sebenta algebra

Álgebra Linear BSebenta da Unidade Curricular

Engenharia de Comunicações (1o ano/1o semestre)

Engenharia Mecânica (1o ano/1o semestre)

Gaspar José Brandão Queiroz Azevedo Machado

Departamento de Matemática para a Ciência e Tecnologia

Universidade do Minho

2006/2007

Indice

1 Matrizes 1

1.1 Apontamentos sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exercícios sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3 Soluções dos Exercícios sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . 35

2 Determinantes 37

2.1 Apontamentos sobre Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Exercícios sobre Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3 Soluções dos Exercícios sobre Determinantes . . . . . . . . . . 53

3 Sistemas de Equacoes Lineares 55

3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equações Lineares . . . . . 55

3.2 Exercícios sobre Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . 71

3.3 Soluções dos Exercícios sobre Sistemas de Equações Lineares . 74

4 Espacos Vectoriais 77

4.1 Apontamentos sobre Espaços Vectoriais . . . . . . . . . . . . 77

iii

4.2 Exercícios sobre Espaços Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3 Soluções dos Exercícios sobre Espaços Vectoriais . . . . . . . 125

5 Transformacoes Lineares 127

5.1 Apontamentos sobre Transformações Lineares . . . . . . . . . 127

5.2 Exercícios sobre Transformações Lineares . . . . . . . . . . . 138

5.3 Soluções dos Exercícios sobre Transformações Lineares . . . . 141

6 Valores e Vectores Proprios 143

6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Próprios . . . . . . . 143

6.2 Exercícios sobre Valores e Vectores Próprios . . . . . . . . . . 148

6.3 Soluções dos Exercícios sobre Valores e Vectores Próprios . . 150

Apendice A 151

Indice Remissivo 152

iv

Capıtulo 1

Matrizes

1.1 Apontamentos sobre Matrizes

1.1def (a) Jproduto cartesiano de dois conjuntosK Sejam A e B conjuntos.

Chama-se produto cartesiano de A e B, que se representa por

A×B, ao conjunto

(a, b)|a ∈ A, b ∈ B.

(b) Jproduto cartesiano de um número finito de conjuntosK Sejam n ∈N e os conjuntos A1, A2, . . . , An. Chama-se produto cartesiano de

A e B, que se representa por A1 ×A2 × · · · ×An, ao conjunto

(a1, a2, . . . , an)|a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An, .

(c) Jpotência cartesiana de um conjuntoK Sejam n ∈ N e X um con-

junto. Chama-se potência cartesiana de ordem n do conjunto X,

que se representa por Xn, ao conjunto

(x1, x2, . . . , xn)|x1, x2, . . . , xn ∈ X,

1

2 1 Matrizes

identificando-se X1 com X.

1.2exe Explicite R2 e C3.

res R2 = (x, y)|x, y ∈ R.

C3 = (z1, z2, z3)|z1, z2, z3 ∈ C.

1.3def (a) Jmatriz, tipo de uma matriz, matriz real, matriz complexaK

Sejam m,n ∈ N. Chama-se matriz do tipo m × n (lê-se “m por

n”) a uma função com domínio (i, j) ∈ N2|i = 1, . . . ,m, j =

1, . . . , n e com conjunto de chegada R ou C, dizendo-se que é

uma matriz real ou complexa, respectivamente.

(b) JMm×n(R)K Representa-se por Mm×n(R) o conjunto das ma-

trizes reais do tipo m× n.

(c) JMm×n(C)K Representa-se porMm×n(C) o conjunto das matrizes

complexas do tipo m× n.

1.4obs (a) É possível considerar matrizes cujos elementos não são nem núme-

ros reais, nem números complexos (e.g., polinómios), mas neste

curso apenas aqueles casos são os com interesse.

(b) Quando não é relevante destinguir o conjunto dos números reais

(R) do conjunto dos números complexos (C), usa-se o símbolo K,

tendo-se a seguinte definição:

1.5def JMm×n(K)K Representa-se porMm×n(K) o conjunto das matrizes do

tipo m× n, independentemente de serem reais ou complexas.

1.6def JescalarK Chama-se escalar a um elemento de K.

1.1 Apontamentos sobre Matrizes 3

1.7def Sejam A ∈Mm×n(K), i ∈ 1, . . . ,m e j ∈ 1, . . . , n.

(a) Jelemento de uma matrizK Chama-se elemento da linha i e da

coluna j da matriz A, que se representa por ai,j ou (A)i,j , a A(i, j).

(Se não houver ambiguidade relativamente ao índice da linha e ao

índice da coluna representa-se por aij ou (A)ij .)

(b) Jlinha de uma matrizK Chama-se linha i da matriz A, que se rep-

resenta por ℓi,A, a (ai1, ai2, . . . , ain). (Se não houver ambiguidade

relativamente à matriz representa-se por ℓi.)

(c) Jcoluna de uma matrizK Chama-se coluna j da matriz A, que se

representa por cj,A, a (a1j , a2j , . . . , amj). (Se não houver ambigu-

idade relativamente à matriz representa-se por cj .)

1.8obs (a) Regra geral usam-se letras maiúsculas para representar matrizes.

(b) Representa-se por A = [aij ] ∈Mm×n(K) a matriz

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

,

em que a11, a12, . . . , a1n, a21, a22, . . . , a2n, am1, am2, . . . , amn ∈ K.

(c) A letra “i” aparece neste curso quer como a unidade imaginária

dos números complexos, quer como a letra usual para represen-

tar a linha de uma matriz. No entanto, o contexto será sempre

suficiente para identificar o significado correcto.

(d) Quando se está perante matrizes do conjunto M1×1(K), o con-

texto será suficiente para distinguir se se está a fazer referência à

matriz ou ao único elemento que a constitui.

4 1 Matrizes

1.9exe Dê um exemplo de uma matriz pertencente a M2×3(R).

res A =[

1 1/2 −4√2 0 π

].

1.10exe Explicite a matriz A = [aij ] ∈M2×3(R), aij = j − i.

res A =[

0 1 2−1 0 1

].

1.11exe Considere a matriz A = [ 1 2 3 45 6 7 8 ].

(a) Indique o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna

da matriz A.

(b) Indique a segunda linha da matriz A.

(c) Indique a terceira coluna da matriz A.

res (a) a23 = 7.

(b) ℓ2 = (5, 6, 7, 8).

(c) c3 = (3, 7).

1.12def Seja A ∈Mm×n(K).

(a) Jmatriz colunaK Diz-se que A é uma matriz coluna se n = 1.

(b) Jmatriz linhaK Diz-se que A é uma matriz linha se m = 1.

1.13obs É habitual representar matrizes linha e matrizes coluna por letras mi-

núsculas e os seus elementos apenas com um índice. Assim, e usando

esta notação, as formas da matriz coluna x com m linhas e da matriz

linha y com n colunas são:

x =

x1

x2

...

xm

, y =[y1 y2 · · · yn

].


1.14exe (a) Dê um exemplo de uma matriz coluna complexa com 2 elementos.

(b) Dê um exemplo de uma matriz linha real com 3 elementos.

(c) Indique se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa: “Há ma-

trizes que são simultaneamente matrizes linha e matrizes coluna”.

res (a) p =[

1+2i1

].

(b) q = [ 0 4 −1 ].

(c) Proposição verdadeira pois as matrizes que pertencem ao con-

junto M1×1(K) são matrizes linha pois só têm uma coluna e são

matrizes coluna pois só têm uma linha.


(a) Jmatriz rectangularK Diz-se que A é uma matriz rectangular se

m 6= n.

(b) Jmatriz quadrada, ordem de uma matrizK Diz-se que A é uma

matriz quadrada se m = n, dizendo-se neste caso que A é uma

matriz de ordem n.

1.16exe (a) Indique se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa: “A =

[ 1 2 30 0 0 ] é uma matriz rectangular.”

(b) Dê um exemplo de uma matriz real de ordem 2.

res (a) A proposição é verdadeira pois o número de linhas da matriz, que

é 2, é diferente do número de colunas da matriz, que é 3.

(b) X =[

1 20 −1

].

6 1 Matrizes

1.17def Seja A = [aij ] ∈Mn×n(K).

(a) Jdiagonal principal ou diagonal de uma matrizK Chama-se diag-

onal principal da matriz A ou diagonal da matriz A ao elemento

(a11, a22, . . . , ann) de Kn.

(b) Jdiagonal secundária de uma matrizK Chama-se diagonal secundária

da matriz A ao elemento (a1n, a2,n−1, . . . , an1) de Kn.

(c) Jmatriz diagonalK A diz-se uma matriz diagonal se i 6= j ⇒ aij =

0.

(d) Jmatriz escalarK A diz-se uma matriz escalar se é uma matriz

diagonal com a11 = a22 = . . . = ann.

(e) Jmatriz triangular superiorK A diz-se uma matriz triangular supe-

rior se i > j ⇒ aij = 0.

(f) Jmatriz triangular inferiorK A diz-se uma matriz triangular inferior

se i < j ⇒ aij = 0.

1.18obs (a) As definições anteriores só se aplicam a matrizes quadradas.

(b) A é uma matriz diagonal se todos os elementos fora da diagonal

são zeros.

(c) A é uma matriz triangular superior se todos os elementos “abaixo”

da diagonal são zeros.

(d) A é uma matriz triangular inferior se todos os elementos “acima”

da diagonal são zeros.

1.19exe (a) Dê um exemplo de uma matriz diagonal de ordem 4.

(b) Dê um exemplo de uma matriz escalar de ordem 3.

(c) Dê um exemplo de uma matriz triangular superior de ordem 2.


(d) Dê um exemplo de uma matriz triangular inferior de ordem 3 e

indique a sua diagonal principal e diagonal secundária.

(e) Dê um exemplo de uma matriz simultaneamente triangular supe-

rior e triangular inferior de ordem 2.

res (a) A =

[1 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 0

].

(b) B =[−1 0 0

0 −1 00 0 −1

].

(c) C = [ 1 20 1 ].

(d) D =[

1 0 01 0 02 −1 2

].

(e) E = [ 1 00 2 ].

1.20def (a) Jmatriz nula, 0m×n, 0K Chama-se matriz nula a uma matriz cu-

jos elementos são todos iguais a 0. Representa-se a matriz nula

do tipo m × n por 0m×n ou por 0 se não houver ambuiguidade

relativamente ao tipo.

(b) Jmatriz identidade, In, IK Chama-se matriz identidade à ma-

triz escalar cujos elementos da diagonal são todos iguais a 1.

Representa-se a matriz identidade de ordem n por In ou por I

se não houver ambuiguidade relativamente à ordem.

1.21exe (a) Indique a matriz nula do tipo 2× 4.

(b) Indique a matriz identidade de ordem 3.

res (a) 02×4 = [ 0 0 0 00 0 0 0 ].

(b) I3 =[

1 0 00 1 00 0 1

].

1.22def Jmatrizes iguaisK Sejam as matrizes A = [aij ] ∈ Mm×n(K) e B =

[bij ] ∈ Mp×q(K). Diz-se que A e B são matrizes iguais se m = p,

n = q e aij = bij,∀i ∈ 1, . . . ,m,∀j ∈ 1, . . . , n.

8 1 Matrizes

1.23obs Usa-se esta definição em algumas demonstrações relativas a matrizes.

1.24def Jsoma de matrizesK Sejam as matrizes A = [aij], B = [bij ] ∈Mm×n(K).

Chama-se soma das matrizes A e B à matriz Z = [zij ] ∈ Mm×n(K),

zij = aij + bij , escrevendo-se Z = A + B.

1.25def Jproduto de uma matriz por um escalarK Sejam a matriz A = [aij ] ∈Mm×n(K) e o escalar α ∈ K. Chama-se produto da matriz A pelo

escalar α à matriz Z = [zij ] ∈ Mm×n(K), zij = αaij , escrevendo-se

Z = αA.

1.26obs (a) Só se pode somar matrizes do mesmos tipo.

(b) É sempre possível multiplicar uma matriz por um escalar.

(c) Seja a matriz A. Então, em vez de (−1)A escreve-se −A.

(d) Sejam as matrizes A e B do mesmo tipo. Então, tendo em con-

sideração a alínea anterior, em vez de A+(−B) escreve-se A−B.

(e) A matriz nula é o elemento neutro da soma de matrizes.

1.27exe Sejam as matrizes A =[−1 2 1

0 1 −4

]e B =

[3 0 21 −1 2

].

(a) Calcule A + B.

(b) Calcule 2A.

(c) Calcule 12A− 3B.

res (a) A + B =[−1 2 1

0 1 −4

]+

[3 0 21 −1 2

]=

[2 2 31 0 −2

].

(b) 2A = 2[ −1 2 1

0 1 −4

]=

[−2 4 20 2 −8

].

(c) 12A− 3B = 1

2

[ −1 2 10 1 −4

]− 3

[3 0 21 −1 2

]=

[−19/2 1 −11/2−3 7/2 −8

].


1.28teo (a) ∀A,B ∈Mm×n(K) : A + B = B + A.

(b) ∀A,B,C ∈Mm×n(K) : (A + B) + C = A + (B + C).

(c) ∀A ∈Mm×n(K) : A + 0m×n = A.

(d) ∀A ∈Mm×n(K) : A + (−A) = 0m×n.

(e) ∀α, β ∈ K,∀A ∈Mm×n(K) : (αβ)A = α(βA).

(f) ∀α, β ∈ K,∀A ∈Mm×n(K) : (α + β)A = αA + βA.

(g) ∀α ∈ K,∀A,B ∈Mm×n(K) : α(A + B) = αA + αB.

(h) ∀A ∈Mm×n(K) : 1A = A.

dem (a) Como, por definição de soma de matrizes, as matrizes A + B e

B +A são do tipo m×n e como, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n,

(A + B)ij = (A)ij + (B)ij por definição de soma de matrizes

= (B)ij + (A)ij pela propriedade comutativa dos escalares

= (B + A)ij por definição de soma de matrizes,

tem-se que as matrizes A + B e B + A são iguais.

(b) Como, por definição de soma de matrizes, as matrizes (A+B)+C

e A + (B + C) são do tipo m × n e como, para i = 1, . . . ,m e

j = 1, . . . , n,

((A + B) + C)ij = (A + B)ij + (C)ij por definição de soma de matrizes

= ((A)ij + (B)ij) + (C)ij por definição de soma de matrizes

= (A)ij + ((B)ij + (C)ij) pela propriedade associativa dos escalares

= (A)ij + (B + C)ij por definição de soma de matrizes,

tem-se que as matrizes (A + B) + C e A + (B + C) são iguais.

10 1 Matrizes

(c) Como, por definição de soma de matrizes, as matrizes A + 0m×n

e A são do tipo m× n e como, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n,

(A + 0)ij = (A)ij + (0m×n)ij por definição de soma de matrizes

= (A)ij + 0 por definição de matriz nula

= (A)ij 0 é o elemento neutro da soma de escalares,

tem-se que as matrizes A + B e B + A são iguais.

(d) Como, por definição de soma de matrizes, as matrizes A + B e

B +A são do tipo m×n e como, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n,

(A + (−A))ij = (A)ij + (−A)ij por definição de soma de matrizes

= (A)ij − (A)ij por 1.26obs (c)

= 0 pois são escalares simétricos,

tem-se que as matrizes A + (−A) e 0m×n são iguais.

(e) Exercício.

(f) Exercício.

(g) Exercício.

(h) Exercício.

1.29def Jproduto ou multiplicação de matrizesK Sejam as matrizes A = [aij ] ∈Mm×n(K) e B = [bij ] ∈ Mn×p(K). Chama-se produto ou multipli-

cação da matriz A pela matriz B à matriz Z = [zij ] ∈ Mm×p(K),

zij =∑n

k=1 aikbkj, escrevendo-se Z = AB.

1.30obs (a) Só se pode efectuar a multiplicação da matriz A pela matriz B se

o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas


da matriz B. Neste caso, o número de linhas da matriz resultante

é igual ao número de linhas da matriz A e o número de colunas

da matriz resultante é igual ao número de colunas da matriz B.

Em notação simplificada, tem-se: Am×nBn×p = Zm×p.

(b) Sejam as matrizes A = [aij] ∈ M3×2(R) e B = [bij ] ∈ M2×4(R).

Então, como o número de colunas da matriz A é igual ao número

de linhas da matriz B, é possível efectuar a operação AB. Por

exemplo o elemento (AB)23 obtém-se considerando ℓ2,A e c2,B :

∗ ∗

2 1

∗ ∗

∗∗∗∗

4

5

∗∗

=

∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ 13 ∗∗ ∗ ∗ ∗

︸︷︷︸A=[aij ]∈M3×2(R)

︸︷︷︸B=[bij ]∈M2×4(R)

︸︷︷︸AB∈M3×4(R)

(AB)23 =

2∑

k=1

a2kbk3 = a21b13 + a22b23 = 2× 4 + 1× 5 = 13.

1.31exe Considere as matrizes A =[−1 0

1 1

]e B =

[1 −1 20 −2 1

]. Efectue, se possível,

as seguintes operações:

(a) AB.

(b) BA.

(c) BI3.

(d) I2B.

res (a) Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de

linhas da matriz B, é possível efectuar a operação AB, tendo-se

AB =

−1 0

1 1

1 −1 2

0 −2 1

=

−1 1 −2

1 −3 3

.

12 1 Matrizes

(b) Como o número de colunas da matriz B, que é 3, é diferente do

número de linhas da matriz A, que é 2, não é possível efectuar a

operação BA.

(c) Como o número de colunas da matriz B é igual ao número de

linhas da matriz I3, é possível efectuar a operação BI3, tendo-se

BI3 =

1 −1 2

0 −2 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

1 −1 2

0 −2 1

.

(d) Como o número de colunas da matriz I2 é igual ao número de

linhas da matriz B, é possível efectuar a operação I2B, tendo-se

I2B =

1 0

0 1

1 −1 2

0 −2 1

=

1 −1 2

0 −2 1

.

1.32teo (a) ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K),∀C ∈ Mp×q(K) : (AB)C =

A(BC).

(b) ∀A,B ∈Mm×n(K),∀C ∈Mn×p(K) : (A + B)C = AC + BC.

(c) ∀A ∈Mm×n(K),∀B,C ∈Mn×p(K) : A(B + C) = AB + AC.

(d) ∀A ∈Mm×n(K) : ImA = AIn = A.

(e) ∀α ∈ K,∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K) : α(AB) = (αA)B =

A(αB).

dem Exercício.

1.33obs (a) A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de ma-

trizes.


(b) Sejam A, B e C matrizes do mesmo tipo. Então, tem-se que a

expressão A + B + C não resulta ambígua devido à propriedade

associativa da soma de matrizes.

(c) Sejam A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) e C ∈ Mp×q(K). Então,

tem-se que a expressão ABC não resulta ambígua devido à pro-

priedade associativa da multiplicação de matrizes, fazendo sentido

a seguinte definição:

1.34def Jpotência de uma matrizK Sejam p ∈ N e A uma matriz quadrada.

Chama-se p-ésima potência da matriz A, que se representa por Ap, a∏p

k=1 A.

1.35obs A multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa. Faz,

pois, sentido a seguinte definição:

1.36def Jmatrizes comutáveisK Sejam A e B matrizes da mesma ordem. Diz-se

que as matrizes A e B são comutáveis se AB = BA.

1.37exe Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Então, simplifique

a expressão (A + B)2 − (A−B)(A + B)− 2B2.

res (A + B)2 − (A−B)(A + B)− 2B2 = (A + B)(A + B)− (A−B)(A +

B)−2B2 = A2 +AB +BA+B2−A2−AB +BA+B2−2B2 = 2BA.

1.38exe Considere a matriz A = [ 2 01 1 ]. Calcule A3.

res Como A é uma matriz quadrada, é possível determinar A3, tendo-se

A3 =

2 0

1 1

2 0

1 1

2 0

1 1

=

4 0

3 1

2 0

1 1

=

8 0

7 1

.

Nota: como a multiplicação de matrizes é associativa, também se tem

A3 = A(AA).

14 1 Matrizes

1.39obs Não se define a operação “divisão de matrizes”.

1.40def Jmatriz invertível ou não-singular, matriz não-invertível ou singularK

Seja A ∈ Mn×n(K). Diz-se que A é uma matriz invertível ou não-

singular se existir uma matriz Z ∈ Mn×n(K) tal que AZ = ZA = In.

Caso contrário, diz-se que A é uma matriz não-invertível ou singular.

1.41teo Seja A ∈Mn×n(K) tal que é uma matriz invertível. Então, existe uma

e uma só matriz Z ∈Mn×n(K) tal que ZA = AZ = In.

dem Sejam X,Y ∈Mn×n(K) tais que

AX = In(1)= XA,

AY(2)= In = Y A.

Então,

X = XIn I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes

= X(AY ) por (2)

= (XA)Y a multiplicação de matrizes é associativa

= InY por (1)

= Y, I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes,

i.e., existe uma única matriz que satisfaz a condição de invertibilidade.

1.42def Jmatriz inversaK Seja A uma matriz de ordem n invertível. Chama-se

matriz inversa da matriz A, que se representa por A−1, à única matriz

Z tal que AZ = ZA = In.

1.43teo Sejam A e B duas matrizes quadrada da mesma ordem. Então, AB =

I ⇒ A−1 = B.


1.44obs (a) Se A é a matriz inversa da matriz B, então B é a matriz inversa

da matriz A.

(b) Sejam A e B duas matrizes quadrada da mesma ordem. Então,

AB = I ⇔ BA = I. Assim, basta verificar AB = I ou BA = I

para se concluir que as matrizes A e B são invertíveis com A−1 =

B e B−1 = A.

1.45teo (a) Seja A uma matriz invertível. Então, A−1 também é uma matriz

invertível e (A−1)−1 = A.

(b) Sejam A,BMn×n(K) matrizes invertíveis. Então, AB também é

uma matriz invertível e (AB)−1 = B−1A−1.

dem (a) Como A é uma matriz invertível, tem-se que AA−1 = A−1A = I.

Logo, A−1 é invertível e(A−1

)−1= A.

(b) Sejam A,B ∈ Mn×n(K) matrizes invertíveis. Então, existem

A−1, B−1 ∈Mn×n(K) tais que

AA−1 (1)= In = AA−1,

BB−1 = In(2)= BB−1,

pelo que

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1a multiplicação de matrizes é associativa

= AInA−1por (2)

= AA−1I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes

= In, por (1)

pelo que AB é invertível com (AB)−1 = B−1A−1 uma vez que a

inversa de uma matriz é única.

16 1 Matrizes

1.46obs (a) Há matrizes quadradas que não admitem inversa.

(b) Apresenta-se no final deste capítulo uma condição para caracteri-

zar matrizes invertíveis e um método geral para cálcular inversas.

1.47exe Sejam as matrizes A = 13

[1 −11 2

]e B =

[2 1−1 1

].

(a) Determine AB.

(b) O que pode concluir da alínea anterior?

(c) As matrizes A e B são comutáveis?

res (a) AB = 13

[1 −11 2

] [2 1−1 1

]= 1

3 [ 3 00 3 ] = [ 1 0

0 1 ].

(b) As matrizes são invertíveis com A−1 = B e B−1 = A.

(c) Sim, pois AB = BA = I2.

1.48def Jmatriz transpostaK Seja a matriz A = [aij ] ∈ Mm×n(K). Chama-se

transposta da matriz A à matriz Z = [zij ] ∈ Mn×m(K), zij = aji,

escrevendo-se Z = AT .

1.49obs (a) É sempre possível calcular a matriz transposta de uma matriz.

(b) Calcular a transposta de uma matriz corresponde a trocar linhas

com colunas.

1.50exe Sejam as matrizes A =[

1 −2 00 2 1

]e u =

[1−1

].

(a) Calcule AT .

(b) Calcule AAT

uTu.

res (a) AT =[

1 0−2 20 1

].

(b) AAT

uT u=

[1 −2 00 2 1

][ 1 0−2 20 1

]

[ 1 −1 ][

1−1

] = 12

[5 −4−4 5

]=

[5/2 −2−2 5/2

].

Nota: relembrar 1.8obs (d).


1.51teo (a) ∀A ∈Mm×n(K) :(AT

)T= A.

(b) ∀A,B ∈Mm×n(K) : (A + B)T = AT + BT .

(c) ∀α ∈ K,∀A ∈Mm×n(K) : (αA)T = αAT .

(d) ∀A ∈Mm×n(K), B ∈Mn×p(K) : (AB)T = BT AT .

(e) ∀A ∈Mn×n(K) :(AT

)−1=

(A−1

)T.

dem (a) Exercício.

(b) Exercício.

(c) Exercício.

(d) Como, por definição da transposta de uma matriz e da multipli-

cação de matrizes, as matrizes (AB)T e BTAT são do tipo p×m

e como, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n,

((AB)T

)ij

= (AB)ji pela definição de matriz transposta

=

n∑

k=1

(A)jk(B)ki pela definição de produto de matrizes

=

n∑

k=1

(B)ki(A)jk pela propriedade comutativa dos escalares

=

n∑

k=1

(BT )ik(AT )kj pela definição de matriz transposta

= (BT AT )ij , pela definição de produto de matrizes,

tem-se que as matrizes (AB)T e BT AT são iguais.

(e) Exercício.

1.52def Jmatriz simétricaK Seja A uma matriz quadrada. Diz-se que A é uma

matriz simétrica se A = AT .

18 1 Matrizes

1.53exe Dê um exemplo de uma matriz simétrica de ordem 3.

res A =[

0 1 21 10 −32 −3 1

].

1.54def Jmatriz ortogonalK Seja A ∈ Mn×n(K). Diz-se que A é uma matriz

ortogonal se AAT = AT A = In.

1.55obs Se A é uma matriz ortogonal, então A é uma matriz invertível e

A−1 = AT .

1.56exe Verifique que a matriz A = [ cos α − sen αsen α cos α ], α ∈ R, é ortogonal.

res Como

AAT =

cos α − sen α

sen α cos α

cos α sen α

− sen α cos α

=

cos2 α + sen2 α cos α sen α− sen α cos α

sen α cos α− cos α sen α sen2 α + cos2 α

=

1 0

0 1

,

i.e., AAT = I2, tem-se que A é uma matriz ortogonal.

1.57obs Recorde: seja z = a + bi ∈ C. Chama-se conjugado de z, que se

representa por z, a a− bi ∈ C.

1.58def Seja A = [aij ] ∈Mm×n(C).

(a) Jmatriz conjugadaK Chama-se matriz conjugada de A à matriz

Z = [zij ] ∈Mm×n(C), zij = aij, escrevendo-se Z = A.

(b) Jmatriz transconjugadaK Chama-se matriz transconjugada de A à

matriz Z = [zij ] ∈ Mm×n(C), zij = aji (onde aji representa o

conjugado de aji), escrevendo-se Z = AH .


1.59obs (a) É sempre possível calcular a matriz conjugada e a matriz transcon-

jugada de uma matriz.

(b) Calcular a matriz conjugada de uma matriz corresponde a conju-

gar os seus elementos.

(c) Calcular a matriz transconjugada de uma matriz corresponde a

conjugar os seus elementos e a trocar depois linhas com colunas.

1.60exe Seja a matriz A =[

0 2−i i1 0 1

]. Então, determine AT , A e AH .

res AT =[

0 12−i 0

i 1

], A =

[0 2+i −i1 0 1

], AH =

[0 1

2+i 0−i 1

].

1.61teo (a) ∀A ∈Mm×n(C) :(AH

)H= A.

(b) ∀A,B ∈Mm×n(C) : (A + B)H = AH + BH .

(c) ∀α ∈ C,∀A ∈Mm×n(C) : (αA)H = αAH .

(d) ∀A ∈Mm×n(C),∀B ∈Mn×p(C) : (AB)H = BHAH .

(e) ∀A ∈Mn×n(C) :(AH

)−1=

(A−1

)H.

dem Exercício.

1.62def Jmatriz hermíticaK Seja A ∈ Mn×n(C). Diz-se que A é uma matriz

hermítica se A = AH .

1.63exe Dê um exemplo de uma matriz hermítica de ordem 3.

res A =[ 0 1−i 2

1+i 2 3+2i2 3−2i 1

].

1.64def Jmatriz unitáriaK Seja A ∈ Mn×n(C). Diz-se que A é uma matriz

unitária se AAH = AHA = In.

1.65obs Se A é uma matriz unitária, então A é uma matriz invertível e A−1 = AH .

20 1 Matrizes

1.66exe Verifique que a matriz A = 12

[−i

√3√

3 −i

]é unitária.

res Como

AAH =1

4

−i

√3

√3 −i

i

√3

√3 i

=1

4

4 0

0 4

=

1 0

0 1

,

i.e., AAH = I2, tem-se que A é uma matriz unitária.

1.67def Seja A = [aij ] ∈Mm×n(K).

(a) Jlinha nulaK Diz-se que ℓi é uma linha nula da matriz A se ai1 =

ai2 = · · · = ain = 0.

(b) Jcoluna nulaK Diz-se que cj é uma coluna nula da matriz A se

a1j = a2j = · · · = amj = 0.

(c) JpivôK Chama-se pivô ao elemento diferente de zero mais à es-

querda de uma linha não-nula.

(d) Jcoluna pivôK Chama-se coluna pivô a uma coluna da matriz se

existe um elemento pivô nessa coluna.


0 0 0 0 10 2 0 0 00 3 0 4 0

]. Identifique os pivôs e as colunas pivô da

matriz A.

res Pivôs: a15, a22 e a32.

Colunas pivô: c2 e c5.



(a) Jmatriz em escadaK Diz-se que A é uma matriz em escada se o

número de elementos nulos que precedem o pivô aumenta de linha

para linha até que, possivelmente, sobrem apenas linhas nulas.

(b) Jmatriz em escada reduzidaK Diz-se que A é uma matriz em escada

reduzida se é uma matriz em escada, se todos os pivôs são iguais a

um e se estes são os únicos elementos não-nulos nas colunas pivô.

1.70exe Indique quais das seguintes matrizes são matrizes em escada e em es-

cada reduzida:

A =

1 0 1

0 1 1

, B =

1 0 2 0

0 2 0 0

, C =

0 1 2 0 3

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

,

D =

0 0 1 0 2 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 2 0 4 0

0 0 0 0 0 5 0

, E =

1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0

,

F =

1 0

0 1

, G =

1 1

0 1

,H =

0 0

0 0

, u =

1

0

0

, v =

1

1

0

.

res Matrizes em escada: A, B, C, F , G, H, u.

Matrizes em escada reduzida: A, C, F , H, u.

22 1 Matrizes

1.71def Sejam A ∈ Mm×n(K), i ∈ 1, . . . ,m, j ∈ 1, . . . , n, α ∈ K \ 0 e

β ∈ K.

(a) Joperação elementar do tipo I nas linhas de uma matrizK Dá-se

o nome de operação elementar do tipo I nas linhas da matriz A,

que se representa por ℓi ↔ ℓj , à troca de duas linhas.

(b) Joperação elementar do tipo II nas linhas de uma matrizK Dá-se

o nome de operação elementar do tipo II nas linhas da matriz A,

que se representa por ℓi ← αℓi, à substituição de uma linha por

um seu múltiplo não-nulo.

(c) Joperação elementar do tipo III nas linhas de uma matrizK Dá-se

o nome de operação elementar do tipo III nas linhas da matriz A,

que se representa por ℓi ← ℓi + βℓj, à substituição de uma linha

pela sua soma com um múltiplo de outra linha.

1.72obs Na definição anterior apenas se consideram operações sobre linhas,

apesar de também ser possível definir operações sobre colunas. Fazendo

este curso apenas faz referência a operações elementares sobre linhas,

estas passarão a ser referenciadas apenas por “operações elementares”.

1.73def Jmatrizes equivalentes, A ←→ BK Sejam A,B ∈ Mm×n(K). Diz-se

que A e B são matrizes equivalentes, escrevendo-se A ←→ B, se se

pode obter uma a partir da outra através duma sequência (finita) de

operações elementares com linhas.



0 2 4 01 1 0 22 2 0 5

]. Efectue a seguinte sequência de operações

na matriz A: ℓ1 ↔ ℓ2, ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1, ℓ1 ← ℓ1 − 2ℓ3, ℓ2 ← 12ℓ2 e

ℓ1 ← ℓ1 − ℓ2.

res

0 2 4 0

1 1 0 2

2 2 0 5

←−−−−−−−−−→ℓ1 ↔ ℓ2

1 1 0 2

0 2 4 0

2 2 0 5

←−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1

1 1 0 2

0 2 4 0

0 0 0 1

ℓ1 ← ℓ1 − 2ℓ3

←−−−−−−−−−→

1 1 0 0

0 2 4 0

0 0 0 1

ℓ2 ← 12ℓ2

←−−−−−−−−−→

1 1 0 0

0 1 2 0

0 0 0 1

ℓ1 ← ℓ1 − ℓ2

←−−−−−−−−−→

1 0 −2 0

0 1 2 0

0 0 0 1

.

24 1 Matrizes

1.75teo Seja A ∈ Mm×n(K). Então, existe uma única matriz em escada re-

duzida que é equivalente à matriz A.

1.76obs Seja A uma matriz não-nula. Então, existe uma infinidade de matrizes

em escada que são equivalentes à matriz A.

1.77def Seja A uma matriz.

(a) Jfe(A)K Representa-se por fe(A) o conjunto das matrizes em es-

cada que são equivalentes à matriz A.

(b) Jfer(A)K Representa-se por fer(A) a única matriz em escada re-

duzida que é equivalente à matriz A.

1.78obs Seja A uma matriz.

(a) Note-se que fe(A) é um conjunto de matrizes e que fer(A) é uma

matriz.

(b) Em 1.79obs apresenta-se um algoritmo para determinar um el-

emento de fe(A) e em 1.80obs apresenta-se um algoritmo para

determinar fer(A).


1.79obs Seja A = [aij ] ∈ Mm×n(R). Então, o seguinte algoritmo determina

um elemento de fe(A):

Passo 1 [inicializar o algoritmo]

i← 1

j ← índice da coluna não-nula mais à esquerda da matriz A

Passo 2 [seleccionar elemento pivô]

se aij = 0 então

k ← minq ∈ i + 1, . . . ,m|aqj 6= 0

ℓi ↔ ℓk

fimse

Passo 3 [anular os elementos abaixo do pivô]

para p← i + 1 até m fazer

ℓp ← ℓp −apj

aijℓi

fimpara

Passo 4 [terminar?]

se já se obteve uma matriz em escada então

terminar

senão

i← i + 1

j ← índice da coluna não-nula mais à esquerda da matriz que

se obtém eliminando na matriz A as linhas ℓ1, . . . , ℓi−1

ir para o Passo 2

fimse

26 1 Matrizes

1.80obs Seja A = [aij ] ∈ Mm×n(R). Então, o seguinte algoritmo determina

fer(A):

Passo 1 [inicializar o algoritmo]

determinar A′ = [a′ij ] ∈ fe(A)

i← índice da última linha não-nula da matriz A′

j ← índice da coluna pivô da linha i

Passo 2 [colocar elemento pivô a um]

se a′ij 6= 1 então

ℓ′i ←1

a′ijℓ′i

fimse

Passo 3 [anular os elementos acima do pivô]

para p← 1 até i− 1 fazer

ℓ′p ← ℓ′p − a′pjℓ′i

fimpara

Passo 4 [terminar?]

se já se obteve uma matriz em escada reduzida então

terminar

senão

i← i− 1

j ← índice da coluna pivô da linha i

ir para o Passo 2

fimse



0 0 0 30 1 1 20 2 2 1

]. Determine um elemento de fe(A) e fer(A).

res

0 0 0 3

0 1 1 2

0 2 2 1

︸︷︷︸A

←−−−−−−−−−→ℓ1 ↔ ℓ2

0 1 1 2

0 0 0 3

0 2 2 1

←−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1

0 1 1 2

0 0 0 3

0 0 0 −3

︸︷︷︸A′∈fe(A)

←−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 + ℓ2

0 1 1 2

0 0 0 3

0 0 0 0

←−−−−−−−−−→ℓ2 ← 1

3ℓ2

0 1 1 2

0 0 0 1

0 0 0 0

ℓ1 ← ℓ1 − 2ℓ2

←−−−−−−−−−→

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

︸︷︷︸fer(A)

.

28 1 Matrizes

1.82def Jmatriz elementarK Seja E ∈ Mn×n(K). Diz-se que E é uma matriz

elementar se se pode obter através de uma operação elementar sobre a

matriz In.

1.83exe A partir de I4, determine as matrizes elementares obtidas através das

seguintes operações elementares:

(a) ℓ2 ↔ ℓ4.

(b) ℓ3 ← 2ℓ3.

(c) ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1.

res (a)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

←−−→ℓ2 ↔ ℓ4

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

.

(b)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

←−−−→

ℓ3 ← 2ℓ3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

.

(c)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

←−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1

1 0 0 0

0 1 0 0

−2 0 1 0

0 0 0 1

.


1.84teo As matrizes elementares são invertíveis e as suas inversas são matrizes

elementares.

1.85teo Sejam A,B ∈Mm×n(K) tais que A←→ B. Então, existe um número

finito de matrizes elementares E1, E2, . . . , Ek, tais que B = E1E2 · · ·EkA.

1.86teo Seja A ∈ Mm×n(K). Então, existe um número finito de matrizes

elementares E1, E2, . . . , Ek, tais que fer(A) = E1E2 · · ·EkA.

1.87teo Seja A ∈Mn×n(K). Então, A é invertível se e só se A é o produto de

matrizes elementares.

1.88obs (a) Seja A ∈Mn×n(K). Então, A é invertível se e só se fer(A) = In.

(b) Sejam k ∈ N e A ∈ Mn×n(K) uma matriz invertível. Então,

existem matrizes elementares E1, E2, . . . , Ek tais que

In = Ek · · ·E2E1A,

pelo que

A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k In,

ou ainda

A−1 = In

(E−1

k

)−1 · · ·(E−1

2

)−1 (E−1

1

)−1

= Ek · · ·E2E1In,

i.e., A−1 obtém-se a partir de In através das mesmas operações

elementares que transformam A em In.

30 1 Matrizes

1.89exe Verifique que a matriz A =[

1 1 20 1 02 2 5

]é invertível e determine a sua

inversa.

res

1 1 2 1 0 0

0 1 0 0 1 0

2 2 5 0 0 1

︸︷︷︸A|I3

←−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1

1 1 2 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 −2 0 1

ℓ1 ← ℓ1 − 2ℓ3

←−−−−−−−−−→

1 1 0 5 0 −2

0 1 0 0 1 0

0 0 1 −2 0 1

ℓ1 ← ℓ1 − ℓ2

←−−−−−−−−−→

1 0 0 5 −1 −2

0 1 0 0 1 0

0 0 1 −2 0 1

︸︷︷︸I3|A−1

.

Assim, A é uma matriz invertível pois fer(A) = I3 com A−1 =[

5 −1 −20 1 0−2 0 1

].

Calcule-se, apenas para efeito de verificação, que AA−1 = I3:

AA−1 =

1 1 2

0 1 0

2 2 5

5 −1 −2

0 1 0

−2 0 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

1.2 Exercıcios sobre Matrizes 31

1.2 Exercıcios sobre Matrizes

1.1exe Considere as matrizes

A =

1 1 0 0

2 −1 1 2

, B =

1 0 0

0 2 0

0 0 3

, c =

1

1

1

,D =

1 1

2 2

0 0

,

e =[i 1 0 i

], F =

2 + i 1

0 1− 2i

, g =

[1],H =

1 0

0 1

.

(a) Indique as matrizes rectangulares e o seu tipo.

(b) Indique as matrizes quadradas e a sua ordem.

(c) Indique as matrizes linha.

(d) Indique as matrizes coluna.

(e) Indique as matrizes diagonais.

(f) Indique as matrizes escalares.

(g) Indique as matrizes triangulares superiores.

(h) Indique as matrizes triangulares inferiores.


A =

−1 1 0

2 −1 1

, B = [bij ] ∈M2×3(R), bij = i− j,

C = [cij ] ∈M2×2(R), cij =

0 se i < j,

(−1)i+1 se i = j,

1 se i > j,

u =

1

2

0

.

Indique se estão bem definidas as seguintes expressões, efectuando as

operações nesses casos:

32 1 Matrizes

(a) A + 2B.

(b) A− C.

(c) AC.

(d) CA.

(e) C3.

(f)ABT + BAT

2.

(g) (CBATC)2.

(h) uuT .

(i) uT u.

(j) uT AT Bu.

1.3exe Determine os valores a, b, c ∈ C, para que a matriz S =[

1 a b1 2 32 c 3

]seja

simétrica.

1.4exe Indique quais das seguintes matrizes são ortogonais:

A =

13

23 −2

3

23

13

23

−23

23

13

, B =

1√2

1√2

− 1√2

1√2

, C =

45

35

35 −4

5

.

1.5exe Determine os valores a, b, c ∈ C, para que a matriz T =[

0 a b1 c i2i −i 3

]seja

hermítica.

1.6exe Mostre que B = 15

[3 4i−4 3i

]é uma matriz unitária.

1.7exe Considere a matriz D =[

i 0 2i2 −1 0

]. Mostre que está bem definida a

expressão DDHDDT e determine o seu valor.

1.8exe Mostre que o produto de uma matriz pela sua transposta é uma matriz

simétrica.

1.9exe Mostre que se A e B são matrizes comutáveis e B é uma matriz in-

vertível, então AB−1 = B−1A.

1.10exe Sejam A e B matrizes comutáveis e invertíveis. Então, mostre que

(AB)−1 = A−1B−1.

1.2 Exercıcios sobre Matrizes 33

1.11exe Uma matriz real e quadrada A diz-se anti-simétrica se AT = −A.

Mostre que, dada qualquer matriz real e quadrada B, a matriz B−BT

é anti-simétrica.

1.12exe Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais ainda é uma matriz

ortogonal.

1.13exe Seja A uma matriz quadrada tal que Ap = 0 para algum p ∈ N. Então,

mostre que (I −A)−1 = I +∑p−1

k=1 Ak.

1.14exe Determine, para cada uma das seguintes matrizes, uma matriz equiv-

alente que seja uma matriz em escada e a matriz equivalente que seja

uma matriz em escada reduzida.

(a) A =

[1 1 0 2 00 0 0 0 00 0 2 0 40 0 0 1 5

].

(b) B =[ 6 3 −4−4 1 −61 2 −5

].

(c) C =

[1 0 0 2 00 0 1 0 01 0 0 0 10 0 2 0 2

].

(d) D =[

1 −2 3 −12 −1 2 23 1 2 3

].

(e) E =

[ 1 3 −1 20 11 −5 32 −5 3 14 1 1 5

].

(f) F =[ 1 2 −1 2 1

2 4 1 −2 33 6 2 −6 5

].

(g) G =

[1 0 0 20 0 0 30 0 0 00 0 0 0

].

(h) x =[

1−13

].

1.15exe Calcule, se possível, as matrizes inversas das seguintes matrizes:

(a) A =[

1 0 −12 0 0−1 1 0

].

(b) B = [ 1 22 4 ].

34 1 Matrizes

(c) C =[−1 2 −3

2 1 04 −2 5

].

(d) D = [ 1 11 0 ].

1.16exe Sabendo que as matrizes A,B,C ∈ Mn×n(K) são invertíveis, resolva

em ordem a X a equação matricial C−1(A + X)B−1 = In.

1.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Matrizes 35

1.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Matrizes

1.1sol (a) A2×3, c3×1, D3×2, E1×4.

(b) B — ordem 2, F — ordem 2, g — ordem 1, H — ordem 2.

(c) e, g.

(d) c, g.

(e) B, g, H.

(f) g, H.

(g) B, F , g, H.

(h) B, g, H.

1.2sol (a) A + 2B =[−1 −1 −4

4 −1 −1

].

(b) a expressão A− C não está bem definida.

(c) a expressão AC não está bem definida.

(d) CA =[−1 1 0−3 2 −1

].

(e) C3 =[

1 01 −1

].

(f)ABT + BAT

2=

[−1 −1−1 1

].

(g) (CBAT C)2 = [ 2 00 2 ].

(h) uuT =[

1 2 02 4 00 0 0

].

(i) uT u = [ 5 ].

(j) uT AT Bu = [−2 ].

1.3sol a = 1, b = 2, c = 3.

1.4sol A e C.

1.5sol a = 1, b = −2i, c ∈ R.

36 1 Matrizes

1.7sol DDHDDT =[

29 −20i20i 29

].

1.14sol Nota: associada a cada matriz não-nula, existe uma infinidade de ma-

trizes que lhe são equivalentes e que estão na forma em escada. As

soluções que a seguir se apresentam, resultam da aplicação do algo-

ritmo apresentado em 1.79obs .

(a)

[1 1 0 2 00 0 2 0 40 0 0 1 50 0 0 0 0

]∈ fe(A), fer(A) =

[1 1 0 0 −100 0 1 0 20 0 0 1 50 0 0 0 0

].

(b)

[6 3 −40 3 − 26

30 0 0

]∈ fe(B), fer(B) =

[1 0 7

9

0 1 − 269

0 0 0

].

(c)

[1 0 0 2 00 0 1 0 00 0 0 −2 10 0 0 0 2

]∈ fe(C), fer(C) =

[1 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

].

(d)

[1 −2 3 −10 3 −4 40 0 7

3− 10

3

]∈ fe(D), fer(D) =

[1 0 0 15

7

0 1 0 − 47

0 0 1 − 107

].

(e)

[1 3 −1 20 11 −5 30 0 0 00 0 0 0

]∈ fe(E), fer(E) =

[1 0 4

111311

0 1 − 511

311

0 0 0 00 0 0 0

].

(f)

[ 1 2 −1 2 10 0 3 −6 1

0 0 0 −213

]∈ fe(F ), fer(F ) =

[1 2 0 0 4

30 0 1 0 0

0 0 0 1 −16

].

(g) G ∈ fe(G), fer(G) =

[1 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

].

(h)[

100

]∈ fe(x), fer(x) =

[100

].

1.15sol (a) A−1 =

[0 1

20

0 12

1

−1 12

0

].

(b) A matriz B é singular.

(c) C−1 =[ −5 4 −3

10 −7 68 −6 5

].

(d) D−1 =[

0 11 −1

].

1.16sol X = CB −A.

Capıtulo 2

Determinantes

2.1 Apontamentos sobre Determinantes

2.1def Jmatriz complementar de um elemento de uma matrizK Sejam A =

[aij ] ∈ Mn×n(R) e ξ, η ∈ 1, . . . , n. Chama-se matriz complementar

do elemento aξη, que se representa por Aξη, a

Aξη =

[1] se n = 1,

matriz que se obtém a partir

da matriz A eliminando ℓξ e cη

se n > 1.


1 2 34 5 67 8 9

].

(a) Determine a matriz complementar do elemento (A)12.

(b) Determine A33.

res (a) A12 = [ 4 67 9 ].

(b) A33 = [ 1 24 5 ].

37

38 2 Determinantes

2.3def Jdeterminante de uma matrizK Seja A = [aij ] ∈ Mn×n(K). Chama-se

determinante da matriz A, que se representa por det(A), |A| ou

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

,

ao escalar definido recursivamente por

det(A) =

a11 se n = 1,n∑

j=1

a1j(−1)1+j det(A1j) se n > 1.

2.4obs Seja A = [aij ] ∈ M1×1(K). Note-se que quando se escreve det(A) =

|a11| = a11, |·| não representa o valor absoluto mas sim o determinante.

O contexto será sempre suficiente para interpretar o significado correcto

de | · |.

2.5exe Seja X = [ x11 x12x21 x22 ] ∈M2×2(K).

(a) Determine X11 e X12.

(b) Calcule |X|.

res (a) X11 = [ x22 ] e X12 = [ x21 ].

2.1 Apontamentos sobre Determinantes 39

(b)

det(X) =

∣∣∣∣∣∣x11 x12

x21 x22

∣∣∣∣∣∣

=

2∑

j=1

x1j(−1)1+j det(X1j)

= x11(−1)1+1 det(X11) + x12(−1)1+2 det(X12)

= x11 × 1× x22 + x12 × (−1)× x21

= x11x22 − x12x21.

2.6obs Seja A = [aij] ∈M2×2(K). Então, det(A) pode-se calcular atendendo

a

+ +

a11

""EE

EEEE

EEa12

||yyyy

yyyy

a21 a22

tendo-se

det(A) = a11a22 − a12a21.

2.7exe Determine | 1 23 4 |.

res | 1 23 4 | = 1× 4− 2× 3 = −2.

40 2 Determinantes

2.8exe Seja Y = [yij] ∈M3×3(K). Calcule |Y |.

res Seja Y =[ y11 y12 y13

y21 y22 y23y31 y32 y33

]. Então,

det(Y ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y11 y12 y13

y21 y22 y23

y31 y32 y33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

3∑

j=1

y1j(−1)1+j det(Y1j)

= y11(−1)1+1 det(Y11)

+ y12(−1)1+2 det(Y12)

+ y13(−1)1+3 det(Y13)

= y11 × 1×

∣∣∣∣∣∣y22 y23

y32 y33

∣∣∣∣∣∣

+ y12 × (−1)×

∣∣∣∣∣∣y21 y23

y31 y33

∣∣∣∣∣∣

+ y13 × 1×

∣∣∣∣∣∣y21 y22

y31 y32

∣∣∣∣∣∣

= y11(y22y33 − y23y32)

− y12(y21y33 − y23y31)

+ y13(y21y32 − y22y31)

= y11y22y33 + y12y23y31 + y13y21y32

− y11y23y32 − y12y21y33 − y13y22y31.


2.9obs “Regra de Sarrus” (apenas se aplica a matrizes de ordem 3): seja A =

[aij ] ∈M3×3(K). Então, det(A) pode-se calcular atendendo a

+ a11

""DD

DDDD

DDa12 a13

||zzzz

zzzz

−

+ a21

""DD

DDDD

DDa22

""DD

DDDD

DD

||zzzz

zzzz

a23

||zzzz

zzzz

−

+ a31

""EE

EEEE

EEa32

""EE

EEEE

EE

||yyyy

yyyy

a33

||yyyy

yyyy

−

a11 a12

""EE

EEEE

EE

||yyyy

yyyy

a13

a21 a22 a23

tem-se que

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21,

ou, atendendo a

+ + +

a11

""EE

EEEE

EEa12

""EE

EEEE

EEa13

""EE

EEEE

EE

||yyyy

yyyy

a11

||yyyy

yyyy

a12

||yyyy

yyyy

a21 a22

""EE

EEEE

EE

||yyyy

yyyy

a23

""EE

EEEE

EE

||yyyy

yyyy

a21

""EE

EEEE

EE

||yyyy

yyyy

a22

a31 a32 a33 a31 a32

− − −tem-se que

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.

42 2 Determinantes

2.10exe Seja A =[

9 1 23 4 56 7 8

]. Calcule det(A).

res Atendendo a

9

>>

>>>>

> 1 2

3

>>

>>>>

> 4

>>

>>>>

>

5

6

>>

>>>>

> 7

>>

>>>>

>

8

9 1

>>

>>>>

>

2

3 4 5

tem-se que

det(A) = 9× 4× 8 + 3× 7× 2 + 6× 1× 5

− 2× 4× 6− 5× 7× 9− 8× 1× 3 = −27,

ou atendendo a

9

>>

>>>>

> 1

>>

>>>>

> 2

>>

>>>>

>

9

1

3 4

>>

>>>>

>

5

>>

>>>>

>

3

>>

>>>>

>

4

6 7 8 6 7

tem-se que

det(A) = 9× 4× 8 + 1× 5× 6 + 2× 3× 4

− 2× 4× 6− 9× 5× 7− 1× 3× 8 = −27.


2.11def Jco-factor de um elemento de uma matriz ou complemento algébrico de

um elemento de uma matrizK Seja A = [aij ] ∈ Mn×n(K). Chama-se

co-factor ou complemento algébrico do elemento aij , que se representa

por Aij , a (−1)i+j det(Aij).

2.12exe Seja a matriz A =[−5 −2

3 −4

].

(a) Determine o co-factor do elemento a11.

(b) Determine o complemento algébrico do elemento a12.

(c) Determine A21.

(d) Determine A22.

res (a) A11 = (−1)1+1 det(A11) = 1× | − 4| = −4.

(b) A12 = (−1)1+2 det(A12) = −1× |3| = −3.

(c) A21 = (−1)2+1 det(A21) = −1× | − 2| = 2.

(d) A22 = (−1)2+2 det(A22) = 1× | − 5| = −5.

2.13teo (Teorema de Laplace) Seja A ∈Mn×n(K). Então,

det(A) =

n∑

j=1

(A)ξjAξj

︸︷︷︸desenvolvimento

através da linha ξ,∀ξ ∈ 1, 2, . . . , n

=

n∑

i=1

(A)iηAiη .

︸︷︷︸desenvolvimento

através da coluna η,∀η ∈ 1, 2, . . . , n

2.14obs (a) Notar que a definição 2.3def consiste no cálculo do determi-

nante através do desenvolvimento segundo a primeira linha.

(b) Como regra prática para calcular determinantes através do teo-

rema de Laplace, deve-se fazer o desenvolvimento a partir da linha

ou coluna que tiver mais zeros.

44 2 Determinantes

2.15teo Sejam A = [aij], B = [bij ] ∈Mn×n(K) e α ∈ K. Então,

(a) se A for uma matriz diagonal ou triangular (inferior ou superior):

det(A) =∏n

i=1 aii.

(b) Se todos os elementos de uma linha A são nulos: det(A) = 0.

(c) Se A tem duas linhas iguais: det(A) = 0.

(d) Se B resulta de A por troca de duas linhas (operação elementar

do tipo I): det(B) = − det(A).

(e) Se B resulta de A por multiplicação dos elementos de uma linha

de A por α (operação elementar do tipo II): det(B) = αdet(A).

(f) Se B resulta de A adicionando a uma linha um múltiplo de outra

linha (operação elementar do tipo III): det(B) = det(A).

(g) det(αA) = αn det(A).

(h) det(AT ) = det(A).

(i) det(AB) = det(A) det(B).

(j) A é invertível se e só se det(A) 6= 0.

(k) Se A é uma matriz invertível, então, det(A−1) = 1det(A) .

2.16obs (a) det(I) = 1.

(b) Todas as propriedades do teorema anterior que se referem a linhas

também são aplicáveis a colunas.

(c) Sejam A = [aij ], B = [bij ] ∈Mn×n(K) tais que B ∈ fe(A) e que se

obteve a partir da matriz A através das operações elementares do

tipo I e II (por exemplo, por aplicação do algoritmo apresentado

em 1.79obs ). Então, det(A) = (−1)s∏n

i=1 bii, em que s é o

número de trocas de linhas realizadas.



A =

1 2 3

0 2 3

0 0 3

, B =

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, C =

1 2 1

0 0 0

2 1 2

,

D =

−1 0

0 1

, P ∈M3×3(K) tal que P é uma matriz invertível.

Usando as propriedades dos determinantes, calcule:

(a) det(A).

(b) det(B).

(c) det(C).

(d) det(D).

(e) det(−2A).

(f) −2 det(A).

(g) det(A3).

(h) det(2AT AAT ).

(i) det(AT A−1BT ).

(j) det(A−1DA).

(k) det(ABCD).

(l) det(P−1AP ).

res (a) Sendo A uma matriz triangular (superior), tem-se que det(A) =

1× 2× 3 = 6.

(b) Sendo ℓ1,B = ℓ2,B, tem-se que det(B) = 0.

(c) Sendo ℓ2,C uma linha nula, tem-se que det(C) = 0.

(d) Sendo D uma matriz diagonal, tem-se que det(D) = (−1) × 1 =

−1.

(e) det(−2A) = (−2)3 det(A) = −8× 6 = −48.

(f) −2 det(A) = −2× 6 = −12.

(g) det(A3) = (det(A))3 = 63 = 216.

46 2 Determinantes

(h) det(2AT AAT ) = det(2AT ) det(A) det(AT ) = det(2A) det(A) det(A) =

23 × 6× 6× 6 = 1728.

(i) det(AT A−1BT ) = det(AT ) det(A−1) det(BT ) = det(A) 1det(A) det(B) =

det(B) = 0.

(j) det(A−1DA) = det(A−1) det(D) det(A) = 1det(A) det(D) det(A) =

det(D) = −1.

(k) det(ABCD) = det(A) det(B) det(C) det(D) = 6×0×0× (−1) =

0.

(l) det(P−1AP ) = det(P−1) det(A) det(P ) = 1det(P ) det(A) det(P ) =

det(A) = 6.

2.18exe Considere as matrizes A, B, C e D do exercíco anterior. Indique as

que são invertíveis.

res As matrizes A e D são invertíveis pois os seus determinantes são dife-

rentes de zero.

2.19exe Seja a matriz A =

[0 1 0 21 1 2 01 0 0 32 1 0 1

].

(a) Calcule det(A) através da definição (podendo usar qualquer pro-

cesso para calcular determinantes de matrizes de ordem 3).

(b) Calcule det(A) por aplicação do teorema de Laplace através do

desenvolvimento a partir da terceira coluna (podendo usar qual-

quer processo para calcular determinantes de matrizes de ordem

3).

(c) Calcule det(A) através de 2.16obs (c).


res (a)

det(A) =4∑

j=1

(A)1j(−1)1+j det(A1j)

= (A)11(−1)1+1 det(A11) + (A)12(−1)1+2 det(A12)

+ (A)13(−1)1+3 det(A13) + (A)14(−1)1+4 det(A14)

= 0 + 1× (−1)×

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 0

1 0 3

2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ 0 + 2× (−1)×

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2

1 0 0

2 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 + 1× (−1)× 10 + 0 + 2× (−1)× 2

= −14.

Cálculos auxiliares:∣∣∣ 1 2 01 0 32 0 1

∣∣∣ = 1×(0×1−3×0)−2×(1×1−3×2)+0×(1×0−0×2) = 10.∣∣∣ 1 1 21 0 02 1 0

∣∣∣ = 1×(0×0−0×1)−1×(1×0−0×2)+2×(1×1−0×2) = 2.

(b)

det(A) =

4∑

i=1

(A)i3(−1)i+3 det(Ai3)

= (A)13(−1)1+3 det(A13) + (A)23(−1)2+3 det(A23)

+ (A)33(−1)3+3 det(A33) + (A)43(−1)4+3 det(A43)

= 0 + 2× (−1)×

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2

1 0 3

2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ 0 + 0

= 2× (−1)× 7

= −14.

48 2 Determinantes

Cálculos auxiliares:∣∣∣ 0 1 21 0 32 1 1

∣∣∣ = 0×(0×1−3×1)−1×(1×1−3×2)+2×(1×1−0×2) = 7.

(c)

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 0 2

1 1 2 0

1 0 0 3

2 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2 0

0 1 0 2

1 0 0 3

2 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ℓ1 ↔ ℓ2

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2 0

0 1 0 2

0 −1 −2 3

0 −1 −4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ℓ3 ← ℓ3 − ℓ1

ℓ4 ← ℓ4 − 2ℓ1

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2 0

0 1 0 2

0 0 −2 5

0 0 −4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ℓ3 ← ℓ3 + ℓ2

ℓ4 ← ℓ4 + ℓ2

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2 0

0 1 0 2

0 0 −2 5

0 0 0 −7

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ℓ4 ← ℓ4 − 2ℓ3

= −(1× 1× (−2)× (−7))

= −14.


2.20obs Pedindo-se o determinante de uma matriz, se não for explicitado no

enunciado o processo de cálculo, este pode ser feito por um método

qualquer, nomeadamente aquele que se achar mais simples.

2.21def Jmatriz adjuntaK Seja A = [aij ] ∈Mn×n(K). Chama-se matriz adjunta

de A à matriz Z = [zij ] ∈ Mn×n(K), zij = Aji, escrevendo-se Z =

adj(A).

2.22obs A matriz adjunta é a transposta da matriz dos co-factores.

2.23exe (a) Determine a matriz adjunta da matriz A =[−5 −2

3 −4

].

(b) Determine a matriz adjunta da matriz X =[

a bc d

].

res (a) Atendendo a 2.12exe , tem-se que adj(A) =[−4 −3

2 −5

]T=

[−4 2−3 −5

].

(b) Atendendo a

X11 = (−1)1+1 det(X11) = 1× |d| = d,

X12 = (−1)1+2 det(X12) = −1× |c| = −c,

X21 = (−1)2+1 det(X21) = −1× |b| = −b,

X22 = (−1)2+2 det(X22) = 1× |a| = a,

tem-se que adj(X) =[

d −c−b a

]T=

[d −b−c a

].

2.24teo Seja A ∈Mn×n(K) uma matriz invertível. Então, A−1 = 1det(A) adj(A).

2.25exe Considere a matriz A =[

3 −21 0

].

(a) Verifique que a matriz A é invertível.

(b) Determine a inversa da matriz A pelo método da adjunta.

res (a) Como det(A) = 3 × 0 − (−2) × 1 = 2 6= 0, A é uma matriz

invertível.

50 2 Determinantes

(b) A−1 = 1det(A) adj(A) = 1

2

[0 2−1 3

]=

[0 1

−1/2 3/2

].

Calcule-se, apenas para efeito de verificação, que AA−1 = I2:

AA−1 =

3 −2

1 0

0 1

−1/2 3/2

=

1 0

0 1

.

2.2 Exercıcios sobre Determinantes 51

2.2 Exercıcios sobre Determinantes

2.1exe Calcule o determinante da matriz A =

[ 1 2 −1 1−1 −1 2 −10 −1 0 1−1 −2 2 −1

]por dois proces-

sos distintos.

2.2exe Calcule o determinante das seguintes matrizes:

A =

4 −1

−1 4

, B =

cos α − sen α

sen α cos α

, α ∈ R, C =

2 1 1

1 1 1

0 2 2

,

D =

0 −1 2

−1 2 0

2 −3 −2

, E =

0 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

, F =

2 3 3 2

1 1 1 1

1 2 2 3

2 1 2 1

.

2.3exe Sejam A uma matriz quadrada tal que |A| = 2 e B = 2AT . Mostre

que a proposição “A matriz B é invertível.” é verdadeira.

2.4exe Considere a matriz A = [ 3 21 1 ].

(a) Calcule det(A).

(b) Determine adj(A).

(c) Determine A−1 pelo método da adjunta.

2.5exe Sejam p ∈ N e A uma matriz quadrada tal que Ap = 0. Mostre que A

é uma matriz singular.

2.6exe Seja A uma matriz ortogonal. Mostre que det(A) = ±1.

2.7exe Seja A = [aij ] ∈Mn×n(K), aij = 1. Mostre que det(A− nIn) = 0.

52 2 Determinantes

2.8exe Seja A ∈Mn×n(K).

(a) Mostre que | adj(A)| = |A|n−1.

(b) Mostre que se A é uma matriz invertível e n > 2, então adj(adj(A)) =

|A|n−2A.

2.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Determinantes 53

2.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Determinantes

2.1sol det(A) = −1.

2.2sol det(A) = 15, det(B) = 1, det(C) = 0, det(D) = 0, det(E) = 1,

det(F ) = 2.

2.4sol (a) det(A) = 1.

(b) adj(A) =[

1 −2−1 3

].

(c) A−1 =[

1 −2−1 3

].

54 2 Determinantes

Capıtulo 3

Sistemas de Equacoes Lineares

3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares

3.1def Jsistema de equações lineares, matriz dos coeficientes, vector dos ter-

mos independentes, vector das incógnitas, matriz aumentada ou ma-

triz ampliada, conjunto soluçãoK Sejam A = [aij] ∈ Mm×n(K) e

b = [bi] ∈ Mm×1(K). Diz-se que (S) é um sistema de m equações li-

neares nas n incógnitas x1, x2, . . . , xn ∈ K com matriz dos coeficientes

A e vector dos termos independentes b se (S) é o sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2

......

.... . .

......

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm.

Chama-se vector das incógnitas do sistema (S) à matriz coluna x =

[xi] ∈Mn×1(K). Chama-se matriz aumentada ou matriz ampliada do

55

56 3 Sistemas de Equacoes Lineares

sistema (S), que se representa por A|b, à matriz

a11 a12 a13 · · · a1n b1

a21 a22 a23 · · · a2n b2

......

.... . .

......

am1 am2 am3 · · · amn bm

.

Chama-se conjunto solução do sistema (S), que se representa por CS(S),

ao conjunto

(x1, . . . , xn) ∈ Kn|A

[ x1

...xn

]= b.

3.2obs Note-se que o sistema (S) da definição anterior pode ser escrito na

forma matricial

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

......

.... . .

...

am1 am2 am3 · · · amn

x1

x2

x3

...

xn

=

b1

b2

...

bm

,

ou, em notação matricial, como Ax = b.

3.3def Jsistema de equações não linearesK Chama-se sistema de equações não

lineares a um sistema de equações que não é um sistema de equações

lineares.

3.4exe (a) Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares a três

incógnitas.

(b) Dê um exemplo de um sistema de duas equações não lineares a

duas incógnitas.

3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares 57

res (a)

x + 2y = 1

3x − y = 0.

(b)

x + x sen(y) = 1

x − ey = 0.

3.5def Seja (S) o sistema de equações lineares Ax = b.

(a) Jsistema homogéneoK Diz-se que (S) é um sistema homogéneo se

b = 0.

(b) Jsistema homogéneo associadoK Se b 6= 0, chama-se sistema ho-

mogéneo associado ao sistema (S) ao sistema Ax = 0.

3.6exe (a) Dê um exemplo de um sistema homogéneo de duas equações a

três incógnitas.

(b) Identifique o sistema homogéneo associado ao sistema de equações

lineares

x + 2y = 1

3x − y = 0.

res (a)

x + 2y + 2z = 0

3x − y + z = 0.

(b)

x + 2y = 0

3x − y = 0.

3.7def Seja (S) um sistema de equações lineares.

(a) Jsistema possívelK Diz-se que (S) é um sistema possível se CS(S) 6=∅.


(b) Jsistema possível e determinadoK Diz-se que (S) é um sistema

possível e determinado se #CS(S) = 1.

(c) Jsistema possível e indeterminadoK Diz-se que (S) é um sistema

possível e indeterminado se #CS(S) > 1.

(d) Jsistema impossívelK Diz-se que (S) é um sistema impossível se

CS(S) = ∅.

3.8def Jcaracterística de uma matrizK Seja A ∈ Mm×n(K). Chama-se carac-

terística da matriz A, que se representa por c(A), ao número de linhas

não nulas de uma matriz em escada que seja equivalente à matriz A.

3.9teo Seja A ∈ Mn×n(K). Então, A é uma matriz invertível se e só se

c(A) = n.

3.10teo Seja (S) o sistema de equações lineares de m equações nas n incógnitas

Ax = b. Então,

c(A) = c(A|b) : sistema possível

c(A) = c(A|b) = n : sistema possível e determinado

c(A) = c(A|b) < n : sistema possível e indeterminado

c(A) < c(A|b) : sistema impossível.

3.11obs Seja (S) o sistema de equações lineares de m equações nas n incóg-

nitas Ax = b. Então, se n > m o sistema não pode ser possível e

determinado.

3.12def Jvariável pivô, variável livreK Sejam Ax = b um sistema de equações

lineares e A′ ∈ fe(A). Se cj,A′ é uma coluna pivô, diz-se que xj é uma

variável pivô. Caso contrário, diz-se que é uma variável livre.


3.13exe Seja (S) o sistema de equações lineares cuja matriz dos coeficientes é

A =[

1 2 −2 11 2 0 1

]e cujo vector dos termos independentes é b = [ 3

1 ].

(a) Determine um elemento de fe(A|b).

(b) Identifique as colunas pivô do sistema (S).

(c) Identifique as variáveis pivô do sistema (S).

(d) Identifique as variáveis livres do sistema (S).

res (a)

1 2 −2 1 3

1 2 0 1 1

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

1 2 −2 1 3

0 0 2 0 −2

︸︷︷︸∈fe(A|b)

.

(b) Colunas pivô de (S): c1 e c3.

(c) Variáveis pivô de (S): x1 e x3.

(d) Variáveis livres de (S) x2 e x4.

3.14teo Método de Gauss para a resolução de sistemas de equações lineares:

seja (S) o sistema de equações lineares Ax = b. Então, o seguinte

algoritmo determina CS(S):

Passo 1 determinar um elemento de fe(A|b).

Passo 2 identificar as variáveis livres.

Passo 3 aplicar método de substituição de trás para a frente.

3.15teo Método de Gauss-Jordan para a resolução de sistemas de equações

lineares: seja (S) o sistema de equações lineares Ax = b. Então, o

seguinte algoritmo determina CS(S):


Passo 1 determinar fer(A|b).

Passo 2 identificar as variáveis livres.

Passo 3 aplicar método de substituição de trás para a frente.

3.16exe (a) Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares a duas

incógnitas possível e determinado, resolva-o através do Método de

Gauss e faça a sua interpretação geométrica.

(b) Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares a duas

incógnitas possível e indeterminado, resolva-o através do Método

de Gauss e faça a sua interpretação geométrica.

(c) Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares a duas

incógnitas impossível, resolva-o através do Método de Gauss e

faça a sua interpretação geométrica.

res (a) Seja (S1) o sistema de equações lineares cuja matriz dos coefi-

cientes é A =[

1 11 −1

]e cujo vector dos termos independentes é

b = [ 10 ], i.e.,

(S1)

x + y = 1

x − y = 0.

Resolução de (S1) através do método de Gauss:

1 1 1

1 −1 0

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

1 1 1

0 −2 −1

.

Como c(A) = 2, c(A|b) = 2 e n = 2 (número de incógnitas) —

c(A) = c(A|b) = n —, (S1) é um sistema possível e determinado


equivalente ao sistema de equações lineares

x + y = 1

− 2y = −1⇔

x = 1− 12 = 1

2

y = −1−2 = 1

2

ou seja,

CS(S1) = (12 , 1

2).

CS(S1) pode ser geometricamente interpretado como sendo os

pontos de intersecção das rectas x + y = 1 e x − y = 0 (que

neste caso é um só):

1

1

x

y

x + y = 1

x− y = 0

12

12

(b) Seja (S2) o sistema de equações lineares cuja matriz dos coefi-

cientes é A =[

1 1−2 −1

]e cujo vector dos termos independentes é

b =[

1−2

], i.e.,

(S2)

x + y = 1

−2x − 2y = −2.



1 1 1

−2 −2 −2

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 + 2ℓ1

1 1 1

0 0 0

.

Como c(A) = 1, c(A|b) = 1 e n = 2 (número de incógnitas) —

c(A) = c(A|b) < n —, (S2) é um sistema possível e indeterminado

equivalente ao sistema de equações lineares

x + y = 1

0 = 0.

Sendo y uma variável livre, tem-se

x = 1− α

y = α ∈ K

ou seja,

CS(S2) = (1− α,α)|α ∈ K.


pontos de intersecção das rectas x + y = 1 e −2x − 2y = −2

(que neste caso são uma infinidade):


1

1

x

y

x + y = 1 ≡ −2x− 2y = −2

(c) Seja (S3) o sistema de equações lineares cuja matriz dos coefi-

cientes é A = [ 1 11 1 ] e cujo vector dos termos independentes é

b = [ 12 ], i.e.,

(S3)

x + y = 1

x + y = 2.


1 1 1

1 1 2

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

1 1 1

0 0 1

.

Como c(A) = 1 e c(A|b) = 2 — c(A) < c(A|b) —, (S3) é um

sistema impossível equivalente ao sistema de equações lineares

x + y = 1

0 = 1

tendo-se

CS(S3) = ∅.



pontos de intersecção das rectas x + y = 1 e x + y = 2 (que

neste caso não existem):

1 2

1

2

x

y

x + y = 1x + y = 2

3.17exe Considere os sistemas de equações lineares

(S1)

x1 + x2 − x3 = 1

−x1 + x2 − x3 = −1

x2 + 2x3 = 3,

(S2)

x + y + z = 1

x + z = 2.

(a) Resolva (S1) através do métodos de Gauss.

(b) Resolva (S1) através do métodos de Gauss-Jordon.

(c) Resolva (S2) através do métodos de Gauss.


(d) Resolva (S2) através do métodos de Gauss-Jordon.

res (a)

1 1 −1 1

−1 1 −1 −1

0 1 2 3

←−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 + ℓ1

1 1 −1 1

0 2 −2 0

0 1 2 3

←−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 − 12ℓ2

1 1 −1 1

0 2 −2 0

0 0 3 3

Assim, (S1) é um sistema equivalente ao sistema

x + y − z = 1

2y − 2z = 0

3z = 3

⇔

x = 1−1+11 = 1

y = 0+2×12 = 1

z = 33 = 1

ou seja,

CS(S1) = (1, 1, 1).


(b)

1 1 −1 1

−1 1 −1 −1

0 1 2 3

←−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 + ℓ1

1 1 −1 1

0 2 −2 0

0 1 2 3

←−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 − 12ℓ2

1 1 −1 1

0 2 −2 0

0 0 3 3

←−−−−−−−−−→ℓ3 ← 1

3ℓ3

1 1 −1 1

0 2 −2 0

0 0 1 1

ℓ1 ← ℓ1 + ℓ3

ℓ2 ← ℓ2 + 2ℓ3

←−−−−−−−−−→

1 1 0 2

0 2 0 2

0 0 1 1

ℓ2 ← 12ℓ2

←−−−−−−−−−→

1 1 0 2

0 1 0 1

0 0 1 1

ℓ1 ← ℓ1 − ℓ2

←−−−−−−−−−→

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1


x = 1

y = 1

z = 1

ou seja,

CS(S1) = (1, 1, 1).


(c) 1 1 1 1

1 0 1 2

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

1 1 1 1

0 −1 0 1

.


x + y + z = 1

− y = 1.

Sendo z uma variável livre, tem-se

x = 1− (−1)− α = 2− α

y = −1

z = α ∈ K

ou seja,

CS(S2) = (2 − α,−1, α).

(d) 1 1 1 1

1 0 1 2

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

1 1 1 1

0 −1 0 1

.

←−−−−−−−−−→ℓ2 ← −ℓ2

1 1 1 1

0 1 0 −1

.


x + y + z = 1

y = −1.

Sendo z uma variável livre, tem-se

x = 1− (−1)− α = 2− α

y = −1

z = α ∈ K


ou seja,

CS(S2) = (2− α,−1, α).

3.18exe Discuta o seguinte sistema de equações lineares em função dos parâ-

metros reais α e β:

x1 + x2 + x3 − x4 = 0

2x1 + 2x3 = β

2x1 + (α + 2)x2 + 2x3 − x4 = 0

(α + 1)x1 + 2x2 − x4 = 0.

res

1 1 1 −1 0

2 0 2 0 β

2 α + 2 2 −1 0

α + 1 2 0 −1 0

←−−−−−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1

ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1

ℓ4 ← ℓ4 − (α + 1)ℓ1

1 1 1 −1 0

0 −2 0 2 β

0 α 0 1 0

0 1− α −1− α α 0

←−−−−−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 + α2 ℓ2

ℓ4 ← ℓ4 + 1−α2 ℓ2

1 1 1 −1 0

0 −2 0 2 β

0 0 0 α + 1 αβ2

0 0 −1− α 1 (1−α)β2

←−−−−−−−−−−−−−→

ℓ3 ↔ ℓ4

1 1 1 −1 0

0 −2 0 2 β

0 0 −1− α 1 (1−α)β2

0 0 0 α + 1 αβ2


α = 1:

1 1 1 −1 0

0 −2 0 2 β

0 0 0 1 β

0 0 0 0 −β2

• α 6= −1: c(A) = 4, c(A|b) = 4 e n = 4 (número de incógnitas) —

c(A) = c(A|b) = n —, pelo que o sistema é possível e determinado.

• α = −1 e β = 0: c(A) = 3, c(A|b) = 3 e n = 4 (número de

incógnitas) — c(A) = c(A|b) < n —, pelo que o sistema é possível

e indeterminado.

• α = −1 e β 6= 0: c(A) = 3 e c(A|b) = 4 — c(A) < c(A|b) —, pelo

que o sistema é impossível.

3.19teo (Regra de Cramer) Seja Ax = b um sistema de n equações lineares

a n incógnitas possível e determinado. Então, x = 1|A| adj(A) b, i.e.,

xi = ∆i

|A| , i = 1, . . . , n, em que ∆i é o determinante da matriz que se

obtém a partir da matriz A, na qual se substitui a i-ésima coluna pelo

vector dos termos independentes, b.

3.20exe Seja (S) o sistema de equações lineares Ax = b, com A =[

1 2−3 6

]e

b = [ 12 ].

(a) Mostre que (S) é um sistema possível e determinado.

(b) Determine o conjunto solução de (S) através da Regra de Cramer.


res (a) Como det(A) = 1×6−2× (−3) = 12 6= 0, c(A) = 2, c(A|b) = 2 e

n = 2 (número de incógnitas) — c(A) = c(A|b) = n —, pelo que

(S) é um sistema possível e determinado.

(b)

x1 =

∣∣∣∣∣∣1 2

2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2

−3 6

∣∣∣∣∣∣

=2

12=

1

6, x2 =

∣∣∣∣∣∣1 1

−3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2

−3 6

∣∣∣∣∣∣

=5

12.

Assim, CS(S) = (16 , 5

12).

3.2 Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Lineares 71

3.2 Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Lineares

3.1exe Classifique quanto ao número de soluções e determine o conjunto solução

dos seguintes sistemas de equações lineares:

(a) (Sa)

x1 + 2x2 = 5

3x2 = 6.

(b) (Sb)

x1 + 2x2 = 1

0x2 = 2.

(c) (Sc)

x1 + 2x2 + 3x3 = 14

4x2 + 5x3 = 23.

(d) (Sd)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x2 + x4 = 1.

3.2exe Resolva pelo método de Gauss, pelo método de Gauss-Jordan e pela

regra de Cramer os seguintes sistemas de equações lineares:

(Sa)

x + y + z + w = 0

2x − y + z − w = 5

y − w = 0

x − w = 2.

(Sb)

x + y + z + 2w = 1

2x − y + z − w = −1

y + 3w = 1

2x − 2y + 2z − w = −2.


3.3exe Considere os seguintes sistemas de equações lineares:

(Sa)

x1 + x2 + x3 = 3

x1 − x2 = 0

−x1 + x3 = 0.

(Sb)

x1 + x2 = 2

x1 + x3 = 2

2x1 + x2 + x3 = 4.

(Sc)

x1 + x2 + x3 = 3

x1 + x2 = 2

2x1 + 2x2 + x3 = 1.

(Sd)

x1 − x2 + x3 = 1

−2x1 + 2x2 − 2x3 = −2

−x1 + x2 − x3 = −1.

Responda às seguintes questões para cada um destes sistemas de equações

lineares:

(a) identifique a matriz dos coeficientes A, o vector dos termos inde-

pendentes b, o vector das incógnitas x e a matriz ampliada A|b.

(b) Classifique o sistema quanto ao número de soluções e determine

o seu conjunto solução.

(c) Classifique o sistema homogéneo associado quanto ao número de

soluções e determine o seu conjunto solução.

3.4exe Dê exemplos de sistemas de m equações lineares a n incógnitas possíveis

e determinados, possíveis e indeterminados e impossíveis para m > n,

m = n e m < n, sempre que tal seja possível.

3.2 Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Lineares 73

3.5exe Discuta os seguintes sistemas de equações lineares Ax = b em função

dos respectivos parâmetros reais:

(a) A =[

1 1 α3 4 22 3 −1

], b =

[2α1

].

(b) A =[ 1 0 −3

2 k −11 2 k

], b =

[−3−21

].

(c) A =[

1 2 1 03 3 5 c0 3 −2 −3

], b =

[23t

].

(d) A =[

1 2 2 00 2 1 11 0 1 a

], b =

[12t

].

3.6exe Determine, por dois processos distintos, para que valores de α a matriz

A =[

α 1 11 α 11 1 α

]é invertível.


1 1 01 0 10 1 1

].

(a) Calcule A−1.

(b) Mostre que o sistema Ax = b é possível e determinado, qualquer

que seja o vector dos termos independentes b ∈M3×1(K).

(c) Usando a alínea (a), resolva o sistema Ax = b, em que b = [bi] ∈M3×1(K), bi = i.

3.8exe Considere o seguinte sistema não linear nas incógnitas α, β e γ.

2 sen α − cos β + 3 tan γ = 3

4 sen α + 2cos β − 2 tan γ = 10

6 sen α − 3 cos β + tan γ = 9.

Mostre que, neste caso, é possível concluir que o sistema é impossível

recorrendo ao método de Gauss.

3.9exe Determine a equação da parábola que passa nos pontos (1, 2), (−1, 6)

e (2, 3).


3.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Li-

neares

3.1sol (a) PD. CS(Sa) = (1, 2).

(b) Imp. CS(Sb) = ∅.

(c) PI. CS(Sc) = (5−α2 , 23−5α

4 , α)|α ∈ K.

(d) PI. CS(Sd) = (−s, 1− t, s, t)|t, s ∈ K.

3.2sol (a) CS(Sa) = (1,−1, 1,−1).

(b) CS(Sb) = (0, 1, 0, 0).

3.3sol (S1) (a) A =[

1 1 11 −1 0−1 0 1

], b =

[300

], x =

[x1x2x3

], A|b =

[1 1 1 31 −1 0 0−1 0 1 0

].

(b) PD. CSAx=b = (1, 1, 1).

(c) PD. CSAx=0 = (0, 0, 0).

(S2) (a) A =[

1 1 01 0 12 1 1

], b =

[224

], x =

[x1x2x3

], A|b =

[1 1 0 21 0 1 22 1 1 4

].

(b) PI. CSAx=b = (2 − t, t, t)|t ∈ K.

(c) PI. CSAx=0 = (−t, t, t)|t ∈ K.

(S3) (a) A =[

1 1 11 1 02 2 1

], b =

[321

], x =

[x1x2x3

], A|b =

[1 1 1 31 1 0 22 2 1 1

].

(b) Imp. CSAx=b = ∅.

(c) PI. CSAx=0 = (−s, s, 0)|s ∈ K.

(S4) (a) A =[

1 −1 1−2 2 −2−1 1 −1

], b =

[1−2−1

], x =

[x1x2x3

], A|b =

[1 −1 1 1−2 2 −2 −2−1 1 −1 −1

].

(b) PI. CSAx=b = (1 + s− t, s, t)|s, t ∈ K.

(c) PI. CSAx=0 = (s − t, s, t)|s, t ∈ K.

3.5sol (a) PD: α 6= 3. PI: α = 3. Imp: nunca.

(b) PD: k 6= 2 ∧ k 6= −5 . PI: k = 2. Imp: k = −5.

3.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Lineares 75

(c) PD: nunca. PI: c 6= 3 ∨ t = 3. Imp: c = 3 ∧ t 6= 3.

(d) PD: nunca. PI: a 6= −1 ∨ t = −1. Imp: a = −1 ∧ t 6= −1.

3.6sol α ∈ K \ −2, 1.

3.7sol (a) A−1 = 12

[ 1 1 −11 −1 1−1 1 1

].

(c) CSAx=b = (0, 1, 2).

3.9sol x2 − 2x + 3.

Capıtulo 4

Espacos Vectoriais

4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais

4.1obs Apresenta-se na definição que se segue a generalização da noção de

“vector” entendido como uma entidade com um tamanho e uma di-

recção. O estudo genérico de um espaço vectorial permite-nos esta-

belecer propriedades válidas para um conjunto alargado de entidades

matemáticas.

77

78 4 Espacos Vectoriais

4.2def Jespaço vectorialK Sejam V um conjunto não vazio e as operações

⊕ : V × V −→ V

(x, y) 7−→ x⊕ y,

⊙ : K× V −→ V

(α, x) 7−→ α⊙ x.

Diz-se que o sêxtuplo (V,⊕,⊙,K,+, ·) é um espaço vectorial se:

(a) ∀x, y ∈ V : x⊕ y = y ⊕ x.

(b) ∀x, y, z ∈ V : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z).

(c) ∃1 elemento de V (representado por 0V ),∀x ∈ V : x⊕ 0V = x.

(d) ∀x ∈ V,∃1 elemento de V (representado por −x) : x ⊕ (−x) =

0V .

(e) ∀α ∈ K,∀x, y ∈ V : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y.

(f) ∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.

(g) ∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).

(h) ∀x ∈ V : 1⊙ x = x.

4.3def Seja o espaço vectorial definido por (V,⊕,⊙,K,+, ·).

(a) JescalarK Chama-se escalares aos elementos de K.

(b) JvectorK Chama-se vectores aos elementos de V .

(c) Jsoma de vectoresK Chama-se soma de vectores à operação ⊕.

Jmultiplicação de um escalar por um vectorK Chama-se multipli-

cação de um escalar por um vector à operação ⊙.

(d) Jespaço vectorial realK Diz-se que V é um espaço vectorial real se

K = R.

4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 79

(e) Jespaço vectorial complexoK Diz-se que V é um espaço vectorial

complexo se K = C.

4.4obs (a) Para simplificar a linguagem, em vez de “seja o espaço vectorial

definido por (V,⊕,⊙,K,+, ·)” diz-se “seja V um espaço vectorial

sobre K” quando as operações de soma de vectores e de multipli-

cação de um escalar por um vector estiverem subentendidas.

(b) Se não causar confusão, em vez de x⊕ y escreve-se x + y, em vez

de x⊕ (−y) escreve-se x− y e em vez de α⊙ x escreve-se αx.

4.5obs Na definição que se segue, relembram-se ou introduzem-se conjuntos e

as respectivas operações usuais, que serão usados na apresentação de

exemplos de espaços vectoriais.

4.6def (a) JKnK Seja n ∈ N. Representa-se por Kn o conjunto dos n-tuplos

com elementos em K, i.e.,

Kn = (x1, x2, . . . , xn)|x1, x2, . . . , xn ∈ K.

As operações usuais neste conjunto são:

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) =

(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn).

(b) JMm×n(K)K Sejam m,n ∈ N. Representa-se por Mm×n(K) o

conjunto das matrizes com m linhas e n colunas com elementos

em K, i.e.,

Mm×n(K) = A : 1, . . . ,m × 1, . . . , n → K.



[(A + B)ij] = [(A)ij + (B)ij ],

[(αA)ij ] = [α(A)ij ].

(c) JKn[x]K Seja n ∈ N. Representa-se por Kn[x] o conjunto dos

polinómios na variável x com coeficientes em K e que têm grau

menor ou igual a n, i.e.,

Kn[x] = a0xn + · · ·+ an−1x + an|a0, . . . , an−1, an ∈ K.


(a0xn + · · ·+ an−1x + an) + (b0x

n + · · · + bn−1x + bn) =

(a0 + b0)xn + · · · + (an−1 + bn−1)x + (an + bn),

α(a0xn + · · ·+ an−1x + an) =

(αa0)xn + · · ·+ (αan−1)x + (αan).

(d) JK[x]K Representa-se por K[x] o conjunto dos polinómios na var-

iável x de qualquer grau com coeficientes em K. As operações

usuais neste conjunto são idênticas às definidas no conjunto Kn[x].

(e) JC(a, b), Ck(a, b), C∞(a, b)K Sejam a, b ∈ R tais que a < b e

k ∈ N. Representa-se por C(a, b) o conjunto das funções reais

de variável real contínuas em (a, b), por Ck(a, b) o conjunto das

funções reais de variável real tais que existem todas as derivadas

de f até à ordem k (inclusivé) e f e todas as derivadas de f até

à ordem k (inclusivé) são contínuas em (a, b), e por C∞(a, b) o

conjunto das funções reais de variável real tais que existem todas


as derivadas de f e f e todas as derivadas de f são contínuas em

(a, b), i.e.,

C(a, b) = f : (a, b)→ K|f é contínua em (a, b),

Ck(a, b) = f : (a, b)→ K|f ∈ C(a, b) e dpfdxp ∈ C(a, b), p = 1, . . . , k,

C∞(a, b) = f : (a, b)→ K|f ∈ C(a, b) e dpfdxp ∈ C(a, b),∀p ∈ N.

As operações usuais nestes conjuntos são:

(f + g)(x) = f(x) + g(x),

(αf)(x) = αf(x).

4.7exe Mostre que R2 com as operações usuais é um espaço vectorial real.

res As operações usuais em R2 são

x + y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),

αx = α(x1, x2) = (αx1, αx2).

com x1, x2, y1, y2, α ∈ R (como já se disse, quando estão em causa as

operações usuais, em vez de x⊕ y escreve-se x + y e em vez de α ⊙ x

escreve-se αx).

No que se segue, verificam-se as oito propriedades de 4.2def .

Propriedade (a)

Definição geral:

∀x, y ∈ V : x⊕ y = y ⊕ x.

Exemplo presente:

∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : x + y = y + x.


x + y = (x1, x2) + (y1, y2)

(1)= (x1 + y1, x2 + y2). (a.1)

y + x = (y1, y2) + (x1, x2)

(1)= (y1 + x1, y2 + x2)

(2)= (x1 + y1, x2 + y2). (a.2)

(1) por definição da operação soma de vectores.

(2) pela propriedade comutativa da soma de números reais.

Como as expressões (a.1) e (a.2) são iguais, conclui-se que a proprie-

dade (a) é válida.

Propriedade (b)

Definição geral:

∀x, y, z ∈ V : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z).

Exemplo presente:

∀x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ R2 : (x+ y)+ z = x+(y +x).


(x + y) + z = ((x1, x2) + (y1, y2)) + (z1, z2)

(1)= (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2)

(1)= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2)

(2)= (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2). (b.1)

x + (y + z) = (x1, x2) + ((y1, y2) + (z1, z2))

(1)= (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2)

(1)= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2))

(2)= (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2). (b.2)


(2) pela propriedade associativa da soma de números reais.

Como as expressões (b.1) e (b.2) são iguais, conclui-se que a proprie-

dade (b) é válida.

Propriedade (c)

Definição geral:

∃1 elemento de V (representado por 0V ),∀x ∈ V : x⊕ 0V = x.

Exemplo presente:

∃10R2 = (a, b) ∈ R2,∀x = (x1, x2) ∈ R

2 : x + 0R2 = x.


x + 0R2 = x⇔ (x1, x2) + (a, b) = (x1, x2)

(1)⇔ (x1 + a, x2 + b) = (x1, x2)

(2)⇔ x1 + a = x1 ∧ x2 + b = x2

(3)⇔ a = 0 ∧ b = 0.


(2) pela definição da igualdade de dois elementos de R2.

(3) pelas propriedades dos números reais.

Assim, conclui-se que 0R2 = (0, 0) é o elemento neutro da soma de

vectores, sendo a propriedade (c) válida.

Propriedade (d)

Definição geral:

∀x ∈ V,∃1 elemento de V (representado por −x) : x⊕ (−x) = 0V .

Exemplo presente:

∀x = (x1, x2) ∈ R2,∃1 − x = (a, b) ∈ R

2 : x + (−x) = 0R2 .

x + (−x) = 0R2 ⇔ (x1, x2) + (a, b) = (0, 0)

(1)⇔ (x1 + a, x2 + b) = (0, 0)

(2)⇔ x1 + a = 0 ∧ x2 + b = 0

(3)⇔ a = −x1 ∧ b = −x2.



(2) igualdade de dois elementos de R2.

(3) pelas propriedades dos números reais.

Assim, conclui-se que −x = (−x1,−x2) é o elemento simétrico do

elemento x = (x1, x2) ∈ R2, sendo a propriedade (d) válida.

Propriedade (e)

Definição geral:

∀α ∈ R,∀x, y ∈ V : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y.

Exemplo presente:

∀α ∈ R,∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : α(x + y) = αx + αy.

α(x + y) = α((x1, x2) + (y1, y2))

(1)= α(x1 + y1, x2 + y2)

(2)= (α(x1 + y1), α(x2 + y2))

(3)= (αx1 + αy1, αx2 + αy2). (e.1)

αx + αy = α(x1, x2) + α(y1, y2)

(2)= (αx1, αx2) + (αy1, αy2)

(1)= (αx1 + αy1, αx2 + αy2). (e.2)


(2) por definição da operação multiplicação de um vector por um es-

calar.

(3) pela propriedade distributiva da multiplicação relativamente à soma

em R.


Como as expressões (e.1) e (e.2) são iguais, conclui-se que a propriedade

(e) é válida.

Propriedade (f)

Definição geral:

∀α, β ∈ R,∀x ∈ V : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.

Exemplo presente:

∀α, β ∈ R,∀x = (x1, x2) ∈ R2 : (α + β)x = αx + βx.

(α + β)x = (α + β)(x1, x2)

(1)= ((α + β)x1, (α + β)x2)

(2)= (αx1βx1, αx2 + βx2). (f.1)

αx + βx = α(x1, x2) + β(x1, x2)

(1)= (αx1, αx2) + (βx1, βx2)

(3)= (αx1 + βx,αx2 + βx2). (f.2)


calar.

(2) pela propriedade distributiva da multiplicação relativamente à soma

em R.


Como as expressões (f.1) e (f.2) são iguais, conclui-se que a propriedade

(f) válida.

Propriedade (g)

Definição geral:


∀α, β ∈ R,∀x ∈ V : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).

Exemplo presente:

∀α, β ∈ R,∀x = (x1, x2) ∈ R2 : (αβ)x = α(βx).

(αβ)x = (αβ)(x1, x2)

(1)= ((αβ)x1, (αβ)x2)

(2)= (αβx1, αβx2). (g.1)

α(βx) = α(β(x1, x2))

(1)= α(βx1, βx2)

(1)= (α(βx1), α(βx2))

(2)= (αβx1, αβx2). (g.2)


calar.

(2) pela propriedade associativa da multiplicação de números reais.

Como as expressões (g.1) e (g.2) são iguais, conclui-se que a proprie-

dade (g) válida.

Propriedade (h)

Definição geral:

∀x ∈ V : 1⊙ x = x.

Exemplo presente:

∀x = (x1, x2) ∈ R2 : 1x = x.


1x = 1(x1, x2)

(1)= (1x1, 1x2)

(2)= (x1, x2)

= x.


calar.

(2) 1 é o elemento neutro da multiplicação de reais.

Assim, conclui-se que a propriedade (h) é válida.

Assim, uma vez que as oito propriedades da definição 4.2def de

espaço vectorial são verificadas, conclui-se que o conjunto R2 com as

operações usuais é um espaço vectorial real.

4.8exe Mostre que os seguintes conjuntos com as operações usuais são espaços

vectoriais reais:

(a) Kn.

(b) Mm×n(K).

(c) K[x].

(d) C(a, b).

res (a) Exercício.

(b) Exercício.

(c) Exercício.

(d) Exercício.


4.9exe Mostre que o conjunto Mn×n(R) com as operações

⊕ : Mn×n(R)×Mn×n(R) −→ Mn×n(R)

(A,B) 7−→ A⊕B = AT + BT

⊙ : R×Mn×n(R) −→ Mn×n(R)

(α,A) 7−→ α⊙A = αA,

não define um espaço vectorial real.

res Para resolver este exercício é necessário identificar (pelo menos) uma

propriedade da definição 4.2def que não é satisfeita. No entanto,

e por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades (ape-

sar de não se explicitar na resolução deste exercício, esta faz uso das

propriedades das operações com matrizes).

Note-se que neste exercício, uma vez que a definição de uma das ope-

rações não é a usual — soma de elementos de Mn×n(R) —, usa-se a

notação x⊕ y e α⊙ x.

Propriedade (a)

Definição geral:

∀x, y ∈ V : x⊕ y = y ⊕ x.

Exemplo presente:

∀A,B ∈Mn×n(R) : A⊕B = B ⊕A.

A⊕B = AT + BT . (a.1)

B ⊕A = BT + AT

= AT + BT . (a.2)




Propriedade (b)

Definição geral:

∀x, y, z ∈ V : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z).

Exemplo presente:

∀A,B,C ∈Mn×n(R) : (A⊕B)⊕ C = A⊕ (B ⊕ C).

(A⊕B)⊕ C = (AT + BT )⊕ C

= (AT + BT )T + CT

= ((AT )T + (BT )T ) + CT

= A + B + CT . (b.1)

A⊕ (B ⊕ C) = A⊕ (BT + CT )

= AT + (BT + CT )T

= AT + ((BT )T + (CT )T )

= AT + B + C. (b.2)

Como existem elementos de Mn×n(R) tais que produzem expressões

diferentes para (b.1) e (b.2), conclui-se que a propriedade (b) não é

válida.

Propriedade (c)

Definição geral:


Exemplo presente:


∃1 elemento de Mn×n(R) (representado por 0),∀A ∈ Mn×n(R) : A⊕0 = A.

A⊕ 0 = A⇔ AT + 0T

= A

⇔ 0T

= A−AT

⇔ 0 = (A−AT )T

⇔ 0 = AT −A.

Assim, uma vez que 0 não é independente de A, conclui-se que a pro-

priedade (c) não é válida.

Propriedade (d)

Definição geral:


Exemplo presente:

Esta propriedade não faz sentido verificar, uma vez que não existe

elemento neutro da soma (ver propriedade anterior).

Propriedade (e)

Definição geral:

∀α ∈ K,∀x, y ∈ V : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y.

Exemplo presente:

∀α ∈ R,∀A,B ∈Mn×n(R) : α⊙ (A⊕B) = α⊙A⊕ α⊙B.


α⊙ (A⊕B) = α⊙ (AT + BT )

= α(AT + BT )

= αAT + αBT . (e.1)

α⊙A⊕ α⊙B = αA⊕ αB

= (αA)T + (αB)T

= αAT + αBT . (e.2)


(e) é válida.

Propriedade (f)

Definição geral:

∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.

Exemplo presente:

∀α, β ∈ R,∀A ∈Mn×n(R) : (α + β)⊙A = α⊙A⊕ β ⊙A.

(α + β)⊙A = (α + β)A

= αA + βA. (f.1)

α⊙A⊕ β ⊙A = αA⊕ βA

= (αA)T + (βA)T

= αAT + βAT . (f.2)


Como existem elementos de Mn×n(R) tais que produzem expressões

diferentes para (f.1) e (f.2), conclui-se que a propriedade (f) não é

válida.

Propriedade (g)

Definição geral:

∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).

Exemplo presente:

∀α, β ∈ R,∀A ∈Mn×n(R) : (α · β)⊙A = α⊙ (β ⊙A).

(α · β)⊙A = (αβ) ⊙A

= αβA. (g.1)

α⊙ (β ⊙A) = α⊙ (βA)

= αβA. (g.2)

Como as expressões (g.1) e (g.2) são iguais, conclui-se que a proprie-

dade (g) é válida.

Propriedade (h)

Definição geral:

∀x ∈ V : 1⊙ x = x.

Exemplo presente:

∀A ∈Mn×n(R) : 1A = A.

1A = A.


Assim, conclui-se que a propriedade (h) é válida.

Como as propriedades (b), (c), (d) e (f) da definição 4.2def não são

válidas, conclui-se que o conjunto Mn×n(R) com as operações dadas

não é um espaço vectorial real (volta-se a frisar que bastava uma pro-

priedade falhar para se concluir que não se estava perante um espaço

vectorial).

4.10exe Mostre que o conjunto R2 com as operações

⊕ : R2 ×R2 −→ R2

((a, b), (c, d)) 7−→ (a, b)⊕ (c, d) = (0, b + d),

⊙ : R×R2 −→ R2

(α, (a, b)) 7−→ α⊙ (a, b) = (2αa, 2αb),

não define um espaço vectorial real.


propriedade da definição 4.2def que não é satisfeita. No entanto, e

por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades.

Note-se que neste exercício, uma vez que a definição das duas operações

não é a usual, usa-se a notação x⊕ y e α⊙ x.

Apesar de não se explicitar na resolução deste exercício, esta faz uso

das propriedades dos números reais.

Propriedade (a)

Definição geral:

∀x, y ∈ V : x⊕ y = y ⊕ x.

Exemplo presente:


∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : x⊕ y = y ⊕ x.

x⊕ y = (x1, x2)⊕ (y1, y2)

= (0, x2 + y2). (a.1)

y ⊕ x = (y1, y2)⊕ (x1, x2)

= (0, y2 + x2)

= (0, x2 + y2). (a.2)



Propriedade (b)

Definição geral:

∀x, y, z ∈ V : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z).

Exemplo presente:

∀x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ R2 : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y⊕ z).


(x⊕ y)⊕ z = ((x1, x2)⊕ (y1, y2))⊕ (z1, z2)

= (0, x2 + y2) + (z1, z2)

= (0, (x2 + y2) + z2)

= (0, x2 + y2 + z2). (b.1)

x⊕ (y ⊕ z) = (x1, x2)⊕ ((y1, y2)⊕ (z1, z2))

= (x1, x2) + (0, y2 + z2)

= (0, x2 + (y2 + z2))

= (0, x2 + y2 + z2). (b.2)

Como as expressões (b.1) e (b.2) são iguais, conclui-se que a proprie-

dade (b) é válida.

Propriedade (c)

Definição geral:


Exemplo presente:

∃1 elemento de R2 (representado por 0 = (a, b)),∀x ∈ R

2 : x⊕ 0 = x.

x⊕ 0 = x⇔ (x1, x2)⊕ (a, b) = (x1, x2)

⇔ (0, x2 + b) = (x1, x2)

⇔ 0 = x1 ∧ x2 + b = x2

⇔ x1 = 0 ∧ b = 0.


Assim, conclui-se que a propriedade (c) não é satisfeita, pois não só o

vector 0 não é único, como não é possível que a relação fosse satisfeita

para qualquer elemento de x ∈ R2.

Propriedade (d)

Definição geral:


Exemplo presente:

Esta propriedade não faz sentido verificar, uma vez que não existe

elemento neutro da soma (ver propriedade anterior).

Propriedade (e)

Definição geral:

∀α ∈ K,∀x, y ∈ V : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y.

Exemplo presente:

∀α ∈ R,∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y

α⊙ (x⊕ y) = α⊙ ((x1, x2)⊕ (y1, y2))

= α⊙ (0, x2 + y2)

= (0, 2α(x2 + y2))

= (0, 2αx2 + 2αy2). (e.1)

α⊙ x⊕ α⊙ y = α⊙ (x1, x2)⊕ α⊙ (y1, y2)

= (2αx1, 2αx2)⊕ (2αy1, 2αy2)

= (0, 2αx2 + 2αy2). (e.2)



(e) é válida.

Propriedade (f)

Definição geral:

∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.

Exemplo presente:

∀α, β ∈ R,∀x = (x1, x2) ∈ R2 : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.

(α + β)⊙ x = (α + β)⊙ (x1, x2)

= (2(α + β)x1, 2(α + β)x2)

= (2αx1 + 2βx1, 2αx2 + 2βx2). (f.1)

α⊙⊕xβ ⊙ x = α⊙ (x1, x2)⊕ β ⊙ (x1, x2)

= (2αx1, 2αx2)⊕ (2βx1, 2βx2)

= (0, 2αx2 + 2βx2). (f.2)

Como existem elementos de R2 tais que produzem expressões diferentes

para (f.1) e (f.2), conclui-se que a propriedade (f) não é válida.

Propriedade (g)

Definição geral:

∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).

Exemplo presente:

∀α, β ∈ KR,∀x = (x1, x2) ∈ R2 : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).


(α · β)⊙ x = (α · β)⊙ (x1, x2)

= (2(αβ)x1, 2(αβ)x2)

= (2αβx1, 2αβx2). (g.1)

α⊙ (β ⊙ x) = α⊙ (β ⊙ (x1, x2))

= α⊙ (2βx1, 2βx2)

= (2α(2βx1), 2α(2βx2))

= (4αβx1, 4αβx2). (g.2)

Como existem elementos de R2 tais que produzem expressões diferentes

para (g.1) e (g.2), conclui-se que a propriedade (g) não é válida.

Propriedade (h)

Definição geral:

∀x ∈ V : 1⊙ x = x.

Exemplo presente:

∀x = (x1, x2) ∈ R2 : 1⊙ x = x.

1x = 1(x1, x2)

= (2x1, 2x2)

6= (x1, x2)

= x.

Assim, conclui-se que a propriedade (h) não é válida.


Como as propriedades (c), (d), (f), (g) e (h) da definição 4.2def

não são satisfeitas, conclui-se que o conjunto R2 com as operações

dadas não é um espaço vectorial real (volta-se a frisar que bastava

uma propriedade não se verificar para se concluir que não se estava

perante um espaço vectorial).

4.11teo Seja V um espaço vectorial. Então,

(a) ∀α ∈ K : α0V = 0V .

(b) ∀x ∈ V : 0x = 0V .

(c) ∀α ∈ K,∀x ∈ V : −(αx) = (−α)x e (−α)(−x) = αx.

(d) ∀α ∈ K,∀x ∈ V : αx = 0V ⇒ (α = 0 ∨ x = 0V ).

(e) ∀α, β ∈ K,∀x ∈ V \ 0V : αx = βx⇒ α = β.

(f) ∀x1, x2 ∈ V : x1 + x = x2 ⇒ x = x2 − x1.

(g) ∀x, x1, x2 ∈ V : x + x1 = x + x2 ⇒ x1 = x2.

4.12def JsubespaçoK Sejam o espaço vectorial (V,⊕,⊙,K,+, ·) e F um subcon-

junto não-vazio de V . Diz-se que F é um subespaço V se (F,⊕,⊙,K,+, ·)ainda for espaço vectorial.

4.13teo Sejam V um espaço vectorial sobre K e F ⊂ V . Então, F é um

subespaço de V se e só se:

(a) 0V ∈ F .

(b) ∀x, y ∈ F : x + y ∈ F .

(c) ∀α ∈ K,∀x ∈ F : αx ∈ F .

4.14obs Note-se que o teorema 4.13teo é um processo mais prático de verificar

se um subconjunto de um espaço vectorial é um subespaço do que a

definição 4.12def .


4.15exe Mostre que F = (x1, x2) ∈ R2|x2 = 0 é um subespaço de R2.

res Sendo F ⊂ R2, verifiquem-se as três propriedades do teorema 4.13teo :

Propriedade (a)

0R2 = (0, 0) ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida.

Propriedade (b)

Sejam x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F . Então, x + y = (x1, 0) + (y1, 0) =

(x1 + y1, 0) ∈ F , pelo que a propriedade (b) é válida.

Propriedade (c)

Sejam α ∈ K e x = (x1, 0) ∈ F . Então, αx = α(x1, 0) = (αx1, 0) ∈ F ,

pelo que a propriedade (c) é válida.

Conclui-se, assim, que F é um subespaço de R2.

4.16exe Mostre que o conjunto das matrizes simétricas de ordem n é um sub-

espaço deMn×n(K).

res Seja F o conjunto das matrizes simétricas de ordem n, i.e., F = A ∈Mn×n(K)|A = AT , que é um subconjunto deMn×n(K). Verifiquem-

se, agora, as três propriedades do teorema 4.13teo :

Propriedade (a)

0Mn×n(K) = 0n×n ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida.

Propriedade (b)

Sejam A,B ∈ F . Então, (A + B)T = AT + BT = A + B, A + B ∈ F ,

pelo que a propriedade (b) é válida.

Propriedade (c)


Sejam α ∈ K e A ∈ F . Então, como (αA)T = αAT = αA, αA ∈ F ,

pelo que a propriedade (c) é válida.

Conclui-se, assim, que F é um subespaço de Mn×n(K).

4.17exe Mostre que:

(a) O conjunto das matrizes reais e diagonais de ordem n é um sub-

espaço de Mn×n(R).

(b) Kn[x] é um subespaço de K[x].

(c) Ck(a, b) é um subespaço de C(a, b)

(d) C∞(a, b) é um subespaço de Ck(a, b).

(e) 0V é um subespaço de V .

(f) V é um subespaço de V .

res (a) Exercício.

(b) Exercício.

(c) Exercício.

(d) Exercício.

(e) Exercício.

(f) Exercício.

4.18exe Mostre que o conjunto G = (x1, x2) ∈ R2|x2 = 1 não é um subespaço

de R2.


propriedade do teorema 4.13teo que não é satisfeita. No entanto, e

por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades.


Sendo G ⊂ R2, verifiquem-se as três propriedades do teorema 4.13teo :

Propriedade (a)

0R2 = (0, 0) /∈ G, pelo que a propriedade (a) não é válida.

Propriedade (b)

Sejam x = (x1, 1), y = (y1, 1) ∈ G. Então, x + y = (x1, 1) + (y1, 1) =

(x1 + y1, 2) /∈ G, pelo que a propriedade (b) não é válida.

Propriedade (c)

Sejam α ∈ K e x = (x1, 1) ∈ G. Então, αx = α(x1, 1) = (αx1, α) /∈ G,

pelo que a propriedade (c) não é válida.

Como as propriedades (a), (b) e (c) do teorema 4.13teo não são satis-

feitas, conclui-se que o conjunto G não é um subespaço de R2 (volta-se

a frisar que bastava uma propriedade não se verificar para se concluir

que não se estava perante um subespaço).

4.19exe Mostre que o conjunto das matrizes hermíticas de ordem n não é um

subespaço de Mn×n(C).

res Seja F o conjunto das matrizes hermíticas de ordem n, i.e., F = A ∈Mn×n(C)|A = AH, que é um subconjunto deMn×n(C). Verifiquem-

se, agora, as três propriedades do teorema 4.13teo :

Propriedade (a)

0Mn×n(C) = 0n×n ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida.

Propriedade (b)

Sejam A,B ∈ F . Então, como (A + B)H = AH + BH = A + B,

A + B ∈ F , pelo que a propriedade (b) é válida.


Propriedade (c)

Sejam α ∈ K e A ∈ F . Então, como (αA)H = αAH = αA, αA /∈ F .

Assim, conclui-se que a propriedade (c) não é válida.

Como a propriedade (c) do teorema 4.13teo não é satisfeita, conclui-

se que o conjunto G não é um subespaço de Mn×n(C).

4.20teo Seja A ∈Mm×n(K). Então, CSAx=0 é um subespaço de Kn.

dem Para mostrar que CSAx=0 ⊂ Kn é um subespaço de Kn, aplique-se o

teorema 4.13teo (no que se segue identifia-se Kn com Mn×1(K)):

Propriedade (a)

Seja Como A0n×1 = 0, tem-se que 0Kn = 0n×1 ∈ CSAx=0, pelo que a

propriedade (a) é válida.

Propriedade (b)

Sejam x1, x2 ∈ CSAx=0. Então, como A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 =

0 + 0 = 0, tem-se que x1 + x2 ∈ CSAx=0, pelo que a propriedade (b) é

válida.

Propriedade (c)

Sejam α ∈ K e x ∈ CSAx=0. Então, como A(αx) = α(Ax) = α0 = 0,

tem-se que αx ∈ CSAx=0, pelo que a propriedade (c) é válida.

Assim, conclui-se que CSAx=0 é um subespaço de Kn.

4.21def Jcombinação linearK Sejam V um espaço vectorial sobre K, x ∈ V e

S = x1, . . . , xk ⊂ V . Diz-se que x é uma combinação linear dos

elementos de S se

∃α1, . . . , αk ∈ K : x = α1x1 + · · ·+ αkxk.


4.22exe Sejam x = (1, 4), x1 = (1, 2), x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2).

(a) Mostre que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2) e

x2 = (1, 1) e escreva x como combinação linear de x1 e de x2.

(b) Mostre que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2),

x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2).

(c) Mostre que x = (1, 4) não é uma combinação linear de x2 = (1, 1)

e x3 = (2, 2).

res (a) Mostrar que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2) e

x2 = (1, 1) é, por definição, mostrar que

∃α, β ∈ R : x = αx1 + βx2,

i.e., que é possível o sistema de equações lineares (Sa) dado por

(1, 4) = α(1, 2) + β(1, 1) ⇔

α + β = 1

2α + β = 4.

Então, como 1 1 1

2 1 4

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1

1 1 1

0 −1 2

,

a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica

da matriz ampliada, pelo que o sistema (Sa) é possível, concluindo-

se que x é uma combinação linear de x1 e x2. Para escrever x como

combinação linear de x1 e x2, resolve-se o sistema (Sa), tendo-se

α = 3

β = −2,

vindo

x = 3x1 − 2x2.


(b) Mostrar que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2),

x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2) é, por definição, mostrar que

∃α, β, γ ∈ R : x = αx1 + βx2 + γx3,

i.e., que é possível o sistema de equações lineares (Sb) dado por

(1, 4) = α(1, 2) + β(1, 1) + γ(2, 2)⇔

α + β + 2γ = 1

2α + β + 2γ = 4.

Então, como

1 1 2 1

2 1 2 4

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1

1 1 2 1

0 −1 −2 2

,

a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica

da matriz ampliada, pelo que o sistema (Sb) é possível, concluindo-

se que x é uma combinação linear de x1, x2 e x3. Para escrever x

como combinação linear de x1, x2 e x3, resolve-se o sistema (Sb),

tendo-se

α = 3

β = −2− 2a

γ = a ∈ R,

vindo

x = 3x1 + (−2− 2a)x2 + ax3, a ∈ R.

(c) Mostrar que x = (1, 4) não é uma combinação linear de x2 = (1, 1)

e x3 = (2, 2) é equivalente a mostrar que é impossível o sistema


de equações lineares (Sc) dado por

(1, 4) = α(1, 1) + β(2, 2) ⇔

α + β = 1

α + β = 4.

Então, como 1 1 1

1 1 4

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

1 1 1

0 0 3

,

a característica da matriz dos coeficientes é menor do que a carac-

terística da matriz ampliada, o sistema (Sc) é impossível, concluindo-

se que x não é uma combinação linear de x2 e x3.

4.23def Jespaço gerado, L(S), 〈x1, . . . , xn〉K Sejam V um espaço vectorial sobre

K e S = x1, . . . , xn ⊂ V . Chama-se espaço gerado pelo conjunto S,

que se representa por L(S) ou por 〈x1, . . . , xn〉, ao conjunto de todas

as combinações lineares dos elementos de S.

4.24teo Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = x1, . . . , xn ⊂ U ⊂.

Então,

(a) L(S) é um subespaço de V .

(b) U subespaço de V ⇒ L(S) ⊂ U .

4.25obs Sejam V um espaço vectorial K e S = x1, . . . , xn ⊂ V . Então,

(a) L(S) = α1x1 + · · · + αnxn|α1, . . . , αn ∈ K.

(b) Chama-se “espaço gerado” ao conjunto L(S) devido à alínea (a)

do teorema anterior.

(c) L(S) é o “menor” subespaço de V que contém S no sentido da

alínea (b) do teorema anterior..


4.26def Jconjunto geradorK Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = x1, . . . , xn ⊂V . Diz-se que S é um conjunto gerador de V se V = L(S).

4.27obs Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = x1, . . . , xn ⊂ V . Então,

S é um conjunto gerador de V se

∀x ∈ V,∃α1, . . . , αn ∈ K : x = α1x1 + · · ·+ αnxn,

i.e., que é possível o sistema de equações lineares x = α1x1+· · ·+αnxn,

qualquer que seja x ∈ V .

4.28exe (a) Verifique se R2 = 〈(2, 0)〉.

(b) Verifique se R2 = 〈(2, 0), (3, 4)〉.

(c) Verifique se R2 = 〈(2, 0), (3, 4), (0, 1)〉.

res (a) Verificar se R2 = 〈(2, 0)〉 é equivalente a verificar se, qualquer que

seja x = (x1, x2) ∈ R2, é possível o sistema de equações lineares

(S1) dado por

(x1, x2) = α(2, 0) ⇔

2α = x1

0α = x2.

Então, como a representação matricial do sistema (S1) é

1 x1

0 x2

,

que já está em escada, a característica da matriz dos coeficientes

é menor do que a característica da matriz ampliada se x2 6= 0,

pelo que o sistema (S1) nem sempre é possível, concluindo-se que

R2 6= 〈(1, 0)〉, i.e., (2,0) não é um conjunto gerador de R2.


(b) Verificar se R2 = 〈(2, 0), (3, 4)〉 é equivalente a verificar se, qual-

quer que seja x = (x1, x2) ∈ R2, é possível o sistema de equações

lineares (S2) dado por

(x1, x2) = α(2, 0) + β(3, 4) ⇔

2α + 3β = x1

0α + 4β = x2.

Então, como a representação matricial do sistema (S2) é 2 3 x1

0 4 x2

,


é igual à característica da matriz ampliada qualquer que seja

x = (x1, x2) ∈ R2, pelo que o sistema (S2) é sempre possível,

concluindo-se que R2 = 〈(2, 0), (3, 4)〉, i.e., (2,0),(3,4) é um

conjunto gerador de R2.

(c) Verificar se R2 = 〈(2, 0), (3, 4), (0, 1)〉 é equivalente a verificar se,

qualquer que seja x = (x1, x2) ∈ R2, é possível o sistema de

equações lineares (S3) dado por

(x1, x2) = α(2, 0) + β(3, 4) + γ(0, 1) ⇔

2α + 3β + 0γ = x1

0α + 4β + γ = x2.

Então, como a representação matricial do sistema (S3) é 2 3 0 x1

0 4 1 x2


é igual à característica da matriz ampliada qualquer que seja


x = (x1, x2) ∈ R2, pelo que o sistema (S3) é sempre possível,

concluindo-se que R2 = 〈(2, 0), (3, 4), (0, 1)〉, i.e., (2,0),(3,4),(0,1)

é um conjunto gerador de R2.

4.29obs (a) Um espaço vectorial pode admitir diversos conjuntos geradores.

(b) Cojuntos geradores distintos podem gerar o mesmo espaço vecto-

rial.

4.30def Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = x1, . . . , xn ⊂ V .

(a) Jconjunto linearmente independenteK Diz-se que S é um conjunto

linearmente independente se

∀α1, . . . , αn ∈ K : α1x1+· · ·+αnxn = 0V ⇒ α1 = · · · = αn = 0.

(b) Jvectores linearmente independentesK Se S é um conjunto linear-

mente independente, os elementos de S dizem-se vectores linear-

mente independentes.

(c) Jconjunto linearmente dependenteK Se S não é um conjunto line-

armente independente, diz-se que S é um conjunto linearmente

dependente.

(d) Jvectores linearmente dependentesK Se S é um conjunto linear-

mente dependente, os elementos de S dizem-se vectores linear-

mente dependentes.

4.31exe (a) Indique, justificando, se (2, 0) é um conjunto linearmente inde-

pendente ou linearmente dependente.

(b) Indique, justificando, se (2, 0), (3, 4) é um conjunto linearmente

independente ou linearmente.


(c) Indique, justificando, se (2, 0), (3, 4), (0, 1) é um conjunto line-

armente independente ou linearmente dependente.

res (a) Como

α(2, 0) = (0, 0)⇔

2α = 0

0α = 0⇔ α = 0,

conclui-se que (2, 0) é um conjunto linearmente independente.

(b) Como

α(2, 0) + β(3, 4) = (0, 0) ⇔

2α + 3β = 0

0α + 4β = 0⇔

α = 0,

β = 0,

conclui-se que (2, 0), (3, 4) é um conjunto linearmente indepen-

dente.

(c) Como

(x1, x2)α(2, 0) + β(3, 4) + γ(0, 1) = (0, 0)⇔

2α + 3β + 0γ = 0

0α + 4β + γ = 0⇔

α = 3a8 ,

β = −a4 ,

γ = a ∈ R,

conclui-se que (2, 0), (3, 4), (0, 1) é um conjunto linearmente de-

pendente.

4.32teo Sejam V um espaço vectorial e S1 ⊂ S = x1, . . . , xn ⊂ S2 ⊂ V .

(a) Se S é um conjunto linearmente dependente, então, S2 é um con-

junto linearmente dependente.


(b) se S é um conjunto linearmente independente, então, S1 é um

conjunto linearmente independente.

4.33def JbaseK Sejam V um espaço vectorial e S = x1, . . . , xn ⊂ V . Diz-se

que S é uma base de V se S é um conjunto gerador de V linearmente

independente.

4.34exe (a) Indique, justificando, se (2, 0) é uma base de R2.

(b) Indique, justificando, se (2, 0), (3, 3) é uma base de R2.

(c) Indique, justificando, se (2, 0), (3, 3), (0, 1)) é uma base de R2.

res (a) Atendendo ao exercício 4.30exe (a), (2, 0) não é um conjunto

gerador de R2, pelo que também não é uma sua base.

(b) Atendendo aos exercícios 4.30exe (b) e 4.35exe (b), (2, 0), (3, 3)é um conjunto gerador de R2 linearmente independente, pelo que

é uma base de R2.

(c) Atendendo ao exercício 4.30exe (c), (2, 0), (3, 3), (0, 1) não é

um conjunto linearmente independente, pelo que também não é

uma base de R2.

4.35def Jbase ordenadaK Sejam V um espaço vectorial e S = (x1, . . . , xn) ∈ V n.

Diz-se que S é uma base ordenada de V se S = x1, . . . , xn é uma

base de V .

4.36obs O objectivo da definição anterior é permitir distinguir entre ordenações

diferentes dos seus elementos, situação que não acontece em conjuntos.

Faz sentido, agora, a seguinte definição:

4.37def Jcoordenadas de um vector numa base ordenadaK Sejam V um espaço

vectorial, S = (x1, . . . , xn) uma base ordenada de V e x ∈ V . Chama-


se coordenadas do vector x relativamente à base ordenada S, que se

representa por [x]S , a (α1, . . . , αn) ∈ Kn se

x = α1x1 + · · ·+ αnxn.

4.38obs Como uma base é um conjunto linearmente independente, o sistema

linear que é necessário resolver para determinar as coordenadas de um

vector numa base ordenada é sempre possível e determinado, pelo que

as coordenadas de um vector numa base ordenada são únicas.

4.39exe (a) Seja S1 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) uma base ordenada de R3.

Determine as coordenadas de x = (0, 2, 3) na base ordenada S1.

(b) Seja S2 = ((0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)) uma base ordenada de R3.


(c) Seja S3 = ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)) uma base ordenada de R3.


res (a) Como (0, 2, 3) = 0(1, 0, 0)+2(0, 1, 0)+3(0, 0, 1), tem-se que [x]S1 =

(0, 2, 3).

(b) Como (0, 2, 3) = 2(0, 1, 0)+0(1, 0, 0)+3(0, 0, 1), tem-se que [x]S2 =

(2, 0, 3).

(c) Para responder à questão, tem que se resolver o sistema

α(1, 1, 1) + β(0, 1, 1) + γ(1, 0, 1) = (0, 2, 3) ⇔

α + γ = 0

α + β = 2

α + β + γ = 3.


Recorra-se, agora, ao método de Gauss:

1 0 1 0

1 1 0 2

1 1 1 3

←−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

ℓ3 ← ℓ3 − ℓ1

1 0 1 0

0 1 −1 2

0 1 0 3

←−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 − ℓ1

1 0 1 0

0 1 −1 2

0 0 1 1

,

tendo-se

α = −1,

β = 3,

γ = 1,

pelo que (0, 2, 3) = −(1, 1, 1)+3(0, 1, 1)+(1, 0, 1), ou seja, [x]S3 =

(−1, 3, 1).

4.40exe Seja S = ([ 1 00 0 ] , [ 0 1

0 0 ] , [ 0 01 0 ] , [ 0 0

0 1 ]) uma base ordenada de M2×2(R).

Determine as coordenadas de A =[−2 3

5 4

]na base ordenada S2.

res Como[−2 3

5 4

]= −2 [ 1 0

0 0 ] + 3 [ 0 10 0 ] + 5 [ 0 0

1 0 ] + 4 [ 0 00 1 ], tem-se que [A]S =

(−2, 3, 5, 4).

4.41teo Sejam V um espaço vectorial e o conjunto x1, . . . , xn uma base de

V . Então, todas as bases de V têm n vectores.

4.42def Jdimensão de um espaço vectorial, dim(V ), espaço vectorial de dimen-

são finitaK Sejam V um espaço vectorial e x1, . . . , xn uma base de

V . Chama-se dimensão do espaço vectorial V ao número de elementos

que constituem a base, escrevendo-se dim(V ) = n. Diz-se, ainda, que

V é um espaço vectorial de dimensão finita.


4.43obs (a) Note-se que a definição anterior faz sentido pois o teorema que a

precede garante que todas as bases de um espaço vectorial têm o

mesmo número de elementos.

(b) Seja V um espaço vectorial. Então, dim(0V ) = 0.

4.44teo (a) dim(R3) = 3 e

e1, e2, e3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), e

f1, f2, f3, f1 = (−1, 0, 0), f2 = (0, 1, 1), f3 = (1, 1, 1), são dois

exemplos de bases de R3 (à primeira chama-se base canónica de

R3).

(b) dim(Rn) = n.

(c) dim(M2×3(R)) = 6 e E11, E12, E13, E21, E22, E23, em que

E11 = [ 1 0 00 0 0 ] , E12 = [ 0 1 0

0 0 0 ] , E13 = [ 0 0 10 0 0 ] ,

E21 = [ 0 0 01 0 0 ] , E22 = [ 0 0 0

0 1 0 ] , E23 = [ 0 0 00 0 1 ] ,

é uma base deM2×3(R) (base canónica deM2×3(R)).

(d) dim(Mm×n(R)) = mn.

(e) dim(R2[x]) = 3 e 1, x, x2 é uma base de R2[x] (base canónica

de R2[x]).

(f) dim(Rn[x]) = n + 1.

(g) C(a, b) não é um espaço vectorial de dimensão finita.

4.45teo Seja V um espaço vectorial tal que dim(V ) = n e S um subconjunto

de V com n elementos.

(a) Se S é um conjunto linearmente independente, então S é uma

base de V .


(b) Se S é um conjunto gerador de V , então S é uma base de V .

4.46teo Sejam V um espaço vectorial com dimensão finita e X e Y subespaços

de V . Então,

(a) dim(X) 6 dim(V ).

(b) dim(X) = dim(V ) se e só se X = V .

4.47def Jespaço nulo de uma matrizK Seja A ∈ Mm×n(K). Chama-se espaço

nulo da matriz A, que se representa por N(A), a CSAx=0.

4.48teo Seja A ∈Mm×n(K).

(a) dim(〈ℓ1,A; . . . ; ℓm,A〉 = c(A).

(b) dim(〈c1,A; . . . ; cn,A〉 = c(A).

(c) dim(N(A)) é igual ao número de variáveis livres do sistema Ax =

0.

4.49obs Seja A ∈Mn×n(K). Então,

(a) c1,A, . . . , cn,A é um conjunto linearmente dependente se é só se

det(A) = 0.

(b) c1,A, . . . , cn,A é um conjunto linearmente independente se é só

se det(A) 6= 0.

(c) ℓ1,A, . . . , ℓn,A é um conjunto linearmente dependente se é só se

det(A) = 0.

(d) ℓ1,A, . . . , ℓn,A é um conjunto linearmente independente se é só

se det(A) 6= 0.

4.50exe Determine o espaço nulo e a sua dimensão das seguintes matrizes:


(a) A = [ 1 02 2 ].

(b) B = [ 1 1 1 12 2 0 2 ].

res (a)

1 0 0

2 2 0

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1

1 0 0

0 2 0

⇒

⇒

x1 = 0

x2 = 0,

ou seja,

N(A) = (0, 0).

Como o sistema não tem variáveis livres, tem-se que dim(N(A)) =

0.

(b) Comece-se por determinar N(B):

1 1 1 1 0

2 2 0 2 0

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1

1 1 1 1 0

0 0 −2 0 0

⇒

x1 = −α− β,

x2 = α ∈ R,

x3 = 0

x4 = β ∈ R,

ou seja,

N(B) = (−α− β, α, 0, β)|α, β ∈ R

= α(−1, 1, 0, 0) + β(−1, 0, 0, 1)|α, β ∈ R

= 〈(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1)〉.


Assim, (−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1) é uma base de N(B) pois é um

conjunto linearmente independente (verificar).

4.51obs Seja V um espaço vectorial tal que dim(V ) = n. Então,

(a) quaisquer m vectores de V com m > n são linearmente depen-

dentes.

(b) C conjunto de geradores de V ⇒ #C > n.

(c) C conjunto de n vectores linearmente independentes de V ⇒ C

conjunto gerador.

(d) C conjunto de n vectores geradores de V ⇒ os vectores são line-

armente independentes.

(e) C conjunto de geradores de V constituído por vectores linear-

mente independentes ⇒ #C = n.

4.2 Exercıcios sobre Espacos Vectoriais 119

4.2 Exercıcios sobre Espacos Vectoriais

4.1exe Mostre que o conjunto R+ com as operações

⊕ : R+ × R

+ −→ R+

(x, y) 7−→ x⊕ y = xy,

⊙ : R× R+ −→ R

+

(α, x) 7−→ α⊙ x = xα

é um espaço vectorial real.

4.2exe Mostre que o conjunto R com as operações

⊕ : R× R −→ R

(x, y) 7−→ x⊕ y = x + y + 1,

⊙ : R× R −→ R

(α, x) 7−→ α⊙ x =αx + α + x− 1

2

é um espaço vectorial real.

4.3exe Mostre que os seguintes conjuntos com as operações indicadas não são

espaços vectoriais reais, identificando as propriedades da definição de

espaço vectorial que não são verificadas:

(a) R2, (a, b) ⊕ (c, d) = (a, b) e α⊙ (a, b) = (αa, αb).

(b) R2, (x1, x2) ⊕ (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) e α ⊙ (x1, x2) =

(α2x1, α2x2).

(c) R3, (x1, x2, x3)⊕(y1, y2, y3) = (x1+y1, 0, x2+y2) e α⊙(x1, x2, x3) =

(αx1, αx2, αx3).


4.4exe Mostre que o conjunto R+ com as operações

⊕ : R+ × R

+ −→ R+

(x, y) 7−→ x⊕ y = xy ,

⊙ : R× R+ −→ R

+

(α, x) 7−→ α⊙ x = xα

não é um espaço vectorial real, identificando as propriedades da definição

de espaço vectorial que não são verificadas.

4.5exe Averigue se os seguintes conjuntos são subespaços de R3:

(a) S1 = (x, y, z) ∈ R3 : x = y.

(b) S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x = y + 2.

4.6exe Escreva, se possível, o vector v = (3, 3) ∈ R2 como combinação linear

dos seguintes vectores de R2, e interprete geometricamente os resulta-

dos obtidos:

(a) v1 = (1, 1).

(b) v1 = (1, 2).

(c) v1 = (1, 2), v2 = (4, 2).

(d) v1 = (1, 1), v2 = (2, 2).

(e) v1 = (1,−1), v2 = (−1, 1).

(f) v1 = (1,−1), v2 = (0, 1), v3 = (2, 0).

4.7exe Sejam u = (1, 2,−4), v = (2, 5,−6), w = (1,−1,−10), r = (1, 0, α) ∈R

3.

(a) Escreva o vector w como combinação linear de u e v.


(b) Indique para que valores de α ∈ R o vector r é uma combinação

linear de u e v.

4.8exe Escreva u = 5t2 − 8t + 6 como combinação linear de v = t2 − t e

w = 2t2 − 4.

4.9exe Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores são conjuntos ger-

adores do espaço vectorial R2.

(a) A = (1, 0), (0, 1).

(b) B = (1, 2), (−1, 0).

(c) C = (1, 0), (0, 1), (1, 3).

(d) D = (1, 2).

(e) E = (1, 2), (2, 4), (−1,−2).

(f) F = (1,−1), (−2, 2).

4.10exe Seja X = (1, 0, α), (α, β, β), (1, 0, 0), (0, 0, 1) ⊂ R3. Indique para que

valores de α e β o conjunto X é um conjunto gerador de R3.

4.11exe Verifique se os seguintes conjuntos são linearmente independentes:

(a) (3, 1), (4, 2) em R2.

(b) (3, 1), (4,−2), (7, 2) em R2.

(c) (0,−3, 1), (2, 4, 1), (−2, 8, 5) em R3.

(d) (−1, 2, 0, 2), (5, 0, 1, 1), (8,−6, 1,−5) em R4.

4.12exe Indique para que valores do parâmetro real α, os vectores a = (1,−2)

e b = (α,−1) de R2 são linearmente independentes.


4.13exe Considere no espaço vectorial real R3 os vectores v1 = (α1, β1, 1) e

v2 = (α2, β2, 0) em que α1, α2, β1, β2 ∈ R são constantes reais. Indique,

em função de α1, α2, β1 e β2 uma condição necessária e suficiente para

os vectores v1 e v2 serem linearmente independentes.

4.14exe Considere o espaço vectorial real R3 e um seu subespaço S = (x, y, z) ∈

R3|x = y. Determine dois vectores linearmente independentes u e v

de S e mostre que qualquer vector w ∈ S é uma combinação linear de

u e v.

4.15exe Mostre que o conjunto

1 1

0 0

0 0

,

0 0

1 1

0 0

,

0 0

0 0

1 1

,

1 0

1 0

1 0

,

0 1

0 1

0 1

é linearmente independente.

4.16exe Sejam V um espaço vectorial e v1, v2, v3 um conjunto de vectores de

V linearmente independente. Então, mostre que os seguintes conjuntos

também são linearmente independentes:

(a) v1, v1 + v2.

(b) 2v1, v1 + v2,−v1 + v3.

(c) v1 + v2, v1 + v3, v2 + v3.

4.17exe Considere no espaço vectorial real R2[x] os vectores u = 1, v = 1 − x

e w = (1 − x)2. Verifique que os vectores u, v e w são linearmente

independentes.

4.18exe Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R2:


(a) A = (1, 1), (3, 0).

(b) B = (1, 1), (0, 2), (2, 3).

(c) C = (1, 1), (0, 8).

(d) D = (1,−2), (−2, 4).

4.19exe Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R3[x]:

(a) A = 1, x, x2, x3.

(b) B = 1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3, x3.

(c) C = 2, x, x2 + x3, x + x2 + x3.

(d) D = 1, 1 + x, x2 + x3.

4.20exe Determine os valores do parâmetro α para os quais o conjunto (α, 6), (1, α)é uma base de R

2.

4.21exe Considere o seguinte subconjunto do espaço vectorial real R4:

V = (x, y, z, w) ∈ R4|x = y − 3z ∧ z = 2w.

(a) Mostre que V é um subespaço vectorial de R4.

(b) Determine uma base e a dimensão de V .

4.22exe Sejam F = (x, y, z) ∈ R3|z = 0 um subconjunto de R

3 e u1 =

(0, 2, 0), u2 = (1, 0, 0) e u3 = (−1, 6, 0) três vectores de R3.

(a) Mostre que F é subespaço vectorial de R3.

(b) Verifique que F = 〈u1, u2, u3〉.

(c) O conjunto u1, u2, u3 é uma base de F?

(d) Indique a dimensão de F .


4.23exe Sejam V um espaço vectorial, v1, v2, v3 e v4 vectores de V e v1, v2uma base de V .

(a) A = v1, v2, v3, v4 é um conjunto gerador de V ?

(b) A é constituído por vectores linearmente independentes?

(c) B = v1 é um conjunto gerador de V ?

(d) B é constituído por vectores linearmente independentes?

(e) Seja C um subconjunto de V que gera V . Que pode dizer sobre

o número de vectores de C?

(f) Seja D um subconjunto de V constituído por vectores linearmente

independentes. Que pode dizer sobre o número de vectores de D?

(g) Em que condições é que E = v1, v4 é um conjunto gerador de

V ?

4.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Espacos Vectoriais 125

4.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Espacos Vectoriais

4.3sol (a) Propriedades (a), (c), (d) e (f).

(b) Propriedades (f).

(c) Propriedades (c), (d) e (f).

4.4sol (a), (b), (f)

4.5sol (a) Sim.

(b) Não.

4.6sol (a) v = 3v1.

(b) v não é uma combinação linear de v1.

(c) v = v1 + 12v2.

(d) v = αv1 + 3−α2 v2, α ∈ R.

(e) v não é uma combinação linear de v1 e v2.

(f) v = (β − 3)v1 + βv2 + 6−β2 v3, β ∈ R.

4.7sol (a) w = 7u− 3v.

(b) α = −8.

4.8sol u = 8v − 32w.

4.9sol A, B e C.

4.10sol α ∈ R, β ∈ R \ 0.

4.11sol (a) Sim.

(b) Não.

(c) Sim.


(d) Não.

4.12sol α ∈ R \ 12.

4.13sol α1 ∈ R, α2 ∈ R \ 0, β1 ∈ R, β2 ∈ R \ 0.

4.18sol A e C.

4.19sol A.

4.20sol α ∈ R \ −√

6,√

6.

4.21sol (b) Por exemplo, o conjunto (1, 1, 0, 0), (−6, 0, 2, 1) é uma base de

V e dim(V ) = 2.

4.22sol (c) Não.

(d) dim(F ) = 2.

4.23sol (a) Sim.

(b) Não.

(c) Não.

(d) Sim.

(e) #C > 2.

(f) #D 6 2.

(g) E é um conjunto gerador de V sse v1 e v4 forem vectores linear-

mente independentes.

Capıtulo 5

Transformacoes Lineares

5.1 Apontamentos sobre Transformacoes Lineares

5.1obs Na definição que se segue revê-se o conceito de função, estudando-se

neste capítulo um seu caso particular — as transformações lineares.

5.2def Jfunção, imagem de um elemento por meio de uma funçãoK Sejam A e

B conjuntos e x ∈ A. Diz-se que f é uma função de A em B se associa

a cada elemento de A um e só um elemento de B, representando-se por

f(x) a imagem de x por f .

5.3def Sejam V e V ′ espaços vectoriais reais e T uma função de V em V ′.

(a) Jtransformação linear ou homomorfismoK Diz-se que T é uma

transformação linear ou um homomorfismo se se verificar as seguintes

propriedades:

i. ∀x, y ∈ V : T (x + y) = T (x) + T (y).

ii. ∀x ∈ V,∀α ∈ R : T (αx) = αT (x).

127

128 5 Transformacoes Lineares

(b) JL(V, V ′)K Representa-se por L(V, V ′) o conjunto de todas as

transformações lineares de V em V ′.

5.4exe Seja T : R −→ R3, T (x1, x2) = (x2, 0, x1 + x2). Mostre que T é uma

transformação linear.

res Propriedade (i)

Definição geral:

∀x, y ∈ V : T (x + y) = T (x) + T (y).

Exemplo presente:

∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : T (x + y) = T (x) + T (y).

T (x + y) = T ((x1, x2) + (y1, y2))

= T (x1 + y1, x2 + y2)

= (x2 + y2, 0, x1 + y1 + x2 + y2). (i.1)

T (x) + T (y) = T (x1, x2) + T (y1, y2)

= (x2, 0, x1 + x2) + (y2, 0, y1 + y2)

= (x2 + y2, 0, x1 + y1 + x2 + y2). (i.2)

Como as expressões (i.1) e (i.2) são iguais, conclui-se que a propriedade

(i) é válida.

5.1 Apontamentos sobre Transformacoes Lineares 129

Propriedade (ii)

Definição geral:

∀x ∈ V,∀α ∈ R : T (αx) = αT (x).

Exemplo presente:

∀x = (x1, x2) ∈ R2,∀α ∈ R : T (αx) = αT (x).

T (αx) = T (α(x1, x2))

= T (αx1, αx2)

= (αx2, 0, αx1 + αx2). (ii.1)

αT (x) = αT (x1, x2)

= α(x2, 0, x1 + x2)

= (αx2, 0, αx1 + αx2). (ii.2)

Como as expressões (ii.1) e (ii.2) são iguais, conclui-se que a proprie-

dade (ii) é válida.

Como as expressões (i) e (ii) são válidas, conclui-se que T é uma trans-

formação linear.

5.5exe Seja T : R1[x] −→ R, T (ax + b) =∫ 10 (ax + b)dx. Mostre que T é uma


res Exercício.


5.6exe Seja g : R2 −→ R2, g(a, b) = (a2, 0). Mostre que g não é uma trans-

formação linear.

res Exercício.

5.7def JendomorfismoK Seja V um espaço vectorial. Chama-se endomorfimo

de V a uma transformação linear de V em V .

5.8exe Indique quais das seguintes aplicações lineares são endomorfismos:

(a) T1 : R2 −→ R3, T1(x1, x2) = (x2, 0, x1 + x2).

(b) T2 : R2 −→ R2, T2(x1, x2) = (0, 0).

(c) T3 : R1[x] −→ R, T3(ax + b) =∫ 10 (ax + b)dx.

res (a) Não.

(b) Sim.

(c) Não.

5.9teo Sejam V e V ′ espaços vectoriais e T uma função de V em V ′. Então,

T é uma transformação linear se e só se

∀x, y ∈ V,∀α, β ∈ R : T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).

5.10obs O teorema anterior indica um processo alternativo à definição 5.3def

de verificar se uma função é uma transformação linear.

5.11teo Seja T ∈ L(V, V ′). Então, tem-se:

(a) T (0V ) = 0V ′ .

(b) ∀x ∈ V : T (−x) = −T (x).

(c) ∀x, y ∈ V : T (x− y) = T (x)− T (y).


5.12obs O teorema anterior permite concluir que se T (0V ) 6= 0V ′ ou ∃x ∈ V :

T (−x) 6= −T (x) ou ∃x, y ∈ V : T (x− y) 6= T (x) − T (y), então T não

é uma transformação linear. Note-se, ainda, que há funções em que

T (0V ) = 0V ′ , ∀x ∈ V : T (−x) = −T (x) e ∀x, y ∈ V : T (x − y) =

T (x)− T (y) e que não são transformações lineares.

5.13exe Seja g : R2 −→ R3, g(a, b) = (a, 1, a + 2b). Mostre que g não é uma


res Como g(0R2) = g(0, 0) = (0, 1, 0) 6= (0, 0, 0) = 0R3 , conclui-se que g

não é uma transformação linear.

5.14obs Sejam T ∈ L(V, V ′), C = (v1, . . . , vn) uma base ordenada de V , C ′ =

(v′1, . . . , v′m) uma base ordenada de V ′ e v ∈ V . Então,

∃1α1, . . . , αn ∈ K : v = α1v1 + · · · + αnvn,

∃1a11, . . . , am1 ∈ K : T (v1) = a11v′1 + · · ·+ am1v

′m,

...

∃1a1n, . . . , amn ∈ K : T (vn) = a1nv′1 + · · · + amnv′m.

Tem-se, então, que:

T (v) = T (α1v1 + · · ·+ αnvn)

= α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn)

= α1(a11v′1 + · · ·+ am1v

′m) + · · ·+ αn(a1nv′1 + · · · + amnv′m)

= (α1a11 + · · ·+ αna1n)v′1 + · · ·+ (α1am1 + · · ·+ αnamn)v′m

= β1v′1 + · · ·+ βmv′m,


em que

β1

...

βm

=

a11 · · · a1n

.... . .

...

am1 · · · amn

α1

...

αn

.

5.15def Jmatriz de uma transformação linear entre espaços de dimensão finita,

AT,C,C′ , AT K Sejam T ∈ L(V, V ′), C = (v1, . . . , vn) uma base orde-

nada de V e C ′ = (v′1, . . . , v′m) uma base ordenada de V ′. Chama-se

matriz da transformação linear T relativamente às bases C e C ′, que

se representa por AT,C,C′ , à matriz [aij ] ∈ Mm×n(K) introduzida na

observação anterior.

Se V = Rn, V ′ = Rm e C e C ′ são as respectivas bases canónicas, então

representa-se por AT a matriz da transformação linear T relativamente

às bases C e C ′.

5.16exe Determine a matriz da transformação linear T ∈ L(R3,R2), T (x, y, z) =

(x + 2z, 3x − y), relativamente às bases canónicas de R3 e R2.

res Como

T (1, 0, 0) = (1, 3)

T (0, 1, 0) = (0,−1)

T (0, 0, 1) = (2, 0),

tem-se que

AT =

1 0 2

3 −1 0

.


5.17def Seja T ∈ L(V, V ′).

(a) Jimagem de uma transformação linear, IT K Chama-se imagem de

T , que se representa por IT , a

IT := T (x) ∈ V ′|x ∈ V .

(b) Jnúcleo de uma transformação linear, NT K Chama-se núcleo de

T , que se representa por NT , a

NT := x ∈ V |T (x) = 0V ′.

5.18exe Seja T ∈ L(R3,R2), T (x1, x2, x3) = (x1+x3, x1+2x2−x3). Determine:

(a) IT .

(b) NT .

res (a)

IT = T (x1, x2, x3)|x1, x2, x3 ∈ R

= (x1 + x3, x1 + 2x2 − x3)|x1, x2, x3 ∈ R

= 〈(1, 1), (0, 2), (1,−1)〉.

(b)

NT = (x1, x2, x3) ∈ R3|T (x1, x2, x3) = 0R2

= (x1, x2, x3) ∈ R3|(x1 + x3, x1 + 2x2 − x3) = (0, 0).

Tem-se, então, que resolver o seguinte sistema:

x1 + x3 = 0

x1 + 2x2 − x3 = 0.


Então, como 1 0 1 0

1 2 −1 0

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ↔ ℓ2 − ℓ1

1 0 1 0

0 2 −2 0

,

obtendo-se

x1 + x3 = 0

2x2 − 2x3 = 0⇔

x1 = −a

x2 = a

x3 = a ∈ R.

Assim,

NT = (−a, a, a)|a ∈ R

= 〈(−1, 1, 1)〉.

5.19teo Seja T ∈ L(V, V ′). Então,

(a) IT é um subespaço de V ′.

(b) NT é um subespaço de V .

5.20teo Sejam T ∈ L(V, V ′) e u1, . . . , un um conjunto gerador de V (em

particular, uma base). Então,

(a) T fica definida desde que se conheçam os vectores T (u1), . . . , T (un).

(b) IT = 〈T (u1), . . . , T (un)〉.

5.21exe Resolva de novo 5.18exe (a), atendendo ao teorema anterior.

res Seja e1, e2, e3 a base canónica de R3, i.e., e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0)

e e3 = (0, 0, 1). Então,

IT = 〈T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0, 0, 1)〉

= 〈(1, 1), (0, 2), (1,−1)〉.


5.22exe Seja T ∈ L(R2,R3), tal que T (2, 2) = (0, 1, 1) e NT = 〈(1, 3)〉. Deter-

mine a imagem por T de um elemento genérico do seu domínio.

res Como S = (2, 2), (1, 3) é um conjunto linearmente independente

(verifique!), S é uma base de R2 (pois #S = dim(R2)), pelo que qual-

quer elemento de R2 é uma combinação linear única dos elementos de

S, vindo

(x, y) = α(2, 2) + β(1, 3).

Tem-se, então, que resolver o seguinte sistema:

2α + β = x

2α + 3β = y.

Então, como 2 1 x

2 3 y

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

2 1 x

0 2 y − x

,

obtendo-se

2α + β = x

2β = y − x⇔

α = 3x−y4

β = y−x2 .

Assim,

(x, y) =3x− y

4(2, 2) +

y − x

2(1, 3)

pelo que

T (x, y) = T

(3x− y

4(2, 2) +

y − x

2(1, 3)

)

=3x− y

4T (2, 2) +

y − x

2T (1, 3) por T ser uma transformação linear

=3x− y

4(0, 1, 1) +

y − x

2(0, 0, 0) por NT = 〈(1, 3)〉

= (0,3x− y

4,3x− y

4).


5.23def Seja T ∈ L(V, V ′).

(a) Jcaracterística de uma transformação linear, cT K Chama-se ca-

racterística de T , que se denota por cT , à dimensão do subespaço

IT .

(b) Jnulidade de uma transformação linear, nT K Chama-se nulidade

de T , que se denota por nT , à dimensão do subespaço NT .

5.24teo Seja T ∈ L(V, V ′). Então,

(a) c(AT ) = cT .

(b) Se dim(V ) = n, tem-se que n = cT + nT .

5.25exe Seja T ∈ L(R3,R2), T (x1, x2, x3) = (x1+x3, x1+2x2−x3). Determine:

(a) cT .

(b) uma base de IT .

(c) nT .

(d) uma base de NT .

res (a) Como

T (1, 0, 0) = (1, 1)

T (0, 1, 0) = (0, 2)

T (0, 0, 1) = (1,−1),

tem-se que

AT =

1 0 1

1 2 −1

.


Então, como

AT =

1 0 1

1 2 −1

←−−−−−−−−−→

ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1

1 0 1

0 2 −2

,

tem-se que c(AT ) = 2, pelo que, aplicando 5.24teo (a), vem cT ≡dim(IT ) = 2.

(b) Como cT = dim(IT ) = 2, conclui-se que IT = R2, pelo que, por

exemplo, (1, 0), (0, 1) é uma base de IT .

(c) Aplicando 5.24teo (b), tem-se que dim(R3) = cT + nT , i.e., 3 =

2 + nT , pelo que nT = 1 (este valor é confirmado pelo número de

variáveis livres em NT ).

(d) Como NT = 〈(−1, 1, 1)〉 e nT = 1, tem-se que, por exemplo,

(−1, 1, 1) é uma base de NT .


5.2 Exercıcios sobre Transformacoes Lineares

5.1exe Considere a função T : R2 −→ R3, T (x, y) = (x− y, 0, x). Calcule:

(a) T (2, 1).

(b) T (y, 1).

(c) T (y, x).

(d) T (x + 2y, 2y − x).

5.2exe Indique se as seguintes funções são transformações lineares:

(a) T1 : R2 −→ R2, T1(x, y) = (0,−x).

(b) T2 : R3 −→ R2, T2(x, y, z) = (x + y + 2, z − 3).

(c) T3 : R2 −→ R, T3(x, y) = |x− y|.

(d) T4 : R2 −→ R3, T4(x1, x2) = (x2, 0, x1).

(e) T5 : R2 −→ R2, T5(x1, x2) = (x1 + 1, x2).

(f) T6 :M2×2(R) −→ R, T6(A) = a11.

(g) T7 :M2×2(R) −→ R, T7(A) = (a11)2.

(h) T8 :Mn×n(R) −→ R, T8(A) = det(A).

(i) T9 : R2x −→ R, T9(ax2 + bx + c) = a.

(j) T10 : C1(a, b) −→ C(a, b), T10(f) = f ′.

5.3exe Sejam α, β ∈ R. Determine a relação entre α e β de modo que a

transformação T : R −→ R2, T (x) = (x + α− 2β,−x), seja linear.

5.4exe Determine a imagem, a característica, o núcleo, a nulidade e a matriz

relativamente às bases canónicas das seguintes transformações lineares:

5.2 Exercıcios sobre Transformacoes Lineares 139

(a)

T1 : R2 −→ R

(x, y) 7−→ x + y.

(b)

T2 : R3 −→ R2

(x, y, z) 7−→ (x + y + z, 2x + 2y + 2z).

(c)

T3 : R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→ (x− z, 0, y − 2z).

(d)

T4 : R4 −→ R3

(x, y, z, w) 7−→ (x− y, z − w, x− 3w).

5.5exe Para cada uma das alíneas seguintes, determine a função T sabendo

que é uma transformação linear definida por:

(a) T (1, 0) = (−1, 1, 2) e T (0, 1) = (3, 0, 1).

(b) T (1, 2) = (3,−1, 5) e T (0, 1) = (2, 1,−1).

(c) T (1, 1, 1) = 3, T (0, 1,−2) = 1 e T (0, 0, 1) = −2.

5.6exe Seja T ∈ L(R3,R3), tal que T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) eNT = 〈(1, 1, 1), (0, 1, 1)〉.Determine T (x, y, z) para qualquer (x, y, z) ∈ R3.

5.7exe Seja T :M2×2(R) −→M2×2(R), T (A) =[

(A)11+(A)12 (A)22−(A)22 2(A)11

].

(a) Mostre que T é uma transformação linear.

(b) Determine as dimensões de NT e de IT .


5.8exe Sejam M ∈ Mn×n(R) e T :Mn×n(R) −→Mn×n(R), T (A) = AM −MA.

(a) Mostre que T é uma transformação linear.

(b) Considere M = [ 1 20 3 ]. Determine uma base e a dimensão para o

núcleo de T .

5.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Transformacoes Lineares 141

5.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Transformacoes Lineares

5.1sol (a) T (2, 1) = (1, 0, 2).

(b) T (y, 1) = (y − 1, 0, y).

(c) T (y, x) = (y − x, 0, y).

(d) T (x + 2y, 2y − x) = (2x, 0, x + 2y).

5.2sol (a) Sim.

(b) Não.

(c) Não.

(d) Sim.

(e) Não.

(f) Sim.

(g) Não.

(h) Não.

(i) Sim.

(j) Sim.

5.3sol α = 2β.

5.4sol (a) IT1 = R, cT1 = 1,

NT1 = (x,−x)|x ∈ R = 〈(1,−1)〉, nT1 = 1,

AT1 = [ 1 1 ].

(b) IT2 = (x, 2x)|x ∈ R = 〈(1, 2)〉, cT2 = 1,

NT2 = (−y − z, y, z)|y, z ∈ R = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉, nT2 = 2,

AT2 = [ 1 1 12 2 2 ].


(c) IT3 = (x, 0, z)|x, z ∈ R = 〈(1, 0, 0), (0, 0, 1)〉, cT3 = 2,

NT3 = (z, 2z, z)|z ∈ R = 〈(1, 2, 1)〉, nT3 = 1,

AT3 =[

1 0 −10 0 00 1 −2

].

(d) IT4 = R3, cT4 = 3,

NT4 = (3w, 3w,w,w)|w ∈ R = 〈(3, 3, 1, 1)〉, nT4 = 1,

AT4 =[ 1 −1 0 0

0 0 1 −11 0 0 −3

].

5.5sol (a) T (x, y) = (−x + 3y, x, 2x + y).

(b) T (x, y) = (−x + 2y,−3x + y, 7x− y).

(c) T (x, y, z) = 8x− 3y − 2z.

5.6sol T (x, y, z) = (0, 0, z − y).

5.7sol (b) nT = 1, cT = 3.

5.8sol (b) Por exemplo:[

1 −10 0

], [ 1 0

0 1 ], nT = 2.

Capıtulo 6

Valores e Vectores Proprios

6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Proprios

6.1def Jvector próprio de uma matriz associado a um valor próprioK Seja A ∈Mn×n(R). Diz-se que x ∈ Cn \ 0Cn é um vector próprio da matriz

A associado ao valor próprio λ ∈ C se Ax = λx.

6.2def Jespectro de uma matrizK Seja A ∈ Mn×n(R). Chama-se espectro de

A, que se representa por λ(A), ao conjunto de todos os valores próprios

de A.

6.3def Jsubespaço próprio de um valor próprioK Sejam A ∈ Mn×n(R) e

λ ∈ λ(A). Chama-se subespaço próprio do valor próprio λ, que se

representa por Eλ, ao conjunto

Eλ := x ∈ Cn|Ax = λx.

6.4teo Sejam A ∈Mn×n(R) e λ ∈ λ(A). Então, Eλ é um subespaço de Cn.

143

144 6 Valores e Vectores Proprios

6.5obs (a) Note-se que existem matrizes reais cujos valores próprios são nú-

meros complexos.

(b) Cada vector próprio está associado apenas a um valor próprio.

(c) Se x é um vector próprio associado ao valor próprio λ, então, αx,

α 6= 0, também é um vector próprio associado ao valor próprio λ.

(d) Sejam A ∈Mn×n(R) e λ ∈ λ(A). Então,

Eλ = x ∈ Cn|x é um vector próprio associado

ao valor próprio λ ∪ 0Cn.

(e) Chama-se “subespaço próprio” ao conjunto Eλ devido ao teorema

anterior.

(f) O seguinte teorema indica-nos um processo de calcular λ(A).

6.6teo Seja A ∈Mn×n(R). Então, λ ∈ λ(A) se e só se det(A− λIn) = 0.

6.7def Seja A ∈Mn×n(R).

(a) Jpolinómio característico de uma matrizK Chama-se polinómio

característico da matriz A, que se representa por ΠA(λ), ao polinómio

ΠA(λ) := det(A− λIn).

(b) Jequação característica de uma matrizK Chama-se equação carac-

terística da matriz A à equação ΠA(λ) = 0 .

(c) Jmultiplicidade algébrica de um valor próprioK Seja λ um valor

próprio de A. Chama-se multiplicidade algébrica de λ à multipli-

cidade do escalar λ enquanto raíz da equação característica.

(d) Jvalor próprio simplesK Seja λ um valor próprio de A. Diz-se que

λ é um valor próprio simples se tem multiplicidade algébrica um.

6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Proprios 145

6.8teo Seja A ∈ Mn×n(R). Então, o coeficiente do termo de grau n do

polinómio característico da matriz A é (−1)n e o seu termo indepen-

dente de λ é det(A).

6.9obs Seja A ∈Mn×n(R). Então, ΠA(λ) = (−1)nλn + · · ·+ det(A).

6.10obs Seja A ∈Mn×n(R). Então,

(a) os valores próprios da matriz A são os zeros do seu polinómio

característico.

(b) Se λ é um valor próprio da matriz A, então os vectores próprios

associados a λ são as soluções não-nulas do sistema homogéneo

(A− λIn)x = 0.

(c) Do Teorema Fundamental da Álgebra resulta que ΠA(λ) tem

exactamente n zeros, podendo alguns deles ser iguais. Assim, se-

jam n1, n2, . . . , nm as multiplicidades dos m(6 n) zeros distintos

λ1, λ2, . . . , λm de ΠA(λ). Então,

ΠA(λ) = (−1)n(λ− λ1)n1(λ− λ2)

n2 · · · (λ− λm)nm,

em que n1+n2+· · ·+nm = n. Aos números n1, n2, . . . , nm chama-

se multiplicidade algébrica dos valores próprios λ1, λ2, . . . , λm,

respectivamente.

6.11teo Seja A uma matriz quadrada. Então, A é invertível se e só se 0 /∈ λ(A).


2 1 00 1 −10 2 4

].

(a) Determine o espectro da matriz A.

(b) Determine o espaço próprio associado ao valor próprio de menor

módulo da matriz A.


res (a) Seja

A− λI3 =

2− λ 1 0

0 1− λ −1

0 2 4− λ

.

Então, aplicando o Teorema de Laplace e fazendo o desenvolvi-

mento a partir da primeira coluna, obtém-se

det(A− λI3) = (2− λ)((1− λ)(4 − λ) + 2)

= (2− λ)(λ2 − 5λ + 6)

= (2− λ)2(λ− 3),

pelo que

λ(A) = 2, 3,

sendo que λ1 = 2 é um valor próprio de multiplicidade algébrica

dois e λ2 = 3 é um valor próprio simples.

C.A.: λ2 − 5λ + 6 = 0⇔ λ =5±√

25− 24

2⇔ λ = 2 ∨ λ = 3.

(b) Para determinar o espaço próprio associado ao valor próprio λ1 =

2, tem que se resolver o sistema

(A− 2I3)x1 = 0.

6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Proprios 147

Aplicando o Método de Gauss, vem:

0 1 0 0

0 −1 −1 0

0 2 2 0

←−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 + ℓ1

ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 2 0

←−−−−−−−−−→

ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ2

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 0

pelo que

x11 = a ∈ C

x12 = 0

x13 = 0.

Assim, tem-se:

E2 = (a, 0, 0)|a ∈ C.


6.2 Exercıcios sobre Valores e Vectores Proprios

6.1exe Determine o espectro das seguintes matrizes, bem como os espaços

próprios associados aos seus valores próprios:

A =

1 4

2 3

, B =

1 −1

2 −1

, C =

1 −3 3

3 −5 3

6 −6 4

,

D =

3 0 −1

0 2 0

−1 0 3

, E =

1 2 1

2 0 −2

−1 2 3

, F =

4 0 1

−2 1 0

−2 0 1

.

6.2exe Seja A = [aij] ∈Mn×n(K). Então, define-se o traço da matriz A, que

se representa por tr(A), como sendo tr(A) =∑n

i=1 aii. Considerando,

agora, a matriz B = [bij ] ∈M2×2(K), mostre que

ΠB(λ) = λ2 − tr(B)λ + det(B).

6.3exe Seja T ∈ L(Rn,Rn). Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes

afirmações:

(a) a matriz AT é invertível se e só se CSATx=0 = 0.

(b) A matriz AT é invertível se e só se #CSATx=b = 1, ∀b ∈ Rn.

(c) A matriz AT é invertível se e só se det(AT ) 6= 0.

(d) A matriz AT é invertível se e só se IT = Rn.

(e) A matriz AT é invertível se e só se as colunas da matriz AT são

linearmente independentes.

(f) A matriz AT é invertível se e só se as linhas da matriz AT são

linearmente independentes.

6.2 Exercıcios sobre Valores e Vectores Proprios 149

(g) A matriz AT é invertível se e só se as colunas da matriz AT geram

Rn.

(h) A matriz AT é invertível se e só se as linhas da matriz AT geram

Rn.

(i) A matriz AT é invertível se e só se as colunas da matriz AT formam

uma base de Rn.

(j) A matriz AT é invertível se e só se as linhas da matriz AT formam

uma base de Rn.

(k) A matriz AT é invertível se e só se nT = 0.

(l) A matriz AT é invertível se e só se cT = n.

(m) A matriz AT é invertível se e só se 0 /∈ λ(AT ).


6.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Valores e Vectores Proprios

6.1sol (a) λ(A) = −1, 5.E1 = (−2α,α)|α ∈ C.E5 = (α,α)|α ∈ C.

(b) λ(B) = −i, i.E−i = ( α

1+i , α)|α ∈ C.Ei = ( α

1−i , α)|α ∈ C.

(c) λ(C) = −2, 4, em que o valor próprio λ1 = −2 tem multiplici-

dade algébrica dois.

E−2 = (β − α, β, α)|α, β ∈ C.E4 = (α

2 , α2 , α)|α ∈ C.

(d) λ(D) = 2, 4, em que o valor próprio λ1 = 2 tem multiplicidade

algébrica dois.

E2 = (α, β, α)|α, β ∈ C.E4 = (−α, 0, α)|α ∈ C.

(e) λ(E) = 0, 2, em que o valor próprio λ2 = 2 tem multiplicidade

algébrica dois.

E0 = (α,−α,α)|α ∈ C.E2 = (α, 0, α)|α ∈ C.

(f) λ(F ) = 1, 2, 3.E1 = (−α

3 , β, α)|α, β ∈ C.E2 = (−α

2 , α, α)|α ∈ C.E3 = (−α,α, α)|α ∈ C.

6.3sol Todas as afirmações são verdadeiras.

Apendice A

Alfabeto Grego

Minúscula Maiúscula Nome Equivalente Latino

α A alfa a

β B beta b

γ Γ gama g

δ ∆ delta d

ε E épsilon e

ζ Z zeta z

η H eta e,h

θ Θ teta t

ι I iota i

κ K capa k

λ Λ lambda l

µ M miu m

ν N niu n

ξ Ξ csi cs

o O ómicron o

π Π pi p

ρ P ró r

σ Σ sigma s

τ T tau t

υ Υ ípsilon u,y

ϕ, φ Φ fi f

χ X qui c,x

ψ Ψ psi ps

ω Ω ómega w

151

Indice Remissivo

A←→ B, 22

base, 112

base ordenada, 112

C(a, b), 80

C∞(a, b), 80

Ck(a, b), 80

cT , 136

característica de uma matriz, 58

característica de uma transformação

linear, 136

co-factor de um elemento de uma ma-

triz, 43

coluna de uma matriz, 3

coluna nula, 20

coluna pivô, 20

combinação linear, 104, 116

complemento algébrico de um elemento

de uma matriz, 43

conjunto gerador, 108

conjunto linearmente independente, 110

conjunto solução, 55

coordenadas de um vector numa base

ordenada, 112

dim(V ), 114

determinante de uma matriz, 38

diagonal de uma matriz, 6

diagonal principal, 6

diagonal secundária de uma matriz,

6

dimensão de um espaço vectorial, 114

elemento de uma matriz, 3

endomorfismo, 130

152

INDICE REMISSIVO 153

equação característica de uma matriz,

144

escalar, 2, 78

espaço gerado, 107

espaço vectorial, 78

espaço vectorial complexo, 79

espaço vectorial de dimensão finita,

114

espaço vectorial real, 78

espectro de uma matriz, 143

fe(A), 24

fer(A), 24

função, 127

homomorfismo, 127

imagem de um elemento por meio de

uma função, 127

imagem de uma transformação lin-

ear, 133

Mm×n(K), 79

Kn, 79

Kn[x], 80

L(S), 107

L(V, V ′), 127, 128

linha de uma matriz, 3

linha nula, 20

Mm×n(C), 2

Mm×n(K), 2

Mm×n(R), 2

matriz, 2

matriz adjunta, 49

matriz ampliada, 55

matriz aumentada, 55

matriz coluna, 4

matriz complementar de um elemento

de uma matriz, 37

matriz complexa, 2

matriz conjugada, 18

matriz de uma transformação linear

entre espaços de dimensão finita,

132

matriz diagonal, 6

matriz dos coeficientes, 55

matriz elementar, 28

matriz em escada, 21

matriz em escada reduzida, 21

matriz escalar, 6

matriz hermítica, 19

matriz identidade, 7

matriz inversa, 14

matriz invertível, 14

154 INDICE REMISSIVO

matriz linha, 4

matriz não-invertível, 14

matriz não-singular, 14

matriz nula, 7

matriz ortogonal, 18

matriz quadrada, 5

matriz real, 2

matriz rectangular, 5

matriz simétrica, 17

matriz singular, 14

matriz transconjugada, 18

matriz transposta, 16

matriz triangular inferior, 6

matriz triangular superior, 6

matriz unitária, 19

matrizes comutáveis, 13

matrizes equivalentes, 22

matrizes iguais, 7

multiplicação de matrizes, 10

multiplicação de um escalar por um

vector, 78

multiplicidade algébrica de um valor

próprio, 144

IT , 133

NT , 133

nT , 136

núcleo de uma transformação linear,

133

nulidade de uma transformação lin-

ear, 136

operação elementar do tipo I nas lin-

has de uma matriz, 22

operação elementar do tipo II nas lin-

has de uma matriz, 22

operação elementar do tipo III nas

linhas de uma matriz, 22

ordem de uma matriz, 5

pivô, 20

polinómio característico de uma ma-

triz, 144

potência cartesiana de um conjunto,

1

potência de uma matriz, 13

produto cartesiano de dois conjuntos,

1

produto cartesiano de um número finito

de conjuntos, 1

produto de matrizes, 10

produto de uma matriz por um es-

calar, 8

sistema de equações lineares, 55

INDICE REMISSIVO 155

sistema de equações não lineares, 56

sistema homogéneo, 57

sistema homogéneo associado, 57

sistema impossível, 58

sistema possível, 57

soma de matrizes, 8

soma de vectores, 78

subespaço, 100

subespaço próprio de um valor próprio,

143

tipo de uma matriz, 2

transformação linear, 127

valor próprio simples, 144

variável livre, 58

variável pivô, 58

vector, 78

vector das incógnitas, 55

vector dos termos independentes, 55

vector próprio de uma matriz associ-

ado a um valor próprio, 143

vectores linearmente dependentes, 110

vectores linearmente independentes,

110

〈x1, . . . , xn〉, 107

sebenta algebra

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