apostila cálculo 1-1-1

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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO PARAN ESCOLA POLITCNICA

Curso Engenharia Civil

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

ALUNO(A):___________________________________________________

Professor Gilmar Bornattowww.gilmaths.mat.br gilmar.bornatto@gmail.com

Clculo Diferencial e Integral

AULA 01 1 - FUNES1.1 - Conceito matemtico de funoDefinio 1: Domnio da funo o conjunto de todos os valores dados para a varivel independente. Definio 2: Imagem da funo o conjunto de todos os valores correspondentes da varivel dependente. Como, em geral, trabalhamos com funes numricas, o domnio e a imagem so conjuntos numricos, e podemos definir com mais rigor o que uma funo matemtica utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que um produto cartesiano e uma relao entre dois conjuntos. Definio 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos no vazios A e B , denomina-se produto cartesiano (indica-se: A B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B . (Eq.1)

A B ={( x , y )/ x A e y B }.

Definio 4: Relao: Dados dois conjuntos A e B , d-se o nome de relao r de A em B a qualquer subconjunto de A B . (Eq.2)

r relao de A em B r A B .

Exemplo: Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relao r de A em B , tal que y =2 x , x A e y B . Escrever os elementos dessa relao r . Como x A : x =0 y =0 (0,0) A B ;

x =1 y =2 (1,2) A B ; x =2 y =4 (2,4) A B ; x =3 y =6 (3,6) A B . Ento, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.

A 0 1 2 3

r

0 B 2 4 6 8 10

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 x

[Fig.1]: Representao da relao por diagrama.

[Fig.2]: Representao da relao por sistema cartesiano.

1

Clculo Diferencial e Integral

Obs.: Podemos observar que, numa relao r de A em B , o conjunto r formado pelos pares ( x , y ) em que o elemento x A associado ao elemento y B mediante uma lei de associao (no caso, y =2 x ).

1.2 - Definio de funo

A e B dois conjuntos no vazios e f uma relao de A em B . Essa relao f uma funo de A em B quando a cada elemento x do conjunto A est associado um e apenas um elemento y do conjunto B . Nos exerccios a seguir, verifique se as relaes representam funo de A em B . Juntifique suaresposta e apresente o diagrama da relao. Exemplos: 1) Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y = x +5, com x A e y B .

Definio 5: Sejam

A 0 5 15x =0 y =5 (0,5) A B ; x =5 y =10 (5,10) A B ; x =15 y =20 (15,20) A B . Todos os elementos de A cada elemento de

0 B 5 10 15 20 25

A esto associados a elementos de B .

A est associado um nico elemento de B .

Neste caso, a relao de A em B expressa pela frmula y = x +5 uma funo de A em B .

2) Dados os conjuntos A ={2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y = x , com x A e y B .

A -2 0 2 5x =0 y =0 (0,0) A B ; x =2 y =2 (2,2) A B ; x =5 y =5 (5,5) A B . O elemento 2 de

B 0 2 5 10 20

A no est associado a nenhum elemento de B . A em B no uma funo de A em B .

Neste caso, a relao de

2

Clculo Diferencial e Integral

3) Dados os conjuntos A ={3,1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y = x , com x A e y B .2

A -3 -1 1 3x =3 y =9 (3,9) A B ; x =1 y =1 (1,1) A B ; x =1 y =1 (1,1) A B ; x =3 y =9 (3,9) A B .

B 1 3 6 9

Todos os elementos de A esto associados a elementos de B . A cada elemento de

A est associado um nico elemento de B . A em B expressa pela frmula y = x 2 uma funo de A em B .

Neste caso, a relao de

4) Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={2,2,3}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y = x , com x A e y B .4

A 16

-2 2

B

81x =16 y =2 ou y =2 (16,2) e (16,2) A B ; x =81 y =3 (81,3) A B .

3

Todos os elementos de A esto associados a elementos de B . O elemento 16 do conjunto A est associado a dois elementos do conjunto B . Neste caso, a relao de

A em B no uma funo de A em B .

1.3 Notao de FunoQuando temos uma funo de A em B , podemos represent-la da seguinte forma:

f : A B (l-se: funo de A em B ) x a y (l-se: a cada valor de x A associa-se um s valor y B ) A letra f , em geral, d o nome s funes, mas podemos ter tambm a funo g , h , etc.Numa funo

g : R R , dada pela frmula y = x 2 8, podemos tambm escrever g ( x )= x 2 8.

Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=6.

3

Clculo Diferencial e Integral

1.4 - Domnio, contradomnio e imagem de uma funo Uma funo f com domnio A e imagens em B ser denotada por:

funo tambm chamado campo de definio ou campo de existncia da funo, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto , os valores possveis para a varivel x . O conjunto B denominado contradomnio da funo, que indicaremos por CD . no contradomnio que esto os elementos que podem corresponder aos elementos do domnio. Cada elemento x do domnio tem um correspondente y no contradomnio. A esse valor de

f : A B (funo que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B ) x a y = f ( x ) (a cada elemento x A corresponde um nico y B ) O conjunto A denominado domnio da funo, que indicaremos por D . O domnio da

y damos o nome de imagem de x pela funo f . O conjunto de todos os valores de y que so imagens de valores de x forma o conjunto imagem da funo, que indicaremos por Im . Note queo conjunto imagem da funo um subconjunto do contradomnio da mesma.

f : AB x a y= f (x) D = A , CD = B , Im ={ y CD / y correspondente de algum valor de x }.Exemplos: 1) Dados os conjuntos A ={3,1,0,2} e B ={1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da funo f : A B definida por f ( x )= x +2.

f f f f

(3)=(3)+2=1 (1)=(1)+2=1 (0)=(0)+2=2 (2)=(2)+2=4

A -3 -1 0 2

-1 B 0 1 2 3 4

Im ={1,1,2,4}2) Dada a funo f : R R definida por f ( x )= a x + b , com a , b R , calcular a e b , sabendo que f (1)=4 e f (1)=2. A lei de formao da funo f ( x )= a x + b ou y = a x + b .

f (1)=4 x =1 e y =4 4= a 1+ b (i) f (1)=2 x =1 e y =2 2= a (1)+ b (ii)De (i) e (ii), temos:

aa b =1 e a =3

+ +

bb2b

= = =

4 2 2

a =3 e b =1 f ( x )=3 x +1.

4

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1.5 Funo Composta 2 Tome as funes f : A B , definida por f ( x )=2 x , e g : B C , definida por g ( x )= x . Note que o contradomnio B da funo f o mesmo domnio da funo g .

f : A B : a cada x A associa-se um nico y B , tal que y =2 x . g : B C : a cada y B associa-se um nico z C , tal que z = y 2 . Neste caso, podemos considerar uma terceira funo, h : A C , que faz a composio entre as funes f e g :A f x y B g z C

h[Fig. 1]: Funo composta

h : A C : a cada x A associa-se um nico z C , tal que z = y 2 = ( 2 x ) 2 =4 x 2 .Essa funo h de

A em C , dada por h ( x )=4 x 2 , denominada funo composta de g ez C determinado de modo nico pelo

f.De um modo geral, para indicar como o elemento elemento x A , escrevemos:

z = g ( y )= g ( f ( x ))Notao: A funo composta de (Eq.3) (g o

g e f ser indicada por g o f (l-se: g crculo f )

f )( x )= g ( f ( x )) f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e g ( x )=2 x 2 3.

Exemplos: 1) Sejam as funes reais Determine: a)

f ( g ( x )). f ( g ( x ))= f (2 x 2 3)=2 x 2 3+1=2 x 2 2f ( g ( x ))=2 x 2 2.

b)

g ( f ( x )).g ( f ( x ))= g ( x +1)=2 ( x + 1) 2 3=2( x 2 +2 x +1)3=2 x 2 +4 x +23=2 x 2 +4 x 1 g ( f ( x ))=2 x 2 +4 x 1.

c) Os valores de x para que se tenha

f ( g ( x ))= g ( f ( x )).

f ( g ( x ))= g ( f ( x ))2 x 2 2=2 x 2 +4 x 1 2=4 x 1 4 x =12 1 x = . 45

Clculo Diferencial e Integral

2) Sendo f ( x )=3 x 1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ).

f ( x )=3 x 1, ento f ( g ( x ))=3 g ( x )1. Como f ( g ( x ))=6 x +8, ento 3 g ( x )1=6 x +8. 3 g ( x )1=6 x +8 3 g ( x )=6 x +8+1 6x + 9 g ( x )= 3 g ( x )=2 x +3.1.6 Funo InversaDefinio 6: Funo bijetora: A funo abaixo: 1. 2. O contradomnio de

Como

f denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condies

f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomnio f imagem de um nico elemento do domnio.

correspondente de algum elemento do domnio. Cada elemento do contradomnio de

Definio 7: Diz-se que uma funo

f possui inversa f 1 se for bijetora.

Caso a funo seja bijetora, possuindo portanto inversa, possvel determinar a sua inversa. Para isso trocamos a varivel x por y na lei que define a funo e em seguida isolamos o Exemplo: 1) Obter a lei da funo inversa f1

1.6.1 Determinao da Funo Inversa

y , obtendo a lei que define a funo inversa.

preciso apenas tomar certo cuidado com o domnio da nova funo obtida.

da funo

f dada por y = x +2.

y = x +2 funo f . x = y +2 trocando a varivel x por y e y por x . y = x 2 isolando y .Ento, y = x 2 a lei da funo inversa da funo dada por y = x +2. Logo:

f ( x )= x +2 e f 1 ( x )= x 22) Construir os grficos das funes coordenadas.1

f e f 1 do exerccio anterior, num mesmo sistema dey f f -1

x1 0 1 2

f (x)1 2 3 4

x1 2 3 4

f0 1 2

(x)

1

Note que os grficos das funes f e

f 1 so simtricosem relao reta que contm as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes.

4 3 2 1

-2 -1 -1 0 1 2 3 4 -2

x

6

Clculo Diferencial e Integral

3)

Determinar a funo inversa g