05a-integrais de linha

AM2

Linha

Vetortangente ereta tangente

Integral delinha decampo escalar

Comprimentode uma linha

Integral delinha decampo vetorial

Camposconservativos

Teorema deGreen

Integrais de linhaAnalise Matematica II – Calculo II

Sandra Gaspar Martins

2o Semestre 2013/14

Versao de 30 de Maio de [email protected]

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Camposconservativos

Teorema deGreen

Equacoes parametricas da curva Cde R2

Definicao

Seja C uma curva/linha de R2 tal que{x = f (t)y = g(t)

, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,

com f e g funcoes contınuas em I. A t chama-se a variavel ouparametro.

A orientacao da curva C corresponde ao sentido definido pelosvalores crescentes de t no intervalo I .

Ao ponto (x , y) correspondente a t = a chama-se origem ouponto de partida e ao correspondente a t = b chama-seextremidade ou ponto de chegada da curva.

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Teorema deGreen

Outra forma de descrever a curva C e utilizando funcoesvetoriais:

~r : I = [a, b] −→ R2

t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t))

~r(a) e a origem ou ponto de partida e~r(b) e a extremidade ou ponto de chegada de C.

Exemplo: Represente geometricamente a curva C:

~r : [−1, 1] −→ R2

t 7−→ ~r(t) = (t, t2)

ou seja, {x = ty = t2 , t ∈ I = [−1, 1]

ou seja,

~r(t) = (t, t2), t ∈ [−1, 1] 3/49

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Teorema deGreen

Exercıcios

Represente geometricamente as curvas:

1 ~r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 2]

2 ~r(t) = (t, sin(t)), t ∈ [0, π]

3 ~r(t) = (t,√

t), t ∈ [0, 9]

4 ~r(t) = (t, t + 3), t ∈ [0, 5]

5 ~r(t) = (t, t), t ∈ [0, 2]

6 ~r(t) = (t,−t), t ∈ [0, 2]

7 ~r(t) = (1 + 2t, 2 + t), t ∈ [0, 1]

8 ~r(t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ [0, 2]

9 ~r(t) = (t + 1, t2 + 3), t ∈ [0, 2]

10 ~r(t) = (|t|, |t|2), t ∈ [−2, 2]

11 ~r(t) = (|t|, |t|+ 3), t ∈ [−3, 3]

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Teorema deGreen

Exercıcios


1 ~r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t)), t ∈ [0, 2π]

2 ~r(t) = (2 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [0, π]

3 ~r(t) = (cos(t)− 2, sin(t) + 3), t ∈ [0, π2 ]

4 ~r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π]

5 ~r(t) = (5 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [π, 2π]

6 ~r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [−π, π3 ]

7 ~r(t) = (cos(t)− 4, sin(t) + 2), t ∈ [−π2 , 0]

8 ~r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)), t ∈ [0, 4π]

9 ~r(t) = (sin(t)− 1, cos(t) + 3), t ∈ [π2 , 2π]

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Teorema deGreen

Definicao

Uma parametrizacao de um segmento de reta com origem emA e extremidade em B, pode ser:

~r(t) = A + t( ~AB), t ∈ [0, 1].

Definicao

Seja C uma curva dada pelo caminho ~r(t), t ∈ [a, b] comorigem em A = ~r(A) e extremidade em B = ~r(B). A curva −C(com origem em B e extremidade em A) e dada pelo caminhoinverso de ~r , ~r∗, obtem-se se ~r substituindo t por −t, ou seja,

~r∗(t) = ~r(−t), t ∈ [−b,−a]

.Exemplo: Parametrize o segmento de reta de R2 que comecaem (0,1) e termina em (2,3) e o caminho inverso.

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Teorema deGreen

Exercıcios I

Parametrize as seguintes curvas e as curvas inversas:

1 O segmento de reta que comeca em (1,2) e termina em(-1,-3).

2 A parte da reta y = 2x para x ∈ [−2, 3].

3 A parte do grafico da funcao f (x) = ex2 − 1 para

x ∈ [0, 1].

4 As linhas que se seguem:

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Teorema deGreen

Exercıcios II

Nota: Repare que a parametrizacao nao e unica.

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Teorema deGreen

Equacoes parametricas da curva Cde R3

Definicao

Seja C uma curva/linha de R3 tal quex = f (t)y = g(t)z = h(t)

, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,

ou seja,

~r : I = [a, b] −→ R3

t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t), h(t))

ou seja,

~r(t) = (f (t), g(t), h(t)), t ∈ [a, b]

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Teorema deGreen

Exercıcios


1 ~r(t) = (0, 2, 2t), t ∈ [−1, 1]

2 ~r(t) = (0, t, 2t + 1), t ∈ [0, 3]

3 ~r(t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [−2, 2]

4 ~r(t) = (0, |t|, |t|2 + 3), t ∈ [−3, 4]

5 ~r(t) = (cos(t), sin(t), 2), t ∈ [0, 2π]

6 Helice circular:~r(t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 4π]

7 Helice elıptica:~r(t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4π]

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Teorema deGreen

Exercıcios

Parametrize as linhas de R3 indicadas na figura seguinte querepresenta o cilindro

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5}

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Teorema deGreen

Classificacao de curvas

Definicao

Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].A curva C diz-se fechada se a origem coincide com aextremidade, ou seja, ~r(a) = ~r(b). Caso contrario a curvadiz-se aberta.

A curva C diz-se simples se nao se intersecta a si propria(excluindo a origem e a extremidade).

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Teorema deGreen

Vetor tangente e reta tangente

Definicao

Seja C uma curva de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Designa-se por vetor tangente a curva C no pontoP0 = ~r(t0) a derivada

~r ′(t0) = limh→0

~r(t0 + h)−~r(t0)

h, t0 ∈]a, b[

quando existe e e nao nula.

A reta tangente a curva em P0 = ~r(t0) e dada por:

(x , y , z) = ~r(t0) + t~r ′(t0), t ∈ R

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Teorema deGreen

1 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) paraB = (−1, 0), ao longo de uma circunferencia de equacao

x2 + y 2 = 1

em sentido directo (anti-horario). Determine a equacao dareta tangente a curva no ponto (0,1).

2 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) paraB = (0, 2), ao longo de uma elipse de equacao

x2 +y 2

4= 1

em sentido directo (anti-horario). Determine a equacao dareta tangente a curva no ponto correspondente a t = π

4 .

3 Determine a reta tangente a curva representada pelafuncao

~r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t)

no ponto t0 = π4 .

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Teorema deGreen

Aplicacoes

Se ~r(t) der origem a uma curva que traduz o movimento deum corpo ou partıcula, ~r ′(t) correspondera ao vetorvelocidade, ou seja,

~v(t) = ~r ′(t).

O vetor aceleracao sera

~a(t) = ~v ′(t) = ~r ′′(t).

Exemplo: Considere um objecto que se move ao longo de umacurva C dada por

~r(t) = (t − 2, t2).

Determine os vetores velocidade e aceleracao nos instantest = 0 e t = 1. Represente-os.

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Teorema deGreen

Definicao

Uma curva C de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b] diz-se regularse a derivada ~r ′(t) existe e e contınua (o que significa que~r(t) ∈ C 1) e nao nula em ]a, b[.

C e seccionalmente regular se se puder dividir num numerofinito de curvas regulares.

Nota: Se um caminho e regular, a curva por ele descrita naoapresenta bicos nem esquinas angulosas pois a derivada evoluisem variacoes bruscas de direccao ou sentido.

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Integral de linha de campo escalarConsidere uma linha/curva em R3

E o campo escalar f (x , y , z) que a cada ponto (x , y , z) (de R3-em particular da curva) faz corresponder umnumero/quantidade/altura.

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Teorema deGreen

Com os valores da funcao em todos os pontos

Obtemos uma cortina/muro sobre a linha.

O integral de linha de campo escalar da-nos a area dessacortina. Da-nos a quantidade total de f (x , y , z) sobre a linha(afetada de sinal, conforme esta acima ou abaixo da curva).

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Teorema deGreen

Por exemplo:

Se f (x , y , z) da a quantidade de agua que choveu noponto (x , y , z) durante um certo dia, o integral de f da aquantidade total de agua que choveu sobre essa curvanesse dia.

Se f (x , y , z) da temperatura no ponto (x , y , z) num dadomomento, podemos saber a temperatura media sobre essalinha dividindo o valor do integral pelo comprimento dalinha.

Se a linha for um arame com densidade dada pela funcaoρ(x , y , z), o integral de ρ ao longo da linha da a massatotal do arame.

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Teorema deGreen

Como vamos obter este valor?

Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Dividindo o intervalo [a, b] em n intervalos [ti , ti+1],i = 0, ..., n − 1.Dividimos, tambem, a curva C em n intervalos [~r(ti ),~r(ti+1)].

||~r(ti+1)−~r(ti )|| da-nos aproximadamente o comprimento do”intervalo i”da curva.

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Logo f (~r(ti ))||~r(ti+1)−~r(ti )|| da-nos aproximadamente a areaa azul:

Somando as areas de todos os intervalos obtemosn−1∑i=0

f (~r(ti ))||~r(ti+1)−~r(ti )||

teremos a area de toda a cortina/muro.

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Teorema deGreen

Repare que ||~r(ti+1)−~r(ti )||∆t ≈ ||~r ′(ti )|| pelo que a area total pode

ser escrita como

n−1∑i=0

f (~r(ti ))||~r ′(ti )|| ∆t

Passando ao limite

limn→+∞

n−1∑i=0

f (~r(ti ))||~r ′(ti )|| ∆t

obtemos ∫ b

af (~r(t))

∥∥~r ′(t)∥∥ dt

que e o valor exato da area da cortina, e potanto, o quedesignamos por integral de linha de campo escalar.

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Teorema deGreen

Definicao

Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Seja f : Df ⊂ Rn −→ R um campo escalar contınuo cujodomınio Df contem todos os pontos da curva CChamamos integral de linha do campo escalar f ao longo dacurva C ao integral∫

Cf ds =

∫ b

af (~r(t))

∥∥~r ′(t)∥∥ dt

Notas:

Este integral nao depende da parametrizacao escolhidapara C.

http://www.personal.psu.edu/dpl14/java/calculus/lineintegral.html

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Teorema deGreen

PropriedadesPropriedades dos integrais de linha de campos escalares:Seja f e g campos escalares contınuos com Df ,Dg ⊂ Rn eC curva regular totalmente contida em Df ∩ Dg .C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Df .−C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em Df ).α, β ∈ R.

1 ∫−C

f ds =

∫C

f ds

2 ∫Cαf + βg ds = α

∫C

f ds + β

∫C

g ds

3 ∫C1∪C2

f ds =

∫C1

f ds +

∫C2

f ds

Aplicacoes: A massa de uma linha C com densidade dada pelafuncao ρ(x , y , x) e

∫C ρ ds

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Teorema deGreen

Exercıcios I

1 Calcule∫C f ds onde f (x , y) = x e C e a linha da figura:

2 Calcule∫C y ds onde C e a meia circunferencia de raio 2

centrada na origem percorrida no sentido anti-horariodesde o ponto (2,0) ate ao ponto (-2,0). (R: 8)

3 Sabendo que a densidade de um fio e dada porρ(x , y) = 2

√x − y onde C tem a forma de um segmento

de reta com origem em (0,0) e extremidade em (1,1).

Calcule a massa desse fio. (R: 5√

26 )

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Teorema deGreen

Exercıcios II

4 Calcule∫C x + z ds onde C e o segmento de reta que tem

origem em (0,2,3) e termina em (2,1,0). (R: 5√

142 )

5 Calcule∫C x + y + z ds onde C e a linha de equacao

parametrica x = cos(t)y = sin(t)z = t

entre os pontos (1,0,0) e (1,0,2π). R: 2√

2π2

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Teorema deGreen

Comprimento de uma linha

O integral de linha do campo escalar f (x , y , z) = 1 da ocomprimento da linha, ou seja:

Definicao

Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Chamamos comprimento da linha/curva C com origem emA = ~r(a) e extremidade B = ~r(b) ao integral

lC =

∫ b

a

∥∥~r ′(t)∥∥ dta

aEste integral nao depende da parametrizacao escolhida para C.

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Teorema deGreen

Exercıcios1 Prove que o perımetro de uma circunferencia de raio R e

2πR.2 Determine k de modo que o comprimento da reta

y = −2x + 1 entre 0 e k seja 2.3 Considere

~r(t) = 4 sin(t)~e1 + 3t ~e2 + 4 cos(t)~e3, t ∈ [0, π]

Esboce a curva e calcule o seu comprimento. (R : 5π)4 Determine o comprimento da curva C de equacoes{

x = et cos(t)y = et sin(t)

, t ∈[0,π

2

]5 Determine o comprimento do arco de curva dado por

x = aet cos(t)y = aet sin(t)

z = aet

desde (a, o, a) ate (−aeπ, 0, aeπ). R:√

3a(eπ − 1)28/49

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Teorema deGreen

Definicao

Seja C uma curva dada por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].Seja ~f : D~f ⊂ Rn −→ R3 ~f = (f1, f2, f3) um campo vetorialcontınuo cujo domınio D~f contem todos os pontos da curva C.

Chamamos integral de linha do campo vetorial ~f ao longoda curva C ao integral∫C~f · dr =

∫ b

a

~f (~r(t)) ·~r ′(t) dt =

∫ b

af1 dx + f2 dy + f3 dz

Notas:

Se admitirmos que ~f representa um campo de forcas, ointegral da funcao vetorial ~f ao longo da linha Crepresenta o trabalho realizado por ~f para deslocar umapartıcula ao longo da linha C .Este integral nao depende da parametrizacao escolhidapara C.http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_

introduction29/49

http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_introduction

http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_introduction

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Propriedades

Propriedades dos integrais de linha de campos vetoriais:Seja ~f e ~g campos escalares contınuos com D~f ,D~g ⊂ Rn eC curva regular totalmente contida em D~f ∩ D~g .C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em D~f .−C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em D~f ).α, β ∈ R.

1 ∫−C~f · dr = −

∫C~f · dr

2 ∫C

[α~f + β~g

]· dr = α

∫C~f · dr + β

∫C~g · dr

3 ∫C1∪C2

~f · dr =

∫C1

~f · dr +

∫C2

~f · dr

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Teorema deGreen

Exercıcios:

1 Calcule o trabalho realizado pela forca~f (x , y) = (x2 − 2xy , 2xy + y 2) ao longo da linha y = x2

desde (0,0) ate (3,9). R:405.9

2 Calcule o trabalho realizado pela forca~f (x , y) = (1 + xy , x − y) no deslocamento do seu pontode aplicacao ao longo da linha fechada definida por y = x ,y = −1, x = 0 e x = 2 no sentido horario. R:−2

3

3 Calcule o trabalho realizado pela forca ~f (x , y) = (y , x) aodeslocar uma partıcula desde (0,0) ate (1,1) ao longo daslinhas

1 y = x2 y = x2

3 y = x3

R:1

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Teorema deGreen

Interpretacao

Imagine que esta a remar num rio com alguma corrente. Asvezes esta a trabalhar contra a corrente, outras vezes esta amovimentar-se gracas a ela. No final tem a sensacao de saberse, em geral, foi ajudado ou prejudicado pela corrente.

O integral de linha mede o grau em que uma curva num campode vectores esta, em geral, a ir com o campo de vectores oucontra ele.

Lembre-se que para quaisquer dois vetores ~u e ~v o produtointerno ~u · ~v e positivo se ~u e ~v apontam aproximadamente namesma direccao (isto e, se o angulo entre eles e inferior a π

2 ).O produto interno e zero se ~u e perpendicular a ~v e e negativo,se eles apontam aproximadamente em direccoes opostas (istoe, se o angulo entre eles e maior do que π

2 ).

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Teorema deGreen

O integral de linha de ~f adiciona o produto interno de ~f e ∆rao longo do caminho.

Se ||~f || e constante, o integral de linha da um numero positivose ~f (maioritariamente) apontar na mesma direcao que C, e umnumero negativo se ~f (maioritariamente) apontar na direcaooposta a de C. O integral de linha e zero se ~f e perpendicularao percurso em todos os pontos, ou se as contribuicoespositivas e negativas se anularem.

Em geral, o integral de linha de um campo vectorial ~f ao longode uma curva C mede ate que ponto C vai com ~f ou contra ~f .(De: Hughes-Hallett, Calculus)

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Teorema deGreen

ExercıcioConsidere o campo vetorial ~f e as curvas C1,C2,C3, e C4

apresentadas na figura. As curvas C1 e C3 tem o mesmocomprimento. Quais dos seguintes integrais sao positivos? Enegativos? Ordene-os de forma crescente.∫

Ci

~f · dr i = 1, 2, 3, 4

R: C4,C1,C3,C234/49

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Teorema deGreen

ExercıcioQual o sinal do integral dos seguintes campos vetoriais nasrespetivas linhas?

R: 1.neg 2.pos 3.zero 4.pos 5.zero35/49

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Campos conservativos

Imagine que pretende transportar um sofa de um res-do-chaopara o 1o andar. Tera que ”lutar”contra a gravidade. A forcaque vai ser feita e a mesma quer va pelo elevador quer va pelasescadas. Vamos modelar este problema e confirma-lo:

A forca da gravidade pode ser modelada por~f (x , y , z) = (0, 0,−9.8). Vamos modelar o caminho doelevador pelo segmento de reta entre (0,0,0) e (0,0,2). Oprimeiro lance de escadas pelo segmento de reta que comecaem (0,0,0) e termina em (0,1,1) e o segundo pelo segmento dereta que comeca em (0,1,1) e termina em (0,0,2).Calcule o trabalho realizado por esta forca ao longo dos doiscaminhos.

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Teorema deGreen

Nesta seccao consideremos apenas campos vetoriais~f = (f1, f2, ..., fn) cujas componentes sejam contınuas numconjunto aberto, simplesmente conexo.

Definicao

~f : Rn −→ Rn e um campo conservativo (ou campogradiente) se existe ϕ : Rn −→ R

~f = ∇ϕ(~x),

ou seja,

(f1, f2, ..., fn) =

(∂ϕ

∂x1,∂ϕ

∂x2, ...,

∂ϕ

∂xn

)A funcao ϕ chama-se a funcao potencial geradora de ~f .

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Teorema deGreen

Vejamos se ~f (x , y) = (2xy 3 + 1, 3x2y 2 + 12y 3) e conservativo.Ou seja, vamos procurar

ϕ(x , y) : ~f (x , y) = ∇ϕ(x , y) =(∂ϕ∂x ,

∂ϕ∂y

)

∂ϕ∂x = 2xy 3 + 1 ⇒ ϕ(x , y) = x2y 3 + x + C (y)

⇓∂ϕ∂y = 3x2y 2 + 12y 3 ∂ϕ

∂y = 3x2y 2 + 0 + C ′(y)

↘ ↙comparando:

C ′(y) = 12y 2

C (y) = 4y 3 + k

portanto

ϕ(x , y) = x2y 3 + x + 4y 3 + k , k ∈ R

Ou seja, ~f e conservativo.

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Teorema deGreen

Exercıcios:

Verifique se os seguintes campos vetoriais sao conservativos:

1 ~f (x , y) = (2xy 3, 3x2y 2 + 2y)

2 ~f (x , y) = (2x + 2y , 2x − 3y 2)

3 ~f (x , y) = (cos(y)− 2y cos(x),−x sin(y)− 2sin(x))

4 ~f (x , y , z) = (2xyz , x2z + 2, x2y + 3z2)

5 ~f (x , y) = (yexy , xexy )

6 ~f (x , y) = (2xy 5, x5y 2)

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Teorema

Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b], portanto comorigem A = ~r(a) e extremidade B = ~r(b). Se um campovetorial ~f e conservativo, isto e, ~f = ∇ϕ entao

w =

∫C~f · dr = ϕ(B)− ϕ(A)

ou seja, o trabalho realizado por ~f e independente docaminho.

Nota: Quando o campo e conservativo o trabalho ao longo deuma linha fechada e 0.

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Teorema deGreen

Demonstracao:

w =

∫C~f · dr

=

∫ b

a

~f (~r(t)) ·~r ′(t) dt

=

∫ b

a∇ϕ(~r(t)) ·~r ′(t) dt

=

∫ b

a

dϕ(~r(t))

dtdt

= ϕ(~r(b))− ϕ(~r(a))

= ϕ(B)− ϕ(A)

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Teorema deGreen

Exercıcios

1 Calcule o valor do integral∫C~f · dr onde

~f (x , y) = (2xy − y 4 + 3, x2 − 4xy 3) sendo C um caminhoqualquer que une os pontos (1,0) a (2,1).

2 Calcule o trabalho de ~f (x , y , z) = (yzexyz , xzexyz , xyexyz)ao longo da espiral descrita pelo caminho~r(t) = (5 cos(t),

√t, 5 sin(t)) com t ∈ [0, 4π].

3 Considere o campo vetorial ~F (x , y) = (x2 + y 2, αxy), comα ∈ R.

1 Determine o valor de α para o qual ~F e um campogradiente.

2 Para o valor de α determinado na alınea anterior calcule otrabalho realizado pelo campo ~F ao longo do caminhoγ(t) = (t, et2−1), t ∈ [0, 1].

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Teorema deGreen

Teorema

Seja ~f : Rn −→ Rn.~f e conservativo, se e so se,

J~f = JT~f.

Ou seja, sse a matriz Jacobiana e simetrica.

Nota: No caso de ~f : R2 −→ R2.~f e conservativo, se e so se,

∂f1

∂y=∂f2

∂x.

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Teorema deGreen

Exercıcios:

Confirmemos agora de outra forma se sao, ou nao,conservativos os campos vetoriais que estudamos atras:

1 ~f (x , y) = (2xy 3, 3x2y 2 + 2y)

2 ~f (x , y) = (2x + 2y , 2x − 3y 2)

3 ~f (x , y) = (cos(y)− 2y cos(x),−x sin(y)− 2sin(x))

4 ~f (x , y , z) = (2xyz , x2z + 2, x2y + 3z2)

5 ~f (x , y) = (yexy , xexy )

6 ~f (x , y) = (2xy 5, x5y 2)

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Teorema deGreen

Teorema de GreenSeja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b], fechada, simples,seccionalmente de classe C 1, orientada no sentido positivo1

cujo interior e a regiao A.Seja ~f : D~f ⊂ R2 −→ R2, ~f = (f1, f2) um campo vetorial declasse C 1 cujo domınio D~f contem todos os pontos da curva Ce do seu interior, A.Entao ∫

C~f · dr =

∫∫A

∂f2

∂x− ∂f1

∂ydx dy .

1deixando a esquerda os pontos do interior de C.45/49

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Teorema deGreen

Exercıcios I

1 Verifique o teorema de Green para a funcao~f (x , y) = (2y , x + 3) e a seguinte regiao sombreada:

R: −π2

2 Use o teorema de Green para a confirmar que a area deum cırculo de raio R e πR2.

3 Verifique o teorema de Green para a funcao~F (x , y) = 2xy ~e1 + (x − y)~e2 para a regiao de R2 em que0 ≤ y ≤ x + 2 e x2 + y 2 ≤ 4. R: π − 2

3

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Teorema deGreen

Exercıcios II

4 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalhorealizado pelo campo de forcas ~F (x , y) = (1 + y , y + x) aodeslocar uma partıcula ao longo da fronteira de Rpercorrida no sentido positivo em que

R ={

(x , y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 < 4, y ≤ x , x ≥ 0}.

5 Utilize o teorema de Green para calcular o valor de∫∫D yex+y dx dy com ~F (x , y) = (yex+y , ex+y ) e

D ={

(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

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Teorema deGreen

Exercıcios III6 * Considere a linha

L ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, x ≤ 0}

”percorrida de baixo para cima”e o campo vetorial~F (x , y) = (xy 2, xy). Use o Teorema de Green paracalcular o trabalho realizado por ~F ao longo de L.R: 0

7 Considere a regiao

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ x2 − 1}.

Calcule a area de R sem calcular integrais duplos.

Nota:P(sin2(x)) = x

2 −sin(2x)

4

P(cos2(x)) = x2 + sin(2x)

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Teorema deGreen

Autora:Sandra Gaspar Martins

Com base no trabalho de:Nuno David Lopes

eCristina Januario

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05a-integrais de linha

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