sistemas de controle ii - compensadores

7/22/2019 Sistemas de Controle II - Compensadores

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Compensadores

Prof. Victor de Campos


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1. Introdu o

Objetivos:

Apresentar e discutir algumas t cnicas de projeto decontroladores para SLIT s (avan o, atraso, atraso-avan o ePID).

Compensa o a defini o e o ajuste de dispositivos queso inclu dos no sistema a fim de que este atenda aespecifica es de desempenho.

Uma das partes cr ticas do projeto a defini o dasespecifica es de desempenho.

O projeto de sistemas de controle desenvolve-se numesquema de tentativa e erro.


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2. Pr -Compensadores

Um dos objetivos dos sistemas de controle fazer com quea sa da seja insens vel a o dos dist rbios externos.

Quando tivermos um modelo matem tico dos dist rbios,podemos utilizar um esquema de controle conhecido porpr -compensa o.

Os pr -compensadores utilizam as informa es dispon veis

sobre as perturba es e a dinmica da planta para calculara vari vel de controle.

O esquema de realimenta o compensa apenas os desviosda sa da com rela o quela resultante da a o do pr -compensador.


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O diagrama dado no quadro mostra a estrutura de umsistema de controle com pr -compensador.

A vari vel de controle U(s) formada por 2 parcelas: umaproveniente do pr -compensador e outra do compensadorda malha de realimenta o.

Em muitos casos, principalmente quando o controlador

implementado atrav s de um microcomputador, o bloco depr -compensa o pode ser no-linear.

Um exemplo em que o controle por pr -compensa o podeser utilizado o posicionamento dinmico de embarca es.


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Neste caso, podemos utilizar medi es de intensidade edire o do vento em conjunto com um modelo que forneceestimativas dos esfor os sobre a embarca o para obteruma aproxima o para os empuxos a serem gerados pelospropulsores.

O controlador de malha de realimenta o apenas corrigir os valores do empuxo, compensando os erros demodelagem e os demais efeitos no modelados (ondas ecorrente mar tima).


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3. Compensadores por Avan o de Fase

Seja o sistema de controle com compensa o por avan ode fase mostrado no quadro.

Temos:

Em geral, 0.1 < 1.

Em baixas frequncias, o ganho de G C(s) igual a 1, e oganho do compensador vale K C .

Nos diagramas de Bode de G C(s) mostrados a seguir,percebe-se que o compensador produz um avan o de faseem todas as frequncias.

T s sT

sGC 11

)(


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.


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O diagrama de Bode de ganho mostra que G C(s) temcaracter sticas de um filtro passa altas.

Pode-se mostrar que o avan o m ximo e a frequncia emque ele ocorre so dados por:

O gr fico de m em fun o de mostrado a seguir.

11

arcsenm T T T m

111


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.


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Avan o via LGR: A id ia melhorar a resposta transit riautilizando a propriedade emp rica de que o zero docompensador puxa o LGR para a esquerda no planocomplexo. Assim, o amortecimento e a velocidade deresposta do sistema so aumentados.

Avan o via Resposta em Frequncia: A id ia aumentar amargem de fase, deformando o diagrama de Nyquist nosentido anti-hor rio (ou seja, avan ando a fase) na regiode frequncias em torno de C .


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Compensa o por avan o de fase atrav s do LGR

A abordagem de projeto que utiliza o LGR recomend vel

quando as especifica es de desempenho so fornecidasna forma de parmetros da resposta temporal.

A idia b sica determinar os parmetros do compensadorde modo que um par de p los dominantes perten a ao

LGR.

A localiza o desse par de p los dominantes obtida demaneira a satisfazer as especifica es de respostatransit ria.


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Os passos para o projeto de compensadores por avan o defase so:

Com base nas especifica es de resposta transit ria,determinar as localiza es dos p los dominantes em MF;

Desenhar o LGR e verificar se um ajuste de ganho suficiente para alocar os p los nas posi es desejadas;

caso no seja, calcular a diferen a angular a ser supridapelo compensador;

Determinar as posi es de p lo e zero do compensador demodo que este contribua com o ngulo requerido;


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Determinar o ganho de malha aberta do sistemacompensado por meio da condi o de m dulo do LGR.

Exemplo: Servomecanismo baseado num motor CCcontrolado pela armadura

Para realimenta o unit ria, o LGR do sistema tem a formadada no quadro. Para k = 4, os p los em MF so:

)2(4

)( s s

sG

31 j s


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Temos um sobressinal de 16 % (pois = 0.5), e o tempode acomoda o para tolerncia de 2 % :

Deseja-se reduzir o tempo de acomoda o para 2 s.

Assim, mantendo fixo, devemos aumentar n para 4rad/s.

Os p los em MF passaro a ser:

st n s 4

4

%)2(

322.1 2 j j s nn


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Observando o LGR, percebe-se que um ajuste de ganhono suficiente para alocar os p los na posi o desejada.

Para , arg(G(s)) = - 210 . Ento, ocompensador deve contribuir com 30 de avan o de fase.

Pode-se determinar graficamente muitas posi es para oplo e o zero do compensador de modo que o requisito de

desempenho seja satisfeito.

Uma posi o poss vel (que corresponde ao maior valor de) aquela que tem o p lo em s = - 5.4 e o zero em s = -2.9. Neste caso, = 0.54 .

322 j s


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Condi o de m dulo para :

Pode-se verificar que, para este valor de k, o terceiro p loem MF (s = - 3.46) est bem pr ximo do zero docompensador, de modo que seu efeito sobre a respostatransit ria pequeno. Assim, est confirmada a hip tese deque os p los complexos conjugados so dominantes.

322 j s

7.181)4.5)(2(

)9.2(k

s s s

sk

51.24

C C K

K k


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Vejamos o gr fico da resposta ao degrau unit rio dosistema em MF de 3 ordem e do sistema de 2 ordem comos p los dominantes (tracejado):


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Compensa o por avan o de fase atrav s da resposta emfrequncia

Esta abordagem recomend vel quando as especifica esde projeto so fornecidas atrav s de parmetrosassociados resposta em frequncia do sistema.

Seja o sistema com realimenta o unit ria dado no quadro.

Temos que K C desloca o gr fico de ganho de G(s), semalterar sua fase.

Como G C(s) aparece multiplicando K C G(s), seus efeitos

so aditivos tanto no ganho como na fase.


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GC(s) no altera o ganho de malha aberta em baixasfrequncias e o aumenta nas altas.

GC(s) praticamente no altera a fase de MA parafrequncias distantes de m e, nas vizinhan as desta,introduz um avan o na fase.

O procedimento de projeto o seguinte:

Determinar o ganho K C a fim de satisfazer asespecifica es referentes ao erro estacion rio;Usando esse valor de K C , obter a margem de fase dosistema no compensado;


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Determinar o ngulo de avan o de fase ( m ) a serfornecido pelo compensador;Determinar o fator de atenua o atrav s da equa o:

Obter a frequncia m na qual o ganho do sistema nocompensado vale

Esta deve ser a nova frequncia na qual o ganho 0 dB.

Calcular T:

)sen(1 )sen(111)sen( mmm

T m

1

1log20


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Determinar as frequncias de canto do compensador:

Exemplo: Seja a planta com a seguinte FT

As especifica es de projeto so:

Erro estacion rio para entrada rampa unit ria inferior a0.05 s;Margem de fase de pelo menos 50 .

T 1

T

1

)2(4

)( s s

sG


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Primeiro passo:

Deve-se adotar o valor m nimo: K C = 10

Segundo passo: Vamos tra ar os diagramas de Bode deKC G(s)

05.0)1.(4.

)2()1(05.0

)()(1

)( limlim00

sT sK

s sT s sG sG sK

e

C s

C C s

1005.04

2 C

C

K K

)15.0(

20

)2(

40)(

j j j j

jG K C


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Diagramas de Bode:


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Pode- se observar que: MG = e MF = 17

Para que tenhamos uma margem de fase de 50 ,

necess rio adicionar um avan o de 33 .

Vamos calcular :

Assim,

Reduzindo o valor de K C , poder amos conseguir a MFdesejada. Mas se isso fosse feito a especifica o relativaao erro estacion rio seria violada.

3.0)33sen(1)33sen(1

)sen(1)sen(1

m

m

3.51

log20


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direita da frequncia 1/T, o ganho de malha aumentado. Portanto, o diagrama de Bode de ganho sedesloca na vertical e para cima.

Dessa forma, a frequncia de cruzamento de 0 dB sedesloca para a direita, o que significa que o compensadordever fornecer um avan o de fase maior que 33 .

Vamos impor, ento: m

= 38 .

Assim,

Para este valor de :

24.0)38sen(1)38sen(1

)sen(1)sen(1

m

m

2.61

log20


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Do diagrama de Bode do sistema no compensado,podemos obter a frequncia m :

m = 9 rad/s

Assim,

Ento, a FT do compensador ser :

Observando os diagramas de Bode do sistema em MF,temos:

MG = e MF = 50

sT T

m 227.01

s

s sG K C C

054.01

227.0110)(


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A frequncia na qual o ganho vale 0 dB passou de 6.3 para9 rad/s, o que significa que o sistema tem agora maiorvelocidade de resposta.

Outro modo de constatar isso comparando as respostasem frequncia em MF para o sistema sem o compensador(ou seja, somente com o ajuste de ganho) e com ocompensador por avan o de fase (linha cont nua). Veja afigura a seguir.

Percebe-se um aumento na banda passante do sistema.Observa-se ainda que o pico de ressonncia do sistemacompensado menor do que o pico do sistema sem ocompensador.


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Ainda nota-se que, como o sistema de fase m nima e asmargens de ganho so positivas, ento o sistema em MF est vel.


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Exemplo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e


30/128


Exemplo 2

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

M a g n i t u d e ( d B )


31/128


Exemplo 2

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


32/128


.

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


33/128


.

100

101

-181

-180.5

-180

-179.5

-179

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-20

-10

0

10

20

30



34/128


.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10


10

-1

10

0

10

1

10

2-180

-135

-90

-45

0

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


35/128


.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


36/128

4. Compensadores por Atraso de Fase

Compensadores por atraso de fase tm FT do tipo:

Os diagramas de Bode de G C(s) so mostrados a seguir.

Percebe-se que o compensador produz um atraso de faseem todas as frequncias. O efeito de atraso de fase no til para a compensa o. O que se aproveita docompensador , de fato, a altera o do ganho.

GC(s) tem caracter sticas de um filtro passa baixas.

T s

T s

T s

sT sGC

1

11

1

1)( 101


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Diagramas de Bode


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Compensa o por atraso de fase atrav s do LGR

Seja um sistema com resposta transit ria satisfat ria, mascuja resposta estacion ria deseja-se melhorar.

A idia b sica nesse caso consiste em aumentar o ganhoreal do sistema (ganho em baixas frequncias) sem alterarsensivelmente o LGR na vizinhan a dos p los dominantesde MF.

Para evitar uma grande varia o do LGR nessa regio, acontribui o angular do compensador para a condi o defase deve ser pequena (em torno de 5 ). Para que issoseja feito, basta alocar o p lo e o zero do compensadorpr ximos entre si.


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Assim, seja um dos p los dominantes em MF. Comoesse ponto pertence ao LGR, a condi o de ganho ser :

, uma vez que o p lo e o zero do compensador estopr ximos entre si.

s

1)()(1

11)()( sG K sG

T s

T s K sG sG K C C C C

T sT s 11


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Seja agora o caso em que o bloco G C(s) est ausente. Acondi o do ganho dada por:

Ento, conclui-se que, com o bloco G C(s), o ganho demalha resulta aumentado de um fator , pois:

Como os p los dominantes praticamente no se alteram,as caracter sticas de resposta transit ria no so alteradas.

Por outro lado, como o ganho de malha em baixasfrequncias do compensador aumenta de um fator , o

erro estacion rio reduzido pelo mesmo fator .

1)(' sG K C

'C

C K K


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Para que seja significativamente maior que 1 e, aomesmo tempo, o p lo e o zero do compensador estejampr ximos entre si, o p lo e o zero devem estar localizadospr ximos origem.

Os passos para o projeto de compensadores por atraso defase so:

Desenhar o LGR do sistema em MA e, com base nasespecifica es de resposta transit ria, localizar os p losdominantes de malha fechada sobre o LGR;Determinar o ganho usando a condi o de m dulo;Calcular o erro estacion rio de interesse para o problema;


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Determinar o fator de redu o do erro necess rio parasatisfazer as especifica es;

Escolher o p lo e o zero do compensador de modo aproduzir a redu o requerida no erro estacion rio semalterar o LGR na vizinhan a dos p los dominantes;

Desenhar o LGR para o sistema compensado;

Utilizando a condi o de m dulo, recalcular o ganho paraque os p los dominantes de malha fechada se localizemnas posi es desejadas.


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Exemplo: Seja o seguinte sistema

Deseja-se projetar um compensador tal que os p losdominantes do sistema em MF tenham coeficiente deamortecimento de 0.5 e o erro estacion rio para entradarampa unit ria seja de no m ximo 0.2 s.

Fechando a malha com realimenta o unit ria econsiderando apenas o ganho K C

no ramo direto, o LGR dosistema tem o aspecto mostrado no quadro.

)2)(1(1

)( s s s

sG


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Com essa especifica o, observa-se que o fator de redu odo erro deve ser de 9.45. Escolhe- se ento = 10.

Escolhendo o p lo e o zero de G C(s) em s = - 0.01 e s =- 0.1, temos:

Os LGR s para o sistema compensado e no compensado

so mostrados no quadro.

O ganho necess rio para os p los dominantes de MFapresentarem o mesmo coeficiente de amortecimento dosplos associados ao sistema no compensado calculado

usando a condi o de m dulo.

01.01.0

101

)( s s

sGC


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K = 0.98

Nota-se que esse valor pouco difere de 1.06, que era ovalor de K C

antes de se considerar o compensador.

Mas:

Disso resulta que K C = 9.8

O erro estacion rio para entrada rampa unit ria :

Ento, a especifica o imposta est satisfeita.

98.0101

C K K

se 204.0

28.9

1)(


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Alm dos p los dominantes, o sistema em MF tem outros 2plos:

O primeiro s = - 0.12, e est bem pr ximo do zero docompensador. Assim, ele praticamente no tem influnciasobre a resposta transit ria;

O segundo s = - 2.31, e est suficientemente afastado doeixo imagin rio (comparado aos p los dominantes), demodo que sua contribui o resposta transit ria seextingue rapidamente.

Vamos observar a resposta rampa unit ria dos seguintessistemas em MF: o sistema com ajuste de ganho e osistema com o compensador.


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Durante o transit rio, as respostas so bastante pr ximas;contudo, o erro estacion rio foi reduzido.


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Vamos observar os diagramas de Bode para o sistema comajuste de ganho e para o sistema com o compensador:


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Como se pode observar, o compensador por atraso de faseproduz um aumento do ganho nas baixas frequncias.

Isso ocasiona uma diminui o do erro estacion rio.

O atraso de fase se localiza numa regio de frequnciasabaixo da frequncia de cruzamento do ganho e, assim, amargem de fase do sistema se reduz pouco.

Como a frequncia de cruzamento do ganho e a margemde fase se mantm inalteradas, a resposta transit ria dosistema em MF no se altera significativamente.


51/128


.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


52/128


.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


53/128


Compensa o por atraso de fase atrav s da resposta emfrequncia

O objetivo principal do compensador por atraso de fase

(do ponto de vista da resposta em frequncia) proveratenua o em altas frequncias de modo a melhorar amargem de fase do sistema, ou ento manter a margemde fase e aumentar o ganho em baixas frequncias.

Os passos para o projeto so os seguintes:

Determinar o ganho de modo a satisfazer a especifica oreferente ao erro estacion rio;Tra ar os diagramas de Bode do sistema no compensadoe determinar as margens de ganho e fase;


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Caso a especifica o referente margem de fase no sejasatisfeita, determinar a frequncia na qual a defasagem daFTMA igual a 180 + MF (MF a margem de fasedesejada acrescida de 5 a 12 ). Essa frequncia deve serescolhida como aquela na qual o ganho ser 0 dB;

Escolher a frequncia de canto = 1/T (correspondenteao zero do compensador) de uma oitava a uma d cadaabaixo da frequncia de cruzamento de 0 dB fixada nopasso anterior;

Determinar a atenua o necess ria para fazer com que oganho 0 dB corresponda frequncia fixada no passoanterior;


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Determinar considerando que a atenua o obtida nopasso anterior 20 log ;

Calcular a frequncia de canto = 1/T, associada ao p lodo compensador.

Exemplo Seja o sistema com FT:

Deseja-se fechar a malha com realimenta o unit ria demodo que o erro estacion rio para entrada rampa unit riaseja de 0.2 s e a margem de fase seja de pelo menos 40 .

O primeiro passo consiste em determinar o valor de K C de

modo a atender a especifica o do erro estacion rio.

)15.0)(1(1

)( s s s

sG


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Vamos adotar o valor m nimo para K C : K C = 5.

Com este valor de ganho, constru mos os diagramas deBode de:

Para o sistema sem compensa o, MF = - 15 , o quesignifica que o sistema inst vel.

52.01

)(1

)( lim0

C C s

K K s sG

e

)15.0)(1(

5)(

j j j jG K

C


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Diagramas de Bode:


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A frequncia correspondente a 40 de margem de fase est em torno de 0.7 rad/s. Ento, a frequncia de cruzamentode 0 dB no dever ser muito diferente desse valor.

Escolhemos ento a frequncia de canto = 1/T comosendo 0.1 rad/s e, assim:

T = 10 s

Como essa frequncia de canto no est suficientementedistante da frequncia de cruzamento de 0 dB, a influnciada defasagem introduzida pelo compensador no desprez vel. Assim, vamos adicionar 12 margem de faserequerida, de modo que MF = 52 .


59/128


A defasagem de 180 + 52 = - 128 para o sistema nocompensado ocorre na frequncia de 0.5 rad/s.

Para que a curva de ganho passe por 0 dB nessafrequncia, o compensador deve fornecer uma atenua ode 20 dB. Assim, = 10

Como , em altas frequncias

Com isso, a segunda frequncia de canto do compensadorser :

T s sT

sGC 11

)(

1

)( jGC

srad T

/01.01


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A FT do compensador ser :

Se desenharmos os diagramas de Bode do sistemacompensado, verificaremos que a frequncia decruzamento de 0 dB caiu de 1.9 rad/s para 0.45 rad/s, oque significa uma perda de velocidade de resposta.

Consideremos agora o caso em que se deseja manter a MFe a banda passante e, ao mesmo tempo, melhorar aresposta estacion ria. Escolhemos o ganho docompensador como: K C = .

01.01.0

101

)( s s

sGc


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Nesse caso, a resposta em frequncia do compensadorKCGC(j) tem o aspecto ilustrado a seguir.


62/128


Assim, se impusermos que a frequncia 1/T est suficientemente abaixo da frequncia de cruzamento doganho (1 d cada), teremos fixado o valor de T.

O parmetro ser dado pela especifica o do erroestacion rio. Ento, o valor de determinar o grau demelhora da resposta estacion ria.


63/128


Diagramas de Bode em MA

-60

-40

-20

0

20

M a g n i t u d e

( d B )

10-3

10-2

10-1

100

0

90

180

270

360

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


64/128


.

-100

-80

-60

-40

-20

0

20


10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0

90

180

270

360

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = -3.45 dB (at 0.0308 rad/sec) , Pm = -26.2 deg (at 0.0347 rad/sec)

Frequency (rad/sec)


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Resposta ao degrau unit rio com compensador:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


66/128


Resposta ao degrau unit rio sem compensador:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

41 Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


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Diagramas de Bode em MA:

-40

-20

0

20

40

M a g n i t u d e

( d B )

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


68/128


.

-80

-60

-40

-20

0

20


10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 87 deg (at 6.6 rad/sec)

Frequency (rad/sec)


69/128


Resposta ao degrau unit rio:

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


70/128


Exemplo 3

-150

-100

-50

0

50


100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = 16.1 dB (at 80 rad/sec) , Pm = 67.3 deg (at 19.6 rad/sec)

Frequency (rad/sec)


71/128


.

-150

-100

-50

0

50


10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = 17.9 dB (at 79.5 rad/sec) , Pm = 156 deg (at 6.05 rad/sec)

Frequency (rad/sec)


72/128


.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e


73/128


.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Linear Simulation Results

Time (sec)

A m p l i t u

d e


74/128


Exerc cio: Servomecanismo (sistema de controle deposi o)

Reviso Carta de Nichols


75/128

Reviso Carta de Nichols

.

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB 3 dB

1 dB

0.5 dB 0.25 dB

0 dB

-1 dB -3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

-100 dB

-120 dB

-140 dB

-160 dB

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

O p e n - L

o o p G a i n ( d B )


76/128


77/128

5. Compensadores PID

O termo de natureza integral tem a caracter stica defornecer uma sa da no nula ap s o sinal de erro ter sidozerado. Isso devido ao fato de que a sa da depende dosvalores passados do erro e no do valor atual.

Os erros passados carregam o integrador numdeterminado valor, que persiste mesmo que o erro setorne nulo.

Essa caracter stica tem como consequncia que dist rbiosconstantes podem ser rejeitados com erro nulo pois no necess rio que o erro seja no nulo para originar umcontrole que cancele o efeito do dist rbio.


78/128


Assim, a principal razo da presen a do termo integral reduzir ou eliminar erros estacion rios. Note que a essetermo corresponde um p lo na origem na FTMA e,consequentemente, aumenta-se o tipo do sistema.

Esse benef cio geralmente obtido s custas de umaredu o da estabilidade ou do amortecimento do sistema.

O termo derivativo tem o papel de aumentar oamortecimento e, em geral, melhorar a estabilidade dosistema. Intuitivamente, a a o do termo derivativo podeser entendida quando consideramos um controlador PDnum instante em que o erro nulo, mas sua taxa devaria o no . Nesse caso, o termo proporcional no ter

contribui o sobre a sa da, mas o termo derivativo ter .


79/128


Assim, o termo derivativo ter o papel de fazer com que ocontrolador se antecipe ocorrncia do erro. Essacaracter stica de tornar o controlador sens vel taxa devaria o do erro tem o efeito de aumentar o

amortecimento do sistema.

A combina o dos termos proporcional, integral ederivativo utilizada para se obter um grau aceit vel deredu o do erro estacion rio e ao mesmo tempo obterboas caracter sticas de estabilidade, amortecimento evelocidade de resposta.

Os controladores PID so os mais comuns nas aplica esindustriais.


80/128


Exemplo: Seja a planta com a seguinte FT

Vamos analisar o sistema em MF resultante paracontroladores de 4 tipos: proporcional, PI, PD e PID.

Controlador Proporcional (G C(s) = K p)

Este sistema do tipo 0. Assim, para que o erroestacion rio para entrada em degrau seja pequeno necess rio que o ganho K p seja elevado. Ganhos elevadostm como consequncia a existncia de p los complexosconjugados e, portanto, de respostas altamenteoscilat rias.

)1)(2.0(1

)( s s

sG


81/128


Controlador PI

Escolhendo T i = 5, o zero do compensador coincide com oplo da planta situado em s = - 0.2

A incluso do p lo na origem proveniente do integrador

mudou o tipo do sistema para 1. Assim, o erro estacion riopara entrada degrau nulo. Note que, comparado ao casodo controle proporcional, o LGR se deslocou para a direita.

i pc sT

K sG 1

1)(


82/128


83/128


Controlador PID

Suponha que T d = 0.833 e T i = 6, de forma que os zerosdo compensador se situam nos pontos s = - 0.2 e s = - 1,cancelando os p los de MA da planta.

O sistema resultante do tipo 1, apresentando erroestacion rio nulo para entrada degrau (qualquer que seja ovalor do ganho). Al m disso, sua resposta sempresuperamortecida.Assim, o controlador PID re ne as boas caracter sticas doscontroladores PI e PD para este exemplo.

d i

pc sT sT K sG 1

1)(


84/128


Os diagramas de Bode dos compensadores PID tmcaracter sticas de avan o atraso.


85/128

C d


86/128


Primeira regra do m todo de Ziegler Nichols

Essa regra se aplica apenas ao caso em que a resposta aodegrau da planta em MA tem o aspecto indicado na figura

abaixo, t pica de um sistema de primeira ordem com atraso.

5 C d PID


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L e T so conhecidos como tempo de retardo e constantede tempo

Os valores dos parmetros do compensador devem ser

escolhidos conforme indicado na tabela abaixo.

Para o compensador PID, teremos a seguinte FT:

Tipo do Compensador K P T i Td P T/L 0PI 0.9T/L L/0.3 0

PID 1.2T/L 2L 0.5L

s L

s

T sGc

21

6.0)(

5 C d PID


88/128


Segunda regra do m todo de Ziegler Nichols

Para aplicar essa regra, considera-se o sistema em MF comcontrolador proporcional. Suponhamos que, aumentando o

ganho K p , a sa da resulte oscilat ria e que, quando o ganhoatinge um determinado valor, a sa da exibe oscila es noamortecidas (se isso no ocorrer, o m todo no pode seraplicado). P cr o per odo das oscila es, e K cr o valor doganho.

5 C d PID


89/128


Para este m todo, os valores dos parmetros so:

A FT do compensador PID resultante :

A aplica o deste m todo exige cautela. A ocorrncia deoscila es no amortecidas indica que o sistema est naiminncia de perder a estabilidade. Operar o sistemanessas condi es pode ser inaceit vel em algumas

aplica es (reatores nucleares ou pilotos de avies)

Tipo do Compensador K P T i Td P 0.5K cr 0PI 0.45K cr P cr /1.2 0

PID 0.6K cr 0.5P cr 0.125P cr

s

P s P K sG cr cr cr c

2)/4(075.0)(


90/128

6 Compensadores por Avan o


91/128

6. Compensadores por Avan o Atraso de Fase

A compensa o por avan o-atraso combina as vantagensdas compensa es em atraso e em avan o.

Para uma entrada senoidal, a sa da em regime estacion rio

de um compensador avan o-atraso senoidal com umdeslocamento de fase que fun o da frequncia deentrada. Este ngulo de fase varia de avan o para atrasoconforme a frequncia varia de zero at infinito.

A FT de um compensador avan o-atraso a seguinte:

21

21

1

11

)(

T s

T s

T s

T s

K sG C c

1 1


92/128

6. Compensadores por Avan o


93/128

p p Atraso de Fase

Os diagramas de Bode para um compensador avan o-atraso so dados abaixo. Observa-se que numa certa faixade frequncias ele produz atraso de fase, e em outra faixade frequncias ele produz um avan o de fase.

-20

-15

-10

-5

0


10

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3-90

-45

0

45

90

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)



94/128

p p Atraso de Fase

A frequncia 1 na qual o ngulo de fase vale zero :

Observando o diagrama de Bode de ganho, percebe-seque a curva de m dulo vale 0 dB nas regies de baixas ealtas frequncias.

Compensa o por Avan o-Atraso baseada no m todo LGR

Caso 1: = no requerido. O processo de projeto uma combina o do projeto do compensador por avan ode fase com o projeto do compensador por atraso de fase.

21

1

1

T T


95/128



96/128


A seguir, determinar o valor de K C a partir da condi o dem dulo:

4. Caso a constante de erro de velocidade est tico sejaespecificada, determinar o valor de para satisfazer orequisito de K v .

11

11

1

T s

T s

1)(

1

1

11

11

sG

T s

T s

K C



97/128

p p Atraso de Fase

A partir dessa equa o, pode- se determinar o valor de . Aseguir, escolher o valor de T 2 tal que:

)(

)(1

11

)()(

lim

limlim

0

2

2

1

1

00

sG sK

sG

T s

T s

T s

T s

sK sG s sG K

C s

C s

C s

v

11

1

21

21

T s

T s

01

1

5

21

21

T s

T s



98/128


Caso 2 requerido = . O procedimento similar, masalguns passos devem ser alterados:

1. Determinar a localiza o dos p los dominantes em MF apartir das especifica es;

2. A FT do compensador avan o-atraso torna-se:

21

21

1

11

)(

T s

T s

T sT s K sG C c



99/128

p p Atraso de Fase

Caso a constante de erro de velocidade est tico sejaespecificada, determinar o valor de K C a partir da seguinteequa o:

3. Para ter os p los dominantes em MF na localiza odesejada, calcular a contribui o angular a ser fornecidapela por o de avan o de fase.

4. Considerando que o m dulo da por o de atraso de fase aproximadamente igual a 1 (calculado quando s igual aum dos p los dominantes), determinar os valores de T 1 e a partir das condi es de m dulo e ngulo:

)()()( limlim00

sG sK sG s sG K C

s

c

s

v


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101/128

Atraso de Fase

Compensa o por avan o-atraso baseada na resposta emfrequncia

O projeto de compensadores por avan o-atraso baseadona resposta em frequncia basicamente uma combina ode t cnicas de projeto para compensadores em avan o ecompensadores em atraso de fase.

O compensador assume a seguinte forma ( > 1):

2

1

21

11

11

1)(

T sT s

T s sT

K sG C c



102/128

Atraso de Fase

A por o de avan o de fase altera a curva da resposta emfrequncia, acrescentando um ngulo de avan o de fase(na regio da frequncia de cruzamento do ganho) eaumentando a margem de fase.

A por o de atraso de fase fornece atenua o perto eacima da frequncia de cruzamento do ganho,aumentando o ganho nas baixas frequncias e diminuindoo erro estacion rio do sistema (tamb m pode aumentar a

margem de fase).


103/128



104/128

Atraso de Fase

Exemplo: Rob Manutec

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Linear Simulation Results

Time (sec)

A m p l i t u

d e

7 Coment rios Finais


105/128

7. Coment rios Finais

Sobre a compensa o por atraso de fase:

Compensadores por atraso de fase so basicamente filtrospassa baixas. Assim, a compensa o por atraso de fasepermite atingir um ganho elevado em baixas frequncias ereduz o ganho nas frequncias cr ticas (mais altas) demodo a melhorar a margem de fase. Essa atenua o nasaltas frequncias til para fins de projeto.

Vimos que o p lo e o zero do compensador por atraso defase devem estar pr ximos da origem. Contudo, se elesestiverem desnecessariamente pr ximos da origem, osistema em MF ter um p lo adicional na mesma regioonde se situam o p lo e o zero do compensador.



106/128


Esse p lo pr ximo da origem faz com que a atenua o daresposta transit ria seja lenta, e o tempo de acomoda ofica excessivamente elevado.

A atenua o fornecida pelo compensador por atraso de fasedeslocar a frequncia de cruzamento do ganho para aesquerda, para um valor no qual a margem de fase maior.Assim, h o efeito adverso de reduzir a banda passante dosistema, o que deixa a resposta transit ria mais lenta.

O compensador por atraso de fase tende a integrar o sinalde entrada, atuando aproximadamente como umcontrolador PI. Assim, o sistema compensado tende a sermenos est vel. Para evitar essa caracter stica, a constantede tempo T deve ser suficientemente maior que a maiorconstante de tempo do sistema.



107/128


Coment rios sobre os controladores apresentados

No so todos os sistemas dinmicos que podem sercompensados por controladores em avan o, atraso ou

avan o-atraso. Para alguns sistemas nos quais no poss vel aplicar o m todo do LGR ou da resposta emfrequncia, pode-se tentar o controlador por aloca o deplos.

A compensa o por avan o de fase utilizada paramelhorar as margens de estabilidade do sistema. Elaaumenta a frequncia de cruzamento do ganho (ocompensador por atraso de fase diminui a frequncia decruzamento do ganho). Esse efeito do avan o de fase

significa um aumento da banda passante do sistema.


108/128



109/128


A compensa o por avan o de fase requer um aumentoadicional do ganho para compensar a atenua o inerente rede por avan o de fase. Isso significa que a compensa opor avan o de fase requer um ganho maior do que onecess rio para compensa o por atraso de fase. Umganho maior implica em custos maiores.

A compensa o por avan o de fase pode gerar sinais demaior amplitude no sistema. Esses sinais amplificadospodem causar satura o no sistema.

A compensa o por atraso de fase reduz o ganho dosistema nas altas frequncias sem reduzi-lo nas baixasfrequncias. Pelo fato de o ganho nas altas frequncias serreduzido, pode-se aumentar o ganho total do sistema.



110/128


Aumenta-se, assim, o ganho em baixas frequncias,melhorando a preciso do sistema em regime estacion rio.Alm disso, os ru dos de alta frequncia podem seratenuados.

A compensa o por atraso de fase introduz um par p lozero pr ximo origem, que gera uma longa cauda depequena amplitude na resposta transit ria do sistema(tempo de acomoda o mais elevado).

Se desejarmos ter resposta r pida e erro estacion rioreduzido, podemos empregar um compensador atrasoavan o. Ele permite que o ganho em baixa frequncia sejaaumentado e, ao mesmo tempo, pode-se aumentar abanda passante e as margens de estabilidade.



111/128


Embora possamos resolver muitas situa es pr ticas pelaaplica o dos compensadores por avan o, atraso ouavan o atraso, para sistemas mais complexos essesm todos podem no fornecer bons resultados. Ento,

deve-se aplicar outros tipos de compensa o (maissofisticados).

Cancelamento de p los indesej veis Pode-se cancelar,por exemplo, um p lo da planta com constante de tempo

T1 elevada:

Se T 2 for muito menor que T 1 , pode-se de fato eliminar olo com constante de tem o elevada.

sT sT sT

sT 221

1 11

11

11


112/128



113/128


Cancelamento de p los complexos conjugados indesej veis

Se a FT da planta contiver um ou mais pares de p loscomplexos conjugados, um compensador por avan o,

atraso ou avan o-atraso pode no produzir bonsresultados. Nesse caso, uma rede com 2 zeros e 2 p lospode ser til. Se forem escolhidos zeros que cancelem osplos complexos conjugados indesej veis, poderemossubstituir os p los indesej veis por p los aceit veis.

Assim, se os p los complexos conjugados indesej veisestiverem no SPE e tiverem a seguinte forma:

2111

2 21

s s


114/128



115/128


O sistema projetado deve atender s especifica es sobcondi es normais de opera o, mas ele pode sofrerdesvios das especifica es quando houver altera esambientais, por exemplo.

Essas altera es podem mudar valores de ganhos econstantes de tempo do sistema. Ento, torna-senecess rio elaborar ajustes de ganho para compensaressas altera es e tamb m efeitos de no linearidades que

no foram levadas em conta no projeto, al m detolerncias de fabrica o inerentes ao sistema (controlerobusto). Ainda deve-se considerar que qualquer sistemaest sujeito a varia es devidas deteriora o(manuten o).

Exemplo - Servomecanismo


116/128

Exemplo Servomecanismo

Sistema de Controle de Plataforma

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (s ec)

A m p l i t u

d e

Exemplo - Servomecanismo


117/128

Sistema de Controle de Plataforma

-300

-200

-100

0

100


10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

-360

-270

-180

-90

0

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = 24.8 dB (at 141 rad/sec) , Pm = 168 deg (at 4.45 rad/sec)

Frequency (rad/sec)


118/128


119/128

Exemplo Repetidor de Dados


120/128

p p

.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

A m p l i t u

d e



121/128

p p

.

-100

-80

-60

-40

-20

0

20


10-2

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = 8.31 dB (at 253 rad/sec) , Pm = 30.2 deg (at 182 rad/sec)

Frequency (rad/sec)



122/128

p p

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Linear Simulation Results

Time (sec)

A m p l i t u

d e

Reviso Compensador por Avan o def R t f i


123/128

fase Resposta em frequncia

.

-50

0

50

100


10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 12.8 deg (at 4.42 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Reviso Compensador por Avan o defase Resposta em freq ncia


124/128


.

-100

-50

0

50

100


10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 53 deg (at 6.86 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Reviso Compensador por Atraso defase Resposta em frequncia


125/128


.

-100

-50

0

50

100

150


10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 55.7 deg (at 0.461 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Reviso Compensador por avan oatraso de fase Resposta em


126/128

pfrequncia

.

-100

-50

0

50

100


10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

P h a s e ( d e g )


Frequency (rad/sec)



127/128

pfrequncia

.

-150

-100

-50

0

50

100


10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

P h a s e ( d e g )


Frequency (rad/sec)



128/128

pfrequncia

.

-200

-100

0

100

200


-225

-180

-135

-90

P h a s e ( d e g )

Bode DiagramGm = 25.8 dB (at 22.5 rad/sec) , Pm = 48.4 deg (at 3.69 rad/sec)

sistemas de controle ii - compensadores

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