = 0, onde g(x, y) = x2 + y2 10.Pelo teorema 3.12 sabemos que

{ f(x, y) = g(x, y)g(x, y) = 0

f

x(x, y) =

g

x(x, y)

f

y(x, y) =

g

y(x, y)

x2 + y2 10 = 0Logo, podemos escrever:

y = 2xx = 2yx2 + y2 10 = 0

Considerando as duas primeiras equacoes do sistema, temos:

y = 2x x = 2(2x) 42x x = 0

Assim, temos que x = 0 ou = 12. Consideremos agora estes dois casos.

Caso 1: Se x = 0, entao x = y = 0. Mas (0, 0) nao esta na circunferencia.Consequentemente, x 6= 0.

Caso 2: Se x 6= 0, entao = 12e x = y. Fazendo essa substituicao na

equacao g(x, y) = 0, temos:

(y)2 + y2 10 = 0 2y2 = 10 y = 5.

Logo, x = 5 ou x = 5 e, y = 5 ou y = 5.


A funcao f assume seus valores extremos na circunferencia em quatro pon-tos, a saber: P1(

5,5), P2(

5,5), P3(

5,5) e P4(

5,5).

Como f(5,5) = f(5,5) = 5 e f(5,5) = f(5,5) = 5, temosque (5,5) e f(5,5) sao pontos de maximo de f na circunferencia e ovalor maximo e 5, bem como (5,5) e f(5,5) sao pontos de mnimo de fe o valor mnimo e 5.

3-13..1 Interpretacao Geometrica

E facil explicar a base geometrica do metodo de Lagrange para as funcoes deduas variaveis. Entao, vamos comecar tentando determinar os valores extremosde f(x, y) sujeita a restricao da forma g(x, y) = 0. Em outras palavras, que-remos achar os valores extremos de f quando o ponto (x, y) pertencer a` curvade nvel g(x, y) = 0. Consideremos f a funcao definida no exemplo anterior eg(x, y) = x2 + y2 10. A figura a seguir mostra as curvas de nvel da funcao f ea curva de equacao x2 + y2 10 = 0. Essas curvas de nvel tem equacao xy = k,com k = 7, 5, 22, 2, 2, 22, 5, 7. Note que, maximizar ou minimizarf sujeita a restricao g(x, y) = 0 e determinar qual o maior ou menor valor de k talque a curva de nvel f(x, y) = k intercepte g(x, y) = 0. Pela figura vemos que issoacontece quando estas curvas se tocam, ou seja, quando essas curvas tem uma retatangente em comum. Logo, os vetores gradientes sao paralelos.

A seguir sao apresentadas outras versoes do teorema 3.12, dos multiplicadores deLagrange, para situacoes diferentes.


Teorema 3.13 (Multiplicadores de Lagrange - Tres Variaveis, Uma Restricao)Sejam f e g funcoes de tres variaveis com derivadas parciais de primeira ordemcontnuas em algum conjunto aberto contendo a superfcies de restricao g(x, y, z) = 0e admitamos que g 6= 0 em qualquer ponto desta superfcie. Se f tiver um extremorelativo restrito, entao este extremo ocorre em um ponto (x0, y0, z0) da superfcie derestricao no qual os vetores gradientes f(x0, y0, z0) e g(x0, y0, z0) sao paralelos,isto e, existe um numero tal que

f(x0, y0, z0) = g(x0, y0, z0)

onde e chamado multiplicador de Lagrange.

Exemplo 3.35 Determine o ponto do elipsoide de equacao x2+2y2+3z2 = 1 cujasoma das coordenadas seja maxima.

Solucao: Queremos maximizar a funcao f , definida por f(x, y, z) = x+y+z, sujeitaa restricao x2+2y2+3z2 = 1. A restricao pode ser interpretada como g(x, y, z) = 0,onde g(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 1.Pelo teorema 3.13 sabemos que

{ f(x, y, z) = g(x, y, z)g(x, y, z) = 0

f

x(x, y, z) =

g

x(x, y, z)

f

y(x, y, z) =

g

y(x, y, z)

f

z(x, y, z) =

g

z(x, y, z)

x2 + 2y2 + 3z2 1 = 0

Logo, podemos escrever 1 = 2x1 = 4y1 = 6zx2 + 2y2 + 3z2 1 = 0

Como 6= 0, resolvendo-se as 3 primeiras equacoes do sistema, temos:

x =1

2, y =

1

4, z =

1

6

Substituindo-se este resultado na ultima equacao do sistema, obtemos:

1

42+

1

82+

1

122 1 = 0 2 = 11

24 =

11

24


Assim, os candidatos a extremos sao os pontos: P1

(1

2

11

24,1

4

11

24,1

6

11

24

)e

P2

(12

11

24,1

4

11

24,1

6

11

24

).

Como f(P1) =11

12

11

24e f(P2) = 11

12

11

24, conclumos que o ponto do elipsoide

cuja soma das coordenadas e maxima e P1 e a soma e11

12

11

24.

Exemplo 3.36 Encontre o ponto sobre o plano x+ 2y + 3z = 13 mais proximo doponto (1, 1, 1).

Solucao: Queremos minimizar a funcao d, definida por d(x, y, z) =(x 1)2 + (y 1)2 + (z 1)2, sujeita a restricao x + 2y + 3z = 13. A restricao

pode ser interpretada como g(x, y, z) = 0, onde g(x, y, z) = x+ 2y + 3z 13.Note que, o ponto de mnimo da distancia e o mesmo ponto de mnimo do quadradoda distancia. Assim, para evitar radicais minimizaremos a funcao f(x, y, z) =(x 1)2 + (y 1)2 + (z 1)2.Pelo teorema 3.13, sabemos que

{ f(x, y, z) = g(x, y, z)g(x, y, z) = 0

f

x(x, y, z) =

g

x(x, y, z)

f

y(x, y, z) =

g

y(x, y, z)

f

z(x, y, z) =

g

z(x, y, z)

x2 + 2y2 + 3z2 1 = 0Logo, podemos escrever

2(x 1) = 12(y 1) = 22(z 1) = 3x+ 2y + 3z 13 = 0

Resolvendo-se as tres primeiras equacoes do sistema, temos:

x =+ 2

2, y = + 1, z =

3+ 2

2

Substituindo-se este resultado na ultima equacao do sistema, obtemos:

+ 2

2+ 2(+ 1) + 3

(3+ 2

2

) 13 = 0 = 1

Assim, o ponto do plano de equacao x+2y+3z = 13 mais proximo do ponto (1, 1, 1)

e

(3

2, 2,

5

2

).


Exerccios

1. Use Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores maximo e mnimode f sujeita a` restricao dada.

(a) f(x, y) = x 3y 1; x2 + 3y2 = 16(b) f(x, y, z) = x4 + y4 + z4; x+ y + z = 1

2. Encontre os pontos sobre a curva x2+xy+ y2 = 1 no plano xy que estao maisproximos e mais afastados da origem.

3. Encontre o ponto sobre a esfera x2 + y2 + z2 = 4 mais distante do ponto(1,1, 1).

4. Use o metodo dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensoes

do retangulo de maior area que pode ser inscrito na elipsex2

16+y2

9= 1 com

lados paralelos aos eixos coordenados.

5. Determine, entre os triangulos de mesmo permetro, o de area maxima.

6. Uma sonda espacial no formato de um elipsoide de equacao

4x2 + y2 + 4z2 = 16

penetra na atmosfera da Terra e sua superfcie comeca a se aquecer. Depoisde 1h, a temperatura no ponto (x, y, z) sobre a superfcie da sonda e

T (x, y, z) = 8x2 + 4yz 16z + 600.

Encontre o ponto mais quente sobre a superfcie da sonda.

Captulo 4

Integrais Duplas

4-1 Conceitos Preliminares

Definicao 4.1 Seja o retangulo R = {(x, y) R2/a x b e c y d}, ondea < b e c < d. Sejam P1 : a = x0 < x1 < ... < xn = b e P2 : c = y0 < y1 0 arbitrario, existe > 0 tal que

Lnmk=1

f(xk, yk)Ak

< para qual-quer P com |P | < e qualquer escolha dos pontos (xk, yk) Rk, k = 1, 2, 3, ..., nm.

Tal numero L, quando existe e unico e denomina-se, segundo Riemann, inte-gral dupla de f sobre D e indica-se por

D

f(x, y)dA = lim|P |0

nmk=1

f(xk, yk)Ak

Observacao 4.1 No caso de f 0 em D, a integral dupla

D

f(x, y)dA e,

quando existe, o volume do solido S, mecionado anteriormente.

4-3 Funcoes Integraveis

Teorema 4.1 Seja D R2 um subconjunto limitado e com area, e seja f umafuncao contnua em um retangulo que contem D. Entao, f e integravel em D.

4-4 Propriedades da Integral

Teorema 4.2 Seja D R2 um subconjunto limitado, e f e g funcoes integraveisem D, entao

(a) f + g e kf sao integraveis em D e vale D

(f + g)(x, y)dxdy =

D

f(x, y)dxdy +

D

g(x, y)dxdy

D

(k f)(x, y)dxdy = k

D

f(x, y)dxdy.

(b) f(x, y) 0 em D

D

f(x, y)dxdy 0.

(c) f(x, y) g(x, y) em D

D

f(x, y)dxdy

D

g(x, y)dxdy.

92 4. integrais duplas

4-5 Integrais Iteradas - Teorema de Fubini

O calculo de integrais duplas a partir de sua definicao seria um processo trabalhosoe quase impossvel, na pratica, na maioria dos casos. Esse problema e resolvidousando-se o teorema de Fubini.

A ideia do teorema e a seguinte: se f : R = [a, b] [c, d] R e umafuncao contnua e positiva e se fx : [c, d] R e definida por fx(y) = f(x, y), entaoa area, A(x), da secao plana abaixo do grafico de f e acima do plano xOy, com xfixado, sera

A(x) =

dc

fx(y)dy =

dc

f(x, y)dy

Pelo princpio de Cavallieri, sabemos que o volume do solido S = {(x, y, z) R3/(x, y) D e 0 z f(x, y)} e igual a b

a

A(x)dx =

ba

( dc

f(x, y)dy

)dx

e, pelas discussoes do paragrafo anterior, esse volume tambem deveria ser igual a R

f(x, y)dxdy. Logo, teramos

R

f(x, y)dxdy =

ba

( dc

f(x, y)dy

)dx,

que nos diz que para calcular a integral dupla primeiramente calculamos a integralsimples de f em relacao a y (mantendo x fixo) de c ate d e depois integramos a

funcao resultante, A = A(x) =

dc

f(x, y)dy em relacao a x, de a ate b.

O mesmo argumento, com as variaveis trocadas nos permite concluir que: R

f(x, y)dxdy =

dc

B(y)dy, sendo B(y) =

ba

f(x, y)dx.

As integrais

ba

( dc

f(x, y)dy

)dx e

dc

( ba

f(x, y)dx

)dy sao chmadas integrais

iteradas de f em R.

4-5. integrais iteradas - teorema de fubini 93

Para simplificacao eliminamos os parenteses na notacao das integrais, escrevendo: ba

dc

f(x, y)dydx e

dc

ba

f(x, y)dxdy.

Exemplo 4.1 Calcule

R

xex2+ydxdy, sendo R = [0, 1] [1, 1].

Solucao: A figura a seguir ilustra a regiao de integracao.

Logo, R

xex2+ydxdy =

11

10

xex2+ydxdy

=

11

[1

2ex

2+y

]10

dy

=1

2

11

[e1+y ey] dy

=1

2

[e1+y ey] 11

=1

2

[e2 e1 (e0 e1)]

=1

2

[e2 e1 + e1 1]

Exemplo 4.2 Calcule o volume do solido S, delimitado acima pela superfcie deequacao z = x2 + y2, pelos planos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1.


Solucao: A figura a seguir ilustra a regiao R de integracao.

V =

R

(x2 + y2)dA =

10

10

(x2 + y2)dxdy

=

10

[x3

3+ y2x

]10

dy

=

10

[1

3+ y2

]dy

=

[1

3y +

y3

3

]10

=2

3u.v.

4-6 Integrais duplas sobre regioes nao retangu-

lares limitadas

Corolario 4.1 Sejam c(x) e d(x) duas funcoes contnuas em [a, b] e tais que, paratodo x em [a, b], c(x) d(x). Seja D o conjunto de todos (x, y) tais que a x be c(x) y d(x). Nestas condicoes, se f(x, y) for contnua em D, entao

D

f(x, y)dxdy =

ba

( d(x)c(x)

f(x, y)dy

)dx.

4-6. integrais duplas sobre regioes nao retangulares limitadas 95

Exemplo 4.3 Calcule

D

(xy)dxdy, onde D e o semicrculo x2+y2 1, x 0.

Solucao: A figura a seguir apresenta a regiao de integracao D.

Note que, D pode ser descrita como

D = {(x, y) R2/0 x 1 e 1 x2 y

1 x2}.

Assim, temos: D

(x y)dxdy = 10

1x21x2

(x y)dydx

=

10

[xy y

2

2

]1x21x2

dx

=

10

2x1 x2dx

=

[23

(1 x2)3

]10

dx

=2

3

Exemplo 4.4 Calcule o volume solido S limitado pelos planos coordenados e pelassuperfcies de equacoes: x2 + z2 = 1 e x+ y = 1.

Solucao: A figura a seguir ilustra o solido S.


V =

R

1 x2dA =

10

1x0

1 x2dydx

=

10

[(1 x2)y

]1x0

dx

=

10

(1 x2)(1 x)dx

=

10

1 x2dx I1

10

(1 x2)xdx I2

Para resolver I1, faremos uma substituicao trigonometrica do tipo x = sin .Observe a figura a seguir.

Assim, temos:{x = sin dx = cos d

Para x = 0, temos = 0 e para x = 1, temos = pi2

I1 =

10

1 x2dx =

pi2

0

1 sin2 cos d

=

pi2

0

cos2 d

=

pi2

0

1

2[cos 2 + 1] d

=

[1

4sin 2 +

1

2

]pi2

0

=pi

4Resolvendo-se I2, obtemos

I2 =

10

(1 x2)xdx =

[12

(1 x2)3 2

3

]10

= 13

Como V = I1 I2, temos:V =

(pi

4+1

3

)u.v.

4-6. integrais duplas sobre regioes nao retangulares limitadas 97

Corolario 4.2 Sejam a(y) e b(y) duas funcoes contnuas em [c, d] e tais que, paratodo y em [c, d], a(y) b(y). Seja D o conjunto de todos (x, y) tais que c y de a(y) x b(y). Nestas condicoes, se f(x, y) for contnua em D, entao

D

f(x, y)dxdy =

dc

( b(y)a(y)

f(x, y)dx

)dy.

Exemplo 4.5 Calcule

D

(xy)dxdy, onde D e o semicrculo x2+y2 1, x 0.

Solucao: A figura a seguir apresenta a regiao de integracao D.

Note que, D pode ser descrita como

D = {(x, y) R2/0 x 1 y2 e 1 y 1}.

Assim, temos: D

(x y)dxdy = 11

1y20

(x y)dxdy

=

11

[x2

2 yx

]1y20

dy

=

11

[1 y22

y1 y2

]dy

=

[1

2y y

3

6+1

22(1 y2)3

]11

=1

2 16(12+1

6

)=

2

3


Exemplo 4.6 Inverta a ordem de integracao na integral

10

2x2x

f(x, y)dydx,

onde f e contnua em R2.

Solucao: De acordo com os limites de integracao, vemos que a regiao de integracaoe dada por

R : {(x, y) R2/0 x 1 e x y 2 x2},

a qual e representada pela figura a seguir.

Neste caso, para inverter a ordem de integracao deveremos dividir a regiao R emduas sub-regioes, como ilustra a figura a seguir.

Assim, temos:R1 = {(x, y) R2/0 y 1 e 0 x y}

eR2 = {(x, y) R2/1 y

2 e 0 x

1 y2}

Logo, podemos escrever: 10

2x2x

f(x, y)dydx =

R1

f(x, y)dxdy +

R2

f(x, y)dxdy

=

10

y0

f(x, y)dxdy +

21

1y20

f(x, y)dxdy

4-7. integrais duplas em coordenadas polares 99

4-7 Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Em muitas situacoes para facilitar a descricao de regioes de integracao faz necessariauma mudanca de variaveis. Apresentaremos nesta secao a mudanca de variaveis paracoordenadas polares.

Definicao 4.4 Uma regiao polar simples num sistema de coordenadas polares euma regiao compreendida entre dois raios, = e = , e duas curvas polarescontnuas, r = r1() e r = r2(), onde as equacoes dos raios e das curvas polaressatisfazem as seguintes condicoes:

(a) (b) 2pi (c) 0 r1() r2()

As coordenadas polares (r, ) de um ponto estao relacionadas com as coordenadasretangulares pelas equacoes:

2 = x2 + y2 x = cos y = sin

Assim, para convertemos de coordenadas retangulares para coordenadas polares emuma integral dupla, escrevemos x = cos e y = sin , usamos os limites deintegracao apropriados para e , e substituimos dA por dd1.

Exemplo 4.7 Calcular

R

ex2+y2dxdy, sendo R : {(x, y) R2/1 x2 + y2

16 e x y x}.

Solucao: A figura a seguir ilustra a regiao de integracao R.

1Podemos pensar nos retangulos polares infinitesimais como retangulos convencionais comdimensoes d e d e portanto com area dA = dd.


Fazendo-se a mudanca de variaveis para coordenadas polares, temos:x = cos

y = sin , com 1 4 e pi4 pi

4.

R

ex2+y2dxdy =

pi4

pi4

41

e2

dd

=

pi4

pi4

[1

2e

2

]41

d

=

pi4

pi4

1

2(e16 e1)d

=

[1

2(e16 e1)

]pi4

pi4

=pi

4(e16 e1).

Exemplo 4.8 Calcule

R

x2 + y2dxdy, sendo R, o semicrculo R : {(x, y)

R2/(x 1)2 + y2 1, y 0}.

Solucao: A figura a seguir ilustra a regiao de integracao R.

Fazendo-se a mudanca de variaveis para coordenadas polares, temos:{x = cos y = sin

(x 1)2 + y2 = 1

x2 2x+ 1 + y2 = 1x2 + y2 2x = 02 2 cos = 0 = 2 cos , para 6= 0

Assim, a regiao R pode ser escrita em coordenadas polares por R : {(, ) R2/0 pi

2e 0 2 cos }.

4-7. integrais duplas em coordenadas polares 101

R

x2 + y2dxdy =

pi2

0

2 cos 0

2dd

=

pi2

0

[3

3

]2 cos 0

d

=8

3

pi2

0

cos3 d

=8

3

pi2

0

cos (1 sin2 )d

=8

3

[sin sin

3

3

]pi2

0

=8

3

[1 1

3

]=

16

9

Exemplo 4.9 Ache o volume do solido no primeiro octante limitado pelo cone deequacao z =

x2 + y2 e pelo cilindro de equacao x2 + y2 = 3y.

Solucao: A figura a seguir ilustra o cone e o cilindro.

O solido esta acima do semicrculo R cuja fronteira tem equacao x2 + y2 = 3y ou,

apos completar os quadrados, x2 +

(y 3

2

)2=

9

4, e abaixo do cone de equacao

z =x2 + y2. A figura a seguir apresenta a regiao de integracao.

Fazendo-se a mudanca de variaveis para coordendas polares, temos

x2 + y2 = 3y 2 = 3 sin = 3 sin


Assim, o disco R e dado por

R ={(r, ) / 0 pi

2e 0 r 3 sin

}.

V =

R

x2 + y2dA =

pi2

0

3 sin 0

dd

=

pi2

0

[3

3

]3 sin 0

d

= 9

pi2

0

sin3 d

= 9

pi2

0

sin (1 cos2 )d

= 9

[ cos + cos

3

3

]pi2

0

= 9[1 + 1

3

]= 6u.v.

Exemplo 4.10 Determine o volume de uma esfera de raio a, utilizando coordenadaspolares.

Solucao: Consideremos o caso mais simples, ou seja, uma esfera de raio a e centrona origem, a qual e expressa em coordenadas cartesianas como x2 + y2 + z2 = a2.

Note que, a equacao que descreve o hemisferio superior e dada por z =a2 x2 y2, de modo que o volume da esfera e

V = 2

R

a2 x2 y2dA,

onde R e a regiao circular apresentada a seguir.

4-8. exerccios 103

Fazendo-se a mudanca de variaveis para coordenadas polares, obtemos

V = 2

R

a2 x2 y2dA =

2pi0

a0

a2 2dd

=

2pi0

[23(a2 2) 32

]a0

d

=

2pi0

2

3a3d

=

[2

3a3

]2pi0

=4

3pia3

4-8 Exerccios

1. Calcular as integrais:

(a)

R

(a2 x2 y2

x2 + y2)dxdy, sendo R : {(x, y) R2/x2+ y2

a2}

(b)

22

4x24x2

ex2y2dydx

(c)

pipi

piy2

piy2sin(x2 + y2)dxdy

(d)

R

1

1 + x2 + y2dA, sendo R e o setor do primeiro quadrante limitado

por y = 0, y = x e x2 + y2 = 4

2. Determine a area da regiao descrita a seguir:

(a) A regiao dentro da carticoide r = 2(1 + sin ).

(b) A regiao no interior do crculo r = 4 sin e fora do crculo r = 2.


3. Calcular os volumes dos solidos S limitados pelas superfcies a seguir:

(a) z = x2 + y2 e z =3

4y

(b) z(x2 + y2) = 2, z = 0, x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 2

(c) z2 = x2 + y2 e = 1 + cos

(d) z2 = x2 + y2 e x2 + y2 2y = 0(e) z = x2 + y2 + 1 e x2 + y2 2x = 0

(f)x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Respostas

1. (a)pia3

3(b) pi(1 e4) (c) 2pi (d) pi

8ln 5

2. (a) 6pi (b)4pi

3+ 2

3

3. (a)3pi

512(b) 4pi ln 2 (c)

35

4pi (d)

64

9(e)

5pi

2(f) 2piabc

4-9 Area de Superfcie

Seja S a superfcie com equacao z = f(x, y), onde f tem derivadas parciaiscontnuas. Nesta secao calcularemos a area da superfcie S, cujo grafico e umafuncao de duas variaveis.

Condidere f(x, y) 0 e o domnio D de f uma regiao retangular.

Inicialmente faremos uma particao de D de modo que todos os sub-retangulostenham a mesma area A = xy, ou seja, a norma da particao e constante;e consideraremos o ponto (xi, yj) como o vertice do retangulo Rij que esta maisproximo da origem.

Seja Pij(xi, yj, f(xi, yj)) o ponto de S que possui como projecao no plano xyo ponto (xi, yj).

Note que, o plano tangente a S em Pij e uma aproximacao de S perto dePij. Assim, a area Tij da parte deste plano tangente que esta acima de Rij e umaaproximacao da area Sij da parte de S que esta acima de Rij. Desse modo, a

somani=1

mj=1

Tij e uma aproximacao da area total de S, a qual melhora sempre

que aumentamos o numero de retangulos. Logo, e natural definir o volume de Scomo sendo um limite destas somas, quando m, n, se este limite existir.

4-9. area de superfcie 105

Assim, podemos escrever

A(S) = limm,n

ni=1

mj=1

Tij (4.1)

Considere a e b os vetores que comecam em Pij e correspondem aos lados doparalelogramo com area Tij. Assim, Tij = |a b |. Como fx(xi, yj) e fy(xi, yj)sao as inclinacoes das retas tangentes a S em Pij, com direcoes

a e b , temos:a = xi + fx(xi, yj)xkb = y

j + fy(xi, yj)y

k

e

a b =i

j

k

x 0 fx(xi, yj)x0 y fy(xi, yj)y

= xy

k fx(xi, yj)xyi fy(xi, yj)yxj

= [fx(xi, yj)i fy(xi, yj)j + 1]xyLogo,

Tij =[fx(xi, yj)]2 + [fy(xi, yj)]2 + 1 A

Assim, de 4.1, temos:

A(S) = limm,n

ni=1

mj=1

[fx(xi, yj)]2 + [fy(xi, yj)]2 + 1 A

Definicao 4.5 A area da superfcie com equacao z = f(x, y), (x, y) D, onde fx efy sao contnuas, e

A(S) =

D

f 2x + f

2y + 1 A (4.2)

Exemplo 4.11 Determine a area da parte do paraboloide z = x2 + y2 que estaabaixo do plano z = 9.

Solucao: Note que, o traco do paraboloide no plano e a circunferencia de equacaox2+y2 = 9, logo a superfcie dada esta acima da regiao circular de centro na origeme raio 3. Logo,

A =

D

f 2x + f

2y + 1 A =

D

1 + (2x)2 + (2y)2dA

=

D

1 + 4x2 + 4y2dA


O calculo desta integral torna-se mais simples fazendo-se a mudanca de variaveispara coordenadas polares. Assim, temos:

D

1 + 4(x2 + y2)dA =

2pi0

30

1 + 42 dd

=

2pi0

[1

8 23(1 + 42)

32

]30

d

=1

12

2pi0

[3737 1

]d

=1

12

[(3737 1)

]2pi0

=pi

6(3737 1) u.a.

4-10 Exerccios

1. Determine a area da superfcie.

(a) A parte do plano z = 2+3x+4y que esta acima do retangulo [0, 5][1, 4].(b) A parte do plano 3x+ 2y + z = 6 que esta no primeiro octante.

(c) A parte do paraboloide hiperbolico z = y2x2 que esta entre os cilindrosx2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

(d) A parte da esfera x2+y2+z2 = a2 que esta dentro do cilindro x2+y2 = axe acima do plano xy.

4-11 Integrais Triplas

4-11.a Coordenadas Cilndricas e Esfericas

No sistema de coordenadas cilndricas, um ponto P no espaco tridimensional e re-presentado pela tripla ordenada (r, , z), onde r e sao as coordenadas polares daprojecao de P sobre o plano xy e z e a distancia direta do plano xy ao ponto P .

Para converter de coordenadas cilndricas para coordenadas retangulares, usamos asequacoes

x = r cos y = r sin z = z

4-11. integrais triplas 107

enquanto que para converter de coordenadas retangulares para coordenadascilndricas, utilizamos

r2 = x2 + y2 tan =y

xz = z

Respostas dos Exerccios

Captulo 1 - Funcoes de Varias Variaveis Reais

Paginas: 20 e 21

1. (a) 2 (b) u2v uv2 + 1 (c) 2xy + yh (d) x2

2. (a) D(f) = {(x, y) R2/x 6= 2y} (b) uv

3.

109


4.

6. (a) yex = 2 (b) yex = 3 (c) yex = 2e

8. (b) xy = 4

Captulo 2 - Limite e Continuidade

Pagina: 28

1. (a) R2 (b) {(x, y) R2/2x2 + 3y2 6} (c) {(x, y) R2/x > y}(d) {(x, y)/inR2/x2 + y2 < 1} (e) {(x, y) R2/x2 + z2 6= 1} (f){(x, y) R2/0 x2 + y2 1} (g) {(x, y, z) R3/x2 + y2 + 3z2 > 0} (h){(x, y, z) R3/x2 + z2 6= y2}

2. (a) 2025 (b) 18 (c) nao existe (d) 0

4-11. integrais triplas 111

Captulo 3 - Derivadas Parciais

Pagina: 35

1. (a)y2 1(xy 1)2 ,

x2 1(xy 1)2 (b) 2 sin(x 3y) cos(x 3y), 6 sin(x 3y) cos(x

3y) (c)1

x+ y,

1

x+ y(d) yexy sin 4y2, 8yexy cos 4y2 + xexy sin 4y2 (e)

y12

y2 + x2,xy 32y2 + x2

32y

52 arctan

(x

y

)2. (a) x(x2 + y2 + z2) 32 , y(x2 + y2 + z2) 32 , z(x2 + y2 + z2) 32 (c)sec2(x+2y+3z), 2 sec2(x+2y+3z), 3 sec2(x+2y+3z) (d) 2y3e2x+3z, 3y2e2x+3z,3y3e2x+3z

Pagina: 39

1. (a) xz, y

z(b)

4x 2x2 y + z33z2

,1 2x2 y + z3

3z3(c)

2x+ yz2 cosxyz

xyz cosxyz + sin xyz,

xz2 cos xyzxyz cos xyz + sin xyz

(e)z2 yexy sinh zexy cosh z 2xz ,

xexy sinh z

exy cosh z 2xz

Paginas: 53, 54 e 55

1. (a) 3t2 sin 1t

(b) 103t73 e1t

103 (c)

2(3 + t13 )

3(2t+ t23 )

(d)2 sin u3 sin v

,

2 cos u cos v3 sin2 v

(e) eu, 0 (g)u2[(u 2v)2 u2v2][u2v2 + (u 2v)2]2 ,

2v2[u2v2 (u 2v)2][u2v2 + (u 2v)2]2 (h)

3e3,

(2 43)e3

2.32cm/s

Pagina: 64

1. (a)85

(b) 82 (c) 758

2. (a)2

9

6. (a) Du f = 80, descer (b) (i + 2

j )

5

Pagina: 67

1. (a) x 3y + 4z = 8, (x, y, z) = (1,1, 1) + (2,6, 8), R


(b) 6x+ 3y + z = 9, (x, y, z) = (12, 1, 3) + (6, 3, 1), R

(c) x y + 4z = 4, (x, y, z) = (2, 2, 1) + (1,1, 4), R.

2. (a) (x, 0, z) e (0, y, z) (b) (0,2,4)

3. x+ y + z = 116, x+ y + z = 11

6

4. (12,2,3

4)

Bibliografia

ANTON, H. Calculo - Vol. 2. 6aed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

BOUCHARA, J.; CARRARA, V.; HELLMEISTER, A. C.; SALVITTI, R.Calculo Intergral Avancado. Sao Paulo: EDUSP, 1996.

GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Calculo - Vol. 2. 5.ed. Rio de Janeiro:LTC, 2008.

KAPLAN, W. Calculo Avancado - Vol. 1. Sao Paulo: Edgard Blucher,1972.

LEITHOLD, L. O Calculo com Geometria Analtica - Vol. 2. 3.ed. SaoPaulo: Harbra, 1994.

STEWART, J. Calculo - Vol. 2. 5.ed. Sao Paulo: Cengage Learning, 2008.

THOMAS, G. B. Calculo - Vol. 2. 11aed. Sao Paulo: Addison Wesley,2009.

113

Indice

Continuidade, 27Curva de Nvel, 13

Derivacao Implcita, 37Derivada Direcional, 56Derivada Total, 48Derivadas Parciais, 29Derivadas parciais de segunda ordem, 39Diferenciabilidade, 45Domnio, 8

Equacao da Onda, 42Equacao de Laplace, 42

Grafico, 12

Hessiano de uma Funcao, 70

Imagem, 8Interpretacao Gaometrica de Derivadas

Parciais, 34

Maximo Absoluto, 68Maximo Relativo, 68Mnimo Absoluto, 68Mnimo Relativo, 68Mapa de Contorno, 14Multiplicadores de Lagrange, 81

Plano Tangente a uma Superfcie, 65Ponto Crtico, 69Ponto de Sela, 70

Regra da Cadeia, 46Reta Normal a uma superfcie, 66

Superfcie de Nvel, 19

Valores Extremos, 68Vetor Gradiente, 60

114

apostila cálculo ii - professora lisiane

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