algebra 1 - matrizes 2006 2s

MATRIZES

Prof. Fabio L . de Oliveira 1

1. MATRIZES

1.1. Introdução Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

A=

−22

11

−=

233

112

221

B

Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por:

2. TIPOS DE MATRIZES 2.1. Matriz Quadrada

È aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n)

−=

233

112

221

B

Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm os dois índices iguais, isto é: {aij/i =j} = {a 11, a22, a33, ..., anm} Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1,isto é: {aij/ i + j = n + 1} = {a1n, a2n-1, a3,n-2, ..., n} Exemplos:

1. A matriz M =

−−−

321

546

798

é quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é {8, 4,

3} e sua diagonal secundária é {-7, 4, -1}

2. A matriz M =

−−−−−−

6543

2198

7654

3210

é quadrada de ordem 4, sua diagonal principal é

{0,5,-1,-6} e sua secundária é {3,6,9,-3} 2.2. Matriz Nula

É aquela em que aij = 0, para todo i e j. (Também indicada por Φ) Ex.:

MATRIZES


=

00

00A

2.3. Matriz Coluna

E aquela que possui uma única coluna (n=1)

Ex.:

− 3

4

1

e

y

x

2.4. Matriz Linha

È aquela onde m = 1. [ ]431 −

2.5. Matriz Diagonal É uma matriz quadrada (m=n) onde aij =0, para i ≠j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos.

A =

100

050

001

2.6. Matriz Identidade É aquela em que aij = 1 para i=j e aij = 0, para i≠j.

I3 =

100

010

001

I2=

10

01

2.7. Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i >j.

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

aa

aaa

aaaa

Exemplos:

A=

−−

300

410

012

B =

10

ba

2.8. Matriz Triangular Inferior

É aquela em que m = n e aij = 0 para i < j.

MATRIZES


44434241

333231

2221

11

0

00

000

aaaa

aaa

aa

a

Exemplos:

A =

−421

011

002

B =

cb

a 0

2.9. Matriz Transposta

Se A é uma matriz Amxn = (aij), então sua transposta é dada por A’ = A’=At = (aji)

=

102

321A , a transposta é A’ = At =

13

02

21

PROPRIEDADES: I) A’’ = A, isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. II) (A + B)’ = A’ + B’, a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. III) (kA)’ = kA, onde k é qualquer escalar. IV) (AB)t = BtAt (A transposta de um produto de um número qualquer de matrizes é igual ao

produto de suas transpostas em ordem inversa.) V) Uma matriz é simétrica se, e somente ela é igual à sua transposta, isto é, se, e se somente

se A = A’. (Observe a matriz A abaixo)

2.10. Matriz Simétrica È aquela onde m = n e aij = aji.

−

−

501

023

134

Se A e B são matrizes simétricas de mesmo tamanho e se k é um escalar qualquer, então:

I) At é simétrica II) kA é simétrica III) A + B e A – B são simétricas

2.11. Matriz anti-simétrica Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = - A Exemplos:

− 0

0

a

a,

−−−

0

0

0

cb

ca

ba

MATRIZES


2.12. Matriz Escalar A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar. Exemplo:

=500

050

005

A

3. TRAÇO DE UMA MATRIZ Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é definido pela soma das entradas (elementos) na diagonal principal de A. O traço não é definido se A não é uma matriz quadrada. Exemplos:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

B =

−−

−−

0124

3721

4853

0721

tr(A) = a11 + a22 + a33 tr(B) = -1 + 5 + 7 + 0 = 11

4. OPREÇÕES COM MATRIZES

4.1.Adição Exemplo:

−=

++−+−+

=

−+

−54

42

2322

)3(111

22

31

32

11

Propriedades da Adição I) A + B = B + A (Comutativa) II) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (Associativa) III) A + 0 = 0 + A = A (Elemento Neutro) IV) A + (-A) = 0 (oposta)

Onde 0 é matriz mula mxn. Também usa-se Φ para indicar a matriz nula.(Φ denomina-se Phi)

Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn,, chama-se diferença A – B, a matriz soma de A com a oposta de B: A + (-B)

4.2.Multiplicação por escalar

Dada uma matriz A= (aij) e um número real k, então definimos uma nova matriz.

MATRIZES


k.A = [kaij]mxn

Exemplo:

−−−

=

−−

62

204

31

1022

PROPRIEDADES: Dadas duas matrizes A e B de mesma ordem mxn e números k, k1 e k2, temos:

I) k(A + B) = kA + kB II) (k1 + k2)A = k1A + k2A III) 0.A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a

matriz nula. IV) k1(k2A) = (k1k2)A

4.3.Multiplicação de Matrizes

Sejam A = (aij)mxn e B = (brs)nxp, definimos AB = (Cuv)mxp Observações:

I) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = 1. Além disso, a matriz-resultado C = AB será de ordem mxp;

II) O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da e j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.

PROPRIEDADES:

I) Em geral AB ≠ BA (podendo mesmo um dos membros estar e o outro não).

Exemplo:

Sejam A =

−−−

−

012

123

111

e B =

321

642

321

Então AB =

000

000

000

e BA =

−−−−−−

1611

21222

1611

Note que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0

II) AI = IA = A III) A(B + C) = AB + AC (distributiva à esquerda) IV) (A + B)C = AC + BC (distributiva à direita) V) (AB)C = A(BC) (Associativa) VI) 0.A = A.0 = 0 VII) (AB)t = BtAt

MATRIZES


Exemplo: 1)

2)

−

40

11.

35

24

12

=

OBS.: Sejam as matrizes A1x4 e B4x2: [ ]5234=A e

=

43

75

24

16

B , existe o produto C = AB

pois:

A1x4 e B4x2 O produto será C1,2 pois:

A1x4 e B4x2

C1,2 = [ ]4461

EXERCÍCIOS BÁSICOS SOBRE OPERÇÕES COM MATRIZES

1. Considere as matrizes:

−=11

21

03

A

−=

20

14B

=

513

241C

−=423

101

251

D

−=314

211

316

E ,

Calcule quando possível:

2. Usando as matrizes do exercício 1, calcule quando possível:

MATRIZES


3. Usando as matrizes o exercício 1,calcule quando possível:

RESPOSTAS: 1.

a)

−737

312

567

b)

−−−−−

111

110

145

c)

−55

105

015

d)

−−−−−−

35721

14287

e) não definida

f)

−−

4010

642

8622

g)

−−−−−−−−

301233

1569

242139

h)

00

00

00

i) 5 j) -25 k) 168 l) não definida

2. a)

753

427 b)

−−−

−−

111

114

105

c)

−−−

−−

111

114

105

d) não definida

e)

−

4

9

4

3

04

93

2

4

1

f)

−01

10 g)

−−−−

610

4213

119

h)

−−−

−

641

121

0139

3. a)

−−

14

54

312

b) não definida c)

−637836

21312

7510842

d)

−13177

171111

9453

e)

−13177

171111

9453

f)

3517

1721 g)

−8112

1120 h)

−16824

142048

9612

i) 61 j) 35 k) 28

MATRIZES


EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. Sejam

−=

112

321A

−=

103

102B

−=

4

2

1

C ( )12 −=D . Encontre:

a) A + B b) AC c) BC d) CD

e) DA f) DB g) -A h)-D

2. Qual é o valor de c23 na multiplicação das matrizes abaixo?

=

−−−

−−

−−

44434241

34333231

24232221

14131211

2252

4515

21

44

25

21

cccc

cccc

cccc

cccc

3. Considere a multiplicação de matrizes 3x3 abaixo, em que os pontos de interrogação representam coeficientes desconhecidos:

=

−−

−−

−−−

333231

232221

131211

784

?5?

?95

?4?

27?

489

ccc

ccc

ccc

Só possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor? 4. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes dos seguintes tamanhos:

A4x5 B4X5 C5X2 D4X2 E5X4 Determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante.

a) BA b) AC + D c) AE + B d) AB + B

e) E(A + B) f) E(AC) g) ETA h) (AT + E)D

5. Resolva as seguintes equações:

a)

−=

−

95

75

22

13

dc

ba

b)

−=

− 95

75

22

31

dc

ba

6.Ache x, y, z, w tais que:

=

10

01

43

32

wz

yx

MATRIZES


7. Mostre que não existem x, y, z, w tais que:

=

10

01

00

01

wz

yx

8. . Existem x, y, z, w tais que

=

10

01

11

11

wz

yx?

9. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial.A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

1358256

21912187

17716205

int

Colonial

eoMediterrân

Moderno

TijoloaTVidroMadeiraFerro

a) Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregados.

b) Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?

c) Qual é o custo total do material empregado? 10. Se A é uma matriz simétrica, então A – A’ = ________ 11. Se A é uma matriz triangular superior, então A’ é ______ 12. Verdadeiro ou falso? a) ( ) (-A)’ = - (A’) b) ( ) (A + B)’ = B’ + A’ c) ( ) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 d) ( ) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB e) ( ) (-A)(-B) = -(AB) f) ( ) Se A.B = 0, então B.A=0 13. João pesa 81 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e exercícios. Após consultar a tabela 1, ele monta o programa de exercícios na tabela 2. Quantas calorias ele vai queimar por dia se seguir esse programa? TABELA 1: Calorias Queimadas por Hora ATIVIDADE ESPORTIVA

Peso Andar a 3 Km/h

Correr a 9 Km/h

Andar de bicicleta a 9 Km/h

Jogar tênis(moderado)

69 213 651 304 420 73 225 688 321 441 77 237 726 338 468 81 249 764 356 492

MATRIZES


TABELA 2: Horas por Dia para Cada Atividade PROGRAMA DE EXERCÍCIOS Andar a

3 Km/h Correr a 9 Km/h

Andar de bicicleta a 9 Km/h

Jogar tênis(moderado)

Segunda-feira 1 0 1 0 Terça-feira 0 0 0 2 Quarta-feira 0,4 0,5 0 0 Quinta-feira 0 0 0,5 2 Sexta-feira 0,4 0,5 0 0 14. Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas nas Tabelas 3 e 4. A empresa gostaria de apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por trimestre de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. Monte esta tabela. TABELA 3: Custo de Produção por Item

GASTOS PRODUTO A B C

Matéria-prima 0,10 0,30 0,15 Pessoal 0,30 0,40 0,25

Despesas gerais 0,10 0,20 0,15 TABELA 4: Quantidade Produzida por Trimestre ESTAÇÃO VERÃO OUTONO INVERNO PRIMAVERA

A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000

15. Um projeto de pesquisa alimentar conta com a participação de adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz:

O número de gramas diários de proteínas, gordura e carboidratos consumido por cada criança e cada adulto é dado pela matriz:

a) Quantos gramas de proteína são consumidos diariamente pelos homens que participam do

projeto?

MATRIZES


b) Quantos gramas de gordura são consumidos diariamente pelas mulheres que participam do projeto?

16. Um fabricante faz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de duas fábricas X e Y. Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros materiais poluentes. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilos) pela matriz:

Leis federais e estaduais exigem a remoção desse poluentes. O custo diário para remover cada quilo de poluente é dado (em dólares) pela matriz:

Qual o significado da matriz AB? Respostas:

1. a)

−015

421 b)

− 4

15 c)

1

6 d)

−−

−

48

24

12

e) ( )730

f) ( )107− g)

−−−−−112

321 g) ( )12−

2) 21 3) c12 4)

a) não definida b) 4x2 c) não definida d) não definida e) 5x5 f) 5x2 g) não definida h) 5x2

MATRIZES


5) a)

41

23 b)

−

8

23

8

58

13

8

25

6.

−−

23

34

9. a) [ ]388158260526146

b)

465

528

492

c) [ ]11736 13.

14.

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