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  • Matemtica Superior - UVB

    Faculdade On-line UVB1

    Aula 14 Integrao Definida

    Objetivos da Aula

    Apresentar o conceito de integral denida, por meio de somatrio

    de termos nitos e limites tendendo a innito, fazendo sua

    interpretao geomtrica e em seguida enunciar o teorema

    fundamental do clculo.

    A Notao SigmaPara facilitar somas de um grande nmero de parcelas iremos

    introduzir a notao sigma. Esta notao envolve o uso do smbolo

    o sigma maisculo do alfabeto grego, que corresponde ao nosso S.

    Agora daremos alguns exemplos da notao sigma.

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    Temos agora a seguinte denio formal para sigma.

    Denio da Notao Sigma

    onde m e n so inteiros e m n.

    O lado direito da frmula acima consiste da soma de (n - m + 1)

    termos, o primeiro dos quais obtido substituindo-se i por m em F(i),

    o segundo substituindo-se i por (m + 1) em F(i), e assim por diante,

    at que o ltimo termo seja obtido substituindo-se i por n em F(i).

    O nmero m chamado de limite inferior da soma, e n chamado

    limite superior. O smbolo i chamado o ndice do somatrio. um

    smbolo mudo, pois qualquer outra letra poderia ser usada para esse

    propsito. Por exemplo,

    Os teoremas seguintes que envolvem a notao sigma podero ser

    teis para nossos clculos.

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    Exemplo:

    Use as Frmulas de 1 a 4 para calcular os seguintes somatrios.

    Soluo:

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    rea Suponha que o fabricante de uma moderna calculadora eletrnica

    determine que durante os 3 primeiros anos de produo, se x anos

    decorreram desde que a calculadora foi introduzida pela primeira vez,

    f (x) unidades devem ser produzidas anualmente, onde

    Como deveria ser interpretada esta equao? Uma vez que

    algum poderia concluir que 348 calculadoras so produzidas 1

    ano aps o lanamento do produto no mercado. Contudo, esta

    interpretao vlida somente se a taxa de produo for constante,

    na base anual. Isto , 348 unidades deveriam ser produzidas durante o

    segundo ano somente se a taxa anual de produo durante o segundo

    ano fosse uma constante, 348 unidades, que seria o nvel no m do

    primeiro ano. Esta situao no ocorre. Por exemplo,

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    Visto que, quando x = 1, a produo 348 unidades, e quando x = 2

    a produo 1212 unidades, segue que o nmero de calculadoras

    produzidas durante o segundo ano est entre 348 e 1212. Uma melhor

    aproximao vendo o argumento que durante a primeira metade do

    segundo ano o nmero de unidades produzidas deveria ser pelo

    menos 1/2.(348) = 174 e durante a segunda metade ela deveria ser

    pelo menos 1/2.(708) = 354; assim, durante o segundo ano o nmero

    de calculadoras produzidas deveria ser pelo menos 174 + 354 = 528.

    Uma interpretao deste raciocnio est mostrada na gura ao lado.

    A gura mostra um esboo do grco de

    e dois retngulos sombreados. A rea do primeiro retngulo 1/2.(348)

    = 174, que seria a quantidade de calculadoras produzidas durante a

    primeira metade do segundo ano, se a produo durante este tempo

    mantiver uma taxa anual constante de f (1) = 348. A rea do segundo

    retngulo 1/2.(708) = 354, que a quantidade de calculadoras que

    deveriam ser produzidas durante a segunda metade do ano se a

    produo durante esse tempo mantiver uma taxa anual constante de

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    rea Sob o Grfico de Uma FunoSeja f uma funo contnua no negativa em [a , b]. Ento, a rea da

    regio sob o grco de f

    onde x1, x2, ..., xn so pontos arbitrrios pertencentes aos n

    subintervalos de [a , b] de igual comprimento x = (b - a)/n.

    A Integral DefinidaComo vimos, a rea sob o grfico de uma funo contnua no-

    negativa f num intervalo [ a , b] definida pelo limite da soma

    de Riemann

    Voltaremos agora nossa ateno ao estudo de limites de somas de

    Riemann, envolvendo funes que no so necessariamente no-

    negativas. Tais limites surgem em muitas aplicaes do clculo.

    Por exemplo, o clculo da distncia percorrida por um corpo que se

    move ao longo de uma reta envolve a determinao de um limite

    dessa forma. O clculo da receita total realizada por uma companhia

    num certo perodo, o clculo da energia eltrica total consumida

    numa tpica residncia ao longo de 24 horas, a concentrao mdia

    de uma droga num corpo ao longo de um certo intervalo de tempo, e

    o volume de um slido - todos envolvem limites deste tipo.

    Comeamos com a seguinte denio.

    A Integral Denida

    Seja f denida em [a , b]. Se

    existe para todas as escolhas de pontos representativos x1,x2, ..., xn

    nos n subintervalos de [a , b] de igual comprimento x = (b - a)/n,

    ento este limite chamado de integral denida de f de a a b e

    denotado por

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    Assim,

    O nmero a o extremo inferior da integrao, e o nmero b o

    extremo superior da integrao

    Interpretao Geomtrica da Integral DefinidaSe f no-negativa e integrvel em [a , b], ento temos a seguinte

    interpretao geomtrica da integral denida

    Interpretao Geomtrica de para em [ a , b]

    Se f no-negativa e contnua em [a , b], ento

    igual rea da regio sob o grco de f em [a , b] (Figura abaixo)

    de f em [a , b].

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    O Teorema Fundamental do ClculoSeja f contnua em [ a , b ]. Ento

    onde F uma antiderivada qualquer de f, isto , F(x) = f (x).

    Ao aplicarmos o teorema fundamental do clculo, conveniente

    usarmos a notao

    Por exemplo, usando esta notao, escrevemos [ 1 ] da seguinte forma

    Exemplo 1:

    Seja R a regio sob o grco de f (x) = x no intervalo [1 , 3]. Use o

    teorema fundamental do clculo para determinar a rea A de R e

    verique seu resultado por meios elementares.

    Soluo:

    A regio R mostrada na gura (a) abaixo. Como f no negativa no

    intervalo [1,3], a rea da regio R dada pela integral denida de f de

    1 a 3, ou seja,

    A rea de R pode ser calculada de duas maneiras diferentes.

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    Para calcular a integral denida, observe que uma antiderivada de

    f (x) = x onde C uma constante arbitrria. Portanto,

    pelo teorema fundamental do clculo, temos

    Para vericar este resultado por meios elementares, observe que a

    rea A a soma da rea do retngulo R 1 (largura x altura) com a

    rea do tringulo R 2 (1/2 base x altura) como mostra a gura acima

    (b); ou seja,

    que coincide com o resultado obtido anteriormente.

    Observe que no clculo da integral denida do Exemplo 1, a

    constante de integrao desapareceu. Isto sempre acontece, pois

    se F (x) + C denota a antiderivada de uma funo f, ento

    Tendo em mente este fato, em todos os clculos futuros envolvendo

    uma integral denida, podemos ignorar a constante de integrao.

    Calculando Integrais DefinidasExemplo 2:

    Soluo:

    AplicaoUm estudo de ecincia conduzido para a Companhia Elektra

    Electronics, mostrou que a taxa qual os intercomunicadores do

    tipo Space Commander so montados por um trabalhador mdio, t

    horas aps iniciar o trabalho s 8:00 da manh, dada por

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    Determine quantos intercomunicadores podem ser montados por

    um trabalhador mdio na primeira hora do turno da manh.

    Soluo:

    Denotemos por N(t) o nmero de intercomunicadores montados

    por um trabalhador mdio t horas aps iniciar o seu trabalho no

    turno da manh. Ento, temos

    Portanto, o nmero de unidades montadas por um trabalhador

    mdio na primeira hora do turno da manh

    ou seja, 20 unidades.

    Propriedades da Integral DefinidaSeja f e g integrais denidas, ento,

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    A propriedade 5 arma que c um nmero entre a e b de forma que

    divida o intervalo [a , b] nos intervalos [a , c] e [c , b], ento a integral

    de f no intervalo [a, b] pode ser expressa como a soma da integral de

    f no intervalo [a , c] com a integral de f no intervalo [c , b].

    A propriedade 5 tem a seguinte interpretao geomtrica quando f

    no negativa. Por denio a rea da regio sob o grco

    de y = f (x) de x = a a x = b (como mostra a gura 1). Analogamente,

    interpretamos as integrais denidas

    como as reas das regies sob o grco de y = f (x) de x = a a x =

    c e de x = c a x = b, respectivamente. Como as duas regies no se

    sobrepem, vemos que

    Mtodo de Substituio para Integrais DefinidasEste exemplo mostra duas formas distintas de se calcular uma integral

    denida usando o mtodo de substituio.

    Exemplo:

    Soluo:

    (Mtodo 1) Primeiramente, determinamos a integral

    indefinida correspondente.

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    Fazemos a substituio , de modo que

    Ento,

    Usando este resultado, calculamos agora a integral denida:

    (Mtodo 2) Mudando os limites de integrao. Como antes, fazemos

    a substituio

    Em seguida, observamos que a integral denida calculada em

    relao a x com o domnio de integrao dado pelo intervalo [0 ,