polares e integrais

Download Polares  e integrais

Post on 09-Aug-2015

58 views

Category:

Automotive

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  1. 1. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-1 1 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais 1. Represente no plano os pontos ),( onde: ),( 01A , ),( 01B , 4 2,C , 4 ,1D , 3 2,E , 6 5 ,3F e 3 8 ,3G . Resoluo: 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 C E B D A F G Resposta: 2. Represente no plano os pontos ),( onde: ) 2 ,1( A , )3,3( B , 4 7 ,2C , 4 3 , 2 3 D , 6 ,2E , 6 31 ,3F e 4 5 ,2G . Resoluo: 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 C E B DA FG Resposta:
  2. 2. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-2 3. Construir o grfico da funo: , para 0 2. 0 4 2 3 2 4 5 2 3 4 7 2 0 4 2 3 2 4 5 2 3 4 7 2 ~ 0 0,8 1,6 2,1 3,1 3,9 4,7 5,5 6,3 Resoluo: 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resposta:
  3. 3. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-3 4. Construir o grfico da funo: 2 2 cos (cardiide). Resoluo: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 4 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 3 0 ~ 4 3,7 3,4 3 2 1 0,6 0,3 0 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resposta:
  4. 4. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-4 5. Construir o grfico da funo: 2 4 cos (caracol). Resoluo: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 22 3 22 2 4 2 0 22 2 22 3 2 ~ 6 5,4 4,8 4 2 0 0,8 1,4 2 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resposta:
  5. 5. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-5 6. Construir os grficos das rosceas nos itens a) e b). Rosceas de quatro ptalas (folhas): a) 3 2sin Resoluo: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 ~ 0 2,6 3 2,6 0 2,6 3 2,6 0 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resposta: b) 3 2cos Resoluo: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 ~ 3 1,5 0 1,5 3 1,5 0 1,5 3 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resposta:
  6. 6. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-6 7. Se considerarmos o quadrado do primeiro termo na roscea seguinte, temos: 2 4 2cos (Lemniscata de Bernoulli). Dicas para fazer o grfico: 2 2cos 0 2cos 1 Tome D como o domnio de tal que: D {R; 2 2n 2 2 2n, com nZ} D {R; 4 n 4 n, com nZ} Resoluo: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 ~ 2 1,4 0 0 1,4 2 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resposta:
  7. 7. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-7 8. Calcule a rea da regio delimitada pela lemniscata de Bernoulli, de equao 2 4 2cos . Resoluo: 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 A1 Para Xcos , X 1o e 4o quadrantes, onde Xcos 0. Como a curva simtrica, calcula-se a rea da regio no 1o quadrante e multiplica-se por quatro. Obs: XR; 2 2n X 2 2n, com nZ. 2 4 2cos 2cos4 , onde D {R; 4 n 4 n, com nZ} 0 X 2 0 2 2 0 4 . Para: 0 2; 4 0. Portanto: A 4 1A 1A 4/ 0 2 2 1 )( df 4/ 0 2 2 1 d 4/ 0 2cos4 2 1 d 4/ 0 2cos2 d u 2 du 2 d d du 2 1 . 0 u 0; 4 u 2 . 1A 2/ 0 2 1 cos2 duu 2/ 0 cosudu 2/ 0 sin u 2 sin 0sin 1 0 1. A 4 1A 41 4 u.a. Resposta: A = 4 u.a.
  8. 8. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-8 9. Calcular a rea da regio interna roscea 2sina . Resoluo: 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 A1 a a a a 0 2 0 2 . A 4 1A 1A 2/ 0 2 2 1 d 2/ 0 22 2sin 2 1 da Observao: 2 sin 2 cos 1 2cos 2 cos 2 sin I- 2cos 1 2 sin 2 sin II- 2cos 2 cos (1 2 cos ) 2 2 sin 1 2cos 2 2 cos 1 2cos 2 sin 2 1 2 1 2cos 2 cos 2 1 2 1 2cos Usando I: 1A 2/ 0 2 4cos 2 1 2 1 2 1 da 2/ 0 2 4cos1 4 d a 32 2/ 0 2/ 0 2 4cos 4 AA dd a 2A 2/ 0 2 0 2 u 4 du 4 d d 4 1 du 0 u 0; 2 u 2. 3A 2 0 4 cos du u 2 0 sin 4 1 u 3A 4 1 00 sin2sin 0. 1A 32 2 4 AA a 0 24 2 a 8 2 a Ento: Resposta: A 4 1A 2 2 a u.a.
  9. 9. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-9 10. Calcular a rea da interseo das regies limitadas pelas curvas 3 cos e 1+ cos . Resoluo: Tipo de curva 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 Circunferncia 3 cos ~ 3 2,6 2,1 1,5 0 1,5 2,1 2,6 3 Cardiide 1+ cos ~ 2 1,9 1,7 1,5 1 0,5 0,3 0,1 0 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 1A2A 3 cos 1+ cos cos 2 1 3 . 0 2 ; 0 3 1+ cos ; 3 2 3 cos . A 2( 1A 2A ) 1A 3/ 0 2 )cos1( 2 1 d e 2A 2/ 3/ 2 )cos3( 2 1 d . 1A 3/ 0 2 )cos1( 2 1 d 3/ 0 1( 2 1 2 cos 2 cos ) d 1A 1 3/ 0 2 3/ 0 cossin2 32 1 I d 1A 2 1 13 3 I . 1I 3/ 0 2 cos d 3/ 0 2 1 2 1 2cos d 3/ 02 2sin 32 1 1I 6 4 1 0sin 3 2 sin 6 4 1 2 3 1I 6 8 3 1A 2 1 13 3 I 2 1 8 3 6 3 3 1A 4 16 39
  10. 10. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-10 2A 2/ 3/ 2 )cos3( 2 1 d 2/ 3/ 2 cos9 2 1 d 2/ 3/ 2 cos 2 9 d 2/ 3/ 2 1 2 1 2cos 2 9 d 2A 4 9 2/ 3/ d 2/ 3/ 2cos d 4 9 2/ 3/2 2sin 32 2A 24 9 4 9 2 1 3 2 sinsin 8 3 8 9 2 3 0 2A 8 3 16 39 . A 2( 1A 2A ) 2 16 39 8 3 16 39 4 2 4 3 A 4 5 ..au 2 3 2 3 A1 2 3 2 3 A2 1+ cos 1A 3/ 0 2 )cos1( 2 1 d 3 cos 2A 2/ 3/ 2 )cos3( 2 1 d Resposta: A 4 5 u.a.
  11. 11. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-11 11. Calcule a rea da regio limitada pela curva dada em coordenadas polares por tg , com 0 2 , pela reta x 1 (coordenadas cartesianas) e pelo eixo polar. Dica para a resoluo: Considere 1A () como sendo a rea da regio composta pelo tringulo OMP, dado na figura abaixo. tg O 2 3 4 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 21 x x1Reta: 6 x tg 3 O 1M3 P3 cos sen 4 x tg O 1M2 P2 sen cos 6 x tg O 1M1 P1 cos sen Resoluo: A rea que procuramos (rea do tringulo OMP) (rea entre a curva e a reta ), quando M tende para 1 (M 1), ou tende para 2 ( 2 ). 1A (rea do tringulo OMP) 2A (rea entre a curva e a reta ) A 1A 2A 1A 2 1 (base)(altura) 2A 0 2 2 1 tg d 1A 2 1 ( cos )( sin ) integral imprpria: 2 1A 2 1 ( tg cos )( tg sin ) 2A 0 2 2 1 )1(sec d 1A 2 1 ( sin )( tg sin ) 2A 02 1 tg 1A 2 1 2 sin tg 2A 2 1 tg 2 1 Ento: A 1A 2A 2 1 2 sin tg ( 2 1 tg 2 1 ) A 2 1 tg (1 2 sin ) 2 1 2 1 tg 2 cos 2 1 2 1 cos sin 2 cos 2 1 A 2 1 sin cos 2 1 rea 2 1 cossin 2 1 lim 2 4 Resposta: 4 u.a.
  12. 12. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-12 12. Calcular o volume do slido formado pela rotao em torno do eixo polar, da cardiide de equao 2(1 cos ). Resoluo: Considerando a parte superior da cardiide, intervalo [0,]. V 0 22 sin ( cos sin ) d V 0 2 )cos1(4 2 sin [2 sin cos 2(1 cos ) sin ] d V 8 0 2 )cos1( 2 sin ( sin cos sin cos sin ) d V 8 0 2 )cos1( (1 2 cos )(2 cos 1)( sin d ) V 8 0 1( 4 cos 4 2 cos 2 3 cos 5 4 cos 2 5 cos )( sin d ) U n V dU dVnV n 1 u n cos du 1 cosn n ( sin d ) 0 1 cosn ( sin d ) 0 cos n n . V 8 2 cos4 cos 2 3 cos4 3 4 cos2 4 5 cos5 5 0 6 6 cos2 V 8 3 4 21 2 1 1 3 1 12 3 4 2 1 1 3 1 8 3 8 3 64 Tomando o valor absoluto: Resposta: V 3 64 u.v.
  13. 13. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-13 13. Refazer o exemplo anterior, 2(1 cos ). Resoluo: V 0 3 )cos1(8 3 2 dsin V 0 1( 3 16 3 cos 3 2 cos 3 cos ) dsin V 3 16 2 cos3 cos 2 3 cos 0 4 4 cos V 3 16 2 3 1 1 4 1 1 2 3 1 4 1 V 3 64 ..vu Resposta: V 3 64 u.v. 14. Achar o comprimento total da cardiide de equao 1 cos. 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resoluo: L 2 0 ds ds d22 )'( d22 sincos1 d22 sincoscos21 ds d1cos21 ds 2 dcos1 2 sin 2 1 2 1 2cos 2 2 sin 1 2cos 2 2 2 2 2 sin 1 cos . ds 2 d2 2 sin2 ds 2 2 sin d L 2 0 ds 2 0 2 sin2 d 4 0 2 sin d 42 02 cos 8[0 1] 8 Resposta: L 8 u.c.
  14. 14. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-14 15. Considerando a mesma equao 1 cos, calcular a rea da superfcie formada pela rotao em torno do eixo polar. Resoluo: S 2 0 yds 2 0 sin 2 dcos1 S 2 2 0 )cos1( 2 1 )cos1( ( sin d ) 2 2 0 2 3 )cos1( ( sin d ) u 1 cos du sin d duu2 3 2 5 2 5 u c 5 2 2 5 u c S 2 2 0 5 )cos1(2 2 5 5 24 2 5 2)( S 5 24 6 5 24 3 5 32 Resposta: S 5 32 u.a.
  15. 15. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-15 16. Encontre a rea da regio no plano limitada pela cardiide r 2(1 cos). 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resoluo: A 2 0 2 2 1 )]cos1(2[ d A 0 2 )]cos1(2[ d A 0 2 )coscos21(4 d A 4 0 2 )coscos21( d A 4 1 0 2 0 cossin2 I d A 4 10 I . 1I 0 2 cos d 1I 0 2 1 2 1 2cos d 1I 02 2sin 2 1 1I 2 4 1 0sin2sin 1I 2 4 1 (0 0) 2 Logo, A 4 1I A 4 2 A 4 2 3 A 6 Resposta: 6A u.a.
  16. 16. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-16 17. Encontre a rea dentro do lao menor do caracol r 2cos 1. 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resoluo: 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 r 3 2,73 2,41 2 1 0 0,41 0,73 1 A 2 3/2 2 2 1 )1cos2( d A 3/2 2 )1cos4cos4( d A 4 1 3/2 2 cos I d 4 3/2 sin 3 2 A 4 10 I . A 4I1 4 2 3 0 3 A 4 1I 2 3 3 1I 3/2 2 cos d 3/2 2 1 2 1 2cos d 3/22 2sin 32 1 1I 6 4 1 3 4 sin2sin 6 4 1 2 3 0 6 8 3 Logo, A 4 8 3 6 2 3 3 A 3 2 2 3 2 3 3 A 3 2 2 343 A 2 33 Resposta: 2 33 A u.a.
  17. 17. Clculo II (Lauro / Nunes) 1-17 18. Encontre a rea da regio que est dentro do crculo r 1 e fora da cardiide r 1 cos. 2 3 4 6 3 2 4 3 6 5 6 7 4 5 3 4 3 5 4 7 6 11 2 3 0 2 Resoluo: Interseo do crculo e da cardiide: 0cos cos11 2 2/ 0 2 2 1 2/ 0 2 2 1 )cos1(212 ddA 2/ 0 2 2/ 0 )coscos21( ddA 2/ 0 2 )coscos211( dA 2/ 0 2 )coscos2( dA 1cossin 22 22 cos1sin 22 sincos2cos )cos1(cos2cos 22 1cos22cos 2 2cos 2 1 2 1 cos2 2/ 0 2cos 2 1 2 1 cos2 dA 2/ 0 2cos 2 1 2 1 cos2 dA 2/ 0 2sin 4 1 2 sin2 A A 0 0 0 2 0sin 4 1 2 0 0sin2sin 4 1 4 )2/sin(2 A 4 2 Resposta: .. 4 2 auA