apostila matemática cálculo cefet capítulo 01 introdução

8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 01 Introduo

1/22

Captulo 1

INTRODUO

Neste captulo apresentaremos uma breve reviso de alguns tpicos do

grau essenciais para

o estudo do Clculo de uma Varivel Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o con-junto dos nmeros reais, denotado por , com as operaes fundamentais e suas respectivaspropriedades, bem como com a visualizao geomtrica de como uma reta e dos nmerosreais como pontos dessa reta.

1.1 Desigualdades

A representao geomtrica dos nmeros reais sugere que estes podem ser ordenados. Usandoos smbolos usuais para maior ( ), maior ou igual ( ), menor ( ), menor ou igual ( ), podemosver, por exemplo, que se

e

, ento

!; no eixo coordenado temos que est

esquerda de . Para todo

temos: ou

, ou

, ou (

.

1.2 Intervalos

Muitos subconjuntos de so definidos atravs de desigualdades. Os mais importantes so osintervalos.

Sejam tais que .

Intervalo aberto de extremidades e , denotado por 1 3

definido por:

1 3 ( 7 9 B 9 F H

a b( )

Figura 1.1: Intervalo aberto.

Intervalo fechado de extremidades e , denotado por P Q definido por:

P Q ( 7 9 B 9 F H

9


2/22

10 CAPTULO 1. INTRODUO

a b][

Figura 1.2: Intervalo fechado.

Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, so denotados e definidos, respectivamente,por:

P 4 3 ( 7 9 C B 9 Fe 1

Q ( 7 9 6 B 9 F H

a b[ )

a( ]

b

Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados.

Os quatro intervalos assim definidos so ditos limitados. Introduzindo os smbolos e ,os quais no so nmeros reais, podemos definir os intervalos ilimitados:

1

3 ( 7 9 6 B 9 Fe

1

R Q ( 7 9 C B 9 F

1

R 3 ( 7 9 B 9 F

eP

3 ( 7 9 C B 9 F H

Note que ( 1

3 . Os intervalos aparecem de forma natural na resoluo de inequa-es, pois, a soluo , em geral, dada por um intervalo ou uma reunio de intervalos.

Desigualdades Lineares:

Determinemos o conjunto-soluo de:

9

! H

9

!

equivalente a 6 9

; logo, se !

, 9

; o conjunto-soluo P

3 . Se

!, 9

; o conjunto-soluo

1

H

Desigualdades Quadrticas:

Seja 9

9

( !a equao de segundo grau. Denotemos por

(

o discri-minante da equao e

,

as razes reais da equao (

). O conjunto-soluo

de umadesigualdade quadrtica depende do sinal de e de

.

Para

!. Se

!, a desigualdade

9

9

!

tem conjunto-soluo1

Q P

3

e 9

9

!

tem conjunto-soluo P

Q

Se !

, a desigualdade 9

9

!tem conjunto-soluo P

Q e

9

9

!

temconjunto-soluo

1

Q P

3 .


3/22


4/22


1.

(%

%, para todo

2.%

%

se e somente se 1 3

, !

3. % % ( % % % %

4.%

%

se e somente se

ou $ !

5.

(

%

%

%

%

, se ( !

6.%

%

%

%

%

%.

Exemplo 1.2.

[1] Achar a soluo de:%

9

9

%

.

Pelas propriedades anteriores, % 9 9

%

equivalente a: 9 9

ou 9 9

.

Se 9

9

, ento9 1 9

3 !

e 9 !

ou 9

; se 9

9

, ento

9

"

!,

o que impossvel. O conjunto-soluo :

1

! 3 1

3 H

[2] Achar a soluo de:%

9%

%

9%.

Pela propriedades anteriores, %

9% %

9% equivalente a:

9 %

9% ou

9 % 9

% ;Se

9 %

9% , ento

9

9

9 ; logo,

9

H

Se

9 %

9%, ento

9 9

9 , que no possui soluo. O conjunto-soluo :

$

H

1.3.1 Distncia

Usando o valor absoluto podemos definir a distncia entre dois nmeros reais. A distnciaentre os nmeros reais e

% %. Ento

%

% a distncia de origem.

Exemplo 1.3.

[1] A distncia entre os nmeros e

%

1

3% (

.

[2] A distncia entre os nmeros

e

%

1

3%

(%

%(

e a distncia entre osnmeros

e

% 1

3%

(

.

[3] A distncia entre os nmeros

e

:

(

(

H


5/22

1.4. PLANO COORDENADO 13

1.4 Plano Coordenado

Um par ordenado de nmeros reais uma dupla de nmeros reais1 9 3

, tais que1 9 3 ( 1 9 3

se e somente se 9 ( . O elemento 9 do par ordenado chamado primeira coordenada dopar e

chamado a segunda coordenada do par. De forma anloga representao geo-

mtrica dos reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados. Para isto con-sideramos duas retas, que por convenincia impomos que se intersectem perpendicularmen-te. A reta horizontal chamada eixo das abscissas ou eixo dos 9 e a reta vertical chamadaeixo das ordenadas ou eixo dos

. A interseo das retas chamada origem, qual asso-

ciamos o par 1! ! 3

e atribuimos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamadoplano coordenado. As quatros regies determinadas no plano por estas retas so chamadasquadrantes. A representao de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciproca-mente), feita de forma anloga a do eixo coordenado. Por exemplo, os seguintes pontos

( 1

3 ( 1

3 ( 1

3 ( 1

3 , tem a seguinte representao no plano

coordenado:

D

A2

1

-1

-2

-2 10x

y

B

C

Figura 1.4:

Usando o teorema de Pitgoras podemos definir a distncia entre dois pontos do plano coor-denado.

B

x

y

x

y

1 2

1

2

A

d

y

x

Figura 1.5:


6/22


Sejam

( 1 9 3 e

( 1 9

3 pontos do plano. A distncia

entre

e

:

1

3(

1 9

9

3

1

3

A distncia possui as seguintes propriedades imediatas.

Proposio 1.1. Sejam

, e pontos do plano, ento:

1.

1

3 !

e

1

3 ( !

se e somente se

(

.

2.

1

3(

1

3.

3.

1

3

1

3

1

3 .

Exemplo 1.4.

[1] Calcule a distncia entre os pontos

( 1

3e

( 1

3. Aplicando a frmula:

1

3 (

1

3

1

1

3 3

(

H

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

Figura 1.6:

[2] Determine o ponto

, que divide na razo o segmento de reta que liga os pontos1

3

e 1

3 .

Sejam8 ( 1

3 , ( 1

3 ospontosdadose ( 1 9 3

o ponto procurado e ( 1 9

3 ,

( 1

3 pontos auxiliares como no desenho:


7/22

1.5. EQUAO DA RETA 15

P

Q

S T

R

Figura 1.7:

Os tringulos

e

so semelhantes; logo:

1

3

1

3

(

1

3

1

3

e

1

3

1

3

(

1

3

1

3

H

Por outro lado,

1

3 (

1

3

e

1

3(

1

3

H

Aplicando a frmula da distncia, temos que:

1

3 ( 9

,

1 3 (

e

1

3 (

.Obtemos o sistema:

'

9

(

(

que tem como soluo:9

( (

; logo ( 1

3.

1.5 Equao da Reta

1.5.1 Equao Geral da Reta

Sejam ( 1 9

3 e

( 1 9

3 dois pontos distintos no plano:

x1 2

2

1

P

P

1

2y

y

x x

y

Figura 1.8:

A equao da reta que passa pelos pontos

e

:

9

( !


8/22


onde (

, ( 9

9

e ( 9

9

. Veja [TA], [LB].

Se ( !

a reta horizontal; se ( !

a reta vertical. O ponto

( 1 9

3 pertence reta

9

( !se

9

( !.

Exemplo 1.5.

[1] Ache a equao da reta que passa pelos pontos ( 1

3 e

( 1

3 .

Neste caso: (

(

, (

(

e (

; logo, a equao :

9

( !.

1 1 2 3x

4

2

2

4

y

Figura 1.9: A reta

9

(!.

[2] Determine

tal que o ponto ( 1

3pertena reta

9

(!

.

O ponto ( 1

3 pertence reta

9

( !se, e somente se

( !; logo,

(

.

1 1 2 3 4 5x

1

1

2

3

4

y

Figura 1.10: A reta

9

( !e o ponto

( 1

B 3

.

1.5.2 Equao Reduzida da Reta

Se uma reta no paralela ao eixo dos

, ento ( !

. Fazendo:

(

9

9

e

(

9

9

9

9


9/22

1.5. EQUAO DA RETA 17

obtemos a equao reduzida da reta:

(

9

chamado coeficiente angular da reta e

coeficiente linear da reta. fcil ver que a equaoda reta que passa pelo ponto

( 1 9

3 e tem coeficiente angular :

(

1 9 9

3

Exemplo 1.6.

[1] Obtenha a equao reduzida da reta que passa pelos pontos

( 1

3 e

( 1

3.

Neste caso: (

e fazemos

(

ou

(

; ento, se9

(

e

(

, temos,

9

( !

ou ( 9

.

1 1 2 3x

2

1

1

2

y

Figura 1.11: A reta ( 9

.

[2] Escreva na forma reduzida a equao:

9

( !

.

A forma reduzida do tipo (

9

; ento, (

9

1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas

Sejam

(

9

e

(

9

as equaes de duas retas. As retas so paralelas se, esomente se:

(

H

As retas so perpendiculares se, e somente se:

(

H

Logo, as retas de equaes 9

(

!e

9

( !so perpendiculares, se, e

somente se:

( ! H


10/22


11/22

1.6. EQUAES DAS CNICAS 19

1.6 Equaes das Cnicas

A equao do segundo grau em duas variveis:

9

9

(!

sendo

e

no simultanemente nulas representa, em geral, uma curva no plano chamadacnica, cuja natureza depende dos coeficientes

,

,

, e . Podemos considerar dois casos:

( !

e

( !

e

( !.

Caso 1 : Se

( !

e

( !

, completando quadrados dos binmios nas variveis 9 e

, a equaoacima pode ser escrita como:

1 9

3

1

3

(

onde

(

,

(

e (

. Se ( ! , o lugar geomtrico um ponto.

Se

e

ou

tem sinais opostos, no existe lugar geomtrico. Se

( !

, a equao pode serescrita como:

1

3

1 9

3

1

3

(

H

Se

!

(

e

tem o mesmo sinal) e

tem o mesmo sinal de

ou

, a equao1

3pode

ser escrita como:

1

3

1 9

3

1

3

(

onde

(

e

(

. A equao 1

3 representa uma elipse centrada em1

3 e eixosparalelos aos eixos coordenados; no caso particular

(

, a equao representa um crculo deraio , centrado em

1

3 :

1 9

3

1

3

(

Se

!(

e

tem sinais opostos). Se !

e

!

(ou !

e

!), a equao 1 3 pode

ser escrita como:

1

3

1 9

3

1

3

(

onde

(

e

(

.

Se !

e

!

(ou !

e

!), a equao 1 3 pode ser escrita como:

1

3

1

3

1 9

3

(

onde

(

e

(

. As equaes 1

3 e 1

3 representam uma hiprbole de eixos paralelosaos eixos coordenados.

Se ( !

, a equao pode ser escrita como:

1 9

3

1

3 ( !

, que representa duasretas que se intersectam.

Caso 2: Se

( !ou

(

!. Supondo

( !e

(

!, a equao :

9

( !


12/22


que representa uma parbola de eixo paralelo ao eixo dos 9 .

Se

( !

e ( !

a equao :

9

9

( !

que a equao de uma parbola de eixo paralelo ao eixo dos . Se

( ( !

, a equaorepresenta uma reta.

Exemplo 1.8.

Diga o que representam as seguintes equaes:

[1]

9

9

( !.

[2]9

9(

.[3]

9

(

.

[4] 9

9

( !.

[5] 9

9

( !.

[6] 9

(! .

[7] 9

( !.

Solues:

[1]

(

,

(

,

!;

(

, (

e ( ; logo,

( ,

( , (

,

(

e

(

. A equao representa uma elipse centrada no ponto 1

3de equao:

1 9 3

1 3

(

H

[2]

(

(

,

! ; (

,

( ! e

(

; logo, ( ,

(

,

( ! e ( ( . Aequao representa um crculo centrado em 1

! 3, de raio

e tem a forma:1 9

3

(

.

1 2 3 4 5 6x

2

4

6

8

10

y

1 1 2 3x

2

1

1

2

y

Figura 1.14: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente.

[3] Como

( ,

( ,

(

( !e

(

, temos:

!, (

( !, (

,

(%

% (

e

(. A equao representa uma hiprbole e pode ser escrita como:

9

(

H


13/22

1.6. EQUAES DAS CNICAS 21

[4] Como

( , (

, (

, ( e (

, temos:,

!,

(

,

(

, (

,

(

e

( . A equao representa uma hiprbole:

1 9

3

1

3

(

H

4 2 2 4x

3

2

1

1

2

3

y

2 2 4x

4

2

2

4

y


[5] Como

(

!e

( !, a equao representa duas retas concorrentes; de fato:

9

9

( 1 9

3

1

3 ( !

. Logo,1 9

3 ( 1

3; ento,

( 9

ou ( 9

.

[6] Como

( ! , ( , a equao representa uma parbola de eixo paralelo ao eixo dos 9 .

4 2 2 4x

4

3

2

1

1

2

3

y

1 1 2 3 4 5x

2

1

1

2

y


[7] Como ( !

, a equao representa uma parbola de eixo paralelo ao eixo dos

.


14/22


3 2 1 1 2 3x

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

y

Figura 1.17: Desenho do exemplo [7].

1.7 Trigonometria

Inicialmente faremos uma reviso do conceito de radiano. Sabemos que arcos de crculos quesubtendem o mesmo ngulo central so semelhantes e que a razo da semelhana a razoentre os raios. Num crculo de centro

e raio

, seja

o comprimento do arco

subtendido

pelo ngulo central .

A

B

l

r

O

Figura 1.18:

diretamente proporcional a

e medida do ngulo

. Admitindo que o arco e o raio sejammedidos com a mesma unidade e denotando por

1

3 a medida do ngulo

, temos

(

1

3 , onde a constante

depende da unidade de medida de ngulos escolhida. Radiano a unidade de medida de ngulos para a qual

(

, ou seja, tal que (

1

3 . Emresumo, a medida do ngulo

em radianos dada pela razo:

B

, onde

o comprimentodo arco subtendido no crculo cujo centro o vrtice do ngulo e

o raio do crculo. Como ocomprimento de um semi-crculo ou arco de !

, ento !

( radianos; logo,

(

!

"

(

H

Note que a medida de um ngulo em radianos no depende da unidade de comprimento consi-derada. No plano coordenado consideremos um crculo orientado no sentido anti-horrio,centrado na origem e de raio igual a . Este crculo denominado crculo trigonomtrico. Oponto

, interseo do crculo com o semi-eixo positivo das abscissas chamado origem. Ospontos

,

,

,

, interseesdo crculo com os eixos coordenados o dividem em quatro partescongruentes.


15/22

1.7. TRIGONOMETRIA 23

B

C A

D

III

II I

IV

Figura 1.19:

Como a equao do crculo 9

(

, seu comprimento

(

. Portanto, a medida dequalquer arco deste crculo igual a sua medida em radianos.Considere o ngulo

que determina sobre o crculo de raio , o arco de origem

( 1

! 3

e

extremidade

( 1 9 3

tais que% % ( 9

e% % (

, como no desenho:

M

O

P A

Figura 1.20:

O seno do ngulo denotado por 1 3 e definido por: 1 3 ( H

O co-seno do ngulo

denotado por 1

3

e definido por: 1

36 ( 9 H

A tangente do ngulo

denotada por

1

3 e definida por:

1 3 (

se 9 ( !

; equivalente-mente,

1

3(

1 3

1

3

se 1

3 ( ! H

A co-tangente do ngulo

denotada por

1

3

e definida por

1

3(

se

( !

; equiva-lentemente,

1

3(

1

3

1 3

se 1

3 ( ! H

Identidade Fundamental : Do tringulo

e como 9

(

, tem-se:

1

3

1 3 (

H

As definies de seno, co-seno, tangente e co-tangente de um ngulo agudo so coerentes comnossa definio. Por simetria, podemos obter os valores para os arcos maiores que B

. Como


16/22


dois arcos so congruentes se suas medidas diferirem por um mltiplo de

, temos que doisarcos congruentes tem a mesma origem e a mesma extremidade, portanto o mesmo seno, co-seno, etc. comum representar todos os arcos congruentes ao arco por

, onde

um

nmero inteiro. A partir das relaes anteriores, definimos a secante e a co-secante do ngulo

por:

1

3(

9

(

1

3

e 1 3 (

(

1 3

onde 1 3 ( ! e 1 3 ( ! , respectivamente. A seguir apresentamos algumas propriedades:

Se

(

B

:

1

3

1

3(

H Se

( B

: 1 3

1

3(

H Se

(

:

1 3

1 3 (

H Observamos que para qualquer ngulo tem-se:%

1 3

%

e%

1

3%

H

Adio dos arcos :

1 3 (

1 3

1

3

1 3

1 3 H

1 3 (

1

3

1

3

1 3

1 3 H

1 3 (

1

3

1

3

1

3

1

3

H

A verificao destas propriedades pode ser considerada como exerccio. Usando as definies possvel deduzir muitas outras propriedades ou identidades trigonomtricas. Por exemplo:

1. 1

3

(

1 3

1

3

2. 1

3

(

1 3

1 3

3. 1

3(

1

3

4.

1

3(

1

3

H

A seguir os valores mais utilizados de seno e co-seno:

! B

B

B

B

B

1 3 !

B

B

B

B

!

1

3

B

B

B

!

B

B

B

B

B

B

B

1 3

B

B

B

B

B

!

1 3

B

B

!

B

B

B

1.7.1 Aplicaes

Lei dos Senos Para qualquer tringulo

verifica-se:

1 3

(

1 3

(

1 3

onde ( % %

, ( %

%, (

%

%so os lados opostos aos ngulos

(

,

(

e

(

, respectivamente. Considere o seguinte desenho:


17/22

1.8. EXERCCIOS 25

C

B

D

b

a

A

c

Figura 1.21:

Seja

o ponto obtido pela interseo da reta que passa por

e perpendicular ao lado

.

Logo:

1 3 (

% %

%

%

1 3 (

% %

% %

o que implica: %

%

1 3 ( % % ( % %

1 3 . Portanto:

(

. Analogamente,obtemos:

1 3

(

1 3

(

1 3

H

rea de um tringulo : Como aplicao direta da lei dos senos, obtemos a rea do tringulo

:

(

1 3 (

1 3 (

1 3 H

1.8 Exerccios

1. Ache a soluo das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjuntosoluo:

(a) 9

9

!

(b)9

9

(c) 9

9

(d)1 9 3

1 9

! 3 !

(e)%

9

%

(f)%

9 %

%

9

%

(g) 9

! 9 !

(h)%

9

%

%

9

%

(i)

9

9

(j) % 9

% %9

% !

(k)

9

9

9

(l)%

9

%

%9

% %

! 9

%

(m) 9

9

1 9 3

(n)%

9

9

%

(o)%

9

9

%

%9

%


18/22


(p)%

9

%

%9

%

%9

%

(q)%

9

%

%9

%

%

! 9

%

(r)%

9

%

%9

%

2. Determine os valores de9

tais que:

(a) 9

( 9

(b)

1 9

3

( 9

(c)

9

9

(

9

(d) 9

( 9

(e)%

9

% ( %9

%

(f)%

9

%

(%

9

%

(g)%

9% ( %

9

%

(h)%

9

% (

%

9

%

3. Verifique se verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de serem falso:

(a) Para todo 9 ,

e

:%

9

% ( %9

%

% %

% %e

(b) para todo 9 e

:%

9 %

%

9%

% %

.

4. Marque os seguintes pontos no plano coordenado e calcule a distncia entre eles:

(a) 1 3 1 3

(b) 1! 3 1

3

(c)1

3 1

3

(d) 1

3 1

3

(e) 1

3

1!

3

(f)1

3

1

3

(g)1

3

1

3

(h)1

! 3 1

!

3

(i)1 3 1

3

(j) 1

D

3

1

3

5. Utilize a frmula da distncia para verificar que os pontos1

3 , 1

3 , 1 !

3 so coli-neares.

6. Utilize a frmula da distncia para verificar que os comprimentos das diagonais de umretngulo so iguais.

7. Verificar que os seguintes pontos: 1

3 ,1

3 e 1

3 so os vrtices de umtringulo equiltero.

8. Determine os pontos equidistantes dos pontos 1!

3 e 1

3 .

9. Verifique que a distncia do ponto 1 9 3 reta 9 ( !

% 9

%

H

10. Determine a distncia entre as retas 9

( !e

9

( !.

11. Ache a equao da reta que passa pelos pontos:


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1.8. EXERCCIOS 27

(a) ( 1

3

( 1

3

(b) ( 1

3

( 1

3

(c) ( 1

3

( 1 ! 3

(d) ( 1

3

( 1

3

(e) ( 1

3

( 1

3

(f) f) ( 1

3

( 1

3

12. Obtenha a equao da reta paralela reta

9

( !e que passa pelo ponto

(

1

3 .

13. Ache a equao da reta perpendicular reta

9

( !e que passa pelo ponto

( 1

3 .

14. Verifique que as retas

9

(

e

9

( !so perpendiculares.

15. Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equaes:

(a)

9

( !

(b) 9

(

(c) 9

9

( !

(d)

9

9

( !

(e) 9

9

( !

(f) 9

9

( !

(g) 9

(

(h)9

9

( ! H

(i) 9

9

!

(!

(j) 9

9

( ! H

(k) 9

9

( !

(l) 9

9

! ( ! H

(m) 9

9

!

I ! ( !

(n)

9

9

(

H

16. Seja

um ponto numa parbola ou numa elipse. Uma reta que passe por

dita tangen-te parbola ou elipse no ponto

se a parbola ou a elipse esto contidas inteiramente

num dos semi-planos determinado pela reta. Verifique que a a reta

( 9

tangente parabola

( 9

9

no ponto 1!

3 .

17. Dada a reta ( 9

e o crculo 9

( , determine

tal que:

(a) sejam secantes;

(b) sejam tangentes.

18. Para que valores de

a reta

(

9 tangente ao crculo 9

!

( !?

19. Obter o valor simplificado de:

(a)

"

(b)

"

(c) 1

3

(d) 1

! 3

(e) 1

! 3

(f)

"

"


20/22


20. Verifique as seguintes identidades trigonomtricas:

(a) 1 9 3

1 9 3 (

1

93

(b)

(

1 9 3

(c) 6 1 9 3

1 9 3

1 9 3 (

(d) 6 1 9 3

1 9 3 1

1 9 3

1 9 3 3 (

(e) 1

3

1 3 (

"

21. Prove as seguintes propriedades:

(a) 1

3

1 3 (

"

"

(b) 1 3

1 3 (

"

"

(c) 1

3

1 3 (

"

"

(d)

1 3

1 3 (

"

"

22. Num tringulo de ngulos

e

e lados

e tal que

(

, verifique:

(a) (

"

"

!

"

(

"

"

!

"

e (

!

"

"

"

H

(b) 1 3 (

1

3(

H

(c) A rea do tringulo

1

3 1

3 1

3 . Esta expresso chamada Frmulade Hern.

23. Lei dos Co-senos: Para qualquer tringulo

, verifique:

(a)

(

1

3

(b) (

1

3

(c) (

1

3

onde ( % %

, ( %

%, (

%

%so os lados opostos aos ngulos

(

,

(

e (

, respectivamente.

24. Determine a rea do tringulo

, se:(a) (

! (

(

(b) (

(

(

(c) (

(

(

(d) (

(

! (

%

25. Sejam a reta (

9

e

o ngulo formado pela reta e o eixo positivo dos9

. Verifiqueque (

1

3 . Determine a equao da reta que passa pelo ponto indicado e forme com

o eixo dos 9 o ngulo dado.


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1.8. EXERCCIOS 29

(a)

(

( 1

3

(b)

(

( 1

3

(c)

(

8 ( 1 9

3

(d) ( ! 8 ( 1 9

3

(e) (

%

( 1

! 3

(f) (

8 ( 1

3

(g) (

( 1

3

(h) (

( 1

3

26. Dada a equao

1 3 9

1 3 9

1 3

(! , sendo ! :

(a) Para que valores de

a equao tem solues reais?

(b) Para que valores de

a equao admite razes reais negativas?

27. Resolva as inequaes:

(a)

1 9 3

1 9 3

(b)%

1 9 3 %

(c)

1 9 3

(d) D 1 9 3

se 9E P !

Q

28. Um poste na posio vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a

de umaparede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede. Saben-do que esta sombra tem

e que a altura do poste

!

, determine a inclinao dosraios solares em relao ao plano horizontal.

29. Um retngulo com lados adjacentes medindo 1 3

e 1 3

com!

tem perme-tro igual a

Calcule a rea do retngulo.

30. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos

,

e

. Ocomandante, quando o navio est em

, observa um farol e calcula o ngulo

(

!

. Aps navegar

milhas at

, verifica o ngulo

(

!

. Quantas milhas separao farol do ponto

?


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apostila matemática cálculo cefet capítulo 01 introdução

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