apostila cdi 1 integrais cap4 donizetti 23maio2012
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8/16/2019 Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012
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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR
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PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS
Nesta tabela, f , g, u e v são funções deriváveis de x, e k , a e n são constantes1) [ k ] ’ = 02) [ ] ’ = 1!) [ k " f ] ’ = k " f ’
#) [ f ± $] ’ = f ’ ± $ ’ %sendo válida &ara 'ais de duas funções)() [ f " $] ’ = f ’ " $ f " $ ’*) [ n ] ’ = n " n +1
) [ u n ] ’ = n " u n - 1 " u ’
.)2
/
$
/$f +$/f
⋅⋅=
g
f
) [ a u ] ’ = a u " ln a " u / %&ara a 0 e a ≠ 1)10) [ e u ] ’ = u / " eu
11) [ ualo$ ] ’ = alnu/
⋅
u %&ara a 0 e a ≠ 1e u 0)
12) [ u ln ] ’ =u
/u %&ara u 0)
1!) [ vu ] ’ = /vulnu /uuv v1+v ⋅⋅+⋅⋅ %&ara u 0)
1#) [ sen u ] ’ = u ’ " cos u1() [ cos u ] ’ = + u ’ " sen u1*) [ t$ u ] ’ = u ’ " sec2 u1) [ cot$ u ] ’ = + u ’ " cossec2 u1.) [ sec u ] ’ = u ’ " sec u " t$ u1) [ cossec u ] ’ = + u ’ " cossec u " cot$ u
20) [ arc sen u ] ’ =u/
1 + u2
21) [ arc t$ u ] ’ =2u1
/u
22) [ arc cos u ] ’ =2
u+1
/u−
2!) [ arc cot$ u ] ’ =2u1
/u−
2#) [ arc sec u ] ’ =1+uu
/2⋅
u
2() [ arc cossec u ] ’ = 1+uu
/
2⋅− u
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PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO%Neste uadro, u e v são funções deriváveis de x " 3or outro lado, k , a, m e n são constantes")
FUNÇÃO DERIVADA1" k y = co' ℜ∈k 0/= y2" x y = 1/= y!" uk y ⋅= co' ℜ∈k // uk y ⋅=#" vu y ±= /// vu y ±=
(" muuuu y ±±±±= """!21 co'4 N m∈
/"""//// !21 muuuu y ±±±±=
*" nu y = co' ℜ∈n // 1 uun y n ⋅⋅= −
" vu y ⋅= /// vuvu y ⋅+⋅=." muuuu y ⋅⋅⋅⋅= """!21 co' 4 N m∈ """"""/"""// 1!21!21 mm uuuuuuuuuu y ⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
"v
u5 = )0% ≠v 2
///
v
vuvu y
⋅−⋅=
10" ua y = co' )10% ≠> aea aau y u ln// ⋅⋅=
11" ue y = ueu y ⋅= //
12"u
alo$5 = co' )0,10% >≠> uaea alnu/ /
⋅= u y
1!" u y ln= co' 0)%u >
u
/u /5 =
1#" vu y = co' 0)%u > ulnvu/ v /u1+vuv/ ⋅⋅+⋅⋅= y 1(" u sen y = uu y cos// ⋅=1*" u y cos= u senu y ⋅−= //1" utg y = uu y 2sec// ⋅=1." u g y cot= uu y 2seccos// ⋅−=1" u y sec= utg uu y ⋅⋅= sec//
20" u y seccos
= u g uu y cotseccos// ⋅⋅−=
21" u senarc y =
u+1
//
2
u y =
22" uarc y cos=
u+1
//
2
u y −=
2!" utg arc y = 2
u1
// u
y =
• Defini!" #e De$iva#a ge$a%& x
x f x x f
x
y
dx
df
dx
dy x f y
x x ∆−∆+=
∆∆====
→∆→∆
)%)%li'li')%//
00
• Defini!" #e De$iva#a em um '"n(" '& & ) &%f )%f li'%&)/f & −−= →
• Ve%")i#a#e In*(an(+nea6 )%/li'0
t sdt
ds
t
sv
t i ==∆
∆=→∆
• A)e%e$a!" In*(an(+nea6 )%//%t)/li'0
t svdt
dv
t
va
t i ===∆
∆=
→∆
• E,ua!" #a $e(a (angen(e6 )%)%/)% p x p f p f y −⋅=− N"$ma%6 )%)%/
1)% p x
p f p f y −⋅−=−
• Reg$a #a Ca#eia6
dx
du
du
dy
dx
dy ⋅=
• De$iva#a #a fun!"
inve$*a6dx
dy
dy
dx÷= 1
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FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE IN-EGRAIS
1) ∫ ∫ ⋅=⋅ d)%k d)% x f x f k 2) ∫ ∫ ∫ ±=± d)%d)%d)]%)%[ x g x f x g x f %sendo válida &ara 'ais de duas funções)
!) k n
n x x +
+
+=∫ 1
1
dn %&ara 1−≠n )
#) k x
x 77lnd1d1+ +==∫ ∫ %&ara 0≠ x )
()
=+
≠++
+
=∫ +1nse ,77ln
+1nse,1
1
dn
k
k n
n x
x %resu'indo as f8r'ulas %!) e %#))
*) k x +=∫ d %caso &articular da f8r'ula %!))
) k u
u 7u7lndu
/ +=
∫ %etensão da f8r'ula %#)
∫ += k udu
u
ln1
)
.) k ee x +=∫ d ou k edue uu +=∫ ) k
ee +=∫ α
α α
"" d %conseu9ncia da f8r'ula %.))
10) k a
a +=∫ alnd
% caso $eral da f8r'ula %.))
11) k ee u +=⋅∫ duu/u %etensão da f8r'ula %.))12) k u +=∫ cos+duusen
1!) k u +=∫ senduucos
1#) k 7ucos7ln+duut$ +=∫ 1() k 7usen7lnducot$ +=∫ 1*) k ut$duusec2 +=∫ 1) k ucot$+duucossec2 +=∫ 1.) k u secdut$usec +=⋅∫ 1) k ucossec+duucot$ucossec +=⋅∫ 20) k
u ut$arcdu
1
12
+=+∫
21) k au
a
u t$arc
1du
a
1
22
+=+∫
%etensão da f8r'ula %20))
22) k u
usenarcdu1
1
2+=
−∫
2!) k u
a
usenarcdu
a
1
22+=
−∫ %etensão da f8r'ula %22))
2#) k a xdxa x
+−=−∫ 77ln1
2() ∫ ++= k utg uduu 7sec7lnsec 2*) ∫ dusec! u = [ ] k utg uutg u +++⋅ 7sec7lnsec
2
1
2) :8r'ulas de recorr9ncia6 ;uidori
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PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS IN-EGRAIS
1) ∫ ∫ ⋅=⋅ du)%du)% u f k u f k 2) ∫ ∫ ∫ ±=± du)%du)%du)]%)%[ u g u f u g u f %sendo válida &ara 'ais de duas funções)
!) k n
nuu +
+
+=∫ 1
1du
n %&ara 1−≠n )
#) k uu 7u7lndu1du1+ +==∫ ∫ %&ara 0≠u )
()
=+
≠++
+
=∫ +1nse ,7u7ln
+1nse,1
1
dun
k
k n
nu
u %resu'indo as f8r'ulas %!) e %#))
*) k edue uu +=∫
) k a
a +=
∫ alndu
uu
.) k u +=∫ cos+duusen
) k u +=∫ senduucos
10) k 7ucos7ln+duut$ +=∫ 11) k 7usen7lnducot$ +=∫ 12) k ut$duusec2 +=∫ 1!) k ucot$+duucossec2 +=∫ 1#) k u secdut$usec +=⋅∫ 1() k ucossec+duucot$ucossec +=⋅
∫ 1*) k
u ut$arcdu
1
12
+=+∫ e k u a
u t$arc
a
1du
a
122
+
=
+∫
1) k u
usenarcdu1
1
2+=
−∫ e k
u
a
usenarcdu
a
1
22+
=
−∫
1.) ∫ ++= k utg uduu 7sec7lnsec e ∫ +++⋅= k utg uutg uduu ]7sec7ln[sec21
sec!
1) ∫ ∫ ⋅⋅=⋅ duv+vudvu %inte$ração &or &artes)
20) k a xdxa x
+−=−∫ 77ln1
• A%guma* a'%i)a.e* #a* in(eg$ai*6
+=+=⇒
⋅=⋅=⇒
==⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
d5)]%/[1oud)]%/[1=rcodeo>o'&ri'ent
d5)]%[?oud)]%[??olu'e
d5)%oud)%@rea
22
22
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
y f C x f C
y f x f
y f A x f A
π π
• 1cos22
=+ θ θ sen θ θ 2cos21
2
1
cos
2
+= θ θ 22
sec1 =+ tg
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DEFINIÇ/ES E FORMUL0RIO DE REVISÃO
• Defini!" #e De$iva#a ge$a%& x
x f x x f
x
y
dx
df
dx
dy x f y
x x ∆−∆+=
∆∆====
→∆→∆
)%)%li'li')%//
00
• Defini!" #e De$iva#a em um '"n(" '& &
) &%f )%f li'%&)/f
& −
−=
→
1) E,ua!" #a Re(a -angen(e& &)+%%&)/)% ⋅=− f p f y
• E,ua!" #a Re(a N"$ma%& )%)%&/
1)% p x
f p f y −⋅−=−
• Ve%")i#a#e In*(an(+nea6 )%/li'0
t sdt
ds
t
sv
t i ==∆
∆=→∆
• A)e%e$a!" In*(an(+nea6 )%//%t)/li'0 t svdt dvt va t i ===∆∆= →∆
• Va$ia!" #a Fun!"6
⇒
0%)/f edecrescent:unção
0%)/f constante:unção
0%)/f crescente:unção
• C"n)avi#a#e #a Fun!"6
⇒ 0%)//f baio &ara?oltada
0%)//f ci'a &ara?oltada
• P"n(" #e m1xim" %")a%6 0)%//0)%/ = x f e x f
• P"n(" #e inf%ex!"6 0)%///0)%// ≠= x f e x f
• Reg$a #a Ca#eia6( ) ( )
⋅=
⋅=
dx
du
du
dy
dx
dy x g x g f x g f )%/)%/]/)%[
• Reg$a #e L34"*'i(a%6)%/
)%/li'
)%
)%li'
0
0
x g
x f
x g
x f
p x
ou
p x →
∞∞
→=
• De$iva#a #a fun!" inve$*a6 dydx
dx
dy 1=
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• De$iva!" Im'%2)i(a6
dy
dF dx
dF
dx
dy y x F
−=⇒= 0),%
• P$imi(iva* "u An(i#e$iva#a*6 ∫ ∈∀=⇔+= )% f%)%)/:k :%)d)% f Dom x x f
• -e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%" 5-FC66 )%)%)]%[)% a F b F x F dx x f bab
a−==∫ onde
b xa x f x F ≤≤= ),%)%/
inte$ral definida si$nifica, $eo'etrica'ente, a 'edida da área da su&erfAcie li'itada &elo $ráfico da
curva, &elo eio dos e &elas retas = a e = b" ∫ = b
adx x f )%@rea
• In(eg$ai* a'%i)a.e*6
=
⋅==
==
==
∫
∫
∫
Ferraudoe RighettoVer
x f
t vd
x f A
b
a
b
a
b
a
BevoluçãodeCu&erfAcieda@rea
d)]%[??olu'e
dt)%DistEncia
d)%@rea
2π
• A'%i)a!" F2*i)a6
==
==
∫
∫ )%/)% &ois,dt)%)%
)%/)% &ois,dt)%)%
t vt at at v
t st vt vt s
N"(a6 s constantes serão deter'inadas &elas condições iniciais"
• In(eg$ai* '"$ 'a$(e*6
⋅⋅=⋅
⋅⋅=⋅
∫ ∫
∫ ∫
duv+vudvu
ou
d$%)%)/f + $%)f%) d%)/$f%)
• In(eg$a!" '"$ f$a.e* 'a$)iai*6 CeFa ∫ −⋅− dx x x x P
)%)%
)%
β α , co' β α ≠ e 3%) u' &olinG'io"
Hntão6
1) Ce o $rau de 3 for estrita'ente 'enor ue o $rau do deno'inador %$rau de 3 I 2), então6
)%)%)%)%
)%
β α β α −+
−=
−⋅− x B
x
A
x x
x P
e, assi',
∫ −⋅− dx x x x P
)%)%
)%
β α = k x B x A 77ln77ln +−⋅+−⋅ β α
Re*umin#"6 >o' ℜ∈≠ nm,,,, β α β α , te'os6
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k x B x Adx x
Bdx
x
Adx
x x
nmx+−⋅+−⋅=
−+
−=
−⋅−+
∫ ∫ ∫ 77ln77ln)%)% β α β α β α
2) Ce o $rau de 3 for 'aior ou i$ual ao do deno'inador, &recisa'os antes fa
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• FUNÇÃO UADR0-ICA 5"u '"%in"mia% #" B" g$au6 a xB x )H )"m a≠
1)2
6te'os,# b doconsiderane0 22
a
bcac xb xa$e
⋅∆±−=⋅⋅−=∆=+⋅+⋅
2)
6 te'os0
21
21
2
−=+
=⋅
=+⋅+⋅
a
ba
c
c xb xa$e
!) )%)% 212 x x x xac xb xa −⋅−⋅=+⋅+⋅
#) ?Krtice da &arábola6 ?%v, 5v), onde6 2
2 21?
+=⋅
−=a
be
a⋅∆−=
#5?
() Deco'&osição de &olinG'ios6 )%""")%)%)%)% !21 nn r xr xr xr xa x P −⋅⋅−⋅−⋅−⋅=
*) :atorações es&eciais6 )"""%)% 122!21 −−−−− +⋅++⋅+⋅+⋅−=− nnnnnnn aa xa xa x xa xa x
• MÓDULO OU VALOR AJSOLU-O&
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♦ E*fe$a&
=
=
!
2
!
#
#
r Vo%ume
r &rea
π
π
• FUNÇÃO EKPONENCIAL& (a#aa y x ≠>= e,
• P$"'$ie#a#e* #a* '"(?n)ia*6
1) n ter'os
""" ⋅⋅⋅= x xn 2) nmnm x x x ⋅=+ !)n
mnm
x
x x =−
#) 1nn
x x =− () nmm x x ⋅=)% n *) n
mn m x x =
) )0%10 ≠= aa
• FUNÇÃO LOGAR>-MICA&
≅
+==
>≠>=
+∞→""2,1.2.1."
11li'e 6onde ,lo$ln
,lo$
x
x
x
e
x
a
x
# xe(ae#a y
• P$"'$ie#a#e* %"ga$2(mi)a*6
1) ( ) ( ) ( )Rlo$=lo$R=lo$ aaa +=⋅ 2) ( ) ( )Rlo$=lo$R
=lo$ aaa −=
2) ( ) ( ) lo$nlo$ n aa ⋅= #) base)de'udançaco'o%conLecida Rlo$=lo$
lo$a
a= A B
() xa x
a =lo$ e &or conseu9ncia xe x =ln
• GEOME-RIA ANAL>-ICA6
1) Duas retas não verticais r e s são &aralelas se, e so'ente se os seus coeficientes an$ulares fore'i$uais, isto K6
sr mm sr =⇒PP
2) Duas retas não verticais r e s são &er&endiculares se, e so'ente se o &roduto de seus coeficientesan$ulares for i$ual a 'enos u', isto K6
1−=⋅⇒⊥ sr mm sr our
sm
m sr 1
−=⇒⊥
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• euação de u'a circunfer9ncia de centro >%c, 5c) e raio r Kdado &or6 222 )%)% r y y x x cc =−+− "
• >onsiderando a circunfer9ncia co' centro na ori$e', te'os6222 )0%)0% r y x =−+− ⇒ 222 r y x =+ "
22 xr y −=
2) Huação funda'ental da reta6 )+% &⋅=− m y y p , onde x
ytg m
∆∆== α
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-RIGONOME-RIA + Defini.e*H Re%a!" Fun#amen(a% e A%guma* C"n*e,u?n)ia*&
1)Li&
co
Li&otenusa
o&osto cateto==θ sen 2)
Li&
ca
Li&otenusa
adFacente catetocos ==θ
!)ca
co
adFacente cateto
o&osto cateto==θ tg ou
θ
θ θ
cos
sentg = #)
θ
θ θ sen
g cos
cot = ouθ
θ tg
g 1
cot =
()θ
θ cos
1sec = *)
θ θ sen
1 cossec =
) 1 cos22 =+ θ θ sen .) θ θ 22 s t$1 ec=+
) θ θ 22 secct$1 osco =+
10) S"ma #e a$)"*&
⋅+⋅=−⋅−⋅=+ ⋅−⋅=−
⋅+⋅=+
bsenasen bcosacos)%cos
bsenasen bcosacos)%cosacos bsen bcosa)%
acos bsen bcosa)%
ba
ba senba sen
senba sen
11) A$)"* #u'%"*&
⋅⋅=
−=
θ θ θ
θ θ θ
cossen2 2
cos 2cos 22
sen
sen
12) Re%a!" fun#amen(a% ($ig"n"m($i)a e )"n*e,u?n)ia*&
=−=−
⇒=+
θ θ θ θ
θ θ
2222
22
cos1cos1
1cos
sene sen
sen
1!) C"n*e,u?n)ia #a $e%a!" fun#amen(a% ($ig"n"m($i)a e a$)"* #u'%"*6
−=
+=
θ θ
θ θ
2cos21
21
2cos2
1
2
1cos
2
2
sen
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1#) -$an*f"$ma!" #e *"ma em '$"#u("6
−⋅
+⋅−=−
−
⋅
+
⋅=+
+⋅
−⋅=−
−⋅
+⋅=+
222coscos
2cos2cos2coscos
2
cos2
2
2
cos2
2
) p sen
) p sen) p
) p) p
) p
) p) p sen) sen p sen
) p) p sen) sen p sen
1() Lei #"* Sen"* e Lei #" C"**en"*6
⋅⋅⋅−+=
==
Acbcba
C sen
c
B sen
b
A sen
a
Scos2
SS
222
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PRIMI-IVAS
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NO-AÇÃO DE IN-EGRAÇÃO
>ostu'a+se escrever6 k x F dx x f +=∫ )%)% &ara e&ri'ir o fato de toda &ri'itiva de f%) ser da for'a:%) k"
3or ee'&lo, &ara e&ressar o fato de toda &ri'itiva de !2 ser da for'a ! k, escreve'os6
∫ += k xdx x!2!
sA'bolo ∫ cLa'a+se *ina% #e in(eg$a!" e indica ue uere'os encontrar a for'a 'ais $enKricada &ri'itiva da função ue o se$ue" sinal de inte$ração le'bra u' XCY alon$ado, ue re&resentaXCMY" ?ere'os, u'a relação tão i'&ortante entre derivadas e so'as, ue recebe o no'e de-e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%""
Na e&ressão ∫ += k :%)d)% x f , a função f%) a ser inte$rada deno'ina+se in(eg$an#"" constante k %não es&ecificada), acrescentada a :%) a fi' de tornar 'ais $enKrica a e&ressão da
&ri'itiva, deno'ina+se )"n*(an(e #e in(eg$a!"" sA'bolo #x ue se$ue o inte$rando serve &ara indicar ue K a variável e' relação a ualefetuare'os a inte$ração"
Defini!" #a in(eg$a% in#efini#a 5"u '$imi(iva6 u(i%ian#" a n"(a!" #e in(eg$a%
∫ ∈∀=⇔+= Do'%f)f%),%)/:k:%)d)% x f
Q REGRAS DE IN-EGRAÇÃO
inte$ração K a o&eração inversa da diferenciação" Wo$o, &ode'os for'ular várias re$ras de
inte$ração &artindo das corres&ondentes %&orK' no sentido inverso) re$ras de diferenciação%derivadas)"
Q< REGRAS DA PO-8NCIA PARA IN-EGRAÇÃO
Ce$undo a re$ra de &otencia6 1−⋅=
n xnn x
dx
d , ou seFa, &ara derivar u'a função &ot9ncia, retira'os
u'a unidade do e&oente e 'ulti&lica'os o e&oente ori$inal &ela função elevada ao novo e&oente"Hnunciando esta re$ra no sentido inverso, tere'os ue, &ara inte$rar u'a função &ot9ncia, deve'osau'entar seu e&oente de u'a unidade e dividir o resultado &ela nova &ot9ncia"
Ce$ue+se u' enunciado 'ais &reciso da re$ra" 3ara 1−≠n , ∫ ++⋅+= k n xn x 1
1n
1 d
ou seFa, &ara inte$rar n x % 1−≠n ), au'enta+se o e&oente de u'a unidade, e divide+se a funçãoelevada ao novo e&oente &or este novo e&oente"
3ara co'&rovar esta re$ra, basta observar ue6 n xn xn
nn xndx
d =⋅
++=
+
+ 111
1
1
Exem'%"*6
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1) >alcule as inte$rais
a) ∫ +=++=+
k x
k x
dx x#1!
#1!! b) ∫ ∫ +=+=+
+==
+
k xk x
k x
dxdx x 2!2
!1
2
1
2
1
!
2
2
!1
2
1
c) k xk x
k x
dx x +=+=+=
∫ +
+
!
(
!
(
!
(
1!
2
1!
2
!
2
"
(
! d) ∫ ∫ ∫ +=+=+
+
===+
k xk x
k x
dxdxdx
110
1110
0
e) ∫ ∫ +=+=++−
==+−
−k xk
xk
xdx xdx
x2
2
11
2
11 2
11
2
1
2
1
re$ra da &ot9ncia vale &ara todos os valores de n, Z eceção de n = + 1 %caso e' ue1
1
+n K
indefinido)"
Q
-
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ou seFa, a inte$ral da so'a K a so'a de cada u'a das inte$rais"
Exem'%"61) >alcule as inte$raisa) ∫ ∫ +== k (1d(d(
b) ∫ ∫ ∫ ++=+++=+=+ k e x
k ek x
dxedx xdxe x x x x x
!!][
!
21
!22
c)k x xek
x xedx xdx
xdxedx x
xe x x x x +−+=+⋅−+=−+=
−+ ∫ ∫ ∫ ∫ !
!22
*
177ln2!
!2
177ln2!
2
112!
2
12!
N"(a6 &elo ee'&lo ), te'os ue ao invKs de adicionar'os u'a constante a cada u'a das ! &ri'itivas, basta adicionar a&enas u'a constante k ao final do resultado encontrado"
Q IN-EGRAIS DE PRODU-OS E UOCIEN-ES
Não eiste' re$ras $erais de inte$ração de &rodutos e uocientes" casional'ente, conse$uire'ose&ri'ir u' &roduto ou u' uociente de u'a for'a inte$ral, co' o auAlio das re$ras Fá a&resentadas"
Exem'%"*&
1) >alcule dx x
x x
(2!!
(
∫ −+
:a
-
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T APLICAÇ/ES
Nos ee'&los ue se se$ue' a (axa #e va$ia!" K conLecida e o obFetivo consiste e' calcular ae&ressão da &r8&ria $rande
-
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2) U' fabricante constata ue o custo 'ar$inal da &rodução de unidades de u'a co'&onente deco&iadora K dado &or !0 - 0,02" Ce o custo da &rodução de u'a unidade K B !(,00, deter'ine afunção custo e o custo de &rodução de 100 unidades\
S"%u!"6 CeFa > a função custo, então o custo 'ar$inal K a taa de variação de > e' relação a , isto K6
> ’ %) = !0 - 0,02Wo$o
k dx xdx xC +=⇒−= ∫ ∫ 2
0,01+!0>%) )02,0!0%)%/ &ara al$u' k"
>o' = 1 e >%1) = !(, obte'os6
!( = !0 - 0,01 k, ou k = (,01
>onseuente'ente>%) = !0 - 0,012 (,01
H' &articular, o custo da &rodução de 100 unidades K
>%100) = !"000 - 100 (,01 = B 2"0(,01
!) U' fabricante de bicicletas es&era ue daui a 'eses os consu'idores estarão aduirindo:%) = ("000 *0 x bicicletas &or '9s ao &reço de 3%) = .0 ! x u"'" %unidades 'onetárias)
&or bicicleta" ual K a receita total ue o fabricante &ode es&erar da venda das bicicletas durante os &r8i'os 1* 'eses\ Re*'"*(a6 B’ %) = :%)"3%) ⇒ B %) = """ assi', B%) = "2*".#0
S"%u!"6
B’ %) = :%)"
3%) ⇒ B’ %) = [(000 *0 x ] " [.0 ! x ]B’ %) = #00"000 1("000 x #.00 x 1.0 ⇒ B’ %) = #00"000 1".00 x 1.0
ssi',
∫ ++ dx x x )1.0.00"1000"#00% = #00"0001".00
2
!
2
!
x
2
1.0 2 xk=#00"000 1!"200 2
!
02 k
B%) = #00"000 1!"200 2!
02 %&rodução nula ⇒ k = 0)
Wo$o,
B%1*) = #00"000 × %1*) 1!"200 × %1*) 2!
0 × %1*)2 ⇒ B%1*) = *"#00"000 .##".00 2!"0#0
∴B%1*) = "2*".#0 unidades 'onetárias"
-
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APLICAÇ/ES DAS IN-EGRAIS INDEFINIDAS = ENGEN4ARIA DE PRODUÇÃO
da&tado de MBUHC, ^air Mendes" Ma(em1(i)a A'%i)a#a 'a$a )u$*"* #e A#mini*($a!"HE)"n"mia e Ci?n)ia* C"n(1ei*" >uritiba6 ^uruá, 2002" !22&"
:oi visto nas a&licações de derivadas ue as derivadas da função custo total e da receita totalre&resenta', res&ectiva'ente, as funções custo 'ar$inal %>M$) e receita 'ar$inal %BM$)">onLecendo+se o custo 'ar$inal e a receita 'ar$inal, atravKs da inte$ração dessas funções, &ode'os
obter o custo total e a receita total, ou seFa, :unção custo total6 ∫ = dx xC*g xC )%)%
:unção receita total6 ∫ = dx x R*g x R )%)%
>o'o a inte$ral indefinida contK' u'a constante arbitrária, no cálculo do custo total essa constante &ode ser calculada conLecendo+se o custo fio de &rodução" No caso do cálculo da receita total, co'o$eral'ente a receita total K
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!) função custo 'ar$inal de deter'inado &roduto K dada &or CMg5x6 B x ; QxB" custo fioK *0" Deter'ine6 %a) a função custo totalQ %b) a função custo 'KdioQ %c) a função custo variável"
S"%u!"6
#) 3ara deter'inado &roduto, a função receita 'ar$inal K RMg5x6 B ; x" Deter'ine6 %a) a receitatotalQ %b) a função de'anda"
S"%u!"6
() H' certa ind_stria, &ara u' nAvel de &rodução de x unidades sabe+se ue o custo 'ar$inal de &rodução de cada u'a K CMg5x6 xB ;
-
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-e"$ia e Exem'%"* ; A#a'(a#"* #e6 `BVV, CeiFiQ RDUNUB, scar ^oão" Ma(em1(i)aa'%i)a#a& A#mini*($a!"H E)"n"miaH C"n(ai%i#a#e" Cão 3aulo6 Caraiva, 1"
♦ An1%i*e Ma$gina%
:reuente'ente, K necessário analisar u'a variável econG'ica atravKs do co'&orta'ento de suaderivada, &rocedi'ento deno'inado análise 'ar$inal" H' seção anterior, discutiu+se uestões destanatureonsidere ue a &rodutividade K nula se' e'&re$ados
vendedores"S"%u!"6
Ce 242
0(,022
1,02)1,02%)1,02%1,02 x xk
x xdx x P dx xdP x
dx
dP −=+−=−=⇒−=⇒−= ∫ 4
&rodutividade K nula se' e'&re$ados vendedores"
Ce 200#00#00200(,020(,022020 222 =⇒=+−⇒=−−⇒−=⇒= x x x x x x x P
>o'o x re&resenta o n_'ero de e'&re$ados, a e'&resa necessita contratar 'ais ( vendedores"
S"%u!"6 Utili
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"lot(2*x-0.05*x^2,x=0..#0);
2) Ce a &rodutividade 'ar$inal de auto'8veis %n_'ero de auto'8veis &or dia) e' relação ao n_'erode e'&re$ados K dada &or #PX#x HQx, uantos e'&re$ados são necessários &ara &roduonsidere ue se' e'&re$ados não Lá &rodução" Re*'"*(a6 20 o&eráriosS"%u!"6 Utili L no &onto 8ti'o, o ue, e' $eral &ode ser facil'enteverificado"
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Cu&ondo ue o lucro 'ái'o ocorra uando a uantidade for ,m1x e tendo e' vista ue o lucro K nulose a uantidade K nula %constante de inte$ração K nula, k = 0), te'os6
∫ ∫ ∫ −=⇒−=⇒−=⇒−= m-xm-xm-x )
mmm-x
)
mm
L
mmmm dxC R LdxC RdLdxC RdLC Rdx
dL000
)%)%)%
ue re&resenta a área abaio do $ráfico referente Z receita 'ar$inal e aci'a do $ráfico do custo'ar$inal"
Exem'%"*61) Cu&onLa ue u'a e'&resa deseFe au'entar o n_'ero de seus vendedores" ssu'indo ue
&esuisas estatAsticas e' tal e'&resa revela' ue o custo 'ar$inal Cm %e' 'il reais) &arae'&re$ar vendedores adicionais e&ressa+se co'o função do n_'ero de vendedores adicionais x
se$undo o e&ressão xC m(
#.= e a receita 'ar$inal R m %e' 'il reais) &ro&iciada &or tais
vendedores &or #0#2 ++= x Rm , calcule o n_'ero de vendedores adicionais necessários a'ai'i
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_+ax:=solve(eeita_+arinal=/sto_+arinal,x); 6=),max 1( 3ro_+axi+o:=Int([eeita_+arinal-/sto_+arinal],x=0.._+ax)
=eval4(int(eeita_+arinal-/sto_+arinal,x=0.._+ax));
6= Lucro,maximo =d ⌠
⌡
0
1(
+ −2 2 + x 10
#(
1( x x !#"(02*#((
2) Ce a receita e o custo 'ar$inal e&ressa'+se co'o função da uantidade x res&ectiva'ente &or Rm ; Zx e Cm B ; Tx BxB encontre a uantidade &rodualcule a função custo total sabendo+seue o custo fio K i$ual (0" Re*'"*(a6 >%) = ! *2 !* (0
#) 3ara deter'inado &roduto, a função receita 'ar$inal K RMg5x6 Qx" Deter'ine6 %a) a receitatotalQ %b) a função de'anda" Re*'"*(a6 %a) B%) = #0 - !2 %b) & = #0 - !Q
() função custo 'ar$inal de deter'inado &roduto K dada &or CMg5x6 Zx ; xB" custo fioK .0" Deter'ine6 %a) a função custo totalQ %b) a função custo 'KdioQ %c) a função custo 'Kdiovariável" Re*'"*(a6 %a) >%) = !0 #(2 - ! .0Q %b) >M%) = !0 #( - 2 .0PQ%c) >v%) = #( - 2 .0P"
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T E,ua.e* Dife$en)iai*
U'a euação diferencial K u'a euação ue envolve u'a derivada" Besolver u'a euação diferencialsi$nifica deter'inar todas as suas soluções" H' al$uns casos, alK' da euação diferencial, &ode'osconLecer certos valores da função, cLa'ados de )"n#i.e* ini)iai*"
Exem'%"*6
1) Ce x xdx
dy!2 += , deter'ine 5" Re*'"*(a6 k x x y ++=
2
!
!
2!
2) Ce x xdx
dy!2 += e se 5 = 2 uando = 0, deter'ine 5" Re*'"*(a6 2
2
!
!
2!
++= x x
y
!) Deter'ine a função 5 = 5 %), ℜ∈ , tal ue6 2 xdx
dy =
S"%u!"6
∫ =⇔= dx x y x
dx
dy 22 k x
y +=⇒!
!
#) Deter'ine a _nica função 5 = 5 %), definida e' ℜ , tal ue6
=
=
2)0%
2
y
xdx
dy
S"%u!"6 ∫ =⇔= dx x y xdxdy 22 k
x y +=⇒
!
!
condição 5%0) = 2 si$nifica ue, &ara = 0, deve'os ter 5 = 2" Desta for'a &ode'os deter'inar o
valor de k"
ssi', de k x
y +=!
!
, te'os6 k +=!
02
!
⇒ k = 2 e 2!
!
+=∴ x
y
() Deter'ine a função 5 = 5 %), ℜ∈ , tal ue6 12
2
+= xdx
yd , 5 %0) = 1 e 5 ’%0) = 0
S"%u!"6 12
2
+= xdx
yd ⇒ 1
2
2 )1% k x
xdx x
dx
dy++=+= ∫
Mas 5 ’ %0) = 00=
= xdx
dy
, te'os 12
02
0
0 k ++= ⇒ 01 =k
Wo$o x x
dx
dy+=
2
2
De x x
dx
dy+=
2
2
⇒ 22!2
2*d
2k
x x x x
x y ++=
+= ∫
Mas 5 %0) =1 ⇒ 1 = 0 0 k 2 ⇒ k 2 = 1
12*
2!
++=∴ x x y
-
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APLICAÇ/ES =S EUAÇ/ES DIFERENCIAIS ORDIN0RIAS
• PROJLEMAS DE CRESCIMEN-O E DECA>MEN-O
CeFa N%t) a uantidade de substEncia %ou &o&ulação) suFeita a cresci'ento ou decaA'ento" d'itindo
uedt
dN , a taa de variação da uantidade de substEncia e' relação ao te'&o, seFa &ro&orcional Z
uantidade de substEncia &resente, então N k dt
dN ⋅= ou 0=− kN
dt
dN , onde k K a constante de
&ro&orcionalidade"
Re*"%u!" #a e,ua!" #ife$en)ia%6
t k ec
ct k ct k ec N ee N e N ct k N dt k dN N
dt k N
dN N k
dt
dN c
⋅=
⋅+⋅ ⋅=⇒⋅=⇒=⇒+⋅=⇒=⇒⋅=⇒⋅= ∫ ∫ 1
11
1ln1
Exem'%"6
1) >erto 'aterial radioativo decai a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce eiste'
inicial'ente (0 'ili$ra'as de 'aterial e se, a&8s duas Loras, o 'aterial &erdeu 10 de sua 'assaori$inal, deter'ine6a) e&ressão da 'assa re'anescente e' u' instante arbitrário t"
b) 'assa de 'aterial a&8s uatro Loras"c) te'&o a&8s o ual o 'aterial &erde 'etade de sua 'assa ori$inal"S"%u!"6
a) CeFa N a uantidade de 'aterial &resente no instante t" Hntão kN dt
dN = " Hsta euação diferencial K
linear e se&arável e sua solução, confor'e a&resentada anterior'ente, K dada &or6 "% ) " k t N t c e "
H' t = 0, te'os N %0) = (0"
Desta for'a," "% ) " (0 " (0k t k t N t c e c e c
⇒ ⇒
3ortanto, "% ) (0" k t N t e "
H' t = 2, Louve &erda de 10 da 'assa ori$inal de (0 '$, ou seFa, ( '$" Wo$o, e' t = 2, N%2) = #("
Wevando estes valores na euação encontrada, te'os6
" 2"% ) (0" #( (0"k t k N t e e⇒
Besolvendo esta euação encontra'os o valor de k ≅ + 0,0(2"bservação6 3ara resolver esta euação utili
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• PROJLEMAS DE -EMPERA-URA
lei do $e*f$iamen(" de Neton, a&licável i$ual'ente ao a,ue)imen(", afir'a ue a taa devariação, no te'&o, da te'&eratura de u' cor&o K &ro&orcional Z diferença de te'&eratura entre ocor&o e o 'eio circundante" CeFa' a te'&eratura do cor&o e m a te'&eratura do 'eio circundante"
Hntão, a taa de variação da te'&eratura e' relação ao te'&o Kdt
d , e a lei de resfria'ento de
Neton &ode assi' ser for'ulada6
( ) mm k k dt
d k
dt
d =+−⋅−= ou
onde k K u'a constante &ositiva de &ro&orcionalidade"
Re*"%u!" #a e,ua!" #ife$en)ia%6
⇒+⋅−=−⇒−=−
⇒⋅−=−
⇒−⋅−= ∫ ∫ 1)%ln)%1
)%)% ct k dt k d
dt k
d k
dt
d m
mm
m
t k m
ecct k
m ec e c
⋅−=
+⋅− ⋅+=⇒=−1
1
Exem'%"*61) U'a barra de 'etal Z te'&eratura de 100g : K colocada e' u' uarto Z te'&eratura constante de
0g:" Ce a&8s 20 'inutos a te'&eratura da barra K de (0g:, deter'ine6a) te'&o necessário &ara a barra atin$ir u'a te'&eratura de 2(g:"
b) te'&eratura da barra a&8s 10 'in"S"%u!"6
Utili
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2) U' cor&o Z te'&eratura de (0g: K colocado ao ar livre onde a te'&eratura K de 100g:" Ce, a&8s ('in, a te'&eratura do cor&o K de *0g:, deter'ine6
a) te'&o necessário &ara ue o cor&o atinFa a te'&eratura de (g:" b) te'&eratura do cor&o a&8s 20 'inutos"S"%u!"&
Utili
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EKEMPLOS COMPLEMEN-ARES
1) U'a certa substEncia radioativa di'inui a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente"Vnicial'ente, a uantidade de 'aterial K de .0 'ili$ra'as e a&8s duas Loras &erde+se da 'assaori$inal" Deter'ine6
a) 'assa restante a&8s 12 Loras" b) te'&o necessário &ara ue a 'assa inicial fiue redu
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2) U'a barra de 'etal Z te'&eratura de *0g> foi colocada e' u'a sala co' te'&eratura constante ei$ual a (g>" &8s 10 'inutos 'ediu+se a te'&eratura da barra acutili" 3er$unta+se6
a) ual o te'&o necessário &ara a barra cLe$ar Z te'&eratura de 10g>\ b) ual a te'&eratura da barra a&8s 22 'inutos\S"%u!"6 lei de Neton &ara a variação da te'&eratura di te'+se6 (!0(2(2*..,(!(((10 0#(1.(12,0 ≅≅⇒⋅+= ⋅− t e t 'inutos e ! se$undos) &8s 22=t 'inutos te'os6
!(,2(!#**00,2((((220#(1.(12,0
≅≅⇒⋅+= ⋅−
e g>S"%u!" u(i%ian#" a '%ani%a Ex)e% )"n*($u2#a 'a$a a $e*"%u!" #e**e (i'" #e a'%i)a!"H (em"*&
!2
-
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!) U' ter'G'etro K re'ovido de u'a sala, e' ue a te'&eratura K de 0 o:, e colocado do lado defora, e' ue a te'&eratura K de 10o:" &8s 0,( 'inuto, o ter'G'etro 'arcava (0 o:" ual será ate'&eratura 'arcada no ter'G'etro no instante t i$ual a 1 'inuto\ uanto te'&o levará &ara oter'G'etro 'arcar 1(o:\ Re*'"*(a6 !*,*oJ e !,0* 'inutos
#) >erta substEncia radioativa decresce a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce se observaue, a&8s 1 Lora, Louve u'a redução de 10 da uantidade inicial da substEncia, deter'ine aX'eia+vidaY %ha%f.%ife) da substEncia" Suge*(!"6 >onsidere a substEncia co' 100 '$"
Re*'"*(a6 *,(. Loras
() U' ter'G'etro K re'ovido de dentro de u'a sala K colocado do lado de fora, e' ue ate'&eratura K (o>" &8s 1 'inuto, o ter'G'etro 'arcava 20o>Q a&8s ( 'inutos, 10o>" ual ate'&eratura da sala\ Re*'"*(a6 2#,#o>
!!
-
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*) Vs8to&o radioativo de cLu'bo, 3b+20, decresce a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resentee' ualuer te'&o" Cua 'eia+vida %ha%f.%ife) K de !,! Loras" Ce 1 $ra'a de cLu'bo está &resenteinicial'ente, uanto te'&o levará &ar 0 do cLu'bo desa&arecer\Re*'"*(a6 10,* Loras
) U' assado &esando ( libras, inicial'ente a (0o:, K &osto e' u' forno a !(o: Zs ( Loras da tarde"De&ois de ( 'inutos a te'&eratura J%t) do assado K de 12( o:" uando será a te'&eratura doassado de 1(0o: %'eio 'al &assado)\ Re*'"*(a6 10(,12 'inutos, ou seFa6 * Loras #( 'inutos e se$undos"
.) U'a esfera de cobre K auecida a u'a te'&eratura de 100g>" No instante t = 0 ela K i'ersa e'
á$ua ue K 'antida a u'a te'&eratura de !0g>" o fi' de ! 'inutos, a te'&eratura da esfera estáredu" Deter'inar o instante e' ue a te'&eratura se encontra redu" O* Utilierto 'aterial radioativo decai a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce inicial'ente, Lá100 'ili$ra'as e se, a&8s dois anos, ( do 'aterial decaAra', deter'ine6
a) e&ressão da 'assa no instante arbitrário t" b) te'&o necessário &ara o decai'ento de 10 do 'aterial"
Re*'"*(a6t02(*,0
e"100 N)a
−
= anos 11,# ) b
≅ # a 1 ' 10 d10) U' cor&o Z te'&eratura de 0g: K colocado e' u' uarto e' ue a te'&eratura K 'antida a 100g:"
Ce, a&8s 10 'inutos a te'&eratura do cor&o K de 2(,g:, deter'ine6a) te'&o necessário &ara o cor&o atin$ir a te'&eratura de (0g:"
b) te'&eratura do cor&o a&8s 20 'inutos"Re*'"*(a6 a) 2!, 'in ≅ 2# 'in b) #!,(g: ≅ ##g:
11) U' cor&o co' te'&eratura desconLecida K colocado e' u' refri$erador co' u'a te'&eraturaconstante de 0g:" Ce a&8s 20 'inutos, a te'&eratura do cor&o K de #0g: e a&8s #0 'inutos K de 20g:, deter'ine a te'&eratura inicial" Re*'"*(a6 J0 = .0g:
12) U' cor&o Z te'&eratura de (0g: K colocado e' u' forno cuFa te'&eratura K 'antida constante e'1(0 g:" Ce, a&8s 10 'inutos, a te'&eratura do cor&o K de (g:, deter'ine o te'&o necessário &araue o cor&o atinFa a te'&eratura de 100 g:" Re*'"*(a6 t 100 = 2!, 'in"
!#
-
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T A'%i)a!" Ge"m($i)a
se$uir vere'os, atravKs de u' ee'&lo, co'o usar a inte$ração &ara encontrar a euação da curvacuFo coeficiente an$ular K conLecido"
Exem'%"6 Deter'ine a euação da função f%) cuFo coeficiente an$ular da reta tan$ente, e' cada , K!2 1 e cuFo $ráfico &assa &elo &onto %2, *)"
S"%u!"6 coeficiente an$ular da reta tan$ente K a derivada de f" Wo$o, f ’%) = !2 1 e f%) K a &ri'itiva,
∫ ∫ ++=+== k x xdx xdx x f x f !2 )1!%)%/)%
3ara deter'inar a constante k, considera'os o fato de ue o $ráfico de f &assa &elo &onto %2, *), ouseFa, substituA'os = 2 e f%2) = * na euação de f%) e resolve'os a euação e' k, obtendo6
* = %2)! 2 k ⇒ c = + #
ssi', a função deseFada K6f%) = ! - #
T A'%i)a.e* F2*i)a*
Cu&onLa'os u' &onto 3 e' 'ovi'ento e' u'a reta coordenada, co' velocidade v%t) e aceleraçãoa%t) no instante t" Do conceito de derivada, sabe'os ue6 v%t) = s’%t) e a%t) = v’%t) = s’’%t), onde s%t)re&resenta a função &osição no instante t"
ssi',
1)%dt)%/dt)% k t vt vt a +==∫ ∫
&ara al$u'a constante k 1"
nalo$a'ente,
2)%dt)%/dt)% k t st st v +==∫ ∫
&ara al$u'a constante k 2"
Exem'%"*61) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio e sabe+se ue no instante t, 0≥t , a velocidade K
v%t) = 2t 1" Cabe+se, ainda, ue no instante t = 0 a &artAcula encontra+se na &osição = 1"Deter'ine a &osição = %t) da &artAcula no instante t"
S"%u!"6
Huacionando, te'os6
=
+=
1)0%
12
x
t dt
dx
De 12 += t dt
dx ⇒ = ∫ + dt)12% t ⇒ = t2 t k
Mas 1 = %0) ⇒ 1 = 02 0 k ⇒ k =11)% 2 ++=∴ t t t x
!(
-
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2) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio co' velocidade v%t) = t !, 0≥t " Cabe+se ue, noinstante t = 0, a &artAcula encontra+se na &osição = 2
a) ual a &osição da &artAcula e' u' instante t\ b) ual a &osição da &artAcula e' u' instante t =2\c) Deter'ine a aceleração"S"%u!"6
a) ⇒
=
+=
dt
dxt v
t t v
)%
!)%k t
t dt t x ++=+= ∫ !2 )!%
2
>o'o %0) = 2 ⇒ 20!2
02
2
=⇒+⋅+= k k
2!2
)%2
++=∴ t t
t x
b) 1022!22
)2%2!2)%
22
=+⋅+=⇒++= xt t
t x '
c) >o'o sabe'ost
va
∆∆
= ou 'ais &recisa'ente 1)%/]![)% =⇒+=⇒= t at t adt
dva
'Ps1a%t) =∴
!) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio co' velocidade v%t) = 2t - !, t ≥ 0" Cabe+se ue noinstante t = 0 a &artAcula encontra+se na &osição = (" Deter'ine o instante e' ue a &artAculaestará 'ais &r8i'a da ori$e'"
S"%u!"6 v%t) = 2t - !, t ≥ 0 e s%0) = (,
k t t dt t t s +−=−= ∫ !)!2%)%2
Mas, co'o s%0) = ( ⇒ s%0) = 02 - !" 0 k = ( ⇒ k = ((!)%
2 +−=∴ t t t s
3ara deter'inar o &onto 'Ani'o, basta deter'inar o vKrtice da &arábola s%t),
a
b xv
2−= ⇒
2
!
12
)!% =⋅
−−=v x ⇒ 2
!=∴ t s
u, utilio'o %0) = 0 ⇒ 002
02
0
)0% xk v
a
x =+⋅+
⋅
= ⇒ k = x#
00
2
2
1)% xt vt at x +⋅+⋅=∴
!*
-
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N"(a6 Utilio'o a velocidade K decrescente, v ’ %t) I 0, isto K, a aceleração K ne$ativa" Wo$o,
a%t) = v ’ %t) = +,. e ∫ ∫ = dt,.+dt%t)/v , lo$o 1.,)% k t t v +−= , &ara al$u' k 1"
Cubstituindo t &or 0 e e' vista do fato de ue v%0) = !0, ve' !0 = 0 k 1 = k 1 e, conseuente'ente,v%t) = +,. t !0
>o'o s’ %t) = v %t), obte'os6
s’%t) = + ,. t !0 e ∫ ∫ +−= dt t dt t s )!0.,%)%/ , lo$o s%t) = +#, t2 !0t k 2, &ara al$u' k 2
:a
-
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LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS
1) Nos &roble'as a se$uir, calcule a inte$ral indicada" >o'&rove as res&ostas obtidas, derivando+as"
a) ∫ d( Re*'"*(a6 k
*
*+
b) ∫ d1
2 Re*'"*(a6k
1
+−
c) ∫ d( Re*'"*(a6 k ( +
d) ∫ +− dt)2t(t!% 2 Re*'"*(a6 k t t t k t t t ++−=++− 2!
(22
!
(2 !!! 2!
e) ∫
+− d5
5
1
5
25!
! Re*'"*(a6 k yn y yk yn
y y +++=+++ 112112
2
!
22
!
f) ∫
+ d
2
e
Re*'"*(a6 k xe
k xe x x
++=++ ((
2
2(
2
22
(
$) ∫
++− du
2
ue
u2
!
u!
1 22 Re*'"*(a6
k u
ueu
unk u
ueu
un ++++=++++!2
! 1
!
1
!2
! 1
!
1 !22 2!
L) d
122
2
∫ ++
Re*'"*(a6 k x xn x +−+
1
1
2
i) ∫
−⋅− dx x
x x (1
)2%2! Re*'"*(a6 k
!
11
#
( 2!# +−+−
F) ∫ −⋅ dt t t )1%2 Re*'"*(a6 k t t k t t +−=+− !
!2
2
!2
2
2!
2
2) Deter'ine a solução $eral da euação diferencial dada6
a) *(! 2 −+= x xdx
dy Re*'"*(a6 k x x x +−+ *
2
( 2!
a) t et dt
dP += Re*'"*(a6 k et t ++!
!
2
!) Besolva a euação diferencial suFeita Zs condições iniciais6a) f ’ %) = 122 - * 1 e f%2) = ( Re*'"*(a6 #! - !2 + 1
b) 21
# xdx
dy= e 5 = 21 se = # Re*'"*(a6
!
1
!
.2
!
− x
c) f ’’ %) = # - 1 e f ’ %2) = + 2Q f%1) = ! Re*'"*(a6*
*(.
2!
22
! +−− x x
x
!.
-
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#) Hsboce o $ráfico da função 5 = 5%), ℜ∈ , sabendo ue6
a) 05%0) e 12 =−= xdx
dyRe*'"*(a6 5 = 2 -
"lot(x^2-x,x=-10..10);
b) 0%0)5/ e 1)0%,2cos#2
2
==−= y xdx
yd Re*'"*(a6 5 = cos 2
"lot(os(2*x),x=0..Pi);
c) 1%0)5/ e 05%0),2
2
−=== − xedx
yd Re*'"*(a6 5 = e+ - 1
3i+it(ex"(-x)-1,x=-in4init6)=li+it(ex"(-x)-1,x=-in4init6); =li' → x % )−∞
−e % )− x 1 ∞
3i+it(ex"(-x)-1,x=in4init6)=li+it(ex"(-x)-1,x=in4init6); =li' → x ∞
−e% )− x
1 +1
"lot(ex"(-x)-1,x=-10..10,6=-10..10);
!
-
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() Hsti'a+se ue daui a t 'eses a &o&ulação de u'a cidade estará variando a u'a taa de # (t2P!
&essoas &or '9s" Ce a &o&ulação atual K de 10"000, ual será a &o&ulação daui a . 'eses\Re*'"*(a6 10"12. &essoas
*) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de #1 &ara cada valor de e cuFo$ráfico contK' o &onto %1, 2)" Re*'"*(a6 f%) = 22 - 1
) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de !2 * + 2 &ara cada valor de ecuFo $ráfico contK' o &onto %0, *)" Re*'"*(a6 f%) = ! !2 + 2 *
.) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de 2
2
2! +− &ara cada valor de e
cuFo $ráfico contK' o &onto %1, !)" Re*'"*(a6#
(2
2
#
)%f
#
−++=
) U' fabricante de blusas de es&orte deter'ina ue o custo 'ar$inal de fabricação de unidades Kdado &or 20 - 0,01( " Ce o custo de fabricação de u'a unidade K de B 2(,00, deter'ine a funçãocusto total e o custo de &rodução de (0 unidades"
Re*'"*(a6 >%) = 20 - 0,00(2(,00( e >%(0) ≅ B .*,2*
10) Ce a função custo 'ar$inal de u' &roduto K dada &or!
1
2
x e se o custo de &rodução de . unidades
K de B 20,00, deter'ine a função custo e o custo de &rodução de *# unidades
Re*'"*(a6 >%) = .! !2
+ x e >%*#) ≅ B (*,00
11) U' obFeto se 'ove de tal for'a ue sua velocidade a&8s t 'inutos K ?%t) = 1 #t !t2 'etros &or 'inuto" ue distEncia o obFeto &ercorre durante o terceiro 'inuto\
Re*'"*(a6 C%t) = t 2t
2
t
!
k = C%!) - C%2) = #. - 1. = !0 'etros12) U' obFeto se 'ove de tal for'a ue sua velocidade a&8s t 'inutos K ?%t) = ! 2t *t2 'etros &or
'inuto" ue distEncia o obFeto &ercorre durante o se$undo 'inuto\Re*'"*(a6 C%t) = !t t2 2t! = C%2) - C%1) = 2* - * = 20 'etros
1!) Ce u' &onto se 'ove e' u'a reta coordenada co' a aceleração a%t) e as condições iniciais dadas,deter'ine s%t)6
a) a%t) = 2 - *tQ v%0) = + (Q s%0) = # Re*'"*(a"6 s%t) = t2 - t! - (t #
b) a%t) = !t2Q v%0) = 20Q s%0) = ( Re*'"*(a"6 s%t) =#
#t 20t (
1#) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio 0 co' velocidade v%t) = 2t (, t 0" Cabe+se ue, noinstante t = 0, a &artAcula encontra+se na &osição = *"
a) ual a &osição da &artAcula no instante t\ Re*'"*(a6 *(2 ++= t t x b) Deter'ine a &osição da &artAcula no instante t = 2" Re*'"*(a6 %2) = 20c) Deter'ine a aceleração" Re*'"*(a6 a%t) = 2
1() U' &roFKtil K lançado vertical'ente &ara ci'a co' u'a velocidade de (00 'Ps" Des&re
-
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1) Deia+se cair u' obFeto da altura de !00 '" Des&re
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#2
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PR
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PROCEDIMEN-O DE IN-EGRAÇÃO ; IN-EGRAÇÃO POR SUJS-I-UIÇÃO SIMPLES
l$u'as inte$rais não t9' soluções i'ediatas, &orK', atravKs de u'a 'udança de variável adeuada,'uitas dessas inte$rais &ode' ser calculadas co' uso das re$ras conLecidas" >onsidere a inte$ral
obFetivo desta tKcnica K transfor'ar o inte$rando, ue K u'a função co'&osta, e' u'a funçãosi'&les" Hntretanto, a tKcnica s8 funciona se no inte$rando a&arece u'a função % u) e sua derivada%c"u3), onde c ∈ ℜ4"
Pa**" alcule a inte$ral resultante e então substitua u &or sua e&ressão e' ter'os de x na res&osta"
N"(a6 Ce o inte$rando K u' &roduto ou uociente de dois ter'os e u' ter'o K '_lti&lo da derivada deu'a e&ressão ue a&arece no outro, então esta e&ressão K &rovavel'ente u'a boa escolLa
&ara u"
Exem'%"*61) >alcule6 ∫ + dx x
()1%
S"%u!"6
:a
-
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12) k dx x
++==+∫ !
72!7ln"""
2!
1
1!) k xdx x
x++−+==
+∫ 717ln1"""1 %dica6 u = 1 x ⇒ u - 1 = e du = dx)
1#) k x
dx x
+++⋅==++
+∫ 2
!.2!"""
!.2
*! 2
2
1() k edxe x
x +==∫ """
1*) k e
dxe x x
x +==+
+∫ #""""2
2!
#
#
1) k x s
dx +==∫ #)#%en
"""%#)cos
1.) k x s
dx x +==∫ 2)%en
""")%cos"2
2
1) k xdx x
x+==∫ sen2"""
cos %dica6
xdx
du xu
2
1=⇒= )
20) k xdx +−==⋅∫ 20(cos"""()sen(%cos#
! %dica6 xdxdu xu (sen((cos −=⇒= )
21) k dx x
+==∫ ! )%ln
"""%ln ) !2
22) k dx x
+==∫ 2 )%ln
"""ln 2
2!) k x
dx x
+−==∫ ln1
"""ln )%
12
2#) k xdx x
+==∫ 7ln7ln"""ln "1
2() k n
dx x
++
== +∫ 1 )%ln"""%ln )
1nn
, 1Pn −≠ℜ∈∀ n
LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS
1) 3rove, utili
-
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2) Besolva os eercAcios a se$uir utili
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• [ sen ] ’ = cos • [ cos ] ’ = + sen • [ t$ ] ’ = sec2 • [ cot$ ] ’ = + cossec2 • [ sec ] ’ = sec " t$ • [ cossec ] ’ = + cossec " t$
ssi',• ∫ +−= k xdx x cossen• ∫ += k xdx x sencos• ∫ += k xtg dx x sec2
• ∫ +−= k x g dx x cotseccos 2
• ∫ +=⋅ k xdx sect$sec
• ∫ +−=⋅ k xdx x seccoscot$seccos
Exem'%"*61) Mostre, utili
-
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N"(a #e $evi*!"6cos 2 = cos % ) = cos " cos + sen " sen = cos2 + sen2 = cos2 + %1 + cos2 ) = 2 cos2 + 1,
lo$o cos 2 = 2 cos2 + 1 ⇒ cos2 = x2cos2
1
2
1 +
() ∫ ∫ +−=+
+== k k dxcdx
#
2sen
2
#
2sen
2
+ )os+%1sen
22
*) ∫ =+ dx x x )cos%sen2 """ = k
x x +−
2
2cos %Suge*(!"6 θ θ θ cos22 ⋅⋅= sen sen )
) ∫ =+ dx x x )cos%sen2 """ = k x x +− 2cos
.) ∫ =+ dx x x )cos%sen2 """ = k x sen x ++ 2
) ∫ =dx x x
2cos
#sen""" = + cos /x k %Suge*(!"6 θ θ θ cos22 ⋅⋅= sen sen )
10) ∫ =+⋅ dx x x sen )cos1%2 """ = k x ++−
!)cos1%
!
11) dx x g x
cotcos
1∫ ⋅ = dx x g x cot
1
cos
1∫
⋅ = ( ) dxtgx x sec∫ ⋅ = sec k
N"(a #e $evi*!"6 x
xcos
1sec = Q
x x
sen
1seccos = Q
x
x xtg
cos
sen = Q xtg
x g
1 cot =
12) Mostre, utili
-
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1) Mostre, utili
-
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#
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-:CNICAS DE IN-EGRAÇÃO ; IN-EGRAÇÃO POR PAR-ES
Cu&onLa'os f e $ funções definidas e deriváveis e' u' 'es'o intervalo V" Je'os, &ela re$ra do &roduto6
[ f%)"$%)] / = f / %)"$%) f%)"$ / %)ou
f%)"$ / %) = [ f%)"$%)] / - f / %)"$%)
Cu&ondo, então, ue f / %)"$%) ad'ita &ri'itiva e' V e observando ue f%)"$%) K u'a &ri'itiva de[f%)"$%)] / , então f%)"$ / %) ta'bK' ad'itirá &ri'itiva e' V e
∫ ∫ ⋅⋅=⋅ d)%)%/+$%)f%)d)%/)% x g x f x g x f %
-
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Re*'"*(a6 fa
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EKEMPLOS DE IN-EGRAIS -RIGONOM:-RICAS
1) >alcule dx x∫ 2sec "
S"%u!"6k xtg dx x +=∫
2sec
S"%u!"6 Utilialcule dx x∫ 2seccos "
S"%u!"6k x g dx x +−=∫ cotseccos 2
S"%u!"6 Utili
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() >alcule dx x∫ sec "S"%u!"6 Multi&licando e dividindo o inte$rando &or ,sec xtg x+ te'os6
dx xtg x xtg x x
dx xtg x xtg x
xdx x ∫ ∫ ∫ +⋅+
=++
⋅=sec
secsec
sec
secsecsec
2
>onsiderando a substituição6 dx x xtg xdu xtg xu )sec%secsec2
+⋅=⇒+=
ssi',
∫ ∫ ++=+== k xtg xk uduudx x 7sec7ln77ln1
sec
S"%u!"6 Utilionsiderando a substituição6 dx x x g xdu x g xu )seccoscotseccos%cotseccos 2−⋅−=⇒+=
ssi',
∫ ∫ ++−=+−=−= k x g xk uduu
dx x 7cotseccos7ln77ln1
seccos
S"%u!"6 Utili
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LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS
1) >alcule as inte$rais indefinidas6a) de ∫ ⋅ x Re*'"*(a6 % - 1) e k
b) de2∫ ⋅ x Re*'"*(a6 e %2 - 2 2) k
c) ∫ ⋅ dln x Re*'"*(a6 fa
-
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IN-EGRAIS INDEFINIDAS DO -IPO& ∫ −⋅− dx x x x P
)%)%
)%
β α
3ara calcular inte$rais desse ti&o, &recisa'os do se$uinte teore'a"
-EOREMA&
CeFa' ℜ∈ n',, , e β α ≠ então eiste' constantes e R tais ue6
•)%)%))"%% β α β α −
+−
=−−
+ x
B
x
A
x x
nmx • 22 )%)%)% α α α −
+−
=−
+ x
B
x
A
x
nmx
N"(a6 de'onstração decorre da teoria sobre &olinG'ios"
%) )%
)+)"%+% )%
x R
x P β α ⇒ ( ) x R x x x0 x P +−−= ))"%)"%%)% β α , onde6 )% x R te' $rau 'enor
ue 2
ssi', &ode'os escrever6
))"%%
)%)%
))"%%
)%
β α β α −−+=
−− x x x R
x0 x x
x P
Lem$e;*e6 ∫ +=− k 7a+7lnd1
a x
P$"va6 :a
-
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2) ∫ −−++
d!2
1!2
2
x x
x x= """ = k x x x 717ln
#
1 7!7ln
#
1 +++−+
S"%u!"6
#(
1 !2
!2 1!
2
22
+
++−
−−++
x x
x x x x ssi',
!2
#(1
!2
1!22
2
−−+
+=−−++
x x
x
x x
x x
)1%)!%
)!%)%
)1%)!%
)!%)1%
)1%)!%)1)"%!%
#(
!2
#(2 +⋅−
−++=+⋅−
−++=++−=+−
+=−−
+ x x
B A x B A
x x
x B x A
x
B
x
A
x x
x
x x
x
#
10=
#
11#
#!
(==⇒=⇒
=−
=+⇒ e B B
B A
B A
Wo$o6
∫ −− ++ d!2 1!22
x x x x = ∫ ∫ ∫ ∫ =++−+=
++−+d
)1%1
#1d
)!%1
#1dd
)1%#
1
)!%#
1
1 x x x x
= k x x 717ln#
1 7!7ln
#
1 +++−+
!) ∫ +−++
d12
12
!
x x
x x= """ = k
x x x
x
)1%
!717ln#2
2
2
+−
−−++
S"%u!"6
1#
2#2
12 2 2
12 1
2
2
2!
2!
−
−+−+
+−+−
+−++
x x
x x x x
x x x x ssi',
12
1#
)2%12
122
!
+−−
++=+−++
x x
x
x x x
x x
2222 )1%
)%
)1%
)1%
)1%)1%)1%
1#
−+−+
=−
+−=
−+
−=
−−
x
B A Ax
x
B x A
x
B
x
A
x
x !#
1
#==⇒
−=+−
=⇒ Be A
B A
A
Wo$o6
∫ ∫ ∫ ∫ −+−++=+−++
dx x
dx x
dx x x x
x x22
!
)1%
1!
1
1#)2%d
12
1 4= k x
x x x
)1%
!717ln#2
2
2
+−
−−++
4 :a
-
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NO-A6 3ara calcular inte$rais do ti&o ∫ − dx x x P
n)%
)%
α co' 4 N n∈ , K 'ais interessante fa
-
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LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS
1) Besolva as inte$rais do ti&o ∫ −⋅− dx x x x P
)%)%
)%
β α
EKERC>CIO RESPOS-A
a) ∫ −d
#
12
b) ∫ − d#
2
c) d1
1( 2
∫ −+
d) d!
2∫ −+
e) d
!2
2
∫ −+
f) ∫ +− d*(
2
$) ∫ −
+d
)1%
!2
L) ∫ −++
d
12
2
i) ∫ +−++
d!#
12
!
F) ∫ −− d21
2
a) k x x +
+−
22ln
#1
b) k #ln2
1 2 +−
c) k x x x +++− (2
(1ln* 2
d) k 1ln#ln! +−+−
e) k !ln2!ln2 ++−−+
f) k !ln!2ln2 +−+−−
$) k 1
#1ln +
−−−
L) k 1ln!ln +−+−
i) k !ln2
!11ln
2
!#
2
2+−+−−+
F) k 2ln!
11ln
!
1 +−++−
Suge*(!"6 Besolva ta'bK' os eercAcios #, , ., 11, 1! e 1# do ;uidori
-
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IN-EGRAIS INDEFINIDAS DO -IPO& ∫ −⋅−⋅− dx x x x x P
)%)%)%
)%
γ β α
3ara calcular inte$rais desse ti&o, &recisa'os do se$uinte teore'a"
-EOREMA&
CeFa' ℜ∈ &n, ', ,, , γ e γ β α , e distintos entre si, então eiste' constantes , R e > taisue6
•)%)%)%)%)%)%
2
γ β α γ β α −+
−+
−=
−⋅−⋅−++
x
C
x
B
x
A
x x x
pnxmx
• 222
)%)%)%)%)% β β α β α −+
−+
−=
−⋅−++
x
C
x
B
x
A
x x
pnxmx
N"(a6 de'onstração decorre da teoria sobre &olinG'ios"
Exem'%"*6
1) ∫ −−++
d2
122!
#
x x x
x x= """ = k x x x
x 727ln
2
77ln
2
1
2
2
+−+−+
2) ∫ +−−+
d1
122! x x x
x= """= k
x x x
)1%2
!717ln
#
1717ln
#
1 +−⋅
−−++− ="""= k x x
x+
−−
+−
)1%2
!
1
1ln #
Suge*(!"6 Besolva ta'bK' os eercAcios do ;uidori
-
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IN-EGRAIS UE RESUL-AM EM FUNÇ/ES -RIGONOM:-RICAS INVERSAS&ARCO -ANGEN-E E ARCO SENO M:-ODO DA SUJS-I-UIÇÃO SIMPLES
De acordo co' as derivadas calculadas no ca&Atulo de derivadas, te'os6
∫ +=+ k t$d11
2
arc ∫ +=−
k sen d1
1
2arc
Exem'%"*6
1) ∫ + dx x (1
2 = """ = k xtg arc +
(
(
(
(
S"%u!"6∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +=
+
=
+
=
+
=+
duu
dx x
dx x
dx x
dx x
(1
1
(
1
(1
1
(
1
(1
1
(
1
(1(
1
(
12
4
2222=
k xtg arck utg arcduu
+
=+=
+= ∫
(
(
(
(
(
(
1
1
(
(2
4
:a
-
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= ∫ ∫ =+=+ duu11
a
1dua
u1
1
a
1222
k t$1
k ut$1
+=+a
xarc
aarc
a
4 :a
-
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*!
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
-
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-:CNICAS DE IN-EGRAÇÃO ; SUJS-I-UIÇ/ES -RIGONOM:-RICAS
O[e(iv" #" )1%)u%"6 Desenvolver as ca&acidades de refleão e de cálculo necessárias &ara o estudo daen$enLaria %ou tecnolo$ia)"
s &rinci&ais tKcnicas de inte$ração são6• MKtodo da substituiçãoQ• Vnte$ração &or &artesQ
• 3or deco'&osição"• :rações &arciaisQ• Vnte$ração de funções racionaisQ• Vnte$ração de funções irracionaisQ• Cubstituição tri$ono'KtricaQ• Vnte$rais i'&r8&rios de 1" e de 2" es&KcieQ• :8r'ulas de recorr9ncias"
Cabe'os da i'&ortEncia da inte$ração, &rinci&al'ente as inte$rais definidas no cálculo da área de u'are$ião co'&reendida entre a função dada e o eio das abscissas %eio x)" Desta for'a, duas uestões
nos fao'o calcular a área de u' cArculo, a área de u'a eli&se, utili
-
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1) >alcule6 dx x∫ −21
S"%u!"6 :a
-
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#) A'%i)a!"6 3rove, utili
-
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*) Ce' usar o resultado do ee'&lo 1, calcule6 dx x∫ −1
0
21
S"%u!"6 :a
-
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.) >alcule6 dx x∫ +21
S"%u!"6
Lem$e;*e6 ∫ dusec! u = [ ] k utg uutg u +++⋅ 7sec7lnsec
2
1, fialcule6 dx xr ∫ −22
S"%u!"6:a
-
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MUDANÇA DE VARI0VEL EM 222222 e, a xa x xa −+−
inte$ração de funções envolvendo radicais do ti&o 222222 e, a xa x xa −+− &ode si'&lificar+seforte'ente &or 'eio do uso das variáveis θ sena x ⋅= ou θ cos⋅= a x , θ tg a x ⋅= ou θ g a x cot⋅= ,
θ sec⋅= a x ou θ seccos⋅= a x , u'a ve< ue as substituições referidas transfor'a' os radicandos e'uadrados &erfeitos" Jais considerações decorre' direta'ente da identidade tri$ono'Ktricafunda'ental e conseu9ncias dessa"
1cos22 =+ θ θ sen θ θ 22 sec1 =+ tg θ θ 22 seccoscot1 =+ g
3or ee'&lo, as substituições θ sena x ⋅= , θ tg a x ⋅= e θ sec⋅= a x transfor'a' os radicais222222
e, a xa x xa −+− , res&ectiva'ente, e' θ cos⋅a , θ sec⋅a e θ tg a ⋅ "
In(eg$a!" '"$ Su*(i(ui!" -$ig"n"m($i)a ; A#a'(a#" #e6 DoLert5 ndrade
Vnte$rar K u'a tKcnica, assi' co'o derivar" Histe' 'uitas tKcnicas de inte$ração6 inte$ração &or substituição, inte$ração &or &artes, inte$ração &or frações &arciais, inte$ração &or substituiçãotri$ono'Ktrica" Jodas be' si'&les, K s8 &e$ar o Feito"
>ontinuando vere'os a inte$ração &or substituição tri$ono'Ktrica" Usada uando o inte$rando contK'u'a das se$uintes for'as 222222222 e, a xba xb xba −+−
?eFa'os al$uns ee'&los6
1) 3ara dx xba∫ − 222 faça a substituição θ senb
a x =
2) 3ara dxa xb∫ + 222 faça a substituição θ tg b
a x =
!) 3ara dxa xb∫ − 222 faça a substituição θ secb
a x =
:a
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ANEKO I ; LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS
1) Mostre ue6 ∫ − −#
#
21* dx x = π .
2) Mostre ue6 ∫ −#
0
21*"2 dx x = π . %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)
!) Mostre ue6 ∫ −!
0
2 dx x =#
π
#) Mostre ue6 ∫ −!
0
2"# dx x = π %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)
() Mostre ue6 ∫ −*
0
2!*"# dx x = π !* %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)
*) Vndiue u'a 'udança de variável ue eli'ine a rai< do inte$randoa) ∫ − dx x
2 Re*'"*(a6 θ sen x !=
b) ∫ + dx x2 Re*'"*(a6 θ tg x !=
c) ∫ − dx x 2 Re*'"*(a6 θ sec!= x
d) ∫ − dx x x22 1 Re*'"*(a6 θ sen x =
e) ∫ − dx x2
#! Re*'"*(a6 θ sen x 2!
=
S"%u!"6
−=
−=−
2
22
!
21!
!
#1!#! x x x , &ois6 se x sen
x sen =⇒= θ θ
2
!
!
2
f) ∫ − dx x2#( Re*'"*(a6 θ sen x
2
(=
$) ∫ − dx x2#1 Re*'"*(a6 θ sen x
2
1=
S"%u!"6 θ θ θ θ cos7cos7cos)%1)2%1 222 ===−=− sen x , &ois6 θ θ sen x x sen2
12 =⇒=
L) ∫ + dx x2#! Re*'"*(a6 θ tg x 2
!=
i) ∫ −− dx x2)1%1 Re*'"*(a6 θ sec1+= x S"%u!"6 θ θ sen x sen x +=⇒=− 11
F) ∫ −⋅ dx x x 1 Re*'"*(a6 ou 0,12 >+= uu x ssi' ∫ ∫ =⋅⋅+=−⋅ """2)1%12 duuuudx x x
utra for'a6 θ θ θ θ tg tg x x ==−=−⇒= 222 1sec1sec "
ssi', """sec2sec2sec1 2#22 =⋅=⋅⋅⋅=−⋅ ∫ ∫ ∫ θ θ θ θ θ θ θ θ d tg d tg tg dx x x
) Mostre ue6 k r
xr xarc
r dx xr +
−⋅+
=−∫ 2
22222
r
sen
2
.) Mostre ue6 ∫ + dx x21 = ( ) k 7 t$sec7ln t$ecs
2
1 +++
Di)a6 ∫ dusec! u = [ ] k utg uutg u +++ sec7ln"sec
2
1
0
-
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Refe$?n)ia*&
:WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" A& Fun.e*H Limi(eH De$iva!"H In(eg$a!", (a
ed" Cão 3aulo6 Makro Rooks, 12"
:WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" J& Fun.e* #e V1$ia* Va$i1vei*H In(eg$ai*Du'%a* e -$i'%a*" Cão 3aulo6 Makro Rooks, 1"
:WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" C& Fun.e* Ve("$iai*H In(eg$ai* Cu$vi%2nea*HIn(eg$ai* #e Su'e$f2)ie" Cão 3aulo6 Makro Rooks, 1"
;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a ed" ?ol" V, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001
;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a ed" ?ol" VV, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001
;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a ed" ?ol" VVV, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001
;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (
a
ed" ?ol" V?, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001
`::MNN, W" D", C1%)u%"& Um Cu$*" M"#e$n" e *ua* A'%i)a.e* , a ed" Bio de ^aneiro6 WJ> +Wivros JKcnicos e >ientAficos Hditora C"", 200#"
BV;`HJJ, "Q :HBBUD, " C" C1%)u%" Dife$en)ia% e In(eg$a%" ?ol" V, Cão 3aulo6 VRH> - Vnstituto Rrasileiro de Hdições >ientAficas Wtda, Cão 3aulo, 1.2
BV;`HJJ, "Q :HBBUD, " C" C1%)u%" Dife$en)ia% e In(eg$a%" ?ol" VV, Cão 3aulo6 VRH> - Vnstituto Rrasileiro de Hdições >ientAficas Wtda, Cão 3aulo, 1.2
Ji%i"g$afia #e A'"i"&
NJN, `" C1%)u%"H um n"v" "$i"n(e Jrad" >5ro de >" 3atarra e Márcia Ja'anaLa" *" ed" 3ortole$re6 Rook'an, ?ol"V, 2000"
NJN, `" C1%)u%"H um n"v" "$i"n(e Jrad" >5ro de >" 3atarra e Márcia Ja'anaLa" *" ed" 3ortole$re6 Rook'an, ?ol"VV, 2000"
WHVJ`WD, W" O C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a ?ol" V, Cão 3aulo6 `arbra, 1.*"
WHVJ`WD, W" O C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a ?ol" VV, Cão 3aulo6 `arbra, 1.*"
MUNHN, :" C1%)u%" ?ol" VV, Bio de ^aneiro6 Hditora ;uanabara Dois C"", 1.2"WBCN, `" H" C1%)u%" )"m A'%i)a.e* Jrad" lfredo lves de :arias" Bio de ^aneiro6 WJ>, 1("
CCV, H" " C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a 2" ed" ?ol" V, Cão 3aulo6 Makro Rooks,1#"
CCV, H" " C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a 2" ed" ?ol" VV, Cão 3aulo6 Makro Rooks,1#"
CVMMNC, ;" C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a" Cão 3aulo6 Mc;ra+`ill, v" 2, 1."
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ P$"f D$ Eng Y"* D"nie((i #e Lima
1
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IN-EGRAL DEFINIDA 5da&tado de ;uidori
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bserve ue, se f%ci) 0, ii xc f ∆⋅)% será então a área do retEn$ulo B i deter'inado &elas retas = i+1, = i, 5 = 0 e 5 = f%ci)"
@rea de B i = ii xc f ∆⋅)%
3or outro lado, se f%ci) I 0, a área de tal retEn$ulo será6 ii xc f ∆⋅− )%
@rea de B i = ii xc f ∆⋅− )%
Ge"me($i)amen(e, &ode'os então inter&retar a so'a de Bie'ann ∑=
∆⋅n
i
ii xc f 1
)% co'o a diferença
entre a so'a das áreas dos retEn$ulos B i ue estão aci'a do eio e a so'a das áreas dos ue estãoabaio do eio " U'a dessas situações K evidenciada na fi$ura a se$uir"
∑=
∆⋅*
1
)%i
ii xc f = *"ma #a* 1$ea* #"* $e(+ngu%"* a)ima #" eix" Ox men"* a *"ma #a* 1$ea* #"*
aaix" #" eix" Ox"
74
-
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Exem'%"6
CeFa : u'a função definida e' [a, b] e seFa 36 a = 0 I 1 I 2 I ! I # = b u'a &artição de [a, b]" acrKsci'o :%b) - :%a) ue : sofre uando se &assa de = a &ara = b K i$ual Z so'a dos acrKsci'os:%i) - :%i+1) &ara i variando de 1 a #6
:%b) + :%a) = :%#) - :%0) = [:%#) - :%!)] [:%!) - :%2)] [:%2) - :%1)] [:%1) - :%0)]
Vsto K6
∑=
−−=−#
1
1)%)%[)%)%i
ii x F x F a F b F
De m"#" ge$a%, se 36 a = 0 I 1 I 2 I """ I n = b for u'a &artição de [a, b], então6
∑=
−−=−n
i
ii x F x F a F b F 1
1)%)%[)%)%
-e"$ema*6
-e"$ema
-
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Exem'%" #" - V M
1) CeFa f %) = 2 onde 20 ≤≤ x e encontre'os u' &onto %c, f %c)) ue satisfaça o J"?"M" Be&resente$eo'etrica'ente"
S"%u!"6
Je'os f %) = 2
, lo$o f ’ %) = 2
3elo J" ?" M"
x f f
202
)0%)2%=
−−
⇒ x202
0# =−− ⇒ 2 = 2 ⇒ = 1
∴ &onto K %1, 1)
-e"$ema 6
CeFa' : e f definidas e' [a , b] e tais ue6 : ’ = f e' [a, b], assi' : K u'a &ri'itiva de f e' [a, b]"CeFa a &artição 36 a = 0 I 1 I 2 I"""I n = b de [a, b], escolLendo conveniente ic e' ],[ 1 ii x x − te'+se6
∑=
∆=−n
i
ii xc f a F b F 1
)"%)%)%
P$"va6
3elo ue vi'os anterior'ente6 ∑=
−−=−n
i
ii x F x F a F b F 1
1)]%)%[)%)%
3elo J?M, eiste ic e' [i+1 , i] tal ue6 ))"%c%/)%)% 1i1 −− −=− iiii x x F x F x F
e co'o : ’ = f e' [a , b] e 1−−=∆ iii x x x resulta6
∑=
∆=−n
i
ii xc f a F b F 1
)"%)%)%
N"(a6 Ce f K contAnua e' [a , b] e se os i x∆ são suficiente'ente &euenos, &ara ualuer escolLa de c ie' [i+1, i] te'os6
)%)% ii c f c f ≅
Wo$o
∑=
∆≅−n
i
ii xc f a F b F 1
)"%)%)%
T ra
-
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In(eg$a% #e Riemann& Defini!"
CeFa' f u'a função definida e' [a, b] e W u' n_'ero real" Diδ ue s8 de&ende de ε 'as não da &articular escolLa dos ci, talue6
ε
-
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-e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%" 5-FC6
Ce f for inte$rável e' [a, b] e se : for u'a &ri'itiva de f e' [a, b], então6 :%a)+:%b)d)% =∫ b
a x f "
P$"va6 Je'os &elo teore'a ! ue se 3 6 a = 0 I 1 I 2 I ! I """ I n = b K u'a &artição de [a , b],
eiste' ic e' ],[ 1 ii x x − tal ue ∑=
∆⋅=−n
i
ii xc f a F b F 1
)%)%)% "
ssi',
)%)% a F b F − = ∑=
→∆∆⋅
n
i
ii xm-x
xc f i 1
0)%li' = d)%∫
b
a x f
N"(a*6• in(eg$a% #efini#a K i$ual Z diferença entre os valores nu'Kricos da inte$ral indefinida, obtidos
&ara = a e = b, res&ectiva'ente"
• T &ossAvel &rovar ue toda função contAnua e' [a, b] K inte$rável e' [a, b]"
• Je'os então &elo J:> ue, se f K contAnua e' [a, b] e : K u'a &ri'itiva de f e' [a , b], então6
:%a)+:%b)d)% =∫ b
a x f
• T usual denotar a diferença )]%)%[ a F b F − &or ba)]%[ x F " ssi',
:%a)+:%b))]%[d)% ba ==∫ x F x f b
a
Exem'%"*6 >alcule
1) d2
1
2∫ x = """ = !
S"%u!"6!
)%
! x x F = K u'a &ri'itiva de f%) = 2 e f K contAnua e' [1 , 2]
ssi', d21
2∫ x = !
1+!
.
!
2
1
!=
x
!
2) ∫ −!
1
2 ! dx x = """ = 2. !) d#!
1∫ − = """ = 1*
#) d)1!%2
0
!∫ −+ x x = """ = . () d12
1 2∫ x = """ = 21
() ∫ #
1
2dx
x = """ = ln 1* ≅ 2, *) d
112
1 !∫
+
x x= """ =
.
!2ln. +
) d1
0∫ − xe = """ =
e
11 − .) ∫ −
2
2
os
π
π dxc = """ = 2
) d2sen.0∫ π
x = """ =#
22 − 10) ∫ −1
0
10 d)1% x = 'udança de variável = """ =11
1
11) dx x∫ −1
2
1 12 = 'udança de variável = """ =!
1
12) ∫ 1
0
! dxe x = 'udança de variável = """ =!
1! −e
1!) ∫ +1
0 2 1dx
x
x = 'udança de variável = """ =
2
2ln
1#) ∫ +2
1
2 1" dx x = 'udança de variável = """ =
!
22(( −
78
-
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LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS
1) >alcule as se$uintes inte$rais definidas
a) ∫ 21
0 dx x Re*'"*(a6!
1
b) ∫ + dx x )(2%!1 Re*'"*(a6 1.
c) ∫ dx x!2
0 Re*'"*(a6 #
d) ∫ − dx x!0
2 Re*'"*(a6 + #e) ∫ − dx x
!2
2 Re*'"*(a6 0
f) ∫ +− dx x x )!#%2(
0 Re*'"*(a6!
20
$) ∫ − dx x)1%!1 Re*'"*(a6 + 2
L) ∫ 2(
0 dx x Re*'"*(a6!
12(
i) ∫ !
0 dx x Re*'"*(a6.
(*1"*
F) ∫ 1
0
dx Re*'"*(a6 k) ∫
! dx Re*'"*(a6 !*
l) ∫ !#
1 dx x Re*'"*(a6#
2((
') ∫ dx x2(2 Re*'"*(a6 !
n) ∫ − (!
1 dx x Re*'"*(a6!
!*#
o) ∫ − dx x(!
1* Re*'"*(a6 2.
&) ∫ + dx x )!%20 Re*'"*(a6 20
) ∫ ++ dx x x )!(%2!
0 Re*'"*(a6 2.1
r) ∫ −+− dx x x ).(%!2
1 Re*'"*(a6#
(1−
s) ∫ +− dx x x )%(2
2 Re*'"*(a6 0
t) ∫ cos20 dx xπ
Re*'"*(a6 1
u) ∫ dx x s en20π
Re*'"*(a6 1
v) ∫ dx xc os0π Re*'"*(a6 0
) ∫ en
0
dx x sπ
Re*'"*(a6 2) ∫ dxe x1
0 Re*'"*(a6 e + 1
5) ∫ − dxe x1
1 Re*'"*(a6e
e1
−
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IN-EGRAL DEFINIDA
da&tado de MBUHC, ^air Mendes" Ma(em1(i)a A'%i)a#a 'a$a )u$*"* #e A#mini*($a!"HE)"n"mia e Ci?n)ia* C"n(1ei*" >uritiba6 ^uruá, 2002" !22&"
CeFa a função f5x6 e considere'os o se$uinte &roble'a6 calcular a área A li'itada &elo $ráficodessa função, &elo eix" x e &elas retas x a e x , confor'e a :i$ura abaio" ?a'os dividir ointervalo ]aH ^ e' n subintervalos tais ue6
a x _ xonfor'e a :i$ura anterior, a so'a das áreas dos n retEn$ulos K dada &or6
∑=
∆⋅=∆⋅++∆⋅+∆⋅=n
iiinnn xc f xc f xc f xc f A
12211 )%)%""")%)%
sendo conLecida co'o *"ma #e Riemann da função f sobre o intervalo ]aH ^"
Note ue, Z 'edida ue n cresce, o valor de∆
xi decresce faálculo"
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IN-EGRAL DEFINIDA 5A#a'(a#" #e& RIG4E--O e FERRADAU-OH
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L x f n
i
ii
n
=∆∑=∞→
→∆1)%
0)"%li'
i
α
n_'ero L di
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notação dx x f b
a )%∫ foi criada &or WHVRNVq %1*#*+11*) &ara re&resentar a inte$ral de f%) e'
[a, b], o sA'bolo C se ori$ina de u' C alon$ado, &ois decorre da associação da inte$ral co' u'a so'aonde as &arcelas ii xc f ∆)"% são re&resentadas &or f%) d"
inte$ral definida sur$e de 'odo natural uando considera'os o &roble'a da deter'inação da área
de u'a re$ião do &lano 5" Calienta+se ue esta K a&enas u'a das a&licações %&ode ser utili
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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
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A 0REA DE UMA FIGURA PLANA A#a'(a#" #e& (('&XX```)e'aifu*'$Xe;)a%)u%"X
Cabe'os calcular a área de al$u'as fi$uras &lanas co'o, &or ee'&lo, retEn$ulos, triEn$ulos, cArculose assi' &or diante" De&endendo da fi$ura, esse &roble'a está resolvido"
V'a$ine'os &orK' ue o &roble'a K o do cálculo da área do ta'&o de u'a 'esa ue te' o se$uintefor'ato6
u então, su&onLa'os ue uere'os revestir u'a &rancLa de *u$f e, &ortanto, uere'os calcular aárea da &arte su&erior &ara conLecer a uantidade de 'aterial a ser usado no revesti'ento"
Be$iões desse ti&o nos leva' a &erceber ue as ferra'entas de ue dis&o'os &ara o cálculo de áreasn!" são suficientes"
H' &ri'eiro lu$ar, va'os ea'inar fi$uras &lanas si'&les ue são obtidas a &artir do $ráfico deal$u'a função conLecida"
Exem'%"*6
1) Deter'ine a área de u' triEn$ulo, co'o o da fi$ura abaio, ue &ode ser obtido a &artir do $ráfico
de
≤
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2) Deter'ine a área de u' triEn$ulo, co'o o da fi$ura abaio, ue &ode ser obtido a &artir do $ráfico
de
≤Arculo = π"22 = #π" >o'o na fi$ura te'osu' uarto de cArculo, a área K 2 = >Arculo = π"
3ortanto, a área da re$ião aci'a K 1 2 = # π unidades de 'edida de área"
.*
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#) Deter'ine a área da re$ião ue se encontra entre a &arábola xB e o eio , &ara variando nointervalo [+2, 2]"
S"%u!"6 3ara calcular a área da re$ião descrita a