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  • FERNO COUCEIRO DA COSTA

    Equaes integrais lineares

    SUA APLICAO A RESOLUO

    PROBLEMA DE DIR1CHLET

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    PORTO IMPRENSA P O R T U G U E S A

    116, Kua formos, HO

    1929

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    EQUAES INTEGRAIS LINEARES

    SUA APLICAO A RESOLUO

    DO PROBLEMA DE DIRICHLET

  • FERNO COUCEIRO DA COSTA

    Equaes integrais lineares

    SUA APLICAO RESOLUO

    PROBLEMA DE DIRICHLET

    PORTO I M P R E N S A P O R T U G U E S A

    116, 1'n.i I . . . . . . . . ., 116

    1929

  • Dissertao para o exame de doutoramento em Scicncias Matemticas, na Faculdade de Scicncias da Universidade do Porto.

    r

  • A MEUS PAIS

    E

    A MINHA M U L H E R

  • INDICE

    PO.

    PREPACIO XI INTRODUO I

    CAPTULO I

    Equao de Volteira de 2." espcie. Sua resoluo 3

    CAPTULO II

    Resoluo da equao de Volterra de I." espcie 27

    CAPTULO III

    Resoluo da equao de Fredholm 33

    CAPTULO IV

    Aplicao da analise de Fredholm A resoluo do problema de Dirichlet, num domnio a trfis dimenses 73

    CAPTULO V

    Aplicao da analise de Fredholm resoluo do problema de Dirichlet, num domnio plano 91

  • PREFCIO

    Problemas diversos de Anlise pura e tambm de Mecnica e Fsica, conduzem-nos naturalmente, a equaes integrais.

    Assim, pareceu-nos interessante, um estudo sobre estas equaes. No poderamos pensar em realizar um trabalho completo, sobre

    um assunto que, embora moderno, extremamente vasto. Limitamo-nos resoluo de equaes lineares, com uma s funo desconhecida. Entretanto, procuramos tratar completamente, a resoluo de trs tipos de equaes integrais, que frequentemente aparecem em problemas de Anlise e Fsica.

    Os dois primeiros captulos desta dissertao dizem respeito resoluo das equaes de Volterra de 1." e 2." espcie: tipos de equaes a limites variveis.

    0 terceiro captulo trata a resoluo duma equao, a limites fixos, a equao de Fredholm.

    Para mostrar seguidamente, que til o estudo destas equaes, no quarto e quinto captulos tratamos em domnios a trs e duas dimenses, os Problemas de Dirichlel e Neumann, problemas de And-lise, que a Fsica Matemtica aplica a variadas questes, dando-lhes forma adequada ao fim que tem em vista.

    Certamente, os Ex.mos Professores que teem de julgar este tra-balho, notar-lhe-ho grandes deficincias.

  • Foi, entretanto, nossa preocupao dar rigor e clareza a todos os assuntos, modificando por vezes, a exposio dos livros empregados no nosso estudo.

    Para que naturalmente, apaream todas as funes necessrias para a resoluo das equaes, empregamos o mtodo de induo seguido por Volterra, isto , o mtodo da passagem ao limite, ou da passagem do finito ao infinito.

    s/e mtodo, de largas aplicaes, que d origem Anlise funcional em cujo campo as equaes integrais teem o seu lugar, embora o seu estudo possa ser feito com os elementos que a Anlise ordinria nos fornece.

    dentro do campo da Anlise ordinria, que vamos apresentar a nossa dissertao.

    21 de Outubro de 1928.

  • INTRODUO

    1) Definies. As equaes funcionais, em que as funes desconhecidas aparecem sob o sinal de integral, denominam-se equaes integrais.

    Consideremos equaes integrais, em que apenas existe uma funo desconhecida.

    Se a funo desconhecida no entra na equao seno no 1. grau, a equao integral diz-se linear.

    Uma equao integral linear denomina-se de l.a espcie, se tem a forma:

    O a

    Uma equao integral linear denomina-se de 2." espcie, se da forma:

  • CAPTULO I

    EQUAO DE VOLTERRA DE 2 / ESPCIE. SUA RESOLUO

    1) Consideremos a equao de Volterra de 2." espcie, quando apenas varivel o limite superior do integral:

    (1) f (* ) -(*)+/**(* S)()

  • I

    Podemos considerar a equao (1), como o caso limite da equa-o algbrica (2), quando o nmero de incgnitas u(x), (1), (. , ) . . . cresce indefinidamente. A resoluo da equao (2), depende da resoluo do sistema:

    s - [

    (3) (li)IH [s= I. 2 . . . ,/]. / = 1

    Vamos procurar obter tambm a soluo de (1), partindo da soluo do mesmo sistema, e empregando o mtodo da passagem ao limite, para n = .

    Mais explicitamente, podemos escrever:

    /?(Si)=(Si) p(S8) = (8J + ^(e8.Sa)(i)Ai = 8i(Si) + (a)

  • O valor das incgnitas tf (Ss)

    I

    [sl,2 . . . n ] :

    (,) =

    Desenvolvendo este determinante, em ordem aos elementos da ltima coluna, resulta:

    s - l

    (4) (6.) T(6i) + 2 cii*(W

    designando por :S, o menor que se deriva do ltimo determinante, suprimindo a coluna de ordem s e a linha de ordem i, isto , o determinante seguinte:

    1 0 0 .. 0 0 0 . . . 0

    "21 1 0 . . 0 0 0 . . . 0

    e.HlJH* " i l 1 a / ,2 a /1,3 .. 1 0 0 . . . 0 B/+l, 1 /+ , 2 f l / + l , 3 ..a + !,'' \ai\ ., I ... 0

    S l " s 2 "s3 # , / ! "< , / + l " , a # . I

  • ()

    : ( - l ) t + -

    "/+!,

  • 7

    Atendendo a (5), podemos escrever:

    ac)+ Bw + ... + (') = _ tt _ y B < ; ; _ s < ' s / ' ' st s' CJ

    , = /+1

    V (2) V (*''>

    /=/+1 /=/+1

    Desta identidade, resultam as relaes seguintes, que so frnulas de recorrncia para o clculo dos a s ] :

    ! ! M

  • 8

    Ponhamos:

    As frmulas (7), (6), (5) e (4) tomam a forma seguinte:

    s I

    (8) KO')(lSiii)=YiK(k)^s;rr)KV'-k)^rli),lr [A=| ...-(A-!)) /=/+1

    (9)

    (10)

    S(M/)=*W(S,,/) y = i

    i - i

    5 ( ^ ^ ) + ^ ( ^ ^ ) = - ^ ^ ( = , , ^ ) 5 ( = , ) ^ /=/+1

    s - l

    (11 ) " ( ^ l U + ^ ^ c / l ' i U / ) " , - . i = l

    O conjunto destas frmulas resolve completamente o sis-tema (3).

    Faamos crescer n indefinidamente, ao mesmo tempo que os h b tendem para zero, de modo que qs tenda para x.

    As frmulas que acabamos de escrever, transformam-se nas seguintes, para n = oo:

    (12) /v CO (*,g) W,C* AM*) (* , , ) AM/'-*) (2,g) rf.

  • 13) s'(*,) = T KU)(X,C)

    J =

    (14.) S(x,i) + KU^)^-j'"K(x,z)S(z,i)liz .

    (15) (*) = ?(*)+ r*SUe) (z,) di

    (16) K(3) (*;ej = - J * * / C ( J C , ) K < 2 ) (z,=)rfz

    KU) (A-,) = f A'(.v,z) * < / - ) (*,) /Z

  • 10

    Todas estas funes so limitadas e contnuas.

    Os ncleos iterados satisfazem d frmula de recorrncia (12).

    Com efeito, esta frmula evidentemente satisfeita, paray'=2. Para mostrar que se d o mesmo, qualquer que seja o grau

    de iterao, basta verificar que, supondo a frmula verdadeira para o grau n, ela tambm o para o grau n + \.

    Ora, temos:

    AM") (*,)= f K(*)(jr,*)/C

  • 11

    A srie (13) uniformemente convergente.

    Partimos da hiptese de que o ncleo K(x, ) uma funo continua, com limite superior A,

    Temos portanto:

    I K< ">{*,) |

  • 12

    Podemos escrever, como consequncia da frmula (12) e da convergncia uniforme da srie:

    K=f, Kl*){x,z) Y *-)(*,)& =

    = P ^()(.r,)S(,q)rf= f S(x,2)/C(")(2,g)

  • 13

    Com efeito, consideremos as funes, ncleos iterados, relati-vamente a S (x, :;):

    S ( D = S(.v,:)

    S(2) = P*S(x,*j S

  • 14

    e K{x, ). Vem, subtraindo membro a membro as igualdades (18) e (14):

    T(x,)K(x,\)9{x,)=zXS(x,z)c(x,)dz = J ;

    = P S (x, z) dlj S(zlzl)3{zul)dz1= ... =

    = rs(x,z)dzj'Zi.S(z,z1),lz1...j''H2S(z,l_2>zn_^^zll_i,l)'lzn_u

    Ora, S(x, ) uma funo limitada, o mesmo acontecendo a T(x, ) e portanto a ?(x, ).

    Suponhamos no campo considerado:

    | S ( - v , : ) l < ' V | 3(.v,--) | < " '

    A' e m sendo dois nmeros finitos, convenientemente determinados. Temos:

    , V | i t ) | g ( 6 ) l < !

    Esta desigualdade deve verificarse para qualquer valor de .

    Mas, ^"^'"T' o termo geral da srie, cuja soma a exponen

    cial eN(x~ 6), e, portanto:

    lim. /n Sr-s*- = tf. ! n = oo

    Temos pois:

    0 ( .v , f ) = 0 ou A'(.r, ?) = r ( . v , f ) ,

    como desejvamos provar.

  • 15

    5) Princpio da inverso. Mostremos que a inverso da equao integral proposta, conduz equao:

    ( . r ) = ( * ) + XS(x,Z)

  • 16

    Do mesmo modo, dada a equao (17), onde-

  • 17

    Conclumos pois: As frmulas (12), (13), (14) e (15) conduzem-nos soluo nica,

    .finita e contnua, da proposta equao de Volterra de 2." espcie.

    6) Mtodo das aproximaes sucessivas.Consideremos ainda a equao de Volterra de 2." espcie:

    (20) n (.v) = 9 (.v) - .f*aK(x,%) u () rf.

    As funes que entram nesta equao, continuam a satisfazer s condies estabelecidas anteriormente, X um parmetro real ou complexo.

    Procuremos satisfazer formalmente equao proposta, su-pondo u (x) a soma duma srie ordenada, segundo as potncias inteiras e positivas de X.

    (21) (.v) = u0 {.x)+Xuj. (x) + > . 2 2 (.v) + . . . +lnun (x) + . . .

    Isto equivale a tomar em sucessivas aproximaes, para valor de u(x), o primeiro termo da srie, a soma dos dois primeiros termos, etc.

    Determinemos, seguindo este raciocnio, as funes , (x). Temos: Numa 1." aproximao:

    u(x)*=uQ{x)=.

  • IS

    Numa 3.a aproximao:

    (.v) = 0(.v)+).1(.v)+X22(.v)

    i(*)-f**w(*6)?(6). t / 0

    Assim, a srie (21), escreve-se:

    (22) (.v) = ? (*) + X f * X (.V, s) ? (!) dl + V 0

    + X2 CXRW (x, f ) ()

  • 19

    Esta frmula determina a nica soluo finita e continua da equao de Volterra (20).

    Para demonstrar esta proposio, no temos mais que seguir os raciocnios dos pargs. 4. e 5..

    So satisfeitos os princpios da convergncia, reciprocidade e inverso.

    Notemos que o desenvolvimento em srie (22),

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