analise de sistemas de controle

ANLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

Autores: Lus Fernando Alves Pereira, Jos Felipe Haffner 1

Aula 1 Introduo

O que a Disciplina Onde se Encaixa no Contexto da Engenharia Exemplos Prticos Problemas Propostos O que a Disciplina Segundo o Novo Dicionrio Bsico da Lngua Portuguesa, escrito por Aurlio Buarque de Holanda, o conjunto de palavras escolhidos para composio do nome desta disciplina podem ser definidas da seguinte forma: Anlise: Exame de cada parte de um todo, para conhecer sua natureza, suas propores, suas funes, suas

relaes, etc... Sistema: Disposio das partes ou dos elementos de um todo, coordenados entre si, e que funcionam com

estrutura organizada. Controle: Boto, mostrador, chave, circuito ou parafuso destinado a ajustar ou fazer variar as caractersticas

de um elemento eltrico. Se por curiosidade algum se interessasse em saber previamente o que trata a disciplina de Anlise de Sistemas de Controle com base nas definies anteriores, tal pessoa teria o conceito adequado das duas primeiras palavras. A definio associada a palavra Controle, esta demasiadamente restrita e tecnologicamente ultrapassada. Em linhas gerais, pode-se dizer que esta disciplina tem por objetivo capacitar aos alunos a Examinarem cada um dos elementos de um todo, descrevendo suas naturezas e relaes, tendo como objetivo principal a compreenso do funcionamento fsico deste todo descrito em forma matemtica. Uma vez caracterizado o comportamento fsico, que natural do Sistema sob Anlise muito comum que tal comportamento no satisfaa um conjunto de condies previamente estabelecidas e supostamente necessrias. Neste contexto, encaixa-se a idia do controle, que tem como finalidade fazer com que o Sistema sob Anlise passe e se comportar de forma adequada, obedecendo quele conjunto de condies estabelecidas a priori. Onde se Encaixa no Contexto da Engenharia Pode-se dizer que utilizao de Sistemas de Controle est inserida na base de qualquer dispositivo ou equipamento automatizado. Diariamente nos deparamos com uma srie destes equipamentos que possuem algum tipo de controle, desde eletrodomsticos como geladeira, ferro eltrico e mquinas de lavar at sistemas robotizados empregados, por exemplo, na indstria automobilstica.

Para os exemplos anteriores, citar quais seriam as variveis de interesse e quais seriam as possveis condies estabelecidas para o controle de cada um deles.




Observa-se o emprego de ferramentas de anlise de sistemas e o posterior projeto de controladores em vrias reas Engenharia, ultrapassando desta forma mbito da Engenharia Eltrica. Pode-se citar por exemplo, o controle de PH em processos qumicos relacionado diretamente a Engenharia Qumica ou a anlise de modos de vibrao estrutural relacionado as Engenharias Mecnica e/ou Civil. Encontra-se tambm exemplos de sistemas de controle nas reas da Biologia. Um exemplo que pode ser citado o sistema de controle de equilbrio do corpo humano. Todas as pessoas utilizam informaes dos olhos e dos ouvidos para efetuar tal controle. o sistema de controle de equilbrio do corpo que permite-nos sentar ou levantar mesmo estando em movimento.

Realize o seguinte experimento: Fique em p e coloque um p em frente ao outro, de forma que os dois ps fiquem alinhados mantendo os braos na posio normal. Feche os olhos e descreva o que acontece com o equilbrio do seu corpo.

Em linhas gerais, neste sistema de controle a informao de equilbrio origina-se primeiramente no

interior dos ouvidos, onde canais semicirculares fornecem a informao de acelerao angular enquanto um outro dispositivo composto por minsculas partculas de carbonato de clcio, encontradas na superfcie da membrana otoltica da mcula interna do ouvido, fornecem informao relacionada com a acelerao linear. Como pode-se observar este sistema de equilbrio necessita ainda ser complementado por informaes relativas a sinais visuais, sem os quais ficaria prejudicado. Exemplos Prticos Apresentaremos agora um conjunto de cinco diferentes sistemas de controle nos quais podero ser observados o comportamento de cada um deles em sala de aula. O primeiro deles, mostrado na Figura 1.1, foi introduzido em 1788 por James Watt para o controle de velocidade em mquinas a vapor.

Figura 1.1: Diagrama esquemtico do regulador de Watt.

O funcionamento mecnico de tal dispositivo pode ser observado no prottipo de um regulador de Watt, apresentado na Figura 1.2, desenvolvido no Laboratrio de Automao e Controle de Sistemas




LACS, da PUCRS. Neste prottipo o regulador de Watt empregado no controle de velocidade de um motor de corrente contnua.

Figura 1.2: Prottipo do regulador de Watt desenvolvido no LACS.

O segundo, esquematizado na Figura 1.3, trata-se de um sistema trmico empregado para controlar a temperatura do ar em um determinado ponto de um tubo cilndrico. Trata-se tambm de um sistema didtico desenvolvido no LACS, apresentado na Figura 1.4, que pode ser encontrado em diversos segmentos industriais. Na indstria eletro-eletrnica, o teste de envelhecimento precoce de produtos feito mediante a exposio dos mesmos a temperaturas elevadas, realizados em uma cmara especial com temperatura controlada (Testes de Burn In). Na agroindstria, utiliza-se a mesma filosofia para a secagem de gros e na indstria de tabaco, para secagem do fumo.

Figura 1.3: Diagrama esquemtico do processo trmico desenvolvido no LACS.




Figura 1.4: Prottipo do processo trmico desenvolvido no LACS.

Problemas Propostos

Nesta seo ser apresentado alguns problemas prticos que poderiam surgir em situaes do cotidiano de um engenheiro. Estes problemas sero propostos para serem resolvidos de forma esquemtica, com base nas informaes obtidas nesta aula.

Problema 1 Controle de Temperatura: Em uma determinada indstria, no vero, a

temperatura do ambiente de trabalho atinge valores muito elevados causando desconforto trmico e conseqente prejuzo a produo. Constatou-se que a temperatura do telhado desta instalao contribui sobremaneira para elevao da temperatura ambiente. Objetiva-se diminuir a temperatura do telhado de forma a melhorar as caractersticas de conforto trmico deste ambiente com conseqente aumento na produtividade. Observa-se que a existncia de poos artesianos no local em que a industria esta instalada, fazem com que a gua seja o meio mais barato e eficaz para resfriar o telhado.

Problema 2 Controle de Nvel: Em alguns prdios residenciais, o sistema de distribuio de gua realizado com base em caixas dgua localizadas sobre o ltimo pavimento e um conjunto de reservatrios subterrneos (cisternas) que fornecem a gua para as referidas caixas. Objetiva-se controlar o nvel mnimo de gua nas caixas dagua superiores de forma a manter o abastecimento de gua no prdio, bem como o nvel mximo para evitar transbordamento.

Problema 3 Controle de Velocidade: O objetivo deste problema efetuar o controle da velocidade de cruzeiro em um automvel durante uma viagem.

Problema 4 Controle de Tenso DC: Em uma fonte de tenso DC chaveada, deseja-se controlar a tenso de sada na carga, independente das oscilaes da rede eltrica e das variaes de carga a qual a fonte esta sujeita.

Problema 5 Controle de Tenso AC: Fontes Ininterruptas de Energia, comumente conhecidas como no-break, so largamente empregadas para o fornecimento de energia eltrica em redes de computadores. Tais dispositivos so utilizados para gerao de uma forma de tenso senoidal que mantm o fornecimento de energia eltrica em caso de falha da concessionria de energia do local. Objetiva-se neste problema fazer com a forma de onda da tenso de sada do no-break siga uma forma de onda senoidal de referncia.



Problemas Propostos:

Nesta seo sero apresentados alguns problemas prticos que poderiam surgir em situaes do cotidiano de um engenheiro. Estes problemas sero propostos para serem resolvidos de forma esquemtica, com base nas informaes obtidas em sala de aula.

Controle de nvel:Em alguns prdios residenciais, o sistema de distribuio de gua realizado com base em

caixas dgua localizadas sobre o ltimo pavimento e um conjunto de reservatrios subterrneos (cisternas) que fornecem a gua para as referidas caixas. Objetiva-se controlar o nvel mnimo de gua nas caixas dagua superiores de forma a manter o abastecimento de gua no prdio, bem como o nvel mximo para evitar transbordamento.

Controle de temperatura: Considere uma piscina trmica olmpica onde so realizados treinamentos durante o ano inteiro, desta forma necessrio manter a gua a uma temperatura agradvel independente da temperatura ambiente. Para isto, existe uma caldeira instalada junto a piscina cuja a finalidade realizar o aquecimento da gua. Com base nestas informaes elabore uma estratgia de controle que possibilite manter a temperatura da piscina no valor desejado.

Controle de velocidade: Em aplicaes metal-mecnicas onde existe rigoroso controle de qualidade necessrio ajustar corretamente a velocidade dos equipamentos de tal forma obter-se os resultados desejados sem o desgaste excessivo das ferramentas. Considere o caso de um furadeira eltrica utilizada para furar materiais com diferentes graus de dureza, assim elabore uma estratgia de controle que possibilite o usurio especificar a velocidade da desejada da furadeira.

Controle de posio: O posicionamento de um elevador predial requer preciso e confiabilidade para garantir a segurana e o conforto dos passageiros. Assim, elabora uma estratgia de controle que realize o posicionamento da cabine de um elevador de tal forma que os passageiros sejam submetidos a aceleraes e desaceleraes suaves.

Controle de tenso: O controle de carga da bateria de automveis tem o objetivo de manter a tenso da bateria regulada dentro de uma faixa pr-definida, esta faixa de tenso varia em funo da quantidade de equipamentos eltricos que esto sendo utilizados assim como da temperatura ambiente. Desta forma, esquematize uma estratgia de controle que realize a carga da bateria de um automvel onde a tenso desejada determinada em funo da temperatura e da quantidade de equipamentos utilizados e, ao mesmo tempo, no varie com a velocidade de rotao do motor.



A

Aula 2 Anlise de Sistemas por Blocos

Discusso dos Problemas Propostos R D D P D

R

sifucre

eaauepresentao por Diagrama de Blocos

efinio das Variveis Envolvidas

istrbios Externos

roblemas Propostos utores: Lus Fernando Alves Pereira, Jos Felipe Haffner 1

iscusso dos Problemas Propostos

Exibio e discusso por parte dos alunos dos seguintes problemas propostos em aula:

Controle de Temperatura Controle de Nvel Controle de Velocidade Controle de Tenso DC Controle de Tenso AC

epresentao por Diagrama de Blocos

A representao por diagrama em blocos uma prtica largamente empregada na anlise de stemas de controle. Utiliza-se esta representao pela facilidade de visualizar-se todas as partes ndamentais que compe o sistema sob anlise, tornando-se uma forma de expresso comum entre

ientistas, engenheiros e tcnicos que atuam nesta rea. O diagrama de blocos de um sistema de controle alimentado pode ser representado conforme a Figura 2.1.

Figura 2.1: Representao em diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado.

O sistema de controle apresentado Figura 2.1 dito em malha-fechada. Este termo comumente mpregado para referir-se a classe de sistemas cuja informao da varivel de sada utilizada como rgumento na determinao da varivel de controle. De outra forma o sistema dito operar em malha-berta. Observa-se que independentemente da natureza do processo sob controle, o diagrama de blocos de m sistema em malha-fechada, conforme o apresentado na Figura 2.1, em linhas gerais permanece

Varivel de Varivel de Varivel de Referncia Erro Controle Sada Controlador Processo + _ Elemento Sensor




inalterado. Da mesma maneira, todas as variveis apresentadas na Figura 2.1 que constituem as entradas e sadas de cada um dos blocos podem ser definidas de forma nica, independente do tipo de grandeza fsica que se deseja controlar. Os elementos que so utilizados para construir o diagrama de blocos so o prprio bloco, o somador e o n. O bloco descreve qual a relao matemtica que existe entre a varivel de entrada e a varivel de sada (Fig. 2.2). O somador utilizado quando se deseja somar ou subtrair dois ou mais sinais (Fig. 2.3). O n empregado quando existe a necessidade de utilizar o mesmo sinal em um ou mais blocos (Fig. 2.4).

Fig. 2.2: Bloco

Fig. 2.3: Somador.

Fig. 2.4: N.

Definio das Variveis Envolvidas

No diagrama de blocos da Figura 2.1, verifica-se que existem variveis de entrada e de sada do sistema e outras variveis, que correspondem a entradas e sadas dos blocos intermedirios. Defina, conforme seu entendimento, o significado cada uma seguintes variveis:

Varivel de Referncia Varivel de Sada Varivel de Erro Varivel de Controle

Confira na bibliografia indicada em aula cada uma das definies das variveis anteriores,

observando o exato entendimento de cada uma delas. Distrbios Externos comum em situaes reais, que a varivel de sada de um sistema de controle sofra influncia de outras variveis de natureza aleatria definidas como distrbios. Em nvel de diagrama de blocos, um distrbio adicionado a varivel de sada do sistema representado conforme a figura abaixo:



Figura 2.5: Diagrama de blocos de um sistema em malha-fechada sujeito a distrbio. Problemas Propostos

Prope-se nesta seo algumas questes que devero ser respondidas com base nas definies e conceitos apresentados nesta aula. Aconselha-se novamente a utilizao da bibliografia indicada para o auxlio na soluo das questes.

Defina e de exemplos prticos de sistemas de controle que operam em malha-aberta. Para os problemas propostos na primeira aula, quais seriam os tipos das entradas de referncia de cada

um deles. Ainda para os problemas propostos na primeira aula, estabelea como, onde e a natureza de distrbios

que poderiam ser adicionados a cada um deles.

Distrbio Varivel de Varivel de + Varivel de Referncia Erro Controle + Sada Controlador Processo + _ Elemento Sensor Realimentao Autores: Lus Fernando Alves Pereira, Jos Felipe Haffner 3



Autores: Lus Fernando Alves Pereira & Jos Felipe Haffner 1

Aula 3 Introduo ao Matlab

Parte I: Manipulao e visualizao de dados Introduo Vetores Matrizes Funes Grficos Introduo

O MatLab um programa interativo para computao numrica e visualizao de dados; usado intensivamente na engenharia de controle para a anlise e projeto. O MatLab contem uma coleo de ferramentas chamadas de toolbox. Cada toolbox possui muitas funes que expandem o ambiente do MatLab em reas especificas tais como: processamento de sinais, sistemas de controle, comunicaes, redes neurais artificiais, estatstica, financeira, etc. O Simulink um programa de simulao grfica que acompanha o Matlab. Este programa possibilita a simulao de sistemas dinmicos lineares e no-lineares em nvel de diagrama de blocos, sendo empregado para anlise e projeto de sistemas de controle.

Este roteiro ser utilizado para acompanhar a primeira aula de laboratrio de introduo ao MatLab. Nesta aula ser utilizado um programa tutorial denominado demat.m onde cada um dos itens apresentados aqui sero demonstrados.

O ambiente do MatLab no grfico e pode ser considerado como um editor de linha: digita-se

uma linha de comando e no final da linha a tecla enter e o MatLab retorna com a informao processada ou uma mensagem de erro. O prompt >> indica que o MatLab est pronto para receber um comando. Uma linha sem o prompt indica o retorno do MatLab ao comando digitado em uma linha anterior.

Uma regra informal, mas til definir letras maisculas para variveis vetoriais e matriciais e letras minsculas para variveis escalares (como a linguagem C o MatLab sensvel a letra maiscula/minscula: a A). Vetores

Para comear vamos criar alguma coisa simples, como um vetor. Entre cada elemento do vetor (separado por um espao) entre colchetes. Os operadores ( [ ) e ( ] ) criam arrays unidimensionais (vetores) e bidimensionais (matrizes). Por exemplo, para criar o vetor A, entre no MatLab com o seguinte comando de linha: A = [ 2 4 6 8 10 12 14 ] A = 2 4 6 8 10 12 14

Se tivssemos digitado a seguinte linha, utilizando o operador ( ; ):




A = [ 2 4 6 8 10 12 14 ] ; MatLab no retornaria nenhuma informao, mas a varivel a armazenaria a informao digitada.

Digitando: A A = 2 4 6 8 10 12 14

Existe uma outra maneira de criar um vetor utilizando o operador ( : ). Este mtodo geralmente criado para gerar um vetor de tempo. Na linha de comando, o primeiro elemento (depois do sinal =) o valor inicial do vetor. O segundo elemento o valor de incremento e o terceiro o valor do ltimo elemento. A = 2 : 2 : 14 A = 2 4 6 8 10 12 14

Cada elemento do vetor pode ser acessado individualmente, indexado pela sua posio dentro do vetor utilizando o operador ( ) . Por exemplo para acessar o terceiro elemento do vetor A : elemento = A( 3 ) elemento = 6

MatLab retorna a varivel ans quando na linha de comando no definida uma varivel para guardar a informao gerada pela linha de comando.

A(3) ans = 6

Note que diferentemente da linguagem C o primeiro elemento do vetor indexado com a posio 1 e no com a posio zero: A(0) ??? Index exceeds matrix dimensions.

O operador ( : ) muito til para manipular o vetor ou gerar um novo vetor: A( 1 : 3 ) ans = 2 4 6 A( 4 : 6 ) ans = 8 10 12 A( : ) ans = 2 4 6 8 10 12 14 A( 1 : 2 : 7 ) ans = 2 6 10 14




Mas se indicarmos um valor final maior que o tamanho do vetor, resulta em erro:

A( 1 : 10 ) ??? Index exceeds matrix dimensions.

Para alterar algum elemento do vetor, basta atribuir um valor: A( 3 ) = 0 A = 2 4 0 8 10 12 14 A( 3 ) = 6; % colocando o valor original na terceira posio do vetor A

A seguinte linha de comando retorna o tamanho do vetor A: length(A) ans = 7

Todas as operaes aritmticas de vetores com escalares e vetores com vetores validas so possveis: b = 2; C = b*A C = 4 8 12 16 20 24 28 C = b + A C = 4 6 8 10 12 14 16 C-A ans = 2 2 2 2 2 2 2

Para multiplicar dois vetores, elemento a elemento, utiliza-se o operador ( . ) (ponto): C.*A ans = 8 24 48 80 120 168 224

Deve-se notar que a operao de multiplicao de vetores resulta em erro: C*A ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree.

Para transformar o vetor linha, em vetor coluna usa-se o operador ( ) (apstrofe): At = A




At = 2 4 6 8 10 12 14

Note que a posio dos elementos no vetor no se altera:

At(3) ans = 6 Matrizes

Os vetores, na verdade so casos especiais de matrizes unidimensionais. Para se criar matrizes deve-se utilizar o operador ( ; ), que dentro de um array indica o final de uma linha. M = [ 1 2 3 ; 4 5 6; 7 8 9 ] M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Caso cada linha da matriz seja composta por vrios elementos, pode-se usar o operador ( ... ) , que interrompe a linha atual para continuar na prxima linha. M = [ 1 2 3 ; ... 4 5 6 ; ... 7 8 9 ] M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Assim como os vetores, cada elemento, linha ou coluna da matriz pode ser chamada individualmente: i = 3; % indica o nmero da linha j = 2; % indica o nmero da coluna M( i , j) ans = 8 M( 1 , :) ans = 1 2 3




M(: , 3 ) ans= 3 6 9 M( 1:(i-1) , 1:j ) % equivalente a M(1:2,1:2) ou M([1 2],[1 2]) ans = 1 2 4 5

O operador ( % ) insere comentrios que no so processados pelo MatLab. Para alterar um elemento, linha ou coluna basta atribuir um valor:

[ zeros(1,3) ; M(2,:); M(3,:)] %zeros gera um array de elementos nulos, neste caso um vetor linha de trs posies ans = 0 0 0 4 5 6 7 8 9 [ones(3,1)' ; M(:,2)' ; M(:,3)' ] ' % ones gera um array de elementos unitrios, neste caso um vetor coluna de trs posies. ans = 1 2 3 1 5 6 1 8 9

A transposta da matriz pode ser obtida utilizando o operador ( ): M ans = 1 4 7 2 5 8 3 6 9

Veja a atuao do operador ( . ) no exemplo a seguir: M*M ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150 M.*M ans = 1 4 9 16 25 36 49 64 81




Funes

Para facilitar o usurio, MatLab inclui muitas funes standard. Cada funo um bloco com cdigo que executa determinada tarefa. MatLab contem todas as funes matemticas normalmente utilizadas, tais como sin, cos, log, exp, sqrt e muitas outras. Constantes normalmente utilizadas tais como pi, i (ou j) que representa a raiz quadrada de -1, so tambm, incorporadas ao MatLab. sin(pi/4) ans = 0.7071

Por default mostra os resultados aritmticos em quatro dgitos porem as operaes so realizadas com dupla preciso ou seja 16 dgitos decimais.

O MatLab possui um sistema de help on-line, basta digitar help e o nome da funo que procuramos informao. help abs ABS Absolute value and string to numeric conversion. ABS(X) is the absolute value of the elements of X. When X is complex, ABS(X) is the complex modulus (magnitude) of the elements of X. See also ANGLE, UNWRAP ABS(S), where S is a MATLAB string variable, returns the numeric values of the ASCII characters in the string. It does not change the internal representation, only the way it prints. See also SETSTR.

Existem dois tipos de funes do Matlab: as funes internas ou fechadas, implementadas de maneira mais eficientes possveis (tempo de processamento) e as funes m, geradas a partir da linguagem de programao do MatLab. O comando type mostra a funo m, mas no habilitada para as funes internas. type abs abs is a built-in function type sin sin is a built-in function. type angle function p = angle(h) %ANGLE Phase angle. % ANGLE(H) returns the phase angles, in radians, of a matrix with % complex elements. % See also ABS, UNWRAP. % Copyright (c) 1984-94 by The MathWorks, Inc. % Clever way: % p = imag(log(h)); % Way we'll do it: p = atan2(imag(h), real(h));




Funes de uso geral: clear varivel apaga varivel da memria clear all apaga todas as variveis da memria close(n) apaga a figura de nmero n close all apaga todas as figuras whos relaciona as variveis amarzenadas na memria who relaiona de forma simplificada as variaveis which funo localiza o path de uma funo cd e dir comandos dos !comando do dos outros comandos dos Grficos

A principal funo para gerar grficos no MatLab plot. Existem varias maneiras de utilizar este comando: a = 0.1; b = 1; t = 0:0.25:100; %gera o vetor de tempo s1 = exp(-a*t); %gera a funo exponencial decrescente s2 = sin(b*t); %gera a funo seno y1 = s1.*s2; y2 = s1+s2; figure(1) %dois grficos superpostos gerados por comandos plot diferentes hold on plot(t,y1) plot(t,y2) hold off




figure(2) % dois grficos superpostos gerados por um nico comando plot plot(t, [y1 y2] ) figure(3) % dois grficos superpostos gerados por um nico comando plot plot(t,y1,':r',t,y2,'-.b') % com tempos independentes para cada grfico figure(4) % divide o grfico em duas partes, uma para cada plot subplot(2,1,1) plot(t,y1) subplot(2,1,2) plot(t,y2)

Comandos auxiliares para gerar grficos: close(4) %fecha afigura 4 close all %fecha todas as figuras figure(1) plot(t,y1,':w',t,y2,'-.w') title(titulo do grafico) xlabel( referncia eixo x) ylabel(referncia eixo y) legend(y1,y2) text(60,1.5,inserir texto)




Aula 4 Introduo ao Matlab

Parte II: Funes e elementos de programao Criando arquivos de lote Polinmios Elementos de programao Criando funes

Este roteiro a continuao do roteiro apresentado na aula 2 e ser utilizado para acompanhar a segunda aula de laboratrio de introduo ao MatLab. Nesta aula tambm utilizado o programa tutorial demat.m onde cada um dos itens apresentados aqui sero demonstrados.

Criando arquivos de lote

Como j foi dito, o ambiente principal do Matlab um editor de linhas. Ento mais eficiente escrever uma serie de comandos utilizando um editor de texto e salvar este arquivo de lote com extenso m (nome_do_arquivo.m). Para executar estes comandos, basta digitar o nome_do_arquivo no ambiente do Matlab.

O Matlab no reconhecer o nome_arquivo, caso:

O Windows pode estar configurado para colocar uma extenso de texto no final do nome do arquivo ( nome_do_arquivo.m.txt ).

O arquivo for criado em um diretrio diferente da localizao do ambiente do Matlab .

Exemplo: A - Escreva os comandos abaixo num arquivo lote chamado bas.m %Este arquivo resolve a equao de Bscara % a*x^2 + b*x + c = 0 d = sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a); e = b/(2*a); r1 = e + d; % 1 raiz r2 = e d; % 2 raiz sol = [ r1; r2 ];




disp(as raizes so:) % mostra uma seqncia de caracteres disp(sol) % mostra o contedo da varivel sol B No ambiente do Matlab chame o arquivo bas.m.

Polinmios No MatLab, um polinmio representado por um vetor. Para criar um polinmio no MatLab, simplesmente entre com cada coeficiente do polinmio em ordem decrescente. Exemplo 1: x(s) s 3s 15s 2s 94 3 2= + + x = [1 3 -15 -2 9] x = 1 3 -15 -2 9 Exemplo 2: y(s) s 12= + y = [ 1 0 1 ] y = 1 0 1

Voc pode encontrar o valor do polinmio usando a funo polyval. Para o exemplo 1, o valor resultante do polinmio para s = 2 15. polyval( x , 2) ans = -15




Voc tambm pode extrair as razes do polinmio utilizando a funo roots: roots(x) ans = -5.5745 2.5836 0.7860 -0.7951

Pode-se multiplicar e dividir polinmios, usando as funes conv e deconv . O produto de dois polinmio feito fazendo a convoluo de seus elementos. z = conv(x,y) z = 1 3 -14 1 -6 -2 9

A forma analtica do polinmio encontrada : z s s s s s s s( ) = + + +6 5 4 3 23 14 6 2 9

Dividindo-se o polinmio encontrado z por y obtm-se xx, que exatamente o polinmio x recuperado, o resto da diviso nulo: [yy , R] = deconv(z,x) xx = 1 3 -15 -2 9 R = 0 0 0 0 0 0 0

Resolvendo um sistema de equaes lineares: Seja um sistema linear dado por:

ax by pcx dy q

+ =

+ =

Podemos rescrever este sistema de forma mais compacta como:

AX B=

onde:

Aa bc d

Bpq

Xxy

=

=

=




Se a matriz A possui inversa ou seja tem determinante diferente de zero, a soluo deste sistema :

X=A-1B .

Usando a notao do MatLab temos: X = A \ B. O operador ( \ ) serve para resolver sistemas de equaes lineares e diferente do operador ( / ) que realiza a operao de diviso. Vamos ao exemplo:

3y2-x310y5x2

=

=+

A = [ 2 5; 3 -2 ]; B = [ 10 3]; X =A\B X = 1.8421 1.2632 X =A/B ??? Error using ==> / Matrix dimensions must agree. Elementos de programao

O MatLab possui um conjunto de comandos para facilitar o desenvolvimento de funes ( nome_da_funo.m ) pelo prprio usurio, tais como: declaraes de controle de programa, armazenamento de dados, manipulao de arquivos, estruturas de dados e outras. Com este conjunto de comandos pode-se falar de uma linguagem de programao MatLab. A maior parte destes comandos tem muita similaridade com a linguagem C.

O comando if A expresso if usa operadores relacionais e lgicos:

Operadores relacionais > maior que < menor que

>= maior ou igual que




Operadores lgicos & Lgica and | lgica or ~ Lgica not

Exemplo: n = 10*rand; %Gera nmero aleatrio com distribuio uniforme entre 0 e 10 if n




Comandos diversos

O comando break interrompe a execuo de um loop. O comando return interrompe a execuo do programa. O comando disp utilizado para mostrar dados ou caracteres.

b = 1000; disp(b) b disp( b ) 1000 O comando error mostra um conjunto de caracteres com um sinal caracterstico de erro.

O comando input utilizado para entrar com dados na funo via valor digitado no ambiente do Matlab. var = input(entre com o valor da variavel var = )

Armazena na varivel var o valor digitado no Matlab.

Salvar arquivos de dados

O comando save salva em arquivo com extenso mat variveis do ambiente MatLab.

save nome_arq varivel1 varivel 2 ... varivel n

O comando load recupera as variveis guardadas em nome_arq.mat load nome_arq Criando funes

Para criar suas prprias funes m devemos utilizar um editor de texto, como por exemplo o bloco de notas do windows. A primeira linha da funo deve ter a seguinte: function [sai_dados] = nome_funo(entra_dados)




Como exemplo vamos implementar uma funo que transforma coordenadas retangulares em coordenadas polares: function[modulo, angulo] = polar1(x,y) % converte coordenadas retangulares em coordenadas polares % o angulo convertido em graus if nargin ~= 2 % testa o nmero de parmetros de entrada error(nmero de parmetros indevido) return end modulo = sqrt(x^2+y^2); k=180/pi; %constante para converter rad em graus angulo = k*atan(y/x) end Como fazer o help da funo?

As linhas de comentrio abaixo da primeira linha funcionam como o help da funo: help polar1 converte coordenadas retangulares em coordenadas polares o angulo convertido em graus Como testar o numero de parmetros de entrada da funo?

As variveis internas do Matlab, Nargin e Nargout, so variveis internas que armazenam o nmero de entradas e de sadas usadas na funo declarada no Matlab.

Para usar a funo no ambiente do MatLab deve-se digitar: x1 = 10; y1 = 10; [m , a] = polar(x1 , y1) m = 14.1421 a = 45

Deve-se notar que as variveis utilizadas na funo so variveis locais, ou seja s existem enquanto a funo executada. Os nomes das variveis usados na linha de comando no precisam ser os mesmos que os adotados no script da funo.




Aula 5 Comportamento Dinmico de Sistemas

Modelagem Exemplo 1: Sensores Exemplo 2: Atuadores Exemplo 3: Processos Modelagem O controle adequado de um sistema, que permite que a varivel de interesse (normalmente a varivel de sada) atenda critrios de desempenho estabelecidos a priori pelos projetistas, somente possvel aps o conhecimento do comportamento dinmico de cada uma das partes que o compe. A tarefa de modelagem, muitas vezes fundamental antes da etapa do projeto de controladores, consiste em descrever com base em leis fsicas um conjunto de equaes matemticas capaz de representar com fidelidade cada uma das partes do sistema. A combinao adequada destas equaes possibilita ao engenheiro de controle o perfeito entendimento do sistema funcionando de forma integrada. Descreve-se na seqncia, trs exemplos distintos relacionados com a modelagem de elementos que compe sistemas de controle de diferentes naturezas . Exemplo 1: Sensores Neste exemplo, apresenta-se a modelagem de um sensor de temperatura do tipo PT100. Trata-se de um resistor que varia sua resistncia de acordo com a temperatura a qual esta sujeito. Pela sua linearidade e baixo custo, este dispositivo largamente empregado com elemento sensor em diversos tipos sistema de controle de temperatura. Na tabela abaixo pode-se observar a variao de resistncia de um termoresistor do tipo PT100 em funo da temperatura.

Resistncia () Temperatura (oC) 100.0 0 100.1 1 100.2 2 100.3 3 100.4 4 100.5 5 100.6 6 100.7 7 100.8 8 100.9 9 101.0 10

: : : :

109.9 99 110.0 100

Tabela 1: Medidas caractersticas de um PT100.



Autores: Lus Fernando Alves P

Observando a Tabela 1, constata-se que o PT100 apresenta uma variao de 0.1/oC, na faixa de temperatura admitida. Desta forma, com base nos dados apresentados, pode-se dizer que a equao que descreve o comportamento da resistncia deste elemento a seguinte:

01 RTKR(T) += (5.1)

sendo (5.1) a equao de uma reta com coeficiente angular K1 (/oC) e R0 () a resistncia do PT100 a zero grau Celsius. Em nvel de diagrama de blocos, este elemento pode ser representado na forma apresentada na Figura 5.1.

Fig. 5.1: Bloco representativo do termoresistor do tipo PT100. O bloco apresentado acima descreve o comportamento do elemento primrio que ir compor o dispositivo de medida de temperatura. Normalmente, os sensores de um sistema de controle automtico fornecem em suas sadas valores de corrente ou tenso. Para o dispositivo anterior, comum utilizar-se um circuito de instrumentao para converter valores de resistncia em valores tenso. O circuito apresentado na figura abaixo pode ser empregado nesta tarefa.

Fig. 5.2: Circui

Para o circuito apresendo mesmo.

Temperatura Resistncia 0.1T+100 Elemento Primrio ereira & Jos Felipe Haffner 2

to de instrumentao do sensor de temperatura com PT100.

tado na Figura 5.2 entenda e explique o princpio bsico de funcionamento




O circuito da Figura 5.2 pode ser representado, em nvel de diagrama de blocos, na forma apresentada abaixo:

Fig. 5.3: Diagrama de blocos do sensor de temperatura tipo PT100.

Aps esta etapa de tratamento de sinal, obtm-se um sinal de tenso que varia proporcionalmente com a temperatura que o termoresistor submetido, i.e.

Tenso (V) Temperatura (oC) 0.0 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.5 5 0.6 6 0.7 7 0.8 8 0.9 9 1.0 10 : : : :

9.9 99 10.0 100

Tabela 2: Medidas caractersticas do sensor de temperatura.

Conforme pode-se observar, os dados apresentados na Tabela 2 apresentam uma relao linear entre as variveis tenso e temperatura, descrita pela equao (5.2)

TKV(T) 2= (5.2)

que a equao de uma reta com coeficiente angular K2 (V/oC).

Represente o diagrama de blocos que descreve o comportamento do sensor de temperatura conforme a equao (5.2).

Exemplo 2: Atuadores Dispositivos eletromecnicos so comumente empregados como atuadores em diversos tipos de sistemas de controle. Processos robotizados so exemplos clssicos de sistemas de controle que utilizam tais atuadores. Em braos robticos, comum que o movimento de cada uma de suas juntas seja efetuado por meio de servoatuadores eletromecnicos. Em fbricas com elevado nvel de automatizao o emprego

Temperatura R(T) Tenso(T) PT100 Circuito de Instrumentao




de veculos com capacidade de navegao autnoma vem se tornando cada vez mais comum. O movimento destes veculos s possvel porque existem motores eltricos acoplados em suas rodas. A Figura 5.3 mostra o rob de servio em desenvolvimento no Laboratrio de Automao e Controle da PUCRS.

Fig. 5.3: Rob de servio em desenvolvimento no LACS. No rob apresentado na figura acima, a movimentao das rodas dianteiras realizada por dois motores de corrente contnua controlados pela armadura. O motor de corrente contnua tem uma estrutura de controle muito simples, uma vez que o fluxo magntico constante produzido no enrolamento de campo ortogonal ao torque eletromagntico. Isto quer dizer que variaes no torque eletromagntico do motor no afetam o fluxo constante em seu campo. A equao que descreve o comportamento do torque eletromagntico do motor dada pela seguinte relao:

afae IKT = (5.3)

sendo Ka a constante de torque do motor, f o fluxo magntico do campo e Ia a corrente que circula pelo circuito de armadura do motor. O esquema eltrico utilizado na representao de um motor de corrente contnua controlado pela armadura apresentado na Figura 5.4.

Fig. 5.4: Representao esquemtica de um motor de corrente contnua com controle por armadura.



Autores: Lus Fernando Alves Pereira &

Neste exemplo observa-se uma relao entre dois sistemas fsicos de diferentes naturezas. Um de natureza eltrica e outro de natureza mecnica, interagindo entre si atravs de relaes eletromecnicas.

Fig. 5.5: Interao entre os modelos eltromagntico e mecnico. Para a parte eltrica, conforme pode-se constatar pela Figura 5.4 tem-se o seguinte equacionamento:

LaRaat VVEV += (5.4) onde Vt a tenso aplicada nos terminais de armadura do motor, Ea a fora contra eletromotriz, VRa queda de tenso na resistncia do enrolamento de armadura e VLa a queda de tenso associada a indutncia da armadura.

Reescreva a equao (5.4), relacionando as tenses na resistncia e na indutncia do enrolamento de armadura do motor DC com a corrente de armadura do mesmo. Neste caso, cite o conjunto de leis fsicas utilizadas neste equacionamento.

Para parte mecnica, tem-se o seguinte equacionamento:

BJmecnico TTT += (5.5) que relaciona o torque mecnico aos t e inrcia do rotor, representado na equao (5.5) por TJ, e a parcela de to e entre as partes fixas e mveis do rotor.

Reescreva a equao (5.5), relacionando as parcelas torque associadas ao momento de inrcia do rotor J e ao atrito viscoso B presente entre as partes fixas e mveis do rotor com a velocidade mecnica do mesmo.

As relaes entre os sistemas eletromagntico e mecnico ocorrem quando considera-se que o torque eletromagntico, apresentado na mecnico no eixo do rotor e a fora contra eletromotriz causada pela intera a armadura e do campo do motor diretamente proporcional a velocidade

Lens de Leietc.. Kirchhoff,

Ohm, de Leis

Magnticoe Eltrico

Sistema

NewtonianaMecnica da Leis

MecnicoSistema

equao (5.3), igual ao torque o entre os fluxos magnticos dmecnica do rotor, i.e. orques associados ao momento drque dissipada pelo atrito existent Jos Felipe Haffner 5

aTmecnico IKT = (5.6)

KE a = (5.7)




Desenhe o diagrama de blocos que represente as partes eltrica e mecnica do motor DC controlado pela armadura, descrevendo as variveis de sada e entrada de cada um dos blocos. Nesta representao deve, necessariamente, estar representado os blocos que relacionam as partes eltricas e mecnicas destes sistemas.

Exemplo 3: Processos O exemplo de modelagem de processos ser dividido em dois casos distintos; o primeiro trata-se da modelagem de um processo linear constitudo por dois tanques onde descreve-se matematicamente o comportamento dinmico da coluna de lquido em cada um deles em relao ao fluxo de lquidos que entram e saem instantaneamente dos mesmos. A Figura 5.6 ilustra cada uma das partes do processo em questo.

Fig. 5.6: Representao dos dois tanques interligados.

Neste caso ser admitido como linear a relao entre as vazes Q1(t) e Q2(t) e as respectivas alturas das colunas de lquido existente em cada um dos tanques, sendo vlidas as seguintes relaes:

1

211 R

(t)H(t)H(t)Q

= (5.8)

2

22 R

(t)H(t)Q = (5.9)

sendo R1 e R2 constantes que representam a resistncia aos fluxos Q1(t) e Q2(t), dependentes da posio de ajuste das vlvulas C1 e C2. Admitindo Qi(t) como sendo a vazo de lquido que alimenta o primeiro tanque configurando-se em uma entrada externa, segue a seguinte relao:

(t)Q(t)Qdt

(t)HdAdt

(t)dV1i

111== (5.10)

(t)Q(t)Qdt

(t)HdAdt

(t)dV21

222== (5.11)

ou ainda, relacionando as variveis Q1(t) e Q2(t) com as alturas de lquido em cada um dos tanques, rescreve-se (5.10) e (5.11) na seguinte forma:

=

1

21i

11 R

(t)H-(t)H(t)Q

dt(t)dH

A (5.12)



Autores: Lus Fernando Alves Pereira & Jo

2

2

1

2122 R

(t)HR

(t)H-(t)Hdt

(t)dHA

= (5.13)

onde A1 e A2 representam as reas das superfcies de cada um dos tanque eradas uniformes. Observe que as equaes (5.12) e (5.1 diferenciais line primeira ordem invariantes no tempo.

Porque as equaes apresentadalineares de primeira ordem inconsideradas variantes no tempo?equaes diferenciais invariantes

Fig. 5.7: Diagrama

Em nvel de simulao, o procesdiagrama esquemtico apresentado na Figuresulta da simples interpretao das equa

Equaes diferenciais lineares itransformadas de Laplace. A teoria desenvequaes algbricas para resolver equatransformada de Laplace dada na equao

)(sF

e sua utilizao na soluo de equaesesquematizados no diagrama de blocos apre

Fig. 5.8: Esquema para soluo de eq

1 O Simulink um programa de simulao dprograma MatLab.

Equaes Diferenciais Lineares Invariantes

no Tempo 3) so equaes s F

s em (5.12) e (5.13) so chamadas de equaes diferenciais var empo? Em que caso estas equaes seriam D de processos cujo comportamento descrito por e v mpo.

de

sora es (

nvaolves a s

=

dsen

ua

e s

Tiantes no te exemplos ariantes no teelipe Haffner

simulao para o processo anteri

equacionado anteriormente pode5.7. Este diagrama de simulao, 5.12) e (5.13). .

riantes no tempo so facilmeida por Laplace permite empregadiferenciais lineares invariantes eguir

{ })()(0

tfLdtetf st =

iferenciais lineares invariantes ntado abaixo:

es diferenciais empregando trans

istemas dinmicos que trabalha e

ransformada deLaplace

Condies Iniciais

Ts, considares de 7

or.

ser realizado conforme o desenvolvido em Simulink1,

nte resolvidas empregando r mtodos para solues de no tempo. A definio de

(5.14)

o tempo segue os passos

formadas de Laplace.

m conjunto com o

ransformada Inversa de Laplace

Soluo Temporal




Outra vantagem associada ao emprego da transformada de Laplace a possibilidade de usar tcnicas grficas para esboar o comportamento previsto do processo sem a necessidade da soluo analtica de equaes diferenciais lineares invariantes no tempo que o descrevem. Com base no esquema proposto na Figura 5.8, uma vez descrito o comportamento do processo que se deseja modelar por um conjunto de equaes diferenciais lineares invariantes no tempo, no caso do exemplo anterior as equaes (5.12) e (5.13), o prximo passo seria a obteno da transformada de Laplace de cada uma destas equaes. Tal tarefa realizada com base no teorema apresentado a seguir: Teorema 5.1: Derivao Real A transformada de Laplace da derivada de uma funo f(t) dada por

)0()()( fssFtfdtdL =

(5.15)

onde f(0) o valor inicial de f(t) calculado em t=0. A prova deste teorema feita diretamente com base na definio de transformada de Laplace apresentada em (5.14).

Prove que a igualdade estabelecida na equao (5.15) se verifica. Dica: Derive por partes a equao (5.14).

A generalizao de (5.15) para o caso de derivada de ordem n de f(t), obtida de modo similar e dada pela seguinte equao:

1221 )0()0()0()0()()(

=

nnnnnn

ffsfsfssFstfdtdL (5.16)

onde 12)0(,)0(,),0(),0(

nnffff so as derivadas temporais sucessivas de f(t) avaliadas em t=0.

Prove que a igualdade estabelecida na equao (5.16) se verifica.

Dica: Considere )()( tgtfdtd

= repetindo o procedimento empregado na prova de (5.15), porm

considerando agora

)(tgdtdL .

Para o processo descrito pelas equaes (5.12) e (5.13), admita como sendo nulas todas as condies iniciais e obtenha as seguintes relaes:

H2(s)/H1(s); H2(s)/Qi(s); H1(s)/Qi(s).




Observe que para resolver o problema proposto acima todas as derivadas temporais apresentadas nas equaes (5.12) e (5.13) devem ser substitudas pelo operador s, estabelecendo-se a equivalncia (5.17) entre os domnios tempo e freqncia.

dtds (5.17)

Da mesma forma que se estabelece equivalncia entre domnios para operao de derivao, existe tambm uma equivalncia entre os domnios tempo e freqncia para operao de integrao, conforme (5.18).

t

dts

0

1 (5.18)

Observe o diagrama de simulao apresentado na Figura 5.7. Com base no exposto at este ponto, entenda e explique cada uma das partes do referido diagrama, observando se o mesmo reflete a dinmica do processo descrito em (5.12) e (5.13).

No problema em que foi proposto a determinao das relaes H2(s)/H1(s), H2(s)/Qi(s) e H1(s)/Qi(s), observe que todas estas relaes resultam em cocientes de polinmios em s, que uma varivel complexa constituda por uma parte real e por uma parte imaginria, i.e.,

js += (5.19) Desta forma, cada uma das relaes descritas anteriormente possuem uma parte real e outra parte

imaginria, ou seja:

y1x1112 jGG)s(G:)s(H/)s(H +== (5.20)

y2x22i2 jGG)s(G:)s(Q/)s(H +== (5.21)

y3x33i1 jGG)s(G:)s(Q/)s(H +== (5.22)

onde Gix , i=1,2,3 representa a parte real e jGiy , i=1,2,3 representa as partes imaginrias de cada uma destas funes. Cada uma destas funes tambm pode ser representada em coordenadas polares sendo caracterizadas por um mdulo dado por

2iy

2ix GG + (5.23)

e um argumento angular dado por )G/G(tan ixiy

1 (5.24)

Diz-se que uma funo complexa genrica G(s) analtica em uma regio do plano s se G(s) e as suas derivadas sucessivas existem para todo ponto pertencente a esta regio. Pontos do plano s nos quais G(s) analtica so chamados de pontos ordinrios, enquanto os pontos do plano s em que a funo G(s) no analtica so chamados de pontos singulares. Pontos singulares nos quais G(s) tendem ao infinito so ditos plos de G(s). Pontos nos quais G(s) apresenta valor nulo so chamados de zeros de G(s). Para exemplificar, considere a seguinte funo complexa G(s):

( )( )( )( )( )215s5s1ss

10s2s)s(G+++

++= (5.25)




Para a funo complexa apresentada em (5.25) determine quantos e quais so os zeros e os plos, seguindo a definio apresentada anteriormente.

Funes de varivel complexa do tipo apresentado em (5.20), (5.21), (5.22) e (5.25) so freqentemente empregadas para descrever a relao existente entre variveis de entrada e sada de blocos que compe sistema de controle cujo comportamento dinmico representado por equaes diferenciais lineares e invariantes no tempo. Tais funes so denominadas funes de transferncia.

Procure na bibliografia indicada a definio de funo de transferncia. Para o exemplo apresentado na Figura 5.4, do motor de corrente contnua controlado por armadura, determine as funes de transferncia do bloco relativo a parte eltrica Ia(s)/E(s), da parte mecnica (s)/(s), e a funo de transferncia completa (s)/Va(s) e (s)/Va(s).

Procure na bibliografia indicada um outro tipo de sistema de controle. Desenhe o diagrama de blocos completo a partir do conjunto de equaes diferenciais que definem o sistema.. Determine a funo de transferencia entre o sinal de entrada e o sinal de sada do sistema.




Aula 5 Anexo: Diagrama de blocos

Introduo lgebra de Diagrama de blocos Exerccio IInnttrroodduuoo O diagrama de blocos construdo a partir das equaes que descrevem um determinado sistema. Um diagrama de blocos de um sistema uma representao das funes desempenhadas por cada componente e do fluxo de sinais. Este diagrama indica a inter-relao que existe entre os vrios componentes. Em um diagrama de blocos todas as variveis do sistema so ligadas s outras atravs da relao entre a entrada e sada dos blocos. Esta relao chamada de funo de transferncia. Para sistemas lineares vantajoso estabelecer esta relao em freqncia. lgebra de Diagrama de blocos PPaarraa aannaalliissaarr oo ccoommppoorrttaammeennttoo ddee uumm ssiisstteemmaa iinntteerreessssaannttee eessttaabbeelleecceerr rreellaaeess eennttrree aass vvaarriiaass vvaarriivveeiiss ddeessttee ssiisstteemmaa.. IIssttoo ppooddee sseerr oobbttiiddoo ppoorr ssuubbssttiittuuiioo ddaass vvaarriivveeiiss iinntteerrmmeeddiirriiaass,, nnaass eeqquuaaeess qquuee ddeessccrreevveemm oo ssiisstteemmaa,, ddee ffoorrmmaa qquuee rreessuullttee uummaa eexxpprreessssoo qquuee rreellaacciioonnee ddiirreettaammeennttee aass vvaarriivveeiiss ddee iinntteerreessssee.. UUmmaa oouuttrraa mmaanneeiirraa ddee eessttaabbeelleecceerr eessttaa rreellaaoo aattrraavvss ddaa ssiimmpplliiffiiccaaoo ddoo ddiiaaggrraammaa ddee bbllooccooss.. AA rreeggrraa pprriinncciippaall nnoo aalltteerraarr aa rreellaaoo eennttrree aass vvaarriivveeiiss ddee eennttrraaddaa ee ssaaddaa ddooss bbllooccooss qquuee ssee qquueerr ssiimmpplliiffiiccaarr..

CCoonnffiigguurraaeess BBssiiccaass

G1 G2A AG1 AG1G2

AG1G2

AG1G2

CCoonneeccccoo ddee bbllooccooss eemm ssrriiee FFuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa eeqquuiivvaalleennttee

G1

G2

A

AG1

AG1 + AG2

AG2

+

+

AG1 + G2

AG1 + AG2

CCoonneeccccoo ddee bbllooccooss eemm ppaarraalleelloo FFuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa eeqquuiivvaalleennttee

TTaabb.. 55aa..11:: SSiisstteemmaass eemm sseerriiee ee eemm ppaarraalleelloo..




A AG - BG+

-B

G

H

A - B

G sG s H s

( )( ) ( )1+

A AG-BG

CCoonneeccoo ddee bbllooccooss eemm mmaallhhaa ffeecchhaaddaa FFuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa eeqquuiivvaalleennttee

((FFuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa ddee mmaallhhaa ffeecchhaaddaa))

TTaabb.. 55aa..22:: SSiisstteemmaass ccoomm rreeaalliimmeennttaaoo..

MMoovviimmeennttoo ddoo bbllooccoo eemm rreellaaoo aa uumm ssoommaaddoorr

GA

AGAG - B+

-B

GA AG - B+

-

B

1 G

G

IInnsseerriirr oo bbllooccoo ddeennttrroo ddaa mmaallhhaa ccoomm ssoommaaddoorr..

GAG AG - BG+

-B

G

A AG - BG+

-

B

G

RReettiirraarr oo bbllooccoo ddeennttrroo ddaa mmaallhhaa ccoomm ssoommaaddoorr..

TTaabb.. 55aa..33:: MMoovviimmeennttoo ddoo bbllooccoo eemm rreellaaoo aa uumm ssoommaaddoorr..




MMoovviimmeennttoo ddoo bbllooccoo eemm rreellaaoo aa uumm ppoonnttoo ddee jjuunnoo

A AGG

AG

A AGG

AGG

MMoovviimmeennttaarr oo bbllooccoo ppaarraa ddeennttrroo ddoo ppoonnttoo ddee jjuunnoo..

A AGG

A

1 G

A AG

A

G

MMoovviimmeennttaarr oo bbllooccoo ppaarraa ffoorraa ddoo ppoonnttoo ddee jjuunnoo..

TTaabb.. 55aa..44:: MMoovviimmeennttoo ddoo bbllooccoo eemm rreellaaoo aa uumm ppoonnttoo ddee jjuunnoo..

Exerccio

Para exercitar a lgebra de diagrama de blocos ser analisado o exemplo do processo linear constitudo por dois tanques mostrado na Figura 55aa..11. As equaes que descrevem o comportamento do processo encontra-se na Aula 5. Na Figura 55aa..22 apresentada uma representao em blocos deste processo, considerando como a varivel de entrada a vazo Qi e como varivel de sada a vazo Q2

FFiigg.. 55aa..11:: Representao dos dois tanques interligados.




Qi +-

+

-

+-

H1 H2

Q1 Q2 1 A1s

1 A2s

1 R1

1 R2

FFiigg.. 55aa..22:: DDiiaaggrraammaa ddee bbllooccooss ddoo pprroocceessssoo ddaa FFiigg.. 55aa..11..

UUttiilliizzaannddoo oo mmttooddoo ddee ssuubbssttiittuuiioo ddee vvaarriivveeiiss,, oobbttmm--ssee aappss aallgguumm ttrraabbaallhhoo aa ffuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa qquuee rreellaacciioonnaa QQii ccoomm QQ22,, ii.. ee..

1)(1

)()(

2221112

1212

2

++++=

sRARARAsRRAAsQsQ

i

((55aa..11))

AA mmeessmmaa ffuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa ppooddee sseerr oobbttiiddaa ppeellaa ssiimmpplliiffiiccaaoo ssuucceessssiivvaa ddoo ddiiaaggrraammaa ddee bbllooccooss ddaa FFiigg.. 55aa..2211..

11 PPaassssoo:: MMoovviimmeennttaaoo ddoo bbllooccoo 11//RR22..

Qi +-

+

-

+-

H1 H2

Q1 Q2 1 A1s

1 A2s

1 R1

1 R2

Qi +-

+

-

+-

H1

R2

Q1 Q2 1 A1s

1 A2s

1 R1

1 R2

R2

FFiigg.. 55aa..33:: 11 ppaassssoo ddaa ssiimmpplliiffiiccaaoo ddoo ddiiaaggrraammaa ddee bbllooccooss..

1 Os blocos que so relacionados com o processo de simplificao so destacados nas Figuras 55aa..33 a 55aa..77.




22 PPaassssoo:: RReeuunniioo ddooss bbllooccooss eemm ssrriiee ((11//AA22 ss)) ee ((11//RR22)) nnuumm nniiccoo bbllooccoo..

FFuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa eemm mmaallhhaa ffeecchhaaddaa eennttrree QQ22 // QQ11 ..

Qi +-

+

-

+-

H1

R2

Q1 Q2 1 A1s

1 A2s

1 R1

1 R2

R2

Qi-

++-

H1

R2

Q1 Q2 1 A1s

1 R1

R2

1 A2R2 s + 1


33 PPaassssoo:: PPaassssaaggeemm ddoo bbllooccoo QQ22 // QQ11 ppaarraa ddeennttrroo ddoo ppoonnttoo ddee jjuunnoo..

Qi-

++-

H1

R2

Q1 Q2 1 A1s

1 R1

R2

1 A2R2 s + 1

A2R2 s + 1





44 PPaassssoo:: RReeuunniioo ddooss bbllooccooss eemm ssrriiee ((11//RR11)) ee ((QQ22 // QQ11)) nnuumm nniiccoo bbllooccoo..

FFuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa eemm mmaallhhaa ffeecchhaaddaa eennttrree QQ22 // HH11 ..

Qi-

++-

H1

R2

Q1 Q2 1 A1s

1 R1

R2

1 A2R2 s + 1

A2R2 s + 1

Qi-

+H1

Q2 1 A1s

1 A2R2 R1 s + R1 + R2

A2R2 s + 1

FFiigg.. 55aa..66:: 44 ppaassssoo ddaa ssiimmpplliiffiiccaaoo ddoo ddiiaaggrraammaa ddee bbllooccooss

55 PPaassssoo:: RReeuunniioo ddooss bbllooccooss eemm ssrriiee ((11//AA11 ss)) ee ((QQ22 // HH11)) nnuumm nniiccoo bbllooccoo..

FFuunnoo ddee ttrraannssffeerrnncciiaa eemm mmaallhhaa ffeecchhaaddaa eennttrree QQ22 // QQii ..

Qi-

+H1

Q2 1 A1s

1 A2R2 R1 s + R1 + R2

A2R2 s + 1




Qi Q2 1 A2 A1R2 R1 s2 +(A1R1+ A1R2 + A2R2) s + 1

FFiigg.. 55aa..77:: 55 ppaassssoo ddaa ssiimmpplliiffiiccaaoo ddoo ddiiaaggrraammaa ddee bbllooccooss

A representao de diagrama de blocos da Fig. 55aa..11, no nica . Por exemplo, se objetivo relacionar a vazo de entrada Qi com a altura do tanque 1, mais interessante utilizar o diagrama de blocos da Fig. 55aa..88 no lugar do diagrama de blocos da Fig. 55aa..22. Observe que tanto a Fig. 55aa..22 como a Fig. 55aa..88 representam o mesmo processo.

Encontre a funo de transferncia H1(s) / Qi(s) utilizando a lgebra de blocos no diagrama de blocos da Fig. 55aa..88.

-

+

-

+

-

H1

H2

Q1

Q2

1 A1s

1 A2s

1 R1

1 R2

+

FFiigg.. 55aa..88:: DDiiaaggrraammaa ddee bbllooccooss aalltteerrnnaattiivvoo ddoo pprroocceessssoo ddaa FFiigg.. 55aa..11..



Aula 6 Determinao da Resposta Temporal Diagrama de Plos e Zeros

Transformada Inversa de Laplace

Mtodo das fraes parciais

Teoremas do Valor Inicial e Final

Exerccios

Diagrama de Plos e Zeros A anlise de sistemas lineares invariantes no tempo no domnio da freqncia atravs de funes transferncia apresenta vrias vantagens. Uma destas vantagens relaciona-se a possibilidade que o engenheiro ou projetista tem de avaliar qualitativamente o comportamento do sistema em questo, apenas com base nos plos e nos zeros da funo de transferncia do mesmo. Tal anlise feita atravs do posicionamento dos plos e dos zeros no plano complexo s1. Consideremos ento, o sistema linear apresentado na Figura(6.1), onde U(s) representa o sinal de entrada, Y(s) o sinal de sada e G(s) a funo de transferncia apresentada abaixo:

4s1s

2s)s(G

(6.1)

U(s)G(s)

Y(s)

Fig. 6.1: Representao de um sistema linear invariante no tempo.

A funo de transferncia (6.1) apresenta um zero finito, z1=-2, e dois plos, p2=-1 e p3=-4. O diagrama de plos e zeros deste sistema apresentado na Figura (6.2) apresentada abaixo:

-4 -2 -1

Plano s

j

Fig. 6.2: Diagrama de plos e zeros relativo a funo de transferncia (6.1).

1 Essa analise ser desenvolvida na apostila aula7: Anlise de Sistemas de 1.a e 2.a Ordem.

Professores: Lus Fernando Alves Pereira & Jos Felipe Haffner 1



Transformada Inversa de Laplace O sinal de sada Y(s) obtido pelo simples produto entre o sinal de entrada u(s) e a funo de transferncia G(s), i.e.,

)s(U)s(G)s(Y (6.2)

A resposta temporal y(t) de um sistema linear descrito pela funo de transferncia G(s) e alimentado por um sinal de entrada U(s) dada pela transformada inversa de Laplace da equao (6.2), i.e.,

)s(YL)s(U)s(GL)t(y 11 (6.3)

Matematicamente, a transformada inversa de uma funo no domnio da freqncia dada pela seguinte expresso:

)s(FL:dse)s(Ff(t) 1jc

jc

st

(6.4)

onde c uma constante real maior do que as partes reais de todos os pontos singulares da F(s). Muitas vezes, para a determinao da transformada inversa de Laplace, utiliza-se resultados j existentes em tabelas que apresentam a funo no domnio tempo e sua equivalente no domnio da freqncia. As relaes mais utilizadas esto expostos na Tabela 6.1. De forma complementar, a Tabela 6.2 apresenta a representao grfica, a descrio no domnio tempo e no domnio freqncia de alguns sinais de entrada utilizados na analise de sistemas de controle.

f(t) para t0 F(s)

0t0t 0

)t(

1

0t10t 0

)t(u s1

t 2

1s

atket 1kas

!k

tsen 22

s

tcos 22

ss

t sene ta 22as

t cose ta 22as

as

Tab. 6.1: Relaes entre algumas funes nos domnios tempo e freqncia.




Grfico Nome f(t) F(s)

Degrau

)t(u

s1

Rampa

)t(ut

2s1

Parbola

)t(u2

t2

3s1

Senoidal

)t(u)tsen( : freqncia [rad/s]

22s

Tab. 6.2: Relao de alguns sinais de entrada empregados em sistemas de controle.

O processo descrito pela funo de transferncia (6.1), conforme representado na Figura 6.1, quando excitado com um sinal de entrada do tipo degrau unitrio, apresenta a seguinte resposta analtica determinada atravs do mtodo das fraes parciais:

4s

C1s

BsA

s1

4s1s2s)s(U)s(G)s(Y

(6.5)

Observe que cada um dos plos da funo de transferncia (6.1) aparece como sendo uma frao especfica da equao (6.5). Este procedimento deveras conveniente, pois basta determinar os coeficientes A, B e C de (6.5) e, na seqncia, determinar a transformada inversa de cada um dos termos individualmente. Os coeficientes A, B e C so determinados de forma simples atravs do seguinte procedimento:

5.0A2s)4s)(1s(A 0s (6.6)

3/1B2s)4s)(s(B 1s (6.7)

6/1C2s)1s)(s(C 4s (6.8) Uma vez determinado todos os coeficientes apresentados em (6.5), aplica-se a transformao inversa de Laplace para obteno da resposta temporal da varivel de sada do processo, y(t).




Observando a Tabela 6.1, uma vez calculados cada um dos coeficientes de (6.5), pode-se facilmente determinar a resposta temporal da varivel de sada do processo representado na Figura 6.3, admitindo como sinal entrada um degrau unitrio, i.e.

t4t e61e

31

21)t(y (6.9)

O comportamento temporal da varivel y(t), equacionada em (6.9) apresentado na Figura 6.3.

Fig. 6.3: Resposta temporal de cada uma das parcelas da equao (6.9).

Observe que a equao (6.9) composta de trs parcelas distintas, cada qual resultante da transformada inversa de Laplace de cada uma das parcelas da equao (6.5). Identifique na Figura 6.3 a resposta temporal da varivel de sada do processo y(t), assim como a resposta temporal de cada uma das parcelas da equao (6.9), quando este sujeito a um degrau unitrio em sua entrada, considerando . 0)0( e 0)0( ,0)0( yyy

Mtodo das fraes parciais

Para apresentar o mtodo para extrair a resposta temporal de um sistema linear invariante no tempo, usando diretamente o sinal de sada no domnio freqncia, so apresentados trs exemplos. 1 Caso: Sistema com plos reais distintos Um sistema linear invariante no tempo descrito pela equao diferencial, apresentada na equao (6.10), determinar a resposta temporal y(t), considerando que o sinal de entrada do tipo degrau unitrio e

0)0(y e 0)0(y ,0)0(y .

)t(u75)t(y75)t(y20)t(y (6.10)

Emprega-se o teorema da derivao real, para reescrever a equao 6.10 no domnio freqncia, i..,

)s(U75)s(Y75)0(y20)s(sY20)0(y)0(sy)s(Ys2 (6.11)




Como as condies iniciais so consideradas nulas, a equao 6.11 pode ser simplificada,

)s(U75)s(Y75)s(sY20)s(Ys2 (6.12)

A partir da equao 6.12 possvel obter a funo de transferncia G(s) que relaciona a varivel de sada Y(s) com a varivel de entrada U(s). Nota-se que a funo de transferncia G(s) apresenta dois plos reais localizados em -5 e -15.

)15s)(5s(2

75s20s75

)s(U)s(Y)s(G 2

(6.13)

Utilizando a equao 6.2 e convertendo o sinal de entrada para o domnio da freqncia (Tabela 6.2), determina-se a resposta analtica no domnio freqncia em fraes parciais, i.e.,

15sC

5sB

sA

s1

75s20s75)s(U)s(G)s(Y 2

(6.14)

Inicialmente aplica-se o mnimo mltiplo comum na equao 6.14 resultando em:

5sCs15sBs15s5sA75 (6.15)

Para determinar o coeficiente A, substituir s = 0 na equao 6.15

1A500C1500B15050A75 (6.16)

Para determinar o coeficiente B, substituir s = -5 na equao 6.15

2/3B555C1555B15555A75 (6.17)

Para determinar o coeficiente C, substituir s = -15 na equao 6.15

2/1C51515C151515B1515515A75 (6.18)

Uma vez determinado todos os coeficientes apresentados em (6.14), aplica-se a transformao inversa de Laplace para obteno da resposta temporal da varivel de sada do processo, y(t).

t15t5 e21e

231)t(y (6.19)

Traar o grfico da resposta temporal y(t) da equao 6.19 considerando o tempo variando de 0 a 2 segundos . Observao: Para traar o grfico no Matlab, execute os seguintes comandos:




2 Caso: Sistema com plos reais mltiplos Um sistema linear invariante no tempo descrito pela equao diferencial, apresentada na equao (6.20), determinar a resposta temporal y(t), considerando que o sinal de entrada do tipo degrau unitrio e

0)0(y e 0)0(y ,0)0(y .

)t(u100)t(y100)t(y20)t(y (6.20)


)s(U100)s(Y100)0(y20)s(sY20)0(y)0(sy)s(Ys2 (6.21)


(6.22) )s(U10)s(Y100)s(sY20)s(Ys2

A partir da equao 6.22 possvel obter a funo de transferncia G(s) que relaciona a varivel de sada Y(s) com a varivel de entrada U(s). Nota-se que a funo de transferncia G(s) apresenta dois plos reais localizados em -10.

)10s)(10s(100

100s20s100

)s(U)s(Y)s(G 2

(6.23)


10sC

10sB

sA

s1

100s20s100)s(U)s(G)s(Y 22

(6.24)


10sCsBs10sA100 2 (6.25)

Para determinar o coeficiente A, substituir s = 0 na equao 6.25

1A1000C0B100A100 2 (6.26)

Para determinar o coeficiente B, substituir s = -10 na equao 6.25

10B101010C10B1010A100 2 (6.27)

Para determinar o coeficiente C, devido a multiplicidade de plos existente, no basta substituir o valor do plo na equao 6.25 pois resultaria novamente na equao 6.27 que encontra o coeficiente B. Portanto quando h plos mltiplos de mesmo valor aplica-se a equao 6.28 para determinar os coeficientes restantes.

r,1,2,i ps)s(Y

s!1i1

ps

i1i

dd -1i (6.28)

onde, r representa a quantidade de plos mltiplos iguais, i representa o ndice do coeficiente e p o valor dos plos mltiplos. Para o exemplo acima, i=2, r =2 e p = 10 pois existem dois plos em 10 na funo de transferncia da equao 6.23 e o primeiro coeficiente j foi calculado em (6.27). Logo o coeficiente C calculado substituindo esses valores na equao 6.28.




1C

s100

s100

s10s

10ss100

sC

10s2

10s10s

22

dd

dd (6.29)

Uma vez determinado todos os coeficientes apresentados em (6.24), aplica-se a transformao inversa de Laplace para obteno da resposta temporal da varivel de sada do processo, y(t).

t10t10 ete101)t(y (6.30)


3 Caso: Sistema com plos complexos Um sistema linear invariante no tempo descrito pela equao diferencial, apresentada na equao (6.31), determinar a resposta temporal y(t), considerando que o sinal de entrada do tipo degrau unitrio e.

0)0(y e 0)0(y ,0)0(y .

)t(u200)t(y200)t(y20)t(y (6.31)


)s(U200)s(Y200)0(y20)s(sY20)0(y)0(sy)s(Ys2 (6.32)


)s(U200)s(Y200)s(sY20)s(Ys2 (6.33)

A partir da equao 6.33 possvel obter a funo de transferncia G(s) que relaciona a varivel de sada Y(s) com a varivel de entrada U(s). Nota-se que a funo de transferncia G(s) apresenta um par de plos complexos localizados em . 10j10

222 1010s200

)10j10s)(10j10s(200

200s20s200

)s(U)s(Y)s(G

(6.34)





222 1010sCBs

sA

s1

200s20s200)s(U)s(G)s(Y

(6.35)


sCBs1010sA200 22 (6.36) Para determinar o coeficiente A, substituir s = 0 na equao 6.36

1A0C0B10100A200 22 (6.37) Para determinar os coeficientes B e C, substituir s = -10 + j10 ou s = -10 - j10 na equao 6.36

10j10CB10j10101010j10A200 22 (6.38) Simplificando a equao 6.38, tm-se

B200C10jC10200 (6.39)

Como a equao 6.39 complexa, para encontrar os coeficientes B e C necessrio revolver um sistema de duas equaes reais , uma contendo a parte real e a outra a parte imaginaria da equao (6.39).

20C1B

B200C100C10200

(6.40)

Substituindo os coeficientes encontrados na equao 6.35 e ajustando os termos das fraes parciais, de forma a empregar diretamente a Tabela 6.1 para converter o sinal do domnio freqncia para o domnio tempo.

222222 1010s10s

1010s10

s1

1010s20s

s1)s(Y

(6.41)

Finalmente, aplica-se a transformao inversa de Laplace na equao (6.41) para obter-se a resposta temporal da varivel de sada do processo, y(t).

t10t10e1t10et10e1)t(y t10t10t10 cossencossen (6.42)





A funo step do Matlab mostra o grfico da resposta temporal y(t) para uma entrada do tipo degrau empregando diretamente a funo de transferencia G(s). Use a funo step para verificar se as respostas temporais analticas obtidas pela aplicao do mtodo das fraes parciais, admitindo uma entrada do tipo degrau unitrio e condies iniciais nulas, so corretas. Para verificar se a resposta temporal y(t) da equao 6.42 efetivamente correta, execute os seguintes comandos:

Considere o processo apresentado igura 6.4, sujeito a um sinal de entrada do tipo degrau unitrio:

Fig. 6.4: Proc

Faa as seguintes tarefas considerand

No primeiro caso consid: 0)0( e 0)0( ,0)0( yyy

- Desenhe o diagrama de plo- Obtenha analiticamente a r

suas derivadas temporais (y- Com base na resposta anal

comportamento de cada uma- Utilize a funo step do Ma

No segundo caso considerar b0=os itens anteriores.

No terceiro caso admitir b0=0 edos itens anteriores e - Avalie as diferenas encon

considera o efeito das condconsidera as condies inici

- Qual o efeito das condie

Compare, para cada caso aprescom os grficos das respostas te

Y(s)U(s) zsb 10

Professores: Lus Fernando Alves Pereira & Jo na F

esso excitado por um degrau unitrio.

o trs casos distintos.

erar b0=1 e z1=0, admitindo condies iniciais

s e zeros; esposta temporal da varivel de sada do processo y(t) e de

; )( e ) tyt tica determinada no item anterior, obtenha graficamente o destas variveis empregando o Matlab.

tlab para comparar com o grfico obtido no item anterior.

1 e z1=2 e supor ainda . Repita 0)0( e 0)0( ,0)0( yyy

z1=2 com , repetindo cada um 1)0( e 1)0( ,1)0( yyy

tradas entre no grfico obtido da resposta analtica, que ies iniciais, e o grfico obtido utilizando a funo step que ais nulas. s iniciais na resposta temporal?

entado, as diferenas encontradas nas expresses analticas mporais.

4s1s

s Felipe Haffner 9



Teoremas do Valor Final e Inicial Os teoremas do valor final e inicial so utilizados para determinar, sem o clculo prvio da resposta temporal de uma funo genrica representada no domnio freqncia F(s), os valores iniciais e finais que a funo f(t), transformada inversa de Laplace de F(s), assumir no domnio do tempo. Teorema do valor final

O teorema do valor final poder ser empregado se dt

tdftf )( e )( forem funes transformveis por

Laplace e se existir. Nestes casos, a igualdade estabelecida na equao (6.43) vlida, i.e. )(lim tft

)s(sFlim)t(flim0st

(6.43)

Prova: A prova do teorema do valor final decorrncia direta do teorema da derivao real, ou seja

)0(f)s(sFlimdtedt

)t(dflim0s

0

st

0s

(6.44)

Avaliando-se o lado esquerdo da igualdade estabelecida em (6.44), conclui-se que

)0(f)s(sFlimdtdt

)t(df0s

0

(6.45)

ou ainda

)0(f)s(sFlim)0(f)(f0s

(6.46)

provando-se a igualdade estabelecida em (6.43), uma vez que . )(f)t(flimt

Teorema do valor inicial

O teorema do valor inicial til para determinao do valor que f(t) assume em um instante de tempo imediatamente superior a zero, t=0+. O teorema do valor inicial poder ser empregado se

dttdftf )( e )( forem funes transformveis por Laplace e se existir. Nestes casos, a igualdade

estabelecida na equao (6.47) vlida, ou seja

)(lim ssFs

)(lim)0( ssFfs

(6.47)

Prova: A prova deste teorema tambm decorrncia direta do teorema da derivao real. Neste caso

)0()(lim)(lim0

fssFdtedt

tdfs

sts

(6.48)

Avaliando-se o lado esquerdo de (6.48), para s, conclui-se que

0)0()(lim

fssFs

(6.49)

resultando em que , conforme estabelecido em (6.47). )(lim)0( ssFfs




Para exemplificar a utilizao dos dois teoremas enunciados anteriormente, considera-se o segundo caso apresentado para o processo da Fig. 6.4. Neste caso, sero determinados os valores iniciais e finais da varivel de sad

analise de sistemas de controle

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