analise de sinais e sistemas

1 Roteiro de Estudo

Análise de sinais e sistemas: a análise de Fourier

Marcelo Lucas

Objetivos

Roteiro de Estudo 1

Ao concluir a leitura e a refl exão sobre os principais tópicos deste roteiro, esperamos que você esteja apto(a) a:

− estabelecer a base teórica e ferramental analítico para o estudo de sistemas de comunicação e controle;

− defi nir, bem como, desenvolver o conceito de resposta em frequência de sistemas lineares invariantes no tempo;

− praticar as ferramentas matemáticas de análise de sinais no domínio da frequência.

Considerações iniciais

Caro(a) aluno(a)!

É chegado o momento de você receber mais um roteiro de estudo. Este material faz parte de um conjunto de dois roteiros de estudo que guiará os seus passos no desenvolvimento das atividades não presenciais do componente “Análise de Sinais e Sistemas”, do Curso de Engenharia Elétrica, da Universidade de Uberaba. Aqui, você encontrará o conteúdo básico a respeito da Análise de Fourier, muito utilizada no estudo de sinais e sistemas nas diversas áreas da Engenharia Elétrica.

Inicialmente, será feita uma breve abordagem sobre sinais e sistemas. Em seguida, será tratada a “Série de Fourier”, utilizada no estudo dos sinais periódicos. Finalizando, abordaremos a “Transformada de Fourier”, ferramenta utilizada na análise dos sinais não periódicos.

São muitas as aplicações que utilizam a análise do espectral como ferramenta de projeto. A base desses estudos está no fato de que os sinais contínuos são formados por um número infi nito de harmônicos, isto é, um somatório de sinais cossenoidais. Tal ideia surgiu das observações feitas por Pitágoras das vibrações produzidas por fi os, dando início ao estudo dos harmônicos.

Através desse trabalho, você, aluno do curso de Engenharia Elétrica, compreenderá os conceitos essenciais envolvidos no estudo dos sistemas baseados em análises espectrais. Sugiro que, ao ler o conteúdo proposto, você faça uma síntese das principais difi culdades encontradas no desenvolvimento dessa atividade de aprendizagem. Tais difi culdades servirão para uma posterior discussão entre todos os envolvidos no processo ensino aprendizagem, alunos, preceptor, tutor web e professores.

2 Roteiro de Estudo

Gostaria de ressalvar que os assuntos aqui abordados encontram se integralmente tratados com profundidade na bibliografi a básica e serão por meio das leituras obrigatórias propostas neste roteiro que você consolidará seus conhecimentos necessários à sua formação.

De modo geral, espero que este trabalho possa contribuir de forma signifi cativa no seu desenvolvimento profi ssional enquanto acadêmico, além, é claro, de mostrar o estado da arte em que se encontra tal segmento.

Bom trabalho!

O que nos difere dos outros seres vivos é o fato de que pensamos e a liberdade que possuímos para escolher nossos caminhos, portanto, somos os únicos responsáveis por tudo que possa vir a acontecer conosco.

Marcelo Lucas

Introdução

Defi nir, de forma concisa e completa, os sinais e sistemas não é uma tarefa muito fácil. Você pode confi rmar isso observando nas diversas literaturas que tratam desse assunto tão importante, e que faz parte do nosso dia a dia.

De modo geral, podemos conceituar sinal como uma representação de uma grandeza física variável no tempo, tal como tensão, corrente, aceleração de um ponto de um corpo, pressão num ponto do espaço, pH num ponto de uma solução, cor num pixel de uma tela de TV, dentre outros.

Esse sinal contém algum tipo de informação, geralmente sobre o estado ou comportamento de um sistema físico. Os sinais são representados matematicamente por funções de uma ou mais variáveis. Em nossos estudos vamos tratar apenas das funções de uma única variável.

Uma variável pode ser classifi cada como contínua ou discreta, dessa forma, chamaremos de sinais contínuos no tempo quando a variável for defi nida para um intervalo contínuo de tempo.

Muitas vezes, é importante analisarmos um determinado sinal, não no domínio do tempo, mas no domínio da frequência. De forma simplifi cada podemos, imaginar uma função temporal como a composição de várias componentes de frequência que é representada por uma função cossenoidal.

Consequentemente, enquanto o sinal existe fi sicamente no domínio do tempo, podemos afi rmar que ele é composto por esses componentes no domínio da frequência. A análise no domínio da frequência será feita por intermédio da análise de Fourier, baseada nas séries e transformadas de Fourier.

3 Roteiro de Estudo

Este roteiro é destinado ao estudo da análise de Fourier e ao estudo de como um sinal no domínio de tempo pode ser representado no domínio da frequência.

Sinais e sistemas

Inicialmente, vamos voltar ao conceito de sinal. De forma geral, e no contexto de nossos estudos, um sinal é um conjunto de dados ou informações, isto é, toda quantidade, física ou não, que sirva de suporte à transmissão de informação. Sinais são funções utilizadas para descrever uma grande variedade de fenômenos físicos fornecendo informações do seu estado ou comportamento, podendo ser descritos de diversas maneiras.

Os sinais são funções de uma ou mais variáveis independentes. Ele leva, associado a si, a informação. Assim, podemos dizer que o sinal é o veículo que transporta a informação.

A natureza do sinal que representa uma quantidade física pode ser diversa. Por quantidade física, entendemos, por exemplo, uma diferença de potencial, uma corrente elétrica, uma onda eletromagnética, uma onda acústica, a temperatura, a pressão, dentre outros. Mas, também temos sinais sem suporte físico, como por exemplo, uma quota de mercado, ou um índice da bolsa num sistema econômico, ou um parâmetro de medida biológico, dentre outros.

Para conceituamos sistema, observe que para cada exemplo de sinal, citado anteriormente, existem elementos que geram, transmitem e recuperam esses sinais. Esses elementos são chamados de sistemas, que podem ser defi nidos de forma geral como:

Sistemas são entidades que manipulam um ou mais sinais em sua entrada, obtendo assim novos sinais (funções) em sua saída.

Para exemplifi car esses conceitos, podemos citar os circuitos elétricos que, neste caso, respondem às tensões e correntes elétricas. Podemos, ainda, citar outros exemplos como: sistemas de conhecimento automático da fala, sistemas de comunicação e sistemas de controle.

O estudo dos sinais e sistemas pode ser feito de diversas maneiras, dependendo do contexto e dos objetivos. Vejamos alguns exemplos:

− análise de sistemas com vista à sua caracterização e conhecimento;

− projetar sistemas para processar sinais em certos meios. Por exemplo, o radar recupera o sinal de eco produzido pelos objetos;

− processar sinais com vista à sua restauração após terem sido

4 Roteiro de Estudo

sujeitos a um processo de degradação. Por exemplo, nas telecomunicações ou na restauração de imagem recebidas dos satélites;

− atuar sobre os sistemas com vista a alterar as suas características segundo especifi cações desejadas. Por exemplo, no controle de processos.

Veja alguns exemplos de sinais:

− som de voz: sinal unidimensional – função de uma variável simples, o tempo;

− imagem de vídeo em preto e branco: sinal bidimensional – depende das coordenadas (x, y). Representa a intensidade em cada ponto (x, y);

− tensões e correntes elétricas: como funções do tempo.

Agora, veja alguns exemplos de sistemas:

Sistemas de Comunicações São constituídos por três componentes básicos:

− transmissor (modulador); − canal; − receptor (demodulador).

Existem dois modos principais de comunicação:

− broadcasting (radiodifusão): um emissor e muitos receptores;

− pontoaponto: um transmissor e um receptor (geralmente é um sistema bidirecional).

Nos sistemas de comunicação digitais identifi camse três fases:

− amostragem (sampling): converte o sinal analógico numa sequência de números;

− quantifi cação: representa cada número (produzido pela amostragem) pelo nível mais próximo de um conjunto fi nito de níveis discretos de amplitude. (Ex.: palavra de 16 bits => 2 16 níveis);

− codifi cação: representa cada amostra quantifi cada por uma palavra de código de um número fi nito de símbolos. (Exemplo: código binário => símbolos 0´s e 1´s). O receptor executa as operações anteriores em ordem inversa (a quantifi cação é irreversível).

Sistemas de Controle

São usados em variadas situações como refi narias, aviões, centrais elétricas, robôs etc. O processo a controlar toma usualmente a denominação de planta. Nos sistemas de controle, pretendese obter uma resposta satisfatória e um comportamento robusto. A resposta é a capacidade de a sua saída acompanhar uma entrada de referência. Toma a designação de regulação e a robustez é a exibição de uma boa regulação na presença de perturbações externas. A fi gura, a seguir, mostra o diagrama de blocos de um sistema de controle.

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Figura 1: Diagrama de blocos básico de um sistema de controle realimentado. Fonte: acervo do autor.

Sistema de Sensoreamento Remoto

Processo de aquisição de informação acerca de objetos de interesse sem estar em contato com eles. São medidas as mudanças que o objeto provoca no ambiente adjacente. Exemplo: eletromagnéticas: radar; acústicas: sonar.

Sistemas de Processamento de sinais biomédicos

O objetivo é extrair informação de sinais biológicos para melhor compreensão das funções biológicas, ou para diagnóstico e tratamento de doenças. Em muitas situações, os sinais biológicos são provocados pela atividade elétrica de um grande número de células musculares ou células nervosas (neurônios). Como exemplo, temos a atividade cardíaca (ECG) e a atividade cerebral (EEG). Na captação de sinais de ECG ou EEG surgem artefatos (biológicos: parte do sinal produzida por acontecimentos estranhos ao fenômeno biológico que nos interessa; ou instrumentais: gerados pelo uso de instrumentos), como por exemplo, sinais de atividade muscular. A detecção e supressão dos artefatos é uma das grandes necessidades no processamento destes sinais.

Sistemas propriedades e classifi cação

Figura 2: representação de (a) sistema contínuo e (b) sistema discreto. Fonte: acervo do autor.

Classifi cação dos sinais

Estamos interessados em duas classes de sinais: sinal contínuo no tempo e sinal discreto no tempo.

6 Roteiro de Estudo

Um sinal f(t) é dito contínuo quando sua variável independente t for contínua, ou seja, quando possuir um número infi nito de valores num intervalo de tempo t ∈ [a,b]. Por exemplo, a corrente elétrica produzida num circuito, conforme pode ser visto, a seguir.

Figura 3: Corrente elétrica i(t) num determinado ramo de um circuito. Fonte: Acervo do autor.

Por outro lado, um sinal é dito discreto no tempo ou sequência x[n] quando a variável independente (tempo) é discreta e é oriundo da amostragem de sinais contínuos. Como exemplo, podemos citar o total de alunos x[n] presentes na escola, em cada dia do mês, que pode ser visto na fi gura, a seguir.

Figura 4: Total de alunos presentes por dia. Fonte: Acervo do autor.

A razão disto é o uso de computadores digitais modernos com processadores digitais velozes, potentes e fl exíveis para representar sistemas físicos de aplicação prática como, por exemplo:

piloto automático digital; sistemas digitais de áudio ou de vídeo.

Estes sistemas requerem o uso de sequências discretas no tempo que são representações (discretizações) de sinais contínuos no tempo.

Assim, sinais que são naturalmente contínuos no tempo são tornados sinais discretos (por amostragem) para este propósito, como por exemplo:

posição da uma aeronave; velocidade da uma aeronave; direção da uma aeronave.

• •

• • •

7 Roteiro de Estudo

Sinal real ou complexo

Os sinais podem ser representados por funções, ou valores reais, ou complexos. Veja os exemplos, a seguir:

sinal real:

Equação 1

sinal complexo:

Equação 2

Algumas propriedades importantes dos sinais Veja, a seguir, algumas propriedades dos sinais que não podemos deixar de demonstrar.

Simetria de um sinal

Podemos ter dois tipos de simetria, o sinal pode ser simétrico com relação ao eixo x quando:

x(t) é simétrica de x(t) em t = 0 x[n] é simétrica de x[n] em n = 0

Ou possuir simetria com relação ao eixo y:

x(t) é simétrica de x(t) em t = 0 x[n] é simétrica de x[n] em n = 0

• •

• •

Figura 5: Sinais contínuos simétricos. Fonte: Acervo do autor.

Figura 6: Sinais discretos simétricos. Fonte: Acervo do autor.

Escalonamento de um sinal

x(t), x(2t), x(t/3) são sinais “idênticos”, com escalas temporais diferentes.

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Figura 7: Compressão no tempo. Fonte: Acervo do autor.

Figura 8: Expansão no tempo. Fonte: Acervo do autor.

Deslocamento no tempo

x(t) e x(tTo) são funções “idênticas” defasadas no tempo:

x(tTo) é a função atrasada; x(t+To) é a função adiantada.

x[n] e x[nno] são sequências “idênticas” defasadas no tempo:

x[nno] é a sequência atrasada; x[n+no] é a sequência adiantada.

• •

• •

Figura 9: Deslocamento no tempo – função contínua adiantada. Fonte: Acervo do autor.

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Figura 10: Deslocamento no tempo – função discreta adiantada. Fonte: Acervo do autor.

Figura 11: Deslocamento no tempo – função contínua atrasada. Fonte: Acervo do autor.

Figura 12: Deslocamento no tempo – função discreta atrasada. Fonte: Acervo do autor.

Sinal par

x(t) tem simetria par, se for igual à sua simetria x(t); x[n] tem simetria ímpar, se x[t]= x[t].

• •

Figura 13: Função contínua par. Fonte: Acervo do autor.

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Figura 14: Função discreta par. Fonte: Acervo do autor.

Sinal impar

x(t) tem simetria impar, se x(t)= x(t); x[n] tem simetria impar, se x[n]= x[n].

• •

Figura 15: Função contínua ímpar. Fonte: Acervo do autor.

Figura 16: Função discreta ímpar. Fonte: Acervo do autor.

Caso geral

sinal discreto: x[n] → x[αn + β] , α > 0 sinal contínuo: x(t) → x(αt + β), α > 0

a) Se | α | < 1 → sinal é expandido (↔); b) Se | α | > 1 → sinal é comprimido (→ ←);

• •


c) Se α < 0 → sinal é invertido; d) Se β < 0 → translação (shift) para direita; e) Se β > 0 → translação (shift) para esquerda.

Exemplo 1

Seja a função x(t), a seguir:

Figura 17: Sinal x(t). Fonte: Acervo do autor.

Algumas operações básicas com x(t):

Sinal periódico

Quando se verifi ca x[n] = x[nN] ou x(t) = x(tT), dizemos que o sinal é periódico.

Figura 18: Exemplo de sinal periódico com período T. Fonte: Acervo do autor.


Período fundamental

É o menor dos N’s para funções discretas ou menor dos T’s para funções contínuas.

Sinal determinístico

Quando o sinal é completamente caracterizado por uma regra matemática (equação) para todo o seu domínio (ex: a função seno).

Figura 19: Função senoidal. Fonte: Acervo do autor.

Sinal aleatório

Quando o sinal é descrito por uma forma probabilística, por exemplo, um ruído.

Figura 20: Exemplo de sinal aleatório. Fonte: Acervo do autor.

Energia e potência

Em muitas aplicações, os sinais analisados estão diretamente relacionados com quantidades físicas que captam ou absorvem energia e potência no sistema físico.

Energia de um sinal

Equação 3 Equação 4

Potência de um sinal



Resumidamente: − dizse que é um sinal de energia se e somente se ; − dizse que é um sinal de potência se e somente se

.

Então, chegamos à regra geral. Veja, a seguir:

Regra geral: sinais periódicos e os aleatórios são sinais de potência. (power signal) e os determinísticos aperiódicos são sinais de energia (energy signal). Podese provar que sinais de energia têm potência média nula, e um sinal de potência tem energia infi nita.

Fonte: http://www.ebah.com.br/principiosdecomunicacaodoc a4934.html

Para auxiliálo na compreensão do conteúdo visto até o momento, veja mais alguns exemplos, a seguir.

Exemplo 2

Determinar a energia e a potência do sinal mostrado na fi gura, a seguir:

a)

Figura 21: Função Pulso deslocado. Fonte: Acervo do autor.

b)

Figura 22: Exemplo de reta. Fonte: Acervo do autor.


Análise de Fourier

A partir dos conceitos inicialmente tratados estudaremos a Análise de Fourier. Essa análise também é chamada de Análise Harmônica. Ela diz respeito à representação de sinais como uma soma, ou melhor dizendo, uma combinação linear de sinais básicos como senos e cossenos, ou exponenciais complexas.

A série de Fourier, assim como a transformada de Fourier, são as importantes contribuições do matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier.

A Análise de Fourier permite decompor o sinal dos seus componentes em frequência (harmônicos). Você encontrará a aplicação da Análise de Fourier em muitas aplicações, como, por exemplo, no Processamento de sinal, no Processamento de imagem, em várias aplicações da Física e na Probabilidade e Estatística.

Figura 23: Série de Fourier (sinal periódico da onda quadrada). Fonte: Acervo do autor.

A importância das séries de Fourier

Existe uma grande diferença quando estudamos séries de Fourier e séries de potências. Quando usamos a série de Fourier, o resultado obtido nos mostra uma solução global para sistema, enquanto que em uma série de potências a solução é local, ou seja, pontual.

A seguir, são apresentadas algumas situações em que é possível observar que nem sempre é viável trabalhar com séries de


potências. Nessas situações, que envolvem a aplicação em sistemas práticos, temos a necessidade de trabalhar com Séries de Fourier.

Problema de aproximação

Com a série de Taylor de uma função f(x), obtemos o polinômio de Taylor. Esse polinômio dá uma boa aproximação para a função f(x) nas vizinhanças de um ponto, mas há uma exigência: que esta função f(x) seja suficientemente suave, ou seja, que f(x) possua derivadas contínuas até certa ordem dada, tanto no ponto como nas vizinhanças deste ponto. Para obter um processo de aproximação global, este método falha, pois a aproximação de Taylor é pontual e não global.

Problema do limite

Para obter o limite de f(x) num ponto x 0 , a aproximação polinomial de Taylor funciona bem, mas em pontos distantes de x 0 , o processo é ruim. Isto acontece também para funções descontínuas e ocorrem falhas, pois este processo de aproximação é pontual.

Problema da integral

Para obter valores aproximados para uma integral sobre um intervalo, a aproximação de Taylor não funciona. Este problema pode ser resolvido com o uso de Séries de Fourier, uma vez que trabalhamos com funções periódicas.

Jean B. Fourier (17681830) Pioneiro na investigação dos problemas em que as séries de potência não fornecem bons resultados quando são aplicadas. No livro “Théorie Analytique de la Chaleur”, escrito em1822, Fourier introduziu o conceito conhecido atualmente como Série de Fourier, que é muito utilizado nas ciências em geral, principalmente nas áreas envolvidas com: Matemática, Engenharia, Computação, Música, Ondulatória, Sinais Digitais, Processamento de Imagens etc.

Sinais e espectros

Dizemos que o espectro de frequências de um sinal é sua representação no domínio da frequência e o seu estudo é denominado análise espectral ou análise harmônica, quando utilizados para sinais com componentes senoidais discretizados.

Uma das principais aplicações da análise espectral é quando se deseja descobrir o comportamento do sinal, ou de uma classe de sinais, no domínio da frequência para, por exemplo, conhecendo a sua largura de faixa podemos obter subsídios importantes no projeto de circuitos e sistemas. Podemos citar ainda outras aplicações tais como, detecção de alvos em sistemas de radar, transmissão de sinais e processamento de sinais, em que um sinal em vez de ser processado no seu domínio natural, tempo ou distância, por exemplo, é processado no domínio da frequência.


Inicialmente, para se efetuar a análise espectral de um sinal é necessário se obter sua representação como função matemática, ou seja, modelase idealmente o sinal, entretanto devemos utilizar modelos ideais que sejam próximos o sufi ciente dos sinais físicos que representam os sistemas nas aplicações e projetos em engenharia.

Nesse roteiro, quanto à Análise Espectral, serão estudadas:

Série de Fourier; Transformada de Fourier; A relação entre a Série e a Transformada de Fourier.

É importante observarmos que os sistemas, também vistos como caixas pretas, onde para um dado sinal de entrada existe um sinal de saída ; podem também ser modelados matematicamente por meio de operações, transformações, mapeamentos, algoritmos etc., em que são aplicados sinais de excitação na entrada como objetivo de gerar variações na saída . Frequentemente, tais sistemas podem ser estudados por meio de técnicas de análise de sinais.

Fasores e espectro de linhas

Seja um sinal senoidal, conforme mostrado na Figura 24, a seguir,

modelado matematicamente pela função ,

em que é uma constante real, é a frequência angular (em

radianos por segundo) e é a fase (em radianos). A relação entre a

frequência angular (radianos por segundo) e a frequência temporal

(Hertz ou ciclos por segundo) é , e entre a frequência da

senóide e seu período (em segundos) é .

• • •

Figura 24: Um sinal senoidal. Fonte: Acervo do autor.

Na defi nição da função matemática , vemos que o argumento varia de . Os sinais reais têm, na prática, duração fi nita. Portanto, o modelamento matemático será válido se a duração do sinal for muito maior que o período da senóide.


Lembrando que, , também chamada de relação de Euler, é a relação entre a função exponencial complexa , em que , e as funções trigonométricas seno e cosseno.

Como a função exponencial complexa representa um fasor, isto é, um vetor giratório no plano complexo. Um sinal senoidal pode ser representado por meio de fasores, como a seguir (ver Figura 25):

Figura 25: Fasor representativo de sinal senoidal. Fonte: Acervo do autor.

Para , o fasor está a um ângulo do eixo real. São necessários apenas três parâmetros para a representação de um fasor e, consequentemente, de um sinal senoidal: a amplitude ou magnitude, A, a frequência angular ou cíclica, , respectivamente, e o ângulo de fase ou, simplesmente, fase, .

Uma forma alternativa de representação, no domínio da frequência, deste mesmo sinal é apresentada na Figura 26, denominado espectro de frequências, sendo que neste caso são também utilizadas as designações espectro de raias ou espectro de linhas, uma vez que as amplitudes e fases representativas do sinal são raias ou linhas. O gráfi co amplitude vs. frequência é conhecido como espectro de amplitudes e o de fase vs. frequência como espectro de fases.

Figura 26: Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase. Fonte: Acervo do autor.

Observações:

A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser sempre positiva. Assim, um sinal descrito por deve ser reescrito como

•


. É indiferente se é utilizado ou .

tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. No entanto, é possível encontrar nas literaturas uma notação mista, com a fase expressa em graus. Lembrar que, em rad/s e em Hz. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido antihorário. Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de formas de onda senoidais. Lembrar que

, ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de (ou, 90 o ).

•

•

•

Exemplo 3

Esboçar o espectro de linhas de . A forma de onda

deste sinal é ilustrada na Figura 27, a seguir.

Figura 27: Forma de onda (cerca de dois períodos) do sinalexemplo. Fonte: Acervo do autor.

Esta função pode ser reescrita como e,

por inspeção, podemos desenhar o seu espectro conforme visto na Figura 27, a seguir.

Figura 28: Espectro de linhas unilateral do sinalexemplo. Fonte: Acervo do autor.

A Figura 27 ilustra uma forma de representação espectral conhecida como espectro de linhas (ou de raias) unilateral, no qual se representam apenas as frequências positivas.

Existe outra forma mais comum de representar o espectro de frequências, que será tratada, a seguir.


Espectro Bilateral

Relembrando a Relação de Euler: , podemos representar um sinal senoidal em termos de exponenciais complexas da seguinte forma:

Equação 7

Onde, é o complexo conjugado de . Nesse caso, o diagrama fasorial passa a ser (Figura 29):

Figura 29: Diagrama fasorial para senóide real. Fonte: Acervo do autor.

Os espectros de fase e de amplitude, respectivamente, para um sinal senoidal real são representados na Figura 30:

Figura 30: Espectro bilateral de senóide real (a) espectro de fase; (b) espectro de amplitude. Fonte: Acervo do autor.

Esta forma de representação, com o domínio de frequências no intervalo , é conhecida como: espectro de frequências bilateral.

Observação...

− a menos que se indique o contrário, quando mencionamos espectro de frequências, estáse referindo ao espectro bilateral.

− a frequência negativa, , indica rotação do fasor representativo do sinal no sentido horário.

− uma senóide real de frequência deve ter no seu espectro de frequência bilateral componentes de igual magnitude em e em

, sendo que o espectro de amplitudes tem simetria par e o de fase, simetria ímpar.

− sinais complexos têm espectro bilateral assimétrico. Por exemplo, uma exponencial complexa tem uma só raia no espectro bilateral.


Teorema (da Potência) de Parseval

Seja um sinal periódico qualquer com período . Sua potência média é:

Equação 8

Mas , logo:

ou seja,

Equação 9

(Teorema de Parseval)

A expressão anterior indica que a potência do sinal é a soma das potências de cada uma das componentes senoidais (vale o princípio da superposição para as potências de cada uma das componentes senoidais do sinal). Esta relação mostra também que a potência do sinal pode ser determinada a partir da descrição do sinal no domínio do tempo ou no das frequências.

Em vez de se traçar o espectro de frequências (amplitude e fase), frequentemente basta traçar o gráfi co , chamado de espectro de potências (não envolve a informação sobre a fase).

Série de Fourier

De forma simples, podemos defi nir Série Fourier como sendo a decomposição de uma função periódica f(t) em termos de um somatório infi nito de funções senos e cossenos. A Série de Fourier utiliza as relações de ortogonalidade das funções seno e cosseno.

O cálculo e estudo das Séries de Fourier são conhecidos como Análise de Harmônicos e são extremamente úteis como uma forma para decompor uma função periódica arbitrária em um conjunto de funções simples, possibilitando a análise de certas limitações impostas aos sistemas.


Série trigonométrica de Fourier

Considere um sinal periódico contínuo , . O sinal pode

ser expresso como:

Equação 10

Onde, é denominada frequência angular fundamental

da função f(t), é o período fundamental da função f(t). Os

coefi cientes podem ser calculados por meio das seguintes

expressões:

Equação 11

Equação 12

Estes coefi cientes são chamados de coefi cientes de Fourier da função f(t). A série trigonométrica (Equação 10), construída a partir destes coefi cientes, é conhecida como a série de Fourier da função f(t).

É importante observar que os coefi cientes de Fourier podem ser construídos para uma grande variedade de funções periódicas de período T, incluindo algumas descontínuas.

Observe que existe , mas não existe .

Além disso, o coefi ciente pode ser reescrito de forma mais

simplifi cada, fazendo n = 0 na Equação 11, isto é, , para n = 0, então:

Equação 13

Ou seja, representa o valor médio do sinal f(t) no intervalo de um período T.

Esta série é conhecida como série trigonométrica de Fourier, pois contém termos como senos e cossenos.


Atenção...

− A Equação 10 colocada anteriormente, é conhecida como a equação de síntese.

− As equações Equação 11 e Equação 12 são conhecidas como as equações de análise da série trigonométrica de Fourier.

− Os a n ’s e os b n ’s são chamados de coefi cientes da série trigonométrica de Fourier.

Defi nição: f(t) é um sinal seccionalmente contínuo se f(t) tem um número limitado de descontinuidades em qualquer intervalo limitado.

Figura 31: Sinal secionalmente contínuo. (Fonte: autor) Fonte: Acervo do autor.

Defi nição: f(t) é um sinal seccionalmente diferençável se ambos, f(t) e f’(t) forem sinais seccionalmente contínuos.

Teorema de Fourier

Se f(t) é um sinal periódico seccionalmente diferençável e de período T, então a série de Fourier (Equação 10) converge em cada ponto t para:

f(t), se o sinal f(t) for contínuo no instante t;

, o sinal x(t) for descontínuo no instante t.

A limitação do Teorema de Fourier, aqui exposto, é muito leve, pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prático são seccionalmente diferenciáveis.

Portanto, o Teorema de Fourier assegura que, para os sinais f(t) que forem aproximados pela série de Fourier, quanto mais termos da série (ou parcelas da soma) forem adicionados, melhor será a aproximação.

Ou seja, se chamarmos de à série de Fourier com n termos, então:

: nos casos em que f(t) for um sinal contínuo

no instante t;

•

•

•


: nos casos em que f(t) não for um

sinal contínuo no instante t. •

Exemplo 4

A onda quadrada defi nida por: mostrada na fi gura, a seguir:

Figura 32: Onda quadrada. Fonte: Acervo do autor.

Repetindose (ou estendendose) este padrão para a direita de t = 2 e para esquerda de t = 1, obtemos um sinal periódico que pode ser aproximado por uma série de Fourier.

Figura 33: Trem de pulso. Fonte: Acervo do autor.

De forma semelhante, podemos estender qualquer outro sinal defi nido em um determinado intervalo e tornálo periódico de forma e podermos aproximálo por uma série de Fourier.

Calculando, agora, os coefi cientes de Fourier para o sinal da onda quadrada defi nido anteriormente, temos, para ao, primeiramente:

Como o período fundamental é , então,

e, portanto,


Logo os a n ’s são todos iguais a zero ∀ n = 0, 1, 2, … Quanto aos b n ’s, temos que:

Logo,

Assim, esta é uma série de Fourier só de senos e os primeiros termos da série são:

Ou seja,

As fi guras, a seguir, mostram o esboço do sinal f(t) aproximado pela série de Fourier. Primeiramente, com apenas um termo (isto é, apenas n = 1), quando f(t) é simplesmente o seno:

Figura 34: Esboço do sinal f(t) aproximado pela série de Fourier Fonte: Acervo do autor.


Com 2 termos (até n = 3, e b 2 = 0), temos a soma de 2 senos e já notamos 2 picos no sinal aproximado pela série:

Figura 35: Aproximação do trem de pulso: 2 termos. Fonte: Acervo do autor.

Depois com 3 termos (até n = 5, além de b 2 = 0 e b 4 = 0) temos a soma de 3 senos (e agora já notamse 3 picos no sinal aproximado pela série):

Figura 36: Aproximação do trem de pulso: 3 termos. Fonte: Acervo do autor.

E assim por diante. A seguir, a fi gura ilustra esta série com n = 11 e n = 49, respectivamente.

Figura 37: Aproximação do trem de pulso: 11 e 49 termos, respectivamente. Fonte: Acervo do autor.

Notase, claramente, que o sinal f(t), aproximado pela série de Fourier, vai se tornando cada vez mais próximo do original, a onda quadrada. Nos pontos t, onde f(t) é um sinal contínuo, esta série de Fourier converge para o próprio valor de f(t).


Por exemplo, para t = 0,5, sabemos que f(0,5) = 1. Pela série de Fourier:

Podemos observar que, de fato, converge para 1. Por outro lado, nos pontos t onde f(t) apresenta uma descontinuidade, esta série de Fourier converge para o valor médio de x(t), entre o imediatamente antes e o imediatamente depois de t. Por exemplo, para t = 0 , sabemos que x(0 ) = 1, e t = 0 , e que x(0 + ) = 1. Logo, o ponto médio é:

Pela série de Fourier,

Logo, vemos que, de fato, converge para 0.

Outro detalhe importante:

se f(t) for um sinal par, então a série de Fourier para f(t) é uma série de cossenos; se f(t) for um sinal ímpar, então a série de Fourier para f(t) é uma série de senos.

Isto ocorre devido às propriedades das funções pares e ímpares. Recordese que:

a soma de 2 sinais pares é um sinal par; a soma de 2 sinais ímpares é um sinal ímpar; o produto de 2 sinais pares é um sinal par; o produto de 2 sinais ímpares é um sinal par.

Se f(t) for um sinal par, então os coefi cientes b n da série de Fourier para f(t) são todos iguais a zero:

Equação 14

•

•

• • • •


E, portanto, a série de Fourier é uma série de cossenos.

Além disso, se f(t) por um sinal ímpar, então os coefi cientes a n da série de Fourier para f(t) são todos iguais a zero, incluindo a o :

Equação 15

E, portanto, a série de Fourier é uma série de senos.

Dessa forma, concluímos que no exemplo anterior, como f(t) era um sinal par, então os a n ’s eram todos iguais a zero ∀ n = 0, 1, 2, …

Forma simpliFIcada da Série de Fourier

Como sempre é possível escrever na forma , então podemos escrever a série de Fourier em uma forma simplificada, contendo somente funções cosseno na soma. Para uma função periódica f = f(t+T o ), escreveremos:

Equação 16

Podemos determinar os coefi cientes , e da Série de Cossenos por meio da Série Trigonométrica usando as seguintes fórmulas de conversão:


Equação 18

Série exponencial de Fourier para sinais contínuos

A Série Exponencial de Fourier é também chamada de Série Complexa de Fourier. Se o sinal

, , então a Série Exponencial de Fourier é a mesma que a Série Trigonométrica escrita de uma forma diferente, em termos de exponenciais em vez de em termos de senos e cossenos.

Entretanto, considere agora um sinal periódico contínuo , ou seja, o sinal f(t)

tem valores complexos, com parte real e parte imaginária. A série exponencial de Fourier permitenos aproximar f(t), o que não era possível com a série trigonométrica.


Na série exponencial (ou complexa) de Fourier um sinal periódico f(t) pode ser expresso como:

Equação 20

Onde, é denominada frequência angular fundamental

da função f(t), é o período fundamental da função f(t) e os

coefi cientes podem ser calculados por meio das seguintes

expressões:

Equação 21

Equação 22

Portanto, a série exponencial (ou complexa) de Fourier generaliza a série trigonométrica de Fourier e tem a vantagem de ser mais compacta. Os c n ’s são chamados de coefi cientes da série exponencial de Fourier ou coefi cientes espectrais.

A Equação 20 anterior é conhecida como a equação de síntese, enquanto que as Equação 21 e Equação 22 são conhecidas como equações de análise da série complexa de Fourier.

Exemplo 5

Tomemos novamente a onda quadrada vista na Figura 32, anteriormente exposta, e repetindose (ou estendendose) este padrão para a direita de t = 2 e para esquerda de t = 1 obtémse um sinal periódico que pode ser aproximado pela série exponencial (ou complexa) de Fourier.

Novamente, o período fundamental é , então

e, portanto, os coefi cientes desta série

complexa de Fourier para o sinal da onda quadrada anterior são:


Portanto,

Dessa forma,

Assim,

E, agora, desmembrandose o somatório para n= ±1, ±3, ±5, ..., temos:

E, portanto os termos em coseno podem ser cancelados, fi cando:

Que é o mesmo resultado obtido no Exemplo 4 com a série trigonométrica de Fourier, ou seja:

Na verdade, existe uma relação entre a Série Trigonométrica, a Série de Cossenos e a Série Complexa de Fourier. Podese, facilmente mostrar que:






Atividade 1

Determine a Série de Fourier Trigonométrica para o sinal periódico retangular da fi gura, a seguir.

Figura 38 – . (Fonte: autor)

Dada a função periódica com período

, calcule sua Série Complexa de Fourier.

Atividade 2

Transformada de Fourier

Quando o sinal com o qual estamos trabalhando for nãoperiódico ele pode ser expresso como uma soma contínua (integral) de sinais exponenciais, em contraste com sinais periódicos, que podem ser representados por uma soma discreta de sinais exponenciais (Série de Fourier).

Defi nição A Transformada de Fourier é aplicada, em princípio, a sinais não periódicos e é defi nido pelo par:

(fórmula de análise)

Equação 31


(fórmula de síntese)

Equação 32

Ou, em termos de frequência angular, pelo par:

(fórmula de análise)

Equação 33

(fórmula de síntese)

Equação 34

A condição (sufi ciente, mas não necessária) para a existência da

Transformada de Fourier é , ou seja, que a função

seja absolutamente integrável.

Podemos dizer que um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico com um período infi nito. Veja, a seguir, a comparação do par de Transformada de Fourier com o par de equações de análise e síntese da Série de Fourier (aplicada a sinais periódicos):

e

Observe que na Série de Fourier, quando o período T de um sinal

periódico aumenta, a frequência diminui, e os termos

harmonicamente relacionados fi cam mais próximos na frequência,

ou seja, quando o período e, por conseguinte, a frequência

.

Portando, as componentes de frequência que eram discretizadas (c n ’s), agora tornamse contínuas, e o somatório da Série de Fourier deste sinal se converte em uma integral.

Considere, portanto um sinal contínuo , ou seja, o sinal

f(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária. A transformada de Fourier deste sinal f(t), normalmente simbolizada por:

Equação 35


Permite expressar o sinal f(t), o que não era possível com a Série de Fourier se o sinal não fosse periódico.

Portanto, a Transformada de Fourier pode ser interpretada como uma Série de Fourier aplicada a um sinal periódico cujo período é tornado infi nito.

Exemplo 6

Considere o sinal , cujo gráfi co é apresentado, a seguir.

A transformada de Fourier de f(t) pode ser calculada usando a Equação 33, ou seja:

Como a transformada de Fourier tem valores complexos, para expressála através de um gráfi co é necessário decompor em diagrama de módulo e diagrama de fase.

Diagrama de módulo Diagrama de fase

Para esta transformada ,é fácil de verifi car que o | fi ca:

• •


E que o diagrama de fase fi ca assim:

Figura 39 – . (Fonte: autor)

Observe que, se ω = 0, então e, portanto,

Também é fácil verifi car que, se ω = a, então

e, portanto,

Por outro lado, se ω = a, então e, portanto,


Note também que, se ω = ∞, então

e, portanto,

Mas, entretanto, se ω = ∞, então

e, portanto,

Exemplo 7

Considere o sinal , cujo gráfi co é apresentado, a seguir.

A transformada de Fourier de f(t) pode ser calculada usando a Equação 33, ou seja:

E, portanto, a transformada de Fourier deste sinal f(t) é dada por:

Esta transformada de Fourier F(ω) tem valores reais para ∀ ω, e,

além disso, como a > 0 e , então F(ω) = |F(ω)|. Logo,


o diagrama de módulo |F(ω)| é e, grafi camente ,fi ca:

Como F(ω) tem valores reais e positivos para ∀ ω, o diagrama de fase ∠ F(ω) é zero para ∀ ω, conforme pode ser visto no diagrama, a seguir:

Exemplo 8

Considere agora o sinal cujo gráfi co é apresentado a seguir.


Calculando a transformada de Fourier de x(t) usando a Equação 33, temos:

E, portanto, usando Eüler, a transformada de Fourier deste sinal f(t) é dada por:

Portanto, esta transformada de Fourier F(ω) também só tem valores reais para ∀ ω. Entretanto, os valores que F(ω) assume são ora positivos, ora negativos, devido às oscilações do seno. A seguir, vemos o gráfi co de F(ω).

Logo, o diagrama de módulo | F(ω)|, fi ca conforme representado, a seguir:


O gráfi co do diagrama de fase ∠ F(ω), fi ca conforme representado, a seguir:

Ou seja,

Propriedades da Transformada de Fourier para sinais contínuos

Linearidade (Superposição)

Suponha que f 1 (t) e f 2 (t) são dois sinais contínuos e que ,então, temos que a transformada de

Fourier de y(t) é:

Translação no tempo (“ time shifting” )

Suponha que f(t) é um sinal contínuo e que , ou seja, y(t) é o sinal f(t) com uma translação (shift) no tempo, de T o . Então, temos que a transformada de Fourier de y(t) é:

Podemos observar que o módulo do sinal transladado não se altera, mas somente a fase.

Conjugação

Suponha que f(t) é um sinal com período T, tem coefi cientes de Fourier C n e que , ou seja, y(t) é o conjugado de x(t), então, temos que a transformada de Fourier de y(t) é:

Então, a transformada de Fourier do conjugado de um sinal é a conjugada simétrica da transformada de Fourier deste sinal.

Diferenciação no tempo

Suponha que f(t) é um sinal e que , então, temos que:


Integração no tempo


Escalonamento no tempo (“ time scaling” )


Reversão no tempo (“ time reversal” ) ou sinal refl etido em torno de t = 0


Relação de Parseval

Suponha que f(t) é um sinal. Então, temos que a energia total do sinal pode ser expressa em termos da transformada de Fourier pela relação de Parseval:

Dualidade

Suponha que f 1 (t) e f 2 (t) são dois sinais contínuos e que e se , então,

temos que:

Ou, se , então, temos que:

Dual da derivada (Derivada na frequência)


Dual da integral (Integração na frequência)



Translação na frequência (“ frequency shifting” )

Esta propriedade é a dual da propriedade da translação no tempo (“time shifting”). Agora a translação (shift) foi aplicada à variável ω e não no tempo t.

Suponha que f(t) é um sinal e que , ou seja, y(t) é o sinal x(t) multiplicado por .

Então temos que:

Assim, concluímos que a transformada de Fourier de f(t) é a transformada F(ω) com uma translação (shift) na frequência ω, de ω o . Essa propriedade é a base para o estudo das técnicas de modulação analógica.

Convolução

Suponha que f 1 (t) e f 2 (t) são dois sinais contínuos e que (Convolução no tempo)

então, temos que a transformada de Fourier de y(t) é:

A transformada de Fourier da convolução de 2 sinais f 1 (t) e f 2 (t) é o produto das transformadas de Fourier destes sinais. Uma interpretação desta propriedade pode ser a seguinte: Já vimos que a saída y(t) de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é a convolução de h(t) [resposta do sistema ao impulso unitário] com x(t) [sinal de entrada do sistema].

Portanto, a transformada de Fourier da saída y(t) de um sistema é o produto.

Em que, : a transformada de Fourier de h(t) [resposta do sistema

ao impulso unitário] ; : a transformada de Fourier x(t) [sinal de entrada do

sistema].

é também chamado de “resposta na frequência ”.


− Multiplicação (Dual da convolução) Suponha que f 1 (t) e f 2 (t) são dois sinais contínuos e que

(Multiplicação no tempo), então, temos que a transformada de Fourier de y(t) é:

Isto é,

Ou seja, multiplicar no tempo é convoluir na frequência.

Algumas das propriedades da transformação de Fourier são apresentadas na tabela, a seguir. Tais propriedades são largamente empregadas tanto em problemas de análise quanto de síntese (projeto).

Tabela 1: Propriedades da transformadas de Fourier.

PROPRIEDADE FUNÇÃO TRANSFORMADA

Simetria

Linearidade

Mudança de escala

Translação na frequência

Translação no tempo


Dualidade

Conjugação

Diferenciação no tempo

Integração no tempo

Diferenciação na frequência

Alguns dos sinais comumente utilizados e suas respectivas transformadas de Fourier são apresentadas na tabela, a seguir.

Tabela 2 Tabela de transformadas de Fourier. TEMPO FREQUÊNCIA

1

1


Atividade 3

Determine a transformada de Fourier da função degrau unitário u(t), mostrada, a seguir:

Atividade 4

Determine a transformada de Fourier da função exponencial decrescente defi nida como .

Atividade 5

Considere a função, a seguir. Determine a transformada de Fourier.


Considerações fi nais

Chegamos ao fi nal de mais uma etapa de estudos. Neste roteiro iniciamos nossos estudos falando um pouco sobre sinais e sistemas. Em seguida, vimos os conceitos básicos série e transformada de Fourier, tão importantes no projeto de sistemas de engenharia.

Podemos observar que a utilização das transformadas de Fourier acontece nas mais diversas áreas do conhecimento, dentre elas análise de sistemas, ótica, física quântica e teoria das probabilidades. Na engenharia, principalmente em comunicações, a aplicação mais comum é o estudo de espectros de sinais, ou seja, a análise dos mesmos no domínio de frequência, e não de tempo.

Bons estudos e que todos tenham um bom aproveitamento dos conteúdos aqui tratados.

Leituras Obrigatórias

Texto 1 LATHI, B. P., Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

Nesse capítulo, o autor defi ne o que são sinais e sistemas. Em seguida, descreve as diferentes classes de sinais defi nindo alguns sinais elementares (singulares). Sugestão de leitura: Cap 1 – Sinais e Sistemas. p. 75111.


Texto 2

LATHI, B. P., Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

Esses capítulos trata da representação de sinais através da série e transformada de Fourier (Análise de Sinais). Sugestão de leitura: Cap 6 – Análise de sinais no tempo contínuo – A série de Fourier. p. 528561 e Cap 7 – Análise de sinais no tempo contínuo – A transforma de Fourier. p. 599642.

Leituras Complementares

Texto 1

Haykin, S., & Venn, B. V., Sinais e Sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001.

Com objetivo de complementar nossos estudo é sugerida essa leitura. Aqui o autor faz, de forma clara e objetiva, um tratamento completo das aplicações das representações de Fourier. Sugestão de leitura: Cap 4 – Aplicações das representações de Fourier. p. 259314.

REFERÊNCIAS LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

HAYKIN, S., VENN. B. V. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001.

LATHI, B. P. Signal processing and linear systems. Prentice Hall. 1999.

QUEVEDO, Carlos P. Circuitos elétricos. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1988.

SPIEGEL, Murray. Análise de Fourier. São Paulo: Coleção Schaum McGrawHill do Brasil, 1976.

DAVID, E. Johnson. Fundamentos de análise de circuitos elétricos. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

HAYKIN, S. Digital communications. New York: John Wiley, 1988.

LATHI, B. P. Modern digital and analog communication systems. 2. ed., Rinehart and Winston, 1998.


REFERENCIAL DE RESPOSTAS

COMPONENTE CURRICULAR Métodos, ferramentas computacionais e tecnológicas

Roteiro de Estudo1 Análise de sinais e sistemas: a análise de Fourier

Atividade 1 p. xx

Sabemos que a Série de Fourier é dada por:

Em que:

Portanto, vemos que a função é par, pois f(t) = f(t), logo b n = 0. O

período fundamental é , então , assim, temos que:

Vemos que a n =0 para n par, logo donde

. Desse modo, a Série de Fourier Trigonométrica

pode ser expressa como


Atividade 2 p. xx

Resolvendo, dado que o período fundamental é , então

e, portanto, os coefi cientes desta série

complexa de Fourier para o sinal da onda quadrada anteriormente

colocada, são:

Como

e

Temos,

Desse modo, a Série de Fourier Trigonométrica pode ser expressa como:

Sabemos que , logo

Atividade 3 p. xx

Portanto,


Aplicando a defi nição temos:

Atividade 4 p. xx

Atividade 5 p. xx

Sabemos que , logo

Aplicando a defi nição, temos:

Portanto,

Atividade 6 p. xx

Sabemos que , logo, derivando a função anteriormente temos:

Agora, usando a tabela de transformadas, temos:

e através da propriedade do deslocamento no tempo, sabemos que:

portanto,


assim,

Logo,

Agora, pela propriedade da diferenciação no tempo

portanto,

analise de sinais e sistemas

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