23 integrais triplas

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Integral Tripla Seja definida em uma caixa retangular (,,) fxyz

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Page 1: 23 integrais triplas

Integral Tripla

Seja definida em uma caixa retangular

( , , )f x y z

Page 2: 23 integrais triplas

Caixa Retangular

Page 3: 23 integrais triplas

Integral Tripla

Definição: A integral tripla de sobre a caixa é

se o limite existir.

fB

Page 4: 23 integrais triplas

Região do Tipo 1

Page 5: 23 integrais triplas

Região do Tipo 1

Page 6: 23 integrais triplas

E e D como Região do Tipo 1

Page 7: 23 integrais triplas

E e D como Região Tipo 1

Page 8: 23 integrais triplas

E como região do Tipo 1 e D como região do Tipo 2

Page 9: 23 integrais triplas

E como região do Tipo 1 e D como região do Tipo 2

Page 10: 23 integrais triplas

Exemplo 1

Calcule onde é o tetraedro

do sólido delimitado pelos quatro planos

,E

z dV

0, 0, 0 e 1.x y z x y z

E

Page 11: 23 integrais triplas

Exemplo 1

Page 12: 23 integrais triplas

Exemplo 1

Page 13: 23 integrais triplas

Exemplo 1

Page 14: 23 integrais triplas

Região do Tipo II

Page 15: 23 integrais triplas

Região do Tipo II

Page 16: 23 integrais triplas

Região do Tipo III

Page 17: 23 integrais triplas

Região do Tipo III

Page 18: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Calcule onde é a

região limitada pelo parabolóide

e pelo plano

2 2 ,E

x z dV2 2y x z

4.y

E

Page 19: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Page 20: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Page 21: 23 integrais triplas

Exemplo 2

É extremamente difícil calculá-la.

Page 22: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Page 23: 23 integrais triplas

Exemplo 2

e

Page 24: 23 integrais triplas

Aplicações da Integral Tripla

Page 25: 23 integrais triplas

Exemplo 1

Utilize uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos

T

2 2, 2 , 0 e 0.x y z x y x z

Page 26: 23 integrais triplas

Exemplo 1

Page 27: 23 integrais triplas

Exemplo 1

2 2

ou 12

x y

xy

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Exemplo 1

Page 29: 23 integrais triplas

Outras Aplicações

Todas as aplicações de integrais duplas podem imediatamente estendidas para as integrais triplas.

Page 30: 23 integrais triplas

Massa e Momentos

onde ( , , ) é a função densidade

em unidades de massa por unidade de volume.

x y z

Page 31: 23 integrais triplas

Centro de massa

onde

Page 32: 23 integrais triplas

Centróide e Momentos de Inércia

Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centróide de

Os momentos de inércia são dados por:

.E

Page 33: 23 integrais triplas

Carga Elétrica Total

onde ( , , ) é a densidade de carga.x y z

Page 34: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico

e pelos planos

2x y, 0 e 1.x z z x

Page 35: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Page 36: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Page 37: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Page 38: 23 integrais triplas

Exemplo 2

(por causa da simetria de

em relação ao plano portanto

eE

,xz 0.)y

Page 39: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Page 40: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Page 41: 23 integrais triplas

Exemplo 2

Portanto, o centro de massa é

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