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5 Integrais

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5.4 Integrais Indefinidas e o

Teorema da Variao Total

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Integrais Indefinidas e o

Teorema da Variao Total

Nesta seo, vamos introduzir uma notao para

primitivas, rever as frmulas para as primitivas e ento

us-las para calcular integrais definidas.

Tambm reformularemos o TFC2, para torn-lo mais

facilmente aplicvel a problemas da cincia e engenharia.

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Integrais Indefinidas

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Integrais Indefinidas

Ambas as partes do Teorema Fundamental estabelecem

conexes entre as primitivas e as integrais definidas. A

Parte 1 diz que f contnua, ento dt uma primitiva

de f. A Parte 2 diz que pode ser encontrado

calculando-se F(b) F(a), onde F uma primitiva de f.

Precisamos de uma notao conveniente para primitivas

que torne fcil trabalhar com elas. Em virtude da relao

dada pelo Teorema Fundamental entre primitivas e

integrais, a notao tradicionalmente usada para

a primitiva de f e chamada integral indefinida.

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Integrais Indefinidas

Logo,

Por exemplo, podemos escrever

Portanto, podemos olhar uma integral indefinida como

representando toda uma famlia de funes (uma primitiva

para cada valor da constante C).

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Integrais Indefinidas

Voc deve fazer uma distino cuidadosa entre integral

definida e indefinida. Uma integral definida um

nmero, enquanto uma integral indefinida uma

funo (ou uma famlia de funes). A conexo entre elas

dada pela Parte 2 do Teorema Fundamental: se f

contnua em [a, b], ento

A eficincia do Teorema Fundamental depende de termos

um suprimento de primitivas de funes.

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Integrais Indefinidas

Cada frmula pode ser verificada derivando-se a funo do

lado direito e obtendo-se o integrando. Por exemplo,

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Integrais Indefinidas

A primitiva mais geral sobre um dado intervalo obtida

adicionando-se uma constante a uma dada primitiva.

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Integrais Indefinidas

Adotamos a conveno de que quando uma frmula

para uma integral indefinida geral dada, ela vlida

somente em um intervalo. Assim, escrevemos

subentendendo que isso vlido no intervalo (0, ) ou no

intervalo ( 0). Isso verdadeiro apesar do fato de que

a primitiva geral da funo f (x) = 1/x2, x 0,

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Exemplo 2

Calcule .

SOLUO: Essa integral indefinida no imediatamente

reconhecvel na Tabela 1, logo, usamos identidades

trigonomtricas para reescrever a funo antes de

integr-la:

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Exemplo 5

Calcule

SOLUO: Precisamos primeiro escrever o integrando em

uma forma mais simples, efetuando a diviso:

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Exemplo 5 Soluo

continuao

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Aplicaes

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Aplicaes

A Parte 2 do Teorema Fundamental diz que se f for

contnua em [a, b], ento

onde F qualquer primitiva de f. Isso significa que F = f,

de modo que a equao pode ser reescrita como

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Aplicaes

Sabemos que F (x) representa a taxa de variao de

y = F (x) em relao x e F (b) F (a) a variao em y quando x muda de a para b. [Observe que y pode, por

exemplo, decrescer e, ento, crescer novamente. Embora y

possa variar nas duas direes, F (b) F (a) representa a variao lquida em y.] Logo, podemos reformular FTC2 em

palavras da forma a seguir.

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Aplicaes

Esse princpio pode ser aplicado para todas as taxas de

variao nas cincias naturais e sociais. Aqui esto alguns

exemplos dessa ideia:

Se V (t) for o volume de gua em um reservatrio no instante t, ento sua derivada V (t) a taxa segundo a

qual a gua flui para dentro do reservatrio no instante t.

Logo,

a variao na quantidade de gua no reservatrio

entre os instantes de tempo t1 e t2.

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Aplicaes

Se [C](t) for a concentrao do produto de uma reao qumica no instante t, ento a taxa de reao a

derivada d [C]/dt. Logo,

a variao na concentrao de C entre os instantes

t1 e t2.

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Aplicaes

Se a massa de uma barra medida a partir da extremidade esquerda at um ponto x for m (x), ento a densidade linear

(x) = m (x). Logo

a massa do segmento da barra que est entre x = a

e x = b.

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Aplicaes

Se a taxa de crescimento populacional for dn/dt, ento

a alterao total da populao no perodo de tempo

de t1 a t2. (A populao cresce quando ocorrem

nascimentos e decresce quando ocorrem bitos. A

variao total leva em conta tanto nascimentos quanto

mortes.)

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Aplicaes

Se C (x) o custo de produzir x unidades de uma mercadoria, ento o custo marginal a derivada de C (x).

Logo,

o crescimento do custo quando a produo est

aumentando de x1 a x2 unidades.

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Aplicaes

Se um objeto se move ao longo de uma reta com a funo de posio s (t),ento sua velocidade v (t) = s (t),

logo

a mudana de posio, ou deslocamento, da partcula

durante o perodo de tempo de t1 a t2. Isso era verdadeiro

para o caso onde o objeto move-se no sentido positivo,

mas agora demonstramos que sempre verdade.

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Aplicaes

Se quisermos calcular a distncia percorrida durante o

intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos

quando v (t) 0 (a partcula move-se para a direita) e

tambm os intervalos quando v (t) 0 (a partcula move-se

para a esquerda). Em ambos os casos a distncia

calculada integrando-se | v (t) |, a velocidade escalar.

Portanto,

distncia total percorrida.

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Aplicaes

A Figura 3 mostra como o deslocamento e a distncia

percorrida podem ser interpretados em termos de reas

sob uma curva velocidade.

Figura 3

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Aplicaes

A acelerao do objeto a (t) = v (t), logo

a mudana na velocidade do instante t1 at t2.

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Exemplo 6

Uma partcula move-se ao longo de uma reta de tal forma

que sua velocidade no instante t v (t) = t2 t 6 (medida em metros por segundo).

(a) Encontre o deslocamento da partcula durante o

perodo de tempo 1 t 4.

(b) Encontre a distncia percorrida durante esse perodo

de tempo.

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Exemplo 6 Soluo

(a) Pela Equao 2, o deslocamento

Isso significa que a partcula moveu-se 4,5 m para a

esquerda.

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Exemplo 6 Soluo

(b) Observe que v (t) = t2 t 6 = (t 3)(t + 2), logo, v (t) 0 no intervalo [1, 3] e v (t) 0 em [3, 4]. Assim, da Equao 3,

a distncia percorrida

continuao