1a SÉRIE ENSINO MÉDIOCaderno do ProfessorVolume 1

MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO PROFESSOR

MATEMÁTICAENSINO MÉDIO

1a SÉRIEVOLUME 1

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Senhoras e senhores docentes,

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-

radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que

permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula

de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com

os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-

dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação

— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste

programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização

dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações

de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca

por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso

do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.

Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-

tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São

Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades

ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,

dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade

da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas

aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam

a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-

ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a

diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.

Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu

trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar

e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.

Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.

Bom trabalho!

Herman VoorwaldSecretário da Educação do Estado de São Paulo

SUMÁRIO

Orientação geral sobre os Cadernos 5

Situações de Aprendizagem 9

Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos; regularidades numéricas e geométricas 9

Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas 21

Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finitas e aplicações à Matemática Financeira 34

Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 48

Situação de Aprendizagem 5 – Funções como relações de interdependência: múltiplos exemplos 55

Situação de Aprendizagem 6 – Funções polinomiais de 1o grau: significado, gráficos, crescimento, decrescimento e taxas 65

Situação de Aprendizagem 7 – Funções polinomiais de 2o grau: significado, gráficos, interseções com os eixos, vértices e sinais 74

Situação de Aprendizagem 8 – Problemas envolvendo funções de 2o grau em múltiplos contextos; problemas de máximos e mínimos 96

Orientações para Recuperação 103

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 105

Considerações finais 106

Quadro de conteúdos do Ensino Médio 108

5

Matemática – 1ª série – Volume 1

Insistimos, no entanto, no fato de que so-

mente o professor, em sua circunstância parti-

cular, e levando em consideração seu interesse

e o dos alunos pelos temas apresentados, pode

determinar adequadamente quanto tempo de-

dicar a cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos são apresentadas,

além de uma visão panorâmica do conteúdo

do volume, oito Situações de Aprendizagem,

que pretendem ilustrar a abordagem sugeri-

da, orientando a ação do professor em sala

de aula. As atividades são independentes e

podem ser exploradas pelos professores com

maior ou menor intensidade, segundo seu in-

teresse e de sua turma. Naturalmente, em ra-

zão das limitações no espaço dos Cadernos,

nem todas as unidades foram contempladas

com Situações de Aprendizagem, mas a ex-

pectativa é de que a abordagem dos temas seja

explicitada nas atividades oferecidas.

São apresentados, também, em cada Ca-

derno, sempre que possível, materiais disponí-

veis (textos, softwares, sites e vídeos, entre ou-

tros) em sintonia com a abordagem proposta,

que podem ser utilizados pelo professor para

o enriquecimento de suas aulas.

Compõem o Caderno, ainda, algumas con-

siderações sobre a avaliação a ser realizada,

bem como o conteúdo considerado indispen-

sável ao desenvolvimento das competências

enunciadas no presente volume.

Os temas escolhidos para compor o con-

teúdo disciplinar de cada volume não se afas-

tam, de maneira geral, do que é usualmente

ensinado nas escolas ou do que é apresentado

pelos livros didáticos. As inovações preten-

didas referem-se à abordagem dos assuntos,

sugerida ao longo dos Cadernos. Em tal abor-

dagem, busca-se evidenciar os princípios nor-

teadores do presente currículo, destacando-se

a contextualização dos conteúdos e as compe-

tências pessoais envolvidas, especialmente as

relacionadas com a leitura e a escrita matemá-

tica, bem como os elementos culturais inter-

nos e externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos es-

tão organizados em 16 unidades de extensões

aproximadamente iguais. De acordo com o

número de aulas disponíveis por semana, o

professor explorará cada assunto com mais

ou menos aprofundamento, ou seja, escolhe-

rá uma escala adequada para o tratamento

de cada um deles. A critério do professor, em

cada situação específica, o tema correspon-

dente a uma das unidades pode ser estendido

para mais de uma semana, enquanto o de ou-

tra unidade pode ser tratado de modo mais

simplificado.

É desejável que o professor tente contem-

plar todas as 16 unidades, uma vez que, jun-

tas, compõem um panorama do conteúdo do

volume, e, muitas vezes, uma das unidades

contribui para a compreensão das outras.

ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS

6

Conteúdos básicos do volume

A abordagem dos conceitos deste volume,

relativos ao bloco Números e sequências, prio-

rizará aspectos considerados fundamentais

para a compreensão de alguns dos diferentes

significados dos conceitos envolvidos.

O primeiro aspecto que pretendemos res-

saltar é o reconhecimento da regularidade en-

volvida na construção de sequências numéri-

cas ou de sequências geométricas. Para tanto,

propomos que o início do trabalho se dê com

a retomada das características dos conjuntos

numéricos, a fim de que os alunos percebam,

por um lado, a regularidade do conjunto dos

números naturais e dos números inteiros e, por

outro, a questão da densidade dos números

reais. Partindo do conhecimento desses con-

juntos, esperamos que os alunos possam re-

lacionar a regularidade dos números naturais

à de outras sequências numéricas e também

geométricas, identificando essa regularidade,

sempre que possível, por intermédio de uma

expressão matemática. Assim, apresentamos,

na Situação de Aprendizagem 1, uma série de

situações-problema exemplares, para que o

professor possa optar pela utilização total ou

parcial no início de seu trabalho.

Partindo do princípio de que os alunos de-

vem reconhecer a regularidade de sequências

numéricas de qualquer natureza e escrever

expressões matemáticas que reflitam a re-

gularidade observada, julgamos importante

que não sejam tratadas de maneiras comple-

tamente distintas as sequências aritméticas e

as sequências geométricas, como se costuma

observar nos livros didáticos. Essa proposta de

abordagem simultânea dos dois tipos mais co-

muns de sequências, as progressões aritméticas

(PAs) e as progressões geométricas (PGs), está

contemplada na Situação de Aprendizagem 2

e permite, a nosso ver, que o foco do tratamen-

to conceitual se desloque do formalismo algé-

brico para a construção do significado real e

importante das características da regularidade

de cada sequência.

PAs e PGs estão presentes em várias situa-

ções contextualizadas, conforme alguns mo-

delos apresentados na Situação de Aprendi-

zagem 2, e não costumam trazer dificuldades

adicionais de compreensão para os alunos.

Dentre as inúmeras aplicações desse conteú-

do, destacamos especialmente uma, na Situa-

ção de Aprendizagem 3, quando propomos

que problemas clássicos de cálculos de juros

e de montantes envolvidos em processos de

capitalização ou amortização componham o

contexto possível para o tratamento da soma

de um número finito de termos de uma PA ou

de uma PG. Para o desenvolvimento das ativi-

dades que compõem essa Situação de Apren-

dizagem, conforme justificaremos adiante,

julgamos fundamental que os alunos possam

dispor de calculadoras.

O conceito de infinito, de suma importância

em Matemática, costuma ser bastante moti-

vador para o estudo de alguns conceitos, des-

de as séries iniciais, quando os alunos tomam

contato com a ideia do “mais 1”, que conduz

à construção do campo numérico dos natu-

7

Matemática – 1ª série – Volume 1

rais. A ideia da quantidade infinita de números

existente entre dois números reais, como 1 e 2,

por exemplo, é algo que parece inicialmente es-

tranho para nossos alunos, mas pode, pouco a

pouco, firmar-se como um conceito fundamen-

tal da Matemática, dependendo das diferentes

abordagens que destinamos ao conceito duran-

te toda a escolaridade. Nessa perspectiva, isto

é, com o objetivo de que os estudantes constru-

am, gradual e lentamente, o conceito de limite

de uma função, não devemos perder oportuni-

dades que surjam durante nossas aulas para, de

maneira apropriada, abordar a ideia de limite.

É nesse contexto que propomos a realização

da sequência de atividades que compõem a Si-

tuação de Aprendizagem 4, durante a qual o

foco estará sempre colocado sobre o conceito

de limite, em detrimento de dificuldades de

natureza algébrica.

Além dos conteúdos citados, este Cader-

no também faz uma retomada da noção de

função, que traduz uma relação de interde-

pendência entre duas grandezas, explorando-

-se especialmente as funções de 1o grau e de

2o grau, bem como suas aplicações em dife-

rentes contextos. Tais assuntos já foram apre-

sentados aos alunos em séries/anos anteriores.

Na 6a série/7o ano do Ensino Fundamental,

foram exploradas situações envolvendo a pro-

porcionalidade direta e inversa entre grande-

zas, e que conduzem a relações do tipo y = kx,

ou, então, y = kx , onde k é uma constante não

nula. Na 8a série/9o ano, foram estudadas as

funções y = ax + b e y = ax2 + bx + c, com

a ≠ 0, além da representação destas em gráficos.

Agora, o estudo dessas funções será apre-

sentado de modo mais sistematizado. Tudo será

feito, no entanto, de tal forma que, mesmo se

o professor estiver tratando desse assunto pela

primeira vez, o aluno provavelmente não terá

grandes dificuldades em acompanhar as ativi-

dades propostas. Como já foi dito anteriormen-

te, as funções referidas são capazes de traduzir

matematicamente todos os processos que envol-

vem relações de proporcionalidade direta (gráfi-

cos lineares), ou relações em que uma grandeza

é proporcional ao quadrado de outra (gráficos

com a forma de uma parábola). Muitos exercí-

cios envolvendo situações concretas em que a

consideração das grandezas envolvidas conduz

a uma função de 1o grau ou de 2o grau serão

contemplados, com especial destaque para pro-

blemas de otimização, ou seja, problemas que

envolvem a obtenção do máximo ou do mínimo

de uma função, em determinado contexto.

De modo geral, os conteúdos estudados

neste Caderno são meios para o desenvolvi-

mento de importantes competências básicas:

o recurso à linguagem das funções para

representar interdependências conduz a

um aumento na capacidade de expressão,

favorecendo a construção de um discurso

mais eficaz para enfrentar problemas em

diferentes contextos;

a capacidade de compreensão de uma

variada gama de fenômenos é ampliada,

uma vez que muitas situações de interde-

pendência estão naturalmente associadas

a modelagens que conduzem a explicações

dos referidos fenômenos;

8

o reconhecimento das funções envolvidas

em um fenômeno possibilita a sistematiza-

ção de propostas de intervenção consciente

sobre a realidade representada.

Na Situação de Aprendizagem 5, reapre-

sentaremos a ideia de função por meio de

múltiplos exemplos de situações de interde-

pendência entre grandezas.

Na Situação de Aprendizagem 6, destacare-

mos as funções de 1o grau, com suas qualidades

características.

Na Situação de Aprendizagem 7, serão sis-

tematizados os fatos fundamentais relativos às

funções de 2o grau (gráficos, simetria, interse-

ção com os eixos, coordenadas do vértice, estu-

do dos sinais).

E, por fim, na Situação de Aprendiza-

gem 8, serão apresentados diversos pro-

blemas envolvendo funções de 2o grau, in-

cluindo situações de otimização (máximos

e mínimos).

Para a organização dos trabalhos, dividi-

mos o conteúdo em 16 unidades, mais ou me-

nos correspondentes às oito semanas de aulas.

Sugerimos a seguinte estruturação:

Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 1a série do Ensino Médio

Unidade 1 – Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade.

Unidade 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.

Unidade 3 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.

Unidade 4 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita.

Unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática

Financeira.

Unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática

Financeira.

Unidade 7 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.

Unidade 8 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.

Unidade 9 – Funções como relações de interdependência.

Unidade 10 – Funções de 1o grau – significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas.

Unidades 11, 12, 13 – Funções de 2o grau – significado, gráficos, interseções com os eixos,

vértice, sinais.

Unidades 14, 15 e 16 – Problemas envolvendo funções de 2o grau – problemas de máximos

e mínimos.

9

Matemática – 1ª série – Volume 1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1CONJUNTOS NUMÉRICOS; REGULARIDADES NUMÉRICAS

E GEOMÉTRICAS

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

Na 1a série do Ensino Médio, é bem pro-

vável que os alunos conheçam os conjuntos

numéricos – Naturais, Inteiros, Racionais e

Reais – e, também, que estejam familiarizados

com a ideia preliminar da relação entre dois

subconjuntos desses conjuntos, conhecimento

este que é a base do conceito de função. Se a

premissa é verdadeira, cabe ao professor rever

com os alunos algumas características desses

conjuntos, com o objetivo de construir a base

para a apresentação, posterior, das leis de for-

mação das sequências numéricas. Caso a pre-

missa não seja verdadeira, isto é, se os alunos

não conhecem satisfatoriamente os conjuntos

numéricos, convém que o professor lhes apre-

sente formalmente cada conjunto (IN, , Q

e IR) antes de iniciar a aplicação da Etapa 1,

descrita mais adiante.

Conhecidos os conjuntos numéricos, os

alunos poderão reconhecer que, na maioria

das vezes, uma sequência ordenada de nú-

meros pode ser identificada por intermédio

de uma sentença matemática que relaciona

um número natural a um número real. Essa

ideia é fundamental para o estudo das rela-

ções de dependência entre um par de gran-

dezas, ou, em outros termos, para o estudo

das funções.

Nesta Situação de Aprendizagem, explo-

raremos, inicialmente, na Etapa 1, a cons-

trução dos conjuntos numéricos e algumas

de suas propriedades. Em seguida, apre-

sentaremos algumas sequências que possi-

bilitarão a identificação de determinados

padrões de regularidades e pediremos que

os alunos descrevam, em língua materna, a

regularidade que identificam. Isso feito, o

próximo passo será pedir que os alunos en-

SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequên-cias numéricas.

Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral; obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente; reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas.

Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.

10

contrem termos sucessivos dessas sequên-

cias, caso elas mantenham a regularidade

observada. Completando a primeira etapa,

os alunos serão convidados a exprimir a

regularidade observada por intermédio de

uma sentença matemática.

Realizada a etapa inicial, proporemos, na

Etapa 2, apresentada mais adiante, que os alunos

obtenham sequências numéricas a partir de con-

dições dadas em língua materna ou em lingua-

gem matemática e, ainda, que obtenham termos

determinados de algumas dessas sequências.

Etapa 1 – Observando padrões e regularidades

Inicialmente, recomendamos que o profes-

sor liste o conjunto dos números naturais e dos

números inteiros para, em seguida, pedir que

os alunos identifiquem alguns subconjuntos

descritos por informações comunicadas em

língua materna, como nos exemplos a seguir:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

= { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Com base nos elementos do conjunto nu-

mérico, alguns números deverão ser deter-

minados:

números naturais menores do que 7;

números naturais maiores ou iguais a 8;

números inteiros menores do que 7 e maio-

res do que –2;

números inteiros cujo valor absoluto é me-

nor do que 4.

Em seguida, após a exposição desses e

de outros exemplos que o professor julgar

apropriados, poderá ser pedido que os alu-

nos transcrevam as informações comunica-

das em língua materna para a linguagem

matemática. No caso dos exemplos ante-

riores, teríamos:

{x IN | x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

{x IN | x 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.

{x | – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

{x | |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.

Observando padrões e regularidades

Você já reparou que as pessoas, em muitos momentos do dia, estão diante de situações

que envolvem uma sequência de números? O torcedor procura, em uma tabela no cader-

no de esportes do jornal, a posição de seu time no campeonato nacional. Para localizar

uma determinada residência em uma rua, o carteiro observa certa regra na numeração

das casas: de um lado, estão dispostas as casas de numeração par em sequência crescente

ou decrescente, e, do outro lado, as de numeração ímpar. Em um edifício, a numeração

dos apartamentos indica também o andar em que eles se localizam. No hospital, a enfer-

11

Matemática – 1ª série – Volume 1

Discutidos alguns casos, como exemplifi-

cado, recomendamos que os alunos se envol-

vam na resolução dos seguintes problemas:

1. Dados os conjuntos a seguir,

descritos em linguagem coti-

diana, encontre, em cada caso,

seus elementos e traduza a descrição dada

para a linguagem matemática.

a) O conjunto A é formado por números

naturais maiores do que 4 e menores ou

iguais a 11.

{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

{x IN | 4< x ≤ 11}

b) O conjunto B é formado por números

naturais menores ou iguais a 6.

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

{x IN | x ≤ 6}

c) O conjunto C é formado por números

inteiros maiores ou iguais a –3 e meno-

res do que 5.

{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.

{ x | -3 ≤ x <5}

d) O conjunto D é formado por números

inteiros maiores ou iguais a –2.

{−2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.

{ x | x ≤ - 2}

2. Quais são os cinco menores números que per-

tencem a cada um dos seguintes conjuntos?

a) E é o conjunto dos cinco menores nú-

meros naturais que são divisíveis por 4.

{0, 4, 8, 12, 16}.

b) F é o conjunto dos cinco menores núme-

ros naturais ímpares maiores do que 7.

{9, 11, 13, 15, 17}.

meira é orientada sobre a sequência de horários em que deve administrar certo medica-

mento ao paciente.

O ser humano também observa vários movimentos naturais que seguem uma determinada

sequência, formando, assim, certo padrão: os períodos do dia, as estações do ano, as fases da

Lua e o período de aparecimento de um cometa são alguns desses movimentos.

Desde a Antiguidade, grande parte do trabalho dos matemáticos e cientistas tem sido observar

e registrar fenômenos que ocorrem segundo um padrão. O encontro de um padrão ou de uma

regularidade será uma das possibilidades de compreensão, previsão e controle desses fenômenos.

Para abordar esse assunto, este Caderno explora, inicialmente, as sequências numéricas

que podemos construir a partir dos conjuntos numéricos que conhecemos: os naturais, os

inteiros, os racionais e os reais.

12

c) G é o conjunto dos cinco menores nú-

meros inteiros que, elevados ao qua-

drado, resultam em um número menor

do que 10.

{ −3, −2, −1, 0, 1}.

d) H é o conjunto dos cinco menores nú-

meros naturais que, quando dobrados

e somados a 1, resultam em um núme-

ro maior do que 7.

{4, 5, 6, 7, 8}.

3. Descreva, em linguagem matemática, os

conjuntos E, F, G e H, apresentados na ati-

vidade anterior.

E = {4n, sendo n IN, e n < 5}.

F = {2n + 1, sendo n IN, e 4 n 8}.

G = {x | −4 < x < 2}.

H = {2n + 1 > 7, sendo n IN, e n < 9}.

A resolução e a discussão desses pro-

blemas iniciais permitirão, ao nosso ver,

introduzir a notação apropriada para a

designação de termos de uma sequência

numérica. Todavia, antes que isso seja im-

plementado (o que será feito na Etapa 2), consideramos importante que os alunos se

detenham um pouco mais na identificação

das regularidades de algumas sequências.

4. A seguir, são apresentadas três sequências

numéricas infinitas. Observando cada uma

delas, responda:

a) Qual é o 100o termo nesta sequência: 1,

1, 1, 1, 1, ...?

1

b) Qual é o 120o termo nesta sequência:

1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2,

1, 1, …?

2 (posição múltipla de 3)

c) Qual é o 25o termo nesta sequência:

5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3,

5, 4, …?

3 (posição múltipla de 5)

É importante que o professor auxilie

os alunos na observação de que, nessas

sequên cias, os motivos (períodos) são re-

petidos igualmente, ou seja, um elemento

ou um grupo de elementos se repete perio-

dicamente, levando-os a perceber que essa

característica deve ser levada em conta, na

organização dos dados, para a identifica-

ção do termo solicitado.

A sequência dos números naturais é cons-

truída, como sabemos, pelo acréscimo de

uma unidade a um termo já conhecido. A

fim de proporcionar aos alunos a oportuni-

dade de observar regularidades e perceber

que, muitas vezes, é possível construir uma

“receita” ou uma sentença que indique como

a sequência deve continuar, o professor pode

apresentar tipos diferentes de sequências

para que os alunos observem as proprieda-

des de seus elementos e descubram a lei de

formação, ou seja, o padrão utilizado para a

construção da sequência. Oriente-os a cons-

truir uma sentença algébrica que permita

calcular um termo qualquer, em função de

sua posição na sequência (sequências, sob o

ponto de vista funcional).

13

Matemática – 1ª série – Volume 1

5. A seguir, é apresentada uma sequência na

forma figurativa. Descreva, em palavras, o

padrão de regularidade desta sequência e

indique qual deve ser a figura que ocupa a

152a posição.

1 2 3 4

5 6 7 8

As sequências figurais também podem en-

riquecer o trabalho com a observação de regu-

laridades e generalização de padrões. No caso

da sequência em questão, o professor pode

estimular os alunos a perceber que a sétima

figura é igual à primeira, que a oitava figura é

igual à segunda, e assim por diante. Ou seja,

cada período é formado por seis figuras; por-

tanto, a 152a figura será igual à segunda, pois

tanto o número 2 (que indica a posição da se-

gunda figura) quanto o número 152 (que indi-

ca a posição da 152a figura), quando divididos

por 6, deixam resto 2.

Assim, o professor poderá auxiliar os

alunos na conclusão de que as Figuras 1, 7,

13, 19 etc. são todas iguais à primeira figu-

ra, pois os números 1, 7, 13, 19 etc., quando

divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo

modo, as Figuras 3, 9, 15, 21 etc. são todas

iguais à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21

etc., quando divididos por 6, deixam resto 3,

e assim sucessivamente.

A exploração de sequências repetitivas,

numéricas ou não, favorece a discussão sobre

algumas noções trabalhadas nas séries anterio-

res, como múltiplos, divisores e regras de divisi-

bilidade, e permite uma aproximação da noção

de congruência, uma vez que trabalha com nú-

meros que, divididos por um determinado nú-

mero inteiro, apresentam o mesmo resto.

Realizada a discussão do exemplo propos-

to e de outros que o professor julgar apro-

priados, propomos que os alunos resolvam os

seguintes problemas.

6. Observe a sequência de figuras:

1 2 3 4 5 6 7...

Supondo que a lei de formação continue a

mesma, desenhe as figuras que deverão ocu-

par as posições 38a e 149a nessa sequência.

Justifique sua resposta.

A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posi-

ção 2, pois a divisão de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa

a posição 149 será a mesma da posição 1, visto que a divisão

de 149 por 4 deixa resto 1.

7. Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,

3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que a lei de

formação dessa sequência permaneça, deter-

mine o 38o e o 149o termos.

O período é de cinco números. Assim, o 38o termo é 2, pois

a divisão de 38 por 5 deixa resto 3, e o terceiro termo da

sequência é o número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a

divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto termo da se-

quência é o número 3.

14

8. Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dí-

vida daqui a exatamente 90 dias. Em que

dia da semana cairá o 90o dia?

O período é de sete dias. A divisão de 90 por 7 deixa res-

to 6; portanto o 90o dia será o sexto elemento da sequên-

cia dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o

90o dia será terça-feira.

9. Um processo de reflorestamento previa a

plantação de certo número x de mudas de

árvores. No primeiro dia, foram planta-

das 120 árvores, e planejou-se que, nos

dias seguintes, seriam plantadas, por dia,

dez árvores a mais do que no dia anterior.

Sendo assim:

a) quantas árvores serão plantadas no séti-

mo dia?

6 10 + 120 = 180 árvores.

b) qual é o número x, se, no final do dé-

cimo dia, havia sido plantada a metade

do total previsto inicialmente?

No décimo dia = 9 10 + 120 = 210

S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210 =

= 1 650 (metade do total)

Total de árvores = 1 650 2

x = 3 300

10. Observe os seis primeiros termos de uma

sequência.

1 2 3 4ABCD

(I)

1 2 3 4ABCD

(II)

1 2 3 4ABCD

(III)

1 2 3 4ABCD

(IV)

1 2 3 4ABCD

(VI)

1 2 3 4ABCD

(V)

Supondo que a regularidade observada

na formação desses termos seja mantida

para a formação dos demais, isto é, que o

termo (I) seja igual ao termo (VII), que

o termo (II) seja igual ao termo (VIII), e as-

sim por diante, responda:

a) quais quadrículas estarão pintadas no

termo (XXX)?

O período da sequência é de seis termos. A divisão de

30 por 6 resulta resto zero. Assim, o termo (XXX) é igual

ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas C2,

C3, D3 e D4.

b) quantas vezes a quadrícula B2 terá

sido pintada desde o termo (I) até o

termo (XIX)?

A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada período, nos ter-

mos (I), (III) e (IV). Até o termo (XIX), incluindo-o, serão três

períodos e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2 será

pintada 3 3 + 1 = 10 vezes.

11. Aproveitando as condições

apresentadas na atividade 9 da se-

ção anterior, crie três questões

acompanhadas de sua resolução.

15

Matemática – 1ª série – Volume 1

Praticamente não há limite para o número de exemplos que

poderão ser criados. O professor poderá permitir que os alu-

nos socializem os exemplos que criaram e que, ao final, sele-

cionem 4 ou 5 que, na opinião deles, consideraram os mais

criativos ou os mais difíceis.

12. Atribui-se ao matemático grego Hipsicles

(240 a.C.-170 a.C.) uma regra para criar

uma nova sequência numérica a partir de

outra. O método consiste em tomar uma

sequência numérica (por exemplo, 1, 2, 3,

4, 5, 6, …) e criar outra em que cada termo

seja igual à soma dos anteriores. Isto é:

termos são as raízes da equação x2 – 8x

+ 15 = 0. Encontre o primeiro e o segun-

do termos dessa sequência, considerando

que exista diferença constante entre dois

termos consecutivos.

Resolvendo a equação de 2o grau, encontraremos como raízes

os números 3 e 5. A sequência será, portanto, (−3, –1, 1, 3, 5).

Assim, os dois primeiros termos serão −3 e −1, respectivamente.

Professor, uma prática que costuma mo-tivar os alunos e aproveitar, de forma mais intensa, seus conhecimentos anteriores é so-licitar-lhes que, com base nas condições desse problema, criem diversas questões, para que sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos, sob sua supervisão. Além disso, esse tipo de atividade é um consistente instrumento no es-tímulo à metacognição, isto é, estimula cada aluno a refletir sobre como elabora e mobili-za suas estratégias de raciocínio durante uma etapa de resolução de problemas.

Etapa 2 – Sequências definidas por sentenças matemáticas

Nesta etapa, os alunos serão convidados

a obter sequências numéricas a partir de con-

dições definidas, inicialmente, na língua ma-

terna e, posteriormente, na linguagem mate-

mática. Além disso, desenhando um percurso

inverso ao anterior, uma série de problemas

será proposta para que os alunos obtenham a

expressão do termo geral de determinada se-

quência numérica. Sugerimos que a próxima

atividade seja discutida com os alunos antes

que eles se envolvam com a resolução dos pro-

blemas propriamente dita.

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

1 + 2 + 3 + 4 + 5

...

1

3

6

10

15

...

Sequência nova

Pela regra de Hipsicles, a sequência (1, 2, 3, 4, ...)

gerou a sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, …).

Aplique a regra de Hipsicles e encontre os

oito primeiros termos de duas novas se-

quências numéricas geradas a partir da

sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21,...).

As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e

(1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, …).

13. Uma sequência numérica crescente é

composta por cinco termos. O terceiro

termo é o número 1, e o quarto e quinto

16

Sequências definidas por sentenças matemáticas

14. Em uma sequência numéri-

ca, o primeiro termo é uma fra-

ção de numerador 1 e denomi-

nador 4. Os termos seguintes ao primeiro

podem ser obtidos adicionando sempre uma

unidade ao numerador e ao denominador da

fração do termo imediatamente anterior.

a) Quais são os cinco primeiros termos

dessa sequência?1

4

, 2

5

, 3

6

, 4

7

, 5

8

.

b) Chamando o primeiro termo de a1, o

segundo termo de a2, o terceiro de a3, e

assim por diante, qual é o termo a9?9

12

= 3

4

c) Qual é o termo a54?54

57

d) Como se pode determinar um termo an

qualquer?

Um termo qualquer an é uma fração em que o numerador é

igual a n e o denominador é três unidades a mais do que n,

isto é, é igual a n + 3. Assim, an =

n

n + 3

.

Chamamos a atenção do professor para o

fato de que o conjunto de problemas desta etapa

envolve sequências numéricas de várias nature-

zas, e não apenas as aritméticas e as geométri-

cas, e também para a necessidade de os alunos

escreverem em língua materna a regularidade

expressa na linguagem matemática.

15. Em uma sequência numérica, o primei-

ro termo é igual a 2, e os seguintes são

obtidos pelo acréscimo de três unidades

ao termo imediatamente anterior. Sen-

do assim, responda:

a) quais são os cinco primeiros termos?

(2, 5, 8, 11, 14).

b) qual é o termo a10?

(29).

c) qual é o termo a20?

(59).

d) como se pode determinar um termo an

qualquer?

Somando o termo inicial, 2, a um certo número de termos

sempre iguais a 3. Para se obter um termo n qualquer, deve-

mos somar o primeiro termo, 2, com n − 1 termos iguais a 3.

Assim, an = 2 + 3 (n − 1) = 3n − 1.

Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de

um termo a outro é constante e igual a 3, podemos supor

que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para

que a1 = 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim,

an = 3n − 1.

16. Para se obter os termos de uma sequência

numérica, é necessário fazer o seguinte:

I. Elevar a posição do termo ao quadra-

do, isto é, calcular 12 para o primeiro

termo, 22 para o segundo termo, 32 para

o terceiro termo, e assim por diante.

17

Matemática – 1ª série – Volume 1

II. Adicionar duas unidades ao resultado

obtido após elevar ao quadrado a posi-

ção do termo.

Para essa sequência numérica, responda:

a) quais são os cinco primeiros termos?

(3, 6, 11, 18, 27).

b) qual é o 8o termo?

a8 = 82 + 2 = 66.

c) qual é o termo a20?

a20

= 202 + 2 = 402.

d) como se pode determinar um termo an

qualquer?

an = n2 + 2.

17. Observe os cinco primeiros termos da se-

guinte sequência numérica:

3, 2,53

,32

,75

.

Demonstre que é possível determinar os

termos dessa sequência a partir da ex-

pressão an = n 2n

,+ atribuindo a n valores

naturais maiores do que zero.

Para n = 1 a1 =

1 + 2

1

= 3;

Para n = 2, a2 =

2 + 2

2

= 2;

Para n = 3, a3 =

3 + 2

3

= 5

3

;

Para n = 4, a4 =

4 + 2

4

= 6

4

= 3

2

;

Para n = 5, a5 =

5 + 2

5

= 7

5

18. A expressão an = n 1n 1

–+

é a expressão do

termo geral de uma sequência numérica,

isto é, os termos da sequência podem ser

obtidos se forem atribuídos a n valores

naturais maiores do que zero. Sendo as-

sim, encontre:

a) o termo a1;

a1 =

1 − 1

1 + 1

= 0.

b) o termo a5;

a5 =

5 − 1

5 + 1

= 4

6

= 2

3

.

c) o 8o termo;

a8 =

8 − 1

8 + 1

= 7

9

.

d) a posição do termo que é igual a 911

.

O termo 9

11

pode ser escrito como 10 − 1

10 + 1

.

Portanto, ele é o décimo termo.

19. Determinada sequência numérica tem

a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = 13

. Nessa sequên-

cia, qual é:

a) o 5o termo?

Cada termo da sequência, a partir do segundo, é obtido pela

divisão do anterior por 3. Assim, o quinto termo será igual a

1

3

÷ 3 = 1

9

.

18

b) o termo a6?

a6 = a

5 ÷ 3 =

1

9

÷ 3 = 1

27

.

c) a posição do termo que é igual a 181

?

Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e 1

27

é o sexto termo, 1

81

é o

sétimo termo.

20. Qual das duas expressões listadas a seguir

é a expressão do termo geral da sequência

da atividade anterior? (Lembre-se de que n

é o número que dá a posição do termo na

sequência, isto é, se n = 2, temos o segundo

termo; se n = 5, temos o quinto termo; e

assim por diante.)

an = 93n

an = 33 – n

O termo geral da sequência é an = 33 −n, que poderá ser

verificado a partir da substituição de n por números naturais

maiores do que zero.

21. Observe a seguinte sequência dos números

pares positivos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... Nessa

sequência:

a) qual é o 10o termo?

O décimo termo é 18.

b) qual é o 15o termo?

O 15o termo é 28.

c) qual é o termo a35?

a35

= 68.

d) qual é o termo a101?

a101

= 200.

e) qual é a posição do termo que é igual a

420?

420 é o 211o termo.

f) como se pode determinar um termo an

qualquer?

Fazendo (n − 1) 2, sendo n um número natural maior do

que zero.

22. Escreva os cinco primeiros termos da se-

quência dos números ímpares positivos.

Em seguida, responda:

1, 3, 5, 7, 9...

a) qual é o 10o termo?

a10

= 19.

b) qual é o termo a13?

a13

= 25.

c) qual é o termo a25?

a25

= 49.

d) como se pode determinar um termo an

qualquer?

Fazendo 2 n − 1, em que n é um número natural maior

do que zero.

23. Observe a seguinte sequência numérica:

1, 4, 9, 16, 25, ... Nessa sequência, responda:

a) qual é o 6o termo?

O sexto termo é 62 = 36.

b) qual é o termo a7?

a7 = 72 = 49.

19

Matemática – 1ª série – Volume 1

c) qual é a expressão de seu termo geral?

an = n2.

24. Uma sequência numérica é

dada pelo seguinte termo geral:

an = n + 1 .

Para essa sequência, determine:

a) os cinco primeiros termos;

2 , 3 , 2, 5 , 6 .

b) os cinco primeiros termos que sejam nú-

meros inteiros.

Os cinco primeiros termos representados por números inteiros se-

rão aqueles em que o radicando é um quadrado perfeito, a saber:

a3 = 2; a

8 = 3; a

15 = 4; a

24 = 5; a

35 = 6.

25. Observe a sequência de figuras. Em segui-

da, responda:

a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter

a 6a figura dessa sequência?

A 6a figura deverá ter 30 quadrinhos brancos, pois 6 6 − 6 = 30.

b) Escreva uma fórmula que permita cal-

cular a quantidade de quadrinhos bran-

cos, em função da posição n da figura

na sequência. (Sugestão: você pode

organizar os dados em uma tabela como

a que segue.)

Posição da figura na sequência

Número de quadrinhos

pretos

Número de quadrinhos brancos

1 1 0

2 2 22 − 2

3 3 32 − 3

4 4 42 − 4

n n n2 − n = n (n − 1)

c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter

a 39a figura dessa sequência?

392 − 39 = 39(39 − 1) = 39 · 38 = 1 482.

26. A seguir, estão os primeiros elementos de

uma sequência de figuras que representam

os chamados números quadrangulares. Ana-

lise-os e responda às questões propostas.

1 2 3 4 5

a) Quantos quadrinhos deverá ter o 6o ele-

mento dessa sequência? E o 10o termo?

36; 100.

b) Qual é a expressão do termo geral dessa

sequência?

n2.

20

27. Observe a figura:

1 3 5 7 9

Nessa representação, os números escritos

logo abaixo da figura indicam a quantidade

de quadrinhos de cada um desses conjun-

tos. Sendo assim, responda:

a) qual é a soma dos números escritos

abaixo da figura?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

b) que relação pode ser estabelecida entre

esse resultado e a figura analisada?

A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao to-

tal de quadrinhos que formam a figura. Os números escritos

abaixo da figura são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua

soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 52 = 25.

c) utilizando os resultados de suas obser-

vações, determine, sem efetuar a adição,

o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +

+ 13 + 15.

8² = 64.

28. Observe as linhas completas da tabela e

complete as que estiverem em branco.

Adição Descrição

1 + 3 = 4 = 22

A soma dos dois primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 2.

1 + 3 + 5 = 9 = 32

A soma dos três primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 3.

1 + 3 + 5 + 7 = = 16 = 42

A soma dos quatro pri-

meiros números ímpares

é igual ao quadrado de 4.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

A soma dos cinco primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 5.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + ... + 2 n – 1 = n2

A soma dos n primeiros

números ímpares é igual

a n2.

Considerações sobre a avaliação

A Situação de Aprendizagem 1 abordou

a regularidade numérica, e também geo-

métrica, observada em algumas sequên-

cias. Além disso, introduziu a ideia de que

é possível obter uma sequência numérica a

partir de uma relação matemática estabele-

cida entre um conjunto discreto (naturais)

e um conjunto de qualquer natureza. São

esses, pois, os elementos importantes a se-

21

Matemática – 1ª série – Volume 1

rem avaliados. Para tanto, sugerimos que

o professor elabore momentos de avaliação

que contemplem:

a obtenção de termos de maiores ordens de

uma sequência, a partir do conhecimento

dos primeiros termos;

a determinação do termo geral de sequên-

cias numéricas, desde que esses termos ge-

rais se baseiem em expressões conhecidas

pelos alunos, por exemplo, expressões do

tipo a x + b ou a x2 + b.

Salientamos, também, a importância de

que as avaliações não se restrinjam a situações

individuais. Em alguns momentos, pode-se

contemplar a possibilidade de que os alunos

consultem seu material de aula e, em outros,

seus colegas de grupo. Destacamos, por fim,

o fato de que um trabalho com características

essencialmente indutivas, como é o caso dos

temas desenvolvidos neste Caderno, estimula

sobremaneira a discussão e a tomada de deci-

sões, justificando, dessa forma, a inclusão de

instrumentos de avaliação não individuais.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG); expressão do termo geral da PA e da PG.

Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas.

Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2

As sequências aritméticas ou geométricas

são bastante estudadas, no Ensino Médio, por

vários motivos, como a pouca exigência algé-

brica e a facilidade de padronizar os conceitos

por intermédio de fórmulas matemáticas.

A baixa exigência algébrica envolvida, es-

pecialmente no estudo das PAs, deve ser, de

fato, valorizada, em detrimento de exercícios

sem qualquer contexto, que exijam a escrita

de equações complexas. Enfatizamos, portan-

to, que se priorizem o desenvolvimento dos

conteúdos e a apresentação de situações-pro-

blema, sob o prisma do reconhecimento da

regularidade da sequência e da generalização

intuitiva do termo geral, colocando em se-

gundo plano, portanto, a simples substitui-

ção de valores em fórmulas decoradas.

Outro aspecto que merece comentário é o

fato de que, em geral, as PAs e as PGs são

22

tratadas de modo independente, uma a cada

tempo, e as PAs vêm sempre antes das PGs.

No entanto, vale destacar que o raciocínio

principal envolvido em um ou em outro tipo

de sequência é o mesmo, ou seja, um valor

constante é o passo que permite obter um

termo a partir do anterior. O fato de que, em

um caso, esse passo é adicionado, enquanto,

no outro, é multiplicado, é algo que compõe

o raciocínio secundário do estudo, cujo re-

conhecimento não costuma trazer qualquer

dificuldade adicional aos alunos.

Dessa forma, apresentaremos, a seguir,

uma série de problemas exemplares, com-

postos, em alguns casos, por PA, em ou-

tros, por PG e, em outras situações, pelos

dois tipos de sequências. Sugerimos que

sejam propostos aos alunos na ordem em

que aparecem.

A atividade 1 pode ter a resolução solicita-

da sem nenhum comentário prévio. Durante

os comentários da correção, o professor pode-

rá valorizar as diversas maneiras de resolução

que eventualmente surgirem. Um tipo de re-

solução importante, que poderá ser levantada

pelo professor, caso não surja dos alunos, é

aquele que considera o passo de cada sequên-

cia como parcela ou fator constante no mo-

mento da escrita da expressão do termo geral

da sequência. Por exemplo, no caso da se-

quência (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante

é 4, que, adicionado a cada termo, permite que

se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão

do termo geral deverá conter, necessariamen-

te, um termo do tipo 4 n. Compreendido isso,

pode-se pensar da seguinte maneira:

Para n = 1, o resultado deve ser igual

a 5, que é o primeiro termo da sequên-

cia. No entanto, ao fazer 4 n ou 4 1, o

resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda

falta uma unidade para se obter o pri-

meiro termo. Logo, o termo geral pode

ser este:

an = 4 n + 1

Testando essa expressão para outros

termos, verificamos que ela é válida, pois:

a2 = 4 2 + 1 = 9

a3 = 4 3 + 1 = 13

Logo, o termo geral da sequência é

mesmo an = 4 n + 1.

Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser

aplicado na determinação do termo geral

de uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...),

por exemplo, o passo constante é 3, que,

quando multiplicado por algum termo,

resulta no termo imediatamente seguinte.

Assim, se sempre se multiplica por 3, o ter-

mo geral da sequência deve conter 3n. Com

base nessa regularidade, pode-se chegar à

seguinte conclusão:

23

Matemática – 1ª série – Volume 1

Para n = 1, o resultado deve ser igual

a 2, que é o primeiro termo da sequência.

No entanto, ao fazer 3n ou 31, obtemos 3,

e não 2. Logo, deve haver mais um fator

na expressão, a fim de que o resultado

esperado seja obtido. Esse fator é 2

3,

pois 3 2

3 = 2. Então, o termo geral da

sequência deve ser:

an = 2

3 3n

Testando essa expressão para outros

termos, verificamos que ela é válida, pois:

a2 = 2

3 32 =

18

3 = 6

a3 = 2

3 33 =

54

3 = 18

Logo, o termo geral da sequência

é mesmo an = 2

3 3n, que, simplificando,

pode ser escrito como an = 2 3n – 1.

É esperado, nesta Situação, que alguns

alunos adotem procedimento semelhante ao

adotado para a PA, isto é, fazer 3n e, em segui-

da, subtrair uma unidade, a fim de que 31 – 1

coincida com o primeiro termo da sequência.

Nesse caso, caberá ao professor pedir que os

alunos apliquem a “fórmula” obtida para os

demais termos da sequência, quando, então,

perceberão o equívoco do raciocínio adotado.

Salientamos, novamente, que não é con-

veniente formalizar a adoção de um ou

outro tipo de raciocínio, nem mesmo aquele

descrito anteriormente. Caberá a cada aluno

escolher o raciocínio que considera mais ade-

quado, e caberá ao professor discutir todos os

raciocínios que surgirem, apresentando prós

e contras de cada um, no sentido de fornecer

elementos para que os alunos possam refinar

suas estratégias iniciais.

1. Considere as sequências de

(I) a (VI) para responder às

questões propostas.

(I) (0, 3, 6, 9, 12, ...)

(II) (1, 4, 7, 10, 13, ...)

(III) (2, 5, 8, 11, 14, ...)

(IV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)

(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)

(VI) (1, 4, 16, 64, 256, ...)

a) Quais são os três termos seguintes de

cada uma dessas sequências?

(I) 15, 18, 21.

(II) 16, 19, 22.

(III) 17, 20, 23.

(IV) 64, −128, 256.

(V) 1,0; 1,2; 1,4.

(VI) 1 024, 4 096, 16 384.

b) É verdade que o algarismo 8 não apa-

rece em nenhum número da sequência

(II)? Justifique.

Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o décimo

termo da sequência.

c) É possível que um mesmo número natu-

ral apareça em duas das três primeiras

sequências? Justifique.

24

Não, pois a sequência (I) é formada apenas por núme-

ros que, divididos por 3, deixam resto zero; a sequência

(II) é formada apenas por números que, divididos por 3,

deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por

números que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a

divisão por um número natural diferente de zero (divi-

são euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos,

não é possível que um mesmo número apareça em duas

dessas sequências.

d) O número 1 087 é um termo de qual(is)

sequência(s)?

O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divi-

são de 1 087 por 3 deixa resto 1, e é também elemento da

sequência (V), uma vez que é múltiplo de 0,2.

e) Explique por que o número 137 não

pertence à sequência (II).

A sequência (II) é formada apenas por números que, di-

vididos por 3, deixam resto 1. Logo, o 137 não é termo da

sequên cia (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2.

f) Qual é o termo geral da sequência (I)?

an = 3(n – 1), n IN*.

g) Qual é o termo geral da sequência

(II)?

an = 3n − 2, n IN*.

h) Qual é o termo geral da sequência

(III)?

an = 3n − 1, n IN*.

i) Qual é o termo geral da sequência

(IV)?

an = (−2)n, n IN*.

j) Qual é o termo geral da sequência

(V)?

an = 0,2 n, n IN*

k) Qual é o termo geral da sequência (VI)?

an = 4n ÷ 4, n IN*

ou an = 4n-1

l) Escolha um critério, justificando-o, e se-

pare as seis sequências em dois grupos.

Espera-se, neste item, que os alunos percebam que há,

entre as sequências apresentadas, algumas em que o

passo constante é somado a cada termo e outras em

que o passo constante é multiplicado a cada termo. To-

davia, poderão aparecer outros critérios, e o professor

deverá estar atento para valorizar os critérios surgidos,

mas, também, enfatizar a importância do reconheci-

mento do passo constante das sequências, seja ele so-

mado ou multiplicado.

2. Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do

Mundo e os Jogos Pan-americanos ocorrem

de quatro em quatro anos. Se essas compe-

tições ocorreram nos anos de 2004, 2006 e

2007, respectivamente, e considerando que

continuem a acontecer, segundo essa regra,

por muito tempo, responda:

a) Qual competição ocorrerá em 2118? E

em 2079 e 2017?

As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por

4 deixa resto zero, a Copa acontece em anos em que sua di-

visão por 4 deixa resto 2, e os Jogos Pan-americanos aconte-

cem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim,

em 2118, aconteceria a Copa do Mundo (resto 2); em 2079,

aconteceriam os Jogos Pan-americanos (resto 3); e, em 2017,

não aconteceria nenhuma dessas três competições (resto 1).

25

Matemática – 1ª série – Volume 1

b) Haverá algum ano em que ocorrerá

mais de uma dessas três competições?

Explique.

Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa

um, e apenas um, desses restos: zero, 1, 2 ou 3.

3. Determinada sequência numérica obedece

à seguinte condição: a diferença entre dois

termos consecutivos é sempre a mesma e

igual a 6. Considerando que o primeiro ter-

mo dessa sequência é –8, responda:

a) quais são os cinco primeiros termos?

(−8, −2, 4, 10, 16).

b) qual é o termo a9?

40

c) qual é o 15o termo?

76

d) qual é o 20o termo?

106

e) quanto é a diferença entre a12 e a5?

42

f) qual é a expressão de seu termo geral,

isto é, qual é a fórmula matemática que

relaciona um termo qualquer (an) à po-

sição do termo (n)?

an = 6n − 14.

4. O primeiro termo de uma sequência numé-

rica é 0,02. Para obter os termos seguintes,

basta multiplicar o termo imediatamente

anterior por 5. Sendo assim, responda:

a) qual é o 2o termo?

0,1

b) qual é o termo a3?

0,5

c) qual é o termo a4?

2,5

d) qual é o resultado da divisão entre a6 e a4?

25

e) qual é o termo geral da sequência, isto

é, qual é a fórmula matemática que re-

laciona um termo qualquer (an) à posi-

ção do termo (n)?

an = 0,02 5n – 1.

A resolução dos exercícios anteriores

foi, de certa forma, preparatória para a ca-

racterização das PAs e das PGs. Finalizada

essa etapa, o professor poderá definir PA

e PG por meio de uma discussão com seus

alunos, identificando, entre as sequências

já estudadas, aquelas que atendem a cada

definição dada.

Compreendido o significado de uma PA, o

aluno será capaz de concluir que, partindo do

primeiro termo, para avançar um termo na se-

quência, deverá adicionar o “passo”, ou razão

r, uma vez, isto é, a2 = a1 + r; da mesma forma,

para avançar dois termos, deverá adicionar

2 r ao primeiro termo, obtendo a3 = a1 + 2 r.

Por esse processo, espera-se que o aluno reco-

nheça que, para obter o 20o elemento, deverá

adicionar 19 r ao primeiro termo e escrever:

26

a20 = a1 + 19 r, e assim sucessivamente. Esse

raciocínio favorecerá a construção, por parte

do aluno, da fórmula do termo geral da PA,

que é dada por an = a1 + (n – 1) r.

Além disso, essa compreensão permiti-

rá que o aluno note que, para “passar” de a4

para a11, deverá avançar sete termos, ou seja,

para obter o termo a11 a partir do termo a4,

deverá adicionar 7 r ao termo a4 e escrever:

a11 = a4 + 7 r. Da mesma forma, poderá es-

crever a4 = a11 – 7 r, pois, para “passar” de a11

para a4, deve “retroceder” sete termos.

Da mesma forma, associa-se às PGs o

significado de que, conhecidos o primeiro

termo e o passo, ou razão q, é possível deter-

minar qualquer termo da sequência a partir

da multiplicação do primeiro termo pela ra-

zão um determinado número de vezes. Assim,

se o aluno compreender que a2 = a1 q, que

a3 = a1 q2, e assim por diante, compreenderá,

também, que an = a1 qn – 1 e, generalizando,

que an = ak qn – k.

Destacamos, novamente, a importância de

valorizar o raciocínio dos alunos na obtenção

do termo geral de uma PA ou de uma PG,

em detrimento de restringir a resolução dos

problemas à utilização das fórmulas obtidas.

O professor deverá estar atento e observar

quais estratégias de resoluções os alunos es-

tão utilizando, a fim de distinguir aqueles que

utilizam fórmulas prontas como um mero

atalho para a aplicação do conceito que já

dominam – e, portanto, podem ser estimu-

lados nesse sentido – daqueles alunos que,

sem terem atingido a compreensão desejada,

buscam adaptar as condições dos problemas

às fórmulas, como se eles se questionassem

constantemente sobre “qual fórmula devem

utilizar”. Casos dessa natureza certamente

merecerão maior atenção do professor.

É importante que o professor também ex-

plore o seguinte fato: cada termo de uma PG,

a partir do segundo, é a média geométrica en-

tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a

seguir serve como ilustração:

Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média

geométrica de 8 e 32, pois 16 = 8 32.

Após a discussão dos problemas ante-

riores e das expressões do termo geral das

PAs e das PGs, o professor poderá pedir

que os alunos resolvam alguns problemas

exemplares.

5. Considere que: uma PA é uma sequência

(a1, a2, a3, ..., an, ...) de números an, em

que a diferença entre cada termo an + 1 e

seu antecedente an é uma constante. Essa

diferença constante é chamada de razão

da PA e é representada por r. Assim, em

uma PA de razão r, temos: an + 1 – an = r,

para todo n natural, n ≥ 1. De acordo com

essa definição, indique quais das sequên-

cias a seguir são PAs. Em caso afirmativo,

determine a razão.

27

Matemática – 1ª série – Volume 1

a) (2, 5, 8, 11, ...).

b) (2, 3, 5, 8, ...).

c) (7, 3, –1, –5, ...).

d) 2

3,

2

3,

2

3,

2

3 , ... .

e) –3

2, –1, –

1

2, 0, ... .

f) 6, 2, 2

3,

2

9, ... .

São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3);

c) (razão −4); d) (razão: 0); e) (razão: 1

2

).

6. Considere as sequências dadas por seus

termos gerais:

I) an = 4 n + 1, com n IN, n 1;

II) an = 4 n2 – 1, com n IN, n 1;

III) a1 = 2 e an = an – 1 3, com n IN, n 2;

IV) a1 = 2 e an = an – 1 + 3, com n IN, n 2.

Obtenha os cinco primeiros termos de cada

uma dessas sequências e destaque a razão

daquelas que forem PAs.

I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99.

III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14.

São PAs as seguintes sequências: (I), com razão = 4, e (IV),

com razão = 3.

7. Considere que: uma PG é uma sequência

(a1, a2, a3, …, an, ...), em que cada termo

an, a partir do segundo, é obtido pela mul-

tiplicação de seu antecedente an – 1 por uma

constante diferente de zero.

De acordo com essa definição, quais das

sequências a seguir são PGs? Justifique sua

resposta.

I) (1, 3, 9, 27, ...); II) (1, 2, 6, 24, ...);

III) 36, 12, 4, 4

3, ... ; IV) (1, –2, 4, –8, ...);

V) 3, 8

3,

7

3, 2, ... ; VI) ( , , , , ...)2 2 2 2 4 .

São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão 1

3

;

(IV), de razão −2; (VI), de razão 2 .

8. Considere as sequências:

I) an = 3 n + 1, com n IN, n 1;

II) an = 3 n2 − 1, com n IN, n 1;

III) an = 3 n, com n IN, n 1;

IV) a1 = 3 e an = an – 1 2, com n IN, n 2;

V) a1 = 3 e an = an – 1 + 2, com n IN, n 2.

Determine os cinco primeiros termos de

cada sequência e destaque a razão daque-

las que forem PGs ou PAs.

I) 4, 7, 10, 13, 16.

II) 2, 11, 26, 47, 74.

III) 3, 6, 9, 12, 15.

IV) 3, 6, 12, 24, 48.

V) 3, 5, 7, 9, 11.

(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão 3; (III), de razão 3;

e (V), de razão 2.

9. Observe a se quência de figuras e responda

às questões propostas.

28

1 32 4

a) Quantos quadradinhos comporão a quin-

ta figura dessa sequência? E a sexta figura?

Na quinta figura, 48 quadradinhos, e, na sexta, 96 quadradinhos.

b) Associe a essa sequência outra que indique

o número de quadradinhos de cada figura.

Essa sequência é uma PG? Justifique.

(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an

é obtido a partir da

multiplicação do termo anterior an – 1

por 2.

c) Construa uma fórmula que possa ser uti-

lizada para determinar um termo qual-

quer dessa sequência. Para auxiliá-lo

nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os

dados, a fim de que as regularidades se-

jam mais facilmente observadas, elemen-

to necessário à construção da fórmula.

Podemos escrever a fórmula desta maneira: an = 3 2n – 1.

Esse problema poderá favorecer uma dis-

cussão sobre a obtenção da fórmula do termo

geral de uma PG.

Posição de um

termo na sequência

CálculoQuantidade de quadradinhos

1 3 3

2 3 2 = 3 21 6

3 6 2 = 3 2 2 = 3 22 12

4 12 2 = 3 2 2 2 = 3 23 24

... ... an-1

n (an-1

) 2 = 3 2n-1 an = (a

n-1) 2 = 3 2n-1

Neste caso, o aluno pode obter uma fór-

mula de recorrência: an = (an – 1) 2 e a fórmula

do termo geral: an = 3 2n – 1.

10. Nesta figura, cada quadradinho é formado

por quatro palitos de comprimentos iguais.

1 2 3 4 5

...

a) A sequência formada pelas quantidades

de palitos necessários para a construção

das figuras resulta em uma PA? Justifi-

que sua resposta.

A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim,

uma PA, pois cada figura tem seis palitos a mais que a prece-

dente: 4, 10, 16, 22, 28, ...

b) Quantos palitos serão necessários para a

construção da sexta figura? E da sétima?

28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40. Serão necessários 34 palitos para

compor a sexta figura e 40 para compor a sétima.

c) Quantos palitos serão necessários para

construir a 78a figura?

4 + 77 6 = 466.

d) Escreva uma fórmula que expresse a

quantidade de palitos da figura que

ocupa a posição n nessa sequência.

an = 4 + (n − 1) 6 = 6n − 2.

11. Sabe-se que o 9o termo de uma PA de ra-

zão 4 é 29. Qual é o 20o termo dessa PA?

a20

= 73. Para determinar o 20o termo de uma PA é suficiente adi-

cionar ao 9o termo uma parcela que é igual ao produto 11 4,

29

Matemática – 1ª série – Volume 1

pois, para “passar” do 9o ao 20o, é necessário “avançar” 11 termos,

ou seja, a20

= a9 + 11 r. Não é necessário, portanto, encontrar,

antes, o primeiro termo para se obter o vigésimo.

12. Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma

PA. Determine os valores de x e y.

Em toda PA, temos a3 − a

2 = a

2 − a

1 −4 − x = x − 8 x = 2.

Com o mesmo raciocínio, escrevemos y − (−4) = −4 − x

y + 4 = −4 − 2 y = −10. Nesse caso, temos: (8, 2, −4, −10).

13. Invente uma PA. Separe ape-

nas os termos cuja posição n é in-

dicada por um número múltiplo de

6 e forme outra sequência de números. Essa

nova sequência também é uma PA? Em

caso de resposta afirmativa, determine a

razão da PA. Justifique sua resposta.

A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto

do número 6 pela razão da PA anterior.

14. Determine o 8o termo de cada uma das

PGs:

I) (1, 3, 9, 27, ...) II) 8, 4, 2, 1, 1

2, …

a8 = 2 187 a

8 =

1

16

15. Determine o 12o termo de uma PG de ra-

zão 2, sabendo que o quinto termo dessa

sequência é 4.

a12

= 512.

16. Uma bola é lançada de uma altura de

18 m, e seu impacto no solo provoca sal-

tos sucessivos, de tal forma que, em cada

salto, a altura que ela atinge é igual a 80%

da altura alcançada no salto anterior. Que

altura será alcançada pela bola quando

ocorrer o 5o salto? E o 10o salto? (Use uma

calculadora.)

A altura atingida no quinto salto corresponde ao sexto termo

de uma PG em que o primeiro termo é igual a 80% de 18 e a

razão é 0,8. Assim, a6 = 18 0,85 5,898 m. A altura do décimo

salto, obedecendo a essa lógica, será: a11

= 18 0,810 1,933 m.

17. Dada a PG 1

2, x, 32, y , determine os

valores de x e y.Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a mé-

dia geométrica do antecessor e do sucessor. Neste caso,

x = 1

2 32 = 4. Por outro lado, pela definição de PG,

y

32

= 32

x

y

32

= 32

4

y = 256. Nesse caso, temos:

1

2

, 4, 32, 256.

18. Suponha que a população de uma cidade

tenha uma taxa de crescimento constante

e igual a 20% ao ano. No fim do ano 2007,

a população era de 50 mil habitantes.

a) Calcule a população da cidade ao fim

de cada um dos quatro anos seguintes e

escreva os resultados obtidos em forma

de sequência.

Professor, estabeleça com seus alunos uma linguagem como:

P: a população inicial; P1 : a população um ano depois; P

2 : a

população dois anos depois; e assim por diante.

P1= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 50 000 = 60 000.

P2 = 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 60 000 = 72 000.

Fazendo os demais cálculos, obtêm-se as populações P3 e P

4:

86 400 e 103 680, respectivamente.

30

b) A sequência obtida é uma PG? Em caso

afirmativo, qual é a razão?

A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, ...) é uma

PG de razão 1,2, pois:

60 000

50 000

= 72 000

60 000

= 86 400

72 000

= 103 680

86 400

= 1,2.

Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conheci-

do, basta multiplicar este último por 1,2, ou seja, Pn + 1

= 1,2 Pn.

c) Encontre uma fórmula que permita cal-

cular a população dessa cidade daqui a

n anos, contados a partir de 2007.

P1 =

50 000 1,21

P2 =

50 000 1,21 . 1,2 = 50 000 1,22

P3 =

50 000 1,22

1,2 = 50 000 1,23

Assim, Pn= 50 000 1,2n.

Essa fórmula pode ser generalizada para Pn =

P

0 (1 + i)n, sendo

i a taxa de crescimento.

19. Suponha que o valor de um automóvel di-

minua a uma taxa constante de 10% ao ano.

Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil.

Professor, convém ressaltar que a taxa,

nesse problema, é negativa. Se há uma di-

minuição de 10% ao ano, o valor do carro

passa a ser de 90% sobre o valor anterior.

Utilizando os resultados da atividade ante-

rior, discuta com os alunos que, para calcu-

lar o preço do carro daqui a um ano, é su-

ficiente multiplicar o valor inicial do carro

por 0,9, pois P1 = P0 (1 – 0,1) = P0 0,9.

a) Calcule o valor desse automóvel daqui a

quatro anos.

R$ 13 122,00.

b) Encontre uma fórmula que permita cal-

cular o preço desse automóvel daqui a n anos.

Pn = 20 000 0,9n.

Tratamento das progressões sob o ponto de vista funcional

Ao obter os termos de uma PA por meio

da lei de formação, utilizando a fórmu-

la do termo geral ou de recorrência, o alu-

no trabalha, intuitivamente, com a noção

de função, pois associa cada índice ao ter-

mo correspondente. Ou seja, todo número

natural (n) que é índice na sequência está

associado a um único número real. A fór-

mula relativa à lei de formação da PA é a

expressão algébrica que representa a função.

Nesse caso, temos uma função f: S IR,

sendo S IN*.

Assim, o domínio dessa função é forma-

do pelos índices dos termos da PA, isto é,

D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomí-nio dessa função é IR, e o conjunto imagem

é formado pelos termos da PA, ou seja,

Im(f) = {a1, a2, a3, ..., an, ...}.

A representação gráfica da função que cor-

responde a uma PA é um conjunto de pontos

que pertencem a uma reta. Todavia, o gráfico

não é a reta que contém esses pontos. Toman-

do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...),

na qual a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, e assim

sucessivamente, sua representação gráfica é a

figura a seguir.

31

Matemática – 1ª série – Volume 1

a4 = 10

a3 = 7

a2 = 4

a1 = 1

1 2 3 4

Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an = 3n – 2

Essa terminologia somente deverá ser des-

tacada para o aluno quando esse assunto for

retomado, posteriormente, nesta série, no

estudo da função polinomial do 1o grau.

Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de

recorrência para a determinação dos elemen-

tos de uma PG, da mesma maneira que se faz

para uma PA, os estudantes também utilizam,

intuitivamente, a ideia de função (todo número

natural (n) que é índice na sequência está asso-

ciado a um único número real), pois associam

cada índice ao termo correspondente.

A fórmula que indica a lei de formação da

PG corresponde à expressão algébrica que

representa a função. Nesse caso, temos uma

função f: T IR, sendo T IN*.

A expressão do termo geral de uma PG,

an = a1 qn – 1, reflete o crescimento expo-

nencial de an em função de n. Assim como o

tratamento funcional das PAs está associa-

do ao estudo das funções afins, esse tipo de

tratamento para as PGs será feito no estudo

das funções exponenciais. Portanto, não se

trata de, neste momento, apresentar aos alu-

nos toda a terminologia adotada no estudo

das funções, mas apenas apontar relações

que serão exploradas mais adiante. Os pro-

blemas seguintes são exemplos de como a

apresentação inicial desse tratamento pode

ser realizada.

20. Um conjunto A é forma-

do apenas pelos seguintes ele-

mentos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As-

sim, podemos escrever: A = {1, 2, 3, 4, 5,

6}. Um conjunto B é formado por ele-

mentos numéricos obtidos a partir dos

elementos do conjunto A, da seguinte

forma: cada elemento de B é 4 unidades a

mais do que o triplo do elemento corres-

pondente de A. Dito de outra forma, se

chamarmos cada elemento do conjunto

A de n, e cada elemento do conjunto B de

p, temos: p = 4 + 3n.

a) Quais são os elementos do conjunto B?

B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.

32

b) Qual é o tipo de sequência numérica for-

mada pelos elementos do conjunto A?

Uma PA de razão 1.

c) Qual é o tipo de sequência numérica for-

mada pelos elementos do conjunto B?

Uma PA de razão 3.

21. Cada elemento de um conjunto D será obti-

do a partir de um elemento correspondente

do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguin-

te forma: d = –5c + 15, em que c represen-

ta um elemento do conjunto C e d repre-

senta um elemento do conjunto D.

a) Quais são os elementos do conjunto D?

D = {10, 5, 0, −5, −10, −15}.

b) Qual é o tipo de sequência numérica for-

mada pelos elementos do conjunto D?

Uma PA de razão −5.

22. Determinada regra matemática “transfor-

ma” cada elemento do conjunto E = {1, 2, 3,

4, 5, 6, ...} em outro número, conforme mos-

tra a seguinte representação:

71 R

132 E

193G

254R

315 A

a) Qual é o resultado associado ao nú-

mero 6?

37

b) Qual é o resultado associado ao nú-

mero 10?

61

c) Se cada elemento do conjunto E for

identificado pela letra n, e cada resul-

tado for identificado pela letra p, qual

será a equação matemática que rela-

ciona p e n?

6n + 1 = p

d) Ordenando os resultados obtidos, qual

ocupará a 9a posição?

55

e) Qual é o tipo de sequência numérica

formada pelos elementos do conjunto

dos resultados?

Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.

23. Na Antiguidade, era muito

comum associar adivinhações a

problemas matemáticos. Veja este

exemplo:

“Quando ia a Bagdá

Encontrei um homem com 7 mulheres

Cada mulher tinha 7 sacos

Cada saco, 7 gatos

Cada gato, 7 gatinhos.

Gatinhos, gatos, sacos e mulheres

Quantos iam a Bagdá?”

33

Matemática – 1ª série – Volume 1

Escreva uma sequência com os elementos

da charada e aponte que tipo de sequência

numérica é formada.

(1, 7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7.

24. Um número é chamado de palíndromo quan-

do é o mesmo se lido da esquerda para a di-

reita ou da direita para a esquerda. Assim, os

números 55, 121 e 2 002 são palíndromos.

a) Um conjunto A é formado por todos os

números palíndromos de dois algaris-

mos. Quais são os elementos de A e qual

é o tipo de sequência numérica formada

por esses elementos?

A = {11, 22, 33, 44, …, 99}. Trata-se de uma PA de razão 11.

b) Um conjunto B é formado por todos

os números palíndromos de três alga-

rismos. Observando os elementos do

conjunto B, podemos dizer que eles for-

mam uma PA? Justifique sua conclusão.Construindo o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …},

temos a impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo,

escrevendo mais alguns termos na sequência (…, 171, 181, 191,

201, 211, …), observamos que, na passagem do algarismo das

centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada.

A sequência dos números de três algarismos que iniciam

por 2 seria: (202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passa-

gem das centenas que terminam com 2 e começam com 3

(…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de palíndromos

de 3 algarismos não é uma PA.

Considerações sobre a avaliação

O desenvolvimento apresentado nesta

Situação de Aprendizagem para o tratamento

das progressões priorizou dois aspectos:

a abordagem comum das PAs e PGs;

a determinação dos termos gerais das

PAs ou das PGs com base na regularida-

de observada nas sequências, em detri-

mento do uso das conhecidas fórmulas

que, em geral, os alunos decoram e usam

mecanicamente.

Em relação ao primeiro aspecto, relativo ao

tratamento comum dos dois tipos de sequên-

cias, julgamos importante que o professor le-

ve-o, de fato, em consideração no momento

da elaboração de avaliações, propondo, por

exemplo, questões semelhantes aos proble-

mas 9 e 10.

É comum os alunos utilizarem as fór-

mulas dos termos gerais da PA e da PG na

resolução de problemas. Não há por que

evitar tal conduta, mas também devem-se

propor situações em que o simples uso da

fórmula não conduza diretamente ao resul-

tado procurado. Nesse sentido, apresenta-

mos, nesta Situação de Aprendizagem, al-

guns modelos, como é o caso, por exemplo,

da atividade 3.

Por fim, salientamos, novamente, a ne-

cessidade da existência de momentos de

avaliação em que os alunos possam trocar

ideias com outros colegas de grupo e mes-

mo consultar suas anotações. Além disso,

o professor poderá pedir que os alunos de-

monstrem seu conhecimento sobre o assun-

to criando problemas e/ou contextos em

que os conceitos possam, claramente, ser

aplicados.

34

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS E

APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG): termos gerais e soma dos termos; juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização.

Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao estudo das progressões numéricas.

Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3

Esta Situação de Aprendizagem é dividida

em duas etapas. A primeira etapa é composta

por problemas exemplares para a construção

de significados da soma dos elementos de uma

sequência, e a segunda etapa é toda dirigida

para a aplicação da soma de elementos de

uma PA ou de uma PG em alguns casos típi-

cos da Matemática Financeira.

O cálculo da soma dos termos de uma PA

ou de uma PG é um bom momento para se

retomar e aprofundar com os alunos a noção

de algoritmo em Matemática, pois podemos

entender o cálculo da soma de qualquer um

desses dois tipos de sequência como um cál-

culo realizado a partir de certa ordenação de

procedimentos que conduzem, com eficiên-

cia, ao resultado procurado.

No caso de uma PA do tipo (a1, a2, a3, ..., an – 3,

an – 2, an – 1, an), o professor pode explorar a

propriedade da equidistância dos extremos,

isto é, a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ..., a

fim de desenvolver estratégias para o cálculo

da soma de seus termos, em um trabalho que

antecede a construção e utilização da fórmula

da soma dos termos de uma PA.

Por exemplo, para o cálculo da soma dos

200 primeiros números naturais, indicada por:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 + 198 +

+ 199 + 200,

o aluno pode ser auxiliado no sentido de ob-

servar que

1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 =

= ... = 201.

Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201

e, finalmente, concluirá que S200 = 100 201 =

= 20 100. Podemos, também, dizer que a soma

dos 200 números naturais é igual ao produto

de 200 por 201

2, ou seja, o produto de 200

35

Matemática – 1ª série – Volume 1

pela média aritmética dos termos equidistan-

tes dos extremos.

No caso de sequências que apresentam nú-

mero ímpar de termos, como 1, 4, 7, 10, 13,

16, 19, de sete termos, o aluno poderá utilizar

a seguinte estratégia:

1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20.

Assim, são obtidas três somas iguais a 20.

Como o número 10, que é o termo central (me-

diana), não foi adicionado, a soma dos termos

dessa PA será representada da seguinte forma:

S7 = 3 20 + 10 = 60 + 10 = 70.

Nesse exemplo, é importante destacar que

a soma dos sete termos dessa PA 1 + 4 + 7 +

+ 10 + 13 + 16 + 19 é igual a 7 10, sendo 10

a média aritmética dos termos equidistantes

dos extremos.

Essa sequência de passos para se ob-

ter a soma dos termos de uma PA pode ser

vista como um algoritmo que permite rapi-

dez e precisão no cálculo e, por isso mesmo,

pode e deve ser bem compreendida e utilizada

sempre que possível. No momento que julgar

oportuno, o professor poderá pedir que os

próprios alunos generalizem a estratégia que

adotam particularmente, em uma ou outra se-

quência, para uma sequência aritmética qual-

quer, obtendo-se, então, a expressão

= .

No caso de ser necessário obter a soma dos

termos de uma PG, o professor poderá lançar

mão, novamente, da ideia de um algoritmo

que permita agilizar o cálculo, mostrando aos

alunos como fazê-lo em alguns casos específi-

cos, como neste exemplo:

S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162.

Os termos dessa série formam uma PG de

razão 3. A primeira providência para se obter

o resultado sem efetuar a adição termo a ter-

mo é multiplicar toda a expressão pelo valor

da razão.

3 S = 3 (2 + 6 + 18 + 54 + 162)

3 S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486.

Isso feito, teremos duas expressões e sub-

trairemos uma da outra, de forma que os vá-

rios pares de termos iguais sejam cancelados.

S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162

3 S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486

–2 S = 2 – 486

–2 S = – 484 S = 242

Essa sequência de passos, ou esse algorit-

mo, permite a obtenção da soma dos termos

de uma PG de modo mais rápido e eficaz do

que o cálculo da soma termo a termo. Co-

mentando o fato com seus alunos, o professor

poderá pedir que algumas somas sejam obti-

das dessa maneira e, analogamente ao que foi

realizado para a PA, pedir que generalizem

o algoritmo em uma fórmula que possa ser

36

aplicada a qualquer tipo de PG. Nessa tarefa,

os alunos percorrerão as seguintes etapas:

PG: (a1, a2, a3, ..., an–3, an–2, an–1, an)

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)

Multiplica-se toda a soma pela razão q:

q Sn = a1 q + a2 q + a3 q + ... + an–1 q + an q (II)

Subtrai-se (II) de (I), eliminando-se os pa-

res de termos iguais:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)

q Sn = a1 q + a2 q + a3 q + ... + an–1 q + an q (II)

Sn – q Sn = a1 – an q

Assim, “sobram” apenas o último termo

de (II) e o primeiro termo de (I).

Isola-se Sn:

Sn – q Sn = a1 – an q

Sn (1 – q) = a1 – an q Sn = a1 – an q

1 – q

ou Sn = an q – a1

q – 1.

A expressão da soma dos termos de uma

PG, escrita da forma apresentada anterior-

mente, em função do número de termos (n)

e do último termo (an), tem mais significa-

do para os alunos do que escrita em função

apenas da razão (q) e do número de termos

(n). Por isso, convém ao professor trabalhar

alguns problemas antes de mostrar aos alu-

nos a segunda maneira de escrever a mesma

expressão.

Sn – q Sn = a1 – an q

Sn – q Sn = a1 – a1 qn–1 q

Sn – q Sn = a1 – a1 qn

= =

Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita

1. Calcule a soma dos termos da

progressão (10, 16, 22, ..., 70).

440.

2. Calcule a soma dos termos da progressão

(13, 20, 27, ...), desde o 21o termo até o 51o.

7 998.

3. Calcule a soma dos números inteiros, divi-

síveis por 23, existentes entre 103 e 850.

Os números inteiros, divisíveis por 23, entre 103 e 850, for-

mam a PA de razão 23: (115, 138, ..., 828). Utilizando a fórmula

do termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a fórmula da

soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088.

4. A figura a seguir apresenta os primeiros

elementos de uma sequência de números

chamados números triangulares.

37

Matemática – 1ª série – Volume 1

a) Escreva a sequência numérica correspon-

dente a essa figura, considerando o núme-

ro de bolinhas que formam cada triângulo:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.

b) Que regularidade você observou na

construção desses números triangulares?

Resposta pessoal. Todavia, é conveniente destacar que uma linha

de bolinhas, a partir da inferior, tem sempre uma bolinha a menos.

c) Escreva uma fórmula que permita calcu-

lar um termo qualquer dessa sequência,

utilizando a recorrência, ou seja, definin-

do um termo a partir de seu precedente.

a1 = 1 e a

n = a

n–1 + n.

d) Construa uma fórmula que calcule um

termo qualquer dessa sequência, sem ne-

cessariamente recorrer ao termo anterior.

Para auxiliá-lo nessa tarefa, você pode or-

ganizar os dados na tabela a seguir.

Durante a resolução desse problema, os

alunos podem perceber que um termo qual-

quer da sequência de números triangulares

pode ser expresso por uma fórmula de recor-

rência, incluindo duas informações:

a1 = 1 e an = an–1 + n.

Podem, também, organizar os dados em uma

tabela, como dito anteriormente. Essa estratégia

os levará à fórmula T do termo geral, que pode

ser obtida pela aplicação da fórmula da soma dos

termos da PA de n termos, com a1 = 1 e razão 1:

T = (1 + n) n

2 = n2 + n

2 .

Posição de uma termo

na sequência

Processo de contagem das

bolinhas

Quantidade de bolinhas em cada termo

1 1 1

2 1 + 2 3

3 1 + 2 + 3 6

4 1 + 2 + 3 + 4 10

... ... ...

Após a discussão sobre as questões dessa

atividade, o professor pode, ainda, explorar os

números triangulares, incentivando seus alunos

a descobrir outras propriedades interessantes.

Por exemplo, propondo questões como estas:

(I). Observe que 61 = 55 + 6 (61 é um núme-

ro natural qualquer; 55 e 6 são números

triangulares). Represente o número 84

em forma de adição de, no máximo,

três números triangulares.

Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.

(II). Adicione dois números triangulares

consecutivos. Que característica você

percebe nessa soma?

A soma de dois números triangulares consecutivos é igual a

um número quadrado perfeito:

1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9;

6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25.

5. A seguir, estão os primeiros elementos de

uma sequência de figuras que representam

os chamados números pentagonais.

1 2 3 4 5

38

a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura

dessa sequência? E a sétima?

51 e 70, respectivamente.

b) Observe as regularidades que existem

no processo de construção da Figura

2 a partir da Figura 1, no processo de

construção da Figura 3 a partir da Fi-

gura 2, e assim por diante. Organize os

dados na tabela a seguir e, depois, pro-

cure construir uma fórmula que permi-

ta determinar a quantidade de bolinhas

da Figura n nessa sequência.

Professor, com relação aos números pentago-

nais, reiteramos que a construção de uma tabela

como esta favorece a obtenção de uma fór-

mula de generalização:

Posição da figura na sequência

CálculoNúmero de

bolinhas

1 1 1

21 + 4

a1 + 4

5

35 + 3 3 – 2

a2 +3 3 – 2

12

412 + 3 4 – 2

a3 + 3 4 – 2

22

522 + 3 5 – 2

a4 + 3 5 – 2

35

... ... ...

n – 1

n an – 1

+ 3 n – 2 an = a

n – 1 + 3 n – 2

Caso o aluno encontre dificuldades, durante a

resolução deste problema, o professor pode pro-

por questões que o ajudem a perceber que, a par-

tir da segunda figura, cada termo an da sequência

pode ser obtido pelo acréscimo de três fileiras de n

bolinhas à figura anterior (an – 1), devendo ser sub-

traídas duas unidades, que correspondem às duas

bolinhas que se sobrepõem em dois vértices do

pentágono. No entanto, a fórmula obtida é por

recorrência, e a obtenção da fórmula geral é um

pouco mais difícil, pois cada termo é obtido por

meio de seu antecessor, adicionando a este 3n – 2

bolinhas. Os números que são adicionados estão

na sequência 4, 7, 10, 13, 16, ...

Posição da figura na sequência

Cálculo

1 1

2 1 + 4

3 1 + 4 + 7

4 1 + 4 + 7 + 10

5 1 + 4 + 7 + 10 + 13

... ...

n 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 3 n – 2

A expressão do termo geral dessa soma pode

ser obtida fazendo a1 = 1 e an = 3 n + 2 na ex-

pressão geral da soma da PA, da seguinte forma:

T = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … + 3 n – 2 =

= (a1 + an) n

2 =

(1 + 3n – 2) n

2 =

(3n – 1) n

2 =

= 3 n2 – n

2.

39

Matemática – 1ª série – Volume 1

Assim, o polinômio 3 n2

2 – n

2, sendo n um

número natural diferente de zero, permite

a determinação de um número pentagonal

que ocupa a posição n na sequência. Por

exemplo, o sétimo número pentagonal da

sequência é:

T7 = 3 72

2 –

7

2 =

3 49

2 –

7

2 =

140

2 = 70

6. Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a

soma dos 20 primeiros termos dessa PG,

deixando indicada a potência.

S20

= 1 (220 − 1)

2 − 1

S20

= 220 − 1

7. Resolva a equação 2 + 4 + 8 + ... + x =

= 510, sabendo que as parcelas do primeiro

membro da equação estão em PG.

A razão da PG é 2.

Portanto, 2 (2n − 1)

2 − 1

= 510

2n − 1 = 510 ÷ 2 2n – 1 = 255

2n = 256

n = 8

Logo, x = a8 = 2 28 –1 x = 256.

8. (Vunesp – 2003) Várias tábuas iguais estão

em uma madeireira. A espessura de cada

tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tá-

buas colocando-se uma tábua na primeira

vez e, em cada uma das vezes seguintes,

tantas quantas já tiverem sido colocadas

anteriormente.

Pilha na 1a vez

Pilha na 2a vez

Pilha na 3a vez

Ao final de nove operações, responda:

a) quantas tábuas terá a pilha?

A sequência da quantidade de tábuas colocadas é:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...

O 9o termo da sequência é 256. Portanto, após nove opera-

ções a pilha teria 256 tábuas.

b) qual será a altura da pilha (em metros)?

A altura da pilha será igual a 256 0,5 = 128 cm = 1,28 m.

9. Uma pessoa compra uma televisão para

ser paga em 12 prestações mensais. A pri-

meira prestação é de 50 reais e, a cada

mês, o valor da prestação é acrescido em

5% da primeira prestação. Quando aca-

bar de pagar, quanto a pessoa terá pago

pela televisão?

Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57, 50 +

+ … + 77,50, que resulta em R$ 765,00.

10. A primeira parcela de um financiamento

de seis meses é de 200 reais, e as de-

mais são decrescentes em 5%. Assim, a

segunda parcela é 5% menor do que a

primeira, a terceira parcela é 5% menor

do que a segunda, e assim por diante.

Adotando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73,

calcule:

a) Qual é o valor da última parcela?

Temos uma PG de razão (1 − 0,05) = 0,95 e queremos deter-

minar o sexto termo.

a6 = 200 0,955 = R$ 154,00.

b) Quanto aproximadamente terá sido pago

quando a dívida for totalmente quitada?

40

Devemos calcular a soma dos termos da PG.

S = a

n q − a

1

q − 1

= 200 0,955. 0,95 − 200

0,95 − 1

=

= 200 (0,956 − 1)

−0,05

= −4 000 (0,956 − 1)

−4 000(0,735 − 1) = 1 060.

Assim, o valor pago será aproximadamente R$ 1 060,00.

11. Dada a PA (−4, 1, 6, 11, ...),

responda:

a) qual é o termo geral da sequência?

an = 5n − 9.

b) qual é a soma dos 12 primeiros termos?

282

c) qual expressão pode representar o cál-

culo da soma dos n primeiros termos?

S = (a

1 + a

n) n

2

= (−4 + 5n − 9) n

2

= 1

2

(5n2 −13n).

12. A soma de n termos de uma PA pode ser

calculada pela expressão Sn = 3n2 – 5n.

Sendo assim, responda:

a) qual é a soma dos seis primeiros termos?

S6 = 3 62 − 5 6 = 78.

b) qual é a soma dos sete primeiros termos?

S7 = 3 72 − 5 7 = 112.

c) qual é o sétimo termo?

O sétimo termo é a diferença entre S7 e S

6.

Portanto, a7 = 112 − 78 = 34.

d) quais são os cinco primeiros termos?

a1 = S

1 = −2

a2 = S

2 − a

1 = 2 − (−2) = 4

A PA tem razão 6, e os cinco primeiros termos são:

−2, 4, 10, 16, 22.

13. Um atleta fora de forma, desejando recu-

perar o tempo perdido, planeja correr, dia-

riamente, uma determinada distância de

maneira que, a cada dia, a distância per-

corrida aumente 20% em relação ao que foi

percorrido no dia anterior. Se ele correr 10

quilômetros no primeiro dia:

a) quantos quilômetros correrá no quar-

to dia?

a4 = 10 1,23 = 17,28 km.

b) quantos quilômetros terá percorrido em

dez dias? (Observação: 1,210 6,2.)

Trata-se de calcular a soma dos dez termos de uma PG em

que a1 = 10 e a

10 = 10 1,29.

S = a

n q − a

1

q − 1 =

10 1,29 1,2 − 10

1,2 − 1 =

10 (1,210 − 1)

0,2 =

= 50 (1,210 − 1) = 50 (6,2 − 1) = 260 km.

Aplicações na Matemática Financeira

O crescimento de um capital a uma taxa constante de juros simples se caracte-riza por envolver uma série de termos que formam uma PA. Por outro lado, no cál-culo do crescimento de um capital a uma taxa constante de juros compostos, apare-ce uma PG. No exemplo a seguir, podemos comparar a evolução de um capital inicial quando submetido a juros simples e a ju-ros compostos.

41

Matemática – 1ª série – Volume 1

14. Complete:

Tabela ACapital = C Taxa de juros = 5% ao mês

Evolução do capital a juros

simples

Evolução do capital a juros

compostos

Inicial C C

Depois de um mês

1,05 C 1,05 C

Depois de dois meses

1,10 C 1,052 C

Depois de três meses

1,15 C 1,053 C

Depois de quatro meses

1,20 C 1,054 C

Os valores dessa tabela foram obtidos le-

vando-se em conta que um capital inicial (C),

acrescido de 5%, resulta no capital inicial mul-

tiplicado por 1,05, isto é, resulta em 1,05 C.

Caso incidam 5%, novamente, sobre o capital

já acrescido de 5%, o resultado será igual a

1,10 C, se os juros forem simples, e 1,052 C,

se os juros forem compostos, conforme repre-

sentado nas operações a seguir:

Capital inicial: C.

Acréscimo de 5% sobre C:

C + 5

100 C = C + 0,05 C = 1,05 C.

Acréscimo de 5% de juros simples: 1,05 C + + 0,05 C = 1,10 C.

Acréscimo de 5% de juros compostos:

1,05 C + 5% 1,05 C = 1,05 C (1 + 5%) =

= 1,05 C 1,05 = 1,052 C.

O valor do capital, nos próximos meses

de aplicação, segue a mesma lógica, isto é,

adicionando-se 0,05 C, no caso de juros sim-

ples, e multiplicando-se por 1,05 C, no caso

de juros compostos.

Juros simples não são praticados no mer-

cado financeiro, mas podem servir de con-

texto inicial para a determinação de valores

totais capitalizados em certo período.

15. Suponha que um cidadão aplique men-

salmente, durante 8 meses, uma quantia

fixa de 200 reais a juros simples de 5%.

Ao final, depois dos 8 meses de aplica-

ção, quanto terá acumulado essa pes-

soa? A tabela de capitalização a seguir

pode ajudá-lo a organizar o método

de resolução:

Professor, propondo um problema dessa na-

tureza aos seus alunos, o professor poderá co-

mentar que ele é de fácil resolução por envolver

juros simples, mas que, no caso real de um capi-

tal aplicado a juros compostos, será necessário

um método organizado de resolução. Justifica-

-se, dessa maneira, o processo representado na

tabela seguinte:

42

Tabela B

Mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final

Cap

ital

200 210 220 230 240 250 260 270 280200 210 220 230 240 250 260 270

200 210 220 230 240 250 260200 210 220 230 240 250

200 210 220 230 240

200 210 220 230

200 210 220

200 210

Os 200 reais depositados no primeiro mês

tornam-se 210 reais, no segundo mês, 220 reais,

no terceiro mês, e assim por diante, tornando-se,

ao final, 280 reais. Os 200 reais depositados no

segundo mês, de modo análogo, convertem-se

em 270 reais, ao final de sete meses de aplicação.

Seguindo o raciocínio, o saldo final da aplicação

será o resultado da adição dos valores da última

coluna da tabela, que são os termos de uma PA:

Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 +

+ 260 + 270 + 280

Saldo final = (210 + 280) 8

2 = 1 960

Portanto, o saldo final da aplicação será

igual a R$ 1 960,00.

No caso real, de uma capitalização a juros

compostos, o esquema de resolução será simi-

lar ao apresentado, variando apenas a forma

de crescimento das parcelas aplicadas.

16. Em relação ao problema anterior, alteran-

do apenas a forma de incidência da taxa

de juros, de simples para compostos, pode-

-se construir a Tabela C, que precisa ser

completada:

Tabela C

Mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final

Cap

ital

200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 1,055 200 1,056 200 1,057 200 1,058

200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 1,055 200 1,056 200 1,057

200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 1,055 200 1,056

200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054 200 1,055

200 200 1,05 200 1,052 200 1,053 200 1,054

200 200 1,05 200 1,052 200 1,053

200 200 1,05 200 1,052

200 200 1,05

43

Matemática – 1ª série – Volume 1

A soma dos valores da última coluna da tabela fornece o total capitalizado. Trata-se da soma dos termos de uma PG de razão 1,05.

S = 200 (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 +

+ 1,056 + 1,057 + 1,058)

S = 200 an q – a1

q – 1 =

= 200 1,058 1,05 – 1,05

1,05 – 1

O cálculo dessa soma é trabalhoso se reali-

zado manualmente. Por isso, propomos que os

alunos possam utilizar calculadoras para agi-

lizar a obtenção do resultado, sem qualquer

perda de significado para o conceito. O impor-

tante, aqui, não é saber calcular uma potência,

coisa que os alunos já devem saber, mas sim

obter a expressão numérica que conduz ao

resultado desejado. Todavia, mesmo usando

calculadoras, será interessante simplificar ini-

cialmente a expressão, como neste caso:

S = 200 1,058 1,05 – 1,05

1,05 – 1 (Colocando

1,05 em evidência.)

S = 200 1,05 (1,058 – 1)

0,05 (Dividindo

1,05 por 0,05.)

S = 200 21 (1,058 – 1) = 2005, 31.

Caso o professor opte por não permitir o

uso de calculadoras, o que não aconselhamos,

poderá fornecer aos alunos, previamente,

o valor da potência. No caso, 1,058 1,477.

Dessa forma, a resposta será:

S = 200 21 (1,477 – 1) = 2 003,4.

Comparando os dois resultados do pro-

cesso de capitalização, fica claro que o

processo a juros compostos conduz a um

maior valor final (R$ 1 960,00 em um caso, e

R$ 2 005,31 no outro).

Outra aplicação importante das somas

das progressões diz respeito ao cálculo da

parcela fixa de um financiamento a taxa

constante de juros. De fato, trata-se de um

problema inverso ao que foi analisado há

pouco, isto é, conhece-se o montante final

e deseja-se calcular a parcela mensal do

investimento. Vamos analisar, como exem-

plo, o caso do financiamento da compra de

um automóvel, que custa R$ 10 mil e será

pago em 24 parcelas fixas e mensais, com

juros de 5% ao mês. Em primeiro lugar,

vamos representar o cálculo da parcela de

financiamento, no caso de os juros serem

simples, isto é, incidirem sempre sobre o

valor inicial.

Com taxa de juros simples

Os R$ 10 mil financiados deverão ser cor-

rigidos e devolvidos pelo comprador do bem,

ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro passo

é calcular o juro total da aplicação em juros

44

simples, ou seja, 24 5% = 120%. O valor de

R$ 10 mil deverá ser devolvido corrigi-

do em 120%, isto é, deverão ser devolvidos

R$ 22 mil. Ocorre que o comprador não de-

volve esse valor de uma única vez, mas sim

em parcelas mensais. Assim, o próximo passo

é calcular o valor da parcela, e nesse ponto

é necessário se lembrar do exemplo anterior,

da capitalização a juros simples.

Supomos, então, que certa parcela P é

capitalizada mensalmente, durante 24 me-

ses, a juros simples de 5%. Nessa condição,

ao final dos 24 meses, terá sido capitali-

zado um valor total igual ao resultado da

seguinte soma:

S = P (1,05 + 1,10 + 1,15 + … + 2,15 + 2,20).

Os porcentuais, nesse caso, formam uma

PA. Calculemos a soma desses porcentuais.

S = P (a1 + an) n

2 = P

(1,05 + 2,20) 24

2 =

= P 39

Como a soma S deve coincidir com o va-

lor corrigido do final do financiamento, isto

é, S = 22 000, a parcela mensal P pode ser

assim obtida:

22 000 = P 39 P = 564,10.

Portanto, a juros simples, o valor da parce-

la mensal é igual a R$ 564,10.

Perceba que, apesar de as prestações serem

todas iguais a R$ 564,10, a simples multipli-

cação desse valor pelo número de prestações,

que, neste caso, é 24, não tem como resultado

o valor corrigido da dívida (R$ 22 mil). Essa

diferença acontece porque a primeira parcela

de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será

o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração

vale para todas as parcelas.

Com taxa de juros compostos

Da mesma forma que no caso dos juros

simples, discutido anteriormente, o valor

financiado deve ser corrigido para com-

por o pagamento final. Nesse caso, trata-

-se de corrigir R$ 10 mil, em 24 meses, a

juros compostos de 5%, o que implica mul-

tiplicarmos 10 000 por 1,0524. Isso feito,

teremos R$ 32 251,00. Mas esse valor não

é devolvido de uma única vez, ao final do

financiamento, e sim em parcelas mensais.

Para o cálculo do valor dessa parcela, de-

vemos imaginar alguém que deposite, men-

salmente, um valor P, a juros compostos de

5%, durante 24 meses. Nesse caso, o valor

total depositado será igual ao resultado da

seguinte adição:

S = P (1,05 + 1,052 + 1,053 + ... + 1,0524).

O valor de S, como observado anterior-

mente, é R$ 32 251,00. Para o cálculo da par-

cela P, será preciso calcular a soma da PG

formada pelos termos dentro dos parênteses.

45

Matemática – 1ª série – Volume 1

32 251 = P an q – a1

q – 1 = P

1,0524 1,05 – 1,05

1,05 – 1

32 251 = P 1,05 . (1,05 24 – 1)

1,05 – 1 =

= P 21 (1,0524 – 1)

Dado que 1,0524 3,225, fazemos:

32 251 = P 21 (3,225 – 1)

32 251 = P 46,725 P = 690,23

Portanto, a juros compostos, a parcela de

financiamento deverá ser igual a R$ 690,23.

Os cálculos envolvendo processos de ca-

pitalização e de amortização são comumen-

te vistos em situações do cotidiano, muito

embora nem sempre de forma transparente.

Por isso, é comum que surjam dúvidas por

parte dos alunos, as quais caberá ao profes-

sor esclarecer. No caso que analisamos, do

financiamento de R$ 10 mil, é preciso des-

tacar com muita ênfase dois aspectos gera-

dores de dúvidas. O primeiro deles refere-se

à necessidade de corrigir o valor financiado,

isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524. Os alu-

nos precisam entender que o bem financiado

será considerado quitado apenas quando a

última parcela for paga, e que, por esse mo-

tivo, é preciso considerar a correção do valor

financiado. A segunda dúvida que costuma

ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de

calcular o valor futuro de cada parcela que

vai sendo paga, o que conduz ao cálculo da

soma da PG. É comum os alunos fazerem,

equivocadamente, a simples divisão do resul-

tado do produto 10 000 1,0524 por 24 para

determinar o valor de cada parcela. O profes-

sor deve chamar a atenção dos alunos para o

fato de que as parcelas não são todas pagas

ao final do financiamento, mas sim em tem-

pos diferentes, e que, portanto, o valor futuro

de uma parcela não é igual ao da outra.

Julgamos importante que o professor dis-

cuta alguns exemplos de cálculos de mon-

tantes e de parcelas de amortização, mas não

deixe de retomar o assunto quando abordar o

crescimento exponencial no Volume 2.

Após discutir alguns exemplos com seus

alunos, o professor poderá propor a reso-

lução da seguinte sequência de problemas

exemplares.

17. Uma financeira remunera os valores inves-

tidos à base de 4% de juros simples. Quan-

to conseguirá resgatar nesse investimento

uma pessoa que depositar, mensalmente,

500 reais durante 10 meses?

Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + ... + 700.

S = (520 + 700) 10

2

= 1 220 5 = 6 100

O resgate será de R$ 6 100,00.

18. Laura aderiu a um plano de capitalização de

um banco, depositando, mensalmente, mil

reais durante 12 meses. Se o banco promete

remunerar o dinheiro aplicado à taxa de 2%

de juros compostos ao mês, calcule quanto

Laura resgatará ao final do período.

(Observação: 1,0212 = 1,27.)

46

Trata-se de calcular a soma de termos em PG:

S = 1 000 1,02 + 1 000 1,022 + 1 000 10,23 + ... + 1 000 1,0212

S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + ... + 1,0212)

S = 1 000 a

n q − a

1

q − 1

=

= 1 000 1,0212 1,02 − 1,02

1,02 − 1

=

= 1000 1,02 (1,0212 − 1)

0,02

=

= 1 000 51 (1,0212 − 1) = 51 000 0,27 = 13 770

Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.

19. Carlos deseja comprar um automóvel que

custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00.

Para atingir seu objetivo, Carlos resol-

veu depositar uma quantia x em um

investimento que promete remunerar

o dinheiro aplicado à razão de 10% de

juros simples ao mês. Qual deve ser o

valor mínimo de x para que Carlos con-

siga comprar o automóvel ao final dos

dez meses?

Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos

a soma de termos em PA, da seguinte maneira:

S = 1,1 x + 1,2 x + 1,3 x + ... + 2,0 x

15 500 = x (1,1 + 1,2 + 1,3 + ... + 2,0)

15 500 = x (a

1 + a

n) n

2

15 500 = x (1,1 + 2,0) 10

2

15 500 = x 15,5 x = 1 000

Portanto, a parcela mínima a ser depositada é igual a R$ 1 000,00.

20. Uma geladeira cujo preço à vista é de

R$ 1 500,00 será financiada em seis par-

celas mensais fixas. Se os juros compos-

tos cobrados no financiamento dessa

geladeira são de 3% ao mês, qual é o

valor da parcela mensal? (Observação:

1,036 = 1,19.)

O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a

1 500 1,036 = 1 500 1,19 = 1 785.

A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao

mês, corresponde a: S = P (1,03 + 1,032 + ... + 1,036), onde

P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1 785, tem-se:

1 785 = P 1,036 1,03 − 1,03

1,03 − 1 = P

1,03 (1,036 − 1)

0,03 =

= P 34,33 (1,036 − 1) = P 34,33 0,19 =

= 1 785 = P 6,5227 P = 273,65

Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65.

21. Julia guardou, mensalmente,

200 reais em um banco que re-

munerou seu dinheiro à base de

4% ao mês de juros compostos. Ao final

de 8 meses de aplicação, Julia usou o di-

nheiro que havia guardado para dar de

entrada em um pacote de viagem que

custava, à vista, R$ 5 mil. Julia pretende

financiar o saldo devedor em 5 vezes, em

parcelas iguais e fixas, à taxa de 2% ao

mês. (Observação: 1,048 1,37; 1,025

1,10.)

a) Quanto Julia deu de entrada no pacote

de viagem?

O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de

termos em PG.

S = 200(1,04 + 1,042 + 1,043 + ... + 1,048)

S = 200 1,048 1,04 − 1,04

1,04 − 1

=

= 200 1,04 (1,048 − 1)

0,04

= 200 26 (1,37 − 1) = 1 924

Portanto, foram dados de entrada R$ 1 924,00.

47

Matemática – 1ª série – Volume 1

b) Qual é o valor da parcela mensal fixa

do financiamento do saldo do pacote

de viagem?

O valor financiado foi igual à diferença entre R$ 5 mil e

R$ 1 924,00, ou seja, R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a

2% ao mês, torna-se 3 076 1,025 = 3 383,60.

Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida à base de 2% ao

mês, deve, ao final, gerar montante equivalente a R$ 3 383,60.

3 383,60 = P (1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024 + 1,025)

3 383,60 = P 1,025 1,02 − 1,02

1,02 − 1

=

= P 1,02 (1,025 − 1)

0,02

= P 51 0,10 = P 5,1

3 383,60 = P 5,1 P = 663,45

Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.

Considerações sobre a avaliação

Nesta Situação de Aprendizagem, de for-

ma semelhante ao realizado na anterior, foi

proposto que as somas das PAs e PGs fossem

estudadas paralelamente. Insistimos nessa

prática, pois entendemos que ela valoriza a

percepção de regularidades numéricas possí-

veis de serem traduzidas por equações mate-

máticas, em detrimento da aplicação imediata

de fórmulas na resolução de exercícios des-

contextualizados.

A apresentação das expressões de cálculo

para as somas das sequências foi feita a partir

da ideia de que cálculos que se repetem devi-

do a algum tipo de regularidade podem ser

traduzidos por intermédio de um algoritmo,

isto é, por uma sequência ordenada de passos

que, quando realizada corretamente, conduz

ao resultado desejado de forma mais rápida.

Consideramos importante que os alunos com-

preendam essa ideia e que, após a exercitarem

durante a resolução de alguns problemas,

possam, com autonomia, generalizar em uma

expressão o raciocínio envolvido no algoritmo.

Os instrumentos preparados para a ava-

liação dos conceitos aqui tratados deverão

levar em conta, de acordo com as considera-

ções anteriores, a possibilidade de que sejam

propostos problemas que envolvam tanto

PAs como PGs, desenvolvidos sobre contex-

tos diferentes dos problemas apresentados

e discutidos durante as aulas, com base no

contexto da Matemática Financeira e nos

cálculos de montantes e de parcelas em pro-

cessos de capitalização.

Gostaríamos, ainda, de ressaltar o fato de

que a obtenção de soma de termos de uma PG

exige, via de regra, o cálculo de uma potência

na qual, muitas vezes, a base não é um número

inteiro. As aplicações das progressões à Ma-

temática Financeira são exemplos clássicos

dessas situações. Nesses casos, visando a que

o aspecto da compreensão conceitual não seja

sobrepujado pela dificuldade aritmética, suge-

rimos ao professor que permita o uso de cal-

culadoras, inclusive científicas, até mesmo nas

avaliações individuais. Uma segunda sugestão

é fornecer ao aluno o resultado aproximado

da potência necessária para a resolução da

atividade proposta.

48

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

Conteúdos e temas: soma dos termos de uma PG; limite da soma dos termos de uma PG infinita.

Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; compreender a noção intuitiva de limite de uma função; con-siderar a pertinência da noção de infinito no cálculo de quantidades determinadas.

Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4

Nesta Situação de Aprendizagem, são pro-

postos problemas algébricos e geométricos,

com o objetivo de investigar a soma dos termos

de uma PG infinita, com razão real entre –1

e 1. Nesse percurso, são abordadas, intuitiva-

mente, duas noções extremamente importan-

tes na Matemática: a continuidade e o infinito.

Embora costumem causar certa estranheza

e alguma dificuldade de compreensão, são con-

ceitos que estimulam sobremaneira a curiosida-

de e a intuição e, por consequência, também o

interesse dos alunos pela Matemática.

Quando uma PG tem por razão um núme-

ro real entre –1 e 1, diferente de zero, a sequên-

cia “tende” para zero. Em outras palavras, à me-

dida que aumentamos a quantidade de termos

da sequência, mais o último termo se aproxima

de zero, muito embora nunca seja igual a zero.

A PG 4, 2, 1, 1

2,

1

4, ..., por exemplo,

tende a zero, assim como a progressão

–3, 1, –1

3,

1

9, –

1

27, ... Nesses dois casos,

em que a razão é um número real entre –1

e 1, é possível determinar o termo que de-

sejarmos, mas ele poderá ser tão pequeno

que, dependendo das exigências, poderá ser

considerado nulo. O centésimo termo da

primeira sequência, por exemplo, é igual a

um número que tem 30 zeros após a vírgula,

antes de aparecer o primeiro algarismo não

nulo. É um número pequeno, se for compa-

rado à espessura de um fio de cabelo, mas

não é pequeno, se comparado às dimensões

atômicas. Aumentando ainda mais o nú-

mero de termos, além dos cem, chegará um

momento em que o resultado será pequeno

mesmo quando comparado com a medida

de raios atômicos. Mas o termo ainda não

será nulo e poderá continuar a ser dimi-

nuído. Nesse raciocínio, estão contidas as

ideias de continuidade e de limite.

Conjuntos numéricos infinitos e discre-

tos, como os Naturais e os Inteiros, já foram

estudados em séries/anos anteriores e reto-

mados no Ensino Médio. O fato de esses

conjuntos possuírem quantidade inumerável de

elementos está, normalmente, bem assimilado

pelos alunos, nesta etapa de ensino, uma vez

49

Matemática – 1ª série – Volume 1

que a ideia do “mais 1”, no caso dos Naturais,

ou do “menos 1”, no caso dos Inteiros, carac-

terísticas dos conjuntos discretos, vem sendo

apresentada a eles desde que começaram sua

escolaridade. A dificuldade surge na passagem

do discreto para o contínuo, quando a noção

de infinito ganha uma nova dimensão. Como

explicar, por exemplo, que um segmento AB,

de determinado comprimento, pode ser divi-

dido em tantas partes quantas se desejar, não

havendo medida limite para o comprimento de

cada uma das partes que surgem?

Na Grécia antiga, a contraposição entre discreto e contínuo já trazia alguns pro-

blemas de interpretação. Para os pitagóricos, o número era a referência de toda

dúvida e toda dificuldade. Segundo eles, se não fosse pelo número e por sua na-

tureza, nada do que existe poderia ser compreendido por alguém, nem em si mesmo, nem

com relação a outras coisas. Os números constituíam o verdadeiro elemento de que era feito

o mundo. Chamavam um ao ponto, dois à linha, três à superfície e quatro ao sólido. A partir

de Um, Dois, Três e Quatro, podiam construir um mundo.

A concepção geométrica dos gregos do século V a.C., influenciada pela visão dos pitagó-

ricos, entendia que o número de pontos de uma linha determinada seria finito, muito embora

não fosse possível quantificá-los. Em outras palavras, a noção do contínuo não fazia parte das

ideias geométricas de então. Essa concepção de uma série de pontos justapostos, como uma

grande fila, de maneira que qualquer segmento pudesse ser mensurável, quantificado como

uma determinada quantidade de pontos, caiu por terra a partir da descoberta da incomensu-

rabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado.

Para refletir:

Dentre os conjuntos numéricos que

você já estudou, qual deles nos permite

representar grandezas contínuas?

cialmente o paradoxo da corrida entre Aquiles e

a tartaruga, que discutiremos mais adiante. Pa-

rece-nos, portanto, que o contexto de PGs pode

ser uma boa introdução da noção de infinito

associada à de continuidade dos números reais.

Para introduzir o limite da soma dos in-

finitos termos de uma PG, sugerimos que o

professor recorra, prioritariamente, à intui-

ção dos alunos, deixando a necessária forma-

lização para mais tarde, quando o conceito

estiver razoavelmente construído. Nesse sen-

tido, o professor pode partir do cálculo da

O professor poderá comentar com seus

alunos alguns dos aspectos históricos que lo-

calizam a crise da escola pitagórica em rela-

ção ao número 2 e à descoberta dos irra-

cionais. Uma boa “entrada” para a questão

é a apresentação dos paradoxos de Zenão, espe-

50

soma de termos de uma PG com as carac-

terísticas desejadas, aumentando, pouco a

pouco, o número de termos, a fim de intuir

a ideia de que haverá um limite para a soma,

como na atividade a seguir, que comentamos

em detalhes.

Desafio!

O triângulo ABC da figura a seguir é equilátero de lado 1u. Unindo os pontos médios dos

lados desse triângulo, obtemos o segundo triângulo PQR. Unindo os pontos médios dos lados

do triângulo PQR, obtemos o terceiro triângulo STU, e assim sucessivamente. Determine a soma

dos perímetros dos infinitos triângulos construídos por esse processo.

a) Quanto mede o lado PQ do triângulo PQR? E os lados PR e RQ?Todos os lados medem

1

2 u.

b) Qual é o perímetro dos triângulos ABC, PQR e STU?Perímetro de ABC = 3 u

Perímetro de PQR =

3

2 u

Perímetro de STU =

3

4 u

c) Escreva uma sequência numérica cujos termos são os perímetros

dos triângulos ABC, PQR, STU e de mais outros dois triângulos cons-

truídos segundo o mesmo critério.

3u, 3

2 u,

3

4 u,

3

8 u,

3

16 u.

Para essas questões, é importante que o pro-

fessor discuta, inicialmente, que, dado um triân-

gulo ABC, se P e Q são pontos médios dos lados

AB e BC, respectivamente, então PQ é paralelo

a AC, e sua medida é igual à metade de AC. O

mesmo vale para os demais lados do triângulo

PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero.

Dessa forma, os perímetros dos triângulos

da figura são 3u, 3

2 u e

3

4 u.

A sequência de triângulos assim construí-

dos terá perímetros respectivamente iguais a:

3u, 3

2 u,

3

4 u,

3

8 u,

3

16 u, ...

Após esse trabalho inicial, sugere-se que

os alunos calculem as somas dos perímetros:

dos dois primeiros, dos três primeiros, e as-

sim por diante.

Assim, os alunos obteriam as seguintes somas:

A

PB

C

QR U

TS

51

Matemática – 1ª série – Volume 1

S1 = 3

S2 = 3 + 3

2 =

9

2 = 4,5

S3 = 3 + 3

2 +

3

4 =

21

4 = 5,25

S4 = 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 =

45

8 = 5,625

S5 = 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 +

3

16 =

93

16 = 5,8125

S6 = 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 +

3

16 +

3

32 =

= 189

32 = 5,90625

S7 = 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 +

3

16 +

3

32 +

3

64 =

= 381

64 = 5,953125

Após esses cálculos, o professor poderia

solicitar que os alunos fizessem suas conjec-

turas a respeito deles, procurando responder à

questão: O que acontece à soma se as parcelas

forem aumentando com os perímetros de outros

triângulos da sequência?

É importante discutir com a turma que as

somas aumentariam, com o acréscimo de novas

parcelas, mas esse crescimento é cada vez menor.

O uso da fórmula da soma dos termos de

uma PG pode ampliar essa discussão:

S = an . q – a1

q – 1 =

an . 1

2 – 3

1

2 – 1

=

an

2 – 3

– 1

2

A soma assim obtida está em função de

an, aqui considerado o último termo. O ques-

tionamento a seguir é sobre o que ocorre com

an, à medida que n cresce muito. As respostas

dos alunos tendem a caminhar no sentido da

intuição de que o último termo da sequên-

cia, supondo grande número de termos, será

praticamente zero ou, como o professor pode-

rá comentar, “tenderá a zero”. Assim, por meio

da ideia de limite, pode-se perguntar aos alunos

como fica a expressão da soma, uma vez que an é praticamente nulo. O correto será, nesse mo-

mento, substituir “S” por “lim Sn ∞

”.

lim Sn ∞

=

an

2 – 3

– 1

2

= 0 – 3

– 1

2

= 6

Esse resultado nos diz que, quanto mais

termos acrescentarmos à soma em questão,

mais nos aproximaremos do valor limite, 6,

sem jamais alcançá-lo.

Assim, podemos escrever que a série infini-

ta 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 +

3

16 + ... = 6, ou seja, o

limite da soma quando n tende ao infinito é 6.

Reproduzindo esse raciocínio na expres são

do cálculo da soma da PG, obtém-se a expres-

são do limite da soma dos infinitos termos de

uma PG com razão no intervalo –1 < q < 1,

que é esta:

lim Sn ∞

= a1

1 – q

A partir dessa discussão, será possível pro-

por aos alunos a resolução das seguintes situa-

ções-problema exemplares.

52

1. Por mais que aumentemos o

número de termos na adição

S = 2 + 1

2 +

1

8 +

1

32 + ...,

existirá um valor limite, isto é, um valor do

qual a soma se aproxima cada vez mais, sem

nunca atingi-lo? Qual é esse valor?

O valor procurado corresponde ao limite da soma de uma

PG de razão 1

4

para o número de termos tendendo a infinito.

Ou seja: lim Sn ∞

= a

1

1 − q

=

1 − 1

4

2 =

8

3

Portanto, por mais que aumentemos a quantidade de parce-

las da soma, nunca ultrapassaremos o valor 8

3

, embora cada

vez mais nos aproximemos dele.

2. Calcule o resultado limite das seguintes somas:

a) S = –10 + 1 – 0,1 + 0,01 – 0,001 +

+ 0,0001 – ...

− 100

11

b) S = 2

5 +

1

5 +

1

10 +

1

20 +

1

40 + ...

4

5

3. Uma bola de borracha cai da altura de 6 m,

bate no solo e sobe até a terça parte da altu-

ra inicial. Em seguida, a bola cai novamen-

te, bate no solo, inverte o sentido de movi-

mento, e sobe até atingir a terça parte da

altura anterior. Continuando seu movimen-

to segundo essas condições, isto é, atingin-

do, após cada batida, a terça parte da altura

que atingiu após a batida imediatamente

anterior, qual será a distância vertical total

percorrida pela bola até parar?

6 m

Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela

bola, durante as descidas:

Sdescida

= 6 + 2 + 2

3 +

2

9 + ...

Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela

bola, durante as subidas:

Ssubida

= 2 + 2

3 +

2

9 + ....

Ssubida

= lim Sn ∞

= a

1

1 − q

=

1 − 1

3

2 = 3

Sdescida

= 6 + 3 = 9

Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual

a Sdescida

+ Ssubida

= 12 m.

4. Resolva a equação em que o primeiro termo

da igualdade é o limite da soma dos termos

de uma PG infinita: x

2 + x

8 + x

32 + ... = 18.

1 − 1

4

x

2

= 18 x = 27

© C

onex

ão E

dito

rial

53

Matemática – 1ª série – Volume 1

Será mesmo verdade que ele nunca alcançará

a tartaruga?

a) Escreva a sequência das distâncias que

Aquiles percorre até chegar ao ponto

em que a tartaruga estava a cada vez.

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

b) A sequência das distâncias é uma PG.

Qual é a razão dessa PG?

0,1.

c) Calcule a soma das infinitas distâncias

percorridas por Aquiles até chegar ao

ponto em que se encontrava a tartaruga

a cada vez.

lim Sn ∞

= a

1

1 − q

= 10

1 − 0,1

= 10

0,9

= 100

9

m.

d) Quantos metros percorrerá Aquiles até

alcançar a tartaruga? Ou você acha que

ele não a alcançará?

Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer 100

9

m.

6. Escreva a expressão

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ... como um pro-

duto de potências de dois e, em seguida,

encontre o valor da expressão.

A expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... = 2

1

2

1

4

1

8

1

16

1

2+

1

4+

1

88+

1

16+ ...

Trata-se de calcular o limite da soma da PG de primeiro termo

igual a 1

2

e razão igual a 1

2

, cujo resultado é 1. Assim, o

resultado da raiz é igual a 21 = 2.

5. (Adaptado do Paradoxo de Ze-

não) Uma corrida será disputada

entre Aquiles, grande atleta grego, e

uma tartaruga. Como Aquiles é dez vezes

mais rápido do que a tartaruga, esta partirá

10 m à frente de Aquiles, conforme represen-

tado no esquema a seguir.

10 m

Quando Aquiles chegou ao ponto em que

a tartaruga estava inicialmente, depois de per-

correr 10 m, a tartaruga, dez vezes mais lenta,

estava 1 m à frente.

1 m

Aquiles, então, correu 1 m, até o ponto em

que a tartaruga estava, mas ela já não estava mais

lá: estava 10 cm à frente, pois correu, no mesmo

intervalo de tempo, dez vezes menos que Aquiles,

e a décima parte de 1 m corresponde a 10 cm.

10 cm

Repetindo esse raciocínio para os inter-

valos de tempo seguintes, parece que Aquiles

nunca alcançará a tartaruga, pois ela sempre

terá percorrido 1

10 do que Aquiles percorrer.

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial

54

7. Uma dívida foi paga, mensalmente, da se-

guinte maneira:

1o mês: metade do valor inicial da dívida;

2o mês: metade do valor restante após o pa-

gamento da parcela anterior;

3o mês: metade do valor restante após o

pagamento da parcela anterior;

4o mês: metade do valor restante após o

pagamento da parcela anterior.

E assim sucessivamente, até a quitação to-

tal da dívida.

Verifique que a soma das parcelas pagas

corresponde ao valor total da dívida.

Levando-se ao pé da letra a descrição fornecida no enuncia-

do, a dívida jamais seria paga, pois sempre restaria um resíduo,

por menor que fosse. Podemos, no entanto, calcular o limite

da soma da PG formada pelas parcelas, pois esse será o valor

limite da dívida. Chamando de x o valor total da dívida,

S = x

2

+ x

4

+ x

8

+ x

16

+ ... = a

1

1 − q

=

=

1 − 1

2

x

2

=

1

2

x

2 = x

Portanto, a soma das parcelas é igual ao valor da dívida, como

era de esperar.

8. Determine a geratriz da dízima 1,777...

O aluno deverá decompor a dízima em uma soma:

1,777... = 1 + 0,777... = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + ...

Depois, sugira que escreva essa soma utilizando frações para re-

presentar os números envolvidos. Assim,

1,777... = 1 + 0,777... = 1 + 0,7 + 0,07 +

0,007 + = … 1 + 7

10

+ 7

100

+ 7

1 000

+ ...

Desse modo, os alunos concluirão que as parcelas 7

10

, 7

100

,

7

1000

, ... formam uma PG infinita de razão q = 1

10 e primeiro

termo a1 =

7

10

.

Assim, aplicando a fórmula do limite da

soma lim lim Sn

n ∞ = a

1

1 − q

, obtém-se:

lim Sn

n ∞ = a

1

1 − q =

1 − 1

10

7

10 =

9

10

7

10 =

7

9 .

Desse modo, a geratriz de 1,777... será

1 + 7

9

= 16

9

.

Considerações sobre a avaliação

Nesta Situação de Aprendizagem, abor-

damos dois conceitos matemáticos bem

abrangentes, que foram os conceitos de con-

tinuidade e de infinito. Isso se deu a partir

do trabalho com situações-problema, cujas

resoluções implicavam a soma dos termos de

uma PG infinita, com razão real entre –1 e

1. Não existe, de forma alguma, a pretensão

de que esses conceitos sejam perfeitamente

compreendidos nesta etapa de escolarização,

na 1a série do Ensino Médio. Existe, sim, a in-

tenção de que possam ter sido apontadas re-

lações que serão exploradas na 3a série, quan-

do os alunos estiverem estudando o conjunto

de todas as funções e as taxas de variação.

55

Matemática – 1ª série – Volume 1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 FUNÇÕES COMO RELAÇÕES DE INTERDEPENDÊNCIA:

MÚLTIPLOS EXEMPLOS

Conteúdos e temas: interdependência entre grandezas; proporcionalidade direta e inversa; funções: variável dependente e variável independente; exemplos diversos.

Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade direta e inversa como relações de interdependência; expressar a interdependência entre grandezas por meio de funções; contextuali-zar a ideia de função e enfrentar situações-problema relativas ao tema.

Sugestão de estratégias: utilização de diversas linguagens para traduzir a ideia de função (gráficos, ta-belas, expressões algébricas etc.); exercícios referentes a situações-problema em diferentes contextos, envolvendo a ideia de função.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 5

O texto a seguir constitui apenas um ro-

teiro para a apresentação inicial da ideia de

função, ou seja, uma organização dos fatos

já conhecidos sobre o tema. Cabe ao pro-

fessor apresentá-lo detalhadamente ou não,

ou passar diretamente à exploração das ati-

vidades propostas.

Com relação aos instrumentos pensados

para a avaliação dos conceitos trabalha-

dos no período, valem, aqui, as considera-

ções feitas na Situação de Aprendizagem

anterior a respeito da permissão do uso

de calculadoras ou das informações dadas

sobre o resultado das potências de expoen-

tes elevados.

Grandezas e funções

A altura de uma árvore que plantamos no quintal ao longo do tempo, o peso de uma pes-

soa ao longo de sua vida, o preço do barril de petróleo a cada dia, a produção de automóveis

de um país ano após ano, a temperatura de um refrigerante colocado em uma geladeira, o

preço a pagar por uma corrida de táxi são alguns exemplos de grandezas.

Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma que assumam

valores inter-relacionados. Quando, deixando variar livremente os valores de uma grandeza x,

notamos que os valores de outra grandeza y também variam, de tal forma que a cada valor

de x corresponde um e somente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x; dizemos

ainda que x é a variável independente e y é a variável dependente. Por exemplo:

56

a) a área A de um quadrado é uma função de seu lado x; se os valores de x variarem

livremente (natural mente, x não pode assumir valores negativos), então os valores de

A variarão em função de x, portanto, A = f(x). Nesse caso, temos: A = f(x) = x2;

b) a altura H de uma pessoa é uma função de sua idade t; podemos escrever H = f(t),

pois a cada valor de t corresponde um único valor de H. No caso, não sabemos ex-

primir a relação de interdependência f(t) por meio de uma fórmula.

Quando x e y são duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou di-

minuem simultânea e proporcionalmente, ou seja, a razão yx

é constante, resultando em

y = k ∙ x (k é uma constante). Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais, sem-

pre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o

produto das duas permanece constante: x y = k, ou seja, y = kx

, onde k é uma constante não nula.

Quando observamos os valores de duas grandezas interdependentes, x e y, e notamos

que um aumento no valor de x acarreta um aumento no valor de y, ou, então, um aumento

no valor de x provoca uma diminuição no valor de y, somos tentados a dizer que x e y va-

riam de modo diretamente proporcional, no primeiro caso, ou inversamente proporcional,

no segundo. Entretanto, tais afirmações nem sempre são corretas, uma vez que, como visto

anteriormente, a proporcionalidade direta exige mais do que um aumento simultâneo nos

valores de x e y; pois é preciso que a razão yx

seja constante e resulte em y = kx (k é uma

constante). Do mesmo modo, a proporcionalidade inversa é mais do que uma diminuição nos

valores de uma das grandezas quando o outro aumenta; em outras palavras, é necessário que o

produto dos valores de x e y permaneça constante, ou seja, x ∙ y = k (k é constante).

1. Em cada um dos casos apresen-

tados a seguir, verifique se há ou

não proporcionalidade. Se existir,

expresse tal fato algebricamente, indicando o

valor da constante de proporcionalidade. Em

caso negativo, justifique sua resposta.

a) A altura a de uma pessoa é diretamente

proporcional à sua idade t?

A altura a de uma pessoa é uma função de sua ida-

de t, mas não é diretamente proporcional a t. De

fato, não é verdade que, sempre que a idade de

uma pessoa duplica, sua altura também duplica; não

é verdade que, se a idade triplica, a altura triplica

proporcionalmente. Se houvesse proporcionalida-

de entre a e t, imaginem a altura de uma pessoa

aos dez anos, sabendo que, aos dois anos, ela tinha

90 cm de altura...

57

Matemática – 1ª série – Volume 1

b) A massa m de uma pessoa é diretamen-

te proporcional à sua idade t?A massa m de uma pessoa é uma função de sua idade t,

mas não é diretamente proporcional a t. Se houvesse pro-

porcionalidade direta, uma criança com 1 ano e 10 quilos

teria quantos quilos aos 15 anos?

c) O perímetro p de um quadrado é direta-

mente proporcional ao seu lado a?

O perímetro p de um quadrado é uma função de seu lado a. No

caso, p = f(a) = 4a. Se o lado a aumenta, o perímetro p aumenta

proporcionalmente. O perímetro p é direta mente proporcional

ao lado a, sendo a constante de proporcionalidade igual a 4.

d) A diagonal d de um quadrado é direta-

mente proporcional ao seu lado a?

A diagonal d de um quadrado é uma função do lado a; ela

é diretamente proporcional ao lado a. Temos, neste caso,

d = a 2 . A constante de proporcionalidade é k = 2 .

e) O comprimento C de uma circunferên-

cia é diretamente proporcional ao seu

diâmetro d?

O comprimento C de uma circunferência é uma função do diâ-

metro d; no caso, C é diretamente proporcional a d, e temos

C = f(d) = d, ou seja, a constante de proporcionalidade é k = . Tam-

bém podemos escrever C = 2 r, onde r é o raio da circunferência.

Trata-se de verificar se há proporcionalida-

de direta ou não entre vários pares de gran-

dezas, expressando algebricamente tal fato e

indicando o valor da constante de proporcio-

nalidade, quando possível.

2. As tabelas a seguir relacionam pares de

grandezas. Indique se existe ou não pro-

porcionalidade (direta ou inversa).

a) Produção de automóveis e produção de

tratores (anual, em milhares).

Países Automóveis TratoresA 100 8

B 150 12

C 200 16

D 225 18

E 250 20

F 300 24

G 350 28

H 400 32

I 450 36

A produção de automóveis cresce simultaneamente com a

produção de tratores; ou seja, ela é diretamente proporcional

à produção de tratores.

b) Área destinada à agricultura e área des-

tinada à pecuária (em 1 000 km2).

Países Agricultura Pecuária

A 80 60

B 100 70

C 110 80

D 120 98

E 150 100

F 160 124

G 180 128

H 200 132

I 250 136

A área destinada à agricultura cresce simultaneamente em

relação à área destinada à pecuária, mas essas grandezas não

são proporcionais.

58

c) Produto Interno Bruto (PIB, em mi-

lhões de dólares) e Índice de Desenvol-

vimento Humano (IDH).

Países PIB IDHA 300 0,90

B 400 0,92

C 510 0,80

D 620 0,88

E 750 0,78

F 760 0,89

G 880 0,91

H 1 000 0,80

I 1 100 0,86

Não é verdade que, se o PIB aumenta, então o IDH aumenta;

também não é verdade que, se o PIB diminui, então o IDH

diminui. Logo, as grandezas envolvidas não são nem direta

nem inversamente proporcionais.

d) Expectativa de vida (em anos) e índice de

analfabetismo (percentual da população).

PaísesExpectativa de

vidaÍndice de

analfabetismo

A 67 11

B 68 10

C 69 9

D 70 8

E 71 7

F 72 6

G 73 5

H 74 4

I 75 3

Ainda que não haja proporcionalidade inversa, quando o índi-

ce de analfabetismo diminui, a expectativa de vida aumenta,

e vice-versa.

O objetivo das tabelas é apenas apresentar

exemplos de duas grandezas que podem crescer

ou decrescer conjuntamente, ou então podem

variar em sentidos opostos (quando uma cres-

ce, a outra decresce) sem que haja proporciona-

lidade direta ou inversa. Apenas no exemplo

do item a, a grandeza da primeira coluna é

diretamente proporcional à grandeza da segun-

da coluna, sendo a constante de proporcionali-

dade igual a 12,5; nos outros casos, nem a razão

entre as grandezas é constante, nem o produto

delas o é, ou seja, em cada um dos pares, não há

proporcionalidade direta, nem inversa.

3. Um prêmio P da loteria deve ser dividido em

partes iguais, cabendo um valor x a cada um

dos n ganhadores. Considerando um prêmio P

de R$ 400 mil, preencha a tabela a seguir e ex-

presse a relação de interdependência entre x e n.

n 1 2 3 4 5 8 10 20

x

A partir do fato de que os R$ 400 mil serão divididos em par-

tes iguais entre os n ganhadores, concluímos que a cada um

deles corresponderá um valor x, sendo n x = 400 000, ou

seja, n e x são inversamente proporcionais: x = f(n) = 400 000

n

n x1 400 000

2 200 000

3 133 333

4 100 000

5 80 000

8 50 000

10 40 000

20 20 000

59

Matemática – 1ª série – Volume 1

4. Para cortar a grama de um canteiro quadrado

de 5 m de lado, um jardineiro cobrou 20 reais.

Mantida a proporção, para cortar a grama de

um canteiro quadrado de 15 m de lado, quan-

to o jardineiro deverá cobrar? A quan tia a co-

brar C é diretamente proporcional à medida

x do lado do canteiro quadrado?

Afirma-se que, para cortar a grama de um canteiro qua-

drado de 5 m de lado, ou seja, de área 25 m2, um jardi-

neiro cobrou 20 reais, ou seja, ele cobrou 80 centavos por

m2. Mantida esta proporção, para cortar a grama de um

canteiro com 15 m de lado, ou seja, com área de 225 m2,

ele deverá cobrar 225 0,80, ou seja, 180 reais. Outra ma-

neira de encaminhar a solução é a seguinte: a quantia a

ser cobrada é diretamente proporcional à área do cantei-

ro, e não ao seu lado; se o lado triplicou, a área tornou-se

9 vezes maior, e a quantia a ser paga deverá ser 9 vezes

maior. Faça uma figura de um quadrado com lado x (e

área x2) e de outro com lado 3x, para mostrar que a área

do maior é 9x2.

5. A tabela a seguir relaciona os va-

lores de três grandezas, x, y e z, que

variam de modo inter-relacionado:

x 1 3 4 5 10 15 40 50 150y 7 21 28 35 70 105 280 350 1 050z 300 100 75 60 30 20 7,5 6 2

Verifique se os diversos pares de gran-

dezas (x e y, y e z, x e z) são direta ou

inversamente proporcionais. Justifique

sua resposta.

Os pares de grandezas x e y são diretamente proporcionais,

com constante de proporcionalidade igual a 7, enquanto os

pares y e z, x e z são grandezas inversamente proporcionais,

com constantes iguais a 2 100 e 300, respectivamente.

6. Quando uma pedra é abandonada em que-

da livre (sem considerar a resistência do ar

ao movimento), a distância vertical d que

ela percorre em queda é diretamente pro-

porcional ao quadrado do tempo t de que-

da, ou seja, d = k t2. Considere que, após

1 segundo de queda, a pedra caiu 4,9 m, e,

então, responda:

a) qual é o valor da constante de propor-

cionalidade k?

b) qual será a distância vertical percorrida

após 5 segundos?

c) quanto tempo a pedra levará para cair

49 metros?

Notamos que a distância vertical d que a pe dra percorre não

é diretamente proporcional ao tempo t de queda, mas sim ao

quadrado de t: d = kt².

a) Se t = 1, então d = 4,9 m, ou seja, substituindo os valores de

t e de d, temos, k = 4,9.

b) Para calcular a distância vertical percorrida após 5 s,

basta substituir t por 5, obtendo-se d = 4,9 . 52, ou seja,

d = 122,5 m.

c) Substituindo-se d por 49, obtemos o tempo que a pedra

levará para cair 49 m: 49 = 4,9 t2, ou seja, t = 10 3,16 s.

Gráficos de funções

Dada uma função y = f(x), o conjunto de pontos (x,y) do plano cartesiano é tal que y = f(x) constitui o gráfico da função. No caso das grandezas diretamente propor-

cionais, sendo yx

= constante = k, ou seja,

y = f(x) = kx, então o gráfico correspon-

60

dente é uma reta que passa pela origem do

sistema de coordenadas:

y = f(x) = kx

y1

x10

y2

y

x2

y3

x3

x

y1

x1

= y2

x2

= y3

x3

= const. = k

Quando duas grandezas x e y variam de

tal forma que y = kx + h, ou seja, f(x) = kx + h

(k e h constantes), y e x não são diretamen-

te proporcionais, mas existe uma propor-

cionalidade direta entre os valores de y – h

e os de x. A representação gráfica corres-

pondente é uma reta com inclinação k; h é

o valor inicial a partir do qual a variação

em y é diretamente proporcional a x. (No

caso particular de termos h = 0, então a

reta passa pela origem.)

x1

0

y

h

x2 x3 x

y1 − h

y1

y2 − h

y2

y3 − h

y3

y1 – hx1

= y2 – hx2

= y3 – hx3

= const. = k

No caso da proporcionalidade inversa,

temos a relação xy = k, ou seja, f(x) = kx

,

quanto mais aumenta o valor de x, menor é

o valor correspondente de y, e vice-versa; o

gráfico correspondente é uma curva chamada

hipérbole (observe a figura a seguir).

f(x) = kx

y

7. O valor a ser pago por

uma pessoa para abastecer

com combustível seu auto-

móvel varia proporcionalmente em fun-

ção da quantidade de litros de combus-

tível utilizada. Isso significa dizer que o

preço é uma função da quantidade de

litros de combustível que abastece o au-

tomóvel. Vamos imaginar que o litro da

gasolina custe R$ 2,50. Denotando por

P o preço a ser pago e por ℓ a quantida-

de de litros de gasolina com que um au-

tomóvel é abastecido, pede-se:

a) Complete a tabela a seguir, que relacio-

na P com ℓ.

ℓ 0 1 2 3 4 6P 0 2,50 5,00 7,50 10,00 15,00

b) Qual é o preço a ser pago quando se

abastece o carro com 10 litros?

25 reais.

x

61

Matemática – 1ª série – Volume 1

c) Calcule a diferença entre os preços a se-

rem pagos quando se abastece um carro

com 15 e 16 litros.

ℓ 15 16P 37,50 40,00

A diferença será R$ 2,50, o que equivale a um litro.

d) Observando a tabela, concluímos que P e ℓ são grandezas diretamente proporcio-nais, isto é, P

ℓ = constante = k, ou seja,

P = f(ℓ) = k ℓ. Determine o valor de k.

P

ℓ = 2,5

P = f(ℓ) = 2,5 ℓ; portanto, k = 2,5.

e) Na função y = f(x), o conjunto de pon-

tos (x,y) do plano cartesiano em que

y = f(x) constitui o gráfico da função.

Construa, em um plano cartesiano, o

gráfico da função P = f(ℓ).

O gráfico será uma semirreta como a representada a seguir.

P (R$)

0 1 2 3 4 5

ℓ (litros)

2,50

5,0

7,50

10,00

12,50

8. As funções na forma y = f(x) = kx

representam situações em que estão

envolvidas duas grandezas, x e y,

diretamente proporcionais. Elabore quatro si-

tuações distintas envolvendo duas grandezas

diretamente proporcionais e construa seus res-

pectivos gráficos cartesianos. Com base em

sua observação a respeito dos gráficos, mostre

o que eles têm em comum.Dada uma função y = f(x), o conjunto de pontos (x,y) do pla-

no cartesiano, tal que y = f(x), constitui o gráfico da função.

No caso das grandezas diretamente proporcionais, sendo

y

x = constante = k, ou seja, y = f(x) = kx, então o gráfico

correspondente é uma reta que passa pela origem do sistema

de coordenadas:

y

x1 x2 x3 x

y1

y2

y2

y = f(x) = kx

y1 x1

= y2

x2

= y3

x3

= const. = k

9. Fixada a temperatura T, a pressão P e o vo-

lume V de um gás, pode-se dizer que eles va-

riam segundo a sentença P V = k (k é uma

constante). Faça uma pesquisa sobre essa re-

lação e esboce o gráfico de P em função de V.

(Dica: você poderá pesquisar sobre esse

assunto em livros de Química.)

Fixada a temperatura T, a pressão P e o volume V de um gás

variam segundo a expressão P V = k (k é uma constante).

O gráfico de P em função de V é uma hipérbole, e é muito

fácil de se encontrar outros exemplos desse gráfico em livros

de Química:

62

P

V1 V2 V

P2

P1

P V = k (T constante)

10. O preço P a ser cobrado em

uma corrida de táxi é compos-

to por uma quantia a fixada,

igual para todas as corridas, mais uma par-

cela variável, que é diretamente proporcio-

nal ao número x de quilômetros rodados:

P = a + bx (b é o custo de cada quilômetro

rodado).

Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8 x

(P em reais e x em quilômetros).

a) Qual será o preço cobrado por uma cor-

rida de 12 km?

b) Calcule a diferença entre os preços de

duas corridas, uma de 20 km e outra,

de 21 km.

c) Esboce o gráfico de P em função de x.

Este é mais um exemplo de uma situação em que a propor-

cionalidade direta existe apenas no cálculo da parcela variável

da corrida de táxi, existindo outra parcela fixa, independente-

mente dos quilômetros rodados. Temos, no caso, P = 15 + 0,8 x

(P em reais e x em km; 0,8 reais é o custo de cada quilômetro

rodado). Assim, P não é diretamente proporcional a x.

a) Em uma corrida de 12 km, ou seja, para x = 12, resulta

P = 15 + 0,8 12 = R$ 24,60.

b) A diferença entre os custos de uma corrida de 20 km

e outra de 21 km é o custo de 1 km rodado, ou seja,

80 centavos.

c) O gráfico de P em função de x é uma semirreta com

inclinação 0,8, com origem no eixo vertical (OP) no pon-

to de ordenada 15.

P

x

15

10,8

0

P = 15 + 0,8x

11. Na casa de uma família que gasta cerca de

0,5 kg de gás de cozinha por dia, a massa

de gás m contida em um botijão doméstico de

13 kg varia com o tempo de acordo com a

fórmula m = 13 – 0,5 t, onde t é o tempo

em dias.

a) Calcule o número de dias necessários

para um consumo de 6 kg de gás.

b) Calcule a massa de gás que resta em um

botijão após 10 dias de uso.

c) Esboce o gráfico de m em função de t. Neste caso, temos uma variação proporcional em uma gran-

deza decrescente: se o consumo diário é sempre 0,5 kg por

dia, então a massa do gás consumido é diretamente propor-

cional ao número de dias, e a massa restante no botijão é a

diferença entre o valor inicial, 13 kg, e a massa consumida, ou

seja, m = 13 − 0,5 t (t em dias).

a) O número x de dias necessários para consumir 6 kg de gás

é tal que 0,5x = 6, ou seja, x = 12 dias.

63

Matemática – 1ª série – Volume 1

b) A massa de gás que resta em um botijão após 10 dias de

uso é m = 13 − 0,5 10 = 8 kg.

c) O gráfico de m em função de t é um segmento de reta

que corta o eixo 0m no ponto de ordenada 13 e decresce

a uma taxa de −0,5 kg por dia:

m

t

13

260

1– 0,5

12. O gráfico a seguir mostra o ní-

vel da água armazenada em uma

barragem ao longo de um ano.

Analise atentamente o gráfico e responda

às questões a seguir.

tempo

nível (m)

100

90

80

10

a) Qual foi o menor nível de água armaze-

nada na barragem? E o maior?

Da observação direta do gráfico, concluímos que o nível míni-

mo da água armazenada foi de 10 m, e o máximo foi de 100 m.

b) Quantas vezes no ano a barragem atin-

giu o nível de 40 m? E o nível de 95 m?

Analogamente, observamos que o nível de 40 m foi atin-

gido duas vezes no ano; já o nível de 95 m foi atingido

seis vezes ao longo do ano, conforme se pode observar no

gráfico a seguir:

tempo

nível (m)

100

90

80

10

95

40

13. O número N de dias necessários para esva-

ziar um reservatório de água de 20 000 litros

depende do consumo diário de água. Se o

consumo for de x litros por dia, então os va-

lores de N e x devem satisfazer à condição

N x = 20 000.

a) Calcule os valores de N para x1 = 500 ℓ

por dia e para x2 = 800 ℓ por dia.

b) Esboce o gráfico de N em função de x.

Para esvaziar um reservatório de 20 000 ℓ, se o consumo diário

for x litros por dia, serão necessários N dias, sendo N x = 20 000,

ou seja, N e x são inversamente proporcionais.

a) Para x1 = 500, o número de dias N

1 é tal que N

1 500 =

= 20 000, ou seja, N1 = 40 dias; analogamente, para x

2 =

= 800, o número de dias N2 é tal que N

2 800 = 20 000, ou

seja, N2 = 25 dias.

b) O gráfico de N em função de x é uma curva que represen-

ta o fato de que, quanto maior for o valor de N, menor será

o de x, mantendo-se a proporção inversa (N x = 20 000); é o

ramo de hipérbole mostrado a seguir:

64

x

4025

500 800

N x = 20 000

N = f(x) = 20 000x

N

14. Considere duas grandezas, x e y, direta-

mente proporcionais. Sabe-se que o ponto

(4,12) pertence ao gráfico da função que

relaciona essas grandezas.

a) Escreva a sentença que relaciona x e y.

Se x e y são diretamente proporcionais, significa que y = kx.

Com o ponto (4, 12), temos 12 = 4 k; portanto, k = 3. Logo, a

expressão que relaciona x e y será y = 3x.

b) Construa o gráfico dessa função.

y

1 2 3 x

3

6

9y = 3x

c) Qual é o valor de f(–2)?

f(−2) = −6.

Considerações sobre a avaliação

Somente o professor, em sua circunstân-

cia específica, poderá avaliar em que medida

a apresentação da ideia de função aqui rea-

lizada constitui uma revisão de conteúdos

que já foram tratados anteriormente ou uma

abordagem inicial do tema.

Tanto no caso de uma abordagem inicial

quanto no caso de o professor notar que os

alunos já conhecem os temas que estão sendo

apresentados, seria interessante recorrer a tabe-

las e gráficos extraídos de jornais ou revistas;

tal recurso tanto pode servir como uma por-

ta de entra da facilitadora para o tema quanto

para um aprofundamento neste. A escolha dos

materiais em sintonia com a real condição de

sua turma é sempre um desafio cuja solução de-

pende do discernimento do professor.

Ao final desta Situação de Aprendiza-

gem, é fundamental que a ideia de fun-

ção como interdependência entre duas

grandezas tenha se consolidado, com a

assimilação da nomenclatura “variável

independente” (aquela à qual atribuímos va-

lores livremente) e “variável dependente”,

ou a variável que é considerada, no contexto,

como uma função da outra.

Um aprofundamento da ideia de pro-

porcionalidade deverá ser deixado para

as Situações de Aprendizagem seguintes,

em que serão explorados dois tipos parti-

culares de interdependência especialmente

considerados: as funções de 1o grau, as-

sociadas à proporcionalidade direta, e as

funções de 2o grau, associadas à propor-

cionalidade direta entre uma grandeza e o

quadrado de outra.

65

Matemática – 1ª série – Volume 1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 1o GRAU: SIGNIFICADO,

GRÁFICOS, CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E TAXAS

Conteúdos e temas: funções de 1o grau: significado dos coeficientes, crescimento, decrescimento, taxas de variação, gráficos, inequações.

Competências e habilidades: compreender a função de 1o grau como expressão de uma proporcionali-dade direta entre grandezas; expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos.

Sugestão de estratégias: apresentação de uma síntese dos fatos já apresentados anteriormente sobre proporcionalidade e funções de 1o grau; exploração desses fatos em situações-problema em diferentes contextos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 6

O texto a seguir constitui um roteiro para

a apresentação da ideia de função de 1o grau,

que pode já ser conhecida dos alunos, bem

como para uma organização de alguns fatos

conhecidos previamente sobre o tema. Cabe

ao professor apresentar o assunto com mais

ou menos detalhes ou passar diretamente à ex-

ploração das atividades, de acordo com o nível

de conhecimentos dos alunos.

Funções polinomiais de 1o grau: significado

Sempre que expressamos por meio de

variáveis uma situação de interdependên-

cia envolvendo duas grandezas diretamen-

te proporcionais, chegamos a uma função

de 1o grau. De modo geral, uma função de

1o grau é expressa por uma fórmula do tipo

f(x) = ax + b, em que a e b são constantes, sen-

do a ≠ 0. Quando a = 0, a função se reduz a

f(x) = b, ou seja, a uma função constante.

A proporcionalidade expressa por uma

função desse tipo é explicitada quando no-

tamos que a diferença f(x) – b = ax, ou seja,

que a razão entre f(x) – b e x é constante e

igual a a: f(x) – bx

= constante = a.

Em consequência, o gráfico de f(x) = ax + b

é uma reta, quaisquer que sejam os valores de

a e b, pois a constância da razão apresenta-

da anteriormente garante o ângulo de incli-

nação constante para o segmento formado

por dois pontos quaisquer do gráfico:

f(x) = ax + b

f(x)

f(x) – b

0

b

y

xx

x

f(x) – bx

= const. = a

66

Podemos observar que o coeficiente b re-

presenta o valor de f(x) para x = 0; quando

a = 0, a função assume valores constantes,

qualquer que seja o valor da variável indepen-

dente x: f(x) = constante = b.

Também notamos que o coeficiente a re-

presenta a inclinação da reta que é o gráfico,

uma vez que, para x = 1, temos f(1) = a + b,

e então f(1) – b1

= a = f(x) – bx

para todo x.

De modo equivalente, podemos notar que

f(x + 1) – f(x) = a(x + 1) + b – ax – b = a, ou

seja, a variação de f(x) para cada unidade a

mais de x é igual a a:

se f(x) = ax + b, então f(x + 1) – f(x) = a.

Por exemplo, sendo f(x) = ( 3)x + 27, en-

tão temos:

f(13) – f(12) = 3;

f(29) – f(28) = 3;

f(1 347) – f(1 346) = 3;

f(k + 1) – f(k) = 3.

Graficamente, isso significa que a inclina-

ção do gráfico de f(x) é sempre a mesma, no

caso, igual a 3 (veja o gráfico da função):

1

1

1

√3–

√3–

√3–

x

y

f(x) = (√3–

)x + 27

Resumindo os fatos apresentados sobre a

função f(x) = ax + b em um gráfico, temos:

f(x)

f(x) = ax + b

0 1

1

a + b

b a

y

x

x

x

f(x) – bx

= const. = a

f(x) – b

Podemos afirmar, então, que:

quando a > 0, a função é crescente;

quando a < 0, a função é decrescente;

nos dois casos, o valor de a representa a

variação de f(x) por unidade a mais de x,

o que representa um aumento quando

a > 0, ou uma diminuição, quando a < 0.

67

Matemática – 1ª série – Volume 1

f(x)

f(x) = ax + b

01

1

a + b

a (a > 0)a = 0

a (a < 0)b

y

x

Naturalmente, quando b = 0, a função

reduz-se a f(x) = ax, e seu gráfico passa pela

origem do sistema de coordenadas.

Notamos ainda que, se duas funções de

1o grau f(x) e g(x) são tais que o coeficiente

de x é o mesmo em ambas, então seus gráficos

são retas paralelas, uma vez que a inclinação

das retas é a mesma nos dois casos.

f(x) = ax + b

g(x) = ax + c

m(x) = dx + b

h(x) = dx

0

b

c

y

Gráficos de f(x) e de g(x) são paralelos: mesma inclinação a.Gráficos de m(x) e de h(x) são paralelos: mesma inclinação d.

1. Sempre que expressamos

por meio de variáveis uma si-

tuação de interdependência

envolvendo duas grandezas diretamente

proporcionais, chegamos a uma função

de 1o grau. De modo geral, uma função

de 1o grau é expressa por uma fórmula

do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são cons-

tantes, sendo a ≠ 0. Convém ressaltar

que uma função de 1o grau em que b = 0

representa uma proporcionalidade dire-

ta entre f(x) e x, pois f(x) = ax. Quando

b ≠ 0, a diferença f(x) – b é diretamente

proporcional a x, pois f(x) – b = ax. As

retas A, B, C, D e E são os gráficos de

funções do tipo f(x) = ax + b. Determine

os valores de a e b em cada um dos cinco

casos apresentados e indique o(s) que

representa(m) a variação de grandezas

diretamente proporcionais.

–22

2

–10

CB

A

D

E

x

y

4

3

Reta A

Como a reta A passa pela origem, o coeficiente b é igual a

zero. Todos os seus pontos (x,y) são tais que y

x é igual a 2

(há proporcionalidade direta entre y e x). Segue, portan-

to, que f(x) = 2x (a = 2 e b = 0).

Reta B

Observando as retas A e B percebemos que elas são paralelas,

ou seja, o coeficiente a é comum a ambas. Como B corta o eixo

y no ponto de ordenada 2, temos b = 2, ou seja, f(x) = 2x + 2, no

caso da reta B.

Reta C

Observando as retas A e C percebemos que elas são paralelas,

ou seja, a inclinação é a mesma, igual a 2 em ambas. Como a

68

reta C corta o eixo y no ponto de ordenada 4, o valor de b é

4, e temos f(x) = 2x + 4 para a reta C.

Reta D

Trata-se do caso em que o coeficiente a é igual a zero;

como o valor de b é 4, então temos a função constante

e igual a 4: f(x) = 4.

Reta E

A reta E corta o eixo y no ponto de ordena da 4; logo, b = 4.

Temos, então, f(x) = ax + 4. Como a reta passa pelo ponto (3,0),

temos f(3) = 0, ou seja, 0 = a 3 + 4. Daí obtemos a =− 4

3 .

Logo, f(x) =− 4

3 x + 4.

2. O gráfico a seguir mostra a relação entre a

quantidade x de litros de xampu produzida e

o custo C(x), em reais, da produção caseira.

100x

C(x)

520500

a) Qual é o possível motivo de um gasto

de 500 reais quando ainda não se está

produ zindo xampu?

O custo quando a empresa não está produzindo é chamado

pelos economistas de custo fixo. Mesmo sem produzir nem

vender, uma empresa tem custos fixos de aluguel e impostos.

No caso da empresa analisada no problema, seu custo fixo é

de 500 reais.

b) Qual é a função C(x) = ax + b repre-

sentada no gráfico? Essa sentença da

interdependência entre o custo C e a

quantidade produzida x é válida para

qualquer valor de x?

O gráfico intercepta o eixo y no ponto de ordenada 500, en-

tão b = 500, ou seja, C(x) = ax + 500.

Usando o fato de que, para x = 10, o valor de C é 520, temos:

520 = a . 10 + 500

Logo, a = 2, e a função é C(x) = 2x + 500.

Como x é o total de litros de xampu produzido pela empresa,

essa função só faz sentido para x ≥ 0. Matematicamente, o

valor de x pode ser tão grande quanto quisermos. Natural-

mente, as condições reais de produção podem impor outros

limites ao valor de x.

c) Qual é o gasto para se produzir 1 500 litros

de xampu?

C(1 500) = 2 1 500 + 500; logo,

C(1 500) = 3 500 reais

d) Quantos litros de xampu podem ser

produzidos com R$ 10 mil?

Para C = 10 000, temos: 10 000 = 2x + 500, ou seja, x = 4 750 litros.

e) Qual é a variação no gasto para a produ-

ção de cada litro adicional de xampu?

Pelo gráfico, observamos que a cada 10 ℓ são gastos 20 reais a

mais; portanto, a cada 1 ℓ são gastos 2 reais a mais (esse valor

é a inclinação da reta do gráfico).

3. As funções de custos simples para um negó-

cio consistem em duas partes: o custo fixo,

cujo valor é independente de quantas unida-

des de certo produto são produzidas (exem-

plo: aluguel), e os custos variáveis, que de-

69

Matemática – 1ª série – Volume 1

pendem do número de produtos produzidos.

Considerando C(x) o custo total da produ-

ção de um número x de produtos, CF(x) o

custo fixo e CV(x) o custo variável, podemos

escrever que C = CF + CV. Suponha que,

para uma fotocopiadora, o custo por cópia

reproduzida seja de 5 centavos e que o custo

fixo de seu negócio seja de R$ 2 mil.

a) Escreva a expressão relativa ao custo

fixo, CF.

CF = 2 000, isto é, y = 2000.

b) Escreva a sentença que relaciona CV e x.

CV(x) = 0,05 x, isto é, y = 0,05x.

c) Escreva a sentença que relaciona C e x.

C(x) = 0,05x + 2 000 ou C(x) = 2 000 + 0,05x, isto é, y = 2 000 + 0,05x.

d) Em um mesmo plano cartesiano, cons-

trua os gráficos de cada função apresen-

tada nos itens anteriores.

x

2 000

C(x) = 0,05x + 2 000

y

CF = 2 000

CV(x) = 0,05x

4. As retas A, B e C são representações grá-

ficas da função f(x) = mx, que é um caso

particular da função f(x) = mx + n, com

n = 0. Determine o valor de m, em cada um

dos três casos, no espaço a seguir.

A

B

C

y

x

4

2 5–3

Como as funções são do tipo f(x) = mx, basta substituir um par

de valores de x e de y = f(x) nessa equação para determinar

o valor de m:

Em A, temos:

4 = m (−3), ou seja, m =− 4

3 .

Em B, temos:

4 = m 2, ou seja, m = 2.

Em C, temos:

4 = m 5, ou seja, m = 4

5 .

5. Analisando as funções obtidas na atividade

anterior, responda:

a) As funções f(x) = mx que têm como

gráficos as retas B e C possuem

m > 0. Em casos assim, quanto maior o

valor de m, a reta estará mais “em pé”

ou mais “deitada”?

Quando m > 0, quanto maior o seu valor, mais “em pé” estará

a reta.

b) Como podemos saber se uma reta está

inclinada para a direita ou para a es-

querda apenas observando o valor de m

na sua equação?

Se m > 0, a reta está inclinada para a direita (função crescen-

te); se m < 0, a reta está inclinada para a esquerda (função

decrescente).

70

6. A conta de certo almoço em um restauran-

te é composta pelo valor total das despe-

sas com comida e bebida, mais 10% sobre

esse valor, que correspondem aos gastos

com serviços, além de uma taxa fixa de 10

reais de couvert artístico para os músicos.

a) Chamando de x os gastos com comida e

bebida (em reais) e de y o valor total da

conta (em reais), determine uma sentença

do tipo y = mx + n que represente a rela-

ção entre x e y.

Sendo x o valor gasto com comida e bebida, e observando-

-se que acrescentar 10% a um valor equivale a multiplicá-lo

por 1,1, o valor y a ser pago será: y = 1,1x + 10.

b) Faça um gráfico no plano cartesiano

para representar a função encontrada

no item anterior.

O gráfico será uma semirreta com origem no eixo y no pon-

to de ordenada 10 e que tem inclinação igual a 1,1; para x =

= 10, o valor de y correspondente será 21:

x

y

2021

10

0 10

7. A empresa Negócios da China S.A. tem

um custo diário de 200 reais com salários

e manutenção. Cada item produzido custa

2 reais e é vendido a 5 reais.

a) Escreva a sentença matemática que re-

laciona o custo diário de produção C para x itens produzidos.

O custo diário C é função do custo fixo, Cf = 200, e do cus-

to variável, Cv = 2x. Logo, a expressão do custo total será

C = 2x + 200.

b) A receita R da empresa representa o

dinheiro recolhido pela venda de seus

produtos. Escreva a sentença matemá-

tica que relaciona a receita R para x itens produzidos.

A receita corresponderá à expressão R = 5x.

c) Construa, em um mesmo plano, os grá-

ficos das funções custo C e receita R.

66,660x

($)

R = 5x

Ponto de equilíbrio

C = 2x + 200

Lucro

Prejuízo

333,33

200

(unidades produzidas)

d) O ponto de interseção entre os gráficos de

R e C, em Economia, chama-se “ponto de

equilíbrio”, isto é, quando o custo e a recei-

ta são iguais: R = C.

Encontre o ponto de equilíbrio dessa em-

presa, ou seja, a quantidade de produtos

que devem ser produzidos diariamente para

garantir que não haja prejuízo. Analise o

gráfico e indique esse ponto.

Nesta situação, teremos R = C, logo 5x = 2x + 200, portanto

x = 66,6. Deste modo, devem ser vendidos 67 produtos para a

empresa estar em equilíbrio.

71

Matemática – 1ª série – Volume 1

Professor, vale a pena discutir com a turma o

valor 66,66 de unidades produzidas, afinal,

como interpretar essa quantidade de unida-

des? Na construção do gráfico, admitimos as

grandezas envolvidas como números reais, o

que nos dá uma imagem contínua dos gráficos.

Esse número, 66,6, servirá como um valor ain-

da a ser interpretado pelo analista de produção.

8. O gráfico a seguir indica o valor de um de-

terminado tributo territorial em função da

área de uma propriedade.Tributo

(R$)Á

rea

da p

ropr

ieda

de (

m2 )

1 000800

800

3 8004 000

500

200

a) Qual é o valor do imposto a ser pago por uma propriedade de 800 m2?

A leitura imediata no gráfico fornece o valor do tributo:

y = 200 reais.

b) Existe algum tamanho de propriedade (em m2) cujo imposto cobrado seja exa-tamente 500 reais?

Não, porque o tributo 500 reais está indicado no gráfico com

o sinal de “bola aberta”, o que significa não ter nenhum cor-

respondente em x (área da propriedade).

c) Determine uma sentença do tipo y = mx + n, com y sendo o tributo em reais, e x a área em m2, válida para o intervalo 800 ≤ x < 3 800.

Entre os pontos (800,200) e (3 800,500), temos: y = mx + n.

Para x = 800, temos y = 200, ou seja, 200 = m 800 + n.

Para x = 3 800, calculemos como se tivéssemos y = 500 (mes-

mo sabendo que o intervalo é aberto), apenas para ter a

equação da reta: 500 = 3 800 m + n. Resolvendo o sistema,

temos: m = 0,1 e n = 120.

A equação procurada é y = 0,1x + 120 (para 800 ≤ x < 3 800).

Havendo tempo disponível, o professor poderá pedir aos alunos que determinem a função do tipo y = mx + n para o intervalo x ≥ 3 800. Comparando o valor de m dessa função com a determinada no item ante-rior, percebe-se que a intenção subjacente é a de cobrar mais imposto por m2 para propriedades maiores do que 3 800 m2.

Desafio!

Analise a situação da atividade 8,

apresentada na seção Você aprendeu?,

para o intervalo x ≥ 3 800. Com base no

gráfico, é verdadeira a afirmação de que

o objetivo desse tributo territorial é co-

brar mais imposto por m2 para proprie-

dades maiores do que 3 800 m2?

Observando o gráfico, pode-se confirmar essa

afirmação, pois, de acordo com ele, é possível

concluir que a taxa de crescimento para terrenos

maiores do que 3 800 m2,

1 000 − 800

4 000 − 3 800 = 200

200 = 1, é maior do que nos intervalos

anteriores. Nos terrenos com área menor que 800 m2,

a taxa é 0 (ou seja, não há cobrança de impos-

tos) e, para as áreas entre 800 e 3 800 m2, a taxa é

500 − 200

3 800 − 800= 300

3 000 = 0,1.

72

b) Demonstre que, para se transformar

uma temperatura apresentada em graus

Celsius para graus Fahrenheit, a regra é

F = 1,8C + 32.

c) Calcule a quantos graus Celsius corres-

ponde uma temperatura de 95 ºF.

d) Calcule a quantos graus correspondem

300 K na escala Fahrenheit.

a) e b) Observando o esquema anterior, temos que os seg-

mentos que determinam as temperaturas nas diferentes

escalas representam a mesma parte do intervalo entre a

tempera tura de fusão do gelo e a de ebulição da água, ou

seja, temos a proporção:

K − 273

373 − 273 = C − 0

100 − 0 =

F − 32

212 − 32

De tal proporção, concluímos que:

K − 273

100 = C

100 = F − 32

180

Ou seja,

K = C + 273

F = 1,8C + 32

c) Sendo F = 95, temos: 95 = 1,8C + 32, e então, C = 35

d) Uma temperatura de K = 300, corresponde a C = 27. Em

Fahrenheit, obtemos: F = 1,8 27 + 32, ou seja, F = 80,6.

10. O gráfico a seguir indica a produção brasi-

leira de petróleo, em milhões de barris, nos

anos de 2004 e 2005:

Produção (milhões de barris)

Ano

596

535

2004 2005

9. Celsius, Fahrenheit e Kelvin são

as três escalas de temperatura mais

utilizadas. Sendo C o valor da tem-

peratura em graus Celsius, F a mesma tem-

peratura medida em graus Fahrenheit e K,

a temperatura em Kelvin, para converter

uma temperatura de uma escala para outra

considere os seguintes fatos fundamentais:

nas escalas Celsius e Kelvin, o “tama-

nho” do grau é o mesmo, havendo ape-

nas um deslocamento da origem: na

escala Celsius é no 0, e na escala Kelvin

é no 273;

na escala Celsius, a temperatura de fusão

do gelo é 0o e a de ebulição da água é 100º;

na escala Fahrenheit, a temperatura de

fusão do gelo é 32º e a de ebulição da

água é 212º.

Com base nessas informações:

373

K C F

273

100

0

212

32

Kelvin Celsius Fahrenheit

ebulição

da água

fusão

do gelo

a) Demonstre que, para se transformar

uma temperatura dada em graus Cel-

sius para graus Kelvin, a regra é K =

= C + 273.

73

Matemática – 1ª série – Volume 1

Admitindo que a taxa de crescimento do

período 2004-2005 se manteve no período

2005-2006, calcule o valor aproximado da

produção média anual, em milhões de bar-

ris, no ano 2006.

A taxa de crescimento é a razão entre a variação na produção

e a variação no tempo, o que representa o aumento da pro-

dução por ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e 2005 foi igual a

m = 596 − 535

5 − 4 milhões de barris.

Se essa taxa permanecer constante, ou seja, se o gráfico

continuar sendo a mesma reta desenhada anteriormen-

te, no período 2005-2006 o aumento da produção seria

de 61 milhões de barris, e a produção estimada seria de

596 + 61 = 657 milhões de barris.

11. A figura a seguir ilustra uma folha de latão

que será usada na montagem de uma peça:

x + 10

2x + 4 2x + 4

x x

xx

a) Determine todos os valores possíveis de

x (em metros) para que o perímetro da

folha seja maior ou igual a 64 metros.

Sendo o perímetro igual à soma dos comprimentos de todos

os lados da folha, temos: 2(2x + 4) + 2x + 2x + 2(x +10) + 2x ≥ 64.

Sendo assim, concluímos que 4x + 8 + 2x + 2x + 2x + 20 + 2x ≥ 64,

ou seja, 12x ≥ 64 − 28, o que acarreta que x ≥ 3.

Portanto, x deve ser maior ou igual a 3 metros.

b) Determine todos os valores possíveis

de x (em metros) para que a soma dos

comprimentos representados em ver-

melho seja menor que a soma dos de-

mais comprimentos que completam o

perímetro da folha.

Do mesmo modo, temos:

2(x + 2x + 4 + x ) < 2x + 2(x +10)

2x + 4x + 8 + 2x < 2x + 2x +20

4x < 12, ou seja, x < 3.

Portanto, x deve ser maior que 0 e menor que 3 metros.

12. A velocidade V de um carro varia confor-

me o gráfico a seguir:

V(m/s)

tempo (s)

10

100 20 30

Escreva as três sentenças matemáticas que re-

presentam a velocidade do carro em função do

tempo como descrito no gráfico apresentado.

V(t) = t, 0 ≤ t ≤ 10

V(t) = 10, 10 < t ≤ 20

V(t) = 30 – t, 20 < t ≤ 30

Considerações sobre a avaliação

Ao final desta Situação de Aprendizagem,

o reconhecimento de relações de proporciona-

lidade direta em diferentes contextos e a re-

presentação delas por meio de uma função de

1o grau é o objetivo primordial que deverá ter

sido atingido.

74

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 7

O texto a seguir constitui um roteiro

para a apresentação da ideia de função

É fundamental que os alunos tenham fei-

to a associação entre a ideia de variação di-

retamente proporcional e a de função de

1o grau, tendo compreendido que:

quando y é diretamente proporcional a x e

ambos os valores, de x e y, começam a ser

medidos a partir do valor inicial zero, então

y = ax, sendo a uma constante não nula;

quando há a proporcionalidade direta en-

tre a variação de y medida a partir de cer-

to valor inicial b e os valores de x, então

y – b = ax, ou seja, y = ax + b;

de modo geral, em qualquer situação em

que as variações de duas grandezas in-

terdependentes são diretamente propor-

cionais, chegamos a uma expressão do

tipo f(x) = ax + b, ou seja, a uma função

do 1o grau;

sendo f(x) = ax + b, então o coeficiente a

sempre representa a variação no valor da

função por unidade a mais de x, ou, em ou-

tras palavras, a taxa de variação de f(x) em

relação a x.

Na Situação de Aprendizagem seguinte,

as funções polinomiais do 2o grau serão apre-

sentadas também a partir da ideia de propor-

cionalidade direta, agora de y em relação ao

quadrado de x.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 2o GRAU: SIGNIFICADO,

GRÁFICOS, INTERSEÇÕES COM OS EIXOS, VÉRTICES E SINAIS

Conteúdos e temas: proporcionalidade direta com o quadrado da variável independente; função de 2o grau; gráficos de funções de 2o grau – vértice, raízes, sinais.

Competências e habilidades: compreender a função de 2o grau como expressão de uma propor-cionalidade direta com o quadrado da variável independente; expressar por meio de gráficos tal proporcionalidade.

Sugestão de estratégias: apresentação construtiva do significado e das propriedades da função de 2o grau; exploração de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envolvendo funções de 2o grau para serem explorados pelo professor.

polinomial de 2o grau. Desde o primeiro

momento, tal função é apresentada como

a representação de uma proporcionalida-

de direta entre uma grandeza e o quadra-

do de outra. Na 8a série/9o ano do Ensino

75

Matemática – 1ª série – Volume 1

tenham visto tais assuntos, é quase certo

que não o viram da forma como são aqui

apresentados.

Apostamos na forma de tratamento esco-

lhida, que consideramos a menos técnica pos-

sível, ou a que mais permanece aderente ao

significado da relação de proporcionalidade

envolvida e esperamos que o professor avalie

o percurso sugerido na Situação de Aprendi-

zagem, mesmo não constituindo o caminho

mais usual.

Grandeza proporcional ao quadrado de outra: a função de 2o grau f(x) = ax2

É possível obter um exemplo da relação de interdependência entre duas grandezas x e y em que

y é diretamente proporcional ao quadrado de x, isto é, y

x2 = constante = k, ou seja, y = kx2, quando

uma pedra é abandonada em queda livre. A distância vertical d que a pedra percorre é diretamente

proporcional ao quadrado do tempo de queda, ou seja, temos d = kt2; sendo, neste caso, o valor de

k = 4,9 (metade da aceleração da gravidade do local).

De modo geral, a relação y = kx2 serve de base para iniciar o estudo das funções de 2o grau, cuja

forma geral é f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Para explicitar tal fato, inicialmente, vamos exa-

minar o gráfico da função y = x2, ou seja, f(x) = x2.

Sabemos que o gráfico de y = x é uma reta

com inclinação igual a 1. Para construir o gráfico

de y = x2, é preciso considerar alguns aspectos:

o quadrado de um número situado entre

0 e 1 é menor do que o próprio número, ou

seja, x2 < x para 0 < x < 1;

o quadrado de um número maior do que 1

é maior do que o próprio número, ou seja,

x2 > x para x > 1;

o gráfico de y = x2 é simétrico em relação

ao eixo y, uma vez que f(x) = f(–x) para

todo x;

é possível mostrar que o gráfico de y = x2

encosta “suavemente” no eixo x, sem

formar um “bico” (o que será feito na

ativi dade 2).

Fundamental, é possível que os alunos

já tenham tido um contato inicial com

tal função, ao estudarem as equações de

2o grau. Abordaremos o tema, no entanto,

sem pressupor que ele já tenha sido estu-

dado anteriormente. Cabe ao professor, em

sua realidade específica, acelerar mais ou

menos a apresentação feita aqui. A aborda-

gem adotada é construtiva: todos os resul-

tados são justificados, sempre com base na

ideia de proporcionalidade anteriormente

referida. Assim, mesmo que os alunos já

76

Reunindo tais informações, temos o gráfi-

co esboçado a seguir. A curva correspondente

é uma parábola.

y

xx

x 1

1

0

y = x2

y = x

x2

Partindo do gráfico de f(x) = x2, é fácil

cons truir o gráfico de f(x) = ax2, com a ≠ 0:

Para tanto, a cada valor de x, devemos fa-

zer corresponder o produto ax2, que é maior

que x2, quando a > 1, e é menor do que x2,

quando 0 < a < 1. Assim, as parábolas ficam

tanto mais “fechadas” quanto maior for o

valor de a; tanto mais “abertas” quanto me-

nor (mais próximo de zero) for o valor de a.

Alguns gráficos desse tipo são representados

a seguir:

Da mesma maneira, para os valores ne-

gativos de a, os gráficos mantêm a mesma

forma, mas os valores de y tornam-se nega-

tivos. Observe a figura a seguir:

y

x

y = 0,3x2 y = 0,7x2 y = x2 y = 5x2 y = 3x2

2422201816141210

86420

– 2– 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 2 3 4 5 6 7 8 91

77

Matemática – 1ª série – Volume 1

Resumindo, observe que, quanto maior o

valor absoluto do coeficiente a, mais “fechada”

é a parábola; quanto menor o valor absoluto

de a, mais “aberta” ela é. O sinal de a indica se

a concavidade (a abertura) da parábola estará

voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).

– 9

y

a > 0

a < 0

x– 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 2 3 4 5 6 7 8 91

1614121086420

– 2– 4– 6– 8

– 10– 12– 14– 16

y

x

6420

– 2– 4– 6– 8

– 10– 12– 14– 16– 18– 20– 22– 24– 26

– 9 – 8

y = – 0,5x2 y = – x2

– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 2 3 4 5 6 7 8 91

y = – 5x2

y = – 3x2

y = – 0,1x2

78

Algumas atividades, para a exploração do que

até aqui foi estudado, serão apresentadas a seguir.

1. Construa, no espaço a se-

guir, em um mesmo plano car-

tesiano, os gráficos das seguin-

tes funções a, b, c e d, e, em outro plano, os

gráficos das funções e, f, g e h.

a) f(x) = x2 b) f(x) = 2x2

c) f(x) = 10x2 d) f(x) = 1

10 x2

e) f(x) = –x2 f) f(x) = –2x2

g) f(x) = –10x2 h) f(x) = – 1

10 x2

Procure esboçar os gráficos comparando-os

com os outros, sem necessariamente recor-

rer a tabelas com valores de x e de y; em

vez disso, leve em consideração os valores

relativos dos coeficientes de x2.

a), b), c), d)

– 4

–4

1

1–2

–2

3

3–3

–3

2

2–1

–1

4y

x

4

y = x2

y = 2x2

y = 10x2

y = 110

x2

e), f), g), h)

– 4

– 4

1

1–2

–2

3

3–3

–3

2

2–1

–1

4y

y = – x2

y = – 2x2

y = – 10x2

y = – 110

x2

x

4

Observação: há uma sutileza sobre o gráfico

de f(x) = x2.

Para construir o gráfico de f(x) = x2, nota-

mos que:

1o) x2 ≥ 0 para todo número real x, ou seja,

o gráfico situa-se acima do eixo x;

2o) f(x) = f(–x) para todo real x, ou seja,

o gráfico é simétrico em relação ao

eixo y;

3o) como x2 ≤ x para valores de x no inter-

valo de 0 a 1, então o gráfico de f(x) = x2

situa-se abaixo do gráfico de y = x no

intervalo entre 0 e 1;

4o) como x2 > x para x > 1, o gráfico de

f(x) = x2 situa-se acima do gráfico

de y = x para x > 1.

Seguindo todas as conclusões anteriores, o

gráfico poderia ser como o indicado a seguir,

com um “bico” na origem:

79

Matemática – 1ª série – Volume 1

y

x

O

f(x) = x2

Se o professor se interessar pela explicação

desse fato, basta acompanhar a solução da

atividade, apresentada a seguir.

y

x

O

Ocorre, no entanto, que o gráfico de f(x) = x2

não tem “bico” na origem, encostando suave-

mente no eixo x.

Desafio!

Mostre que a curva do gráfico de

f(x) = x2 não tem um “bico” na origem do

sistema de coordenadas, ou seja, ela ape-

nas tangencia o eixo x.

Afirmar que o gráfico apresentaria um “bico” na origem sig-

nificaria dizer que existe uma reta inclinada em relação ao

eixo x tal que o gráfico de f(x) = x2 estaria situado acima de

tal reta para todos os valores de x, mesmo os mais próximos

de 0, conforme podemos verificar na figura a seguir.

y

xO

f(x) = x2

y = mx

Tal reta tangente seria o gráfico de uma função do tipo

y = mx, m > 0.

Teríamos, então: x2 ≥ mx para todo x ≥ 0.

Ocorre, no entanto, que, se x2 ≥ mx, então x2 − mx ≥ 0,

ou seja, x (x − m) ≥ 0 para todo x.

Mas notamos que, para valores de x entre 0 e m, os

valores do produto x (x − m) são negativos, ou seja,

x2 < mx, o que significa dizer que o gráfico de f(x) = x2

situa-se abaixo do gráfico de y = mx.

y

x

m

O

f(x) = x2

y = mx

Em outras palavras, para cada valor de m > 0, por menor

que seja, o gráfico de f(x) = x2 situa-se abaixo do gráfico

de y = mx, para valores de x entre 0 e m. Por exemplo,

mesmo que consideremos a reta y = 0,001x, para valores

de x entre 0 e 0,001, o gráfico de f(x) = x2 situa-se abai-

xo dessa reta. Concluímos, então, que não existe reta

y = mx tal que, para todo x, o gráfico de f(x) = x2 situe-se

acima da reta; e é exata mente isso que significa dizer

que o gráfico não tem um “bico” na origem.

x2 < mx, ou seja, x2 − mx < 0 para x entre 0 e m.

80

Nesses casos, o gráfico de f(x) = kx2 + v con-

tinua a ser uma parábola, mas seus pontos

são deslocados, em relação ao conhecido

gráfico de y = k x2, na direção do eixo y de

um valor v: para cima, se v > 0, ou para baixo,

se v < 0.

Deslocamentos verticais: a função f(x) = ax2 + v

Quando a proporcionalidade entre y e x2

ocorre a partir de um valor inicial v, então

y – v = kx2, ou seja, y = kx2 + v.

x

y

vv

f(x) = kx2 + v

y = kx2

0

Uma situação como esta ocorre, por

exemplo, quando calculamos a distância d

de uma pedra abandonada a certa altura h

até o solo:

Neste caso, temos, então, d = h – 4,9t2,

ou seja, h – d = 4,9t2. Podemos obser-

var, a seguir, alguns gráficos de funções

desse tipo.

4,9t2

d = h – 4,9t2

h

81

Matemática – 1ª série – Volume 1

2. Construa os gráficos das funções a, b, c

e d em um mesmo plano cartesiano e os

gráficos das funções e, f e g em outro pla-

no cartesiano, indicando, em cada caso, as

coordenadas do vértice.

y

x

– 4 – 3 – 2 – 1 2 3 41

4

3

2

1

– 1

– 2

– 3

y = x2 + 1y = x2 + 3y = x2 – 1y = x2 – 3

33–

y

x

y = 3x2 + 7

y = 3x2 – 5

222018161412108642

–2–4–6–8

–10–12–14–16

0–1 1 2 3 4–2–3–4

y = 3x2

y = –3x2 + 5

y = –3x2 – 4

a) f(x) = x2 + 1

b) f(x) = x2 + 3

c) f(x) = x2 – 1

d) f(x) = x2 – 3

e) f(x) = –2x2 + 1

f) f(x) = –3x2 – 5

g) f(x) = – 0,5x2 + 7

a) Vértice: (0,1).

b) Vértice: (0,3).

c) Vértice: (0,−1).

d) Vértice: (0,−3).

82

e) Vértice: (0,1). f) Vértice: (0, −5). g) Vértice: (0, 7).

Deslocamentos horizontais: a função f(x) = a(x – h)2

Outra proporcionalidade direta entre

uma grandeza e o quadrado de outra ocorre

quando temos y diretamente proporcional

não a x2, mas a (x – h)2. Neste caso, temos

y = k(x – h)2 e o gráfico correspondente é

análogo ao de y = kx2, deslocado horizon-

talmente de h unidades, para a direita, se

h > 0, ou para a esquerda, se h < 0.

y

x

– 1 1 2 3 4 5 6 7 8– 2– 3– 4– 5

8642

–2–4–6–8

–10–12–14–16

y = –2x2 + 1y = –3x2 – 5y = –0,5x2 + 7

y

x

– 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

19181716151413121110

987654321

–1–2–3–4–5–6

0

y = (x + 3)2

y = x2 y = (x – 3)2

83

Matemática – 1ª série – Volume 1

Um exemplo de situação semelhante

à que foi sugerida anteriormente ocorre

quando a grandeza y é diretamente pro-

porcional ao quadrado da variação no

valor de x a partir de certo valor inicial

h. Por exemplo, sendo E a energia elástica

armazenada em uma mola disten dida de

x unidades a partir de seu comprimento

normal, então E = k x2. Naturalmente, se

x = 0, então E = 0. Entretanto, se a escala

para medir a distensão da mola é tal que

temos E = 0 para x = h, então, quando a

mola estiver distendida de (x – h), sua ener-

gia E será tal que E = k(x – h)2.

3. Construa, em um mesmo plano cartesiano,

os gráficos das funções a, b, c e d e, em ou-

tro plano cartesiano, os gráficos das fun-

ções e, f e g, indicando as coordenadas do

vértice de cada uma delas.

a) f(x) = (x + 1)2 b) f(x) = (x + 3)2

c) f(x) = (x – 1)2 d) f(x) = (x – 3)2

e) f(x) = –(x – 5)2 f) f(x) = –2(x + 3)2

g) f(x) = –3(x – 1)2

a) Vértice: (−1,0). c) Vértice: (1,0).

b) Vértice: (−3,0). d) Vértice: (3,0).

– 4

–4

1–2

–2

3–3

–3

2–1–1

y

4

1

3

2

4

x

y = (x+1)2

y = (x+3)2

y = (x–1)2

y = (x–3)2

E

0 h

x

E = 0 E = k(x – h)2

E = 0 E = kx2

0 h

0

x

x

E = k(x -h)2

E

0

x

E = kx2

84

Deslocamentos verticais e/ou horizontais: a função f(x) = a(x – h)2 + v

No caso mais geral possível, podemos ter

a variação nos valores de uma grandeza y, a

partir de certo valor v, diretamente propor-

cional ao quadrado da variação nos valores

de x, a partir de certo valor h: em outras pa-

lavras, y – v = k(x – h)2. Uma função deste

tipo é tal que f(x) = k(x – h)2 + v, e tem como

gráfico também uma parábola, deslocada

horizontalmente de um valor h em relação

à parábola y = kx2 e deslocada vertical-

mente de um valor v em relação à parábola

y = k(x – h)2. O vértice da parábola é o ponto de

coordenadas (h,v). O gráfico a seguir traduz

o que se afirmou anteriormente.

e) Vértice: (5,0). f) Vértice: (−3,0). g) Vértice: (1,0).

y

x

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

–12

–14

–16

–18

– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

x

y

f(x) = k(x – h)2 + v

f(x) = kx2 f(x) = k(x – h)2

h0

v

f(x) = –(x – 5)2

f(x) = –2(x + 3)2

f(x) = –3(x – 1)2

85

Matemática – 1ª série – Volume 1

Observe, a seguir, alguns exemplos de gráficos desse tipo de função:

4. Construa os gráficos das seguintes funções

e indique as coordenadas do vértice de

cada uma delas:

a) f(x) = (x + 1)2 + 1 b) f(x) = –(x + 3)2 – 1

c) f(x) = –(x – 1)2 – 1 d) f(x) = (x – 3)2 + 2

– 4 1–2 3–3 2–1

y

x

4

1

3

2

4

– 4

–2

–3

–1

y = (x+1)2+1y = –(x+3)2 –1y = –(x–1)2 –1y = (x–3)2+2

a) Vértice: (−1,1). b) Vértice: (−3,−1).

c) Vértice: (1,−1). d) Vértice: (3,2).

5. Determine as coordenadas do

vértice dos gráficos das seguintes

funções e verifique se a função assu-

me um valor máximo ou um valor mínimo

em cada uma delas.

a) f(x) = (x + 3)2 – 1

2

Coordenadas do vértice: (−3,− 1

2 ).

Ponto de mínimo: x = −3.

Mínimo valor da função: (−3) = − 1

2

.

b) f(x) = –(x – 2)2 – 5

2

Coordenadas do vértice: (2,− 5

2 ).

Ponto de máximo: x = 2.

Máximo valor da função: − 5

2 .

x

y

– 5 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

161412108642

– 2– 4– 6– 8

– 10– 12– 14– 16

0

y = –3x2 + 7

y = –5(x – 6)2 + 3

y = –5(x – 3)2 – 8

y = 5(x – 3)2 + 8

y = –3(x + 1)2 + 9

y = 3x2 – 7

86

c) f(x) = (x – 1)2 + 2

Coordenadas do vértice: (1,2).

Ponto de mínimo: 1.

Mínimo valor da função: 2.

d) f(x) = (x – 1

2 )2

– 3

4

Coordenadas do vértice: ( 1

2 ; −

3

4 ) .

Ponto de mínimo: 1

2 .

Mínimo valor da função: − 3

4 .

e) f(x) = (x – 4)2

Coordenadas do vértice: (4,0).

Ponto de mínimo: 4.

Mínimo valor da função: 0.

f) f(x) = –x2 + 2

Coordenadas do vértice: (0,2).

Ponto de máximo: 0.

Máximo valor da função: 2.

Forma geral de uma função de 2o grau: f(x) = ax2 + bx + c

De modo geral, uma função tal que

f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c constantes,

sendo a ≠ 0, pode expressar uma situação

de interdependência em que uma grandeza

é diretamente proporcional ao quadrado de

outra, ou seja, sempre podemos escrever o

trinômio de 2o grau ax2 + bx + c na forma

a(x – h)2 + v.

Se o trinômio ax2 + bx + c for um quadra-

do perfeito, podemos escrever ax2 + bx + c =

= a(x – h)2, e facilmente encontramos o valor de

h, explicitando o quadrado do primeiro membro.

Alguns exemplos são apresentados a seguir:

x2 – 6x + 9 = (x – 3)2

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

x2 + 7x + 49

4 = (x +

7

2 )2

5x2 + 30x + 45 = 5(x2 + 6x + 9) = 5(x + 3)2

Se o trinômio ax2 + bx + c não for um

quadrado perfeito, então ele será maior

do que um quadrado perfeito, ou me-

nor do que um quadrado perfeito; ou seja,

ax2 + bx + c = a(x – h)2 + v, sendo v um nú-

mero positivo ou negativo, dependendo de o

trinômio ser maior ou menor do que um qua-

drado perfeito.

Assim, sempre será possível escrever

f(x) = ax2 + bx + c na forma a(x – h)2 + v,

o que é equivalente a afirmar que todo trinô-

mio de 2o grau pode ser interpretado como a

expressão da proporcionalidade direta entre

y – v e o quadrado de (x – h), para determi-

nados valores de h e v. Encontrar os valores de

h e v é encontrar as coordenadas do vértice da

parábola que corresponde ao gráfico de f(x).

Simetria do gráfico de f(x) = ax2 + bx + c

A parábola que é o gráfico da função

de 2o grau é uma curva que possui um

eixo de simetria vertical. Isso significa que

pon tos de mesma ordenada possuem abscissas

equidistantes a esse eixo. Se o eixo de simetria for

87

Matemática – 1ª série – Volume 1

o próprio eixo y, então, para cada valor de y, cor-

respondem dois valores de x com sinais opostos:

(a,y) e (–a,y). Se o eixo de simetria estiver des-

locado horizontalmente de h unidades, então,

os pontos equidistantes terão coordenadas

(a + h,y) e (–a + h,y). Observe as figuras

a seguir:

Eixo de simetriax = 0

–a a x

y

0

Eixo de simetriax = h

–a + h a + hh x

y

0

O vértice da parábola situa-se no eixo de

simetria. Se as raízes de f(x) = 0 forem conhe-

cidas, a abscissa do vértice será o ponto mé-

dio do segmento determinado pelas raízes; se

a equação f(x) = 0 tiver apenas uma raiz real,

a abscissa do vértice será a própria raiz.

f(x) = ax2 + bx + c

0

yv

c

xvx

y

– ba

Mesmo no caso de a equação de 2o grau

f(x) = 0 não ter raízes, podemos determinar o

vértice da parábola da seguinte maneira:

sabemos que f(0) = c;

sabemos que existe outro valor de x para

o qual a função também assume o valor c:

f(x) = c para ax2 + bx + c = c;

logo, f(x) = c para ax2 + bx = 0, ou seja,

para x = 0 ou x = – b

a;

a abscissa do xv do vértice é, pois, igual à

média entre os valores 0 e – b

a, ou seja,

xv = 0 + (–

b

a )2

= – b

2a ;

para obtermos o valor da ordena-

da yv do vértice, calculamos o valor de

f(xv): yv = f(xv).

Nas atividades seguintes, os fatos anterior-

mente mencionados serão explorados.

88

6. Sabemos que o gráfico de

f(x) = ax2 + bx + c, sendo a ≠ 0,

é uma parábola. A reta vertical

que passa pelo vértice da parábola é seu eixo

de simetria. Observe os gráficos a seguir:

(I) f(x) = x2 – 4

Eixo de simetria em x = 0

0 1

1

– 1

– 2

– 3

– 4

2

3

4

5

2 3 4– 1– 2– 3– 4 x

y

(II) f(x) = x2 + 2x = (x+1)2 – 1

0 1

1

–1–2

23456789

2 3 4–3– 4 x

y

Eixo de simetria em x = –1

–2 –1

a) Na função (I), quando x = 1, qual é o

valor correspondente de y?

No gráfico (I), para x = 1, temos y = f(1) = −3.

b) Na função (II), quando x = 3, qual é o

valor correspondente de y?

No gráfico (II), para x = 3, temos y = f(3) = 15.

c) Complete a tabela com o valor corres-

pondente de x ou de y.

Usando as expressões algébricas das funções, obtemos os se-

guintes valores:

Função Ix 2 –2 4 −4 ou 4 –5 5 ou −5

y 0 0 12 12 21 21

Função IIx –3 1 6 − 1 ± 17 –5 − 1 ± 2 7

y 3 3 48 16 15 27

Vale a pena comentar com os alunos os resultados obti-

dos que refletem a ideia de simetria na parábola.

7. A seguir está representado o gráfico da

função f(x) = –x2 + 4x = –(x – 2)2 + 4.

y

0 1 4

x

m

n

V

a) Quais são as coordenadas do ponto V,

vértice da parábola?

Em razão da simetria do gráfico, concluímos que o vértice é o

ponto médio do segmento do eixo x entre 0 e 4, ou seja, no vérti-

ce temos x = 2. O valor de y correspondente é f(2) = −22 + 4 2 = 4.

Logo, o vértice é o ponto V de coordenadas (2,4).

b) Quais são os valores de m e n, indicados

no gráfico?

Para x = 1, temos f(1) = 3, ou seja, m = 3. Como vemos que o va-

lor de f(n) também é igual a 3, então n é o simétrico do ponto

89

Matemática – 1ª série – Volume 1

8. Determine a expressão algébrica de cada

uma das funções de 2o grau representadas

pelas seguintes figuras:

x = 1 em relação ao vértice x = 2, ou seja, a distância de n até o

2 é igual à distância de 1 até o 2, isto é, n = 3. De fato, podemos

verificar que f(3) = 3.

Na Figura 1, podemos identificar os pontos (0,0), (2,−4)

e (4,0) pertencentes à parábola. Temos que a é positivo e c

vale 0, pois o ponto (0,0) pertence ao gráfico. Substituin-

do os valores de x e y na forma geral y = ax2 + bx, obtemos:

−4 = a 22 + b 2 e 0 = a 42 + b 4.

Sendo assim, resolvendo o sistema 2a + b = −2 e 4a + b = 0, en-

contramos a = 1 e b = −4. Portanto, a função que corresponde

ao gráfico da Figura 1 é : f(x) = x2 − 4x.

Na Figura 2, podemos identificar os pontos (−4,0), (0,8) e

(2,0) pertencentes à parábola. Além disso, podemos concluir

que a é negativo e que o valor de y para x = 0 é 8, ou seja,

c = 8. Substituindo os outros valores de x e y correspondentes

aos pontos (−4,0) e (2,0) na expressão geral, y = ax2 + bx + 8

obtemos as seguintes equações:

0 = a (−4)2 + b (−4) + 8

0 = a 22 + b 2 + 8

Resolvendo o sistema 4a + 2b = −8

16a − 4b = −8

obtemos a = −1 e b = −2.

Portanto, a função que corresponde ao gráfico da Figura 2 é:

f(x) = −x2 − 2x + 8.

Na Figura 3, podemos identificar os pontos (−3,8),

(0,2) e (1,4) pertencentes à parábola. Pelo gráfico, po-

demos concluir que a é positivo e c vale 2, pois o ponto

(0,2) pertence ao gráfico. Substituindo os valores de x e y

correspondentes aos outros dois pontos na expressão geral,

y = ax2 + bx + 2, obtemos as seguintes equações:

8 = a (−3)2 + b (−3) + 2

4 = a 12 + b 1 + 2

Resolvendo o sistema 9a − 3b = 6

a + b = 2

obtemos: a = 1 e b = 1.

Portanto, a função que corresponde ao gráfico da Figura 3 é:

f(x) = x2 + x + 2.

9. Considere as funções de 2o grau f(x) = ax2 +

+ bx + c indicadas a seguir. Descubra se as

equações de 2o grau correspondentes têm duas,

4

yy

8

2– 4 0 x

x2

– 4

0

0

1

1

2

4

8

– 3 x

y

Figura 1 Figura 2

Figura 3

90

10. Determine as raízes da equação de 2o grau

ax2 + bx + c = 0 e o sinal da função f(x) = ax2 +

+ bx + c, para todos os valores possíveis de x,

em cada um dos casos apresentados:

Nesse caso, o aluno pode adotar diferentes estratégias para

encontrar as raízes das equações, entre elas o método de

Bhaskara. Aqui são privilegiadas soluções que exploram o

conteúdo apresentado nesta Situação de Aprendizagem.

a) 3x2 + 12x + 11 = 0

Calculando os valores de xv e y

v, temos:

xv = −

b

2a = −

12

6 = −2; y

v = f(−2) = 3 (−2)² + 12 (−2) + 11 = −1

Como a = 3 > 0 e yv = −1 < 0, conclui-se que a equação tem

duas raízes distintas.

As raízes são x1 = x

v − −

yv

ae x

2 = x

v + −

yv

a; substituindo

os valores de yv e a, obtemos: x

1 = −2 −

1

3 e x

2 = −2 +

1

3.

O sinal de f(x) = 3x2 + 12x + 11 é positivo (igual ao de a)

para valores de x fora do intervalo das raízes, ou seja, para

x > −2 + 1

3 ou para x < −2 −

1

3 ; é negativo (contrário

ao de a) para valores de x no intervalo das raízes, ou seja, para

−2 −1

3 < x < −2 +

1

3.

b) – 4x2 + 12x – 9 = 0

Da mesma maneira, temos xv = 3

2 e y

v = f

3

2 = 0; logo, as

duas raízes são iguais a xv =

3

2 .

Sobre o sinal, f(x) = −4x2 + 12x − 9 é sempre menor ou igual a 0,

pois a < 0; somente temos f(x) = 0 para x = xv =

3

2 .

c) – 2x2 + 10x – 13 = 0

Calculando xv e y

v, obtemos x

v =

5

2 e y

v = f

5

2 = −

1

2 < 0.

uma ou nenhuma raiz real, calculando o valor

da ordenada yv do vértice da parábola, que é

o gráfico da função. Ou seja, determine o nú-

mero de raízes de cada equação sem resolvê-las.

a) f(x) = 3x2 + 12x + 11

Já vimos que a abscissa xv do vértice da parábola é igual a −

b

2a

.

Temos xv = −

12

2 3. Calculando y

v, obtemos:

yv = f(x

v) = f(−2) = −1 < 0.

Como a = 3 > 0 e yv < 0, então a equação tem duas raízes

reais distintas.

b) f(x) = 3x2 – 12x + 15

Temos xv =

12

2 3 = 2. Calculando y

v, obtemos: y

v = f(x

v) = f(2) = 3 > 0.

Como a = 3 > 0 e yv > 0, então a equação não tem raízes reais.

c) f(x) = –2x2 – 16x + 5

Temos xv = −4 e y

v = f(−4) = 37 > 0; como a = −2 < 0, segue que a e

yv têm sinais contrários, e a equação tem duas raízes reais distintas.

d) f(x) = –2x2 + 10x – 13

Temos xv =

5

2 e y

v = f

5

2 = − 1

2 < 0; como a = −2 < 0, segue

que a e yv têm sinais iguais e a equação não tem raízes reais.

e) f(x) = 11x2 – 5x + 1

2

Temos xv =

5

22 e y

v = f

5

22 = − 3

44 <0; como a = 11 > 0, segue

que a e yv têm sinais contrários, e a equação tem duas raízes

reais distintas.

f) f(x) = – 4x2 + 12x – 9

Temos xv =

3

2 e y

v = f

3

2 0; como y

v = 0, segue que a

equação tem duas raízes iguais.

91

Matemática – 1ª série – Volume 1

Como a = −2, a razão − y

v

a é negativa, e a equação não tem

raízes reais.

Como a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, a função

f(x) = −2x2 + 10x −13 tem sempre o mesmo sinal, que é o sinal

de a (negativo), qualquer que seja o valor de x.

11. O gráfico a seguir representa o

rendimento bruto R(q) de uma

empresa em função da quantidade

q de produtos fabricados mensalmente. Os

valores de R são expressos em milhares de

reais, e a quantidade produzida q, em mi-

lhares de unidades. Sabe-se que a curva re-

presentada é uma parábola.

q

64

160

R(q)

A partir das informações contidas no gráfi-

co, responda:

a) Qual é a expressão algébrica da função

R(q)?

Para se determinar a expressão algébrica da função R(q),

sabendo-se que a curva é uma parábola, escrevemos:

R(q) = aq2 + bq, pois o valor correspondente de c é zero, uma

vez que a curva intercepta o eixo vertical na origem. Como

R(16) = 0, concluímos que

a 162 + b.16 = 0, ou seja, que 16a + b = 0.

Em razão da simetria da parábola, concluímos que o valor de

q no vértice é o ponto médio do segmento de 0 a 16, ou seja,

é igual a 8. Como vemos que R(8) = 64, temos:

a 82 + b 8 = 64, ou seja, 8a + b = 8.

Resolvendo o sistema formado pelas equações 16a + b = 0 e

8a + b = 8, obtemos:

a = −1 e b = 16, ou seja, R(q) = −q2 + 16q.

b) Qual é o rendimento bruto máximo?

A observação direta do gráfico nos mostra que o rendimento

máximo é igual a R$ 64 mil.

c) Qual é a quantidade produzida que ma-

ximiza o rendimento bruto da empresa?

O valor de q que conduz ao rendimento máximo é q = 8, ou

seja, é a produção de 8 mil unidades.

d) Qual é o rendimento bruto que a em-

presa obtém para a produção de 15 mil

unidades? E de 20 mil unidades? Como

interpretar este último resultado?

O rendimento para q = 15 é igual a R(15) = −(15)2 + 16 15 =

= 15, ou seja, é 15 mil reais. Para q = 20, no entanto, temos

R(20) = −202 + 16 20 = − 80, ou seja, é negativa, o que significa

que a produção estará dando prejuízo de 80 mil reais.

Esse resultado pode surpreender os alunos, pois não é in-

tuitivo supor que, para uma produção maior, se obtenha

lucro negativo. Contudo, isso se deve a uma questão de

ordem econômica. Se a empresa possui uma estrutura

produtiva montada para um determinado nível de produ-

ção, a partir de certo ponto, passa a haver ineficiência pro-

dutiva devido a alguns fatores: alto custo de horas extras

pagas, espaço físico limitado para um número de trabalha-

dores, desgaste excessivo de máquinas etc. Por essa razão,

a função que representa o lucro é decrescente a partir de

um determinado nível de produção, correspondente ao

vértice da parábola, no caso.

12. Determine, para as funções a seguir, os

valores máximos ou mínimos atingidos

em cada caso, indicando o valor de x

em tais extremos.

92

a) f(x) = 3(x – 12)2 + 100

Valor mínimo é 100; ponto de mínimo é x = 12.

b) f(x) = –x2 + 10

Valor máximo é 10; ponto de máximo é x = 0.

c) f(x) = x2 + 6x + 9

Podemos verificar que f(x) = (x + 3)2; logo, o valor mínimo da

função é 0, e o ponto de mínimo é x = − 3.

d) f(x) = 3x2 + 30x + 75

Podemos escrever f(x) = 3(x2 + 10x + 25) = 3(x + 5)2; logo, o

valor mínimo é 0, e o ponto de mínimo é x = −5.

e) f(x) = –x2 + 10x

Podemos escrever f(x) = −x2 + 10x − 25 + 25, ou seja,

f(x) = −(x − 5)2 + 25; logo, o valor máximo é 25, e o ponto de

máximo é x = 5.

f) f(x) = x2 + 8x + 21

Podemos escrever f(x) = x2 + 8x + 16 + 5, ou seja, f(x) = (x + 4)2 + 5;

logo, o valor mínimo é 5, e o ponto de mínimo é x = −4.

Funções de 2o grau e raízes da equação de 2o grau: discussão

O estudo das raízes da equação de 2o grau

ax2 + bx + c = 0, que já foi feito na 8a série/9o ano

do Ensino Fundamental, será aqui retomado sob

outra perspectiva.

Já vimos que o gráfico de uma função de

2o grau f(x) = ax2 + bx + c é uma parábola,

que tem um vértice (xv,yv) e um eixo de sime-

tria vertical (paralelo ao eixo y).

Para determinar as coordenadas do vér-

tice da parábola, devemos considerar os se-

guintes aspectos:

sabemos que f(0) = c;

em razão da simetria do gráfico, existe outro

valor de x tal que f(x) = c; assim: ax2 + bx +

+ c = c acarreta ax2 + bx = 0, de onde obte-

mos x = 0 ou x = – b

a;

a abscissa xv do vértice é a média aritmética

dos dois valores obtidos:

xv =

0 + (– b

a )2 , ou seja, xv = –

b

2a ;

para determinar o valor de yv, calculamos

f(xv) e obtemos:

yv = f(xv) = a (– b

2a )2

+ b (– b

2a ) + c, ou seja,

yv = 4ac – b2

4a .

Naturalmente, sabendo o valor de xv, não

precisamos de fórmula alguma para determi-

nar yv, mas apenas substituir o valor de xv na

função f(x).

Calculando-se as coordenadas do vérti-

ce da parábola yv, podemos determinar se

a equação do segundo grau correspondente

tem ou não tem raízes. Basta observar os si-

nais de a e de yv, conforme mostram as figu-

ras a seguir:

93

Matemática – 1ª série – Volume 1

yy

x

x

a < 0

DUAS RAÍZES DISTINTAS(os sinais de a e de yv são opostos)

a > 0

yv > 0

yv < 0

y

yx

x

DUAS RAÍZES IGUAIS (UMA RAIZ REAL)(yv é igual a zero)

a > 0

yv = 0

yv = 0a < 0

yy

x

x

NÃO EXISTEM RAÍZES REAIS(os sinais de a e de yv são iguais)

a < 0

a > 0

yv < 0

yv > 0

Observação para o professor:

Neste ponto, podem ser apresentados aos alunos outros exercícios do mesmo tipo, para desenvolver a habilidade de se concluir a respeito do número de raízes de uma equação de 2o grau apenas calculando--se a ordenada do vértice e comparando com o sinal de a. Naturalmente, a observação da ordenada

yv = 4ac –b2

4a = –

∆

4a leva às mesmas conclusões sobre as raízes, discutindo-se o sinal de Δ = b2 – 4ac,

pois temos yv 4a = –Δ. Quando, por exemplo, yv e a têm o mesmo sinal, significa que o valor de Δ é nega-tivo, e a equação não tem raízes reais. No presen te Caderno, optou-se pela observação direta dos sinais de a e de yv em razão do significado geométrico mais imediato da existência ou inexistência das raízes. A escolha final do caminho para a apresentação do tema, no entanto, fica a critério do professor.

94

Raízes da equação e sinais da função de 2o grau

Já vimos como descobrir as informações

sobre as raízes de uma equação de 2o grau sem

ter que resolvê-la, comparando os sinais do

coeficiente a e da ordenada do vértice yv , ob-

tida a partir da abscissa do vértice xv = – b

2a .

Para obter as raízes da equação, podemos

proceder da seguinte forma:

dispondo das coordenadas xv e yv do

vértice da parábola que é o gráfico de

f(x) = ax2 + bx + c, podemos escrever que,

para todo valor de x:

ax2 + bx + c = a(x – xv)2 + yv;

assim, para resolver a equação f(x) = 0,

basta resolver a equação a(x – xv)2 + yv = 0,

de onde obtemos (x – xv)2 = – yv

a, ou seja,

x – xv = ± √–––– yv

a e; então, x = xv ± √––––

yv

a;

as duas raízes da equação dada, quando

existem, são iguais a: x1 = xv – √–––– yv

a e

x2= xv + √–––– yv

a.

Como já vimos, a existência ou não de

raízes está associada aos sinais diferentes ou

iguais de a e de yv; quando yv = 0, as duas raí-

zes são iguais a xv.

Sobre os sinais de f(x), notamos que:

f(x) tem o mesmo sinal de a para valores de

x fora do intervalo das raízes;

f(x) tem o sinal contrário ao de a no intervalo

aberto que tem as raízes como extremidades;

naturalmente, quando yv = 0, a função tem

sempre o sinal de a, exceto apenas para

x = xv , quando assume o valor zero.

Observando as figuras a seguir, compreende-se o significado disso:

y y

x

x

a < 0

f(x) tem sinal contrário ao de a no intervalo das raízes

a > 0

yv > 0

x1

x1

x2

x2

yv < 0

95

Matemática – 1ª série – Volume 1

Observação para o professor:

Neste ponto, outras atividades semelhantes podem ser apresentadas aos alunos, para de-senvolver a habilidade de se tirar conclusões sobre o valor das raízes e o sinal da função de 2o grau, sempre com base nas coordenadas do vértice. Naturalmente, a fórmula para as

raízes aqui encontradas (x = xv ± √–––– yv

a ) é

a conhecida fórmula de Bhaskara, quando se substituem os valores de xv e yv. No presente Caderno, optou-se pela apresentação da fór-mula que explicita diretamente a simetria das raízes em relação ao valor de xv, mas a esco-lha final do caminho para a apresentação do tema fica a critério do professor.

Considerações sobre a avaliação

A forma de apresentação dos conteúdos

não foi a usualmente presente nos materiais

didáticos disponíveis. O objetivo fundamental

foi a apresentação da função y = ax2 + bx + c

como a expressão de uma relação de pro-

porcionalidade direta entre as variações de y

(a partir de um valor inicial yv) e o quadrado dos

valores de x (a partir de um valor inicial xv), ou

seja, y – yv = a(x – xv)2. Todos os resultados que

os alunos precisam conhecer (coordenadas do

vértice da parábola, raízes da equação do segun-

do grau, sinais da função f(x) etc.) foram dedu-

zidos a partir dessa forma de apresentação, que

y

y

y

y

x

x

x

x

f(x) tem o mesmo sinal de a; é zero apenas no vértice

f(x) tem sempre o mesmo sinal de a, para todo x real

a < 0

a > 0

a > 0

yv = 0

yv < 0

yv = 0

yv > 0

a < 0

96

consideramos mais significa tiva. Entretanto, na

avaliação final da aprendizagem desses conteú-

dos, o que importa é o conhecimento dos fatos

fundamentais sobre a função do segundo grau,

sobre equações e inequações do segundo

grau, e não o modo como foram explicados. As-

sim, mesmo sem seguir literalmente as explica-

ções apresentadas, o professor deverá avaliar se

os alunos compreendem efetivamente que:

o gráfico de uma função f(x) = ax2 + bx +

+ c (a ≠ 0) é uma parábola com a concavi-

dade para cima se a > 0, e com a conca-

vidade para baixo se a < 0;

quanto maior o valor absoluto de a, mais

“fechada” é a parábola; quando mais pró-

ximo de 0, mais “aberta” ela é;

o vértice (xv,yv) da parábola pode ser de-

terminado a partir dos coeficientes a, b e c,

sendo xv = – b

2a e yv = f(xv);

as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 são

x1 = xv – √–––– yv

a e x2= xv + √––––

yv

a;

os resultados anteriores traduzem a conhe-

cida fórmula de Bhaskara para as raízes;

o estudo do sinal da função pode ser fei-

to a partir do conhecimento das raízes

(dentro do intervalo das raízes, a função

tem sempre sinal contrário ao de a; fora

dele, tem sempre o sinal de a; quando

não existem raízes, a função tem sempre

o mesmo sinal de a).

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE 2o GRAU

EM MÚLTIPLOS CONTEXTOS; PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

Conteúdos e temas: problemas envolvendo equações, inequações e funções de 2o grau em diferentes contextos; problemas envolvendo máximos ou mínimos de funções de 2o grau.

Competências e habilidades: compreender fenômenos que envolvem a proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra, traduzindo tal relação na linguagem matemática das funções; equacionar e resolver problemas que envolvem funções de 2o grau, particularmente os que envolvem otimizações (máximos ou mínimos).

Sugestão de estratégias: apresentação de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envol-vendo grande parte dos conteúdos estudados na Situação de Aprendizagem 7, sobre equações, inequações e funções de 2o grau, para serem explorados pelo professor.

97

Matemática – 1ª série – Volume 1

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 8

Nesta Situação de Aprendizagem, vamos

abordar diversos problemas que envolvem

equações, funções e inequações de 2o grau. Pra-

ticamente todos os conteúdos sobre tais temas

foram estudados na Situação de Aprendizagem

7 e serão aqui retomados. Os exercícios e pro-

blemas apresentados são apenas exemplares de

uma classe de problemas que pode ser explora-

da pelo professor em sua aula, em sintonia com

o tempo disponível e o interesse de seus alunos.

São vários os contextos de nossa vida em

que o conhecimento sobre as funções polino-

miais de 2º grau nos permite organizar, avaliar

e prever o comportamento de certos fenôme-

nos, sejam eles sociais ou naturais. O foco desta

Situação de Aprendizagem é abordar alguns

desses problemas, aplicando o que foi aprendi-

do na Situação de Aprendizagem anterior.

1. Na administração de uma

empresa, pro cura-se estabele-

cer relações matemáticas entre

as grandezas envolvidas, tendo em vista a

otimização da produção, ou seja, a busca

de um custo mínimo ou de um rendimento

máximo. Naturalmente, as relações obtidas

decorrem de certas hipóteses sobre o modo

de produção, que envolvem tanto a propor-

cionalidade direta quanto a inversa, a pro-

porcionalidade entre uma grandeza e o

quadrado de outra, o crescimento expo-

nencial, entre outras possibilidades. Uma

disciplina que trata da formulação de mo-

delos matemáticos (fórmulas) para repre-

sentar tais relações de interdependência

chama-se Pesquisa operacional. Suponha que, em certa empresa de produtos

eletrônicos, a organização da produção seja tal

que o custo total C para produzir uma quanti-

dade q de determinado produto seja apresen-

tado pela função C(q) = q2 – 1 000q + 800 000 (C em reais, q em unidades do produto).

a) Determine o nível de produção (valor

de q) que minimiza o custo total C e cal-

cule o valor do custo mínimo.

A pergunta é qual o valor de q que corresponde ao mínimo

valor da função C(q).

A função C(q) é de 2o grau, traduzindo algum tipo de propor-

cionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra.

Seu gráfico é uma parábola cujo vértice encontra-se no ponto

qv = −

(−1000)

2 = 500.

O nível de produção que corresponde ao custo mínimo é, pois,

q = 500; o valor do custo mínimo é C(500) = 5002 − 1 000 500 +

+ 800 000 = 550 000 reais.

b) Represente o gráfico de C(q).

O gráfico de C(q) é uma parábola com a concavidade para

cima, cortando o eixo C no ponto de ordenada 800 000, e

com vértice no ponto (500; 550 000):

C

q

C(q) = q2 – 1 000q + 800 000

0

800 000

550 000

300 500 700 1 000

c) Para q = 0, o custo é igual a R$ 800 mil.

Como pode ser interpretado tal fato?

98

O custo inicial C(0) = 800 000 corresponde ao custo fixo, in-

dependentemente de se iniciar a produção (aluguéis, equi-

pamentos, salários etc.).

d) Qual é o nível de produção que corres-

ponde a um custo de R$ 800 mil?

No modelo de produção suposto, o custo de R$ 800 mil cor-

responde a dois níveis de produção. Para determiná-los, bas-

ta resolver a equação C(q) = 800 000, ou seja:

q2 − 1 000q + 800 000 = 800 000, de onde obtemos q = 0 ou q = 1 000.

e) Do ponto de vista do custo, tanto faz um ní-

vel de produção q = 300 ou um nível de pro-

dução q = 700. E do ponto de vista do rendi-

mento bruto (faturamento da empresa)?

De fato, do ponto de vista do custo, dois níveis de produção si-

métricos em relação ao vértice da parábola, como são 300 reais e

700 mil reais, correspondem ao mesmo custo; no caso, C(300) =

= C(700) = 590 000. Entretanto, do ponto de vista do rendimento

bruto, certamente é preferível o nível de produção maior.

2. Para delimitar um galinheiro em um am-

plo quintal, dispõe-se de 80 m (lineares) de

uma tela. Deseja-se usar completamente

a tela disponível, e a região cercada deve

ser um retângulo. Fixado o perímetro, são

inúmeras as possibilidades para os lados

do retângulo, como podemos perceber nos

exemplos a seguir:

25 m 23 m

10 m

30 m

15 m 17 m

A área A do retângulo é uma função do com-

primento de seus lados. Entre todas as possi-

bilidades para os lados, procura-se, natural-

mente, aquela que corresponde à maior área

possível para o retângulo.

40 – x

x

Dessa forma:

a) Quais devem ser as medidas dos lados

do retângulo para que sua área seja a

maior possível?

Chamando um dos lados de x, o outro será 40 − x, e a área do

retângulo será igual a A(x) = x (40 − x).

Buscamos o valor de x para que a área A(x) atinja o valor máximo.

A(x) é uma função de 2o grau: A(x) = x (40 − x) = −x2 + 40x.

Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

As raízes da equação de 2o grau A(x) = 0 são x = 0 ou x = 40.

O vértice da parábola é o ponto onde xv = 20, ponto médio do

segmento determinado pelas raízes (o vértice também poderia

ter sido obtido por meio da expressão xv = −

b

2a = −

40

−2 = 20).

Os lados do retângulo de área máxima serão, portanto, 20 e 40 − 20,

ou seja, o retângulo de área máxima é um quadrado de lado 20.

b) Qual é o valor da área máxima?

O valor máximo de A(x) é: A(xv) = −(20)2 + 40 20 = 400 m2.

3. Deseja-se murar (cercar com muros) um

terreno retangular utilizando-se de uma pa-

rede já existente no terreno. Sabe-se que o

comprimento de muro que será construído

para cercar os outros três lados do terreno

deverá ter 36 m de comprimento.

99

Matemática – 1ª série – Volume 1

x

Parede

a) Expresse a área A desse terreno em

função de x (medida de um dos lados

do retângulo).

Sendo o comprimento dos 3 lados do muro igual a 36 m, se

um dos lados é x, o outro será 36 − 2x, e a área do retângulo

será: A(x) = x (36 − 2x).

b) Construa o gráfico de A em função do

lado x.

O gráfico de A(x) é uma parábola com a concavidade para

baixo, tendo como raízes da equação de 2o grau correspon-

dente os valores 0 e 18.

A

x

A(x) = 36x – 2x2

0 189

162

c) Calcule a área máxima que o terreno cer-

cado pode ter e suas respectivas dimensões.

O valor máximo da área A corresponde a x = 9 (ponto mé-

dio do segmento entre as raízes); a área máxima é igual a

A(9) = 36 9 − 2 92 = 162 m2.

4. Um criador de gado tem um bezerro de de-

terminada raça para vender. Esse bezerro pesa

atualmente 200 quilos e engorda 2 quilos por

dia. Inicialmente, o criador acha que, quan-

to mais tempo esperar para vender o bezer-

ro, melhor será, pois o bezerro ganhará mais

peso. Entretanto, um de seus funcionários

lembra o criador de que o preço de venda, que

hoje é 50 reais por quilo, está caindo 40 cen-

tavos por dia. A escolha da melhor data para

vender o bezerro depende, então, de duas va-

riáveis: a engorda diária e a queda nos preços

pagos por quilo. Com base nas informações

fornecidas, mantida a situa ção atual, pede-se:

a) Determine a melhor data para se vender o

bezerro, contada a partir de hoje.

Nossa incógnita é o valor x de dias, contados a partir de hoje,

após os quais o bezerro deve ser vendido, de modo a gerar o

maior retorno y possível, em reais.

Para encontrar o valor de y, devemos multiplicar o peso p (mas-

sa) em quilos do be zer ro pelo valor v pago por quilo: y = p v.

O enunciado informa que o peso p aumenta 2 quilos por dia,

a partir do valor inicial 200 quilos, ou seja, p = 200 + 2x, em que

x é o número de dias decorridos até a venda.

O valor v de cada quilo, no entanto, decresce à razão de 40

centavos por dia, a partir do valor inicial de 50 reais; temos,

então, que v = 50 − 0,40x.

Logo, o valor arrecadado será igual a y = p v , ou seja,

y = (200 + 2x) (50 − 0,40x) = −0,80x2 + 20x + 10 000

O valor a ser arrecadado é, portanto, uma função do 2o grau:

f(x) = − 0,80x2 + 20x + 10 000

Determinar a melhor data para vender o bezerro corresponde

a buscar o valor de x para o qual f(x) assume seu valor máximo.

De fato, a função tem o coeficiente a negativo (a = −0,80)

e, portanto, apresenta um valor máximo. Tal valor máximo

ocorre exatamente no vértice do gráfico de f(x). Calculando

o valor de xv , obtemos: x

v = −

b

2a = − 20

−1,60 = 12,5. Con-

cluímos, então, que, mantidas as condições atuais, a melhor

data para vender o bezerro é daqui a 12,5 dias, ou seja, entre

o 12o e o 13o dia.

100

b) Calcule o valor em reais que será

arreca dado em tal venda.

O valor a ser arrecadado com a venda é:

f(12,5) = −0,80 12,52 + 20 12,5 + 10 000, ou seja, é igual a

R$ 10 125,00.

c) Construa um gráfico que represente o

valor y a ser arrecadado pelo criador na

venda do bezerro (em reais) em função

do tempo x de espera (em dias).

O gráfico de f(x) é mostrado a seguir: trata-se de uma parábola

com a concavidade para baixo, tendo como vértice o ponto

(12,5,10 125).

y

x

f(x) = –0,80x2 + 20x + 10 000

0 12,5

10 125

10 000

d) Determine quantos dias levará para

que o total arrecadado pelo criador

seja igual a zero.

O valor arrecadado pelo criador será zero quando tivermos

− 0,80x2 + 20x + 10 000 = 0

Procurando as raízes dessa equação, encontramos:

x = xv ± −

yv

a = 12,5 ± −

10 125

−0,80 = 12,5 ± 12656,25 =

= 12,5 ± 112,5.

Uma das raízes é negativa e não faz sentido para o problema;

a outra, a positiva, é igual a 12,5 + 112,5 = 125 dias.

Uma maneira mais simples de responder a essa questão teria

sido aproveitar a forma fatorada da equação de 2o grau, pois

sabíamos, desde o início, que

(200 + 2x) (50 − 0,40x) = −0,80x2 + 20x + 10 000

Logo, para obter as raízes, bastaria igualar a zero os fatores

do primeiro membro, obtendo x = −100, que não faz sentido

no problema, e x = 50

0,40 = 125, que é a solução anterior-

mente encontrada.

5. Um foguete, que é lançado de uma base

militar, apresenta um defeito em pleno voo

e, segundo os cálculos, deverá cair sobre

uma região habitada. O gráfico a seguir

representa a trajetória desse foguete, sendo

x e y dados em metros. O gráfico também

apresenta a trajetória praticamente retilí-

nea de um míssil que foi lançado da mesma

base para interceptar o foguete e evitar um

possível desastre. Suponha que a trajetória

do míssil seja dada pela função y = 40x.

3 600

y

60 120

y = 40x 

x

a) Com base nos dados do gráfico, encon-

tre a sentença que representa a trajetó-

ria do foguete.

y = x(120 − x) = −x² + 120x

b) Calcule a que altura do solo o míssil in-

terceptará o foguete.

101

Matemática – 1ª série – Volume 1

Devemos efetuar −x2 + 120x = 40x, isto é, −x2 + 80x = 0 e, por-

tanto, x = 0 ou x = 80. Como y = 40x, y = 40 80 = 3 200. Logo, o

míssil interceptará o foguete a 3 200 metros de altura.

6. Em determinado país ocorreu

uma epidemia provocada por uma

espécie de vírus. Inicialmente, fo-

ram detectadas 2 mil pessoas infectadas. A

estimativa dos epidemiologistas é a de que o

número N de doentes cresça até o valor má-

ximo L, que deverá ocorrer após seis sema-

nas do aparecimento do vírus, devendo de-

crescer a partir de então. Supõe-se que a

diferença N(t) – L seja diretamente propor-

cional ao quadrado da diferença entre t e 6,

ou seja, quando dobra a distância entre t e

6 (valor que será o pico da doença), a que-

da no número de infectados torna-se qua-

tro vezes maior:

N(t) = k (t – 6)2 + L (k é uma constante).

Com base nesse modelo, e sabendo que

duas semanas após o início da epidemia

havia 2 100 pessoas infectadas, responda:

a) Quais são os valores de k e L?

Sabemos que o valor de N para t = 0 é 2 000, e para t = 2 é

2 100; a partir dessas informações, podemos calcular os coe-

ficientes k e L:

N(0) = k (0 − 6)2 + L = 2 000

N(2) = k (2 − 6)2 + L = 2 100

Concluímos, então, que 36k + L = 2 000 e 16k + L = 2 100.

Daí segue que k = −5 e L = 2 180.

Temos, portanto: N(t) = −5 (t − 6)2 + 2 180

b) Como é o gráfico de N(t)?

O gráfico de N(t) é o mostrado a seguir:

N

t

N(t) = –5 (t – 6)2 + 2 180

?0 6

2 180

2 000

2 100

c) Qual será o número máximo de pessoas

infectadas?

Como se pode depreender da expressão N(t) e do gráfico, o

valor máximo para N é 2 180.

d) Depois de quantas semanas o número

de infectados cairá a zero?

O número de doentes cairá a zero quando tivermos N(t) = 0,

ou seja, quando −5(t − 6)2 + 2 180 = 0.

Calculando o valor de t, obtemos:

(t − 6)2 = 436 t − 6 20,9 t 26,9 semanas

(O outro valor possível para t é negativo e não faz sentido

para o problema em questão.)

7. Em certo ambiente, a velocidade V de cres-

cimento de uma população N é, em cada

instante, diretamente proporcional ao va-

lor de N, e também à diferença entre um

valor limite L, estimado como o máximo

admissível para uma vida sustentável no

ambiente em questão. O valor de N em cada

instante corresponde a V = k N (L – N),

sendo k uma constante positiva. Podemos

dizer, então, que a velocidade V é uma

função de N, expressa pela fórmu-

la V = f(N) = k N (L – N), ou seja,

V = f(N) = –kN2 + kL N.

Supondo, L = 100 000 habitantes e saben-

102

do que, para N = 10 000, a velocidade de

crescimento é igual a 900 habitantes por

ano, responda:

a) qual é o valor da constante k?

Para L = 100 000 habitantes, a função que expressa a velocidade

de crescimento po pu lacional é:

V = f(N) = k N (100 000 − N).

Sabendo que V = 900 para N = 10 000, concluímos que:

900 = k 10 000 (100 000 − 10 000), ou seja, k = 10−6.

Temos, então, para a função V = f(N):

V = f(N) = 10−6 N (100 000 − N), ou ainda,

V = f(N) = −10−6 N2 + 10−1 N

b) para quais valores de N a velocidade de

crescimento é igual a zero?

Para responder à pergunta, basta determinar as raízes da

equação f(N) = 0.

Encontramos, então, N = 0 ou N = 100 000.

c) para quais valores de N a velocidade de

crescimento da população é positiva, ou

seja, a população cresce, e para quais va-

lores de N a velocidade de crescimento é

negativa, ou seja, a população decresce?

Como f(N) é uma função de 2o grau com o coeficiente de N2 ne-

gativo, a parábola que é o gráfico de f(N) tem a concavidade vol-

tada para baixo. Segue que o sinal de f(N) é positivo (contrário ao

do coeficiente de N2) no intervalo entre as raízes (0 < N < 100 000)

e é negativo para N > 100 000 (N < 0 não faz sentido no problema).

Portanto, a velocidade V de crescimento será positiva (a popula-

ção cresce) para uma população menor que 100 000 habitantes.

A partir desse limite, a velocidade de crescimento passará a ser

negativa (a população decresce).

d) para qual valor de N a velocidade de

crescimento é máxima?

A velocidade de crescimento é máxima no vértice da pará-

bola que é o gráfico de f(N); temos

Nv =

−10 −1

−2 10 −6 = 50 000

e) qual é o gráfico de V em função de N?

O gráfico de V = f(N) é apresentado a seguir.

N

V

V = f(N) = 10–6 N(100 000 – N)

0 50 000 100 000

8. Um empresário possui duas lojas de rou-

pas. Entre os anos de 2000 e 2005, a re-

ceita R1 de uma das lojas, em milha-

res de reais, foi modelada pela função

R1 = 0,7t2+ 3,4t + 4, onde t representa o tem-

po em anos. Durante o mesmo período, a

receita R2, da segunda loja, em milhares de

reais, foi modelada pela função R2 = 0,8t +

+ 300. Escreva uma função que represente a

receita total das duas lojas, indicada por Rt,

verifique se essa receita possui um valor má-

ximo ou mínimo e determine esse valor.

Com base nos dados do problema, podemos escre-

ver que Rt  =  R

1  +  R

2, o que nos permite concluir que

Rt= 0,7t2 + 4,2t + 304. Observando que o coeficiente de t2 é

positivo, concluímos que a concavidade da parábola, que

representa essa interdependência, é para cima e, portan-

to, a função admitirá um valor de mínimo. Contudo, en-

2 500

103

Matemática – 1ª série – Volume 1

contrando os valores das coordenadas do vértice dessa

parábola, observamos que o valor da abscissa é negativo,

xv = −3, o que não é possível, pois ela se refere à grandeza tem-

po. Construindo o gráfico correspondente, encontramos:

t

R

V

0–1–2–3–4 21

297,7

304

Desse modo, o valor mínimo da receita não está no vértice,

mas no ponto de interseção da parábola com o eixo y, isto

é, (0,304).

Portanto, a receita total terá um valor mínimo no tempo

0 (zero), e esse valor será igual a R$ 304,00.

O professor também pode comentar com os alunos que o fato

de a parábola crescer a taxas crescentes não significa que a receita

das lojas será infinita, uma vez que devem ser considerados vários

fatores que limitam esse crescimento em uma situação de con-

texto. O fato importante aqui é que o domínio da função em uma

situação real difere do contexto puramente matemático.

Considerações sobre a avaliação

Consideramos que os objetivos da presente

Situação de Aprendizagem terão sido atingi-

dos se os alunos tiverem sido sensibilizados

sobre a presença das funções de 2o grau em

diversos contextos práticos, sendo capazes de

identificar as interdependências envolvidas,

e reconhecer as situações de máximo ou de

mínimo presentes, sabendo calcular as coor-

denadas dos pontos críticos (máximos ou mí-

nimos) correspondentes. Especialmente nesta

Situação de Aprendizagem, as atividades de-

vem ter um caráter essencialmente qualitativo,

não podendo ser associadas a imensas listas

de exercícios meramente repetitivos.

Muitos outros exercícios ou problemas

poderiam ser aqui apresentados, e o pro-

fessor que dispuser de tempo para conti-

nuar não terá dificuldades em encontrá-los

ou mesmo “fabricá-los” com base nos que

foram resolvidos. Consideramos, no entan-

to, que não é exatamente a quantidade de

questões examinadas que é decisiva para

uma compreen são adequada dos temas,

mas, sim, o modo como elas são exploradas

em classe, garantindo-se uma abordagem

que favoreça um aprendizado consciente e

efetivo. Sobretudo quando envolvem mo-

delos matemáticos utilizados em outras

áreas do conhecimento, é muito importan-

te contextualizá-los, não bastando apenas

receber fórmulas prontas e fazer cálculos

aparentemente arbitrários.

Na 1a série do Ensino Médio, os alunos,

iniciando seu último ciclo de escolaridade bá-

sica, começam a tomar contato com aspectos

ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO

da Matemática que exigem maior elaboração

algébrica e também a mobilização de estra-

tégias de raciocínio mais elaboradas. Mesmo

104

que os conteúdos matemáticos apresentados a

eles neste momento ainda não sejam concei-

tualmente muito difíceis, o professor deverá

estar atento para a presença de alunos que,

eventualmente, não tenham conseguido com-

pletar a construção conceitual de maneira

satisfatória. Se processos de recuperação são

importantes em qualquer etapa de escolari-

dade, o são ainda mais agora, ao iniciar-se o

Ensino Médio.

Para os alunos que necessitarem de recu-

peração, sugerimos, em primeiro lugar, que

o tipo de construção dos conceitos propos-

tos neste Caderno não seja alterado, sobre-

tudo no que diz respeito à identificação da

regularidade da sequência e à possibilidade

de traduzi-la por intermédio de uma equação

matemática. Se não se altera a concepção,

altera-se, por outro lado, a forma com que

devem ser abordados os conceitos. Assim, su-

gerimos que o professor:

prepare e aplique listas de problemas com

características mais pontuais, que explo-

rem, de forma mais lenta e gradual, cada

conceito;

recorra ao livro didático adotado e tam-

bém a outros, selecionando problemas e

agrupando-os de modo a formar listas de

atividades em concordância com a propos-

ta de construção conceitual desenvolvida

neste Caderno;

forme grupos de alunos para a realização

conjunta das sequências didáticas que ela-

borou e, se possível, convoque alunos com

maior desenvoltura nos conceitos estudados

para auxiliarem os grupos em recuperação.

Caso considere que os alunos não tenham

atingido as metas mínimas prefiguradas em cada

uma das Situações de Aprendizagem, o profes-

sor pode optar por uma das estratégias a seguir:

apresentar, inicialmente, os conteúdos bási-

cos sobre funções de 1o e de 2o grau do modo

esquemático como costuma ser apresenta-

do na maioria dos materiais didáticos dis-

poníveis, portanto, sem destacar a ideia de

proporcionalidade direta de y em relação a

x, ou a x2, introduzindo paulatinamente as

explicações ou as justificativas dos resultados

fundamentais como foram apresentadas no

presente Caderno, na medida em que tais jus-

tificativas despertem efetivamente o interes-

se dos alunos. Naturalmente, consideramos

importante que o professor tente despertar

tal interesse, mas o imprescindível é que os

alunos aprendam os fatos fundamentais do

tema, mesmo que tenham chegado até eles

por vias distintas das aqui propostas;

uma vez que, de uma forma ou de outra,

os conteúdos apresentados no presente

Caderno já estiveram presentes na 8a série/

9o ano do Ensino Fundamental, abordar

os conteú dos referentes às funções de 1o

e de 2o graus como se fosse uma recorda-

ção, por meio das atividades envolvendo

problemas, invertendo a ordem em que

tais temas foram expostos. Assim, a apre-

sentação mais sofisticada, mais apropria-

da para o Ensino Médio, pode ser mais

nitidamente apoiada em abordagens mais

simples, à guisa de revisão.

105

Matemática – 1ª série – Volume 1

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA

Caso o professor julgue necessário apro-

fundar o estudo de alguns dos temas apre-

sentados neste Caderno, sugerimos a leitura,

dentre outros, dos seguintes artigos da Revista

do Professor de Matemática (RPM), da Socie-

dade Brasileira de Matemática:

ÁVILA, G. “As séries infinitas”. Revista do

Professor de Matemática, n. 30.

CARVALHO, P. C. P. “Um problema domésti-

co”. Revista do Professor de Matemática, n. 32.

LIMA, E. L. “Uma construção geométrica e a

progressão geométrica”. Revista do Professor

de Matemática, n. 14.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu-

cação. Programa de Educação Continuada

(PEC). Material sobre funções. São Paulo:

SE/CENP, 2001.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu-

cação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Proposta Curricular para o ensi-

no de Matemática: 2o grau. 3. ed. São Paulo:

SE/CENP, 1992.

VALADARES, E.; WAGNER, E. “Usando

geometria para somar”. Revista do Professor

de Matemática, n. 39.

106

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste Caderno, foram apresentadas diver-

sas situações-problema envolvendo as prin-

cipais noções de sequências e de PAs e PGs.

Foram sugeridas atividades que propiciam ex-

periências educativas diversificadas e que en-

tendemos como essenciais para o desenvolvi-

mento de competências relativas a esse tema.

Convém ressaltar que as expectativas de

aprendizagem enunciadas neste Caderno não

expressam todos os conteúdos referentes aos te-

mas do volume, mas apenas os aspectos conside-

rados fundamentais, isto é, aqueles que possibi-

litam ao aluno continuar aprendendo, sem que

seu aproveitamento seja comprometido.

Assim, espera-se que o aluno obtenha os

termos de uma sequência a partir da expressão

de seu termo geral e determine essa expressão a

partir de seus termos. Além disso, o aluno deverá

classificar uma progressão (PA ou PG), obter a

expressão do termo geral e calcular a soma dos

termos de uma progressão em situações diversas.

Em relação às PGs, espera-se, também, que o alu-

no calcule o limite da soma de uma PG infinita.

Vale ressaltar que a avaliação deve fornecer

informações ao estudante sobre seu desenvol-

vimento, a respeito de suas capacidades em

utilizar as noções aprendidas em situações-pro-

blema. Por outro lado, a avaliação deve forne-

cer ao professor dados sobre a aprendizagem

de seus alunos, para a adequação das situações

apresentadas e a proposição de novas.

O professor deve ter clareza sobre os crité-

rios da avaliação e as limitações e possibilida-

des dos instrumentos que serão utilizados. Os

instrumentos de avaliação devem, também,

contemplar as explicações, justificativas e ar-

gumentações orais, uma vez que estas revelam

aspectos do raciocínio que, muitas vezes, não

ficam explícitos nas avaliações escritas.

Neste final de percurso, revimos a ideia

básica de função como relação de interdepen-

dência, as relações de proporcionalidade dire-

ta como característica das funções de 1o grau,

e as relações de proporcionalidade direta com

o quadrado, que são suficientes para caracte-

rizar as funções de 2o grau.

Ao final da Situação de Aprendizagem 5,

pressupõe-se que os alunos consolidaram a

ideia de função; se o professor considerar que

o desempenho dos mesmos ainda não é satis-

fatório, sugerimos uma exploração direta das

relações de interdependência com base em ta-

belas ou gráficos de diversos tipos, extraídos

de jornais ou revistas. O recurso a diferentes

linguagens para a apresentação da interde-

pendência pode contribuir decisivamente para

a compreensão da ideia central: uma grandeza

que tem os seus valores determinados a partir

dos valores atribuídos a outra é uma função

dessa outra, em sentido próprio.

Na Situação de Aprendizagem 6, o foco foi

colocado em uma particular relação de inter-

107

Matemática – 1ª série – Volume 1

dependência: a proporcionalidade direta, que

não pode ser confundida com a mera associa-

ção com duas grandezas que crescem simulta-

neamente, ou decrescem simultaneamente: a

manutenção das proporções nesse crescimento

ou decrescimento conjunto é absolutamente

fundamental para garantir a proporcionalida-

de. Assim como os temas da primeira Situação

de Aprendizagem, é provável que estes também

já tenham sido apresentados aos alunos ante-

riormente. Cabe ao professor decidir se as ativi-

dades constituem uma apresentação inicial ou

uma consolidação das ideias já vistas.

Na Situação de Aprendizagem 7, a função

de 2o grau é apresentada por completo. Ainda

que alguns aspectos desta tenham sido abor-

dados na 8a série/9o ano, como a solução das

equações de 2o grau, este é o momento mais

adequado para um estudo sistematizado do

tema. Apesar de termos feito tal estudo, bus-

cou-se constantemente dar ênfase ao signifi-

cado das noções apresentadas, minimizando o

tempo dedicado às técnicas de cálculo. Todas

as técnicas necessárias foram contempladas:

gráficos, vértices, raízes, inequações etc., po-

rém, sempre procurando um modo compreen-

sivo de abordagem além da mera apresentação

de fórmulas a serem memorizadas, inclusive

com a tradicional e amplamente conhecida

fórmula de Bhaskara.

Ainda que alguns dos caminhos sugeridos

na apresentação dos temas não sejam os mais

conhecidos, convidamos o colega professor a

viajar conosco, pois temos certeza de que ele

vai apreciar a alternativa proposta. Qualquer

que seja o caminho, no entanto, os fatos fun-

damentais sobre a função de 2o grau – tais

como: as características do gráfico, o significa-

do dos coeficientes, a determinação das raízes

da equação correspondente, o estudo dos sinais

da função – devem ser conhecidos dos alunos

ao final dessa Situação de Aprendizagem.

Na Situação de Aprendizagem 8, reserva-

mos o espaço para a solução de alguns proble-

mas clássicos envolvendo funções de 2o grau,

sobretudo os que dizem respeito a questões

de otimização ou a problemas de máximos e

mínimos. Naturalmente, as atividades apre-

sentadas têm apenas o caráter de exemplificar:

muitas outras poderão ser propostas, com fi-

nalidades análogas.

108

1a série 2a série 3a série

Vol

ume

1

NÚMEROS E SEQUÊNCIAS– Conjuntos numéricos.– Regularidades numéricas:

sequências.– Progressões aritméticas, progres-

sões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática financeira.

FUNÇÕES– Relação entre duas grandezas.– Proporcionalidades: direta,

inversa, direta com o quadrado.– Função de 1o grau, função de

2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

TRIGONOMETRIA– Arcos e ângulos; graus e radianos.– Circunferência trigonométrica: seno,

cosseno, tangente.– Funções trigonométricas e fenôme-

nos periódicos.– Equações e inequações trigonomé-

tricas.– Adição de arcos.

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES– Matrizes: significado como tabelas,

características e operações.– A noção de determinante de uma

matriz quadrada.– Resolução e discussão de sistemas

lineares: escalonamento.

GEOMETRIA ANALÍTICA– Pontos: distância, ponto médio e

alinhamento de três pontos.– Reta: equação e estudo dos coefi-

cientes, retas paralelas e perpendi-culares, distância de ponto a reta; problemas lineares.

– Circunferências e cônicas: proprie-dades, equações, aplicações em diferentes contextos.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS, POLINÔMIOS, COMPLEXOS– Equações polinomiais: história,

das fórmulas à análise qualitativa.– Relações entre coeficientes e raí-

zes de uma equação polinomial.– Polinômios: identidade, divisão

por x – k e redução no grau de uma equação.

– Números complexos: significa-do geométrico das operações.

Vol

ume

2

FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA– Crescimento exponencial.– Função exponencial: equações e

inequações.– Logaritmos: definição, proprie-

dades, significado em diferentes contextos.

– Função logarítmica: equações e inequações simples.

GEOMETRIA-TRIGONOMETRIA– Razões trigonométricas nos triân-

gulos retângulos.– Polígonos regulares: inscrição,

circunscrição; pavimentação de superfícies.

– Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE– Raciocínio combinatório: princípios

multiplicativo e aditivo.– Probabilidade simples.– Arranjos, combinações e permutações.– Probabilidades; probabilidade condi-

cional.– Triângulo de Pascal e Binômio de

Newton.

GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL– Organização do conhecimento

geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas.

– Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas.

– Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas.

– A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

ESTUDO DAS FUNÇÕES– Panorama das funções já estu-

dadas: principais propriedades.– Gráficos: funções trigonométri-

cas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais.

– Gráficos: análise de sinal, cres-cimento, decrescimento, taxas de variação.

– Composição: translações, refle-xões, inversões.

ESTATÍSTICA– Cálculo e interpretação de índices

estatísticos.– Medidas de tendência central:

média, mediana e moda.– Medidas de dispersão: desvio

médio e desvio padrão.– Elementos de amostragem.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.

QUADRO DE CONTEÚDOS DO ENSINO MÉDIO

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoLog Print Grá ca e Logística S. A.

Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís

Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu

Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e

Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva,

Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e

Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza

Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,

Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina

Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza

Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.

Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo

Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene

Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta

Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,

Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso

Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,

João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,

Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida

Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria

Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo

Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,

Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,

Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,

Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo

de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,

Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell

Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e

Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse

Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe

Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa

Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda

Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de

Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimen-tos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.

* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no Caderno do Professor para apoiar na identificação das atividades.

São Paulo Estado Secretaria da Educação.

Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática, ensino médio, 1a série / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. - São Paulo : SE, 2014.

v. 1, 112 p.

Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Pro ssional CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.

ISBN 978-85-7849-555-8

1. Ensino médio 2. Matemática 3. Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério Ferreira da. VII. Pietropaolo, Ruy César. VIII. Spinelli, Walter. IX. Título.

CDU: 371.3:806.90

S239m

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli.

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Valid

ade: 2014 – 2017