algebra relacional

12/10/2009

Álgebra Relacional

André Luiz do Vale Soares

12/10/2009

Roteiro

● Operações Relacionais Unárias○ Seleção, Projeção e Rebatizamento

● Operações sobre Conjuntos○ União, Interseção, Diferença○ Produto Cartesiano

● Operações Relacionais Binárias○ Junções e Divisão

● Operações de Agregamento

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Esquema ExemploEstado do banco de dados CONCURSO

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Operações Relacionais Unárias● Seleção (Select)

○ Usada para selecionar um subconjunto de tuplas de uma relação que satisfaça uma condição de seleção.

○ Particionamento Horizontal da relação em dois conjuntos de tuplas: as que satisfazem a condição e as que não satisfazem a condição de seleção.

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○ Notação: (símbolo sigma)■ R � σ <condição de seleção> (S)■ onde a condição de seleção é uma expressão

booleana, especificada nos atributos da relação S.

■ S é, geralmente, uma expressão de álgebra relacional.

■ O resultado da operação de seleção é uma relação R com os mesmos atributos de S.

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○ Condição de Seleção:■ Geralmente é composta por expressões

booleanas na forma: <nome do atributo> <operador de comparação> <valor da constante>

■ Onde o operador de comparação pode ser =,≠, ≤, ≥, >, <

■ As cláusulas podem ser conectadas por operadores de disjunção (OR) ou conjunção (AND)

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Operações Relacionais Unárias

● Seleção (Select)○ Exemplo:

■ Listar todos os avaliadores com título de mestre:

■ R � σ <Titulação=‘Mestre’> (PROFESSOR)

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● Seleção (Select)○ Exemplos:

■ Listar todos as provas escritas da área de Computação:

■ R � σ <Área=‘Computação’ AND Tipo=‘Escrita’> (PROVA)

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Operações Relacionais Unárias● Propriedades da Seleção (Select)

○ Comutatividade: σ <condição 1>(σ <condição 2> (R)) = σ <condição 2> (σ <condição 1> (R))

○ Propagação: σ <cond 1>(σ <cond 2> (...(σ <cond n>(R)...) = σ <cond 1> AND <cond 2> AND

... AND <cond n> (R)

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Operações Relacionais Unárias● Projeção (Project)

○ Usada para selecionar um subconjunto de atributos de uma relação.

○ Particionamento Vertical da relação.

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Operações Relacionais Unárias● Projeção (Project)

○ Notação: (símbolo pi)■ R � π <lista de atributos> (S)

■ S é, geralmente, uma expressão de álgebra relacional ou uma relação simples do banco de dados.

■ O resultado da operação de projeção é uma relação R com os atributos especificados de S, na mesma ordem em que aparecem na lista.

■ A operação de Projeção REMOVE quaisquer tuplas repetidas

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● Projeção (Project)○ Exemplo:

■ Listar todos os nomes dos candidatos inscritos no concurso:

■ R � π <Nome> (CANDIDATO)

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● Projeção (Project)○ Exemplo:

■ Listar os nomes de todos os avaliadores com título de mestre:

■ S � σ <Titulação=‘Mestre’> (PROFESSOR)

■ R � π nome (S)

OU■ R � π nome(σ <Titulação=‘Mestre’> (PROFESSOR))

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Operações Relacionais Unárias● Propriedades da Projeção (Project)

○ O número de tuplas da relação resultante R é menor ou igual ao número de tuplas de S.

○ Comutatividade: Não Aplicável π <lista 1> (π <lista 2> (R)) = π <lista 1> (R)

Desde que <lista 2> contenha os atributos de <lista 1>, caso contrário, a operação estará incorreta.

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Operações Relacionais Unárias● Rebatizar (Rename)

○ Usada para renomear os atributos das relações resultantes em operações da álgebra relacional.

○ Exemplo:■ Listar os nomes de todos os avaliadores com

título de mestre:■ R (Professor) � π nome (σ <Titulação=‘Mestre’> (PROFESSOR))

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● Exercícios:○ Elabore consultas utilizando operadores da Álgebra Relacional

para listar:1. Os nomes dos departamentos da Empresa.2. Os nomes dos funcionários do sexo masculino da Empresa.3. Os nomes das esposas dos funcionários da empresa que estiverem

no cadastro de dependentes.4. O nome da localização do projeto de número 5.5. A matrícula do gerente do departamento ‘Contabilidade’.6. As matrículas dos empregados que trabalhem mais de 20 horas em

qualquer projeto.7. Os números de projetos em que o empregado de matrícula 10

trabalha.8. Os nomes dos empregados dos sexo feminino, supervisionadas pelo

empregado de matrícula 120.9. Os nomes dos departamentos gerenciados pelo empregado de

matrícula 534 ou gerenciados a partir de ’01-Janeiro-2004’.

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Operações da Álgebra Relacional a Partir da Teoria dos Conjuntos● Diferentemente das operações unárias, são

aplicadas em duas relações, a fim de obter uma terceira como resultado da operação aplicada.

● São baseadas em operações sobre conjuntos: União, Interseção e Diferença

● As relações sobre as quais é efetuada a operação devem ser união-compatíveis.

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Operações da Álgebra Relacional a Partir da Teoria dos Conjuntos

● Relações União-Compatíveis:○ Duas relações R (A1, A2, …, An) e S (B1,

B2, …, Bn) são ditas união-compatíveis se:

■ Tiverem o mesmo grau n; ■ dom(Ai) = dom(Bi), para 1 ≤ i ≤ n.

○ Ou seja, as duas relações têm o mesmo número de atributos e cada par correspondente de atributos tem o mesmo domínio.

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● Operação de União (∪):

○ O resultado dessa operação, indicada por:

R � S ∪ T

○ É uma relação R que inclui todas as tuplas que estão em S, ou em T, ou em ambas, S e T.

○ As tuplas repetidas são eliminadas.

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● Operação de Interseção (∩):○ O resultado dessa operação, indicada

por: R � S ∩ T

○ É uma relação R que inclui todas as tuplas que estão em ambas, S e T.

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● Operação de Diferença (-):○ O resultado dessa operação, indicada

por: R � S - T

○ É uma relação R que inclui todas as tuplas que estão em S, mas não estão em T.

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● Exemplos:○ Listar os nomes dos professores e dos

candidatos inscritos no concurso. Cand � π nome (CANDIDATO)

Prof � π nome (PROFESSOR)

R � Cand ∪ Prof

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● Exemplos:○ Listar os nomes dos professores que

realizaram alguma avaliação: AVAL (Nome) � π Professor (AVALIAÇÃO)

PROF � π nome (PROFESSOR)

R � PROF ∩ AVAL

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● Exemplos:○ Listar os nomes dos professores que não

realizaram nenhuma avaliação: AVAL (Nome) � π Professor (AVALIAÇÃO)

PROF � π nome (PROFESSOR)

R � PROF - AVAL

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● Propriedades:○ Comutativivade:

■ União e Interseção são comutativas:■ R ∪ S = S ∪ R

■ R ∩ S = S ∩ R■ Diferença não é comutativa:

■ R – S ≠ S – R○ Associatividade

■ União, interseção e diferença são associativas:■ R ∪ (S ∪ T) = (R ∪ S) ∪ T

■ R ∩ (S ∩ T) = (R ∩ S) ∩ T■ R – (S – T) = (R – S) – T

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Operações da Álgebra Relacional a Partir da Teoria dos Conjuntos● Produto Cartesiano (X):

○ Não há necessidade das relações envolvidas serem “união-compatíveis”

○ Utilizada para gerar uma nova relação a partir de duas outras, associando suas tuplas de forma combinatória.

○ Em geral, só possui algum sentido se combinada com uma operação de seleção, “casando” atributos de relações diferentes que tenham valores iguais.

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● Produto Cartesiano (X):○ R � S X T

■ S (A1, A2, …, An)

■ T (B1, B2, …, Bn)

■ R (A1, A2, …, An, B1, B2, …, Bn)

■ Se S possuir n tuplas e T possuir m tuplas, então R possuirá n*m tuplas.

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● Exemplo de Produto Cartesiano (X):○ Listar, para as bancas formadas: área,

sub-área, membro, titulação e Universidade de Origem

■ Área, Sub-Área e Membro da banca estão na relação “BANCA_MEMBROS”

■ Membro da banca, titulação e universidade de origem estão na relação “PROFESSOR”

■ Temos que combinar as duas relações para obter o resultado esperado

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Esquema ExemploEstado do banco de dados CONCURSO

● Comb �PROFESSOR X BANCA_MEMBROS● R �σ Nome = Membro (Comb)

OU● R �σ Nome = Membro (PROFESSOR X BANCA_MEMBROS)

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● Exemplo de Produto Cartesiano (X):○ Resultado:

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Operações Relacionais Binárias● Junção (Join)

○ É usada para combinar as tuplas relacionadas em duas relações dentro de uma tupla única.

○ É uma das operações mais importantes aplicadas ao modelo relacional, porque implementa a associação entre relações.

○ Grosso modo, substitui a associação entre relações através de produto cartesiano combinado à seleção.

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Operações Relacionais Binárias● Junção (⋈):

○ R � S ⋈<condição da junção> T■ S (A1, A2, …, An)

■ T (B1, B2, …, Bn)

■ R (A1, A2, …, An, B1, B2, …, Bn)

■ Uma tupla de R será composta por uma tupla de S e uma de T, quando a combinação satisfizer a condição de junção.

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○ R � S ⋈<condição da junção> T■ Condição de junção: mesmas regras da

condição de seleção, exceto que a expressão poderá ser do tipo:

<nome do atributo1> <operador de comparação> <nome do atributo2>

■ Onde atributo1 faz parte da relação S e atributo2 faz parte da relação T.

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○ Exemplo: Listar nome dos candidatos que realizaram provas da área de Computação.

CAND_COMP � πinscrição (σÁrea=‘Computação’PROVAS_CANDIDATO)

R � πnome (CANDIDATO ⋈ candidato.inscrição = cand_comp.inscrição CAND_COMP)

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○ Variações■ Equijunção (Equijoin)

■ Junção em que o único operador de comparação usado é o = (igual)

■ Junção Natural (Natural Join)■ Equijunção em que os dois atributos (ou cada par

de atributos) têm o mesmo nome em ambas as relações envolvidas.

■ Representada por *

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Operações Relacionais Binárias● Equijunção (⋈):



R � πnome (CANDIDATO ⋈ candidato.inscrição = cand_comp.inscrição CAND_COMP)

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Operações Relacionais Binárias● Junção Natural (*):



R � πnome (CANDIDATO * CAND_COMP)

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Operações Relacionais Binárias● Divisão (÷)

○ Operação peculiar da álgebra relacional, não possuindo comando na linguagem SQL para representá-la.

○ É aplicada em duas relações: R(A) e S(B), em que A ⊆ B. Se tivermos um conjunto de atributos

C = A – B, ou seja, C é o conjunto de atributos de R que não são atributos de S. Assim, o resultado da operação será uma relação T(C).

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Operações Relacionais Binárias● Divisão (÷)

○ Para uma tupla t aparecer no resultado T da divisão de R por S, os valores em t devem aparecer em R em combinação com toda tupla em S.

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Operações Relacionais Binárias

● Divisão (÷)○ Exemplo: C � A ÷

B

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● Divisão (÷)○ Exemplo: Listar os nomes dos candidatos

que passaram pelas duas fases do concurso, ou seja, realizaram tanto prova escrita quanto didática.

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● Resposta (possível): PROVAS � π Tipo (PROVA)

PROV_REALIZ � π Inscrição, Tipo

(PROVAS_CANDIDATO) CAND � PROV_REALIZ ÷ PROVAS R � π Nome CAND * CANDIDATO

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● Divisão (÷)○ Pode ser expressa como uma seqüência de

operações de projeção (π), produto cartesiano (X) e diferença (-): T � R ÷ S

ǁ T1 � πγ(R)

T2 � πγ((S X T1) – R)

T � T1 – T2

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● Exercícios:○ Elabore consultas utilizando operadores da

Álgebra Relacional para listar:1. Os nomes dos empregados que trabalham no

departamento ‘Administração’2. Os nomes e parentescos dos dependentes do

empregado ‘Ari França’3. O nome do gerente do departamento ‘Informática’4. As Localidades do departamento ‘Contabilidade’5. Os nomes dos projetos em que o empregado ‘José da

Silva’ trabalha6. Os nomes e parentescos dos dependentes dos

empregados do departamento ‘Financeiro’

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● Exercícios:○ Elabore consultas utilizando operadores da Álgebra

Relacionais para listar:1. Os nomes dos empregados supervisionados por ‘Antenor

Filho’2. Os nomes dos projetos em que os empregados do

departamento ‘Informática’ trabalham3. Os nomes dos supervisores dos empregados que trabalham

no projeto ‘Pesquisa’4. Os nomes dos empregados que trabalham em

departamentos com localizações em ‘Manaus’5. Os nomes dos gerentes dos departamentos que controlam

projetos em que o empregado ‘Iran Neves’ trabalha6. Os nomes dos empregados que trabalham nos dois projetos

‘Pesquisa’ e ‘Desenvolvimento’, simultaneamente

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Operações de Agregamento

● Inclui funções ou operações aplicadas a um conjunto ou grupo de tuplas.

● Funções básicas:○ Contar○ Soma○ Média○ Mínimo○ Máximo

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● O agrupamento pode ser feito com base na aplicação da função de agregamento a todo o conjunto de tuplas da relação ou a um grupo de conjuntos de tuplas, obtido a partir de valores para uma lista de atributos.

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● Notação (“script F”):○ R � <atributos de agrupamento> ℱ <lista de funções> (S)

■ Onde:■ <atributos de agrupamento> é uma lista de

atributos da relação S■ <lista de funções> é uma lista de pares: <função>

<atributo>, onde a função é uma das permitidas pelas operações de agregação.

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● Exemplo:○ Listar o número de candidatos inscritos no

concurso: R (candidatos) � ℱ contar(*) (CANDIDATO)

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● Exemplo:○ Listar quantos professores doutores estarão

aptos para avaliar trabalhos: S � σTitulação em (‘Doutor’,’Doutora’)(PROFESSOR)

R (candidatos) � ℱ contar(*) (S)

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● Exemplo:○ Listar quantas avaliações foram realizadas

para cada professor avaliador: R (professor,total) � professor ℱ contar(*)

(AVALIACAO)

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● Exemplo:○ Listar o nome do aluno que obteve a maior

nota de todas as avaliações realizadas: S (maior_nota) � ℱ máximo(nota) (AVALIACAO)

T � S ⋈ nota=maior_nota AVALIACAO

U � CANDIDATO * T R (Candidato) � π nome (U)

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Operações de Agregamento● Exercícios:

○ Elabore consultas utilizando operadores da Álgebra Relacionais para listar:

1. O nome do empregado mais jovem da empresa2. O nome do departamento que controla o maior número de

projetos3. O total de horas trabalhadas nos projetos, por empregado4. O nome do empregado que possui maior número de

dependentes5. As quantidades de empregados dos sexos masculino e

feminino que trabalham na empresa6. O nome do departamento que mais gasta com pagamento

de salários da empresa

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Outras Operações

● Junção Externa:○ Nas junções, apenas as tuplas de ambas as

relações envolvidas que satisfazem à condição de junção são retornadas na consulta.

○ Há casos em que para uma relação seja necessário recuperar suas tuplas, mesmo que estas não satisfaçam à condição de junção.

○ Para isto, utilizamos a operação de “junção externa” (“outter join”)

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Outras Operações

● Junção Externa:○ Pode ser aplicada:

■ Na relação à esquerda da junção (“left outer join”)

■ Na relação à direita da junção (“right outer join”)

■ Em ambas as relações, à esquerda e à direita da junção (“full outer join”)

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Outras Operações

● Junção Externa:○ Notação:

■ “left outer join”: R � S T■ “right outer join”: R � S T■ “full outer join”: R � S T

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Outras Operações

● Junção Externa:○ Exemplo:

■ Listar as notas das provas didáticas por candidato:

S � σTipo = ‘Didática’ (AVALIACAO)

T � π Inscrição,Nota (S)

U � π Inscrição,Nome (CANDIDATO)

R � π Nome,Nota (U U.Inscrição=T.Inscrição T)

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Junção Externa

● Exercícios:○ Elabore consultas utilizando operadores

da Álgebra Relacionais para listar:1. O nome de cada empregado da empresa e,

se for o caso, o departamento que o mesmo gerencia

2. Os nomes dos empregados do departamento ‘Informática’ e de suas esposas, caso estas estejam cadastradas como suas dependentes

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