cdi i - aula 08 - integrais indefinidas imediatas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA 08INTEGRAIS

INDEFINIDASIMEDIATAS

AULA 08INTEGRAIS

INDEFINIDASIMEDIATAS

DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS


DO PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO: DERIVADA ligada ao problema de traçar a reta tangente a

uma curva em ponto (x,y). INTEGRAL relacionada com o problema de determinar a

área ( e volume) de certas figuras.


INTEGRAL Operação inversa da DERIVADA

)x(f )x(f Derivação

integração


EXEMPLOS:

)t(s )t(vDerivação

integração

)t(v )t(aDerivação

integração

)t(q )t(iDerivação

integração

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL

A IDÉIA BÁSICA embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.)• Consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de

áreas e volumes conhecidos. • EXEMPLO: Obter a área de uma figura plana irregular ou

obter o volume de um sólido com o formato de um barril.


nn

nciacircunferê AlimA

... ...

EXEMPLO: Calcular a área de uma circunferência:


O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação.


CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral. A área da região pode ser calculada sempre com o mesmo

tipo de aproximação por retângulos.


1

0

dx)x(fA 2

1

x

x

dx)x(fA


EM TERMOS PRÁTICOS a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada.

Teorema Fundamental do Cálculo

PRIMITIVASPRIMITIVAS

INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS


Em muitos problemas conhecemos a derivada de uma função e o objetivo é encontrar a própria função PRIMITIVA!


EXEMPLOS: Se a taxa de crescimento de uma determinada população é

conhecida pode-se saber qual o tamanho da população em algum instante futuro.

Conhecendo-se a velocidade de um corpo em movimento pode-se calcular a sua posição em um momento qualquer.

Conhecendo-se o índice de inflação pode-se estimar os preços.


O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida.

Uma função F é chamada uma antiderivada ou primitiva de sobre um intervalo I se, para todo x em I,

)x(f)x(F


EXEMPLOS:

253

3

xx

F(x)

52 xf(x)

é uma primitiva de

7)cos()2ln( xxF(x)

)(1

xsenx

f(x)

é uma primitiva de


)(2 xseneF(x) x

)cos(2 2 xef(x) x

)3cos()2( 2 xxF(x)

)x(senxf(x) 3342

é uma primitiva de é uma primitiva de


OBSERVAÇÃO: A primitiva não é única.

onde c é uma constante qualquer.

532 xxF(x) 232 xxF(x)

cxxF(x) 32

32 xf(x)

Na verdade, ela possui uma família de primitivas:

Analisemos a função:


PROPRIEDADE: • Se F é uma primitiva de uma função contínua , então a

primitiva mais geral de em um intervalo I é dada por:

cxFG(x) )(

onde c é uma constante qualquer.

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO



Se é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por:

cxFdxxf )()(

F(x) primitiva de (x); c uma constante constante de integração; Símbolo ∫ sinal de integração; (x) o integrando; dx diferencial de x símbolo indicando que a primitiva deve ser

calculada em relação à variável x.


DICA Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente

determine a derivada da solução. Se essa derivada for igual a (x) a primitiva está

correta; Se for diferente existe algum erro nos cálculos.

PRIMEIRAS REGRAS DE INTEGRAÇÃOPRIMEIRAS REGRAS DE INTEGRAÇÃO

INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS

FUNÇÃO INTEGRANDO FAMÍLIA DE PRIMITIVAS


ckxdxk kkxf )(

cn

xdxx

nn

1

1

1)( nxxf n

cxcgxf )()( dxxgcdxxcg )()(

)()()( xhxgxf

dxxhdxxg

dxxhxg

)()(

)()(


FUNÇÃO INTEGRANDO FAMÍLIA DE PRIMITIVAS

)()( xsenxf cxdxxsen )cos()(

)cos()( xxf cxsendxx )()cos(

xexf )( cedxe xx 0

1)( xx

xf cxdxx )ln()ln(


OBSERVAÇÃO: Não existe regra do produto e do quociente de duas

funções para a integral. Integrais de produtos e quocientes de funções geralmente

são resolvidos por “Integrais por Substituição” ou por “Integrais por Partes”.

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS


EXERCÍCIO (1): Calcule as integrais abaixo:

dx)x(x)h(dxtgx

senx)g(

dxx

x)f(dt

ttt)e(

dxxcosx)d(dxx)c(

dxx

)b(dxx)a(

2

1168

25

1

3

2

2

33

33 2

38


EXERCÍCIO (2): Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?

REFERÊNCIA (1)REFERÊNCIA (1)

CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA

CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA

SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.

SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.

REFERÊNCIA (2)REFERÊNCIA (2)

CÁLCULOCÁLCULO

STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1

STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1

JENAI OLIVEIRA CAZETTAJENAI OLIVEIRA CAZETTA

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