apostila matemática cálculo cefet capítulo 08 integrais impróprias

8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 08 Integrais Imprprias

1/14

Captulo 8

INTEGRAIS IMPRPRIAS

8.1 Introduo

Na definio de integral definida, consideramos a funo integranda contnua num intervalofechado e limitado. Agora, estenderemos esta definio para os seguintes casos:

Funes definidas em intervalos do tipo

,

ou

, ou seja para todo

ou "

ou para todo # % , respectivamente.

A funo integranda descontnua em um ponto'

tal que'

#

.

As integrais destas funes so chamadas integrais imprprias. As integrais imprprias sode grande utilidade em diversos ramos da Matemtica como por exemplo, na soluo de equa-es diferenciais ordinrias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, emEstatstica.

8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados

Antes de enunciar as definies estudemos o seguinte problema: Calcular a rea da regio)

determinada pelo grfico de0 1

3

4

, 3

e o eixo dos .

Primeiramente note que a regio)

ilimitada e no claro o significado de "rea"de uma talregio.

11

Figura 8.1: Grfico de0 1 7

8 9

, 3

.

333


2/14

334 CAPTULO 8. INTEGRAIS IMPRPRIAS

Seja)

a regio determinada pelo grfico de0 1

3

4

e3

" "

, acima do eixo dos .

11

Figura 8.2: Grfico de0 1 7

8

9

,3

" "

.

A rea de)

:

)

1

7

4

1

3

7

1

3

3

intuitivo que para valores de

muito grandes a regio limitada)

uma boa aproximaoda regio ilimitada

). Isto nos induz a escrever:

)

1

)

quando o limite existe. Neste caso:

)

1

)

1

7

4

1

3

3

1

3 !

comum denotar

)

por:

7

4

Esta integral um exemplo de integral imprpria com limite de integrao infinito. Motivadospelo raciocnio anterior temos as seguintes definies:

Definio 8.1.

1. Se#

uma funo integrvel em

, ento:

$

#

1

$

#

2. Se # uma funo integrvel em

, ento:

#

1

$

$

#


3/14

8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 335

3. Se # uma funo integrvel em %1

, ento:

#

1

$

$

#

#

Se nas definies anteriores os limites existirem, as integrais imprprias so ditas convergentes;caso contrrio so ditas divergentes.

Exemplo 8.1.

Calcule as seguintes integrais imprprias:

[1]

3

4

.

3

4

1

3

4

1

'

1

'

1

[2]

8

.

8

1

8

1

8

1

3

1

3

[3]

8

.

8

1

$

$

8

8

1

$

8

$

3

1

[4]

4

3

4

. Seja!

1

4

3

; logo

!

1

:

4

3

4

1

3

!

!

4

1

3

!

1

3

4

3

Ento,

4

3

4

1

$

$

4

3

4

4

3

4

1

[5] Calcule a rea da regio, no primeiro quadrante, determinada pelo grfico de0 1

8

, oeixo dos e direita do eixo dos 0 .

)

1

8

1

8

1

8

1

3

!

[6] Seja

# % . Calcule

7

!

.

7

!

1

3

3

7

!

3

$1

3


4/14


a) Se

3

temos:

7

!

1 ; logo,

7

!

1

3

3

b) Se

3

temos:

7

!

1

; logo,

7

!

1

c) Se 1

3

, temos:

7

1

7

1

1

Em geral:

7

!

1

se

"

3

7

!

7

se

3

Portanto, a integral converge para

3

e diverge para

"

3

.

41

1

41

1

41

1

41

1

Figura 8.3: Grficos de 0 17

8

e 0 17

8 9

, para , so,respectivamente.

[7] Calcule a rea da regio limitada por #

1

3

4

3e o eixo dos .

11

Figura 8.4: Grfico de #

17

89

7

.


5/14


6/14


1

1

1

1

Figura 8.5: Grfico de 8

9

em azul e de 8

em vermelho, respectivamente.

Claramente3

8

9

"

3

8

, para todo 3

; ento, como

7

8

1

7

1

3

temos que a integral dada converge.

8.2.1 Aplicao

Uma funo positiva integrvel em % chamada densidade de probabilidade se:

#

1

3

Assim denotamos e definimos a probabilidade de um nmero

estar comprendido entre

e

(

); por:

1

$

#

Analogamente definimos as outras possibilidades. Tambm podemos definir o valor esperadodo nmero , como

1

#

Exemplo 8.3.

Seja

, a funo

#

1

8

se

se

de densidade de probabilidade. De fato:

#

1

8

1

8

1

3

1

3


7/14

8.3. INTEGRAIS DE FUNES DESCONTNUAS 339

Por outro lado,

3

1

7

8

1

3

e

1

8

1

3

8.3 Integrais de Funes Descontnuas

Problema: Calcular a rea da regio ) determinada pelo grfico de 0 13

, " e o eixo dos . Notamos que a regio

) ilimitada pois a funo # nem definida no ponto

1 . Seja

)

a regio determinada pelo grfico de 0 13

e " "

, pequeno.

99

Figura 8.6: A regio ) .

A rea de)

:

)

1

1

1

!

intuitivo que para valores de muito pequenos a regio limitada ) uma boa aproximaoda regio ilimitada

). Isto nos induz a escrever:

)

1

)

1

1

1

!

um exemplo de integral imprpria com integrando ilimitado. Motivados pelo racio-

cnio anterior, temos as seguintes definies:

Definio 8.2.


8/14



, ento:

$

#

1

$

#

2. Se#

uma funo integrvel em

, ento:

$

#

1

$

#

a

y=f(x)

b

+ -

Figura 8.7:


exceto em'

tal que

'

, ento:

$

#

1

$

#

#

1

$

#

#

Se nas definies anteriores os limites existirem, as integrais imprprias so ditas convergentes;caso contrrio, so ditas divergentes.

Exemplo 8.4.

Calcule as seguintes integrais imprprias:

[1]

9

'

.

Fazendo!

1

temos:

'

1

!

!1

. Logo,

9

'

1

9

1

1

[2]

4

4

.

4

4

1

4

4

1

4

'

1

4

'

1


9/14

8.3. INTEGRAIS DE FUNES DESCONTNUAS 341

[3]

7

.

Observe que a funo integranda no definida em

#

3

.

7

1

4

4

7

1

4

9

4

9

7

1

4

9

9

4

9

1

[4] Calcule o comprimento da astride

4

0

4

1

4 ,

.

Figura 8.8: A astride.

A curva no diferencivel nos pontos de interseo com os eixos coordenados; pela simetria,calcularemos o comprimento da curva no primeiro quadrante e multiplicaremos o resultadopor 4. Derivando implicitamente a equao da astride

4

0

4

1

4 em relao a :

0 1

0

ento

3

0

4

1

Na ltima igualdade usamos o fato de que

4

0

4

1

4 ; logo,

1

$

1

$

1

9

9

1

!

'

[5] Calcule a rea limitada por #

1

3

, e pelas retas 1

e 1

.

.


10/14


21 3 4 5

1

21 3 4 5

1


17

8

4

.

1

4

1

4

1

4

1

!

Numa integral imprpria com limite superior infinito e cuja funo integranda no definidano limite inferior, procedemos assim: Se

# integrvel em

ento

$

#

1

$

#

#

onde

'; analogamente nos outros casos.

Exemplo 8.5.

[1]

4

4

.

4

4

1

4

4

4

1

3

4

'

'

3

'

'

1

3

4

' '

' '

1

[2] Calcule a rea da regio limitada pelo grfico de0 1

3

3

e o eixo dos .


11/14

8.4. EXERCCIOS 343

1 3 6 9

1

1 3 6 9

1


17

8 8

7

.

Como

3

1

'

, ento:

3

1

7

3

7

3

1

'

7

'

7

1

'

'

1

!

8.4 Exerccios

1. Calcule as seguintes integrais imprprias, caso sejam convergentes:

(a)

7

(b)

4

(c)

3

(d)

8

9

(e)

8

9

(f)

4

(g)

'

3

(h)

8

9

(i)

'

(j)

7

(k)

4

3

(l)

(m)

7

4

(n)

4

3


12/14


(o)

4

(p)

7

(q)

8

(r)

7

4

3

4

(s)

3

(t)

9

(u)

(v)

4

3

(w)

7

4

(x)

4

4

2. Calcule a rea das regies determinadas por:

0 1

8

8

7

0 1

4

0 1

4

8

e 3

'

0 17

8

7

e o eixo dos .

3. Calcule as seguintes integrais imprprias, caso sejam convergentes:

(a)

(b)

7

'

9

(c)

3

4

(d)

8

(e)

7

9

4

(f)

7

7

(g)

3

'

(h)

4

4

(i)

4

(j)

4

7

4

4

(k)

7

3

4

(l)

3

4

(m)

9

'

(n)

7

4

(o)

7

4

4

(p)

7

4

4

3

(q)

4

7

4

(r)

4

7

(s)

4

(t)

9

3

4

3

(u)

7

3


13/14

8.4. EXERCCIOS 345

(v)

9

4. Determine o valor de tal que as seguintes integrais imprprias sejam convergentes:

(a)

(b)

(c)

(d)

4

(e)

(f)

'

(g)

9

3

'

(h)

5. Seja

1

8

7

,

; esta funo chamada funo gama. Verifique:

(a)

3

1

,

.

(b) Se

# ,

3

1

6. Seja #

1

4 se

"

se

. Determine

de modo que # seja funo de densidade

de probabilidade.

7. Determine para que #

1

seja funo de densidade de probabilidade.

8. Verifique que

8

9

4

7

1

;

# .

9. Se # funo de densidade de probabilidade, defina a probabilidade de um nmero sermaior que

, ser menor que

.

10. Numa fbrica de circuitos impressos, a vida til desses circuitos tem uma distribuio

descrita pela densidade de probabilidade#

1

4

8

se

, onde

medidoem horas.

(a) Qual a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de

horas?

(b) Qual a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando aps

horas?


14/14


apostila matemática cálculo cefet capítulo 08 integrais impróprias

Documents