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MATEMTICA

EDIES SLABO

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ColeoMatemtica

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MATEM

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26 COLEO MATEMTICA

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Este livro dirige-se aos alunos que frequentam uma primeiraunidade curricular de lgebra linear ou similar e que procuramuma abordagem alternativa, inovadora e facilitadora da aprendi-zagem dos principais temas da lgebra linear.

O autor considerou extensivamente as principais recomenda-es didticas conhecidas para o ensino da lgebra linear, resul-tando um texto bem estruturado cientfica e pedagogicamente.A utilizao de para a explorao terica e prtica dosassuntos, a apresentao de muitos exemplos e exerccios resol-vidos e a considerao de inmeras aplicaes concretas dalgebra linear, conferem ao livro um cariz diferenciador dentro dopanorama da bibliografia nacional.

software

RICARDO JORGE CASTRO GONALVES licenciado em Ensino de Matemtica pelaUniversidade de Aveiro, mestre na mesma rea pela Faculdade de Cincias da Universi-dade do Porto e doutor em Didtica de Cincias e Tecnologia, especialidade de Didticadas Cincias Matemticas, pela Universidade de Trs-os-Montes e Alto Douro. docenteno Instituto Politcnico do Cvado e do Ave, onde leciona unidades curriculares da readisciplinar Matemtica e Estatstica, em particular, Matemtica Discreta e lgebra Linear.

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LGEBRALINEAR

RICARDO GONALVES

TEORIA E PRTICA

Com exemplos de aplicaes comScilab, GeoGebra e Mathematica

2 EdioRevista e Corrigida

ISB

N 9

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Teresa e Catarina.

COLECO MATEMTICA

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COLECO MATEMTICA

1 INTEGRAIS MLTIPLOS E EQUAES DIFERENCIAIS

2 CLCULO DIFERENCIAL EM IR n

3 PRIMITIVAS E INTEGRAIS

4 FORMULRIO DE MATEMTICA

5 LGEBRA LINEAR Vol. 1 Matrizes e Determinantes

6 LGEBRA LINEAR Vol. 2 Espaos Vectoriais e Geometria Analtica

7 PROGRAMAO MATEMTICA

8 CLCULO INTEGRAL EM IR PRIMITIVAS

9 PRIMITIVAS E INTEGRAIS EXERCCIOS

10 SUCESSES E SRIES

11 LGEBRA LINEAR Exerccios Vol. 1 Matrizes e Determinantes

12 CLCULO DIFERENCIAL EM IR

13 CLCULO DIFERENCIAL EM IR n EXERCCIOS

14 LGEBRA LINEAR Exerccios Vol. 2 Espaos Vectoriais e Geometria Analtica

15 SUCESSES E SRIES EXERCCIOS

16 EQUAES DIFERENCIAIS E SRIES

17 INTEGRAIS MLTIPLOS E EQUAES DIFERENCIAIS EXERCCIOS

18 INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFCIE

19 FUNDAMENTOS DE ANLISE NUMRICA

20 MTODOS NUMRICOS Introduo, Aplicao e Programao

21 CLCULO INTEGRAL Teoria e Aplicaes

22 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Exerccios Resolvidos

23 TPICOS DE ANLISE MATEMTICA EM IR n

24 EXERCCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS

25 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Com Aplicaes s Cincias Empresariais

26 LGEBRA LINEAR TEORIA E PRTICA

LGEBRA LINEAR Teoria e Prtica

RICARDO JORGE CASTRO GONALVES

2 EDIO

Revista e Corrigida

EDIES SLABO

expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio grfico, eletrnico ou mecnico, inclusive fotocpia, este livro. As transgresses sero passveis das penalizaes previstas na legislao em vigor.

No participe ou encoraje a pirataria eletrnica de materiais protegidos. O seu apoio aos direitos dos autores ser apreciado. Visite a Slabo na rede

www.si labo.pt

FICHA TCNICA:

Ttulo: lgebra Linear Teoria e Prtica Autor: Ricardo Jorge Castro Gonalves Edies Slabo, Lda. Capa: Pedro Mota

1 Edio Lisboa, setembro de 2015 2 Edio Lisboa, setembro de 2018 Impresso e acabamentos: Europress, Lda. Depsito Legal: 443511/18 ISBN: 978-972-618-958-9

Editor: Manuel Robalo

R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Tel.: 218130345 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt

NDICE

PREFCIO ..................................................................................................................... 9

CAPTULO 1

MATRIZES............................................................................................................ 13

1.1. A linguagem das matrizes.............................................................................. 15

1.2. Operaes com matrizes ............................................................................... 25

1.3. Matrizes como representao de situaes concretas .................................. 36

Solues ............................................................................................................... 43

CAPTULO 2

SISTEMAS DE EQUAES LINEARES ................................................... 47

2.1. Aproximao ao estudo de sistemas de equaes lineares .......................... 49

2.1.1. Sistemas de duas equaes e duas incgnitas ..................................... 49

2.1.2. Sistemas de trs equaes e trs incgnitas......................................... 52

2.1.3. Sistemas de m equaes e n incgnitas................................................ 58

2.2. Resoluo de sistemas de equaes lineares............................................... 62

2.2.1. Limitaes dos mtodos de resoluo de sistemas de equaes lineares ............................................................................. 62

2.2.2. O mtodo de eliminao de Gauss ........................................................ 70

2.2.3. Caraterstica de uma matriz e outra discusso de sistemas de equaes lineares ............................................................................. 87

2.3. Algoritmo para a determinao da matriz inversa.......................................... 91

Solues ............................................................................................................. 101

CAPTULO 3

DETERMINANTES ...........................................................................................113

3.1. Definio e propriedades dos determinantes ...............................................115

3.2. Algoritmos para o clculo de determinantes de qualquer ordem..................120

3.2.1. Determinantes de ordem 2 ...................................................................120

3.2.2. Determinantes de ordem 3 ...................................................................126

3.2.3. Determinantes de qualquer ordem .......................................................134

3.3. Os determinantes em novos mtodos de clculo .........................................141

3.3.1. Matriz Inversa .......................................................................................141

3.3.2. Sistemas de equaes lineares ............................................................147

Solues..............................................................................................................155

CAPTULO 4

ESPAOS VETORIAIS...................................................................................161

4.1. procura de novos vetores .......................................................................163

4.2. Subespao vetorial de um espao vetorial ...................................................175

4.3. Combinao linear de vetores ......................................................................181

4.4. Subespaos vetoriais gerados......................................................................189

4.5. Dependncia e independncia linear de vetores..........................................198

4.6. Bases e dimenso de um espao vetorial ....................................................206

Solues..............................................................................................................212

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................225

9

PREFCIO

Este livro dirige-se aos alunos do ensino superior universitrio e politcnico e que para o estudo da lgebra linear procuram uma abordagem alternativa, inovadora e facilitadora da aprendizagem dos principais temas.

Os estudos internacionais na rea, desenvolvidos ao longo das ltimas trs dcadas, apontaram um conjunto de recomendaes didticas para serem conside-radas no ensino, com vista a melhorar o desempenho dos alunos na aprendizagem da lgebra linear. A elaborao deste texto resultou da vontade do autor em considerar extensivamente aquelas recomendaes, possibilidade observvel em alguma bibliografia internacional de referncia, o que confere a este livro o principal elemento de destaque no panorama da bibliografia nacional. Desta forma, o livro propicia a fcil assimilao dos contedos, o desenvolvimento da destreza de cl-culo e a capacidade de aplicao dos conceitos em situaes dspares.

Sobre a importncia de se recorrer ao uso da tecnologia, introduziu-se a utiliza-o do software de computao simblica Scilab, ao qual se pode aceder gratuita-mente na WEB. A referncia possvel utilizao deste programa aparece sobretudo na explorao de exemplos, onde so introduzidos os comandos elementares que o aluno deve conhecer para a