cálculo diferencial e integal i - unemat - integral definida o teorema que veremos a seguir...

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  • Cálculo Diferencial e Integal I

    Curso de Matemática

    Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry

    Contents-5ETMV.ppt Contents-5ETSV.ppt

  • Regra da Substituição

    Utilizamos a regra da substituição para calcular integrais do tipo

    2𝑥 𝑥2 + 1𝑑𝑥

    Podemos fazer a seguinte relação:

    A antiderivada da função que foi obtida a partir da regra da cadeia é dada pela regra da substituição.

  • Regra da Substituição

    Regra da Substituição: Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo 𝐼, então

    𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

    Para ilustrar tomemos o exemplo anterior

    2𝑥 𝑥2 + 1𝑑𝑥

    2) 𝑥2 cos(𝑥3−5) 𝑑𝑥

  • Exercício

    Resolva as integrais

    𝑎) 𝑒2𝑥 𝑑𝑥

    𝑏) sec2 𝑥 𝑑𝑥

    𝑐) cos(5𝑥) 𝑑𝑥

    𝑑) 3𝑥2 + 𝑥 + 1 10 𝑑𝑥

    e) tg 𝑥 𝑑𝑥

  • Integral Definida

    Para tratarmos do conceito de integral definida, abordaremos o problema da área de uma região 𝑆 abaixo da curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 de 𝑎 até 𝑏.

  • Integral Definida

    Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

    Para determinarmos a área da

    região 𝑆 abaixo da curva

    𝑦 = 𝑓 𝑥 em 𝑎, 𝑏 , dividimos

    𝑎, 𝑏 em 𝑛 subintervalos

    𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏

    Note que a amplitude de cada

    subintervalo será ∆𝑥 = 𝑏−𝑎

    𝑛

  • Integral Definida

    Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

    Agora consideremos um ponto

    amostral 𝑐𝑖 em [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

    qualquer.

    Ao fazermos 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥 obtemos

    a área do retângulo 𝑅𝑖

    determinado pelas retas

    𝑥 = 𝑥𝑖−1 , 𝑥 = 𝑥𝑖 , 𝑦 = 0 e

    𝑦 = 𝑓 𝑐𝑖 .

  • Integral Definida

    Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

    Fazendo o mesmo para cada

    retângulo e somando todas as

    áreas, teremos uma

    aproximação da área de 𝑆.

    𝐴𝑆 ≈ 𝑓 𝑐1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑐2 ∆𝑥 + …+ 𝑓 𝑐𝑛 ∆𝑥 = 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥

    𝑛

    𝑖=1

  • Integral Definida

    Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

    Fazendo o mesmo para cada

    retângulo e somando todas as

    áreas, teremos uma

    aproximação da área de 𝑆.

    𝐴𝑆 ≈ 𝑓 𝑐1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑐2 ∆𝑥 + …+ 𝑓 𝑐𝑛 ∆𝑥 = 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥

    𝑛

    𝑖=1

    SOMA DE RIEMANN

  • Integral Definida

    Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 .

    Observe que se a quantidade

    de retângulos aumentar,

    obtemos uma área cada vez

    mais aproximada da área de 𝑆.

    Assim, fazendo 𝑛 → ∞ teremos

    a área exata de 𝑆, isto é,

    𝐴𝑆 = lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥

    𝑛

    𝑖=1

  • Integral Definida

    Definição: Seja 𝑓 uma função contínua definida em um intervalo fechado 𝑎, 𝑏 . Dividindo 𝑎, 𝑏 em 𝑛 subintervalos

    iguais ∆𝑥 = 𝑏−𝑎

    𝑛

    𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

    𝑎

    = lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥

    𝑛

    𝑖=1

    onde 𝑐𝑖 é um ponto amostral tomado em [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

    Note que se 𝑓 ≥ 0 então:

    𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

    𝑎

    = á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒

    𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥

  • Integral Definida

    • Se admitirmos valores positivos e negativos para 𝑓 em 𝑎, 𝑏 , obtemos a diferença entre as áreas (acima do eixo 𝑥

    e abaixo deste eixo).

    𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

    𝑎

    = A1 − A2

  • Integral Definida

    O Teorema que veremos a seguir nos fornece um método para calcular a área e integrais muito mais facilmente, sem que seja necessário calculá-las como limite das somas.

    Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2): Se 𝑓 for contínua em um intervalo fechado [a,b], então

    𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑏

    𝑎

    onde 𝐹 é qualquer antiderivada de 𝑓, isto é, uma função 𝐹′ = 𝑓.

    Exemplo: Calcule a integral definida

    3𝑥5 − 𝑒𝑥𝑑𝑥 1

    0

  • Integral Definida

    Encontre a área da região e faça o gráfico:

    a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 0 , 3

    a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 −2 , 2

  • Aplicações de Integral

    Além do cálculo da área abaixo da curva, a integral definida pois diversas aplicações. A seguir trataremos de uma delas:

    • Volume de sólidos de Revolução: Método dos discos circulares.

  • Uma aplicação de Integral

    Além do cálculo da área abaixo da curva, a integral definida pois diversas aplicações. A seguir trataremos de uma delas:

    • Volume de sólidos de Revolução: Método dos discos circulares.

    𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏

    𝑎

  • Uma aplicação de Integral

    Exemplos:

    1. Determine o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 𝒚 = 𝒙𝟐 em [−𝟏, 𝟏] é girada em torno do eixo x.

    2. Ache o volume do sólido obtido quando a região sob a curva 𝒚 = 𝒙 em [𝟏, 𝟒] é girada em torno do eixo x.