caderno doPROFESSORmatEmticaensino mdiovolume 2 20091a- SRiEMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 1 4/8/09 4:57:24 PMSo Paulo (Estado) Secretaria da Educao.Caderno do professor: matemtica, ensino mdio - 1- srie, volume 2 / Secretaria da Educao; coordenao geral, Maria Ins Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, Jos Luiz Pastore Mello, Nlson Jos Machado, Roberto Perides Moiss, Rogrio Ferreira da Fonseca, Walter Spinelli. So Paulo : SEE, 2009.ISBN 978-85-7849-296-01. Matemtica 2. Ensino Mdio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Ins.II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, Jos Luiz Pastore.IV. Machado, Nlson Jos. V. Moiss, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogrio Ferreira da. VII. Spinelli, Walter. VIII. Ttulo.CDU: 373.5:51S239cGovernadorJos SerraVice-GovernadorAlberto GoldmanSecretrio da EducaoPaulo Renato SouzaSecretrio-AdjuntoGuilherme Bueno de CamargoChefe de GabineteFernando PadulaCoordenadora de Estudos e NormasPedaggicasValria de SouzaCoordenador de Ensino da RegioMetropolitana da Grande So PauloJos Benedito de OliveiraCoordenador de Ensino do InteriorRubens Antonio MandettaPresidente da Fundao para oDesenvolvimento da Educao FDEFbio Bonini Simes de LimaEXECUOCoordenao GeralMaria Ins FiniConcepoGuiomar Namo de MelloLino de MacedoLuis Carlos de MenezesMaria Ins FiniRuy BergerGESTOFundao Carlos Alberto VanzoliniPresidente do Conselho Curador:Antonio Rafael Namur MuscatPresidente da Diretoria Executiva:Mauro ZilboviciusDiretor de Gesto de Tecnologias aplicadas Educao:Guilherme Ary PlonskiCoordenadoras Executivas de Projetos:Beatriz Scavazza e Angela SprengerCOORDENAO TCNiCACENP Coordenadoria de Estudos e Normas PedaggicasA Secretaria da Educao do Estado de So Paulo autoriza a reproduo do contedo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educao do pas, desde que mantida a integridade da obra e dos crditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* devero ser diretamente negociados com seus prprios titulares, sob pena de infrao aos artigos da Lei n 9.610/98.*Constituem direitosautoraisprotegidostodasequaisquerobrasdeterceirosreproduzidasnomaterialdaSEE-SPqueno estejam em domnio pblico nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.Catalogao na Fonte: Centro de Referncia em Educao Mario CovasCoordenao do Desenvolvimento dosContedos Programticos e dos Cadernosdos ProfessoresGhisleine Trigo SilveiraAUTORESCincias Humanas e suas TecnologiasFilosofa: Paulo Miceli, Luiza Christov, AdiltonLus Martins e Ren Jos Trentin SilveiraGeografa: Angela Corra da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimares, Regina Araujo, Regina Clia Bega dos Santos e Srgio AdasHistria: Paulo Miceli, Diego Lpez Silva,Glaydson Jos da Silva, Mnica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos FunariSociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Cincias da Natureza e suas TecnologiasBiologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabola Bovo Mendona, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de CamargoCincias: Ghisleine Trigo Silveira, CristinaLeite, Joo Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Czar Foschini Lisba, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Mara Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogrio Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordo, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko HosoumeFsica: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Iv Gurgel, Lus Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurcio Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purifcao Siqueirae Yassuko HosoumeQumica: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valena de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa EsperidioLinguagens, Cdigos e suas TecnologiasArte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara PereiraEducao Fsica: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,Renata Elsa Stark e Srgio Roberto SilveiraLEM Ingls: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lvia de Arajo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles FidalgoLngua Portuguesa: Alice Vieira, Dbora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, Jos Lus Marques Lpez Landeira e Joo Henrique Nogueira MateosMatemticaMatemtica: Nlson Jos Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, Jos Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moiss, Rogrio Ferreira da Fonseca, Ruy Csar Pietropaolo eWalter SpinelliCaderno do GestorLino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika deFelice Murrie Equipe de ProduoCoordenao Executiva: Beatriz ScavazzaAssessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, Jos Carlos Augusto,Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha,Pepita Prata, Ruy Csar Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias MorettiEquipe EditorialCoordenao Executiva: Angela SprengerAssessores: Denise Blanes e Luis Mrcio BarbosaProjeto Editorial: Zuleika de Felice MurrieEdio e Produo Editorial: Conexo Editorial, Edies Jogo de Amarelinha e Occy Design(projeto grfco)APOiOFDE Fundao para o Desenvolvimento da EducaoCTP, Impresso e AcabamentoEsdeva Indstria GrfcaPrezado(a) professor(a),Vinteecincoanosdepoisdehaveraceitooconvitedonossosaudosoequerido Governador Franco Montoro para gerir a Educao no Estado de So Paulo, nova-menteassumoanossaSecretariadaEducao,convocadoagorapeloGovernador Jos Serra. Apesar da notria mudana na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos no negam, o que permanece imutvel o meu entusiasmo para abraar novamente a causa da Educao no Estado de So Paulo. Entusiasmo alicerado na viso de que a Educao o nico caminho para construirmos um pas melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convico de que possvel realizar grandes mudanas nesta rea a partir da ao do poder pblico.Nos anos 1980, o nosso maior desafo era criar oportunidades de educao para todas as crianas. No perodo, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada trs horas para dar conta da demanda. Alis, at recentemente, todas as polticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condies de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendiza-gem dos alunos. No Brasil e em So Paulo, em particular, apesar de no termos atingido as condies ideais em relao aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato que estamos melhor do que h dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos no tm evoludo na mesma proporo.Ograndedesafoquehojeenfrentamosjustamenteesse:melhoraraqualidade de nossa educao pblica medida pelos indicadores de profcincia dos alunos. No estamos ss neste particular. A maioria dos pases, inclusive os mais desenvolvidos, es-to lidando com o mesmo tipo de situao. O Presidente Barack Obama, dos Estados Unidos,dedicouumdosseusprimeirosdiscursosapsaposseparadestacarexata-mente esse mesmo desafo em relao educao pblica em seu pas. Melhoraressesindicadores,porm,notarefadepresidentes,governadoresou secretrios. dos professores em sala de aula no trabalho dirio com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajud-lo nesta sua misso. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e est organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientao completa para o desenvolvimento das Situaes de Aprendizagem propostas para cada disciplina.Espero que este material lhe seja til e que voc leve em considerao as orientaes didtico-pedaggicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dvidas e acatar suas sugestes para melhorar a efccia deste trabalho. Alcanarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino uma questo de honra para todos ns. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianas e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educao.Paulo Renato SouzaSecretrio da Educao do Estado de So PauloMAT_CP_8a_vol2_AF.indd 3 4/17/09 10:18:05 AMSuMrioSo Paulo faz escola uma Proposta Curricular para o Estado 5Ficha do Caderno 7orientao geral sobre os Cadernos 8Situaes de Aprendizagem 11Situao de Aprendizagem 1 Funes como relaes de interdependncia: mltiplos exemplos 11Situao de Aprendizagem 2 Funes de 1o grau: signifcado, grfcos, crescimento, decrescimento, taxas 20Situao de Aprendizagem 3 Funes de 2o grau: signifcado, grfcos, interseces com os eixos, vrtices, sinais 28Situao de Aprendizagem 4 Problemas envolvendo funes de 2o grau em mltiplos contextos problemas de mximos e mnimos 51Orientaes para Recuperao 58Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreenso do tema 59Consideraes fnais 60Contedos de Matemtica por srie/bimestre do Ensino Mdio62MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 4 4/8/09 1:52:23 PM5So PAulo FAz ESColA uMA ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdoPrezado(a) professor(a),commuitasatisfaoqueapresentoatodosaversorevistadosCadernosdo Professor,parteintegrantedaPropostaCurricularde5aa8asriesdoEnsinoFun-damentalCicloIIedoEnsinoMdiodoEstadodeSoPaulo.Estanovaverso tambm tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestes e crticas, apresentadas durante a primeira fase de implantao da proposta.Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova verso tem agora a medida das prticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. No houve discriminao. Crticas e suges-tes surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos no deveriam ser produzidos. Ao contrrio, as indicaes vieram no sentido de aperfeio-los. A Proposta Curricular no foi comunicada como dogma ou aceite sem restrio. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-nifcados, mas em construo. Isso provocou ajustes que incorporaram as prticas e consideraram os problemas da implantao, por meio de um intenso dilogo sobre o que estava sendo proposto.OsCadernosdialogaramcomseupblico-alvoegeraramindicaespreciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que geren-cia esse processo.Estanovaversoconsideraotempodediscusso,fundamentalimplantao daPropostaCurricular.Essetempofoicompreendidocomoummomentonico, gerador de novos signifcados e de mudanas de ideias e atitudes.Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contextodasescolas,apostandonapossibilidadededesenvolvimentodaautonomia escolar, com indicaes permanentes sobre a avaliao dos critrios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados. MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 5 4/8/09 1:52:23 PM6Sempre oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referncia comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-lando uma maneira indita de relacionar teoria e prtica e integrando as disciplinas e as sries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque flosfco de Edu-caoquedefniucontedos,competnciasehabilidades,metodologias,avaliaoe recursos didticos.Esta nova verso d continuidade ao projeto poltico-educacional do Governo de So Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educao, e faz parte das aes propostas para a construo de uma escola melhor.O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Esto de parabns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pblica, transformando-a em um espao, por excelncia, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre ser apoiar os professores em suas prticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcanado, porque os docentes da Rede Pblica do Estado de So Paulo fzeram dos Cadernos um instrumento pedaggico com vida e resultados.Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicao de todos os professores, para que possamos marcar a Histria da Educao do Estado de So Paulo como sendo este um perodo em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pblica nos ltimos anos e oferecer educao bsica de qualidade a todas as crianas e jovens de nossa Rede. Para ns, da Secretaria, j possvel antever esse sucesso, que tambm de vocs. Bom ano letivo de trabalho a todos!Maria ins FiniCoordenadora GeralProjeto So Paulo Faz EscolaMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 6 4/8/09 1:52:23 PM7FiCHA do CAdErnoFunes como relaes de interdepndencia: proporcionalidade,funes de 1o e 2o graus, aplicaesnome da disciplina:Matemticarea: MatemticaEtapa da educao bsica:Ensino MdioSrie:1a Perodo letivo:2o bimestre de 2009temas e contedos: Funesde1ograu:signifcado,grfcos, crescimento, decrescimento, taxasFunes de 2o grau: signifcado, grfcos, intersees com eixos, vrtices, sinais Problemas envolvendo funes de 2o grau em diferentes contextos; problemas de mximos e mnimos Funes como relaes de interdepndencia: mltiplos exemplosMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 7 4/8/09 1:52:23 PM8somente o professor, em sua circunstncia parti-cular, e levando em considerao seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode de-terminar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Almdeumavisopanormicadocon-tedodobimestre,aolongodosCadernos so apresentadas quatro Situaes de Apren-dizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentali-zandooprofessorparasuaaonasalade aula. As atividades so independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de suaclasse.Naturalmente,emrazodaslimi-taes no espao dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situaes de Aprendizagem, mas a expectativa de que a forma de abordagem dos temas seja explici-tada nas atividades oferecidas.Semprequepossvelsoapresentadosem cadaCadernomateriais(textos,softwares, sites, vdeos, entre outros) em sintonia com a abordagemproposta,quepodemserutiliza-dospeloprofessorparaoenriquecimentode suas aulas. OCadernotambmapresentaalgumas consideraes sobre a avaliao a ser realizada, bem como o contedo considerado indispen-svelaodesenvolvimentodascompetncias esperadas no presente bimestre.Os temas escolhidos para compor o contedo disciplinar de cada bimestre no se afastam, de maneira geral, do que usualmente ensinado nas escolas, ou do que apresentado pelos livros didticos. As inovaes pretendidas referem-se forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimes-tres. Nessa abordagem, busca-se evidenciar os princpiosnorteadoresdopresentecurrculo, destacando-se a contextualizao dos conte-dos,ascompetnciaspessoaisenvolvidas,es-pecialmente as relacionadas com a leitura e a escritamatemtica,bemcomooselementos culturaisinternoseexternosMatemtica.Em todos os Cadernos, os contedos esto organizadosemoitounidadesdeextenses aproximadamenteiguais,quepodemcor-responderaoitosemanasdetrabalholetivo. De acordo com o nmero de aulas disponveis porsemana,oprofessorexplorarcadaas-suntocommaisoumenosaprofundamento, ou seja, escolher uma escala adequada para otratamentodomesmo.Emcadasituao especfca,otemacorrespondenteaumadas unidadespodeserestendidoparamaisde uma semana ou tratado de modo mais simpli-fcado, conforme a deciso do professor. desejvel que o professor tente contemplar asoitounidades,pois,juntas,compemum panoramadocontedodobimestre,e,muitas vezes, uma das unidades contribui para a com-preenso das outras. Insistimos, no entanto, que oriEntAo GErAl SobrE oS CAdErnoSMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 8 4/8/09 1:52:23 PM9Matemtica - 1a srie - Volume 2Contedos bsicos do bimestreNestebimestre,ocontedobsicouma retomada da noo de funo, que traduz uma relaodeinterdependnciaentreduasgran-dezas, explorando-se especialmente as funes de 1o grau e do 2o grau, bem como suas aplica-es em diferentes contextos. Tais assuntos j foramapresentadosaosalunosemsriesan-teriores.Na6asriedoEnsinoFundamental foram exploradas situaes envolvendo a pro-porcionalidadediretaeinversaentregrande-zas, e que conduzem a relaes do tipo y = kx, ou ento, y = kx, sendo k uma constante no nula. Na 8a srie, foram estudadas as funes y = ax + b e y = ax2 + bx + c, com a 0, tendo sido construdos seus grfcos. Agora, o estudo dessas funes ser apre-sentadodemodomaissistematizado.Tudo ser feito, no entanto, de tal forma que, mesmo seoprofessorestivertratandodesseassunto pelaprimeiravez,oalunonotergrandes difculdadesemacompanharasatividades propostas.Comojfoiditoanteriormente, asfunesreferidassocapazesdetraduzir matematicamentetodososprocessosqueen-volvemrelaesdeproporcionalidadedireta (grfcoslineares),ourelaesemqueuma grandeza proporcional ao quadrado de ou-tra(grfcoscomaformadeumaparbola). Muitosexercciosenvolvendosituaescon-cretasemqueaconsideraodasgrandezas envolvidasconduzaumafunode1ograu ou de 2o grau sero contemplados, com espe-cialdestaqueparaproblemasdeotimizao, ouseja,problemasqueenvolvemaobteno do mximo ou do mnimo de uma funo, em determinado contexto. Demodogeral,oscontedosestudados nestebimestresomeiosparaodesenvolvi-mentodascompetnciasbsicas,namedida em que:orecursolinguagemdasfunesparafrepresentarinterdependnciasconduza umaumentonacapacidadedeexpresso, favorecendoaconstruodeumdiscurso maisefcazparaenfrentarproblemasem diferentes contextos;acapacidadedecompreensodeumava- friada gama de fenmenos ampliada, uma vez que muitas situaes de interdependn-ciaestonaturalmenteassociadasamo-delagensqueconduzemaexplicaesdos referidos fenmenos;oreconhecimentodasfunesenvolvidasfem um fenmeno possibilita uma ao or-ganizadasobreomesmo,enfrentando-se situaesproblemticasefazendo-sepro-postasdeintervenoconscientesobrea realidade representada. Para a organizao dos trabalhos do bi-mestre, dividimos o contedo em oito uni-dades,maisoumenoscorrespondentess oito semanas de aulas. Sugerimos a seguinte estruturao:NaUnidade1,reapresentaremosaideia de funo por meio de mltiplos exemplos de MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 9 4/8/09 1:52:23 PM10situaes de interdependncia entre grande-zas. As atividades propostas esto organiza-das na Situao de Aprendizagem 1 Funes como relaes de interdependncia: mltiplos exemplos.Na Unidade 2, destacaremos as funes de 1ograu,comsuasqualidadescaractersticas. As atividades propostas compem a Situao deAprendizagem2Funesde1ograu:sig-nifcado,grfcos,crescimento,decrescimento, taxas. Nas Unidades 3, 4 e 5, sero sistemati-zados os fatos fundamentais relativos s fun-es de 2o grau (grfcos, simetria, interseo com os eixos, coordenadas do vrtice, estudo dos sinais). As atividades sugeridas constituem aSituaodeAprendizagem3Funesde 2ograu:signifcado,grfcos,interseescom os eixos, vrtices, sinais. Nas Unidades 6, 7 e 8, sero apresentados di-versos problemas envolvendo funes de 2o grau, incluindosituaesdeotimizao(mximose mnimos): Situao de Aprendizagem 4 Proble-masenvolvendofunesde2ograuemdiferentes contextos; problemas de mximos e mnimos.Quadro geral de contedos do2o bimestre da 1a srie do Ensino Mdiounidade1Funescomorelaesde interdependncia.unidade 2 Funes de 1o grau Signifcado, grfcos, crescimento, decrescimento, taxas.unidades3,4,5Funesde2ograu Signifcado,grfcos,interseescomos eixos, vrtice, sinais.unidades 6, 7 e 8 Problemas envolvendo funesde2ograuProblemasdemxi-mos e mnimos.MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 10 4/8/09 1:52:23 PM11Matemtica - 1a srie - Volume 2SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 FUNES COMO RELAES DE INTERDEPENDNCIA: MLTIPLOS EXEMPLOStempo previsto: 1 semana e meia.Contedos e temas: interdependncia entre grandezas; proporcionalidade direta e inversa; funes: varivel dependente e varivel independente; exemplos diversos.Competncias e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade direta e inversa como relaes de interdependncia; expressar a interdependncia entre grandezas por meio de funes; contextuali-zar a ideia de funo e enfrentar situaes-problema relativas ao tema.Estratgias: utilizao de diversas linguagens para traduzir a ideia de funo (grfcos, tabelas, expres-ses algbricas, etc.); exerccios referentes a situaes-problema em diferentes contextos, envolvendo a ideia de funo.SituAES dE APrEndizAGEMroteiro para aplicao da Situaode Aprendizagem 1Otextoaseguirconstituiapenasumro-teiro para a apresentao inicial da ideia de funo,ouseja,umaorganizaodosfatos j conhecidos sobre o tema. Cabe ao profes-sor apresent-lo detalhadamente ou no, ou passar diretamente explorao das ativida-des propostas.Grandezas e Funes Umagrandezatudoaquiloquepode variar,sejaaumentandooudiminuindo. A altura de uma rvore ao longo do tempo, o peso de uma pessoa ao longo de sua vida, opreodobarrildepetrleoacadadia,a produodeautomveisdeumpasano apsano,atemperaturadeumrefrigerante colocado em uma geladeira, o preo a pagar por umacorridadetxisoalgunsexem-plos de grandezas. Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma que seus valores assumemvaloresinterrelacionados.Quando, deixando variar livremente os valores de uma grandeza x, notamos que os valores de outra grandeza y tambm variam, de tal forma que acadavalordexcorrespondeumesomen-te um valor de y, ento dizemos que y uma funodex;dizemosaindaquexavari-vel independente e y a varivel dependente. Por exemplo, a)areaAdeumquadradouma funodeseuladox;deixandoosva-loresdexvariarlivremente(natural-mente,xnopodeassumirvalores negativos), ento os valores de A variaro em funo de x, e escrevemos A = f(x). No caso, temos: A = f(x) = x2. MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 11 4/8/09 1:52:23 PM12b) o comprimento C de uma circunferncia uma funo de seu raio r; no caso, te-mos C = f(r) = 2r.c)aalturaHdeumapessoaumafun-odesuaidadet;podemosescrever H = f(t), sendo certo que a cada valor de t corresponde um nico valor de H. No caso, no sabemos exprimir a rela-odeinterdependnciaf(t)pormeio de uma frmula.Um caso simples de relao de interdepen-dncia ocorre quando temos duas grandezas proporcionais,estudadasdesdea6asrie do Ensino Fundamental. Quandoxeysoduasgrandezasdire-tamenteproporcionais,elasaumentamou diminuemsimultaneamente,enamesma proporo,ouseja,arazo yxconstante, eresultaquey=kx(kumaconstante). Quandoxeysoduasgrandezasinversa-mente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma propor-o, e vice-versa, de modo que o produto das duas permanece constante: x . y = k, ou seja, y = kx onde k uma constante no nula. Quandoobservamososvaloresdeduas grandezas interdependentes x e y, e notamos queumaumentonovalordexacarretaum aumento no valor de y, ou ento, um aumento no valor de x provoca uma diminuio no va-lor de y, ento somos tentados a dizer que x e y variam de modo diretamente proporcional, no primeiro caso, ou inversamente proporcio-nal, no segundo. Entretanto, tais afrmaes nem sempre so corretas, uma vez que, como j foi visto anteriormente, a proporcionalidade diretaexigemaisdoqueumaumentosi-multneo nos valores de x e y; alm disso, preciso que a razo yx seja constante. Analo-gamente, a proporcionalidade inversa mais doqueumadiminuionosvaloresdeuma das grandezas, quando aumentam os valores da outra grandeza; necessrio que o produ-to dos valores de x e y permanea constante. Atividade 1Em cada um dos casos a seguir, verifque sehounoproporcionalidade.Seexistir, expressetalfatoalgebricamente,indicando o valor da constante de proporcionalidade.a) A altura a de uma pessoa diretamente proporcional a sua idade t? b) A massa m de uma pessoa diretamente proporcional a sua idade t?c) O permetro p de um quadrado direta-mente proporcional ao seu lado a? d) A diagonal d de um quadrado direta-mente proporcional ao seu lado a?e) O comprimento C de uma circunferncia diretamenteproporcionalaoseudi-metro d?Trata-se de verifcar se h proporcionalidade diretaounoentrevriosparesde grandezas,expressandoalgebricamentetal fatoeindicandoovalordaconstantede proporcionalidade, quando possvel.MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 12 4/8/09 1:52:24 PM13Matemtica - 1a srie - Volume 2a)Aalturaadeumapessoaumafuno desuaidadet,masnodiretamente proporcional a t. De fato, no verdade que semprequeaidadedeumapessoaduplica, entosuaalturatambmduplica;no verdade que se a idade triplica, ento a altura aumentaproporcionalmente,triplicando. Sehouvesseproporcionalidadeentreaet, imaginemaalturadeumapessoaaos 10anos,sabendoqueaos2anoselatinha 90 cm de altura...b)Amassamdeumapessoauma funodesuaidadet,masno diretamente proporcional a t. Se houvesse proporcionalidadedireta,umacriana com 1 ano e 10 kg teria quantos quilos aos 15 anos?...c)Opermetropdeumquadradouma funo de seu lado a. No caso, p = f(a) = 4a. Se o lado a aumenta, o permetro p aumenta proporcionalmente.Opermetropdireta-menteproporcionalaoladoa,sendoa constante de proporcionalidade igual a 4.d) A diagonal d de um quadrado uma funo doladoa;eladiretamenteproporcional aoladoa.Temos,nestecaso,d=a 2.A constante de proporcionalidade k =2.e)OcomprimentoCdeumacircunfern-ciaumafunododimetrod;nocaso, Cdiretamenteproporcionalad,etemos C = f(d) = d, ou seja, a constante de propor-cionalidade k = . Tambm podemos escrever C = 2r, onde r o raio da circunferncia.Atividade2Astabelasaseguirrelacionamparesde grandezas. Indique se existe ou no propor-cionalidade (direta ou inversa).a) Produo de automveis e produo de tratores (anual, em milhares)Pas Automveis tratoresA 100 8b 150 12C 200 16d 225 18E 250 20F 300 24G 350 28H 400 32i 450 36b) rea destinada agricultura e rea des-tinada pecuria (em 1 000 km2)Pas Agricultura PecuriaA 80 60b 100 70C 110 80d 120 98E 150 100F 160 124G 180 128H 200 132i 250 136MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 13 4/8/09 1:52:24 PM14c)ProdutoInternoBruto(PIB,emmilhes dedlares)endicedeDesenvolvimento Humano (IDH)Pas Pib idHA 300 0,90b 400 0,92C 510 0,80d 620 0,88E 750 0,78F 760 0,89G 880 0,91H 1 000 0,80i 1 100 0,86d)Expectativadevida(emanos)endice de analfabetismo (% da populao)PasExpectativa de vidandice deanalfabetismoA 67 11b 68 10C 69 9d 70 8E 71 7F 72 6G 73 5H 74 4i 75 3O objetivo das tabelas apenas o de consolidar ofatodequeduasgrandezaspodemcrescer oudecrescerconjuntamente,ouentopodem variar em sentidos opostos (quando uma cresce, aoutradecresce)semquehajaproporciona-lidade direta ou inversa. Apenas no exemplo do itemaagrandezada1acolunadiretamente proporcional grandeza da 2a coluna, sendo a constante de proporcionalidade igual a 12,5; nos outros casos, nem a razo entre as grandezas constante, nem o produto delas o , ou seja, em cadaumdospares,nohproporcionalidade direta, nem inversa. De acordo com as tabelas, podemos afrmar, ento, que: a) a produo de automveis cresce simultanea- mente com a produo de tratores; ela dire-tamente proporcional produo de tratores;b) a rea destinada agricultura cresce jun-tamente com a rea destinada pecuria;c) no verdade que se o PIB aumenta, ento o IDH aumenta; tambm no verdade que se o PIB diminui, ento o IDH diminui.d) mesmosemhaverproporcionalidade, quando o ndice de analfabetismo diminui, a expectativa de vida aumenta.Atividade 3UmprmioPdaloteriadeveserdividi-doempartesiguais,cabendoumvalorxa cadaumdosnganhadores.Considerandoum prmioPdeR$400000,00preenchaatabela abaixoeexpressearelaodeinterdependncia entre x e n.n 1 2 4 5 8 10 20xApartirdofatodequeosR$400000,00 serodivididosempartesiguaisentreos MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 14 4/8/09 1:52:24 PM15Matemtica - 1a srie - Volume 2nganhadores,conclumosqueacadaum delescorresponderumvalorx,sendo n . x = 400 000, ou seja, n e x so inversamente proporcionais: x = f(n) = 400000nn x1 400 0002 200 0004 100 0005 80 0008 50 00010 40 00020 20 000Atividade 4Paracortaragramadeumcanteiroqua-dradode5mdelado,umjardineirocobrou R$20,00.Mantidaaproporo,paracortar a grama de um canteiro quadrado de 15 m de lado, quanto o jardineiro dever cobrar? A quan-tiaacobrarCdiretamenteproporcional medida x do lado do canteiro quadrado?Afrma-sequeparacortaragramadeum canteiro quadrado de 5 m de lado, ou seja, de rea 25 m2, um jardineiro cobrou R$ 20,00, ou seja, ele cobrou R$ 0,80 por m2. Mantida esta proporo, para cortar a grama de um canteiro com15mdelado,ouseja,comrea225m2, ele dever cobrar 225 . 0,80, ou seja, R$ 180,00. Outramaneiradeencaminharasoluoa seguinte: a quantia a ser cobrada diretamente proporcionalreadocanteiro,enoao seulado;seoladotriplicou,areatornou-se 9vezesmaior,eaquantiaaserpagadever ser9vezesmaior.Faaumafguradeum quadradocomladox(ereax2)edeoutro comlado3x,paramostrarqueareado maior 9x2.Atividade 5Quando uma pedra abandonada em que-da livre (sem considerar a resistncia do ar ao movimento), a distncia vertical d que ela per-correemquedadiretamenteproporcional aoquadradodotempotdequeda,ouseja, d = kt. Observando-se que aps 1 segundo de queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se:a)qualovalordaconstantedepropor-cionalidade k?b)qualadistnciaverticalpercorrida aps 5 segundos?c)quantotempoapedralevarparacair 49 m?Notamos que a distncia vertical d que a pe-dra percorre no diretamente proporcional ao tempo t de queda, mas sim ao quadrado de t: d = kt. a) dado que para t = 1, ento d = 4,9 m, ouseja,substituindoosvaloresdeteded, temos, k = 4,9. b) Para calcular a distncia vertical percor-rida aps 5 s, basta substituir t por 5, obten-do-se d = 4,9 . 52, ou seja, d = 122,5 m. c) Substituindo-sedpor49,obtemoso tempoqueapedralevarparacair49m: 49 = 4,9t2, ou seja, t =10 3,16 s.MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 15 4/8/09 1:52:25 PM16Grfcos de funesDadaumafunoy=f(x),oconjunto depontos(x;y)doplanocartesianotalque y=f(x)constituiogrfcodafuno.Nocaso dasgrandezasdiretamenteproporcionais, sendo yx= constante = k, ou seja, y = f(x) = kx, ento o grfco correspondente uma reta pas-sando pela origem do sistema de coordenadas:y = f(x) = kxy1x10y2yx2y3x3xQuando duas grandezas x e y variam de tal forma que y = kx + h, ou seja, f(x) = kx + h (kehconstantes),existeumaproporcionali-dadediretaentreosvaloresdeyheosde x.Arepresentaogrfcacorrespondente uma reta com inclinao k; h o valor inicial a partir do qual a variao em y diretamente proporcional a x. (No caso particular de ter-mos h = 0, ento a reta passa pela origem.)x10yhx2x3xy1y2y3y hxy hxy hxconst k112233 . = = = =y1x1 = y2x2 = y3x3 = const. = kNocasodaproporcionalidadeinversa, temosarelaoxy=k,ouseja,f(x)= kx, quantomaisaumentaovalordex,menor ovalorcorrespondentedey,evice-versa;o grfco correspondente uma curva chamada hiprbole (ver fgura a seguir).Atividade 6O preo P a cobrar em uma corrida de txi compostoporumaquantiaafxada,igual para todas as corridas, mais uma parcela va-rivel, que diretamente proporcional ao n-mero x de quilmetros rodados: P = a + b . x (b o custo de cada quilmetro rodado).Emcertacidade,temosP=15+0,8 . x (P em reais e x em km)a) Qual o preo a cobrar por uma corrida de 12 km?b)Calculeadiferenaentreospreosde duascorridas,umade20km,outra de 21 km.c) Esboce o grfco de P em funo de x.f(x) = kxyxMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 16 4/8/09 1:52:25 PM17Matemtica - 1a srie - Volume 2Estemaisumexemplodeumasituao emqueaproporcionalidadediretaexiste apenasnoclculodaparcelavarivelda corridadetxi,existindooutraparcela fxa,independentementedosquilmetros rodados.Temos,nocaso,P=15+0,8 . x (P em reais e x em km; 0,8 reais o custo de cada quilmetro rodado).a) Em uma corrida de 12 km, ou seja, para x = 12, resulta P = 15 + 0,8 . 12 = 24,6 reais.b) A diferena entre os custos de uma corrida de 20 km e outra de 21 km o custo de 1 km rodado, ou seja, 0,8 reais.c) O grfco de P em funo de x uma reta com inclinao 0,8, cortando o eixo vertical (OP) no ponto de ordenada 15.Atividade 7Nacasadeumafamliaquegastasempre cerca de 0,5 kg de gs de cozinha por dia, a mas-sa de gs contido em um botijo domstico de 13 kg varia com o tempo de acordo com a fr-mula, m = 13 0,5 t, onde t o tempo em dias. Px1510,80P = 15 + 0,8xa)Calculeonmerodediasnecessrios para consumir-se 6 kg de gs.b) Calcule a massa de gs que resta em um botijo aps 10 dias de uso.c) Esboce o grfco de m em funo de t. Nestecaso,temosumavariaoproporcio-nal em uma grandeza decrescente: se o con-sumodiriosempre0,5kgpordia,ento amassadogsconsumidodiretamente proporcionalaonmerodedias,eamassa restante no botijo a diferena entre o valor inicial, 13 kg, e a massa consumida, ou seja, m = 13 0,5 t (t em dias).a)Onmeroxdediasnecessriospara consumir-se 6 kg de gs tal que 0,5.x = 6, ou seja, x = 12 dias.b) A massa de gs que resta em um botijo aps 10 dias de uso m = 13 0,5 . 10 = 8 kg.c)Ogrficodememfunodetuma retacortandooeixoOmnopontode ordenada 13 e decrescendo a uma taxa de 0,5 kg por dia:mt132601 0,5MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 17 4/8/09 1:52:25 PM18Atividade 8O nmero n de dias necessrios para es-vaziarumreservatriodeguade20000 dependedoconsumodiriodegua.Seo consumo for de x litros por dia, ento os va-loresdenexdevemsatisfazercondio N.x = 20 000. a) Calcule os valores de n para x1 = 500 por dia e para x2 = 800 por dia. b) Esboce o grfco de n em funo de x.Para esvaziar um reservatrio de 20 000 , se o consumo dirio for x litros por dia, sero necessrios N dias, sendo N.x = 20 000, ou seja, N e x so inversamente proporcionais. a) Para x1 = 500, o nmero de dias N1 tal que N1 . 500 = 20 000, ou seja, N1 = 40 dias; analogamente,parax2=800,onmerode dias N2 tal que N2 . 800 = 20 000, ou seja, N2 = 25 dias.b) O grfco de N em funo de x uma curva querepresentaofatodeque,quantomaior ovalordeN,menorodex,mantendo-se aproporoinversa(N.x=20000);o ramo de hiprbole mostrado a seguir:x4025500 800N.x = 20 000N = f(x) = 20 000xNAtividade 9Fixadaatemperaturat,apressoPeo volume V de um gs variam segundo a expres-soP.V=k(kumaconstante).Esboceo grfco de P em funo de V.FixadaatemperaturaT,apressoPeo volumeVdeumgsvariamsegundoa expressoP.V=k(kumaconstante).O grfcodePemfunodeVumramode hiprbole, e muito fcil de se encontrar em livros de Qumica:VP1P2V1V2P.V = k(T constante)PAtividade 10O grfico a seguir mostra o nvel da gua armazenadaemumabarragem,aolongo deumano.Analiseatentamenteogrfico e responda:temponvel (m)100908010MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 18 4/8/09 1:52:26 PM19Matemtica - 1a srie - Volume 2a) Qual foi o menor nvel de gua armaze-nada na barragem? E o maior?Da observao direta do grfco conclumos que o nvel mnimo da gua armazenada foi de 10 m; o mximo foi de 100 m.b) Quantas vezes no ano a barragem atin-giu o nvel de 40 m? E o nvel de 95 m?Analogamente,observamosqueonvelde 40mfoiatingidoduasvezesnoano;j onvelde95mfoiatingidoseisvezesao longo do ano.Consideraes sobre a avaliaoSomenteoprofessor,emsuacircunstn-cia especfca, poder avaliar em que medida aapresentaodaideiadefunoaquirea-lizadaconstituiumarevisodecontedos que j foram tratados anteriormente ou uma abordagem inicial do tema. Tanto no caso de uma abordagem inicial, quanto no caso de o professornotarqueosalunosjconhecem ostemasqueestosendoapresentados,se-ria interessante o recurso a tabelas e grfcos extradosdejornaisourevistas;talrecurso tanto pode servir como uma porta de entra da suaveparaotema,quantoparaumaprofun-damento no mesmo. A escolha dos materiais emsintoniacomarealcondiodesua turma um desafio interessante para o dis-cernimento do professor.AofinaldestaprimeiraSituaode Aprendizagem,fundamentalqueaideia defunocomointerdependnciaentre duasgrandezastenhaseconsolidado,com aassimilaodanomenclaturavarivel independente (aquela qual atribumos va-loreslivremente)evariveldependente, ouavarivelqueconsiderada,nocontexto, como uma funo da outra. Umaprofundamentodaideiadepro-porcionalidadedeverserdeixadopara asSituaesdeAprendizagemseguintes, emqueseroexploradosdoistiposparti- cularesdeinterdependnciaespecialmente considerados:asfunesde1ograu,as-sociadasproporcionalidadedireta,eas funesde2ograu,associadaspropor-cionalidadediretaentreumagrandezaeo quadrado de outra.MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 19 4/8/09 1:52:26 PM20Situao de aprendizagem 2 FuneS de 1o- grau: SigniFiCado, grFiCoS, CreSCimento, deCreSCimento, taXaSTempo previsto: 1 semana e meia.Contedos e temas: funes de 1o grau: signifcado dos coefcientes, crescimento, decrescimento, taxas de variao, grfcos, inequaes.Competncias e habilidades: compreender a funo de 1o grau como expresso de uma proporcionali-dade direta entre grandezas; expressar essa proporcionalidade por meio de grfcos.Estratgias:apresentaodeumasntesedosfatosjapresentadosanteriormentesobrepro-porcionalidadeefunesde1ograu;exploraodessesfatosemsituaesproblemaemdife-rentes contextos.Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 2o texto a seguir constitui um roteiro para a apresentao da ideia de funo de 1o grau, quepodejserconhecidadosalunos,bem como para uma organizao de alguns fatos j conhecidos sobre o tema. Cabe ao profes-sor apresentar o assunto com mais ou menos pormenoresoupassardiretamenteexplo-rao das atividades, de acordo com o nvel de conhecimentos dos alunos.Funes de 1o- grau: signifcadoSemprequeexpressamospormeiode variveisumasituaodeinterdependn-ciaenvolvendoduasgrandezasdiretamente proporcionais,chegamosaumafuno de1ograu.demodogeral,umafunode 1o grau expressa por uma frmula do tipo f(x)=ax+b,emqueaebsoconstantes, sendo a 0. Quando a = 0, a funo se reduz a f(x) = b, ou seja, a uma funo constante.aproporcionalidadeexpressaporuma funodessetipoexplicitadaquandono-tamos que a diferena f(x) b = ax, ou seja, quearazoentref(x)bexconstantee igual a a: f(x) bx = const. = a.em consequncia, o grfco de f(x) = ax + b umareta,quaisquerquesejamosvaloresde a e b, pois a constncia da razo acima garante o ngulo de inclinao constante para o segmento formado por dois pontos quaisquer do grfco:MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 20 4/8/09 3:54:40 PM21Matemtica - 1a srie - Volume 2f(x) = ax + bf(x)f(x) b0byxxxPodemos observar que o coefciente b re-presenta o valor de f(x) para x = 0; quando a=0,afunoassumevaloresconstantes, qualquerquesejaovalordavarivelinde-pendente x: f(x) = constante = b.Tambmnotamosqueocoefcienteare-presenta a inclinao da reta que o grfco, uma vez que para x = 1, temos f(1) = a + b, e ento f(1) b1 = a = f(x) bx para todo x.De modo equivalente, podemos notar que f(x + 1) f(x) = a(x + 1) + b ax b = a, ou seja, a variao de f(x) para cada unidade a mais de x igual a a:se f(x) = ax + b, ento f(x + 1) f(x) = a. fPorexemplo,sendof(x)=(3)x+27, ento temos:f(13) f(12) =3;f(29) f(28) =3;f(1 347) f(1 346) =3;f(k + 1) f(k) =3.Grafcamente, isso signifca que a inclina-o do grfco de f(x) sempre a mesma, no caso, igual a3(veja o grfco da funo):f(x) bx = const. = a111333xyf(x) = (3)x + 27Resumindo os fatos apresentados sobre a funo f(x) = ax + b em um grfco, temos:f(x)f(x) = ax + b0 11a + bb ayxxxf(x) bx = const. = af(x) bPodemos afrmar, ento, que:quandof a > 0, a funo crescente;quandof a < 0, a funo decrescente;nosdoiscasos,ovalordef arepresentaa variao de f(x) por unidade a mais de x, oquerepresentaumaumentoquando a > 0, ou uma diminuio, quando a < 0.f(x)f(x) = ax + b011a + ba (a>0)a = 0a (a 0. Em casos assim, quanto maior o valor de m, a reta estar mais em p ou mais deitada?Quandom>0,quantomaioroseuvalor mais em p estar a reta.b)Comopodemossaberseumaretaest inclinadaparaadireitaouparaaes-querda apenas observando o valor de m na sua equao?Se m > 0 a reta est inclinada para a direita (funo crescente), se m < 0 a reta est incli-nada para a esquerda (funo decrescente).Atividade 5Acontadecertorestaurantecompos-tapelovalortotaldasdespesascomcomi-daebebida,mais10%sobreessevalor,que correspondem aos gastos com servios, e mais uma taxa fxa de R$ 10,00 de couvert artstico para os msicos.a)Chamandodexosgastoscomcomida ebebida(emR$),eyovalortotalda conta(emR$),determineumaexpres-so do tipo y = mx + n que represente a relao entre x e y.Sendo x o valor gasto com comida e bebida, eobservando-sequeacrescentar10%aum valor equivale a multiplic-lo por 1,1, o valor y a ser pago ser: y = 1,1x + 10.b)Faaumgrfconoplanocartesiano pararepresentarafunoencontrada no item anterior.O grfco ser uma reta que corta o eixo y no pontodeordenada10equeteminclinao iguala1,1;parax=10,ovalordey correspondente ser 21:xy2021100 10Atividade 6Celsius,FahrenheiteKelvinsoastrs escalas de temperatura mais utilizadas. Sendo C o valor da temperatura em graus Celsius, Famesmatemperaturamedidaemgraus FahrenheiteKamedidadamesmaem graus Kelvin, para converter uma temperatura de uma para outra escala, temos os seguintes fatos fundamentais:MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 24 4/8/09 1:52:27 PM25Matemtica - 1a srie - Volume 2nas escalas Celsius e Kelvin o tamanho dofgrau o mesmo, havendo apenas um deslo-camento da origem, que na escala Celsius no 0, e na escala Kelvin no 273;na escala Celsius, a temperatura de fuso dofgelo 0o e a de ebulio da gua 100; na escala Fahrenheit, a temperatura de fuso do gelo 32 e a de ebulio da gua de 212.Com base nessas informaes, a)mostreque,paratransformaruma temperatura dada em graus Celsius para graus Kelvin, a regra K = C + 273;b)mostreque,paratransformaruma temperaturadadaemgrausCelsius paragrausFahrenheit,aregra F = 1,8C + 32;c)calculeaquantosgrausCelsius corresponde uma temperatura de 95 F;d)calculeaquantosgrauscorrespondem 300 K na escala Fahrenheit.a) e b) Temos o seguinte esquema:373K C F273100021232Kelvin Celsius Fahrenheitebulio da guafuso do geloOssegmentosquedeterminamastempera-turasnasdiferentesescalasrepresentama mesmapartedointervaloentreatempera-tura de fuso do gelo e a de ebulio da gua, ou seja, temos a proporo:K 273373 273=C 0100 0=F 32212 32De tal proporo, conclumos que:K 273100=C100=F 32180Ou seja,K = C + 273 F = 1,8C + 32c) Sendo F = 95, temos: 95 = 1,8C + 32, e ento, C = 35d) Uma temperatura de K = 300, correspon-deaC=27.CalculandoemFahrenheit, obtemos: F = 1,8 . 27 + 32, ou seja, F = 80,6.Atividade 7Ogrfcoaseguirindicaaproduobra-sileiradepetrleo,emmilhesdebarris,nos anos de 2004 e 2005.Produo(milhes de barris)Ano596535 04 05MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 25 4/8/09 1:52:28 PM26Admitindoqueataxadecrescimentodo perodo2004-2005semantevenoperodo 2005-2006,calculeovaloraproximadoda produo mdia anual, em milhes de barris, no ano 2006.Ataxadecrescimentoarazoentrea variaonaproduoeavariaonotempo, oquerepresentaoaumentodaproduopor ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e 2005 foi igual a m = 596 5355 461 =milhes de barris.Seessataxapermanecerconstante,ou seja,seogrfcocontinuarsendoamesma retadesenhadaanteriormente,noperodo 2005-2006 o aumento da produo seria de 61 milhes de barris, e a produo estimada seria de 596 + 61 = 657 milhes de barris.Atividade 8Ogrfcoaseguirindicaovalordeum determinado tributo territorial em funo da rea de uma propriedade.Tributo(em R$)rea da propriedade(em m2)1 0008008003 8004 000500200a)Qualovalordoimpostoapagarde uma propriedade de 800 m ?A leitura imediata no grfco fornece o valor do tributo y = 200 reais.b)Existealgumtamanhodepropriedade (em m) cujo imposto cobrado seja exa-tamente R$ 500,00?No,porquepara3 800moimpostode R$ 800,00.c)Determineumafunodotipo y = mx + n, com y sendo o tributo em R$, e x a rea em m, vlida para o in-tervalo 800 x 3 800.Entre os pontos (800; 200) e (3 800; 500), temos:y = mx + nParax=800,temosy=200,ouseja, 200 = m . 800 + nParax=3 800,calculemoscomose tivssemosy=500(mesmosabendoque ointervaloaberto),apenasparatera equao da reta: 500 = 3 800 . m + n Resolvendoosistema,temos:m=0,1 e n = 120.A equao procurada y = 0,1x + 120 (para 800 x < 3 800).Havendotempodisponvel,oprofessor poder pedir aos alunos que determinem a funo do tipo y = mx + n para o intervalo x 3 800. Comparando o valor de m dessa funocomadeterminadanoitemante-rior, percebe-se que a inteno subjacente adecobrarmaisimpostoporm2para propriedades maiores do que 3 800 m2.Atividade 9A fgura indica uma folha de lato que ser usada na montagem de uma pea:27Matemtica - 1a srie - Volume 2x + 102x + 42x + 4x xx xa) Determine todos os valores possveis de x (em metros) para que o permetro da folha seja maior ou igual a 64 m.Sendo o permetro igual soma dos compri-mentosdetodososladosdafolha,temos; 2(2x + 4) + 2x + 2x + 2(x +10) + 2x 64Da segue que:4x + 8 + 2x + 2x + 2x + 20 + 2x 64,ouseja,12x6428,oqueacarretaque x 3.Portanto,xdevesermaiorouiguala 3 metros.b)Determinetodososvalorespossveis dex(emmetros)paraqueasomados comprimentosrepresentadosemver-melhosejamenorqueasomadosde-maiscomprimentosquecompletamo permetro da folha.Analogamente, temos:2(x + 2x + 4 + x )< 2x + 2(x +10)2x + 4x + 8 + 2x < 2x + 2x +204x < 12, ou seja, x < 3.Portanto,xdevesermaiorque0emenor que 3 metros.Consideraes sobre a avaliaoAo fnal desta Situao de Aprendizagem, oreconhecimentoderelaesdeproporcio-nalidadediretaemdiferentescontextosea representaodasmesmaspormeiodeuma funo de 1o grau o objetivo primordial que dever ter sido atingido. fundamental que os alunos tenham feito aassociaodiretaentreaideiadevariao diretamenteproporcionaleadefunode 1o grau, tendo aprendido que:quandof y diretamente proporcional a x e ambos os valores, de x e y, comeam a ser medidos a partir do valor inicial zero, ento y = ax, sendo a uma constante no nula;quando h a proporcionalidade direta en- ftre a variao de y medida a partir de cer-tovalorinicialbeosvaloresdex,ento y b = ax, ou seja, y = ax + b;de modo geral, em qualquer situao em quefasvariaesdeduasgrandezasinterdepen-dentes so diretamente proporcionais, chega-mos a uma expresso do tipo f(x) = ax + b, ou seja, a uma funo do primeiro grau;sendof f(x) = ax + b, ento o coefciente a sem-prerepresentaavariaonovalordafuno por unidade a mais de x, ou, em outras pala-vras, a taxa de variao de f(x) em relao a x. NaSituaodeAprendizagemseguinte,as funesdosegundograuseroapresentadas tambm a partir da ideia de proporcionalidade direta, agora de y em relao ao quadrado de x.MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 27 4/8/09 1:52:28 PM28Situao de aprendizagem 3 FuneS de 2o- grau: SigniFiCado, grFiCoS,interSeCeS Com oS eiXoS, VrtiCeS, SinaiSTempo previsto: 3 semanas.Contedos e temas: proporcionalidade direta com o quadrado da varivel independente; funo de 2o grau; grfcos de funes de 2o grau Vrtice, razes, sinais.Competnciasehabilidades:compreenderafunode2-graucomoexpressodeumapropor-cionalidadediretacomoquadradodavarivelindependente;expressarpormeiodegrfcos tal proporcionalidade.Estratgias:apresentaoconstrutivadosignifcadoedaspropriedadesdafunode2ograu; explorao de exemplos ilustrativos e de exerccios exemplares envolvendo funes de 2o grau para serem explorados pelo professor.Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 3o texto a seguir constitui um roteiro para a apresentao da ideia de funo de 2- grau. desde o primeiro momento, tal funo apre- sentadacomoarepresentaodeumapro-porcionalidadediretaentreumagrandezae oquadradodeoutra.na8-sriedoensino Fundamentalpossvelqueosalunosjte-nham tido um contato inicial com tal funo, ao estudarem as equaes de 2- grau. abor-daremosotema,noentanto,sempressupor que ele j tenha sido estudado anteriormente. Cabeaoprofessor,emsuarealidadeespec-fca,acelerarmaisoumenosaapresentao feita aqui. a abordagem adotada construti-va: todos os resultados so justifcados, sem-precombasenaideiadeproporcionalidade anteriormente referida. assim, mesmo que os alunos j tenham visto tais assuntos, quase certoquenooviramdaformacomoso aqui apresentados. apostamosnaformadetratamentoesco-lhida, que consideramos a menos tcnica pos-svel,ouaquemaispermaneceaderenteao signifcadodarelaodeproporcionalidade envolvidaeesperamosqueoprofessoravalie com carinho o percurso sugerido na Situao de aprendizagem, mesmo no constituindo o caminhomaisusual.torcemosparaque,no fnal, o professor venha a concordar conosco.Grandeza proporcional ao quadrado de outra: a funo do 2- grau f(x) = ax2Quando a relao de interdependncia en-treduasgrandezasxeytalqueydireta-mente proporcional ao quadrado de x, ento MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 28 4/8/09 4:00:07 PM29Matemtica - 1a srie - Volume 2escrevemos que yx2= constante = k, ou seja, y=kx2.Umexemplodetalsituaoocorre quandoumapedraabandonadaemqueda livre:adistnciaverticaldqueelapercorre diretamenteproporcionalaoquadradodo tempo de queda, ou seja, temos d = kt2; neste caso, o valor de k 4,9 (metade da acelerao da gravidade do local).Demodogeral,assimcomoumarelao do tipo y = kx encontra-se na origem de cada funode1-grauf(x)=ax+b,arelao y=kx2servedebaseparaacaracterizao dasfunesde2-grau,cujaformageral f(x) = ax2 + bx + c, (a 0). Para explicitar tal fato, inicialmente, vamos examinar o grfco da funo y = x2, ou seja, f(x) = x2.Sabemos que o grfco de y = x uma reta com inclinao igual a 1. Para construir o gr-fco de y = x2, basta notarmos que:oquadradodeumnmerosituadoentref0 e 1 menor do que o prprio nmero, ou seja, x2 < x para 0 < x < 1;o quadrado de um nmero maior do que 1f maior do que o prprio nmero, ou seja, x2 > x para x > 1; ogrfcodey=x f2simtricoemrelao aoeixoy,umavezquef(x)=f(x)para todo x; possvel mostrar que o grfco de y = x f2 encosta suavemente no eixo x, sem for-marumbico(issoserfeitonaAtivi-dade 2).Reunindo tais informaes, temos o grf-co esboado a seguir. A curva correspondente uma parbola. yxxx110y = x2y = xx2Partindodogrfcodef(x)=x2,fcil cons truir o grfco de f(x) = ax2, com a 0:Para tanto, a cada valor de x, devemos fa-zercorresponderoprodutoax2,quemaior de que x2, quando a > 1, e menor do que x2, quando 0 < a < 1. Assim, as parbolas fcam tantomaisfechadasquantomaiorovalor de a; tanto mais abertas quanto menor (mais prximodezero)encontra-seovalordea. Algunsgrfcosdessetiposorepresentados a seguir:MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 29 4/8/09 3:54:48 PM30De maneira anloga, para os valores ne-gativosdea,osgrficosmantmamesma Resumindo,ento,vemosquequanto maior o valor absoluto do coefciente a, mais fechadaaparbola;quantomenorova-lor absoluto de a, mais aberta ela . O sinal deaindicaseaconcavidade(aabertura)da parbolaestvoltadaparacima(a>0),ou para baixo (a < 0).forma, mas os valores de y tornam-se nega-tivos. Observe a figura a seguir:yxy = 0,3x2 y = 0,7x2y = x2y = 5x2y = 3x2242220181614121086420 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1yx6420 2 4 6 8 10 11 12 14 16 18 20 22 24 9 8 y = 0,5x2y = x2

7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1y = 5x2 y = 3x2y = 0,1x2 MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 30 4/8/09 1:52:29 PM31Matemtica - 1a srie - Volume 2Algumas atividades, para a explorao do que at aqui foi estudado, sero apresentadas a seguir.Atividade 1Construa em um mesmo plano cartesiano os grfcos das seguintes funes:a)f(x) = x2b)f(x) = 2x2 c) f(x) = 10x2d) f(x) = 110x2e) f(x) = x2f)f(x) = 2x2g)f(x) = 10x2 h)f(x) = 110x2Procure esboar os grfcos comparando-os com os outros, sem necessariamente recorrer a tabelas com valores de x e de y; em vez disso, leve em considerao os valores relativos dos coefcientes de x2.a), b), c), d)e), f), g), h)-4-411 -2-233 -3-322 -1-14yx4y = x2y = 2x2y = 10x2y = 110 x2-4-411 -2-233 -3-322 -1-14yy = x2y = 2x2y = 10x2y = 110 x2x4 9ya > 0a < 0x 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11614121086420 2 4 6 8 10 12 14 16MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 31 4/8/09 1:52:29 PM32yxOf(x) = x2Se o professor se interessar pela explicao dessefato,bastaacompanharasoluoda Atividade 2, apresentada a seguir. Atividade 2Mostrequeacurvaqueogrfcode f(x)=x2notemumbiconaorigemdo sistema de coordenadas, ou seja, ela tangencia o eixo x.Afrmar que o grfco apresentaria um bico naorigemsignifcariadizerqueexisteuma retainclinadaemrelaoaoeixodosxtal queogrfcodef(x)=x2estariasituado acima de tal reta para todos os valores de x, mesmoosmaisprximosde0,conforme podemos verifcar na fgura a seguir.yxOf(x) = x2y = mxTalretatangenteseriaogrfcodeuma funo do tipo y = mx, m > 0.observao:umasutilezasobreogrfco de f(x) = x2Para construir o grfco de f(x) = x2, nota-mos que:1-) x2 0 para todo nmero real x, ou seja, o grfco situa-se acima do eixo x ;2-) f(x) = f(x) para todo real x, ou seja, ogrficosimtricoemrelaoao eixo y;3-) como x2 x para valores de x no inter-valo de 0 a 1, ento o grfco de f(x) = x2 situa-seabaixodogrfcodey=xno intervalo entre 0 e 1;4-) comox2>xparax>1,ogrfcode f(x)=x2situa-seacimadogrfico de y = x para x > 1.Seguindo todas as concluses anteriores, o grfco poderia ser como o indicado a seguir, tendo um bico na origem:yxOf(x) = x2Ocorre, no entanto, que o grfco de f(x) = x2 no tem bico na origem, encostando suave-mente no eixo x. MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 32 4/8/09 1:52:29 PM33Matemtica - 1a srie - Volume 2Teramos, ento: x2 mx para todo x 0.Ocorre,noentanto,que,sex2mx,ento x2mx0,ouseja,x.(xm)0para todo x.Mas notamos que para valores de x entre 0 em,osvaloresdoprodutox .(xm)so negativos,ouseja,x20,pormenorqueseja,ogrfco def(x)=x2situa-seabaixodogrfcode y = mx, para valores de x entre 0 e m. Por exemplo,mesmoqueconsideremosareta y = 0,001x, para valores de x entre 0 e 0,001 o grfco de f(x) = x2 situa-se abaixo dessa reta. Conclumos, ento, que no existe reta y=mxtalque,paratodox,ogrfcode f(x) = x2 situe-se acima da reta; e exata-menteissoquesignifcadizerqueogrfco no tem um bico na origem.x2 < mx, ou seja, x2 mx < 0 para x entre 0 e mdeslocamentos verticais: a funof(x) = ax2 + vQuandoaproporcionalidadeentreyex2 ocorreapartirdeumvalorinicialv,ento y v = kx2, ou seja, y = kx2 + v. Em casos como esse, o grfco de f(x) = kx2 + v continuaaserumaparbola,masseuspon-tossodeslocados,emrelaoaoconhecido grfco de y = k.x2, na direo do eixo y de um valor v: para cima, se v > 0, ou para baixo, se v < 0.yxmOf(x) = x2y = mxf(x) = kx2 + vy = kx2xyvv0MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 33 4/8/09 1:52:30 PM34Umasituaocomoessaocorre,por exemplo,quandocalculamosadistnciad deumapedraabandonadaacertaalturah at o solo:Nestecasotemos,ento,d=h4,9t2, ouseja,hd=4,9t2.Podemosobser-var,aseguir,algunsgrficosdefunes desse tipo.Atividade 3Construaosgrfcosdasseguintesfun-es e indique as coordenadas do vrtice em cada caso. a)f(x) = x2 + 1 b)f(x) = x2 + 3c)f(x) = x2 1 d)f(x) = x2 3e) f(x) = 2x2 + 1f) f(x) = 3x2 5g) f(x) = 0,5x2 + 74,9t2d = h 4,9t2hyxy = 3x2 + 7y = 3x2 522201816141210864224681012141601 1 2 3 4 2 3 4y = 3x2y = 3x2 + 5y = 3x2 435Matemtica - 1a srie - Volume 2a) vrtice: (0; 1) b) vrtice: (0; 3)c) vrtice: (0; 1) d) vrtice: (0; 3)e) vrtice: (0; 1)f) vrtice: (0; 5)g) vrtice: (0; 7)deslocamentos horizontais: a funof(x) = a(x h)2Outraproporcionalidadediretaentre uma grandeza e o quadrado de outra ocorre quandotemosydiretamenteproporcional noax2,masa(xh)2:nessecaso,temos y = k(x h)2, e o grfico correspondente anlogo ao de y = kx2, deslocado horizon-talmentedehunidades,paraadireita,se h > 0, ou para a esquerda, se h < 0.yx 4 3 2 1 2 3 4 14321 1 2 3y = x2 + 1y = x2 + 3y = x2 1y = x2 3yx 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 58642246810121416MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 35 4/8/09 1:52:30 PM36Umexemplodeumasituaoanloga sugeridaacimaocorrequandoagrandezay diretamenteproporcionalaoquadradoda variaonovalordexapartirdecertova-lorinicialh.Porexemplo,sendoEaenergia elstica armazenada em uma mola disten dida dexunidadesapartirdeseucomprimento normal,entoE=k.x2.Naturalmente,se x = 0, ento E = 0. Entretanto, se a escala para mediroquantoamolaestdistendidatal que temos E = 0 para x = h, ento quando a mola estiver distendida de (x h), sua energia E ser tal que E = k(x h)2.yx 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 91918171615141312111098765432112340y = (x + 3)2EE00hxxE = 0E = k(x h)2E = 0E = kx20 h0xxy = x2y = (x 3)2MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 36 4/8/09 1:52:30 PM37Matemtica - 1a srie - Volume 2Atividade 4Construa em um mesmo plano cartesiano os grfcos das seguintes funes e indique as coordenadas do vrtice de cada uma delas. a)f(x) = (x + 1)2b) f(x) = (x + 3)2c)f(x) = (x 1)2d)f(x) = (x 3)2e)f(x) = (x 5)2f) f(x) = 2(x + 3)2g)f(x) = 3(x 1)2-4-41 -2-23 -3-32 -1-1y41324xy = (x+1)2y = (x+3)2y = (x1)2y = (x3)2a) vrtice: (1; 0)c) vrtice: (1; 0)b) vrtice: (3; 0)d) vrtice: (3; 0)deslocamentos verticais e/ou horizontais: a funo f(x) = a(x h)2 + vNocasomaisgeralpossvel,podemos teravariaonosvaloresdeumagrande-zay,apartirdecertovalorv,diretamen-teproporcionalaoquadradodavariao nosvaloresdex,apartirdecerto valor h: em outras palavras, y v = k(x h)2. Umafunodestetipotalque f(x) = k(x h)2 + v, e tem como grfico tambm umaparbola,deslocadahorizontalmente deumvalorhemrelaoparbola y=kx2edeslocadaverticalmentedeum e) vrtice: (5; 0)f) vrtice: (3; 0)g) vrtice: (1; 0)yx4224681012141618 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 90MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 37 4/8/09 1:52:30 PM38valor v em relao parbola y = k(x h)2. Ovrticedaparbolaopontode Alguns exemplos de grfcos de funes desse tipo so apresentados a seguir.Atividade 5Construa os grfcos das seguintes funes eindiqueascoordenadasdovrticedecada uma delas:a)f(x) = (x + 1)2 + 1 b) f(x) = (x + 3)2 1c)f(x) = (x 1)2 1 d)f(x) = (x 3)2 + 2 xy 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 91614121086422468101214160y = 3x2 7y = 3 (x + 1)2 + 9y = 3 x2 + 7y = 5 (x 6)2 + 3y = 5 (x 3)2 8y = 5(x 3)2 + 8coordenadas(h;v).Ogrficoaseguirtra-duz o que anteriormente se afirmou.xyf(x) = k(x h)2 + vf(x) = kx2f(x) = k(x h)2h 0vMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 38 4/8/09 1:52:31 PM39Matemtica - 1a srie - Volume 2a) vrtice: (1; 1)b) vrtice: (3; 1) c) vrtice: (1; 1)d) vrtice; (3; 2)Atividade 6Determineascoordenadasdovrticedos grfcosdasseguintesfuneseverifquese afunoassumeumvalormximoouum valor mnimo.a)f(x) = (x + 3)2 12coordenadas do vrtice: 3; 12ponto de mnimo : x = 3 mnimo valor da funo: (3) = 12b)f(x) = (x 2)2 52coordenadas do vrtice: 2; 52ponto de mximo: x = 2 mximo valor da funo: 52-4 1 -2 3 -3 2 -1yx41324-4-2-3-1y = (x+1)2+1y = (x+3)2 1y = (x1)2 1y = (x3)2+2c)f(x) = (x 1)2+ 2coordenadas do vrtice: (1; 2)ponto de mnimo: 1mnimo valor da funo: 2d)f(x) = x 12 2

34coordenadas do vrtice: 12; 34 ponto de mnimo: 12mnimo valor da funo: 34e)f(x) = (x 4)2 coordenadas do vrtice: (4; 0)ponto de mnimo: 4 mnimo valor da funo: 0f)f(x) = x2 + 2coordenadas do vrtice: (0; 2) ponto de mximo: 0mximo valor da funo: 2Forma geral de uma funo de 2- grau: f(x) = ax2 + bx + cDemodogeral,umafunotalque f(x)=ax+bx+c,coma,becconstantes, sendoa0,sempreexpressaumasituao deinterdependnciaemqueumagrandeza diretamenteproporcionalaoquadradode outra,ouseja,semprepodemosescrevero trinmiode2-grauax+bx+cnaforma a(x h) + v.MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 39 4/8/09 1:52:31 PM40De fato, se o trinmio ax + bx + c for um quadradoperfeito,entopodemosescrever ax + bx + c = a(x h), e facilmente encon-tramos o valor de h, explicitando o quadrado do primeiro membro.Alguns exemplos so apresentados a seguir:x f2 6x + 9 = (x 3)2x f2 + 8x + 16 = (x + 4)2x f2 + 7x + 494 = x + 7225x f2 + 30x + 45 = 5(x2 + 6x + 9) = 5(x + 3)2Seotrinmioax+bx+cnoforum quadradoperfeito,entoelesermaiordo que um quadrado perfeito, ou menor do que umquadradoperfeito;signifcadizerque ax + bx + c = a(x h) + v, sendo v um n-meropositivoounegativo,dependendodeo trinmio ser maior ou menor do que um qua-drado perfeito. Assim,sempreserpossvelescrever f(x)=ax+bx+cnaformaa(xh)+v, o que equivalente a afrmar que todo trin-mio de 2- grau pode ser interpretado como a expressodaproporcionalidadediretaentre yveoquadradode(xh),paradetermi-nados valores de h e v. Encontrar os valores de h e v encontrar as coordenadas do vrtice da parbola que o grfco de f(x).Simetria do grfco de f(x) = ax2 + bx + cAparbolaqueogrficodafuno de2-grauumacurvaquepossuium eixodesimetriavertical.Issosignifcaque pon tos de mesma ordenada possuem abscissas equidistantes a esse eixo. Se o eixo de simetria for o prprio eixo y, ento para cada valor de y cor-respondem dois valores de x com sinais opostos: (a,y)e(a,y).Seoeixodesimetriaestiver deslocado horizontalmente de h unidades, en-to os pontos equidistantes tero coordenadas (a + h; y) e (a + h; y). As fguras a seguir ilus-tram o que se afrmou:Eixo de simetriax = 0 a axy0Eixo de simetriax = h a + h a + h hxy0Ovrticedaparbolasitua-senoeixode simetria. Se as razes de f(x) = 0 forem conhe-cidas, a abscissa do vrtice ser o ponto m-dio do segmento determinado pelas razes; se a equao f(x) = 0 tiver apenas uma raiz real, a abscissa do vrtice ser a prpria raiz. MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 40 4/8/09 1:52:31 PM41Matemtica - 1a srie - Volume 2f(x) = ax2 + bx + c0yvcxvxybaMesmonocasodeaequaode2-grau f(x) = 0 no ter razes, podemos determinar o vrtice da parbola da seguinte maneira:sabemos que f(0) = c; fsabemosqueexisteoutrovalordef xpara o qual a funo tambm assume o valor c; f(x) = c para ax2 + bx + c = c;logo,f(x)=cparaax f2+bx=0,ouseja, para x = 0 ou x = baaabscissadof xvdovrtice,pois,igual mdia entre os valores 0 e ba, ou seja, xv = 0 + ba 2 =b2a ;paraobtermosovalordaordena- fdayvdovrtice,calculamosovalorde f(xv): yv = f(xv).Nas atividades seguintes, os fatos anterior-mente referidos sero explorados. Atividade 7Sabemos que o grfco de f(x) = ax2 + bx + c, a0,umaparbola.Aretaverticalque passapelovrticedaparbolaseueixode simetria.Observe,porexemplo,osgrfcos seguintes das funes: (i) f(x) = x2 4 Eixodesimetria em x = 0011123423452 3 1 2 3xy(ii) f(x) = x2 + 2x = (x+1)2 1Eixodesimetria em x = 10111223456782 3 4 1 2 3 4xyMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 41 4/8/09 1:52:31 PM42a)Na funo (I), quando x = 1 qual o valor correspondente de y?No grfco (I), para x = 1, temosy = f(1) = 3b)Na funo (II), quando x = 3, qual o va-lor correspondente de y?No grfco (II), para x = 3,temos y = f(3) = 15c)Complete a tabela com o valor correspondente de x ou de y.Funo Ix 2 2 4 5y 12 21Funo IIx 3 1 6 5y 16 27Usando as expresses algbricas das funes, obtemos os seguintes valores:Funo 1y = x2 4x 2 2 4 4 ou 4 5 5 ou 5y 0 0 12 12 21 21Funo 2y = x2 + 2xx 3 1 6 1 175 1 27y 3 3 48 16 15 27Vale a pena comentar com os alunos os resultados obtidos que refletem a ideia de simetria na parbola. Atividade 8Ao lado est representado o grfco da fun-o f(x) = x2 + 4x = (x 2)2 + 4.a)Quais so as coordenadas do ponto V, vr-tice da parbola?Em razo da simetria do grfco, conclumos que o vrtice o ponto mdio do segmento doeixoxentre0e4,ouseja,novrtice temos x = 2. O valor de y correspondente f(2) = 22 + 4 . 2 = 4. Logo, o vrtice o ponto V de coordenadas (2; 4).y01 4xmnVMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 42 4/8/09 1:52:32 PM43Matemtica - 1a srie - Volume 2011123456782 3 4 1 2 3 4xyNogrfco1 f ,podemosidentifcaros pontos (0; 0), (2; 4) e (4; 0) pertencentes parbola.Temosqueapositivoec vale0,poisoponto(0;0)pertenceao grfco. Substituindo os valores de x e y naformageraly=ax2+bx,obtemos: 4 = a . 22 + b . 2e0 = a . 42 + b . 4.Dasegue,resolvendoosistema2a+b=2 e 4a + b= 0, encontramos a = 1 e b =4. Portanto,afunoquecorrespondeao grfco 1 : f(x) = x2 4x Nogrfco2 f ,podemosidentifcaros pontos (4,0), (0, 8) e (2,0) pertencentes parbola. Alm disso, podemos concluir que a negativo e que o valor de y para x = 0 8, ou seja, c = 8. Substituindo os outrosvaloresdexeycorrespondentes aos pontos (4; 0) e (2; 0) na expresso geral,y=ax2 +bx+8obtemosas seguintes equaes:0 = a . (4)2 + b.(4) + 80 = a . 22 + b . 2 + 8Resolvendo o sistema obtemosa = 1 e b = 2Portanto,afunoquecorrespondeao grfco 2 :f(x) = x2 2x + 84a + 2b = 816a 4b = 8123b)Quaissoosvaloresdemenindicados na fgura?Parax=1,temosf(1)=3,ouseja, m=3.Comovemosqueovalordef(n) tambmiguala3,entonosimtrico dopontox=1emrelaoaovrtice x = 2, ou seja, a distncia de n at o 2 igual distncia de 1 at o 2, ou seja, n = 3. De fato, podemos verifcar que f(3) = 3.Atividade 9Determineaexpressoalgbricadafun-ode2-graurepresentadapelosseguintes grfcos:2 40111223456782 3 4 1 2 3 4xyMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 43 4/8/09 1:52:32 PM44Nogrfco3 f ,podemosidentifcaros pontos (3; 8), (0, 2) e (1; 4) pertencentes parbola. Pelo grfco, podemos concluir queapositivoecvale2,poisoponto (0;2)pertenceaogrfco.Substituindo osvaloresdexeycorrespondentesaos outrosdoispontosnaexpressogeral, y=ax2 +bx+2, obtemosasseguintes equaes:8 = a .(3)2 + b .(3) + 24 = a . 12 + b . 1 + 2Resolvendo o sistema9a 3b = 6a + b = 2123 obtemos: a = 1 e b = 1.Portanto,afunoquecorrespondeao grfco 3 : f(x) = x2 + x + 2 Atividade 10OgrfcoaseguirrepresentaoRendimen-to bruto R(q) de uma empresa em uma funo daquantidadeqdeprodutosfabricadosmen-salmente.Osvaloresdersoexpressosem milhares de reais e a quantidade produzida q em milhares de unidades, e sabe-se que a curva re-presentada uma parbola. q6416 0R (q)A partir das informaes contidas no grf-co, responda:a)Qualaexpressoalgbricadafuno R(q)?Paradeterminaraexpressoalgbricada funo R(q), sabendo-se que a curva uma parbola, escrevemos: R(q) = aq2 + bq, pois o valor correspondente de c zero, uma vez que a curva corta o eixo vertical na origem. Como R(16) = 0, conclumos que a.162 + b.16 = 0, ou seja, que 16a + b = 0.Emrazodasimetriadaparbola, conclumosqueovalordeqnovrticeo ponto mdio do segmento de 0 a 16, ou seja, iguala8.ComovemosqueR(8)=64, temos:a . 82 + b . 8 = 64, ou seja, 8a + b = 8.Resolvendo o sistema formado pelas equaes 16a + b = 0 e 8a + b = 8, obtemos:a = 1 e b = 16, ou seja, R(q) = q2 + 16qb)Qual o rendimento bruto mximo?A observao direta do grfco nos mostra que o rendimento mximo igual a R$ 64 mil.c)Qualaquantidadeproduzidaquemaxi-miza o rendimento bruto da empresa?Ovalordeqqueconduzaorendimento mximoq=8,ouseja,aproduode 8 mil unidades.d)Qual o rendimento bruto que a empresa obtmparaaproduode15 000unida-des? E de 20 000 unidades? Como interpre-tar este ltimo resultado?MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 44 4/8/09 1:52:32 PM45Matemtica - 1a srie - Volume 2O rendimento para q = 15 igual a R(15) = (15)2 + 16 . 15 = 15, ou seja, R$ 15 mil. Paraq=20,noentanto,temosR(20)= 202+16 . 20= 80,ouseja,negativa,o quesignifcaqueaproduoestardando prejuzo de R$ 80 mil. Esseresultadopodesurpreenderosalunos, poisnointuitivosuporqueparauma produomaiorseobtenhalucronegativo. Contudo, isso se deve a uma questo de ordem econmica. Se a empresa possui uma estrutura produtiva montada para um determinado nvel deproduo,apartirdecertoponto,passaa haverinefcinciaprodutivadevidoaalguns fatores:altocustodehorasextraspagas, espaofsicolimitadoparaumnmerode trabalhadores, desgaste excessivo de mquinas etc. Por essa razo, a funo que representa o lucro decrescente a partir de um determinado nvel de produo, correspondente ao vrtice da parbola, no caso.Atividade 11Determine, para as funes a seguir repre-sentadas,osvaloresmximooumnimoque so atingidos em cada caso, indicando o valor de x para o qual tais extremos ocorrem.a)f(x) = 3(x 12)2 + 100Valor mnimo 100; ponto de mnimo x = 12b) f(x) = x2 + 10Valor mximo 10; ponto de mximo x = 0c)f(x) = x2 + 6x + 9Podemos verifcar que f(x) = (x + 3)2; logo, ovalormnimodafuno0eopontode mnimo x = 3.d)f(x) = 3x2 + 30x + 75Podemos escrever f(x) = 3(x2 + 10x + 25) = =3(x+5)2;logo,ovalormnimo0eo ponto de mnimo x = 5.e) f(x) = x2 + 10xPodemos escrever f(x) = x2 + 10x 25 + 25, ou seja, f(x) = (x 5)2 + 25; logo, o valor mximo 25 e o ponto de mximo x = 5.f) f(x) = x2 + 8x + 21Podemos escrever f(x) = x2 + 8x + 16 + 5, ouseja,f(x)=(x+4)2+5;logo,ovalor mnimo 5 e o ponto de mnimo x = 4.Funes de 2- grau e razes da equao de 2- grau: discussoO estudo das razes da equao de 2- grau ax2 + bx + c = 0, que j foi feito na 8- srie do Ensino Fundamental, ser aqui retoma-do sob outra perspectiva. Jvimosqueogrfcodeumafunode 2-grauf(x)=ax2+bx+cumaparbola, que tem um vrtice (xv; yv) e um eixo de sime-tria vertical (paralelo ao eixo y).Para determinar as coordenadas do vrti-ce da parbola, podemos proceder do seguin-te modo:MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 45 4/8/09 1:52:32 PM46sabemos que f(0) = c; fem razo da simetria do grfco, existe outrofvalor de x tal que f(x) = c; calculando, obte-mos: ax2 + bx + c = c acarreta ax2 + bx = 0, de onde tiramos x = 0 ou x = ba;a abscissa x fv do vrtice a mdia aritmtica dos dois valores obtidos, ou seja, xv = 0 + ba 2, ou seja, xv = b2a para determinar o valor de y fv, calculamos f(xv) e obtemos:yv = f(xv) = a b2a 2+ b b2a + c, ou seja, yv = 4ac b24a .Naturalmente,sabendoovalordexv,no precisamos de frmula alguma para determi-naryv,massimdesimplesmentesubstituiro valor de xv na funo f(x).Calculando-seascoordenadasdovrti-cedaparbolayv,podemosdeterminarsea equao do segundo grau correspondente tem ounotemrazes.Paraisso,bastaobservar ossinaisdeaedeyv,conformemostramas fguras a seguir:yyyyyyxxxxxxa < 0DUAS RAZES DISTINTAS(os sinais de a e de yv so opostos)DUAS RAZES IGUAIS (UMA RAIZ REAL)(yv igual a zero)NO EXISTEM RAZES REAIS(os sinais de a e de yv so iguais)a < 0a > 0a > 0a > 0yv > 0yv = 0yv < 0yv = 0yv > 0yv < 0a < 0MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 46 4/8/09 1:52:32 PM47Matemtica - 1a srie - Volume 2A atividade seguinte visa a uma explorao numrica do que foi dito anteriormente.Atividade 12Considere as funes de 2- grau f(x) = ax2 + +bx+c,indicadasaseguir.Descubraseas equaes de 2- grau correspondentes tm duas, uma ou nenhuma raiz real calculando o valor da ordenada yv do vrtice da parbola que o grfco da funo, sem resolver as equaes.a)f(x) = 3x2 + 12x + 11 Jvimosqueaabscissaxvdovrtice da parbola igual a b2a.Temosxv= 122.3=2:calculandoyv, obtemos: yv = f(xv) = f( 2) = 1 < 0.Comoa=3>0eyv 0.Comoa=3>0eyv>0,entoaequao notemrazesreais(faaumafgurapara ajudar na concluso).c)f(x) = 2x2 16x + 5 Temos xv = 4 e yv = f(4) = 37 > 0; como a = 2 < 0 , segue que a e yvtm sinais contr-rios e a equao tem duas razes reais distintas. d)f(x) = 2x2 + 10x 13Temos xv = 52 e yv = f 52 = 12 < 0; como a=2 0yv > 0x1x1x2x2yv < 0MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 48 4/8/09 1:52:33 PM49Matemtica - 1a srie - Volume 2Atividade 13Determine as razes da equao de 2- grau ax2 + bx + c = 0 e o sinal da funo f(x) = ax2 + + bx + c para todos os valores possveis de x, em cada um dos casos abaixo:a)3x2 + 12x + 11 = 0 Calculando os valores de xv e yv , temos: xv = b2a = 126 = 2; yv = f(2) = 3 . (2)2 + 12 . ( 2) + 11 = 1 Como a = 3 > 0 e yv = 1 < 0, conclumos queaequaotemduasrazesdistintas (pense na fgura!). As razes so x1 = xv yva e x2= xv + yva; substituindo os valores de yv e a, obtemos: x1 = 2 13 e x2 = 2 + 13. O sinal de f(x) = 3x2 + 12x + 11 positivo (igual ao de a) para valores de x fora do intervalo das razes, ou seja, para x > 2 + 13 ou para x < 2 13; negativo(contrrioaodea)paravalores dexnointervalodasrazes,ouseja,para 2 13 < x < 2 + 13 . b)4x2 + 12x 9 = 0Analogamente, temos xv = 32 e yv = f 32 = 0; logo, as duas razes so iguais a xv = 32.yyyyxxxxf(x) tem o mesmo sinal de a; zero apenas no vrticef(x) tem sempre o mesmo sinal de a,para todo x reala < 0a > 0a > 0yv = 0yv < 0yv = 0yv > 0a < 0MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 49 4/8/09 1:52:33 PM50Sobre o sinal, f(x) = 4x2 + 12x 9 sempre menorouigualazero,poisa0,ecomaconca-vidade para baixo, se a < 0;quantomaiorovalorabsolutodef a,mais fechada a parbola; quando mais pr-ximo de 0, mais aberta ela ;o vrtice (x fv , yv) da parbola pode ser de-terminado a partir dos coefcientes a, b e c, sendo xv = b2a e yv = f(xv);as razes da equao ax f2 + bx + c = 0 so x1 = xv yva e x2= xv + yva;MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 50 4/8/09 1:52:33 PM51Matemtica - 1a srie - Volume 2os resultados anteriores traduzem a conhe- fcida frmula de Bhaskara para as razes;o estudo do sinal da funo pode ser fei- ftoapartirdoconhecimentodasrazes (dentro do intervalo das razes, a funo temsempresinalcontrrioaodea;fora dele,temsempreosinaldea;quando no existem razes, a funo tem sempre o mesmo sinal).Situao de aprendizagem 4 proBLemaS enVoLVendo FuneS de 2- grauem mLtipLoS ConteXtoS; proBLemaS demXimoS e mnimoSTempo previsto: 2 semanas.Contedos e temas: problemas envolvendo equaes, inequaes e funes de 2- grau em diferentes contextos; problemas envolvendo mximos ou mnimos de funes de 2- grau.Competncias e habilidades: compreender fenmenos que envolvem a proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra, traduzindo tal relao na linguagem matemtica das funes; equacionar e resolver problemas que envolvem funes de 2- grau, particularmente os que envolvem otimizaes (mximos ou mnimos).Estratgias: apresentao de exemplos ilustrativos e de exerccios exemplares envolvendo gran-de parte dos contedos estudados na Situao de aprendizagem 3, sobre equaes, inequaes e funes de 2- grau, para serem explorados pelo professor.Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 4nestaSituaodeaprendizagem,vamos abordardiversosproblemasqueenvolvem equaes,funeseinequaesde2-grau. praticamentetodososcontedossobre taistemasforamestudadosnaSituaode aprendizagem 3 e sero aqui retomados.os exerccios e problemas apresentados so ape-nasexemplaresdeumaclassedeproblemas que pode ser explorada pelo professor em sua sala, em sintonia com o tempo disponvel e o interesse de seus alunos.Atividade 1naadministraodeumaempresa,pro-cura-seestabelecerrelaesmatemticasen-treasgrandezasvariveisenvolvidas,tendo emvistaaotimizaodaproduo,ouseja, abuscadeumcustomnimooudeumren-dimentomximo.naturalmente,asrelaes obtidasdecorremdecertashiptesessobre omododeproduo,queenvolvemtantoa proporcionalidadedireta,quantoainversa,a proporcionalidade ao quadrado, o crescimento exponencial,entreoutraspossibilidades.uma disciplinaquetratadaformulaodemodelos MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 51 4/8/09 3:54:56 PM52matemticos(frmulas)pararepresentar taisrelaesdeinterdependnciachama-se Pesquisa Operacional.Suponha que em certa empresa de produ-toseletrnicos,aorganizaodaproduo talqueocustototalCparaproduziruma quantidade q de um determinado produto seja dado pela funo C(q) = q2 1 000q + 800 000 (C em reais, q em unidades do produto.)a)Determine o nvel de produo (valor de q) queminimizaocustototalCecalculeo valor do custo mnimo.A pergunta qual o valor de q que corresponde ao mnimo valor da funo C(q). AfunoC(q)de2-grau,traduzindo algum tipo de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra.Seugrfcoumaparbolacujovrtice encontra-se no ponto qv = ( 1000)2 = 500.Onveldeproduoquecorrespondeao custo mnimo , pois, q = 500; o valor do custo mnimoC(500)=50021000.500+ + 800 000 = 550 000 reais.b)Faa o grfco de C(q)OgrfcodeC(q)umaparbolacoma concavidadeparacima,cortandooeixoC nopontodeordenada800 000,ecom vrtice no ponto (500; 550 000):CqC(q) = q2 1 000q + 800 0000800 000550 000300 500 700 1 000c)Para q = 0, o custo igual a R$ 800 000,00; como se interpreta tal fato?O custo inicial C(0) = 800 000 corresponde aocustofxo,independentementedese iniciar a produo (aluguis, equipamentos, salrios etc.).d)Qual o nvel de produo que correspon-de a um custo de R$ 800 mil?Nomodelodeproduosuposto,ocusto deR$800milcorrespondeadoisnveisde produo. Para determin-los, basta resolver a equao C(q) = 800 000, ou seja:q2 1 000q + 800 000 = 800 000de onde obtemos q = 0 ou q = 1 000.e)Do ponto de vista do custo, tanto faz um nvel de produo q = 300 ou um nvel de produo q = 700. E do ponto de vista do rendimento bruto (faturamento da empresa)?Defato,dopontodevistadocusto,dois nveisdeproduosimtricosemrelao aovrticedaparbola,comosoR$300e R$ 700 mil, correspondem ao mesmo custo; nocaso,C(300)=C(700)=590000. Entretanto, do ponto de vista do rendimento bruto,certamenteprefervelonvelde produo maior. Atividade 2Para delimitar um galinheiro em um amplo quintal,dispe-sede80m(lineares)detela. Deseja-se usar completamente a tela dispon-vel, e a regio cercada deve ser um retngulo. MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 52 4/8/09 1:52:33 PM53Matemtica - 1a srie - Volume 2Fixadoopermetrodessemodo,soinmeras aspossibilidadesparaosladosdoretngulo, como podemos perceber nos exemplos a seguir:AreaAdoretnguloumafuno docomprimentodosladosdomesmo.En-tretodasaspossibilidadesparaoslados, procura-se,naturalmente,aquelaquecor- responde maior rea possvel para o retngulo.Dessa forma, a)quaisdevemserasmedidasdosladosdo retnguloparaquesuareasejaamaior possvel?Chamandoumdosladosdex,ooutroser 40x,eareadoretnguloseriguala A(x) = x.(40 x).Buscamos o valor de x para que a rea A(x) atinja o valor mximo.A(x) uma funo de 2- grau:A(x) = x . (40 x) = x2 + 40x.Seugrfcoumaparbolacoma concavidade voltada para baixo. Asrazesdaequaode2-grauA(x)=0 so x = 0 ou x = 40.25 m23 m10 m30 m15 m 17 m40 xOvrticedaparbolaopontoonde xv=20,pontomdiodosegmento determinado pelas razes (o vrtice tambm poderia ter sido obtido por meio da expresso xv = b2a = 402 = 20). Os lados do retngulo de rea mxima sero, portanto, 20 e 40 20, ouseja,oretngulodereamximaum quadrado de lado 20.b)qual o valor da rea mxima?O valor mximo de A(x) :A(xv) = (20)2 + 40 . 20 = 400 m2.Atividade 3Deseja-semurar(cercarcommuros)um terreno retangular utilizando-se de uma pare-de j existente no terreno. Sabe-se que o com-primento de muro correspondente aos outros trs lados do terreno 36 metros. a)ExpresseareaAdesseterrenoem funodex(medidadeumdoslados do retngulo). Sendoocomprimentodos3ladosdomuro iguala36m,seumdosladosx,ooutro ser362x,eareadoretnguloser: A(x) = x .(36 2x).xParedexMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 53 4/8/09 1:52:34 PM54b)Construa o grfco de A em funo do lado x.OgrfcodeA(x)umaparbolacoma concavidadeparabaixo,tendocomorazes daequaode2-graucorrespondenteos valores 0 e 18.AxA(x) = 36x 2x20 189162c)Calcule a rea mxima que o terreno cerca-do pode ter e as respectivas dimenses.OvalormximodareaAocorrepara x=9(pontomdiodosegmentoentre asrazes);areamximaiguala A(9) = 36 . 9 2 . 92 = 162 m2.Atividade 4Umcriadordegadotemumbezerrode determinadaraaparavender.Essebezerro pesaatualmente200kgeengorda2kgpor dia.Inicialmente,ocriadorachaque,quan-tomaistempoesperarparavenderobezer-ro, melhor ser, pois o bezerro ganhar mais peso.Entretanto,umdeseusfuncionrios lembraaocriadordequeopreodeven-da,quehojeR$50,00porkg,estcaindo R$0,40pordia.Aescolhadamelhordata paravenderobezerrodepende,ento,de duas variveis: a engorda diria e a queda nos preos pagos por kg. Com base nas informaes fornecidas, mantida a situao atual, pede-se:a)determinaramelhordataparavendero bezerro, contada a partir de hoje.Nossa incgnita o valor x de dias, contados a partir de hoje, aps os quais o bezerro deve ser vendido, de modo a gerar o maior retorno y possvel, em R$.Paraencontrarovalordey,devemos multiplicaropesop(massa)emkgdobe-zer ro pelo valor v pago por kg: y = p . v.O enunciado informa que o peso p aumenta 2 kg por dia, a partir do valor inicial 200 kg, ou seja, p = 200 + 2x, onde x o nmero de dias decorridos at a venda.Ovalorvdecadakg,noentanto,decresce razode0,40reaispordia,apartirdo valorinicial50reais;temos,ento,que v = 50 0,40x.Logo,ovalorarrecadadoseriguala y = p . v , ou seja, y = (200 + 2x ) . (50 0,40x) = 0,80x2 + + 20x + 10 000Ovaloraserarrecadado,portanto,uma funo do 2o grau:f(x) = 0,80x2 + 20x + 10 000Determinaramelhordataparavendero bezerrocorrespondeabuscarovalordex para o qual f(x) assume seu valor mximo. Defato,afunotemocoefcientea negativo (a = 0,80), e, portanto apresenta umvalormximo.Talvalormximo ocorreexatamentenovrticedogrfcode MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 54 4/8/09 1:52:34 PM55Matemtica - 1a srie - Volume 2f(x).Calculandoovalordexv ,obtemos: xv =b2a = 201,60 = 12,5 . Conclumos, ento, que, mantidas as condies atuais, a melhor dataparavenderobezerrodaquia12,5 dias, ou seja, entre o 12o e o 13o dia.b)calcularovaloremR$queserarreca-dado em tal venda.O valor a ser arrecadado com a venda : f(12,5) = 0,80. 12,52 + 20. 12,5 + 10 000, ou seja, igual a R$10 125,00.c)fazerumgrfcoquerepresenteovalory a ser arrecadado pelo criador na venda do bezerro (em R$) em funo do tempo x de espera (em dias).O grfco de f(x) mostrado abaixo: trata-se de uma parbola com a concavidade para bai- xo, tendo como vrtice o ponto (12,5; 10 125)yxf(x) = 0,80x2 + 20x + 10 000012,510 12510 000d)determinarquantosdiaslevarparaque o total arrecadado pelo criador seja zero.Ovalorarrecadadopelocriadorserzero quando tivermos 0,80x2 + 20x + 10 000 = 0Procurandoasrazesdestaequao, encontramos:x=xv yva=12,5 101250,80= = 12,5 12656,25= 12,5 112,5.Uma das razes negativa e no faz sentido para o problema; a outra, a positiva, igual a 12,5 + 112,5 = 125 dias.Umamaneiramaissimplesderesponder essaquestoteriasidoaproveitaraforma fatoradadaequaode2ograu,pois sabamos, desde o incio, que (200 + 2x) . (50 0,40x) = 0,80x2 + 20x + + 10 000Logo, para obter as razes, bastaria igualar azeroosfatoresdoprimeiromembro, obtendox=100,quenofazsentidono problema, e x = 500,40 = 125, que a soluo anteriormente encontrada.Atividade 5Em um determinado pas ocorreu uma epi-demiaprovocadaporcertaespciedevrus. Inicialmente, foram detectadas 2 000 pessoas infectadas. A estimativa de mdicos especialistas a de que o nmero n de doentes cresa at um valor mximo l, que dever ocorrer aps terem decorrido 6 semanas desde o aparecimento do vrus, devendo decrescer a partir da. Supe-se que a diferena n(t) l seja diretamente pro-porcional ao quadrado da diferena entre t e 6, ou seja, quando dobra a distncia entre t e 6 (que ser o pico da doena), a queda no nmero de infectados torna-se 4 vezes maior: MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 55 4/8/09 1:52:34 PM56n(t) = k.(t 6)2 + l (k uma constante).Combasenessemodelo,esabendoque duas semanas aps o incio da epidemia havia 2 100 pessoas infectadas, responda:a)Quais so os valores de k e l?SabemosqueovalordeNparat=0 2 000,eparat=22100;apartir dessasinformaes,podemoscalcularos coefcientes k e L:N(0) = k.(0 6)2 + L = 2 000N(2) = k.(2 6)2 + L = 2 100Conclumos,ento,que36k+L=2000 e 16k + L = 2 100.Da segue que k = 5 e L = 2 180.Temos, portanto: N(t) = 5.(t 6)2 + 2 180b)Como o grfco de N(t)?O grfco de N(t) o mostrado abaixo:NtN(t) = 5.(t 6)2 + 2 180?062 1802 0002 100c)Qualseronmeromximode pessoas infectadas?Comosepodedepreenderdaexpresso N(t)edogrfco,ovalormximopara N 2 180.d)Depoisdequantassemanasonmerode infectados cair a zero?Onmerodedoentescairazeroquando tivermos N(t) = 0, ou seja, quando 5(t 6)2 + 2 180 = 0.Calculando o valor de t, obtemos:(t 6)2 = 436t 6 20,9 t 26,9 semanas(Ooutrovalorpossvelparatnegativo enofazsentidoparaoproblemaem questo.)Atividade 6Emcertoambiente,avelocidadeVde crescimento de uma populao n , em cada instante,diretamenteproporcionalaovalor den,etambmdiferenaentreum valor limite l, estimado como o mximo ad-missvel para uma vida sustentvel no ambien-te em questo, e o valor de N em cada instante: V=k.n.(ln),sendokumaconstante positiva.Podemosdizer,ento,queavelo-cidadeVumafunoden,expressapela frmula V = f(n) = k . n . (l n), ou seja, V = f(n) = kn2 + kl.nSupondo L = 100 000 habitantes, e sabendo queparaN=10 000avelocidadedecresci-mento igual 900 habitantes por ano, determine:a)o valor da constante k.ParaL=100000habitantes,afunoque expressaavelocidadedecrescimento po pu lacional :MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 56 4/8/09 1:52:34 PM57Matemtica - 1a srie - Volume 2V = f(N) = k.N. (100 000 N). Como se sabe que V = 900 para N = 10 000, resulta que:900 = k. 10 000.(100 000 10 000), ou seja, k = 106Temos, ento, para a funo V = f(N): V=f(N)=106 .N.(100000N),ou ainda, V = f(N) = 106 . N2 + 101 . N b)paraquaisvaloresdenavelocidadede crescimento igual a zero.Para responder a pergunta, basta determinar as razes da equao f(N) = 0.Encontramos, ento, N = 0 ou N = 100 000.c)paraquaisvaloresdenavelocidade decrescimentodapopulaopositi-va,ouseja,apopulaocresce,epara quais valores de n a velocidade de cres-cimentonegativa,ouseja,apopula-o decresce.Comof(N)umafunode2 -graucomo coefcientedeN2negativo,aparbolaque o grfco de f(N) tem a concavidade voltada parabaixo.Seguequeosinaldef(N) positivo (contrrio ao do coefciente de N2) no intervalo entre as razes (0 < N < 100 000) e negativo para N > 100 000 (N < 0nofaz sentido no problema). Portanto, a velocidade V decrescimentoserpositiva(apopulao cresce)paraumapopulaomenorque 100 000habitantes.Apartirdesselimite, avelocidadedecrescimentopassaraser negativa (a populao decresce). d)para qual valor de n a velocidade de cres-cimento mxima.Avelocidadedecrescimentomximano vrtice da parbola que o grfco de f(N); temos Nv = 10 12 . 10 6 = 50 000.e)o grfco de V em funo de n.OgrfcodeV=f(N)apresentado a seguir.NVV = f(N) = 10 6 . N(100 000 N)050 000 100 000Consideraes sobre a avaliaoConsideramosqueosobjetivosdapre-senteSituaodeAprendizagemterosido atingidosseosalunostiveremsidosensibi-lizadossobreapresenadasfunesdese-gundograuemdiversoscontextosprticos, sendocapazesdeidentifcarasinterdepen-dncias envolvidas, e reconhecer as situaes de mximo ou de mnimo presentes, sabendo calcularascoordenadasdospontoscrticos (mximosoumnimos)correspondentes. EspecialmentenestaSituaodeAprendi-zagem,asatividadesdevemterumcarter MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 57 4/8/09 1:52:34 PM58essencialmentequalitativo,nopodendoser associadas a imensas listas de exerccios me-ramente repetitivos.Muitos outros exerccios ou problemas po-deriamseraquiapresentados,eoprofessor quedispuserdetempoparacontinuar,no terdifculdadesemencontr-losoumes-mofabric-loscombasenosqueforam resolvidos.Consideramos,noentanto,que noexatamenteaquantidadedequestes examinadas que decisiva para uma compreen-soadequadadostemas,mas,sim,omodo como elas so exploradas em classe, garantin-do-se um tratamento das mesmas que favorea umaprendizadoconscienteeefetivo.Sobre-tudo quando envolvem modelos matemticos utilizadosemoutrasreasdoconhecimento, muitoimportanteconversarsobreaplau-sibilidadedosmesmos,nobastandoapenas receber frmulas prontas e fazer clculos apa-rentemente arbitrrios.Caso considere que os alunos no tenham atingido as metas mnimas prefiguradas em cadaumadasSituaesdeAprendizagem, o professor pode optar por uma das estrat-gias seguintes:apresentarinicialmenteoscontedosb- fsicossobrefunesde1oede2ograudo modoesquemticocomocostumaser apresentadonamaioriadosmateriaisdi-dticos disponveis, portanto, sem destacar a ideia de proporcionalidade direta de y em relao a x, ou a x, introduzindo paulati-namente as explicaes ou as justifcativas dosresultadosfundamentaiscomoforam apresentadas no presente Caderno, na me-didaemquetaisjustifcativasdespertem efetivamente o interesse dos alunos. Natu-ralmente,consideramosimportantequeo professor tente despertar tal interesse, mas o imprescindvel que os alunos aprendam os fatos fundamentais do tema, mesmo que tenham chegado at eles por vias distintas das aqui propostas;umavezque,deumaformaoudeoutra,foscontedosapresentadosnopresente Caderno j estiveram presentes na 8- srie doEnsinoFundamental,iniciaroscon-tedosreferentessfunesde1-ede 2-grauscomosefosseumarecordao, pormeiodasatividadesenvolvendopro-blemas,invertendoaordememquetais temasforamexpostos.Assim,aapresen-taomaissofsticada,maisapropriada paraoEnsinoMdio,podesermaisni-tidamenteapoiadaemabordagensmais simples, guisa de reviso.OriENtAES pArA rECupErAOMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 58 4/8/09 3:55:02 PM59Matemtica - 1a srie - Volume 2Alguns materiais podem ser utilizados para complementao e enriquecimento do que aqui se apresentou:SO PAULO. Secretaria de Estado da Educao.ProgramadeEducaoContinuada (PEC).Materialsobrefunes.SoPaulo: SE/CENP, 2001.SOPAULO.SecretariadeEstadoda Educao.CoordenadoriadeEstudose NormasPedaggicas.PropostaCurricular paraoensinodeMatemtica:2-grau.3.ed. So Paulo: SE/CENP, 1992.RECURSOS PARA AmPLiAR A PERSPECtivA dO PROfESSOR E dO ALUNO PARA ACOmPREENSAO dO tEmAMAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 59 4/8/09 3:55:08 PM60Consideraes FinaisChegamos ao fnal deste percurso em que revimosaideia bsica de funo como rela-o de interdependncia, as relaes de pro-porcionalidadediretacomocaracterstica das funes de 1- grau, e as relaes de pro-porcionalidadediretacomoquadrado,que sosufcientesparacaracterizarasfunes de 2- grau. AofnaldaSituaodeAprendizagem1, pressupe-sequeosalunosconsolidarama ideia de funo; se o professor considerar que o desempenho dos mesmos ainda no satis-fatrio, sugerimos uma explorao bem direta das relaes de interdependncia com base em tabelas ou grfcos de diversos tipos, extrados dejornaisourevistas.Orecursoadiferentes linguagensparaaapresentaodainterde-pendncia pode contribuir decisivamente para a compreenso da ideia central: uma grandeza que tem os seus valores determinados a partir dosvaloresatribudosaoutraumafuno dessa outra, em sentido prprio.Na Situao de Aprendizagem 2, o foco foi colocado em uma particular relao de interde-pendncia: a proporcionalidade direta, que no podeserconfundidacomameraassociao com duas grandezas que crescem simultanea-mente, ou decrescem simultanea mente: a ma-nuteno das propores nesse crescimento ou decrescimento conjunto absolutamente fun-damental para garantir a proporcionali dade. AssimcomoostemasdaprimeiraSituao deAprendizagem,provvelqueestestam-bmjtenhamsidoapresentadosaosalunos anteriormente. Cabe ao professor decidir se as atividades constituem uma apresentao inicial ou uma consolidao das ideias j vistas. NaSituaodeAprendizagem3,afun-o de 2- grau completamente apresentada. Ainda que alguns aspectos da mesma tenham sidoabordadosna8-srie,comoasoluo dasequaesde2-grau,esteomomento mais adequado para um estudo sistematizado dotema.Apesardetermosfeitotalestudo, buscamos constantemente, ao longo do mes-mo,darnfaseaosignifcadodasnoes apresentadas,minimizandootempodedica-dostcnicasdeclculo.Todasastcnicas necessriasforamcontempladas:grfcos, vrtices, razes, inequaes, etc., porm, sem-preprocurandoummodocompreensivode abordagemalmdameraapresentaode frmulas a serem memorizadas, nem mesmo atradicionaleamplamenteconhecidafr-mula de Bhaskara. Ainda que alguns dos ca-minhos sugeridos na apresentao dos temas no sejam os mais conhecidos, convidamos o colega professor para viajar conosco e temos a certeza de que ele vai apreciar a alternativa proposta.Qualquerquesejaocaminho,no entanto,osfatosfundamentaissobreafun-ode2-grautaiscomo:ascaractersti-cas do grfco, o signifcado dos coefcientes, adeterminaodasrazesdaequaocor-respondente, o estudo dos sinais da funo MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 60 4/8/09 3:56:01 PM61Matemtica - 1a srie - Volume 2devemserconhecidosdosalunosaofnal dessa Situao de Aprendizagem.NaSituaodeAprendizagem4,reserva-mos o espao para a soluo de alguns proble-mas clssicos envolvendo funes de 2- grau, sobretudoosquedizemrespeitoaquestes deotimizaoouaproblemasdemximose mnimos.Naturalmente,asatividadesapre-sentadas tm apenas o carter de exemplifcar: muitasoutraspoderoserpropostas,comf-nalidades anlogas. MAT_CP_1A_VOL2_AF.indd 61 4/8/09 1:52:35 PM62CONTEDOS DE MATEMTICA POR SRIE/BIMESTRE DO ENSINO MDIO1a- srie 2a- srie 3a- srie1o - bimestreNMEROS E SEquNciaS- Conjuntos numricos.-Regularidades numricas:sequncias.-Progresses aritmticas, progres-ses geomtricas; ocorrncias em diferentes contextos; noes de matemtica fnanceira.TRigONOMETRia- Arcos e ngulos; graus e radianos.-Circunferncia trigonomtrica: seno, cosseno, tangente.-Funes trigonomtricas e fenme-nos peridicos.-Equaes e inequaes trigonom-tricas.- Adio de arcos.gEOMETRia aNalTica-Pontos: distncia