cÁlculo diferencial e integral · uma nova abordagem no ensino da matemÁtica editora livraria...

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A.

FUN

JOÃO CARLOS MOREIRA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

VOLUME 2 - FUNÇÕES RACIONAIS



CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL





CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL



JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A

https://www.escoladematematicapontal.com.br/shopping/



Copyright © 2018 by João Carlos Moreira CAPA: JOÃO CARLOS MOREIRA EDITOR: JOÃO CARLOS MOREIRA DIAGRAMAÇÃO: JOÃO CARLOS MOREIRA DISTRIBUIÇÃO: EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A.


Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brazil / Printed in Brazil

https://www.escoladematematicapontal.com.br/shopping/



Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira



Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Cálculo, criado em 2013, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Cálculo Diferencial e Integral e suas Aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos para o cálculo de limites, derivadas e integrais para a classe das funções racionais. Isso permite ao estudante um estudo profundo sobre as funções racionais presentes na teoria do cálculo diferencial e integral. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino do cálculo no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional a mim confiada.

Ituiutaba, setembro de 2018.

João Carlos Moreira

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMATICA


1

SUMÁRIO

1. CONCEITOS...................................................................................................................... 2

2. DOMÍNIO E IMAGEM..................................................................................................... 6

3. LIMITES.............................................................................................................................. 11

4. DERIVADAS...................................................................................................................... 28

5. GRÁFICOS......................................................................................................................... 33

6. INTEGRAI......................................................................................................................... 36

7. TEOREMAS....................................................................................................................... 42

8. ALGORITMOS.................................................................................................................. 47



2

Defina função racional de uma variável real à

valores reais. Dê exemplos.

Defina domínio de uma função racional de uma

variável real à valores reais. Dê exemplos.

Defina ponto limite ou de acumulação do domínio

de uma função racional de uma variável real à valores reais. Dê

exemplos.

Defina imagem de uma função racional de uma


Defina gráfico de uma função racional de uma


Sendo 𝑓 uma função racional de uma variável real

à valores reais, defina e dê exemplos:

a) limite de 𝑓 no ponto limite 𝑥0 de Ω ⊆ 𝐷(𝑓),

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐿.

b) os limites laterais de 𝑓 à direita do ponto limite 𝑥0 de Ω ⊆

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

FUNÇÕES RACIONAIS CONCEITOS | NÍVEL I 1

Exercício 3



3

𝐷(𝑓), lim𝑥→𝑥0

+𝑓(𝑥) = 𝐿 , lim

𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥) = +∞ e lim

𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥) = −∞.

c) os limites laterais de 𝑓 à direita do ponto limite 𝑥0 de Ω ⊆

𝐷(𝑓), lim𝑥→𝑥0

−𝑓(𝑥) = 𝐿, lim

𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥) = +∞ e lim

𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥) = −∞.

d) os limites no infinito de 𝑓,

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞, lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = −∞

e lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −∞ e lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = +∞.

Sendo 𝑓 uma função racional de uma variável real

à valores reais, defina e dê exemplos:

a) as derivadas laterais de ordem 𝑛 de 𝑓, sobre um conjunto Ω ⊆𝐷(𝑓) no ponto limite 𝑥0 de Ω,

(∀𝑛) (𝑓+(𝑛)(𝑥0)) e (∀𝑛) (𝑓−

(𝑛)(𝑥0)).

b) a derivada de ordem 𝑛 de 𝑓 sobre um conjunto Ω ⊆ 𝐷(𝑓) no

ponto limite 𝑥0 de Ω,

(∀𝑛) ( 𝑓(𝑛)(𝑥0)) ou (∀𝑛) ((𝑑𝑛𝑓

𝑑𝑥𝑛) (𝑥0)).

c) as funções derivadas laterais de ordem 𝑛 de 𝑓,

(∀𝑛) (𝑓+(𝑛)(𝑥)) e (∀𝑛) (𝑓−

(𝑛)(𝑥)).

Exercício 7



4

d) as funções derivadas de ordem 𝑛 de 𝑓,

(∀𝑛) ( 𝑓(𝑛)(𝑥)) ou (∀𝑛) ((𝑑𝑛𝑓

𝑑𝑥𝑛) (𝑥)).

e) as diferenciais de ordem 𝑛 de 𝑓 sobre um conjunto Ω ⊆ 𝐷(𝑓)

no ponto limite 𝑥0 de Ω,

(∀𝑛)(𝑑𝑛𝑓(𝑥0)).

Considerando 𝑓 uma função racional de uma

variável real à valores reais, defina e dê exemplos:

a) a integral indefinida de 𝑓,

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

b) a integral definida de 𝑓 (segundo Riemann),

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.𝑏

𝑎

c) as integrais impróprias de 𝑓,

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞

𝑎, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

−∞ e ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞.

Sendo 𝑓 uma função racional de uma variável real à

valores reais, defina e dê exemplos:

a) continuidade de 𝑓 no ponto limite 𝑥0 de um conjunto Ω ⊆𝐷(𝑓) e continuidade de 𝑓.

b) reta tangente e reta normal ao gráfico de 𝑓 no ponto

Exercício 8

Exercício 9



5

(𝑥0, 𝑓(𝑥0)).

c) intervalos de crescimento e decrescimento de 𝑓 e a variação do sinal da derivada de primeira ordem de 𝑓.

d) ponto de máximo local e global de 𝑓.

e) ponto de mínimo local e global de 𝑓.

f) intervalos de mudança de concavidade de 𝑓 e a variação do

sinal da derivada de segunda ordem de 𝑓.

g) ponto de inflexão de 𝑓.

h) assíntotas vertical, horizontal e oblíqua de 𝑓.



6

N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores O domínio e a imagem da função racional

𝑓 = {(𝑥,𝑥+1

−2𝑥+3) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ −3

2} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: 𝑦 ≠ −

1

2}

b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ −3

2} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: 𝑦 ≠

1

2}

c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ −1

2} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: 𝑦 ≠

3

2}

d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠3

2} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: 𝑦 ≠ −

1

2}

e) N.D.A. O domínio e a imagem da função racional

𝑓 = {(𝑥,2𝑥−1

4𝑥2−1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠1

2) ∧ (𝑥 ≠ 0)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≠ −

1

2) ∧ 𝑦 (≠

1

2)}

b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠1

2) ∧ (𝑥 ≠ 0)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≠ −

1

2) ∧ 𝑦(≠ 0)}

c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1

2) ∧ (𝑥 ≠

1

2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≠ −

1

2) ∧ 𝑦 (≠

1

2)}

d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1

2) ∧ (𝑥 ≠

1

2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑦 (≠

1

2)}


𝑓 = {(𝑥,𝑥+1

𝑥2+𝑥−2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

FUNÇÕES RACIONAIS DOMÍNIO E IMAGEM | NÍVEL 1

2 2



7

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ −2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1) ∧ (𝑥 ≠ −2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.

O domínio e a imagem da função racional

𝑓 = {(𝑥,𝑥2−1

𝑥+2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ −2} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≤ −4 − 2√3) ∨ (𝑦 ≥ −4 + 2√3)}

b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ 2} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (−4 − 2√3 ≤ 𝑦 ≤ −4 + 2√3) }

c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ −2} e 𝐼𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (−2√3 ≤ 𝑦 ≤ 2√3) }

d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ −2} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≤ −2√3) ∨ (𝑦 ≥ 2√3)} e) N.D.A O domínio e a imagem da função racional

𝑓 = {(𝑥,−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ −2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1) ∧ (𝑥 ≠ −2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.


𝑓 = {(𝑥,𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ −2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1) ∧ (𝑥 ≠ −2)}e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6



8


𝑓 = {(𝑥,−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ −2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1) ∧ (𝑥 ≠ −2)}e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.


𝑓 = {(𝑥,3

𝑥2+1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: 0 < 𝑦 ≤ 3} b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 0 < 𝑥 ≤ 3} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦:−3 < 𝑦 ≤ 0} d) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: 0 < 𝑦 < 3} e) N.D.A.


𝑓 = {(𝑥,−2

𝑥2+𝑥+1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦:−8

3≤ 𝑦 ≤ 0}

b) 𝐷(𝑓) = {𝑥:−8

3≤ 𝑥 ≤ 0} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ

c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦:−8

3≤ 𝑦 < 0}

d) 𝐷(𝑓) = {𝑥:−8

3≤ 𝑥 ≤ 0} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ


𝑓 = {(𝑥,1

𝑥4+2𝑥2+1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10



9

a) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: 0 < 𝑦 ≤ 1} b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: 0 ≤ 𝑥 < 1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: 0 ≤ 𝑦 < 1} d) 𝐷(𝑓) = {𝑦: 0 ≤ 𝑦 ≤ 1} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.


𝑓 = {(𝑥,1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ∗ e) N.D.A.


𝑓 = {(𝑥,−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≤ −3) ∨ ( 𝑦 ≥ 1)} b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≤ −3) ∨ ( 𝑦 ≥ 1)} c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (−3 ≤ 𝑦 ≤ 1) } d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (−3 ≤ 𝑦 ≤ 1) } e) N.D.A.


𝑓 = {(𝑥,𝑥2−𝑥+1

𝑥−1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≤ −3) ∨ ( 𝑦 ≥ 1)} b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≤ −3) ∨ ( 𝑦 ≥ 1)} c) 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 1 } e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (𝑦 ≤ −1) ∨ ( 𝑦 ≥ 3)} d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦: (−3 ≤ 𝑦 ≤ 1) } e) N.D.A.

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 11



10


𝑓 = {(𝑥,𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− e) N.D.A.


𝑓 = {(𝑥,−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)} é:

a) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ b) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ −1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ c) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1) ∧ (𝑥 ≠ 2)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ− d) 𝐷(𝑓) = {𝑥: (𝑥 ≠ 1)} e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ e) N.D.A.

Exercício 14

Exercício 15



11

N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores Assinale a alternativa que descreve o valor de

lim𝑥→−2

𝑥+1

−2𝑥+3:

a) 1

7

b) −1

7

c) +∞ d) −∞ e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de

lim𝑥→1

3𝑥2+2𝑥+1

3𝑥−1:

a) −1

2

b) 1

2

c) 3 d) −3 e) N.D.A.


lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥2−1:

a) −1

2

b) 1

2

FUNÇÕES RACIONAIS LIMITES | NÍVEL I 3

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3



12

c) 3 d) −3 e) N.D.A.


lim𝑥→

1

2

2𝑥−1

4𝑥2−1:

a) −1 b) 4

c) 1

2

d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

𝑥+1

−2𝑥+3:

a) −1

2

b) 1

2

c) +∞ d) −∞ e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

𝑥+1

−2𝑥+3:

a) −1

2

b) 1

2

c) +∞ d) −∞ e) N.D.A.

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 4



13


lim𝑥→+∞

2𝑥−1

4𝑥2−1:

a) −1 b) 4

c) 1

2

d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

2𝑥−1

4𝑥2−1:

a) −1 b) 4

c) 1

2

d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

Exercício 9

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 10



14

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−1

𝑥2−1

𝑥+2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.

Exercício 13

Exercício 11

Exercício 12



15


lim𝑥→1+

−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) ∞ b) +∞

Exercício 14

Exercício 15

Exercício 16

Exercício 17



16

c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


Exercício 18

Exercício 19

Exercício 21

Exercício 20



17

lim𝑥→−∞

𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0

Exercício 22

Exercício 23

Exercício 24



18

e) N.D.A. Assinale a alternativa que descreve o valor de

lim𝑥→−∞

−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−1+

3

𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 3

2

d) −3

2


lim𝑥→−1−

3

𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 3

2

d) −3

2


Exercício 25

Exercício 26

Exercício 27

Exercício 28



19

lim𝑥→+∞

3

𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 3

2

d) −3

2

e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

3

𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 3

2

d) −3

2


lim𝑥→−1+

−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −∞ b) +∞ c) 2 d) −2 e) N.D.A.


lim𝑥→−1−

−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −∞ b) +∞ c) 2

Exercício 30

Exercício 29

Exercício 31



20

d) −2 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −∞ b) +∞ c) 0 d) −3 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −∞ b) +∞ c) 3 d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−1+

1

𝑥4+2𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 1

4

d) -1

4


Exercício 32

Exercício 33

Exercício 34

Exercício 35



21

lim𝑥→−1−

1

𝑥4+2𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 1

3

d) -1

3


lim𝑥→+∞

1

𝑥4+2𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞ c) 0

d) -1

3


lim𝑥→−∞

1

𝑥4+2𝑥2+1:

a) −∞ b) +∞

c) 1

3

d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) −∞ b) +∞

Exercício 36

Exercício 37

Exercício 38



22

c) 1

3

d) -1

3


lim𝑥→1−

1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) −∞ b) +∞

c) 1

3

d) -1

3


lim𝑥→+∞

1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.

Exercício 39

Exercício 40

Exercício 41



23


lim𝑥→1+

−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞

Exercício 42

Exercício 43

Exercício 44

Exercício 45



24

c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


Exercício 46

Exercício 47

Exercício 48

Exercício 49



25

lim𝑥→−∞

𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→+∞

𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞

Exercício 50

Exercício 51

Exercício 52



26

d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1+

−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→1−

−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


Exercício 53

Exercício 54

Exercício 55

Exercício 56



27

lim𝑥→+∞

−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.


lim𝑥→−∞

−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) ∞ b) +∞ c) −∞ d) 0 e) N.D.A.

Exercício 57



28

N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores Assinale a alternativa que descreve o valor de

𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=1

, sendo 𝑓(𝑥) =𝑥+1

−2𝑥+3:

a) -2 b) 3 c) 1 d) 5 e) N.D.A.


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo 𝑓(𝑥) =2𝑥−1

4𝑥2−1:

a) -2 b) 3 c) 1 d) 5 e) N.D.A.


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=−1

, sendo 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥2+𝑥−2:

a) −1

2

b) −1

4

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

FUNÇÕES RACIONAIS DERIVADAS | NÍVEL 1

5



29

c) −1

3

d) −1

5


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=2

, sendo 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥+2:

a) 12

15

b) 13

16

c) 11

16

d) 11

15


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=−1

, sendo 𝑓(𝑥) =−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2:

a) 1

2

b) 1

4

c) 1

3

d) 1

5


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) 5

2

b) 5

4

c) 5

3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6



30

d) 1

3


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo 𝑓(𝑥) =−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2:

a) −5

2

b) −5

4

c) −5

3

d) −1

3


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo 𝑓(𝑥) =3

𝑥2+1:

a) 3 b) −3 c) 0 d) −2 e) N.D.A.


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo 𝑓(𝑥) =−2

𝑥2+𝑥+1:

a) −2 b) 2 c) 0 d) 1 e) N.D.A.

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9



31


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=1


𝑥4+2𝑥2+1:

a) −2

3

b) 2

3

c) 1

2

d) −1

2


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=−1


𝑥3−𝑥2+𝑥−1:

a) −2

8

b) 2

8

c) 3

8

d) −3

8


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo 𝑓(𝑥) =−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) N.D.A.


Exercício 12

Exercício 13

Exercício 10

Exercício 11



32

𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=1

, sendo 𝑓(𝑥) =𝑥2−𝑥+1

𝑥−1:

a) 2 b) 3 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0

, sendo 𝑓(𝑥) =𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1:

a) -2 b) -3 c) -1 d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=1

, sendo 𝑓(𝑥) =−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1:

a) 2 b) 3 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.

Exercício 14

Exercício 15



33

Antes de esboçar o gráfico das funções racionais abaixo, determine caso existam, 𝐷(𝑓); 𝐼𝑚(𝑓); raízes de 𝑓; as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas; os intervalos de crescimento e decrescimento; os pontos e valores máximos e mínimos locais e globais de 𝑓; os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo ou para cima, bem como os possíveis pontos de inflexão. Esboce o gráfico da função racional

𝑓 = {(𝑥,𝑥 + 1

−2𝑥 + 3) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.

Esboce o gráfico da função racional

𝑓 = {(𝑥,2𝑥 − 1

4𝑥2 − 1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,𝑥 + 1

𝑥2 + 𝑥 − 2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,𝑥2 − 1

𝑥 + 2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

FUNÇÕES RACIONAIS GRÁFICOS | NÍVEL 1

2 6



34


𝑓 = {(𝑥,−𝑥 − 1

𝑥2 + 𝑥 − 2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,𝑥2 − 1

𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,−𝑥2 + 1

𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 2) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,3

𝑥2 + 1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,−2

𝑥2 + 𝑥 + 1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,1

𝑥4 + 2𝑥2 + 1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,1

𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 11

Exercício 10



35


𝑓 = {(𝑥,−𝑥2 + 𝑥 − 1

𝑥 − 1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,𝑥2 − 𝑥 + 1

𝑥 − 1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,𝑥3−3𝑥

2+3𝑥

𝑥−1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.


𝑓 = {(𝑥,−𝑥3+3𝑥

2−3𝑥

𝑥−1) : 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15



36

N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores


∫𝑥+1

−2𝑥+3𝑑𝑥

1

0.

a) −1

4(log(243) − 2)

b) 1

4(log(243) − 2)

c) 1

4(ln(243) − 2)

d) −1

4(ln(243) − 2)


∫2𝑥−1

4𝑥2−1𝑑𝑥

2

1.

a) 1

2log (

5

3)

b) 1

2ln (

3

5)

c) 1

2log (

3

5)

d) 1

2ln (

5

3)


∫𝑥+1

𝑥2+𝑥−2𝑑𝑥

3

2.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

FUNÇÕES RACIONAIS INTEGRAIS | NÍVEL 1

2 7



37

a) log (5

3)

b) log (3

5)

c) ln (5)

3

d) ln (3)

5


∫𝑥2−1

𝑥+2𝑑𝑥

1

0.

a) log (27

8) −

3

2

b) log (27

8) +

3

2

c) ln (27

8) +

3

2

d) ln (27

8) −

3

2


∫−𝑥−1

𝑥2+𝑥−2𝑑𝑥

0

−1.

a) ln (3)

2

b) ln (2)

3

c) log (3)

2

d) log (2)

3


∫𝑥2−1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2𝑑𝑥

0

−1.

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6



38

a) 1

9(log 4 − 3)

b) 1

9(ln 4 − 3)

c) 1

9(3 − log 4)

d) 1

9(3 − ln 4)


∫−𝑥2+1

𝑥4−𝑥3−3𝑥2+5𝑥−2𝑑𝑥

3

2.

a) −1

9(log (

8

5) + 3)

b) −1

9(log (

8

5) − 3)

c) 1

9(log (

8

5) + 3)

d) 1

9(log (

8

5) − 3)


∫3

𝑥2+1𝑑𝑥

1

0.

a) 𝜋

4

b) 𝜋

2

c) 3𝜋

4

d) 𝜋

3


∫−2

𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥

0

−1.

a) −4𝜋

3√3

Exercício 7

Exercício 9

Exercício 8



39

b) 4𝜋

3√3

c) 2𝜋

3√3

d) −2𝜋

3√3


∫1

𝑥4+2𝑥2+1𝑑𝑥

1

0.

a) −𝜋+2

8

b) 𝜋+2

2

c) −𝜋+2

2

d) 𝜋+2

8


∫1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1𝑑𝑥

4

3.

a) −1

4(ln (

45

34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))

b) 1

4(ln (

45

34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))

c) −1

4(ln (

45

34) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))

d) −1

4(ln (

45

34) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(3) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4))


∫−𝑥2+𝑥−1

𝑥−1𝑑𝑥

0

−1.

a) 1

2−ln

1

2

b) 1

2+ln

1

2

Exercício 12

Exercício 10

Exercício 11



40

c) 1

2−log

1

2

d) 1

2+log

1

2

e) N.D.A.


∫𝑥2−𝑥+1

𝑥−1𝑑𝑥

3

2.

a) 5

2−ln2

b) 5

2+ln2

c) 5

2−log2

d) 5

2+log2


∫𝑥3−3𝑥2+3𝑥

𝑥−1𝑑𝑥

0

−1.

a) 7

3−log2

b) 7

3+log2

c) 7

3+ln2

d) 7

3−ln2


∫−𝑥3+3𝑥2−3𝑥

𝑥−1𝑑𝑥

3

2.

a) 7

3−log2

b) 7

3+log2

c) 7

3+ln2

Exercício 13

Exercício 14

Exercício 15



41

d) 7

3−ln2

e) N.D.A.



42

Mostre que

( lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐿) ↔ ( lim𝑥→𝑥0

+𝑓(𝑥) = 𝐿) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥) = 𝐿) .

Mostre que se

(∀𝑛)(∀𝑖) ( (𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}) → ( lim𝑥→𝑥0

𝑓𝑖(𝑥) = 𝐿𝑖)), então:

a) lim𝑥→𝑥0

(∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 )(𝑥) = ∑ lim

𝑥→𝑥0𝑓𝑖(𝑥);

𝑛𝑖=1

b) lim𝑥→𝑥0

(∏ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 )(𝑥) = ∏ lim

𝑥→𝑥0𝑓𝑖(𝑥).

𝑛𝑖=1

Nota. Mostre que o Teorema 2 é válido se substituirmos 𝑥0 por 𝑥0

+, 𝑥0−,

+∞ ou −∞.

Mostre que se ( lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐿), então

(∀𝑘) ((𝑘 ∈ ℝ) → ( lim𝑥→𝑥0

(𝑘 ∙ 𝑓)(𝑥) = 𝑘 ∙ lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) )).

Nota. Mostre que o Corolário 1 é válido se substituirmos 𝑥0 por 𝑥0+,

𝑥0−, +∞ ou −∞.

Mostre que se ( lim𝑥→𝑥0

𝑓1(𝑥) = 𝐿1) ∧ ( lim𝑥→𝑥0

𝑓2(𝑥) = 𝐿2), então

( lim𝑥→𝑥0

𝑓2(𝑥) ≠ 0 → lim𝑥→𝑥0

(𝑓1𝑓2) (𝑥) =

lim𝑥→𝑥0

𝑓1(𝑥)

lim𝑥→𝑥0

𝑓2(𝑥) ).

Teorema 1

Teorema 2

Corolário 1

Corolário 2

FUNÇÕES RACIONAIS TEOREMAS | NÍVEL 2

2 8



43

Nota 1. Se

( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = 0) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = 0),

então teremos uma indeterminação em ( lim𝑥→𝑥0

+(𝑓1

𝑓2) (𝑥)).

Nota 2. Mostre que o Corolário 2 é válido se substituirmos 𝑥0 por 𝑥0+,

𝑥0−, +∞ ou −∞.

Mostre que se 𝐼𝑚(𝑔) ⊆ 𝐷(𝑓),

( lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐿) ∧ (lim𝑦→𝐿

𝑔(𝑦) = 𝑀) → lim𝑥→𝑥0

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑀

Nota. Mostre que o Teorema 3 é válido se substituirmos 𝑥0 por 𝑥0

+, 𝑥0−,

+∞ ou −∞.

Se 𝐼𝑚(𝑔) ⊆ 𝐷(𝑓), 𝑓 é contínua em 𝑔(𝑥0) e 𝑔 for

contínua em 𝑥0, então:

∃ lim𝑥→𝑥0

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥0).

Nota. Mostre que o Corolário 3 é válido se substituirmos 𝑥0 por 𝑥0+ou

𝑥0−.

Se (∀𝑥)((𝑥 ∈ Ω ⊆ ℝ) → (𝑓1(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓2(𝑥)))

e 𝑥0 é um ponto limite de Ω, então:

( lim𝑥→𝑥0

𝑓1(𝑥) = 𝐿) ∧ ( lim𝑥→𝑥0

𝑓2(𝑥) = 𝐿) → ( lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥) = 𝐿) .

Nota. Mostre que o Teorema 4 é válido se substituirmos 𝑥0 por 𝑥0+, 𝑥0

−, +∞ ou −∞.

Teorema 3

Corolário 3

Teorema 4



44

Se (∀𝑥)((𝑥 ∈ Ω) → (𝑎 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑏)) e 𝑥0 é um ponto

limite de Ω, então:

( lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 0) → ( lim𝑥→𝑥0

(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 0) .

Nota. Mostre que o Corolário 4 é válido se substituirmos 𝑥0 por 𝑥0+,

𝑥0−, +∞ ou −∞.

Mostre que se

(∀𝑛)(∀𝑖) ( (𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}) → ( lim𝑥→𝑥0

+𝑓𝑖(𝑥) = +∞)), então:

a) lim𝑥→𝑥0

+(∑ 𝑓𝑖

𝑛𝑖=1 )(𝑥) = +∞;

b) lim𝑥→𝑥0

+(∏ 𝑓𝑖

𝑛𝑖=1 )(𝑥) = +∞.

Nota1. Se ( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = +∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = +∞) então teremos uma

indeterminação em ( lim𝑥→𝑥0

+(𝑓1

𝑓2) (𝑥)).

Nota 2. Mostre que o Teorema 5 é válido se substituirmos 𝑥0+ por 𝑥0

−,

+∞ ou −∞.

Mostre que se

(∀𝑛)(∀𝑖) ( (𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}) → ( lim𝑥→𝑥0

+𝑓𝑖(𝑥) = −∞)), então:

a) lim𝑥→𝑥0

+(∑ 𝑓𝑖

𝑛𝑖=1 )(𝑥) = −∞;

b) lim𝑥→𝑥0

+(∏ 𝑓𝑖

𝑛𝑖=1 )(𝑥) = {

+∞, 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 −∞, 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

.

Corolário 4

Teorema 5

Teorema 6



45

Nota1. Se ( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = −∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = −∞) então teremos uma

indeterminação em ( lim𝑥→𝑥0

+(𝑓1

𝑓2) (𝑥)).


−,

+∞ ou −∞.

Mostre que

a) ( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = +∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = 𝐿) → ( lim

𝑥→𝑥0+(𝑓1 + 𝑓2)(𝑥) = +∞) ;

b) ( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = −∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = 𝐿) → ( lim

𝑥→𝑥0+(𝑓1 + 𝑓2)(𝑥) = −∞) .

Nota. Mostre que o Teorema 7 é válido se substituirmos 𝑥0+ por 𝑥0

−,

+∞ ou −∞.

Mostre que


+𝑓1(𝑥) = +∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = 𝐿) → ( lim

𝑥→𝑥0+(𝑓1 ∙ 𝑓2)(𝑥) = {

+∞, se 𝐿 > 0−∞, se 𝐿 < 0

) ;


+𝑓1(𝑥) = −∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = 𝐿) → ( lim

𝑥→𝑥0+(𝑓1 ∙ 𝑓2)(𝑥) = {

−∞, se 𝐿 > 0+∞, se 𝐿 < 0

) .

Nota 1. Se 𝐿 = 0 temos uma indeterminação.

Nota 2. Mostre que o Teorema 8 é válido se substituirmos 𝑥0+por 𝑥0

−,

+∞ ou −∞.

Mostre que

( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = +∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = −∞) → ( lim

𝑥→𝑥0+(𝑓1 ∙ 𝑓2)(𝑥) = −∞) .

Nota 1. lim𝑥→𝑥0

+(𝑓1 + 𝑓2)(𝑥) temos uma indeterminação.

Teorema 7

Teorema 8

Teorema 9



46

Nota 2. Se

( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = +∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = −∞),

então teremos uma indeterminação em ( lim𝑥→𝑥0

+(𝑓1

𝑓2) (𝑥)).

Nota 3. Mostre que o Teorema 9 é válido se substituirmos 𝑥0+por 𝑥0

−,

+∞ ou −∞.

Mostre que


+𝑓1(𝑥) = −∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = −∞) → ( lim

𝑥→𝑥0+(𝑓1 + 𝑓2)(𝑥) = −∞) ;


+𝑓1(𝑥) = −∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = −∞) → ( lim

𝑥→𝑥0+(𝑓1 ∙ 𝑓2)(𝑥) = +∞) .

Nota. Mostre que o Teorema 10 é válido se substituirmos 𝑥0+ por 𝑥0

−,

+∞ ou −∞.

Mostre que

( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = −∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = +∞) → ( lim

𝑥→𝑥0+(𝑓1 ∙ 𝑓2)(𝑥) = −∞) .

Nota 1. Se

( lim𝑥→𝑥0

+𝑓1(𝑥) = −∞) ∧ ( lim

𝑥→𝑥0+𝑓2(𝑥) = +∞),

teremos uma indeterminação em lim𝑥→𝑥0

+(𝑓1 + 𝑓2)(𝑥).


−,

+∞ ou −∞.

Teorema 10

Teorema 11



47

Mostre que se 𝑓(𝑥) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛𝑙=0

∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0

=(𝑥−𝑥0)

𝑖𝑝(𝑥)

(𝑥−𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)

, 𝑖, 𝑗 ∈

ℕ ∪ {0}, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0}, 𝑝(𝑥0) ≠ 0 e 𝑞(𝑥0) ≠ 0, então:

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) =

{

∑ 𝑎𝑙𝑥0

𝑙𝑛𝑙=0

∑ 𝑏𝑙𝑥0𝑙𝑚

𝑙=0

, se 𝑖 = 𝑗 = 0

𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0), se 𝑖 = 𝑗 ≠ 0

0, se 𝑖 > 𝑗 ∄, se 𝑖 < 𝑗

Mostre que se

𝑓(𝑥) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

=(𝑥 − 𝑥0)

𝑖𝑝(𝑥)

(𝑥 − 𝑥0)𝑗𝑞(𝑥)

, 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ ∪ {0}, 𝑝(𝑥0) ≠ 0 e 𝑞(𝑥0) ≠ 0,

então:

a) lim𝑥→𝑥0−

𝑓(𝑥) =

{

∑ 𝑎𝑙𝑥0

𝑙𝑛𝑙=0

∑ 𝑏𝑙𝑥0𝑙𝑚𝑙=0

, se 𝑖 = 𝑗 = 0

𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0), se 𝑖 = 𝑗 ≠ 0

0, se 𝑖 > 𝑗

+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟 e 𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)> 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑝𝑎𝑟 e 𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)< 0

+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 e 𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)< 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0, 𝑗 − 𝑖 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 e 𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)> 0

b) lim𝑥→𝑥0+

𝑓(𝑥) =

{

∑ 𝑎𝑙𝑥0

𝑙𝑛𝑙=0

∑ 𝑏𝑙𝑥0𝑙𝑚𝑙=0

, se 𝑖 = 𝑗 = 0

𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0), se 𝑖 = 𝑗 ≠ 0

0, se 𝑖 > 𝑗

+∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0 e 𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)> 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑗 − 𝑖 > 0 e 𝑝(𝑥0)

𝑞(𝑥0)< 0

Exercício 1

Exercício 2

FUNÇÕES RACIONAIS ALGORITMOS | NÍVEL 3

2 9



48


𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0} ,

então:

a) lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) =

{

+∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0 𝑒

𝑎𝑛

𝑏𝑚> 0

𝑎𝑛

𝑏𝑚, 𝑠𝑒 𝑛 = 𝑚

0, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 < 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0 𝑒 𝑎𝑛

𝑏𝑚< 0

;

b) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) =

{

+∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒

𝑎𝑛

𝑏𝑚> 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑛 −𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛

𝑏𝑚< 0

+∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 − 𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛

𝑏𝑚< 0

−∞, 𝑠𝑒 𝑛 − 𝑚 > 0, 𝑛 −𝑚 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎𝑛

𝑏𝑚> 0

;

c) 𝑑𝑓

𝑑𝑥(𝑥) =

(∑ 𝑙𝑎𝑙𝑥𝑙−1𝑛

𝑙=1 )∙(∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0 )−(∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛

𝑙=0 )∙(∑ 𝑙𝑏𝑙𝑥𝑙−1𝑚

𝑙=1 )

(∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0 )2 .


𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚,ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚,

então 𝑓(𝑥) pode ser expressa na forma

𝑓(𝑥) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛1𝑙=0

(𝑥−𝑥1)𝑚1 ∙ … ∙(𝑥−𝑥𝑖)𝑚𝑖 ∙((𝑥−𝑎1)2+𝑏1

2)𝑚𝑖+1 ∙… ∙((𝑥−𝑎𝑗)

2+𝑏𝑗

2)𝑚𝑖+𝑗

,

onde 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são raízes reais de ∑ 𝑏𝑙𝑥𝑙𝑚

𝑙=0 e não são raízes de

∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛1

𝑙=0 ; 𝑎1 ± 𝑖𝑏1, … , 𝑎𝑗 ± 𝑖𝑏𝑗 são raízes complexas conjugadas de


𝑙=0 e não são raízes de ∑ 𝑎𝑙𝑥𝑙𝑛1

𝑙=0 e 𝑚1 +⋯+𝑚𝑖+𝑗 ≤ 𝑚 e 𝛿(𝑝) ≤

𝑛.


𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚,ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚,

então 𝑓(𝑥) pode ser expressa na forma

∑ ∑𝑎𝑘𝑙

(𝑥−𝑥𝑘)𝑙

𝑚𝑘𝑙=1

𝑖𝑘=1 + ∑ ∑

𝑏𝑘𝑙𝑥+𝑐𝑘𝑙

((𝑥−𝑎𝑘)2+𝑏𝑘

2)𝑙

𝑚𝑘𝑙=1

𝑗𝑘=1 ,

onde 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são números reais e 𝑎1 ± 𝑖𝑏1, … , 𝑎𝑗 ± 𝑖𝑏𝑗 são números

complexas conjugados.

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 3



49

Sugestão: Use o exercício 5.


𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚,ℕ ∪ {0}, 𝑛 < 𝑚,

então ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 é obtida por:

∑ 𝑎𝑘1ln (|(𝑥 − 𝑥𝑘)|𝑖𝑘=1 + ∑ ∑

𝑎𝑘𝑙𝑙−1

(𝑥−𝑥𝑘)𝑙−1

𝑚𝑘𝑙=2

𝑖𝑘=1 + ∑ 𝑏𝑘1arctg(

𝑥−𝑎𝑘

𝑏𝑘)

𝑗𝑘=1 −

𝑎𝑘𝑏𝑘1+𝑐𝑘1

𝑏𝑘𝑙𝑛 (|cos (arctg (

𝑥−𝑎𝑘

𝑏𝑘))|) +

+∑ ∑ −𝑏𝑘𝑙

(2𝑙−2)𝑏𝑘2𝑙−2

𝑚𝑘𝑙=2

𝑗𝑘=1 cos2𝑙−2 ( arctg (

𝑥−𝑎𝑘

𝑏𝑘)) +

𝑎𝑘𝑏𝑘𝑙+𝑐𝑘𝑙

𝑏𝑘2𝑙−1 (∫ cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢),

onde ∫ cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢 é obtido recursivamente por:

∫cos2𝑙−2(u) 𝑑𝑢

=1

2𝑙 − 2cos2𝑙−3 (arctg (

𝑥 − 𝑎𝑘𝑏𝑘

))

+2𝑙 − 3

2𝑙 − 2∫cos2𝑙−4(u) 𝑑𝑢,

onde 𝑢 = arctg (𝑥−𝑎𝑘

𝑏𝑘), 𝑥1, … , 𝑥𝑖 são números reais e 𝑎1 ± 𝑖𝑏1, … , 𝑎𝑗 ±

𝑖𝑏𝑗 são números complexos conjugados.

Sugestão: Use o exercício 6.


𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚,ℕ ∪ {0}, 𝑛 ≥ 𝑚,

então 𝑓 pode expressa na forma 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑙𝑥𝑙𝑟

𝑙=0 +∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑠𝑙=0


𝑙=0

, 𝑠 < 𝑚.

Determine a equação geral da reta tangente e da reta

normal ao gráfico de 𝑓(𝑥) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0} , no ponto

(𝑥0, 𝑓(𝑥0)).

Elabore um algoritmo para o estudo do sinal das

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 8

Exercício 7



50

funções racionais.

Elabore um algoritmo para o estudo do

crescimento e decrescimento das funções racionais e de seus possíveis

pontos de máximo e mínimo locais.

Elabore um algoritmo para o estudo da

concavidade das funções racionais e de seus possíveis pontos de

inflexão.

Exercício 3 Elabore um algoritmo para determinar a imagem

de uma função racional 𝑓(𝑥) =∑ 𝑎𝑙𝑥

𝑙𝑛𝑙=0


𝑙=0

, ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ∪ {0}.

Faça um esboço geral do gráfico de uma função

racional.

EDITOR CHEFE

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 13

Exercício 14



51

Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL



cÁlculo diferencial e integral · uma nova abordagem no ensino da matemÁtica editora livraria...

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