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caderno do

volume 1 - 2009

PROFESSOR

mat

Emát

ica

ensino médio

2ª- SÉRiE

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.

ISBN 978-85-7849-187-1

1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.

CDU: 373.5:51

S239c

GovernadorJosé Serra

Vice-GovernadorAlberto Goldman

Secretária da EducaçãoMaria Helena Guimarães de Castro

Secretária-AdjuntaIara Gloria Areias Prado

Chefe de GabineteFernando Padula

Coordenadora de Estudos e NormasPedagógicasValéria de Souza

Coordenador de Ensino da RegiãoMetropolitana da Grande São PauloJosé Benedito de Oliveira

Coordenadora de Ensino do InteriorAparecida Edna de Matos

Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDEFábio Bonini Simões de Lima

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos ProfessoresGhisleine Trigo Silveira

AUTORES

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume

Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos

Matemática

Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli

Caderno do GestorLino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie

Equipe de Produção

Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza

Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti

Equipe Editorial

Coordenação Executiva: Angela Sprenger

Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)

APOIOFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

CTP, Impressão e AcabamentoImprensa Oficial do Estado de São Paulo

EXECUÇÃO

Coordenação GeralMaria Inês Fini

ConcepçãoGuiomar Namo de MelloLino de MacedoLuis Carlos de MenezesMaria Inês FiniRuy Berger

GESTÃO

Fundação Carlos Alberto Vanzolini

Presidente do Conselho Curador:Antonio Rafael Namur Muscat

Presidente da Diretoria Executiva:Mauro Zilbovicius

Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:Guilherme Ary Plonski

Coordenadoras Executivas de Projetos:Beatriz Scavazza e Angela Sprenger

COORDENAÇÃO TéCNICA

CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Prezado(a) professor(a),

Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das

prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, enca-

minhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.

As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos

pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova pro-

posta em sala de aula no ano passado.

Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concre-

tizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.

O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área

de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação

para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.

Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-peda-

gógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou

dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem

a eficácia deste trabalho.

Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamen-

te iremos vencê-lo!

Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de CastroSecretária da Educação do Estado de São Paulo

SuMário

São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5

Ficha do Caderno 7

orientação geral sobre os Cadernos 8

Situações de Aprendizagem 12

Situação de Aprendizagem 1 – O reconhecimento da periodicidade 12

Situação de Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo da circunferência trigonométrica 20

Situação de Aprendizagem 3 – Gráficos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos 35

Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas 49

Orientações para Recuperação 56

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 58

Considerações finais 59

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 60

5

São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a),

É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do

Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun-

damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão

também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas

durante a primeira fase de implantação da proposta.

Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida

das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto

na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-

tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam

ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.

A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.

Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-

nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e

consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o

que estava sendo proposto.

Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para

o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse

processo.

Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação

da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,

gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.

Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no

contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia

escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da

aprendizagem e de seus resultados.

6

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,

na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-

lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas

e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-

cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e

recursos didáticos.

Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de

São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das

ações propostas para a construção de uma escola melhor.

O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que

acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a

em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será

apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi

alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos

Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.

Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para

que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo

este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que

pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade

a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever

esse sucesso, que também é de vocês.

Bom ano letivo de trabalho a todos!

Maria inês FiniCoordenadora Geral

Projeto São Paulo Faz Escola

7

FiCHA do CAdErno

trigonometria

nome da disciplina: Matemática

área: Matemática

Etapa da educação básica: Ensino Médio

Série: 2ª-

Período letivo: 1º- bimestre de 2009

temas e conteúdos: O modelo da circunferência trigonométrica e

os fenômenos periódicos

Arcos e ângulos: graus e radianos; as funções

seno e cosseno: gráficos e elementos

Equações e inequações trigonométricas:

resolução gráfica e resolução algébrica

8

oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS

Os temas escolhidos para compor o conteú-

do disciplinar de cada bimestre não se afastam,

de maneira geral, do que é usualmente ensina-

do nas escolas, ou do que é apresentado pe-

los livros didáticos. As inovações pretendidas

referem-se à forma de enfoque destes temas,

sugerida ao longo dos Cadernos de cada um

dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evi-

denciar os princípios norteadores do presente

currículo, destacando-se a contextualização

dos conteúdos, as competências pessoais envol-

vidas, especialmente as relacionadas à leitura e

à escrita matemática, bem como os elementos

culturais internos e externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão

organizados em oito unidades de extensões

aproximadamente iguais, que podem cor-

responder a oito semanas de trabalho letivo.

De acordo com o número de aulas disponíveis

por semana, o professor vai poder explorar cada

assunto com mais ou menos profundidade, ou

seja, escolherá uma escala adequada para tra-

tar do tema. A critério do professor, em cada

situação específica, o tema correspondente a

uma das unidades pode ser estendido para mais

de uma semana, enquanto o de outra unidade

pode ser tratado de modo mais simplificado.

É desejável que o professor contemple todas

as oito unidades, uma vez que, juntas, com-

põem o panorama dos conteúdos do bimestre,

e, muitas vezes, uma das unidades contribui

para a compreensão das outras. Insistimos, en-

tretanto, no fato de que somente o professor,

com base nas particularidades que conhece, e

levando em consideração seu interesse e o dos

alunos pelos temas apresentados, pode deter-

minar com adequação o tempo ideal a ser de-

dicado a cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos, são apresen-

tadas, além de uma visão panorâmica do

conteúdo do bimestre, quatro Situações de

Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem

ilustrar a forma de abordagem sugerida, ins-

trumentando o professor para sua ação na

sala de aula. As atividades são independen-

tes e podem ser exploradas pelos professores

com mais ou menos intensidade, conforme

seu interesse e de sua classe. Naturalmen-

te, em razão das limitações no espaço dos

Cadernos, nem todas as unidades foram

contempladas com Situações de Aprendiza-

gem, mas a expectativa é de que a forma de

abordagem dos temas seja explicitada nas

atividades oferecidas.

São apresentados também, em cada Cader-

no, sempre que possível, materiais disponíveis

(textos, softwares, sites e vídeos, entre outros)

em sintonia com a forma de abordagem pro-

posta, que podem ser utilizados pelo professor

para o enriquecimento de suas aulas.

O Caderno é ainda composto de algumas

considerações sobre a avaliação a ser rea-

lizada, bem como o conteúdo considerado

indispensável ao desenvolvimento das com-

petências esperadas no presente bimestre.

9

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

Conteúdos básicos do bimestre

O estudo da Trigonometria, ao relacionar

esses eixos, permite que sejam associadas en-

tre si relevantes ideias matemáticas. No caso

da Geometria e Medidas, o elemento nortea-

dor de todo o trabalho é a proporcionalidade,

enquanto os conceitos pertinentes ao segun-

do eixo, Números e Funções, têm por detrás

de si a ideia fundamental da periodicidade de

determinados fenômenos, e a possibilidade de

modelá-los, isto é, representá-los por intermé-

dio de uma equação matemática.

A ideia da proporcionalidade está pre-

sente no estudo das relações métricas en-

tre lados do triângulo retângulo e a noção

de semelhança, base para a aplicação das

razões trigonométricas seno, cosseno e tan-

gente. Assim, o início dos trabalhos do bi-

mestre inclui a avaliação do conhecimento

que os alunos desenvolveram anteriormente

sobre tais conceitos. Caso o professor iden-

tifique que as razões trigonométricas não

foram apresentadas aos alunos na 8ª- série

do Ensino Fundamental e na 1ª- série do

Ensino Médio, conforme previsto na pre-

sente Proposta Curricular, será deter-

minante que esse trabalho inicial não se

restrinja à retomada de conceitos deman-

dando, dessa forma, maior atenção do pro-

fessor. É fundamental que, para o início do

Geometria e Medidas Trigonometria Números e Funções

estudo das funções trigonométricas, a base

conceitual da proporcionalidade esteja ra-

zoavelmente consolidada.

Para estudar a periodicidade observada

em enorme gama de fenômenos naturais

foi preciso criar um modelo matemático. O

que melhor se aplica, nesse caso, é o mode-

lo em que um ponto gira em torno de uma

circunferência. A percepção de que um mo-

delo tão simples como esse permite traduzir

por equações matemáticas o comportamento

de diversos tipos de grandezas, amplia e dá

movimento à ideia da regularidade, da repe-

tição de um determinado padrão. As funções

trigonométricas, nesse contexto, podem ser

apresentadas aos alunos a partir de experi-

mentos reais ou de pensamento, para que

eles, além da motivação intrínseca e desejada,

percebam a necessidade do estudo que ora

se inicia. A Situação de Aprendizagem 1 – o reconhecimento da periodicidade contém pro-

posta de duas situações – O movimento apa-

rente do Sol e o comprimento das sombras,

e As sombras longas –, nas quais os alunos

são convidados, inicialmente, a reconhecer a

regularidade dos fenômenos envolvidos e, em

uma etapa posterior, a representar a variação

periódica observada por intermédio de um

gráfico cartesiano.

A Trigonometria, conteúdo propos-

to para ser desenvolvido no 1º- bimes-

tre da 2ª- série, apresenta a importante

característica de estabelecer ligação entre o

eixo Geometria e Medidas e o eixo Número

e Funções.

10

Um ponto girando em torno de uma cir-

cunferência é o modelo ideal para analisar a

periodicidade de determinados fenômenos e

para expressá-la por intermédio de equações

matemáticas. Esse modelo, portanto, precisa

ser compreendido com clareza pelos alunos a

fim de que eles possam ser apresentados, sem

sobressaltos, às funções trigonométricas. Uma

das possibilidades para a introdução do mode-

lo consiste em associar o movimento do ponto

que gira em torno da circunferência a algum fe-

nômeno periódico de fácil identificação, como,

por exemplo, o movimento aparente do Sol du-

rante a passagem dos dias. Essa foi a as sociação

escolhida para a proposição da Situação de Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo da circunferência trigonométrica, cuja realiza-

ção, espera-se, permitirá que o aluno, por um

lado, relacione as razões trigonométricas do

triângulo retângulo às medidas das projeções

do ponto sobre os eixos coordenados, e, por

outro, que perceba a possibilidade de esboçar

situações reais por meio de equações que en-

volvam senos ou cossenos. Ainda na Situação

de Aprendizagem 2, destacamos a importân-

cia de os alunos navegarem com desenvoltura

pela circunferência trigonométrica, ao iden-

tificarem extremidades finais de arcos com

medidas entre 0º e 360º, exprimindo-as inicial-

mente em graus e posteriormente em radianos

e que, além disso, associem arcos de medidas

maiores que 360º aos côngruos na primeira

determinação positiva.

Uma das formas de tratamento dos conteú-

dos da trigonometria, normalmente adotado,

envolve a apresentação dos gráficos das fun-

ções y = senx e y = cosx apenas após o estudo

das equações, inequações e das relações entre

as funções. Entendemos que essa maneira de

conduzir o estudo restringe a possibilidade de

se agregar significados conceituais, uma vez

que as equações e as inequações são apresen-

tadas e resolvidas de forma descontextualiza-

da, não associadas a grandezas de natureza

conhecida dos alunos. A proposta de se reali-

zar o estudo das funções concomitantemente

ao dos demais conceitos permite associações

explícitas entre a periodicidade observada e

o modelo matemático escolhido, de maneira

que o estudo pode desenvolver-se sobre con-

textos significativos para os alunos. Por isso,

já na Situação de Aprendizagem 2 propomos

que, simultaneamente à apresentação do seno

e do cosseno de arcos medidos sobre a cir-

cunferência trigonométrica, os alunos sejam

convidados a construir os gráficos cartesianos

das funções y = senx e y = cosx. Não se trata,

porém, de se deter em demasia sobre a aná-

lise dos gráficos neste momento, visto que o

objetivo principal é que os alunos percebam

que o formato da “onda” desenhada reflete a

periodicidade de diversos fenômenos.

A Situação de Aprendizagem 3 – Gráfi-cos das funções periódicas envolvendo senos e cossenos vai permitir aos alunos que re-

conheçam as características dos gráficos das

funções y = senx e y = cosx e também que

avaliem as transformações sofridas pelos

gráficos com a inclusão de constantes nas

equações. Em outras palavras, após a apli-

cação da atividade, espera-se que os alunos

identifiquem as principais características dos

gráficos de funções do tipo y = C + A.senb.x

ou y = C + A.cosb.x.

11


Quadro geral de conteúdos do 1o- bimestre da 2a- série do Ensino Médio

A resolução de equações do tipo sen(ax) = m

ou cos(bx) = n é um procedimento esperado

dos alunos, uma vez que exige conhecimentos

que devem ser construídos nesta etapa de es-

tudo. A importância dos conceitos trigonomé-

tricos justifica a sua abordagem em diferentes

contextos, com distintos significados. Alguns

desses contextos foram adotados na elabora-

ção da Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas, na qual os alunos vão entrar

em contato com situações reais que implicam

a resolução de equações trigonométricas.

Para uma determinada função f(x), pode ou

não ser possível estabelecer a relação f(x + b) =

f(x) + f(b). As funções de 1º- grau, por exem-

plo, obedecem a essa relação, enquanto as de

2º- grau, não. Nas funções trigonométricas, es-

pecialmente, essa relação não pode ser aplica-

da, embora os alunos normalmente o façam.

Dessa forma, é necessário dedicar períodos de

aula para a apresentação do cálculo de senos

e/ou de cossenos de soma de arcos, o que fica

a cargo do professor definir a escala que julgar

adequada à condução dessa atividade.

A organização do trabalho com os con-

teúdos de trigonometria, sob o foco da pe-

riodicidade descrito anteriormente, pode ser

realizada com base nas seguintes oito unidades,

cor respondendo, aproximadamente, a oito se-

manas de aula.

unidade 1 – Reconhecimento e registro da periodicidade.

unidade 2 – O modelo da circunferência trigonométrica com as medições de senos e de cossenos de arcos de 0º a 360º; arcos côngruos; arcos notáveis e sime-trias na circunferência.

unidade 3 – Funções trigonométricas: os gráficos das funções y = senx e y = cosx; graus e radianos; senos e cossenos de arcos medidos em radianos.

unidade 4 – Equações e inequações do tipo senx = m ou cosx = k.

unidade 5 – Funções trigonométricas: grá-ficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx.

unidade 6 – Equações e inequações do tipo C + AsenBx = m ou C + AcosBx = k.

unidade 7 – Funções trigonométricas: tangente e cotangente na circunferência. Gráficos de y = tgx e de y = cotgx. Equações do tipo tgx = m ou cotgx = k.

unidade 8 – Adição de arcos e algumas relações entre as funções trigonométricas.

12

SituAçõES dE APrEndizAGEM

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

Funções são, em qualquer instância, ma-

neiras que encontramos para demonstrar a de-

pendência entre grandezas. No Ensino Médio

o eixo de conteúdos que engloba Números

e Funções é um dos mais importantes e am-

plia, sobremaneira, os estudos realizados nas

etapas anteriores da escolaridade dos alunos.

A partir dessa premissa, vale refletir sobre

quais são os tipos de funções estudados no

Ensino Médio, além de identificar os signifi-

cados que normalmente lhes são associados.

O primeiro grupo de funções com o qual os

alunos tomam contato no Ensino Médio é o das

funções polinomiais. Ao começar pelas funções

de 1º- grau, o estudo prossegue, ainda nas séries

iniciais, com a função do 2º- grau, para, ao fim da

3ª- série do Ensino Médio, complementar-se com

a apresentação das funções polinomiais de grau

qualquer. Há uma série infindável de situações

possíveis de serem modeladas com funções po-

linomiais de diferentes graus. São comuns, no

início do trabalho com funções, a proposição de

situações aos alunos que exijam, por exemplo, a

análise de como o preço da corrida de táxi depen-

de da quilometragem, ou da verificação de que

a quantidade de calor que um corpo absorve é

em função do aumento de sua temperatura ou,

ainda, o fato de que um corpo em queda livre ao

acelerar aumenta cada vez mais a distância que

percorre a cada segundo sucessivo.

Outro grupo de funções analisado no Ensino

Médio é aquele que discute o crescimento ex-

ponencial de uma grandeza em função da va-

riação de outra. Nesse grupo incluem-se, além

das funções exponenciais propriamente ditas,

as funções logarítmicas. Enquanto as funções

exponenciais tratam dos processos de cresci-

mento ou decrescimentos rápidos, as funções

logarítmicas modelam fenômenos que crescem

ou decrescem de modo mais lento. Processos

de crescimento populacional e também de

tempo previsto: 1 semana.

Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos de funções periódicas.

Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais; representar a periodicidade identificada em situações-problema por intermédio de um gráfico cartesiano.

Estratégias: resolução de situações-problema.

13


acumulação financeira constituem contextos

fecundos para a significação de funções desse

grupo, e são, normalmente, apresentados em

inúmeros materiais didáticos. Além disso, os

logaritmos e as exponenciais estão presentes

ainda na determinação da intensidade dos

terremotos, no nível de intensidade sonora,

e também no cálculo da capacidade de arma-

zenagem de informação.

As funções trigonométricas, que constituem

o terceiro grupo das funções estudadas no

Ensino Médio, caracterizam-se por permitir

a modelagem de fenômenos periódicos, isto é,

fenômenos que se repetem, de tempos em

tempos, que mantêm as características de

dependência entre as grandezas envolvidas. A

existência de uma enorme gama de fenômenos

dessa natureza contrasta com a baixa frequên-

cia com que as funções trigonométricas são

contextualizadas nos materiais didáticos. Na

maioria das vezes o tratamento dado aos senos,

cossenos e tangentes fica restrito ao cálculo de

valores para arcos notáveis e seus côngruos, e

para a relação algébrica entre estas funções, sem

que a periodicidade, foco principal do estudo,

seja analisada com a importância merecida.

Ao partir do princípio de que as funções cons-

tituem ferramenta fundamental na análise da

dependência entre grandezas e considerando a

importância que o grupo das funções trigonomé-

tricas desempenha nessa análise, propomos, neste

Caderno, algumas Situações de Aprendizagem que

priorizam, por um lado, o reconhecimento da pe-

riodicidade em uma série de fenômenos naturais

e, por outro, a possibilidade de que equações que

envolvam senos, cossenos e tangentes possam ser

utilizadas para expressar matematicamente a rela-

ção entre as grandezas envolvidas.

Para concluir, a maior motivação pelo es-

tudo das funções trigonométricas deve ser o

reconhecimento de que são necessárias para

a modelagem de fenômenos periódicos. Nesse

sentido, antes da apresentação dos conceitos

propriamente dita, os alunos precisam ser sen-

sibilizados para a observação – real, virtual ou

imaginativa – de uma série de manifestações

naturais de caráter periódico.

As etapas propostas a seguir para esta

Situação de Aprendizagem têm por objetivo

possibilitar aos alunos o reconhecimento da

periodicidade em diferentes contextos não

exigindo, desse modo, nenhum conhecimento

prévio acerca das funções trigonométricas.

o movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras

Talvez o mais elementar fenômeno periódi-

co que podemos observar é o movimento apa-

rente do Sol, do nascente ao poente, durante

a passagem dos dias do ano. O registro dessa

periodicidade pode ser realizado por intermé-

dio da medição do comprimento da sombra

de uma estaca fixada verticalmente no solo.

Essa situação pode ter estimulado os seres hu-

manos a elaborar os primeiros calendários e a

reconhecer as estações do ano. O professor po-

derá estimular os alunos a se imaginarem rea-

lizando uma experiência na qual mediriam o

comprimento da sombra da estaca durante a

passagem de um determinado período de tem-

po, como, por exemplo, dois anos. A figura a

seguir ilustra aproximadamente esta situação.

14

Sabemos que o percurso do Sol durante o

inverno é mais inclinado em relação à linha

zenital1 que o percurso similar realizado duran-

te o verão. O comprimento da sombra da estaca

em um determinado horário do dia, ao meio-

dia, por exemplo, varia durante o ano desde

um valor mínimo até um máximo, correspon-

dendo às datas que marcam, respectivamente,

o início do inverno (21 de junho) e o do verão

zênite

caminho doSol no inverno

caminho doSol no verão

VERÃO

sombramínima

(solstício

de verão)

sombra máxima

(solstício de inverno)

1 zênite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.

(22 de dezembro), denominados solstícios. A proposta a ser feita aos alunos é a seguinte:

Atividade 1

Imagine o acompanhar do comprimento

da sombra da estaca durante dois anos, e que

tais comprimentos tenham sido registrados

em uma tabela. A tarefa agora será imaginar

como seria o formato de um gráfico que repre-

sentasse o comprimento da estaca em função

da passagem dos dias do ano, e desenhar o

que se pensou sobre essa situação.

A discussão sobre os resultados da ativida-

de deverá servir para que os alunos reconhe-

çam que a periodicidade pode ser traduzida

por um gráfico cujo formato é, por enquanto,

aproximadamente o de uma onda. Assim, es-

tudar movimentos periódicos pode significar

estudar as ondas e as funções matemáticas a

elas associadas. A seguir, são apresentadas

algumas soluções propostas por alunos da

2ª- série do Ensino Médio para esta atividade:

tam

anho

da

som

bra

(cm

)

15

verão(1º- ano)

verão(2º- ano)

outono(1º- ano)

outono(2º- ano)

inverno(1º- ano)

inverno(2º- ano)

primavera(1º- ano)

primavera(2º- ano)

30

45

60

Gráfico do tamanho da sombra da estação em função das estações do ano

15


A observação dos gráficos desenhados pode

ser acompanhada pela seguinte questão, talvez

a principal de todo o estudo sobre fenômenos

periódicos, a ser proposta pelo professor:

Como podemos traduzir este tipo de gráfico

por uma equação matemática?

A busca da resposta a essa questão nor-

teará todo o estudo da trigonométrica. Es-

pera-se que as questões apresentadas nessa

primeira atividade sejam desafiadoras aos

alunos e motivadoras no estudo dos con-

ceitos trigonométricos de forma que, no fu-

turo, os alunos possam se envolver com um

Gráfico do tamanho da sombra da estação em função das estações do ano

processo completo de modelagem de um fe-

nômeno natural, conforme discutiremos na

Situação de Aprendizagem 4.

O professor pode comentar com os alu-

nos que as “ondas” desenhadas são formas

de gráficos que podem estar associadas tan-

to a função denominada seno como a função

chamada cosseno. Além disso, tais funções

estão respectivamente relacionadas com as

razões trigonométricas seno ou cosseno que

foram estudadas nas séries anteriores, e es-

tas poderão ser reconhecidas por meio do

estudo que se inicia.

O professor vai poder aproveitar os grá-

ficos desenhados pelos alunos para iniciar a identificação de conceitos importantes, as-

sociados à periodicidade da onda. Trata-se

dos conceitos de período (ou comprimento

de onda) e de amplitude. O professor poderá

solicitar a cada aluno que os identifique no

gráfico que desenhou, como destacamos no

exemplo a seguir.

tam

anho

da

som

bra

(cm

)

15

verão(1º- ano)

verão(2º- ano)

outono(1º- ano)

outono(2º- ano)

inverno(1º- ano)

inverno(2º- ano)

primavera(1º- ano)

primavera(2º- ano)

30

45

60

Período1 ano

Amplitude

tam

anho

(cm

)

mês

1

2

F A AA AJ JO D F

16

Vale observar que todos os gráficos pro-

duzidos pelos alunos deverão ter o mesmo

período de um ano, uma vez que registram

a mudança das estações do ano. A amplitu-

de, todavia, pode variar de um gráfico para

outro, uma vez que a escala escolhida para a

suposta tomada de medidas não precisou ser

uniformizada. Assim, mais do que determi-

nar um valor para a amplitude e outro para

o período, a importância do trabalho está no

reconhecimento de que é possível associar

parâmetros matemáticos para a descrição da

periodicidade observada nos fenômenos.

Comprimento da sombra diminuindo

As sombras longas

Outra situação utilizada para salientar a ma-

neira pela qual podemos representar graficamen-

te a periodicidade de um fenômeno consiste em

imaginar a observação da sombra da estaca ver-

tical durante alguns dias, e o registro do compri-

mento da sombra em função das horas do dia.

Quando o Sol nasce e lentamente vai se

elevando no horizonte, o comprimento da

sombra da estaca, inicialmente maior, passa a

diminuir até um valor mínimo, atingido, pro-

vavelmente, por volta do meio-dia.

Comprimento da sombra aumentado no sentido oposto ao inicial

No período da tarde a sombra da estaca muda

de lado, e, à medida que o Sol inicia sua “descida”,

o comprimento da sombra aumenta cada vez

mais, até tornar-se novamente incomensurável.

17


Após comentar com os alunos a situação

descrita, o professor pode solicitar a seguin-

te atividade:

Atividade 2

Representem em um gráfico cartesiano

a evolução do comprimento da sombra da

estaca durante a passagem de, por exemplo,

3 dias.

Os gráficos produzidos pelos alunos poderão

variar (ver exemplos a seguir), e caberá ao pro-

fessor valorizar e comentar cada um deles, tendo

em vista o objetivo principal da atividade que é o

reconhecimento da possibilidade de representação

cartesiana de fenômenos periódicos. Em todo

caso, vale comentar o fato de que alguns gráficos

apresentarão descontinuidade, aspecto esse que de

fato ocorre em alguns fenômenos periódicos.

18

Após a análise dos gráficos dos alunos, o

professor poderá destacar que o fenômeno ima-

ginado, da evolução do comprimento da sombra

durante vários dias, é normalmente modelado

por uma função denominada tangente (que

pode ser também pela cotangente), que está re-

lacionada à razão trigonométrica tangente (ou

cotangente), estudada anteriormente a partir da

proporcionalidade observada entre as medidas

de triângulos retângulos semelhantes.

Insistimos para que o professor valorize os

gráficos dos alunos e solicite, em cada caso,

que sejam justificados os motivos pelos quais

o gráfico foi desenhado de uma forma e não de

outra. Não haverá necessidade de se escolher

algum tipo de gráfico mais representativo da

atividade, mas, sim, que se perceba a presença

da periodicidade em todos eles.

Assim, como dissemos inicialmente, as

atividades componentes desta Situação de

Aprendizagem têm por objetivo introduzir

a ideia de que é possível modelar matemati-

camente fenômenos periódicos com um tipo

especial de função, denominadas funções tri-

gonométricas, que serão estudadas a seguir.

Caso o professor julgue apropriado deter-se

um pouco mais na identificação do período

e da imagem de uma função trigonométrica,

sugerimos que peça a seus alunos que o façam

nos seguintes gráficos:

y

x0 1

1

2

3

4

2 3 4 5 6 7

0

–1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

–6–7

Período = 2; Imagem = {y ∈ R/ –1 ≤ y ≤ 1}; Amplitude = 1

19


Período = 2; Imagem = {y ∈ R / –3 ≤ y ≤ 3}; Amplitude = 3

y

x0 1

1

2

3

4

2 3 4 5 6 7

0

–1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

–6–7

Período = 4; Imagem = {y ∈ R / –4 ≤ y ≤ 4}; Amplitude = 4y

x

2

4

6

8

10 12 14

0

–2

–2

–4

–4

–6

–6

–8

–8

–10

–10

–12–14 86410

20

Completadas as etapas de reconhecimento da periodicidade, construção dos gráficos, e identificação de alguns elementos importan-tes, encerra-se esta Situação de Aprendiza-gem. Ao dar sequência aos objetivos traçados para todo o Caderno, a próxima Situação de Aprendizagem vai apresentar aos alunos o modelo matemático que permitirá estudar matematicamente a periodicidade. Trata-se da circunferência trigonométrica e das medidas das projeções sobre os sistemas de eixos coor-denados. Acreditamos que a compreensão das características dos arcos e dos valores de suas funções trigonométricas, que os alunos vão encontrar a partir da circunferência trigono-métrica, tornar-se-á eficaz quando tiver sido cumprida com qualidade a etapa de reconhe-cimento da periodicidade, que ora se encerra.

Considerações sobre a avaliação

Esta Situação de Aprendizagem focou

sobre dois objetivos principais. O primeiro

deles diz respeito à sensibilização dos alunos

quanto à observação de fenômenos perió-

dicos próximos de sua realidade; o segundo

refere-se à possibilidade de que fenômenos

periódicos sejam representados por gráficos

cartesianos que possuem, em muitos casos, o

formato de uma onda.

Com relação à avaliação, sugerimos que

o professor considere a realização das ati-

vidades de construção dos gráficos e de

reconhecimento de períodos e amplitudes,

evidenciando principalmente a organiza-

ção da tarefa apresentada.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 A PERIODICIDADE E O MODElO DA

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

tempo previsto: 3 semanas.

Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos das funções y = senx e y = cosx; medidas de arcos em radianos; correspondência entre radianos e graus; arcos côngruos e me-nor determinação positiva; equações trigonométricas; inequações trigonométricas.

Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais; representar graficamente fenômenos periódicos por intermédio de gráficos cartesianos; iden-tificar as simetrias presentes na circunferência trigonométrica, utilizando-as para a resolução de situações-problema; localizar na circunferência trigonométrica a extremidade final de arcos dados em graus ou em radianos; resolver equações trigonométricas simples.

Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.

21



Nesta Situação de Aprendizagem continua-

remos a explorar a ideia do reconhecimento

da periodicidade de alguns fenômenos e a

possibilidade de representá-los graficamente.

A diferença, em relação à Situação de Apren-

dizagem anterior, é que agora serão introduzi-

dos os elementos matemáticos que permitirão

o estudo completo da periodicidade. Para tan-

to, vamos propor uma espécie de transposição

dos experimentos de pensamento realizados

nas atividades anteriores, com o objetivo de

fazer com que os alunos visualizem mais cla-

ramente o modelo da “onda” como uma das

formas possíveis para a representação carte-

siana desejada.

A periodicidade de determinado fenôme-

no pode ser associada ao movimento de um

ponto girando sobre uma circunferência. As

medidas das projeções desse ponto sobre de-

terminados eixos são, como sabemos, valores

de funções trigonométricas associados a arcos

percorridos pelo ponto. É preciso, em nossa

avaliação, que os alunos compreendam clara-

mente os motivos pelos quais apresentamos

a eles a circunferência trigonométrica. Isso

pode ser conseguido se valorizarmos o reco-

nhecimento da periodicidade, em detrimento

da justificativa de podermos calcular senos

e cossenos de ângulos maiores do que 180º.

Afinal, a obtenção de valores de funções tri-

gonométricas para ângulos maiores do que

180º, mais do que ter aplicações na resolução

de triângulos não retângulos, é uma das exi-

gências do estudo da periodicidade.

Por essa razão, propomos nesta Situação

de Aprendizagem um processo de construção do modelo da circunferência trigonométrica

que parte da necessidade de sua criação, por

conta do reconhecimento da periodicidade, e

que prossegue para a identificação das sime-

trias e das características mais importantes

das funções seno e cosseno de arcos de quais-

quer medidas.

Construção do modelo

O modelo do ponto girando em torno de

uma circunferência centrada na origem do sis-

tema cartesiano e a observação das projeções

desse ponto sobre os eixos, como sabemos,

constitui a base do estudo das funções trigono-

métricas seno e cosseno. A fim de que os alunos

formem uma imagem de proximidade entre a

Matemática e o cotidiano, no nível em que se

encontram, pode-se apresentar a eles uma ale-

goria que transporta a ideia de acompanhar o

comprimento da sombra de uma estaca verti-

cal, discutido anteriormente, e o modelo da cir-

cunferência, conforme descrito a seguir.

Imaginemos a sobreposição de um siste-

ma de eixos cartesianos sobre a linha em que

a sombra da estaca “caminha”, de maneira

que a origem do sistema coincida com a ex-

tremidade final do comprimento da sombra

nos equinócios.2

2 Equinócio é o nome que se dá ao dia que marca o início da primavera ou ao dia que marca o início do outono. Segundo o dicionário Michaelis, equinócio refere-se a Cada uma das duas épocas em que o Sol passa pelo Equador, fazendo os dias iguais às noites em todos os países do mundo.

22

zênite

VERÃO

Faixa de varia

ção do

comprim

ento da so

mbra caminho doSol no inverno

caminho doSol no verão

sombramínima

(solstício

de verão)

(solstício de inverno)sombra máxima

Extremidade �nal do

comprim

ento da sombra

nos equinóciosO comprimento dasombra é mínimo

no solstício de verão.

O comprimento dasombra é máximo

no solstício de inverno.

O comprimento dasombra nos equinócios

é considerado nulo.

Fai

xa d

e va

riaç

ão d

oco

mpr

imen

to d

a so

mbr

a

Faixa de variação do comprimento da sombra, observado ao meio-dia durante um ano.

Em seguida, a fim de acompanhar a evolu-

ção do comprimento da sombra de um solstí-

cio a outro, pode-se associar o movimento do

Sol ao movimento de um ponto sobre uma

circunferência centrada no sistema de eixos

cartesianos, de maneira que o comprimento

da sombra seja definido pela distância en-

tre a origem e a projeção do ponto sobre o

eixo vertical.

Comprimento da sombra em um dia entre o equinócio de outono e o solstício de inverno

Sentido do movimento

aparente do Sol

Comprimento da sombra no solstício de inverno


aparente do Sol

Comprimento nulo da sombra no equinóciode primavera


aparente do Sol

Comprimento da sombra em um dia entre o equinócio de primavera e o solstício de verão


aparente do Sol

23


vertical, medida em frações do raio da circun-

ferência (R), como nesta atividade:

Atividade 1

Imaginem uma volta completa do Sol sobre a circunferência. Preencham a tabela a seguir associando o ângulo de elevação do Sol (β) em relação ao eixo horizontal com a medida apro-ximada da projeção no eixo vertical.

Compri-mento da sombra no solstício de verão


aparente do Sol

Comprimento da sombra em um dia entre o solstício de verão e o equinócio de outono


aparente do Sol

Assim, uma volta completa do Sol em torno da circunferência corresponderá ao período de um ano, e ao desenhar uma escala sobre o eixo vertical será possível associar ângulos de giro do Sol a medidas de segmentos. Realizada a identificação entre a projeção sobre o eixo vertical e o comprimento da sombra da estaca, o professor poderá pedir que os alunos dese-nhem novamente o gráfico que desenharam na Situação de Aprendizagem anterior, implemen-tando agora uma escala simplificada no eixo

–R

R

0,75R

0,5R

0,25R

–0,25R

–0,75R

–0,5R

Ângulo (°) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Projeção (kr)

0 0,5 0,7 0,9 1,0 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1,0 –0,9 –0,7 –0,5 0

A segunda linha dessa tabela contém os va-lores da projeção do ponto sobre o eixo orien-tado e dividido em frações de raio, isto é, um número real (k) entre –1 e +1, multiplicado pela medida do raio (R).

–R

R

0,75R

0,5R

β0,25R

–0,25R

–0,75R

–0,5R

Chamamos a atenção do professor para o fato de que os ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, não pre-cisam ainda ser assinalados com precisão na cir-cunferência, mas será importante que os alunos percebam especialmente os seguintes aspectos:

24

as medidas das projeções verticais serão f

escritas em frações de raio, como, por

exemplo, 0,5 R ou 0,85 R.

os valores das medidas das projeções f

serão aproximados a décimos. Assim,

para 45º os alunos vão poder registrar o

valor correspondente de 0,7, e para 60º,

o valor de 0,9.

a medida do ângulo f não é diretamen-

te proporcional à medida da projeção,

como alguns alunos poderiam supor.

A fim de esclarecer, basta chamar a

atenção para o fato de que a projeção

para 60º não mede o dobro da proje-

ção para 30º.

há ângulos que permitem medidas f

iguais para a projeção vertical, como,

por exemplo, 30º e 150º, ou 45º e 135º, e

o professor, ao destacar tal fato, estará

inserindo a caracterização das simetrias

na circunferência, como se pode perce-

ber nos desenhos a seguir:

há pares de ângulos que permitem me- f

didas simétricas para os valores da pro-

jeção vertical, como, por exemplo, 30º e

330º, ou 60º e 300º.

Salientamos ainda a importância de que

os alunos reconheçam a simetria das proje-

ções apresentada por determinados pares de

ângulos, pois esse ponto, mais adiante, será

0,75R

150º

30º0,25R

–0,25R

–0,75R

–0,5R

0,5R

–R

R

135º45º0,25R

–0,25R

–0,75R

–0,5R

0,5R

0,75R

–R

R

330º

0,25R

–0,25R

–0,75R

–0,5R

0,5R

0,75R

30º

0,75R

300º

0,25R

–0,25R

–0,75R

–0,5R

0,5R60º

–R

–R

R

R

25


fundamental na resolução de equações e de

inequações trigonométricas.

Preenchida a tabela, o professor pode soli-

citar que os alunos representem a dependên-

cia entre as variáveis da tabela por intermédio

de um gráfico cartesiano.

Atividade 2

Desenhem um gráfico para representar os va-

lores registrados na tabela lançando as medidas

de ângulos no eixo horizontal e as medidas de

projeção no eixo vertical.

O gráfico seguinte é apenas uma possibilidade,

já que as escalas podem variar. No entanto, o

professor deve salientar o fato de o gráfico apre-

sentar o formato de uma onda, agora mais

preciso do que aquele que os alunos idealiza-

ram na Situação de Aprendizagem anterior

para a variação do comprimento da sombra

com o passar dos dias do ano.

y

x

0,75R

0,5R

0,25R

–0,25R

–0,5R

–0,75R

–R

R

60º 120º 180º 240º 300º 360º0

A construção e a análise do gráfico permi-

tirá que os alunos identifiquem o formato da

onda, confrontando-a com as formas por eles

obtidas nos gráficos desenhados na Situação

de Aprendizagem 1.

Reconhecida a periodicidade envolvida na ob-

tenção da medida da projeção vertical, o profes-

sor pode solicitar que seus alunos reproduzam, de

forma semelhante, a representação da evolução

da medida da projeção no eixo horizontal, de

acordo com o ângulo de elevação do Sol.

26

Atividade 3

Completem a tabela a seguir associando

a medida do ângulo de elevação do Sol com

a medida da projeção sobre o eixo horizontal. Depois, desenhem um gráfico cartesiano para

representar os dados tabelados.

Ângulo (°) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Projeção (kr)

1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1

–R R

0,75R

0,5R

0,25R–0,25R

–0,5R

–0,75R

A segunda linha dessa tabela contém os va-

lores da projeção do ponto sobre o eixo orien-

tado e dividido em frações de raio, isto é, um

número real (m) entre –1 e +1, multiplicado

pela medida do raio (R).

O gráfico a seguir é apenas uma possibili-

dade, já vez que as escalas podem variar.

y

x

0,75R

0,5R

0,25R

–0,25R

–0,5R

–0,75R

–R

R

60º 120º 180º 240º 300º 360º0

O professor pode discutir com seus alunos

sobre as diferenças e as semelhanças entre

os gráficos das duas projeções, horizontal

e vertical, não deixando de salientar o fato

de que os gráficos são idênticos, se con-

siderarmos a “defasagem de 90º” de um

para o outro.

27


Em seguida à atividade, o professor pode cha-

mar a atenção de seus alunos para o fato de que:

há pares de ângulos que alternam os f

valores das medidas das projeções ho-

rizontal e vertical, como é o caso, por

exemplo, da projeção vertical do ângulo

de 60º que é igual à medida da projeção

horizontal do ângulo de 30º.

há ângulos que apresentam valores f

iguais para projeções horizontal e ver-

tical, como é o caso, por exemplo, do

ângulo de 45º.

não existe ângulo que apresente, simul- f

taneamente, medidas nulas para as duas

projeções.

o formato de onda apresentado no gráfico f

é de mesma natureza da onda desenha-

da na atividade anterior.

Identificada a correspondência que a perio-

dicidade provoca entre a medida do segmento,

horizontal ou vertical, e o ângulo de giro do

ponto sobre a circunferência, o passo seguin-

te pode ser o de desenhar, em escala, o modelo

apresentado, com o objetivo de construir o grá-

fico cartesiano das funções trigonométricas seno

e cosseno. Vale notar que, até então, a medida

do segmento sobre o eixo vertical não foi ainda

denominada seno, pois, para que isso possa ser

feito com significado, será importante relacionar

o conhecimento anterior dos alunos sobre as ra-

zões trigonométricas no triângulo retângulo com

o modelo que ora lhes é apresentado, o que pode

ser feito neste momento, antecedendo à constru-

ção efetiva dos gráficos, da seguinte forma:

Será necessário que os alunos conheçam os valores dos senos e dos cossenos dos ângulos

notáveis, 30º, 45º e 60º. Caso não tenham tal co-

nhecimento, o professor pode apresentar a eles a

dedução desses valores a partir de um triângulo

retângulo isósceles, no caso do ângulo de 45º, e

de um triângulo equilátero, no caso dos ângulos

de 30º e de 60º, conforme descrito a seguir.

Raio (R)

Medida da projeção vertical

Medida da projeção horizontal

m.r

kr

Fração do raio (kR)

Fração do raio (mR)

1442443

144424443

123

123

sen = k.RR = k cos = m.R

R = m

28

Ângulo de 45º

Ângulos de 30º e de 60º

Discutida a igualdade entre a medida do

segmento projetado no eixo vertical e o valor

do seno do ângulo de giro, e a medida do seg-

mento projetado no eixo horizontal e o cosseno

do ângulo de giro convém, em seguida, deno-

minar circunferência trigonométrica, sistema

formado pelo conjunto circunferência-sistema

de eixos cartesianos. Feito isso, com o objetivo

sen 45º = m

m.√2 =

1√2

= √22

sen 60º =

m.√32m

= √32

cos 60º =

m2m

= 12

sen 30º =

m2m

= 12

cos 30º =

m.√32m

= √32

cos 45º = m

m.√2 =

1√2

= √22

m

mm

m

2

m

2

m

45º

60º 60º

30º

m.√2

m.√32

de reunir todas as informações anteriores, o

professor pode pedir que os alunos desenhem

uma circunferência trigonométrica, para que

os valores de senos e cossenos dos ângulos no-

táveis e também dos ângulos que dividem os

quadrantes sejam associados aos valores apro-

ximados, utilizados anteriormente. Toda essa

etapa pode ser proposta da seguinte maneira:

29


Atividade 4

Em uma folha de caderno ou em papel mi-

limetrado, desenhem uma circunferência tri-

gonométrica de raio 10 centímetros.

a) Adotando a escala 1:10 centímetros, divi-dam os eixos cartesianos em subunidades, como, por exemplo, de 0,1 em 0,1.

b) Assinalem sobre a circunferência a ex-tremidade final dos arcos de 30º, 45º e

60º, bem como os simétricos em rela-ção aos eixos nos demais quadrantes. Para essa tarefa, utilize compasso ou transferidor.

c) Desenhem uma tabela como a seguinte, relacionando todos os arcos assinala-dos às medidas de seus senos e cossenos,

lembrando que 1

2 = 0,5;

√22

≅ 0,7 e que

√32

≅ 0,87.

Ângulo (°) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Seno

Cosseno

d) Desenhem os gráficos das funções y = senx e de y = cosx em um mesmo sistema de eixos cartesianos.

Chamamos a atenção do professor para

que a tabela deste exercício seja comple-

tada com os valores exatos dos senos e

cossenos dos ângulos notáveis, em vez de

aproximações, já utilizadas no momento de

completar a tabela do exercício anterior.

No entanto, será importante que os alunos

associem os valores exatos a suas devidas

aproximações no momento de assinalarem

os senos e cossenos na circunferência tri-

gonométrica que constroem.

y

x

y = senx

y = cosx1

√32

√22

12

60º 120º 180º 240º 300º 360º0

–1

– √32

– √22

– 12

30

Ressaltamos mais uma vez o fato de que

não se trata ainda de aprofundar o estudo

dos gráficos das funções trigonométricas,

aspecto esse que será explorado na Situação

de Aprendizagem seguinte, quando os alunos

já tiverem tomado contato com a identifica-

ção de arcos côngruos, quando já souberem

calcular a menor determinação positiva de

qualquer ângulo de medida maior do que

360º, quando conseguirem determinar a so-

lução de algumas equações trigonométricas

simples e, por fim, trabalharem com facili-

dade com medidas de ângulos expressas não

apenas em graus, mas também em radianos.

Destacamos que nesta primeira etapa

os arcos foram medidos em graus e não em

radianos. Isso é aconselhável pelo fato de o

grau ser a unidade de medida de arco fami-

liar aos alunos nesse momento, uma vez que

convivem com a ideia de ângulo de giro desde

a 7ª- série do Ensino Fundamental. No entan-

to, completada a primeira etapa, é aconselhá-

vel apresentar aos alunos a unidade radiano,

bem como a relação de conversão entre as

unidades de medida nesse caso. Para tanto,

será necessário retomar alguns conceitos e

apresentar outros, de maneira similar ao que

se segue.

Apresentando os radianos

Um arco de circunferência pode ser medi-

do em graus e também em radiano (rad). Para

apresentar os radianos a seus alunos, propo-

mos que o professor retome com eles o con-

teúdo, que, em princípio, deve fazer parte dos

prévios conhecimentos deles:

C

D = 3,14159... = π

D

C

Um radiano é a medida de um arco de com-

primento igual ao do raio da circunferência.

Em uma circunferência de centro O e raio R,

podemos assinalar cerca de 3,14 radianos em

sua meia-volta, ou, em outras palavras, um arco

de semicircunferência mede sempre π radianos,

conforme representado na figura a seguir:

Com base nesses dados, o professor pode

pedir a seus alunos que resolvam as seguintes

situações-problema, com o objetivo de que ve-

nham a identificar com destreza arcos de me-

didas iguais a frações inteiras de π radianos.

A razão entre as medidas do compri-mento e do diâmetro de qualquer cir-cunferência resulta sempre no mesmo valor: o número irracional π ≅ 3,14

3,14 RAD

1RAD

1RAD

1RAD

R Ro

31


Atividade 5

O arco AB representado na figura mede

1,5 rad, e as 3 circunferências têm centro no

ponto O. Quanto mede o arco:

a) CD?

b) EF?

Os arcos assinalados nas circunferências têm,

em radianos, medidas iguais, visto que são

“enxergados” por um único ângulo central.

Assim, os arcos CD e EF medem, cada um,

1,5 radiano.

Atividade 6

Na circunferência da figura estão assinala-

dos dois ângulos centrais: um de medida 60º

e outro de medida 120º. Quanto mede, em

radianos e no sentido indicado, o arco:

a) MP?

b) MQ?

c) MN?

AB

DF

CE

a) O arco MP mede aproximadamente 3,14

radianos, ou, precisamente, π radianos.

b) O arco MQ é “enxergado” pelo ângulo

central de 60º, que corresponde à terça par-

te de 180º. Assim, o arco MQ mede a terça

parte de π, ou π3

radianos.

c) O arco MN é “enxergado” pelo ângulo

central de 120º, que é igual ao dobro de 60º.

Portanto, o arco MN mede 2π3

radianos.

Atividade 7

A circunferência do desenho apresenta-se

dividida em 8 partes iguais pelos pontos A, B,

C, D, E, F, G e H.

a) Quanto mede, em graus, o ângulo cen-tral β?

b) Quanto mede, no sentido indicado no desenho, os arcos AB, AC, AD, AF e AH?

Como a circunferência foi dividida em 8 partes iguais, cada arco correspondente a

uma parte mede 1

8 de 2π rad, isto é, mede

π4

rad.

a) O ângulo central β mede a oitava parte de

360º, isto é, mede 45º.

N

M

Q

120º

60ºP

DC

A

H

G

F

B

βE

o

32

Um arco de comprimento igual à circunfe-

rência mede 2π rad, ou, aproximadamente,

6,28 rad. Assim, são necessários cerca

de 6,28 arcos de medida igual à do arco AB

para completar uma volta da circunferência.

Depois da resolução dessas atividades, em

que os alunos tomaram contato com a defini-

ção de radianos, o professor pode ajudá-los a

estabelecer a relação entre 180º e π radianos

para que sejam capazes, na atividade a seguir,

de assinalar as extremidades finais dos arcos

correspondentes aos valores notáveis e seus

correspondentes nos demais quadrantes.

Atividade 9

levando-se em conta giros no sentido anti-

horário, assinale nas circunferências a medida

em radianos do arco que tem extremidade fi-

nal em cada ponto, de A a R.

b) Os arcos medem:

AB = π4

rad AC = 2π4

= π2

rad

AD = 3π4

rad AF = 5π4

rad

AH = 7π4

rad

Atividade 8

Observe a circunferência do desenho. A

medida do arco AB é igual à medida do raio

da circunferência.

Responda:

a) quantas vezes o arco AC é maior que o arco AB?

A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes

maior do que a medida do arco AB.

b) quantas vezes o arco AD é maior que o arco AB?

O arco AD mede 3π2

radianos, medida essa

que é, aproximadamente, 4,7 radianos. Por-

tanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior

que o arco AB.

c) quantos arcos de medida igual a AB podem ser justapostos, um ao lado do outro, sobre a circunferência a fim de completar uma volta?

B

D

C A

r

r

B

C D

A

30º

F

G H

E

45º

33


J: 2π3

L : 4π3

M: 5π3

N: π5

P: π5

π – = 4π5

Q: π5

π + = 6π5

R: π5

2π = 11π

5

Ao completar a Situação de Aprendi-zagem, após a apresentação dos senos e cossenos dos arcos notáveis e de seus cor-respondentes nos demais quadrantes, o professor pode pedir que seus alunos re-solvam algumas equações trigonométricas, do tipo senx = k ou cosx = m, definidas em R e também em intervalos definidos, como, por exemplo, [0, 2π], [0,4π], [2π, 6π], etc. Para não ressaltar apenas o aspecto al-gébrico envolvido na resolução de equações dessa natureza, o professor pode pedir que, algumas vezes, os alunos as resolvam grafica-mente, como, por exemplo, neste caso:

Qual é a solução da equação senx = –1

2

no intervalo [0, 4π]?

x

y

1

–1

π 2π 3π 4π0

12

–

12

7π6

11π6

19π6

23π6

J

l M

I

60º

P

Q R

N

36º

A: π6

B: 5π6

C: 7π6

D:11π

4 E:

π4

F: 3π4

G: 5π4

H: 7π4

I: π3

34

Há 4 soluções para essa equação no in-

tervalo considerado: 7π6

, 11π

6,

19π6

e 23π

6,

conforme representado no gráfico da função

y = senx.

Apesar de não propormos nesta Situação

de Aprendizagem que os alunos sejam apre-

sentados a arcos com extremidades finais

negativas, produzidos a partir de giros no

sentido horário na circunferência trigonomé-

trica, julgamos importante que eles saibam

da existência desses tipos de arco e que, ao

menos, desenhem uma circunferência e nela

assinalem os arcos com extremidade final na

primeira volta negativa.


O modelo da circunferência trigonomé-

trica precisa ser bem compreendido para que

o estudo de conceitos relacionados a ela pos-

sa ser realizado com qualidade. Ao fim desta

Situação de Aprendizagem é importante que o

professor avalie se os alunos são capazes de:

identificar a posição da extremidade f

final de um arco medido em graus;

identificar a posição da extremidade fi- f

nal de um arco medido em radianos;

converter para radianos uma medida de f

arco expressa em graus;

obter a menor determinação positiva de f

um arco qualquer;

reconhecer as diferenças e as semelhan- f

ças entre os gráficos das funções y = senx

e y = cosx;

resolver equações trigonométricas simples. f

As diversas propostas de atividades

apresentadas neste Caderno podem servir

de exemplo para a elaboração de questões

a fim de avaliar os alunos. Nesse sentido,

destacamos a importância de o professor

priorizar questões de caráter conceitual, em

detrimento daquelas que exigem passagens

algébricas ou formalizações além do neces-

sário. De qualquer maneira, será importan-

te que todos os itens de conteúdo listados

anteriormente sejam contemplados de uma

maneira ou de outra nas avaliações do pe-

ríodo, sejam elas individuais ou em grupos,

com consulta ou não, etc.

Finalizada essa etapa de apresentação

do modelo da circunferência trigonométri-

ca e da construção dos gráficos das funções

seno e cosseno, o passo a seguir, que será

discutido na próxima Situação de Apren-

dizagem, envolve a mobilização de todos

esses conteúdos na representação da perio-

dicidade de um fenômeno por meio de um

gráfico cartesiano.

35



Fenômenos periódicos ocorrem regular-

mente mantendo suas características básicas,

isto é, se repetem sempre da mesma maneira.

Há uma enorme gama de fenômenos dessa

natureza, e alguns deles serão analisados na

Situação de Aprendizagem 4, que, assim como

esta, tem como objetivo o estudo das funções

matemáticas que modelam a periodicidade.

Um processo completo de modelagem

de determinado fenômeno envolve a observação

da ocorrência deste, a tomada de dados, que nor-

malmente exige a representação cartesiana dos

dados obtidos, e, finalmente, exige a obtenção de

uma equação matemática que se ajusta aos dados

experimentais. Por consequência, a equação obtida

poderá ser aplicada a novas situações, que venham

a ocorrer em condições semelhantes às observadas

durante o experimento realizado.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 GRÁFICOS DE FUNçÕES PERIÓDICAS ENVOlVENDO

SENOS E COSSENOS

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx; período e amplitude de uma função trigonométrica; gráficos de funções seno ou cosseno em depen-dência com o tempo.

Competências e habilidades: construir o gráfico de uma função trigonométrica dada a equa-ção que a representa; identificar alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a descrição matemática de fenômenos periódicos; determinar a equação da função representada por um gráfico dado.

Estratégias: construção de gráficos e identificação das constantes, avaliando significados; uti-lização de software auxiliar para a construção de gráficos.

Vários fenômenos periódicos podem ser

modelados por intermédio de uma função

trigonométrica cuja equação é composta de

senos e/ou cossenos. Para que seja possível

aos alunos compreender em profundidade o

significado da modelação de um fenômeno

por meio de uma equação que envolva senos

ou cossenos, é necessário que saibam, de um

lado, desenhar gráficos de funções desse tipo

a partir de suas equações, e, de outro, que

consigam escrever a equação de um gráfico

dado. Com esse objetivo, propomos nesta

Situação de Aprendizagem que os alunos cons-

truam os gráficos e reconheçam as proprieda-

des de funções do tipo y = C + A.senb.x e

y = C + A.cosb.x, comparando-as com as

funções elementares y = senx e y = cosx, com

que já tiveram contato anterior. Nesse per-

curso, poderão avaliar as transformações que

as constantes A, b e C impõem aos gráficos

das funções elementares.

36

Para compreender a importância do estudo que ora propomos, podemos analisar o processo que normalmente desenvolvemos ao apresentar as funções de 2º- grau para nossos alunos.

O gráfico cartesiano que tem formato de uma parábola com o eixo de simetria na ver-tical, como sabemos, é a representação de uma função do tipo y = a.x2 + b.x + c, com a ≠ 0. Ao observarmos uma equação desse tipo, com coeficientes numéricos, identifica-mos se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo, somos capazes de avaliar se a parábola tem ou não raízes reais, e prevemos a posição do vértice da parábola. A partir daí, conseguimos não apenas dese-nhar o gráfico da função, como também analisar todas suas propriedades (simetrias, imagem, domínio, sinal, etc.).

Assim como fazemos com as parábolas, identificando e significando os coeficientes da equação da função e representando-a carte-sianamente, também devemos ser capazes de fazer com os demais grupos de funções que es-tudamos no Ensino Médio, ou seja, relacionar a variação de seus coeficientes com as mudan-ças gráficas correspondentes. Com as funções trigonométricas não poderia ser diferente, dada a enorme quantidade de situações con-textualizadas em que se detecta sua presença.

Discutiremos nesta Situação de Aprendi-zagem apenas os gráficos das funções seno ou cosseno, deixando para segundo plano os gráficos das demais funções (tangente, cotan-gente, secante e cossecante). Acreditamos que o professor, decerto, vai avaliar a pertinência de apresentar a seus alunos também os demais

gráficos, dependendo das condições de sua turma e do tempo disponível.

A Situação de Aprendizagem será desen-volvida sobre três percursos, que o professor poderá trilhar totalmente ou parcialmente, a seu critério. No primeiro percurso, propomos a construção dos gráficos a partir de uma tabela de valores especialmente escolhidos. No segundo percurso, sugerimos que o professor utilize um software de construção de gráficos para auxiliar a compreensão dos alunos e imprimir maior ve-locidade às conclusões. Por fim, no terceiro per-curso, sugerimos que o professor discuta com os alunos sobre gráficos trigonométricos em que o seno e o cosseno variam em função do tempo, isto é, gráficos expressos por equações do tipo y = C + A.senb.t, com t escrito em segundos, ou

em minutos, ou em horas, etc.

Percurso 1 – Construção do gráfico a partir de tabela de valores

Para motivar os alunos a se envolver com a

construção e análise de gráficos trigonométri-

cos o professor pode comentar sobre o fato de

que o modelo ondulatório está presente na ex-

plicação de uma série de fenômenos próximos

ao dia-a-dia dos alunos, como, por exemplo, as

transmissões radiofônicas ou televisivas. Para

tanto, o professor pode comentar que a fre-

quência de transmissão de rádios em FM é da

ordem de megahertz, isto é, ondas que passam

por um ponto “carregando” cerca de 1 milhão

de períodos (ou comprimentos de onda) por se-

gundo. De outra forma, as estações AM trans-

mitem na faixa dos quilohertz, isto é, uma onda

de rádio dessa faixa “carrega” cerca de mil pe-

ríodos ou comprimentos de onda) por segundo.

37


Essas variações de período e de frequência são

visíveis no desenho da onda e também na escri-

ta de sua equação, e isso será feito a partir da

construção dos gráficos, que ora iniciamos.

Comentaremos alguns exemplos de gráfi-

cos construídos a partir de tabela de valores,

introduzindo valores de uma constante a cada

vez. O professor pode utilizar-se desses mes-

mos exemplos ou recorrer a outros, que julgar

mais apropriados ao desenvolvimento de suas

turmas de trabalho. Todavia, sugerimos que,

em qualquer caso, os alunos possam, inicial-

mente, utilizar papel quadriculado para dese-

nhar os gráficos das tabelas que elaboram.

Exemplo 1: y = Asenx ou y = Acosx

A elaboração da tabela para a construção do

gráfico vai levar em conta os valores que marcam

a divisão entre os quadrantes da circunferência

trigonométrica, isto é, 0, π2

, π, 3π2

, 2π. Para

começar, podem ser desenhados, em um mesmo

sistema de eixos cartesianos os gráficos de y =

senx e de y = 2senx. Para tanto, pode ser elabora-

da a seguinte tabela de valores:

Os dados tabelados permitem que sejam

desenhados os seguintes gráficos:

x y = senx y = 2senx0 0 0π2 1 2

π 0 0

3π2

–1 –2

2 0 0

Em seguida, o professor pode pedir que seus alunos desenhem mais dois pares de gráficos, um em cada sistema de eixos car-tesianos, a fim de que seja possível intuir

x

2

y = 2.senx

y = senx1

–1

–2

π 2π0 π2

3π2

a conclusão a respeito da interferência da constante A na forma do gráfico. Para tanto, propomos que sejam aplicadas as

seguintes atividades:

38

Atividade 2

Qual é a diferença entre os gráficos das

funções y = senx e y = Asenx? Isto vale tam-

bém para os gráficos das funções y = cosx e

y = A.cosx?

Atividade 1

Completem as tabelas e construam os

tabela 1

x y = senx y = 1,5.senx

0 0 0

π2 1 +1,5

π 0 0

3π2

–1 –1,5

2π 0 0

tabela 2

x y = cosx y = 3.cosx

0 1 3

π2 0 0

π –1 –3

3π2

0 0

2π 1 3

xx

y y

1,5 3y = 1,5.senx

y = 3.cosx

y = senx y = cosx

1 2

1

–1 –2

–1

–1,5 –3

π π2π 2π0 03π2

3π2

π2

π2

A constante A está relacionada à amplitude

da onda, isto é, à distância entre o eixo ho-

rizontal e o valor máximo da função. A ima-

gem da função, nesse caso, será o intervalo

[–A, +A], se A > 0.

gráficos utilizando um sistema de eixos carte-

sianos para cada tabela.

39


x

2

y = 2.sen2x

y = senx1

–1

–2

π 2π0 3π2

π2

2x x y = sen2x y = 2 sen2x

0 0 0 0

π2

π4 1 2

ππ2 0 0

3π2

3π4

–1 –2

2π π 0 0

A partir da análise e discussão desse grá-

fico o professor pode pedir aos alunos que

construam mais alguns a fim de estabelece-

rem conclusões a respeito do significado das

alterações introduzidas no gráfico de y = senx

ou de y = cosx quando acrescentamos a suas

equações as constantes A e b, de maneira a

formar equações do tipo y = A.senBx ou

y = A.cosBx.

Atividade 3

Complete a tabela e desenhe em um mes-

mo sistema de eixos cartesianos os gráficos de

y = cosx e de y = cos x

2 , no intervalo [0, 4π].

Exemplo 2: y = Asenbx ou y = Acosbx

O professor pode apresentar aos alunos o seguinte exemplo, formado pela tabela e gráfico correspondente:

Vale a pena destacar aos alunos que a pri-

meira coluna da tabela, à esquerda, contém

os valores divisórios dos quadrantes, que são

adotados para facilitar a construção. Para

melhor demonstrar a importância do fator 2,

introduzido na equação, o professor pode de-

senhar os gráficos de y = senx e de y = 2sen2x

em um único sistema de eixos cartesianos,

conforme representado a seguir:

y

40

Atividade 4


funções y = senx e y = senBx? Isto vale tam-

bém para os gráficos das funções y = cosx e

y = cosBx?

Espera-se que os alunos percebam que o grá-

fico de y = cosx completa um período em 2π,

enquanto o gráfico de y = cosx2 completa

apenas meio período em 2π, o que significa

que o período desta última função é 4π.

x2

x y = cos x2

0 0 1

π2 π 0

π 2 π –1

3π2

3 π 0

2π 4 π 1

x

y = cosx1

–1

π 2π 3π 4π0

3π2

π2

y = cos x

2

Exemplo 3: y = C + A.senbx ou y = C + A.cosbx

Para discutir a variação que a constante

C causa ao ser incluída na equação da fun-

ção elementar, sugerimos que o professor

construa com os alunos o gráfico da função

y = 1 + 2sen4x a partir de uma tabela de va-

lores. Salientamos novamente que pelo fato

de os alunos conhecerem a forma do gráfico

y = senx e os valores dos senos dos arcos 0, π2

,

π, 3π2

, 2π é interessante que estes sejam os

valores atribuídos ao que se quer calcular o

seno, isto é, a 4x. Assim, pode-se construir a

seguinte tabela:

O desenho dos gráficos de y = senx e de

y = 1 + 2.sen4x em um único sistema de eixos

coordenados permite que sejam discutidas as

modificações que as constantes introduzidas

na equação causam ao gráfico elementar.

4x xy =

sen4xy =

2.sen4xy = 1 +2.sen4x

0 0 0 0 1

π2

π8 1 2 3

ππ4 0 0 1

3π2

3π8

–1 –2 –1

2ππ2 0 0 1

y

41


Comparação entre os dois gráficos

y = senx y = 1 + 2sen4x

Período 2π2π4

= π2

Imagem [–1, +1] [–1, 3]

Amplitude 1 2

x

y

2y = 1 + 2 sen4x

y = senx

3

1

–1

π2π

0 3π2

π2

x

y

y = –1 + 2sen x2

y = senx1

2

3

–3

–2

–1

π2π 3π 4π

0 3π2

π2

Observa-se que em relação ao gráfico de

y = senx o gráfico de y = 1 + 2sen4x foi deslo-

cado verticalmente 1 unidade para cima, teve

seu período diminuído 4 vezes e sua amplitude

dobrada, efeitos estes causados, respectiva-

mente, pelas constantes 1, 4 e 2.

x2

x 2sen x2 y = –1 + 2sen x

2 0 0 0 –1

π2 π 2 1

π 2π 0 –1

3π2

3π –2 –3

2π 4π 0 –1

Atividade 5

Complete a tabela e desenhe os gráficos das

funções y = –1 + 2sen x2 e de y = senx em um

mesmo sistema de eixos cartesianos.

42

Atividade 6


funções y = senx e y = C + senx?

Espera-se que os alunos percebam que o gráfi-

co de y = senx desloca-se verticalmente C uni-

dades, sem alterar seu período ou amplitude.

Para encerrar esta etapa, o professor pode

pedir aos alunos que generalizem suas conclu-

sões em um exercício como o seguinte:

Atividade 7

Quais são as variações introduzidas nos grá-

ficos das funções y = senx ou y = cosx pelas

constantes A, b e C, formando funções de equa-

ções y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx?

O professor pode auxiliar os alunos a gene-

ralizarem as seguintes conclusões:

Em relação às funções y = senx e y = cosx, as

funções y = C + AsenBx e y = C + AcosBx

apresentam:

Deslocamento vertical de f C unidades;

Amplitude igual a f A;

Período igual a f 2πB

.

Por fim, pode ser proposto um exercício

que, no sentido oposto ao realizado anterior-

mente, exija dos alunos a obtenção de equações

de gráficos já desenhados, como na atividade

a seguir.

Atividade 8

Quais são as equações das funções que

podem ser associadas aos gráficos represen-

tados abaixo?

x x

y y

33y = 2 + senx y = 1 + 2cos

2 2

1 1

π 2π

4π

6π 8π2π0 0

–1

x4

Percurso 2 – Construção de gráficos com o auxílio de um software

Caso haja possibilidade de se utilizar um

software como ferramenta para a construção

de gráficos, o professor vai poder elabo-

rar fichas de acompanhamento da ativida-

de. Nesse caso, o fato de que cada cons-

tante acrescentada à função elementar

produz alguma modificação importante

43


x

em seu gráfico deve nortear a sequên-

cia de comandos. Assim, podem ser cons-

truídos inicialmente gráficos do tipo

y = Asenx ou y = Acosx para, em seguida, se-

rem solicitados os gráficos do tipo y = AsenBx

ou y = AcosBx. Depois de analisadas as trans-

formações causadas nos gráficos das funções

elementares pelas inclusões das constantes A

e b, o próximo passo pode ser a inclusão da

constante C, sendo, então, gerados os gráfi-

cos de funções do tipo y = C + AsenBx ou

y = C + AcosBx.

Apresentamos a seguir algumas possibili-

dades para esse trabalho.

Atividade 9

1º- tipo – Gráficos y = A.senx

1. Desenhe em um mesmo sistema de eixos

os gráficos:

( I ) y = senx

( II ) y = 2senx

( III ) y = 3senx

y

3

4

5

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

0,5π–0,5π–1,5π–2,5π 1,5π 2,5π

00

2. Apague da tela os gráficos ( II ) e ( III )

e desenhe mais dois gráficos:

y = 3senx

y = 2senx

y = senx

–2π –1π 1π 2π

( IV ) y = 5senx

( V ) y = – 3senx

44

Qual é a alteração produzida no grá-

fico de y = senx quando multipli-

camos toda a função por um valor

constante A?

Varia a amplitude do gráfico e, portanto,

também a imagem da função.

3. Observe todos os gráficos desenhados

até agora e responda:

a) Qual é o domínio de uma função do

tipo y = Asenx?

R.

b) Qual é a imagem de uma função do

tipo y = Asenx?

x

y

6

8

10

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

1π–1π–2π–3π–4π–5π 2π 3π 4π 5π

00

[–A, +A], A>0.

c) Qual é o período de uma função do

tipo y = Asenx?

2π.

2º- tipo – Gráficos y = Asen(bx) ou y = Acos(bx)

4. Desenhe em um único sistema de eixos

os gráficos:

( I ) y = senx

( VI ) y = sen2x

( VII ) y = sen4x

y = 5senx

y = –3senx

y = senx

45


y = sen x2

x

y

3

4

5

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

0,5π–0,5π–1π–1,5π–2π 1π 1,5π 2π 2,5π0

0

5. Você deve ter percebido diferença entre as

formas “senoidais” dos 3 gráficos que aca-

bou de desenhar. Explique a diferença.

A diferença está no período das funções.

6. Desenhe em um único sistema de eixos:

(I) y = senx (VIII) y = sen x

2

(IX) y = sen x

4

y = 4 senxy = sen2xy = senx

–2,5π

x

y

6

8

10

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

1π–2π–4π–5π 2π 3π 4π

00

y = sen x4 y = senx

5π–1π–3π

46

7. Desenhe os gráficos:

( X ) y = cosx ( XI ) y = cos2x ( XII) y = cos x

2

8. Em funções do tipo y = Asenbx ou do

tipo y = Acosbx, qual é:

a) O domínio?

R.

b) A imagem?

[–A, +A] para A>0.

c) O período? 2πB

.

9. Responda:

a) Qual é o domínio da função

y = – 4sen4x?

R.

b) Qual é a imagem da função y = 5sen x

5?

–5 ≤ x ≤ 5.

c) Quais são os períodos das funções dos

itens a e b? π2

e 10π.

Não estamos apresentando aqui uma

sequên cia de trabalho para a discussão

do 3º- tipo de gráfico, y = C + AsenBx ou

y = C +AcosBx, e muito menos para gráficos

gerados por deslocamentos horizontais, do tipo

y = sen(x + D). Propomos que o professor

avalie a pertinência de incluir ou não gráficos

desses tipos em algumas rotinas de trabalho

com a ajuda de software.

y = cos x2

x

y

6

8

10

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

1π–2π–4π 2π 3π 4π

00

y = cos(2x)y = cosx

–1π–3π–5π 5π

47


Percurso 3 – Gráficos trigonométricos em função do tempo

Fenômenos periódicos são aqueles que se

repetem a cada intervalo determinado de tem-

po, mantendo suas características básicas.

Se quisermos analisar os fenômenos pe-

riódicos e, se possível modelá-los, não po-

demos deixar de considerar as funções nas

quais uma grandeza varia periodicamente

em função do tempo.

Depois da realização das etapas anterio-

res, o professor pode questionar os alunos

sobre o período de gráficos de funções do tipo

y = senBx quando b for da forma kπ, com

k ∈ Q. Consideremos, por exemplo, o gráfico

da função y = sen(πx), para o qual vamos ter

as seguintes condições:

Domínio: R. f

Imagem: [–1, +1]. f

Período: f

2ππ

= 2.

Nessas condições, teremos o seguinte gráfico:

De forma semelhante, o professor pode pe-

dir que os alunos avaliem as condições de alguns

x

y = senπx1

–1

1 1,5 20,5

0

gráficos e, se desejável, que eles os desenhem.

Para tanto sugerimos a seguinte atividade:

Atividade 10

Escreva o domínio, a imagem e o período

das seguintes funções:

a) y = 2sen (2πx)

Domínio: R; Imagem: [–2, + 2];

Período: 2π2π

= 1.

b) y = cos πx

2 Domínio: R; Imagem: [–1, +1];

Período: 2π ÷ π2 = 4.

c) y = 1 + 3senπx

4 Domínio: R; Imagem: [–2, +4]; Período:

2π ÷ π4 = 8.

Compreendido o fato de que o período do gráfico da função será igual a um número ra-cional quando a constante B for igual ao pro-duto entre π e um número racional, o próximo passo pode ser pedir aos alunos que reflitam sobre o seguinte exercício, em que um movi-mento periódico é claramente identificado e representado em função do tempo.

Atividade 11

Um pequeno corpo gira em torno de uma

circunferência de raio 4 cm, no sentido indica-

do, completando uma volta a cada 2 segundos.

Considerando que o corpo parte do ponto o assinalado na figura, determine a equação

matemática que permite calcular a medida da

projeção do ponto sobre o eixo vertical, e, em

48

seguida, desenhe o gráfico cartesiano repre-

sentativo da equação obtida.

A amplitude da projeção vertical é igual a

4 cm, correspondente à medida do raio da

t

P

6

8

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

2–2–4–6–8–10 4 6 8 10

00

circunferência. O período, isto é, o tempo para

o corpo completar uma volta na circunferên-

cia, é igual a 2 segundos, o que permite con-

cluir que o valor da constante b é, nesse caso,

igual a π. Associando a medida da projeção

(P) sobre o eixo vertical ao valor do seno do

arco, podemos escrever a seguinte equação:

P = 4sen(πt)

na qual t é dado em segundos e P em centí-

metros.

O gráfico da situação, para 3 períodos do

movimento, é este:

P = 4sen(πt)


A construção e o reconhecimento de grá-

ficos de funções trigonométricas é uma im-

portante etapa do estudo deste conteúdo,

sobretudo se considerarmos a possibilidade

de contextualizar os conceitos em situações

do cotidiano, que envolva periodicidade.

Sabemos, entretanto, que, assim como o trata-

mento dos gráficos dos demais grupos de fun-

ções, também as trigonométricas costumam

acarretar dificuldades aos alunos, e por isso,

recomendamos que o processo de avaliação

considere a maior variedade possível de instru-

mentos, e não apenas avaliações individuais.

0

49


Os diversos exercícios que compõem esta

Situação de Aprendizagem podem ser utilizados

em avaliações realizadas em duplas de alunos. Tal

estratégia estimula o diálogo e aumenta a possibi-

lidade de busca de significados conceituais. Caso

o professor opte por trabalhar com o auxílio do

computador para a construção dos gráficos, po-

derá utilizar as fichas de acompanhamento como

outro elemento de avaliação.

De qualquer modo, ao fim do período de

trabalho com esta Situação de Aprendizagem

espera-se que os alunos consigam:

completar uma tabela com valores de f

arcos e de funções.

construir o gráfico de uma função tri- f

gonométrica dada a equação que a

representa.

determinar a equação da função repre- f

sentada por um gráfico dado.

escrever a equação de uma função trigono- f

métrica que envolva um par de grandezas

do qual uma delas é o tempo.


Uma equação trigonométrica envolven-

do seno ou cosseno exige a determinação

de uma medida de arco para o qual o seno

ou cosseno assume determinado valor,

como, por exemplo, determinar x para que

senx = 1

2, ou cosx = –1. Casos como esses,

frequentemente apresentados e resolvidos

em cursos de Ensino Médio, se forem

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 EQUAçÕES TRIGONOMÉTRICAS

tempo previsto: 1 semana.

Conteúdos e temas: arcos côngruos; equações trigonométricas envolvendo senos e cossenos.

Competências e habilidades: relacionar situações-problema, apresentadas em língua materna, com os significados associados aos fenômenos periódicos; resolver equações trigonométricas en-volvendo senos e cossenos; interpretar resultados e fazer inferências.

Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.

compreendidos à luz da modelagem de fun-

ções trigonométricas, podem ampliar sobre-

maneira os significados associados a esse

tipo de função.

Entre os diversos fenômenos periódicos

possíveis de serem modelados por equações

trigonométricas envolvendo senos ou cos-

senos, foram selecionados quatro, apresenta-

dos a seguir, com a proposta de resolução de

algumas equações.

50

A Situação de Aprendizagem consiste em

fornecer aos alunos o texto descritivo de cada

fenômeno, solicitar a leitura, eliminar even-

tuais dúvidas e, finalmente, a resolução de

algumas questões.

Atividade 1

Cálculo do período de claridade de uma cidade

A inclinação do eixo de rotação da Terra

é o fator responsável pela alteração da quan-

tidade de insolação que uma cidade recebe

durante o ano. Essa alteração da quantidade

de horas de luz solar marca as estações, pri-

mavera, verão, outono e inverno.

Em cidades próximas à linha do Equador

quase não se percebe a passagem das esta-

ções, pois o índice de claridade é pratica-

mente o mesmo durante todo o ano, cerca

de 12 horas por dia, o mesmo dado vale para

a temperatura média mensal. Já em regiões

mais afastadas do Equador a inclinação do

eixo terrestre faz com que o verão tenha dias

bem longos, com alto índice de insolação,

enquanto no inverno a situação se inverte,

observando-se dias bem curtos, com poucas

horas de claridade.

Em uma região um pouco afastada do

Equador como, por exemplo, no Sul de nos-

so país, se registrarmos durante um ano o

número de horas de claridade diária perce-

beremos que os dados obtidos podem ser

ajustados por uma função trigonométrica,

isto é, que a quantidade de horas de clari-

dade diária varia periodicamente em função

do tempo. A equação a seguir traduz essa

situação para determinada localidade, que

chamaremos cidade b.

N = 35

3 +

7

3 ∙ sen 2πx

365 A variável x dessa equação corresponde ao

número de dias contados a partir do dia 23 de

setembro, dia que marca o início da primavera

no Hemisfério Sul, dia esse chamado equinó-

cio de primavera. O arco 2πx

365 é medido em

radianos e N é a quantidade de horas de clari-

dade diária. Assim, no dia 23 de setembro, x = 0

e o valor de n pode ser assim obtido:

N = 35

3 +

7

3 ∙ sen 2πx . 0

365 =

35

3 +

7

3 ∙ sen0 =

35

3 ≅ 11,7 horas

Como era de se esperar, nos dias de equi-

nócio o número de horas de claridade é próxi-

mo da metade da duração de um dia.

a) Qual é o número aproximado de ho-ras diárias de insolação da cidade b no dia 21 de dezembro, dia de solstí-cio, que marca a entrada do verão no Hemisfério Sul?

Adotando x = 90 correspondente ao número

de dias do período, têm-se:

N = 353 +

73 ∙ sen 2π . 90

365 . Aproximando

365 ≅ 4 . 90, têm-se:N = 353 +

73 ∙ sen

π2 .

Portanto, N ≅ 14 horas.

51


Ao observar que a imagem da função é

o intervalo [80, 120], que a amplitude é 20 e

que o período é 0,75 = 3

4, podemos escrever a

equação da função:

P(t) = 100 – 20 . cos 8πt

3 a) Calcule a medida da pressão no instan-

te 2 segundos.

Aproximadamente 110 mmHg.

b) Quais são os instantes de tempo entre 0 e 1 segundo em que a pressão sanguínea é igual a 100 mmHg?

P(t) = 100 – 20 . cos 8πt3 = 100 ⇒

cos 8πt3 = 0 ⇒ 8π

3 = π

2 = kπ ⇒

t = 3 + 6.k

16 , k ∈ Z. Os possíveis valores

de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que

os valores de t serão:

3

16,

9

16 e

15

16 segundos.

Atividade 3

A temperatura pode ser periódica?

A temperatura de determinada localidade

varia periodicamente, como, em geral, ocor-

re em muitos lugares durante certas épocas

do ano. Ao observar e anotar os valores de

b) Qual é o número de horas diárias de insolação da cidade b no dia 21 de junho, solstício de inverno no Hemis-fério Sul?

Adotando x = – 90, visto que junho antecede

setembro em três meses, e adotando a sim-

plificação realizada no item anterior, têm-se:

N = 353 +

73 ∙ sen –

π2 =

353 +

73 ∙ (–1) =

283

≅ 9,3 horas

c) De posse de uma tabela trigonométrica, ou de uma calculadora científica, deter-mine os dias do ano em que o número de horas de claridade na cidade b seja igual a 13 horas.

13 = 353 +

73 ∙ sen 2π

365 ⇒

sen 2πx365 =

47

≅ 0,6

Precisamos responder: qual é o arco, em

radianos, cujo seno é igual a 0,6? A res-

posta, de acordo com a calculadora cien-

tífica, é 0,64. Assim, 2πx365

≅ 0,64 ⇒

x ≅ 37,2 dias. Para encontrar o dia desejado

precisamos contar 37 dias a partir de 23 de

setembro. Feito isso, obteremos 30 de outubro.

Atividade 2

A periodicidade da pressão sanguínea

O gráfico a seguir representa a variação

da pressão (P, em milímetros de mercúrio,

mmHg) nas paredes dos vasos sanguíneos em

função do instante (t, em segundos) em que a

medida da pressão foi realizada.

t

P

120

100

80

0,375 0,75 1,51,125 1,875 2,25

52

temperatura dia a dia nesse local, percebe-se

que é possível modelar a variação por meio da

seguinte função trigonométrica:

T = 50 . sen 2π (t – 101)

360 + 7

Nessa equação, o tempo t é dado em dias,

t = 0 corresponde ao 1º- dia de janeiro, e a tem-

peratura t é medida na escala Fahrenheit.

A temperatura do dia 11 de maio, por

exemplo, 131 dias após 1º- de janeiro, pode ser

assim prevista:

T = 50 . sen 2π (131 – 101)

360 + 7

T = 50 . sen 2π . 30

360 + 7 = 50 . sen π6

+ 7.

Uma vez que sen π6

= 1

2 , temos que

T = 50 . 1

2 + 7 = 32 ºF.

lembrando que a conversão entre ºC e ºF

é feita de acordo com a expressão:

T(ºF) = 1,8.T(ºC) + 32

32 = 1,8.T(ºC) + 32 ⇒ T(ºC) = 0º

A cidade em que a temperatura diá-

ria obedece a essa equação deve estar bem

afastada da linha do Equador, uma vez que

11 de maio é dia de outono no Hemisfério

Sul e de primavera no hemisfério Norte, não

sendo comuns, nessa época, temperaturas tão

baixas em cidades próximas ao Equador.

a) Qual é a temperatura da referida cidade, em ºC, em 26 de maio, 15 dias adiante da data do exemplo comentado ante-riormente?

(lembre-se que sen45º = 22

≅ 0,7).

b) Qual é a máxima temperatura dessa cidade? Em qual dia do ano ela ocorre?

A temperatura máxima ocorrerá quando o va-

lor do seno for máximo, isto é, for igual a 1.

Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF,

ou 25

1,8 ≅ 14 ºC. Para que o valor do seno seja

igual a 1 é preciso que o arco seja igual a π2

rad.

Assim, 2π(t – 101)360

= π2

⇒ t = 191 dias.

Portanto, a temperatura máxima da cidade

será de 14 ºC, 191 dias após 1º- de janeiro, isto

é, por volta de 10 de julho. Esses dados nos

mostram que a cidade está localizada em um

país do Hemisfério Norte, em latitude alta,

como, por exemplo, Finlândia ou Noruega.

Atividade 4

o fenômeno das marés

A conjugação da atração gravitacional

entre os corpos do sistema Terra-lua-Sol e a

rotação da Terra em torno de seu eixo são os

principais fatores responsáveis pela ocorrência

do fenômeno das marés, no qual as águas do

mar atingem limites máximos e mínimos com

determinada regularidade.

T = 50. sen 2π(146 – 101)360 + 7

T = 50 . sen π4 + 7 ⇒ T ≅ 42 ºF e

T (ºC) = 10

1,8 ≅ 5,5 ºC

53


As atrações gravitacionais do Sol e da lua

sobre a Terra causam, em geral, duas marés

altas por dia em cada ponto da Terra, separa-

das por cerca de 12 horas. De fato, se for ob-

servada uma maré alta às 10 horas da manhã,

por exemplo, a próxima maré alta, no mes-

mo ponto, ocorrerá por volta de 22h12, ou

seja, cerca de 12 minutos além das 12 horas

de diferença.

A lua, por estar muito mais perto da

Terra que o Sol, tem a maior influência so-

bre as marés, como representado na figura

a seguir:

Atração lunar

Sol

LuaLua

Atração solar

No entanto, quando o Sol e a lua se

alinham com a Terra, nas condições de lua

cheia ou de lua nova, as atrações dos dois

astros se somam e são observadas as marés

mais altas entre todas.

O subir e o descer das marés é registrado

por uma medida de comprimento, relativa

às alturas, máxima e mínima, que a água

atinge em relação a um valor médio. Em

um intervalo aproximado de 12 horas, a

altura máxima corresponde à maré cheia e

a altura mínima à maré baixa. Vários sites

divulgam dados das alturas das marés bai-

xa e alta a cada dia e em cada porto, como

neste exemplo:

data Horário Altura (m)dom 02/03/08 00:21 1,1

08:15 0,712:56 1,118:02 0,4

Seg 03/03/08 00:56 1,307:45 0,713:23 1,218:47 0,3

ter 04/03/08 01:30 1,407:45 0,613:54 1,419:26 0,1

"Esta publicação não substitui as "TÁBUAS

DAS MARÉS:, editadas pela DHN."

"As tábuas de previsão de marés constantes

desta publicação foram cedidas pela Diretoria

de Hidrografia e Navegação e reproduzidas

mediante autorização"; "Esta publicação não

substitui as "TÁBUAS DAS MARÉS", editadas

pela DHN, mencionada no item 0240 das Normas

para Embarcações Empregadas na Navegação

de Mar Aberto (NORMAN-01/DPC)".

Publicação para distribuição gratuita. Não pode

ser vendida.

Observa-se, por exemplo, que no dia 02 as

marés altas alcançaram 1,1 m enquanto as

marés baixas mediram 0,7 m e 0,4 m. Nota-

se também que a maré alta do dia 03 (1,3 m)

foi de maior amplitude que a do dia anterior

(1,1 m), e de menor amplitude que a maré alta

do dia seguinte. (1,4 m). Assim, a amplitude

da maré alta aumenta com a passagem dos

dias representados na tábua.

Escolhido um porto e um período, e se-

lecionadas as alturas, em metros, das marés altas, e apenas delas, organizadamente e de

acordo com a ordem de observação, é possível

Tre

cho

da t

ábua

de

mar

és d

o po

rto

de S

anto

s, e

m m

arço

de

2008

.

54

desenhar um gráfico que reflita a periodici-

dade e que possa ser modelado por uma fun-

ção trigonométrica. Observe, por exemplo, o

gráfico do porto do Recife durante um perío-

do de dois meses. No eixo horizontal estão

assinalados os números de observações, cujo

valor máximo chega próximo de 120, o que é

razoável visto que ocorrem, em média, duas

marés altas por dia, e o período do gráfico

compreende 2 meses.

Podemos obter a equação desse gráfico,

do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas

simplificações:

adotar que o gráfico é uma senoide. f

traçar uma linha horizontal para iden- f

tificar a constante C da equação. No

caso, C ≅ 1,8.

identificar o valor da amplitude A f ≅ 0,5.

deslocar a origem do sistema para o f

ponto de observação nº- 25, de maneira

que todos os demais valores de observa-

ção passem a ser subtraídos de 25.

identificar o período do gráfico, corres- f

pondente, nesse caso, a 26 observações.

Como, em média, são duas obser-

vações por dia, o período do grá-

fico, em dias, é aproximadamente

igual a 13 dias. Assim, a constante

B = 2π13

.

a) De acordo com as simplificações rea-lizadas, qual é a equação da função que pode ser representada por esse gráfico?

y = 1,8 + 0,5sen 2π13

t, com t em dias e y em

metros.

b) Qual será a altura da maré no 39º- dia de observação?

1,8 m.

c) Quais serão os dias em que a maré alta atingirá 2,05 m de altura?

2,05 = 1,8 + 0,5sen 2π13

t ⇒ sen 2π13

t = 0,5

⇒ 2π13

t = π6

+ 2kπ

ou 2π13

t = 5π6

+ 2kπ . (Isolando t, tem-se:

t = 13

12 + 13k, ou t =

65

12 + 13k. Atribuindo

altura (m)

Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004

1

1019181716151413121111 111

2,5

2

1,5

0,5

0

altura (m)

Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004

1

1019181716151413121111 111

2,5

2

1,5

0,5

0

51 – 25

55


valores naturais para k, obtém-se os valores

de t no intervalo que se desejar.)


A escala apropriada para o desenvolvimen-

to de cada conteúdo só pode ser devidamente

indicada pelo professor na articulação entre

o conhecimento que tem sobre sua turma de

alunos e o respeito a seu projeto de ensino.

De forma semelhante, entendemos que, nas

diferentes etapas de avaliação, deve ser levada

em conta a pertinência de instrumentos, o per-

curso estabelecido e os conteúdos abordados.

Vale destacar que, dada a relevância de de-

terminados conceitos é importante que estes

tenham sua compreensão avaliada em vários

momentos. No entanto, apesar da variedade

de formas e conteúdos, algumas premissas

precisam ser adotadas. Como ponto de par-

tida, convém buscar resposta a duas questões

de suma importância:

Quais as principais habilidades que de- f

vem ser avaliadas?

Quais instrumentos podem avaliar as f

habilidades selecionadas?

Com relação à primeira questão, referente

às principais habilidades que os alunos preci-

sam mobilizar para serem avaliados, é neces-

sário que eles consigam:

Identificar a posição da extremidade f

final dos arcos notáveis na circunferên-

cia, associando-os aos correspondentes

valores de senos, cossenos, tangentes e

cotangentes.

Obter a menor determinação positi- f

va de arcos medidos em radianos ou

em graus.

Representar os gráficos das funções f

trigonométricas e reconhecer suas pro-

priedades.

Determinar o conjunto solução de f

equações ou de inequações trigonomé-

tricas, mesmo daquelas envolvidas por

contextos não apenas matemáticos.

No processo de avaliação sugere-se que o

professor utilize diferentes instrumentos de for-

ma que o quadro final da avaliação retrate tanto

as características do trabalho realizado como

as diversas competências que cada um de seus

alunos consegue ou não mobilizar no enfrenta-

mento de situações-problema de trigonometria.

Dessa forma, é possível considerar que:

a) uma atividade avaliativa individual deve ser realizada com o objetivo de permitir que os alunos busquem e dis-corram sobre situações do cotidiano em que se observa claramente a perio-dicidade.

b) as atividades desenvolvidas em sala de aula, cumpridas em grupos ou in-dividualmente, devem ser avaliadas continuamente, a fim de compor um quadro que considere todos os passos do processo de construção conceitual. Algumas vezes, portanto, avalia-se não só o que foi “feito” pelo aluno mas, com maior ênfase, seu processo de trabalho.

c) todas as atividades aplicadas para os alu-nos poderão ser resolvidas em duplas ou trios, cabendo ao professor acompanhar

56

as equipes durante a realização, sanando dúvidas e eliminando difi culdades. Ao fi nal, todos os alunos podem entregar sua produção para que o professor as comente e avalie.

d) Resolver equações trigonométricas é uma habilidade esperada dos alunos ao fim do estudo. Cabe ao profes-sor definir quais tipos de equações vão exigir resolução, de acordo com aquilo que apresentou e discutiu an-teriormente. No entanto, vale salien-tar a importância de que algumas dessas equações sejam apresentadas e

ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO

Acreditamos que a quase totalidade dos alu-

nos conseguirá atingir os objetivos traçados na

Situação de Aprendizagem 1, dispensando, dessa

forma, a necessidade de elaboração de um longo

processo de recuperação. Todavia, se alguns alu-

nos anunciarem qualquer difi culdade na compre-

ensão esperada, o professor poderá estimulá-los

com a observação de outros experimentos peri-

ódicos como, por exemplo, a distensão de uma

mola em que foi pendurada determinada massa,

de acordo com a ilustração seguinte.

posição "mínima"

posição "neutra"

posição "máxima"

Para os alunos que, por algum motivo,

não atinjam o nível de desempenho espera-

do nas avaliações propostas na Situação de

Aprendizagem 2, o professor, a fi m de auxi-

liá-los em sua recuperação, poderá adotar a

seguinte rotina:

orientar os alunos para a construção de f

nova circunferência trigonométrica, na

qual as extremidades fi nais dos arcos se-

jam assinaladas em graus e também em

radianos.

construir, mais uma vez, os gráfi cos das f

funções y = senx e y = cosx, os dois em

um único sistema de eixos cartesianos.

discutir novamente com os alunos so- f

bre a conversão de medidas de arcos de

graus para radianos e vice-versa.

resolvidas com base em situações do cotidiano, como é o caso das equa-ções que compõem esta Situação de Aprendizagem, e que, posteriormen-te, passem a compor instrumentos de avaliação objetiva.

livros didáticos contêm, via de regra, uma série de equações trigonométricas para os alunos resolverem. Estas séries são indicadas especialmente para os alunos que, por algum motivo, não tenham conseguido se apropriar do conhecimento desejado durante a realiza-ção da Situação de Aprendizagem.

57

preparar lista de exercícios para que os f

alunos calculem a menor determinação

de alguns arcos.

solicitar que os alunos resolvam algu- f

mas equações trigonométricas simples,

do tipo senx = k ou cosx = m, e que as

resoluções algumas vezes envolvam ape-

nas o observar da posição dos arcos na

circunferência, e, em outras, que sejam

representadas nos gráficos cartesianos

das funções.

Com relação às duas últimas Situações de

Aprendizagem, sugerimos que o professor

oriente os alunos que não tenham desenvolvi-

do o conhecimento desejado, e que necessitem

se recuperar, a resolver novamente alguns dos

exercícios propostos de forma a mostrarem

respostas diferentes das apresentadas ante-

riormente, sobretudo nos casos de respostas

redigidas em língua materna. Além disso, ha-

vendo possibilidade, os alunos poderão desti-

nar algum tempo extra para desenhar gráficos

com o auxílio de um software.

58

RecuRsos paRa ampliaR a peRspectiva do pRoFessoR e do aluno paRa a compReensão do tema

Caso o professor julgue necessário apro-

fundar o estudo de alguns dos temas apresen-

tados neste Caderno, sugerimos a leitura dos

seguintes artigos da Revista do Professor de

Matemática (RPM), da Sociedade Brasileira

de Matemática:

Sobre a evolução de algumas ideias mate-

máticas, de Elon lages lima, RPM, nº- 6.

Nesse artigo, o professor Elon discorre so-

bre abordagens conceituais para alguns tópi-

cos de conteúdo do Ensino Médio, entre eles,

a Trigonometria e a periodicidade.

Ensinando Trigonometria através da ima-

gem, de Abdala Gannam, RPM, nº- 9.

Funções Trigonométricas e leis da Trigo-

nometria, de Wu-yi-Hsiang, RPM, nº- 23.

Seno de 30 é um meio?, de Renate G.

Watanabe, RPM, nº- 30.

Além desses artigos, sugerimos ainda a lei-

tura das publicações do professor Elon lages

lima, pelo Instituto de Matemática Pura e

Aplicada (IMPA), dentre os quais destacamos:

Coordenadas no Plano. f

Meu professor de Matemática. f

59

consideRações Finais

Apresentamos neste Caderno uma propos-

ta de desenvolvimento para os conteúdos de

trigonometria que prioriza o reconhecimen-

to da periodicidade. De fato, como comen-

tado na apresentação inicial das Situações

de Aprendizagem, o grupo das funções tri-

gonométricas é um dos mais importantes

entre aqueles que mostramos aos alunos no

Ensino Médio, embora muitas vezes não seja

contextualizado com a devida atenção.

Afinal, há uma série bastante grande de fe-

nômenos naturais modelados por funções

trigonométricas, e apesar de apresentarmos

algumas delas durante os diversos exercícios,

de forma alguma esgotamos o rol possível

(batimento cardíaco, movimentos eletrôni-

cos, etc.).

Enfatizamos a possibilidade real de abor-

dar o estudo da trigonometria do ponto de

vista que aqui apresentamos, dada a variedade

surpreendente de significados que podemos, com

essa postura, agregar aos conceitos tratados.

Não abordamos neste Caderno, por ex-

clusiva escolha de prioridades, alguns as-

pectos que merecem também destaque no

planejamento didático-pedagógico do pro-

fessor, como, por exemplo, os gráficos e as

equações envolvendo tangente e cotangente,

e algumas transformações trigonométricas,

especialmen te a adição de arcos.

Para que se tenha uma ideia mais nítida

das múltiplas inter-relações entre os diversos

conteúdos aqui tratados, apresentamos, a

seguir, a grade curricular com os conteú dos

de Matemática de todas as séries do Ensino

Médio, destacando-se com um sombreado

os conteúdos de outras séries e de outros

bimestres diretamente relacionados com os

conteú dos apresentados neste bimestre da

2ª- série.

60

conteúdos de matemática poR séRie/bimestRe do ensino médio

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.

1a série 2a série 3a série

1o bim

estr

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NÚMEROS E SEQUÊNCIAS- Conjuntos numéricos.- Regularidades numéricas: sequências.- Progressões aritméticas, progres-sões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.

TRIGONOMETRIA- Arcos e ângulos; graus e radianos.- Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente.- Funções trigonométricas e fenô-menos periódicos.- Equações e inequações trigono-métricas.- Adição de arcos.

GEOMETRIA ANAlÍTICA- Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos.- Reta: equação e estudo dos coefi-cientes, retas paralelas e perpendi-culares, distância de ponto a reta; problemas lineares.- Circunferências e cônicas: pro-priedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

2o bim

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FUNçÕES- Relação entre duas grandezas.- Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado.- Função do 1o grau, função do 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MATRIzES, DETERMINANTES E SISTEMAS lINEARES- Matrizes: significado como tabe-las, características e operações.- A noção de determinante de uma matriz quadrada.- Resolução e discussão de siste-mas lineares: escalonamento.

EQUAçÕES AlGÉBRICAS, POlINÔMIOS, COMPlEXOS- Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa.- Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial.- Polinômios: identidade, divisão por x - k e redução no grau de uma equação.- Números complexos: significado geométrico das operações.

3o bim

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FUNçÕES EXPONENCIAl E lOGARÍTMICA- Crescimento exponencial.- Função exponencial: equações e inequações.- logaritmos: definição, proprie-dades, significado em diferentes contextos.- Função logarítmica: equações e inequações simples.

ANÁlISE COMBINATÓRIA E PROBABIlIDADE- Raciocínio combinatório: princí-pios multiplicativo e aditivo.- Probabilidade simples.- Arranjos, combinações e permu-tações.- Probabilidades; probabilidade condicional.- Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

ESTUDO DAS FUNçÕES- Panorama das funções já estuda-das: principais propriedades.- Gráficos: funções trigonométri-cas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais.- Gráficos: análise de sinal, cres-cimento, decrescimento, taxas de variação.- Composição: translações, refle-xões, inversões.

4o bim

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GEOMETRIA- TRIGONOMETRIA- Razões trigonométricas nos triângulos retângulos.- Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação de superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAl- Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas.- Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas.- Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas.- A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

ESTATÍSTICA- Cálculo e interpretação de índi-ces estatísticos.- Medidas de tendência central: média, mediana e moda.- Medidas de dispersão: desvio médio e desvio-padrão.- Elementos de amostragem.

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