Controle de Sistemas DinamicosAula 8 - Topico 6 - Estabilidade de sistemas dinamicos

contınuos no tempo

Ramon C. Lopes

Cefet-MG

2021

6 - Estabilidade de sistemas dinamicos contınuos notempo

Filtros passivos de 1a ordem - Conceitos basicos (revisao)Lei de Ohm

VR = R ∗ I

Tensao no indutor(domınio do tempo)

VL = L ∗ dIdt

Tensao no capacitor(domınio do tempo)

VC =1C

∫Idt

Transformada de Laplace

L{f (t)} =∫ ∞−∞

f (t)e−stdt

6.1 Conceitos Iniciais - Filtros de primeira ordem

Tensao no indutor(domınio da frequencia)

VL = LsI

[ver Aula4 C3 TeoCont Laplace Derivada Integral.pdf] Tensaono capacitor(domınio da frequencia)

VC =I

sC

[ver Aula4 C3 TeoCont Laplace Derivada Integral.pdf]

6.1 Conceitos Iniciais - Filtros de primeira ordem

. Considere o exemplo de filtro RC de primeira ordem:

Figura: Filtro de primeira ordem

6.1 Conceitos Iniciais - Filtros de primeira ordem

. Pela segunda lei de Kirchhoff, a soma das tensoes e quedasde tensao em uma malha fechada e igual a zero, logo:

v1(t)− vr (t)− vc(t) = 0

. A tensao no resistor e dada por:

vr (t) = Ri(t)

6.1 Conceitos Iniciais - Filtros de primeira ordem

. e a corrente no capacitor e proporcional a variacao da tensaonos seus terminais:

i(t) = Cdvdt

(1)

. logo, a tensao no capacitor e obtida como:

vc(t) =1C

∫i(t)dt (2)

daı, a equacao de malha fica:

V1(t) = Ri(t) +1C

∫i(t)dt (3)

Filtros de primeira ordemH(s) = −K ωc

s+ωcsendo ωc = 1

R2C e K = R2R1

Filtros de primeira ordem

H(s) = −K ss+ωc

com K = R2R1

e ωc = 1R1C

Filtros de segunda ordem

H(s) = VoVi

=1

R2C1C2s2+ 2

RC1s+ 1

R2C1C2

Filtros de segunda ordem

H(s) = VoVi

= s2

s2+ 2R2C s+ 1

R1R2C2

Indutancia de Antoniou

Figura: Indutancia de Antoniou

6.2 Graficos de Resposta em Frequencia

. Por Laplace, obtem-se:

V1(s) = R ∗ I(s) +I(s)Cs

. e a funcao de transferencia da saıda em relacao a entrada,fica:

Vc

V1=

1/(RC)

s + 1/(RC)= H(s)

6.3 Diagramas de Bode - dB

. A avaliacao do ganho de tensao em um circuito eletrico efeita a partir do calculo da razao entre o sinal de entrada esaıda. Esta razao utiliza uma funcao logaritmica devido apequena variacao do ganho com a variacao da frequencia,dada em em Bel ou decibel (dB):

AB =Po

Pi

6.3 Diagramas de Bode - dB

AdB = 20log10v0

vi

Figura: Filtros em cascata

6.3 Diagramas de Bode - dB

• function [] = plota bode()• s=poly(0,’s’)• Gp=4/(s*(s+2))• h=syslin(’c’,Gp)• clf();bode(h,0.01,100);• endfunction

Para executar digite plota bode() no Scilab

6.3 Diagramas de Bode - dB - Segundo trabalho -projeto de filtro passa-faixa

• Entre no link http://arquivo.eng.br/csd/trabalho/ e baixe osarquivos e siga as orientacoes do vıdeo:• projeto filtros.zip, fpbat.zip

• no link• http://arquivo.eng.br/csd/aulas/calculoOB.html

• Use o comando plot2d(log10(w),Adb) ou plot2d(”ln”,w,Adb)para o Scilab no lugar de semilogx(w,Adb) do Matlab

Concurso Petrobras 2012

Filtros de segunda ordemAplicacao: Encontre a funcao de transferencia do exemplo defiltro de segunda ordem RLC:

Figura: Filtro de segunda ordem

Revisao

Exercıcios (Nilsson) 15.1, 15.5, 15.9, 15.12, 15.15, 15.18,15.21, 15.24, 15.27, 15.29, 15.34, 15.36, 15.39

Revisao

Exercıcios (Nilsson) [Quinta edicao] 16.2, 16.9, 16.16, 16.18,16.26, 16.28, 16.34, 16.38, 16.43, 16.45, 16.46, 16.47, 16.51

Exercıcios (Nilsson) [Oitava edicao] 15.4, 15.7, 15.13, 15.14,15.30, 15.31, 15.33, 15.36, 15.37, 15.58, 15.59, 15.60

Series de Fourier - Definicao

Uma funcao periodica f (t) pode ser decomposta em uma seriede Fourier da forma:

f (t) = av +∞∑

n=1

ancosnω0t + bnsennω0t (4)

Series de Fourier - Definicao

cujos ındices sao obtidos atraves de:

av =1T

∫ t0+T

t0f (t)dt

(5)

ak =2T

∫ t0+T

t0f (t)cos(kω0t)dt

(6)

bk =2T

∫ t0+T

t0f (t)sen(kω0t)dt

(7)

Identidades trigonometricas basicas

2seno(α)seno(β) = cos(α− β)− cos(α+ β)

2cos(α)cos(β) = cos(α− β) + cos(α+ β)

2seno(α)cos(β) = seno(α+ β) + seno(α− β)

Exercıcios

Exercıcios (Nilsson [Quinta Edicao]) 17.3, 17.8, 17.11,17.14, 17.18, 17.23, 17.26, 17.29, 17.33, 17.36, 17.40, 17.42,17.44, 17.47, 17.50 Exercıcios (Nilsson [Oitava Edicao])16.1, 16.2, 16.3, 16.10, 16.11, 16.18, 16.27, 16.28, 16.32,16.33, 16.36, 16.37, 16.44, 16.45, 16.48, 16.49

Transformada de Fourier - Fundamentos

ππ = 4

( 11 −

13 + 1

5 −17 + 1

9 −1

11 + 113 −

115 + ...

). (8)

senoφ

senoφ = φ− φ3

3!+φ5

5!− φ7

7!+ ... (9)

cosφ

cosφ = 1− φ2

2!+φ4

4!− φ6

6!+ ... (10)

Transformada de Fourier - Fundamentos

ejφ

ejφ = 1 + jφ− φ2

2!− j

φ3

3!+φ4

4!+ j

φ5

5!+ ... (11)

cosφ+ jsenoφ

cosφ+ jsenoφ = 1+ jφ− φ2

2!− j

φ3

3!+φ4

4!+ j

φ5

5!+ ... = ejφ (12)

Transformada de Fourier

Identidade de Euler e±jθ = cosθ ± jsenθ, cosθ = ejθ+e−jθ

2Uma funcao temporal h(t) e representada no domınio dafrequencia atraves das seguintes transformadas:• Transformada de Fourier

• H(f ) =∫∞−∞ e−j2πfth(t)dt

• Convolucao• y(t) =

∫∞−∞ x(τ)h(t − τ)dτ

Transformada de Fourier

• Correlacao• y(t) =

∫∞−∞ x(τ)h(t + τ)dτ

• Transformada de Gabor• STFT (w , τ) =

∫∞−∞ f (t)W (t − τ)e−jωtdt

• Transformada de Wavelet• CWT (a, τ) = 1√

|a|

∫∞−∞ f (t)ψ∗

( t−τa

)dt

• Wavelet de Har ψH(t) =

− 1√

2∀ − 1 < t ≤ 0

1√2∀ 0 < t ≤ 1

0 caso contrario

• Wavelet complexa de Morlet ψMor (t) = 1π1/4 e−t2/2e−jω0t

Figura: Fourier x Wavelet

Figura: Convolucao x Correlacao

Figura: Correlacao

Transformada discreta de Fourier

X (n) =N−1∑k=0

x0(k)e−j2πnk/N

Exercıcios

Exercıcios (Nilsson - Quinta Edicao) 18.1, 18.4, 18.15,18.23, 18.25, 18.30, 18.33, 18.36, 18.38 Exercıcios (Nilsson -Oitava Edicao) 17.2, 17.3, 17.4, 17.19, 17.22, 17.28, 17.32,17.39