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Antiderivadas e Integrais Indefinidas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Antiderivadas e Integrais Indefinidas

1.Antiderivadas

2.Notação para antiderivadas e integrais indefinidas

3.Cálculo de antiderivadas

4.Soluções particulares

5.Aplicação

1. Antiderivadas

Até aqui, tem-nos preocupado essencial-mente o problema: dada uma função, achar a suaderivada. Muitas aplicações importantes do cálculoenvolvem o problema inverso: dada a derivada deuma função, achar a função. Suponha, por exemplo,dadas

′ ′ ′= = =2( ) 2, ( ) 3 , e ( ) 4f x g x x s t t

1. Antiderivadas

Nosso objetivo é determinar as funções f, ge s. Formulando hipóteses adequadas, poderemoschegar ao seguinte:

[ ]= =( ) 2 porque 2 2d

f x x xdx

= = 3 3 2( ) porque 3

dg x x x x

dx

= = 2 2 ( ) 2 porque 2 4

ds t t t t

dx

1. Antiderivadas

Esta operação, que consiste em determinara função original a partir de sua derivada, é aoperação inversa da diferenciação. É chamadaantidiferenciação.

OBS: Neste texto utilizamos a expressão “F (x) éuma antiderivada de f (x)” como sinônima de “F éuma antiderivada de f ”.

1. Antiderivadas

Definição de Antiderivada

Uma função F é uma antiderivada de uma funçãof se, para todo x no domínio de f, temos F’ (x) = f (x).

1. Antiderivadas

Se F (x) é uma antiderivada de f (x), entãotambém o é F (x) + C, onde C é uma constantearbitrária. Por exemplo,

= = − = +3 3 3( ) , ( ) 5, e ( ) 0,3F x x G x x H x x

são antiderivadas de 3x2 porque a derivada decada uma delas é 3x2. Acontece que todas asantiderivadas de 3x2 são da forma x3 + C. Assim, oprocesso de antidiferenciação não define umafunção única, e sim uma família de funções, quediferem entre si por uma constante.

2. Notação para antiderivadase integrais indefinidas

O processo de antidiferenciação é tambémchamado integração e é indicado pelo símbolo

∫ Sinal de Integral

chamado sinal de integral.


O símbolo

∫ ( ) Integral Indefinidaf x dx

é a integral indefinida de f (x), e representa a fa-mília de antiderivadas de f (x); isto é, se F ’(x) =f (x) para todo x, então podemos escrever

= +∫��

( ) ( )f x dx F x C

Sinal de integral Integrando Diferencial

Antiderivada


Onde f (x) é o integrando e C é a constantede integração. A diferencial dx na integralindefinida identifica a variável de integração. Ouseja, o símbolo

= +∫ ( ) ( )f x dx F x C

denota a “antiderivada de f em relação a x”, damesma forma que o símbolo dy/dx a “derivada de yem relação a x”.


Notação de Integral para Antiderivadas

A notação

onde C é uma constante arbitrária, significa que F éuma antiderivada de f. Isto é, F’ (x) = f (x) para todo xno domínio de f.

= +∫ ( ) ( )f x dx F x C


Exemplo 1: Utilizando a notação de integral,podemos escrever como se segue as trêsantiderivadas dadas no início desta aula.

= +∫a. 2 2dx x C

= +∫2 3b. 3x dx x C

= +∫2c. 4 2t dt t C

O relacionamento inverso entre asoperações de integração e diferenciação pode serapresentado simbolicamente a seguir.

= ∫ A diferenciação é o inverso da integração( ) ( ) d

f x dx f xdx

′ = +∫ A integração é o inverso da diferenciação( ) ( ) f x dx f x C

3. Cálculo de antiderivadas

Este relacionamento entre integração ediferenciação permite obtermos fórmulas deintegração diretamente a partir de fórmulas dediferenciação. A seguir são apresentadas asfórmulas de integração que correspondem aalgumas fórmulas de diferenciação já estudadas.



Regras Básicas de Integração

1. Regra da Constante

2. Regra do Múltiplo Constante

3. Regra da Soma

= +∫ , k é uma constantek dx kx C

=∫ ∫( ) ( ) , k é uma constantek f x dx k f x dx

[ ]+ = +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx


4. Regra da Diferença

5. Regra Simples da Potência+

= + ≠ −+∫

1

, 11

nn x

x dx C nn

[ ]− = −∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx


OBS 1: A Regra Geral da Potência será estudadana Aula 37, e as Regras Exponencial e Log serãoabordadas na Aula 38.

OBS 2: Não esqueça que a Regra Simples daPotência tem a restrição de que n não pode serigual a -1; não podemos aplicá-la para calcular aintegral

∫1

dxx

Para calcular esta integral, devemos aplicar aRegra Log (Aula 38).


Exemplo 2: Calcule as integrais indefinidas

= +∫a. 2 2dx x C

= +∫b. 1dx x C

− = − +∫c. 5 5dt t C

No Exemplo 2b, costuma-se escrever a

integral simplesmente .∫1dx ∫dx


Exemplo 3: Calcule a integral indefinida

∫3x dx


Solução:

=∫ ∫3 3x dx x dx Regra do Múltiplo Constante

= ∫13 x dx Escrever x como x1

= +

2

32x

C Regra da Potência com n = 1

= +232

x C Simplificar


No cálculo de integrais indefinidas, aaplicação estrita das regras básicas de integraçãotende a gerar constantes de integração poucocômodas. Por exemplo, no Exemplo 3, poderíamoster escrito

= = + = +

∫ ∫

223

3 3 3 32 2x

x dx x dx C x C


Todavia, como C representa uma constantearbitrária, é desnecessário escrever a constantede integração como 3C. Basta escrevermos

+232

x C


No Exemplo 3, note que o padrão geral deintegração é análogo ao da diferenciação.

∫

Dado:

3x dx→

∫

Escrever como:

13 x dx→

+

Integrar:

2

32x

C→ +

Simplificar:

232

x C


Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar

∫ 3

1a. dx

x

∫b. x dx



∫

Integral dada

3

1a. dx

x−

∫

Escrever como

3x dx−

+−

Integrar

2

2x

C − +

Simplificar

2

12

Cx



∫

Integral dada

b. x dx ∫

Escrever como

12x dx +

Integrar

32

32

xC +

Simplificar

322

3x C


Nota: Recorde que podemos verificar pordiferenciação a resposta de um problema deantidiferenciação. Assim é que, no Exemplo 4b,podemos constatar, diferenciando, que

322

3x

é a antiderivada correta; obtemos

= =

3 12 22 2 3

3 3 2d

x x xdx


Com as cinco regras básicas de integração,podemos integrar qualquer função polinomial,conforme demonstramos no próximo exemplo.


Exemplo 5: Determine as seguintes integraisindefinidas

( )+∫a. 2x dx

( )− +∫4 2b. 3 5x x x dx


a. Aplique a Regra da Soma para integrar cadaparte separadamente

( )+ = + = + +∫ ∫ ∫2

2 2 22x

x dx x dx dx x C


b. Procure identificar cada regra básica deintegração utilizada para o cálculo desta integral

( ) − + = − + +

∫

5 3 24 23 5 3 5

5 3 2x x x

x x x dx C

= − + +5 3 23 5 15 3 2

x x x C


Exemplo 6: Determine a integral indefinida

+∫

1xdx

x


Inicialmente, escreva o quociente nointegrando como uma soma. Em seguida, escrevacada termo com expoentes racionais.

+ = +

∫ ∫1 1x x

dx dxx x x

Escrever como uma soma

( )−= +∫

1 12 2x x dx Usar expoentes racionais


= + +3 1

2 2

3 122

x xC

= + +3 1

2 222

3x x C

Aplicar a Regra da Potência

Simplificar


Nota: Ao integrar quocientes, não cometa o errode integrar numerador e denominadorseparadamente. Assim é que, no Exemplo 6,

( )++ ≠ ∫∫∫

11 x dxxdx

x x dx

4. Soluções particulares

Já vimos que a equação

= ∫ ( )y f x dx

tem infinitas soluções, cada uma das quais diferedas outras por uma constante. Isto significa que osgráficos de duas antiderivadas quaisquer de f sãotranslações verticais uma da outra. A figura aseguir mostra os gráficos de várias antiderivadasda forma

( )= = − = − +∫2 3( ) 3 1y F x x dx x x C


Cada uma dessas antiderivadas é umasolução de

= −23 1dy

xdx

Em muitas aplicações da integração,dispomos de informação suficiente paradeterminar uma solução particular. Para tanto,basta conhecermos o valor de F (x) para um valorde x.


Por exemplo, na figura anterior há apenasuma curva que passa pelo ponto (2, 4). Paradeterminar esta curva, lançamos mão dainformação abaixo

Solução geral= − +3( )F x x x C

=(2) 4F Condição inicial


Levando esta condição inicial na soluçãogeral, verificamos que

( )= − + = ⇒ = −3(2) 2 2 4 2F C C

Assim, a solução particular é

= − −3( ) 2F x x x


Exemplo 7: Determine a solução geral de

′ = −( ) 2 2F x x

e a solução particular que satisfaz a condiçãoinicial

=(1) 2F


Inicialmente, integremos para determinar asolução geral.

( )= −∫( ) 2 2F x x dx

= − +2 2x x C

Integrar F ’(x) para obter F (x)

Solução geral


Com a condição inicial F (1) = 2, podemosescrever

( )= − + = ⇒ =2(1) 1 2 1 2 3F C C

Assim, a solução particular é

= − +2( ) 2 3F x x x Solução particular


A figura a seguir exibe graficamente estasolução. Note que cada uma das curvas representauma solução da equação

′ = −( ) 2 2F x x

A curva em destaque, entretanto, é a únicasolução que passa pelo ponto (1, 2), o que significaque

= − +2( ) 2 3F x x x

é a única solução que satisfaz a condição inicial.

5. Aplicação

Exemplo 8: Joga-se uma bola para cima, de umaaltura inicial de 80 pés, com uma velocidade inicialde 64 pés por segundo, conforme a figura a seguir.Deduza a função posição que dê a altura s (em pés)como função do tempo t (em segundos). Em queinstante a bola atinge o solo?

5. Aplicação

5. Aplicação

Representemos por t = 0 o tempo inicial.Então, as duas condições dadas podem ser escritascomo a seguir:

=(0) 80s

′ =(0) 64s

A altura inicial é de 80 pés

A velocidade inicial é de 64 pés por segundo

5. Aplicação

Como a aceleração devida à gravidade é de32 pés por segundo por segundo, temos:

′′ = −( ) 32s t

′ = −∫( ) 32s t dt

Aceleração devida à gravidade

Integrar s ”(t) para obter s ’(t)

1( ) 32s t t C′ = − + Função velocidade

5. Aplicação

Levando em conta a velocidade inicial,concluímos que C1 = 64

′ = − +( ) 32 64s t t

( )= − +∫( ) 32 64s t t dt

Função velocidade

Integrar s ’(t) para obter s(t)

= − + +22( ) 16 64s t t t C Função posição

5. Aplicação

Utilizando a altura inicial, temos que C2 = 80.Assim, a função posição é

Função posição= − + +2( ) 16 64 80s t t t

5. Aplicação

Para determinar o instante em que a bolaatinge o solo, igualemos a zero a função posição eresolvamo-la em relação a t.

− + + =216 64 80 0t t

( )( )− + − =16 1 5 0t t

= − =1, 5t t

Igualar s (t) = 0

Fatorar

Resolver em relação a t

Como o tempo deve ser positivo, concluímosque a bola atinge o solo 5 segundos após ter sidolançada.

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