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Integrais Triplos

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Integrais triplos

Problema: Calcular onde é limitada

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Integrais triplos – teorema de Fubini

Exemplo

Calcular

onde

B dxdydzzyxf ,,

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Integrais triplos – parametrização da região

para cada , tem-se yxzyx ,, 21 Dyx ,

integral duplo

Projeção no plano xy

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Integrais triplos – projeção no plano xy

Exemplo

Calcular

onde W é a região do 1º octante que está limitada pelo plano z=2 e pelo parabolóide

D yxW

dxdyxdzxdxdydz2

22

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Integrais triplos – parametrização da região

para cada , tem-se zyuxzyu ,, 21 Dzy ,

Projeção no plano yz

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Integrais triplos – projeção no plano yz

Exemplo anterior

Calcular

onde W é a região do 1º octante que está limitada pelo plano z=2 e pelo parabolóide

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Integrais triplos – parametrização da região

para cada , tem-se zxuxzxu ,, 21 Dzx ,

Projeção no plano xz

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Integrais triplos – exercícios

Calcular

a) o volume do sólido limitado por e222 yxz 24 yz

b) o volume da região do 1º octante limitada pelo plano 632 zyx

c) o integral onde E é a região definida por e E xdv2 1222 zyx 0x

d) o integral onde E é a região definida por e E

dvzx 22 33 22 22 zxy 8y

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Integrais triplos – mudança de variável

Seja

zyx ,,

D

dxdydzzyxfI ,,

Para calcular este integral fazendo a mudança de variável

tvu ,,(antigas) (novas)

deverá ser definida a FVVV que define as variáveis antigas à custa das novas:

tvugtvugtvugzyxtvuDEG

,,,,,,,,,,,,:

321

e atender a que: dudvdttvuJGdxdydz ,,det

ED

dudvdttvuJGtvugtvugtvugfdxdydzzyxfI ,,det,,,,,,,,,, 321

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Integrais triplos – coordenadas cilíndricas

Seja:

zzyxzDEG

,sin,cos,,,,:

JGdet

dzdddxdydz

ED

dzddzfdxdydzzyxfI ,sin,cos,,

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Integrais triplos – coordenadas esféricas

Seja:

cos,sinsin,cossin,,,,:

rrrzyxzrDEG

sindet 2rJG

ddrdrdxdydz sin2

ED

ddrdrrrrfdxdydzzyxfI sincos,sinsin,cossin,, 2

0sin,0

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Integrais triplos – exercício

Calcular o integral onde E é a região definida por e

usando coordenadas esféricas. E xdv2 1222 zyx 0x

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Integrais triplos – exercícios