clculo num©rico e modelagem matemtica

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CAPTULO 1 CLCULO NUMRICO

Erros e representao numrica

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Introduo

Neste captulo vamos, recordar os conceitos estudados em Lgica Matemtica de lgebra booleana desenvolvidos por George Boole em meados de 1857. Estes conceitos fazem o elo entre a matemtica e os computadores digitais. Os computadores utilizam a lgica binria, presena e ausncia de energia, ou seja, verdadeiro e falso. Agora basta associar de maneira adequada os operadores, conjuno, disjuno, negao e outros para termos todas as operaes matemticas que um computador executa. Nosso curso tem como foco converso de binrio-decimal, e como ela acarreta erros nas operaes realizadas por computadores. Ao nal deste captulo, voc ser capaz de identicar as fases de modelagem e os possveis erros nelas cometidos e compreender a representao binria e como ocorre a representao dos valores decimais em um computador. Neste captulo, estudaremos uma rea relativamente nova em relao a toda a histria da Matemtica, mas no menos importante, para isso importante conhecer sobre valor posicional de um algarismo no sistema de numerao de base dez. Outro importante conceito a notao cientca, pois com esse tipo de notao trabalhamos com o posicionamento da vrgula e a potncia de 10, muito til em nosso curso de Clculo Numrico.

1.1 Erros na fase de modelagem

Para melhor compreender em quais momentos, durante a resoluo de um problema, podem ocorrer erros, vamos represent-los por meio de um esquema, conforme a gura a seguir.Modelagem Resoluo

Problema fsico

Modelo matemtico

Soluo

O erro pode ocorrer na fase de modelagem, por exemplo, se o problema exige que tenhamos uma preciso de vrias casas decimais no conseguimos medi-los de maneira precisa dependendo do modelo que se tenha.

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Outro exemplo que podemos citar so os modelos que matemticos estudados no Ensino Mdio desprezam, como o atrito, a resistncia do ar, entre outras variveis que em problemas reais inuenciam diretamente no resultado nal. Exemplo Considerando a equao F = m a, sendo F a fora medida em Newtons, m a massa em quilograma e a a acelerao em metros por segundo, se desejarmos medir a forma de um objeto em queda livre, sabemos que a acelerao aproximadamente 9,8 m/s e sua massa igual a 5 Kg. Facilmente respondemos que a sua fora F = 9,8 5 = 49 N. Entretanto, existe variao na gravidade em funo da altitude em relao ao nvel do mar, temos tambm que considerar a resistncia do ar, entre outros fatores, portanto embora os clculos estejam corretos temos erros na modelagem problema. O que ocorreu no problema citado acorre em qualquer rea do conhecimento.

1.2 Erros na fase de resoluoOs erros tambm podem ocorrer na fase de resoluo devido a alguma aproximao realizada pelo computador devido s restries de representao, como, por exemplo, o nmero , e, 2 e outros irracionais e alguns racionais. Estes nmeros no podem ser representados exatamente e o erro cometido propaga nas operaes aritmticas. No computador ainda temos o problema da converso em binrio-decimal, em que os nmeros binrios no representam todos na forma decimal. Para melhor compreender essas situaes vamos estudar como transformar nmeros da forma decimal-binria e vice-versa.

1.2.1 Converso de basesAs mquinas digitais convertem todos os dados para binrio (0 ou 1, presena ou ausncia de energia) realizam as operao, transformam em decimal para que possamos compreender, todos os clculos so realizados utilizando a lgebra Booleana. Um nmero N qualquer pode ser descrito numa base de acordo com a seguinte expresso polinomial:N = amm + am1m1 + ... + a11 + ao + a 1 1 + a 2 2 + ... + a n n

Para compreender melhor, primeiro veremos um exemplo com a base decimal com a qual estamos mais acostumados. Deste momento em diante, nesta disciplina todos os nmeros sero representados entre parnteses com um ndice indicando em qual base est o

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nmero para que no haja confuso. Por exemplo, (110)10 que representa o nmero cento e dez, enquanto que (110)2, representa o nmero um um zero na base binria. Vamos representar o nmero (142,52)10, assim temos:N = a22 + a11 + a11 + a22 (142,12)10 = 1 102 + 4 102 + 2 100 + 5 10 1 + 2 10 2

Podemos observar claramente o efeito da posio relativa, que neste caso 1 tem peso 100, 4 tem peso 40 e 2 tem peso unitrio e o mesmo para a parte fracionria que tem 5 com peso 0,5 e 2 com peso 0,02. A base binria utiliza apenas dois smbolos para representar os nmeros o 0 e o 1. Vamos escrever o nmero (110)2 utilizando o polinmio que generaliza a representao dos nmeros. Neste caso temos = 2.N = a33 + a22 + a11 (110)2 = 1 23 + 1 22 + 0 20 (110)2 = (12)10

Resolvendo a expresso anterior temos como resultado a representao decimal do nmero binrio (110)2. Agora vamos estudar um mtodo prtico para realizar a converso binriodecimal e vice versa atravs de um exemplo. Exemplo Transforme em binrio o nmero (26)10. Soluo Para converter decimal em binrio dividimos o nmero sucessivas vezes por 2 enquanto for possvel, e escrevemos o nmero binrio tomando os restos da diviso, da ltima para a primeira.37 0 2 18 0 2 9 1 2 4 0 2 2 0 2 1 1 2 0

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Assim o nmero (26)10 = (11010)2, para vericar basta utilizar o polinmio para transformar novamente em decimal. Vamos vericar:N = a4 4 + a33 + a22 + a11 + a00 (11010)2 = 1 24 + 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20 (110)2 = 1 16 + 1 8 + 0 4 + 1 2 + 0 1 (110)2 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 (110)2 = (26)10

Podemos observar que para representar um nmero em binrio precisamos de mais posies que na forma decimal, de maneira geral quanto menor a base mais posies so necessrias. Agora, vamos estudar o processo para transformar decimais fracionrios, considere o exemplo. Exemplo Transforme em decimal o nmero (0,625)10. Soluo Para transformar decimal fracionrio em binrio, multiplicamos apenas parte fracionria por 2 sucessivas vezes at a parte fracionria ser igual a zero ou o nmero repetir uma sequncia, a parte inteira sempre ser 0 ou 1.0, 625 x 2 0, 250 x 2 0, 500 x 2

1, 250

0 , 500

1, 000

A parte inteira em destaque o nmero na forma binria (0,101)2. Como zemos no exemplo anterior vamos vericar se a transformao est correta voltando o nmero para a forma decimal.N = a11 + a22 + a33 (110)2 = 1 21 + 0 22 + 1 23 (110)2 = 1 1 1 1 + 0 +1 2 4 8

(110)2 = 1 0, 5 + 0 0,25 + 1 0,125 (110)2 = (0,625)10

E como faramos se tivssemos um nmero com parte inteira e fracionria, ou seja, misto na forma decimal para transformar em binrio? A resposta simples basta aplicar os dois processos em separado. Veja um exemplo:

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1/4/aaaa 13:13:03

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Exemplo Transforme o nmero (37,375)10 em binrio. Soluo Primeiro vamos transformar a parte inteira, ou seja, o 37.37 0 2 18 0 2 9 1 2 4 0 2 2 0 2 1 1 2 0

Assim, na parte inteira temos (100101)2, mas ainda falta a parte fracionria. Tomando apenas esta faremos como no exemplo anterior.0,375 x 2 0 , 750 0, 750 x 2 1, 500 0, 500 x 2 1, 000

Ento a representao binria do nmero (37,375)10 (100101,011)2.

1.2.2 Erros de arredondamentoDurante o processo de converso binrio decimal, podem ocorrer alguns erros, pois na forma binria no possvel representar todos os nmeros da reta real. Tambm existem casos em que um nmero exato na forma decimal no possui tal representao na forma binria. Por exemplo, o nmero (0,1)10, em binrio uma dzima peridica, ou seja, no pode ser representada exatamente com uma quantidade nita de smbolos. Existem tambm os nmeros em decimal que no possuem representao binria, ento fazemos uma aproximao. Exemplo Vamos representar o nmero (0,1)10 na forma binria.0,1 x 2 0, 2 0, 2 x 2 0, 4 0, 4 x 2 0,8 0,8 x 2 16 , 0, 6 x 2 12 , 0, 2 x 2 0, 4 0, 4 x 2 0,8 0,8 x 2 16 , 0, 6 x 2 12 ,

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Observe que neste ponto o (0,4)10 comea a se repetir formando assim uma dzima peridica em binrio. Neste caso, existe a necessidade de arredondar ou truncar, pois temos uma quantidade nita de posies para representar o nmero. A representao binria que obtivemos para (0,1)10 (0,000110011...)2, fazendo a transformao inversa do ltimo nmero considerando apenas as nove primeiras casas chegamos ao decimal (.09960937500)10, o qual possui um erro de (0.000390625)2 que dependendo da aplicao pode ser um problema. Vimos como os nmeros so representados em mquinas digitais, agora, vamos compreender como so armazenados e como podemos oper-los.

1.3 Representao em ponto utuanteTodo dia utilizamos calculadoras e nem imaginamos que elas podem cometer erros e muito menos nos preocupamos sobre como suas operaes so realizadas. Nelas so utilizadas, por exemplo, a representao em aritmtica de ponto utuante. A seguir temos um exemplo. Exemplo O nmero 15.200.000.000 na calculadora representado por 1,52 x 1010. Observe que a vrgula que separa a parte fracionria no nmero 15.200.000.000 est a direita do ltimo zero. Para facilitar a escrita e diminuir o espao necessrio para a representao deslocamos a vrgula dez casas para a esquerda e multiplicamos por uma potncia de dez para no alterarmos o valor do nmero, neste caso, 1010. Conhecendo a base em que se est representando o nmero, os valores dos nmeros signicativos, no exemplo anterior, 152 e o expoente da base. Essa forma de representar os nmeros otimiza a forma de representar os nmeros quando a quantidade de smbolos a ser armazenado limitado. A seguir, temos a denio do sistema de ponto utuante para qualquer base de numerao. Denio Um sistema de ponto utuante F IR um subconjunto dos nmeros