CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA 08INTEGRAIS
INDEFINIDASIMEDIATAS
AULA 08INTEGRAIS
INDEFINIDASIMEDIATAS
DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS
DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS
DO PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO: DERIVADA ligada ao problema de traçar a reta tangente a
uma curva em ponto (x,y). INTEGRAL relacionada com o problema de determinar a
área ( e volume) de certas figuras.
DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS
INTEGRAL Operação inversa da DERIVADA
)x(f )x(f Derivação
integração
DERIVADAS E INTEGRAISDERIVADAS E INTEGRAIS
EXEMPLOS:
)t(s )t(vDerivação
integração
)t(v )t(aDerivação
integração
)t(q )t(iDerivação
integração
ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL
ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL
ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL
A IDÉIA BÁSICA embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.)• Consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de
áreas e volumes conhecidos. • EXEMPLO: Obter a área de uma figura plana irregular ou
obter o volume de um sólido com o formato de um barril.
ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL
nn
nciacircunferê AlimA
... ...
EXEMPLO: Calcular a área de uma circunferência:
ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL
O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação.
ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral. A área da região pode ser calculada sempre com o mesmo
tipo de aproximação por retângulos.
ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL
1
0
dx)x(fA 2
1
x
x
dx)x(fA
ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRALELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL
EM TERMOS PRÁTICOS a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada.
Teorema Fundamental do Cálculo
PRIMITIVASPRIMITIVAS
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
Em muitos problemas conhecemos a derivada de uma função e o objetivo é encontrar a própria função PRIMITIVA!
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
EXEMPLOS: Se a taxa de crescimento de uma determinada população é
conhecida pode-se saber qual o tamanho da população em algum instante futuro.
Conhecendo-se a velocidade de um corpo em movimento pode-se calcular a sua posição em um momento qualquer.
Conhecendo-se o índice de inflação pode-se estimar os preços.
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida.
Uma função F é chamada uma antiderivada ou primitiva de sobre um intervalo I se, para todo x em I,
)x(f)x(F
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
EXEMPLOS:
253
3
xx
F(x)
52 xf(x)
é uma primitiva de
7)cos()2ln( xxF(x)
)(1
xsenx
f(x)
é uma primitiva de
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
)(2 xseneF(x) x
)cos(2 2 xef(x) x
)3cos()2( 2 xxF(x)
)x(senxf(x) 3342
é uma primitiva de é uma primitiva de
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
OBSERVAÇÃO: A primitiva não é única.
onde c é uma constante qualquer.
532 xxF(x) 232 xxF(x)
cxxF(x) 32
32 xf(x)
Na verdade, ela possui uma família de primitivas:
Analisemos a função:
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
PROPRIEDADE: • Se F é uma primitiva de uma função contínua , então a
primitiva mais geral de em um intervalo I é dada por:
cxFG(x) )(
onde c é uma constante qualquer.
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
Se é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por:
cxFdxxf )()(
F(x) primitiva de (x); c uma constante constante de integração; Símbolo ∫ sinal de integração; (x) o integrando; dx diferencial de x símbolo indicando que a primitiva deve ser
calculada em relação à variável x.
INTEGRAIS INDEFINIDASINTEGRAIS INDEFINIDAS
DICA Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente
determine a derivada da solução. Se essa derivada for igual a (x) a primitiva está
correta; Se for diferente existe algum erro nos cálculos.
PRIMEIRAS REGRAS DE INTEGRAÇÃOPRIMEIRAS REGRAS DE INTEGRAÇÃO
INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS
FUNÇÃO INTEGRANDO FAMÍLIA DE PRIMITIVAS
INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS
ckxdxk kkxf )(
cn
xdxx
nn
1
1
1)( nxxf n
cxcgxf )()( dxxgcdxxcg )()(
)()()( xhxgxf
dxxhdxxg
dxxhxg
)()(
)()(
INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS
FUNÇÃO INTEGRANDO FAMÍLIA DE PRIMITIVAS
)()( xsenxf cxdxxsen )cos()(
)cos()( xxf cxsendxx )()cos(
xexf )( cedxe xx 0
1)( xx
xf cxdxx )ln()ln(
INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS
OBSERVAÇÃO: Não existe regra do produto e do quociente de duas
funções para a integral. Integrais de produtos e quocientes de funções geralmente
são resolvidos por “Integrais por Substituição” ou por “Integrais por Partes”.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS
EXERCÍCIO (1): Calcule as integrais abaixo:
dx)x(x)h(dxtgx
senx)g(
dxx
x)f(dt
ttt)e(
dxxcosx)d(dxx)c(
dxx
)b(dxx)a(
2
1168
25
1
3
2
2
33
33 2
38
INTEGRAIS IMEDIATASINTEGRAIS IMEDIATAS
EXERCÍCIO (2): Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?
REFERÊNCIA (1)REFERÊNCIA (1)
CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA
CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA
SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.
SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.
REFERÊNCIA (2)REFERÊNCIA (2)
CÁLCULOCÁLCULO
STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1
STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1
JENAI OLIVEIRA CAZETTAJENAI OLIVEIRA CAZETTA