cdi i - aula 13 - integrais impróprias

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA 13INTEGRAIS

IMPRÓPRIAS

AULA 13INTEGRAIS

IMPRÓPRIAS

INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS

A definição usual de integral definida de (x) no intervalo [a,b] é denotada por:

b

adx)x(f

Supõe-se que [a,b] é um intervalo finito e que é uma função integrável em [a,b] (isto é, é contínua ou pelo menos é limitada, tendo um número finito de descontinuidades no intervalo considerado).


Uma integral definida é dita imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função tem uma descontinuidade infinita em [a,b].

EXEMPLOS:

0dxe x

1

0 2

1dx

xIntervalo de Integração Infinito Função Descontínua em x = 0


As integrais impróprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática, como por exemplo, na solução de equações diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e, na Estatística, no estudo das probabilidades.


0

dt)t(fe)s(F)t(f stL

1

dx)x(f

b

adx)x(f)bxa(P

Transformada de Laplace

Normalização da Função Densidade de Probabilidadede uma Distribuição Contínua.

Probabilidade de um evento ocorrer: a e/ou b podem ser iguais à .

dx)x(fx)x(E Valor esperado do número x

INTEGRAL IMPRÓPRIA COM INTERVALO INFINITO



PROBLEMA: Calcular a área da região R determinada pelo gráfico de

112

xx

)x(f

e o eixo dos x.


Note que a região é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal região:

R


Considere agora:

A área desta região será:

bdx

x

b 11

11 2

bR


É intuitivo que, para valores de b muito grandes, a região limitada Rb é uma boa aproximação da região ilimitada R. Isto nos induz a escrever:

)R(Alim)R(A bb

Quando o limite existir.

.a.u1


Reescrevendo:

b

bb

bdx

xlim)R(Alim)R(A

1 2

1

blimb

11

Sendo: 01


É comum denotar A(R) por:

1 2

1dx

x)R(A

Esta integral é um exemplo de Integral Imprópria com limite de integração infinito.


DEFINIÇÃO: Se é uma função integrável em [a,+), então:

b

abadx)x(flimdx)x(f

Se é uma função integrável em (-, b], então:

b

aa

bdx)x(flimdx)x(f


Se é uma função integrável em (-,+), então:

b

baadx)x(flimdx)x(flimdx)x(f

0

0


Se o resultado do limite é um número real diz-se que a integral imprópria converge.

Se o limite não existe ou é infinito, diz-se que a integral imprópria diverge.

REGRA DE L’HOPITALREGRA DE L’HOPITAL

REGRA DE L’OPITALREGRA DE L’OPITAL

No estudo inicial sobre limites, para calcular limites como

x

xsenlime

x

xlim

xx 0

2

3 3

9

era necessário usar métodos algébricos geométricos (ou trigonométricos).


Estabeleceremos uma outra técnica para calcular esses limites, a qual utiliza derivadas.

Esta técnica é utilizada para resolver as formas indeterminadas:

)x(g

)x(flimou

)x(g

)x(flim

axax 0

0


REGRA DE L’OPITAL:

)x(g

)x(flim

)x(g

)x(flim

axax

Até que a indeterminaçãodesapareça!

OBSERVAÇÃO: Não é a derivada do quociente, mas a derivada da função de cima sobre a derivada da função de baixo.

EXEMPLOSEXEMPLOS


EXEMPLOS: Calcule os limites abaixo:

3

2

0

0

2

2

3

21

1

127

96

x

elim)d(

xcos

xlim)c(

xln

eelim)b(

xx

xxlim)a(

x

x

x

xx

x

x

0

2

½

EXEMPLOSEXEMPLOS


EXEMPLO (1): Determine os resultados das seguintes integrais impróprias:

0

3

1

1 3

12

1

1

1

dxx

)c(

dxx

)b(

dxx

)a(

0

22

0

3

dxe)f(

dxx

x)e(

dxxcos)d(

x

1/2

-1/4

NE

0

1


EXEMPLO (2): Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade (x) = 0.002 e−0.002x , se x ≥ 0, onde x é medido em horas.

(a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas?

(b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas?

b

adx)x(f)bxa(P


EXEMPLO (3): Calcule a transformada de Laplace da função (x) = et.

0

dt)t(fe)s(F)t(f stL

REFERÊNCIA (1)REFERÊNCIA (1)

CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA

CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA

SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.

SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.

REFERÊNCIA (2)REFERÊNCIA (2)

CÁLCULOCÁLCULO

STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1

STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1

JENAI OLIVEIRA CAZETTAJENAI OLIVEIRA CAZETTA

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