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ROSÁRIO LAUREANO 1

PRIMITIVASMÉTODOS DE PRIMITIVAÇÃO––––––––––––––––––––––––––––––––—

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�Ano letivo: 2013/2014 - 2o Sem.� Turma: GA4

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�Elaborado por ROSÁRIOLAUREANO

�DM — Dpto de Matemática (ISTA)

ROSÁRIO LAUREANO 2

1 Primitivas (ou antiderivadas)

1.1 Primitivas imediatas e quase-imediatasSeja f uma função real (escalar) na variável real x, f : D ⊆ R→ R.

Definição 1 Uma função F (x) é uma primitiva de f(x) (ou uma an-tiderivada de f(x)), e denota-se por

F (x) =

∫f(x) dx, ou simplesmente, F (x) = P f(x),

se F ′(x) = f(x) (dx indica a variável de primitivação).

Dado que o cálculo de uma primitiva envolve um processo inverso daderivação, a primitiva de uma dada função não é única. Vejamos o seguinteexemplo.

Exemplo 2 As funções x3, x3+2 e x3−√5 são (diferentes) primitivas da

função f(x) = 3x2 pois

(x3)′=(x3 + 2

)′=(x3 −

√5)′

= 3x2.

Todas estas primitivas da função f(x) = 3x2 diferem por uma constante reale pertencem à família de funções x3+C, com C ∈ R (no 1o caso C = 0, no2o caso C = 2 e no 3o caso C = −

√5).

Não devemos escrever∫ (

3x2)dx = x3, nem

∫ (3x2)dx = x3+2, nem

∫ (3x2)dx = x3 −

√5, pois tal levaria às proposições falsas 0 = 2 = −

√5.

Na verdade, devemos escrever∫ (

3x2)dx = x3 +C [ou ainda, P

(3x2)= x3 +C],

para todo C ∈ R (ou seja, ∀C ∈ R), como a expressão geral de todas asprimitivas da função f(x) = 3x2. Tal expressão é assim x3 + C, qualquerque seja C ∈ R.

Atendendo à notação da Definição 9, temos F (x) = x3 + C, ∀C ∈ R.Se soubermos uma condição relativa à função F (x), podemos então calcularC e obter uma determinada primitiva de f(x). Por exemplo, com F (3) =10, obtemos 33 + C = 10. Temos então C = 10 − 27 = −17 e obtemosa primitiva "particular" F (x) = x3−17 (aquela que passa no ponto (3, 10)).

ROSÁRIO LAUREANO 3

Se F (x) é uma primitiva de f(x) então também F (x)+C é uma primitivade f(x), ∀C ∈ R, pois

[F (x) +C]′ = F ′(x) +C ′ = F ′(x) + 0 = f(x), ∀C ∈ R.

Podemos assim dizer que F (x) + C é a expressão geral das primitivasde f(x). Assim, todas as primitivas de uma dada função f(x) diferem entresi por uma constante real C arbitrária.

Exemplo 3 As funções definidas por x+C, com C ∈ R, são as primitivasda função (constante) f(x) = 1,

∫1 dx = x+C [ou ainda, P1 = x+C], ∀C ∈ R,

pois(x+C)′ = x′ +C′ = 1+ 0 = 0.

Exemplo 4 As funções definidas porx2

2+C, com C ∈ R, são as primitivas

da função (constante) f(x) = x,∫x dx =

x2

2+C [ou ainda, Px = x2

2+C], ∀C ∈ R,

pois (x2

2+C

)′=1

2

(x2)′+C′ =

1

2(2x) + 0 = x.

Exemplo 5 As funções definidas por sinx+C, com C ∈ R, são as primi-tivas da função f(x) = cosx,

∫cos (x) dx = sin (x) +C [ou ainda, P cosx = sinx+C], ∀C ∈ R,

pois[sin (x) +C]′ = cos (x) + 0 = cos(x).

Exemplo 6 A família de funções − cosx+C, com C ∈ R, é a família dasprimitivas da função f(x) = sinx,∫sin (x) dx = − cos (x) +C [ou ainda, P sinx = − cosx+C], ∀C ∈ R,

pois[− cos (x) +C]′ = sin (x) + 0 = sinx.

ROSÁRIO LAUREANO 4

Exemplo 7 A família de funções exp (x) +C, com C ∈ R, é a família dasprimitivas da função f(x) = expx,∫exp(x)dx = exp(x) +C [ou ainda, P expx = exp(x) +C], ∀C ∈ R,

pois[exp(x) +C]′ = expx.

Note que usamos a notação expx com o mesmo significado de ex (exponen-cial na base de Neper e = 2.7182818284...).

Exemplo 8 A expressão geral das primitivas de f(x) = 1/x é ln |x|+C,∫1

xdx = ln |x|+C [ou ainda, P 1

x= ln |x|+C], ∀C ∈ R,

pois(ln |x|+C)′ = 1/x.

O módulo garante, desde logo, que o logaritmo Neperiano (ln) atua sobrevalores positivos (note que x = 0 pelo enunciado), mas verificamos que:

— para x > 0 temos |x| = x, logo

[ln |x|+C]′ = [ln (x) +C]′ = 1

x+ 0 =

1

x.

— para x < 0 temos |x| = −x, logo

[ln |x|+C]′ = [ln (−x) +C]′ = −1−x + 0 =

1

x.

É então válido que, para todo x = 0,

[ln |x|+C]′ = 1

x.

Conhecemos as regras de derivação da soma, da diferença e do produtopor uma constante real. São destas regras que resultam as seguintes pro-priedades operacionais no cálculo de primitivas.

Proposição 9 (Propriedades operacionais da soma, da diferença edo produto por uma constante) Dadas funções reais f e g na variávelreal x e uma constante k ∈ R, são válidas as igualdades

∫[f(x)± g(x)] dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx

ROSÁRIO LAUREANO 5

e ∫[k · f(x)] dx = k ·

∫f(x)dx .

Proof. Das regras de derivação da soma e da diferença

[F (x)±G(x)]′ = F ′(x)±G′(x)

resulta que

F (x)±G(x) =∫ [

F ′(x)±G′(x)]dx. (1)

Para F ′(x) = f(x) temos F (x) =∫f(x)dx. Para G′(x) = g(x) temos

G(x) =

∫g(x)dx. Assim, a igualdade (1) pode ser escrita como

∫f(x)dx±

∫g(x)dx =

∫[f(x)± g(x)] dx.

Analogamente, da regra de derivação com uma constante real multiplica-tiva k,

[k · F (x)]′ = k · F ′(x) em que k ∈ R,resulta que

k · F (x) =∫ [

k · F ′(x)]dx. (2)

Para F ′(x) = f(x) temos F (x) =∫f(x)dx. Assim, a igualdade (2) pode

ser escrita como

k ·∫f(x)dx =

∫[k · f(x)] dx.

Atendendo às igualdade da Proposição 17, podemos afirmar que a prim-itiva goza de linearidade, ou seja,

∫[k · f(x)±K · g(x)] dx =

[k ·∫f(x)dx

]±[K ·

∫g(x)dx

]

para constantes reais k,K ∈ R. Com base nesta propriedade é possível efec-tuar primitivação por decomposição quando tal for conveniente. Ve-jamos os seguintes exemplos.

ROSÁRIO LAUREANO 6

Exemplo 10 Considere as seguintes primitivas, em que C1, C2, C são nú-meros reias arbitrários (∀C1, C2, C ∈ R):∫[3 + 5 exp(x)] dx = 3 ·

∫1 dx+ 5 ·

∫exp (x) dx

= 3 · (x+C1) + 5 · [exp(x) +C2]

= 3 · x+ 3 ·C1 + 5 · exp(x) + 5 · C2

= 3 · x+ 5 · exp(x) + 3 · C1 + 5 · C2

= 3 · x+ 5 · exp(x) +C, com C = 3 · C1 + 5 · C2,

∫[sin (x)− 2 cosx] dx =

∫sin (x) dx− 2 ·

∫cos (x)dx

= − cos (x) +C1 − 2 · [sin (x) +C2]

= − cos (x)− 2 · sin (x) +C1 − 2 ·C2

= − cos (x)− 2 · sin (x) +C, com C = C1 − 2 ·C2

∫ (x

5+1

6x

)dx =

1

5·∫x dx+

1

6·∫1

xdx

=1

5·(x2

2+C1

)+1

6· (ln |x|+C2)

=1

5· x

2

2+1

5· C1 +

1

6· ln |x|+ 1

6·C2

=x2

10+1

6· ln |x|+ 1

5·C1 +

1

6· C2

=x2

10+1

6· ln |x|+C, com C =

1

5·C1 +

1

6· C2.

ROSÁRIO LAUREANO 7

REGRAS DE PRIMITIVAÇÃO: Dada uma função real de variávelreal u = u(x) e uma constante k ∈ R, são válidas as regras seguintes:

•∫k dx = k · x+C , ∀C ∈ R

•∫u′

udx = ln |u|+C , ∀C ∈ R

•∫(uα · u′)dx = uα+1

α+ 1+C com α ∈ Q \ {−1}, ∀C ∈ R

•∫(au · u′) dx = au

lna+C com a ∈ R+ \ {1}, ∀C ∈ R

— Em particular,∫(u′ · expu) dx = exp(u) +C , ∀C ∈ R

•∫

u′

a2 + u2dx =

1

aarctan

(ua

)+C , ∀C ∈ R

— Em particular,∫

u′

1 + u2dx = arctan (u) +C , ∀C ∈ R

•∫

u′√a2 − u2

dx = arcsin(ua

)+C , ∀C ∈ R

— Em particular,∫

u′√1− u2

dx = arcsin (u) +C , ∀C ∈ R

•∫(u′ · sinu) dx = − cos (u) +C , ∀C ∈ R

•∫(u′ · cosu) dx = sin (u) +C , ∀C ∈ R

•∫ (

u′ · sec2 u)dx =

∫u′

cos2 udx = tan (u) +C , ∀C ∈ R

ROSÁRIO LAUREANO 8

•∫ (

u′ · csc2 u)dx =

∫u′

sin2 udx = − cot (u) +C , ∀C ∈ R

•∫(u′ · secu) dx = ln |sec (u) + tanu|+C , ∀C ∈ R

•∫(u′ · cscu) dx = ln |csc (u)− cotu|+C , ∀C ∈ R

Exemplo 11 Considere as seguintes primitivas, em que C1, C2, C são nú-meros reias arbitrários (para quaisquer C1, C2, C ∈ R)

∫ (7 + x2

)dx = 7

∫1 dx+

∫x2 dx = (7x+C1) +

(1

3x3 +C2

)

= 7x+1

3x3 +C1 +C2 = 7x+

1

3x3 + C︸︷︷︸

C1+C2

,

∫5

x2dx = 5·

∫1

x2dx = 5·

∫x−2 dx = 5 ·

(x−2+1

−2 + 1 +C1)

= 5 ·(x−1

−1 +C1)= −5

x+ 5 ·C1 = −

5

x+ C︸︷︷︸

5·C1

,

∫ [sin (2x) + cos

x

3

]dx =

∫sin (2x)dx+

∫cos(x3

)dx

=1

2·∫2 · sin (2x)dx+ 3 ·

∫ [1

3· cos

(1

3· x)]dx

=1

2· [− cos (2x) +C1] + 3 ·

[sin

(1

3· x)+C2

]

= −12· cos (2x) + 3 · sin

(x3

)+1

2·C1 + 3 · C2

= −12· cos (2x) + 3 · sin

(x3

)+ C︸︷︷︸1

2·C1+3·C2

.

ROSÁRIO LAUREANO 9

1.2 Exercícios propostos1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:

(a) f(x) = 5x6 +3

x2+4

x

(b) f(x) =(3x− 1)23x

(c) f(x) =(x+

√x)2

x5

(d) f(x) = x(x2 + 2)3

(e) [TA] f(x) = 3√x2 + 2 5

√x

(f) [TA] f(x) = (8− 3x) 5√8− 3x

(g) [TA] f(x) = (x+ 1)15

(h) [TA] f(x) =x3

5√3− x4

2. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:

(a) f (x) =3x

1 + x2

(b) f (x) =3

1 + x2

(c) f (x) =3

4 + x2

(d) f (x) =3x2

1 + x2

ROSÁRIO LAUREANO 10

(e) f (x) =3

(1 + x)2


(a) f (x) =5x√1− x2

(b) f (x) =5√1− x2

(c) f (x) =5√4− x2

(d) [TA] f(x) =5√

16− 9x2

(e) f(x) =1

√2− (x− 3)2

(f) f(x) =1√

−x2 + 2x+ 3

4. Prove as seguintes igualdades [note que as alíneas 2.c) e 3.c) d) sãocasos particulares do que é proposto neste exercício]:

(a)∫

1

a2 + b2x2dx =

1

abarctan

(b

ax

)+C, ∀C ∈ R;

(b)∫

1√a2 − b2x2

dx =1

barcsin

(b

ax

)+C, ∀C ∈ R.

5. [TA] Determine a expressão geral das primitivas de cada uma dasseguintes funções:

(a) f (x) =x2√1− x6

(b) f (x) =x5√1− x6



(a) f(x) = 5x exp(x2)

(b) f(x) =exp (1/x)

x2

(c) f (x) = exp [2 sin (x) cosx] cos (2x)

(d) [TA] f(x) =1

exp(−x) (1 + 4 expx)

(e) [TA] f(x) =exp (6x)

√1− exp (6x)

(f) [TA] f(x) = (1 + expx)2

(g) [TA] f(x) =exp tanx

cos2 x

7. [TA] Seja v(x) = exp (2x). Determine a expressão geral das primitivasdas funções

f (x) =v(x)

1 + exp (4x), g(x) =

v(x)

2− v(x) e h(x) =v(x)− 1expx

.

8. [TA] Seja w(x) = lnx. Determine a expressão geral das primitivasdas funções

f (x) =1

x ·w(x) , h(x) =1

x(3 +w2 (x))e j(x) =

3

√w(x) + sinw(x)

x.

9. [TA] Considere q(x) =√x. Determine a expressão geral das primiti-

vas das funções

f (x) =1

q(x)√1− x

, g(x) =1

(1 + x)q(x)e h(x) =

1

q(x)√1 + q(x)

.



(a) f(x) = x2 cos(x3)

(b) f(x) = tan (3x)

(c) f(x) = cot(5x− 7)

(d) f(x) =cos (5x)

sin (5x)

(e) [TA] f(x) = x sinx2

3

(f) [TA] f(x) = sin3 (x) cosx

(g) [TA] f(x) =sinx

cos4 x

(h) [TA] f(x) =sin (x) + cosx

sin3 x

(i) [TA] f(x) =cosx3√sin2 x

11. Prove as seguintes igualdades (p ∈ Q, p = −1) [note que as alíneas10.f) - i) são casos particulares do que é proposto neste exercício]

(a)∫[sinp (x) cosx] dx =

1

p+ 1sinp+1 (x) +C, ∀C ∈ R;

(b)∫[cosp (x) sinx] dx = − 1

p+ 1cosp+1 (x) +C, ∀C ∈ R.

12. [TA] Considere as funções

f(x) = sin3 x, g(x) = cos4 x, h(x) = cos5 x e j(x) = sin2 (3x)

definidas por potências (pares ou ímpares) de seno ou de coseno. De-termine a expressão geral das primitivas de cada uma destas funções.



(a) f(x) = x tan(x2)

(b) f(x) = sec2 (7x)

(c) f(x) =sec2 x

tan5 x

(d) [TA] f(x) = tan(x2

)sec2

x

2

(e) [TA] f(x) =1

[2 + 3 tan (5x)] cos2 (5x)

(f) [TA] f(x) =2arctan3 x

1 + x2

(g) [TA] f(x) =x+ arcsinx√

1− x2

(h) [TA] f(x) =cosx

1 + sin2 x

(i) [TA] f(x) =cos (2x)

1 + sin (x) cosx

14. [TA] Seja j(x) = sin (2x) . Determine a expressão geral das primitivasdas funções

f(x) =j(x)

1 + cos2 x, g(x) =

j(x)

1 + cos4 xe h(x) =

j(x)

cos2(sin2 x

) .

15. Determine a expressão geral das primitivas da função

f(x) =1

x ln (x) ln(lnx).

16. [TA] Seja∫f(x)dx = 5 − 1

2ln [1 + 2 exp(−x)]. A função f(x) pode

ser definida pela expressão:

A f(x) = 2 + expx

B f(x) =1

2 + expx

C f(x) = 2 exp(−x)


17. [TA] A expressão geral das primitivas da função

f(x) =cosx

√1− sin2 x

+ 2 exp(−x)

é:

A√1− sin2 x− 2 exp(−x) +C, ∀C ∈ R

B√1− sin2 x+ 2exp(x) +C, ∀C ∈ R

C x− 2 exp(−x) +C, ∀C ∈ R

18. A expressão geral das primitivas da função

f(x) = 3 exp(−x) + 3 cosx√1− sin2 x

é:

A 3√1− sin2 x− 3 exp(−x) +C, ∀C ∈ R

B 3x− 3 exp(−x) +C, ∀C ∈ RC 3

√1− sin2 x+ 3 exp(x) +C, ∀C ∈ R

19. Seja∫f(x)dx = 3 − ln [1 + 3 exp(−x)]. A função f(x) pode ser

definida pela expressão:

A f(x) =3

3 + expx

B f(x) = 3 exp(−x)C f(x) = 3 expx

20. [TA] Seja g(x) =ln2 x

2− 4 cos

(x2)+2 uma primitiva de certa função

f(x). A função f(x) pode ser definida pela expressão:

A f(x) =lnx

x+ 8x sin

(x2)

B f(x) =1

x lnx+ 8x sin

(x2)

C f(x) = x ln (x)− 4 cos(x2)


21. A expressão geral das primitivas da função

f(x) =cosx

√1− sin2 x

+ exp(−x)

é:

A x− exp(−x) +C, ∀C ∈ RB

√1− sin2 x− exp(−x) +C, ∀C ∈ R

C x+ exp(−x) +C, ∀C ∈ R

22. Seja g(x) =ln2 x

2− 4 cos

(x2)+2 uma primitiva de certa função f(x).

A função f(x) pode ser definida pela expressão:

A f(x) =1

x lnx+ 8x sin

(x2)

B f(x) =lnx

x+ 8x sin

(x2)

C f(x) = x ln (x)− 4 cos(x2)

23. [TA] Sabendo que∫f(x)dx =

1

3sin(x3)+2arctan (

√x)+3, a função

f(x) pode ser definida pela expressão:

A f(x) =

√x

1 + x+ x2 cos

(x3)

B f(x) =1

1 + x+ cos

(x3)

C f(x) =1

(1 + x)√x+ x2 cos

(x3)

24. [TA] A expressão geral das primitivas da função

f(x) =4x

x2 + 1− 1

x2

é:

A 4 ln(x2 + 1

)− ln

(x2)+C, ∀C ∈ R

B 2 ln(x2 + 1

)+1

x+C, ∀C ∈ R

C 2 arctan (x) +1

x+C, ∀C ∈ R


25. Sabendo que∫f(x)dx = 2arctan (

√x)+

1

3sin(x3)+4, a função f(x)

pode ser definida pela expressão:

A f(x) =1

1 + x+ cos

(x3)

B f(x) =

√x

1 + x+ x2 cos

(x3)

C f(x) =1

(1 + x)√x+ x2 cos

(x3)

26. A expressão geral das primitivas da função f(x) =2x

x2 + 1+1

x2é:

A 2 ln(x2 + 1

)+ ln

(x2)+C, ∀C ∈ R

B arctan (x)− 1

x+C, ∀C ∈ R

C ln(x2 + 1

)− 1

x+C, ∀C ∈ R

1.3 Primitivas de funções racionaisDefinição 12 Uma função diz-se racional se é o quociente de funções poli-nomiais, ou seja, se é uma fração de polinómios.

Exemplo 13 São racionais as funções

f(x) =2x

x2 + 1, g(x) =

x3 + 5

x+ 3e h(x) =

10x

x+ 5.

Considere a função racional

f (x) =N (x)

D (x),

em que os polinómios N (x) (polinómio numerador) e D (x) (polinómio de-nominador) são polinómios na variável x (N (x) ≡polinómio numerador;D (x) ≡polinómio denominador). A função racional f(x) diz-se própria seN (x) tem grau inferior a D (x). Caso contrário (i.e, se N (x) tem grausuperior ou igual a D (x)), a função racional f(x) diz-se não-própria.


Exemplo 14 Temos a seguinte classificação das funções racionais do Ex-emplo 21:

f(x) — própria,

porque grau(2x) = 1 < 2 =grau(x2 + 1

), e

g(x) e h(x) — não-próprias

porque grau(x3 + 5) = 3 > 1 =grau(x+ 3) e grau(10x) = 3 =grau(x+ 5) .

Relativamente ao cálculo das primitivas de uma função racional f (x), háque considerar os seguintes procedimentos iniciais (apenas se a primitivaçãonão for imediata pelas regras de primitivação):

FUNÇÕES PRÓPRIAS Quando a função racional f (x) é própria,

1. determinam-se as raízes do polinómio denominador D (x).

2. procede-se à decomposição de D (x) em factores de grau 1 se assuas raízes forem reais, e/ou em factores de grau 2 (factores quesão somas de quadrados) se as suas raízes forem complexas (nestecaso são pares de raizes conjugadas).

3. fazem-se corresponder frações simples às raizes encontradas paraD(x) do seguinte modo:

(a) A cada raíz real α de multiplicidade k fazem-se corresponderk frações simples do tipo

A1

(x− α)k,

A2

(x− α)k−1, ... ,

Ak−1

(x− α)2e

Akx− α,

(b) a cada par de raízes complexas a ± bi de multiplicidade ktambém se fazem corresponder k frações simples do tipo

A1x+B1[(x− a)2 + b2

]k ,A2x+B2

[(x− a)2 + b2

]k−1 , ...,Ak−1x+Bk−1[(x− a)2 + b2

]2 eAkx+Bk

(x− a)2 + b2.

As constantes presentes Ai e Bi presentes nos numeradoresdas frações simples de 3.(a)e 3.(b) são calculadas pelo Métododos Coeficientes Indeterminados ou por outros métodos con-hecidos (por exemplo, o método de Taylor também conhecidopor "método do tapa").


4. Procede-se ao cálculo da primitiva de f(x) efectuando primiti-vação por decomposição. De notar que as frações simples em3.(a)e 3.(b) são fáceis de primitivar pelas regras de primitivaçãousuais.

FUNÇÕES IMPRÓPRIAS Quando a função racional f (x) é imprópria,

1. procede-se à divisão do polinómio N (x) pelo polinómio D (x),obtendo-se um polinómio quociente Q(x) (chamada parte inteirade f(x)) e um polinómio resto R(x) com grau inferior ao grau deD(x) (isto é, grau(R(x))<grau(D (x)). Temos então

N(x) = D(x) ·Q(x) +R(x)de que resulta

f(x) =N(x)

D(x)=D(x) ·Q(x) +R(x)

D(x)=D(x) ·Q(x)D(x)

+R(x)

D(x),

ou seja,

f(x) = Q(x) +R(x)

D(x)

Como R(x) tem necessariamente grau inferior a D(x), pois é esseo critério para considerar terminada a divisão de N (x) por D (x),a nova função racional R(x)/D(x) é própria.

2. procede-se então conforme o indicado nos pontos 2., 3. e 4. parafunções próprias.

Há casos em que a divisão dos polinómios (em funções não-próprias)pode ser evitada por pequenos "truques" operacionais. Vejamos os seguintesexemplos.

Exemplo 15 Considere as seguintes operações válidas em frações:

f(x) =x− 1x+ 2

=x+ 2− 3x+ 2

=x+ 2

x+ 2+

−3x+ 2

= 1− 3

x+ 2

g(x) =2x− 1x+ 2

=x+ 2 + x− 3

x+ 2=x+ 2

x+ 2+x− 3x+ 2

= 1 +x− 3x+ 2

= 1 +x+ 2− 5x+ 2

= 1 +x+ 2

x+ 2+

−5x+ 2

= 1 + 1− 5

x+ 2= 2− 5

x+ 2


h(x) =x2 − 1x2 + 2

=x2 + 2− 3x2 + 2

=x2 + 2

x2 + 2+

−3x2 + 2

= 1− 3

x2 + 2

u(x) =x2 + 2x+ 1

x+ 2=x (x+ 2) + 1

x+ 2=x (x+ 2)

x+ 2+

1

x+ 2= x+

1

x+ 2

v(x) =x2 + x+ 1

x+ 2=x2 + 2x− x+ 1

x+ 2=x (x+ 2)− x+ 1

x+ 2

=x (x+ 2)

x+ 2+−x+ 1x+ 2

= x− x− 1x+ 2

= x− x+ 2− 3x+ 2

= x−(x+ 2

x+ 2+

−3x+ 2

)= x− 1− −3

x+ 2= x− 1 + 3

x+ 2.

Contudo, para a maioria destas funções é mais fácil recorrer à divisão dospolinómios obtendo-se (obviamente) os mesmos resultados finais (e num sópasso, exceptuando o caso da função v(x)). Confirme os resultados obtidosmas recoorendo à divisão.

1.4 Exercícios propostos1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções racionais:

(a) f(x) =x2 + 1

x3 + 3x

(b) [TA] f(x) =x+ 4

x2 + 8x+ 7

(c) f(x) =x5

1 + x6

(d) [TA] f(x) =x

3x4 + 1

(e) [TA] f(x) =1

x2 + 2


2. [TA] Considere os polinómios de grau 2

d1(x) = x2 + 6x+ 9, d2(x) = x

2 + 6x+ 8 e d3(x) = x2 + 6x+ 10.

(a) Averigue a possibilidade de factorizar cada um dos polinómiosanteriores em polinómios de grau 1.

(b) Determine a expressão geral das primitivas das funções racionais

f(x) =1

d1(x), g(x) =

1

d2(x)e h(x) =

1

d3(x).

(c) Determine a expressão geral das primitivas das funções racionais

j(x) =x+ 1

d1(x), k(x) =

x+ 1

d2(x)e l(x) =

x+ 1

d3(x).

3. [TA] Escreva cada uma das funções racionais

f(x) =x4 + x2 + 5

x3 + 2x2 + xe g(x) =

2x3 + 2

8x+ 6x2 + x3

com base numa fracção própria e, de seguida, determine a expressãogeral das suas primitivas.

4. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções racionais:

(a) f(x) =2x+ 1

x3 + 6x2 + 10x

(b) f(x) =x2 − x+ 14

(x− 4)3 (x− 2)

(c) [TA] f(x) =3

(x2 − 4)2

(d) [TA] f(x) =x

x4 − 1

5. [TA] Sabendo que 2 é raíz do denominador da função racional

f(x) =x

x3 − 6x2 + 12x− 8 ,

determine a expressão geral das primitivas da função f .


6. [TA] Mostre que

F (x) = − 1

(x− 2)2− 1

x− 2 +1

4

é a primitiva def(x) =

x

(x− 2)3

que passa no ponto (0, 1/2).

1.5 Métodos de primitivação (por partes e por subs-tituição)

1.5.1 Primitivação por partesDadas funções reais de variável real f(x) e g(x), é valida a regra opera-

cional de derivação do produto

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′.

Então ∫ (f ′ · g + f · g′

)dx = f · g +C.

Esta igualdade é equivalente a∫ (

f ′ · g)dx+

∫ (f · g′

)dx = f · g +C,

ou ainda a ∫ (f ′ · g

)dx = f · g −

∫ (f · g′

)dx+C.

Temos então a igualdade com primitivas

∫(f ′ · g)dx = f · g −

∫(f · g′)dx . (3)

A fórmula (3) justifica o método de primitivação por partes que éefectivamente útil nos casos em que o produto f ·g′ é mais difícil de primitivardo que o produto (original) f́ · g.

Quando pretendemos aplicar o método de primitivação por partes a umproduto f ′ ·g de funções (que não possa ser visto como primitiva imediata ouquase-imediata), escolhe-se uma das funções para primitivar (f ′) e a outra


para derivar (g). Há que escolher f ′ como algo que se sabe primitivar (paraobter facilmente f), tendo em conta que a derivada g′ de g é sempre fácil deobter. Conforme já foi referido, esta escolha deve ainda cumprir o objectivo

de encontrar em∫(f · g′) dx uma primitiva imediata ou quase-imediata.

Exemplo 16 Pretendemos calcular a primitiva∫(x lnx) dx. Tomando

f ′ = x e g = lnx há que calcular

f =

∫f ′dx =

∫x dx =

x2

2

eg′ = (lnx)′ =

1

x.

Pela fórmula de primitivação por partes (3) obtemos

∫(x · lnx) dx =

x2

2· lnx−

∫ (x2

2· 1x

)dx =

x2

2· lnx− 1

2·∫x dx

=x2

2· lnx− 1

2·(x2

2+C1

)=x2

2· lnx− x

2

4+C,

com C = −12·C1 ∈ R.

Exemplo 17 Pretendemos calcular a primitiva∫ (

x2 expx)dx. Tomando

f ′ = expx e g = x2 há que calcular

f =

∫f ′dx =

∫exp (x)dx = expx

eg′ =

(x2)′= 2x.

Pela fórmula de primitivação por partes (3) obtemos∫ (

x2 · expx)dx = exp (x) · x2 −

∫[exp (x) · (2x)] dx

= exp (x) · x2 − 2 ·∫[exp (x) · x] dx.


Notemos que∫[exp (x) · x] dx ainda não é uma primitiva imediata. Con-

tudo, conseguimos baixar o grau do polinómio que faz produto com a expo-nencial expx. É então necessário proceder de novo à aplicação do métodode primitivação por partes, tomando de novo f ′ = expx e agora g = x.Temos f = expx e g′ = 1 logo∫ (

x2 · expx)dx = exp (x) · x2 − 2 ·

∫[exp (x) · x] dx

= exp (x) · x2 − 2 ·[exp (x) · x−

∫(exp (x) · 1)dx

]

= exp (x) · x2 − 2 · [exp (x) · x− exp (x)−C1]

= exp (x) ·(x2 − 2x+ 2

)+C,

com C = 2 · C1 ∈ R.

A tabela seguinte fornece algumas sugestões para uma escolha adequadade f́ e de g (note que em muitos casos p(x) é um polinómio):

(f ′ · g) f ′ g

p (x) · expxp (x) · sinxp (x) · cosxp (x) · tanxp (x) · cotx

expx

sinx

cosx

tanx

cotx

p(x)

p (x) · lnxp (x) · arcsinxp (x) · arccosxp (x) · arctanxp (x) · arccotx

p(x)

lnx

arcsinx

arccosx

arctanx

arccotx

Notemos que não decorrem das regras de derivação quaisquer regrasde primitivação para as funções inversas ln, arcsin, arccos, arctan e arccot.Como tal, estas funções são, em geral, escolhidas como função g, sobre a qual


apenas é necessário derivar. Já para as respectivas funções directas exp, sin,cos, tan e cot são conhecidas algumas regras elementares de primitivação, etemos em vista aplicá-las sempre que possível.

1.5.2 Primitivação por substituição (ou por mudan-ça de variável)

Para determinar a expressão geral das primitivas F (x) de uma funçãof(x),

F (x) =

∫f (x) dx

pode ser conveniente substituir a variável x por uma nova variável t (mu-dança de variável (m.v.)).Tomemos x = g(t) em que g é uma função injectiva. Dada F (x) =∫f (x) dx temos F uma função na variável x e, por sua vez, x = g(t) uma

função na variável t. Como tal, F pode ser considerada função da variávelt obtida por composição de funções. Atendendo à regra de derivação dafunção composta (ou regra da cadeia) temos

dF (x)

dt=dF (g(t))

dt=dF (x)

dx· dxdt=dF

dx· dgdt

e, dada a forma como foi definida a função F (é uma primitiva de f(x))segue que

dF (x)

dt= f(x) · dg

dt= f(x) · g′(t) = f [g(t)] · g′(t).

Isto implica que

F (x) =

∫f [g(t)] · g′(t) dt

ou seja, ∫f (x) dx =

∫f [g(t)] · g′(t) dt . (4)

A fórmula (4) justifica o método de primitivação por substituição1.Após resolver a primitiva do lado direito (resultante da mudança de

variável) procedemos à ”recuperação” da variável original x atendendo a

1Para x = g(t), onde g é uma função injectiva, temos a taxa de variação

dx

dt=dg

dt= g′(t)


que t = g−1(x) (notemos que a função g foi tomada como injectiva). Temosentão

∫f (x)dx =

∫f [g (t)] g′ (t) dt = φ (t) = φ(g−1 (x)) = F (x).

O quadro seguinte indica as substituições apropriadas quando estão pre-sentes certos radicais quadráticos que envolvam uma função u = u(x) euma constante real a ∈ R. Estas substituições dizem-se substituiçõestrigonométricas.

função com u = g (t) u′= g′ (t) t = g−1 (u)√a2 − u2 u = a · sin t u′ = a · cos t t = arcsin

u

a√a2 + u2 u = a · tan t u′ = a · sec2 t t = arctan

u

a√u2 − a2 u = a · sec t u′ = a · sec t tan t t = arcsec

u

a

Exemplo 18 A primitiva∫exp(5x) dx é imediata:

∫exp(5x) dx =

1

5·∫5 · exp(5x)dx = 1

5· [exp(5x) +C1] =

1

5· exp(5x) +C,

com C = C1/5 ∈ R. No entanto, se efectuarmos a mudança de variável

dada pela relação 5x = t, temos x =t

5= g(t) logo g′(t) =

1

5. Pelo método

de primitivação por substituição (4) temos então∫exp(5x) dx =

∫ [exp(t) · 1

5

]dt =

1

5·∫exp(t)dt

=1

5· [exp(t) +C1] =

1

5· exp(t) +C,

donde dx = g′(t)dt, logo∫f (x) dx =

∫f [g (t)] · g′ (t) dt.


com C = C1/5 ∈ R. Voltando à variável original x, obtemos finalmente∫exp(5x) dx =

1

5· exp(5x) +C.

Notemos que foi essencial considerar a derivada g′(t) =1

5. Caso contrário,

obteríamos erradamente∫exp(5x) dx =

∫exp(t) dt = exp(t) +C = exp(5x) +C

(note que [exp(5x) +C]′ = 5 exp(5x) = exp(5x)). Obviamente que, nestecaso de uma primitiva imediata, foi mais fácil recorrer diretamente á regrade primitivação aplicável (sendo a substituição perfeitamente dispensável!).

Exemplo 19 Pretendemos calcular a primitiva∫(√x+ 1)

3dx. Consider-

amos a mudança de variável obtida pela relação√x = t. Temos x = t2 =

g(t) logo g′(t) = 2t. Pelo método de primitivação por substituição (4) temosentão

∫ (√x+ 1

)3dx =

∫ [(√t2 + 1

)3· 2t]dt =

∫ [(t+ 1)3 · 2t

]dt

= 2 ·∫ [(

t2 + 2t+ 1)(t+ 1) · t

]dt

= 2 ·∫ (

t4 + 3t3 + 3t2 + t)dt

= 2 ·(t5

5+ 3

t4

4+ t3 +

t2

2+C1

)

=2t5

5+3t4

2+ 2t3 + t2 +C,

com C = 2 · C1 ∈ R. Voltando à variável original x, obtemos então∫ (√

x+ 1)3dx =

2x2√x

5+3x2

2+ 2x

√x+ x+C

(atenda a que√x5 =

√x2 · x2 · x =

√x2 ·

√x2 · √x = x · x · √x = x2√x e a

que, analogamente,√x3 = x · √x). Notemos que, se optarmos por obter a


expressão das primitivas sem recorrer a substituição, também temos∫ (√

x+ 1)3dx =

∫ (√x+ 1

)2 (√x+ 1

)dx

=

∫ (x+ 2

√x+ 1

) (√x+ 1

)dx

=

∫ (x√x+ 3x+ 3

√x+ 1

)dx

=

∫ (x3

2 + 3x+ 3x1

2 + 1)dx

=x5

2

5

2

+ 3x2

2+ 3

x3

2

3

2

+ x+C

=2x2√x

5+3x2

2+ 2x

√x+ x+C,

com C ∈ R. Este exemplo é aqui apresentado, tal como o Exemplo 26, tam-bém com o objectivo de evidenciar a importância de considerar a derivadag′(t). De facto, se não for considerada essa derivada

∫ (√t2 + 1

)3dt =

∫(t+ 1)3 dt

=

∫ (t2 + 2t+ 1

)(t+ 1)dt

=

∫(t3 + 3t2 + 3t+ 1)dt

=t4

4+ 3

t3

3+ 3

t2

2+ t+C

=x2

4+ x

√x+

3x

2+√x+C

(com C ∈ R) obtemos um resultado errado. Confirma-se, fazendo o cálculoda derivada, que

(x2

4+ x

√x+

3x

2+√x+C

)′=(√x+ 1

)3.


1.6 Exercícios propostos1. Determine a expressão geral das primitivas de cada uma das seguintesfunções:

(a) f (x) = x ln (x+ 3)

(b) [TA] f (x) = x2 sinx

(c) [TA] f(x) = (x2 + 6x− 2) exp x3

(d) f (x) = arctanx

2

(e) [TA] f(x) = x3 expx2

(f) [TA] f (x) = arcsin (2x)

(g) f(x) = exp(x) sin (2x)

(h) [TA] f(x) = sin(x2

)cos (3x)

(i) f (x) =x

cos2 x

(j) [TA] f(x) = (x+ 3) expx

2

(k) [TA] f(x) = (2x2 + 1) exp (3x)

(l) f (x) = x exp (2x)

(m) f(x) = arcsinx

3

(n) f(x =x+ 2

3cos (5x)

(o) [TA] f(x) = arctan (3x)


(p) [TA] f(x = exp (2x) sin (3x)

(q) [TA] f (x) = (2x− 1) sin (2x)

(r) [TA] f(x) = x7 expx4

(s) [TA] f (x) =x

sin2 x

(t) f(x) = sin (2x) cos (3x)

(u) [TA] f (x) = ln(x+

√1 + x2

)

(v) f (x) = exp (3x) [sin (2x)− cos (2x)]

(w) [TA] f(x) = x arctan2 x

2. [TA] Seja a(x) = lnx. Determine a expressão geral das primitivas dasfunções

a(x), f(x) = xa(x), g(x) =a(x)√x, h(x) =

a2(x)

x2

j(x) = cos [a (x)] , k(x) =ln [a(x)]

xe l(x) = cos2 [a (x)]

3. Considere a função f(x) = (√x+ 3)4.

(a) Desenvolva a função f em potências de x e calcule a expressãogeral das suas primitivas.

(b) Utilize a mudança de variável dada pela relação√x = t para

confirmar a expressão das primitivas obtida na alínea anterior.


(a) f(x) =x

1 + 3√x


(b) [TA] f(x) =1

2 + expx

(c) f(x) =1

1 +√x+ 1

(d) [TA] f(x) = cos 3√x

(e) f(x) =6√x+ 1

6√x7 +

4√x5

(f) [TA] f(x) =√x

x+ 1

(g) f(x) =√x√

x− 4√x

(h) f(x) =x2 + 3

√(2x− 5)3

(i) [TA] f(x) =√x

1 + 3√x

(j) [TA] f(x) =lnx

x√1 + lnx

(k) f(x) =x3

√(2 + 3x2)3

(l) [TA] f(x) =

√3x+ 1

1 + 5√3x+ 1

(m) [TA] f(x) =x

3√x− 1

5. Utilize substituições trigonométricas para determinar a expressão geraldas primitivas de cada uma das seguintes funções:


(a) [TA] f(x) =

√x2 − 4x4

(b) [TA] f(x) =

√1 + x2

x2

(c) [TA] f(x) =1

√4 + (x− 5)2


(a) f(x) =x arctanx√1 + x2

(b) f(x) =arcsinx

x2

(c) f(x) =1

x2

√x− 1x+ 1

2 Soluções dos exercícios propostos

2.1 Primitivas imediatas e quase-imediatas

1. (a)5

7x7 − 3

x+ 4 ln |x|+C, com C ∈ R

(b)3

2x2 − 2x+ 1

3ln |x|+C, com C ∈ R

(c) C − 1

2x2− 4

5x2√x− 1

3x3, com C ∈ R

(d)1

8(x2 + 2)4 +C, com C ∈ R

(e)3

5x

3√x2 +

5

3x 5√x+C, com C ∈ R


(f) C − 5

33(8− 3x)2 5

√8− 3x, com C ∈ R

(g)(x+ 1)16

16+C, com C ∈ R

(h) C − 5

165

√(3− x4)4, com C ∈ R

2. (a)3

2ln∣∣1 + x2

∣∣+C =3

2ln(1 + x2

)+C, com C ∈ R

(b) 3 arctan (x) +C, com C ∈ R

(c)3

2arctan

(x2

)+C, com C ∈ R

(d) 3 (x− arctanx) +C, com C ∈ R

(e) 3

((1 + x)−1

−1

)

+C = C − 3

1 + x, com C ∈ R

3. (a) C − 5√1− x2, com C ∈ R

(b) 5 arcsin (x) +C, com C ∈ R

(c) 5 arcsin(x2

)+C, com C ∈ R

(d)5

3arcsin

(3x

4

)+C, com C ∈ R

(e) arcsin(x− 3√2

)+C, com C ∈ R

(f)∫

1√−x2 + 2x+ 3

dx = (...) =

∫1

√4− (x− 1)2

dx

= (...) = arcsin

(x− 12

)+C, com C ∈ R


4. (a)1

abarctan

(b

ax

)+C, com C ∈ R

(b)1

barcsin

(b

ax

)+C, com C ∈ R

5. (a)1

3arcsin

(x3)+C, com C ∈ R

(b) C − 13

√1− x6, C ∈ R

6. (a)5

2exp

(x2)+C, com C ∈ R

(b) C − exp(1

x

), com C ∈ R

(c)1

2exp [sin (2x)] +C, com C ∈ R

(d)1

4ln |1 + 4 expx|+C = 1

4ln (1 + 4 expx) +C, com C ∈ R

(e) C − 13

√1− exp (6x), com C ∈ R

(f) x+ 2exp (x) +exp2 x

2+C, com C ∈ R

(g) exp tanx+C, com C ∈ R

7.∫f (x) dx =

1

2arctan [exp (2x)] +C, com C ∈ R

∫g(x)dx = C − 1

2ln |2− exp (2x)| , com C ∈ R

∫h(x)dx = exp (x) + exp (−x) +C, com C ∈ R


8.∫f (x)dx = ln |lnx|+C, com C ∈ R

∫h(x)dx =

1√3arctan

(lnx√3

)+C, com C ∈ R

∫j(x)dx =

3

4ln (x) 3

√lnx− cos (lnx) +C, com C ∈ R

9.∫f (x) dx = 2arcsin (

√x) +C, com C ∈ R

∫g(x)dx = 2arctan (


∫h(x)dx = 4

√1 +

√x+C, com C ∈ R

10. (a)1

3sin(x3)+C, com C ∈ R

(b) C − 13ln |cos(3x)| , com C ∈ R

(c)1

5ln |sin (5x− 7)|+C, com C ∈ R

(d)1

5ln |sin (5x)|+C, com C ∈ R

(e)3

2

[− cos

(1

3x2)]+C = −3

2cos

(1

3x2)+C, com C ∈ R

(f)(sinx)4

4+C =

1

4sin4 (x) +C, com C ∈ R

(g) −(cosx)−3

−3 +C =1

3 cos3 x+C, com C ∈ R


(h) C − cot (x)− 1

2 sin2 x, com C ∈ R

(i) 3 3√sinx+C, com C ∈ R

11. (a)(sinx)p+1

p+ 1+C =

1

p+ 1sinp+1 (x) +C, com C ∈ R

(b) −(cosx)p+1

p+ 1+C = C − 1

p+ 1cosp+1 (x) , com C ∈ R

12.∫sin3 (x) dx =

∫ [sin (x) sin2 x

]dx =

∫ [sin (x)

(1− cos2 x

)]dx

= (...) = − cos (x) + cos3 x

3+C, com C ∈ R

∫cos4 (x) dx =

∫ [cos2 x

]2dx =

∫ [1 + cos (2x)

2

]2dx

= (...) =1

4

[x+ sin (2x) +

1

2

(x+

1

4sin(4x)

)]+C, com C ∈ R

∫cos5 (x) dx =

∫ [(cos2 x

)2cosx

]dx =

∫ [(1− sin2 x

)2cosx

]dx

= (...) = sin (x)− 23sin3 (x) +

1

5sin5 (x) +C, com C ∈ R

∫sin2 (3x)dx =

∫1− cos (6x)

2dx =

1

2

[x− 1

6sin (6x)

]+C,

com C ∈ R

13. (a) C − 12ln∣∣cosx2

∣∣ , com C ∈ R

(b)1

7tan (7x) +C, com C ∈ R


(c) C − 1

4 tan4 x, com C ∈ R

(d) tan2(x2

)+C, com C ∈ R

(e)1

15ln |2 + 3 tan (5x)|+C, com C ∈ R

(f) 2arctan4 x

4+C =

arctan4 x

2+C, com C ∈ R

(g)arcsin2 x

2−√1− x2 +C, com C ∈ R

(h) arctan sinx+C, com C ∈ R

(i) ln |2 + sin (2x)|+C = ln [2 + sin (2x)] +C, com C ∈ R

14.∫f(x)dx =

∫sin (2x)

1 + cos2 xdx =

∫2 sin (x) cosx

1 + cos2 xdx

= (...) = − ln∣∣1 + cos2 x

∣∣+C = C − ln(1 + cos2 x

), com C ∈ R

ou∫f(x)dx =

∫sin (2x)

1 + cos2 xdx =

∫sin (2x)

1 +1 + cos(2x)

2

dx

= (...) = − ln |3 + cos(2x)|+C = C − ln [3 + cos(2x)] , com C ∈ R∫g(x)dx = C − arctan cos2 x, com C ∈ R

∫h(x)dx = tan sin2 x+C, com C ∈ R

15.∫f(x)dx = ln |ln lnx|+C, com C ∈ R


2.2 Primitivação de funções racionais

1. (a)1

3ln∣∣x3 + 3x

∣∣+C, com C ∈ R

(b)1

2ln∣∣x2 + 8x+ 7

∣∣+C, com C ∈ R

(c)1

6ln∣∣1 + x6

∣∣+C =1

6ln(1 + x6

)+C, com C ∈ R

(d)1

2√3arctan

(√3x2)+C, com C ∈ R

(e)1√2arctan

(x√2

)+C, com C ∈ R

2. (a) d1(x) = (x+ 3)2, d2(x) = (x+ 2) (x+ 4) e d3(x) = (x+ 3)

2+1

(b)∫f(x)dx = − 1

x+ 3+C, com C ∈ R

∫g(x)dx =

1

2ln |x+ 2| − 1

2ln |x+ 4|+C, com C ∈ R

∫h(x)dx = arctan (x+ 3) +C, com C ∈ R

(c)∫j(x)dx = −2(x+ 3)

−1

−1 + ln |x+ 3|+C

=2

x+ 3+ ln |x+ 3|+C, com C ∈ R

∫k(x)dx = −1

2ln |x+ 2|+ 3

2ln |x+ 4|+C, com C ∈ R

∫l(x)dx =

1

2ln∣∣∣(x+ 3)2 + 1

∣∣∣− 2 arctan (x+ 3) +C, com C ∈ R


3. f(x) = x− 2 + 4x2 + 2x+ 5

x3 + 2x2 + x︸︷︷︸fracção própria

.

∫f(x)dx =

x2

2− 2x+ 5 ln |x|+ 7

x+ 1− ln |x+ 1|+C, com C ∈ R.

g(x) = 2 +−12x2 − 16x+ 2x3 + 6x2 + 8x︸︷︷︸fracção própria

∫g(x)dx = 2x− 2

[−18ln |x| − 7

8ln |x+ 2|+ 63

8ln |x+ 4|

]+C

= 2x+1

4ln |x|+ 7

4ln |x+ 2| − 63

4ln |x+ 4|+C, com C ∈ R.

4. (a)1

10ln |x| − 1

10

[1

2ln∣∣∣(x+ 3)2 + 1

∣∣∣− 17 arctan (x+ 3)]+C,

com C ∈ R

(b) − 13

2 (x− 4)2+

3

x− 4 + 2 ln |x− 4| − 2 ln |x− 2|+C

= − 13

2 (x− 4)2+

3

x− 4 + 2 ln∣∣∣∣x− 4x− 2

∣∣∣∣+C, com C ∈ R

(c) 3[− 1

16 (x− 2) −1

32ln |x− 2| − 1

16 (x+ 2)+1

32ln |x+ 2|

]+C

= 3

[− 1

16

(1

x− 2 +1

x+ 2

)+1

32ln

∣∣∣∣x+ 2

x− 2

∣∣∣∣

]+C, com C ∈ R

(d) ln |x− 1|+ 14ln |x+ 1| − 1

4ln∣∣x2 + 1

∣∣+C

=1

4ln|(x− 1) (x+ 1)|

x2 + 1+C, com C ∈ R

5. − 1

(x− 2)2− 1

x− 2 +C, com C ∈ R.


2.3 Métodos de primitivação (por partes e por subs-tituição)

1. (a)x2

2ln (x+ 3)− 1

2

(x2

2− 3x+ 9 ln (x+ 3)

)+C

=1

2

[(x2 − 9

)ln (x+ 3)− x

2

2+ 3x

]+C, com C ∈ R

(b) −x2 cos (x) + 2x sin (x) + 2 cos (x) +C

=(2− x2

)cos (x) + 2x sin (x) +C, com C ∈ R

(c) 3(x2 + 6x− 2) exp(x3

)− 9 (2x+ 6) exp

(x3

)+ 54 exp

(x3

)+C

=(3x2 − 6

)exp

(x3

)+C, com C ∈ R

(d) x arctan(x2

)− ln

∣∣4 + x2∣∣+C

= x arctan(x2

)− ln

(4 + x2

)+C, com C ∈ R

(e)x2

2exp(x2)− 1

2exp(x2)+C =

1

2

(x2 − 1

)exp(x2)+C, com C ∈ R

(f) x arcsin (2x) +1

2

√1− 4x2 +C, com C ∈ R

(g)∫[exp(x) sin (2x)] dx = (...)

= exp(x) sin (2x)− 2 exp(x) cos(2x)− 4∫[exp(x) sin (2x)] dx

logo∫[exp(x) sin (2x)] dx

=1

5[exp(x) sin (2x)− 2 exp(x) cos(2x)] +C

=1

5exp (x) [sin (2x)− 2 cos(2x)] +C, com C ∈ R


(h)∫ [

sin(x2

)cos (3x)

]dx = (...) = −2 cos

(x2

)cos (3x)

−12 sin(x2

)sin (3x) + 36

∫ [sin(x2

)cos (3x)

]dx

∫ [sin(x2

)cos (3x)

]dx =

−2−35 cos

(x2

)cos (3x)

− 12

−35 sin(x2

)sin (3x) +C

=2

35

[cos(x2

)cos (3x) + 6 sin

(x2

)sin (3x)

]+C, com C ∈ R

(i) x tanx+ ln |cosx|+C, com C ∈ R

(j) 2(x+ 3) exp(x2

)− 4 exp

(x2

)+C = (2x+ 2) exp

(x2

)+C,

com C ∈ R

(k)1

3(2x2 + 1) exp (3x)− 4

9x exp (3x) +

4

9

1

3exp (3x) +C

=

(2x2 + 1

3− 49x+

4

27

)exp (3x) +C, com C ∈ R

(l)x

2exp(2x)− 1

2

1

2exp(2x)+C =

(x

2− 14

)exp(2x)+C, com C ∈ R

(m) x arcsin(1

3x

)+ 3

√

1− x2

9+C

= x arcsin

(1

3x

)+√9− x2 +C, com C ∈ R

(n)x+ 2

15sin (5x) +

1

75cos (5x) +C, com C ∈ R

(o) x arctan(3x)− 16ln∣∣1 + 9x2

∣∣+C

= x arctan(3x)− 16ln(1 + 9x2

)+C, com C ∈ R


(p)∫[exp (2x) sin (3x)] dx = (...)

=1

2

[sin (3x)− 3

2cos (3x)

]exp (2x)− 9

4

∫[exp (2x) sin(3x)] dx

∫[exp (2x) sin(3x)] dx =

1

213

4

[sin (3x)− 3

2cos (3x)

]exp (2x) +C

=1

13[2 sin (3x)− 3 cos (3x)] exp (2x) +C,com C ∈ R

(q)1− 2x2

cos (2x) +1

2sin(2x) +C, com C ∈ R

(r)x4

4exp

(x4)− 14exp

(x4)+C

=1

4

(x4 − 1

)exp

(x4)+C, com C ∈ R

(s) −x cot (x) + ln |sinx|+C, com C ∈ R

(t)∫[sin (2x) cos (3x)] dx = (...) = −1

2cos(2x) cos (3x)

−34sin(2x) sin (3x) +

9

4

∫[sin(2x) cos (3x)] dx

∫[sin(2x) cos (3x)] dx

= −45

[−12cos(2x) cos (3x)− 3

4sin(2x) sin (3x)

]+C

=2

5cos(2x) cos (3x) +

3

5sin(2x) sin (3x) +C, com C ∈ R.

(u) x ln(x+

√1 + x2

)−√1 + x2 +C, com C ∈ R


(v)∫[exp (3x) (sin (2x)− cos (2x))] dx = (...)

=1

9exp (3x) [sin (2x)− 5 cos (2x)]

−49

∫[exp (3x) (sin(2x)− cos(2x))] dx

∫[exp (3x) (sin(2x)− cos(2x))] dx =

1

913

9

exp (3x) sin (2x)

− exp (3x) 5 cos (2x) +C

=1

13[exp (3x) (sin (2x)− 5 cos (2x))] +C, com C ∈ R

(w)(x2

2+ 1

)arctan2 (x)−x arctan (x)+1

2ln∣∣1 + x2

∣∣− arctan2 x

2+C

=1

2

(x2 + 1

)arctan2 (x)− x arctan (x) + 1

2ln∣∣1 + x2

∣∣+C,

com C ∈ R

2.∫a(x)dx = x ln (x)− x+C = x [ln (x)− 1] +C, com C ∈ R

∫f(x)dx =

x2

2ln (x)− 1

2

x2

2+C =

x2

2

[ln (x)− 1

2

]+C, com C ∈ R

∫g(x)dx = 2

√x ln (x)−2x

1/2

1/2+C = 2

√x [ln (x)− 2]+C, com C ∈ R

∫h(x)dx = −1

x

[ln2 (x) + 2 ln (x) + 2

]+C, com C ∈ R

∫j(x)dx = (...) = x cos lnx+ x sin lnx−

∫cos lnx dx

(...)∫cos lnx dx =

1

2[x cos lnx+ x sin lnx] +C

=x

2[cos lnx+ sin lnx] +C, com C ∈ R


∫k(x)dx = ln (x) ln lnx− ln (x) +C = ln (x) [ln lnx− 1] +C,

com C ∈ R∫l(x)dx = x cos2 lnx− 2x

2[cos lnx+ sin lnx] +C

= x[cos2 lnx− cos lnx− sin lnx

]+C, com C ∈ R

3. (a) f(x) = x2 + 12x√x+ 54x+ 108

√x+ 81

∫f(x)dx =

x3

3+ 12

x5/2

5/2+ 54

x2

2+ 108

x3/2

3/2+ 81x+C

=x3

3+24x2

√x

5+ 27x2 + 72x

√x+ 81x+C, com C ∈ R

(b)∫f(x)dx = 2

(t6

6+ 12

t5

5+ 54

t4

4+ 108

t3

3+ 81

t2

2

)+C

=t6

3+24t5

5+ 27t4 + 72t3 + 81t2 +C

=x3

3+24x2

√x

5+ 27x2 + 72x

√x+ 81x+C,, com C ∈ R

4. (a) 3(t5

5− t

4

4+t3

3− t

2

2+ t− ln |t+ 1|

)+C

= 3

(3√x5

5−

3√x4

4+x

3−

3√x2

2+ 3√x− ln | 3√x+ 1|

)

+C

=3

5x

3√x2 − 3

4x 3√x+ x− 3

23√x2 + 3 3

√x

−3 ln | 3√x+ 1|+C, com C ∈ R


(b) −12(ln |t+ 2| − ln |t|) +C = −1

2ln

∣∣∣∣t+ 2

t

∣∣∣∣+C

= −12ln

∣∣∣∣exp (x) + 2

expx

∣∣∣∣+C = −1

2ln

(1 +

2

expx

)+C

= −12ln

(1 +

2

expx

)+C, com C ∈ R

Note que esta primitiva pode ser resolvida como quase-imediata.

(c) 2 (t− ln |t+ 1|) +C = 2(√x+ 1− ln

∣∣√x+ 1 + 1∣∣)+C

= 2[√x+ 1− ln

(√x+ 1+ 1

)], com C ∈ R

(d) 3∫ [

t2 · cos t]dt = (...) (por partes)

= 3t2 sin (t) + 6t cos (t)− 6 sin (t) +C

= 33√x2 sin ( 3

√x) + 6 3

√x cos ( 3

√x)− 6 sin ( 3√x) +C, com C ∈ R

(e) Visto o m.m.c. (6, 4) = 12, consideramos a mudança de variávelx = t12.

∫6√x+ 1

6√x7 +

4√x5dx = 12

∫ (A

t3+B

t2+C

t+

D

1 + t

)dt = (...)

(f) 2 [t− arctan t] +C = 2 (√x− arctan√x) +C, com C ∈ R

(g) 4(t4

4+t3

3+t2

2+ t+ ln |t− 1|

)+C

= t4 +4

3t3 + 2t2 + 4t+ 4 ln |t− 1|+C

= x+4

34√x3 + 2

√x+ 4 4

√x+ 4 ln | 4√x− 1|+C, com C ∈ R


(h)1

4

(t3

3+ 10t+ 37

t−1

−1

)+K =

1

4

(t3

3+ 10t− 37

t

)+C

=1

4

[(2x− 5)

√2x− 5

3+ 10

√2x− 5− 37√

2x− 5

]+C

=1

4

(2x+ 25

3

√2x− 5− 37√

2x− 5

)+C, com C ∈ R

(i) Visto o m.m.c. (2, 3) = 6, consideramos a mudança de variávelx = t6.

∫ √x

1 + 3√xdx = 6

(t7

7− t

5

5+t3

3− t+ arctan t

)+C

= 6

(6√x7

7−

6√x5

5+

√x

3− 6√x+ arctan 6

√x

)

+C

=6

7x 6√x− 6

56√x5+2

√x− 6 6

√x+6arctan ( 6


(j) m.v. lnx = t seguida de m.v.√1 + t = z

∫lnx

x√1 + lnx

dx = 2

(z3

3− z)+C =

2

3

√(1 + t)3−2

√1 + t+C

=2

3

√(1 + lnx)3 − 2

√1 + lnx+C

=2

3(1 + lnx)

√1 + lnx− 2

√1 + lnx+C

=

[2

3(1 + lnx)− 2

]√1 + lnx+C

=

(2

3ln (x)− 4

3

)√1 + lnx+C, com C ∈ R


(k) Embora a mudança de variável 2 + 3x2 = t2 permita resolvera primitiva, é mais conveniente efectuar primitivação por partesconsiderando x3

(2 + 3x2

)−3/2

= x2 ·[x ·(2 + 3x2

)−3/2

]

∫ [x3(2 + 3x2

)−3/2

]dx = − x2

3√2 + 3x2

+2

3

1

6

(2 + 3x2

)1/2

1/2+C

= − x2

3√2 + 3x2

+2

9

√2 + 3x2 +C, com C ∈ R

(l) Visto o m.m.c. (2, 5) = 10, consideramos a mudança de variável3x+ 1 = t10

∫ √3x+ 1

1 + 5√3x+ 1

dx

=10

3

(t13

13− t

11

11+t9

9− t

7

7+t5

5− t

3

3+ t− arctan t

)+C

=10

39t13− 10

33t11+

10

27t9− 10

21t7+

2

3t5− 10

9t3+

10

3t− 10

3arctan t+C

=10

3910

√(3x+ 1)13 − 10

3310

√(3x+ 1)11 +

10

2710

√(3x+ 1)9

−1021

10

√(3x+ 1)7 +

2

3

√3x+ 1− 10

910

√(3x+ 1)3 +

10

310√3x+ 1

−103arctan

(10√3x+ 1

)+C

=10

39(3x+ 1) 10

√(3x+ 1)3 − 10

33(3x+ 1) 10

√3x+ 1

+10

2710

√(3x+ 1)9 − 10

2110

√(3x+ 1)7 +

2

3

√3x+ 1

−109

10

√(3x+ 1)3 +

10

310√3x+ 1

−103arctan

(10√3x+ 1

)+C, com C ∈ R


(m) 3(t5

5+t2

2

)+K = 3

3

√(x− 1)5

5+

3

√(x− 1)2

2

+C

=3

5(x− 1) 3

√(x− 1)2 + 3

23

√(x− 1)2 +C

= 3

(x− 15

+1

2

)3

√(x− 1)2 +C = 32x+ 3

103

√(x− 1)2 +C

5. (a)1

4

sin3 t

3+K =

1

12sin3 t+C =

1

12

√(x2 − 4)3

x3+C, com C ∈ R

(b) − 1

sin t+ ln |sec (t) + tan t|+C = − 1

sin t+ ln |sec t+ x|+C

= −√1 + x2

x+ ln

∣∣∣√1 + x2 + x

∣∣∣+C, com C ∈ R

(c) ln |sec (t) + tan t|+K = ln

∣∣∣∣∣∣

√4 + (x− 5)2

2+x− 52

∣∣∣∣∣∣+C

= ln

∣∣∣∣x− 5 +√4 + (x− 5)2

∣∣∣∣

2+C, com C ∈ R

6. (a)∫f(x)dx = (...) =

√1 + x2 arctan (x)−

∫1√1 + x2

dx

mas o cálculo desta última primitiva exige uma mudança de va-riável (m.v.) por substituição trigonométrica:

∫1√1 + x2

dx = (...) = ln |sec (t) + tan t|+C

= ln∣∣∣√1 + x2 + x

∣∣∣+C, com C ∈ R


(b)∫f(x)dx = (...) = −1

xarcsin (x) +

∫1

x√1− x2

dx

Efectuamos a mudança de variável dada por√1− x2 = t, (...)

∫1

x√1− x2

dx = (...) = −12[− ln |1− t|+ ln |1 + t|] +C

=1

2[ln |1− t| − ln |1 + t|] +C = 1

2ln

∣∣∣∣1− t1 + t

∣∣∣∣+C

=1

2ln

∣∣∣∣∣1−

√1− x2

1 +√1− x2

∣∣∣∣∣+C

(c) 4∫ [

t2

(t2 + 1)2

]dt = 4

∫ [t · t

(t2 + 1

)−2]dt = (...)

(por partes) =−2tt2 + 1

+ 2arctan (t) +C

=

−2√x− 1x+ 1

x− 1x+ 1

+ 1+ 2arctan

(√x− 1x+ 1

)+C

= −2√x− 1 (x+ 1)2x√x+ 1

+ 2arctan

(√x− 1x+ 1

)+C

= −√x− 1

√x+ 1

x+ 2arctan

(√x− 1x+ 1

)+C, com C ∈ R

primitivas mÉtodosdeprimitivaÇÃo · rosÁriolaureano 2 1 primitivas(ouantiderivadas) 1.1...

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