Introdução à Lógica Matemática

Lógica e Sistemas Difusos(Fuzzy)

João Marques Salomão

Curso de Engenharia Elétrica

Coordenadoria de Eletrotécnica

CEFET-ES

Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 1/24

Histórico e Introdução à lógica Fuzzy

Loft A. Zadeh (Univ. Berkeley - Califórnia) em 1965 introduziu elementos de uma teoria chamado-os de “Conjuntos Fuzzy”.

Na década de 70 Zadeh iniciou a extensão de seus elementos teóricos para o que passou a chamar “lógica fuzzy”.

A “lógica fuzzy” apresentou um grande avanço nos anos 80, em especial no Japão.

É uma técnica baseada em graus de verdade:- os valores 0 (F) e 1(V) ficam nas extremidades.- inclui os vários niveis/estados de verdade entre 0 e 1.

A Teoria de conjuntos Fuzzy permite especificar quão bem um objeto satisfaz uma descrição vaga.

Características da Lógica Fuzzy 1/2Características da Lógica Fuzzy 1/2 Lógica convencional: sim ou não, verdadeiro ou

falso, tudo ou nada.

Lógica Fuzzy (difusa ou nebulosa): – Refletem o que as pessoas pensam– Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de

decisão ou senso comum.

Trabalha com uma grande variedade de informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.

Características da Lógica Fuzzy 2/2Características da Lógica Fuzzy 2/2 Antes do surgimento da lógica fuzzy informações vagas não

tinham como ser processadas

A lógica fuzzy contém como casos especiais não só os sistemas lógicos binários, como também os multi-valorados

A lógica fuzzy vem sendo aplicada em diversas áreas, tais como:– Análise de dados;– Construção de sistemas especialistas;– Controle e otimização de processos;– Reconhecimento de padrões, etc.

Ela á baseada em um conjunto de princípios matemáticos para a representação do conhecimento baseado no grau de pertinência dos termos

Conjuntos Fuzzy (1/4)Conjuntos Fuzzy (1/4)• Um conjunto fuzzy permite a representação de conceitos

qualitativos definidos por fronteiras difusas, como as que surgem

na linguagem natural.

• Conjuntos difusos (fuzzy) permitem a passagem da pertinência

de um elemento para a não-pertinência de forma gradual, em

contraposição à forma abrupta dos conjuntos usuais.

• Um conjunto fuzzy (Af) é entendido como uma função de

pertinência (fA) de domínio V (universo de discurso), no intervalo

de números reais [0,1].

• fA (x) associa a cada xV um número

real no intervalo [0,1] cujo valor indica

o grau de pertinência de x em V.

: [0,1]

( )A

A

f V

x f x

Conjuntos Fuzzy (2/4)Conjuntos Fuzzy (2/4)• Conceitos Iniciais: Um conjunto fuzzy (Af) é determinado por

uma função, então ele é representado por um conjunto de pares

ordenados onde o primeiro elemento pertence a V (universo de

discurso), e o segundo indica seu grau pertinência em Af:

Exemplo: Seja: V = {x | x são pessoas com idade entre 0 e 100 anos.

Af = conjunto das idades de pessoas jovens.

então o grau pertinência pode ser da forma:

( ){( , ) | [0,1]}A afA a onde a V ef

2 1( ) ((1 ( ) )30xx

Conjuntos Fuzzy (3/4)Conjuntos Fuzzy (3/4) Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função

de pertinência (MF).de pertinência (MF).

A função de pertinênciaunção de pertinência: Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy.

– Métodos para adquirir esse conhecimento do especialista– Ex: Perguntar ao especialista se vários elementos pertencem a um

conjunto Conjuntos com limites imprecisos

– Exemplo: A = Conjunto de pessoas altas

Altura(m)

1.75

1.0

Conjunto Clássico

1.0

Função depertinência

Altura(m)

1.60 1.75

.5

.9

Conjunto Fuzzy

.8

1.70

Conjuntos Fuzzy (4/4)Conjuntos Fuzzy (4/4) Conceitos Básicos (pag. 193):

Sejam dois conjuntos fuzzy Af e Bf em V, então:1. Eles são iguais (Af =f Bf) se: (x V) fA (x) = fB (x).2. Bf é um subconjunto de Af (Bf está contido em Af ou

Bf f Af ) se: (x V) fB (x) ≤ fA (x).

3. O conjunto fuzzy vazio (ou zero) é dado pela função constante zero: f = 0f =def f(x) = 0, (x V).

4. O conjunto fuzzy universo (ou unidade) é dado pela função constante um: 1f = V =def fV(x) = 1, (x V) .

Gra

u d

e P

erti

nên

cia

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B está contido em A

A

B

Operações com Conjuntos Fuzzy (1/5)Operações com Conjuntos Fuzzy (1/5) União (pag. 194): a união entre dois conjuntos fuzzy A e B é

um outro conjunto fuzzy A f B, tal que, para cada x V, o seu grau de pertinência no conjunto união é o valor máximo (supremo) entre fA (x) e fB (x). Isto é:

Exemplo: Sejam

- V = um conjunto de pontos (conjunto universo)

- A e B conjuntos contidos em V

fA

( ) ( ,max( ( ), ( )) | )f f f A BA B x x f x f x x V

fB

A f B

Operações com Conjuntos Fuzzy (2/5)Operações com Conjuntos Fuzzy (2/5)A Intersecção entre dois conjuntos fuzzy A e B é um outro conjunto fuzzy A f B, tal que, para cada x V, o seu grau de pertinência é o valor mínimo (ínfimo) entre fA (x) e fB (x). Isto é:

Exemplo: Sejam - V = um conjunto de pontos (conjunto universo)- A e B conjuntos contidos em V

fAfB

( ) ( ,min( ( ), ( )) | )f A BA B x x f x f x x V

A f B

Operações com Conjuntos Fuzzy (3/5)Operações com Conjuntos Fuzzy (3/5) Exemplos (União/Interseção, pag. 194):

1 -Sejam V = {x1, x2, x3, x4}

A = { (x1, 0.1); (x2, 1); (x3, 0.8); (x4, 0)}

B = { (x1, 0.7); (x2, 0.4); (x3, 0.9); (x4, 0.1)}

União Fuzzy: A f B = { (x1, 0.7); (x2, 1); (x3, 0.9); (x4, 0.1)}

Interseção Fuzzy: A f B = { (x1, 0.1); (x2, 0.4), (x3, 0.8), (x4, 0)}

2 –Outra forma de representar: Sejam V = {a, b, c, d, e}

A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}

B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}

União Fuzzy: A f B = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}

Interseção Fuzzy: A f B = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}

Operações com Conjuntos FuzzyOperações com Conjuntos Fuzzy (4/5)(4/5)O complemento (pag. 195/196): de um

conjunto fuzzy A (~A) no domínio V é determinado por: ( ) 1 ( ), ( )A Af x f x x V

A diferença entre dois conjuntos fuzzy A e B (A –f B) no domínio V é definida por:

0, ( ) ( )

( )

( ) ( ), ( ) ( )

A B

A B

A B A B

se f x f x

f x

f x f x se f x f x

fA

~A

Exemplo: Sejam V = {x1, x2, x3, x4}; A = { (x1, 0.1); (x2, 1), (x3, 0.8), (x4, 0)} eB = { (x1, 0.7); (x2, 0.4), (x3, 0.9), (x4, 0.1)}

Complemento:~A = { (x1, 0.9); (x2, 0), (x3, 0.2), (x4, 1)}; ~B = { (x1, 0.3); (x2, 0.6), (x3, 0.1), (x4, 0.9)}

Diferença:A -f B = { (x1, 0); (x2, 0.6), (x3, 0), (x4, 0)}

Operações com Conjuntos Fuzzy (5/5)Operações com Conjuntos Fuzzy (5/5) Resumo das operações:

(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy ~A (não “A”)

0

0.2

0.4

0.60.8

1A B

0

0.2

0.4

0.60.8

1

0

0.2

0.40.6

0.8

1

(c) Conjunto Fuzzy A f B ("A ou B“)

0

0.2

0.40.6

0.8

1

(d) Conjunto Fuzzy A f B ("A e B“)

Álgebra dos conjuntos Fuzzy (1/4)Álgebra dos conjuntos Fuzzy (1/4)

As propriedades padrões Reflexiva, Comutativa, Idempotência Associativa, Distributiva, etc. são também válidas para os conjuntos fuzzy (ver demonstrações na pag. 197):

Reflexiva: A f A, pois fAf A = fA fA = fA

Anti-simétrica: se A f B e B f A fA= fB

Transitiva: se A f B e B f C A f C

Princípio da dualidade: “todo resultado obtido dos axiomas anteriores são válidos se trocarmos f por f e os elementos f por V e vice-versa”.

Idempotência: A f A = A e A f A = A

Comutativa: A f B = B f A e A f B = B f A

Álgebra dos conjuntos Fuzzy (2/4)Álgebra dos conjuntos Fuzzy (2/4)

Associativa: A f (B f C) = (A f B) f C = A f B f C A f (B f C) = (A f B) f C = A f B f C

Absorção: A f (A f B) = A eA f (A f C)=A

Distributiva: A f (B f C) = (A f B) f (A f C) A f (B f C) = (A f B) f (A

f C)

Exceção: ~A f A f e~A f A X

(ver demonstrações na pag. 198).

Álgebra dos conjuntos Fuzzy (3/4)Álgebra dos conjuntos Fuzzy (3/4)

Leis de De Morgan: 1) (A f B)’ = A’ f B’.

(pág. 200) 2) (A f B)’ = A’ f B’ . O produto algébrico de dois conjuntos fuzzy A e B (A.B) é

definido pelas funçoes de pertinências de ambos como: fAB = fA .fB

A soma algébrica fuzzy (A+B) é definida pelas funçoes de pertinências de ambos como: fA+B = fA + fB- fAB

A diferença absoluta fuzzy |A-B| é definida pelas funçoes de pertinências de ambos como: f|A-B| = |fB- fA |

Ex: Dados: A = { (x1, 0.9); (x2, 0.3); (x3, 0.1)} e

B = { (x1, 1); (x2, 0.5); (x3, 0.8)}, determine A.B, A+B e |A-B|

(ver demonstrações na pag. 200/2001).

Relações com conjuntos Fuzzy 1/2Relações com conjuntos Fuzzy 1/2

• O produto cartesiano fuzzy entre o conjunto A com domínio U e o conjunto B com domínio V é definido por:

{(( , ), ( ) ( )) | , }f A BXA B u v f u f v u U v V

Ex: Sejam U = {a, b} e V = {1, 2, 3} os domínios dos conjuntos fuzzy A = { (a, 0.5); (b, 0.8))} e B = { (1, 0.2); (2, 1); (3, 0.6)}, determine A Xf B.

Sol:

A Xf B = { ((a, 1), 0.2); ((a, 2), 0.5); ((a, 3), 0.5); ((b, 1), 0.2); ((b, 2), 0.8); ((b,3), 0.6)}.

(ver pag. 202).

Relações com conjuntos Fuzzy 2/2Relações com conjuntos Fuzzy 2/2

• Relação Fuzzy Rf de A em B é um subconjunto de A Xf B onde um fR associa a cada par (x,y) o seu grau de pertinência fR(x,y) em Rf. Assim, fR(x,y) ≤ fA (x) fB (x).

• Suporte de A é o conjunto dado por:

• Domínio da relação Rf :

• Imagem da relação Rf :

• Exemplo da pag. 203.

( ) ( ) ( , )Dom x x Rf x Sup f x y

( ) { / ( ) 0}ASup A x x V e f x

( ) ( ) ( , )Im R y Rf y Sup f x y

Variáveis Lingüísticas (1/2)Variáveis Lingüísticas (1/2) Uma variável lingüística possui valores que não são números,

mas sim palavras ou frases na linguagem natural. Ela é caracterizada por uma quíntupla (N, Gr, V, T(N), S(N)), onde:– N é o nome da variável; – Gr é uma regra sintática que permite gerar valores

lingüísticos; – U é o universo de discurso; – T(N) é o conjunto dos termos em N;– S(N) é uma regra semântica que associa a cada termo x de

N gerado por V o seu significado S(x) dentro do intervalo [0, 1].

Exemplo:T(idade) = {muito jovem, jovem, meia idade, velho,

muito velho...} e V = [0, 100] em anos.

Variáveis Lingüísticas (2/2)Variáveis Lingüísticas (2/2)

( 5) / 25 5 30( )

(50 ) / 20 30 50j

x para xf x

x para x

1 0 5( )

(30 ) / 25 5 30mj

para xf x

x para x

No exemplo anterior, as funções de pertinência (ver gráfico da página 208) poderiam ser:

( 30) / 20 30 50( )

(70 ) / 20 50 70mi

x para xf x

x para x

( 50) / 20 50 70( )

(95 ) / 25 70 95v

x para xf x

x para x

( 70) / 25 70 95( )

1 95 100mv

x para xf x

para x

Modificadores (Hedges)Modificadores (Hedges)• Termos que são usados

para modificar a forma dos conjuntos fuzzy– Muito, algo mais ou

menos, um pouco• São universais• Compostos de nome e

fórmula• Muito:

• Extremamente

2)()( xx AMA

3)()( xx AMA

Muito muito

Um pouco

Mais ou menos

Indeed (exatamente)

4)()( xx AMA

3,1)()( xx AMA

)()( xx AMA

15,0,)(121)(

5,00,)(*2)(2

2

xx

xx

AMA

AMA

Regras Fuzzy (1/2)Regras Fuzzy (1/2) As variáveis ligüísticas permitem que a linguagem da

modelagem fuzzy expresse a semântica usada por especialistas. Exemplo:

If projeto.duração is não muito LONGOthen risco is ligeiramente reduzido.

Consistem de:– Um conjunto de condições IF

(usando conectivos and, or ou not)– uma conclusão THEN– uma conclusão opcional ELSE

Exemplo: Velocidade [0,220] Baixa, Média e alta

1. Se velocidade > 100 Então DPP é 30 metros

2. Se velocidade < 40 Então DPP é 10 metros

1. Se velocidade é alta Então DPP é longa

2. Se velocidade é baixa Então DPP é curta

Regras Fuzzy (2/2)Regras Fuzzy (2/2) E o raciocínio como deve ser encadeado?

– Avaliar o(s) antecedente(s)– Aplicar o resultado ao conseqüente– As regras são ativadas parcialmente, dependendo do

antecedente– Exemplo: Se a altura é alta, o peso é pesado (altura =1.85, peso = ?)

1.85

.5

.75

.1

Alto

90

.5

.75

.1

Pesado

FIM