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Sistemas de ControleResumo Espaço dos Estados

Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Escola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de ControleProf. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Resumo Espaço dos Estados

Cap.3 – Modelagem no Espaço dos Estados

3.1 Introdução

3.4 Aplicando a Representação no Espaço dos Estados

3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados

3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados

3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência

Cap.4 – Análise da Resposta no domínio do tempo

4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace

Cap.5 – Redução de Subsistemas Múltiplos

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

5.5 Regra de Mason

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

3.1 Introdução

• Abordagens para análise e projeto de sistemas de controle com retroação:

– Técnica clássica, ou no domínio da frequência

• Vantagens

• Simplifica os cálculos Substitui equação diferencial por uma equação algébrica

• Simplifica a modelagem modelagem de subsistemas interconectados.

• Desvantagens

• Aplicabilidade limitada Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo

Aproximações para esses sistemas

Os novos avanços e requisitos de sistemas de controle tornaram esse tipo de modelagem inadequada

– Abordagem no Espaço dos Estados (ou abordagem moderna ou no domínio do tempo)

• Vantagens

• Representa também sistemas não lineares (dotados de folga, saturação e zona morta)

• Representa sistemas variantes no tempo (mísseis com níveis de fluído variável)

• Manipula de forma adequada sistemas com condições iniciais não nulas

• Manipula sistemas com múltiplas entradas e saídas

• Desvantagens

• Não é muito intuitiva

• Muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente

* Abordagem do livro é limitada a modelos lineares e invariantes no tempo ou que possam ser linearizados. Abordagem aprofundada é assunto para cursos de pós-graduação.

3

3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados

Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito


Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia

Variáveis de Estado:


Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿

Nó 1

Equação no nó 1: Equação na malha externa:

−𝑣 𝑡 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 = 0


Passo 4 Obter as equações de estado:equações de estado

Passo 5 Obter a equação de saída:


Representação no espaço dos estados

A B

C D

+ 0


Exemplo de representação geral:

Sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t)

Se houver uma única saída:


10

Exemplos:Representação no espaço de estados

Descrição das variáveis

A B

C D

+ 0


1) Transformar função de transferência em equação diferencial.

Multiplicar cruzado

Aplicar Transformada Inversa de Laplace considerando condições iniciais nulas:


2) Selecionar conjunto de variáveis de estado variáveis de fase

Variáveis de faseNas variáveis de fase temos que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior.


3) Derivar variáveis de fase para encontrar ഺ𝑐

Variáveis de fase

Derivadas das variáveis de fase

ഺ𝒄


4) Organizando o sistema

ഺ𝒄

5) Montando matrizes


Dadas as equações de estado e de resposta

aplique a transformada de Laplace, supondo condições iniciais nulas:

Explicitando X(s) na primeira equação:

onde I é a matriz identidade.

Substituindo X(s) em:


Substituindo

Matriz função de transferência: relaciona a saída Y(s) ao vetor de entrada U(s)

Mesmo quando U(s) = U(s) e Y(s) = Y(s) forem escalares, podemos obter a função de transferência.


Sabe-se que:

Já temos as matrizes A, B, C e D, falta obter:


Calculando matriz de função de transferência:


Logo:

Invertendo :


Substituindo :


Obtendo a solução das equações no espaço dos estados:

Sistema:

Aplicando a transformada de Laplace:

Isolando X(s):

Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída:


Isolando a função de transferência:

Pólos do sistema no espaço dos estados = Autovalores do sistema

Raízes


Passo 1)

Passo 2)

A=


Passo 3)

Fornece tanto os pólos do sistema quanto os autovalores


Representação:- Arcos representam sistemas

Um sistema é representado por uma linha com uma seta mostrando o sentido do fluxo de sinal através do sistema.

- Nós representam sinais

Cada sinal é a soma dos sinais que chegam ao nó respectivo.

Exemplos:


a)

b)

c)


a)


b)


c)


Comece desenhando os nós de sinal


Interconecte os nós, mostrando o sentido do fluxo de sinal e identificando cada função de transferência


Diagrama simplificado

Simplifique o diagrama de fluxo através da eliminação de sinais com um único fluxo de entrada e um único fluxo de saída.

5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)

Redução do diagrama de fluxo de sinal a uma única função de transferência. Requer a aplicação de uma fórmula

Samuel Jefferson Mason(1921–1974)

Definições

Ganho de malha: O produto dos ganhos dos ramos obtidos ao longode um percurso que começa em um nó e termina no mesmo nó sempassar por nenhum outro nó mais de uma vez e segue o sentido dofluxo de sinal.

Existem 4 ganhos de malha para esse diagrama


Ganho de percurso avante: O produto dos ganhos obtidos ao longode um percurso que começa em um nó de entrada e termina no nóde saída no sentido do fluxo de sinal.

Ganhos de percurso avante para este exemplo:


Malhas disjuntas: Malhas que não possuem nós em comum; malhas que não se tocam.

Malha 𝐺2 𝑠 𝐻1(𝑠) não toca as malhas 𝐺4 𝑠 𝐻2(𝑠), 𝐺4 𝑠 𝐺5 𝑠 𝐻3(𝑠) e 𝐺4 𝑠 𝐺6 𝑠 𝐻3(𝑠).

Ganho de malhas disjuntas: O produto dos ganhos de malha de malhas disjuntas consideradas duas a duas, três a três, quatro a quatro, etc

Três ganhos de malhas disjuntas consideradas duas a duas para o exemplo:

No exemplo, não há ganhos de malhas disjuntas consideradas três a três, uma vez que não existem três malhas disjuntas entre elas


Enunciado da Regra de Mason

A função de transferência, C(s)/R(s), de um sistema representado por um diagrama de fluxo de sinal é

onde

k = número de percursos avante

𝑇𝑘 = ganho do k-ésimo percurso direto

∆ = 1 − Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas — Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro — ...

∆𝑘 = ∆ — Σ ganhos de malha em ∆ que tocam o k-ésimo percurso avante. Em outras palavras ∆𝑘 é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso à frente.

Observe a alternância de sinais dos componentes de ∆


Primeiro, identifique os ganhos de percurso avante:

Existe somente um


Segundo, identifique os ganhos de malha:

Existem quatro


Terceiro, identifique as malhas disjuntas duas a duas:

Ganhos de malha:

A malha 1 não toca a malha 2, a malha 1 não toca a malha 3 e a malha 2 não toca a malha 3.

As malhas 1, 2 e 3 tocam, todas elas, a malha 4.


Quarto, as malhas disjuntas três a três são:

Ganhos de malha:


Quinto, formamos ∆ e ∆𝑘:

∆ = 1 − Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas — Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro — ...

Ganhos de malha:

Ganhos de malha disjuntas 2 a 2:

Ganhos de malha disjuntas 3 a 3:


Quinto, formamos ∆ e ∆𝑘:

∆𝑘 = ∆ — Σ ganhos de malha em ∆ que tocam o k-ésimo percurso avante.

Em outras palavras ∆𝑘 é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimopercurso à frente.

∆𝑘 será então:


Sexto, substituindo expressões na Regra de Mason:

k = número de percursos avante

𝑇𝑘 = ganho do k-ésimo percurso direto


Desenho de diagramas de fluxo de sinal a partir das equações de estado.

Considere as seguintes equações de estado e de saída:

Passo 1) Identifique três nós como variáveis de estado, x1, x2 e x3.

Passo 2) Posicione 1 nó representando a derivada do sinal a esquerda de cada nó anterior.


Passo 3) Identifique também um nó como entrada, r, e um outro nó como saída, y.

Passo 4) Interconecte as variáveis de estado e suas derivadas com a integração, 1/s.

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equação 1 do sistema:



Equações 1 e 2 do sistema:



Equações 1, 2 e 3 do sistema:



Equação da saída:

Diagrama pronto!

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

• Forma em Cascata

• Forma Paralela

• Forma Canônica do Controlador

• Forma Canônica do Observador

Os sistemas podem ser representados no espaço de estados usando variáveis de fase,conforme visto no Cap. 3. Contudo, a modelagem de sistemas no espaço de estados podeassumir muitas formas de representação além da que resulta com as variáveis de fase.

Motivos para representar sistemas de diferentes formas:

- Aplicações específicas: Um conjunto de variáveis de estado, com sua representação exclusiva, pode modelar as variáveis físicas reais de um sistema, como as saídas de amplificadores e de filtros.- A facilidade de solução:Uma escolha particular de variáveis de estado pode desacoplar o sistema de equações diferenciais simultâneas.- A facilidade de modelagem

Formas de representação abordadas:

Laboratório

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