aula de integrais - uvb

Matemática Superior - UVB

Faculdade On-line UVB 1

Aula 14 Integração Definida

Objetivos da Aula

Apresentar o conceito de integral definida, por meio de somatório

de termos finitos e limites tendendo a infinito, fazendo sua

interpretação geométrica e em seguida enunciar o teorema

fundamental do cálculo.

A Notação SigmaPara facilitar somas de um grande número de parcelas iremos

introduzir a notação sigma. Esta notação envolve o uso do símbolo

o sigma maiúsculo do alfabeto grego, que corresponde ao nosso S.

Agora daremos alguns exemplos da notação sigma.



Temos agora a seguinte definição formal para sigma.

Definição da Notação Sigma

onde m e n são inteiros e m n.

O lado direito da fórmula acima consiste da soma de (n - m + 1)

termos, o primeiro dos quais é obtido substituindo-se i por m em F(i),

o segundo substituindo-se i por (m + 1) em F(i), e assim por diante,

até que o último termo seja obtido substituindo-se i por n em F(i).

O número m é chamado de limite inferior da soma, e n é chamado

limite superior. O símbolo i é chamado o índice do somatório. É um

símbolo “mudo”, pois qualquer outra letra poderia ser usada para esse

propósito. Por exemplo,

Os teoremas seguintes que envolvem a notação sigma poderão ser

úteis para nossos cálculos.



Exemplo:

Use as Fórmulas de 1 a 4 para calcular os seguintes somatórios.

Solução:



Área

Suponha que o fabricante de uma moderna calculadora eletrônica

determine que durante os 3 primeiros anos de produção, se x anos

decorreram desde que a calculadora foi introduzida pela primeira vez,

f (x) unidades devem ser produzidas anualmente, onde

Como deveria ser interpretada esta equação? Uma vez que

alguém poderia concluir que 348 calculadoras são produzidas 1

ano após o lançamento do produto no mercado. Contudo, esta

interpretação é válida somente se a taxa de produção for constante,

na base anual. Isto é, 348 unidades deveriam ser produzidas durante o

segundo ano somente se a taxa anual de produção durante o segundo

ano fosse uma constante, 348 unidades, que seria o nível no fim do

primeiro ano. Esta situação não ocorre. Por exemplo,



Visto que, quando x = 1, a produção é 348 unidades, e quando x = 2

a produção é 1212 unidades, segue que o número de calculadoras

produzidas durante o segundo ano está entre 348 e 1212. Uma melhor

aproximação vendo o argumento que durante a primeira metade do

segundo ano o número de unidades produzidas deveria ser pelo

menos 1/2.(348) = 174 e durante a segunda metade ela deveria ser

pelo menos 1/2.(708) = 354; assim, durante o segundo ano o número

de calculadoras produzidas deveria ser pelo menos 174 + 354 = 528.

Uma interpretação deste raciocínio está mostrada na figura ao lado.

A figura mostra um esboço do gráfico de

e dois retângulos sombreados. A área do primeiro retângulo é 1/2.(348)

= 174, que seria a quantidade de calculadoras produzidas durante a

primeira metade do segundo ano, se a produção durante este tempo

mantiver uma taxa anual constante de f (1) = 348. A área do segundo

retângulo é 1/2.(708) = 354, que é a quantidade de calculadoras que

deveriam ser produzidas durante a segunda metade do ano se a

produção durante esse tempo mantiver uma taxa anual constante de



Área Sob o Gráfico de Uma Função

Seja f uma função contínua não negativa em [a , b]. Então, a área da

região sob o gráfico de f é

onde x1, x2, ..., xn são pontos arbitrários pertencentes aos n

subintervalos de [a , b] de igual comprimento x = (b - a)/n.

A Integral Definida

Como vimos, a área sob o gráfico de uma função contínua não-

negativa f num intervalo [ a , b] é definida pelo limite da soma

de Riemann

Voltaremos agora nossa atenção ao estudo de limites de somas de

Riemann, envolvendo funções que não são necessariamente não-

negativas. Tais limites surgem em muitas aplicações do cálculo.

Por exemplo, o cálculo da distância percorrida por um corpo que se

move ao longo de uma reta envolve a determinação de um limite

dessa forma. O cálculo da receita total realizada por uma companhia

num certo período, o cálculo da energia elétrica total consumida

numa típica residência ao longo de 24 horas, a concentração média

de uma droga num corpo ao longo de um certo intervalo de tempo, e

o volume de um sólido - todos envolvem limites deste tipo.

Começamos com a seguinte definição.

A Integral Definida

Seja f definida em [a , b]. Se

existe para todas as escolhas de pontos representativos x1,x2, ..., xn

nos n subintervalos de [a , b] de igual comprimento x = (b - a)/n,

então este limite é chamado de integral definida de f de a a b e é

denotado por



Assim,

O número a é o extremo inferior da integração, e o número b é o

extremo superior da integração

Interpretação Geométrica da Integral Definida

Se f é não-negativa e integrável em [a , b], então temos a seguinte

interpretação geométrica da integral definida

Interpretação Geométrica de para em [ a , b]

Se f é não-negativa e contínua em [a , b], então

é igual à área da região sob o gráfico de f em [a , b] (Figura abaixo)

de f em [a , b].



O Teorema Fundamental do Cálculo

Seja f contínua em [ a , b ]. Então

onde F é uma antiderivada qualquer de f, isto é, F’(x) = f (x).

Ao aplicarmos o teorema fundamental do cálculo, é conveniente

usarmos a notação

Por exemplo, usando esta notação, escrevemos [ 1 ] da seguinte forma

Exemplo 1:

Seja R a região sob o gráfico de f (x) = x no intervalo [1 , 3]. Use o

teorema fundamental do cálculo para determinar a área A de R e

verifique seu resultado por meios elementares.

Solução:

A região R é mostrada na figura (a) abaixo. Como f não é negativa no

intervalo [1,3], a área da região R é dada pela integral definida de f de

1 a 3, ou seja,

A área de R pode ser calculada de duas maneiras diferentes.



Para calcular a integral definida, observe que uma antiderivada de

f (x) = x é onde C é uma constante arbitrária. Portanto,

pelo teorema fundamental do cálculo, temos

Para verificar este resultado por meios elementares, observe que a

área A é a soma da área do retângulo R 1 (largura x altura) com a

área do triângulo R 2 (1/2 base x altura) como mostra a figura acima

(b); ou seja,

que coincide com o resultado obtido anteriormente.

Observe que no cálculo da integral definida do Exemplo 1, a

constante de integração “desapareceu”. Isto sempre acontece, pois

se F (x) + C denota a antiderivada de uma função f, então

Tendo em mente este fato, em todos os cálculos futuros envolvendo

uma integral definida, podemos ignorar a constante de integração.

Calculando Integrais Definidas

Exemplo 2:

Solução:

Aplicação

Um estudo de eficiência conduzido para a Companhia Elektra

Electronics, mostrou que a taxa à qual os intercomunicadores do

tipo Space Commander são montados por um trabalhador médio, t

horas após iniciar o trabalho às 8:00 da manhã, é dada por



Determine quantos intercomunicadores podem ser montados por

um trabalhador médio na primeira hora do turno da manhã.

Solução:

Denotemos por N(t) o número de intercomunicadores montados

por um trabalhador médio t horas após iniciar o seu trabalho no

turno da manhã. Então, temos

Portanto, o número de unidades montadas por um trabalhador

médio na primeira hora do turno da manhã é

ou seja, 20 unidades.

Propriedades da Integral Definida

Seja f e g integrais definidas, então,



A propriedade 5 afirma que c é um número entre a e b de forma que

divida o intervalo [a , b] nos intervalos [a , c] e [c , b], então a integral

de f no intervalo [a, b] pode ser expressa como a soma da integral de

f no intervalo [a , c] com a integral de f no intervalo [c , b].

A propriedade 5 tem a seguinte interpretação geométrica quando f

não negativa. Por definição é a área da região sob o gráfico

de y = f (x) de x = a a x = b (como mostra a figura 1). Analogamente,

interpretamos as integrais definidas

como as áreas das regiões sob o gráfico de y = f (x) de x = a a x =

c e de x = c a x = b, respectivamente. Como as duas regiões não se

sobrepõem, vemos que

Método de Substituição para Integrais Definidas

Este exemplo mostra duas formas distintas de se calcular uma integral

definida usando o método de substituição.

Exemplo:

Solução:

(Método 1) Primeiramente, determinamos a integral

indefinida correspondente.



Fazemos a substituição , de modo que

Então,

Usando este resultado, calculamos agora a integral definida:

(Método 2) Mudando os limites de integração. Como antes, fazemos

a substituição

Em seguida, observamos que a integral definida é calculada em

relação a x com o domínio de integração dado pelo intervalo [0 , 4].

Se efetuarmos a integração em relação a u por meio da substituição [

1 ],então devemos ajustar o domínio de integração para refletir o fato

de que a integração está sendo executada em relação à nova variável

u. Para determinar o domínio apropriado de integração, note que, x =

0, a equação [ 1 ] implica que

que fornece o limite inferior de integração com relação a u.

Analogamente, quando x = 4, u = 9 + 16 = 25

é o limite superior de integração com relação a u. Assim, o domínio

de integração quando a integração é efetuada com relação a u é dado

pelo intervalo [9 , 25]. Portanto, temos



que coincide com o resultado obtido usando o método 1.

Valor Médio de uma Função

Suponha que f integrável em [ a , b ]. Então, o valor médio de f em

[a , b] é

Exemplo:

Determine o valor médio da função no intervalo [0 , 4].

Solução:

O valor médio solicitado é dado por

Aplicação

As taxas de juros cobradas pela Madison Finance sobre empréstimos

para compra de carros usados durante um certo período de 6 meses

no ano 2000 são aproximadas pela função



onde t é medido em meses e r(t) é a porcentagem anual. Qual é a

taxa média sobre tais empréstimos concedidos pela Madison durante

o período de 6 meses em questão?

Solução:

A taxa média durante o período de 6 meses em questão é dada por

ou seja, 9% ao ano.

Daremos agora uma interpretação geométrica do valor médio de

uma função f num intervalo [a , b]. Suponha que f (x) é não negativa,

de modo que a integral definida é a área sob o gráfico de f

de x = a a x = b (como mostra a figura ao lado).

Observe que, em geral, a “altura” f (x) varia de ponto a ponto. Podemos

substituir f (x) por uma função constante g (x) = k (que tem altura

constante), tal que as áreas sob cada uma das duas funções f e g sejam

as mesmas? Se isto ocorre, como a área sob o gráfico de g de x = a a

x = b é k (b - a), temos



de modo que k é o valor médio de f em [a , b]. Assim, o valor médio

da função f num intervalo [a , b] é a altura de um retângulo com base

de comprimento (b - a) que tem a mesma área da região sob o gráfico

de f de x = a a x = b.

Área Entre Duas Curvas

Suponha que f e g funções contínuas tais que

no intervalo [a , b]. Então, a área da região limitada superiormente

por y = f (x) e inferiormente por y = g (x) em [a , b] é dada por

Embora tenhamos assumido que tanto f quanto g fossem não

negativas ao enunciarmos a equação acima, podemos mostrar que

esta equação permanece válida para f e g quaisquer. Observa também

que se g (x) é zero para todo x, isto é, quando a fronteira inferior da

região R é o eixo x, então a equação acima fornece a área da região

sob a curva y = f (x) de x = a a x = b, como seria de esperar.

Exemplo:

Determine a área da região limitada pelo eixo x, o gráfico de

e as retas x = -1 e x = 4.

Solução:

A região R em consideração é mostrada na figura abaixo. Podemos

ver R como a região limitada superiormente pelo gráfico de f (x) = 0

(o eixo x) e inferiormente pelo gráfico de

Portanto, a área de R é dada por



Aplicação

Num estudo realizado em 1994 para o Ministério do Desenvolvimento

Econômico de um certo país emergente, economistas do governo e

especialistas em energia concluíram que se o Projeto de Lei sobre



Conservação de Energia fosse implementado em 1995, o consumo de

petróleo daquele país pelos 5 anos subseqüentes cresceria de acordo

com o modelo R(t)= 20e 0,05t

onde t é medido em anos (t = 0 correspondendo ao ano de 1995) e

R(t) em milhões de barris por ano. Sem estas mediadas impostas pelo

governo, entretanto, a taxa de crescimento esperada de consumo de

petróleo seria dada por

R1(t) = 20e 0,08t

milhões de barris por ano. Usando estes modelos, determine quanto

petróleo teria sido economizado de 1995 até 2000 se o projeto de lei

tivesse sido implementado.

Solução:

Sob a vigência do Projeto de Lei sobre Conservação de Energia, a

quantidade total de petróleo que teria sido consumida entre 1995 e

2000 é dada por

Na ausência do projeto de lei, a quantidade total de petróleo que teria

sido consumida entre 1995 e 2000 é dada por

A equação [ 1 ] pode ser interpretada como a área da região sob a

curva y = R(t) de t = 0 a t = 5. Analogamente, interpretamos [ 2 ]

como a área da região sob a curva y = R 1(t) de t = 0 a t = 5. Note

também que o gráfico de y = R 1(t) = 20e 0,08t se situa sempre acima

do gráfico de y = R(t) = 20e 0,05t (t 0). Assim, a área da região

sombreada S na figura abaixo mostra a quantidade de petróleo que

teria sido economizada de 1995 a 2000 se o Projeto de Lei sobre

Conservação de Energia tivesse sido implementado. Mas a área da



região S é dada por

ou seja, aproximadamente 9,3 unidades quadradas. Portanto, a

quantidade de petróleo que teria sido economizada é de 9,3 milhões

de barris.



Referências Bibliográficas

TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:

Thomson, 2001.

MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de

Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo:

Atlas, 1999 .

LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São

Paulo: Harbra, 1988.

STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson

Learning, 2003.

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