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Faculdade de Engenharia
Integrais Duplos
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Faculdade de Engenharia
AM2
AMAT1 – integrais definidos simples
Problema:
Considerar:
Se
então f é integrável e
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais duplos
Problema:
Considerar:
Calcular
SA
dxdyyxgdxdyyxf ,,
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Faculdade de Engenharia
Considerar:
AM2
Integrais duplos
onde
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Faculdade de Engenharia
Seja:
AM2
Integrais duplos
Então:
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Faculdade de Engenharia
Se
AM2
Integrais duplos
f é integrável e dxdyfA
Considerando diferentes partições, seja:
Supremo de das somas inferiores (para diferentes partições)
Ínfimo das somas superiores (para diferentes partições)
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais duplos – alguns teoremas
1.
2.
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais duplos – teorema de Fubini
NOTAS
xdyyxfd
c
,
ydxyxfb
a
,
(é função de x apenas)
(é função de y apenas)
A opção por uma determinada ordem de integração depende da região e da função
1.
2.
3.
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais duplos – teorema de Fubini
Exemplo
Calcular onde
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais duplos – parametrização da região
para cada x entre a e b, tem-se xyx 21
para cada y entre c e d, tem-se xxx 21
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais duplos – parametrização da região
b) Indique os limites de integração de quando
Exemplo
D
dxdyyxf ,
xyxxyxD ,20:, 2Seja
a) Esboce a região D
i. a integração é feita primeiro em x
ii. a integração é feita primeiro em y
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais Duplos – cálculo de áreas e volumes
Se , então é a área de A 1, yxf AA
dxdydxdyyxf ,
Se , então é o volume do sólido de base A e altura
definida por f
0, yxf dxdyyxfA
,
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais duplos – exercícios
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Faculdade de EngenhariaIntegrais duplos – exercícios
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais Duplos – mudança de variável
b
a
dxxf
Mudança de variável em integrais simples:
bg
ag
duugugf '11
xgu
dxxgdu ' duugduxg
dx '1
'1
ugx 1
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AM2
Integrais Duplos – mudança de variável
2
1
221 dxx
Exemplo – integral simples
313
21
21 1
3
23
1
2
duuduu
xu 21
2,1x
ou
xu 21 1,3 u
dxdu 221
dudx
3
132121
1
3
21
3
22
1
2
duudududxudxx
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais Duplos – mudança de variável
Seja
yx,
D
dxdyyxfI ,
Para calcular este integral fazendo a mudança de variável
vu,(antigas) (novas)
deverá ser definida a FVVV que define as variáveis antigas à custa das novas:
vugvugyxvuDEG
,,,,,:
21
e atender a que: dudvvuJGdxdy ,det
ED
dudvvuJGvugvugfdxdyyxfI ,det,,,, 21
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Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais duplos – mudança de variável
Exemplos
Determine a relação entre as áreas elementares em coordenadas cartesianas e polares
1.
2.
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Faculdade de EngenhariaIntegrais duplos – exercícios
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AM2
Integrais duplos – exercícios