efetuando integrais fundamentos de matemática i · algumas primitivas imediatas ou quase...

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Gil da Costa Marques

17EFETUANDO INTEGRAIS

17.1 Introdução17.2 Algumas Propriedades da Integral Definida

Propriedade 1Propriedade 2Propriedade 3Propriedade 4

17.3 Uma primeira técnica de Integração17.3.1 Mudança de Variável17.3.2 Primitivação por substituição

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a I

375

Fundamentos de Matemática I

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1

17.1 IntroduçãoPara calcular integrais das funções simples, basta fazer uso do conceito de antiderivada.

Nesse caso o procedimento é simples e direto. Tudo que devemos saber é a antiderivada do

integrando. Considere o exemplo abaixo:

Exemplos• ExEmplo 1:

Determine a integral definida da função de expoente real f(x) = x3/2 no intervalo [1,4].

Sabendo-se que sua antiderivada é a função f x x( ) = ( )25

5 2 , encontramos:

17.1

E isso, como apontado antes, porque

17.2

• ExEmplo 2:

Analogamente, podemos escrever que a integral indefinida da função exponencial é dada por:

17.3

e, portanto, a integral definida abaixo pode ser determinada facilmente:

17.4

Entretanto, determinar as primitivas de algumas funções nem sempre é tão simples. Exige

que utilizemos certas propriedades e técnicas.

x dx x3 2

1

45 2

1

45 2 5 2 52

525

4 1 25

2 1 625∫ = ( ) = ( ) − ( )( ) = ( ) − ( )( ) =

x dx x C3 2 5 225( ) = ( ) +∫

e dx e Cx x( ) = +∫

e dx e ex x( ) = = − =∫0

2

0

2

2 1 1ln ln

ln

376

17 Efetuando Integrais


17.2 Algumas Propriedades da Integral DefinidaPara a integral definida,valem as seguintes propriedades:

Propriedade 1

Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função f + g é integrável em [a,b] e

17.5

Ou seja, a integral da soma é a soma das integrais.

• ExEmplo 3:

17.6

Propriedade 2

Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k⋅f é

integrável em [a,b] e

17.7

Assim, a integral do produto de um número por uma função é igual ao produto desse

número pela integral da função.

f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b

( ) + ( ) = ( ) + ( )∫ ∫ ∫

x x dx x dx x dx

x x

2 3

1

22

1

23

1

2

3

1

2 4

1

2

3 3 4

3 4

23

13

2

+( ) = + =

= +

= −

+

∫ ∫ ∫

4414

83

13

4 14

7312

4

−

= − + − =

k f x k f xa

b

a

b

∫ ∫⋅ ( ) = ⋅ ( )

377



• ExEmplo 4:

17.8

Propriedade 3

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então

17.9

• ExEmplo 5:

Calculemos I x dx= ∫ 2

1

3

de duas formas:

1. primeiramente de modo direto:

17.10

2. agora, usando a propriedade:

17.11

4 4

43

4 23

13

4 83

13

28

2

1

22

1

2

3

1

2

3 3

x dx x dx

x

∫ ∫= =

= ⋅ =

= −

= −

= 33

f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫

Gráfico 17.1: I x dx x dx x dx= = +∫ ∫ ∫2

1

32

1

22

2

3

x dx x2

1

3 3

1

3

3273

13

263∫ = = − =

I x dx x dx x dx

x x

= = + =

= +

= −

+ −

∫ ∫ ∫2

1

32

1

22

2

3

3

1

2 3

2

3

3 3 3

3 3

23

13

33

233

3 3

3

33

13

263

= − =

378



A propriedade 17.9 se revela especialmente útil quando a função for descontínua. Assim, se

c for um ponto de descontinuidade da função, a área da região compreendida entre seu gráfico

e o eixo horizontal será dada pela soma definida em 17.9.

Propriedade 4

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] então é válida a seguinte propriedade da

integral definida

17.12

Basta observar que f x dxa

a

( ) =∫ 0 , de onde f x dx f x dxb

a

a

b

( ) ( )+ =∫∫ 0 .

• ExEmplo 6:

17.13

Portanto, I1 = −I2, isto é:

17.14

Gráfico 17.2: A função f é descontínua no ponto c e

f x dx f x dx f x dx

a

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫

f x dx f x dxa

b

b

a

( ) = − ( )∫ ∫

I xdx x

I xdx x

12

3 2

2

3 2 2

23

2 2

3

2 2 2

232

22

92

42

52

222

32

5

= = = − = − =

= = = − = −

∫

∫ 22

xdx xdx2

3

3

2

∫ ∫= −

379



17.3 Uma primeira técnica de Integração17.3.1 Mudança de Variável

Muitas vezes o cálculo de integrais pode ser efetuado de uma forma simples mediante

uma mudança de variável. Para efeito de ilustração, consideremos o caso de uma integral de

quociente de funções simples.

• ExEmplo 7:

Efetue a integral, abaixo, na dependência dos parâmetros a e b.

17.15

Lembrando que:

17.16

A integral acima pode ser escrita como:

17.17

Colocando

17.18

Observamos que a primitiva do integrando de 17.17, é

17.19

Portanto,

17.20

I xxdx

a

b

= ∫cossen2

d x xdxsen = cos

I d xxa

b

= ∫sen

sen2

y x= sen

d xx

dyy y

CxC

sensen sen( )

= = − + = − +∫ ∫2 2

1 1

Ix a ba

b

= − = −1 1 1

sen sen sen

380



Para verificarmos a validade de 17.19, devemos derivar o lado direito de 17.19, e verificar que essa

derivada é igual ao integrando de 17.15. De fato, obtemos

17.21

Consideremos uma integral definida, arbitrária, da forma:

17.22

e a mudança de variável definida por:

17.23

Temos que

17.24

Assim, podemos efetuar a integral por meio do uso da variável u. Nesse caso, a integral

17.22 se escreve:

17.25

onde os limites ua e ub são definidos em 17.22.

• ExEmplo 8:

Os casos mais simples de integrais são aqueles envolvendo funções simples.

Consideremos agora o caso em que o argumento da função é kx, k constante. Ou seja, considere-

mos a integral indefinida de uma função da forma:

17.26

ddx x

C ddx x x

d xdx

xx

− +

= −

= ( )

=1 1 1

2sen sen sensen cos

sen(( )2

I g x dxa

b

= ( )∫

x h u= ( )

dx dh udu

du h u du a h u b h ua b= = ′ = =( ) ( ) ( ) ( )

I g x dx g h u h u dua

b

u

u

a

b

= ( ) = ( ) ′( )∫ ∫ ( )

I g kx dx= ( )∫

381



Efetuando a substituição

isto é,

17.27

Podemos escrever a integral 17.26, sob a forma:

17.28

Portanto, se y for a antiderivada de g, segue de 17.28, que:

17.29

• ExEmplo 9:

Determine a integral

17.30

Pelo que foi visto acima, obtemos para a integral indefinida da função g(x) = cos(kx)

17.31

e, portanto, a integral definida em 17.30 é:

17.32

u kxdu kdxduk

dx

==

=

u kx dx duk

= ⇒ =

g kx dxkg u du( ) = ( )∫ ∫

1

g kx dx y kxk

C( ) = +∫( )

I kx dx= ( )∫ cos0

2π

cossen

kx dxkxk

C( ) =( )

+∫

cos sen sen sen . senkx dx kx

k

k

kkk

k

k( ) = =

( )−

( )=

( )∫0

2

0

2

2 0 2π π π π

382



• ExEmplo 10:

Considere uma função dependente do tempo, que é dada pela integral:

17.33

Em primeiro lugar, examinemos a integral indefinida:

17.34

aonde fizemos a mudança de variável u = (av)2 ⇒ du = 2a2v dv e, portanto, [1/(2a)]du = av dv.

Logo,

17.35

• ExEmplo 11:

Determine a integral definida no intervalo [0, t], cuja expressão é:

17.36

Observamos que a integral dada pode ser escrita da seguinte maneira:

17.37

e, fazendo a substituição

17.38

obtemos para a integral indefinida correspondente

17.39

x t x t avav

dvt

t

( ) ( )( )

− =+

∫0 210

avav

dva u

dua

u Ca

u Ca

av C1

12

11

22

1 1 1 1 12

2

+=

+= + + = + + = + +∫ ∫( )

( )

x t x ta

ava

at att

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = + = + − +( )02 2

021 1 1 1 1

0

y t dvv

t

( ) =+

∫101 4 2

0

y t d vv

t

( ) ( )( )

=+

∫102

21 2 2

0

2 22

v w dv w dwd v w d

= ⇒ ==

senh cosh( ) cosh

ww

5 21 2

51

5 5 5 22 2

d vv

w dww

dw w C v C( )( )

coshsenh

arcsenh+

=+

= = + = +∫ ∫ ∫

383



ou seja

17.40

Algumas primitivas imediatas ou quase imediatas:

y t d vv

v tt

t( ) ( )( )

arcsenh arcsenh arcsenh .=+

= = − =∫52

1 25 2 5 2 5 2 0

20

055 2arcsenh t

Um lembrete!

As funções hiperbólicas são definidas pelas expressões:

17.41

17.42

É possível verificar que

17.43

e que

17.44

Mais ainda,

17.45

de onde,

cosh2x = 1 + senh2x

fato esse que foi usado na integral anterior.

senh x e ex x

=− −

2

cosh x e ex x

=+ −

2

ddx

x e e xx x

(senh ) cosh=+

=−

2

ddx

x e e xx x

(cosh ) senh=−

=−

2

cosh senh2 22 2 2 22

424

44

1x x e e e ex x x x

− =+ +

−− +

= =− −

384



• ExEmplo 12:

17.46

É uma primitiva imediata pois ddx

x xtg sec( ) = 2 , logo

17.47

• ExEmplo 13:

17.48

Uma vez que sec2x = 1 + tg2x, temos que

17.49

2sec xdx∫

sec tg2 xdx x C∫ = +

2tg xdx∫

tg sec tg2 2 1xdx x dx x x C∫ ∫= −( ) = − +

• ExEmplo 14:Neste exemplo é preciso um cuidado especial.

A função integrando está definida para todo número real não nulo.

• Se x > 0 então 1 lndx x Cx

= +∫ pois ( ) 1lnd xdx x

=

• Se x < 0 então ( )1 1 lndx dx x Cx x

= − = − +−∫ ∫ pois

( )( ) 1lnd xdx x

− = −−

pela Regra da Cadeia. (Lembre que só existe logaritmo de número estritamente positivo e que, se x < 0, então −x > 0.)

Logo, reunindo os dois casos,

17.50i1 dxx∫

17.51i

17.52i

17.53i1xdx x C= +∫ ln

385



• ExEmplo 15:

17.54

Como

17.55

(faça a divisão de polinômios para chegar a esse resultado)

temos:

17.56

(verifique com cuidado.)

• ExEmplo 16:

17.57

Como x

x x

2

2 211 1

1+= −

+, então

17.58

pois ddx

xx

arctg( ) =+1

1 2 .

• ExEmplo 17:

17.59

17.60

(verifique.)

1 53 1−+∫x

xdx

1 53 1

53

83

3 153

83

13 1

−+

= − ++

= − + ⋅+

xx x x

1 53 1

5383

13 1

53

89

3 1−+

= − + ⋅+

= − + + +∫ ∫

xx

dxx

dx x x Cln

xx

dx2

2 1+∫

xx

dx x x C2

2 1+= − +∫ arctg

2 3e dxx−∫

2 2 23

3 3 3e dx e dx e Cx x x− − −∫ ∫= = − +

386



17.3.2 Primitivação por substituição

Lembramos, utilizando o conceito de função composta, que: f g x g x dx f u du( )( ) ′( ) = ( )∫ ∫. .

É importante observar que, para utilizar esta técnica, é importante que no integrando esteja

presente a derivada – ou quase, a menos de constante multiplicando – de uma função u = g(x), sendo u a variável de uma outra função que se quer integrar.

Alguns exemplos resolvidos:

• ExEmplo 18:

Como x2 é “quase” a derivada de x3, fazemos:

u x du x dx= + ⇒ =3 25 3 ou (1/3)du = x2dxe daí

(Lembre que k f x dx k f x dx. .( ) = ( )∫ ∫ . Por quê?)

• ExEmplo 19:

Basta notar que ddx

x xsen cos( ) = ; logo fazemos:

e daí

x x dx2 3 5sen +( )∫

x x dx udu u C x C2 3 35 13

13

13

5sen sen cos cos+( ) = = − + = − +( ) +∫ ∫

sen cosx xdx∫

u x du xdx= ⇒ =sen cos

sen cos senx xdx udu u C x C∫ ∫= = + = ( ) +

32 3

232

23

387



• ExEmplo 20:

Tendo em vista que

fazemos:

e daí

• ExEmplo 21:

Considerando que

fazemos:

e daí

x x dx3 123 +∫

ddx

x x3 1 62 +( ) =

u x du xdx= + ⇒ =3 1 62

x x dx udu u du u C x C x3 1 16

16

16

34

18

3 1 18

323 313

43 2

43 2+ = = = ⋅ + = +( ) + =∫ ∫ ∫ ++( ) +1

43 C

xxdx

2

31 9−∫

ddx

x x1 9 273 2−( ) = −

u x du x dx= − ⇒ = −1 9 273 2

xxdx du

uu du u C x C

2

3

12

12 3

1 9127

127

127

2 227

1 9−

= − = − = − ⋅ + = − − +−

∫∫∫

388



• ExEmplo 22:

Uma vez que ddx

e ex x3 33( ) = , fazemos:

logo,

• ExEmplo 23:

Uma vez que

fazemos:

logo,

∫ e3x dx

u e du e dxx x= ⇒ =3 33

e dx du u C e Cxx

331

3 3 3∫ ∫= = + = +

∫ x2ex3 dx

ddx

e x e dxx x3 3

3 2( ) = ⋅

u e du x e dxx x= ⇒ = ⋅3 3

3 2

x e dx du u C e Cxx

2 33

13 3 3∫ ∫= = + = +

389



Mais dois exemplos, envolvendo esta técnica, no caso de integrais definidas:

• ExEmplo 24:

É preciso observar que a variável x varia no intervalo [1, 2].

Há duas maneiras de proceder:

Calculamos primeiro a integral indefinida ln x dx

x∫ e depois a integral definida. Assim,

(Note a substituição u = lnx ⇒ du = (1/x)dx)Agora,

pois ln1 = 0.

• Outra maneira de calcular 2

1

ln x dxx∫ é, ao fazer a mudança de variável, mudar também os limites

de integração, colocando agora a variação de u.

Assim, fazendo

temos:

logo

como antes.

2

1

ln x dxx∫

ln lnxxdx udu u C

xC∫ ∫= = + =

( )+

2 2

2 2

ln ln lnxxdx x

1

2 2

1

2 2

222∫ = =

u x duxdx= ⇒ =ln 1

x ux u= ⇒ == ⇒ =1 02 2ln

ln lnln lnxxdx udu u

1

2

0

2 2

0

2 2

222∫ ∫= = =

390



• ExEmplo 25:

Temos:

(Lembre que 2 2 2x xe ex

= =ln ln e, portanto, ddx

ddx

e ex x x x2 2 2 22 2( ) = ( ) = ⋅ =ln ln ln ln )

Assim,

2 22

22

12

120

1

0

1x

x

dx∫ = = − =ln ln ln ln

.

1

0

2xdx∫

2 22

xx

dx C∫ = +ln

Agora é a sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem

e realize a(s) atividade(s) proposta(s).

efetuando integrais fundamentos de matemática i · algumas primitivas imediatas ou quase...

Documents