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  • Antiderivadas e Integrais Indefinidas

    Prof.: Rogrio Dias Dalla Riva

    UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITRIO DE SINOP

    CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

    FACULDADE DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS

  • Antiderivadas e Integrais Indefinidas

    1.Antiderivadas

    2.Notao para antiderivadas e integrais indefinidas

    3.Clculo de antiderivadas

    4.Solues particulares

    5.Aplicao

  • 1. Antiderivadas

    At aqui, tem-nos preocupado essencial-mente o problema: dada uma funo, achar a suaderivada. Muitas aplicaes importantes do clculoenvolvem o problema inverso: dada a derivada deuma funo, achar a funo. Suponha, por exemplo,dadas

    = = =2( ) 2, ( ) 3 , e ( ) 4f x g x x s t t

  • 1. Antiderivadas

    Nosso objetivo determinar as funes f, ge s. Formulando hipteses adequadas, poderemoschegar ao seguinte:

    [ ]= =( ) 2 porque 2 2df x x xdx

    = = 3 3 2( ) porque 3

    dg x x x x

    dx

    = = 2 2 ( ) 2 porque 2 4

    ds t t t t

    dx

  • 1. Antiderivadas

    Esta operao, que consiste em determinara funo original a partir de sua derivada, aoperao inversa da diferenciao. chamadaantidiferenciao.

    OBS: Neste texto utilizamos a expresso F (x) uma antiderivada de f (x) como sinnima de F uma antiderivada de f .

  • 1. Antiderivadas

    Definio de Antiderivada

    Uma funo F uma antiderivada de uma funof se, para todo x no domnio de f, temos F (x) = f (x).

  • 1. Antiderivadas

    Se F (x) uma antiderivada de f (x), entotambm o F (x) + C, onde C uma constantearbitrria. Por exemplo,

    = = = +3 3 3( ) , ( ) 5, e ( ) 0,3F x x G x x H x x

    so antiderivadas de 3x2 porque a derivada decada uma delas 3x2. Acontece que todas asantiderivadas de 3x2 so da forma x3 + C. Assim, oprocesso de antidiferenciao no define umafuno nica, e sim uma famlia de funes, quediferem entre si por uma constante.

  • 2. Notao para antiderivadase integrais indefinidas

    O processo de antidiferenciao tambmchamado integrao e indicado pelo smbolo

    Sinal de Integral

    chamado sinal de integral.

  • 2. Notao para antiderivadase integrais indefinidas

    O smbolo

    ( ) Integral Indefinidaf x dx

    a integral indefinida de f (x), e representa a fa-mlia de antiderivadas de f (x); isto , se F (x) =f (x) para todo x, ento podemos escrever

    = +

    ( ) ( )f x dx F x C

    Sinal de integral Integrando Diferencial

    Antiderivada

  • 2. Notao para antiderivadase integrais indefinidas

    Onde f (x) o integrando e C a constantede integrao. A diferencial dx na integralindefinida identifica a varivel de integrao. Ouseja, o smbolo

    = + ( ) ( )f x dx F x C

    denota a antiderivada de f em relao a x, damesma forma que o smbolo dy/dx a derivada de yem relao a x.

  • 2. Notao para antiderivadase integrais indefinidas

    Notao de Integral para Antiderivadas

    A notao

    onde C uma constante arbitrria, significa que F uma antiderivada de f. Isto , F (x) = f (x) para todo xno domnio de f.

    = + ( ) ( )f x dx F x C

  • 2. Notao para antiderivadase integrais indefinidas

    Exemplo 1: Utilizando a notao de integral,podemos escrever como se segue as trsantiderivadas dadas no incio desta aula.

    = +a. 2 2dx x C

    = +2 3b. 3x dx x C

    = +2c. 4 2t dt t C

  • O relacionamento inverso entre asoperaes de integrao e diferenciao pode serapresentado simbolicamente a seguir.

    = A diferenciao o inverso da integrao( ) ( ) d

    f x dx f xdx

    = + A integrao o inverso da diferenciao( ) ( ) f x dx f x C

    3. Clculo de antiderivadas

  • Este relacionamento entre integrao ediferenciao permite obtermos frmulas deintegrao diretamente a partir de frmulas dediferenciao. A seguir so apresentadas asfrmulas de integrao que correspondem aalgumas frmulas de diferenciao j estudadas.

    3. Clculo de antiderivadas

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Regras Bsicas de Integrao

    1. Regra da Constante

    2. Regra do Mltiplo Constante

    3. Regra da Soma

    = + , k uma constantek dx kx C

    = ( ) ( ) , k uma constantek f x dx k f x dx

    [ ]+ = + ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx

  • 3. Clculo de antiderivadas

    4. Regra da Diferena

    5. Regra Simples da Potncia+

    = + +

    1

    , 11

    nn xx dx C n

    n

    [ ] = ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx

  • 3. Clculo de antiderivadas

    OBS 1: A Regra Geral da Potncia ser estudadana Aula 37, e as Regras Exponencial e Log seroabordadas na Aula 38.

    OBS 2: No esquea que a Regra Simples daPotncia tem a restrio de que n no pode serigual a -1; no podemos aplic-la para calcular aintegral

    1

    dxx

    Para calcular esta integral, devemos aplicar aRegra Log (Aula 38).

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Exemplo 2: Calcule as integrais indefinidas

    = +a. 2 2dx x C

    = +b. 1dx x C

    = +c. 5 5dt t C

    No Exemplo 2b, costuma-se escrever a

    integral simplesmente .1dx dx

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Exemplo 3: Calcule a integral indefinida

    3x dx

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Soluo:

    = 3 3x dx x dx Regra do Mltiplo Constante

    = 13 x dx Escrever x como x1

    = +

    2

    32x

    C Regra da Potncia com n = 1

    = +232

    x C Simplificar

  • 3. Clculo de antiderivadas

    No clculo de integrais indefinidas, aaplicao estrita das regras bsicas de integraotende a gerar constantes de integrao poucocmodas. Por exemplo, no Exemplo 3, poderamoster escrito

    = = + = +

    2233 3 3 3

    2 2x

    x dx x dx C x C

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Todavia, como C representa uma constantearbitrria, desnecessrio escrever a constantede integrao como 3C. Basta escrevermos

    +232

    x C

  • 3. Clculo de antiderivadas

    No Exemplo 3, note que o padro geral deintegrao anlogo ao da diferenciao.

    Dado:

    3x dx

    Escrever como:

    13 x dx +

    Integrar:

    2

    32x

    C +

    Simplificar:

    232

    x C

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar

    31

    a. dxx

    b. x dx

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar

    Integral dada

    3

    1a. dx

    x

    Escrever como

    3x dx

    +

    Integrar

    2

    2x

    C +

    Simplificar

    2

    12

    Cx

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes deintegrar

    Integral dada

    b. x dx

    Escrever como

    12x dx +

    Integrar

    32

    32

    xC +

    Simplificar

    322

    3x C

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Nota: Recorde que podemos verificar pordiferenciao a resposta de um problema deantidiferenciao. Assim que, no Exemplo 4b,podemos constatar, diferenciando, que

    322

    3x

    a antiderivada correta; obtemos

    = =

    3 12 22 2 3

    3 3 2d

    x x xdx

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Com as cinco regras bsicas de integrao,podemos integrar qualquer funo polinomial,conforme demonstramos no prximo exemplo.

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Exemplo 5: Determine as seguintes integraisindefinidas

    ( )+a. 2x dx

    ( ) + 4 2b. 3 5x x x dx

  • 3. Clculo de antiderivadas

    a. Aplique a Regra da Soma para integrar cadaparte separadamente

    ( )+ = + = + + 2

    2 2 22x

    x dx x dx dx x C

  • 3. Clculo de antiderivadas

    b. Procure identificar cada regra bsica deintegrao utilizada para o clculo desta integral

    ( ) + = + +

    5 3 2

    4 23 5 3 55 3 2x x x

    x x x dx C

    = + +5 3 23 5 15 3 2

    x x x C

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Exemplo 6: Determine a integral indefinida

    +

    1xdx

    x

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Inicialmente, escreva o quociente nointegrando como uma soma. Em seguida, escrevacada termo com expoentes racionais.

    + = +

    1 1x x

    dx dxx x x

    Escrever como uma soma

    ( )= + 1 12 2x x dx Usar expoentes racionais

  • 3. Clculo de antiderivadas

    = + +3 1

    2 2

    3 122

    x xC

    = + +3 1

    2 22 23

    x x C

    Aplicar a Regra da Potncia

    Simplificar

  • 3. Clculo de antiderivadas

    Nota: Ao integrar quocientes, no cometa o errode integrar numerador e denominadorseparadamente. Assim que, no Exemplo 6,

    ( )++

    11 x dxxdx

    x x dx

  • 4. Solues particulares

    J vimos que a equao

    = ( )y f x dx

    tem infinitas solues, cada uma das quais diferedas outras por uma constante. Isto significa que osgrficos de duas antiderivadas quaisquer de f sotranslaes verticais uma da outra. A figura aseguir mostra os grficos de vrias antiderivadasda forma

    ( )= = = + 2 3( ) 3 1y F x x dx x x C

  • 4. Solues particulares

  • 4. Solues particulares

    Cada uma dessas antiderivadas umasoluo de

    = 23 1dy xdx

    Em muitas aplicaes da integrao,dispomos de informao suficiente paradeterminar uma soluo particular. Para tanto,basta conhecermos o valor de F (x) para um valorde x.

  • 4. Solues particulares

    Por exemplo, na figura anterior h apenasuma curva que passa pelo ponto (2, 4). Paradeterminar esta curva, lanamos mo dainformao abaixo

    Soluo geral= +3( )F x x x C

    =(2) 4F Condio inicial

  • 4. Solues particulares

    Levando esta condio inicial na soluogeral, verificamos que

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