Universidade de So PauloEscola de Engenharia de So CarlosDepartamento de Engenharia Mecnica

Trabalho da Disciplina: SEM 0169 Sistemas de Controle

Anlise da Resposta e Estabilidade em Sistemas de Controle por Realimentao

Professor: Dr. Luiz Augusto Martin Gonalves

Aluno: Gustavo S. Ribeiro

So Carlos, fevereiro de 2012

IntroduoConceitos BsicosO controle automtico tem desempenhado um papel fundamental no avano da engenharia e da cincia. Alm da extrema importncia de sua aplicao em projetos militares e robticos, o estudo de controle automtico tem ganhando grande importncia nos processos industriais e de produo como, por exemplo, no funcionamento de mquinas-ferramenta de controle numrico em indstrias manufatureiras, projeto de sistemas de piloto automtico na indstria aeroespacial e tambm no projeto de veculos em indstrias automobilsticas [1]. A interconexo de componentes conectados ou relacionados, de tal maneira a proporcionar o controle ou ajuste de si mesmo ou a outro sistema chamado de sistema de controle. H dois tipos comuns de controladores, com muitas variaes e combinaes: controle lgico, e controle realimentado (ou linear) [3]. Neste trabalho, nos ateremos ao segundo tipo. Sistemas de controle realimentados so sistemas que possuem realimentao. Realimentao, retroalimentao ou feedback, o nome dado ao procedimento atravs do qual parte do sinal de sada de um sistema (ou circuito) transferida para a entrada deste mesmo sistema, com o objetivo de diminuir, amplificar ou controlar a sada do sistema. Quando a retroalimentao diminui o nvel da sada, fala-se de retroalimentao negativa, e quando a retroalimentao amplifica o nvel da sada fala-se de retroalimentao positiva. Quando o sistema estudado no possui realimentao, o sinal de sada no exercer nenhuma ao de controle no sistema, isto , o sinal de sada no ser medido para poder ser comparado ao sinal de entrada. Neste caso, teremos um sistema de controle em malha aberta. J na presena de realimentao, o sistema possui informaes de como o sinal de sada est evoluindo podendo ento aplicar um sinal de controle para o processo em um instante especfico. A fim de tornar o sistema mais preciso e de fazer com que ele reaja a perturbaes externas, o sinal de sada comparado com um sinal de referncia (set-point) e o desvio (erro) entre estes dois sinais utilizado para determinar o sinal de controle que deve efetivamente ser aplicado ao processo. Neste caso, teremos um sistema de controle em malha fechada. Para representar sistemas de controle, fazemos uso dos diagramas de blocos, conforme o demonstrado na figura 1. Com eles possvel a identificao de cada componente do sistema e seu recebimento de fluxo de informao como, no caso, sinais de entrada e sada. Cada bloco proveniente de uma modelagem de seu respectivo sistema fsico, onde necessitamos do conhecimento de equaes diferencias que representem seu comportamento dinmico. Ao aplicarmos estas equaes no domnio da frequncia, temos a possibilidade de fazer uso das Transformadas de Laplace, que facilitam o estudo j que, dentre vrias vantagens, podemos citar o fato do trabalho envolvido em suas solues serem algbricos, a existncia de tabelas para seu uso, tratamento facilitado de sinais descontnuos e termos as componentes transientes e permanentes da soluo simultaneamente [2].

EstabilidadeUm bom projeto de sistema de controle levar em considerao a necessidade de se manter a estabilidade deste sistema, bem como minimizar o erro da resposta em regime. Para evitar que um sistema atinja a instabilidade fazemos uso de critrios existentes, onde cada critrio possui sua melhor aplicao, alm do fato de que se um critrio apontar instabilidade os outros faro o mesmo. A seguir, sero listados alguns dos critrios mais conhecidos.

Mtodo do Lugar das Razes Seja o diagrama mostrado na figura 1 um representante genrico de um sistema de controle.

Figura 1: Diagrama de Blocos genrico

Sua funo transferncia de Malha Fechada definida como: ( ) ( ) Onde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

sua equao caracterstica.

A caracterstica bsica da resposta transitria de um sistema em malha fechada depende essencialmente dos plos de malha fechada. Estes so definidos como sendo as razes da equao caracterstica do sistema (mostrada acima). O mtodo do lugar das razes um mtodo pelo qual as razes da equao caracterstica so colocadas em um grfico para todos os valores de um parmetro do sistema. As razes correspondentes a um valor particular deste parmetro podem ento ser localizadas no grfico resultante. Note que o parmetro usualmente o ganho, porm qualquer outra varivel da funo de transferncia em malha aberta pode ser utilizada. Salvo meno em contrrio, considerado que o ganho da funo de transferncia em malha aberta o parmetro a ser variado atravs de todos os seus valores, isto , de zero a infinito. A estabilidade do sistema poder ser analisada verificando a partir de qual valor de ganho K teremos razes no semiplano direito do grfico. Quando forem observadas razes no semiplano direito do grfico, teremos a instabilidade do sistema. Exemplos de grficos para este tpico sero ilustrados no decorrer deste trabalho. Critrio de Estabilidade de Routh Uma forma prtica de se encontrar o valor de ganho de malha K que ir tornar um sistema instvel atravs do uso do mtodo de Routh, que consiste, basicamente, no estudo das variaes de sinal da primeira coluna de uma tabela formada a partir da organizao da equao caracterstica de um sistema em forma polinomial. O nmero de trocas de sinal apresentado nesta coluna ir fornecer o nmero de polos instveis da malha fechada. A forma de organizao desta tabela ilustrada na figura abaixo:

Figura 2: Mtodo de Routh para verificao da estabilidade [5]

Critrio de Estabilidade de Nyquist O critrio de estabilidade de Nyquist determina a estabilidade de um sistema de malha fechada com base na resposta em frequncia de malha aberta e nos plos de malha aberta. Alm da estabilidade absoluta, o critrio tambm fornece informaes a respeito da estabilidade relativa do sistema. Uma grande vantagem deste mtodo o fato de no ser preciso determinar as razes da equao caracterstica, o que economiza trabalho para sistemas muito complexos. Dada a funo transferncia de malha fechada para um sistema genrico: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sua funo transferncia de malha aberta dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) para nos referir funo

(Para propsito de explicao, usaremos a simbologia transferncia de malha aberta.)

A partir do Critrio de Nyquist, a estabilidade absoluta e relativa do sistema em malha fechada pode ser determinada graficamente a partir das curvas da resposta em frequncia da malha aberta plotadas em um grfico polar, sem a necessidade de se determinar realmente os polos de malha fechada. Isto muito til pois muitas vezes a expresso matemtica que define a funo de transferncia de um componente no conhecida, mas seus dados em resposta em frequncia podem ser obtidos experimentalmente. A estabilidade de um sistema em malha fechada pode ser investigada examinando-se os envolvimentos do ponto (-1,0) pelo lugar geomtrico da funo de transferncia ( )a medida que a frequncia variada de menos infinito a mais infinito. Se num sistema a funo transferncia de malha aberta ( ) possuir k plos no semiplano direito do plano s ento, por questes de estabilidade, o lugar geomtrico de ( ) (a medida que a frequncia varia de - a ), deve envolver o ponto (-1,0) k vezes no sentido anti-horrio. A equao bsica para o estudo do critrio Z=N+P. Nela temos que o nmero de zeros da equao caracterstica do sistema no semiplano direito do plano s igual soma do nmero de envolvimentos no plano ( ) do ponto (-1,0) no sentido horrio com o nmero de polos de malha aberta no semiplano direito de s. Caso P no seja zero, o sistema ser estvel com N=-P, ou seja, P voltas no sentido anti-horrio. Isso mostra a possibilidade de termos a situao onde embora a malha aberta seja instvel, a malha fechada seja estvel. O critrio de estabilidade de Nyquist pode ser utilizado para avaliar a estabilidade relativa de um sistema. Isso importante uma vez que sempre se desejar projetar um sistema que no apenas atenda s condies de estabilidade absoluta, mas tenha tambm uma certa margem de segurana, j que imprecises nos modelos ou no prprio sistema de controle podem indicar que o sistema seja estvel, quando de fato ser fisicamente instvel. No grfico de Nyquist, a estabilidade relativa dada pela Margem de Fase ( ) e Margem de Ganho ( ), que so indicadores do quo prximo a curva de resposta em frequncia de ( ) estar do ponto (-1,0). importante ressaltar que apenas a margem de fase ou apenas a margem de ganho no fornece indicao suficiente sobre a estabilidade relativa. Ambas devem ser fornecidas para determinao da estabilidade relativa. Margem de Fase ( ): o atraso da fase adicional, na freqncia de cruzamento de ganho, necessria para que o sistema atinja o limiar da instabilidade. A freqncia de cruzamento de ganho a freqncia na qual o modulo da funo de transferncia da malha aberta unitrio. A margem de fase 180 mais o ngulo da fase da funo de transferncia

na freqncia de malha aberta de cruzamento de ganho. A margem de fase positiva para > 0 e negativa para < 0. Para que um sistema de fase mnima seja estvel, a margem de fase ser positiva. Nos diagramas de Bode, o ponto crtico no plano complexo corresponde s retas 0 dB e -180 [1]. Margem de Ganho ( ): a margem de ganho o recproco do mdulo ( )| na frequncia em que o ngulo -180. Se na regio de frequncia o ngulo de fase de ( ) ser -180 e, se a margem de ganho definida como ( )| [1]. ( ) deva Ento pode-se definir a margem de ganho como sendo o valor pelo qual ser multiplicado para alcanar o ponto (-1,0). Por esta razo, costume ilustrar a margem de ganho estando sob 1, como na figura a seguir.

Figura 3: Representao das margens de fase e de ganho no diagrama polar de Nyquist

Em termos de decibs, teremos

( )

Margens de fase e de ganho apropriadas protegem contra variaes nos componentes do sistema e so especificadas por valores positivos definidos. Os dois valores limitam o comportamento do sistema de malha nas proximidades da freqncia de ressonncia. Para obter um desempenho satisfatrio, a margem de fase deve estar entre 30 e 60 e a margem de ganho deve ser maior que 6 dB. Com esses valores, um sistema tem estabilidade garantida, mesmo que o ganho da malha aberta e as constantes de tempo dos componentes variem [1]. O requisito de que a margem de fase esteja entre 30 e 60 significa que num diagrama de Bode, a inclinao da curva mdulo versus frequncia, a frequncia de cruzamento de ganho, deve ser menor que -40 dB/dcada. A margem de ganho expressa em decibis ser positiva se Kg for maior que a unidade e ser negativa se Kg for menor do que a unidade. Portanto, uma margem de ganho positiva (em decibis) indica que o sistema estvel, e uma margem de ganho negativa significa que o sistema instvel. Para uma demonstrao das margens de fase e ganho encontradas em um grfico de Bode, segue a figura 4:

Figura 4: Representao das margens de fase e de ganho no grfico de Bode, com auxlio do MATLAB

ControladoresUm problema de controle consiste em determinar uma forma de afetar um dado sistema fsico de modo que seu comportamento atenda s especificaes de desempenho previamente estabelecidas. Como, normalmente, no possvel alterar a estrutura funcional do sistema fsico em questo, a satisfao das especificaes de desempenho atingida mediante o projeto e implementao de controladores (compensadores). No projeto real de um sistema de controle, o projetista dever decidir pela utilizao de um ou mais controladores. Esta escolha depende de vrios fatores. O tipo de controlador mais comumente usado, mesmo em plantas das mais diversas naturezas, o controlador eletrnico [1]. Uma forma prtica de se construir compensadores atravs da utilizao de circuitos com resistores e capacitores, usualmente denominados redes R_C. Assim, os compensadores em avano, em atraso e em avano-atraso podem ser vistas nas redes RC com as respectivas funes transferncias mostradas nas figuras abaixo [2].

Figura 5: Rede RC de um compensador em avano [2]

Seu equacionamento ser dado por:

( )

Figura 6: Rede RC de um compensador em atraso [2]

Seu equacionamento ser dado por:

( )

(

)

Figura 7: Rede RC de um compensador em avano-atraso [2]

Seu equacionamento ser dado por: ( ( )( ) )

( )

Uma vez determinada a necessidade de se projetar um controlador, existem algumas configuraes possveis, com respeito ao posicionamento do mesmo no sistema a ser controlado. Algumas das configuraes mais usadas em sistemas de controle, so: Controladores em Cascata que so colocados em srie com a planta e ,apesar de projeto mais simples, normalmente exige amplificadores adicionais para aumentar o ganho do sistema. Controladores por Realimentao, que necessitar de um nmero menor de componentes e ser inserido no ramo de realimentao da malha fechada [4].

Figura 5: Diagramas de Bloco para Controladores em Cascata e Controladores por Realimentao [4]

J as aes bsicas dos controladores mais comuns sero listadas abaixo, bem como exemplificadas no decorrer deste trabalho. Para efeito de explicao do equacionamento, considere a seguinte figura:

Figura 6: Representao de Bloco de Controlador [4]

Controle Proporcional (P) A razo entre a sada e a entrada do controlador chamada de ganho proporcional K, quanto maior for o ganho do controlador, menor ser o erro de estado estacionrio ess, contudo, o tempo de acomodao aumenta, tendendo, em certos casos, a desestabilizar o sistema. O inverso acontece quando se reduz o ganho. Um compensador deste tipo, como no acrescenta plos nem zeros ao sistema principal, representa apenas um ajuste no seu ganho original. u(t) = Ke(t) ; U(s) = KE(s) Caractersticas um amplificador com ganho ajustvel (K). O aumento de K diminui o erro de regime. Em geral, o aumento de K torna o sistema mais oscilatrio, podendo instabiliz-lo. Melhora o regime e piora o transitrio, sendo bastante limitado. Controlador Proporcional + Integral (PI) A ao integral corresponde a ter-se uma taxa de variao do sinal de sada com relao a entrada: .

Desta forma, com uma ao integral, atua-se beneficamente na resposta em regime permanente, tendendo a eliminar o erro de estado estacionrio, contudo, prejudica-se o regime transitrio, pois acrescenta-se plos ao sistema tendendo a desestabiliz-lo, e com isso aumentar o tempo de acomodao. A atuao de um controlador PI corresponde soma de uma ao proporcional com uma ao integral. Desta forma pode-se melhorar a resposta transitria com a contribuio da ao proporcional, enquanto a ao integral corrige o erro de estado estacionrio. ( ) [ ( ) ( ) Onde Caractersticas Tende a zerar o erro de regime, pois aumenta o tipo do sistema. Adiciona um plo em p = 0 e um zero em z = - Ki/Kp. ] , sendo ( ) ( ) ( )

o tempo integrativo.

utilizado quando a resposta transitria aceitvel e resposta em regime insatisfatria. Como aumenta a ordem do sistema, acrescenta possibilidades de instabilidade diferentes daquelas apresentadas pelo sistema original. Controlador Proporcional + Derivativo (PD) Embora um controlador puramente derivativo no seja implementvel na prtica, a ao derivativa, associada ao proporcional, corresponde ao acrscimo de um zero ao sistema, atuando beneficamente no regime transitrio, tendendo a aumentar a estabilidade relativa do sistema e reduzindo o tempo de acomodao, contudo, contrapondo-se a estas vantagens, ele aumenta o tempo de subida e, por no atuar no regime permanente, no corrige o erro de estado estacionrio. ( ) [ ( ) Onde Caractersticas Leva em conta a taxa de variao do erro Adiciona um zero em z = - Kp/Kd utilizado quando a resposta em regime aceitvel e resposta transitria insatisfatria. Introduz um efeito de antecipao no sistema, fazendo com que o mesmo reaja no somente magnitude do sinal de erro, como tambm sua tendncia para o instante futuro, iniciando, assim, uma ao corretiva mais cedo. A ao derivativa tem a desvantagem de amplificar os sinais de rudo, o que pode causar um efeito de saturao nos atuadores do sistema. Controlador Proporcional + Integral + Derivativo (PID) O PID une as aes proporcional, integral e derivativa num s controlador, atuando tanto no regime transitrio quanto no regime permanente. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) , sendo ( ) ( ) ( )

a constante de tempo derivativa.

Caractersticas utilizado quando temos resposta transitria e em regime insatisfatrias. Adiciona um plo em p = 0 e 2 zeros, que dependem dos parmetros do controlador. Geralmente os dois zeros so reais e iguais. Os controladores citados at agora so idealizados. Suas verses realistas so encontradas nos controladores com compensao, ou compensadores. Estes podem, na prtica, atingir especificaes de desempenho satisfatrias. A seguir, temos algumas caractersticas das principais configuraes destes controladores. Controlador com Compensao em Avano

Sua principal finalidade suprir um atraso de fase estabelecido naturalmente pelas prprias caractersticas de alguns componentes do sistema original, ou seja, avana a fase em baixas e mdias frequncias. Este tipo de compensao permite remodelar o lugar das razes de maneira a obterem-se plos dominantes desejados em malha fechada. Em geral seus efeitos correspondem a um aumento no amortecimento, com menores tempo de subida e de acomodao, o que corresponde, no domnio da frequncia, a um aumento na largura de banda. Alm disso, as margens de ganho e de fase so melhoradas, contudo o erro de regime no afetado. ( ) Escrito de outra forma: Caractersticas Introduz um zero e um plo Melhora o transitrio, anlogo ao controlador PD Sempre adianta a fase em baixas e mdias frequncias Controlador com Compensao em Atraso Uma compensao em atraso melhora o erro em regime permanente, no entanto, diminui a largura de faixa, o que implica, em termos de domnio do tempo, numa resposta mais lenta, com maiores tempos de subida e acomodao. Em alguns casos preciso reduzir a largura de banda de um dado sistema com o intuito de torn-lo menos susceptvel a sinais de rudo ( ) Escrito de outra forma: Caractersticas Introduz um zero e um plo Melhora o regime, anlogo ao controlador PI Sempre atrasa a fase No zera o erro, mas um pequeno erro de regime sempre permitido na prtica. Controlador com Compensao de Avano-Atraso Em casos onde se deseja uma resposta rpida, caracterstica de sistema com compensao em avano, porm com diminuio do erro em regime estacionrio, que garantida por uma compensao em atraso, possvel usar um controlador que una ambas as caractersticas, que o caso do controlador em avanoatraso. ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) )( )(( ( ) )

( ) ( )

( (

) )

( )

( ) ( )

( (

) )

( )

) )( ( ) )

Escrito de outra forma:

Onde Caractersticas Introduz dois zeros e dois plos

;

usado para melhorar o desempenho em regime e o transitrio anlogo ao controlador PID

Estudo de CasosNesta parte, iremos verificar algumas caractersticas bsicas de alguns sistemas simples, de forma que sua simplicidade sirva de foco ao estudo dos conceitos mostrados anteriormente. De maneira qualitativa, pretende-se mostrar, em exemplos prticos com o uso dos softwares Matlab e seu complemento Simulink, conceitos vistos em sala de aula.

Diferenas entre resposta de sistemas em Malha Aberta e Malha FechadaAbaixo, temos uma figura ilustrativa do diagrama de blocos usado nesta anlise.

Figura 5: Diagrama de blocos modelo para a anlise

Com o propsito de explicar os efeitos ocasionados por uma entrada R no sistema, bem como um distrbio externo U, ser proposto o uso de uma planta simples, cuja funo transferncia seja de primeira ordem:

( )

Considerando que trata-se de um sistema onde os sinais de realimentao e de entrada possuem a mesma unidade, optou-se por usar uma realimentao unitria.

Definindo: Gc (s)= um controlador do tipo proporcional, com o intuito de variar o ganho de malha do sistema Gi (s)= A funo transferncia da Planta Funo Transferncia de Malha Aberta: ( ) ( )

Funo Transferncia de Malha Fechada: ( )

( ) ( )

Para a configurao proposta, temos: ( ) , e tambm, ( )

onde o ganho de malha aberta ser

, onde o ganho de malha fechada ser agora

e a constante de tempo de malha fechada ser agora

.

Para o exemplo proposto,Azul = entrada degrau Roxo = resposta de malha aberta amarelo= resposta de malha fechada

Figura 6: Resposta para uma entrada degrau unitrio e Kp = 1

A primeira concluso importante a ser vista deste grfico, onde Kp=1, o fato do sinal de sada em malha fechada ser metade do valor do sinal de entrada, enquanto no caso da malha aberta o sinal o mesmo. Isso ocorre devido a alterao do valor do ganho Kp, o qual tornou o ganho de malha fechada K = Kp/2. Outra concluso importante est no tempo de resposta, que para a malha fechada a metade do valor para a malha aberta. Sendo = a 63,2% do

valor final de resposta, da equao de malha fechada temos que

.

Na prxima figura, v-se claramente o efeito do aumento do ganho Kp nos sistemas. Tanto no primeiro, quanto no segundo caso, a resposta de malha aberta atinge o valor do ganho Kp, uma vez que sendo Ki = 1, o ganho de malha aberta ser K=Kp. J na malha fechada temos uma tendncia do sistema a atingir a resposta desejada, pois est sendo controlado automaticamente por realimentao. Note que em ambos os casos h um aumento na resposta da malha aberta devido diminuio de seu tempo de resposta ( ) , o mesmo no ocorrendo na malha aberta.

Figura 7: Resposta para uma entrada degrau unitrio e Kp = 5 e 10

Outra concluso a clara influencia no aumento do ganho de malha em tender o sistema resposta desejada na malha fechada. Isso, como ser mostrado de maneira mais elucidativa, uma caracterstica dos controladores proporcionais. O efeito de um distrbio externo ser mostrado nas figuras a seguir. Para uma melhor compreenso da importncia em se controlar o sistema e evitar que tais distrbios gerem problemas ao desempenho de um sistema, ser aplicado um distrbio degrau de valor 5 e com tempo de 5s para sua ocorrncia.

Figura 8: Resposta para uma entrada degrau unitrio e com acrscimo de distrbio degrau de valor 5. Kp = 1 e 10

No primeiro caso temos o ganho Kp=1 e no segundo caso o mesmo foi aumentado para Kp=10. Pode-se inferir da figura que um sistema de malha fechada, na medida em que seu ganho aumentado, ir interferir cada vez mais para uma correo do valor de sada, enquanto que na malha aberta, o sistema tender cada vez mais para uma resposta errada, sendo, portanto, mais sensvel a efeitos de distrbios externos.

Aplicao de Controladores e Demonstrao dos Critrios de EstabilidadeOs critrios de estabilidade mais comuns no estudo de sistemas de controle foram introduzidos e explicados na introduo deste trabalho. Agora, ser mostrado sua aplicabilidade em conjunto com o estudo de implementao de controladores visando melhorar caractersticas de alguns sistemas. Na figura abaixo tem-se a configurao usada na representao de um sistema de malha fechada com suas possibilidades de controladores. Com o uso do Simulink possvel variar a configurao do controlador apenas por meio da desconexo de pontos. Por exemplo, para formar um controlador do tipo PI deve-se, no diagrama mostrado, desconectar o controlador D da malha.

Figura 9: Diagrama de Blocos com as possibilidades de controlador propostas para exemplo.

No prprio software existe a possibilidade de se implementar um controlador PID j fornecido pelo mesmo. Porm, optou-se por esta configurao de modo que o estudo fique mais didtico, uma vez que estaremos aplicando diretamente a formulao terica dos controladores desse tipo. importante ressaltar que, neste trabalho, no sero feitas anlises de controladores usando metodologias como, por exemplo, os 2 mtodos clssicos de Ziegler-Nichols para determinao dos parmetros (ganhos ou constantes de tempo) dos controladores. Os valores escolhidos para cada parmetro tero como base o aprendizado dos conceitos envolvidos, atravs de uma clara visualizao de seus respectivos efeitos. Recapitulando, temos a formulao para um controlador PID ( ) ( ) ( )

Porm, existe outra maneira de representa-la, ( ) ( ) ( ) onde

e

e referente ela temos os parmetros mostrados no diagrama usado. A funo transferncia da planta ser alterada de acordo com a necessidade de estudo de cada caso.

Controlador ProporcionalSeja a funo transferncia da planta definida por uma funo transferncia de primeira ordem do tipo ( )( )

. Logo, para a malha aberta do sistema ter-se-

( )

(

)

que ter um polo s=-4 e nenhum zero. O ganho de malha ser ento padro para uma funo de primeira ordem (( )

, que vir da forma

)

Azul = Kp = 60 Roxo = Kp=40 Amarelo= Kp=20

Figura 10: Diagrama de Nyquist e da Resposta para diferentes valores de ganho (Kp) para o Controlador .

Note que, conforme foi explicado anteriormente, os valores de ganho de malha so, para este caso, iguais a Kp/4 . A partir do grfico de Nyquist j possvel notar uma importante concluso a respeito das funes transferncia de primeira ordem: em teoria, elas nunca atingem a instabilidade. Neste grfico, o ponto (-1,0) nunca ser englobado, independente do valor de ganho de malha. Do segundo grfico, pode-se notar uma importante caracterstica dos controladores proporcionais: a medida que seu valore de ganho aumentam, o sistema tende a se tornar mais preciso, uma vez que o tempo de resposta diminui, assim como o erro de regime. Em teoria, para que o sistema atinja a situao de erro zero, seria necessrio a introduo de um ganho de malha infinito. Veremos, com auxlio de outros exemplos, que isso trar a instabilidade ao sistema.

Figura 11: Grfico do Lugar das Razes para o exemplo.

As mesmas concluses obtidas do grfico de Nyquist so vistas a partir do grfico do lugar das razes. A Malha Fechada do sistema nunca ser instvel, visto no fato do ramo partindo do polo -4 nunca cruzar o eixo imaginrio. Seja a funo transferncia da planta definida agora por uma funo transferncia de segunda ordem do tipo ( )( )( )

( )

(

)(

)

. Logo, para a malha aberta do sistema ter-se- .

que ter polos s=-2 e -4 e nenhum zero. O ganho de malha ser ento

Azul = Kp = 60 Roxo = Kp=40 Amarelo= Kp=20

Figura 12: Diagrama de Nyquist e da Resposta para diferentes valores de ganho (Kp) para o Controlador .

Com esta configurao, possvel concluir que sistemas de segunda ordem so sempre estveis (em teoria) independente do valor de ganho inserido, apesar de ser possvel notar uma maior oscilao na resposta transitria, o que poderia ser resumido como uma diminuio da margem de fase, vista pelo grfico de Nyquist. Assim como para os sistemas de primeira ordem, o valor de ganho ir tender a um menor erro de regime.

Figura 13: Grfico do Lugar das Razes para o exemplo.

Confirmando a no instabilidade de uma funo transferncia de segunda ordem, vse claramente que os ramos partindo dos polos -2 e -4 no cruzaro o eixo imaginrio, independente do valor de ganho de malha inserido. Seja a funo transferncia da planta definida agora por uma funo transferncia de terceira ordem do tipo ( ) ento( )( )( )

( )

(

)(

)(

)

. Logo, para a malha aberta do sistema ter-se-

que ter polos s=-2 , -4 e -6 e nenhum zero. O ganho de malha ser

.

Azul = Kp = 500 Roxo = Kp=300 Amarelo= Kp=100

Figura 14: Resposta no tempo mostrando a instabilidade atingida com ganho muito alto .

Aqui j possvel perceber que a partir de um certo valor de ganho de malha (K =Kp/48) ter se atingido a instabilidade do sistema, o que ocorre com sistemas de terceira ordem. Os grficos a seguir iro elucidar um pouco o ocorrido.

Figura 15: Diagrama de Nyquist para 3 configuraes de Kp. No detalhe, o envolvimento do ponto (-1,0).

Conforme explicado pelo Critrio de Estabilidade de Nyquist, o lugar geomtrico da funo transferncia de malha aberta para o ganho de malha K = 500/48 ~ 10,5 tem um envolvimento no sentido horrio do ponto (-1,0). Como a malha aberta no possui polos no semiplano direito do plano s (i.e. no possui polos positivos) Z da equao Z=N+P diferente de zero, portanto, sistema instvel. Nos grficos de Bode que seguem, ser mostrada uma visualizao clara das margens de fase e ganho para 2 configuraes: estvel e instvel.

Figura 16: Diagrama de Bode, mostrando Margens de Fase e Ganho para configuraes de Kp=100 e Kp=700

No primeiro grfico, temos que as margens de fase e ganho so positivas (72.7 graus e 13.6 dB respectivamente) para um ganho de malha Kp = 100. Para o caso instvel, escolheu-

se um ganho Kp =700 para demonstrar mais claramente as margens negativas (-11.1 graus e 3.28 dB). Para determinar o ganho de malha (K) que levar o sistema ao limiar da instabilidade, segue uma demonstrao do uso do Critrio de Routh: ( ( ) )( )( )

Organizando na tabela de coeficientes, temos:

Note: O ganho do controlador pode ser positivo ou negativo. O sinal do ganho define a ao do controlador, que pode ser direta ou reversa. Assumindo nosso interesse em manter ao direta sobre o sistema, o ganho do controlador proporcional no poder exceder o valor de 480. Confirmaes desta afirmao seguem nas figuras abaixo.

Figura 17: Grficos do lugar das razes e de Nyquist para Kp=480

Como o ganho de malha K=Kp/48, dos grficos acima se conclui que, para o limiar da instabilidade, tem-se k=10 e ,portanto, Kp=480.

Controlador Proporcional Integral (PI)Quando o ganho de malha no pode ser mais aumentado e o erro de regime do sistema ainda considerado muito alto, implanta-se um controlador integral. O controlador proporcional, em conjunto com o integral, servir de parmetro atravs da variao do seu

ganho Kp. Conforme explicado anteriormente, o ganho do controlador integral definido como , onde a constante de tempo integrativa. Para propsitos de anlise qualitativa, ser definido . Logo, Ki=Kp. Para exemplificar o uso deste controlador, ser usada a mesma funo transferncia para a planta, ou seja, ( ) ( )( )

( )

(

)(

)(

)

. A funo transferncia do controlador

, para Kp=Ki. Ento, a funo transferncia de malha aberta do sistema ( ) )(

(

)(

)

.

Atravs de variaes do ganho do controlador Kp, tem-se a figura que segue demonstrando algumas caractersticas da resposta da malha fechada.

Azul = Kp = 100 Roxo = Kp=50 Amarelo= Kp=10

Figura 18: Resposta no tempo para o sistema em malha fechada com controle PI.

Do grfico obtido, pode-se notar claramente o efeito de correo do erro de regime para o controlador proporcional mais integrador, algo antes no conseguido usando um controlador proporcional, mesmo para elevados valores de ganho. interessante notar que, para esta configurao, os valores inseridos para o ganho proporcional no precisam continuar altos para a obteno de uma boa resposta (vide figura 14). Outra importante observao deste grfico reside no encurtamento do tempo de resposta na medida em que se aumenta o ganho. Porm, nota-se tambm, que a resposta transitria fica prejudicada com este aumento, estando muito oscilatria no grfico azul. O diagrama de nyquist e o grfico do lugar das razes que seguem, iro mostrar que para esta configurao necessrio cautela no aumento do ganho de malha, uma vez que o mesmo ir atingir a instabilidade.

Azul claro: Kp=500 Vermelho: Kp = 100 Verde: Kp=50 Azul: Kp=10

Figura 18: Lugar das Razes e Diagrama de Nyquist para diversos valores de ganho de malha.

Conforme pode ser visto das figuras acima, o sistema ir atingir instabilidade se o ganho de malha for muito alto. No Diagrama de Nyquist foi-se usado como exemplo um valor de ganho Kp=500 para o controlador (ganho de malha aberta ~ 10,5).

Note tambm a existncia de um zero (z=-1) no grfico do Lugar das Razes, j que o mesmo foi inserido pelo controlador.

Figura 19: Margens de Fase e Ganho positivas para Kp=10 e negativas para Kp=500.

Os grficos de Bode para duas configuraes de Kp denotam estabilidade para o primeiro e instabilidade para o segundo. O valor de ganho que trar o sistema ao limiar da instabilidade pode ser encontrado pelo Mtodo de Routh, da mesma maneira em que foi aplicado no exemplo anterior.

Controlador Proporcional Derivativo (PD)A ao de controle obtida ao inserir um controle derivativo, onde o regime transitrio trar um melhor desempenho para o sistema, poder ser confirmada atravs dos dados obtidos como segue. O controlador proporcional, em conjunto com o derivativo, servir de parmetro atravs da variao do seu ganho Kp. Conforme explicado anteriormente, o ganho do controlador derivativo definido como , onde a constante de tempo derivativa. Para propsitos de anlise qualitativa, ser definido . Logo, Kd=Kp. Para exemplificar o uso deste controlador, ser usada a mesma funo transferncia para a planta, ou seja, ( ) ( ) (( ( )( )

( )

(

)(

)(

)

. A funo transferncia do controlador

), para Kp=Ki. Ento, a funo transferncia de malha aberta do sistema )( )

.

Atravs de variaes do ganho do controlador Kp, tem-se a figura que segue demonstrando algumas caractersticas da resposta da malha fechada.

Azul = Kp = 500 Roxo = Kp=50 Amarelo= Kp=10

Figura 20: Resposta no tempo para o sistema em malha fechada com controle PD.

A partir deste grfico, v-se claramente o efeito do controle derivativo sobre o regime transitrio. A medida que o ganho do controle proporcional aumenta, o controle derivativo estabiliza sua resposta por ser um controle antecipatrio, medindo a velocidade dos erros instantneos, mas no auxilia na reduo do erro de regime, como faz o controle integral. Das imagens obtidas de se esperar que o sistema no atinja a instabilidade em teoria. Isso pode ser confirmado atravs da anlise dos grficos abaixo. Azul: Kp = 10Verde: Kp=50 Vermelho: Kp=500

Figura 21: Grfico do Lugar das Razes e Diagrama de Nyquist para a configurao. No detalhe, o no atravessamento do eixo real pelo lado negativo.

Conforme se sups, o grfico do Lugar das Razes e o Diagrama de Nyquist mostram a no instabilidade de sistemas com esta configurao. No primeiro grfico, nota-se a no existncia de assntotas atravessando o eixo imaginrio levando a configurao de polos no semiplano direito, e no segundo, atravs de uma clara visualizao fornecida pelo detalhe, vse o no cruzamento do eixo real impossibilitando o envolvimento do ponto (-1,0). Um ponto inconveniente deste modo de operao a acentuao de rudos que ocorre em altas frequncias, caracterstica dos controladores derivativos.

Controlador Proporcional Integral Derivativo(PID)Conforme citando anteriormente, o controlador PID une as aes proporcional, integral e derivativa num s controlador, atuando tanto no regime transitrio quanto no regime permanente. Para propsitos de anlise qualitativa, ser definido . Logo, Ki=Kd=Kp Para exemplificar o uso deste controlador, continuaremos com a mesma funo transferncia para a planta, ou seja, controlador ( )( )

( )

(

)(

)(

)

. A funo transferncia do

, para Kp=Ki=Kd. Ento, a funo transferncia de malha

aberta do sistema ( )

( ( )(

)

)(

)

.

Atravs de variaes do ganho do controlador Kp, tem-se a figura que segue demonstrando algumas caractersticas da resposta no tempo da malha fechada.

Azul = Kp = 100 Roxo = Kp=50 Amarelo= Kp=10

Figura 22: Grfico da resposta para a malha fechada com o uso de um controlador PID

Este grfico poder ser melhor interpretado ao ser conflitado com o grfico fornecido na figura 18, onde temos a ao PI para estes mesmos valores de ganho proporcional Kp. No caso da figura 18, o sistema tender a correo do erro de regime, mas ter sua resposta transitria muito mais oscilatria do que para a figura 22 acima. Isto acontece devido insero de um controle derivativo junto ao controlador PI, que aumenta a margem de fase do sistema tornando-o menos susceptvel instabilidade. Com esta configurao, o sistema de malha fechada (controlado) nunca ser instvel teoricamente, fato que pode ser verificado nos grficos que seguem.Azul: Kp = 10 Verde: Kp=50 Vermelho: Kp=100

Figura 23: Grfico do Lugar das Razes e Diagrama de Nyquist para o sistema, com o uso de um controlador PID.

O primeiro grfico, do Lugar das Razes, mostra o efeito do acrscimo de um zero complexo negativo (-0.5 +/ 0.86i) na malha do sistema, evitando que os ramos partindo dos polos (0,-2,-4 e -6) alcancem o semiplano direito. J para o Diagrama de Nyquist, v-se claramente (com a ajuda do detalhe fornecido) a no possibilidade de envolvimento do ponto (1,0), uma vez que, independente do valor de ganho, o traado nunca ir atravessar o eixo real. O diagrama de Bode fornecido a seguir confirma estas informaes atravs de sua condio de margem de ganho infinita.

Figura 24: Diagrama de Bode para a malha aberta, com controlador PID e Kp=100

O grfico fornecido mostra a configurao para o caso de Kp=100. Independente de ter-se escolhido Kp=10,50 ou outro valor, a margem de ganho resultaria sempre infinita, mas a margem de fase diminuiria. Isso uma demonstrao da importncia em terem-se tanto dados sobre a margem de fase quanto para a margem de ganho na anlise da estabilidade, uma vez que apenas uma delas no ser suficiente. Abaixo segue uma demonstrao qualitativa da margen de fase, mas agora no diagrama polar de Nyquist, para Kp=100.

Figura 25: Diagrama de Nyquist para o sistema, com controlador PID e Kp=100.

Controlador com Compensao em AvanoPara uma comparao das analogias de efeito causadas por controladores PID e seus respectivos Controladores com Compensao, prope-se o diagrama de blocos ilustrado como segue:

Figura 26: Diagrama de Blocos para as configuraes possveis usadas neste tpico.

Da mesma forma que foi feito anteriormente, os controladores PID sero alterados atravs do desligamento de blocos no diagrama, e os compensadores tero suas funes transferncia caractersticas inseridas no bloco de compensadores. O compensador em avano possui efeitos anlogos ao encontrado pelo controlador PD. Atravs da introduo de um novo polo e um novo zero ao sistema, seu efeito de melhoria no regime transitrio ser demonstrado atravs dos grficos obtidos. Sua funo transferncia descrita como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fazendo uso da mesma funo transferncia para a planta (terceira ordem) e alterando valores de maneira experimental, segue um grfico de resposta no tempo para o diagrama de blocos acima, onde foi-se implementado um controlador PD na primeira malha e de compensao em avano na segunda, com valores de a = 5 e b=7, aplicamos um fator ganho de Kc=13 para o compensador e Kp = 9 para o controlador PD.

Roxo: Compensao em avano Amarelo: Proporcional Derivativo

Figura 27: Semelhanas de resposta para controladores PD e avano de fase.

Seja a configurao de funo transferncia da planta dada por

( )

(

)(

)(

)

onde o valor do ganho para amplificao do compensador ser dado por Kc=100. Ser demonstrada agora a influncia da insero do compensador na resposta de malha fechada, bem como nas alteraes de caracterstica de estabilidade do sistema.

Verde: Sistema compensado Azul: Sistema no compensado

Azul: Sistema no compensado (mais oscilante) Roxo: sistema compensado (menos oscilante)

Figura 28: Resposta no tempo e Diagrama de Nyquist para duas configuraes.

Figura 29: Grfico de Bode para duas configuraes: primeiro no compensado (M.F = 72.2 graus) e o segundo compensado(M.F. = 103 graus)

O avano da fase em baixas frequncias do sistema evidenciado para as figuras mostradas. Com isso, torna-se claro o efeito de reduo das oscilaes do sistema controlado no regime transitrio, o que contribuir para uma melhor estabilidade do mesmo.

Controlador com Compensao em AtrasoO compensador em atraso possui efeitos anlogos ao encontrado pelo controlador PI. Atravs da introduo de um novo polo e um novo zero ao sistema, seu efeito de melhoria no erro de regime ser demonstrado atravs dos grficos obtidos. Sua funo transferncia descrita como

( )

( ) ( )

( (

) )

Usando como base a figura 26, ser demonstrado o efeito semelhante entre este controlador e o seu anlogo, o controlador PI. Foi-se implementado um controlador PI na primeira malha e de compensao em atraso na segunda, com valores de b = 2 e a=1, kc = 100 e Kp = 100, obedecendo a condio de a