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Matemtica Prof. Henrique Frana
NMEROS NATURAIS
1. Conjunto dos nmeros Naturais (I)I= { 0, 1, 2, 3 ... }
1.1 Operaes com nmeros Naturais
1.1.1 Adio
x + y = z xe y parcelaszsoma ou total
Propriedades da adio
a) Fechamento: A soma de dois nmerosnaturais um nmero natural.Ex.: 5 + 12 = 17
b) Comutativa: A ordem das parcelas noaltera a soma.Ex.: 3 + 8 = 11
3 + 8 = 8 + 38 + 3 = 11
c) Elemento Neutro:O nmero zero.Ex.: 0 + 5 = 5
5 + 0 = 5
d) Associativa: A adio de trs nmerosnaturais pode ser feita associando-se asduas primeiras ou as ltimas parcelas.Ex.:(2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 (2 + 3) + 5 =2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 2 + (3 + 5)
Exerccio: Numa adio de 5 parcelas, a 1 ea 2 so respectivamente, 600 e 700; a 3 igual diferena entre as duas primeiras; a 4 igual soma da 1 com a 3 e a 5 igual diferena entre a 4 e a 3. Calcule a soma.
Resp. 2700
1.1.2 Subtraox minuendo
x - y = z y subtraendozresto ou diferena
Exerccio: Numa subtrao, o dobro dominuendo 160. Calcule o resto, sabendoque o subtraendo vale 20. Resp. 60
1.1.3 Multiplicao
x . y = z xeyfatoresz produto
Propriedades da multiplicao
a) Fechamento: O produto de doisnmeros naturais um nmero natural.Ex.: 5 . 8 = 40
b) Comutativa: A ordem dos fatores noaltera o produto.Ex. 2 . 7 = 14
2 . 7 = 7 . 27 . 2 = 14
c) Elemento Neutro: O nmero um.Ex. 8 . 1 = 8 ou 1 . 8 = 8
d) Associativa: A multiplicao de trs n-meros naturais pode ser feitoassociando-se de dois primeiros ou osdois ltimos fatores.Ex.(3 . 5) . 2 = 15 . 2 = 30
(3.5).2=3 . (5.2)3 . (5 . 2) = 3 . 10 = 30
e) Distributiva em relao adio: Namultiplicao de uma soma por umnmero natural, multiplica-se cada umdos termos por esse nmero.Ex.5 (3 + 2) = 5 . 5 = 25
5(3+2)=5.3+5.25.3+ 5.2 = 15+10 = 25
Exerccio: O produto de dois nmeros 96. Qual o produto de um nmero 2vezes maior do que o primeiro por outronmero 5 vezes maior do que osegundo? Resp. 960
1.1.4 Diviso
D| dr q ou D = d . q + r
DDividendod DivisorqquocienterResto
Obs.: Diviso exata: r = 0.Maior resto possvel: R = d 1
No existe diviso por zero (0).
Exerccio: O quntuplo de um nmero,dividido por este nmero aumentado de duasunidades, d quociente 3 e deixa resto 2.
Qual este nmero? Resp. 4
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1.1.5 Potenciao
xbasexy= z yexpoente
zpotncia
Propriedades da potenciao
a) x0= 1, x 0b) x1= xc) xm. xn= xm+n
d) n-mx=n
m
x
x, x 0
e) (xm)n= xm . nf) (x . y)m= xm. ym
g)m
m
yy
x mx=
, y 0
Obs.:322 xx
3
ExerccioCalculea) 23=b) 30=c) 51=d) 23. 22=e) 54. 52=f) (23)2=
g) =223
h) (2 . 3)3=
i) =
32 2
j) 2
155052713=
k) 2
92557072005=
l) =
5
5
10317
223
m)
32
3222
22729
546754
=
1.1.6 Radiciao
y=n
x x
Radicandon ndiceyRaiz
Exerccio:
a) 36
b) 144
c) 1024
d) 3 729 e) 4 625
1.2 Expresses numricas envolvendo asoperaes estudadas.
1. Resolvemos as potncias e razes /eliminamos os parnteses.
2. Resolvemos as multiplicaes e divises/ eliminamos os colchetes.
3. Resolvemos adies e subtraes /eliminamos as chaves.
ExerccioResolva as seguintes expresses.
a) 120 : 22+ 10 . (11 2 . 22) (3 + 32+ 33) : 13Resp.: 57
b) 202: 52+ 20. 72 82Resp.: 1
c) 22+ [3 . (17 23: 4) + 81 ] : (4 1)2Resp.: 10
d) [(52 2 . 32)2+ (25 : 5)3 (39 : 3)2]2: (82 7 . 32)5Resp.: 25
e) [50(10+4)] {15[9- 16 + (8 7)+ 36 ]} - 100 Resp.: 23
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Exerccios Complementares
01. A soma dos trs nmeros naturais que figuramnuma subtrao 128. O resto triplo dosubtraendo. Determinar o subtraendo.a) 48
b) 16c) 64d) 32e) 27
02. Calcule o quociente de uma diviso, sabendoque, aumentando 52 unidades ao dividendo e 4unidades ao divisor, o quociente e o resto no sealteram.a) 11b) 12c) 13d) 14e) 15
03. Numa diviso, o quociente 48, o resto a teraparte do quociente e o resto o maior possvel.Calcular o dividendo.a) 16b) 17c) 420d) 832e) 975
04. Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeirahora. A partir das demais cobrado o valor dahora antecedente mais uma taxa de R$ 0,50. Se
um carro passou 4 horas estacionado, quantodever ser pago?a) R$ 13,50b) R$ 11,00c) R$ 12,50d) R$ 15,37e) R$ 15,00
05. Num estacionamento fizeram um trabalho paraque coubesse carros e motos, um certo dia tinha12 carros e 7 motos. O valor pago por cada carro de R$ 3,00 a hora e por cada moto R$ 1,50 ahora. Qual o valor a ser recebido se as motos eos carros permanecerem estacionados por um
perodo de 5 horas?a) R$ 216,00b) R$ 232,50c) R$ 180,25d) R$ 160,30e) R$ 192,30
06. A diferena entre o maior nmero de trsalgarismos diferentes e o menor nmero tambmde trs algarismos diferente :a) 864b) 887c) 932
d) 899e) 885
07. Rodrigo possui uma coleo de CDs, contendo288 no total. Ele quer comprar um porta-CD quecusta R$ 26,00, mas um porta-CD comporta, nomximo, 48 CDs. Quanto ele gastar emporta-CDs, de modo que toda sua coleo fiqueguardada?
a) R$ 156,00b) R$ 170,00c) R$ 288,00d) R$ 164,00e) R$ 148,50
08. Um pai tem 9 filhos e cada filho tem uma irm, elevai deixar uma herana de R$90.000,00. Quantoir receber cada filho?a) R$ 5.000,00b) R$ 6.000,00c) R$ 7.000,00d) R$ 8.000,00e) R$ 9.000,00
09. Uma diretora deseja formar turmas de 38 alunos.Como existem 450 alunos matriculados, umadelas ficar incompleta. Para completar estaturma, ela dever matriculara) 11 alunosb) 12 alunosc) 6 alunosd) 32 alunose) 8 alunos
10. Um camel comprou 600 canetas, planejandorevend-las a R$ 2,75 cada uma. No entanto
algumas das canetas compradas estavamestragadas e no podiam ser vendidas. Paracontinuar recebendo a mesma quantia, o camelaumentou o preo de venda para R$3,00.Quantas canetas estavam estragadas?a) 30b) 40c) 50d) 60e) 70
GABARITO
01. B 03.D 05.B 07.A 09.C02.C 04.E 06. E 08.E 10.C
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MLTIPLOS E DIVISORES
1. Critrios de Divisibilidade
Divisibilidade por 2Um nmero divisvel por
2 quando par.Nmeros pares so os que terminam em 0, ou 2,
ou 4, ou 6, ou 08.
Ex.: 42; 100; 1445086; 8; 354.
Divisibilidade por 3 Um nmero divisvel por3 quando a soma dos seus algarismos divisvel por3.
Ex.: 123 (s = 1 + 2 + 3 = 6); 36 (s = 3 + 6 = 9);1478391 (s = 1 + 4 + 7 + 8 + 3 + 9 + 1 = 33)
Divisibilidade por 4Um nmero divisvel por4 quando os dois ltimos algarismos formam umnmero divisvel por 4.
Ex.: 956; 6844; 8357916; 752; 2700
Divisibilidade por 5Um nmero divisvel por5 quando termina em 0 ou 5.
Ex.: 475; 576890; 65; 105; 176592340
Divisibilidade por 6Um nmero divisvel por6 quando divisvel por 2 e 3 ao mesmo tempo.
Ex.: 36; 24; 126; 1476; 13478382
Divisibilidade por 7 Tomar o ltimo algarismoe calcular seu dobro, subtrair esse resultado donmero formado pelos algarismos restantes. Se oresultado for divisvel por 7 ento, o nmero originaltambm ser divisvel por 7.
Ex.1: 238 : 8 . 2 = 16, 23 16 = 7 como 7 divisvel por 7, 238 tambm divisvel.
Ex.2: 693 : 3 . 2 = 6, 69 6 = 63, como 63 divisvel por 7, 693 tambm divisvel.
Ex.3: 235 : 5 . 2 = 10, 23 10 = 13, como 13 no divisvel por 7, 235 tambm no divisvel.
Divisibilidade por 8Um nmero divisvel por8 quando os trs ltimos algarismos formam umnmero divisvel por 8.
Ex.: 876400; 152; 24532816
Divisibilidade por 9Um nmero divisvel por 9quando a soma dos seus algarismos divisvel por 9.
Ex.: 36; 198; 5463; 5461047
Divisibilidade por 10 Um nmero divisvelpor 10 quando termina em 0.
Ex.: 100; 120; 1252780
Divisibilidade por 11Quando a diferena entreas somas dos algarismos de ordem mpar e de ordempara, a partir da direita for mltipla de 11.
Ex.: 7973207 s(ordem mpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23;s(ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferena 23 12 = 11
2. Fatorao completa de um nmero naturalTodo nmero natural, no primo, pode ser
decomposto de forma nica em um produto de fatoresprimos.
Exerccio:Fatorar o nmero 480.
3. Determinando o conjunto dos divisoresnaturais de um nmero1 Fatoramos o nmero dado.2 Anotamos o nmero 1, que divisor de todosos nmeros.3 Multiplicamos o primeiro fator primo pelonmero 1 e anotamos o resultado.4 Multiplicamos o prximo fator pelos divisores jobtidos e anotamos os resultados. (no repetimosresultados).
Exerccio:Determine os divisores dos nmeros 180 e 1200.
4. Mximo Divisor Comum (MDC)O MDC de vrios nmeros naturais dado pelo
produto dos fatores comuns com os menoresexpoentes.
Exerccios:1. Calcule
a) MDC (180, 108) Resp.: 36
2. Trs fios que medem respectivamente 24 m,84m e 90m foram cortados em pedaosiguais e do maior tamanho possvel. Ento onmero de pedaos e o tamanho de cada umpedao ser?
Resp.: 33 pedaos de 6m cada.
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5. Mnimo Mltiplo Comum (MMC)
O MMC de vrios nmeros naturais dado peloproduto dos fatores comuns e dos no comuns comos maiores expoentes.
Exerccios:1. Calculea) MMC (180, 108) Resp.: 540
2. Um nibus chega num terminal rodovirio acada 4 dias. Um segundo nibus chega aoterminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada 7dias. Numa ocasio, os trs nibus chegaramao terminal no mesmo dia. E a prxima vezem que chegaro juntos novamente, aoterminal, ocorrer depois de quantos dias?
Resp.: 84 dias
Exerccios Complementares
01. O nmero de fitas de vdeo que Marcela possuiest compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20,sempre resta uma fita. A soma dos trsalgarismos do nmero total de fitas que elapossui igual a:
a) 3b) 4c) 6d) 8e) 11
02. Trs torneiras esto com vazamento. Daprimeira, cai uma gota de 4 em 4 minutos; dasegunda uma de 6 em 6 minutos e da terceira,uma de 10 em 10 minutos. Exatamente s 2horas cai uma gota de cada torneira. A prximavez em que pingaro juntas novamente ser s:a) 3 horas
b) 4 horasc) 2 horas e 30 minutosd) 3 horas e 30 minutose) 5 horas
03. De um aeroporto parte trs avies que fazemrotas internacionais. O primeiro faz a rota de idae volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e oterceiro em 10 dias. Se, num certo dia, os trsavies partirem simultaneamente, depois dequantos dias esses avies partiro novamente
no mesmo dia?a) 5 b) 10c) 15 d) 20e) 25
04. O produto das idades de trs amigos adoles-centes (entre 12 e 19 anos) corresponde a 4080anos. Qual a soma de suas idades em anos?a) 46b) 47c) 48d) 49e) 50
05. Um nmero tem 80 divisores e expresso por2x. 33. 5, pode-se dizer que o valor de x :a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
06. Fatorando determinado nmero encontra-se23. 33. 5y. 7. Sabendo-se que esse nmero tem96 divisores naturais, o valor de y :a) 1b) 3c) 5d) 4
e) 2
07. Seja a e b nmero inteiro tais que o MDC(a, b)=6e ab=132. O Mnimo Mltiplo Comum de a e b :a) 25b) 24c) 23d) 22e) 21
08. Na procura do MDC de dois nmeros peloprocesso das divises sucessivas encontram-seos quocientes 1, 1 e 4 respectivamente. Saben-
do-se que o MDC 13, o maior dos nmeros :a) 117b) 104c) 130d) 143e) 470
09. Um antiqurio adquiriu 112 tinteiros, 48 esptu-las e 80 canivetes. Deseja arrum-los emmostrurios, de modo que ir conter o mesmo eo maior nmero possvel de objetos no total eem natureza. O total de objetos em cadamostrurios ser de:
a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17
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10. Trs fios que medem respectivamente 24m, 84me 90m foram cortados em pedaos iguais e domaior tamanho possvel. Ento o nmero depedaos obtidos :a) 29b) 30
c) 31d) 32e) 33
11. Seja a um nmero natural tal que: a = 3M . 4N,como M, N I*. Se (25.a) possui 60 divisoresinteiros, calcule a.a) 30b) 12c) 1d) 16e) 48
GABARITO
01. B 04.C 07.D 10.E02.A 05.D 08.A 11. E03.D 06. E 09.C
NMEROS INTEIROS
o conjunto formado por nmeros negativos epositivos. Representa-se pela letra Z.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Obs.: o smbolo Z* indica que o elemento 0 (zero) foiexcludo do conjunto, ficando ento:
Z = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
OPERAES COM NMEROS INTEIROS
Adio e SubtraoPara adicionar ou subtrair nmeros inteiros,
podemos utilizar a seguinte regra: se os nmerostiverem mesmo sinal, adicionamos os nmeros erepetimos o sinal. Caso tenham sinais diferentes,subtramose damos ao resultado o sinal do maior.
Ex.: +7 -3 = +4Ex.: -8 -5 = -13Ex.:(+4) (-2) = +4+2 = 6Ex.:(-5) + (-7) = - 5 7 = - 12
Multiplicao e DivisoPara a multiplicao e/ou diviso de nmeros
inteiros podemos, tambm, aplicar uma nica tcnicaque valer para ambas as operaes: se os nmerostiverem o mesmo sinal, o resultado sempre serpositivo. Caso eles tenham sinais diferentes, oresultado ser sempre negativo.Ex.: 56)8()7( += Ex.: 20)5()4( +=++
Ex.: 54)9()6( =+ Ex.: 5)4()20( =+
Ex.: 2)4()8( += Ex.: 7)7()49( +=
EXPRESSES NUMRICAS COM NMEROS
INTEIROSPara resolver uma expresso numrica envolvendo
nmeros inteiros devemos proceder da mesma formaque fizemos com as expresses de nmeros naturais.
Ex.: Resolver a expresso[ ] )75()53(236 +
Soluo:[ ]
[ ]
[ ]10)2(20
)2(1636
)2(8236
)75()53(236
==
==
==
=+
Na eliminao dos parnteses, podemosfazer o seguinte: se o parntese vier
precedido de um sinal negativo, trocamoso sinal do nmero que est dentro domesmo; caso venha precedido de um sinalpositivo, conservamososinaldo nmeroque est dentro.
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Exerccios:Determine o valor das seguintes expresses.
a) 6 . (-1)4+ 20 [10 + (-40) : (-2)3] Resp.:-8
b) -3 . (-2)2 22+ [(-2)5 : (+2)4 (-1 4)0] Resp.: -19
c) 32 2 . (-2)3 [-10 + (+3) . (-1)2] - 100 Resp.:31
d) -62: (+36) + (-4)2: (+2)4 [6 (-1)3. (+2)] Resp.:-8
e) 25 (+4)2: (-2)3 + 100 (-6)2: (-3)2- 12 Resp.:23
f) 20 (-81) : (-3)3 [5 . (-1)3+ (+40) : (-2)3+ 32] - 60Resp.:17
NMEROS RACIONAIS
Um nmero racional o que pode ser escrito na
forma deba
onde a e b so nmeros inteiros, sendo
que b deve ser diferente de zero. Frequentemente
usamosba
para significar a diviso de a por b.
Frao: nmero que representa pedaos de uminteiro.
Generalidades sobre fraes:
Frao Prpria:
Frao Imprpria:
Frao Decimal:
Frao Ordinria:
Frao Aparente:
Frao Redutvel:
Frao Irredutvel:
OPERAES COM FRAES
Adio/SubtraoDenominadores iguais: Mantemos o denominador e
operamos com os numeradores.
Ex.: 5
1
-5
2
5
3+
=
Denominadores diferentes: Reduzimos as funesao mesmo denominador atravs do calculo do MMCdos denominadores e, em seguida, aplicamos a regraanterior.
Ex.: 143
-32
+ =
MultiplicaoMultiplicamos numerador por numerador e
denominador por denominador.
Ex.:57
.32
=
DivisoRepetimos a primeira funo e multiplicamos pelo
inverso da segunda funo.
Ex.:57
32 =
Potenciao
Devemos elevar o numerador e o denominador aoexpoente em questo.
Ex.:4
23
=
. Potncia de expoente negativo:
NN
a
1a = , sendo a 0
Ex.: 2-5=
. Potncia de expoente fracionrio:
=P
P
aa
Ex.: 32
2 =
RadiciaoExtramos a raiz do numerador e a do denominador.
Ex.: 48116
=
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Exerccio:O valor das expresses :
a)
+
+
23
21
61
31
-61
-12
Resp.:3/5
b)21
03 7441
84
-2
+
+ Resp.:27/4
c)
1
1
1-0
2-2
2-2
Resp.: -3
d)0
31
323
361
.125
1
52
.41
Resp.: 25
OPERAES COM NMEROS DECIMAIS
Adio e Subtrao: Para efetuar a adio ou asubtrao de nmeros decimais temos que seguiralguns passos:
Igualar a quantidade de casas decimais dosnmeros decimais a serem somados ou subtradosacrescentando zeros direita de suas partesdecimais.Ex.: 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
2,4 1,723 = 2,400 1,723
Escrever os nmeros de tal modo que fique vrgulasob a outra vrgula e, em seguida, realiza-se aoperao.Ex.: 2,400 2,400
+ 1,723 - 1,7234,123 0,677
Multiplicao de nmeros decimais. Podemosmultiplicar os nmeros decimais como se fosseminteiros e dar ao produto tantas casas decimaisquantas forem o total de casas dos fatores envolvidosno clculo.Ex.: 2,25 2 casas decimais
x 3,5 1 casa decimal1125
+ 6757,875 3 casas decimais
Diviso de nmeros decimais. Para dividirmos doisnmeros decimais devemos igualar o nmero decasas decimais e, em seguida, efetuar a diviso comose fossem nmeros inteiros.Ex.: 1,2975 0,15 12975 1500 = 8,65
GERATRIZ DE UMA DZIMA PERIDICA
Dzima Simples: A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo epara denominador tantos noves quantos forem osalgarismos do perodo.
Ex.:97
...777,0 = 9923
...2323,0 =
Dzima Composta : A geratriz de uma dzima
composta uma frao da formar dn
, onde
n a parte no peridica seguida doperodo, menos a parte no peridica.d tantos noves quantos forem os alga-rismos do perodo seguidos de tantoszeros quantos forem os algarismos daparte no peridica.
Ex.:
49562
990124
990
1-125...1252525,0 ===
0,047777 ... =90043
900
04-047=
Exerccios
01. Determine a frao geratriz das seguintesdzimas:a) 0,373737 = Resp.
9937
b) -3,222 ... = Resp.929
c) 0,5666 ... Resp.3017
d) 1,4333 ... Resp.3043
e) 2,1232323 ... Resp4951051
02. O valor de ...777,2 : Resp. Ba) 1,2b) 1,666 ...
c) 1,5d) um valor entre
21
e 1
e) 3,49
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03. Se x = 1,333 ... e y = 0,1666 ..., ento x + y :Resp. E
a)57
b)
45
68
c)9
13
d)34
e)23
04. Calcule o valor das expresses abaixo:
a) 2
1
03
...1,3331-
75...0,666
61
+
Resp.:5
2
b) 2198,12
3x...0,333
54
31
x6,0 +
++ Resp.:52
c)( )
( )
21
31
2-
41
2-
10x4,6
10x25,6
Resp.:2
5
Exerccios
01. Seja
n
m a frao irredutvel da geratriz da
dzima 0,0113636 ... . Determinar m + n.a) 68b) 89c) 92d) 105e) 112
02. Que horas so, se o que ainda resta para
terminar o dia 32
do que j se passou?
a) 12h36min
b) 23h36minc) 17h24mind) 14h48mine) 14h24min
03. Um armrio tem quatro prateleiras. Do total deprocessos que um auxiliar judicirio deveria
arquivar nesse armrio, sabe-se que5
1 foi
colocado na primeira prateleira,6
1 na segunda,
3/8 na terceira e os 62 processos restantes naquarta. Assim sendo, o total de processosarquivados era:
a) 105b) 120c) 204d) 210e) 240
04. Pedro gastou31
da quantia que possua e,
depois,92
dessa quantia. Ficou ainda com
R$40,00. Quanto Pedro possua?a) R$ 60,00b) R$ 70,00c) R$ 80,00d) R$ 90,00e) R$ 100,00
05. (T.R.F) Certo dia, uma equipe de tcnicosespecializados em higiene dental trabalhou emum programa de orientao aos funcionrios dotribunal, sobre a prtica de higiene bucal.
Sabe-se que
3
1do total de membros da equipe
atuou no perodo de 8 s 10 horas e52
do
nmero restante, das 10 s 12 horas. Se noperodo da tarde a orientao foi dada pelosltimos 6 tcnicos, o total de membros da equipeera:
a) 12b) 15c) 18d) 21e) 24
06. Certo ms, todos os agentes de um presdioparticiparam de programas de atualizao sobresegurana. Na primeira semana, o nmero dos
participantes correspondem a41
do total e na
segunda, a41
do nmero restante. Dos que
sobraram,53
participaram do programa na
terceira semana e os ltimos 54, na quartasemana. O nmero de agentes desse presdio :
a) 200
b) 240c) 280d) 300e) 320
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07. (B.B) Num escritrio, 3 funcionrios receberam400 fichas cada um, para datilografar. Na horado lanche o primeiro j havia cumprido 5/8 desua tarefa, o segundo 3/5 e o terceiro 6/10.Quantas fichas restavam para seremdatilografadas?
a) 470b) 500c) 610d) 730e) 950
08. Do total de 120 funcionrios de um tribunal, 3/4so homens e os restantes so mulheres. Emcerto dia faltaram ao servio 1/9 do total dehomens e 1/3 do de mulheres. Quantas pessoascompareceram ao servio nesse dia?
a) 100b) 95c) 90d) 87e) 82
09. Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo. Quantopesa um tijolo e meio?
a) 1 kgb) 2 kgc) 3 kgd) 4 kge) 5 kg
10. (T.R.T) Ana fez 2/5 de um tapete em 8 horas eClara fez 1/3 do restante em 6 horas. Se
trabalharem juntas terminar o tapete numtempo igual a:a) 4h12minb) 4h30minc) 4h36mind) 4h24mine) 4h48min
11. Um negociante ao falir s pode pagar 17/36 doque devia. Se possusse mais R$ 23.600,00poderia pagar 80% da divida. Quanto ele deve?
a) R$ 37.000,00b) R$ 42.000,00
c) R$ 18.000,00d) R$ 36.000,00e) R$ 72.000,00
GABARITO
01. B 04.D 07.A 10.E02. E 05.B 08.A 11. E03. E 06. B 09.C
EQUAES DO 1 GRAU
Chamamos de equao toda sentena matemticaaberta expressa por uma igualdade. No casoespecifico, as equaes so representadas por um
polinmio em x do 1 grau. Da o nome equaes do1 grau.
Exerccio. Resolvendo as equaes abaixo, obtemos:a) 19x 11 = 27 Resp.: x = 2
b) 3x + 29 = -9 + 4x Resp.: x = 38
c) 2 (x + 1) + 5 (x 1) = 7 Resp.:10/7
d)8
4-x-6
9-2x4
8-3x-12
6-x4 = Resp.: x = 4
e)2
1-x-2-x
43-x
-3
2x=
+ Resp.: 7
Sistemas de Equaes do 1 Grau
Exerccio. Resolver os sistemas abaixo:
a)
=+
=
225y4x03y-x2 Resp.: x = 3 e y = 2
b)
=
=
5-9y-8x
1-3y-x4 Resp.: x = e y = 1
c)
=+
=+
373y2x
18x)-(y5y)-(x3 Resp.: x = 2 e y = 11
d)
=
+=
+
3
1-x
2
y-x2
2y3yx
Resp.: x = 4 e y = 2
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e)
=
=+
21
yx
32
4y
6x
Resp.: x = 1 e y = 2
f)
=+
=
52y3x
22y-x
-x2 Resp.: x = 1 e y = 1
EXERCCIOS
01. Uma mala de viagem com bagagem pesa
28,5Kg. Com 2/3 da bagagem, pesa 19,5 kg. Qualo peso da mala vazia?a) 2,0 kgb) 2,5 kgc) 1,5 kgd) 3,0 kge) 1,0 kg
02. Numa prova de matemtica, contendo 20 ques-tes, Lula fez 16 pontos. Sabe-se que eleganhava 5 pontos para cada resposta certa eperdia 2 pontos para cada errada. O total dequestes que Lula acertou na prova foi de:
a) 20b) 7c) 15d) 8e) 5
03. No almoxarifado de certa empresa h 68 pacotesde papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se asquantidades de pacotes em cada prateleiracorrespondem a 4 nmeros pares sucessivos,ento, dos nmeros seguintes, o que representauma dessas quantidades o:
a) 8b) 12
c) 18d) 22e) 24
04. Um individuo encontrou 3 mgicos, ao 1 eleprops: Se voc duplicar o dinheiro que tragocomigo, eu lhe dou R$ 100,00. O mgico o fez eganhou R$ 100,00. Com os outros dois mgicostudo se passou do mesmo modo. Ao fim dasoperaes, o individuo notou que estava semdinheiro. Quanto ele tinha no inicio do processo?
a) R$ 70,50b) R$ 87,00
c) R$ 87,50d) R$ 88,70e) R$ 89,50
05. Na prova de Qumica de um concurso vestibulardo CEFET-PE, um candidato precisava obter o
valor de x racional tal que( ) 324x-1
400x81,01
= .
Qual esse valor?
a) 0,15b) 0,5c) 0,65d) 2/5e) 1/5
06. Numa granja existem galinhas e bodes. Oproprietrio mandou contar as cabeas. Otrabalhador contou e disse para o proprietrio:tem 150 cabeas. Ele achou muito pouco, edisse: conte os ps que deve dar mais. Otrabalhador contou e disse tem 440 ps. Quantasgalinhas existem na granja?
a) 50 galinhasb) 90 galinhasc) 80 galinhasd) 70 galinhase) 60 galinhas
07. (T.R.T) Um criador tinha num stio unicamentecachorros de raa e paves. Contando os ps detodos os animais, observou que o total de psera igual ao quadrado do nmero de paves.Uma semana depois, vendeu seis cachorros edois paves e verificou que de novo o fato sedava, ou seja, o nmero total de ps era oquadrado do nmero de paves. Assim, podemos
afirmar que, antes da venda, havia no stio umnmero de cachorros igual a:a) 20b) 18c) 16d) 14e) 12
08. Quantas pessoas h em um nibus em queviajam 2 passageiros em cada banco e 26 em p;sabendo-se que, se 3 pessoas sentassem emcada banco, 2 bancos ficariam vazios?
a) 75
b) 76c) 86d) 90e) 120
09. Duas vasilhas contem, em conjunto, 36 litros degua. Se transferssemos, para a que tem menos
gua,52
da gua contida na outra, ficariam
ambas com a mesma quantidade de gua.Quantos litros contm cada uma?
Resp.: 30 e 6
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10. Um certo premio foi repartido entre 5 pessoas demodo que cada uma recebesse 1/3 da quantiarecebida pela anterior. Se a terceira pessoarecebeu R$ 81,00, o total distribudo foi:
a) R$ 729,00b) R$ 882,00
c) R$ 918,00d) R$ 1.089,00e) R$ 1.260,00
11. Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem onmero de irmos igual ao nmero de irms.Cada filha tem o nmero de irmos igual ao dobrodo nmero de irms. Qual o total de filhos efilhas do casal?
a) 3b) 4c) 5d) 6
e) 712. O preo em reais de 32 jabuticabas igual ao
nmero de jabuticabas que podemos comprarcom 2 reais, quantas jabuticabas podemoscomprar com 25 reais?
a) 32b) 64c) 50d) 100e) 75
13. Duas pessoas receberam juntas R$ 186,00 a 1ganhava diariamente mais 3/5 do que a outra etrabalhou 20 dias e a outra 30 dias. Quantorecebeu cada uma?
Resp.: 90 e 96
GABARITO
01. C 04.C 07.E 10.D02.D 05.B 08.D 11. E03.C 06. C 09. 12. D
RAZO E PROPORO
Chama-se de razoentre dois nmeros racionais a eb, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a
razo de a para b por ba
.
Exerccio. Na sala da 6 B de um colgio h 20rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o nmerode rapazes e o nmero de moas. (lembrando querazo diviso).
54
2520
MR
== Resp.:54
Exerccio. Voltando ao exerccio anterior, vamosencontrar a razo entre o nmero de moas erapazes.
452025RM == Resp.: 45
Lendo Razes
52
, l-se, 2 est para 5 ou 2 para 5.
Termos de uma Razo
Na razo85
, o nmero 5 o antecedente e o nmero
8 o conseqente.
Grandezas Especiais
Escala a razo entre a medida no desenho e ocorrespondente na medida real.
realMedidadesenhonoMedida
Escala=
ExerccioEm um mapa do Estado de So Paulo, foi utilizada aescala de 1:500.000. Sabendo-se que a cidade deVinhedo est situada a, aproximada-mente, 80 km dacidade de So Paulo, qual a distncia entre So Paulo
e Vinhedo nesse mapa? Resp.: Letra Ba) 12 cmb) 16 cmc) 20 cmd) 24 cme) 28 cm
Velocidade mdia a razo entre a distncia a serpercorrida e o tempo gasto.(Observe que neste caso as unidades so diferentes)
TempoDistncia
Velocidade=
Exerccio. Um carro percorre 320 km em 4h.Determine a velocidade mdia deste carro.
Resp. 80 km/h
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PROPORES
Proporo uma igualdade entre duas razes.
A proporo entre
B
Ae
D
C a igualdade:
D
C
B
A=
Propriedade Fundamental das Propores
Numa proporo:DC
BA= os nmeros A e D so
chamados de extremos enquanto os nmeros B e Cso os meios e vale a propriedade: o produto dosmeios igual ao produto dos extremos, isto : A. D =B. C.
Outras Propriedades das Propores Numa proporo, a soma (ou diferena) dos dois
primeiros termos est para o primeiro termo,
assim como a soma (ou diferena) dos doisltimos termos est para o terceiro termo.
cd-c
ab-a
ouc
dca
ba
dc
ba
=+
=+
=
Numa proporo, a soma (ou diferena) dos doisprimeiros termos est para o segundo termo,assim como a soma (ou diferena) dos doisltimos termos est para o quarto termo.
dd-c
bb-a
oud
dcb
ba
dc
ba
=+
=+
=
Numa proporo, a soma (ou diferena) dos
antecedentes est para a soma (ou diferena) dosconseqentes, assim com cada antecedente estpara seu conseqente.
dc
ba
d-bc-a
dc
ba
dc
ba
dbca
dc
ba
===
==+
+=
EXERCCIOS
01. Aplicando as propriedades estudadas, calcule osvalores desconhecidos em cada caso:
a) 6be4a
10b
3
2
==
=+
=
a
b
a
b) 12be20a8b-a
ba
35
==
=
=
c) 6be3a
15b3
10b
5 ==
=+
=
a
a
d) 60ze45y30,x
135zy
4
z
3
y
2 ===
=++
==
x
x
02. A soma de dois nmeros 60. Encontre essesnmeros, sabendo que a razo entre o triplo domaior e o menor 9. Resp.:15 e 45
03. A razo entre os nmeros 0,125 e 2,5 nessaordem : Resp.:0,05
DIVISO PROPORCIONAL
1 Diviso em partes Diretamente Proporcionais Os valores devem ser multiplicados por k(termo constante).
Exerccio. Divida o nmero 18 em partes diretamenteproporcionais a 5 e 4.
Resp.:10 e 8
2 Diviso em Partes Inversamente Proporcionais Os valores devem ser divisores do k (termoconstante).
Exerccio. Divida o nmero 380 em partesinversamente proporcionais aos nmeros 2, 5 e 4.
Resp.: 200, 80 e 100
3 Diviso Direta e InversaDevemos, neste caso,aplicar as duas tcnicas simultaneamente.
Exerccio. Repartir 186 cadernos entre trs alunos,em partes ao mesmo tempo diretamenteproporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente proporcionaisa 3, 6 e 9. Resp.: 72, 54 e 60
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EXERCCIOS
01. No setor de seleo de pessoal de umaempresa, 85 pessoas foram contratadas, a partirde 120 candidatos. Se, dentre os pretendenteshavia 3 homens para cada mulher, e se 20
mulheres foram contratadas, ento o nmero dehomens no aceitos foi de:a) 15b) 20c) 25d) 10e)17
02. 60 das 520 galinhas de um avirio NO foramvacinadas, morreram 92 galinhas vacinadas.Para as galinhas vacinadas, a razo entre onmero de mortas e de vivas :
a) 1:4b) 1:5c) 4:1d) 4:5e) 5:4
03. Na tabela a seguir, de valores positivos, F diretamente proporcional ao produto de L peloquadrado de H. Ento x vale:
F L H2000 3 43000 2 X
a) 5b) 6
c) 7d) 8e) 9
04. Dado queAB-1
BAm
+= , onde A = 0,5 e B =
0,333... e sendo n = 0,4999... podemos afirmarque a razo de m/n ser:
a) 3b) 1/3c) 2/3d) 1/2e) 2
05. Os nmeros x, y e 32 so diretamenteproporcionais aos nmeros 40, 72 e 128.Determine o valor de x + y.
a) 28b) 24c) 20d) 16e) 12
06. Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5,a soma entre a menor e a maior parte :
a) 35b) 49
c)56d) 42e) 28
07. Dividir 108 em partes que sejam ao mesmo
tempo proporcionais a43
e97
e inversamente
proporcionais a21
4 e65
5 , encontramos como
diferena em mdulo o nmero:a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12
08. Ao dividir o menor nmero natural formado comos trs primeiros algarismos diferentes de zeroem partes inversamente proporcionais a 0,333...,
0,6 e41
1 , encontramos a menor igual a:
a) 24
b) 22c) 20d) 18e) 16
09. Um nmero N foi dividido em partes propor-cionais aos nmeros 2 e 4. Caso fosse na razodireta dos nmeros 8 e 10, a segunda parteficaria reduzida de 840 unidades. O valor de Nser:
a) 5.670b) 6.570c) 7.560
d) 7.660e) 6.670
10. Dois tcnicos em eletricidade, Artur e Boni,trabalham em uma mesma empresa; Boni h 6anos e Artur h mais tempo que Boni. Ambosforam incumbidos de instalar 16 aparelhos deudio em alguns setores da empresa e dividirama tarefa entre si, na razo inversa de seusrespectivos tempos de servio na mesma. SeArtur instalou 4 aparelhos, h quantos anos eletrabalha na empresa?
a) 8b) 10c) 12d) 16e) 18
11. Trs tcnicos do TRT foram incumbidos decatalogar alguns documentos e os dividiramentre si na razo inversa de seus tempos deservio publico: 4 anos, 6 anos e 15 anos. Seaquele que tem 6 anos de servio coubecatalogar 30 documentos, a diferena positivaentre os nmeros de documentos catalogadospelos outros dois :
a) 28
b) 33c) 39d) 42e) 55
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12. Certa quantia foi dividida entre duas pessoas empartes proporcionais a 2 e 3. sabendo que asegunda recebeu a mais que a primeiraR$1.000,00. Determine qual o valor total daquantia distribuda.
a) R$ 1.000,00
b) R$ 2.000,00c) R$ 3.000,00d) R$ 4.000,00e) R$ 5.000,00
GABARITO
01. C 04.E 07.E 10.E02. A 05.A 08.D 11. B03. B 06. B 09.C 12.E
REGRA DE TRS
Regra prtica:
O termo que se relaciona com x (termodesconhecido) fica sempre no numerador. Compara-se cada razo com a razo que tem x. A pergunta para saber qual o termo da razo que vai para onumerador. Se a resposta for mais(+), o que vai parao numerador o maior termo da razo. Se a respostafor menos(-), o menor.
EXERCCIOS
01. Oito mquinas produzem 16000 peas durante 8horas por dia. Quantas peas seriam produzidaspor 4 mquinas, durante 10 horas por dia?
a) 3000b) 4000c) 6000d) 8000e) 10000
02. Sabe-se que 4 mquinas, operando em 4 horaspor dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas decerto produto. Quantas toneladas do mesmoproduto seriam produzidos por 6 mquinasdaquele tipo, operando 6 horas por dia, durante6 dias?
a) 6b) 8c) 10,5d) 13,5e) 15
03. A rao para 12 animais, durante 8 dias custa24.000,00. O custo da rao para 18 animais,durante 6 dias de:
a) 48.000,00b) 27.000,00c) 21.333,33d) 16.000,00e) 12.000,00
04. Se 10 operrios gastam 12 dias para abrir umcanal de 20m de comprimento, 16 operrios,para abrir um canal de 24m de comprimento,gastaro:
a) 1/3 do msb) 2/5 do ms
c) 1/2 do msd) 3/10 do mse) 3/5 do ms
05. Com 4800 kg de farinha de trigo D. Lucinda fez 7bolos em sua confeitaria. Quantos bolos inteirosconseguir fazer com 16800 kg de farinha detrigo, usando a mesma receita (mesmasmedidas e mesma forma)?
a) 24,5b) 24c) 23,5d) 23e) 22,5
06. Se 30 galinhas botam 30 dzias de ovos em 30dias. Se 20 galinhas comem 20kg de rao em20 dias, ento qual a quantidade de raonecessria para se obter duas dzias de ovos?
a) 1 kgb) 1,5 kgc) 2 kgd) 2,5 kge) 3 kg
07. Uma costureira confecciona 40 blusas em 3 diasde 7 horas de trabalho; outra costureira
confecciona o mesmo nmero de blusa em 2dias de 9 horas, trabalhando juntas, em quantosdias de 7 horas faro 260 blusas?
a) 7b) 36c) 17d) 9e) 8
08. Um granjeiro tem rao para alimentar 32galinhas durante 22 dias. Aps 4 dias, resolvecomprar mais 4 galinhas. Quanto tempo duraras provises se a rao de cada galinha no fordiminuda?
a) 16 diasb) 12 diasc) 15 diasd) 18 diase) 22 dias
09. (Correios) Um trem com velocidade mdia de57,4 km/h deve fazer certa distncia em 5 horas.Depois de duas horas a viagem teve que pararpor 40 minutos. A velocidade que o maquinistadeve acrescentar ao trem para chegar ao final dadistncia no tempo previsto dever ser de:
a) 16,4 km/h
b) 17,2 km/hc) 18,0 km/hd) 21,2 km/he) 23,1 km/h
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10. Vinte e quatro operrios fazem52
de
determinado servio em 10 dias, trabalhando 7horas por dia. Em quantos dias a obra estarterminada, sabendo-se que foram dispensados 4operrios e o regime de trabalho diminudo deuma hora por dia?
a) 8b) 11c) 12d) 21e) 18
11. Dois carregadores levam caixas do depsito,para um caminho um deles leva 4 caixas porvez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outroleva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ire voltar. Enquanto o mais rpido leva 240 caixas,quantas caixas leva o outro?
a) 232b) 228c) 224d) 220e) 216
12. Um livreiro mandou imprimir suas obras, uma de25 volumes, tendo cada um 14 folhas deimpresso, a 33 linhas de 48 letras por pgina,foram compostas por 5 operrios, em 18 dias detrabalho de 11 horas por dia; a outra, tendo cadavolume 18 folhas de impresso, a 42 linhas de50 letras por pgina, foi composta por 9operrios, em 15 dias, trabalhando 13 horas pordia. Qual o nmero de volumes da segundaobra?
a) 26b) 27c) 28d) 29e) 30
GABARITO
01. E 04.D 07.D 10.D02.D 05.B 08.A 11. E03.B 06. E 09.A 12. A
PORCENTAGEM
Razo Centesimal: a razo cujo conseqente igual a 100.
Ex.: 30%10030
= 15%10015
=
Taxa Percentual a taxa equivalente razo
centesimal.Ex.: 15%
10015
= 27%10027
=
Transformao de Porcentagem em FraoIrredutvel
Ex.:10025
25%= 10040
40% = 10050
50% =
Transformao de Frao Irredutvel emPorcentagem
Ex.: 20%100.5
1= 75%.100
4
3=
Percentual de uma Quantidade
Exerccio. Calcule 45% de 1600. Resp.:720
Exerccio. Calcule 20% dos 30% dos 40% dos 50%de 6000. Resp.:72
Fator de Aumento(100% + i); i taxa percentual.
Exerccio. O preo de uma cala de R$ 80,00. Seela sofresse um reajuste de 25% qual seria seu novopreo? Resp.: R$ 100,00
Fator de Desconto (ou Reduo) (100% - i)
Exerccio. O preo de um rdio R$ 150,00. Quanto
devo pagar por esse rdio se o vendedor concedeu-me um desconto de 20%?
Resp.:R$ 120,00
Aumentos Sucessivos(1 + i1) (1 + i2) ... (1 + in) - 1
Exerccio. Uma mercadoria sofreu um aumento de20% no primeiro ms e, no ms seguinte, um novoaumento de 40%. Qual foi o aumento acumuladonesses dois meses? Resp.: 68%
Exerccio. Trs aumentos consecutivos de 20%, 25%e 30% correspondem a um nico aumento de:
Resp.: 95%
Descontos Sucessivos
1 (1 i1) (1 i2) (1 i3) ... (1 in)
Exerccio. Dando-se um desconto de 20% e, emseguida, outro de 40%. Qual ser o desconto totalacumulado? Resp.:52%
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Exerccio. Trs descontos consecutivos de 20%, 25%e 30% equivalem a um s desconto de: Resp.: 58%
Exerccio. Se um nmero aumentado de 25%, dequanto deve ser reduzido para voltar ao valor inicial?
Resp.: 20%
Aplicao na Matemtica Comercial e Financeira
Equao Fundamental do Comrcio:
L = V - C ou P = C - V
Exerccio. Uma mercadoria vendida por R$ 360,00com lucro de 20% sobre o custo. Quanto custou amercadoria? Resp.: R$ 300,00
Exerccio. Comprei um ventilador por R$ 30,00 e ovendi com prejuzo de 20% sobre o custo. Por quantovendi o ventilador? Resp.: 24,00
Exerccio. Um objeto custou R$ 1.020,00 e deve servendido com lucro de 40% sobre o preo de venda.Por quanto deve ser vendido?
Resp.: R$1700,00
EXERCCIOS
01. Sobre o preo de um carro importado incide um
imposto de importao de 30%. Em funodisso, o seu preo para o importador deR$19.500,00. Supondo que tal imposto passe de30% para 60%, qual ser, em reais, o novopreo do carro para o importador?
a) R$ 22.500,00b) R$ 24.000,00c) R$ 25.350,00d) R$ 31.200,00e) R$ 39.000,00
02. Um feirante comprou 10 caixas de frutas por R$120,00. Se ele vendeu 4 caixas com lucro de40%, 3 caixas com lucro de 20%, 2 caixas pelopreo de custo e se uma caixa estragou-se eno foi vendida, ento o seu lucro total na vendadessa fruta, em relao ao preo de compra, foide:
a) 30%b) 26%c) 19%d) 15%e) 12%
03. Num grupo de 400 pessoas, 30% so homens e65% das mulheres tm mais de 20 anos.Quantas mulheres ainda no comemoraram seu20 aniversrio?
a) 260b) 182c) 120d) 105e) 98
04. Um comerciante comprou 150 caixas de papelo
a R$ 1,00 cada uma. Vendeu31
do total a R$
1,50 cada e as restantes a R$ 1,80 cada. A suaporcentagem de lucro nessa transao foi de:a) 62%b) 62,5%c) 65%d) 65,5%e) 70%
05. (UFMG) Os preos anunciados de um fogo euma geladeira so R$ 20.000,00 e R$35.000,00, respectivamente. Tendo conseguidoum desconto de 8% no preo da geladeira etendo pago R$ 50.000,00 na compra dessasduas mercadorias, o desconto obtido no preodo fogo foi:
a) 10%b) 11%c) 12%d) 13%e) 14%
06. (FMU) Um cidado reserva 30% do seu salriopara o pagamento do BNH e 50% do que restapara alimentao. Tirando BNH e alimentao,20% do que sobra coloca na poupana e osrestantes R$ 5.880,00 sero utilizados em outrasdespesas. Podemos concluir que:
a) o gasto em alimentao de R$ 6.000,00.b) o salrio de R$ 21.000,00.c) o dinheiro destinado a poupana de R$
1.200,00.d) o pagamento do BNH de R$ 5.800,00.e) sobra 20% do salrio para outras despesas.
07. Numa turma mista de certo colgio, 40 estudan-tes inscreveram-se para uma excurso. No diada viagem, faltaram 25% dos rapazes, diminuin-do para 36 o nmero de estudantes presentespara a viagem. Assim, correto afirmar que,dentre os inscritos, viajaram:
a) 15 rapazes
b) 14 rapazesc) 13 rapazesd) 12 rapazese) 11 rapazes
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08. Segundo o censo demogrfico fornecido peloIBGE para o ano de 2000, a quantidade depessoas analfabetas com idade de 10 anos oumais correspondia a 9.226.471, pessoas. Seesse total representava 25% da populao deanalfabetos do Nordeste, qual o total de
analfabetos dessa regio naquele ano?a) 35.806.994 habitantesb) 36.905.884 habitantesc) 38.902.904 habitantesd) 230.668 habitantese) 2.306.680 habitantes
09. Em um certo pas, necessrio que 3/5 doSenado votem a favor para que se aprove umalei. Se 56% do Senado esto a favor de certoprojeto, que frao ainda falta para aprov-lo?
a)101
b)25
2
c)251
d)501
e)100
7
10. Atualmente, 50% das gaivotas que migram paraa Coroa do Avio, na Ilha de Itamarac, sobrancas e 50% so cinzentas. Se a populaodas gaivotas brancas aumentar 40% ao ano e adas cinzentas aumentar 80% ao ano, qual ser a
porcentagem de gaivotas brancas daqui a doisanos, aproximadamente?a) 49%b) 38%c) 65%d) 40%e) 80%
11. Um jovem arteso gasta, em matria-prima,R$1,50 para produzir uma unidade de seuproduto principal, posto venda em feirastpicas. Em toda produo, tem um gastoadicional fixo de R$ 45,00. Sabe-se que cadapea vendida a R$ 4,50. Ento, para que ele
possa obter um lucro de R$ 150,00, ter quevender um nmero de peas correspondente a:a) 65b) 70c) 62d) 54e) 50
12. Um produto, cujo custo foi de R$ 22.000,00 foivendido com um prejuzo de 15% do preo devenda. Qual foi o preo da venda?
a) R$ 20.000,34b) R$ 20.905,50c) R$ 19. 130,43d) R$ 18.915,05e) R$ 19.983,10
GABARITO
01. B 04.E 07.D 10.B02.E 05.B 08.B 11. A03.E 06. B 09.C 12.C
MDIAS
Mdia Aritmtica (MA)
naaa
.A.M n21 +++
= L
Exerccio. Qual a mdia de idade de cinco jogadorescom 21, 22, 23, 24 e 25 anos? Resp.: 23 anos
Mdia Aritmtica Ponderada (MP)
n21
nn2211
ppppapapa
MP+++
+++=
L
L
Exerccio. Assinale o saldo mdio de um cliente, numms em que o seu extrato tem o seguinte histrico.R$ 20.000,00 durante 2 dias Resp.: Letra AR$ 15.000,00 durante 5 diasR$ 4.000,00 durante 8 diasR$ 600,00 durante 15 dias
a) R$ 5.200,00b) R$ 3.500,00c) R$ 5.000,00d) R$ 4.500,00e) R$ 3.800,00
Mdia Geomtrica (MG)
nn321 aaaaMG = L
Exerccio. Determine a mdia geomtrica dosnmeros 4, 6 e 9. Resp.: 6
Mdia Harmnica (MH)
n
a1
a1
a1
a1
1MH
n321++++
=
L
ou, equivalente,
n21 a
1
a
1
a
1n
MH+++
=
L
Exerccio. Calcule a mdia harmnica dos nmeros4, 8, 6 e 12. Resp.: 6,4
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Observaes:1. Para os mesmos nmeros sempre verdade que
MH MG MA.
2. Para dois nmeros positivos tem-se que:
MG2= MA . MH
EXERCCIOS
01. A medida aritmtica de 11 nmeros 45. Se onmero 8 for retirado do conjunto, a mdiaaritmtica dos nmeros restantes ser:
a) 48,7b) 48c) 47,5d) 42e) 41,5
02. Num determinado pas a populao femininarepresenta 51% da populao total. Sabendo-seque a idade mdia (mdia aritmtica das idades)da populao feminina de 38 anos e a damasculina de 36 anos. Qual a idade mdia dapopulao?
a) 37,02 anosb) 37,00 anosc) 37,20 anod) 36,60 anose) 37,05 anos
03. A mdia das notas de todos os alunos de umaturma 5,8. Se a mdia dos rapazes 6,3 e a
das moas 4,3, a porcentagem de rapazes naturma :
a) 60%b) 65%c) 70%d) 75%e) 80%
04. A mdia aritmtica de dois nmeros reaispositivos 10 e a mdia geomtrica dosmesmos , 6. Ento, a soma dos quadradosdesses nmeros :
a) 401
b) 328c) 334d) 214e) 286
05. As bebidas L, V e R possuem teor alcolico de24%, 44% e 36% respectivamente. Qual o teoralcolico de um coquetel consistindo de 50 ml deL, 25 ml de V, 25 ml de R e 100 ml de gua?
a) 15%b) 20%c) 16%d) 17%
e) 19%
06. No ltimo Natal, gastei, em mdia, com cada umdos cinco presentes que comprei, cerca deR$40,00. Com a compra de mais um presente, amdia elevou-se para R$42,00. Quanto custouesse ltimo presente comprado?
a) R$ 75,33
b) R$ 210,00c) R$ 42,00d) R$ 52,00e) R$ 41,00
07. As idades dos funcionrios de certa empresaesto assim distribudas.
Node funcionrios Idade100 2050 2630 3020 40
Nessas condies, correto afirmar que a idademdia desses funcionrios de:a) 24 anosb) 25 anosc) 28 anosd) 27 anose) 26 anos
08. Num concurso vestibular para dois cursos, A eB, compareceram 500 candidatos para o curso Ae 100 candidatos para o curso B. Na prova dematemtica, a mdia aritmtica geral, conside-rando os dois cursos, foi 4,0. Mas considerando-se apenas os candidatos ao curso A, a mdia caipara 3,8. A mdia dos candidatos ao curso B, naprova de matemtica, foi:
a) 4,2b) 5,0c) 5,2d) 6,0e) 6,2
09. Suponha que a > b > c > 0 e que:
I.aa
c-bb-a=
II. bac-b b-a =
Ento:a) c a mdia geomtrica entre a e bb) a a mdia aritmtica entre a e bc) c a mdia aritmtica entre a e bd) b a mdia geomtrica entre a e ce) a a mdia aritmtica entre b e c
10. A mdia harmnica de dois nmeros reaispositivos 3,2 e a mdia geomtrica dosmesmos 4. Ento a soma dos quadradosdesses nmeros :
a) 16b) 62c) 68d) 72e) 64
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GABARITO
01. A 04.B 07.B 10.E02. A 05.C 08.B C03. D 06. D 09.D
CLCULO ALGBRICO
Expresses Algbricasso aquelas que contemnmeros e letras.
Exs.: 2ax2+ bx , y + x2 5x + 6
Variveisso as letras das expresses algbricasque representam um nmero real e que de principiono possuem um valor definido.
Valor numrico de uma expresso algbrica onmero que obtemos substituindo as variveis pornmeros e efetuando suas operaes.
Exerccio.
Calcule o valor numrico da expresso
y4 3xy3+ 7x2y2 4x3y, para21-
x= e y = -2
Resp.: 10
Monmio os nmeros e letras esto ligadosapenas por produtos.
Ex.: 2a43,x4 , - 7ab
3c2
Polinmio a soma ou subtrao de monmios.Ex.: 4x + 2y, 8b, x2 5x + 6
Os polinmios podem ser classificados de acordocom a quantidade de termos que possui, a saber:
Quantidade de termos Nome dado1 termo Monmio2 termos Binmio3 termos Trinmio
4 termos em diante Polinmio
Termos semelhantes so aqueles que possuempartes literais (variveis) iguais.
Ex.: 3x3y2 z e 21x3y2z so termos semelhantespois possuem a mesma parte literal.
Obs.:O graude um polinmio reduzido, no-nulo,
dado pelo seu termo de maior grau. Veja o polinmio2x3y 5x4y3+ xy. Note que o termo de maior grau
-5x4
y3
. A soma dos expoentes da parte literal nos d ograu, ou seja, 4 + 3 = 7, o que nos diz que ele do 7grau. Caso o polinmio seja de uma nica varivel, ograu ser dado pelo maior expoente da varivel.Ex.: x3+ 8x2+ 4x 6 do 3 grau.
Adio e Subtrao de Expresses Algbricas
Para determinarmos a soma ou subtrao deexpresses algbricas, basta somar ou subtrair ostermos semelhantes.
Exerccios
Qual resultado de 8x + (-0,5x) (-1,2x)?Resp. 8,7x
Calcule(2x + 2z y) + (x 2y) (y + x 3z)
Resp. 2x 4y + 5z
Desenvolva10m2 {-[m2+ 6n (7 2n) (-4 + m2)]} (5m + 3)
Resp.: 10m2 5m + 8n - 6
Dados os polinmios:A= -x2+ 4x 2, B = 2x2 3x + 1 eC= -2x2 5x + 6, calcule:
a) A - (B C) Resp.: 5x2+ 2x + 3
b) B + [A (B C)]Resp.: -3x2 x + 4
Multiplicao e Diviso de Expresses Algbricas
Na multiplicao de expresses algbricas, deve-
mos usar a propriedade distributiva. Numa divisoentre polinmios, o grau do resto deve ser menor doque o grau do divisor. Devemos, ainda, observar que:
Para multiplicarmos potncias de mesmabase, conservamos a base e somamos osexpoentes.
Na diviso de potncias devemos conservara base e subtrair os expoentes.
ExerccioEfetue os seguintes produtos:a) (-6t2) (t 1)
Resp.: -6t3+ 6t2
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b) (2x3y2) (5x + 3y)Resp.: 10x
4y
2+ 6x
3y
3
c) (x3 2x2+ x + 1) (x 1)Resp.: x
4 3x
3+ 3x
2- 1
Simplifique a expresso(x2 xy + y2) (x + y) (x2+ xy + y2)(x y)
Resp.: 2y3
Calcule as seguintes divises exibindo quociente eresto(-8a4+ 6a3 10a) (-2a)
Resp.: q = 4a3-3a + 5 e r = 0
(40x2 20x 3ax) (-10x)
Resp.: q= -4x + 2 +
10
a3e r = 0
(6x3 11x2+ 12x 15) (3x2 x + 4)Resp.: q = 2x 3 e r = x 3
(2x4- 9x3 6x2+ 16 x- 5) (2x2+ x 3)Resp.: q = x2 5x + 1 e r = -2
(x4 4x2+ 8x + 35) (x2 4x + 7)Resp.: q= x2+ 4x + 5 e r = 0
Produtos Notveis so aqueles produtos que sofrequentemente usados e para evitar a multiplicaode termo a termo. Existem algumas frmulas queconvm serem memorizadas.
I Quadrado da Soma de Dois Termos: quadradodo primeiro, mais duas vezes o primeiro pelosegundo, mais o quadrado do segundo.
Matematicamente: (a + b)2= a2+ 2ab + b2
ExerccioDesenvolva:a) (3x + 1)2=
b) (x10+ 4)2=
c) (2x + xy)2=
d)2
2n
m2
+ =
II Quadrado da Diferena de Dois Termos: qua-drado do primeiro, menos duas vezes o primeiropelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Matematicamente: (a b)2= a2 2ab + b2
ExerccioCalcule:a) (5x 2y)2=
b) (a2c 3x)2=
III Produto da Soma pela Diferena de DoisTermos: quadrado do primeiro menos o quadradodo segundo.
Matematicamente:
(a + b) (a b) = a2 b2
ExerccioDesenvolva:
a) (c + d) (c d) =b) (4x 1) (4x + 1) =c) (7x3+ y) (7x3 y) =
d)
+
3x
-41
3x
41 22 =
IV Cubo da Soma de Dois Termos / Cubo daDiferena de Dois Termos
Cubo da Soma:
(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3
Cubo da Diferena:
(a b)3= a3 3a2b + 3ab2 b3
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Exerccio:Calcule:(x + 2)3=
(2x y)3=
(2 + 3z2
)3
=
3ca
32
+ =
3
3y
-2x
=
Obs.: Outros produtos notveis (no muitoconhecidos)(a + b+ c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc(a b c)2= a2+ b2+ c2 2ab 2ac + 2bc
Fatorao. Fatorar transformar expressesalgbricas em produtos de duas ou mais expresses,chamadas fatores. Existem vrios casos de fatoraocomo:
I Fator Comum em Evidncia. Quando os termosapresentam fatores comuns.
ExerccioFatore as seguintes expresses:a) 7g2 28 =b) 36cd 6cd2=
c) 10x2
y 15xy + 5y =d)
81
x41
x21 2
+ =
II Fatorao por Agrupamento. Consiste emaplicar duas vezes o caso do fator comum emalguns polinmios especiais.
ExerccioFatore as expresses:a) 5x + 5y + ax + ay=
b) 7a 7b + ma mb =
c) 3am + ay + 3bm + by =
d) ax + bx + ay + by + az + bz =
III Fatorao por Diferena de Dois Quadrados.Consiste em transformar as expresses emprodutos da soma pela diferena, simplesmenteextraindo a raiz quadrada de cada quadrado.
ExerccioFatore as seguintes expresses:
a) x2 36 =
b) 25 a2=
c) 9x2 16 =
d) 36x4 y6=
IV Fatorao do Trinmio Quadrado Perfeito. Otrinmio que se obtm quando se eleva umbinmio ao quadrado chama-se trinmioquadrado perfeito. Por exemplo, os trinmiosa2 2ab + b2 e a2 2ab + b2 so quadradosperfeitos porque so obtidos quando se eleva
(a + b) e (a b) ao quadrado, respectivamente.
ExerccioFatore as expresses:
a) x2+ 2x + 1 =
b) x2 6x + 9 =
c) 1 6m + 9m2=
d)16z
6xz
-9x 22
+ =
V Fatorao do Trinmio do 2 Grau. Expressoda forma x2 + Sx + P, em que S e P so,respectivamente, a soma e o produto de doisnmeros a e b. Escreve-se:
x2+ Sx + P = (x +a) (x + b)
ExerccioFatore:a) x2+ 7x + 12 =
b) x2 6x + 8 =
VI Fatorao da Soma ou da Diferena de DoisCubos.
Soma de Dois Cubos:
a3+ b3= (a + b) (a2 ab + b2)
Diferena de Dois Cubos:
a3 b3= (a b) (a2+ ab + b2)
ExerccioFatore as expresses:a) p3+ q3=
b) 27a3+ 8y3=
c) 8a3+ 1 =
d) x3 27 =
Fraes Algbricas. O clculo de fraesalgbricas utiliza o mesmo processo do clculo dasfraes numricas, admitindo-se sempre que odenominador no seja nulo, ou seja, diferente de zero.
1. Simplificao de Fraes Algbricas. Sim-plificar uma frao algbrica obter umafrao mais simples equivalente. Para simpli-ficar uma frao, fatoramos o numerador e odenominador.
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ExerccioSimplifique cada uma das seguintes fraesalgbricas:
a)2ax6
ax9 =
b)cab2
ba85
43=
c)14-x7
a7 =
d)3a33-a3
+
=
e)x8
7x-x5 2 =
f)22 5y-x5
7y-x7 =
g)4x45-x5 2
+
=
h)
64-x
6416x-x2
2+ =
i)3x3
12xx2
+
++ =
j) ( )
4-x
2x44x-x2
2++ =
2. M.M.C de Polinmios. O m.m.c de polinmios
ser dado pelo produto dos fatores comuns eno comuns, cada um deles com o maiorexpoente.
ExerccioSendo A = x2 10x + 25, B = x2 25 eC = (x 5) (2x + 21), calcule:a) M.M.C. de A e B
Resp.: (x + 5) (x 5)2
b) M.M.C. de A e CResp.: (2x + 1) (x 5)2
c) M.M.C. de B e C
Resp.: (x2
25) (2x + 1)
d) M.M.C. de A, B e CResp.:(x 5)
2(x + 5) (2x + 1)
3. Adio e Subtrao de Fraes Algbricas.Quando as fraes possuem o mesmodenominador, basta somar ou subtrair osnumeradores. Quando as fraes possuemdenominadores diferentes, basta reduzi-las aomesmo denominador e em seguida, somar ou
subtrair os numeradores.
ExerccioCalcule:
a)1-a3-a
1-a
2-
1aa
2 +
+
Resp.:
1-a
5-3a-a22
2
b) 222244
2
y-x 2-y-x 1-y-x x4
Resp.:22 yx
1
+
c)42x
2-
4-x
2x2 +
Resp.: 0
d)1x1-x
1-x1x
++
+
Resp.:
1-x
1x22
2+
4. Multiplicao e Diviso de FraesAlgbricas. Para multiplicar ou dividir fraesalgbricas, usamos o mesmo processo dasfraes numricas. Fatorando os termos dafrao e simplificar os fatores comuns.
ExerccioEfetue:
a)1-a
y
1ax
+
=
b) c3
2a
ac8 =
-
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c)1a
x
xx
4a4 2
24 +
+
+ =
d)x-p
2p
x-p
px22 =
e)b-a
1x
aba
12xx222
2+
+
++ =
f)a
bab
baba 22 +
+ =
5. Potenciao de Fraes Algbricas. Utiliza-mos o mesmo processo das fraes numri-cas.
Exerccio:Calcule
a)x
ba 3
4
2=
b)2-n
n3 2=
c)3-xm1 2
=
+
d)
yx
23
2 =
e)2
b-a
2ba 22
=
+
+
ESTUDO DOS RADICAIS
Generalidades
1. A raiz n-sima de um nmero A um nmero B,tal que Bn= A.
2. ABBA nn == 3. Na expresso anterior, A o radicando, B a
raiz, n o ndice do radical.4. A raiz de ndice par de um nmero positivo
admite duas razes simtricas.5. A raiz de ndice mpar de um nmero real
positiva ou negativa, conforme o nmero sejapositivo ou negativo, respectivamente.
6. A raiz de ndice par ou mpar de zero zero.7. A raiz de ndice par de nmeros negativos no
existe no universo dos Nmeros Reais.8. Radicais Semelhantes so aqueles que tm o
mesmo ndice e o mesmo radicando.9. A substituio de fraes por outras equiva-lentes que no tenham radicais nos denomi-nadores chamada de racionalizao dedenominadores.
10.2
C-A2
CABA
+= ,onde B-AC
2= .
Note que a expresso A2 B deve ser umquadrado. Dessa forma possvel transformarum radical duplo numa soma algbrica deradicais simples.
11. A raiz de um produto o produto das razes.12. A raiz de um quociente o quociente das razes.13. A raiz de uma potncia a potncia da raiz.14. A raiz de outra raiz dada pelo radical cujo
ndice o produto dos ndices.15. S possvel adicional ou subtrair radicais
semelhantes.16. Pode-se simplificar um radical dividindo-se o
ndice e o expoente do radicando por um mesmonmero real diferente de zero.
Exerccio. Transforme cada radical duplo numa somaalgbrica de radicais simples
a) 32 + b) 7-4
c) 62-7
Exerccio. Racionalize o denominador de cada umadas seguintes fraes.
a)5
215
b)( )57
2
+
c) 3 81
9
d)5 3 5x
x
-
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EXERCCIOS
01. Verifique a identidade
222-2222222 =++++
02. O nmero irracional 215+ pode ser escrito
na forma yx + , x > y. Ento, calculando-se
W = (x + y)2 ( x y)2, obtm-se:a) 41b) 31c) 21d) 11e) 1
03. Se
+=
33
8-484A , ento, A vale:a) -3b) -2c) 3d) 2e) 4
04. Se voc dividir 1-32 por 13 + , obter comoresultado.
a)2
36 +
b) 233-7
c)3
32-5
d)4
336+
e) 3-2
05. Racionalizando o denominador do nmero racio-
nal2-6
6x = obtm-se do nmero.
a)3
2-6x=
b) ( )2623
x +=
c)4
36x=
d) 236x +=
e)23
x=
GABARITO
01. verdadeira 03.D 05.B02. C 04.B
EQUAES DO 2 GRAU
DefinioDenomina-se equao do 2 grauna incgnita x todaequao na forma ax2+ bx + c = 0, onde a, be csonmeros reais e a 0.
TiposINCOMPLETAS COMPLETAS
=+
=+
=
0cax
0bxax
0ax
2
2
2
ax2+ bx + c = 0
Se a equao incompleta, voc pode resolv-laisolando o x ou fatorando, conforme o caso. Ou,ainda, pode aplicar a frmula de Bhaskara.
Se a equao completa, voc pode resolv-lausando a frmula de Bhaskara indicada abaixo:
ax2+ bx + c = 0, com a 0 temos que:
= b2 4ac (discriminante)
2ab-x =
Obs.:1. se > 0 existem duas razes reais e distintas;2. se = 0 existem duas razes reais e iguais;3. se < 0 no existem razes reais (S = ).4. se c = 0 possui uma raiz nula;5. razes recprocas ou uma inverso da outra .
Produto = 1 ,a
c = 1 logo , c = a.
6.cb
-ca
ab
-
acab
ps
xxxx
x1
x1
=/
/
=
==
+=
+
soma dos
inversos;
7. razes simtricas x= -x
0b)1(0bab
-0ab
-xx-ab
-xxab
-s1
==
==+=+=
8. Soma das razes ab
-S =
9. Produto das razes:a
c=P
-
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EXERCCIOS
01. Resolver as seguintes equaes:a) 5x2= 0 Resp.: 0 e 0
b) x2+ x = 0 Resp.: 0 e -1
c) 4x2 x = 0 Resp.: 0 e 1/4
d) R2 16 = 0 Resp.: 4
e) 4y2 9 = 0 Resp.:3/2
f) t2+ 5t + 6 = 0 Resp.: -2 e -3
g) m2 6m + 9 = 0 Resp.: 3 e 3
h) x2+ 3x + 5 = 0 Resp.: no h raiz real
02. Que valores pode assumir o parmetro k paraque a equao x2 6x + k2 3k 4 = 0 tenhauma das razes nula?
Resp. 4 ou -1
03. Determine o valor de m para que a equaox2 6x + 3m = 0 admita razes reais e iguais.
Resp. m=3
04. Determinar m, de modo que uma das razes daequao (m 1) x2 8x + 3 = 0 seja o inverso daoutra.
Resp. m=4
05. Calcule h na equao (h + 3) x2 (2h 2) x + 4 = 0de modo que a soma dos inversos das razesseja igual a 1/3.
Resp. h=5/3
06. Determinar k de modo que as razes da equao5x2+ 9x + k = 0 sejam reais e distintas.
Resp.:20
81k <
07. Achar m para que a equao4x2 4x + 2m 1 = 0 no possua razes reais.
Resp. m > 1
08. Determinar m e p na equao(m p)x2 + (m 2)x 4 = 0 de modo que as suasrazes sejam simtricas.
Resp.: m = 2 e p < 2
09. Qual deve ser o valor de p para que a soma dasrazes da equao (p 3)x2 px + 7 = 0 seja
igual a7
10 ?
a) 3b) 6c) 8d) 10e) 12
10. Determinando o valor de K na equaoax2 3x + K = 0, de modo que o produto dasrazes seja o triplo da sua soma, obtm-se:
a) K = 12b) K = 6c) K = 27d) K = 18e) K = 9
11. A equao de 2 grau x2 5x + 2 = M temexatamente duas razes reais distintas, se esomente se:
a)4
-17M>
b)4
17M >
c)4
-17M <
d)4
17M <
e) M = 0
12. A soma e o produto das razes da equaomx2 3(n 2) x 15 = 0 so, respectivamente,6 e -5. Qual o valor de m + n?
a) 5b) 8c) 11d) 15
e) 10
13. A soma de dois nmeros 14 e a soma de seusquadrados 100. Quais so os nmeros?
Resp. 6 e8
14. A soma de dois nmeros 7 e o primeiro mais araiz quadrada do segundo 5. Achar osnmeros.
Resp. 3 e 4
-
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15. O valor de x na equao
4-x1x-9x2 =++ a) negativob) um nmero irracionalc) maior que 7d) menor que 8e) no inteiro
16. Dois nmeros inteiros esto entre si na razo7
5
e a diferena entre seus quadrados excede de 5centenas o qudruplo do menor. Calcule osnmeros
Resp.: 25 e 35
17. Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Aprimeira gasta 5 horas mais do que a segundapara faz-lo sozinha. Quanto tempo gastar,isoladamente a segunda para encher o tanque?
Resp.: 10 horas
18. Determinar um nmero de dois algarismos, talque, dividindo-o pela soma dos algarismos, igual ao quociente 4; e que o produto destesalgarismos mais 52 igual ao nmero, escrito
em ordem inversa.Resp. 48
19. Dado um segmento de comprimento L, o que historicamente conhecido como seco ureadeste segmento a sua diviso em doissegmentos de comprimentos x e L x, de modo
quex-L
x
x
L= . Com essa informao, correto
afirmar quea) x2= L2 - x
b)( )2
1-5L=x
c) x2 x = L2 Ld) se L inteiro, ento x racionale) x2+ x = L2+ L
20. O conjunto soluo da equao de incgnita x,
2mx-xm
m-n
m-x
2m-1
22
22
+
= :
a) S = {2n m}
b) S = {2n + m, 2n m}c) S = {m + n, m n}d) S = {m + 2n, m 2n}e) S = {2m + n, 2m n}
21. Um grupo de pessoas, fez um contrato com umaempresa de turismo, para fazer uma viagem. Ovalor do contrato foi de R$ 1.500,00. Dois delesno puderam viajar em conseqncia a despesade cada um aumentou em R$ 25,00. Quanto foia despesa de cada pessoa, que viajou?
a) R$ 10,00b) R$ 12,00c) R$ 125,00d) R$ 150,00e) R$ 175,00
22. Vinte empregados, entre operrios e aprendizes,receberam uma gratificao. Aos operrioscoube a importncia de R$ 600,00 e aosaprendizes igual quantia. Sabendo-se que cadaaprendiz recebeu menos R$ 80,00 do quequalquer dos operrios, quantos eram osaprendizes?
Resp. 15
GABARITO
09. D 11.A 15.C 20.E10.E 12.C 19.B 21. D