a cp 1s vol1reduzido

5/8/2018 a Cp 1s Vol1reduzido - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/a-cp-1s-vol1reduzido 1/64

caderno doPROFESSOR

m

a t E m á t

i c a

ensino médio

volume 1 - 20091a

- SÉRiE



São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.Caderno do proessor: matemática, ensino médio - 1a série, volume 1 /

Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo

de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, RobertoPerides Moisés, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.

ISBN 978-85-7849-186-4

1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II.Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Pietropaolo, Ruy César.VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.

CDU: 373.5:51

S239c

GovernadorJos Serra

Vice-GovernadorAlberto Goldman

Secretária da EducaçãoMaria Helena Guimarães de Castro

Secretária-AdjuntaIara Gloria Areias Prado

Chee de GabineteFernando Padula

Coordenadora de Estudos e NormasPedagógicasValria de Souza

Coordenador de Ensino da RegiãoMetropolitana da Grande São PauloJos Benedito de Oliveira

Coordenadora de Ensino do InteriorAparecida Edna de Matos

Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDEFábio Bonini Simões de Lima

Coordenação do Desenvolvimento dos

Conteúdos Programáticos e dos Cadernos

dos Proessores

Ghisleine Trigo Silveira

AUTORES

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Filosofa: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton

Luís Martins e Renê José Trentin Silveira

Geografa: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu

Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,

Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva,

Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e

Raquel dos Santos Funari

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza

Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,

Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina

Schrijnemaekers

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo

Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene

Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta

Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,

Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso

Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina

Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,

Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida

Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria

Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo

Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,

Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,

Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,

Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã

Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de

Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de

Oliveira, Maxwell Roger da Purifcação Siqueira

e Yassuko HosoumeQuímica: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de

Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença

de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,

Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda

Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins eSayonara Pereira

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,

Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz SanchesNeto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzirada Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora MalletPezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,José Luís Marques López Landeira e João HenriqueNogueira Mateos

Matemática

Matemática: Nílson José Machado, CarlosEduardo de Souza Campos Granja, José LuizPastore Mello, Roberto Perides Moisés, RogérioFerreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo eWalter Spinelli

Caderno do GestorLino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika deFelice Murrie

Equipe de Produção

Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza

Assessores: Alex Barros, Antonio CarlosCarvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, ElianeYambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, JoséCarlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa PiresTavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto daCunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, SolangeWagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti

Equipe Editorial

Coordenação Executiva: Angela Sprenger

Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza DesignGráfco e Occy Design (projeto gráfco)

APOIOFDE – Fundação para o Desenvolvimento daEducação

CTP, Impressão e AcabamentoImprensa Ofcial do Estado de São Paulo

EXECUÇÃO

Coordenação Geral

Maria Inês Fini

Concepção

Guiomar Namo de Mello

Lino de Macedo

Luis Carlos de Menezes

Maria Inês Fini

Ruy Berger

GESTÃO

Fundação Carlos Alberto Vanzolini

Presidente do Conselho Curador:Antonio Raael Namur Muscat

Presidente da Diretoria Executiva:Mauro Zilbovicius

Diretor de Gestão de Tecnologiasaplicadas à Educação:Guilherme Ary Plonski

Coordenadoras Executivas de Projetos:Beatriz Scavazza e Angela Sprenger

COORDENAÇÃO TéCNICA

CENP – Coordenadoria de Estudos e NormasPedagógicas

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais

secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*

deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não

estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

Catalogação na Fonte: Centro de Reerência em Educação Mario Covas



Preado(a) proessor(a),

Dando coninidade ao rabalho iniciado em 2008 para aender a ma das

prioridades da área de Edcao nese governo – o ensino de qualidade–, enca-

minhamos a você o maerial preparado para o ano leivo de 2009.

As orienaões aqi conidas incorporaram as sgesões e ases sgeridos

pelos proessores, advindos da experiência e da implemenao da nova pro-

posa em sala de ala no ano passado.

Rearmamos a imporância de se rabalho. O alcance desa mea é concre-iado essencialmene na sala de ala, pelo proessor e pelos alnos.

O Caderno do Proessor oi elaborado por compeenes especialisas na área

de Edcao. Com o coneúdo organiado por disciplina, oerece orienao

para o desenvolvimeno das Siaões de Aprendiagem proposas.

Esperamos qe você aproveie e implemene as orienaões didáico-peda-

gógicas aqi conidas. Esaremos aenos e pronos para esclarecer dúvidas o

dicldades, assim como para promover ases o adapaões qe amenem

a ecácia dese rabalho.

Aqi esá nosso novo desao. Com deerminao e compeência, ceramen-

e iremos vencê-lo!

Conamos com você.

Maa Heea Gmaes e CasSecreária da Edcao do Esado de So Palo



SuMário

S Pa a esca – uma Ppsa Cca paa Esa 5

Fcha Cae 7

oea gea sbe s Caes 8

Saes e Apeagem 11

Siao de Aprendiagem 1 – Connos nméricos – Reglaridades nméricas e/o geoméricas 11

Siao de Aprendiagem 2 – Progressões ariméicas o progressões geoméricas 22

Siao de Aprendiagem 3 – Soma dos ermos de ma PA o de ma PG nia – aplicaões à Maemáica Financeira 36

Siao de Aprendiagem 4 – Limie da soma dos innios ermos de ma

PG innia 51

Orienaões para Recperao 58

Recrsos para ampliar a perspeciva do proessor e do alnopara a compreenso do ema 59

Cseaes fas 60

Ceús e Maemca p sée/bmese Es Mé 61



São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Preado(a) proessor(a),

É com mia saisao qe apreseno a odos a verso revisa dos Cadernos do

Proessor, pare inegrane da Proposa Crriclar de 5a a 8a séries do Ensino Fn-

damenal – Ciclo II e do Ensino Médio do Esado de So Palo. Esa nova verso

ambém em a sa aoria, ma ve qe incli sas sgesões e críicas, apresenadas

drane a primeira ase de implanao da proposa.Os Cadernos oram lidos, analisados e aplicados, e a nova verso em agora a medida

das práicas de nossas salas de ala. Sabemos qe o maerial caso excelene impaco

na Rede Esadal de Ensino como m odo. No hove discriminao. Críicas e sges-

ões srgiram, mas em nenhm momeno se considero qe os Cadernos no deveriam

ser prodidos. Ao conrário, as indicaões vieram no senido de apereioá-los.

A Proposa Crriclar no oi comnicada como dogma o aceie sem resrio.

Foi vivida nos Cadernos do Proessor e compreendida como m exo repleo de sig-

nicados, mas em consro. Isso provoco ases qe incorporaram as práicas econsideraram os problemas da implanao, por meio de m inenso diálogo sobre o

qe esava sendo proposo.

Os Cadernos dialogaram com se público-alvo e geraram indicaões preciosas

para o processo de ensino-aprendiagem nas escolas e para a Secrearia, qe geren-

cia esse processo.

Esa nova verso considera o “empo de discsso”, ndamenal à implanao

da Proposa Crriclar. Esse “empo” oi compreendido como m momeno único,

gerador de novos signicados e de mdanas de ideias e aides.

Os ases nos Cadernos levaram em cona o apoio a movimenos inovadores, no

conexo das escolas, aposando na possibilidade de desenvolvimeno da aonomia

escolar, com indicaões permanenes sobre a avaliao dos criérios de qalidade da

aprendiagem e de ses reslados.



6

Sempre é oporno relembrar qe os Cadernos espelharam-se, de orma obeiva,

na Proposa Crriclar, reerência comm a odas as escolas da Rede Esadal, reve-

lando ma maneira inédia de relacionar eoria e práica e inegrando as disciplinas

e as séries em m proeo inerdisciplinar por meio de m enoqe losóco de Ed-

cao qe deni coneúdos, compeências e habilidades, meodologias, avaliao e

recrsos didáicos.

Esa nova verso dá coninidade ao proeo políico-edcacional do Governo de

So Palo, para cmprir as 10 meas do Plano Esadal de Edcao, e a pare das

aões proposas para a consro de ma escola melhor.

O so dos Cadernos em sala de ala oi m scesso! Eso de parabéns odos os qe

acrediaram na possibilidade de mdar os rmos da escola pública, ransormando-a

em m espao, por excelência, de aprendiagem. O obeivo dos Cadernos sempre será

apoiar os proessores em sas práicas de sala de ala. Posso dier qe esse obeivo oi

alcanado, porqe os docenes da Rede Pública do Esado de So Palo eram dos

Cadernos m insrmeno pedagógico com vida e reslados.

Cono mais ma ve com o ensiasmo e a dedicao de odos os proessores, para

qe possamos marcar a Hisória da Edcao do Esado de So Palo como sendo

ese m período em qe bscamos e consegimos, com scesso, reverer o esigma qe

peso sobre a escola pública nos úlimos anos e oerecer edcao básica de qalidade

a odas as crianas e ovens de nossa Rede. Para nós, da Secrearia, á é possível aneveresse scesso, qe ambém é de vocês.

Bom ano leivo de rabalho a odos!

Maa iês FCoordenadora Geral

Proeo So Palo Fa Escola



Ficha do caderno

Seqêcas mécas

nm sp: Matemática

Á: Matemática

etp u ás: Ensino Médio

Sé: 1a

Pí tv: 1o bimestre de 2009

Tms tús: Conjuntos numéricos: regularidades numéricas

e/ou geométricas

Progressões aritméticas e progressões geométricas

Soma dos termos de uma PA ou de uma

PG fnita: aplicações à Matemática Financeira

Limitedasomados termosdeumaPGinfnita



8

oras. Insisimos, no enano, no ao deqe somene o proessor, em sa circns-

ância pariclar, e levando em considera-

o se ineresse e o dos alnos pelos emas

apresenados, pode deerminar adeqada-

mene qano empo dedicar a cada ma

das nidades.

Ao longo dos Cadernos so apresenadas,

além de ma viso panorâmica do coneúdo

do bimesre, qaro Siaões de Aprendia-gem (1, 2, 3 e 4) qe preendem ilsrar a or-

ma de abordagem sgerida, insrmenando

o proessor para sa ao na sala de ala. As

aividades so independenes e podem ser ex-

ploradas pelos proessores com mais o me-

nos inensidade, segndo se ineresse e de

sa classe. Naralmene, em rao das limi-

aões no espao dos Cadernos, nem odas as

nidades oram conempladas com Siaõesde Aprendiagem, mas a expecaiva é de qe

a orma de abordagem dos emas sea explici-

ada nas aividades oerecidas.

So apresenados, ambém, em cada Ca-

derno, sempre qe possível, maeriais disponí-

veis (exos, sotwares, sites e vídeos, enre o-

ros) em sinonia com a orma de abordagem

proposa, qe podem ser iliados pelo pro-

essor para o enriqecimeno de sas alas.

Compõem o Caderno, ainda, algmas con-

sideraões sobre a avaliao a ser realiada,

bem como o coneúdo considerado indispen-

sável ao desenvolvimeno das compeências

esperadas no presene bimesre.

Os emas escolhidos para compor o coneú-do disciplinar de cada bimesre no se aas-

am, de maneira geral, do qe é salmene

ensinado nas escolas o do qe é apresenado

pelos livros didáicos. As inovaões preen-

didas reerem-se à orma de abordagem dos

mesmos, sgerida ao longo dos Cadernos de

cada m dos bimesres. Em al abordagem,

bsca-se evidenciar os princípios noreadores

do presene crríclo, desacando-se a conex-

aliao dos coneúdos e as compeências

pessoais envolvidas, especialmene as relacio-

nadas com a leira e a escria maemáica,

bem como os elemenos clrais inernos e

exernos à Maemáica.

Em odos os Cadernos, os coneúdos eso

organiados em oio nidades de exensões

aproximadamene igais, qe podem cor-

responder a oio semanas de rabalho leivo.

De acordo com o número de alas disponíveis

por semana, o proessor explorará cada as-

sno com mais o menos aprondameno,

o sea, escolherá ma escala adeqada para

o raameno de cada m deles. A criério do

proessor, em cada siao especíca, o ema

correspondene a ma das nidades pode ser

esendido para mais de ma semana, enqan-

o o de ora nidade pode ser raado de

modo mais simplicado.

É deseável qe o proessor ene conem-

plar odas as oio nidades, ma ve qe,

nas, compõem m panorama do coneúdo

do bimesre, e, mias vees, ma das ni-

dades conribi para a compreenso das

orienTação geral Sobre oS cadernoS



Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Ceús bscs bmese

A abordagem dos conceios dese 1o bimes-

re da 1a série, relaivos ao bloco Númerose Seqências, prioriará aspecos conside-

rados ndamenais para a compreenso de

algns dos dierenes signicados dos con-

ceios envolvidos.

O primeiro aspeco do qal preendemos

ressalar a imporância para ese esdo re-

ere-se ao reconhecimeno da reglaridade

envolvida na consro de seqências n-

méricas o de seqências geoméricas. Paraano, propomos qe o início do rabalho se

dê com a reomada das caracerísicas dos

connos nméricos, a m de qe os al-

nos percebam, por m lado, a reglaridade

do conno dos números narais e dos

números ineiros e, por oro, a qeso da

densidade dos números reais. Parindo do

conhecimeno desses connos, esperamos

qe os alnos possam relacionar a regla-

ridade dos números narais à de oras se-

qências nméricas e ambém geoméricas,

idenicando essa reglaridade, sempre qe

possível, por inermédio de ma eqao

maemáica. Para ano, apresenamos, na

Sa e Apeagem 1 – Cjs

mécs; egaaes mécas e/ ge

mécas, ma série de siaões-problema

exemplares, para qe o proessor possa op-

ar pela iliao oal o parcial no iníciode se rabalho.

Parindo do princípio de qe os alnos

devem reconhecer a reglaridade de seqên-

cias nméricas de qalqer narea e es-

crever eqaões maemáicas qe reliam

a reglaridade observada, lgamos impor-

ane qe no seam raadas de maneiras

compleamene disinas as seqências ari-

méicas e as seqências geoméricas, como

se cosma observar nos livros didáicos.

Essa proposa de abordagem simlânea

dos dois ipos mais comns de seqências,

as PAs e as PGs esá conemplada na Sa

e Apeagem 2 – Pgesses amé

cas pgesses gemécas e permie,

ao nosso ver, qe o oco do raameno

conceial se desloqe do ormalismo algé-

brico para a consro do signiicado reale imporane das caracerísicas da regla-

ridade de cada seqência.

Progressões ariméicas o geoméricas

eso presenes em várias siaões conex-

aliadas, conorme algns modelos apre-

senados na Siao de Aprendiagem 2, e

no cosmam raer diicldades adicio-

nais de compreenso para os alnos. Den-

re as inúmeras aplicaões desse coneúdo,desacamos especialmene ma, na Sa

e Apeagem 3 – Sma s ems

e ma PA e ma PG a; apcaes

à Maemca Facea, qando propo-

mos qe problemas clássicos de cálclos

de ros e de monanes envolvidos em

processos de capialiao o amoria-

o componham o conexo possível para

o raameno da soma de m número ini-

o de ermos de ma PA o de ma PG.Para o desenvolvimeno das aividades qe

compõem essa Siao de Aprendiagem,

conorme siicaremos adiane, lgamos

ndamenal qe os alnos possam dispor

de calcladoras.



10

O conceio de innio, de sma impor-

ância em Maemáica, cosma ser basane

moivador para o esdo de algns concei-

os, desde as séries iniciais, qando os alnosomam conao com a ideia do “mais 1”, qe

cond à consro do campo nmérico

dos narais. A ideia da qanidade inni-

a de números exisene enre dois números

reais, como 1 e 2, por exemplo, é algo qe

parece inicialmene esranho para nossos

alnos, mas pode, poco a poco, rmar-se

como m conceio ndamenal da Maemáica,

dependendo das dierenes abordagens qedesinamos ao conceio drane oda a es-

colaridade. Nessa perspeciva, iso é, com

o obeivo de qe os esdanes consram,

gradal e lenamene, o conceio de limie

de ma no, no devemos perder opor-

nidades qe sram drane nossas alas

para, de maneira apropriada ao momeno,

abordar a ideia de limie. É nesse conexo

qe propomos a realiao da seqência

de aividades qe compõem a Sa e

Apeagem 4 – lme a sma s f

s ems e ma PG fa, drane a

qal o oco esará sempre colocado sobre o

conceio de limie, em derimeno de dicl-

dades de narea algébrica.

A organiao do rabalho do bimesre,

com base nas consideraões aneriores, pode

ser eia nas oio nidades segines, reeren-

es, aproximadamene, a oio semanas.

Qa gea e ceús 1 bmese a 1a sée Es Mé

uae 1 – Seqências nméricas e/ogeoméricas; idenicao e regisro dareglaridade.

uae 2 – Progressões ariméicas eprogressões geoméricas – ermo geral e

aplicaões.uae 3 – Progressões ariméicas eprogressões geoméricas – ermo geral eaplicaões.

uae 4 – Soma dos ermos de ma PAo de ma PG nia.

uae 5 – Soma dos ermos de ma PA ode ma PG nia – aplicaões à MaemáicaFinanceira.

uae 6 – Soma dos ermos de ma PA o

de ma PG nia – aplicaões à MaemáicaFinanceira.

uae 7 – Limie da soma dos ermos dema PG innia.

uae 8 – Limie da soma dos ermos dema PG innia.




SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1CONjuNtOS NuMÉRICOS; REGuLARIDADES NuMÉRICASE/Ou GEOMÉtRICAS

re paa apca a Sae Apeagem 1

Na 1a série do Ensino Médio, é bem pro-

vável qe os alnos conheam os connos

nméricos, Narais, Ineiros, Racionaise Reais, e é provável, ambém, qe ragam

consrída a ideia preliminar da relao en-

re dois sbconnos desses connos, co-

nhecimeno ese qe é a base do conceio de

no. Se a premissa é verdadeira, cabe ao

proessor relembrar aos alnos algmas ca-

racerísicas desses connos, com o obeivo

de consrir a base para a apresenao, pos-

erior, das leis de ormao das seqências

nméricas. Caso a premissa no sea verda-

deira, iso é, se os alnos no conhecem com

qalidade os connos nméricos, convém

qe o proessor apresene a eles, ormalmen-

e, cada conno (N, z, Q e R), anes de ini-ciar a aplicao da Eapa 1.

Conhecidos os connos nméricos, os al-

nos podero reconhecer qe, na maioria das

vees, ma seqência ordenada de números

pode ser idenicada por inermédio de ma

senena maemáica qe relaciona m nú-

mero naral a m número real. Essa ideia é

ndamenal para o esdo das relaões de

dependência enre m par de grandeas, o,

em oros ermos, para o esdo das nões.

Nesa Siao de Aprendiagem, explora-

remos, inicialmene, na Etapa 1, a consrção

dos conjnos nméricos e algmas de sas

propriedades. Em segida, apresenaremos

algmas seqências, em qe será possível a

idenifcação de deerminados padrões de re-

glaridades, e pediremos qe os alnos descre-

vam, em línga maerna, a reglaridade qe

idenicam. Isso eio, o próximo passo será pe-

dir qe os alnos enconrem ermos scessivos

dessas seqências, caso elas manenham a reg-

laridade observada. Completando a primeira

temp pevs: 1 semana.

Ceús e emas: connos nméricos; seqências nméricas e/o geoméricas; ermo geral de seqên-cias nméricas.

Cmpeêcas e habaes: ober seqências nméricas a parir do conhecimeno de se ermo geral;ober o ermo geral de ma seqência nmérica a parir da idenicao da reglaridade exisene;reconhecer a exisência o no de padrões de reglaridades em seqências nméricas o geoméricas;

iliar a lingagem maemáica para expressar a reglaridade dos padrões de seqências nméricaso geoméricas.

Esaégas: resolo de exercícios exemplares.

SituAçõES dE APrEndizAGEM



12

etapa, os alunos serão convidados a exprimir

a reglaridade observada, por inermédio de

uma sentença matemática.

Realiada a eapa inicial, proporemos, na

Eapa 2, qe os alnos obenham seqências

nméricas a parir de condiões dadas em lín-

ga maerna o em lingagem maemáica e,

ainda, qe obenham ermos deerminados de

algmas dessas seqências.

Eapa 1 – obseva paese egaaes

Inicialmene, recomendamos qe o pro-

essor lise o conno dos números narais

e dos números ineiros para, em segida, pedir

qe ideniqem algns sbconnos descri-

os por inormaões comnicadas em línga

maerna, como, por exemplo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Qais so os elemenos do conno nmé-

rico assim ormado:

a) números narais menores do qe 7.

b) números narais maiores o igais a 8.

c) números ineiros menores do qe 7 e

maiores do qe –2.

) números ineiros co valor absolo émenor do qe 4.

Em segida, após a exposio desses e

de oros exemplos qe o proessor lgar

apropriados, poderá ser pedido qe os alnos

ranscrevam as inormaões comnicadas em

línga maerna para a lingagem maemáica.

No caso dos exemplos aneriores, eríamos:

a) {x ∈ N / x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b) {x ∈ N / x ≥ 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.

c) {x ∈ z / – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4,5, 6}.

) {x ∈ z / |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.

Discidos algns casos, como exemplica-

do, recomendamos qe os alnos se envolvam

na resolo dos segines problemas:

Pbema 1

Dados os connos segines, descrios em

lingagem coidiana, enconre, em cada caso,

ses elemenos e rada a descrio dada

para a lingagem maemáica.

a) O conno A é ormado por númerosnarais maiores do qe 4 e menores oigais a 11.

{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

b) O conno B é ormado por númerosnarais menores o igais a 6.

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

c) O conno C é ormado por númerosineiros maiores o igais a –3 e menoresdo qe 5.

{–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.




d) O conjunto D é ormado por números

inteiros maiores ou iguais a –2.

{–2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Problema 2

Quais são os cinco menores números que

pertencem a cada um dos seguintes conjuntos?

a) E é o conjunto dos números naturais

que são divisíveis por 4.

E = {0, 4, 8, 12, 16}.

b) F é o conjunto dos números naturais

ímpares maiores do que 7.

F = {9, 11, 13, 15, 17}.

c) G é o conjunto dos números inteiros

que, elevados ao quadrado, resultam em

um número menor do que 10.

G = { –3, –2, –1, 0, 1}.

d) H é o conjunto dos números naturais que,

quando dobrados e somados a 1, resul-

tam em um número maior do que 7.

H = {4, 5, 6, 7, 8}.

Após a resolução desses e de outros proble-

mas de mesma natureza, convém questionar

os alunos sobre como descrever, em linguagem

matemática, os conjuntos E, F, G e H do Pro-

blema 2. O desafo pode ser lançado aos alu-

nos a fm de que seja verifcada a compreensão

que podem ou não ter conseguido da atividade.

Embora possam ser aceitas dierentes respostas,

caberá ao proessor avaliar aquelas que apre-

sentam maior grau de correção, valorizando-

as. De qualquer maneira, apresentamos, a

seguir, possíveis respostas corretas.

E = {4n, sendo n ∈N, e n < 5}.

F = {2n + 1, sendo n ∈N, e 4 ≤ n ≤ 8}.

G = {x ∈ Z / –4 < x < 2}.

H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈N, e n < 9}.

A resolução e a discussão desses problemas

iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir

a notação apropriada para a designação de

termos de uma sequência numérica. Todavia,

antes que isso seja implementado (o que será

eito na Etapa 2), consideramos importante

que os alunos se detenham um pouco mais

na identifcação das regularidades de algu-

mas sequências.

A sequência dos números naturais é

construída, como sabemos, pelo acréscimode uma unidade a um termo já conhecido.

A fm de proporcionar aos alunos a oportu-

nidade de observar regularidades e perceber

que, muitas vezes, é possível construir uma

“receita” ou uma sentença que indique como

a sequência deve continuar, o proessor pode

apresentar tipos dierentes de sequências

para que os alunos observem as proprieda-

des de seus elementos e descubram a lei de

ormação, ou seja, o padrão utilizado para a

construção da sequência. Oriente-os a cons-

truir uma sentença algébrica que permita

calcular um termo qualquer, em unção de

sua posição na sequência (sequências, sob o

ponto de vista uncional).



14

Assim, ma possível abordagem desse ema

pode iniciar-se com a proposio de qesões

qe envolvam seqências repeiivas o no,

soliciando do esdane qe observe o padrode cada ma, escreva os próximos ermos e

deermine, por exemplo, o cenésimo ermo

da seqência.

1, 1, 1, 1, 1, ..., ..., ...f

1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ...f

5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, ...f

É imporane qe o proessor axilie os al-

nos na observao de qe, nessas seqências,

os moivos (períodos) so repeidos igalmen-

e – m elemeno o m grpo de elemenos

se repee periodicamene –, levando-os a per-

ceber qe essa caracerísica deve ser levada

em cona, na organiao dos dados, para a

idenicao do ermo soliciado.

As seqências grais ambém podem en-

riqecer o rabalho com a observao de re-

glaridades e generaliao de padrões. No

caso da seqência abaixo, o proessor pode,

por exemplo, soliciar qe o alno indiqe a

gra qe deve ocpar a 152a posio.

1 2 3 4

5 6 7 8

Para ano, o alno deverá perceber qe a

séima gra é igal à primeira, a oiava gra

é igal à segnda e assim por diane. O sea,

cada período é ormado por seis gras; por-ano, a 152a gra será igal à segnda, pois

ano o número 2 (qe indica a posio da se-

gnda gra) qano o número 152 (qe indica

a posio da 152a gra), qando divididos por

6, deixam reso 2.

Assim, o proessor poderá axiliar os al-

nos na conclso de qe as Figras 1, 7, 13,

19, ec. so odas igais à primeira gra, pois

os números 1, 7, 13, 19, ec., qando dividi-dos por 6, deixam reso 1. Do mesmo modo,

as Figras 3, 9, 15, 21, ec. so odas igais

à Figra 3, pois os números 3, 9, 15, 21, ec.,

qando divididos por 6, deixam reso 3 e as-

sim scessivamene.

A explorao de seqências repeiivas, n-

méricas o no, avorece a discsso sobre al-

gmas noões rabalhadas nas séries aneriores,

como múliplos, divisores e regras de divisibili-dade, e permie ma aproximao da noo de

congrência, ma ve qe rabalha com núme-

ros qe, divididos por m deerminado número

ineiro, apresenam o mesmo reso.

Realiada a discsso do exemplo propos-

o e de oros qe o proessor lgar apro-

priados, propomos qe os alnos resolvam os

segines problemas:

Pbema 3

Observe a seqência de gras:

1 2 3 4 5 6 7

...




Supondo que a lei de ormação continue a

mesma, desenhe as guras que deverão ocu-

par as posições 38a e 149a, nessa sequência.

Justique sua resposta.

A fgura que ocupa a posição 38 será a

mesma fgura da posição 2, pois a divisão

de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a

posição 149 será a mesma da posição 1, visto

que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.

Problema 4

Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça

a lei de ormação dessa sequência, determine

o 38o e o 149o termos dessa sequência.

O período é de cinco números. Assim, o

38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa

resto 3, e o terceiro termo da sequência é o

número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a

divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto

termo da sequência é o número 3.

Problema 5

Hoje é quarta-eira. Devo pagar uma dívi-

da exatamente daqui a 90 dias. Em que dia da

semana cairá o 90o dia?

O período é de sete dias. A divisão de 90

por 7 deixa resto 6; portanto o 90o dia será

o sexto elemento da sequência dos dias da

semana iniciada na quinta-eira. Logo, o

90o dia será terça-eira.

Problema 6

Um processo de reforestamento previa

a plantação de um número x de mudas de

árvores. No primeiro dia, oram plantadas

120 árvores, e planejou-se que, nos próximos

dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvores

a mais do que teria sido plantado no dia ante-

rior. Isso sendo eito,

a) quantas árvores serão plantadas no séti-

mo dia?

6 . 10 + 120 = 180 árvores.

b) qual é o número x, se, no nal do déci-

mo dia, havia-se plantado a metade do

total previsto inicialmente?

No décimo dia = 9 . 10 + 120 = 210⇒S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210

S = (120 + 210) . 5 = 1 650 (Metade do total)

Total de árvores = 1 650 . 2

x = 3300

Problema 7

Observe os seis primeiros termos de

uma sequência.

1 2 3 4

A

B

C

D

(I)

1 2 3 4

A

B

C

D

(II)

1 2 3 4

A

B

C

D

(III)

1 2 3 4

A

B

C

D

(IV)

1 2 3 4

A

B

C

D

(VI)

1 2 3 4

A

B

C

D

(V)



16

Spondo qe a reglaridade observada na

ormao desses ermos sea manida para a

ormao dos demais, iso é, qe o ermo (I)

sea igal ao ermo (VII), qe o ermo (II) seaigal ao ermo (VIII) e assim por diane,

a) qais qadríclas esaro pinadas noermo (XXX)?

O período da sequência é de seis termos. A

divisão de 30 por 6 resulta resto zero. Assim,

o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e

nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3,

D3 e D4.

b) qanas vees a qadrícla B2 erá sidopinada, desde o ermo (I) aé o ermo(XIX)?

A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada

período, nos termos (I), (III) e (IV). Até o

termo (XIX), incluindo-o, serão três períodos

e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2

será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.

Proessor, ma práica qe cosma mo-ivar os alnos e aproveiar, de orma maisinensa, ses conhecimenos aneriores ésoliciar-lhes qe, com base nas condiõesdesse problema, criem diversas qesões,para qe seam rocadas e resolvidas poreles mesmos, sob sa sperviso. Além dis-

so, esse ipo de aividade é m consiseneinsrmeno no esímlo à meacognio,iso é, esimla cada alno a refeir sobrecomo elabora e mobilia sas esraégias deraciocínio drane ma eapa de resolode problemas.

Eapa 2 – Seqêcas efas pseeas maemcas

Nesa eapa, os alnos sero convidados aober seqências nméricas a parir de condi-

ões denidas, inicialmene, na línga maerna

e, poseriormene, na lingagem maemáica.

Além disso, desenhando m percrso inverso

ao anerior, ma série de problemas será pro-

posa para qe os alnos obenham a expres-

so do ermo geral de deerminada seqência

nmérica. Propomos qe o exemplo segine

sea apresenado e discido com os alnos

anes qe eles se envolvam com a resolo

dos problemas propriamene dia.

Em ma seqência nmérica, o primeiro

ermo é ma rao de nmerador 1 e deno-

minador 4. Os ermos segines ao primeiro

podem ser obidos adicionando sempre ma

nidade ao nmerador e ao denominador da

rao do ermo imediaamene anerior.

a) Qais so os cinco primeiros ermosdessa seqência?

1

4 ,2

5 ,3

6 ,4

7 ,5

8.

b) Chamando o primeiro ermo de a1, o

segndo ermo de a2, o erceiro de a

3e

assim por diane, qano é a9?

9

12 .

c) Qano é a54

?

54

57 .




) Como se pode deerminar m ermo an

qalqer?

Um termo qualquer an

é uma ração em que

o numerador é igual a n e o denominador é 3

unidades a mais do que n, isto é, é igual a

n + 3. Assim, an

= n

n + 3.

Chamamos a aeno do proessor para

o ao de qe o conno de problemas desa

eapa envolve seqências nméricas de várias

nareas, e no apenas as ariméicas e as geo-

méricas, e ambém para a necessidade de os

alnos escreverem em línga maerna a reg-laridade expressa na lingagem maemáica.

Pbema 1

Em ma seqência nmérica, o primeiro

ermo é igal a 2, e os segines so obidos

a parir do acréscimo de 3 nidades ao ermo

imediaamene anerior. Nessa seqência:

a) qais so os cinco primeiros ermos?

(2, 5, 8, 11, 14).

b) qal é o a10

?

(29).

c) qal é o a20

?

(59).

) como se pode deerminar m ermo an

qalqer?

Somando o termo inicial, 2, a um certo

número de termos sempre iguais a 3. Para

obter um termo n qualquer, devemos somar o

primeiro termo, 2, com n – 1 termos iguais a

3. Assim, an

= 2 + 3 . (n – 1) = 3 . n – 1.

Outro raciocínio possível é o seguinte: como

o salto de um termo a outro é constante e

igual a 3, podemos supor que uma expressão

geral deva conter o termo 3 . n. Para que

a1

= 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3 . n.

Assim, an

= 3 . n – 1.

Pbema 2

Para ober os ermos de ma seqência n-

mérica, é necessário aer o segine:

1. Elevar a posio do ermo ao qadrado,

iso é, calclar 12 para o primeiro ermo,22 para o segndo ermo, 32 para o erceiro

ermo e assim por diane.

2. Adicionar das nidades ao reslado ob-

ido após elevar ao qadrado a posio

do ermo.

Para essa seqência nmérica:


(3, 6, 11, 18, 27).

b) qal é o oiavo ermo?

a8

= 8 2 + 2 = 66.

c) qal é o a20

?

a 20

= 20 2 + 2 = 402.


qalqer?

an

= n 2 + 2.



18

Pbema 3

Observe os cinco primeiros ermos da se-

gine seqência nmérica:3, 2,

5

3,

3

2,

7

5.

Veriqe qe é possível deerminar os er-

mos dessa seqência a parir da expresso

an

=n 2

n,

+aribindo a valores narais

maiores do qe ero.

Para n = 1 ⇒ a1

=1 + 2

1

= 3;

Para n = 2 ⇒ a 2

= 2 + 2

2= 2;

Para n = 3 ⇒ a3

=3 + 2

3=

5

3.

Pbema 4

A expresso an

=n 1

n 1

–

+é a expresso do

em gea de ma seqência nmérica, iso é,os ermos da seqência podem ser obidos, se

orem aribídos a valores narais maiores

do qe ero. Para essa seqência, enconre:

a) a1

a1

=1 – 1

1 + 1= 0.

b) a5

a5

=5 – 1

5 + 1=

4

6=

2

3.

c) o oiavo ermo

a8

=8 – 1

8 + 1=

7

9.

) a posio do ermo qe é igal a9

11.

O termo 911

pode ser escrito como 1 0 – 11 0 + 1

.

Portanto, ele é o décimo termo.

Pbema 5

uma deerminada seqência nmérica em

a1

= 9, a2

= 3, a3

= 1 e a4

=1

3. Nessa seqência,

qal é:

a) o qino ermo?

Cada termo da sequência, a partir do

segundo, é obtido pela divisão do anterior

por 3. Assim, o quinto termo será igual a

1

3÷ 3 =

1

9.

b) o a6?

a6

= a5

÷ 3 =1

9÷ 3 =

1

27 .

c) a posio do ermo qe é igal a1

81?

Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e1

27 é o sexto

termo,1

81é o sétimo termo.

Pbema 6

Qal das das expressões lisadas a segir

é a expresso do ermo geral da seqência do

exercício anerior? (Lembre-se qe é o nú-

mero qe dá a posio do ermo na seqência,




isto é, se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5,

emos o qino ermo e assim por diane.)

an =9

3n an = 33 – n

O termo geral da sequência é an

= 33 – n, que

poderá ser verifcado a partir da substituição

de n por números naturais maiores do

que zero.

Pbema 7

A seqência dos números pares posiivos é

esa: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...Nessa seqência:

a) qal é o décimo ermo?

O décimo termo é 18.

b) qal é o 15o ermo?

O 15o termo é 28.

c) qal é o a35?

a35

= 68.

) qal é o a101

?

a101

= 200.

e) qal é a posio do ermo qe é igal a420?

420 é o 211o termo.


qalqer?

Fazendo (n – 1) . 2, sendo n um número

natural maior do que zero.

Pbema 8

Escreva os cinco primeiros ermos da seqên-

cia dos números ímpares posiivos.

1, 3, 5, 7, 9...

Nessa seqência:

a) qal é o décimo ermo?

a10

= 19.

b) qal é o a13

?

a13

= 25.

c) qal é o a25

?

a 25

= 49.


qalqer?

Fazendo 2 . n – 1, em que n é um número

natural maior do que zero.

Pbema 9

Observe a seqência nmérica 1, 4, 9, 16,

25, ... Nessa seqência, qal é:

a) o sexo ermo?

O sexto termo é 6 2 = 36.

b) o a7?

a7

= 7 2 = 49.

c) a expresso de se ermo geral?

an

= n 2.



20

Pbema 10

uma seqência nmérica é dada pelo se-

gine ermo geral:

an

= n + 1

Para essa seqência, deermine:

a) os cinco primeiros ermos.

2 3 2 5 6, , , , .

b) os cinco primeiros ermos qe seam nú-meros ineiros.

Os cinco primeiros termos representados

por números inteiros serão aqueles em que o

radicando é um quadrado pereito.

a3

= 2 a8

= 3 a15

= 4 a 24

= 5 a35

= 6

Pbema 11

Observe a seqência de gras.

Responda:

a) Qanos qadrinhos brancos deverá era sexa gra dessa seqência?

30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.

b) Escreva ma órmla qe permia cal-clar a qanidade de qadrinhos bran-cos, em no da posio n da gra

na seqência. (Sgeso: você pode or-ganiar os dados em ma abela como aqe sege.)

c) Qanos qadrinhos brancos deverá era 39a gra dessa seqência?

39² – 39 = 1 482 = 39 . 38.

Pbema 12

A segir, eso os primeiros elemenos de

ma seqência de gras qe represenam os

chamados números qadranglares. Analise-os e responda às qesões proposas.

1 2 3 4 5

a) Qanos qadrinhos deverá er o sexoelemeno dessa seqência? E o décimo

ermo?

36; 100.

b) Escreva a expresso do ermo geral des-sa seqência.

n².

Ps afga aseqêca

núme eqahs

pes

núme e qa hs bacs

1 1 0

2 2 2² – 2

3 3 3² – 3

4 4 4² – 4

n n n² – n = n . (n – 1)




Pbema 13

Observe a gra:

1 3 5 7 9

Nessa represenao, os números escrios

logo abaixo da gra indicam a qanidade

de qadrinhos de cada m desses connos.

Sendo assim, responda:

a) qal é a soma dos números escriosabaixo da qina gra?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

b) qe relao pode ser esabelecida enreesse reslado e a gra analisada?

A soma dos números escritos abaixo da fgura

é igual ao total de quadrinhos que ormam a

fgura. Os números escritos abaixo da fgura

são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua

soma é 25. O total de quadrinhos da fgura

é 5² = 25.

c) ilie os reslados de sas observaõespara deerminar, sem eear a adio,o reslado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 + 15.

8² = 64.

Pbema 14

Observe as linhas compleas da abela e

complee as qe esiverem em branco.

A desc

1 + 3 = 4 = 2²

A soma dos doisprimeiros númerosímpares é igal aoqadrado de 2.

1 + 3 + 5 = 9 = 3²

A soma dos rêsprimeiros númerosímpares é igal ao

qadrado de 3.

1 + 3 + 5 + 7 =16 = 4²

A soma dos quatro

primeiros números

ímpares é igual ao

quadrado de 4.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =25 = 5²

A soma dos cinco

primeiros números

ímpares é igual ao

quadrado de 5.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 +...+ 2 . n – 1 +...= n²

A soma dos n

primeiros númerosímpares é igual a n 2.

Cseaes sbe a avaa

A Siao de Aprendiagem 1 abordo a

reglaridade nmérica, e ambém geomérica,

observada em algmas seqências. Além dis-

so, inrodi a ideia de qe é possível ober

ma seqência nmérica a parir de ma re-

lao maemáica esabelecida enre m con-

no discreo (narais) e m conno de

qalqer narea. So esses, pois, os elemen-

os imporanes a serem avaliados. Para ano,

sgerimos qe o proessor elabore momenos

de avaliao qe conemplem:



22

a obeno de ermos de maiores ordens def

ma seqência, a parir do conhecimeno

dos primeiros ermos;

a deerminao do ermo geral de seqên-f

cias nméricas, desde qe esses ermos ge-

rais se baseiem em expressões conhecidas

pelos alnos, como, por exemplo, expres-

sões do ipo a . x + b o a . x2 + b.

Salienamos, ambém, a imporância de

qe as avaliaões no se resrinam a siaões

individais. Em algns momenos, pode-se

conemplar a possibilidade de qe os alnos

conslem se maerial de ala e, em oros,

ses colegas de grpo. Desacamos, por m,o ao de qe m rabalho com caracerís-

icas essencialmene indivas, como é o

caso dos emas desenvolvidos nese Cader-

no, esimla sobremaneira a discsso e a

omada de decisões, sicando, dessa or-

ma, a inclso de insrmenos de avaliao

no individais.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2PROGRESSÕES ARItMÉtICAS Ou PROGRESSÕES

GEOMÉtRICAS

temp pevs: 2 semanas.

Ceús e emas: progressões ariméicas e progressões geoméricas; expresso do ermo geral da PA

e da PG.

Cmpeêcas e habaes: reconhecer o padro de reglaridade de ma seqência ariméica o dema seqência geomérica; iliar a lingagem maemáica para expressar a reglaridade dos padrõesde seqências nméricas.



As sequências aritméticas ou geométricas

so basane esdadas, no Ensino Médio,

por vários moivos, sendo m deles a poca

exigência algébrica, e oro moivo a acili-

dade de padroniar os conceios por iner-

médio de órmlas maemáicas.

A baixa exigência algébrica envolvida, es-

pecialmene no esdo das PAs, deve ser, de

ao, valoriada, em derimeno de exercícios

sem qalqer conexo, qe exiam a escria

de eqaões complexas. Enaiamos, poran-

o, qe se prioriem o desenvolvimeno dos

coneúdos e a apresenao de siaões-pro-

blema, sob o prisma do reconhecimeno da

reglaridade da seqência e da generaliao




iniiva do ermo geral, colocando em se-

gndo plano, porano, a simples sbsii-

o de valores em órmlas decoradas.

Oro aspeco qe merece comenário é o

ao de qe, em geral, as PAs e as PGs so

raadas de modo independene, ma a cada

empo, e, em primeiro lgar, sempre vêm as

PAs e, depois, as PGs.

No enano, vale desacar o ao de qe

o raciocínio principal envolvido em m

o em oro ipo de seqência é o mesmo,

o sea, m valor consane é o passo qepermie ober m ermo a parir do ane-

rior. O ao de qe, em m caso, esse passo

é adicionado, enqano, no oro, é ml-

iplicado é algo qe compõe o raciocínio

secndário do esdo, co reconhecimen-

o no cosma raer qalqer diicldade

adicional aos alnos.

Dessa orma, apresenaremos, a segir,

ma série de problemas exemplares, com-posos, em algns casos, por PA, em o-

ros, por PG e, em oras siaões, pelos

dois ipos de seqências. Sgerimos qe

seam proposos aos alnos na ordem em

qe aparecem.

O Problema 1 pode er a resolo solicia-

da sem nenhm comenário prévio. Drane

os comenários da correo, o proessor pode-

rá valoriar as diversas maneiras de resoloqe evenalmene srgirem. um ipo de re-

solo imporane, qe poderá ser levanado

pelo proessor, caso no sra dos alnos, é

aqele qe considera o passo de cada seqência

como parcela o aor consane no momeno

da escria da expresso do ermo geral da

seqência. Por exemplo, no caso da seqên-

cia (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo consane

é 4, qe, adicionado a cada ermo, permie qese obenha o segine. Nesse caso, a expresso

do ermo geral deverá coner, necessariamen-

e, m ermo do ipo 4 . . Compreendido isso,

pode-se pensar da segine maneira:

Esse mesmo ipo de raciocínio pode ser

aplicado na deerminao do ermo geral dema PG. Na seqência (2, 6, 18, 54, ...), por

exemplo, o passo consane é 3, qe, qando

mliplicado a algm ermo, resla no ermo

imediaamene segine. Assim, se sempre se

mliplica por 3, o ermo geral da seqência

Para n = 1, o reslado deve ser igal

a 5, qe é o primeiro ermo da seqên-cia. No enano, ao aer 4 . n o 4 . 1, o

reslado obido é 4. Sendo assim, ainda

ala ma nidade para ser obido o pri-

meiro ermo. Logo, o ermo geral pode

ser ese:

an

= 4 . n + 1

tesando essa expresso para oros

termos, verifcamos que ela é válida, pois:

a2= 4 . 2 + 1 = 9

a3

= 4 . 3 + 1 = 13

Logo, o ermo geral da seqência é

mesmo an

= 4 . n + 1.



24

deve coner 3. A parir do enendimeno des-

sa reglaridade, pode-se pensar qe:

Para n = 1, o reslado deve ser igal

a 2, qe é o primeiro ermo da seqência.

No enano, ao aer 3n o 31, obemos 3,

e no 2. Logo, deve haver mais m aor

na expresso, a m de qe o reslado

esperado sea obido. Esse aor é2

3,

pois 3 .2

3= 2. Eno, o ermo geral da

seqência deve ser ese:

an

= 23

. 3n

tesando essa expresso para oros

ermos, vericamos qe ela é válida, pois:

a2

=2

3. 32 =

18

3= 6

a3

=2

3. 33 =

54

3= 18

Logo, o ermo geral da seqência

é mesmo an

2

3. 3n, qe, simplicando,

pode ser escrio an

= 2 . 3n – 1.

oro ipo de raciocínio, nem mesmo esse qe

descrevemos há poco. Caberá a cada alno

escolher o raciocínio qe considera mais ade-

qado, e caberá ao proessor discir odos osraciocínios qe srgirem, apresenando prós

e conras de cada m, no senido de ornecer

elemenos para qe os alnos possam renar

sas esraégias iniciais.

Pbema 1

Considere as seqências de (I) a (VI) para

responder às qesões proposas.(i) (0, 3, 6, 9, 12, ...)

(ii) (1, 4, 7, 10, 13, ...)

(iii) (2, 5, 8, 11, 14, ...)

(iV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)

(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)

(Vi) (1, 4, 16, 64, 256, ...)

a) Escreva os rês ermos segines de cadama dessas seqências.

(I) 15, 18, 21.

(II) 16, 19, 22.

(III) 17, 20, 23.

(IV) 64, –128, 256.

(V) 1,0; 1,2; 1,4.

(VI) 1 024, 4 096, 16 384.

b) É verdade qe o algarismo 8 no apa-rece em nenhm número da seqência(II)? jsiqe.

Não, pois o algarismo 8 aparece no termo

28, que é o décimo termo da sequência.

É esperado, nessa Siao, qe algns

alnos adoem procedimeno semelhane ao

adoado para a PA, iso é, aer 3n e, em segi-

da, sbrair ma nidade, a m de qe 31 – 1

coincida com o primeiro ermo da seqência.

Nesse caso, caberá ao proessor pedir qe osalnos apliqem a “órmla” obida para os

demais ermos da seqência, qando, eno,

percebero o eqívoco do raciocínio adoado.

Salienamos, novamene, qe no é con-

veniene ormalizar a adoção de m o




c) É possível que um mesmo número natu-ral apareça em duas das três primeirassequências? Justifque.

Não, pois a sequência (I) é formada

apenas por números que, divididos por

3, deixam resto zero; a sequência (II) é

formada apenas por números que, divididos

por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é

formada apenas por números que, divididos

por 3, deixam resto 2. Como a divisão

por um número natural diferente de zero

(divisão euclidiana) não pode apresentardois restos distintos, não é possível que

um mesmo número apareça em duas

dessas sequências.

d) O número 1 087 é um termo de qual(is)sequência(s)?

O número 1 087 é um termo da sequência

(II), pois a divisão de 1 087 por 3 deixa

resto 1, e é também elemento da sequência

(V), uma vez que é múltiplo de 0,2.

e) Mostre que o número 137 não pertenceà sequência (II).

A sequência (II) é formada apenas por

números que, divididos por 3, deixam resto

1. Logo, o 137 não é termo da sequência

(II), pois a divisão de 137 por 3 deixa

resto 2.

f) Escreva o termo geral da sequência (I).

an

= 3 .(n – 1), n ∈N*.

g) Escreva o termo geral da sequência

(II).

an

= 3 . n – 2, n ∈N*.

h) Escreva o termo geral da sequência

(III).

an

= 3 . n – 1, n ∈N*.

i) Escreva o termo geral da sequência

(IV).

an

= (– 2)n, n ∈N*.

j) Escreva o termo geral da sequência

(V).

an

= 0,2 . n, n ∈N*.

k) Escreva o termo geral da sequência

(VI).

an

= 4n ÷ 4, n ∈N*.

l) Escolha um critério, justifcando-o, e se-pare as seis sequências em dois grupos.

Espera-se, neste item, que os alunos percebam

que há, entre as sequências apresentadas,

algumas em que o passo constante é somado

a cada termo e outras em que o passo

constante é multiplicado a cada termo.

Todavia, poderão aparecer outros critérios, e

o professor deverá estar atento para valorizar

os critérios surgidos, mas, também, enfatizar

a importância do reconhecimento do passo

constante das sequências, seja ele somado ou

multiplicado.



26

Pbema 2

Sabe-se qe as Olimpíadas, a Copa do

Mundo e os jogos Pan-americanos ocorrem deqaro em qaro anos. Se essas compeiões

ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, res-

pecivamene, e considerando qe coninem

a aconecer, segndo essa regra, por mio

empo, responda:

a) Qal compeio ocorrerá em 2118? Eem 2079 e 2017?

As Olimpíadas acontecem em anos emque sua divisão por 4 deixa resto zero, a

Copa acontece em anos em que sua

divisão por 4 deixa resto 2, e os Jogos

Pan-americanos acontecem em anos em

que sua divisão por 4 deixa resto 3.

Assim, em 2118 aconteceria a Copa do

Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam

os Jogos Pan-americanos (resto 3), e em

2017 não aconteceria nenhuma dessas três

competições (resto 1).

b) Haverá algm ano em qe ocorrerámais de ma dessas rês compeiões?Expliqe.

Não é possível, pois qualquer número dividido

por 4 deixa um, e apenas um, desses restos:

zero, 1, 2 ou 3.

Pbema 3uma deerminada seqência nmérica

respeia a segine condio: a dierena en-

re dois ermos consecivos é sempre a mes-

ma e igal a 6. Se o primeiro ermo dessa

seqência é –8,


(–8, –2, 4, 10, 16...).

b) qal é o a9?

40.

c) qal é o 15o ermo?

76.

) qal é o 20o ermo?

106.

e) qano é a dierena enre a12

e a5?

42.

) qal é a expresso de se ermo geral,

iso é, qal é a ormla maemáica qerelaciona m ermo qalqer (an) à po-

sio do ermo (n)?

an

= 6 . n – 14.

Pbema 4

O primeiro ermo de ma seqência nmé-

rica é 0,02, e, para ober os ermos segines,

basa mliplicar o ermo imediaamene an-erior por 5. Dessa orma, qal é:

a) o segndo ermo?

0,1.




b) o a3?

0,5.

c) o a4?

2,5.

) o reslado da diviso enre a6

e a4?

25.

e) o ermo geral da seqência, iso é, qalé a ormla maemáica qe relacionam ermo qalqer (a

n) à posio do

ermo (n)?

an

= 0,02 . 5n – 1.

A resolo dos exercícios aneriores oi,

de cera orma, preparaória para a carace-

riao das PAs e das PGs. Finaliada essa

eapa, o proessor poderá denir progresso

ariméica e progresso geomérica a parir dema discsso com ses alnos, idenicando,

denre as seqências á esdadas, aqelas qe

aendem a cada denio dada.

Compreendido o signicado de ma pro-

gresso ariméica, o alno será capa de

conclir qe, parindo do primeiro ermo,

para avanar m ermo na seqência, deverá

adicionar o “passo”, o rao “r”, ma ve,

iso é, a2

= a1

+ r; da mesma orma, para

avanar dois ermos, deverá adicionar 2 . r ao

primeiro ermo, obendo a3

= a1

+ 2 . r. Por

esse processo, espera-se qe o alno reco-

nhea qe, para ober o 20o elemeno, deverá

adicionar 19 . r ao primeiro ermo e escreverá:

a20

= a1

+ 19 . r, e assim scessivamene. Esse

raciocínio avorecerá a consro, por pare

do alno, da órmla do ermo geral da PA,

qe é dada por an = a1 + (n – 1) . r.

Além disso, essa compreenso permii-

rá qe o alno noe qe, para “passar” de a4

para a11

, deverá avanar see ermos, o sea,

para ober o ermo a11

a parir do ermo a4,

deverá adicionar 7 . r ao ermo a4

e escreverá:

a11

= a4

+ 7 . r. Da mesma orma, poderá es-

crever a4

= a11

– 7 . r, pois, para “passar” de a11

para a4, deve “reroceder” see ermos.

De orma análoga, as progressões geoméri-

cas êm a si associado o signicado de qe, co-

nhecidos o primeiro ermo e o passo, o rao

“q”, é possível deerminar qalqer ermo da

seqência a parir da mliplicao do primei-

ro ermo pela rao m deerminado número

de vees. Assim, se o alno compreender qe

a2

= a1. q, qe a

3= a

1. q2, e assim por dian-

e, compreenderá, ambém, qe an

= a1. qn – 1

e, generaliando, qe an

= ak. qn – k.

Desacamos, novamene, a imporância

de valoriar o raciocínio dos alnos na ob-

tenção do termo geral de uma PA ou de uma

PG, em derimeno de amarrar a resolo

dos problemas à utilização das órmulas ob-

idas. O proessor deverá esar aeno para

a observao das esraégias de resolões

dos alnos, a im de disingir aqeles qe

ilizam órmlas pronas como m mero

aalho para a aplicação do conceio qe

já dominam, e, porano,podem ser esi-

mlados nessa posra, ainda dos alnos

qe, sem erem aingido a compreenso de-

sejada, bscam adapar as condições dos



28

problemas às fórmulas, como se pergun-

tassem a si próprios, todo o tempo: “Qual

órmula eu uso agora?”. Casos dessa natu-

reza certamente merecerão maior atenção

do proessor.

É importante que o proessor também ex-plore o seguinte ato: cada termo de uma PG,a partir do segundo, é a média geométrica en-tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo aseguir serve como ilustração:

Após a discussão dos problemas ante-riores e das expressões do termo geral dasPAs e das PGs, o proessor poderá pedirque os alunos resolvam alguns problemasexemplares.

Problema 5

Considere que uma progressão aritméticaé uma sequência (a

1, a

2, a

3, ... a

n, ...) de números

an, em que a dierença entre cada termo a

n + 1

e seu antecedente an

é uma constante. Essadierença constante é chamada razão da pro-gressão aritmética e é representada por r.Assim, em uma progressão aritmética de ra-zão r, temos: a

n + 1– a

n= r, para todo n na-

tural, n ≥ 1. De acordo com essa defnição,indique quais das sequências que se seguemsão progressões aritméticas. Em caso afrma-tivo, determine a razão.

a) (2, 5, 8, 11, ...).

b) (2, 3, 5, 8, ...).

Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média

geométrica de 8 e 32, pois 16 8 32= . .

c) (7, 3, –1, –5, ...).

d)

1

4 3

1

4 32

3 ,

2

3 ,

2

3 ,

2

3 , ... .

e) – 3

2, –1, –

1

2, 0, ...

1 4 3

1 4 3.

f) 6, 2, 2

3,

2

9, ...

1 4 3

1 4 3.

São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3);

c) (razão –4); d) (razão: 0); e) (razão:1

2).

Problema 6

Considere as sequências dadas por seus

termos gerais:

I) an

= 4 . n + 1, com n ∈N, n ≥ 1;

II) an

= 4 . n2 + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;

III) a1

= 2 e an

= an – 1

. 3, com n ∈N, n ≥ 2;

IV) a1

= 2 e an

= an – 1

+ 3, com n∈N, n≥ 2.

Obtenha os cinco primeiros termos de cada

uma dessas sequências e destaque a razão da-

quelas que orem progressões aritméticas.

I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99.

III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14.

São PAs as seguintes sequências: (I), com

razão = 4, e (IV), com razão = 3.

Problema 7

Considere que uma progressão geométrica

é uma sequência (a1, a

2, a

3,... a

n, ...), em que

cada termo an, a partir do segundo, é obtido




pela multiplicação de seu antecedente an – 1

por

uma constante dierente de zero.

De acordo com essa defnição, quais dassequências abaixo são progressões geométri-

cas? Justifque sua resposta.

I) (1, 3, 9, 27, ...); II) (1, 2, 6, 24, ...);

III)

1 4 3

1 4 336, 12, 4,

4

3, ... ; IV) (1, –2, 4, –8 ...);

V)

1 4 3

1 4 33,

8

3,

7

3, 2, ... ; IV) ( , , , , ...)2 2 2 2 4

São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão

1

3 ;

(IV), de razão –2; (VI), de razão 2 .

Problema 8

Considere as sequências:

I) an

= 3 . n + 1, com n ∈N, n ≥ 1;

II) an

= 3 . n2 – 1, com n ∈N, n ≥ 1;

III) an

= 3 . n, com n ∈N, n ≥ 1;

IV) a1

= 3 e an

= an – 1

. 2, com n ∈N, n ≥ 2;

V) a1

= 3 e an

= an – 1

+ 2, com n ∈N, n ≥ 2;

Determine os cinco primeiros termos de

cada sequência e destaque a razão daquelas

que orem progressões geométricas ou pro-

gressões aritméticas.

I) 4, 7, 10, 13, 16.

II) 2, 11, 26, 47, 74.

III) 3, 6, 9, 12, 15.

IV) 3, 6, 12, 24, 48.

V) 3, 5, 7, 9, 11.

(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão

3; (III), de razão 3; e (V), de razão 2.

Problema 9

Observe a sequência de fguras e responda

às questões propostas.

a) Quantos quadradinhos comporão a

quinta fgura dessa sequência? E a sex-

ta fgura?

Quinta fgura: 48 quadradinhos e sexta

fgura: 96 quadradinhos.

b) Associe a essa sequência outra que in-

dique o número de quadradinhos de

cada fgura. Essa sequência é uma PG?

Justifque.

(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an

é obtido a partir da multiplicação do termo

anterior an – 1

por 2.

c) Construa uma órmula que possa ser

utilizada para determinar um termo

qualquer dessa sequência.

Podemos escrever a órmula desta maneira:

an

= 3 . 2n – 1.

Este problema poderá avorecer uma dis-

cussão sobre a obtenção da órmula do termo

geral de uma PG.

1 32 4



30

Pse m

em aseqêca

CcQaae eqaahs

1 3 3

2 3 . 2 = 3 . 21 6

36 . 2 = 3 . 2 . 2 =

3 . 22 12

412 . 2 = 3 . 2 .2 . 2 = 3 . 23 24

... ... an-1

n(a

n-1) . 2 =

3 . 2n n-1

an

= (an-1

) . 2 =

3 . 2n-1

Para o desenvolvimeno desa aividade, a

abela a segir organia os dados, a m de qe

as reglaridades seam mais acilmene obser-

vadas. uma possível solo é a segine:

Nese caso, o alno pode ober ma ór-

mla de recorrência: an

= (an – 1

) . 2 e a órmla

do ermo geral: an

= 3 . 2n – 1.

Pbema 10Na gra, cada qadradinho é ormado

por qaro palios de comprimenos igais.

1 2 3 4 5

...

a) A seqência ormada pelas qanidadesde palios necessários para a consro

das gras orma ma PA? jsiqesa resposa.

A sequência ormada pelas quantidades de

palitos é, sim, uma PA, pois cada fgura tem

seis palitos a mais que a precedente: 4, 10,

16, 22, 28, ...

b) Qanos palios sero necessários para aconsro da sexa gra? E da séima?

28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40.

c) Qanos palios sero necessários paraconsrir a 78a gra?

4 + 77 . 6 = 466.

) Escreva ma órmla qe expresse aqanidade de palios da igra qeocpa a posio nessa seqência.

an

= 4 + (n – 1) . 6 = 6 . n – 2.

Pbema 11

Sabe-se qe o nono ermo de ma PA de

rao 4 é 29. Qal é o 20o ermo dessa PA?

a 20

= 73. Para determinar o 20o termo de

uma PA é sufciente adicionar ao 9o termo

uma parcela que é igual ao produto 11 . 4,

pois, para “passar” do 9o ao 20o, é necessário

“avançar” 11 termos, ou seja, a 20

= a9+ 11 . r.

Não é necessário, portanto, encontrar antes

o primeiro termo para se obter o vigésimo.

Pbema 12

Sabe-se qe a seqência (8, x, –4, y) é ma

progresso ariméica. Deermine os valores

de x e y.

Em toda PA, temos a3

– a 2

= a 2

– a1 ⇒

–4 – x = x – 8 ⇒ x = 2. Com o mesmo

raciocínio, escrevemos y – (–4) = –4 – x ⇒

y + 4 = –4 –2 ⇒ y = –10. Nesse caso, temos:

(8, 2, –4, –10).




Problema 13

Invente uma progressão aritmética. Separe

apenas os termos cuja posição (n) é indicadapor um número múltiplo de 6 e orme outra

sequência de números. Essa nova sequência

também é uma progressão aritmética? Em

caso de resposta afrmativa, determine a razão

da PA. Justifque sua resposta.

A nova sequência será uma PA, cuja razão é

igual ao produto do número 6 pela razão da

PA inventada.

Problema 14

Determine o oitavo termo de cada uma das

progressões geométricas:

I) (1, 3, 9, 27, ...) II)

1 4 3

1 4 38, 4, 2, 1,

1

2, …

a8

= 2 187 a8

=1

16

Problema 15

Determinar o 12o termo de uma PG de ra-

zão 2, sabendo-se que o quinto termo dessa

sequência é 4.

a12

= 512.

Problema 16

Uma bola é lançada de uma altura de 18

metros, e seu impacto no solo provoca saltos

sucessivos, de tal orma que, em cada salto, a

altura que ela atinge é igual a 80% da altura

alcançada no salto anterior. Que altura será al-

cançada pela bola quando ocorrer o quinto sal-

to? E o décimo salto? (Use uma calculadora.)

A altura atingida no quinto salto corresponde

ao sexto termo de uma PG em que o primeiro

termo é igual a 80% de 18 e a razão é 0,8.

Assim, a6

= 18 . 0,85 ≅ 5,898 m. A altura do

décimo salto, obedecendo a essa lógica, será:

a11

= 18 . 0,810 ≅ 1,933 m.

Problema 17

Dada a PG

1 4 3

1 4 3

1

2, x, 32, y determine os va-

lores de x e y.

Em toda PG, cada termo, a partir do segundo,

é a média geométrica do antecessor e do

sucessor. Neste caso, x = =

1

232 4 . Por ou-

tro lado, pela defnição de PG, y

32=

32

x ⇒

y

32

=32

4

⇒ y = 256. Nesse caso, temos:

1 4 3

1 4 3

1

2, 4, 32, 256

Problema 18

Suponha que a população de uma cidade

tenha uma taxa de crescimento constante e

igual a 20% ao ano. No fm do ano de 2007, apopulação era de 50 000 habitantes.

a) Calcule a população da cidade ao fm

de cada um dos próximos quatro anos e

escreva os resultados obtidos em orma

de sequência.



32

Sugere-se que o proessor estabeleça com

seus alunos uma linguagem como:

P0 : a população inicial; P1 : a população umano depois; P

2: a população dois anos depois

e assim por diante.

P1= 50 000 + 20% de 50 000 =

50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000.

P 2

= 60 000 + 20% de 60 000 =

60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000.

Fazendo-se os demais cálculos, obtêm-seas populações P

3e P

4: 86 400 e 103 680,

respectivamente.

b) A seqência obida é ma PG? Em casoarmaivo, qal é a rao?

A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400,

103 680, ...) é uma PG de razão 1,2, pois :

60 00050 000

= 72 00060 000

= 86 40072 000

= 103 68086 400

= 1,2.

Assim, para se obter o termo sucessor de

um termo conhecido, basta multiplicar este

último por 1,2, ou seja, Pn + 1

= 1,2 . Pn.

c) Enconre ma órmla qe permia cal-clar a poplao dessa cidade daqi an anos, conados a parir de 2007.

P1 = 50 000 . 1,21

P 2

= 50 000 . 1,21 . 1,2 = 50 000 . 1,2 2

P3=

50 000 . 1,2 2 .

1,2 = 50 000 . 1,23

Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.

Essa órmula pode ser generalizada para

Pn =

P0. (1 + i)n, sendo i a taxa de crescimento.

Pbema 19

Sponha qe o valor de m aomóvel di-

mina a ma axa consane de 10% ao ano.

Hoe, o valor desse aomóvel é R$ 20 mil.

a) Calcle o valor desse aomóvel daqi aqaro anos.

R$ 13 122,00.

b) Enconre ma órmla qe permia cal-clar o preo desse aomóvel daqi a n anos.

Pn

= 20 000 . 0,9n.

Convém ressalar com a classe qe a axa,

nesse problema, é negaiva. Se há ma depre-ciao de 10% ao ano, o valor do carro passa

a ser de 90% sobre o valor anerior. uilian-

do os reslados da aividade anerior, discacom os alnos qe, para calclar o preo do

carro daqi a m ano, é sciene mliplicaro valor inicial do carro por 0,9, pois

P1= P

0.(1 – 0,1) = P

0. 0,9.

taame as pgesses sb p evsa ca

Ao ober os ermos de ma progresso ari-

méica por meio da lei de ormao, iliando

a órmla do ermo geral o de recorrência, o

alno rabalha, iniivamene, com a noo

de no, pois associa cada índice ao ermo

correspondene. O sea, odo número naral

(n) qe é índice na seqência esá associado a




m único número real. A órmla relaiva à

lei de ormao da PA é a expresso algébri-

ca qe represena a no. Nesse caso, emos

ma no : S → IR, sendo S ⊂ N*.

Assim, o mí dessa no é orma-

do pelos índices dos ermos da PA, iso é,

D() = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O camí

dessa no é IR, e o cj magem

é ormado pelos ermos da PA, o sea,

Im() = {a1, a

2, a

3, ..., a

n...}.

A represenao gráca da no qe cor-

responde a ma PA é m conno de ponosqe perencem a ma rea. todavia, o gráco

no é a rea qe coném esses ponos. toman-

do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...),

na qal a1

= 1, a2

= 4, a3

= 7, a4

= 10, e assim

scessivamene, sa represenao gráca é a

gra a segir.

Nesse caso, emos: D() = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Im() = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an

= 3 . n – 2

Essa erminologia somene deverá ser des-

acada para o alno qando esse assno or

reomado, poseriormene, nesa série, no

momeno do esdo da no polinomial do

1o gra.

Ao aplicar a órmla do ermo geral o de

recorrência para a deerminao dos elemen-

os de ma PG, de modo análogo ao qe se

a para ma PA, os esdanes ambém i-

liam, iniivamene, a ideia de no, pois

associam cada índice ao ermo corresponden-

e. O sea, odo número naral (n) qe é ín-

dice na seqência esá associado a m único

número real.

A órmla qe indica a lei de ormao da

PG corresponde à expresso algébrica qe

represena a no. Nesse caso, emos ma

no : t → IR, sendo t ⊂ N*.

A expresso do ermo geral de ma PG,

an

= a1

. qn – 1, refee o crescimeno exponen-

cial de an

em no de q. Se o raameno

ncional das PAs esará associado ao es-

do das nões am, esse ipo de raameno

para as PGs será eio qando do esdo das

nões exponenciais. Porano, no se ra-

a de, nese momeno, apresenar aos alnos

oda a erminologia adoada no esdo dasnões, mas apenas aponar relaões qe

sero exploradas mais adiane, no 2o e no 3o

bimesres. Os problemas segines so exem-

plos de como a apresenao inicial desse

raameno pode ser realiada.

a4

= 10

a3

= 7

a2

= 4

a1

= 1

1 2 3 4



34

Pbema 20

um conno A é ormado apenas pelos

segines elemenos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim,podemos escrever:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

um conno B é ormado por elemenos

nméricos obidos a parir dos elemenos do

conjno A, da segine orma: cada ele-

meno de B é 4 nidades a mais do qe o

riplo de m elemeno de A. Dio de o-

ra orma, se chamarmos cada elemeno doconunto A de n e cada elemento do conun-

o B de p, emos:

p = 4 + 3 . n

a) Qais so os elemenos do conno B?

B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.

b) Qal é o ipo de seqência nmérica or-mada pelos elemenos do conno A?

Uma PA de razão 1.

c) Qal é o ipo de seqência nmérica or-mada pelos elemenos do conno B?

Uma PA de razão 3.

Pbema 21

Cada elemeno de m conno D será ob-

ido a parir de m elemeno correspondene

do conno C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da segine

orma: d = –5 . c + 15, onde c represena m

elemeno do conno C e represena m ele-

meno do conno D.

a) Qais so os elemenos do conno D?

D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}.

b) Qal é o ipo de seqência nmérica or-mada pelos elemenos do conno D?

Uma PA de razão –5.

Pbema 22

uma deerminada regra maemáica

“ransorma” cada elemeno do conjno

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} em oro número, con-

orme mosra a segine represenao:

a) Qal é o reslado associado ao núme-ro 6?

(37).

b) Qal é o reslado associado ao núme-ro 10?

(61).

71 R

132E

193 G

254R

315 A




c) Se cada elemeno do conno E or iden-icado pela lera , e cada reslado oridenicado pela lera p, qal é a eqa-

o maemáica qe relaciona p e ?

6 . n + 1 = p

d) Ordenando os reslados obidos, qalocpará a nona posio?

(55).

e) Qal é o ipo de seqência nmérica

ormada pelos elemenos do connodos reslados?

Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.

Cseaes sbe a avaa

O desenvolvimeno apresenado nesa

Siao de Aprendiagem para o raameno

das progressões priorio dois aspecos:

a abordagem comm das progressões ari-f

méicas e das progressões geoméricas;

a deerminao dos ermos gerais das PAsf

o das PGs a parir da reglaridade obser-

vada nas seqências, em derimeno do so

das conhecidas órmlas qe, em geral, os

alnos decoram e sam mecanicamene.

Em relao ao primeiro aspeco, relaivo aoraameno comm dos dois ipos de seqên-

cias, lgamos imporane qe o proessor

leve-o, de ao, em considerao, no momeno

da elaborao de avaliaões, propondo, por

exemplo, qesões semelhanes aos problemas

9 e 10.

É comm os alnos iliarem as órmlas

dos ermos gerais da PA e da PG na resolo

de problemas. No há porqe eviar al con-da, mas sim propor siaões em qe o sim-

ples so da órmla no cond direamene

ao reslado procrado. Nesse senido, apre-

senamos, nesa Siao de Aprendiagem,

algns modelos, como é o caso, por exemplo,

do Problema 3.

Por m, salienamos, novamene, a neces-

sidade da exisência de momenos de avalia-

o em qe os alnos possam rocar ideiascom oros colegas de grpo e mesmo con-

slar sas anoaões. Além disso, o proessor

poderá pedir qe os alnos demonsrem se

conhecimeno sobre o assno criando pro-

blemas e/o conexos em qe os conceios

possam, claramene, serem aplicados.



36

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3SOMA DOS tERMOS DE uMA PA Ou DE uMA PG FINItA;

APLICAçÕES À MAtEMÁtICA FINANCEIRA


Ceús e emas: progressões ariméicas e progressões geoméricas: ermos gerais e soma dos ermos; ros composos, processos simples de capialiao e de amoriao.

Cmpeêcas e habaes: iliar a lingagem maemáica para expressar a reglaridade dos padrõesde seqências nméricas o geoméricas; aplicar conhecimenos maemáicos em siaões do coidianonanceiro; generaliar procedimenos de cálclo com base em expressões maemáicas associadas aoesdo das progressões nméricas.



Esa Siao de Aprendiagem é dividida

em das eapas. A primeira eapa é composa

por problemas exemplares para a consro

de signicados da soma dos elemenos de ma

seqência, e a segnda eapa é oda dirigidapara a aplicao da soma de elemenos de

ma PA o de ma PG, em algns casos ípi-

cos da Maemáica Financeira.

O cálclo da soma dos ermos de ma

PA o de ma PG é m bom momeno para

reomar e aprondar com os alnos a no-

o de algorimo em Maemáica. Isso por-

qe podemos enender o cálclo da soma de

qalqer desses dois ipos de seqência comorealiado a parir de cera ordenao de pro-

cedimenos qe condem, com eciência,

ao reslado procrado.

No caso de uma PA do tipo (a1, a

2, a

3, ...,a

n – 3,

an – 2

, an – 1

, an), o proessor pode explorar a

propriedade da eqidisância dos exremos,

iso é, a1

+ an

= a2

+ an – 1

= a3

+ an – 2

= ..., a

m de desenvolver esraégias para o cálclo

da soma de ses ermos, em m rabalho qe

anecede à consro e iliao da órmla

da soma dos ermos de ma PA.

Por exemplo, para o cálclo da soma dos200 primeiros números narais, indicada por:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 +198 +

199 + 200,

o alno pode ser axiliado no senido de ob-

servar qe

1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 =

... = 201.

Nesse caso, oberá cem somas igais a 201

e, nalmene, conclirá qe S200

= 100 . 201 =

20 100. Podemos, ambém, dier qe a soma

dos 200 números narais é igal ao prodo

de 200 por201

2, o sea, o prodo de 200




pela média ariméica dos ermos eqidisan-

es dos exremos.

No caso de seqências qe apresenam nú-mero ímpar de ermos, como (1, 4, 7, 10, 13,

16, 19), de see ermos, o alno poderá iliar

a segine esraégia:

1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20.

Assim, so obidas rês somas igais a 20.

Como o número 10, qe é o ermo cenral (me-

diana), no oi adicionado, a soma dos ermos

dessa PA será represenada da segine orma:

S7

= 3 . 20 + 10 = 60 + 10 = 70.

Nesse exemplo, é imporane desacar qe

a soma dos see ermos dessa progresso ari-

méica 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 é igal a

7 . 10, sendo 10 a média ariméica dos ermos

eqidisanes dos exremos.

Essa seqência de passos para se ob-

er a soma dos ermos de ma PA pode ser

visa como m algorimo qe permie rapi-de e preciso no cálclo e, por isso mesmo,

pode e deve ser bem compreendida e iliada

sempre qe possível. No momeno qe lgar

oporno, o proessor poderá pedir qe os

próprios alnos generaliem a esraégia qe

adoam pariclarmene, em ma o ora se-

qência, para ma seqência ariméica qal-

qer, obendo-se, eno, a expresso

Sn =+

( ) .a a nn12 .

No caso de ser necessário ober a soma dos

ermos de ma PG, o proessor poderá lanar

mo, novamene, da ideia de m algorimo

qe permia agiliar o cálclo, mosrando aos

alnos como aê-lo em algns casos especí-

cos, como nese exemplo:

S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162.

Os ermos dessa série ormam ma PG de

rao 3. A primeira providência para se ober

o reslado sem eear a adio ermo a er-

mo é mliplicar oda a expresso pelo valor

da rao.

3 . (S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162) ⇒

3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486.

Isso eio, eremos das expressões e sb-rairemos ma da ora, de orma qe os vá-

rios pares de ermos igais seam cancelados.

S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162

3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486

–2 . S = 2 – 486

–2 . S = – 484 ⇒ S = 242

Essa seqência de passos, o esse algori-

mo, permie a obeno da soma dos ermos

de ma PG de modo mais rápido e eca do

qe o cálclo da soma ermo a ermo. Co-

menando o ao com ses alnos, o proessor

poderá pedir qe algmas somas seam obi-

das dessa maneira e, analogamene ao qe oi

realiado para a PA, pedir qe generaliem o

algorimo em ma órmla qe possa ser apli-

cada a qalqer ipo de PG. Nessa area, osalnos percorrero as segines eapas:

PG: (a1, a

2, a

3,...., a

n–3, a

n–2, a

n–1, a

n)

Sn

= a1

+ a2

+ a3

+ ... + an–1

+ an

(I)



38

Mliplica-se oda a soma pela rao q:

q . Sn= a

1. q + a

2. q + a

3. q + ... + a

n–1. q + a

n. q (II)

Sbrai-se (II) de (I), eliminando-se os pa-res de ermos igais:

Sn

= a1

+ a2

+ a3

+ ... + an–1

+ an

(I)

q . Sn= a

1. q + a

2. q + a

3. q + ... + a

n–1. q + a

n. q (II)

Sn

– q . Sn

= a1

– an

. q

Isso eio, “sobram” apenas o úlimo ermo

de (II) e o primeiro ermo de (I).

Isola-se Sn:

Sn

– q . Sn

= a1

– an

. q

Sn

. (1 – q) = a1

– an

. q ⇒ Sn

=a

1– a

n. q

1 – qo

Sn

=a

n. q – a

1

q – 1.

A expresso da soma dos ermos de ma

PG, escria da orma apresenada acima, em

no da rao (q) e do úlimo ermo (an),

em mais signicado para os alnos do qe

escria em no apenas da rao (q) e do

número de ermos (n). Por isso, convém o

proessor rabalhar algns problemas, anes

de mosrar aos alnos a segnda maneira de

escrever a mesma expresso.

Sn

– q . Sn

= a1

– an

. q

Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn–1 . q

⇒ Sn

– q . Sn

= a1

– a1

. qn ⇒ Sn . (1 – q) =

a1

– a1

. qn . Sn

. (1 – q) = a1

. (1 – q) ⇒

S aqqn

n

= 1

11

.( – )

– ⇒ S a

qqn

n

= 1

11

.( – )

–

Eapa 1 – Sma s ems e maPA e ma PG fa

Pbema 1

Calcle a soma dos ermos da progresso

(10, 16, 22, ..., 70).

440.

Pbema 2

Calcle a soma dos ermos da progresso

(13, 20, 27, ...), desde o 21o ermo aé o 51o,inclsive.

7 998.

Pbema 3

Calcle a soma dos números ineiros, divi-

síveis por 23, exisenes enre 103 e 850.

Os números inteiros, divisíveis por 23, entre103 e 850, ormam a PA de razão 23: (115,

138,..., 828). Utilizando a órmula do

termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a

órmula da soma dos termos da PA, obtemos

o resultado 15 088.

Pbema 4

A gra abaixo apresena os primeiros

elemenos de ma seqência de números cha-mados números rianglares.




a) Escreva a seqência nmérica corres-pondene a essa gra, considerando onúmero de bolinhas qe ormam cada

riânglo:

1, 3,........,.........,.........,.........,........,.......

b) Qe reglaridade você observo na cons-ro desses números rianglares?

c) Escreva ma órmla qe permia calc-lar m ermo qalqer dessa seqência,iliando a recorrência, o sea, denin-

do m ermo a parir de se precedene.

) Consra ma órmla qe calcle mermo qalqer dessa seqência, sem ne-cessariamene recorrer ao ermo anerior.

Drane a resolo desse problema, os

alnos podem perceber qe m ermo qal-

qer da seqência de números rianglares

pode ser expresso por ma órmla de recor-rência, inclindo das inormaões:

a1

= 1 e an

= an–1

+ n.

Podem, ambém, organizar os dados em

ma abela como a qe sege. Essa esraé-

gia os levará à órmla t do ermo geral, qe

pode ser obida pela aplicao da órmla da

soma dos termos da PA den

termos, com a1 = 1e rao 1:

t =(1 + n) . n

2=

n2 + n

2.

Posição do termo

na sequênciaProcesso de contagem das bolinhas

Quantidade de bolinhas

em cada termo

1 1 1

2 1 + 2 3

3 1 + 2 + 3 6

4 1 + 2 + 3 + 4 10

... ... ...

n1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n −1) + n a

n=

n . (n + 1)

2

Após a discsso sobre as qesões dessa aivi-

dade, o proessor pode, ainda, explorar os números

rianglares, incenivando ses alnos a descobrir

oras propriedades ineressanes. Por exemplo,

propondo qesões como as qe segem:

Observe qe 61 = 55 + 6 (61 é m nú-

mero naral qalqer; 55 e 6 so números

rianglares). Experimene, agora, represenar



40

o número 84 em orma de adio de, no máxi-

mo, rês números rianglares.

Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.

Adicione dois números rianglares con-

secivos. Qe caracerísica você percebe

nessa soma?

A soma de dois números triangulares consecuti-

vos é igual a um número quadrado pereito:

1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9;

6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25.

Pbema 5

A segir, eso os primeiros elemenos de

ma seqência de gras qe represenam os

chamados números penagonais.

Caso o alno enconre dicldades, d-

rane a resolo dese problema, o proessor

pode propor qesões qe o adem a perceber

qe, a parir da segnda gra, cada ermo an

da seqência pode ser obido pelo acréscimo

de rês leiras de n bolinhas à gra anerior

(an – 1), devendo ser sbraídas 2 nidades, qecorrespondem às das bolinhas qe se sobre-

põem em dois vérices do penágono. No en-

ano, a órmla obida é por recorrência, e a

obeno da órmla geral é m poco mais

diícil, pois cada ermo é obido por meio de

1 2 3 4 5

a) Qanas bolinhas deve er a sexa gradessa seqência? E a séima?

51 e 70.

b) Observe as reglaridades qe exisemno processo de consro da Figra 2 aparir da Figra 1; no processo de cons-ro da Figra 3 a parir da Figra 2;e assim por diane. Organie os dadosna abela abaixo e, em segida, proc-re consrir ma órmla qe permia

Ps afga aseqêca

Ccnúme e b

has

1 1 1

21 + 4a

1 + 4 5

35 + 3 . 3 – 2a

2+3 . 3 – 2

12

412 + 3 . 4 – 2a

3+ 3 . 4 – 2

22

522 + 3 . 5 – 2a

4+ 3 . 5 – 2

35

... ... ...

n – 1n a

n – 1+ 3 . n – 2 a

n = a

n – 1+3 . n – 2

deerminar a qanidade de bolinhas dagra nessa seqência.

Em relao aos números penagonais, rei-eramos qe a consro de ma abela como

a qe sege avorece a obeno de ma ór-

mla de generaliao:




A expresso do ermo geral dessa soma

pode ser obida aendo a1

= 1 e an

= 3 . n + 2

na expresso geral da soma da PA, da segine

orma:

t = 1 + 4 + 7 + 10 + 13+...+ 3 . n – 2 =

(a1

+ an) . n

2=

(1 + 3n – 2) . n

2=

(3n – 1) . n

2=

3 . n2 – n

2.

Assim, o polinômio3 . n2

2–

n

2, sendo m

número naral dierene de ero, permie adeerminao de m número penagonal qe

ocpa a posio na seqência. Por exemplo,

o séimo número penagonal da seqência é:

t7

=3 . 72

2–

7

2=

3 . 49

2–

7

2=

140

2= 70

Ps afga aseqêca

Cc

1 1

2 1 + 4

3 1 + 4 +7

4 1 + 4 + 7 + 10

5 1 + 4 + 7 + 10 + 13

... ...

n 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 3 . n – 2

se anecessor, adicionando a ese 3n – 2 bo-

linhas. Os números qe so adicionados eso

na seqência 4, 7, 10, 13, 16, ...

Pbema 6

Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcle a

soma dos 20 primeiros ermos dessa PG, dei-xando indicada a poência.

S 20

= 1 .(2 20 – 1)

2 – 1 ⇒ S

20= 2 20 – 1

Pbema 7

Resolva a eqao 2 + 4 + 8 + ... + x = 510,

sabendo qe as parcelas do primeiro membro

da eqao eso em PG.

A razão da PG é 2.

Portanto, 2 .( 2n – 1)

2 – 1= 510 ⇒

2n – 1 = 510 ÷ 2 ⇒ 2n = 256 ⇒ 2n = 28 ⇒

n = 8.

Logo, x = a8

= 2 . 28–1 ⇒ x = 256.

Pbema 8

(Vnesp) Várias ábas igais eso em ma

madeireira. A espessra de cada ába é 0,5 cm.

Forma-se ma pilha de ábas colocando-se

ma ába na primeira ve e, em cada ma das

vees segines, anas ábas qanas iverem

sido colocadas aneriormene.

Pilha na1a ve

Pilha na2a ve

Pilha na3a ve



42

Deermine, ao nal de nove operaões:

a) Qanas ábas erá a pilha.

A sequência da quantidade de tábuas

colocadas é:

1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...

Para obter o total de tábuas, ao fnal de nove

operações, será necessário calcular a soma

dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4,

8, 16, 32, 64, 128 e, em seguida, acrescentar

uma unidade.

S =a

n. q – a

1

q – 1=

128 . 2 – 1

2 – 1= 255.

Portanto, a pilha terá 256 tábuas.

b) A alra, em meros, da pilha.

A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 =

128 cm = 1,28 m.

Pbema 9

uma pessoa compra ma eleviso para

ser paga em 12 presaões mensais. A primeira

presao é de R$ 50,00 e, a cada mês, o valor

da presao é acrescido em 5% da primeirapresao. Qando acabar de pagar, qano a

pessoa erá pago pela eleviso?

Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50

+ 55,00 + 57,50 +...... + 77,50, que resulta

R$ 765,00.

Pbema 10

A primeira parcela de m nanciameno

de seis meses é de R$ 200,00, e as demais so de-crescenes em 5%. Assim, a segnda parcela é 5%

menor do qe a primeira, a erceira parcela é

5% menor do qe a segnda e assim por diane.

Adoando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73, calcle:

a) Qal é o valor da úlima parcela?

Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95 e

queremos determinar o sexto termo.

a6 = 200 . 0,955 = 154,00.

b) Qano erá sido pago, qando a dívidaor oalmene qiada?

Devemos calcular a soma dos termos da PG.

S =a

n. q – a

1

q – 1=

200 . 0,955 – 200

0,95 – 1=

200 . (0,956 – 1)

–0,05= –4 000 . (0,956 – 1) =

R$ 1 080,00.

Pbema 11

Dada a progresso ariméica (–4, 1, 6,

11, ...), obenha:

a) o ermo geral da seqência.

an

= 5 . n – 9.

b) a soma dos 12 primeiros ermos.

282.

c) ma expresso para o cálclo da somados primeiros ermos.

S =(a

1+ a

n) . n

2=

(–4 + 5 . n – 9) . n

2=

1

2. (5 . n 2 –13 . n).




Pbema 12

A soma de ermos de ma progresso

ariméica pode ser calclada pela expres-so S

n= 3 . n2 – 5 . n. Para essa seqência,

deermine:

a) a soma dos seis primeiros ermos.

S 6

= 3 . 6 2 – 5 . 6 = 78.

b) a soma dos see primeiros ermos.

S 7

= 3 . 7 2 – 5 . 7 = 112.

c) o séimo ermo.

O sétimo termo é a dierença entre S 7

e S 6.

Portanto, a7

= 112 – 78 = 34.

) os cinco primeiros ermos.

a1 = S 1 = –2

a 2

= S 2

– a1

= 2 – (–2) = 4

A PA tem razão 6, e os primeiros termos são

–2, 4, 10, 16, 22, 28, 34.

Pbema 13

um alea ora de orma, deseando rec-

perar o empo perdido, planea correr, dia-riamene, ma deerminada disância, de

maneira qe, a cada dia, a disância corrida

amena 20% em relao ao qe oi corrido

no dia anerior. Comeando a correr 10 km,

no primeiro dia,

a) qano esará correndo, no qaro dia?

a4

= 10 . 1,23 = 17,28 km.

b) qanos qilômeros erá corrido, em10 dias? (Dado: 1,210 ≈ 6,2.)

Trata-se de calcular a soma dos dez termos

de uma PG em que a1

= 10 e a10

= 10 . 1,29.

S =a

n. q – a

1

q – 1=

10 . 1,29 . 1,2 – 10

1,2 – 1=

10 . (1,210 – 1)

0,2=

50 . (1,210 – 1) = 50 . (6,2 – 1) = 260 km.

Eapa 2 – Apcaes a MaemcaFacea

O crescimeno de m capial, a ma axa

consane de ros simples, caraceria-se por

envolver ma série de ermos qe ormam

ma progresso ariméica. Por oro lado,

no cálclo do crescimeno de m capial a

ma axa consane de ros composos, apa-

rece ma progresso geomérica. No exem-

plo abaixo, podemos comparar a evolo dem capial inicial, qando sbmeido a ros

simples e a ros composos:

Capa = C taxa e js = 5% a mês

Ev capa a js

smpes

Ev capa a js

cmpssInicial C C

Depois de

m mês

1,05 . C 1,05 . C

Depois dedois meses

1,10 . C 1,052 . C

Depois derês meses

1,15 . C 1,053 . C

Depois deqaro meses

1,20 . C 1,054 . C



44

adicionando-se 0,05 . C, no caso de ros sim-

ples, e mliplicando-se por 1,05 . C, no caso

de ros composos.

jros simples, como sabemos, no so

praicados no mercado nanceiro, mas po-

dem servir de conexo inicial para a deermi-

nao de valores oais capialiados em cer-

o período. Vamos spor, por exemplo, qe

m cidado apliqe, mensalmene, e drane

oio meses, ma qania xa de R$ 200,00, a

ros simples de 5%. Ao nal, depois dos oio

meses de aplicao, qano erá acmlado

essa pessoa?

Propondo m problema dessa narea aos

ses alnos, o proessor poderá comenar qe

ele é de ácil resolo por envolver ros sim-

ples, mas qe, no caso real, de m capial apli-

cado a ros composos, será necessário m

méodo organiado de resolo. jsica-se,

dessa maneira, o processo represenado na a-

bela segine:

tabea e capaa

Os valores dessa abela oram obidos le-

vando-se em cona qe m capial inicial (C),

acrescido de 5%, resla no capial inicial ml-

iplicado por 1,05, iso é, resla em 1,05 . C.Caso incidam 5%, novamene, sobre o capial

á acrescido de 5%, o reslado será igal a

1,10 . C, se os ros orem simples, e 1,05 2 . C,

se os ros orem composos, conorme repre-

senado nas operaões segines:

Capial Inicial: C.

Acréscimo de 5% sobre C:

C + 5100

. C = C + 0,05 . C = 1,05 . C.

Acréscimo de 5% de ros simples: 1,05 . C

+ 0,05 . C = 1,10 . C.

Acréscimo de 5% de ros composos:

1,05 . C + 5% . 1,05 . C = 1,05 . C . (1 + 5%) =

1,05 . C . 1,05 = 1,052 . C.

O valor do capial, nos próximos meses

de aplicao, sege a mesma lógica, iso é,

Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 Fa

C a p i t a

l

200 210 220 230 240 250 260 270 280

200 210 220 230 240 250 260 270

200 210 220 230 240 250 260

200 210 220 230 240 250200 210 220 230 240

200 210 220 230

200 210 220

200 210




Os R$ 200,00 deposiados no primei-

ro mês ornam-se R$ 210,00, no segndo

mês, R$ 220,00, no erceiro mês, e assim por

diane, ornando-se, ao nal, R$ 280,00.Os R$ 200,00 deposiados no segndo mês, de

modo análogo, converem-se em R$ 270,00,

ao nal de see meses de aplicao. Segindo

o raciocínio, o saldo nal da aplicao será

o reslado da adio dos valores da úlima

colna da abela, qe so os ermos de ma

progresso ariméica:

Saldo nal = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 +

260 + 270 + 280Saldo nal =

(210 + 280) . 8

2= 1 960

Porano, o saldo nal da aplicao será

igal a R$ 1 960,00.

No caso real, de ma capialiao a ros

composos, o esqema de resolo será simi-

lar ao apresenado, variando apenas a orma de

crescimeno das parcelas aplicadas. Em relao

ao problema anerior, alerando apenas a orma

de incidência da axa de ros, de simples paracomposos, pode ser escria a segine abela:

Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 Fa

C a p i t a

l

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057 200 . 1,058

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053

200 200 . 1,05 200 . 1,052

200 200 . 1,05

A soma dos valores da úlima colna da

abela ornece o oal capialiado. traa-se

da soma dos ermos de ma progresso geo-

mérica de rao 1,05.

S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 +

1,056 + 1,057 + 1,058)

S = 200 . an

. q – a1

q – 1=

200 . 1,058 . 1,05 – 1,05

1,05 – 1

O cálclo dessa soma é rabalhoso, se reali-ado manalmene. Por isso, propomos qe os

alnos possam iliar calcladoras para agi-

liar a obeno do reslado, sem qalqer

perda de signicado para o conceio. O impor-

ane, aqi, no é saber calclar ma poência,

coisa qe os alnos á devem saber, mas sim a

ober da expresso nmérica qe cond ao

reslado deseado. todavia, mesmo sando

calcladoras, será ineressane simplicar ini-cialmene a expresso, como nesse caso:

tabea e capaa



46

S = 200 .1,058 . 1,05 – 1,05

1,05 – 1(Colocando

1,05 em evidência.)

S = 200 .1,05 . (1,058 – 1)

0,05(Dividindo

1,05 por 0,05.)

S = 200 . 21 . (1,058 – 1)

Caso o proessor ope por no permiir o

so de calcladoras, o qe no aconselhamos,

poderá ornecer aos alnos, previamene, o va-lor da poência. No caso, 1,058 ≈ 1,48. De m

eio o de oro, o reslado da soma será:

S = 200 . 21 . (1,48 – 1) = 2 016.

Comparando os dois reslados do proces-

so de capialiao, ca claro qe o processo

a ros composos cond a m maior valor

nal (R$ 1 960,00, em m caso, e R$ 2 016,00,

no oro).Ora aplicao imporane das somas das

progressões di respeio ao cálclo da parce-

la xa de m nanciameno a axa consan-e de ros. De ao, raa-se de m problema

inverso ao qe oi analisado há poco, iso é,

conhece-se o monane nal e desea-se calc-

lar a parcela mensal do invesimeno. Vamos

analisar, como exemplo, o caso do nancia-meno da compra de m aomóvel, qe csa

R$ 10 000,00 e será pago em 24 parcelas xas

e mensais, com ros de 5% ao mês. Em pri-

meiro lgar, vamos represenar o cálclo da

parcela de nanciameno, no caso de os rosserem simples, iso é, incidirem sempre sobre

o valor inicial.

1) Cm axa e js smpes

Os R$ 10 000,00 nanciados devero ser

corrigidos e devolvidos pelo comprador dobem, ao nal dos 24 meses. Assim, o primeiro

passo é calclar o ro oal da aplicao em

ros simples, o sea, 24 . 5% = 120%. O va-

lor de R$ 10 000,00 deverá ser devolvido cor-

rigido em 120%, iso é, devero ser devolvidos

R$ 22 000,00. Ocorre qe o comprador no

devolve esse valor de ma única ve, mas sim

em parcelas mensais. Assim, o próximo passo

é calclar o valor da parcela, e aí é necessário

se lembrar do exemplo anerior, da capialia-

o a ros simples.

Spomos, enão, qe cera parcela P é

capializada mensalmene, drane 24 me-

ses, a jros simples de 5%. Nessa condição,

ao inal dos 24 meses, erá sido capiali-

zado m valor oal igal ao reslado da

segine soma:

S = P . (1,05 + 1,10 + 1,15 + .... + 2,15 + 2,20).

Os porcenais, nesse caso, ormam ma

progresso ariméica. Calclemos a soma

desses porcenais.

S = P .(a

1+ a

n) . n

2= P .

(1,05 + 2,20) . 24

2

= P . 39

Como a soma S deve coincidir com o va-

lor corrigido do nal do nanciameno, iso é,

S = 22 000, a parcela mensal P pode ser assim

obida:

22 000 = P . 39 ⇒ P = 564,10




Porano, a ros simples, o valor da parce-

la mensal é igal a R$ 564,10.

Perceba qe, apesar de as presaões seremodas igais a R$ 564,10, a simples mlipli-

cao desse valor pelo número de presaões,

qe, nese caso, é 24, no em como reslado o

valor corrigido da dívida (R$ 22 000,00). Essa

dierena aconece porqe a primeira parcela

de R$ 564,10 em, hoe, m valor qe no será

o mesmo daqi a 24 meses. Essa considerao

vale para odas as parcelas.

2) Cm axa e js cmpssDa mesma orma qe no caso dos ros

simples, discido aneriormene, o valor -

nanciado deve ser corrigido para compor o pa-

gameno nal. Nesse caso, raa-se de corrigir

R$ 10 000,00, em 24 meses, a ros composos

de 5%, o qe implica mliplicarmos 10 000

por 1,0524. Isso eio, eremos R$ 32 251,00.

Mas esse valor no é devolvido de ma única

ve, ao nal do nanciameno, e sim em par-celas mensais. Para o cálclo do valor dessa

parcela, devemos imaginar algém qe depo-

sie, mensalmene, m valor P, a ros com-

posos de 5%, drane 24 meses. Nesse caso, o

valor oal deposiado será igal ao reslado

da segine adio:

S = P(1,05+ 1,052 + 1,053 + ..... + 1,0524).

O valor de S, como vimos há poco, é

R$ 32 251,00. Para o cálclo da parcela P, será

preciso calclar a soma da progresso geoméri-

ca ormada pelos ermos denro dos parêneses.

32 251 = P .a

n. q – a

1

q – 1= P .

1,0524 . 1,05 – 1,05

1,05 – 1

32 251 = P .1,05 . (1,05 24 – 1)

1,05 – 1=

P . 21 . (1,0524 – 1)

Dado qe 1,0524 ≈ 3,225, aemos:

32 251 = P . 21 . (3,225 – 1)

32 251 = P . 46,725 ⇒ P = 690,23

Porano, a ros composos, a parcela de

nanciameno deverá ser igal a R$ 690,23.

Os cálclos envolvendo processos de ca-

pialiao e de amoriao so commene

visos em siaões do coidiano, mio em-

bora nem sempre de orma ransparene. Por

isso, é comm qe sram dúvidas por pare

dos alnos, as qais caberá ao proessor es-

clarecer. No caso qe analisamos há poco,

do nanciameno de R$ 10 000,00, é preciso

desacar com mia ênase dois aspecos ge-

radores de dúvidas. O primeiro deles reere-se

à necessidade de corrigir o valor nanciado,

iso é, mliplicar 10 000 por 1,0524. Os al-nos precisam enender qe o bem nanciado

será considerado qiado apenas qando a

úlima parcela or paga, e qe, por isso mes-

mo, é preciso considerar a correo do valor

nanciado. A segnda dúvida qe cosma

ocorrer nesse caso reere-se à necessidade de

calclar o valor ro de cada parcela qe vai

sendo paga, o qe cond ao cálclo da soma

da PG. É comm os alnos aerem, eqivo-

cadamene, a simples diviso do reslado do

prodo 10 000 . 1,0524 por 24 para deerminar

o valor de cada parcela. O proessor deve cha-

mar a aeno dos alnos para o ao de qe

as parcelas no so odas pagas ao nal do



48

nanciameno, mas sim em empos dierenes,

e qe, por isso mesmo, o valor ro de ma

parcela no é igal ao da ora.

jlgamos imporane qe o proessor disc-

a algns exemplos de cálclos de monanes

e de parcelas de amoriao, mas no deixe

de reomar o assno no 3o bimesre, qando

abordar o crescimeno exponencial.

Após discir algns exemplos com ses al-

nos, o proessor poderá propor a resolo da

segine seqência de problemas exemplares.

Pbema 1

uma nanceira remnera os valores in-

vesidos à base de 4% de ros simples. Qan-

o consegirá resgaar, nesse invesimeno,

ma pessoa qe deposiar, mensalmene,

R$ 500,00, drane 10 meses?

Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 +

560 + 580 + .... + 700.

S =(520 + 700) . 10

2= 1 220 . 5 = 6 100

O resgate será de R$ 6 100,00.

Pbema 2

Lara aderi a m plano de capialia-

o de m banco, deposiando, mensalmene,R$ 1 000,00, drane 12 meses. Se o banco

promee remnerar o dinheiro aplicado à axa

de 2% de ros composos ao mês, calcle

qano Lara resgaará ao nal do período.

(Dado: 1,0212 = 1,27.)

Trata-se de calcular a soma de termos em PG:

S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,02 2 + 1 000 .

10,23 + ..... + 1 000 . 1,0212

S = 1 000 (1,02 + 1,02 2 + 1,023 + ... +

1,0212)

S = 1 000 .a

n. q – a

1

q – 1=

1 000 .1,0212 . 1,02 – 1,02

1,02 – 1=

1000 .1,02 . (1,0212 – 1)

0,02

S = 1 000 . 51 . (1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27

= 13 770

Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.

Pbema 3

Carlos desea comprar m aomóvel qe

csará, daqi a de meses, R$ 15 500,00. Para

consegir se obeivo, Carlos resolve depo-siar ma qania x em m invesimeno qepromee remnerar o dinheiro aplicado à rao

de 10% de ros simples ao mês. Qal deve ser

o valor mínimo de x para qe Carlos consiga

comprar o aomóvel, ao nal dos de meses?

Sendo o cálculo do montante à base de juros

simples, temos a soma de termos em PA, da

seguinte maneira:

S = 1,1 . x + 1,2 . x + 1,3 . x + ...... + 2,0 . x

15 500 = x . (1,1 + 1,2 + 1,3 + ..... + 2,0)

15 500 = x .(a

1+ a

n) . n

2 ⇒




15 500 =x . (1,1 + 2,0) . 10

2 ⇒

15 500 = x . 15,5 ⇒ x = 1 000

Portanto, a parcela mínima a ser depositada

é igual a R$ 1 000,00.

Pbema 4

uma geladeira co preo à visa é de

R$ 1 500,00 será nanciada em seis parcelas

mensais xas. Se os ros composos cobra-

dos no nanciameno dessa geladeira so de

3% ao mês, qal é o valor da parcela mensal?

(Dado: 1,036 = 1,19.)

O valor uturo da geladeira, em seis meses,

será igual 1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 =

1 785.

A soma das parcelas fxas, a 3% de juros

compostos ao mês, recai em: S = P . (1,03

+ 1,03 2 + .... + 1,036),onde P é o valor da

parcela fxa mensal. Como S = 1 785, tem-

se: 1 785 =

P .1,036 . 1,03 – 1,03

1,03 – 1= P .

1,03(1,036 – 1)

0,03

P . 34,33 . (1,036 – 1) =

P . 34,33 . 0,19 =

1 785 = P . 6,5227 ⇒ P = 273,65

Portanto, a parcela mensal deverá ser igual

a R$ 273,65.

Pbema 5

jlia gardo, mensalmene, R$ 200,00 em

m banco qe remnero se dinheiro à base

de 4% ao mês de ros composos. Ao nal de

oio meses de aplicao, jlia so o dinheiro

qe havia gardado para dar de enrada em

m pacoe de viagem, qe csava, à visa,

R$ 5 000,00. O saldo devedor jlia preende

nanciar em cinco vees, em parcelas igaise xas, à axa de 2% ao mês. (Dados 1,048 ≈

1,37; 1,025 ≈ 1,10.)

a) Qano jlia de de enrada no pacoede viagem?

O valor total capitalizado exige o cálculo de

uma soma de termos em PG.

S = 200(1,04 + 1,04 2 + 1,043 + ....... +

1,048)

S = 200 .1,048 . 1,04 – 1,04

1,04 – 1=

200 .1,04(1,048 – 1)

0,04= 200 . 26 . (1,37 – 1)

= 1 924

Portanto, oram dados de entrada R$ 1 924,00.

b) Qal o valor da parcela mensal xa do nan-

ciameno do saldo do pacoe de viagem?

O valor fnanciado oi igual à dierença

entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja,

R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a 2%

ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60.

Uma parcela fxa P, paga todo mês e corrigida

à base de 2% ao mês, deve, ao fnal, gerar

montante equivalente a R$ 3 383,60.

3 383,60 = P(1,02 + 1,02 2 + 1,023 + 1,024

+ 1,025)

3 383,60 = P .1,025 . 1,02 – 1,02

1,02 – 1=



50

P .1,02(1,025 – 1)

0,02= P . 51 . 0,10 = P . 5,1

3 383,60 = P . 5,1 ⇒ P = 663,45

Portanto, a parcela fxa será igual a R$ 663,45.

Cseaes sbe a avaa

Nesa Siao de Aprendiagem, de or-

ma semelhane ao realiado na anerior, oi

proposo qe as somas das progressões arimé-

icas e progressões geoméricas ossem esda-

das paralelamene. Insisimos nessa práica,

pois enendemos qe ela valoria a exisência

de reglaridades nméricas possíveis de serem

radidas por eqaões maemáicas, em de-

rimeno da aplicao imediaa de órmlas na

resolo de exercícios desconexaliados.

A apresenao das expressões de cálclo

para as somas das seqências oi eia a parir

da ideia de qe cálclos qe se repeem devi-

do a algm ipo de reglaridade podem ser

radidos por inermédio de m algorimo,

iso é, por ma seqência ordenada de passos

qe, qando realiada correamene, cond

ao reslado deseado de orma mais rápida.

Consideramos imporane qe os alnos com-

preendam essa ideia e qe, após a exerciarem

drane a resolo de algns problemas,

possam, aonomamene, generaliar em ma

expresso o raciocínio envolvido no algorimo.

Os insrmenos preparados para a avalia-

o dos conceios aqi raados devero levarem cona, de acordo com as consideraões an-

eriores, a possibilidade de qe seam propos-

os problemas qe envolvam ano progressões

ariméicas, como progressões geoméricas,desenvolvidos sobre conexos dierenes dos

problemas apresenados e discidos drane

as alas, com base no conexo da Maemáica

Financeira e nos cálclos de monanes e de

parcelas em processos de capialiao.Gosaríamos, ainda, de ressalar o ao de

qe a obeno de soma de ermos de ma

PG exige, via de regra, o cálclo de ma po-

ência na qal, mias vees, a base no é m

número ineiro. As aplicaões das progressões

à Maemáica Financeira so exemplos clássi-

cos dessas siaões. Nesses casos, visando a

qe o aspeco da compreenso conceial no

sea sobrepado pela dicldade ariméica,

sgerimos ao proessor qe permia o so de

calcladoras, inclsive cienícas, aé mesmo

nas avaliaões individais. uma segnda s-

geso sege o qe oi eio na apresenao

no Problema 5 da Eapa 2, o sea, pode-se

ornecer ao alno o reslado aproximado da

poência necessária para a resolo do pro-

blema proposo.




SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4LIMItE DA SOMA DOS INFINItOS tERMOS DE uMA PG INFINItA


Ceús e emas: soma dos ermos de ma PG; limie da soma dos ermos de ma PG innia.

Cmpeêcas e habaes: iliar a lingagem maemáica para expressar a reglaridade dos padrõesde seqências nméricas o geoméricas; compreender a noo iniiva de limie de ma no; con-siderar a perinência da noo de innio no cálclo de qanidades deerminadas.



Nesa Siao de Aprendiagem, so pro-

postos problemas algébricos e geométricos, com

o obetivo de se investigar a soma dos termos de

ma progresso geomérica innia, com rao

real enre –1 e 1. Nesse percrso, são aborda-

das, iniivamene, das noões exremamen-

e imporanes na Maemáica. traa-se das

noções de continuidade e de infnito. Embora

cosmem casar nos alnos cera esranheza

e algma dicldade de compreenso, so con-

ceitos que estimulam sobremaneira a curiosida-

de e a inio e, por conseqência, ambém o

ineresse dos alnos pela Maemáica.

Qando ma progresso geomérica em

por rao m número real enre –1 e 1, die-

rene de ero, a seqência “ende” para ero.

Com isso, qeremos dier qe, à medida qe

amenamos a qanidade de ermos da se-

qência, mais o úlimo ermo se aproxima de

ero, mio embora nnca sea igal a ero.

A progresso geomérica 4, 2, 1,1

2,

1

4, ...,

por exemplo, ende a ero, assim como a

progresso –3, 1, –

1

3 ,

1

9 , –

1

27 , ... Nesses dois

casos, em qe a rao é m número real en-

re –1 e 1, é possível deerminar o ermo qe

desearmos, mas ele poderá ser o peqeno

qe, dependendo das exigências, poderá ser

considerado nlo. O cenésimo ermo da pri-

meira seqência, por exemplo, é igal a m

número qe em 30 eros após a vírgla, anes

de aparecer o primeiro algarismo no nlo.

É m número peqeno, se or comparado àespessra de m o de cabelo, mas no é pe-

qeno, se comparado às dimensões aômicas.

Amenando ainda mais o número de ermos,

além dos cem, chegará m momeno em qe o

reslado será peqeno mesmo qando com-

parado com a medida de raios aômicos. Mas

o ermo ainda no será nlo e ainda poderá

ser diminído. Nesse raciocínio eso conidas

as ideias da coninidade e do limie.

Connos nméricos innios e discreos,

como os Narais e os Ineiros, á oram es-

dados, em séries aneriores, e reomados

agora, no Ensino Médio. O ao de esses

connos possírem qanidade inmerável



52

de elemenos esá, normalmene, bem as-

similada pelos alnos, nesa eapa de ensino,

ma ve qe a ideia do “mais 1”, no caso dos

Narais, o do “menos 1”, no caso dos In-eiros, caracerísicas dos connos discre-

os, vem sendo apresenada a eles desde qe

comearam sa escolaridade. A dicldade

srge na passagem do discreo para o coní-

no, qando a noo de innio ganha ma

nova dimenso. Como explicar, por exemplo,

qe m segmeno AB, de deerminado com-

primeno, pode ser dividido em anas pares

qanas se desear, no havendo medida li-mie para o comprimeno de cada ma das

pares qe srgem?

Na Grécia aniga, a conraposio enre

discreo e coníno raia, á, algns proble-

mas de inerpreao. Para os piagóricos,o número era a reerência de oda dúvida e

oda dicldade. Segndo eles, se no osse

pelo número e por sa narea, nada do qe

exise poderia ser compreendido por algém,nem em si mesmo, nem com relao a oras

coisas. Os números consiíam o verdadeiro

elemeno de qe era eio o mndo. Chama-

vam m ao pono, s à linha, ês à sperí-

cie e qa ao sólido. A parir de m, s, ês

e qa, podiam consrir m mndo.

A concepo geomérica dos gregos do

séclo V a.C., infenciada pela viso dos pi-

agóricos, enendia qe o número de ponosde ma linha deerminada seria nio, mio

embora no osse possível qanicá-lo. Em

oras palavras, a noo do coníno no a-

ia pare das ideias geoméricas de eno. Essa

concepo de ma série de ponos saposos,

como ma grande la, de maneira qe qal-

qer segmeno poderia ser qanicado como

ma deerminada qanidade de ponos, o,

em oras palavras, qe odo segmeno po-deria ser mensrável, cai por erra a parir

da descobera da incomensrabilidade siml-

ânea da diagonal e do lado do qadrado: se

m é pereiamene mensrável, o oro no

poderá ser.

O proessor poderá comenar com ses

alnos algns dos aspecos hisóricos qe

localiam a crise da escola piagórica em re-

lao à incomensrabilidade de 2 e à des-

cobera dos irracionais. uma boa “enrada”

para a qeso é a apresenao dos para-

doxos de zeno, especialmene o paradoxo

da corrida enre Aqiles e a ararga, qe

disciremos mais adiane. Parece-nos, por-

ano, qe o conexo das progressões geo-

méricas endendo a ero pode ser ma boa

pora de enrada para a inrodo da noo

de innio associada à de coninidade dosnúmeros reais.

Para inrodir o limie da soma dos in-

nios ermos de ma PG, sgerimos qe

o proessor recorra, prioriariamene, à

inio dos alnos, posergando a neces-

sária ormaliao para mais arde, qando

o conceio esiver raoavelmene consrído.

Nesse senido, o proessor pode parir do

cálclo da soma de ermos de ma PG comas caracerísicas deseadas, amenando,

poco a poco, o número de ermos, a m

de inir a ideia de qe haverá m limie para

a soma, como no problema segine, qe co-

menamos em dealhes.




Anecedendo a resolo, o proessor podepropor aos alnos as segines qesões:

a) Quanto mede o lado PQ do triângulo

PQR? E os lados PR e RQ?

b) Qual é o perímetro dos triângulos ABC,

PQR e STU?

c) Escreva uma sequência numérica cujos

termos são os perímetros dos triângulosABC, PQR, STU e mais outros dois triân-

gulos construídos segundo o critério.

Para essas qesões, é imporane qe o

proessor disca, inicialmene, qe, dado m

riânglo ABC, se P e Q so ponos médios

A

PB

C

Q

R U

TS

O triângulo ABC da fgura é equilátero

de lado 1. Unindo os pontos médios dos lados

desse triângulo, obtemos o segundo triânguloPQR. Unindo os pontos médios dos lados do

triângulo PQR, obtemos o terceiro triângulo

STU, e assim sucessivamente. Determine a

soma dos perímetros dos infnitos triângulos

construídos por esse processo.

dos lados AB e BC, respecivamene, eno

PQ é paralelo a AC, e sa medida é igal à

meade de AC. O mesmo vale para os demais

lados do riânglo PQR, viso qe o riângloABC é eqiláero.

Dessa orma, os perímeros dos riânglos

da gra so 3,3

2e

3

4.

A seqência de riânglos assim consrí-

dos erá perímeros respecivamene igais a:

3,3

2,

3

4,

3

8,

3

16, ....

Após esse rabalho inicial, sgere-se qe osalnos calclem as somas dos perímeros: dos

dois primeiros, dos rês primeiros e assim por

diane.

Assim, os alnos oberiam as somas:

S1

= 3

S2

= 3 +3

2=

9

2= 4,5

S3 = 3 + 32

+ 34

= 214

= 5,25

S4

= 3 +3

2+

3

4+

3

8=

45

8= 5,625

S5

= 3 +3

2+

3

4+

3

8+

3

16=

93

16= 5,8125

S6= 3 +

3

2+

3

4+

3

8+

3

16+

3

32=

18916 = 5,90625

S7= 3 +

3

2+

3

4+

3

8+

3

16+

3

32+

3

64=

381

64= 5,953125



54

Após esses cálculos, o proessor poderia

solicitar que os alunos fzessem suas conjec-

turas a respeito deles, procurando responder à

questão: O que acontece à soma, se as parcelas

orem aumentando com os perímetros de outros

triângulos da sequência?

É importante discutir com a classe que as

somas aumentariam, com o acréscimo de novas

parcelas, mas esse crescimento é cada vez menor.

O uso da órmula da soma dos termos de

uma PG pode ampliar essa discussão:

S =a

n. q – a

1

q – 1=

an

.

1 4 3

1 4 3

1

2–3

1

2–1

=

an

2– 3

– 1

2

A soma assim obtida está em unção de an,

aqui considerado o último termo. O questiona-

mento seguinte aos alunos é sobre o que ocorre

com an, à medida que n cresce muito. As respos-

tas dos alunos tendem a caminhar no sentidoda intuição de que o último termo da sequên-

cia, supondo grande número de termos, será

praticamente zero ou, como o proessor pode-

rá comentar, “tenderá a zero”. Assim, por meio

da ideia de limite, pode-se perguntar aos alunos

como fca a expressão da soma, uma vez que an

é praticamente nulo. O correto será, nesse mo-

mento, trocar “S” por “lim Sn

”

lim Sn

=

an

2 – 3

– 1

2

= 0 – 3

– 1

2

= 6

Esse resultado nos diz que, quanto mais

acrescentarmos termos à soma em questão,

∞

∞

mais nos aproximaremos do valor limite, 6,

sem jamais alcançá-lo.

Assim, podemos escrever que a série infni-ta 3 +

3

2+

3

4+

3

8+

3

16+ ... = 6, ou seja, o

limite da soma quando n tende ao infnito é 6.

Reproduzindo esse raciocínio na expressão

do cálculo da soma da PG, obtém-se a expres-

são do limite da soma dos infnitos termos de

uma PG com razão no intervalo –1 < q < 1,

que é esta:

lim Sn

= a1

1 – q

A partir dessa discussão, será possível pro-

por aos alunos a resolução das seguintes situa-

ções-problema exemplares.

Problema 1

Por mais que aumentemos o número de

termos na adição

S = 2 +1

2 +1

8 +1

32 + ...,

existirá um valor limite, isto é, um valor do

qual a soma se aproxima cada vez mais, po-

rém nunca o atingindo? Qual é esse valor?

O valor procurado corresponde ao limite da

soma de uma PG de razão1

4para o número

de termos tendendo a infnito. Podemos azer:

lim S n =

a1

1 – q = 1 – 1

4

2

=

8

3

Portanto, por mais que aumentemos a

quantidade de parcelas da soma, nunca

ultrapassaremos o valor8

3, embora cada

vez mais nos aproximemos dele.

∞

∞




Pbema 2

Calcule o resultado limite das seguintes somas:

a) S = –10 + 1 – 0,1 + 0,01 – 0,001 +0,0001 – ....

–100

11

b) S =2

5+

1

5+

1

10+

1

20+

1

40+ ....

4

5

Pbema 3

uma bola de borracha cai da alra de 6 m,

bae no solo e sobe aé a era pare da al-

ra inicial. Em segida, a bola cai novamene,

bae no solo, invere o senido de movimeno

e sobe aé aingir a era pare da alra an-

erior. Coninando se movimeno segndo

essas condiões, iso é, aingindo, após cada

baida, a era pare da alra qe aingi

após a baida imediaamene anerior, qal

será a disância verical oal percorrida pela

bola aé parar?

6 m

Temos a seguinte soma para as distâncias

percorridas pela bola, durante as descidas:

S descida = 6 + 2 +

2

3 +

2

9 + ....

Temos a seguinte soma para as distâncias

percorridas pela bola, durante as subidas:

S subida

= 2 + 2

3+

2

9+ ....

S descida

= m S n ∞

=a

1

1 – q=

1 –1

3

2= 3

S subida

= 6 + 3 = 9

Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual a S

descida+ S

subida= 12 m.

Pbema 4

Resolva a eqao em qe o primeiro ermo

da igaldade é o limie da soma dos ermos

de ma PG innia:x

2+

x

8+

x

32+ ... = 18

1 –1

4

x

2

= 18 ⇒ x = 27

Pbema 5

(Adapado do Paradoxo de zeno) uma

corrida será dispada enre Aqiles, grande

alea grego, e ma ararga. Como Aqiles é

10 vees mais rápido do qe a ararga, esa

parirá 10 meros à rene de Aqiles, conor-

me represenado no esqema abaixo.

10 m



56

c) Calcle a soma das innias disânciaspercorridas por Aqiles aé chegar aopono em qe se enconrava a ararga

a cada ve.

m S n

=a

1

1 – q=

10

1 – 0,1=

10

0,9=

100

9m.

) Qanos meros percorrerá Aqiles aéalcanar a ararga? O você acrediaqe ele no a alcana?

Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer

100

9

m.

Pbema 6

Qal é o reslado da rai

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ...... ?

A expressão pode ser re-escrita da seguinte

orma:

2 . 2 . 2 . 2 . ... = 2

1

2

1

4

1

8

1

16

1

2

+1

4

+1

88

+1

16

+ ...

Trata-se de calcular o limite da soma da PG

de primeiro termo igual a1

2e razão igual a

1

2, cujo resultado é 1. Assim, o resultado da

raiz é igual a 21 = 2.

Pbema 7

uma dívida oi paga, mensalmene, da se-gine maneira:

1o mês: meade do valor inicial da dívida;

2o mês: meade do valor resane após o pa-

gameno da parcela anerior;

Qando Aqiles chego ao pono em qe

a ararga esava inicialmene, depois de per-

correr 10 m, a ararga, 10 vees mais lena,

esava 1 m à rene.

Aqiles, eno, corre 1 m, aé o pono em

qe a ararga esava, mas ela á no esava

mais lá: esava 10 cm à rene, pois corre, no

mesmo inervalo de empo, 10 vees menosqe Aqiles, e a décima pare de 1 mero é

10 cm.

Repeindo esse raciocínio para os iner-

valos de empo segines, parece qe Aqilesnnca alcanará a ararga, pois ela sempre

erá percorrido 1

10do qe Aqiles percorrer.

Será mesmo verdade qe ele nnca alcanará

a ararga?

a) Escreva a seqência das disâncias qeAqiles percorre aé chegar ao ponoem qe a ararga esava a cada ve.

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ....

b) A seqência das disâncias é ma PG.Qal é a rao dessa PG?

0,1.

∞

1 m

10 cm




3o mês: meade do valor resane após o

pagameno da parcela anerior;

4o

mês: meade do valor resane após opagameno da parcela anerior;

e assim scessivamene, aé a qiao

oal da dívida.

Veriqe qe a soma das parcelas pagas

corresponde ao valor oal da dívida.

Levando-se ao pé da letra a descrição

ornecida no enunciado, a dívida jamais

seria paga, pois sempre restaria um resíduo, por menor que osse. Podemos, no entanto,

calcular o limite da soma da PG ormada

pelas parcelas, pois esse será o valor limite

da dívida. Chamando de x o valor total

da dívida,

S =x

2+

x

4+

x

8+

x

16+ ... =

a1

1 – q=

1 –1

2

x

2 =1

2

x

2 = x

Pbema 8

Deermine a gerari da díima 1,777...

O aluno deve ser convidado a decompor a

dízima em uma soma:

1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +

0,007 + .....

Depois, sugira que escreva essa soma utili-

zando rações para representar os números

envolvidos. Assim,

1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +

0,007 + .....= 1 +7

10+

7

100+

7

1000+ ....

Desse modo, os alunos concluirão que as

parcelas 7 10

, 7 100

, 7 1000

, .... ormam uma

PG infnita de razão q =1

10e primeiro termo

a1

= 7

10.

Assim, aplicando a órmula do limite da

soma lim Sn =a

1

1 – q, obtém-se:

lim Sn =a

1

1 – q=

1 –1

10

7

10=

9

10

7

10=

7

9 .

Desse modo, a geratriz de 1,777... será

1 + 7

9= 16

9.



58

Cseaes sbe a avaa

Nesa Siao de Aprendiagem, aborda-

mos dois conceios maemáicos bem abran-

genes, qe oram os conceios de coninidade

e de innio. Isso se de a parir do rabalho

com siaões-problema, cas resolões im-

plicavam a soma dos ermos de ma PG in-

nia, com rao real enre –1 e 1. No exise,

de orma algma, a preenso de qe esses

conceios seam pereiamene compreendi-

dos nesa eapa de escolariao, na 1a série

Na 1a série do Ensino Médio, os alnos,iniciando se úlimo ciclo de escolaridade bá-sica, comeam a omar conao com aspecosda Maemáica qe exigem maior elaboraoalgébrica e ambém a mobiliao de esra-égias de raciocínio mais elaboradas. Mesmo

qe os coneúdos maemáicos apresenados aeles nese momeno seam ainda de poca di-cldade conceial, o proessor deverá esaraeno para a presena de alnos qe, evenal-mene, no enham consegido complear aconsro conceial da maneira proeada.Se processos de recperao so imporanesem qalqer eapa de escolaridade, o so ain-

da mais agora, ao iniciar-se o Ensino Médio.

Para os alnos qe necessiarem de recpe-rao, sgerimos, em primeiro lgar, qe o ipo

de consro dos conceios proposo nese

Caderno no sea alerado, sobredo no qe

di respeio à idenicao da reglaridade da

seqência e à possibilidade de radi-la por

inermédio de ma eqao maemáica. Se no

se alera a concepo, alera-se, por oro lado,

a orma com qe devem ser abordados os con-

ceios. Assim, sgerimos qe o proessor:

prepare e apliqe lisas de problemas com ca-f

racerísicas mais ponais, qe explorem de

orma mais lena e gradal cada conceio;

recorra ao livro didáico adoado e am-f

bém a oros, selecionando problemas e

agrpando-os de modo a ormar lisas de

aividades em concordância com a propos-

a de consro conceial desenvolvida

nese Caderno;

orme grpos de alnos para a realiaof

conna das seqências didáicas qe ela-

boro e, se possível, convoqe alnos com

maior desenvolra nos conceios esdados

para axiliarem os grpos em recperao.

ORIENtAçÕES PARA RECuPERAçãO

do Ensino Médio. Exise, sim, a ineno de

qe possam er sido aponadas relaões qe

sero exploradas na 3a série, qando os alnos

esiverem esdando o conno de odas as

nões e as axas de variao.

Com relao aos insrmenos pensados

para a avaliao dos conceios rabalhados no

período, valem, aqi, as consideraões eias

na Siao de Aprendiagem anerior, a res-

peio da permisso ao so de calcladoras o

à inormao sobre o reslado das poências

de expoenes elevados.




RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DOPROFESSOR E DO ALuNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA

Caso o proessor lge necessário apro-ndar o esdo de algns dos emas apre-

senados nese Caderno, sgerimos a leira,

denre oros, dos segines arigos da Revista

do Proessor de Matemática (RPM), da Socie-

dade Brasileira de Maemáica:

ÁVILA, G. “As séries innias”. Revisa do

Proessor de Maemáica, n. 30.

CARVALHO, P. C. P. “um problema domés-ico”. Revisa do Proessor de Maemáica, n. 32.

LIMA, E. L. “uma consro geomérica

e a progresso geomérica”. Revisa do Pro-

essor de Maemáica, n. 14.

VALADARES, E. e WAGNER, E.“usando

geomeria para somar”. Revisa do Proessor

de Maemáica, n. 39.



60

conSideraçÕeS FinaiS

Nese Caderno, oram apresenadas diver-sas siaões-problema envolvendo as princi-

pais noões de seqências e de progressões

ariméicas e geoméricas. Foram sgeridas

aividades qe propiciam experiências edca-

ivas diversicadas e qe enendemos como

essenciais para o desenvolvimeno de compe-

ências relaivas a esse ema.

Convém ressalar qe as expecaivas de

aprendiagem para o 1o bimesre da 1a série do

Ensino Médio no expressam odos os coneú-

dos reerenes ao ema do bimesre, mas apenas

os aspecos considerados ndamenais, iso é,

aqeles qe possibiliam ao alno coninar

aprendendo, nos bimesres segines, sem qe

se aproveiameno sea compromeido.

Assim, espera-se qe o alno, ao nal do

bimesre, obenha os ermos de ma seqência

a parir da expresso de se ermo geral e de-

ermine essa expresso a parir de ses ermos.

Além disso, o alno deverá classicar ma

progresso (ariméica o geomérica), ober

a expresso do ermo geral e calclar a soma

dos ermos de ma progresso em siaões

diversas. Em relao às progressões geoméri-

cas, espera-se, ambém, qe o alno calcle o

limie da soma de ma PG innia.

Ressale-se qe a avaliao deve ornecer

inormaões ao esdane sobre se desen-

volvimeno, a respeio de sas capacidades

em iliar as noões aprendidas em sia-

ões-problema. Por oro lado, a avaliao

deve ornecer ao proessor dados sobre a

aprendiagem de ses alnos, para a ade-

qao das siaões apresenadas e a pro-

posio de novas.

O proessor deve er clareza sobre os

criérios da avaliao e as limiaões e pos-

sibilidades dos insrmenos qe serão i-

lizados. Os insrmenos de avaliação de-

vem, ambém, conemplar as explicações,

jsifcaivas e argmenações orais, ma

ve qe esas revelam aspecos do raciocínio

qe, mias vezes, não fcam explícios nas

avaliaões escrias.

Para qe se enha ma ideia mais níida

das múliplas iner-relaões enre os diver-

sos coneúdos aqi raados, apresenamos,

a segir, a grade crriclar com os coneúdos

de Maemáica de odas as séries do Ensino

Médio, desacando-se com m sombreado os

coneúdos de oras séries e de oros bimes-

res direamene relacionados com os coneú-

dos apresenados nese Caderno.




conTeÚdoS de MaTeMÁTica Por SÉrie/biMeSTre

do enSino MÉdio1a sée 2a sée 3a sée

1 o B

i m e s t r e

NÚMEROS E SEQuÊNCIAS- Connos nméricos.- Reglaridades nméricas:seqências.- Progressões ariméicas, pro-gressões geoméricas; ocorrênciasem dierenes conexos; noõesde Maemáica Financeira.

tRIGONOMEtRIA- Arcos e ânglos; gras e radia-nos.- Circnerência rigonomérica:seno, cosseno, angene.- Fnões rigonoméricas eenômenos periódicos.- Eqaões e ineqaões rigono-méricas.- Adio de arcos.

GEOMEtRIA ANALÍtICA- Ponos: disância, pono médioe alinhameno de rês ponos.- Rea: eqao e esdo doscoecienes, reas paralelas e per-pendiclares, disância de ponoa rea; problemas lineares.- Circnerências e cônicas: pro-priedades, eqaões, aplicaõesem dierenes conexos.

2 o B

i m e s t r e

FuNçÕES- Relao enre das grandeas.- Proporcionalidades: direa,inversa, direa com o qadrado.- Fno do 1o gra, no do2o gra; signicado e ocorrênciaem dierenes conexos.

MAtRIzES, DEtERMINAN-tES E SIStEMAS LINEARES- Maries: signicado como a-belas, caracerísicas e operaões.- A noo de deerminane dema mari qadrada.- Resolo e discsso de sise-mas lineares: escalonameno.

EQuAçÕES ALGÉBRICAS,POLINÔMIOS, COMPLEXOS- Eqaões polinomiais: hisória,das órmlas à análise qaliaiva.- Relaões enre coecienes e ra-íes de ma eqao polinomial.- Polinômios: idenidade, divisopor x - k e redo no gra dema eqao.- Números complexos: signica-do geomérico das operaões.

3 o B

i m e s t r e

FuNçÕES EXPONENCIAL E

LOGARÍtMICA- Crescimeno exponencial.- Fno exponencial: eqaõese ineqaões.- Logarimos: denio, proprie-dades, signicado em dierenesconexos.- Fno logarímica: eqaõese ineqaões simples.

ANÁLISE COMBINAtÓRIA

E PROBABILIDADE- Raciocínio combinaório: prin-cípios mliplicaivo e adiivo.- Probabilidade simples.- Arranos, combinaões e per-maões.- Probabilidades; probabilidadecondicional.- triânglo de Pascal e Binômiode Newon.

EStuDO DAS FuNçÕES

- Panorama das nões á es-dadas: principais propriedades.- Grácos: nões rigonoméri-cas, exponenciais, logarímicas epolinomiais.- Grácos: análise de sinal, cres-cimeno, decrescimeno, axas devariao.- Composio: ranslaões, refe-xões, inversões.

4 o B

i m e s t r e

GEOMEtRIA-tRIGONOME-tRIA- Raões rigonoméricas nos

riânglos reânglos.- Polígonos reglares: inscrio,circnscrio; pavimenaosperícies.- Resolo de riânglos noreânglos: lei dos senos e lei dosco-senos.

GEOMEtRIA MÉtRICAESPACIAL- Organiao do conhecimeno

geomérico: conceios primiivos,deniões, poslados, eoremas.- Prismas e cilindros: proprieda-des, relaões méricas.- Pirâmides e cones: proprieda-des, relaões méricas.- A esera e sas pares; relaõesméricas; a esera erresre.

EStAtÍStICA- Cálclo e inerpreao deíndices esaísicos.

- Medidas de endência cenral:média, mediana e moda.- Medidas de disperso: desviomédio e desvio padro.- Elemenos de amosragem.

O sombreado assinala os coneúdos relacionados aos rabalhados nese bimesre.

a cp 1s vol1reduzido

Documents