integrais duplos - ips

Integrais Duplos

Recorde-se a definição de integral de Riemann em � :

Uma função f : �a,b� � �, limitada em �a,b�, é integrável à

Riemann em �a,b� se existe e é finito

max�j�0

limn��

j�1

n

f�tj�

�j

�x j � x j�1�.

onde P � �x0,� ,xn� uma qualquer partição de �a,b� e

t1,� , tn uma sequência de reais tais que tj � �x j�1,x j �, para 1 � j � n.

Este valor representa-se por �a

bf�x�dx.

Definição de integral duplo

Seja D uma região limitada de �2.

Considere-se um rectângulo, de lados paralelos aos eixos cartesianos,que contenha a região D e subdivida-se esse rectângulo por meio derectas paralelas aos eixos.

O conjunto de todas as sub-regiões (rectangulares) de D, assim obtidas,constituem uma partição interior de D.

Ana Matos � Matemática Aplicada �12/11/2017� Integrais Duplos � 1

Considerando cada vez mais rectas, é possível obter partições internasde modo a que o máximo das áreas das sub-regiões rectangulares tendapara zero.

Assim, desde que a região D seja suficientemente regular, a uniãodestas sub-regiões vai-se aproximando cada vez mais de D.

Definição: Seja D uma região limitada de �2 e f : D � � umafunção.

Diz-se que f é integrável à Riemann em D se existe e é finito

maxAi�0

limn��

n

i�1

� f�ui,v i�.A i.

onde, para i � 1, . . . ,n, A i é a área da região R i e �ui,v i� � R i,sendo R1, ..., Rn sub-regiões que constituem uma partição interior deD.

Este valor diz-se o integral duplo de f em D e representa-se por

��D

f�x,y�dxdy.

Proposição: Se D � �2 é um conjunto compacto (isto é, um conjuntofechado e limitado) e f : D � � é uma função contínua em D, então f éintegrável à Riemann em D.

Observação: No entanto, há funções que não estão nestas condições esão integráveis à Riemann.


Interpretação geométrica do integral duplo

Seja D � �2 um conjunto compacto e f : D � � uma função nãonegativa e contínua em D.

Nas condições da definição do integral duplo, considere-se a figura:

altura

f�uk, vk�.

área da base�Ak � o volume do paralelepípedo indicado

n

i�1

� f�ui,v i�.A i �soma dos volumes de todos os

paralelepípedos assim construídos

D

�� f�x,y�dxdy �

maxAi�0

limn��

n

i�1

� f�ui,v i�.A i

é igual ao volume do sólido que é:

- limitado inferiormente pela região D do plano xOy e superiormentepelo gráfico de f,

- limitado lateralmente pela superfície gerada por uma recta verticalque percorre a fronteira de D (superfície cilíndrica de geratrizparalela ao eixo dos zz e cuja directriz é a fronteira de D).


Motivação geométrica do método de cálculo

Seja f uma função contínua e não negativa em D, subconjuntocompacto de �2.

Considere-se o sólido abaixo (limitado superiormente pelo gráfico de fe inferiormente pela região D):

X

Y

Z

O

z=f(x,y)

D

Divida-se o sólido em “fatias” por planos paralelos ao plano xOz.

Seja S�x� a área da secção vertical genérica do sólido.

V i � S�x i��i

e, sendo o sólido dividido em n regiões,

V �

n

i�1

� S�x i��i


Assim,

V �

max�i�0

limn��

n

i�1

� S�x i��i � �a

bS�x�dx e resta calcular S�x�.

Suponhamos que D é tal que a � x � b e �1�x� � y � �2�x�.

a b

y=ϕ2(x)

y=ϕ1(x)

Y

X

X

Y

Z

O

b

a

z f x yi= ( , )

y x= ϕ1( ) y x= ϕ

2 ( )

x xi=

X

Y

Z

O

b

a

z f x yi= ( , )

y x= ϕ1( ) y x= ϕ

2 ( )

x xi=

S�x� � ��1�x�

�2�x�f�x,y�dy

Portanto

V � �a

b ��1�x�

�2�x�f�x,y�dy dx.


Cálculo do integral duplo por integrais iterados

Região do tipo 1: Região de integração da forma

D � ��x,y� � �2 : a � x � b � �1�x� � y � �2�x��,

com a, b � � e �1, �2 funções contínuas em �a,b�.

a b

y=ϕ2(x)

y=ϕ1(x)

Y

X

Então,

��D

f�x,y�dxdy � �a

b ��1�x�

�2�x�f�x,y�dy dx.

Região do tipo 2: Região de integração da forma

D � ��x,y� � �2 : c � y � d � �1�y� � x � �2�y��

com c, d � � e �1, �2 funções contínuas em �c,d�.

d

c

X

Y

D

x y= Ψ1 ( )x y= Ψ2 ( )


Então,

��D

f�x,y�dxdy � �c

d ��1�y�

�2�y�f�x,y�dx dy.

Diz-se que D � �2 é uma região elementar se for do tipo 1 ou do tipo2.

Teorema (Teorema de Fubinni): Seja D uma região simultaneamentedo tipo 1 e do tipo 2, com

D � ��x,y� � �2 : a � x � b � �1�x� � y � �2�x�� e

D � ��x,y� � �2 : c � y � d � �1�y� � x � �2�y��,

onde �1, �2, �1 e �2 são funções contínuas nos respectivosintervalos.

Se f : D � � é uma função integrável em D, então

��D


b ��1�x�

�2�x�f�x,y�dy dx � �

c

d ��1�y�

�2�y�f�x,y�dx dy.

Caso particular (Teorema de Fubinni num rectângulo):

Seja D � �a,b� � �c,d� e f : D � � uma função integrável em D.Então

��D


b �c

df�x,y�dy � �

c

d �a

bf�x,y�dx dy.


Propriedades do integral duplo

Proposição (Linearidade): Sejam f : D � �2 � �, g : D � �2 � �funções integráveis em D e k � �. Então:

1. ��D�f�x,y� � g�x,y��dxdy � ��

Df�x,y�dxdy � ��

Dg�x,y�dxdy;

2. ��D

kf�x,y�dxdy � k ��D

f�x,y�dxdy.

Proposição (Aditividade): Sejam f : D � �2 � � uma funçãointegrável em D e D1, D2 subconjuntos de D, sem pontos interiorescomuns e tais que D � D1 D2. Então, se f for integrável em D1 e emD2,

��D

f�x,y�dxdy � ��D1

f�x,y�dxdy � ��D2

f�x,y�dxdy.

Proposição (Positividade): Sejam f : D � �2 � �, g : D � �2 � �funções integráveis em D.

1. Se f�x, y� 0, para qualquer �x,y� � D, então

��D

f�x,y�dxdy 0.

2. Se f�x, y� g�x,y�, para qualquer �x,y� � D, então

��D

f�x,y�dxdy ��D

g�x,y�dxdy.


Aplicações do integral duplo

Cálculo de áreas de regiões do plano

Seja D a região do plano, do tipo 1, definida por

a � x � b e �1�x� � y � �2�x�,

com �1 e �2 contínuas.

Área de D � ��D

1dxdy � ��D

dxdy

Nota: De facto,

��D

1dxdy � �a

b ��1�x�

�2�x�1dydx � �

a

b��2�x� � �1�x��dx � Área de D.

O mesmo raciocínio é válido para regiões do tipo 2.

Exemplo: A área da região

D � ��x,y� � �2 : 0 � x � 1 � x2 � y � 2x�

é dada por

��D

1dxdy.


Cálculo de volumes de sólidos

Seja f : D � �2 � � uma função não negativa e contínua numconjunto compacto D e consideremos o sólido com a forma da regiãodo espaço:

� limitada inferiormente pela região D do plano xOy e superiormentepela superfície z � f�x,y� (isto é, pelo gráfico de f),

� limitada lateralmente pela superfície cilíndrica de geratriz paralelaao eixo dos zz e cuja directriz é a fronteira de D (isto é, pelasuperfície gerada por uma recta vertical que percorre a fronteira deD).

Então,

o volume do sólido � ��D

f�x,y�dxdy

Caso geral:

Sejam �1 : D � � e �2 : D � � funções contínuas num conjuntocompacto D e consideremos o sólido com a forma da região do espaço:

� limitada superiormente pela superfície z � �2�x,y�,

� limitada inferiormente pela superfície z � �1�x,y�,

� limitada lateralmente pela superfície cilíndrica de geratriz paralelaao eixo dos zz e cuja directriz é a fronteira de D.

Então,

o volume do sólido � ��D��2�x,y� � �1�x,y��dxdy


x

y

z

z=ϕ2(x,y)

D

z=ϕ1(x,y)

x

y

z

z=ϕ2(x,y)

Dx

y

z

D

z=ϕ1(x,y)

(A projecção das superfícies delimitadores superior e inferior sobre oplano xOy é a mesma, D.)


Massa, centro de massa e momentos de inércia

Consideremos uma lâmina com a forma de uma região D do plano eseja � : D � � a função massa específica (função que associa a cadaponto de D a respectiva massa por unidade de área).

A massa total da lâmina é dada por

M � ��D��x,y�dxdy

e o centro de massa da lâmina, �x,y�, tem as coordenadas

x � 1M ��

Dx��x,y�dxdy

y � 1M ��

Dy��x,y�dxdy

Caso particular (lâmina homogénea):

Se lâmina tem massa específica constante, �, e A é a área da região D

M � � ��D

dxdy � �A

e o seu centro de massa coincide com o seu centro geométrico (oucentróide), sendo dado por

x ��

Dxdxdy

��D

dxdy�

��D

xdxdy

Área de D

y ��

Dydxdy

��D

dxdy�

��D

ydxdy

Área de D


Momento de inércia em relação a uma recta L:

Seja L uma linha recta, d : D � � a função que a cada ponto de Dassocia a sua distância à recta L e � : D � � a função massaespecífica.

O momento de inércia de D relativo à recta L, que se representa porIL, é dado por

IL � ��D

d2�x,y��x,y�dxdy.

Casos particulares (momentos de inércia em relação aos eixoscoordenados):

IX � ��D

y2��x,y�dxdy � em relação ao eixo dos xx

e

IY � ��D

x2��x,y�dxdy � em relação ao eixo dos yy.

Mudança de variáveis

Recorde-se o Teorema da mudança de variáveis para funções em �:

Sendo I e J dois intervalos de �, f uma função contínua em I, � umafunção de classe C1 em J, tal que ��J� � I, � e � tais que a � �� eb � ��, tem-se

�a

bf�x�dx � �

�

�f��t�� t�dt.

Nota: Existem versões da integração por substituição com hipótesesdiferentes e mais próximas das que se seguem para o integral duplo.


Definição:Diz-se que uma função � : D � �2 � �2 é umamudança de variáveis se verificar as seguintes condições:

� � é injectiva;

� � é de classe C1;

� det�J��x,y�� 0, para qualquer �x,y� � D

(ou seja, o Jacobiano de � não se anula em D).

Teorema (Mudança de variáveis): Sejam f : D � �2 uma funçãointegrável em D e � : T � �2 uma mudança de variáveis, com��T� � D. Então,

��D

f�x,y�dxdy � ��T

f��u,v�,��u,v�� |det�J��u,v��|dudv.

Observação: Nestas condições, sendo �x,y� � ��u,v�,

(u,v) (x,y)� �

O XO

T

U

V Y

D

tem-se

det�J��

�x�u

�x�v

�y

�u

�y

�v

.


Coordenadas polares

Sejam:

�x, y� - as coordenadas cartesianas dum ponto P do plano xOy;

� - a distância do ponto P à origem do referencial;

� - o ângulo que o vector de posição do ponto faz com a parte positivado eixo dos xx.

O x

y P

Y

X

ρ

θ

Então

x � �cos�

y � � sen�, sendo � � 0 e � � �0,2��.

��,�� designam-se por coordenadas polares do ponto P.

Tem-se que:

� � � x2 � y2 , pelo que x2 � y2 � �2;

� cos� � x� e sen� �

y� , pelo que tg� �

yx , se x � 0.


A função

� : �� 0,2�� 2

��,�� cos�,� sen��

é injectiva e de classe C1, com

det�J��

�x��

�x��

�y

��y

��

�cos� �� sen�

sen� �cos�� 0.

Assim, � é uma mudança de variável e

��D

f�x,y�dxdy � ��T

f��cos�,� sen��d�d�,

onde T é a região D escrita em coordenadas polares.


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