Cálculo Diferencial e Integal I

Curso de Matemática

Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry

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Regra da Substituição

Utilizamos a regra da substituição para calcular integrais do tipo

2𝑥 𝑥2 + 1𝑑𝑥

Podemos fazer a seguinte relação:

A antiderivada da função que foi obtida a partir da regra da cadeia é dada pela regra da substituição.

Regra da Substituição

Regra da Substituição: Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo 𝐼, então

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

Para ilustrar tomemos o exemplo anterior

2𝑥 𝑥2 + 1𝑑𝑥

2) 𝑥2 cos(𝑥3−5) 𝑑𝑥

Exercício

Resolva as integrais

𝑎) 𝑒2𝑥 𝑑𝑥

𝑏) sec2 𝑥 𝑑𝑥

𝑐) cos(5𝑥) 𝑑𝑥

𝑑) 3𝑥2 + 𝑥 + 1 10 𝑑𝑥

e) tg 𝑥 𝑑𝑥

Integral Definida

Para tratarmos do conceito de integral definida, abordaremos o problema da área de uma região 𝑆 abaixo da curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 de 𝑎 até 𝑏.

Integral Definida

Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

Para determinarmos a área da

região 𝑆 abaixo da curva

𝑦 = 𝑓 𝑥 em 𝑎, 𝑏 , dividimos

𝑎, 𝑏 em 𝑛 subintervalos

𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏

Note que a amplitude de cada

subintervalo será ∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛

Integral Definida

Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

Agora consideremos um ponto

amostral 𝑐𝑖 em [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

qualquer.

Ao fazermos 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥 obtemos

a área do retângulo 𝑅𝑖

determinado pelas retas

𝑥 = 𝑥𝑖−1 , 𝑥 = 𝑥𝑖 , 𝑦 = 0 e

𝑦 = 𝑓 𝑐𝑖 .

Integral Definida

Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

Fazendo o mesmo para cada

retângulo e somando todas as

áreas, teremos uma

aproximação da área de 𝑆.

𝐴𝑆 ≈ 𝑓 𝑐1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑐2 ∆𝑥 + …+ 𝑓 𝑐𝑛 ∆𝑥 = 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥

𝑛

𝑖=1

Integral Definida

Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

Fazendo o mesmo para cada

retângulo e somando todas as

áreas, teremos uma

aproximação da área de 𝑆.

𝐴𝑆 ≈ 𝑓 𝑐1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑐2 ∆𝑥 + …+ 𝑓 𝑐𝑛 ∆𝑥 = 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥

𝑛

𝑖=1

SOMA DE RIEMANN

Integral Definida

Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

Observe que se a quantidade

de retângulos aumentar,

obtemos uma área cada vez

mais aproximada da área de 𝑆.

Assim, fazendo 𝑛 → ∞ teremos

a área exata de 𝑆, isto é,

𝐴𝑆 = lim𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥

𝑛

𝑖=1

Integral Definida

Definição: Seja 𝑓 uma função contínua definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 . Dividindo 𝑎, 𝑏 em 𝑛 subintervalos

iguais ∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥

𝑛

𝑖=1

onde 𝑐𝑖 é um ponto amostral tomado em [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

Note que se 𝑓 ≥ 0 então:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒

𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥

Integral Definida

• Se admitirmos valores positivos e negativos para 𝑓 em 𝑎, 𝑏 , obtemos a diferença entre as áreas (acima do eixo 𝑥

e abaixo deste eixo).

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= A1 − A2

Integral Definida

O Teorema que veremos a seguir nos fornece um método para calcular a área e integrais muito mais facilmente, sem que seja necessário calculá-las como limite das somas.

Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2): Se 𝑓 for contínua em um intervalo fechado [a,b], então

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝑓(𝑎)𝑏

𝑎

onde 𝐹 é qualquer antiderivada de 𝑓, isto é, uma função 𝐹′ = 𝑓.

Exemplo: Calcule a integral definida

3𝑥5 − 𝑒𝑥𝑑𝑥1

0

Integral Definida

Encontre a área da região e faça o gráfico:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 0 , 3

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −2 , 2

Aplicações de Integral

Além do cálculo da área abaixo da curva, a integral definida pois diversas aplicações. A seguir trataremos de uma delas:

• Volume de sólidos de Revolução: Método dos discos circulares.

Uma aplicação de Integral

Além do cálculo da área abaixo da curva, a integral definida pois diversas aplicações. A seguir trataremos de uma delas:

• Volume de sólidos de Revolução: Método dos discos circulares.

𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 2 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Uma aplicação de Integral

Exemplos:

1. Determine o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 𝒚 = 𝒙𝟐 em [−𝟏, 𝟏] é girada em torno do eixo x.

2. Ache o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 𝒚 = 𝒙 em [𝟏, 𝟒] é girada em torno do eixo x.