IL1

INTEGRAIS DE LINHA (CURVILNEOS)

Intervalo de integrao Funo integrandaIntegral definido

Integral de linha

Segmento de recta f. real

Curva f. vectorial campo escala rcampo vectorial

PROBLEMAS TIPO

Problemas relacionados com:

Distribuio de uma grandeza escalar (massa, carga elctrica) ao longo de uma curva.

Campo escalar Integral de linha de 1 espcie

Medio do escoamento de um fluido ao longo de um trajecto curvo (circulao), i.e. problemas relacionados com o deslocamento de vectores ao longo de curvas.

Campo vectorial Integral de linha de 2 espcie

APLICAES:

Trabalho realizado por uma fora; Energia potencial; Fluxos; Circulao de fluidos

IL2

CONCEITOS ELEMENTARES

Def.: Seja uma funo vectorial. Se contnua em , a chama-se em , e o contradomnio de caminho , diz-se uma . curva Sendo uma representao paramtrica da curva, designa-se por da representao paramtrica.parmetro

g

a bt

g (a )

g (b )g ( t)

Obs.: - ponto inicial do caminho - ponto final do caminho

Exemplo: A funo tal que contnua em

21

1

0

- 1

g ( t ) = ( 1 + t , t 3 ) - R e p r e s e n t a o p a r a m t r i c a d e C

C D d e g = C u r v a C

g - C a m i n h o

Def.: Um conjunto uma curva de classe se existe um caminho de classe que representa paramtricamente

Obs.: A curva do exemplo ser uma curva de classe ?

IL3

CONCEITOS ELEMENTARES (Cont.)

Def.: Um caminho diz-se seccionalmente de classe

se for possvel decompor o intervalo num nmero finito de subintervalos, em cada um dos quais de classe . Uma curva diz- -se se for o contradomnio de umseccionalmente de classe caminho de classe .

C1 C2

1

1

2 Obs.: A curva no de classe ( no tem derivada no ponto ) no entanto seccionalmente de classe .

10.5

0-0.5

-1

10.5

0-0.5

-1420

-2-4

Hlice cilndrica Circunferncia

Caminho simples Curva simples Caminhofechado Curva fechada

! " # " $ $ $

IL4

CONCEITOS ELEMENTARES (Cont.)

Def.: Sejam % e dois caminhos em . e dizem-se se existe uma funo , bijectiva eequivalentes %continuamente diferencivel, tal que para e$ " & Se diz-se que os caminhos tm o isto $ ' & mesmo sentidopreserva o sentido sentido; se diz-se que os caminhos tm o $ ( &oposto inverte o sentidoisto .

Exemplo: Sejam , com e , & ) * com Considere ainda que existe uma funo & ) * ) definida por Mostre que soe caminhos equivalentes com o mesmo sentido.

COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS

P0

P1

P2 P3

P4

Linha poligonal inscrita na curva

a b

Def.: Um caminho diz-se se o conjunto dos comprimentos derectificvellinhas poligonais nele inscritas for majorado. O comprimento do caminho o supremo desse conjunto. Diz-se que uma se puder ser representada curva rectificvelparametricamente por um caminho rectificvel. O comprimento da curva o nfimo dos comprimentos de todos os caminhos rectificveis que arepresentam parametricamente.

IL5

COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS (Cont.)

Teorema: Um caminho de classe rectificvel se ++ ++$

uma funo integrvel em , sendo o comprimento de entre e dado por:

++ ,++ -,

$

Obs. 1: diz-se a . funo comprimento de arco

2: O comprimento do arco elementar da curva: .- ++ ++-$

3: O comprimento da curva entre e

++ ++ -

$

4: Sendo tem-se ++ ++ $ $ $

$

5: No caso de um caminho sendo , , com tem-se: . / 0

++ ++ $ -. -0- - - -/ .

Ento o comprimento do caminho dado por:

-

-. -0- - - -/

IL6

COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS (Cont.)

Obs. ,6: Se com , representa uma curva em a/ . . parametrizao da curva dada por

. /

isto Ento e

$ $

++ ++ $ $ . Deste modo o comprimento da curva ser:

$ -

Exemplo: Calcular o comprimento do arco da catenria definido parametricamente pelo caminho com & . 1

Nota: 1 2 1 2

.1 1

Exemplo: Determinar o comprimento do arco da hlice helicoidal definido parametricamente pelo caminho com entre e & &

IL7

DEFINIO DE INTEGRAL DE LINHA

z

x

y

z =

(x,y)

O

a=t0

b =tn

A=P0

B=PnPiPi - 1 Qi

titi - 1

C

S

Integral de Linha de 1 Espcie:

- 3 lim

4&

5

5 5

se o valor do limite no depende da decomposio de 3, nem da escolha de .5

6. + +5 5 5

IL8

CLCULO DO INTEGRAL DE LINHARECORRENDO AO INTEGRAL DEFINIDO

5 5$

5 5 5 5

T. Lagrange

com 5 5 5

Deste modo, sendo tem-se:3 5 5

5 5

5 5 5 5$ 3

5 5

Soma de Riemann para . em $

. #$ contnua em integral de Riemann de .7 $ em

Ento:

lim4&

5

5 5$ $

-5 55

++ ++ -

$

Finalmente tem-se o integral de linha de sobre a curva relativo ao comprimento do arco definido pelo caminho :

- ++ ++ -

$

Obs.: Se o que representa ? -

IL9

REPRESENTAO PARAMTRICA DE CURVAS

Obs.: Numa curva constituda por vrias seces , o ltimo5

valor de em corresponde ao primeiro valor de em . 5 5

Recta definida por dois pontos e :8 . / 0 3 . / 0

9 8 83 8 3 8 8 3

9 . / 0

. . . . . ./ / / / / /0 0 0 0 0 0

:

Exemplo: a) Representar parametricamente a curva da figura.

z

x

y(0,0,0) (0,2,0)

(1,2,0)

(1,2,1)

C1 C2

C3

C

= C1 C2

C3

C4

b) Calcular )

. / 0 -

IL10

Curva definida por com / . .

. /

Curva definida por . / ;

. / ;

;

&

Circunferncia Elipse "

Exemplo: Calcular a rea da superfcie lateral do slido limitado superiormente pelo plano e0 . / inferiormente pelo crculo do plano . / < 0 & )

MASSA E CENTRO DE MASSA

Sendo a densidade de massa por unidade de comprimento de um filamento curvo ento a massa total :

O centro de massa do filamento :

IL11

INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS VECTORIAISOU DE 2 ESPCIE

Seja um curva representada parametricamente por umcaminho e um campo vectorial contnuo definido em , que toma valores em . Chama-se integral de linha de ao longo do caminho ao integral

- -$ (1)

Obs.: Interpretao fsica: Mede o trabalho realizado por um campo de foras ao deslocar uma partcula ao longo de uma curva , sujeita aco desse campo.

Como e a igualdade (1)

pode escrever-se:

- - - -

(2) -=

$

= =

IL12

Caso bidimensional:

Equaes paramtricas da curva:. /

- -. -/

- -

$ $

Caso tridimensional:

Equaes paramtricas da curva:

.

/ 0

- -. -/ -0

- -

$ $

-

$

Exemplo: Seja o campo vectorial definido por . / . / . !. / . Calcular o integral de linhade de at , ao longo de cada um dos seguintes & &

caminhos: a) o segmento de recta de equaes paramtricas ;. / & < < b) a curva de equaes paramtricas . / & < <

IL13

PROPRIEDADES DOS INTEGRAIS DE LINHA

Def.: Designa-se por curva no ponto , avector tangente

derivada quando existe e no nula. $

1&

1

1lim

g ( t )

g ( t)g ( t+ h )

g ( t+ h ) - g ( t )

Obs.1: Chama-se tangente ao caminho (e curva por ele descrita), recta que passa por e paralela a $

2: Se o versor de ento> $

> ++ ++ --$

$

----

3: A curva de classe parametrizada pelo caminho diz-se se " & ! regular $

Propriedades:

5 O integral de linha de um campo vectorial ao longo de uma curva regular o integral de linha do campo escalar relativo ao comprimento do arco.

A

BP 2

g ( a )

g ( t 1 )g ( t 2 ) g ( b )

0

P 1

f (P 1 )

f (P 2 ) T ( t 2 )

T ( t 1 )

IL14

Propriedades (cont.):

Sejam e campos escalares definidos em e e campos 1vectoriais definidos em com valores em . Ento: 6

55 - - -

e +- - - ! 1 + 1+

Se ( ) e um caminho 555 seccionalmente de classe que representa , ento

- - - -

e

+- +- +- +-

onde a restrio de a um certo intervalo de 5 5

modo que constitua uma parametrizao de .5

Sejam e dois caminhos 5? % seccionalmente de classe equivalentes em e a curva por eles definida. Se um campo vectorial tal que ento,

+- @ +-

Obs.: O sinal positivo ou negativo, consoante a relao entre os sentidos dos dois caminhos.

IL15

CAMPOS VECTORIAISCONSERVATIVOS

Def.: Um campo vectorial F diz-se conservativo se existe alguma funo diferencivel , tal que

F

funo potencial de F.

Obs.: (grad ) gradiente de

Exemplo: Mostre que F um campo vectorial conservativo.

Campos Vectoriais Conservativos

- campos gravitacionais; - campos magnticos; - campos de foras elctricas.

IL16

CRITRIO DE CAMPO VECTORIALCONSERVATIVO

Como investigar se um campo vectorial, , no planoou no conservativo?

Sejam e funes com derivadas parciais de 1 ordem contnuas num disco (intervalo) aberto. O campovectorial F conservativo sse

Como investigar se um campo vectorial, , no espaoou no conservativo?

- Noo de rotacional de um campo vectorial em 3

F

rot F F

IL17

Sejam , e funes com derivadas parciais de 1 ordem contnuas numa esfera (intervalo) aberta. Ocampo vectorialF conservativo sse

rot F 0 i.e

, e

CAMPOS VECTORIAIS CONSERVATIVOS EINDEPENDNCIA DO CAMINHO

Exemplo: Determinar o trabalho realizado pelo campovectorial F para deslocar uma partcula de a ao longo dos seguintes caminhos:

a) b)

IL18

TEOREMA FUNDAMENTAL DOS INTEGRAIS DELINHA

Seja uma curva seccionalmente de classe C , includa 1numa regio aberta e definida por ! ! ! " # ! # $% Se F conservativo em , e e so contnuas em , ento

F $ $ " "

sendo uma funo potencial de F.

Exemplo: Aplique este resultado ao exemplo anterior

Obs.: Pelo teorema anterior se F contnuo econservativo num aberto ento o valor de F o

mesmo para qualquer curva seccionalmente de classeC , entre dois pontos fixos de , i.e. o integral 1 independente do caminho.

IL19

Trabalho Realizado por uma ForaDefinido como um Integral de Linha

Fora Constante com a Direco e o Sentido do Deslocamento da Partcula

A ++ ++ &

a b

b - a

F F

l

& ' & ' &+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ A

Se varia em & A B. -.

sendo em cada B. ++ ++ . &

IL20

Fora Constante com a Direco diferente da do Deslocamento da Partcula

a b

b - a

FF

l

F1

F2

Somente intervm no trabalho realizado:&

A ++ ++ &1

isto , se e , ento:& ' B B &

& ' &+ ++ ++ A1

Em geral, tem-se:

Def.: Seja um caminho que define <

parametricamente a curva , seccionalmente de classe O trabalho A B realizado por uma fora quando o seu ponto de aplicaopercorre a curva dado por

A +-&

Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelo campo de forasB. / 0 . ./ 0i j k sobre uma partcula que se move sobrea hlice definida parametricamente pelo caminho & & & i j k desde at .

IL21

Princpio do Trabalho e Energia

Energia cintica em C 6 ?

Energia cintica em D C 6 ?

v? ++ ++ velocidade no instante

A

BP 2

r ( a )

r ( t 1 )r ( t 2 ) r ( b )

0

P 1

f ( P 1 )

f ( P 2 )

r vector posio da partcula no instante

Prop.: O trabalho realizado por ao longo de igual diferena entre a energia cintica no fim e no incio do movimento.

A +-; 6? 6? ;

;

IL22

Frmula de Riemann-Green

Def.: Um conjunto diz-se se for possvel unir quaisquerE conexo, dois pontos do interior de por uma curva contnua.E

Obs.: Se o complementar de for igualmente conexo, diz-seE E . Se esta condio no for verificada simplesmente conexo E diz-se .multiplamente conexo

R2 R3R1

A B

A

B

conj. simplesmente conexo;9 conj. multiplamente conexo;9 conj. no conexo.9

: Teorema Seja uma regio simplesmente conexa, cuja9fronteira a curva , orientada no sentido directo (i.e tal que umobsevador que o percorra veja a regio sempre sua esquerda)9e representada parametricamente pelo caminho definido em

2, fechado, simples e seccionalmente de classe . Seja ainda . / F. /, G. /,. / um campo vectorial contnuo,e com derivadas parciais de 1 ordem contnuas num conjuntoaberto que contenha Ento 9

9

+- F-. G-/ -.-/ HG HFH. H/

IL23