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III – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINOMIAIS

1 – Expressões Algébricas

Uma expressão algébrica é uma combinação de números e letras que representam números.

Assim, são expressões algébricas:

yx

ba

22

bca

x

23

83

23

42

2

35

253

ca

zxy

xxyx

As letras são chamadas de variáveis e os números que as acompanham são chamados de

coeficientes.

Um termo consiste de produtos e quocientes de números e letras que representam números.

Assim 326 yx e 435 yx / são termos de uma expressão algébrica.

Termos semelhantes são termos que diferem apenas em seus coeficientes. Por exemplo, xy7

e xy2 são termos semelhantes, enquanto que 325 ba e 523 ba são termos não

semelhantes.

Expressões algébricas constituídas por um único termo são chamadas de monômios. Por

exemplo yxxyzyx /,,2243 437 são monômios.

2 – Cálculos com Expressões Algébricas

Adição e Subtração

Só podemos adicionar ou subtrair termos semelhantes, e essa operação será feita sobre os

coeficientes, mantendo-se a parte literal. Observe que, se não houver termo semelhante para

operar, ele apenas será repetido.

Exemplos: Observe as operações:

1) cbaccbbaacbacba 6397856386753

2) 222 83328323538325 xyxxyxyxxxyxyxxyxyxxy

Multiplicação

A multiplicação deverá ser feita multiplicando-se primeiro os coeficientes, depois a parte

literal obedecendo às regras de potenciação e a regra da distributividade e, por fim,

agrupando-se os termos semelhantes.

Exemplos: Observe as multiplicações:

1) zyxzyyxxyxzyx 46342432 62323

2) 242342422342 2545352435 xyyxxyxxyyxxyxxyyx

634553 102015 yxyxyx

2

3) xxxxxxxx )()()( 93393393 222

xxxxxxx )()()()()()( 9339333 22

27186

02799330932793

23

223232

xxx

xxxxxxxxxx

Trataremos em outra ocasião a divisão de expressões algébricas.

3 – Polinômios

Um polinômio é uma expressão algébrica composta pela soma de termos cujas variáveis

estão elevadas a potências inteiras não negativas. Dessa forma são polinômios:

434432 342572253 xzxyxxxyxyx

Polinômios com um, dois, três termos são monômios, binômios e trinômios

respectivamente.

O grau de um monômio é a soma de todos os expoentes das variáveis no termo. Assim, por

exemplo, o grau de zyx 234 é 6 123 .

O grau de um polinômio é o mesmo de seu termo de maior grau. Por exemplo

zxxzyx 3523 247 tem grau 6.

Um polinômio a uma variável, por exemplo, x é qualquer expressão que pode ser escrita na

forma:

01

1

1 axaxaxa n

n

n

n

Onde n é um inteiro não negativo e 0na .

Por exemplo 9235 34 xxx é um polinômio em x de grau 4.

Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão.

Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios

Polinômios são expressões algébricas e, portanto efetuamos as operações de soma, subtração

e multiplicação como descritos anteriormente.

Exemplos: Efetue as seguintes operações com polinômios:

1) 3521432 2323 xxxxxx

23

3154232

3521432

23

2233

2323

xxx

xxxxxx

xxxxxx

3

2) 22434 232 xxxxx

6432

243420

22434

23

223

232

xxx

xxxxx

xxxxx

3) 923 232 xxx

24522232232 276393233923 xxxxxxxxxxx

4) 4322 xxx

1252

123824

4334224

43424

432

23

223

22

2

2

xxx

xxxxx

xxxxxxx

xxxxx

xxx

Divisão de Polinômios

A divisão de polinômios é realizada utilizando-se as regras de divisão de expoentes.

Vamos estudar caso a caso esta divisão:

i) Divisão de Monômio por Monômio - Encontre o quociente dos coeficientes numéricos,

depois encontre o quociente das variáveis e, a seguir, multiplique estes quocientes.

Exemplo: Divida 32424 zyx por zyx 433

2

22

2

3

4

2

3

4

43

324 818

3

24

3

24

y

xzz

yx

z

z

y

y

x

x

zyx

zyx

ii) Divisão de Polinômio por Monômio - Divida cada termo do Polinômio pelo Monômio.

Exemplo: Observe a divisão abaixo:

a

aaaa

a

a

a

a

aaaaa

423

2

8

2

4

2

6

2

8462846 2

232323

iii) Divisão de Polinômio por Polinômio – Essa divisão é bastante semelhante à divisão de

números inteiros. Para promover a divisão siga os seguintes passos:

(a) Coloque ambos os polinômios na forma padrão.

(b) Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor. O resultado será o

primeiro termo do quociente.

4

(c) Multiplique o primeiro termo do quociente pelo primeiro termo do divisor e subtraia o

resultado do dividendo, obtendo assim um novo dividendo.

(d) Use o dividendo obtido em (c) para repetir os passos (b) e (c), até que o resto obtido seja

nulo ou tenha grau menor do que o grau do divisor.

(e) O resultado dessa divisão pode ser escrito na forma:

Divisor

RestoQuociente

Divisor

Dividendo

Exemplo 1: Calcule 42073 2 xxx

2073 2 xx 4x

xx 123 2 53 x

205 x

205 x

0

Assim,

534

2073 2

x

x

xx

Exemplo 2: Calcule 23232 2234 xxxxxx

232 234 xxxx 232 xx 234 462 xxx 632 2 xx

233 23 xxx

xxx 693 23

256 2 xx

12186 2 xx

1413 x

Assim,

63

1413632

63

2322

2

2

234

xx

xxx

xx

xxxx

Exemplo 3: Calcule 223222234 222 yxyxyxyyxyxyxx

3222234 222 yxyyxyxyxx 22 yxyx

2234 yxyxx yx 22

322 222 yxyyx

322 222 yxyyx

0

5

Algoritmo de Briot-Ruffini

Se quisermos dividir um polinômio P(x) por (x – a) podemos nos valer de um algoritmo

chamado Dispositivo Prático de Briot-Ruffini (Charles A. A. Briot, matemático francês,

1817–1882 e Paolo Ruffini, matemático italiano, 1765–1822) no qual trabalhamos somente

com os coeficientes de P(x) e com a raiz do divisor x – a.

Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão de P(x) = x4 – 5x

3 + x

2 – 3x + 6 por (x

– 2).

Em primeiro lugar, devemos dispor os coeficientes de P(x) e a raiz de (x – 2), conforme o

esquema abaixo:

O 1º passo é “abaixar” o 1º coeficiente de P(x) que, neste exemplo, é 1:

Em seguida, multiplica-se 1 por 2 e soma-se o produto obtido com o 2º coeficiente de P(x).

O resultado encontrado [ 1 . 2 + (– 5) = – 3 ] o 2º coeficiente do quociente procurado.

O passo seguinte é multiplicar – 3 por 2 e somar o produto obtido com o 3º coeficiente de

P(x).

O novo resultado encontrado ( – 3 . 2 + 1 = – 5 ) é o 3º coeficiente do quociente.

Em seguida, de modo análogo, multiplica-se – 5 por 2 e soma-se com o 4º coeficiente de

P(x). O resultado encontrado [ – 5 . 2 + ( – 3 ) = – 13] é o 4º coeficiente do quociente.

Para finalizar, repete-se o processo para o número – 13 obtendo-se – 20, que é o resto da

divisão:

( – 13 . 2 + 6 = – 20 ).

O quociente procurado é q(x) = x

3 – 3x

2 – 5x – 13 e o resto, que é independente de x, é R =

– 20.

Assim 2

201353

2

635 23234

xxxx

x

xxxx

Para utilizarmos o Algoritmo de Briot Ruffini, temos duas restrições:

1ª restrição: O divisor tem que ser de grau 1;

2ª restrição: O coeficiente do divisor deverá ser igual a 1.

6

Vejamos uma estratégia muito fácil para empregarmos “Briot-Ruffini” em situações nas

quais o divisor é da forma, ax + b com a ≠ 0.

Exemplo: Calcule o quociente e o resto da divisão de P(x) = 4x3 - 6x

2 – 8x – 10 por D(x) =

2x – 6.

Temos que:

Assim, P(x) = Q(x).(2x – 6) + R(x)

Podemos escrever D(x) = 2(x – 3) de forma que P(x) = 2Q(x).( x – 3) + R(x) → P(x) =

q(x).( x – 3) + R(x).

Observe que o resto não se altera.

Agora podemos aplicar ao algoritmo para resolver a divisão

Como q(x) = 2.Q(x) → Q(x) = q(x)/2 temos

Q(x) = (4x² + 6x + 10)/2 = 2x² + 3x + 5

4 – Produtos Notáveis

Produtos notáveis, como o próprio nome já diz, são produtos que aparecem com bastante

freqüência na resolução de problemas, Aqui, veremos os mais usados:

Sejam a e b números reais, variáveis ou expressões algébricas. São válidas as seguintes

igualdades:

2222 bababa

2222 bababa

22 bababa

3223333 babbaaba

3223333 babbaaba

3322 babababa

3322 babababa

Exemplos: Desenvolva os seguintes produtos notáveis:

1) 22222253095532353 yxyxyyxxyx

2) 36126626 48242424 xxxxx

3) 222294323232 yxyxyxyx

q(x)

7

4) 3223322336128232322 yxyyxxyyxyxxyx

5) 8126223232 223332233 xyyxyxxyxyxyxy

6) 2783296432 3332 xxxxx

7) 1111 6332242 xxxxx

5 – Fatorações de Polinômios

Fatorar um polinômio consiste em transformá-lo em um produto de dois ou mais fatores

polinomiais de menor grau. Um polinômio que não pode ser fatorado é chamado de

polinômio irredutível.

Um polinômio está completamente fatorado se estiver escrito como um produto de seus

fatores irredutíveis.

Exemplo: Observe as formas fatoradas dos seguintes polinômios:

1) 412472 2 xxxx (completamente fatorado)

2) 882 xxxx (completamente fatorado)

3) 99 23 xxxx

Este último polinômio não está completamente fatorado, pois ainda podemos escrever

9992 xxx de forma que ele está completamente fatorado quando escrito na

forma:

9993 xxxxx

Existem vários casos de fatoração que devem ser utilizados de acordo com as características

da expressão algébrica a ser fatorada. Vamos estudar alguns desses casos:

Caso 1: Colocação de um termo em evidência

Se os termos do polinômio possuir fatores comuns podemos colocar esses fatores em

evidência.

Exemplos:

1) baaaba 333 2

2) 32264 xx

3) yxxyxyxyyxyx 53231596 2222

4) 46464 xxxxx

8

5) baaaba 27147 23

Caso 2: Agrupamento de termos

Se um polinômio com quatro termos é o produto de dois binômios, podemos agrupar os

termos de forma conveniente e fazer sua fatoração colocando o termo comum em evidência

duas vezes.

Exemplos:

1) 2525210521052 xaxxaxaaxxaax

2) 232232263426342 22 xyxxyxxyxyxxyxyxx

3) 7373721372173 babbabaababab

4) 345353253532532

xxxxxxxx

5) yxyyxxxxyxyyxxxx 2222 223223

121212 222 xxyxxxyxxx

Caso 3: Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é o resultado do quadrado da soma ou da diferença de dois

termos que são dois dos produtos notáveis listados acima. Fatoramos estes trinômios

recuperando os quadrados perfeitos dos quais eles provém.

Exemplos:

1) 2222 55522510 xxxxx

2) 22222 9499424817216 yxyyxxyxyx

Caso 4: Diferença de Dois Quadrados

Vimos que o produto da soma pela diferença dos mesmos termos é um produto notável cujo

resultado é igual a diferença entre o quadrado do primeiro termo e o quadrado do segundo

termo. Fatoramos então a diferença de dois quadrados recuperando o produto notável do

qual foi gerado.

Exemplos:

1) 88864 222 xxxx

2) 9595958125 222 xxxx

3) xyabxyabxyabyxba 32323294222222

9

4)

6

1

6

1

6

1

36

12

22 xxxx

5) 53512431243124322

xxxxxxxx

Caso 5: Soma e Diferença de Dois Cubos

O Raciocínio aqui é o mesmo do caso anterior. Devemos fatorar esta diferença recuperando

o produto notável do qual resultou.

Exemplos:

1) 2233 yxyxyxyx

2) 4102525258125 2333 xxxxx

Caso 6: Trinômio com coeficiente principal igual a 1

Quando multiplicamos bxax obtemos abxbax 2 . Assim para fatorar o

trinômio srxx 2 devemos encontrar dois números a e b tais que a soma seja igual a r e o

produto seja igual a s.

Desta forma teremos:

byaxsrxx 2 onde

sba

rba

Esses números, a e b, devem ser procurados entre os divisores do número s.

Exemplo 1: Para o trinômio 652 xx temos

6

5

s

r.

Os divisores de 6s , a menos de sinais são: 1, 2, 3 e 6.

Devemos procurar entre todas as combinações possíveis desses números aquela cuja soma

dê -5.

Fazendo isso, vemos que devemos tomar

2

3

b

a

Logo:

32652 xxxx

Exemplo 2: Para fatorar o polinômio 862 xx , devemos encontrar dentre os divisores de

8 aqueles cuja soma é igual a 6. Esses números são 2a e 4b .

Assim,

42862 xxxx

10

Caso 7: Trinômio com coeficiente principal diferente de 1

Para fatorar o trinômio cbxax 2 devemos transformá-lo na soma de quatro termos

“separando” o termo central bx em duas parcelas de forma que a equação resultante possa

ser agrupada como no Caso 2.

Assim escrevemos:

xxcbxax2

Onde e são fatores de a e e são fatores de c.

Desenvolvendo este produto vemos que:

c

b

a

Assim na separação de bx devemos considerar como possibilidades das parcelas as

combinações dos divisores de a e c.

Exemplo 1: Para o trinômio 1235 2 xx temos:

Divisores de 35 – 1, 5, 7 e 35

Divisores de 12 – 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Analisando esses termos podemos escrever:

4735473475122120351235 22 xxxxxxxxxx

Exemplo 2: Vamos fatorar 202212 2 xx

Divisores de 12 – 1, 2, 3, 4, 6, 12

Divisores de 20 – 1, 2, 4, 5, 10. 20

Logo, escrevemos

2310423102342030812202212 22 xxxxxxxxxx

OBS: Na prática para fatorar o trinômio, utiliza-se o seguinte resultado:

21

2 xxxxacbxax

Onde 21 xe x são as soluções da equação 02 cbxax .

Caso 8: Trinômios em x e y.

Para fatorar o trinômios com duas variáveis, 22 cybxyax utiliza-se a mesma técnica dos

Casos 1 e2.

Exemplo 1: Para fatorar o trinômio 22 273 yxyx escrevemos o termo central

xyxyxy 67 . Dessa forma obtemos:

11

yxyxyxyyxxyxyxyxyxyx 23223263273 2222

Exemplo 2: Observe a fatoração do polinômio 22 126 yxyx :

yxyxyxyyxxyxyxyxyxyx 324332432312896126 2222

6 – Expressões Fracionárias

Uma Expressão Fracionária é uma expressão algébrica formada pelo quociente de duas

expressões algébricas. Quando esse quociente pode ser escrito como a razão de dois

polinômios, então ele é chamado de Expressão Racional.

Exemplo: As Expressões Fracionárias 1

25

2

2

x

xx e

2

3

9

1

x

não são Racionais.

As Expressões Fracionárias 86

432

xx

x e

34

23

23

2

yxyx

yx

são Racionais.

Domínio de uma Expressão Algébrica

Algumas expressões algébricas podem não ser definidas em todo o conjunto dos números

reais. Por exemplo 1x não está definida para valores de 1x .

O conjunto dos números reais para os quais uma expressão algébrica é definida é chamado

de Domínio da Expressão algébrica.

Para determinar o domínio de uma expressão algébrica devemos lembrar-nos de algumas

propriedades básicas dos números reais:

1) Não existe n x se n é um inteiro par e x é um número negativo.

2) Não existe divisão por zero.

Assim dada uma expressão algébrica devemos descartar de seu domínio todos os números

reais que nos leve a uma dessas duas situações.

Exemplo: Vamos determinar o domínio de cada uma das expressões algébricas abaixo:

1) 132 xx

Por se tratar de um polinômio seu domínio é todo o conjunto dos números reais.

2) x2

Com não existe raiz quadrada de número negativo é preciso que 202 xx .

Assim o Domínio é o intervalo ],] 2 .

3) 3

12

x

x

Como não existe divisão por zero, devemos ter 303 xx .

Assim, o Domínio é 3R .

12

4) 2

1

x

x

Temos aqui dois problemas:

Com não existe raiz quadrada de número negativo é preciso que 101 xx .

Entretanto esta expressão é racional, de forma que devemos descartar todos os números reais

que zeram o denominador, neste caso, 2x .

Juntando as duas informações concluímos que o domínio é 21 [,[

5) 3

4

x

x

Como não existe raiz quadrada de número negativo e não existe divisão por zero,

303 xx .

Logo, o Domínio é o intervalo [,3] .

7 – Operações com Expressões Racionais

As regras de manipulação com Expressões Racionais (ou frações algébricas) são as mesmas

que as utilizadas para frações numéricas. Uma regra fundamental é:

“O valor de uma fração algébrica fica inalterado se seu numerador e denominador são

multiplicados ou divididos pela mesma expressão, desde que tal expressão não seja nula.”

Neste caso dizemos que as frações algébricas são Equivalentes.

Exemplo 1: Se multiplicamos o numerador e o denominador de 3

2

x

x por 1x , obtemos a

fração equivalente:

34

2

13

122

2

xx

xx

xx

xx Desde que 1x .

Exemplo 2: Podemos escrever a fração 22

22 34

yx

yxyx

da seguinte maneira:

yxyx

yxyx

3

Assim, dividindo o numerador e o denominador por yx obtemos a fração equivalente:

yx

yx

3

Simplificação

Simplificar uma dada fração algébrica é reescrevê-la em uma forma equivalente na qual o

numerador e o denominador não tenham fatores em comum. Neste caso dizemos que a

expressão obtida é irredutível. Tal expressão irredutível é obtida fatorando-se numerador e

denominador e cancelando-se seus fatores comuns, considerando que não sejam nulos.

13

Exemplo: Determine a fração algébrica irredutível equivalente a cada uma das expressões

racionais abaixo:

1)

333

3

9

32

2

x

x

xx

xx

x

xx

2)

yxyxxy

yxyxxy

yxxy

yxxy

xyyx

xyyx

22

22

33

3) b

a

cba

cba 2

7

14242

233

4) 2

1

16

8

1616

88

yx

yx

yx

yx

Adição e Subtração

A soma de frações algébricas que têm mesmo denominadores é uma fração cujo numerador

é a soma algébrica dos numeradores das frações dadas e cujo denominador é o mesmo das

frações dadas.

Exemplo:

3

33

3

5432

3

5

3

43

3

2 222

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

Para adicionar e subtrair frações algébricas de denominadores distintos devemos substituir

cada expressão dada por uma fração equivalente cujo denominador é o MMC dos

denominadores das expressões dadas.

Mas como calcular o MMC de polinômios?

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais polinômios é o polinômio de menor

grau e menores coeficientes numéricos do qual cada um dos polinômios dados é fator.

Para determinar o MMC de vários polinômios, devemos seguir os seguintes passos:

1) Fatore completamente cada um dos polinômios.

2) O MMC é o produto obtido tomando-se cada fator na maior potência com que este

ocorre em qualquer um dos polinômios.

Exemplo: Determine o MMC de:

1) ,2322323 yxyx

yxyx 232232 e

yx 232 .

O MMC é o polinômio 2333 232 yxyx

2) xx 22 ,

x e

42 x

14

Tomando a forma fatorada de cada um desses polinômios temos:

x

xxx

xxxx

224

22

2

2

Assim o MMC deles é o polinômio 22 xxx

Podemos agora somar Frações Algébricas com denominadores diferentes:

Exemplo: Escreva cada uma das expressões abaixo como uma fração algébrica irredutível:

1)

2

3

2

2

2 14

22128

14

273142

72

32

x

xx

x

xxxx

xx

2)

12

142

12

3122

12

3112

12

3

2

12 22

xxx

xx

xxx

xxxx

xxx

xxx

xxxx

x

3)

22

3442

22

322122

22

31

2

2 2

2 xxx

xxx

xxx

xxxx

xxxxx

22

1

22

1

22

2

xx

x

xxx

xx

xxx

xx

Multiplicação e Divisão

O produto de duas ou mais frações algébricas dadas produz uma fração algébrica cujo

numerador é o produto dos numeradores das frações dadas e cujo denominador é o produto

dos denominadores das frações dadas.

Exemplo: Determine cada um dos produtos abaixo expressando o resultado como uma

fração algébrica irredutível

1) 1

3

3

5

15

33

3

5

56

92

2

x

x

x

x

xx

xx

x

x

xx

x

2)

x

x

xx

xxx

xxx

xx

xx

x

xxx

xx 32

72

422

42

732

145

8

42

21112 2

22

3

23

2

3)

24

16

2

11

14

26

44

1

44

12622

2

xx

y

x

yy

yx

x

xx

y

xxy

x

4)

bxax

ax

xaxa

bxca

abxabx

aaxx

xa

bccxabax2

2

22

22

2

15

2

2

ax

axca

bxax

ax

xaax

bxca

O quociente de duas frações algébricas dadas é obtido invertendo-se o divisor e depois

multiplicando as duas frações.

Exemplo: Determine cada um dos quocientes abaixo expressando o resultado como uma

fração algébrica irredutível

1) 2

72

22

7

24

72

xxyxy

x

xxx

xy

x

2) xx

xxx 1

6

4

2

3

4

6

2

32

2

3)

212

6

3

21

6

12

3

222

y

x

x

yx

x

y

x

xyx

4)

xxx

xx

xx

x

xx

xxx

xx

x

32

67

6

9

67

32

6

923

2

34

2

2

23

34

2

43

3

13

61

6

33

x

x

xxx

xx

xx

xx

8 – Expressões Racionais Compostas

Uma fração composta, ou fração complexa, é uma fração algébrica que possui uma ou mais

frações algébricas no numerador ou no denominador, ou em ambos. Para simplificar uma

fração composta devemos seguir os seguintes passos:

1) Reduza o numerador e o denominador a uma única fração

2) Divida as duas frações resultantes.

Exemplo: Simplifique cada uma das frações compostas abaixo:

1)

11

11

1

1

1

1

11

12

2

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

2) yxx

yx

yx

x

x

yx

x

yx

x

yx

33

32

2

16

3) 121

2

1

2

xa

xa

x

a

a

4) 2

212

2

babababa

ba

5)

ba

b

a

ba

baba

ab

ba

a

baba

ab

ba

baba

baba

baba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

2

2

4

2

4

1

22