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Integrais Duplos
Recorde-se a definição de integral de Riemann em � :
Uma função f : �a,b� � �, limitada em �a,b�, é integrável à
Riemann em �a,b� se existe e é finito
max�j�0
limn�� �
j�1
n
f�tj�
�j
�x j � x j�1�.
onde P � �x0,� ,xn� uma qualquer partição de �a,b� e
t1,� , tn uma sequência de reais tais que tj � �x j�1,x j �, para 1 � j � n.
Este valor representa-se por �a
bf�x�dx.
Definição de integral duplo
Seja D uma região limitada de �2.
Considere-se um rectângulo, de lados paralelos aos eixos cartesianos,que contenha a região D e subdivida-se esse rectângulo por meio derectas paralelas aos eixos.
O conjunto de todas as sub-regiões (rectangulares) de D, assim obtidas,constituem uma partição interior de D.
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Considerando cada vez mais rectas, é possível obter partições internasde modo a que o máximo das áreas das sub-regiões rectangulares tendapara zero.
Assim, desde que a região D seja suficientemente regular, a uniãodestas sub-regiões vai-se aproximando cada vez mais de D.
Definição: Seja D uma região limitada de �2 e f : D � � umafunção.
Diz-se que f é integrável à Riemann em D se existe e é finito
maxAi�0
limn��
n
i�1
� f�ui,v i�.A i.
onde, para i � 1, . . . ,n, A i é a área da região R i e �ui,v i� � R i,sendo R1, ..., Rn sub-regiões que constituem uma partição interior deD.
Este valor diz-se o integral duplo de f em D e representa-se por
��D
f�x,y�dxdy.
Proposição: Se D � �2 é um conjunto compacto (isto é, um conjuntofechado e limitado) e f : D � � é uma função contínua em D, então f éintegrável à Riemann em D.
Observação: No entanto, há funções que não estão nestas condições esão integráveis à Riemann.
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Interpretação geométrica do integral duplo
Seja D � �2 um conjunto compacto e f : D � � uma função nãonegativa e contínua em D.
Nas condições da definição do integral duplo, considere-se a figura:
altura
f�uk, vk�.
área da base�Ak � o volume do paralelepípedo indicado
n
i�1
� f�ui,v i�.A i �soma dos volumes de todos os
paralelepípedos assim construídos
D
�� f�x,y�dxdy �
maxAi�0
limn��
n
i�1
� f�ui,v i�.A i
é igual ao volume do sólido que é:
- limitado inferiormente pela região D do plano xOy e superiormentepelo gráfico de f,
- limitado lateralmente pela superfície gerada por uma recta verticalque percorre a fronteira de D (superfície cilíndrica de geratrizparalela ao eixo dos zz e cuja directriz é a fronteira de D).
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Motivação geométrica do método de cálculo
Seja f uma função contínua e não negativa em D, subconjuntocompacto de �2.
Considere-se o sólido abaixo (limitado superiormente pelo gráfico de fe inferiormente pela região D):
X
Y
Z
O
z=f(x,y)
D
Divida-se o sólido em “fatias” por planos paralelos ao plano xOz.
Seja S�x� a área da secção vertical genérica do sólido.
V i � S�x i��i
e, sendo o sólido dividido em n regiões,
V �
n
i�1
� S�x i��i
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Assim,
V �
max�i�0
limn��
n
i�1
� S�x i��i � �a
bS�x�dx e resta calcular S�x�.
Suponhamos que D é tal que a � x � b e �1�x� � y � �2�x�.
a b
y=ϕ2(x)
y=ϕ1(x)
Y
X
X
Y
Z
O
b
a
z f x yi= ( , )
y x= ϕ1( ) y x= ϕ
2 ( )
x xi=
X
Y
Z
O
b
a
z f x yi= ( , )
y x= ϕ1( ) y x= ϕ
2 ( )
x xi=
S�x� � ��1�x�
�2�x�f�x,y�dy
Portanto
V � �a
b ��1�x�
�2�x�f�x,y�dy dx.
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Cálculo do integral duplo por integrais iterados
Região do tipo 1: Região de integração da forma
D � ��x,y� � �2 : a � x � b � �1�x� � y � �2�x��,
com a, b � � e �1, �2 funções contínuas em �a,b�.
a b
y=ϕ2(x)
y=ϕ1(x)
Y
X
Então,
��D
f�x,y�dxdy � �a
b ��1�x�
�2�x�f�x,y�dy dx.
Região do tipo 2: Região de integração da forma
D � ��x,y� � �2 : c � y � d � �1�y� � x � �2�y��
com c, d � � e �1, �2 funções contínuas em �c,d�.
d
c
X
Y
D
x y= Ψ1 ( )x y= Ψ2 ( )
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Então,
��D
f�x,y�dxdy � �c
d ��1�y�
�2�y�f�x,y�dx dy.
Diz-se que D � �2 é uma região elementar se for do tipo 1 ou do tipo2.
Teorema (Teorema de Fubinni): Seja D uma região simultaneamentedo tipo 1 e do tipo 2, com
D � ��x,y� � �2 : a � x � b � �1�x� � y � �2�x�� e
D � ��x,y� � �2 : c � y � d � �1�y� � x � �2�y��,
onde �1, �2, �1 e �2 são funções contínuas nos respectivosintervalos.
Se f : D � � é uma função integrável em D, então
��D
f�x,y�dxdy � �a
b ��1�x�
�2�x�f�x,y�dy dx � �
c
d ��1�y�
�2�y�f�x,y�dx dy.
Caso particular (Teorema de Fubinni num rectângulo):
Seja D � �a,b� � �c,d� e f : D � � uma função integrável em D.Então
��D
f�x,y�dxdy � �a
b �c
df�x,y�dy � �
c
d �a
bf�x,y�dx dy.
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Propriedades do integral duplo
Proposição (Linearidade): Sejam f : D � �2 � �, g : D � �2 � �funções integráveis em D e k � �. Então:
1. ��D�f�x,y� � g�x,y��dxdy � ��
Df�x,y�dxdy � ��
Dg�x,y�dxdy;
2. ��D
kf�x,y�dxdy � k ��D
f�x,y�dxdy.
Proposição (Aditividade): Sejam f : D � �2 � � uma funçãointegrável em D e D1, D2 subconjuntos de D, sem pontos interiorescomuns e tais que D � D1 D2. Então, se f for integrável em D1 e emD2,
��D
f�x,y�dxdy � ��D1
f�x,y�dxdy � ��D2
f�x,y�dxdy.
Proposição (Positividade): Sejam f : D � �2 � �, g : D � �2 � �funções integráveis em D.
1. Se f�x, y� 0, para qualquer �x,y� � D, então
��D
f�x,y�dxdy 0.
2. Se f�x, y� g�x,y�, para qualquer �x,y� � D, então
��D
f�x,y�dxdy ��D
g�x,y�dxdy.
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Aplicações do integral duplo
Cálculo de áreas de regiões do plano
Seja D a região do plano, do tipo 1, definida por
a � x � b e �1�x� � y � �2�x�,
com �1 e �2 contínuas.
Área de D � ��D
1dxdy � ��D
dxdy
Nota: De facto,
��D
1dxdy � �a
b ��1�x�
�2�x�1dydx � �
a
b��2�x� � �1�x��dx � Área de D.
O mesmo raciocínio é válido para regiões do tipo 2.
Exemplo: A área da região
D � ��x,y� � �2 : 0 � x � 1 � x2 � y � 2x�
é dada por
��D
1dxdy.
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Cálculo de volumes de sólidos
Seja f : D � �2 � � uma função não negativa e contínua numconjunto compacto D e consideremos o sólido com a forma da regiãodo espaço:
� limitada inferiormente pela região D do plano xOy e superiormentepela superfície z � f�x,y� (isto é, pelo gráfico de f),
� limitada lateralmente pela superfície cilíndrica de geratriz paralelaao eixo dos zz e cuja directriz é a fronteira de D (isto é, pelasuperfície gerada por uma recta vertical que percorre a fronteira deD).
Então,
o volume do sólido � ��D
f�x,y�dxdy
Caso geral:
Sejam �1 : D � � e �2 : D � � funções contínuas num conjuntocompacto D e consideremos o sólido com a forma da região do espaço:
� limitada superiormente pela superfície z � �2�x,y�,
� limitada inferiormente pela superfície z � �1�x,y�,
� limitada lateralmente pela superfície cilíndrica de geratriz paralelaao eixo dos zz e cuja directriz é a fronteira de D.
Então,
o volume do sólido � ��D��2�x,y� � �1�x,y��dxdy
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x
y
z
z=ϕ2(x,y)
D
z=ϕ1(x,y)
x
y
z
z=ϕ2(x,y)
Dx
y
z
D
z=ϕ1(x,y)
(A projecção das superfícies delimitadores superior e inferior sobre oplano xOy é a mesma, D.)
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Massa, centro de massa e momentos de inércia
Consideremos uma lâmina com a forma de uma região D do plano eseja � : D � � a função massa específica (função que associa a cadaponto de D a respectiva massa por unidade de área).
A massa total da lâmina é dada por
M � ��D��x,y�dxdy
e o centro de massa da lâmina, �x,y�, tem as coordenadas
x � 1M ��
Dx��x,y�dxdy
y � 1M ��
Dy��x,y�dxdy
Caso particular (lâmina homogénea):
Se lâmina tem massa específica constante, �, e A é a área da região D
M � � ��D
dxdy � �A
e o seu centro de massa coincide com o seu centro geométrico (oucentróide), sendo dado por
x ���
Dxdxdy
��D
dxdy�
��D
xdxdy
Área de D
y ���
Dydxdy
��D
dxdy�
��D
ydxdy
Área de D
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Momento de inércia em relação a uma recta L:
Seja L uma linha recta, d : D � � a função que a cada ponto de Dassocia a sua distância à recta L e � : D � � a função massaespecífica.
O momento de inércia de D relativo à recta L, que se representa porIL, é dado por
IL � ��D
d2�x,y���x,y�dxdy.
Casos particulares (momentos de inércia em relação aos eixoscoordenados):
IX � ��D
y2��x,y�dxdy � em relação ao eixo dos xx
e
IY � ��D
x2��x,y�dxdy � em relação ao eixo dos yy.
Mudança de variáveis
Recorde-se o Teorema da mudança de variáveis para funções em �:
Sendo I e J dois intervalos de �, f uma função contínua em I, � umafunção de classe C1 em J, tal que ��J� � I, � e � tais que a � ���� eb � ����, tem-se
�a
bf�x�dx � �
�
�f���t��� ��t�dt.
Nota: Existem versões da integração por substituição com hipótesesdiferentes e mais próximas das que se seguem para o integral duplo.
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Definição:Diz-se que uma função � : D � �2 � �2 é umamudança de variáveis se verificar as seguintes condições:
� � é injectiva;
� � é de classe C1;
� det�J��x,y�� � 0, para qualquer �x,y� � D
(ou seja, o Jacobiano de � não se anula em D).
Teorema (Mudança de variáveis): Sejam f : D � �2 uma funçãointegrável em D e � : T � �2 uma mudança de variáveis, com��T� � D. Então,
��D
f�x,y�dxdy � ��T
f���u,v�,��u,v�� |det�J��u,v��|dudv.
Observação: Nestas condições, sendo �x,y� � ��u,v�,
(u,v) (x,y)� �
O XO
T
U
V Y
D
tem-se
det�J�� �
�x�u
�x�v
�y
�u
�y
�v
.
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Coordenadas polares
Sejam:
�x, y� - as coordenadas cartesianas dum ponto P do plano xOy;
� - a distância do ponto P à origem do referencial;
� - o ângulo que o vector de posição do ponto faz com a parte positivado eixo dos xx.
O x
y P
Y
X
ρ
θ
Então
x � �cos�
y � � sen�, sendo � � 0 e � � �0,2��.
��,�� designam-se por coordenadas polares do ponto P.
Tem-se que:
� � � x2 � y2 , pelo que x2 � y2 � �2;
� cos� � x� e sen� �
y� , pelo que tg� �
yx , se x � 0.
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A função
� : �� � �0,2�� � �2
��,�� ��cos�,� sen��
é injectiva e de classe C1, com
det�J�� �
�x��
�x��
�y
���y
��
�cos� �� sen�
sen� �cos�� � � 0.
Assim, � é uma mudança de variável e
��D
f�x,y�dxdy � ��T
f��cos�,� sen���d�d�,
onde T é a região D escrita em coordenadas polares.
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