história da matemática - o nascimento do cálculo

8/14/2019 Histria da Matemtica - O Nascimento do Clculo

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O Nascimento do Clculo

Um pouco sobre a histria do Clculo

As contribuies dos matemticos para o nascimento do Clculo so inmeras.Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou no rigorosa, j utilizavam conceitosdo Clculo para resolver vrios problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat eKepler. Nesse tempo ainda no havia uma sistematizao, no sentido de umaconstruo logicamente estruturada.

A unio das partes conhecidas e utilizadas at ento, aliada aodesenvolvimento e aperfeioamento das tcnicas, aconteceu com Newton e Leibnizque deram origem aos fundamentos mais importantes do Clculo: as Derivadas e asIntegrais.

O Clculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada s derivadas ou

Clculo Diferencial e outra parte relacionada s integrais, ou Clculo Integral.As origens de alguns dos principais conceitos matemticos aqueles que lidam

com nmeros, grandezas e formas remontam s mais antigas civilizaes.As tentativas feitas por egpcios, babilnios e gregos de resolver problemas

prticos (Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo emvista a rea alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume de um silode forma cnica? Como dobrar o volume do pedestal da esttua em homenagem aodeus Apolo?) levou-os resoluo de algumas equaes, ao clculo de reas evolumes de figuras simples como retngulos, trapzios, cones, cilindros e aodesenvolvimento de um sistema de numerao.

O Clculo uma expresso simplificada, adotada pelos matemticos quandoestes se referem ferramenta matemtica usada para analisar, qualitativamente ouquantitativamente, variaes que ocorrem em fenmenos que abrigam uma ou maiscomponentes de natureza essencialmente fsica. Quando do seu surgimento, no sculoXVII, o clculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemascientficos.1- Determinao da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta.2- Determinao do comprimento de uma curva, da rea de uma regio e do volumede um slido.3- Determinao dos valores mximo e mnimo de uma quantidade por exemplo, asdistncias mxima e mnima de um corpo celeste a outro, ou qual ngulo de

lanamento proporciona alcance mximo a um projtil.4- Conhecendo uma frmula que descreva a distncia percorrida por um corpo, em umintervalo qualquer de tempo, determinar a velocidade e a acelerao.Embora egpcios e babilnios tivessem conseguido resolver muitos problemasmatemticos envolvendo inclusive equaes quadrticas e sistemas de equaes econhecessem muitos resultados de geometria inclusive o famoso Teorema dePitgoras, tanto egpcios quanto babilnios resolviam os problemas propostos.

Os resultados obtidos por egpcios e babilnios foram assimilados pelos gregosque tiveram o mrito de contribuir para o estabelecimento da matemtica da formacomo a entendemos hoje.

Foi na Grcia que surgiu o primeiro livro de Matemtica Os Elementos de

Euclides - que se constituiu na primeira tentativa de sistematizao dosconhecimentos adquiridos at ento e na construo de uma teoria matemtica baseadaem poucos postulados.


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matemtica emprica de babilnios e egpcios se contrape ento, matemtica dedutiva da escola grega.

Eram esses os problemas e era esse o estgio de desenvolvimento damatemtica desde a Grcia at os sculos XVI e comeo do sculo XVII.

As grandes navegaes do sculo XVI, o surgimento da indstria, os interessesdo grande comrcio que surgia na poca, exigiam conhecimentos novos,

principalmente os ligados aos movimentos dos corpos e particularmente aomovimento planetrio.Destes problemas ocuparam-se grandes cientistas do sculo XVII, porm o

clmax destes esforosa inveno (ou descoberta?) do Clculocoube a IsaacNewton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

Aps o estabelecimento dos fundamentos do Clculo, torna-se possvel anlise de problemas fsicos de real importncia, com preciso e rigor jamaisexperimentados. So estabelecidos os fundamentos da Mecnica dos Slidos e dosFluidos e tem incio o estudo das Equaes Diferenciais e Integrais.

O Clculo Integral: alguns fatos histricos

Os primeiros problemas que apareceram na Histria relacionados com asintegrais so os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentadospelos gregos foi o da medio de superfcies a fim de encontrar suas reas. Quando osantigos gemetras comearam a estudar as reas de figuras planas, eles asrelacionavam com a rea do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples.Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse rea igual da figura em

questo.A palavra quadratura um termo antigo que se tornou sinnimo do processo dedeterminar reas. Quadraturas que fascinavam os gemetras eram as de figurascurvilneas, como o crculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lnulas- regies que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas porHipcrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da Histria.Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do crculo atravs deuma seqncia infinita de polgonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depoisum octgono, em seguida um hexadecgono, e assim por diante. Havia, entretanto, umproblema: essa seqncia nunca poderia ser concluda. Apesar disso, essa foi umaidia genial que deu origem ao mtodo da exausto.

A questo mais importante, e que se constituiu numa das maiores contribuiesgregas para o Clculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema deArquimedes para a quadratura da parbola.

Arquimedes descobriu que a rea da regio limitada por uma parbola cortadapor uma corda qualquer, igual a 4/3 da rea do tringulo que tem a mesma altura eque tem a corda como base.

Outra contribuio de Arquimedes foi a utilizao do mtodo da exausto paraencontrar a rea do crculo, obtendo uma das primeiras aproximaes para o nmeropi.

O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o clculo de pi poraproximaes sucessivas foi o princpio fundamental da hidrosttica, a que ele chegara

pela mais simples observao da realidade.


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Outras contribuies para o Clculo

Outras contribuies para o nascimento do Clculo Integral foram as de Fermate Joham Bernoulli .

Aritmtica do Infinito Fermat desenvolveu uma tcnica para achar a rea sob

cada uma das, ento chamadas, parbolas maiores, que era conhecida por Fermat,Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.

O Clculo Integral era visto separadamente por Newton e Leibniz: Newton viao Clculo como geomtrico, enquanto Leibniz o via mais como analtico. Os trabalhosde Leibniz sobre o Clculo Integral foram publicados em 1684. O nome ClculoIntegral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmomais velho Jacques Bernoulli em 1690. O Clculo de Newton foi simplesmente vistocomo derivadas reversas. Na mesma poca da publicao das tabelas de integrais deNewton, Johann Bernoulli descobriu o chamado mtodo das fraes parciais.

As idias de Bernoulli foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobreintegrais Euler daria continuidade ao estudo de funes - ainda prematuro na

poca.Foi Euler, entretanto, quem criou os fundamentos da Anlise.Hoje em dia o Clculo Integral largamente utilizado em vrias reas do

conhecimento humano e aplicado para a soluo de problemas no s de Matemtica,mas de Fsica, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Qumica, por exemplo.

Clculo Infinitesimal

Natureza do Clculo Infinitesimal.Ocorrendo que uma varivel y seja funo de outra varivel x, se prope aestudar em dois momentos:

Inicialmente descobre-se uma representao analtica y = f( x ) expressandoessa dependncia, a seguir estuda-se as propriedades dessa funo .

Em oposio ao enfoque mais recente de Cauchy-Weierstrass e que substitui ouso dos infinitsimos por desigualdades tipo epsilon-delta, por ser mais natural eintuitivo, alem de corresponder muito melhor ao modo de pensar dos fsicos eengenheiros.

Com a divulgao dos escritos matemticos de Archimedes na Europaaplicando seus mtodos na determinao de reas, volumes e centros de gravidade,

retomado com enorme mpeto o estudo dos mtodos infinitesimais. De incio, apreocupao apenas a de continuar a tradio arquimediana.Mas logo o esprito renascentista se faz notar atravs de Galileu 1620 . Esse, ao

contrrio dos j citados, procurou ir alm dos gregos e no mais se limitar a estudar asgrandezas de natureza geomtrica da Astronomia, ptica e Esttica. Ele a primeiragrande inteligncia a estudar quantitativamente reas nunca abordadas pelos gregosclssicos: Cinemtica, Dinmica, Elasticidade, etc.

O enorme prestgio de Galileu possibilitou que todos vissem que os mtodosinfinitesimais eram os instrumentos adequados para o estudo dessas novas disciplinas,passados 100 anos surgiu Newton, esse j encontrou uma ampla base matemtica efsica para a composio do primeiro grande monumento celebrando o poder do

Clculo Infinitesimal.


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As geraes de matemticos que vieram aps Newton em grande maioriaseguiram seus passos, procurando novos resultados tanto nos aspectos tcnicos doClculo como em suas aplicaes a aspectos tericos da Mecnica.

H publicaes que diz que Newton e Leibniz inventaram o CI, certamenteno, pois quando Newton e Leibniz comearam a trabalhar j tinham sidoestabelecidos cerca de 1000 resultados de Clculo Infinitesimal.

Leibniz, em 1684, iniciou essencialmente o Clculo Diferencial. Contudo, aocontrrio do atual CD que baseado na noo de derivada, o CD de Leibniz erabaseado na noo de diferencial.

Newton foi o primeiro a usar sistematicamente o Teorema Fundamental doClculo Integral, descoberto por Barrow.

O primeiro livro-texto de Clculo Infinitesimal, foi publicado em 1696 peloMarqus de LHopital: Anlise dos Infinitamente Pequenos.

Origem do conceito de derivada de uma funo

O conceito de funo que hoje pode parecer simples o resultado de uma lentae longa evoluo histrica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, osmatemticos Babilnios utilizaram tabelas de quadrados e de razes quadradas ecbicas ou quando os Pitagricos tentaram relacionar a altura do som emitido porcordas submetidas mesma tenso com o seu comprimento. Nesta poca o conceito defuno no estava claramente definido.

S no sc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram ascoordenadas cartesianas, se tornou possvel transformar problemas geomtricos em

problemas algbricos e estudar analiticamente funes. A Matemtica recebe assimum grande impulso a partir de observaes ou experincias realizadas, a procurardeterminar a frmula ou funo que relaciona as variveis em estudo. Por outro lado, aintroduo de coordenadas, alm de facilitar o estudo de curvas j conhecidas permitiua criao de novas curvas, imagens geomtricas de funes definidas por relaesentre variveis. Fermat deu conta das limitaes do conceito clssico de reta tangentea uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num nico ponto, paradeterminar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre acurva; considerou a reta PQ secante curva, obtendo deste modo retas PQ que seaproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente curva no ponto P.Estas idias constituram o embrio do conceito de DERIVADA e levou Laplace a

considerar Fermat o verdadeiro inventor do Clculo Diferencial. Contudo, Fermatno dispunha de notao apropriada e o conceito de limite no estava ainda claramentedefinido. S no sculo XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e oconceito de derivada, a partir do sc. XVII, com Leibniz e Newton, o ClculoDiferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensvel pela suaaplicabilidade aos mais diversos campos da cincia.


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Aplicaes do Clculo

Administrao e Economia1)Anlise de mercado. Aps considervel estudo do mercado, uma firma de artigosesportivos decidiu sobre duas cidades possveis para abrir uma nova loja. Aadministrao estima que a cidade 1 dar um retorno de $20 milhes em caso desucesso e ocasionar uma perda de $4 milhes em caso contrrio. A cidade 2 dar umretorno de $50 milhes em caso de sucesso e ocasionar uma perda de $9 milhes emcaso contrrio. A probabilidade de sucesso da cidade 1 de 0,3; a da cidade 2 de 0,2.Em que cidade a companhia deve abrir a nova loja, levando em conta o retornoesperado de cada loja?

2)Conta de Aposentadoria Individual. Faz-se, cada ano, um depsito de $2.000 em

uma conta que rende 11% de juro composto anualmente. O saldo aps n anos dadopor

( ) ( ) .11,111000.2 = nnA

(a) Calcule os seis primeiros termos da seqncia.

(b) Ache o saldo ao cabo de 20 anos calculando o 20 termo da seqncia.

(c) Ache o saldo ao cabo de 40 anos calculando o 40 termo da seqncia.

3) Funo custo. O custo marginal da fabricao dex unidades de um produto temcomo modelo

xdx

dc04,032 = custo marginal

A produo de uma unidade custa $50. Ache o custo total da produo de 200Unidades.

Cincias Vitais1) Disseminao de uma Doena. Uma doena infecciosa se dissemina em umagrande populao de acordo com o modelo.

4

1, yy

=

Onde y a percentagem da populao exposta doena e t o tempo em anos.

(a) Resolva esta equao diferencial, supondo y (0) =0.

(b) Ache o nmero de anos necessrio para que metade da populao fique exposta doena.(c) Ache a percentagem da populao exposta doena ao cabo de 4 anos.


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2)Modelo para o pesode um corpo.O peso de um macaco rhesus adulto do sexomasculino tem distribuio normal com mdia de 15 libras e desvio padro de 3 libras.Em uma populao tpica de macacos rhesus adulto do sexo masculino, quepercentagem de macacos deve ter peso a menos de um devido padro da mdia?

3)Mortalidade Infantil. Paraestudar o nmero de mortos infantis por 1.000 nativosnos Estados Unidos, um pesquisador mdico obteve os dados abaixo.(Fonte:department of Health and Human Services.)

ano 1950 1960 1970 1980 1988 1991 Mortes y 29,2 26,0 20,0 12,6 10,0 9,0

(a) Estabelea a reta de regresso de mnimos quadrados para os dados e aplique-apara estimar o nmero de mortes de crianas em 1998. Represente 1970 por t= 0.

(b) Estabelea a funo quadrtica de regresso de mnimos quadrados para os dados eestime, por meio dela, o nmero de mortes infantis em 1998.

Cincias Sociais e do Comportamento1) Crescimento Populacional. A taxa de variao da populao de uma cidade

proporcional populao p no instante arbitrrio t. Em 1993, a populao era de400.000 e a constante de proporcionalmente era 0,015. Estime a populao da cidadeno ano 2000.

2)Oferta de Emprego. Uma pessoa aceita um emprego em uma firma a um salriode $32.800 por ano, com a garantia de um aumento de 5% por ano durante os quatroprimeiros anos. Determine o salrio dessa pessoa durante o quarto ano de emprego.

3) Populao de uma cidade. A densidade populacional (em habitantes por milha

quadrada) de uma cidade admite o modelo.

( ),1

50000,

++

=

yxyxf

Onde x e y so dados em milhas. Estabelea uma aproximao para a populao dacidade. Qual a densidade populacional mdia da cidade?

4) Renda Pessoal. Em certo bairro de uma grande cidade, a distribuio de

probabilidade da varivel aleatria x, renda anual de uma famlia em milhares dedlares, dada pela tabela seguinte.

x 30 40 50 60 80


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P (x) 0,10 0,20 0,50 0,15 0,05

Calcule E(x) e .

Clculo EstequiomtricoNas reaes qumicas, importante se prever a quantidade de produtos que podem serobtidos a partir de uma certa quantidade de reagentes consumidos.

Os clculos que possibilitam prever essa quantidade so chamados de clculosestequiomtri (A palavra estequiometria vem do grego stoicheia (partes maissimples) e metreim (medida)).

Essas quantidades podem ser expressas de diversas maneiras: massa, volume,quantidade de matria (mol), nmero de molculas.

Os clculos estequiomtricos baseiam-se nos coeficientes da equao. importantesaber que, numa equao balanceada, os coeficientes nos do a proporo em mols dosparticipantes da reao.

Nos meados do sculo XVIII, cientistas conseguiram expressar matematicamentecertas regularidades que ocorrem nas reaes qumicas, baseando-se em leis decombinaes qumicas que foram divididas em ponderais (que se relacionam smassas dos participantes da reao) e volumtricas (explicam a relao entre osvolumes das substncias gasosas que participam de um processo qumico).

Cincias Fsicas1) Custo de construo. Deve-se construir uma cerca para envolver um terrenoretangular de 4.800 ps quadrados. O material para trs lados da cerca custa $3 por p,e o material para o quarto lado custa $4 por p.

(a) Ache as dimenses mais econmicas da regio.

(b) Como se modificaria o resultado da parte (a) se o custo do material para todos oslados aumentasse de $1 por p?

2) Velocidade e Acelerao. A tabela d a velocidade v (em ps por segunda) decarro em acelerao durante um intervalo de 20 segundos. Aplique a regra do Trapziopara obter uma aproximao da distncia, em ps, que o carro percorre durante 20

segundos.(A distancia dada por dtvs =20

0).

Tempo, t 0 5 10 15 20

Velocidade, v 0,0 29,3 51,3 66,0 73,3


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Geral1) Despesas com Universidade. Em 1993, o custo total para freqentar aUniversidade do Notre Dame por 1 ano era da ordem de $19.937.Se seus avstivessem investido continuamente em um fundo universitrio segundo o modelo

F(t) = 250t

Por 18 anos, uma taxa anual de juros de 10%, o montante atingindo seria suficientepara custear 4 anos naquela universidade?

2) Despesa do Governo. Um programa de governo, que normalmente custa aoscontribuintes $1,3 bilhes por ano, deve sofrer um corte de 15% ao ano.

(a) D a expresso da importncia que deve ser consignada no oramento para este

programa aps n anos.

(b) Calcule o valor da rubrica oramentria para os quatro primeiros anos.

(c) Determine a convergncia ou a divergncia das sucessivas consignaesoramentais. Se a seqncia converge, ache o limite.

3) Modelo do Preo Mdio de uma Casa. A tabela abaixo d o preo mdio y (emmilhares de dlares) de uma casa nova para famlia nos Estados Unidos, de 1965 a1991. Determine a regresso quadrtica de mnimos quadrados para este conjunto de

dados e use o resultado para predizer o preo mdio de uma casa para famliaamericana em 1998.(Fonte: U.S Bureau of Census).

Ano 1965 1970 1975 1980 1985 1988 1990 1991y 21,5 26,6 42,6 76,4 100,8 138,3 149,8 147,2

Clculo de reas da antiguidade at o sculo XVII

J era bem conhecido dos egpcios ( 2000 A.C. ) as frmulas para se calcularas reas de tringulos, retngulos, trapzios e at mesmo a rea aproximada do crculo,onde o valor de era substitudo por 3.1/6, uma aproximao notvel para a poca.Figuras mais complexas eram decompostas em tringulos ou retngulos e sua reacalculada como a soma das reas das regies resultantes desta decomposio. Porexemplo, conhecendo-se somente a frmula para reas de tringulos, como erapossvel calcular a rea da figura:


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At o sculo XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos do ClculoDiferencial e Integral como uma teoria matemtica digna de crdito, no se conhecianenhuma frmula ou mtodo geral que se pudessem aplicar para resolver o problemade calcular reas de regies limitadas por curvas quaisquer. Por exemplo, comocalcular a rea da regio limitada por uma parbola e duas retas?

A velocidade instantnea contribuiu muito para o desenvolvimento do Clculoeste fato motivou a necessidade de saber defini-la e determin-la uma equao que seprocurava resolver tais problemas, como por exemplo:

O grfico abaixo nos fornece para cada instante de tempo t, dado emsegundos, o espao s percorrido:

A reta tangente a uma curva tem um importante significado fsico no estudo do

movimento de corpos. Este fato motivou a necessidade de saber defini-la e determin-la. Desde que se saiba um pouco de geometria analtica, o que j era bem conhecidono sculo XVII. Como a reta que intercepta a circunferncia em um nico ponto que chamado ponto de tangncia.


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A circunferncia no a nica curva para a qual a reta tangente pode serdefinida dessa maneira. A mesma definio pode ser usada, por exemplo, no caso deelipses.

Pode ser tambm usada na determinao de pontos Mximos e Mnimos


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Comprimento de Arco foi uma grande contribuio para a histria do clculo,embora, desde a antiguidade, j fosse conhecido a medida do comprimento de um arcode circunferncia, por muito tempo pensou-se que o problema de se retificar certascurvas, isto de construir um segmento de reta de mesmo comprimento de uma dadacurva, tal como um arco de parbola, era impossvel de ser resolvido para curvasalgbricas. Foi por volta de 1650, usando tcnicas do Clculo Infinitesimal que

William Neil resolveu pela primeira vez o problema de calcular o comprimento de umarco da parbola semicbica 32 xy = . William Neil tinha na poca vinte anos e dele,aparentemente, nunca mais se ouviu falar. Novamente, um clculo aproximado paraeste problema pode ser feito tomando-se subdivises do arco da curva e ligando-os porsegmentos de reta. Calcular o comprimento do arco da parbola 2xy = , para xintervalo [0,5].


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Biografias

Isaac Newton (1642-1727)

Isaac Newton nasceu prematuramente no dia de Natal de 1642, no mesmo ano emque faleceu Galileu. O pai tinha morrido pouco antes do seu nascimento e a mevoltou a casar-se quando ele tinha trs anos. Foi educado pela av e freqentou aescola em Woolsthorpe. A Inglaterra vivia um perodo poltico e intelectualmente

tempestuoso. A guerra civil comeara alguns meses antes. A revoluo cientfica, quecomeara com a. publicao da ilustre obra de Coprnico De revolutionibus orbiumcelestium, em 1543, havia sido bastante desenvolvida pelas obras de outrosastrnomos como Kepler e Galileu. Quando completou quatorze anos a me, vivapela segunda vez, regressa a Woolsthorpe com os trs filhos do segundo casamento.Enquanto freqenta a Grantham Grammar School Newton encarregue de a ajudar nagesto dos negcios da famlia, o que no lhe agrada. Por isso divide o seu tempoentre os livros e a construo de engenhosos entretenimentos como, por exemplo, ummoinho de vento em miniatura ou, um relgio de gua. Um tio materno ao aperceber-se do seu talento extraordinrio convenceu a me de Newton a matricul-lo emCambridge. Enquanto se preparava para ingressar em Cambridge, Newton instalou-sena casa do farmacutico da vila. A conheceu a menina Storey por quem se apaixonoue de quem ficou noivo antes de deixar Woolsthorpe para ingressar no Trinity Collegeem Junho de 1661. Tinha ento dezenove anos. Apesar de ter muito afeto por esteprimeiro e nico amor da sua vida, a absoro crescente com o trabalho levou-o arelegar a sua vida afetiva para segundo plano. Na verdade, Newton nunca se casou.Vrios fatores influenciaram o desenvolvimento intelectual e a direo das pesquisasde Newton, em especial as idias que encontraram nos seus primeiros anos de estudo,os problemas que descobriu atravs da leitura e o contacto com outros quetrabalhavam no mesmo campo. No incio do seu primeiro ano estudou um exemplardos Elementos de Euclides (sc. IV-III A.C.), a Clavis de Oughtred (1574-1660), a

Geometria de Descartes (1596-1650), a ptica de Kepler (1571-1630), as obras deVite (1540-1603) e tambm Arithmetica infinitorum de Wallis. Depois de 1663,assistiu a aulas dadas por Barrow e conheceu obras de Galileu (1564-1642), Fermat(1601-1665), Huygens (1629-1695) e outros.


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Quer isto dizer que, em grande parte, Newton foi um autodidata. Nos finais de1664, tendo atingido as fronteiras do conhecimento matemtico estava pronto pararealizar as suas prprias contribuies. Nos primeiros meses de 1665 exprimiu funesem termos de sries infinitas. De igual modo comeou a pensar na taxa de variao e,ligando estes dois problemas, considerou-os como o meu mtodo.

Durante 1665/1666, aps ter obtido o seu grau de Bacharel, o Trinity College foi

encerrado devido peste. Este foi para Newton o perodo mais produtivo, pois nessesmeses, na sua casa de Lincolnshire, realizou quatro das suas principais descobertas:

1. O teorema binomial2. O clculo3. A lei da gravitao4. A natureza das coresEsse ano foi considerado extremamente frutuoso para a histria das Cincias e, em

conseqncia, foi denominado por Annus mirabilis por muitos historiadores.

Newton no se concentrou apenas numa s rea de estudos. Os seus esforos e seugnio estavam voltados para muitos interesses. Para alm da a Matemtica e daFilosofia Natural, as suas duas grandes paixes foram a Teologia e a Alquimia.Homem de esprito cientfico nato, Newton props-se encontrar por meiosexperimentais a que que correspondiam exatamente as afirmaes dos alquimistas.Enquanto telogo, Newton acreditava, sem questionar, no criador todo poderoso doUniverso fazendo, contudo questo de entender por ele prprio o que a generalidadedos seus contemporneos acreditava sem discusso: o relato da criao. Nesse sentido,desenvolveu esforos para provar que as profecias de Daniel e que o Apocalipsefaziam sentido, e realizou pesquisas cronolgicas com o objetivo de harmonizarhistoricamente as datas do Antigo Testamento.

Quando regressou a Cambridge em 1667 Newton foi eleito Fellow do Trinity

College e, em 1669, com vinte seis anos, sucedeu a Barrow como Professor dematemtica por recomendao do prprio Barrow. As suas primeiras lies foram sobptica e nelas exps as suas prprias descobertas. J em 1668 tinha construdo com assuas prprias mos um telescpio de espelho muito eficaz e de pequeno tamanho.Utilizou-o para observar os satlites de Jpiter e, possivelmente, para comprovar auniversalidade da sua lei da gravitao universal.

Na sua eleio para a Royal Society em 1672 Newton comunica o seu trabalhosobre telescpios e a sua teoria corpuscular da luz, o que vai dar origem primeira demuitas controvrsias que acompanharam os seus trabalhos.

Os esforos de Newton no campo da matemtica e das cincias foram grandiosos,

mas a sua maior obra foi sobre a exposio do sistema do mundo, dada na sua obradenominada Principia. Durante a escrita do Principia Newton no teve qualquercuidado com a sade, esquecendo-se das refeies dirias e at de dormir.

Os dois primeiros volumes dos Principia contm toda a sua teoria, incluindo a dagravitao e as leis gerais que estabeleceu para descrever os movimentos e os pr emrelao com as foras que os determinam, leis denominadas por leis de Newton. Noterceiro volume, Newton trata as aplicaes da sua teoria dos movimentos de todos oscorpos celestes, incluindo tambm os cometas.

Os vrios ensaios de Newton sobre o clculo ficaram desconhecidos durante muitotempo devido s suas prprias reservas em publicar esses trabalhos. Durante muito

tempo os nicos ensaios que tornaram conhecido o clculo de Newton foram osseguintes :


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1. De analysi per aequationes numero terminorum infinitas tratado enviado em1669 por Barrow a Royal Society em nome de um amigo meu daqui que temuma certa qualidade para tratar este assunto. O tratado circulou em forma demanuscrito por diversos membros da Royal Society. Planos de uma brevepublicao foram apenas realizados em 1711.

2. Methodus fluxionum et serium infinitarum tratado sobre fluxes, escrito em1671 que no foi publicado durante a vida de Newton. S em 1736/7 surgiuuma traduo em ingls.

3. Tractatus de quadratura curvarum tratado sobre quadratura de curvas escritoem 1693, mas publicado em 1704 como apndice ptica de Newton.

4. Principia continha muita passagem relevante exposta na forma geomtrica em1687.

Newton, que guardava para si as suas extraordinrias descobertas, foi convencidopor Halley (1656-1742) a d-las a conhecer. Halley responsabilizou-se por tudo o queestava relacionado com a publicao dos trabalhos do seu amigo, nomeadamente,pelas despesas de tal processo. A publicao do livro III do Principia deu-se apenaspelo fato de Newton ter sido alertado por Halley que, se tal no acontecesse, os

anteriores volumes no eram vendidos e, como tal, ele ficaria arruinadofinanceiramente.

Os contemporneos de Newton reconheceram a magnitude dos Principia, aindaque, apenas alguns conseguissem acompanhar os raciocnios nele expostos.Rapidamente, o sistema newtoniano foi ensinado em Cambridge (1699) e Oxford(1704).

Na Frana, a penetrao das idias de Newton no foi to rpida. Mas na Frana,passado meio sculo, que Newton encontra o seu maior sucessor, Laplace (1749-1827)que vai atribuir a si prprio a tarefa de continuar e aperfeioar os Principia.

Aps ter escrito os Principia, Newton parece sentir-se saturado com a Philophianaturalis e vai ocupar-se de outros assuntos. Em Janeiro de 1689, eleito pararepresentar a universidade na conveno parlamentar onde se mantm at suadissoluo em Fevereiro de 1690. Durante esses dois anos viveu em Londres onde feznovas amizades com pessoas influentes incluindo John Locke (1632-1704).

No Outono de 1692 Newton adoece seriamente. A averso comida e as insniaspersistentes que lhe tinham permitido escrever os Principia conduzem-no para pertodo colapso total.

Newton recupera a sade em finais de 1693 para regozijo dos seus amigos,incluindo aquele que mais tarde se tornaria o seu maior inimigo, Leibniz (1646-1716).

Com efeito, no ano da sua recuperao, Newton toma conhecimento que o clculose estava a tornar conhecido no Continente e que era atribudo a Leibniz. A principio,as relaes entre Newton e Leibniz eram cordiais como mostra a correspondnciaentre estes dois grandes homens. Newton reconhecia os mritos de Leibniz e Leibnizos de Newton e em nenhum momento algum deles teria tido a mnima suspeita quealgum tivesse roubado ao outro qualquer idia do clculo. Mais tarde, por volta de1712, quando at o comum cidado ingls tinha j a vaga idia que Newton tinhaconstrudo algo de monumental, a questo de quem tinha inventado o clculo torna-seuma questo de orgulho nacional. A Inglaterra vai cerrar hostes em torno de Newton eacusar Leibniz de ser um ladro e um mentiroso. Leibniz e os seus apoiantes voresponder do mesmo modo. Assim se inicia a clebre controvrsia Newton-Leibnizsobre a inveno do clculo, controvrsia que vai desgostar Newton e que vai ter comograve conseqncia a estagnao das matemticas na Inglaterra durante cerca de umsculo. Em Frana e na Sua os seguidores de Leibniz, munidos de uma melhor


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notao para o clculo, vo desenvolv-lo e simplific-lo. Em 1699, Newton nomeado Mster of the Mint com a tarefa de reformar e supervisionar a cunhagem damoeda. Em 1701/2 novamente representante da universidade de Cambridge noparlamento e em 1703 vai ser eleito presidente da Royal Society, cargo honorrio parao qual sucessivamente reeleito at sua morte. Em 1705 investido cavaleiro pelarainha Anna. de lamentar que aps 1693, Newton no se tenha dedicado mais

matemtica. Ele teria facilmente criado uma das mais importantes aplicaes doclculo: o clculo das variaes que ser desenvolvido pelos Bernoulli (1623-1759)por Euler (1707-1783) e por Lagrange (1765-1843). J nos Principia Newton tinhasugerido este assunto quando calcula a forma de uma superfcie de revoluo queatravessa uma massa de liquido oferecendo resistncia mnima. Tambm em 1696,resolve - em poucas horas diz-se - o clssico problema da brachistochrona: determinara forma da trajetria que uma massa em queda, sob a ao da gravidade, descreveentre dois pontos dados num tempo mnimo. Este problema tinha sido colocado porJohann Bernoulli e Leibniz tinha proposto uma soluo que desafiava os matemticoseuropeus da altura. Cautelosamente, Newton vai comunicar a sua soluo RoyalSociety de maneira annima. Bernoulli ao ver a soluo ter exclamado: Ah!

Reconheo o leo pela sua pata. (cit in Bell, Men of Mathematics,1986: p.115)Poucas semanas antes da sua morte, Newton presidiu a uma seco da Real Society.Foi eleito scio estrangeiro da Academia das Cincias Francesa em 1699. Faleceu avinte de Maro de 1727, entre a uma ou duas da manh, durante o sono, com oitenta ecinco anos. Teve direito ao elogio fnebre oficial pronunciado pelo secretrio daAcademia, Bernard le Bovier de Fontenelle. Foi sepultado no Panteo de Londres,

junto aos reis de Inglaterra, na Abadia de W. estminster.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Baro Gottfried Wilhelm Leibniz, ou apenas Leibniz, como mais conhecido, nasceuem Leipzig, na Alemanha, em 1 de julho de 1646. Seu pai, Friedrich Leibniz eraprofessor de tica em Leipzig e morreu em 1652. Leibniz aprendeu sozinho latim egrego para ler grandes autores na biblioteca de seu pai. Em 1661 a 1666 cursou a

Universidade de Leipzig como estudante de direito, quando ento, teve contacto comtextos de filsofos modernos da poca, tais como Bacon (1561-1626), Hobbes (1588-1679), Galileu (1564-1642 )e Descartes(1596-1650). Em sua tese de bacharelado


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"Sobre o Princpio do Individual", de 1663, Leibniz enfatiza que o valor existencial doindivduo no deve ser explicado somente pela matria ou pela forma mas, antes porseu total.

Em 1666 escreveu De Arte Combinatria no qual formulou um modelo que o precursor terico de computao moderna: todo raciocnio, toda descoberta, verbalou no, redutvel a uma combinao ordenada de elementos tais como nmeros,

palavras, sons ou cores. Formando-se em leis em 1666, Leibniz candidatou-se aodoutorado e, sendo recusado devido a sua pouca idade, deixou Leipzig para sempre.Fez estudos de matemtica em Jena. Na cidade livre de Nrnberg recebeu o ttulo dedoutor com a tese "Sobre Casos Intrigantes" e foi convidado a lecionar nauniversidade. L conheceu em 1667 Johann Christian, o Baro de Boyneburg, ilustreestadista alemo que o empregou e o introduziu na corte do prncipe e arcebispo deMoguncia, Johann Philipp Von Schnborn, para assuntos de direito e poltica. Em1667 Leibniz dedicou ao prncipe um trabalho no qual mostrava a necessidade de umafilosofia e uma aritmtica do direito e uma tabela de correspondncia jurdica.Tratava-se de um sistema lgico de catalogao, o qual pode muito bem sercomparado aos atuais princpios da informtica. Por causa desse trabalho foi

incumbido de fazer a reviso do corpus jri latini", a ento consolidao do direitoromano vigente. Na rea religiosa Leibniz se esforou para a unio das religiesprotestante e catlica. Leibniz trabalhou no Demonstrationes Catholic, cujasespeculaes levam-no a situar a alma num determinado ponto e a desenvolver oprincpio da razo suficiente, segundo o qual nada acontece sem uma razo. Suasconcluses aparecem em 1671 num trabalho com o ttulo Hypothesis Physica Nova.Conclui que o movimento depende, como na teoria do astrnomo alemo JohannesKepler, da ao de um esprito (no caso, Deus).Em 1672 Leibniz vai a Paris em umaobscura misso diplomtica: convencer Luiz XIV a conquistar o Egito, aniquilar aTurquia para evitar novas invases brbaras da Europa, via Grcia. Era uma estratgiapara desviar o poderio militar da Frana de uma ameaa Alemanha. Em Paris,conhece Antoine Arnauld (1612-1694), telogo lder dos jansenistas. Estes eramseguidores de uma doutrina que negava a liberdade de vontade e negava que Cristohouvesse morrido por todos os homens, considerados hereges pela Igreja Catlica.Com Arnauld, Leibniz discute sobre a possibilidade da unio das igrejas, filosofia ematemtica. Arnauld era conhecido pelos seus ataques aos jesutas e foi demitido daSorbone por heresia em 1656. Mais tarde, em 1682, iria refugiar-se em Bruxelas,Blgica, onde escreveria suas idias. Por essa ocasio Leibniz perde sucessivamente osseus protetores. Morreu o Baro de Boyneburg em fins de 1672 e o prncipe eleitor deMainz no incio de 1673. Buscando meios de manter-se, construiu uma mquina decalcular, um aperfeioamento de uma mquina desenvolvida anteriormente por Blaise

Pascal, matemtico e cientista francs e escritor, e indo Inglaterra, apresentou-a aRoyal Society em 1673.

Em Londres Leibniz procurou os matemticos e cientistas, inclusive RobertBoyle, e entre eles, John Collins, um amigo do fsico Sir Isaac Newton, a quemvoltaria a encontrar mais tarde. A permanncia de Leibniz em Paris se prolonga at1676, onde pratica advocacia e trata com vrios intelectuais, alm de Arnauld, comoMalebranche e Huygens. Christian Huygens (1629-1695), matemtico, astrnomo efsico holands ajudou -o nos clculos matemticos. Residindo em Paris, Huygenscriou a teoria ondulatria da luz, introduziu o uso do pndulo nos relgios, descobriu aforma dos anis de Saturno. Eleito membro fundador da Academia de Cincias daFrana em 1666, morou l at 1681, retornando ento para a Holanda. Arnauld oapresenta a muitos jansenistas importantes em 1674, entre eles, a tiene Prier,sobrinho de Pascal que confiou a Leibniz trabalhos no publicados de Pascal. Em1675 entretm com Nicolas Malebranche, outro gemetra e filsofo cartesiano,


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discusses enquanto trabalha no desenvolvimento dos clculos integrais e diferenciais,cujos fundamentos lana naquele mesmo ano 1675. Ainda sem renda garantida parasua sobrevivncia, Leibniz obrigado, em 1676, a aceitar um emprego na Alemanha.Deixa Paris contra sua vontade, viajando primeiro para a Inglaterra e a Holanda. EmLondres esteve novamente com John Collins, que lhe permitiu ver alguns trabalhosno publicados de outros matemticos, principalmente de Newton. Na Holanda, em

Haia, teve demoradas conversas com o filsofo racionalista judeu Baruch de Espinoza,com quem discute problemas metafsicos. Espinoza (1632-1677) fora excomungadopelas autoridades judaicas pela sua explicao no tradicional da bblia em 1656 e umano depois do encontro com Leibniz, Espinoza se recolhe ao campo para escrever sua"tica" (1677) e outros livros, inclusive o Tratado Teolgico-poltico" (1670)advogando liberdade de filosofia em nome da piedade e da paz pblica. Retornando Alemanha, em fins de 1676, Leibniz trabalha para Joo Frederico, Duque de Hanver,um luterano convertido ao catolicismo. Veio a ser, a partir de 1678, conselheiro doDuque e se props inmera realizao de interesse para o Ducado. Continua a manterdebates sobre a unio das religies protestantes e catlicas, primeiras com o BispoCristbal Rojas de Espnola e, atravs de correspondncia, com Jacques Benigne

Bossuet, bispo catlico francs. Conhece tambm Nicolaus Steno, um prelado que eraum cientista especializado em geologia. Nessa poca Leibniz se ocupa de vriastarefas, entre elas, da inspeo dos conventos e melhoria da educao com fundaode academias, e desenvolve inmeras pesquisas sobre prensas hidrulicas, moinhos,lmpadas, submarinos, relgios, idealiza um modo de melhorar as carruagens e fazexperincias com o elemento fsforo recm descoberto pelo alquimista alemoHenning Brand. Desenvolveu tambm uma bomba d'gua para melhorar a exploraodas minas prximas, nas quais freqentemente trabalhou como engenheiro entre 1680e 1685. Leibniz considerado um dos criadores da geologia, devido a riqueza de suasobservaes, inclusive devido hiptese de ter sido a terra primeira lquida, idia queapresenta no seu Protogeae, que somente foi publicado aps sua morte, em 1749.Tantas ocupaes no interromperam seu trabalho em matemtica. Em 1679aperfeioou o sistema de numerao binrio, base da moderna computao e, ao fimdo mesmo ano, props as bases do que hoje a topologia geral, parte da altamatemtica. A essa altura, incio de 1680, falece o Duque Joo Frederico, que sucedido pelo irmo Ernesto Augusto. A situao poltica agora mais complicadapara a Alemanha. A Frana, com Lus XIV torna-se uma ameaa. Aumentam asperseguies aos protestantes, culminando com a revogao do dito de Nantes em1685, um perigo para os principados alemes protestantes da fronteira.

Em 1681 Lus XIV avanou anexando Frana algumas cidades da Alsacia. OImprio Germnico era ameaado tambm em seu flanco oriental por uma revolta na

Hungria e pelo avano dos turcos que chegaram a assediar Viena em 1683. Leibnizcontinua seu esforo nas frentes mais variadas, tanto pelo Ducado quanto peloImprio. Sugeriu meios de aumentar a produo de tecidos, props um processo dedessalinizao da gua, recomendou a classificao dos arquivos e, em 1682, sugeriu apublicao de um peridico, Acta Eruditorum. Na rea poltica escreveu, em 1683, umviolento panfleto contra Lus XIV, intitulado O Mais Cristo Deus da Guerra, emfrancs e latim. A Leibniz exps seus pensamentos a respeito da guerra com aHungria. Nessa mesma poca continuou a aperfeioar seu sistema metafsico buscandouma noo de causa universal de todo ser, tentando chegar a um ponto de partida quereduzisse o raciocnio a uma lgebra do pensamento. Continuou tambm adesenvolver seus conhecimentos matemticos e fsicos. Em 1684 publicou NovaMethodus pro Maximis et Minimis, uma exposio do seu clculo diferencial. Desde1665 Newton tambm havia descoberto o clculo, mas apenas comunicara seusachados aos amigos e no os publicou. Entre esses amigos John Collins. Quando se


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soube que Leibniz havia estado com Collins na Inglaterra e visto alguns escritos deNewton, abriu-se a questo de prioridade da inveno do clculo, que se tornou umadas mais famosas disputas do sculo XVIII. Suas Meditaes sobre o conhecimento,a verdade e as idias" apareceu nessa poca definindo sua teoria do conhecimento. Em1686 escreveu o "Discours de mtaphysique" seguido de "Breve demonstrao domemorvel erro de Descartes e outros, sobre a Lei da Natureza". Pode se dizer que por

volta de 1686 sua filosofia da monadologia estava definida, porem a palavra "mnada"seria inserida mais tarde, em 1695. Em 1687 correspondeu-se com Pierre Bayle, ofilsofo francs e enciclopedista que editava o influente jornal Notcias da Repblicadas Letras, afirmando em suas cartas sua independncia dos cartesianos. Essacorrespondncia antecipou os Essais de thodice sur la bont de Dieu, la libert del'homme et l'origine du mal, nico de seus livros mais importantes a ser publicado emsua vida, em 1710. Em 1685 Leibniz foi nomeado historiador da Casa de Brunswick econselheiro da corte. Seu trabalho seria provar, por meio da genealogia, que a casanobre de Brunswick tinha suas origens na casa de Este, uma casa de prncipesitalianos, o que permitiria Hanver pretender um nono eleitorado. Em 1687 Leibnizcomeou a viajar em busca de documentos. Seguiu pelo sul da Alemanha at a

ustria, ao tempo que Lus XIV mais uma vez declarava guerra ao Imprio. Foi bemrecebido pelo Imperador e de l seguiu para a Itlia. Por onde ia encontrava-se comcientista e continuava seu trabalho intelectual. Publicou em 1689 seu ensaio sobre omovimento dos corpos celestes. Este ano leu o Principia Matemtica de Newton.Retornou a Hanver em 1690. Seus esforos no foram em vo. Em 1692 ErnestoAugusto obteve a investidura como Eleitor dos Imperadores do Sacro ImprioGermnico. Dono de enorme energia intelectual, Leibniz continua estudos dos maisdiversos, agora sobre a histria da Terra, compreendendo os eventos geolgicos e adescrio de fsseis. Procurou, por meio de monumentos e de vestgios lingsticos, aorigem das migraes dos povos, origem e progresso da cincia, tica e poltica e,finalmente, por elementos da histria sacra. Em seu projeto de uma histria universalLeibniz nunca perdeu de vista o fato de que tudo se interliga. Apesar de no conseguirescrever essa histria, seus esforos foram influentes porque ele divisou novascombinaes de velhas idias e inventou outras totalmente novas. Em 1695 ele expsuma parte de sua teoria dinmica do movimento no Systme Nouveau, onde tratava dorelacionamento de substancias e da harmonia preestabelecida entre a alma e o corpo.Deus no necessita de intervir na ao do homem por meio de seu pensamento, comoMalebranche postulava, ou dar corda num tipo de relgio de modo a conciliar os dois;em lugar disso, o Supremo Relojoeiro fez que correspondessem exatamente corpo ealma, eles do sentido um a outro desde o comeo. Em 1697, em "Sobre a origem dascoisas", Leibniz tentou provar que a origem ltima das coisas no pode ser outra seno

Deus. No incio de 1698 morreu o prncipe eleitor Ernesto Augusto, sucedendo-o seufilho George Lus. Incompatibilizado com o novo prncipe, mal educado edesagradvel, Leibniz valia-se da amizade de Sofia, viva, e de Sofia Carlota, filha dofalecido prncipe. Com a ajuda da jovem princesa Carlota, a qual logo seria a primeirarainha da Prssia, promoveu a criao da Academia de Cincias de Berlim (Capital daPrssia, que era o norte da Alemanha e parte do norte da atual Polnia) em 1700. Maisuma vez ps-se a trabalhar arduamente pela unio das igrejas: em Berlim tratava-se deunir luteranos e calvinistas; em Paris havia a oposio de Bossuet; em Viena, paraonde retorna em 1700, consegue o apoio do Imperador, e na Inglaterra so osanglicanos que precisam ser convencidos. Esta atividade deu oportunidade paracomunicar-se com intelectuais ingleses, como o desta John Toland, que vem

acompanhando o embaixador da Inglaterra enviado a Hanver em 1702, com o bispode Salisbury, chefe da Igreja Anglicana, e Lady Darnaris Masham em cuja casa JohnLocke viria a falecer em 1704. Leibniz estava impressionado com as qualidades do


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Czar russo, Pedro o Grande e, em 1711, foi recebido a primeira vez pelo Czar. Emoutono de 1714 o Imperador nomeou-o conselheiro do imprio e lhe deu o ttulo deBaro. Ainda nessa poca escreveu Prncipes de la nature e de la Grace fonds enraison, cujo objeto a harmonia preestabelecida entre essas duas ordens. Mais tarde,em 1714, escreveu Monadologia que sintetiza a filosofia da "Teodicia". Em meadosde 1714, a morte da rainha Ana levou George Lus ao trono da Inglaterra com o nome

de George I. Retornando a Hanver, onde ele estava virtualmente em prisodomiciliar, Leibniz ps-se novamente a trabalhar no Annales Imperii OccidentisBrunsvicenses (Anais braunsvicenses do Imprio Ocidental), ocupando-se tambm deextensa correspondncia com Samuel Clarke. Em Bad-Pyrmont ele encontrou Pedro oGrande pela ltima vez em 1716. A partir de ento ele sofria muito de gota e ficouconfinado ao leito. Leibniz falece em Hanver em 14 de novembro de 1716,relativamente esquecido e isolado dos assuntos pblicos. Um projeto seu que no tevesucesso foi o de unio das igrejas crists, de unir novamente as duas profisses de f.

Brook Taylor(1685-1731)

Nascido em Edmonton, Middlesex, Inglaterra, a 18 de Agosto de 1685 efalecido em Londres, Inglaterra a 29 de Dezembro de 1731. Brook Taylor era filho deJohn Taylor da Casa de Bifrons e de Olivia, filha de Nicholas Tempest. Sua famliaera moderadamente rica e estava ligada baixa nobreza. Seu av, Nathaniel, tinhaapoiado Oliver Cromwell. John Taylor era um pai severo e rigoroso, o expulsou decasa em 1721 quando Taylor decidiu se casar com uma mulher que, emborapertencesse a uma boa famlia, no era muito rica. Em 1723 Brook voltou sua casaaps a morte de sua esposa durante o parto. Ele se casou novamente em 1725, destavez com a aprovao e beno de seu pai, mas infelizmente sua segunda mulhertambm morreu durante o parto em 1730. Sua filha, entretanto, conseguiu sobreviver.

A vida pessoal de Taylor parece ter influenciado seu trabalho em diversasformas. Duas das suas maiores contribuies cientficas lidam com vibraes edesenho em perspectiva. Seu pai era muito interessado em msica e artes, sua casaestava sempre cheia de artistas. Os arquivos da famlia contm pinturas de Taylor etambm um manuscrito no publicado chamado On Musick foi encontrado entre seus

papis no Saint John's College em Cambridge.Taylor teve aulas particulares em casa antes de entrar para o Saint John'sCollege em 1701, onde os catedrticos em matemtica eram John Machin e John Keill.Taylor recebeu seu diploma de Bacharelado em 1709, foi eleito para a Royal Society


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de Londres em 1712 e recebeu o diploma de Doutorado em 1714. Ele foi eleitosecretrio da Royal Society em janeiro de 1714, mas se demitiu em outubro de 1718em virtude de sua sade e talvez tambm pela perda de interesse nesta tarefa cansativae extenuante.Enquanto que em 1717 Brook Taylor aplicara o clculo das diferenas finitas aosmovimentos das cordas vibratrias, MacLaurin, em 1731, utilizou as demonstraes

geomtricas para dar maior rigor sua teoria, segundo a qual uma massa lqidagirando em torno de um eixo sob a influncia da gravitao toma a forma de umelipside de revoluo. Taylor e MacLaurin chamavam ento a ateno dos seuscompatriotas para a geometria, levando-os a desprezarem a anlise.

Sendo membro da Royal Society, Taylor participou, em 1712, do comitformado para o julgamento da questo da prioridade na inveno do Clculo entreNewton e Leibniz. Ele visitou a Frana diversas vezes por razes de sade e sociais.Durante estas visitas ele manteve uma constante correspondncia com Pierre Rmondde Montmort sobre as sries infinitas e sobre o trabalho de Montmort emprobabilidade. Taylor serviu como um tipo de intermedirio entre Montmort eAbraham De Moivre.

Taylor publicou o seu primeiro artigo importante na Philosophical Transactions daRoyal Society em 1714, que, a verdade, j havia sido escrito em 1708 de acordo comsua correspondncia com Keill. O artigo tratava da determinao do centro deoscilao de um corpo. Como era costume de Taylor e de outros matemticos dapoca, ele utilizou a notao de pontos ao resolver um problema em mecnica, dandoincio a uma disputa com Johann I Bernoulli.

O perodo entre 1714 e 1719 foi, para Taylor, o mais produtivomatematicamente. A primeira edio de seus dois livros matemticos Methodusincrementorum directa et inversa e Linear Perspective saiu em 1715. Suassegundas edies foram publicadas em 1717 e 1719 respectivamente. Taylor tambmpublicou treze artigos, alguns como cartas na Philosophical Transactions durante osanos de 1712 a 1724. Nestes artigos esto includos experimentos com a capilaridade,o magnetismo e o termmetro. Durante os ltimos anos de sua vida Taylor se voltoupara escritos religiosos e filosficos. Seu terceiro livro Comtemplatio philosophica foiimpresso postumamente pelo seu neto em 1793.

Taylor conhecido pelo teorema ou processo de se expandir funes em sriesinfinitas. Existe uma grande discusso sobre o crdito que deve ser dado a Taylor pelaformulao deste teorema.

Seu primeiro relatrio do teorema foi escrito em uma carta para John Machinno dia 26 de julho de 1712 e reescrito por H. Bateman. Nele Taylor conta que a suadescoberta surgiu aps uma "dica" de Machin durante uma palestra no Child's

Coffeehouse sobre a "utilizao da srie de Sir Isaac Newton para a resoluo doproblema de Kepler" e sobre o "mtodo do Dr. Halley para se achar as razes" deequaes polinomiais que fora publicado na Philosophical Transactions em 1694.

Isto demonstra sua honestidade e cuidado em relao publicao de artigosmatemticos. Ele usou sua frmula para expandir funes em sries e para resolverequaes diferenciais, mas no conseguiu prever o seu papel, sua funo maisimportante, que s foi descoberto mais tarde por Lagrange. Taylor no se preocupoucom a falta de rigor em sua derivao. Colin Maclaurin notou um caso especial dasrie de Taylor agora conhecido como srie ou teorema da Maclaurin, que j haviasido citado por Taylor na pgina 27 na edio de 1717 do Methodus . O termo "sriede Taylor" foi provavelmente utilizado pela primeira vez por L'Huillier em 1786,

entretanto Condorcet usou os nomes de Taylor e d'Alembert em 1784.Mesmo que as sries infinitas j fossem algo conhecido, Taylor desenvolveu asua frmula sozinho e foi o primeiro a enunci-la e explicit-la de uma forma geral.


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Pringsheim demonstrou que possvel se chegar ao teorema de Taylor atravs dafrmula de Bernoulli por meio de algumas mudanas de variveis. No entanto noexistem indcios que Taylor fez isso e nem de que Bernoulli se sentira "plagiado". Apreposio XI do teorema IV, por outro lado, diretamente equivalente frmula deintegrao de Bernoulli. Mas a derivao de Taylor mais complexa, tanto que lhe dado o crdito da prioridade do processo de integrao por partes.

Taylor foi um dos poucos matemticos ingleses que conseguiu se manter nadisputa com seus rivais do "Continente", embora nem sempre conseguisse se sairvitorioso. Bernoulli citou que um problema de integrao publicado por Taylor comoum desafio aos "matemticos no ingleses" j havia sido proposto e resolvidoanteriormente por Leibniz em Acta eruditurium. Suas disputas em jornais quasesempre continham frases mais rudes e at mesmo, uma vez, foi feita uma aposta entreeles no valor de cinqenta guinus. Quando Bernoulli sugeriu, numa carta pessoal, quesuas discusses tomassem um rumo mais "cavalheiresco", Taylor respondeu que eletinha tido a inteno de ser grosseiro e mostrar indignao.

Newton abordava o problema da curvatura pelo meio da determinao do seucentro como o ponto de interseco entre duas normais. Mesmo que este mtodo no

fosse publicado at 1736, Taylor tinha conhecimento deste trabalho de Newton, e,aps aplicar a sua prpria frmula para a resoluo do mesmo problema, disse queseus resultados coincidiam com os obtidos por Newton. Taylor, entretanto, imaginavao raio de curvatura como sendo o raio do crculo limitante entre trs pontos de umacurva e associava a curvatura com o problema do ngulo de contato, citado porEuclides. Ele ento usou a curvatura e o ngulo de curvatura para dar a primeirasoluo para vibraes normais e o caso de molas. Nas preposies XXII e XXIII eledemonstrou que sob suas condies cada ponto vibra como um pndulo cicloidal, edeterminou o seu perodo em termos do comprimento e peso da mola e do pesosuportado pela mola. Seus trabalhos influenciaram outros matemticos, Bernoulli, porexemplo, citou Taylor em cartas escritas para seu filho Daniel, escrevendo sobre estetpico.

Methodus qualifica Taylor como um dos fundadores do clculo de diferenasfinitas e como um dos primeiros a utiliz-lo em interpolao e somatria de sries.Taylor contribuiu para a histria do barmetro ao explicar a variao da pressoatmosfrica como uma funo da altitude e tambm contribuiu para o estudo darefrao da luz.

Como todas as suas publicaes, seu livro sobre perspectiva linear era toconciso que Bernoulli caracterizou-o como "incompreensvel para todos e inteligvelpara os artistas, para quem ele foi especialmente escrito". At mesmo a sua segundaedio, que continha quase o dobro das quarenta e duas pginas da edio inicial, no

mostrava uma melhora neste aspecto.Methodus teve quatro edies normais, trs tradues e outras vinte e duasedies de doze diferentes autores que continham comentrios adicionais sobre seusconceitos mais importantes. Ele desenvolveu uma teoria sobre perspectiva de maneiraformal, usando uma seqncia de teoremas e as suas respectivas demonstraes. A suamais notvel e impressionante idia nesta rea foi definio de pontos e linhas defuga para todos os planos e linhas e o desenvolvimento de uma teoria e prtica para oproblema inverso de perspectiva que, mais tarde, serviu de base para o trabalho deLambert e o desenvolvimento da fotogrametria. Taylor tambm se utilizou da idia deassociar pontos de interseco infinitamente distantes com linhas paralelas e procuroumtodos para se realizar construes geomtricas diretamente em perspectiva.

Um estudo mais detalhado e profundo sobre a vida e o trabalho de BrookTaylor revela que a sua contribuio para o desenvolvimento da matemtica foisubstancialmente maior do que a simples ligao do seu nome a um teorema. Seu


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trabalho era conciso, difcil de ser seguido e estudado. O surpreendente nmero deconceitos importantes que ele citou e tentou desenvolver, mas infelizmente no podefinalizar, mostra que a sade, problemas e preocupaes familiares, e outros fatorescomo riqueza e represso dos pais, conseguiram restringir o perodo produtivo de suarelativamente curta vida.

Colin Maclaurin (1698 -1746)

Colin Maclaurin nasceu em fevereiro de 1698 em Kilmodan, Esccia, e morreu nodia 14 de junho de 1746 em Edinburgh, Esccia. Nasceu em Kilmodan onde o seu paiera o ministro da parquia. Ele foi um estudante em Glasgow, se tornou professor dematemtica na Faculdade de Marischal, Aberdeen, de 1717 a 1725 e ento naUniversidade de Edinburgh de 1725 at 1745. Ele fez um trabalho notvel emgeometria, particularmente estudando curvas planas. Ele escreveu uma memriaimportante na chamada teoria das mars. Maclaurin foi eleito um membro daSociedade Real em 1719 e em 1724 foi premiado pela Academia de Cincias pelo seutrabalho no impacto de corpos. Em 1740 ele foi premiado com outro prmio da

Academia de Cincias pelo estudo das mars. Este prmio foi dado juntamente aMaclaurin, Euler e Daniel Bernoulli. O primeiro trabalho importante de Maclaurin foia Geomtrica Orgnica... Publicado em 1720. Em 1742 publicou o seu Tratado de doisvolumes, a primeira exposio sistemtica dos mtodos de Newton escrita como umaresposta ao ataque de Berkeley no clculo para sua falta de fundamentos rigorosos.Esse Tratado um trabalho principal 763 pginas, muito louvado por aqueles que oleram, mas surpreendentemente de pequena influncia Maclaurin apelou aos mtodosgeomtricos dos gregos antigos e para mtodo de Arquimedes da exausto. No seuTratado, Maclaurin usa o caso especial da srie de Taylor, nomeada agora depois dele(reconhecendo Taylor). Maclaurin tambm deu o teste integral para a convergncia deuma srie infinita. Ele investiga em seu Tratado a atrao mtua de dois elipsides de

revoluo como uma aplicao dos mtodos. Maclaurin representou um papel ativo nadefesa de Edinburgh durante a rebelio de Jacobite em 1745. Quando a cidade caiuMaclaurin fugiu para York e ele morreu no ano seguinte em Edinburgh. O Tratado de


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Maclaurin em lgebra foi publicado em 1748, dois anos depois da sua morte. Outrotrabalho informando das descobertas do Sr. Isaac Newton permaneceu incompleto nasua morte, mas foi publicado mais tarde.

Leonhard Euler (1707-1783)

Leonhard Euler um suo que nasceu na Basilia em 1707, onde seu pai eraministro religioso e possua alguns conhecimentos matemticos.

Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel,recebendo ampla instruo em Teologia, Medicina, Astronomia, Fsica, Lnguasorientais e Matemtica. Com o auxlio de Bernoulli entrou para a Academia de S.

Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seo de Medicina eFisiologia, e em 1730 passando a seo de Filosofia por ocasio da morte de Nicolause afastamento de Daniel.

Tornando-se o prncipe matemtico j aos vinte e seis anos, dedicou-seprofundamente pesquisa compondo uma quantidade inigualvel de artigos, inclusivepara a revista da Academia. Em 1735 perdeu a viso do olho direito mas suaspesquisas continuaram intensas chegando a escrever at mesmo enquanto brincavacom seus filhos. Conquistou reputao internacional e recebeu meno honrosa naAcademia das Cincias de Paris bem como vrios prmios em concursos. Convidadopor Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando Rssia em 1786. Euler ocupou-se de quase todos os ramos da matemtica Pura e

Aplicada sendo o maior responsvel pela linguagem e notaes que usamos hoje; foi oprimeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letragrega para razo entre comprimento e dimetro da circunferncia e o smbolo

ipara a unidade imaginria, 1 . Deve-se a ele tambm o uso de letras minsculasdesignando lados do tringulo e maisculas para seus ngulos opostos; simbolizoulogaritmo de x por log(x), usou a para indicar adio e f(x)para funo de x, alm deoutras notaes em Geometria, lgebra, Trigonometria e anlise. Euler reuniu ClculoDiferencial e Mtodo dos Fluxos num s ramo mais geral da Matemtica que aAnlise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748,a "Introduo Anlise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funes, tanto

algbricas como transcendentes elementares (trigonomtricas, Logartmicas,trigonomtricas inversas e exponenciais). Foi o primeiro a tratar dos logaritmos comoexpoentes e com idia correta sobre logaritmo de nmeros negativos. Muitointeressado no estudo de sries infinitas. Obteve notveis resultados que o levaram a


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relacionar Anlise com Teoria dos Nmeros, e para a Geometria, Euler dedicou umApndice de "Introduo'' onde d a representao da Geometria Analtica no espao.Euler escreveu em todos os nveis, em vrias lnguas, publicando mais de 500 livros eartigos. Os dezessete ltimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo desuas pesquisas e publicaes no diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou ditando para seus filhos. Manteve sua mente poderosa at os 76 anos

quando morreu subitamente em 1783. Euler foi descrito pelos matemticos da pocacomo sendo a prpria "Anlise encarnada".

Franois Vite (1540 - 1603)

Franois Vite nasceu em Fontenay-le-Comte, na Frana. Estudou na escola deFontenay, antes de entrar para o curso de advocacia na Universidade de Poitiers.Formou-se em 1560, poca de grande agitao poltica e religiosa na Frana. Em 24 deoutubro de 1573, Charles IX, rei da Frana, indicou Vite para o parlamento daBretanha. Em 1580, seu sucessor, Henrique III, nomeou-o membro do conselho do rei,de maneira que Vite serviu ao reino da Frana por um bom tempo. Embora nuncatenha trabalhado como cientista ou matemtico profissional, sempre esteve envolvidoem estudos matemticos ou astronmicos. Seu primeiro trabalho publicado o foi emParis, no ano de 1571. Vite trabalhou com trigonometria, lgebra e geometria. Em

Canon Mathematicus seu ad triangula cum appendicibus, de 1579, desenvolveumtodos para determinar tringulos planos e esfricos utilizando as seis funestrigonomtricas, dando sua contribuio trigonometria. Sua obra mais famosa , de1591. Nela, apresenta um simbolismo algbrico de usar vogais para representarincgnitas e consoantes para representar constantes. A utilizao das ltimas letras doalfabeto para as incgnitas e das primeiras para as constantes foi introduzidaposteriormente por Descartes. Antes de Vite era comum se usarem letras ou smbolosdiferentes para as vrias potncias de uma quantidade. Vite usava a mesma letradevidamente qualificada, por exemplo, expressava A, A quadratum, A cubum, paraindicar A, A2, A3. Ao aplicar lgebra trigonometria e geometria em Supplementumgeometriae , de1593, deu sua contribuio aos trs problemas clssicos da matemtica

grega, mostrando que, tanto a trisseco do ngulo como a duplicao do cubodependem da resoluo de uma cbica; mostrou ainda como construir a tangente emqualquer ponto da espiral de Arquimedes.Apresentou um processo de aproximaes


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sucessivas para resolver equaes de segundo, terceiro e quarto grau em sua obra Denumerosa potestatum resolutione, de 1600. Franois Vite morreu no dia 13 dedezembro em Paris.

história da matemática - o nascimento do cálculo

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