integrais de funções complexas

18
47 Capítulo 4 Integrais de funções complexas 4.1. Introdução Uma primeira referência a integrais de funções complexas e a algumas das suas aplicações aparece num trabalho de L. Euler apresentado à Academia das Ciências de S. Petersburgo em 1777, embora sem tornar rigorosa a definição do integral nem mencionar que se trata de integrais sobre caminhos no plano complexo. Na verdade, a identificação dos números complexos com pontos de um plano ainda não se encontrava disponível nessa altura. A primeira menção a uma noção rigorosa de integrais de funções complexas sobre caminhos aparece numa carta enviada por C. Gauss a F.W. Bessel em 1811. A mesma carta refere um resultado de independência do integral em relação a caminhos de integração com as mesmas extremidades. Estes resultados nunca foram publicados, mas Gauss usou integrais complexos em 1816 numa das suas demonstrações do célebre Teorema Fundamental da Álgebra que é considerado em detalhe no capítulo seguinte. Em 1814, A.L. Cauchy apresentou à Academia das Ciências de Paris uma memória que referia integrais de funções complexas de forma análoga à de L. Euler em 1777. Esta memória só foi publicada em 1825 e nessa altura incluía uma nota, adicionada por Cauchy em 1822, onde se referia que os integrais sobre a fronteira de um rectângulo de lados paralelos aos eixos coordenados são nulos para funções complexas continuamente diferenciáveis no fecho do rectângulo. Este resultado, que nas condições referidas pode ser obtido do Teorema de Green 1 para funções reais definidas em conjuntos de (ver secção 4.4), é um caso particular do célebre Teorema de Cauchy, embora com a hipótese excessivamente forte de continuidade das derivadas da função integranda. 2 1 George Green (1793-1841).

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Page 1: Integrais de funções complexas

47

Capítulo 4

Integrais de funções complexas

4.1. Introdução Uma primeira referência a integrais de funções complexas e a algumas das suas aplicações aparece num trabalho de L. Euler apresentado à Academia das Ciências de S. Petersburgo em 1777, embora sem tornar rigorosa a definição do integral nem mencionar que se trata de integrais sobre caminhos no plano complexo. Na verdade, a identificação dos números complexos com pontos de um plano ainda não se encontrava disponível nessa altura.

A primeira menção a uma noção rigorosa de integrais de funções complexas sobre caminhos aparece numa carta enviada por C. Gauss a F.W. Bessel em 1811. A mesma carta refere um resultado de independência do integral em relação a caminhos de integração com as mesmas extremidades. Estes resultados nunca foram publicados, mas Gauss usou integrais complexos em 1816 numa das suas demonstrações do célebre Teorema Fundamental da Álgebra que é considerado em detalhe no capítulo seguinte.

Em 1814, A.L. Cauchy apresentou à Academia das Ciências de Paris uma memória que referia integrais de funções complexas de forma análoga à de L. Euler em 1777. Esta memória só foi publicada em 1825 e nessa altura incluía uma nota, adicionada por Cauchy em 1822, onde se referia que os integrais sobre a fronteira de um rectângulo de lados paralelos aos eixos coordenados são nulos para funções complexas continuamente diferenciáveis no fecho do rectângulo. Este resultado, que nas condições referidas pode ser obtido do Teorema de Green1 para funções reais definidas em conjuntos de ℝ (ver secção 4.4), é um caso particular do célebre Teorema de Cauchy, embora com a hipótese excessivamente forte de continuidade das derivadas da função integranda.

2

1 George Green (1793-1841).

Page 2: Integrais de funções complexas

48 Integrais de funções complexas É de notar que a definição rigorosa de integral, mesmo no caso de funções reais contínuas num intervalo limitado e fechado, só apareceu em 1823, também pela mão de Cauchy. Em 1854, B. Riemann estendeu esta noção de integral a funções reais limitadas num intervalo limitado e fechado sem a exigência de continuidade e, em 1902, H. Lebesgue2 estendeu de forma geral o conceito de integral de funções reais na sua tese de doutoramento com o título Intégrale, Longeur, Aire. O Teorema de Cauchy estabelece que integrais de funções holomorfas num conjunto sobre caminhos fechados nesse conjunto são nulos, sob certas condições topológicas ou geométricas relativas ao conjunto e aos caminhos γ considerados. Note-se que esta propriedade é equivalente à igualdade dos integrais entre qualquer par ordenado de pontos da curva fechada *γ sobre os diferentes caminhos que unem os pontos ao longo da curva *γ . Em consequência, a validade do Teorema de Cauchy para os caminhos fechados de um certo conjunto é equivalente à invariância do integral em classes de caminhos com as mesmas extremidades que se obtêm uns dos outros por deformações contínuas realizadas sem deixar o conjunto e, portanto, à propriedade referida na carta de Gauss a Bessel acima mencionada. É, aliás, esta propriedade que Cauchy estabelece na Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, também publicada em 1825, para caminhos bem mais gerais do que as fronteiras de rectângulos mas também com a hipótese de continuidade das derivadas das funções integrandas. O mesmo trabalho também incluiu uma definição rigorosa de integrais complexos que, embora correspondam aos integrais sobre caminhos, são aí definidos sem qualquer referência geométrica. Na verdade, Cauchy considera-os relativamente a funções auxiliares que se viu forçado a introduzir para poder tornar consistente a definição de integral. Aliás, parece claro que Cauchy desconhecia na altura a própria interpretação geométrica dos números complexos como pontos de um plano, que foi estabelecida mais tarde num artigo de C. Gauss publicado em 1831.

Em 1900, E. Goursat3 provou uma versão do Teorema de Cauchy sem exigir a hipótese de continuidade da derivada da função integranda e abriu o caminho para estabelecer que as derivadas de funções holomorfas num conjunto aberto arbitrário são sempre indefinidamente diferenciáveis. Portanto, basta existir a primeira derivada de uma função complexa num tal conjunto para existirem nesse conjunto todas as derivadas de ordem superior, e, em consequência, para que a função seja indefinidamente continuamente diferenciável. Uma outra consequência interessante é que a existência de primitiva de uma função complexa contínua num conjunto aberto implica que esta função é holomorfa e, portanto, indefinidamente continuamente diferenciável.

Neste capítulo estabelece-se o Teorema de Cauchy localmente em conjuntos convexos e no capítulo 7 estabelece-se uma versão global deste teorema. Com base no Teorema de Cauchy é possível obter a Fórmula de Cauchy, a qual dá os valores de uma

2 Henri Lebesgue (1875-1941). 3 Édouard Goursat (1850-1936).

Page 3: Integrais de funções complexas

4.2. Integrais sobre caminhos 49 função holomorfa num conjunto de pontos fora de uma curva fechada em termos de integrais que envolvem apenas os valores da função sobre essa curva. Para o caso de circunferências, esta fórmula foi estabelecida em 1831 pelo próprio Cauchy, numa memória dedicada à mecânica celeste. Uma consequência da Fórmula de Cauchy é a Propriedade de Valor Médio de funções holomorfas que estabelece a igualdade do valor de uma função no centro de um círculo fechado onde é holomorfa à média dos seus valores na fronteira do círculo.

A Fórmula de Cauchy envolve a consideração do sentido e do número de voltas que um caminho percorre em torno de um ponto, o que é expresso em termos da noção de índice, ou número de rotação, de um caminho em relação a um ponto. Esta noção foi introduzida por L. Kronecker4 em 1869 e redescoberta mais tarde por H. Poincaré que não a conhecia dos trabalhos de Kronecker. É conveniente saber que estes índices são invariantes sob deformações contínuas dos caminhos na região complementar ao ponto considerado, ideia que é tornada rigorosa com a noção de homotopia entre caminhos introduzida por C. Jordan5 em 1866 e desenvolvida por H. Poincaré6, passando a constituir um dos elementos de base da Topologia Algébrica.

4.2. Integrais sobre caminhos As noções de caminho em ℂ e em ℝ são idênticas, pelo que há apenas que clarificar e relembrar a terminologia e a notação adoptadas. Tal como para subconjuntos de ℝ 2 um caminho em ℂ é uma função contínua

2

⊂S γ de um intervalo limitado e fechado de ℝ em . Uma curva em S é um subconjunto de que é o contradomínio de um caminho

S Sγ em , designado por S *γ . Diz-se que γ representa ou percorre a

curva *γ e que esta curva corresponde ao caminho γ .

γ

−γ

γ

γ

γ

γ

13

4

Figura 4.1: Simétrico de um caminho Figura 4.2: Concatenação de caminhos

O simétrico de um caminho ℂ é o caminho [ ] →ba,:γ γ− , definido em [ ]por

ba, ))(())(( atbt −−=− γγ , que representa a mesma curva mas em sentido contrário

(Figura 4.1). Chama-se concatenação dos caminhos , cada um com ponto final igual ao ponto inicial do seguinte, ao caminho que percorre sucessivamente as curvas correspondentes pela ordem indicada, ℂ tal que,

nγ+2

γ

γγ ,,, 21 Κγγγ += 1 nγ+Λ

[ ]ba,: →

4 Leopold Kronecker (1823-1891). 5 Camille Jordan (1838-1922). 6 Henri Poincaré (1854-1912).

Page 4: Integrais de funções complexas

50 Integrais de funções complexas sendo os domínios dos caminhos para , verifica-se a ,

, com [ kk ba , ] kγ nk ,,1 Κ= 10 at ==

ntb = ∑ =−+= j

k kk aba11 )jt ( para , e a restrição de nj ,,2 Κ,1= γ a cada um dos

intervalos [ ]jt, αjt 1− é o caminho t para (Figura 4.2). )jat−(j tγ 1j +−

1C

n,,Κj 2,1=

[ ]ba, →:γ (b)(a γγ =

γ

γ

γ

γ ++= Λ1 nγπ

kγ kk ban,Κk |)() kk ab π(|

1

n

kππ ∑ =

= −γ+γπ

*

+= Λ1

kγγ

γ

Um caminho regular é um caminho com derivada diferente de zero em todos os pontos. Diz-se que um caminho é seccionalmente regular se existe uma partição do seu domínio num número finito de subintervalos tal que a restrição do caminho a cada um dos subintervalos fechados definidos pela partição é um caminho regular.

Figura 4.3: Caminhos fechados Figura 4.4: Curva de Jordan

Um caminho fechado é um caminho ℂ com ) (Figura 4.3). Diz-se que um caminho que não é fechado é um caminho simples se é uma função injectiva, e diz-se que um caminho fechado é um caminho simples se é uma função injectiva no intervalo semifechado obtido excluindo um dos extremos do intervalo do domínio de . A um caminho fechado simples chama-se caminho de Jordan e diz-se que a curva correspondente é uma curva de Jordan (Figura 4.4).

π

Figura 4.5: Caminho poligonal inscrito num caminho

Um caminho poligonal é uma concatenação de um número finito de caminhos regulares simples que descrevem segmentos de recta. O comprimento do caminho poligonal π é a soma dos comprimentos dos segmentos de recta que o compõem, mais precisamente, se os domínios dos caminhos são os intervalos [ ]para , o comprimento de

, ,1= π é L . Um caminho poligonal

inscrito num caminho γ é um caminho poligonal tal que as extremidades dos caminhos regulares simples que descrevem segmentos de recta, consideradas na ordem , são pontos da curva

n

nk ,Κ,1= , ordenados de acordo com o sentido de percurso do caminho γ . Um caminho é rectificável se o conjunto dos comprimentos de todos os caminhos poligonais inscritos no caminho é majorado e

Page 5: Integrais de funções complexas

4.2. Integrais sobre caminhos 51 chama-se ao supremo deste conjunto comprimento do caminho7 γ , o qual se designa por . Se um caminho ℂ é seccionalmente regular, então é rectificável e o seu comprimento é , mas há caminhos rectificáveis que não são seccionalmente regulares.

γL [ ] →ba,:γ∫ ′=

b

at |)(| γ dtLγ

( ) ′ dttt )()( γγ

)(t

∫=f

))

=f

γ= =)

( )t)= ∫( )t= )(

tX (

vu,(

YtXub

a(),(

YtXub

a∫ ),

vb

a

[ ]ba,:α

t(′

dt

tY ′(

∫ ∫iu

]

+− dyvdx

0>′

i

[ 2 ,a

2 ,a ϕ =

1( ) ∫= cdzz)( 1

∫−γf

γff 22

z

Se [ ]:γ ℂ é um caminho, →ba, *γ a correspondente curva e uma função complexa definida em

f, define-se o integral de sobre o caminho f γ por

∫∫∫ =b

a

b

adzzf )(

γγRe ( Im ( ) ( ) ) ∫+′

b

aidtttf )()( γγ ( ) dtttf )()( γγ ′

quando os integrais das funções reais no lado direito da fórmula existem8. Com (( (), tYtX e , obtém-se f

( )[ ] [ dtYitXtYtXvidzzf ))()(),()( +′+∫γ ]

( )[ ]tYtYtXvtX ′−′ )()(),()((

[ ]i ∫+ . ( ) ( ) dttYtXutXtY +′ ))(),()()(),

Portanto, o integral tem partes real e imaginária dadas por integrais de linha em ℝ 2 calculados sobre o caminho ℝ 2 , com ))(),(()( tYtXt =α ,

(4.1) ∫∫∫ ⋅+⋅−=+= ααγ

duvdvudyudxvdzzf ),(),()( .

Tal como para caminhos em ℝ , dois caminhos em ℂ, ℂ e ℂ, dizem-se equivalentes se diferem apenas por uma reparametrização

que preserva o sentido, isto é, se existe uma bijecção continuamente diferenciável , com

2 [ ] →111 ,: baγ] →22 : bγ

[ ]2: b →ϕ [ 11 ,ba em todos os pontos, tal que . Os integrais de funções complexas são invariantes sob reparametrizações, isto é, os integrais sobre caminhos equivalentes são iguais.

ϕο1γγ 2

Obtêm-se facilmente propriedades gerais destes integrais a partir das propriedades de integrais de funções reais de variável real. Contudo, convém chamar a atenção para as quatro propriedades seguintes:

1) Linearidade do integral

∫∫ ++γγ

dzzfcdzzcfc )()( 22111 , com c ℂ . ∈2,c

2) Simetria do integral de caminhos simétricos

∫−=γ

dzzfdz )()( ,

7 Esta noção de comprimento foi adoptada em 1866, por Jean Marie Duhamel (1797-1872), na sequência de uma definição semelhante de Enno Heeren Dirksen (1788-1850) em 1833. 8 O leitor pode usar o integral de Cauchy, Riemann ou Lebesgue, conforme prefira. Naturalmente, os caminhos que podem ser considerados e as funções integráveis são diferentes nos três casos, mas tal é, em geral, indiferente para os resultados que vamos considerar, visto que, em geral, as funções a integrar são contínuas e podem-se usar caminhos regulares, seccionalmente regulares ou rectificáveis, conforme a noção de integral adoptada. Para funções limitadas, ou funções ilimitadas sem mudança de sinal, o conjunto das funções integráveis é consideravelmente mais amplo para o integral de Lebesgue do que para o de Riemann. O conjunto das funções integráveis também é mais amplo para este integral do que para o integral de Cauchy, para o qual só são integráveis as funções contínuas.

Page 6: Integrais de funções complexas

52 Integrais de funções complexas

3) Aditividade do integral em relação à concatenação de caminhos

∫∫∫ +=+ 2121

)()()(γγγγ

dzzfdzzfdzzf ,

4) Majoração do integral de funções limitadas

γγγ Lfdttfdzzf

b

a ∞∞=′≤ ∫∫ )()( ,

onde ∞

f é o supremo de || em f *γ e é o comprimento do caminho γL γ . 4.3. Primitivas de funções complexas Diz-se que uma função F é uma primitiva de uma função num conjunto aberto

ℂ se e em . É claro que todas as funções que se obtêm somando constantes a uma primitiva de uma função também são primitivas de . Em regiões de ℂ a recíproca também é verdadeira.

f⊂Ω )(Ω∈ HF f=F ′ Ω

f f

(4.2) Teorema: Se F é uma primitiva de uma função numa região Ω ℂ, então o f ⊂conjunto de todas as primitivas de é o conjunto das funções que se obtêm de f F adicionando-lhe constantes. Dem. Já se viu que qualquer função obtida de F por adição de uma constante é uma primitiva de em . Supõe-se agora que e são primitivas de em . Então a função G é holomorfa e satisfaz G em . Resulta do teorema (3.12) que

é constante em , pelo que a diferença de duas primitivas de em Ω é necessariamente constante neste conjunto. Q.E.D.

f1F −

Ω 1F′

2F0

f Ω2F= = Ω

G Ω f

Quando se conhece uma primitiva de uma função num conjunto aberto ℂ, os integrais sobre caminhos neste conjunto podem ser simplesmente calculados pelas diferenças dos valores da primitiva nos extremos dos caminhos, como no caso da regra de Barrow9 para funções reais.

f ⊂Ω

(4.3) Teorema: Seja ℂ, uma função contínua em com primitiva ⊂Ω f Ω F neste conjunto e ℂ um caminho seccionalmente regular10 em . Então [ ] →ba,:γ Ω

( ) ( )()()( aFbFdzzf γγγ

−=∫ ) .

Se o caminho γ é fechado, então 0)( =∫γ dzzf .

Dem. Seja uma partição do intervalo tal que a restrição de ,,0 naa Κ [ ba, ] γ a cada um dos subintervalos [ ] , , é regular. Como ka,ka 1− nk ,,2,1 Κ= F é uma primitiva de em f

9 Isaac Barrow (1630-1677). 10 Com integrais de Cauchy o resultado é válido para caminhos regulares e com integrais de Lebesgue para caminhos rectificáveis. O mesmo acontece para a generalidade dos resultados seguintes que envolvem integrais de funções contínuas em caminhos seccionalmente regulares.

Page 7: Integrais de funções complexas

4.5. Índice de um caminho fechado e homotopia de caminhos 53 Ω , verifica-se em , e dado que é contínua em resulta que fF =′ Ω f Ω F é continuamente diferenciável em . Da regra da derivação da função composta e da regra de Barrow para funções reais obtém-se

Ω

′ t)(

)γ ′

( )) γ

F ο

′)γ

( ))k

=b

aFdz

1

n

k=∑∫

=

)(γ

)(bγ =)(′

γdzzF

0∈k 0=dz

))1 ′( 1= +z k

Ω

f Ω

∫ ∫∫ =′′b

aFdttzF (()( γ

γο

. ( )[ ] ( ) ( )())(((1

11

aFbFaFaFn

kk

a

a

k

kγγγ −=−=∑

=−

Se γ é fechado verifica-se )(aγ , pelo que, nas condições indicadas, a fórmula precedente dá . Q.E.D. 0=∫

Uma das consequências deste teorema é o resultado seguinte.

(4.4) Corolário: Para todo o caminho fechado seccionalmente regular γ em ℂ \ eℤ verifica-se . 1\ − ∫γ z k

Dem. Como e /( +kz k kz é contínua em ℂ , pode-se aplicar o teorema precedente para obter o resultado. Q.E.D.

0\

Como, em condições relativamente gerais, as derivadas de integrais indefinidos de funções reais contínuas coincidem com a função integranda (Teorema Fundamental do Cálculo para funções reais), uma ideia natural para provar a existência de primitiva de uma função num conjunto é construir uma candidata a primitiva por integração da função dada a partir de um ponto fixo e até cada ponto do conjunto. No caso de funções complexas, com integrais sobre caminhos, esta construção exige que todos os pontos do conjunto possam ser ligados entre si por caminhos nele contidos (o que para um conjunto aberto corresponde ao conjunto ser conexo), e que os integrais sobre caminhos diferentes que liguem o mesmo par ordenado de pontos sejam iguais (o que é equivalente à anulação dos integrais da função sobre todos os caminhos seccionalmente regulares fechados). O resultado seguinte concretiza estas ideias.

(4.5) Teorema: Seja uma função complexa contínua numa região ℂ. As f ⊂Ωseguintes afirmações são equivalentes: 1) tem uma primitiva em . f

2) para todo o caminho fechado seccionalmente regular 0)( =∫γ dzzf γ em . Ω

3) Integrais de sobre caminhos seccionalmente regulares em com o mesmo par ordenado de pontos inicial e final são iguais. Dem. A equivalência entre 2) e 3) é imediata. Na verdade, se e são caminhos seccionalmente regulares em Ω com o mesmo par ordenado de pontos inicial e final, então a concatenação é um caminho fechado seccionalmente regular (Figura

1γ 2γ

)2γ(1γ −+

Page 8: Integrais de funções complexas

54 Integrais de funções complexas 4.6). O integral sobre a concatenação considerada é a soma dos integrais sobre os caminhos e − e, como o integral sobre é o simétrico do integral sobre , é igual à diferença entre os integrais sobre os caminhos e . Portanto, os integrais sobre e são iguais se e só se o integral sobre o caminho fechado que é a concatenação referida é zero.

1γ 2γ 2γ−

Ω

2γ1γ

Ω

Ω

2γ1γ 2γ

Ω

tz =)(β

>r

zt 0)0z

Ωz ∈

⊂)

⊂)

( 0zr

)( 0zrBΩ

zt

0z zβα +

f

+

f)0(zF

[ ]z )0

>

βz z∫

0

F

f

−)

εε<− f |)( 0z

− 0z−−)(

zzz

F

F

F′f = F

−αz

Do teorema (4.3) sabe-se que a existência de primitiva de uma função contínua num conjunto Ω implica a anulação dos integrais sobre caminhos seccionalmente regulares fechados em . Resta provar o recíproco. Dado que os integrais de sobre caminhos seccionalmente regulares fechados em são nulos, os integrais desta função sobre caminhos seccionalmente regulares em Ω com o mesmo ponto inicial e o mesmo ponto final são iguais. Toma-se um ponto arbitrário e define-se a função

Ω f

∈a

∫=z

dfzFα

ςς )()( , para ∈z ,

onde é um caminho seccionalmente regular em Ω que liga a a z . Como é um conjunto aberto conexo, existem caminhos com as propriedades indicadas para todo

Ω

Ω∈z , pelo que a função F fica definida em .

Como Ω é aberto, para cada existe tal que o círculo aberto . Com fixo, como os círculos são conjuntos convexos, obtém-se para

qualquer que ℂ, com , é um caminho regular em que percorre o segmento de recta de para

Ω∈0z 0

+−( 0zBr

B

0z[ ] →1,0:zβ 1(

z . A concatenação de caminhos )( zα− é um caminho seccionalmente regular fechado em (Figura 4.7), pelo que o integral de sobre este caminho é nulo e, em consequência, a diferença dos integrais de sobre e é igual ao integral de sobre . Assim, o valor de

é o integral de sobre o segmento de recta de para

Ωf

zα0zα

fzβ

)(zF − 0z z e obtém-se

ςς dffz

zfzz

zFz−

=−−−

((1)()()(

00

0 .

A continuidade de garante, então, que qualquer que seja 0 existe 0>δ tal que desde que | . Portanto, )(| zf δ<− |0zz

εε =−

≤−0

00

0 1)()(

zzz

zfzF

, para | , δ<− |0zz

p elo que e , o que mostra que )(Ω∈ H é uma primitiva de em . Q.E.D. f Ω

Ω

α

α

βza

z

z

z00

z2

−γ2

γ

Figura 4.6 Figura 4.7

Page 9: Integrais de funções complexas

4.5. Índice de um caminho fechado e homotopia de caminhos 55 Consideramos agora a questão da existência de primitivas de funções holomorfas. Viu-se no resultado anterior que uma ideia natural para provar a existência de primitiva de uma função num conjunto é construir uma candidata a primitiva por integração da função a partir de um ponto fixo e até cada ponto do conjunto, o que exige que todos os pontos do conjunto possam ser ligados entre si por caminhos seccionalmente regulares nesse conjunto e que os integrais sobre caminhos seccionalmente regulares fechados sejam nulos. Na verdade, para obter uma candidata a primitiva basta que as duas propriedades mencionadas se verifiquem para uma classe particular de caminhos para os quais os cálculos sejam simples. Os caminhos mais simples que ligam pares de pontos correspondem a segmentos de recta, pelo que é mais fácil tratar as questões levantadas em conjuntos convexos e com caminhos que percorrem segmentos de recta. Em conjuntos convexos fica automaticamente garantida a primeira propriedade mencionada de qualquer par de pontos poder ser ligado por segmentos de recta. Contudo, é ainda necessário assegurar a validade da segunda propriedade que, neste caso, é a igualdade dos integrais sobre caminhos poligonais resultantes da concatenação de segmentos de recta que liguem o mesmo par ordenado de pontos. Esta última propriedade é equivalente à anulação dos integrais sobre as fronteiras de triângulos fechados contidos no conjunto considerado. O resultado seguinte, que é uma pequena variação de um resultado de E. Goursat publicado em 1900, estabelece esta propriedade para funções holomorfas num conjunto aberto convexo, excepto possivelmente num dos seus pontos11. (4.6) Teorema: Seja ℂ um conjunto aberto, um triângulo fechado, , ⊂Ω Ω⊂∆ Ω∈pf contínua em e . Então , onde ∂ designa a Ω )\( pH Ω∈f 0=dz)(∫ ∆∂

zf ∆

fronteira de ∆ e o integral é sobre um caminho seccionalmente regular simples que percorre . ∆∂

Dem. Designam-se por os vértices ordenados de . cba ,, ∆ Supõe-se primeiro que . Designa-se por 'a os pontos a meio dos lados

, , , respectivamente. Consideram-se os quatro triângulos , com vértices ordenados , , , (Figura 4.8). Verifica-se

∆∉p

,',( ab

,',' cb

)',',' cbabc ac ab 4,3,2,1, =∆ jj

)',',( bca )'c )',',( abc (

∑∫∫=

∆∂∆∂==

4

1

)()(j

def

jdzzfdzzfJ .

O valor absoluto de pelo menos um dos integrais na direita é maior ou igual a || . Seja um dos quatro triângulos com esta propriedade. Repetindo o argumento com no

lugar de , e assim sucessivamente, obtém-se uma sucessão de triângulos tal que , existe um único ponto , o comprimento de ∂ é

4/J∆

n∆n∆

1∆

⊃∆

1

∆∆⊃ Κ⊃∆ 21 nnz ∆∩∈ ∞

=10nL −2 ,

onde L é o comprimento de , e verifica-se ∆∂

∫ ∆∂≤

ndzzfJ n )(4|| , para n ℕ . ∈

11 Ver-se-á mais tarde que estas funções são necessariamente holomorfas em todo o conjunto Ω , mas a demonstração nas presentes condições é usada na prova da Fórmula de Cauchy que se apresenta neste capítulo.

Page 10: Integrais de funções complexas

56 Integrais de funções complexas Como é holomorfa em , qualquer que seja f ∆ 0>ε existe tal que 0>r

||))(()()( 0000 zzzzzfzfzf −≤−′−− ε , para . )( 0zBz r∈

Para suficientemente grande tem-se e | , para todo . Como n )( 0zBrn ⊂∆ nLzz −<− 2|0 nz ∆∈

[ ] ∫∫∫∫∫ ∆∂∆∂∆∂∆∂∆∂′+′−−=−′−−

nnnnn

dzzfdzzzfdzzfdzzfdzzzzfzfzf 1)()(1)()())(()()( 000000 ,

com o corolário (4.4) obtém-se

[ ] dzzzzfzfzfdzzfnn

∫∫ ∆∂∆∂−′−−= ))(()()()( 000

Portanto, para ℕ suficientemente grande verifica-se ∈n( ) 2224)(4|| LLdzzfJ nn

n

n εε =≤≤ −

∆∂∫ .

Como 0>ε é arbitrário, segue-se que se , como se pretendia provar. 0=J ∆∉p

Supõe-se agora que é um vértice de ∆ , sem perda de generalidade . Observe-se que o integral sobre ∂ é a soma dos integrais sobre as fronteiras dos triângulos de vértices ordenados ( , , , onde

p ap =∆

a ),, yx ),( y,bx ),,( ycb x e são, respectivamente, pontos dos lados ab e do triângulo (Figura 4.9). Os integrais sobre as fronteiras dos dois últimos triângulos são nulos em resultado da aplicação do caso já demonstrado, em que não pertence ao triângulo sobre o qual se considera a integração. Portanto, o integral sobre é igual ao integral sobre o triângulo de vértices

. Como o perímetro deste triângulo pode ser tomado arbitrariamente pequeno à custa de tomar os pontos

yca

p∂

),,( yxax e suficientemente próximos do ponto , e a função é

contínua neste ponto, logo limitada numa sua vizinhança, também se obtém para este caso .

y a f

0)( =dzzf∫ ∆∂

∆ Finalmente, se p é um ponto arbitrário no triângulo , pode-se aplicar o resultado precedente aos triângulos de vértices ordenados ( , , (Figura 4.10), pelo que também neste caso se obtém . Q.E.D.

),, pba0) =dz

),,( pcb ),,( pac(∫ ∆∂zf

a

b

c

a’

b’

c’

p

c

b

p=a y

x

a

c

b

p

Figura 4.8 Figura 4.9 Figura 4.10

O resultado seguinte estabelece a existência de primitivas (locais) de funções contínuas em conjuntos convexos onde são holomorfas excepto possivelmente num ponto.

(4.7) Teorema: Se ℂ é um conjunto aberto convexo e , então toda a função ⊂Ω Ω∈pf contínua em com tem primitiva em Ω . Ω )\( pH Ω∈f

Page 11: Integrais de funções complexas

4.5. Índice de um caminho fechado e homotopia de caminhos 57 Dem. Seja um ponto arbitrário. Como é convexo, para cada Ω∈a Ω Ω∈z o segmento de recta az está contido em . O caminho ℂ, , percorre este segmento de recta. Define-se

Ω [ ] →1,0:zα tztz = 1()(α at +− )

∫=z

dfzFα

ςς )()( , para Ω∈z .

Para cada , o triângulo fechado de vértices está contido em . Do teorema anterior, resulta que é o integral de sobre o segmento de recta de para

Ω∈0z 0,, zzaf

Ω)()( 0zFzF −

0z z (Figura 4.11). Agora procede-se exactamente como na parte final da emonstração do teorema (4.5) para obter em . Q.E.D. F ′=f Ωd

α0z

α z

βz

z

z0

Figura 4.11: Ilustração para a construção de primitivas de

funções holomorfas em conjuntos convexos

4.4. Teorema de Cauchy local Os resultados anteriores permitem estabelecer a seguinte versão local do Teorema de Cauchy em conjuntos convexos. Este resultado é utilizado no capítulo 6 para provar que as funções holomorfas são sempre indefinidamente diferenciáveis e representáveis por séries de potências. Como consequência destes resultados é estabelecida no capítulo 7 uma versão global do Teorema de Cauchy.

(4.8) Teorema de Cauchy local em conjuntos convexos: Seja ℂ um conjunto ⊂Ωaberto convexo, γ um caminho fechado seccionalmente regular em , , Ω Ω∈p fcontínua em e . Então . Ω )\( pH Ω∈f 0)( =∫γ dzzf

Dem. O teorema anterior garante que tem uma primitiva f F em . A anulação do integral resulta do teorema (4.3). Q.E.D.

Ω

Como se referiu na introdução a este capítulo, o Teorema de Cauchy começou por ser obtido por este matemático em rectângulos, com a hipótese excessivamente forte da função integranda ser , situação em que o resultado é consequência directa do Teorema de Green para funções reais definidas em conjuntos de ℝ . Na verdade, mesmo considerando um domínio regular com cantos

1C2

⊂D ℝ arbitrário, e não apenas rectângulos, o Teorema de Green estabelece , para um campo vectorial no fecho de

2

= dydxyPxPD

)( //,( ∫∫∫ ∂∂−∂α Q∂dQ) ⋅),QP( 1C D , onde ),Y= (Xα é um caminho

Page 12: Integrais de funções complexas

58 Integrais de funções complexas seccionalmente regular fechado simples que descreve a fronteira12. Sabe-se da fórmula (4.1) que, para uma função )(DHf ∈ , com ( e fvu =), YiX +=γ , é

γ, pelo que, supondo adicionalmente que é C

em ∫∫∫ ⋅+⋅−= α uvidvudzzf ),(),()( αd f 1

D , a aplicação da fórmula anterior do Teorema de Green aos dois integrais no lado direito e as equações de Cauchy-Riemann para dão f

00 =∫∫ dydxD

f

1C

0= ∫∫ dxD

f

(zf∂∂yv

1

*γ)

γ *γ

) +

∂∂+

∂∂−

∂∂−= ∫∫∫∫∫ dydydx

xudydx

yu

xvdz

DDγ .

Esta situação engloba conjuntos que não são convexos, mas o facto de exigir que é C é excessivamente forte, pelo que se prefere generalizar para um resultado global a formulação local em conjuntos convexos anterior, como é feito no capítulo 7. De qualquer modo, este resultado estabelecido com base no Teorema de Green tem a vantagem de tornar directamente visível a ligação entre a anulação dos integrais sobre caminhos fechados e as equações de Cauchy-Riemann e, portanto, evidencia que a anulação dos integrais sobre caminhos fechados é uma expressão integral das restrições impostas pela diferenciabilidade de funções complexas. Do ponto de vista histórico, é de assinalar que todas as versões do Teorema de Cauchy consideradas desde a primeira proposta em 1822 até 1900 consideravam a hipótese adicional de ser . Só em 1900, com a contribuição de Goursat, é que esta hipótese pôde ser dispensada.

Com base no Teorema de Cauchy local em conjuntos convexos é possível estabelecer a Fórmula de Cauchy, a qual dá os valores de uma função holomorfa num conjunto de pontos fora de uma curva fechada seccionalmente regular em termos de integrais que envolvem apenas os valores da função sobre essa curva. Como os valores destes integrais dependem do sentido e do número de voltas em que o caminho percorre a curva, é necessário tornar precisa e quantificar esta dependência. Para isso, introduz-se na secção seguinte o índice ou número de rotação de um caminho fechado seccionalmente regular em relação a um ponto fora da curva que ele descreve.

4.5. Índice de um caminho fechado e homotopia de caminhos O resultado seguinte permite definir o índice ou número de rotação de um caminho fechado seccionalmente regular γ em relação a um ponto z fora da curva que representa. Este índice, que se designa por Ind é um número inteiro que dá informação sobre o sentido e o número de voltas que o caminho

(zγ

dá na curva em torno do ponto z . 12 Um domínio regular com cantos ⊂D ℝ2 é um conjunto aberto que é o interior do seu fecho cuja fronteira é uma curva seccionalmente regular fechada. O Teorema da Curva de Jordan assegura que toda a curva de Jordan separa o plano em dois conjuntos conexos abertos, um ilimitado e outro limitado, e pode-se mostrar que este conjunto limitado é um domínio regular cuja fronteira é a curva de Jordan considerada. A existência de pelo menos duas componentes conexas no complementar de uma curva de Jordan seccionalmente regular em que uma e só uma delas é ilimitada é uma consequência dos resultados da secção seguinte, mas a parte mais difícil é que só há uma componente conexa limitada. Embora o Teorema da Curva de Jordan não seja explicitamente usado nos vários capítulos deste texto, dá-se uma demonstração deste importante resultado no apêndice III.

Page 13: Integrais de funções complexas

4.5. Índice de um caminho fechado e homotopia de caminhos 59 É útil entender geometricamente como se pode calcular um número com o objectivo indicado por integração de uma função apropriada sobre o caminho γ . É claro que definindo argumentos de pontos ao longo do caminho em relação a um sistema de eixos coordenados centrado no ponto z , com os argumentos a variarem continuamente ao longo do caminho, a diferença entre o valor dos argumentos no final e no início de um caminho fechado é um múltiplo inteiro de π2 , nπ2 com ℤ, em que é a diferença entre o número de voltas que o caminho percorre em torno de

∈n nz no sentido positivo e no

sentido negativo (Figura 4.12). Assim, para obter nπ2 por integração sobre o caminho convém usar uma função integranda cujo integral dê a variação total do argumento. Recordando que a parte imaginária do logaritmo complexo de um número é um argumento do número, obtém-se um argumento *γ∈w relativamente a z como parte imaginária de um . Sabe-se que nenhum logaritmo pode ser definido como função contínua em todo o plano complexo, mas é possível definir continuamente

)ln( zw −

))(ln( ztt −γα à custa de considerar a passagem entre ramos apropriados do logaritmo de forma a assegurar a continuidade. Como , é natural considerar como função integranda sobre o caminho a função

)1

/(1 wdw=w

/))z−(ln( z−wd)/( z−wα . A

argumentação anterior indica que a parte imaginária do integral dá nπ2 como se pretendia. Por outro lado, a parte real dá a diferença entre o logaritmo do módulo dos pontos inicial e final do caminho e, como estes coincidem, esta diferença é zero. Concluiu-se que convém definir Ind . dwz− )wi ∫γπ ))z) =γ 2( /(1/(1(

Figura 4.12: Ilustração geométrica da ideia de índice ou número de rotação

de um caminho γ em relação a um ponto ∈z ℂ *\ γ

(4.9) Teorema: Seja γ um caminho fechado seccionalmente regular em ℂ e ℂ=Ω *\ γ . Então

Ind ∫ −=

γγ π zwdw

iz

21)( ,

define uma função de Ω em ℤ que é constante em cada componente conexa de e é Ωnula na componente conexa ilimitada de . Ω

Page 14: Integrais de funções complexas

60 Integrais de funções complexas Dem. Seja ℂ e fixe-se [ ] →ba,:γ Ω∈z . Então

Ind ∫ −′

=b

adt

ztt

iz

)()(

21)(

γγ

πγ .

Como, para ∈ς ℂ, se verifica ∈)2/( iπς ℤ se e só se , a condição Ind ℤ é equivalente a

1=ςe ∈)(zγ

1) =b(ϕ , onde ℂ é definida por [ ] →ba,:ϕ

′= ∫

t

ads

zsst

)()(exp)(

γγϕ .

Note-se que ))(/()()()( ztttt −′=′ γγϕϕ , excepto possivelmente num conjunto finito de pontos onde [ ]ba,S ⊂ γ não é regular. Para t verifica-se [ ] Sba \,∈

( )0

)()()(

)()(

)()(

2 =−′

−−

′=

− zt

ttzt

tzt

γϕγϕ

γϕ ,

pelo que a função ))(/()( zttt −γϕα é contínua em [ e tem derivada nula em . Em consequência, esta função é constante em cada subintervalo de [ ] e a

sua continuidade no número finito de pontos de implica que é constante em todo o intervalo . Como

]

]

ba,[ ] Sba \, Sba \,

S[ ba, 1)( =aϕ , verifica-se )))()( zzt −−= (/() a(t γγϕ . Como γ é fechado,

é )(a)(b γγ = e, portanto, 1)( =bϕ , o que prova que Ind ℤ. →Ω:γ

A função Ind ℤ é contínua. Na verdade, →Ω:γ

| Ind Ind−)(zγ ( )( )∫∫ −−−=

−−

=γγγ ς

ςςπς

ςςπd

wzwzd

wziw

2111

21)(

( )( ) *:/12

||γςςς

π∈−−

−wz

Lwzmaxγ≤ ,

onde designa o comprimento do caminho γL γ , pelo que | Ind Ind−)(zγ 0)( →wγ quando . A imagem de um conjunto conexo por uma função contínua é um conjunto conexo. Como Ind ℤ, conclui-se que a função Ind tem de ser constante em cada componente conexa de .

0|→− wz|⊂Ω)(γ

Ωγ

Finalmente, para || z suficientemente grande, tem-se

| Ind 1)(

)(2

1|)( <−

′= ∫

b

adt

ztt

iz

γγ

πγ .

Portanto, Ind para 0)( =zγ z pertencente à componente conexa ilimitada de . Q.E.D. Ω O sinal de Ind e o seu valor absoluto dão, respectivamente, o sentido e o número de voltas que o caminho

)(zγ

γ dá na curva *γ em torno de z como se ilustra no resultado seguinte para o caso particular em que *γ é uma circunferência. (4.10) Proposição: Seja γ o caminho regular que dá voltas com sentido positivo na ncircunferência de raio r e centro no ponto ℂ definido por ℂ com 0> ∈a [ ] →nπγ 2,0:

θθγ iera +=)( . Então ∈z )a

Ind

∉=

.)( se,0( se,

)(aBz

Bnz

r

Page 15: Integrais de funções complexas

4.5. Índice de um caminho fechado e homotopia de caminhos 61 Dem. Resulta do teorema anterior que basta calcular

Ind ∫∫∫ ===−

=nn

i

i

nddereir

iawdw

ia

ππ

θ

θ

γγ θπ

θππ

2

0

2

0 21

21

21)( . Q.E.D.

É útil observar que os índices de dois caminhos fechados seccionalmente regulares que podem ser continuamente deformados de um para o outro num conjunto Ω ℂ são necessariamente iguais em pontos de ℂ .

⊂Ω\

Tal como em ℝ 2 , o conceito apropriado para traduzir a noção de deformação contínua de caminhos num conjunto ℂ é a homotopia. Diz-se que dois caminhos

fechados (respectivamente, não fechados mas com o mesmo par ordenado de pontos inicial e final, e ) são homotópicos em se existe uma função contínua, a que se chama homotopia entre e ,

tal que , para todo t , e (respectivamente, , ) para todo (ver

Figura 4.12). É fácil verificar que a homotopia é uma relação de equivalência13, pelo que estabelece no conjunto de todos os caminhos seccionalmente regulares fechados em , ou não fechados mas com o mesmo par ordenado de pontos inicial e final em Ω , classes de equivalência, chamadas classes de homotopia.

⊂Ω

a =)( γ

) 1γ=saH ,(

[ ] Ω→ba,:, 21 γγ

Ω[ ] [ ] →× 1,0,: baH

),(),( sbHsaH =

Aa =)(21γ

)(0, tt (HA=)

Bbb == )()( 21 γγ

)()1 2 tγ=Bsb =),(

1γa∈

[ ,0

2γ]

Ω

Ω (H ,tH

[ b,]1∈s

Ω

Figura 4.13: Caminhos homotópicos num conjunto ℂ ⊂Ω

O resultado seguinte mostra que o índice em relação a um ponto no complementar de é invariante em cada uma dessas classes de homotopia de caminhos fechados, e que, para dois caminhos não fechados homotópicos em , o índice do caminho fechado que é a concatenação de um dos caminhos com o simétrico do outro, em relação a pontos no complementar de , é nulo.

ΩΩ

Ω (4.11) Proposição: Seja ℂ, ⊂Ω ∈z ℂ e caminhos seccionalmente regulares Ω\ 21,γγem . Ω1) Se são caminhos fechados homotópicos em , então Ind Ind . 21,γγ Ω =)(

1zγ )(

2zγ

2) Se são caminhos não fechados (com o mesmo par ordenado de pontos inicial e 21,γγfinal) homotópicos, então o caminho é fechado e Ind . )( 21 γγγ −+= 0)( =zγ

13 Tal como é usual, considera-se uma relação de equivalência num conjunto uma relação binária nesse conjunto com as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Page 16: Integrais de funções complexas

62 Integrais de funções complexas Dem. Seja . Sabe-se que os integrais de funções complexas sobre caminhos têm partes real e imaginária dadas por integrais de linha em ℝ , na forma

[ ] Ω→ba,:, 21 γγjγ

fvu =),(2

∫ ∫∫ ⋅+⋅−= jj duvidvudwwfj

ααγ

),(),()( ,

onde jα designa os caminhos em ℝ 2 correspondentes aos caminhos jγ em ℂ, com . 2,1=j Verifica-se Ind

jγ =jγ

, com . Esta função é holomorfa em ℂ , pelo que se verificam as equações de Cauchy-Riemann em Ω ,

e . É fácil ver que estas derivadas parciais são contínuas em . As equações de Cauchy-Riemann anteriores garantem que os campos vectoriais em ℝ são fechados no conjunto . Os caminhos em ℝ 2 são caminhos seccionalmente regulares homotópicos em . Da invariância de integrais de linha de campos vectoriais fechados sobre caminhos seccionalmente regulares homotópicos (quando não fechados têm necessariamente o mesmo par ordenado de pontos inicial e final) num conjunto onde os campos são continuamente diferenciáveis, que pode ser estabelecida como consequência do Teorema de Green14 em ℝ , obtém-se

)(z

xv ∂∂ /

,(), vv−

∫ dwwf )(

yu ∂−∂ /

)u

)( )(2/1)( zwiwf −= π

ΩΩ

\ z

,(u

yvxu ∂∂=∂∂ //Ω

=

22,α1α

2

∫ ∫ ⋅−=⋅− 21 ),(),( αα dvudvu e ∫ ∫ ⋅=⋅ 21 ),(),( αα duvduv , pelo que ∫∫ =21

)()(γγ

dwwfdwwf .

Se 2γγ são caminhos fechados a última igualdade é Ind Ind . Se não são fechados, o caminho é fechado e a mesma igualdade dá Ind .

1, =)(1

zγ )(2

zγ 21,γγ0) =)( 21 γγγ −+= (zγ

Q.E.D.

4.6. Fórmula de Cauchy local em conjuntos convexos A Fórmula de Cauchy dá os valores que uma função holomorfa num conjunto assume em pontos fora de uma curva fechada seccionalmente regular nesse conjunto, em termos de integrais que envolvem apenas os valores da função sobre a curva. A demonstração desta fórmula baseia-se no Teorema de Cauchy, pelo que se estabelece agora para conjuntos convexos, situação em que ficou estabelecida acima a validade deste teorema. No capítulo 7, juntamente com o Teorema de Cauchy Global, estabelece-se a Fórmula de Cauchy em condições gerais.

(4.12) Teorema (Fórmula de Cauchy local em conjuntos convexos): Seja ℂ um ⊂Ωconjunto aberto convexo, γ um caminho fechado seccionalmente regular em , Ω

*\ γΩ∈z e . Então )(Ω∈ Hf

.)(zf Ind dwzw

wfi

z ∫ −=

γγ π)(

21)( .

14 Para detalhes pode ser consultado, por exemplo, o livro do autor com título Integrais em Variedades e Aplicações, referido na bibliografia final.

Page 17: Integrais de funções complexas

4.5. Índice de um caminho fechado e homotopia de caminhos 63 Dem. Fixa-se *\ γΩ∈z e define-se a função

=′

Ω∈−−

=.se,)(

\se,)()()(

zwzf

zwzw

zfwfwg

Então g satisfaz as hipóteses do Teorema de Cauchy em conjuntos convexos (4.8), pelo que , ou seja, 0) =∫γ dww(g

012

)()(2

1 =−

−− ∫∫ dw

zwizfdw

zwwf

i γγ ππ ,

de onde

)()(2

1 zfdwzw

wfi

=−∫γπ

. Ind . Q.E.D. )(zγ

A Fórmula de Cauchy é uma outra expressão integral das fortes restrições impostas pela diferenciabilidade de funções complexas, dado que, nas condições do teorema anterior, se obtêm os valores de em todos os pontos de um conjunto onde é holomorfa fora de um caminho fechado seccionalmente regular

fγ e Ind apenas em função

dos valores de na curva 0)( ≠zγ

f *γ e dos valores de Ind . Em particular, os valores de uma função complexa numa curva

γ

f *γ (um conjunto de medida nula no plano) num conjunto convexo Ω onde é holomorfa determinam os valores de em todas as componentes conexas de

f*\ γΩ onde Ind . 0≠γ

Uma consequência útil do teorema anterior é que o valor de uma função no centro de um círculo fechado onde é holomorfa é igual à média dos seus valores na fronteira do círculo.

(4.13) Propriedade de Valor Médio de Funções Holomorfas: Se é uma função fholomorfa num círculo fechado ⊂)(aBr ℂ, então o seu valor no centro do círculo )(afé igual à média dos valores na circunferência que o delimita, isto é

=)(af ∫ +π θ θ

π2

0)(

21 dreaf i .

Dem. Como é holomorfa no círculo fechado f )(aBr , é holomorfa num conjunto aberto que o contém, pelo que existe 0>ε tal que o círculo aberto está contido no conjunto aberto referido. Seja

)(aBr ε+=Ωγ o caminho regular simples que percorre a circunferência

que delimita )(aBr tal que ℂ com . Verificam-se as condições da hipótese do teorema anterior, pelo que a Fórmula de Cauchy dá

[ ] →π2,γ 0: θirea +=(θγ )

.)(af Ind ∫∫∫ +=+=−

=π θπ θ

θ

θ

γγ θπ

θππ

2

0

2

0)(

21)(

21)(

21)( dreafderi

rereaf

idw

awwf

ia ii

i

i

,

Da Proposição (4.10) obtém-se Ind , o que termina a demonstração. Q.E.D. 1)( =aγ

Page 18: Integrais de funções complexas

64 Integrais de funções complexas Mais uma vez, verifica-se da propriedade de valor médio que os valores de funções holomorfas satisfazem fortes restrições de interligação. Veremos no capítulo 9 que as funções complexas contínuas que satisfazem a propriedade de valor médio em todos os círculos fechados contidos num conjunto aberto ℂ são necessariamente holomorfas, pelo que esta propriedade para funções complexas contínuas caracteriza as funções holomorfas.

⊂Ω

Exercícios 4.1. Com ( ℂ, calcule , onde ∈= zyx ), ∫γ dzx γ é um caminho regular simples que percorre:

+ a) o segmento de recta orientado de a 1 , 0 ib) a circunferência de raio e centro na origem no sentido positivo (calcule de duas formas: directamente e observando que

0>r2/)/(2/)( 2 zrzzz +=+x =

∫ dzx na circunferência).

γ4.2. Com ( ℂ, calcule , onde ∈= zyx ),γ

circunferência de raio e centro na origem no sentido positivo.

0>r

4.3. Calcule ∫γ , onde )1/( 2 −zdz γ é um caminho regular simples que percorre circunferência de centro na origem e raio . [ [ \+∞ 1,0∈r

4.4. Calcule uma primitiva da função complexa , com ℝ. )2()1(2)( 22 yyxiyxiyxf −++−=+ ∈yx,4.5. Mostre que ∫γ é um imaginário puro, para todo o caminho fechado seccionalmente

regular ′ dzzfzf )()(

γ e toda a função numa região que contém . f′ )(/)( dzzfzf

1C= 0

*γ4.6. Mostre que ∫γ , para todo o caminho fechado seccionalmente regular γ numa

região onde a função é C e satisfaz | . f 1 1|1 <−f= 0ln dzz4.7. Descreva condições em que se verifica . ∫γ

4.8. Calcule os integrais seguintes, onde é um caminho regular simples que percorre circunferência de raio e centro na origem:

rγ0>r

z a) ∫ e , b) ∫ 1γ

, c) ∫ e , d) ∫ sin , e) ∫ . 1

dzz +2

)1/( 2 dzz1

dzz nz

1

3/γ

dzzz1

/sinγ

dzzz