apostila matemática cálculo cefet capítulo 07 integração definida

8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida

1/62

Captulo 7

INTEGRAODEFINIDA

7.1 Intoduo

Neste captulo introduziremos a noo de integral definida, cuja origem foi a formalizaomatemtica da idia do clculo de reas de regies planas delimitadas pelos grficos de fun-es. Observemos que somente "sabemos"calcular, efetivamente, a rea de regies limitadaspor segmentos de retas como retngulos, tringulos ou composies destes. Como motivao,comearemos com um problema.

Problema: Sejam

funes contnuas.. Calcule a rea da regio plana

delimitada pelo grfico das funes contnuas ! # % '

, ! # % '

, ) % )

.

a b

f

g

Figura 7.1: rea da regio dada no problema.

Soluo do Problema: O subconjunto4 ! 6

% 8 % B E E E E E E % H P Q

chamado de partiode ordem

Sdo intervalo

se:

!

% 8U T % B T % W T E E E E E E E EG E T % H X BV T % H

!

E

Subdividamos o intervalo

emS

subintervalos, escolhendo os pontos da partio4

. For-memos os seguintes subintervalos:

% 8 % B % B %W

E E E E E E E E % H X B % H E

271


2/62

272 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA

Denotemos qualquer destes subintervalos por % X B %

,

variando de

atS

. Seja

%

!

% % X B

o comprimento do subintervalo % X B %

,

variando de

atS

. Note que estes su-bintervalos no tem necessariamente o mesmo comprimento. Para cada

, variando de at S ,

consideremos o retngulo

limitado pelas retas%

!

% X B

,%

!

%

, !

$ # '

e !

# '

, onde % X B % .

Figura 7.2: Subdiviso da regio.

Obtemos assimS

retngulos

. intuitivo que a soma das reas dosS

retngulos uma"aproximao"da rea da regio

. Se

S muito grande ou, equivalentemente, se

Scresce,

ento

%

ou seja a base do retngulo correspondente muito pequena e a soma das reas dosS

retngulos aproxima-se cada vez mais da rea da regio

.

Figura 7.3: Subdiviso da regio.

A rea de cada

$ # ' # '

%

(base por altura); a soma H

das reas dos S retngulos:

H

!

H

B

# ' # '

% E

H

chamada soma de Riemann da funo

. Denotemos por

%

o maior dos

%

. Area de uma regio plana

delimitada pelo grfico das funes contnuas

!

# % '

, !

# % '

definidas no intervalo

e pelas retas%

!

e%

!

:


3/62

7.1. INTODUO 273

#

'

!

8

H

! B

# ' # '

% E

possvel provar, com rigor matemtico que este limite sempre existe e igual a rea de

;mais ainda, este limite no depende da escolha da partio do intervalo

ou da escolha dospontos

. Para mais detalhes veja a bibliografia intermediria e avanada.

Exemplo 7.1.

[1] Calcule a rea da regio limitada pelo grfico da funo !

# % '

!

%

W

, o eixo dos%

e pelas

retas%

!

e%

!

.

1

1

1

1

Figura 7.4: rea limitada por !

# % '

!

%

W

.

O intervalo de integrao

, # % '

!

%

W

e # % '

! ; ento

# % '

!

# %9 ' # % '

!

%

W

.

a) Consideremos a seguinte partio de ordem de

:

% 8

!

T% B

!

T% W

!

T%

!

!

T% "

! #

%

!

B

" , para cada

. Os subintervalos so:

B

"

,

B

"

B

W

,

B

W

"

e

"

. Se escolhemos B

! ,

W

!

B

" ,

!

B

W e

"

!

" , ento, #

B'

! ,

# W '

!

B

B & , #

'

!

B

" , #

"

'

! (

B & ; logo:

"

!

1

3

1

1

4

3

!

5

!

E

Se escolhemos B

!

B

" ,

W

!

B

W ,

!

" e "

! :


4/62


0.25 0.5 0.75 1

1

Figura 7.5: Partio da regio.

# B '

!

B

B &

,

# W

'

!

B

"

,

# '

! (

B &

,

# " '

!

; logo:

"

!

3

1

1

4

3

1

!

!

E

intuitivo que

5

!

)

#

' )

!

E

b) Consideremos a seguinte partio de ordemS

:

% 8

!

T% B

!

S

T%

W

!

S

T%

!

!

S

TE E E E E E E E E E E E E E E E E E

T% H

!

S

S

!

E

%

!

B

H . Se escolhemos B

!

B

H ,

W

!

W

H ,

!

H ,............, H

!

H

H :

H

!

S

S

W

1

S

W

S

W

1

S

!

W

S

W

1

E E E E E E E E E E

1

S

S

W

S

W

!

S

#

W

1

W

1

!

W

1

E E E E E E E E E E

1S

W

'

!

#

S1

' #

S1

'

3S

W

E

Se escolhemos

B

! ,

W

!

B

H ,

!

W

H ,............,

H

!

H X B

H :

H

!

S

#

W

1

W

1

!

W

1

E E E E E E E E E E

1

#

S

'

W

'

!

#

S

' #

S

'

3S

W

E


5/62

7.1. INTODUO 275

1

1

Figura 7.6: Nova partio da regio.

Ento,

H X B

WH X B

&H

)

#

' )

H B

WH B

&H

E

Por outro lado:

H

#

S

' #

S

'

3S

W

!

H

#

S1

' #

S1

'

3S

W

!

!

#

ento,

#

'

!

B

.

[2] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das funes # % '

!

%

, # % '

!

4

%

e pelasretas

%

! e

%

!

!

.

33

Figura 7.7: rea limitada por # % '

!

%

, # % '

!

4

%

e pelas retas%

!

e%

!

!

.

O intervalo de integrao

!

; ento, # % '

!

$ # %9 ' # % '

!

4

% %

, se%

!

.

a) Consideremos a seguinte partio de ordem 3 de

!

:

% 8

!

T% B

!

T% W

!

T%

!

!

T%

"

!

T%

!

T%

&

!

!

#

%

!

B

W , para cada

. Se escolhemos B

! ,

W

!

B

W ,

! ,

"

!

W ,

!

e &

!

W , obtemos:

# B

'

! ,

# W '

!

, #

'

! ,

#

"

'

!

B

, #

'

! e

#

&

'

!

e,

&

!

#

!

1 1

1

1

'

!

!

3

E


6/62


b) Consideremos a seguinte partio de ordemS

:

% 8

!

T% B

!

!

S

T% W

!

3

S

T%

!

4

S

TE E E E E E E E E E E E E E E E E E

T% H

!

!

S

S

!

!

E

%

!

H . Seja

!

H , para todo

!

E E E E E

S. Logo:

# B '

!

!

B

H

B

H , #

W'

!

!

W

H

H ,

# '

!

!

H

W

H ,

# " '

!

!

"

H

& "

H . Em geral:

# '

!

!

S

S

e:

H

!

H

B

# '

%

!

H

B

!

S

S

!

S

!

H

B

!

"

S

W

S

W

E

Lembrando que

H

B

!

S

#

S1

'

e

H

B

!

S

W

#

S1

'

W

, temos

H

!

S

W

. Ento, a

rea procurada :

#

'

!

H

H

!

H

#

S

W

'

!

E

7.2 Definio e Clculo da Integral Definida

Definio 7.1. Sejam

uma funo definida no intervalo

, 4 uma partio qualquer do intervalo

e

um ponto qualquer em cada subintervalo definido pela partio. A integral definida de

de

at

denotada por:

# % ' %

e definida por:

# % ' %

!

8

H

! B

# '

%

se o limite existe.

Se o limite da definio existe, independente das escolhas feitas, como no caso da definiode rea. Portanto, deve ter sempre um nico valor.

Se

contnua e no negativa em

a definio de integral definida coincide com a defini-o de rea da regio

delimitada pelo grfico de

, pelas retas%

!

,%

!

e pelo eixo dos%

(

! ):


7/62

7.2. DEFINIO E CLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA 277

Figura 7.8: A regio

.

! 6

# %

' @ ) % )

)

) # % ' P

Neste caso teremos:

#

'

!

# % ' %

Os nmeros

e

so chamados limites inferior e superior de integrao.

Definio 7.2. Uma funo

definida em

dita integrvel em

se sua integral definidaexiste.

Algumas das provas deste captulo sero omitidas, pois fogem do objetivo destas notas. Um

leitor interessado pode recorrer bibliografia indicada.

Teorema 7.1. Se a funo

contnua em

, ento integrvel em

.

Observemos que a recproca deste teorema falsa. Por exemplo, considere a funo:

# % '

!

se

%

se%

#

E

1 2

1

1 2

1

Figura 7.9: Grfico de

.


8/62


descontnua, mas a regio limitada pelo grfico de

, possui rea igual a

no intervalo

e zero no intervalo#

; logo,

integrvel.

Proposio 7.1. Se

e

so funes integrveis em

, ento:

1. Linearidade da Integral.

1

funo integrvel em

, para todo

e:

# % '

1

# % '

%

!

$ # % ' %

1

# % ' %

2. Monotonicidade da Integral. Se # % ' # % '

em

; ento,

# % ' %

# % ' %

3.

integrvel e:

# % ' %

)

# % '

%

4. Sejam

T

T

e

uma funo integrvel em

e

respectivamente. Ento

integrvelem

e:

# % ' %

!

# % ' %

1

# % ' %

Para a prova, veja o apndice. At agora conhecemos a definio e as propriedades mais im-portantes da integral definida. Mostraremos, a seguir, como calcul -la.

Teorema 7.2. Fundamental do Clculo.

Se

uma funo integrvel em

e admite uma primitiva

# % '

em

, ento:

# % ' %

!

# '

# '

O teorema nos diz que para calcular a integral definida de uma funo, basta procurar umaprimitiva da funo e avali-la nos limites de integrao. A integral definida um nmeroreal. Para a prova do teorema, veja o apndice.

Notao:

# % '

!

# '

# '

.

Corolrio 7.3. Na hiptese do teorema 7.2 temos:


9/62

7.2. DEFINIO E CLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA 279

1.

# % ' %

!

# % ' %

.

2.

# % ' %

! .

Exemplo 7.2.

Calcule as seguintes integrais definidas:

[1]

B

8

1

%

%

. Usando a linearidade, podemos escrever a integral como:

W

B

1

%

%

!

W

B

%

1

W

B

%

%

E

Como:

B# % '

!

%

!

e

W # % '

!

%

%

!

%

X B "

%

!

%

!

Logo,

W

B

1

%

%

!

W

B

%

1

W

B

%

%

!

B # % '

W

B

1

W# % '

W

B

!

B#

'

B#

'

1

!

W #

'

W #

'

!

#

W

'

1

!

#

' E

[2]

S

# % ' %

. Utilizamos integrao por partes:

!

S

# % '

!

%

!

!

%

#

ento: # % '

!

S

# % ' %

!

%

S

# %( ' %

; logo:

S

# % ' %

!

# % '

!

W

E

[3]

B

X B

S

# % '

%

. Observamos que S

# % '

se ) % )

e

S

# % ' )

se

) % )

.

S

# % ' %

!

# % '

1

E


10/62


Logo,

# % '

!

, ento:

B

X B

S

# % '

%

!

B

8

S

# % ' %

8

X B

S

# % ' %

!

# % '

B

8

# % '

8

X B

!

#

#

'

#

' ' #

#

'

#

' '

!

E

[4]

B

8

%

%

W

1

!

%

. Se !

%

W

1

!

, ento

"

!

% %

.

%

%

W

1

!

%

!

!

3

!

#

%

W

1

!

'

3

1

E

Logo, # % '

!

W

&

; ento,

B

8

%

%

W

1

!

%

!

#

'

#

'

!

3

!

E

[5] Seja

# % '

!

se%

!

S

se%

!

E

Verifique se

contnua em

. Calculando diretamente:

!

B

%

1

1

. Logo,

# % '

! " $

B ; ento:

!

# '

# '

!

B

B

%

1

E

Por outro lado, aplicando LHpital:

X B

$ # % '

!

X B

#

B

S

# '

B

S

# ' '

!

$ #

'

#

logo,

contnua em

.

7.3 Mtodos para Calcular Integrais Definidas

Mtodo de Substituio

Se !

# % '

, ento

!

& # % ' %

; logo,

$ # # % ' '

&

# % ' %

!

(

(

#

'


11/62

7.3. MTODOS PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS 281

Integrao por Partes

# % '

&

# % ' %

!

# % ' # % '

# % '

&

# % ' %

Exemplo 7.3.

[1] No exemplo [4] da pgina anterior, fizemos !

%

W

1

!

; logo,

"

!

% %

. Se:%

! , ento

!

!

; se%

! , ento

! . Assim:

B

8

%

%

W

1

!

%

!

!

3

!

3

!

E

[2] Calcule

B

8

%

W

1

1

.

Fazamos

!

, ento W

1

1 !

W

1

1 !

#

1

'

W

. Se%

! , ento

! ; se%

! ,ento

! . Utilizando fraes parciais:

B

8

%

W

1

1

!

B

#

1

'

W

!

1

B

!

!

#

1

'

E

[3] Calcule

"

8

%

1

% .

Se !

%

1, ento

%

!

e

!

W

; logo,

#

'

!

%

. Se:%

! , ento,

! ; se

%

! , ento,

!

!

. Assim:

"

8

%

1

%!

B

#

'

!

S

#

'

B

!

S

#

!

' E

[4] Calcule

"

B

%

S

# % ' %

.

Usando o mtodo de integrao por partes temos: !

S

# % '

e

!

% %

; ento,

!

B

%

e

!

W . Assim

%

S

# % ' %

!

H

W

" . Logo:

"

B

%

S

# % ' %

!

%

W

S

# % '

%

W

"

B

! 3

S

#

'

E

[5] Calcule

8

S

#

'

H

.

Como S#

'

!

S

#

'

#

'

, fazemos%

! S

#

'

; logo, %

!

#

'

. Se

! , ento

%

! ;se

!

W , ento%

! . Assim:

8

S

#

'

H

!

B

8

%

% E

Integrando por partes: !

%

e

!

%

, ento

!

%

e

!

; logo:

8

S

#

'

H

!

B

8

%

%

!

%

B

8

B

8

%

!

%

B

8

!

E


12/62


[6] Calcule

%

%

%

W

1

4

.

Usaremos o mtodo de substituio trigonomtrica. Seja%

!

!

# '

; observamos que!

# '

!

!

!

e!

# '

!

!

, implicam em

!

&

e

!

"

; %

!

!

W

# '

; ento,

(

!

.

%

%

%

W

1

4

!

!

# '

!

!

S

1

!

1

E

[7] Verifique que

8

# % '

# % '

1

# % '

%

!

, sendo

tal que o integrando seja definido.

Seja !

8

# % '

$ # % '

1

$ # % '

%

. Fazendo !

%

, ento

!

%

:

!

8

$ #

'

$ #

'

1

$ #

'

!

8

$ # % '

$ # % '

1

# % '

%

#

logo,

!

8

# % '

# % '

1

$ # % '

%

1

8

# % '

# % '

1

# % '

%

!

8

%

!

E

[8] Usemos [7] para calcular

W

8

%

W

%

W

%

1

%

.

W

8

%

W

%

W

%

1

%

!

W

8

%

W

%

W

%

1

%

!

W

8

%

W

%

W

1

# %

'

W

%

!

E

Consideramos # % '

!

%

W

em [5].[9] Calcule

B

8

%

# % ' %

.

Integrando por partes !

# % '

,

!

% %

; ento,

!

B e

!

W ;

B

8

%

# % ' %

!

%

W

# % '

B

8

B

8

%

W

%

W

1

% E

Agora calculamos

B

8

B

%

. Integramos a funo racional. Logo,

B

8

%

W

%

W

1

%

!

B

8

%

W

1

%

!

%

# % '

B

8

!

E

Ento:

B

8

%

# % ' %

!

%

W

# % '

B

8

!

#

' E

Aplicao : Seja

uma funo integrvel sobre

. Se

uma funo par:

X

# % ' %

!

8

# % ' %


13/62

7.3. MTODOS PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS 283

Se

uma funo mpar:

X

# % ' %

!

De fato:

X

# % ' %

!

8

X

# % ' %

1

8

$ # % ' %

!

X

8

# % ' %

1

8

# % ' % E

Faamos a seguinte substituio !

%

, ento:

X

8

$ # % ' %

!

8

$ #

'

E

Se

uma funo par, segue a) e se

uma funo mpar, segue b).

Exemplo 7.4.

[1] Calcule

X

# % '

%

&

1

%

"

1

%

.

A funo # % '

!

(

"

B mpar, logo:

X

# % '

%

&

1

%

"

1

%

!

E

-0.75 0.75

-0.3

0.3

-0.75 0.75

-0.3

0.3

Figura 7.10: Grfico da funo$ # % '

!

(

"

B .

[2] Calcule

B

X B

# %

W

1

# % '

1

' %

.

A funo # % '

!

%

W

1

# % '

1

par, logo:

B

X B

# %

W

1

# % '

1

' %

!

B

8

# %

W

1

# % '

1

' %

!

!

E


14/62


-1 1

2

-1 1

2

Figura 7.11: Grfico da funo # % '

!

%

W

1

# % '

1.

7.4 Construo de Primitivas

Seja2

uma funo contnua. Definamos a funo:

# % '

!

#

'

E

Por exemplo, se # % '

!

# % '

, ento # % '

!

8

#

'

! S

# % '

; por outro lado,

% '

!

# % '

!

# % '

. Este fato pode ser generalizado. o que estabelece o seguinte teorema.

Teorema 7.4.

Seja

uma funo contnua. A funo # % '

!

#

'

derivvel e:

&

# % '

!

# % '

ou

&

# % '

!

%

#

'

!

# % '

Este resultado implica que toda funo contnua possui uma primitiva. Veja o apndice paraa prova. Existem funes integrveis que no possuem primitivas (no podem ser contnuas).Por exemplo, a funo definida por

# % '

! se

%

! e

#

'

! ;

no derivada de nenhumafuno (

# % '

!

#

'

! para todo

%

).

Corolrio 7.5.

Seja # % '

!

#

'

, onde

contnua e

derivvel;

e

so intervalos

tais que # ' Q

. Ento

derivvel e:

&

# % '

!

#

# % ' '

&

# % '

De fato. Seja

!

tal que

# % '

!

#

'

. Pelo teorema

uma funo derivvel.

Utilizando a regra da cadeia e o teorema novamente

&

# % '

!

%

#

# % ' '

&

# % '

!

#

# % ' '

&

# % ' E


15/62

7.4. CONSTRUO DE PRIMITIVAS 285

Exemplo 7.5.

[1] Calcule

%

8

#

W

1

'

. A funo #

'

!

W

1 contnua em

, pelo teorema

anterior:

%

8

#

W

1

'

!

%

W

%

1

E

[2] Calcule

% se !

#

1

5'

W

.

Como #

'

!

#

1

5 '

W

contnua em

; # % '

!

%

W

derivvel em

e #

' Q

# c '

. Pelocorolrio anterior:

%

!

#

# % ' '

&

# % '

!

% # %

W

'

!

% #

%

W

1

5'

W

E

[3] Calcule

&

se !

8

X

W

1

1

W

8

W

1

.

Como #

'

!

W

1 contnua em

, B # % '

!

%

e W # % '

!

!

%

1

so funes derivveistais que

#

B '

#

W' Q

# '

, pelo corolrio anterior:

&

!

#

B # % ' '

&

B

# % '

1

#

W # % ' '

&

W

# % '

!

%

W

1

1

!

#

!

%

1

'

W

1

E

[4] Seja

# % '

!

8

1

W

1

$

8

1

W

%

!

E

Mostre que

# % '

constante em#

'

e em#

1

'

. Calcule tais constantes.

i) Seja

# % '

!

8

1

W ; ento,

# % '

!

# % '

1

B

. Pelo Teorema Fundamental do Clculo,

& # % '

!

B

B

e

& # % '

!

& # % '

B

&

B

!

# %

!

'

. Logo

& # % '

! e

# % '

!

B

se%

e

# % '

!

W

se%

T

.

ii) B

!

#

'

!

B

8

1

W

!

; analogamente,

W

!

W

E

[5] A funo :

# % '

!

8

S

W

chamada de Fresnel e aparece no estudo da difrao de ondas de luz: Calcule

8

# % '

%

.

O limite apresenta uma indeterminao do tipo#

8

8

'

; aplicamos LHpital,

&

# % '

! S

%

W

# logo

8

# % '

%

W

!

8

% '

!%

W

!

3

E


16/62


3 2 1 1 2 3

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6


# % '

.

[6] A funo:

# % '

!

8

X

chamada funo erro. Calcule a derivada de:

i)%

# % '

.

ii)

#

% '

.

i) Pela regra do produto:

%

%

# % '

!

$ # % '

1

%

%

# % '

!

$ # % '

1

%

X

E

ii) #

'

!

X

e # % '

!

%

; ento, #

# % ' '

!

X

e &

# % '

!

B

W

. Logo:

%

#

'

!

$ #

# % ' '

&

# % '

!

X

%

E

3 2 1 1 2 3

1.0

0.5

0.5

1.0


# % '

.

[7] Calcule &

se # % '

!

8

X

.

Denotemos por #

'

!

X

e

# % '

!

%

W

; ento,$ #

# % ' '

!

# %

W

'

!

X

; logo: & # % '

!

%

X

.


17/62

7.5. APLICAES DA INTEGRAL DEFINIDA 287

2 1 1 2

1.0

0.5

0.5

1.0


e &

.

[8] Se

%

S

# % '

!

8

#

'

, onde

uma funo contnua, calcule

#

'

. Derivando a ambosos lados da igualdade:

%

%

S

# % '

!

%

8

$ #

'

# S

# % ' %

# % '

!

$ # %

W

' % E

Para%

!

, temos: S

#

'

#

'

!

#

'

, logo

!

#

'

. Ento, #

'

!

W .

7.5 Aplicaes da Integral Definida

7.5.1 Acelerao, velocidade e posio

A relao entre acelerao, velocidade e a posio de uma partcula pode ser obtida utilizandodiretamente o Teorema Fundamental do Clculo.

Suponhamos que uma partcula move-se ao longo do grfico da funo com segunda derivadacontnua

%

!

% #

'

com velocidade

!

#

'

, de classe

B

e acelerao,

!

#

'

em cada instante

. A acelerao da partcula : #

'

!

. Pelo Teorema:

#

'

!

!

#

' #

8 '

#

ento:

#

' #

'

!

#

'

1

#

8 ' E

Logo, conhecendo a acelerao e a velocidade inicial da partcula, podemos obter a velocidadeem cada instante

. A velocidade da partcula : #

'

!

. Pelo Teorema:

#

'

!

%

!

% #

' % #

8 '

#

ento:


18/62


#

' % #

'

!

#

'

1

% #

8 ' E

#

'

!

% #

' % #

8'

chamado o deslocamento da partcula. Logo, conhecendo a velocidadee a posio inicial da partcula, podemos obter sua posio em cada instante

. Um dos movi-mentos mais simples quando a partcula tem acelerao constante:

#

'

!

8

, para todo

. comum nas aplicaes considerar que o tempo inicial seja

8

! . Denotando a velocidade e

posio inicial respectivamente por #

'

!

8

e% #

'

!

% 8

, obtemos:

De (1): #

'

!

8

8

!

8

1

8

e de#

'

:% #

'

!

8

#

'

1

% 8

!

8

# 8

1

8 '

1

% 8

.

Logo,

% #

'

!

8

W

1

8

1

% 8 E

Neste caso, conhecendo a velocidade e a posio inicial da partcula obtemos sua trajetria.

No deslocamento vertical de uma partcula, escolhemos o eixo dos

do sistema de coordenadaspara a posio. Consideramos para cima a parte positiva do eixo dos

. O efeito da gravidade

na partcula diminuir a altura bem como a sua velocidade. Desprezando a resistncia doar, a acelerao constante

#

'

!

, onde

!

4

E

W

a acelerao gravitacional nasuperfcie da terra. Ento:

#

'

!

4

E

1

8

e% #

'

!

E

4

W

1

8

1

% 8

% #

'

medido em metros.

Exemplo 7.6.

[1] A velocidade de um foguete de

aps os primeiros!

de seu lanamento.Determine a distncia percorrida pelo foguete. Primeiramente, fazemos a converso de

para

multiplicando pela fraoB 8 8 8

& 8 8 , donde obtemos:

8

!

!

!

3

W

!

4

E

4

W

E

8

! ; logo #

'

!

4

E

4

e obtemos: #

!

'

!

4

E

4

(

8 8

W

! 3 3

E

. O foguete nos primeiros!

percorre uma distncia de

3 3

E

.

[2] Se uma bola jogada diretamente para cima a partir do cho com velocidade inicial de4

3

. Determine seu deslocamento. Primeiramente,% 8

! e

8

!

4

3 ; logo, #

'

!

4

E

1

4

3 . A bola atinge sua altura mxima quando

! ; ento, a altura mxima atingida no tempo:

!(

&

(

!

4

E5

4

. Logo,

% #

4

E5

4

'

!

E

4

#

4

E5

4

'

W

1

4

3

4

E5

4

!

5

E

E


19/62

7.6. CLCULO DE REAS 289

7.6 Clculo de reas

O clculo da rea de uma regio plana pode ser feito via integral definida. A seguir, estudare-

mos as situaes mais comuns.Teorema 7.6.

Sejam

funes contnuas. A rea de uma regio plana delimitada pelo grfico dasfunes contnuas

!

# % '

, !

# % '

e pelas retas%

!

e%

!

:

#

'

!

$ # %9 ' # % '

%

Se # % '

e # % '

! , para todo

%

, ento:

#

'

!

# % ' %

onde: ! 6

# %

' ) % )

)

) # % ' P

b

R

a

y=f(x)

Figura 7.15: ! 6

# %

' ) % )

)

) # % ' P

.

Se # % ' )

e # % '

! , para todo

%

, ento:

#

'

!

# % ' %

onde ! 6

# %

' ) % ) # % ' )

)

P

a

R

b

Figura 7.16: ! 6

# %

' )1 % ) # % ' )

)

P


20/62


Se$ # % ' # % '

, para todo%

, ento:

#

'

!

# %9 ' # % '

%

onde ! 6

# %

' )1 % ) # % ' )

) # % ' P

a b

f

g

R

Figura 7.17: ! 6

# %

' )1 % ) # % ' )

) $ # % ' P

.

Se$ # % ' # % '

, ) % )

e # % ' $ # % '

, ) % )

; ento, ! B

W

, onde:

B

! 6

# %

' ) % ) # % ' )

) # % ' P

e

W

! 6

# %

' ) % ) # % ' )

) # % ' P

#

'

!

# %9 ' # % '

%

1

# % '$ $ # % '

%

a b

f

c

g

Figura 7.18: !

B

W

.


21/62


Exemplo 7.7.

[1] Se em 1970, foram utilizados 20.3 bilhes de barris de petrleo no mundo todo e se a deman-

da mundial de petrleo cresce exponencialmente a uma taxa de

4

ao ano, ento a demanda

#

'

anual de petrleo no tempo

#

'

!

E

!

8

8

(

(

! em 1970). Se a demanda continua

crescendo a uma taxa de4

ao ano, qual ser a quantidade de petrleo consumida entre osanos de 1970 e 2005?

A quantidade de petrleo utilizada nesse perodo de tempo a rea sob a curva de demandaentre

! e

!

!

.

E

!

8

8

8

(

!

E

3

8

8

(

8

!

!

E

E

Logo, foram consumidos 5038.02 barris de petrleo.

5 10 15 20 25 30 35

100

200

300

400

5 10 15 20 25 30 35

100

200

300

400

Figura 7.19: A regio do exemplo [1].

[2] Calcule a rea da regio limitada pelo eixo dos%

e pelo grfico de !

%

W

. Neste problema

! e no so dados claramente os intervalos de integrao; mas, as intersees com os eixos

so os pontos:#

'

,#

'

e#

'

.

-2 -1 1 2

1

2

3

4

-2 -1 1 2

1

2

3

4


Logo, ! 6

# %

'

W

) % )

)

)

%

W

P

. Usando o fato de que a funo par:


22/62


!

W

X W

#

%

W

' %

!

W

8

#

%

W

' %

!

#

%

%

!

'

W

8

!

!

!

E E

[3] Calcule a rea da regio limitada pelo eixo dos%

e pelo grfico de !

%

"

%

W

1

.Determinemos a interseo da curva com os eixos coordenados:

i) Fazendo%

! ; ento, ! ; o ponto de interseo #

'

.

ii) Fazendo !

; ento, %

"

%

W

1 !

, clarametente%

!

e

%

! so raizes do

polinmio; logo, %

"

%

W

1 !

# %

' # %

1

' #

%

W

'

; os pontos de interseo so#

'

,#

'

,#

B

W

'

e#

B

W

'

.

fcil verificar que%

! ponto de mximo local e

%

!

so pontos de mnimo local de

. Logo, !

B

W

onde:

B

! 6

# %

'

W

) % )

%

"

%

W

1

)

)

P

#

W

! 6

# %

'

W

) % )

)

)

%

"

%

W

1

P

e

! 6

# %

'

W

) % )

%

"

%

W

1

)

)

P E

-0.5-1 10.5

1

-0.5

-0.5-1 10.5

1

-0.5

Figura 7.21: Grfico de ! B

W

.

Logo,

!

X

$

X B

#

%

"

%

W

1

' %

1

$

X

$

#

%

"

%

W

1

' %

B

$

#

%

"

%

W

1

' %

.

A funo

par. Usando a simetria da regio, calculamos a rea da regio no primeiro e quartoquadrantes e multiplicamos o resultado por

:

!

$

8

#

%

"

%

W

1

' %

B

$

#

%

"

%

W

1

' %

!

E E

[4] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos de !

%

W

e !

%

1

.


23/62


-2 -1 1 2

1

2

-2 -1 1 2

1

2


Novamente neste problema no so dados, claramente, os intervalos de integrao.

i) Calculemos as intersees dos grficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistemade equaes:

!

%

1

!

%

W

ou seja, resolvamos%

W

%

! ; temos:

%

!

e

%

!

. Os pontos de interseo so#

'

e#

'

.ii) Notemos que

%

1

%

W

se%

; logo:

!

W

X B

# %

1

%

W

' %

!

%

W

1

%

%

!

W

B

!

5

3

E E

[5] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos de !

%

W

%

"

e !

%

W

.

-1 1

-1

-1 1

-1


i) Calculemos as intersees dos grficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistemade equaes:

!

%

W

%

"

!

%

W


24/62


ou seja, resolvamos%

"

! ; temos:

%

!

e

%

! . Os pontos de interseo so

#

'

e#

'

.

ii) Notemos que%

W

%

"

%

W

se

%

; utilizando a simetria da regio:

!

B

X B

# %

"

1

' %

!

B

8

# %

"

1

' %

!

E E

[6] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das seguintes curvas: W

!

%

,

!

%

W

,

W

!

%

e

!

%

W

se

. As curvas so parbolas.


Pela simetria da regio, podemos calcular a rea da regio situada no primeiro quadrante emultiplicar o resultado por .

i) Observemos primeiro que

W

!

%

no funo de%

.

ii) Calculemos a interseo das curvas, resolvendo o sistema: 5

W

!

%

%

W

!

E

Ento,

%

"

!

W

W

; logo

%

"

%

!

, cujas razes:

%

!

e

%

!

so os limites de integrao.iii) A regio no primeiro quadrante, cuja rea queremos calcular limitada superiormente pelafuno

!

%

e inferiormente por !

%

W

, logo:

!

8

%

%

W

%

!

W

%

W

%

!

8

!

W

!

E E

[7] Calcule a rea da regio limitada pelas curvas: !

# % '

e !

W

.


25/62


-1-1


i) Calculemos as intersees das curvas:

!

# % '

!

W

E Se%

! , ento ! , se

%

!

W

, ento

! e se

%

!

, ento !

; logo, temos os pontos

#

'

e

W

e#

'

.

ii) Pela simetria da regio, podemos calcular a rea da regio situada no primeiro quadrante emultiplicar o resultado po

.

#

'

!

8

# % '

1

%

%

!

S

# % '

1

% # % '

W

8

!

E E

Observao Importante

Muitas vezes os problemas ficam mais simples de resolver se integramos em relao a

e noem relao a

%

. Podemos repetir o processo de partio num intervalo que fica no eixo dos

ea obteno das somas de Riemann.

Seja

a regio plana limitada pela direita pela funo%

!

#

'

, pela esquerda por%

!

#

'

e pelas retas !

e !

.

c

M(y)N(y)d

Figura 7.26: .


26/62


No difcil provar que se as funes

#

'

e

#

'

so contnuas em

, ento:

!

#

'

#

'

Por isso, para resolver os problemas de rea sempre indicado fazer o desenho da regio cor-respondente.

Exemplo 7.8.

[1] Calcule a rea da regio limitada pelas curvas

W

!

%

e !

%

.

i) As intersees das curvas so#

'

e#

'

.

ii) Sejam%

!

#

'

! 1 e

%

!

#

'

!

W .

-2 2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

-2 2 4 6 8 1 0

-4

-2

2

4


Ento:

!

"

XW

1

W

!

W

1

3

"

XW

!

E E

Sugerimos ao aluno fazer este problema integrando em relao a%

, para "sentir"as dificuldades.

[2] Calcule a rea da regio limitada pelas curvas

W

!

%

1 e

W

!

%

.

i) As intersees das curvas so#

'

e#

'

.

ii) Sejam%

!

#

'

!

W

e%

!

#

'

!

W

.


27/62


-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2


Ento, pela simetria:

!

W

XW

W

!

W

8

W

!

!

!

E E

Exemplos Diversos

[1] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos de ! S

# % '

e ! S

#

% '

,

) % )

.

3

-1

1

3

-1

1


Resolvendo S

# % '

! S

#

% '

!

S

# % '

# % '

para%

, temos que%

!,

%

!

e%

!

. A interseo das curvas ocorre em

#

'

,

#

W

'

e

#

'

. Dividamos a regio em duas:

B

! 6

# %

'

) % )

!

S

# % ' )

)

S

#

% ' P

W

! 6

# %

'

!

) % )

S

#

% ' )

)

S

# % ' P E

Ento,

!

8

S

#

% '

S

# % '

%

1

S

# % '

S

#

% '

%

!

E

.

[2] Calcule a rea da regio limitada pelo grfico das curvas: !

%

W

%

"

e !

% %

"

.


28/62


1

0.5

1

0.5


Determinemos o intervalo de integrao, resolvendo o sistema:

!

%

W

%

"

!

%

W

#

%

W

'

!

% %

"

!

% #

%

' E

Logo,%

! e

%

! ; ento, o intervalo de integrao

.

!

B

8

% %

"

%

W

%

"

%

!

B

8

% %

W

%

!

%

W

%

!

B

8

!

3

E E

[3] Calcule a rea comum a%

W

1

W

)

%

e%

W

1

W

)

.

-2 1 2 4

-2

2


Determinamos o intervalo de integrao, resolvendo o sistema:

%

W

1

W

!

%

W

1

W

!

% E

Ento,%

! e

!

!

. A equao%

W

1

W

!

%

corresponde a um crculo de raio

centradoem

#

'

; de fato, completando os quadrados obtemos:# %

'

W

1

W

!. Pela simetria da

regio, calculamos somente a rea da regio:

6

# %

'

)

)

!

) % )

%

W

P


29/62


no primeiro quadrante (em verde) e multiplicamos o resultado por quatro. Integrando emrelao a

:

!

8

#

W

'

!

W

8

!

!

!

E E

[4] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das curvas:%

!

W

e

%

! .

Determinemos o intervalo de integrao, resolvendo o sistema:

%

1

W

!

%

!

E

Ento, !

e !

. A interseo das curvas ocorre em#

!

'

e#

'

.

!

W

X B

#

W

1

'

!

W

!1

W

X B

!

4

E E

-3 -2 -1 1

-1

1

2

-3 -2 -1 1

-1

1

2


[5] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das seguintes curvas: !

5 %

W

3

% %

e !

%

.

!

5 %

W

3

% %

!

% #

% ' # %

3

'

; a curva intersecta o eixo dos%

nos pontos#

'

,#

'

e#

3

'

. Por outro lado, considerando !

5 %

W

3

% %

, temos

&

!

%

3

!

%

W

e

& &

!

3

%

;ento, os pontos crticos

e X

so, respectivamente, de mximo local e de mnimo local.Para obter as intersees das curvas, resolvemos o sistema:

!

5 %

W

3

% %

!

%

#

logo,5 %

W

% %

!

% # %

' # %

'

! ; as curvas se intersectam nos pontos de abscissas

%

! ,

%

!

e%

! .


30/62


2 52 5


A regio subdividida em duas regies

B

e

W

, onde:

B

! 6

# %

'

) % )

5 %

W

3

% %

)

)

% P

W

! 6

# %

'

) % )

% )

)5

%

W

3

% %

P E

Logo:

!

W

8

#

% 5

%

W

1

%

' %

1

W

5%

W

% %

%

!

%

W

5 %

!

1

%

"

W

8

%

W

1

5 %

!

%

"

W

!

3

!1

3

!

!

!

E E

[6] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das seguintes curvas: !

%

W

%

1

e !

%

W

.

-1 2 31

1

10

-1 2 31

1

10


As curvas se intersectam nos pontos de abscissas%

!

e

%

!

!

; ento:

!

X B

#

%

W

%

W

1

%

' %

!

X B

#

3 1

%

%

W

' %

!

3

!

E E


31/62


[7] Calcule a rea limitada pela curva#

'

W

!

%

, pela tangente a esta curva no ponto de

ordenada !

!

e pelo eixo dos%

.

-4 -2 2 4

1

2

3

-4 -2 2 4

1

2

3


Se

8

!

!

, ento% 8

!

. A equao da reta tangente no ponto#

!

'

a equao da retatangente !

& # % 8 ' # %

'

1

!

; para obter &

, derivamos implicitamente em relao a%

aequao

#

'

W

!

%

; temos:

#

'

&

! . No ponto

#

!

'

, temos:

'

!

B

W ; logo,

%

!

. Integrando em relao a

, teremos:%

!

#

'

!

#

'

W

1

,%

!

#

'

!

e

!

8

# #

'

W

1

#

' '

!

8

#

W

3

1

4

'

!

4

E E

[8] Determine a rea da regio limitada pela curva:

W

1

W

! ;

.


As intersees com os eixos so#

'

,#

'

,#

'

e#

'

. Como a curva simtrica em re-lao aos eixos coordenados, podemos calcular a rea da regio situada no primeiro quadrantee multiplicar o resultado por . Ento, consideramos:

!

#

W

%

W

'

no primeiro quadrante. A rea desta regio :

!

8

#

W

%

W

'

%

#


32/62


fazendo a mudana de variveis:%

!

S

#

'

, temos )

)

W e %

!

#

'

:

!

8

#

W

%

W

'

%

!

8

"

#

'

#

usando a identidade

"

#

'

!

1

W

W

1

"

,

!

8

"

#

'

!

8

!

1

#

'

1

#

'

!

!

3

E E

A rea pedida :

!

!

!

E E

[9] Calcule a soma das reas limitadas pela curva !

%

S

%

e o eixo dos%

, sabendo que%

S

, sendoS

.


!

8

%

S

%

%

W

%

S

%

%

1

E E E E E E

1

#

'

H B

H

H X B

%

S

%

% E

Vemos que

!

8

1

E E E E E E E E

1

H X B

, onde

a rea limitada pela curva, o eixo dos%

, se

) % ) #

1

'

e !

E E E

S

, ou seja,

!

B

%

S

%

%

considerando:

!

B

%

S

%

, se mpar. Integrando por partes temos:

!

B

%

S

%

%

!

#

1

'

W

#

' E

Logo,

!

W

#

1

!

1

1

E E E E E

1

#

S

' '

!

W

S

W

E E

, pois,

1

!

1

1

E E E E E

1

#

S

'

somade termos de uma P.A.

[10] Calcule a rea da regio limitada pela astride

%

W

1

W

!

W

,

.


33/62


As intersees da curva com os eixos coordenados so#

'

,#

'

,#

'

e#

'

. Pela sime-tria da curva, calculamos a rea da regio no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor .


Seja !

W

%

W

; logo,

!

8

W

%

W

% E

Fazendo a mudana%

!

S

#

'

, obtemos !

#

'

, %

!

!

S

W

#

'

#

'

; ento,

W

%

W

%

!

!

W

"

#

'

S

W

#

'

!

!

W

"

#

' #

W

#

' '

#

logo:

!

!

W

8

#

'

1

#

'

1

#

3

'

!

!

W

E E


34/62


7.7 Volume de Slidos de Revoluo

Se giramos uma regio plana em torno de uma reta, obtemos o que chamado um slido de

revoluo. A reta em torno da qual a regio girada chama-se eixo de revoluo. Por exemplo,considere a seguinte regio no plano:

Figura 7.39:

Girando a regio em torno do eixo dos%

, obtemos:

Figura 7.40: Slido gerado pela regio.

Exemplo 7.9.

[1] Seja

a regio limitada pelas curvas !

%

,%

!

e o eixo dos%

. Se giramos a regio

em torno do eixo dos%

, obtemos:

-1 1

-1

1

-1 1

-1

1

Figura 7.41: A regio e o slido, respectivamewnte.


35/62

7.7. VOLUME DE SLIDOS DE REVOLUO 305

[2] Seja

a regio limitada pelas curvas !

%

W

e !

. Se giramos a regio

em torno do eixodos

, obtemos

-1 1

1

-1 1

1

Figura 7.42: A regio e o slido, respectivamente.

[3] Seja a regio limitada pelo grfico de ! S# % '

para%

e o eixo dos%

.Se giramos a regio

em torno do eixo dos

%

obtemos o slido do desenho esquerda e segiramos a regio


, obtemos o slido do desenho direita:

1 3 6

-1

1

1 3 6

-1

1

Figura 7.43: A regio e os slidos, respectivamente.

[4] Seja

a regio limitada pelos grficos de !

%

W

,%

! ,

%

!

e pelo eixo dos%

. Se giramosa regio


%

, obtemos:

1 2

1

4

1 2

1

4



36/62


7.7.1 Clculo do Volume dos Slidos

Sejam

uma funo contnua tal que # % '

em

e a regio:

! 6

# %

' ) % )

)

) # % ' P


Fazendo girar a regio

aoredordoseixodos%

, obtemos um slido de revoluo

. Considere

a seguinte partio do intervalo

:

!

% 8T

% BT

% WT

E E E E ET

% H

!

. Como antes,

%

!

% % X B

o comprimento de cada subintervalo % X B %

,

variando de

atS

. Emcada subintervalo

% X B %

, escolha

,

variando de

atS

. Seja

o retngulo de altura # '

e base

%

,

variando de

atS

.

a b

f(x)

x xc ii-1 i

Ri

Figura 7.46:

Girando


obtemos um cilindro circular reto

de volume # '

W

%

.


37/62


R i

i

Ci

x

Rj

Cj

xj

Figura 7.47:

A soma dos volumes dosS

cilindros :

H

!

H

! B

# '

W

% E

H

uma aproximao do volume do slido de revoluo, quando

%

aproxima-se de , ou,equivalentemente, se

Scresce. Intuitivamente estamos preenchendo o slido de revoluo

por cilindros de altura pequena, dos quais sabemos efetivamente calcular o volume. Seguindoo mesmo raciocnio utilizado quando definimos rea de uma regio plana, temos:

#

'

!

8

H

B

# '

W

%

!

# % '

W

%

se o limite existe. possvel demonstrar que este limite sempre existe e independente das escolhas feitas. Se afuno

negativa em algum subconjunto de

, o slido de revoluo obtido a partir daregio limitada pelo grfico de

, o eixo dos%

e as retas%

!

e%

!

coincide com o slido derevoluo obtido a partir da regio limitada pelo grfico de

, o eixo dos

%

e as retas%

!

e%

!

. O fato de que o integrando # % '

W

, implica em que seja vlida a mesma frmula paraambos os casos.

11

11

Figura 7.48:

Proposio 7.2. Sejam


em

e a regio:

! 6

# %

' ) % )

)

) # % ' P


38/62


Considere o slido de revoluo

obtido girando a regio ao redor do eixo dos%

. Ento o volume

#

'

do slido

:

#

'

!

# % '

W

%

Em geral, este processo, pode ser feito para qualquer regio limitada pelos grficos de funescontnuas.Sejam

funes contnuas tais que$ # % ' # % '

para todo%

e aregio:

! 6

# %

' )1 % ) # % ' )

) # % ' P

a b

f

g

R

Figura 7.49: ! 6

# %

' )1 % ) # % ' )

) $ # % ' P

.

O volume do slido de revoluo

obtido girando


:

#

'

!

$ # % '

W

# % '

W

%

De forma anloga, sejam

funes contnuas tais que

#

'

#

'

paratodo

e a regio:

! 6

# %

' )

)

#

' ) % )

#

' P

c

d

M(y)

N(y)

R

Figura 7.50: ! 6

# %

' )

)

#

' ) % )

#

' P

.


39/62


O volume do slido de revoluo obtido girando

ao redor dos eixo dos

:

#

'

!

#

'

W

#

'

W

Em particular, para a reta%

!

#

'

! , ou seja, o eixo dos

.

#

'

!

#

'

W

Exemplo 7.10.

[1] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos%

a regio

limitada pela curva ! S

# % '

,

%

e o eixo dos

%

.

1 3 6

-1

1

1 3 6

-1

1

Figura 7.51: Regio e o slido do exemplo [1].

Pela simetria do slido, calculamos o volume da metade do slido e multiplicamos o resultadopor 2:

#

'

!

8

S

W

# % '

%

!

W

E E


a regiolimitada pela curva

!

,%

e o eixo dos%

, (

).



40/62


Pela simetria do slido, calculamos o volume da metade do slido e multiplicamos o resultadopor 2:

#

'

!

W

8

W

%

%

!

W

8

W

1

XW

1

%

!

W

1

S

E E



!

W

%

W

, )1 % )

e o eixo dos%

.

#

'

!

X

W

%

W

W

%

!

!

E E

Observe que o volume de revoluo o de uma esfera de raio

.

-1 1

1

-1 1

1



a regiolimitada pelos grficos de

!

!

%

W

e

!

%

1

.

1-1 2-3

1

4

1-1 2-3

1

4

Figura 7.54: Regio e o slido do exemplo [4]

Os limites de integrao so%

!

!

e%

! .

#

'

!

B

X

!

%

W

W

%

1

W

%

!

3

B

X

3

4

!

%

W

1

%

"

% %

!

3

E E

[5] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos

a regiolimitada pelo grfico de

# % '

W

1

W

!

W

, T T

.


41/62


b

a

y

a

-a


Sejam

#

'

!

1

W

W

e

#

'

!

W

W

. Os limites de integrao so !

e !

; ento:

#

'

!

X

#

'

W

#

'

W

!

X

W

W

E

Note que

X

W

W

a rea da regio limitada por um crculo de raio

; logo,

#

'

!

W

W

. A superfcie de revoluo obtida chamada toro.



!

,

) % )

e o eixo dos

%

.

1-1

1

4

1-1

1

4


#

'

!

B

X B

W

%

!

#

W

XW

'

E

.

7.7.2 Outros Eixos de Revoluo

Sejam


,%

e

a regio limitada pelogrfico de

, pelas retas%

!

,%

!

e !

. Considere o slido de revoluo

obtido girandoa regio ao redor da reta

!

. Ento, o volume

#

'

do slido

:

#

'

!

# # % '

'

W

%


42/62


Analogamente, se a regio

determinada pelo grfico da funo contnua%

!

#

'

,

e pelas retas !

, !

e%

!

, ento o volume do slido de revoluo obtidogirando ao redor da reta

%

!

:

#

'

!

#

'

W

Exemplo 7.11.

[1] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno da reta !

, a regiolimitada pela curva

!

%

W

,

) % )

e pela reta !

.

1 2

2

4

1 2

2

4


#

'

!

W

B

%

W

1

W

%

!

5

E E

[2] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno da reta%

!

a regio

limitada pelo grfico de%

!

W

1 e pelas retas !

.

1 2

-1

1

1 2

-1

1


Os limites de integrao so !

.

#

'

!

W

XW

W

1

#

'

W

!

W

XW

W

1

W

!

1

!1

W

X W

!

E E


43/62


[3] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno da reta%

!3 a regio

limitada pelo grfico de %

!

W

e pela reta%

! .

1 4 6

-4

4

1 4 6

-4

4


Os limites de integrao so ! .

#

'

!

"

X"

#

W

3

'

W

#

3

'

W

!

3

"

X"

"

W

1

!

5

3

E E

[4] Determine o valor de

tal que se a regio limitada pelas curvas !

1

%

, !

e%

!

, girar em torno da reta !

, o slido gerado tenha volume igual a

.Para obter

, devemos resolver a equao:

!

8

%

W

% # ' E

Fazendo !

%

W

,

!

% %

em (*), obtemos:

!

W

8

!

W

donde4

!

W

e

!

S

#

!

' E

1

4

1

4



44/62


7.7.3 Mtodo das Arruelas

Sejam

funo contnua tal que$ # % '

em

e a regio:

! 6

# %

'

) ) % )

)

) # % ' P E

Fazendo girar a regio ao redor dos eixo dos , obtemos um slido de revoluo . Se

,o slido possui um espao vazio internamente.

b

y=f(x)

R

xa

y

Figura 7.61:

Como antes, considere a seguinte partio do intervalo

:

!

% 8T

% BT

%W

TE E E E E

T% H

!

.

%

!

% % X B

o comprimento de cada subintervalo % X B %

,

variando de

atS

. Em

cada subintervalo % X B %

, escolha

!

%

1

% X B

, o ponto mdio do subintervalo

% X B %

,

variando de

atS

. Seja

o retngulo de altura # '

e base

%

,

variando de

atS

.

Fazendo girar


obtemos uma arruela cilndrica

de raio mdio

ealtura # '

.

R

y

i

Figura 7.62:

O volume de

$ # '

%

. A soma dos volumes dosS

cilindros :

H

!

H

B

$ # '

% E

H

uma aproximao do volume do slido de revoluo, quando

%

aproxima-se de , ouequivalentemente, se

Scresce. Intuitivamente estamos fatiando o slido de revoluo por


45/62


inmeras arruelas de altura pequena, das quais sabemos efetivamente calcular o volume. Se-guindo o mesmo raciocnio anterior, temos:

#

'

!

8

H

B

#

'

%

!

% # % '

%

se o limite existe. possvel demonstrar que este limite sempre existe e independente dasescolhas feitas. Em geral, este processo pode ser feito para qualquer regio limitada pelosgrficos de funes contnuas. Sejam

funes contnuas tais que # % '

# % '

para todo%

,

e a regio ! 6

# %

' ) % ) # % ' )

) # % ' P

.

a b

f

g

R

Figura 7.63: ! 6

# %

' ) % ) # % ' )

) $ # % ' P

O volume do slido de revoluo

obtido girando


:

#

'

!

% # # %9 ' # % ' ' %

Exemplo 7.12.



! S

# % '

, ) % )

e o eixo dos%

.

3

1

3

1


O volume :

!

8

%

S

# % ' %

!

W

E E


46/62




!

# % '

;

W

) % )

e o eixo dos%

.

1 2 6 9 12

-1

1

1 2 6 9 12

-1

1


O volume

!

B

, onde:

B

!

%

# % ' %

1

%

# % ' %

%

# % ' %

1

"

%

# % ' % E

Como

%

# % ' %

!

# % '

1

%

S

# % '

1

, ento,

!

#

1

B

W

'

E E


a regio

limitada pelas curvas !

%

&

e !

%

"

,

) % )

.

1

-1

1

1

-1

1


!

B

8

% #

%

&

%

"

' %

!

5

E E



!

# %

'

W

, ) % )

e o eixo dos%

.


47/62

7.8. CLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 317

1 2

1

1 2

1


!

W

8

% # %

'

W

%

!

!

E E

7.8 Clculo do Comprimento de Arco

Seja

uma funo derivvel. A poro

do grfico de

, comprendida entre ospontos:

!

# # ' '

e

!

# # ' '

chamado arco. Nosso interesse medir o comprimentodeste arco. Se a curva uma reta, para calcular o comprimento de arco

da reta, compreendido

entre os pontos#& % B # % B ' '

e# %

W $ # %

W' '

, usamos o Teorema de Pitgoras e obtemos:

# %W

% B '

W

1

# # %W

' $ # % B ' '

W

E

Generalizando esta idia para o grfico da funo contnua

, fazemos uma partio de ordemS

do intervalo

:

!

%9 8 T %c B T E E E E EG E T % H

!

; denotamos por

!

# % $ # % ' '

,

)

)

S.

x b=0 i-1 i n

n

i

i-1

1

Q

Q

0Q

a=x x x

Q

Q

Figura 7.68:

Ligando cada

X B

a

(

)

)

S) por um segmento de reta, obtemos uma linha poligonal

formada pela reunio dos segmentos de reta. Como sabemos calcular o comprimento de cadasegmento de reta, sabemos calcular o comprimento da poligonal. Intuitivamente, o compri-mento da poligonal bastante prximo do comprimento do arco da curva; ento:

H

!

H

B

# % % X B '

W

1

# $ # % ' $ # % X B ' '

W


48/62


o comprimento da poligonal. Aplicando o Teorema do Valor Mdio a

em cada subintervalo % X B %

, vemos que existe

# % X B % '

tal que # % ' # % X B '

!

&

# ' # % % X B '

, para cada

de at S ; logo,

H

!

H

B

# %

% X B

'

W

1

#

&

#

' # %

% X B

' '

W

!

H

! B

1

#

&

#

' '

W

# %

% X B

'

!

H

B

1

#

&

# ' '

W

%

onde

%

!

% % X B

. Novamente observamos que quandoS

cresce muito,

%

aproxima-sede zero e

H

aproxima-se do comprimento do arco. Se para cada partio do intervalo

, os

so escolhidos como antes, temos que o comprimento do arco

da curva :

!

8

H

B

1

#

&

# ' '

W

% E

Se

% '

uma funo contnua em

, possvel provar que o limite anterior sempre existee igual a

, para qualquer escolha da partio e dos

. Em tal caso, temos que:

!

1

#

&

# % ' '

W

%

Se a curva o grfico de uma funo%

!

#

'

definida no intervalo

, com as hiptesesanteriores, temos que:

c

g(y)

d

Figura 7.69:

!

1

#

&

#

' '

W

Exemplo 7.13.

[1] Calcule o comprimento de arco da curva !

%

W

entre os pontos#

'

e#

5

4

'

.Temos que:


49/62

7.8. CLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 319

30 20 10 10 20 30

2

4

6

8

10

Figura 7.70: Grfico de !

%

W

.

Ento:

# % '

!

%

W

&

# % '

!

!

% e

1

#

&

# % ' '

W

!

4

%

1

!

%#

logo:

!

!

W

4

%

1

%

%

. Seja !

4

%

W

1 ; logo,

!

&

%

.

!

"8

!

5

#

5

3

'

E E

( E E

unidades de comprimento.)


"

1

B

tal que

) % )

.

Primeiramente:

&

!

& # % '

!

%

B

"

; logo,

1

#

& '

W

!

# %

1

B

"

'

W

e

1

#

&

'

W

!

%

1

B

"

;

ento:

!

W

B

%

1

%

%

!

%

&

%

W

W

B

!

!

!

E E

[3] Calcule o comprimento de arco da catenria !

no intervalo

, tal que(

).

Figura 7.71: Grfico da catenria.

&

! S

; logo,

1

&

W

!

; ento:

!

X

%

%

!

S

E E


50/62



S

#

# % ' '

tal que ) % )

" .

0.2 0.4 0.6 0.8

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

Figura 7.72: Grfico de !

S

#

# % ' '

.

&

!

# % '

. Logo,

1

#

&

'

W

!

# % '

. Ento:

!

8

# % ' %

!

S

#

# % '

1

# % ' '

8

!

S

#

1

'

E E

7.9 Definio de Logaritmo Natural

Definio 7.3. A funo

S

#

1

'

definida por:

S

# % '

!

B

S

# % '

chamado logaritmo natural de%

.

Proposio 7.3. Das propriedades da integral definida e do Teorema Fundamental do Clculo, segueque:

1.

S

#

'

!

2.

S

# % ' T

se T % T

3.

S

# % '

se%

4.

S

# % ' &

!

%

5. A funo logartmica crescente.

7.9.1 Logaritmo como rea

Seja

a regio limitada pelo grfico da funo #

'

!

B

, o eixo dos x e as retas

! e

!

%

.


51/62

7.10. TRABALHO 321

11 11

Figura 7.73: A regio

.

Geometricamente,

S

# % '

definido por

S

# % '

!

rea#

'

se ) %

rea#

'

se T

%T

E

Se%

! ,

um segmento de reta; logo, a rea#

'

! e

S

#

'

! . Por outro lado,

verefiquemos que

S

# %

'

!

S

# % '

1

S

#

'

, para todo%

#

1

'

. De fato:

S

# %

'

!

B

!

B

1

!

S

# % '

1

E

Fazendo

!

%

, tem-se,

!

%

e:

!

B

!

S

#

' E

S

# %

'

!

S

# % '

#

%

e

. De fato

S

# %

'

!

B

. Fazendo

!

, tem-se,

!

X B

e:

B

!

B

!

S

# % ' E

Em particular,

S

!

S

# % '

S

#

'

;%

.

S

%

!

S

%

X B

!

S

# % '

1

S

#

X B

'

!

S

# % '

S

#

' E

Podemos agora definir a funo exponencial assim: !

se, e somente se%

!

S

#

'

. Todas as

propriedades da funo exponencial podem ser demonstradas a partir desta definio.

7.10 Trabalho

Consideremos uma partcula de massa que se desloca ao longo de uma reta sob a influnciade uma fora

. Da segunda lei de Newton, sabemos que

dada pelo produto da massa pelasua acelerao

: !

. Se a acelerao constante, ento a fora tambm constante. Otrabalho

realizado pela partcula para deslocar-se ao longo de uma reta, percorrendo umadistncia

dado pelo produto da fora pela distncia:

!

,

medido em

(Joule).


52/62


Se uma fora varivel !

$ # % '

(

funo contnua ) atua sobre um objeto situado no ponto%

do eixo dos%

, o trabalho realizado por esta fora quando o objeto se desloca de

at

ao longodeste eixo, dado por:

!

# % ' %

medido em

(Joule).

De fato, suponhamos que a partcula desloca-se ao longo do eixo dos%

de%

!

at%

!

.Consideremos a funo contnua

. Subdividamos o intervalo

efetuandouma partio de ordem

Stal que os subintervalos

% X B %

tem o mesmo comprimento

%

!

% % X B

, para

)

)

S. Seja

% X B %

; a fora no ponto

# '

. Se

%

, a funocontnua

restrita ao subintervalo % X B %

quase constante (varia muito pouco); ento otrabalho

realizado pela partcula para mover-se de% X B

at%

:

!

# '

%

e otrabalho total

H

,

H

!

H

B

$ #

'

%

. possvel provar, com rigor matemtico, que o

seguinte limite sempre existe e igual ao trabalho

realizado pela partcula:

!

H

H

!

8

H

B

# '

% E

E mais ainda, este limite no depende da escolha da partio do intervalo ou da escolha dospontos

.

Exemplo 7.14.

[1] Uma partcula localizada a uma distncia de%

da origem. Uma fora de

# %

"

1

%

1

!

%

W

'

age sobre a partcula quando a mesma se move de%

! at

%

!

. Qual o trabalhorealizado pela partcula para deslocar-se?

!

W

B

%

"

1

%

1

!

%

W

%

!

5

E

[2] Qual o trabalho realizado ao se esticar uma mola em

sabendo que a fora de

a

estica em

? (

=Newton)

De acordo com a lei de Hooke, a fora de

que estica em%

a mola dada por

!

%

,onde

uma constante. Como%

!

E

e !

, temos !

e !

%

. O trabalhorealizado ser:

!

8

8

8

% %

!

E

!

E

[3] Energia Cintica: O trabalho realizado por uma fora

atuando sobre uma partcula demassa

que se move de

% B

at%

W

. Usando a segunda lei de Newton, a regra da cadeia e

considerando que B

e

W

so as velocidades da partculas em% B

e%

W

, obtemos:

!

$

# % ' %

!

W

$

!

#

W

W

W

B

'

pois,

!

!

!

. A expresso

W chamada energia cintica do corpo emmovimento com velocidade

. Logo, o trabalho realizado por uma fora

igual variao daenergia cintica do corpo e o clculo desta variao dar o trabalho realizado.Qualquer fenmeno que possa ser estudado utilizando parties pode ser modelado por inte-grais definidas. Outras aplicaes da integral definida podem ser encontradas nos exerccios.


53/62

7.11. EXERCCIOS 323

7.11 Exerccios

1. Calcule as seguintes integrais usando o mtodo de substituio:

(a)

X B

%

1

!

%

(b)

W

# % '

# % '

%

(c)

8

W

1

# % '

W

1 S

# % '

%

(d)

8

W

#

% '

1

#

% '

%

(e)

8

S

# % '

# % ' %

(f)

B

8

W

W

1

%

(g)

8

S

# % '

S

#

# % ' ' %

(h)

8

W

# % '

(

%

(i)

"

B

%

%

(j)

B

8

#

%

'

B 8 8

%

(k)

8

%

%

1

!

(l)

W

%

%

S

# % '

(m)

W

8

%

W

%

1

%

(n)

B

8

S

#

' %

(o)

B

%

#

!

%

W

%

1

'

"

%

(p)

B

8

%

W

%

(q)

W

B

%

%

W

1

%

(r)

B

8

S

# % '

%

W

%

(s)

B

8

%

1

%

(t)

S

#

%

1

'

%

1

%

(u)

8

# %0 '

% %

W

%

#

!

(v)

8

# % '

3

S

# % '

1 S

W

# % '

%

(w)

W

B

S

#

S

# % ' '

%

%

(x)

B

8

%

W

%

&

1

%

2. Calcule as seguintes integrais usando o mtodo de integrao por partes:

(a)

B

8

%

X

%

(b)

8

W

S

#

!

% ' %

(c)

8

!

# % ' %

(d)

B

8

%

"

X

%

(e)

"

W

%

S

#

% ' %

(f)

B

8

# % ' %

(g)

$

8

%

%

W

%

(h)

%

W

# % ' %

(i)

B

8

%

#

apostila matemática cálculo cefet capítulo 07 integração definida

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