integrais improprias

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Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Integrais ImprpiasAlnnio Barbosa Nbregaalannio@dme.ufcg.edu.br

2012

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

IntroduoAt agora, as integrais denidas tiveram que exibir duas propriedades: primeiro, que o domnio de integrao [a, b] fosse nito; segundo que a imagem do integrando fosse nita nesse intervalo.No presente estudo seremos capazes de responder as seguintes perguntas: 1)Qual a rea da regio sob a curva y = [1, +)? e 1 2)Qual a rea da regio sob a curva y = no intervalo (0, 1]? xdme

lnx no intervalo x2

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

IntroduoAt agora, as integrais denidas tiveram que exibir duas propriedades: primeiro, que o domnio de integrao [a, b] fosse nito; segundo que a imagem do integrando fosse nita nesse intervalo.No presente estudo seremos capazes de responder as seguintes perguntas: 1)Qual a rea da regio sob a curva y = [1, +)? e 1 2)Qual a rea da regio sob a curva y = no intervalo (0, 1]? xdme

lnx no intervalo x2

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

IntroduoAt agora, as integrais denidas tiveram que exibir duas propriedades: primeiro, que o domnio de integrao [a, b] fosse nito; segundo que a imagem do integrando fosse nita nesse intervalo.No presente estudo seremos capazes de responder as seguintes perguntas: 1)Qual a rea da regio sob a curva y = [1, +)? e 1 2)Qual a rea da regio sob a curva y = no intervalo (0, 1]? xdme

lnx no intervalo x2

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

IntroduoAt agora, as integrais denidas tiveram que exibir duas propriedades: primeiro, que o domnio de integrao [a, b] fosse nito; segundo que a imagem do integrando fosse nita nesse intervalo.No presente estudo seremos capazes de responder as seguintes perguntas: 1)Qual a rea da regio sob a curva y = [1, +)? e 1 2)Qual a rea da regio sob a curva y = no intervalo (0, 1]? xdme

lnx no intervalo x2

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Integrais Imprprias do Tipo I

1)Se f contnua em um intervalo [a, +), ento:+ b

f (x )dx = lima

b+

f (x )dxa

2)Se f contnua em um intervalo (, b], ento:b b

f (x )dx = lim

a

f (x )dxa

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Integrais Imprprias do Tipo I

1)Se f contnua em um intervalo [a, +), ento:+ b

f (x )dx = lima

b+

f (x )dxa

2)Se f contnua em um intervalo (, b], ento:b b

f (x )dx = lim

a

f (x )dxa

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Integrais Imprprias do Tipo I

1)Se f contnua em um intervalo [a, +), ento:+ b

f (x )dx = lima

b+

f (x )dxa

2)Se f contnua em um intervalo (, b], ento:b b

f (x )dx = lim

a

f (x )dxa

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

3)Se f contnua em um intervalo (, +), ento:+ c +

f (x )dx =

f (x )dx +c

f (x )dx ,

onde c um nmero real qualquer. Em qualquer dos casos se o limite for nito dizemos que a integral imprpria converge e que o limite o valor da integral. Se o limite no existir dizemos que a integral imprpria diverge.

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

3)Se f contnua em um intervalo (, +), ento:+ c +

f (x )dx =

f (x )dx +c

f (x )dx ,

onde c um nmero real qualquer. Em qualquer dos casos se o limite for nito dizemos que a integral imprpria converge e que o limite o valor da integral. Se o limite no existir dizemos que a integral imprpria diverge.

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

3)Se f contnua em um intervalo (, +), ento:+ c +

f (x )dx =

f (x )dx +c

f (x )dx ,

onde c um nmero real qualquer. Em qualquer dos casos se o limite for nito dizemos que a integral imprpria converge e que o limite o valor da integral. Se o limite no existir dizemos que a integral imprpria diverge.

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Exemplos+

1)1

lnx dx x2

passo 1+

Escreva1

lnx dx = lim b+ x2

b 1

lnx dx x2

passo 2b

Usando integrao por partes temos1

lnx lnb 1 dx = +1 2 x b b

passo 3 Usando LHopital mostramos que lim b+Alnnio Barbosa Nbrega

lnb 1 +1=1 b b

dme

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Exemplos+

1)1

lnx dx x2

passo 1+

Escreva1

lnx dx = lim b+ x2

b 1

lnx dx x2

passo 2b

Usando integrao por partes temos1

lnx lnb 1 dx = +1 2 x b b

passo 3 Usando LHopital mostramos que lim b+Alnnio Barbosa Nbrega

lnb 1 +1=1 b b

dme

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Exemplos+

1)1

lnx dx x2

passo 1+

Escreva1

lnx dx = lim b+ x2

b 1

lnx dx x2

passo 2b

Usando integrao por partes temos1

lnx lnb 1 dx = +1 2 x b b

passo 3 Usando LHopital mostramos que lim b+Alnnio Barbosa Nbrega

lnb 1 +1=1 b b

dme

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Exemplos+

1)1

lnx dx x2

passo 1+

Escreva1

lnx dx = lim b+ x2

b 1

lnx dx x2

passo 2b

Usando integrao por partes temos1

lnx lnb 1 dx = +1 2 x b b

passo 3 Usando LHopital mostramos que lim b+Alnnio Barbosa Nbrega

lnb 1 +1=1 b b

dme

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Concluso+

Portanto,1

lnx dx = 1 x2

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

Concluso+

Portanto,1

lnx dx = 1 x2

dme

Alnnio Barbosa Nbrega

Integrais Imprprias

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

+

2) Para quais valores de p a integral1

dx converge? xp

passo 1+

Escreva1

dx = lim b+ xp

b 1

dx xp

passo 2b

Se p = 1 mostramos que1

dx 1 1 =( )( 1). xp 1 b bp1

passo 3 Ento lim (b+

1 1 1 , se p > 1 )( p1 1) = p1 +, se p < 1. 1b bAlnnio Barbosa Nbrega Integrais Imprprias

dme

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

+

2) Para quais valores de p a integral1

dx converge? xp

passo 1+

Escreva1

dx = lim b+ xp

b 1

dx xp

passo 2b

Se p = 1 mostramos que1

dx 1 1 =( )( 1). xp 1 b bp1

passo 3 Ento lim (b+

1 1 1 , se p > 1 )( p1 1) = p1 +, se p < 1. 1b bAlnnio Barbosa Nbrega Integrais Imprprias

dme

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

+

2) Para quais valores de p a integral1

dx converge? xp

passo 1+

Escreva1

dx = lim b+ xp

b 1

dx xp

passo 2b

Se p = 1 mostramos que1

dx 1 1 =( )( 1). xp 1 b bp1

passo 3 Ento lim (b+

1 1 1 , se p > 1 )( p1 1) = p1 +, se p < 1. 1b bAlnnio Barbosa Nbrega Integrais Imprprias

dme

Introduo Integrais Imprprias do Tipo I Exemplos Integrais Imprprias do Tipo II Exemplos

+

2) Para quais valores de p a integral1

dx converge? xp

passo 1+

Escreva1

dx = lim b+ xp

b 1

dx xp

passo 2b

Se p = 1 mostramos que1

dx 1 1 =( )( 1). xp 1 b bp1

passo 3 Ento lim (b+

1 1 1 , se p > 1 )( p1 1) = p1 +, se p < 1. 1b bAlnnio Barbosa Nbrega Integrais Imprprias

dme

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passo 4b

Se p = 1 mostramos que1

dx = lnb. x

passo 5+

Portanto,1

dx diverge. x

dme

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