111EQUATION CHAPTER 1 SECTION 1INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E

TECNOLOGIA DO ESPÍRITO SANTO

CAMPUS SERRA

LUIS HENRIQUE KAMKE

1º TRABALHO DE

SISTEMAS DE CONTROLE

SERRA

2013

Sumário

Sistema a ser controlado...................................................................................................................3

1 – Parâmetros do controlador.........................................................................................................4

2 – Desempenho da malha fechada do sistema contínuo.................................................................6

3 – Período de amostragem pela regra da margem de fase..............................................................7

4 –Conversão do controlador contínuo para discreto usando a técnica bilinear com prewarping........................................................................................................................................9

5 – Simulação do desempenho em malha fechada dos sistemas contínuo e discreto e verificação do comportamento em relação à margem de fase.......................................................11

6 – Equivalente ZOH do processo P(s) pelo método de frações parciais, e verificação por simulação que P(z)é a versão discreta de P(s).................................................................................13

7 – Função de transferência H(z). Valores de Kp que mantém H(z) estável usando o critério de Jury. Teste das restrições...............................................................................................15

8 – Calculo da y(k) a parte de Y(z)=H(z)*R(z) usando o método de frações parciais. Simulação de y(k)............................................................................................................................22

9 – Projeto dos controladores deadbeat e deadbeat aumentado...................................................24

10 – Simulações e comentários sobre os DeadBeat........................................................................27

11 – Projeto do controlador pelo método direto de Ragazzini assumindo os mesmos pólos de malha fechada do caso contínuo......................................................................................29

12 – Simulação da resposta do sistema com controlador Ragazzini e comparação com o item 5..............................................................................................................................................31

13 – Projeto do controlador pelo método da Dahlin.......................................................................33

14 – Simulação da resposta do sistema com controlador Dahlin....................................................34

2

Sistema a ser controlado

3

1 – Parâmetros do controlador

A partir das equações diferenciais do motor de corrente contínua, podemos obter a função de

transferência do processo P(s) no domínio da frequência:

Lis+Ri=V−KW JW+bW=KiW=θs

P (s )=W (s )V ( s)

=K

(LJ ) s2+ (Lb+RJ ) s+(Rb+K2)=

K( LJ )

s2+( Lb+RJ )

( LJ )s+ Rb+K2

( LJ )

=146788

s ²+731,2 s+5549

Pólos da planta:.s1=−723,53 ; s2=−7,669

Aplicando um degrau na planta observamos que ela apresenta um tempo de acomodação rápido

(0,9 segundos para um critério de 2%, pois Wn = 74,5 rad/s), um comportamento estável,

superamortecido, mas com erro diferente de zero em regime estacionário.

Diante disso para o controlador, vamos adotar um valor para TI de forma que cancele o pólo mais

lento da planta. Tal procedimento apesar de diminuir a estabilidade relativa do sistema, pois

desloca o LGR para a direita do plano s, cumpre o objetivo do PI que é zerar o erro em regime

estacionário para uma entrada degrau. (Castrucci, pág. 235-236).

C ( s )=Kp(1+ 1T i s )

4

Para cancelar o pólo mais lento da planta igualamos o zero do controlador ao respectivo pólo.

Logo:

T i s+1=0(¿)T i s+1=0 , s=−7,669=¿T i=0,1304

Então para a função de transferência em malha fechada do sistema, temos:

H (s )= C (s ) P ( s)1+C ( s) P (s )

=146788K p (T i s+1 )

T i s ( s+ p1 ) (s+ p2 )+146788K p (T i s+1 )

( s+ p1 )=7,669(T i s+1)

146788K p

(s ) (s+730,2 )+146788K p

=146788K p

s ²+730,2 s+146788K p

H (s )=146788K p

s ²+730,2 s+146788K p

Comparando H(s) com a especificação de malha fechada para um sistema de 2ª ordem, temos:

s ²+730,2 s+146788K p=s ²+2 ε ωn s+ωn²

Para a especificação de εescolhemos um overshoot de 10%, ou seja, MP = 10%.

Logo ε=0 ,5912, entãocomo 2 εωn=730 ,2 s

ωn=617,56

Pólos desejados de malha fechada: s=−365 .1± j 498.08

Por consequência,K p=ωn2

146788=2 ,5982

Assim, temos o controlador:

C ( s )=2,5982 s+19,9254s

2 – Desempenho da malha fechada do sistema contínuo

5

A simulação da malha fechada do sistema foi feita utilizando como ferramenta o Simulink, como

segue nas imagens abaixo:

Como esperávamos na especificação, o overshoot alcançado foi de 10%, o erro em regime

permanente foi zerado e o tempo de resposta (acomodação), 0,011 seg., está de acordo com o

Wn especificado.

6

3 – Período de amostragem pela regra da margem de fase.

Para escolhermos o período de amostragem é necessário entender a influência do mesmo no

sistema de controle. Quando analisamos um amostrador ZOH é notado um atraso no sinal de saída

de meio período de amostragem em relação ao sinal de entrada. Esse atraso altera a fase da função

de transferência de malha aberta do sistema em−ωT2

.

Tal efeito em malha fechada causa maiores oscilações do sinal de saída do sistema, proveniente

da alteração da margem de fase do sistema em malha aberta.

Então para a escolha da taxa de amostragem usamos a regra da margem de fase na qual é

verificada uma relação entre a alteração da margem de fase, a frequência em malha aberta e o

período de amostragem.(Controle por computador de sistemas dinâmicos, Elder M. Hemerly,

pags. 72-73)

5 °<ωT2

<15 °

Em malha aberta, pela condição de módulo temos:

|C ( j ω) ∙P ( j ω )|=1

Temos pelo bode obtido:

7

ω=444 rads

Margem de fase = 58,5 °

Assim podemos calcular o período de amostragem T:

3,9309 ∙10−4<T <1,1793 ∙10−3

Escolhemos T então:T=8 ∙10−4

Diante do T escolhido, verificamos a influência

dele na margem de fase do sistema.

Como podemos notar no gráfico e na legenda

acima, a redução da margem de fase do

sistema amostrado foi de aproximadamente

10º em relação ao contínuo, ou seja, está

dentro do especificado.

Nova margem de fase = 48,5º

8

4 –Conversão do controlador contínuo para discreto usando a técnica bilinear com prewarping.

Para convertermos um controlador para discreto precisamos utilizar uma aproximação mais perto

possível do sistema contínuo. A forma que vamos ver é a obtenção de funções de transferência

em Z (domínio discreto) aproximadas a partir de funções de transferência em S.

Dentro das várias técnicas de transformação, vamos utilizar a transformação bilinear que se trata

de aproximar o calculo de uma integral pela área de um trapézio, cuja altura é igual ao período T e

as bases correspondem aos valores da função nos instantes kT e (k-1)T. Tal transformação apesar

de ser a mais fiel em relação ao contínuo pode causar uma distorção na resposta em frequência.

Para resolver esse problema faremos a compensação por prewarping. (Castrucci, pag. 414-415)

Na transformação bilinear com compensação prewarping devemos substituir cada termo da

forma (s+p) por (s+p’), onde p'= 2

Ttg( pT

2). Tal fato se deve a relação entre as frequências nos

domínios contínuos e discretos. (Essa distorção causada pela frequência está demonstrada na

pag. 83, Cont. por computador de Sist. Dinâmicos).

Então para que o nosso controlador discreto seja equivalente ao contínuo, temos a seguinte

relação.

C ( s )=2,5982 ( s+7,669 )s

Então utilizando o mesmo período de amostragem encontrado na questão 3,

T=8 ∙10−4 , p1'= 28 ∙10−4

tg( 7,669∙8 ∙10−4

2 )=¿ p1'=7,669Portanto como T é muito pequeno

a influência da distorção é praticamente imperceptível, não sendo necessária a sua consideração.

Fazendo a transformação bilinear do controlador, fica assim:

Onde s=2 ( z−1 )T (z+1 )

C ( z )=2,5982+ 0,00797016 ( z+1 )z−1

=2,606 z−2,59z−1

9

Como prevíamos a resposta em frequência

dos controladores foram praticamente

iguais, não havendo distorção nas

frequências.

10

5 – Simulação do desempenho em malha fechada dos sistemas contínuo e discreto e verificação do comportamento em relação à margem de fase.

Na

simulação ao lado a linha verde refere-se ao controlador discreto e a linha azul ao contínuo.

Tal diferença no desempenho, principalmente em relação ao overshoot, se deve a alteração da margem de fase causada pelo atraso provocado pelo amostrador ZOH, como foi comentado na questão 3.

11

Abaixo verificamos a relação da margem de fase e o fator de amortecimento (ε ¿.

A relação entre a margem de fase e ε , de acordo com o livro do Dorf (Sistemas de Controles Modernos) é a seguinte:

A margem de fase do sistema encontrado na questão 3 é de 48,5º(0,8464 rad), então para esse valor temos:

ε=0,4600.

Com esse valor de ε, chegamos a um overshoot (MP) de 20%, valor bem próximo ao observado na simulação discreta.

Concluímos então que ao discretizarmos o controlador aceitando uma redução na margem de fase de 10º, passando de 58,5º no contínuo para 48,5º no discreto, causou influência direta no fator de amortecimento e consequentemente no overshoot.

12

6 – Equivalente ZOH do processo P(s) pelo método de frações parciais, e verificação por simulação que P(z)é a versão discreta de P(s).

O mapeamento do plano s no plano z pelo segurador de ordem zero (ZOH) tem a seguinte forma:

P ( z )=(1−z−1 ) Ζ [ P (s )s ]

P ( s )s

= 146788s (s+723,5 ) (s+7,669 )

=−26,736s+7,669

+ 26,453s

+ 0,2834s+723,53

Ζ [−26,736s+7,669+ 26,453

s+ 0,2834

s+723,53 ]=−26,736 zz−e−7,669T + 26,453 z

z−1+ 0,2834 z

z−e−723,53 T

T=0,0008s

P ( z )= (z+0,8502 ) ( z+95,0687 )0.0004( z−0,5606 ) (z−0,9938 )

Como podemos notar na simulação abaixo, P(z) ficou extremamente próximo a P(s) alcançando uma ótima discretização.

Segue abaixo o gráfico com zoom para melhor visualização:

13

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7 – Função de transferência H(z). Valores de Kp que mantém H(z) estável usando o critério de Jury. Teste das restrições.

Cancelando os pólos e zeros, temos:

H ( z )=0,0010414( z+95,07 ) ( z+0,8502 )

z2−1,459 z+0,6441=0.001041 z2+0.09812 z+0.08417

z2−1.459 z+0.6441

Resposta ao degrau

de H(z)

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Para acharmos a faixa de valores que Kp pode assumir para o H(z) se manter estável, vamos

repetir o projeto do controlador da questão 4 sem assumir um valor para Kp.

C ( s )=K p ( s+7,669 )

s

Então utilizando o mesmo período de amostragem encontrado para a questão 3,

T=8 ∙10−4 , p1'= 28 ∙10−4

tg( 7,669∙8 ∙10−4

2 )=¿ p1'=7,669

Portanto como T é muito pequeno a influência da distorção é praticamente imperceptível, não

sendo necessária a sua consideração.

Fazendo a transformação bilinear do controlador, fica assim:

Onde s=2 ( z−1 )T (z+1 )

C ( z )=K p(1+ 0,0030676 (z+1 )z−1 )=K p( 1,0031−0,99693z−1 )

P ( z )= (z+0,8502 ) ( z+95,0687 )0.0004( z−0,5606 ) (z−0,9938 )

H ( z )=K p ( z ²+95 ,93 z+80 ,83 )

z ²+z ( (95 ,93K p−3890 )K p+2493 )+ 80 ,93K p+1396

K p+2493

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Segue abaixo a faixa que Kp pode assumir usando o critério de Jury:

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Como o sistema é de ordem 2, precisamos que 3 restrições sejam satisfeitas(Castrucci, pág. 405-

406). Observamos então que Kp deve estar entre 0,00562 e 13,74.

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Teste das restrições de Kp:

Kp=2,5982 (Ganho do controlador especificado)

Como

era esperado o comportamento do sistema H(z) foi igual ao obtido usando o controlador

especificado.

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Para Kp = -10(muito abaixo do valor mínimo), sistema instável.

Para Kp=15(Acima do valor máximo), sistema instável.

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No limiar da estabilidade, kp=13, o sistema tem uma alta oscilação no regime transitório, mas em regime permanente ele se torna estável. Apesar dessa estabilidade adquirida, o processo pode sofrer danos com a instabilidade inicial.

No outro limiar da estabilidade, kp=0,05, o sistema apresenta um sistema superamortecido. No caso desse processo um baixo Kp provocaria uma resposta mais lenta do sistema, aumentando assim para atingir o regime permanente. No caso abaixo a resposta seria mais lenta que a do processo sem compensação, como observado na questão 1.

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8 – Calculo da y(k) a parte de Y(z)=H(z)*R(z) usando o método de frações parciais. Simulação de y(k).

Y (z )R (z )

=H ( z )=0.001041 z2+0.09812 z+0.08417

z2−1.459 z+0.6441

(método utilizado pelo Castrucci, pág. 378)

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y (k )=(1−(0.8026 )k [0.9894cos (0.4299 k )+0.5022 sen (0.4299k ) ] )

Simulação da y(k)

Script do Matlabfor k=0:30y(k+1)=1-(0.8026^k)*(0.9894*cos(0.4299*k)+0.5022*sin(0.4299*k));endplot(y)hold onplot(y,'*')

Pode se observar que a resposta ao degrau de y(k) está correta, pois reproduz a Y(z) encontrada na questão 7. O overshoot é aproximadamente igual ao da H(z) pois a y(k) foi encontrada baseada na Y(z), que possui um tempo amostral de 0.0008 seg. que alterou o MP para 20% como foi discutido anteriormente nas questões 3 e 5.

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9 – Projeto dos controladores deadbeat e deadbeat aumentado.

Um controlador pode ser chamado deadbeat quando o tempo de acomodação é mínimo, o erro estacionário é nulo e não há oscilações entre os instantes de amostragem.

Vamos projetar um controlador deadbeat para o processo G(z), obtido de P(s) pelo método ZOH, usando um período de amostragem de 1/3 do tempo de acomodação de 2% da resposta de malha fechada do caso contínuo.

Tempo de acomodação = 0.0011 seg, logo o período de amostragem será:

T=3.65 ∙10−3

Discretizando P(s) com T, temos:

2

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DeadBeat

Cd ( z )=1.4745 z2−1.5394 z+0.1022z2−0.7002 z−0.2998

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DeadBeat Aumentado

Cda (z )= z3−0.5695 z ²−0.4260 z+0.0329z3−0.4749 z−0.4286−0.0965

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10 – Simulações e comentários sobre os DeadBeat

No caso controlador deadbeat a referência é atingida em m passos, onde m é a ordem da planta. Esse é o tempo mínimo necessário para chegar à resposta estacionária.

Já no caso do controlador deadbeat aumentado, como q0 pode ser arbitrado, o tempo para que a saída y atinja o valor de referência aumenta, e com isso reduz o esforço do sinal de controle.

Seguem as simulações abaixo:

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Linha verde: sinal de saídaLinha azul: sinal de controle

No gráfico acima, podemos observar que o deadbeat atende a expectativa de em 2 passos zerar o erro estacionário, mas como era previsto o sinal de controle sofreu grande esforço saindo de aproximadamente 1.45 para um valor menor do que zero no intuito de impactar de forma rápida o sinal de saída.

Já nesse caso temos um deadbeat aumentado realizando a estabilização em 3 passos, mostrando uma estabilização da saída de forma menos brusca e com isso o sinal de controle também sofrendo menor esforço.

Apesar de óbvio é importante frisar que nos dois casos após a saída entrar em regime estacionário, o sinal de controle se mantém estável.

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Linha verde: sinal de saídaLinha azul: sinal de controle

11 – Projeto do controlador pelo método direto de Ragazzini assumindo os mesmos pólos de malha fechada do caso contínuo.

O controlador obtido pelo método de Ragazzini tem como objetivo cancelar os pólos e zeros da planta e inserir os novos pólos e zeros que irão implementar a H(z) desejada.

Seja D ( z )=função de transferência docontroladorG ( z )=equivalente ZOH da planta

H ( z )=ft . de malha fechada desejadaD ( z )= 1G ( z ) ( H ( z )

1−H (z ) ) Os pólos de malha fechada obtidos no modo contínuo são s=−365.1± j 498.1

Para mapear os pólos em z, usaremos o período de amostragem igual a ( 110 )P, onde P

representa o tempo de um período relativo das oscilações amortecidas.

P=2πωd

= 2 π

ωn√1−ε2= 2π498

=0.0126, então: T=0 .00126 seg .

Mapeando s em z:

z=esT=e0 .00126 s=0 .5104± j 0 .3704

Equação característica:

z2−1.0208 z+0.3977=01−1.0208 z−1+0.3977 z−2=0

Com isso H(z) deve ter pólos iguais as raízes encontradas acima:

H ( z )=b0+b1 z

−1+b2 z−2+…

1−1.0208 z−1+0.3977 z−2

Condições:

CausalidadeH ( z )¿z=∞=0 , logob0=0

Erro ao degrau em regime permanente

H (1 )=b1+b2+…

1−1.0208 z−1+0.3977 z−2=1

b1+b2=0.3769Como H(z) precisa ter no mínimo o grau relativo de G(z), então:

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G ( z )=¿n−m=1, como H(z) já possui o mesmo grau relativo, então não precisou acrescentar um pólo em zero de H(z).

Discretizando G(s) por ZOH com T=0.00126 seg, temos:

G ( z )=0.08761 z+0.06456z2−1.392 z−0.398

Considerando apenas o zero de H(z) na origem, temos:

b2=0H ( z )= 0.3769 z

z2−1.0208 z+0.3977

Podemos assim calcular D(z):

D ( z )= 4.302 z3−5.988 z2+1.712 zz3−0.6608 z2−0.6323 z+0.2931

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12 – Simulação da resposta do sistema com controlador Ragazzini e comparação com o item 5.

Podemos perceber pelo gráfico que o método de Ragazzini se aproximou mais do comportamento contínuo do que o método da regra de margem de fase. Tal fato se deve ao controlador de Ragazzini ter utilizado a mesma especificação de pólos do contínuo, diminuindo a influência da planta através da eliminação dos pólos e zeros e com isso apresentando um menor overshoot e uma menor oscilação. Podemos observar na margem de fase da malha aberta D(z)G(z) que o seu valor é muito perto da obtida no modelo contínuo.

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>> margin(ragPz*ragDz)

No contínuo a margem de fase vale 58.5 deg(graus).

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13 – Projeto do controlador pelo método da Dahlin.

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14 – Simulação da resposta do sistema com controlador Dahlin.

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Fontes:

http://www.ece.ufrgs.br/~fetter/eng04037/ragazzini.pdf (Projeto pelo Método Direto de Ragazzini; Prof. Walter Fetter Lages; Universidade Federal do Rio Grande do Sul)

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