sinais e sistemas - utfpr

8/6/2019 Sinais e Sistemas - UTFPR

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SINAIS E SISTEMAS

CEFET-PR DAELN CPGEIPROF LVARO LUIZ STELLE (PhD)

III

NDICE

CAPTULO 1 - SISTEMAS LINEARES 1

1.1 - Introduo 1

1.2 - Sistemas lineares, invariantes no tempo e causais 11.3 - Nmeros imaginrios e complexos 2

1.3.1 - Nmeros imaginrios 2

1.3.2 - Nmeros complexos 3

CAPTULO 2 - TRANSFORMADA DE LAPLACE 5

2.1 - Introduo 5

2.2 - Definio 5

2.3 - Propriedades e pares de transformadas 6

2.4 - Transformada inversa 8

2.5 - Aplicao da transformada de Laplace a circuitos eltricos 12

2.6 - Funes de transferncia de sistemas lineares 16

2.7 - Plos e zeros 20

2.8 - Resposta em freqncia 23

2.9 - Resposta ao impulso e ao degrau 24

2.10 - Lugar das razes (root locus) 30

CAPTULO 3 - TRANSFORMADA DE FOURIER 363.1 - Introduo 36

3.2 - Srie de Fourier 36

3.2.1 - Srie de Fourier trigonomtrica 36

3.2.2 - Srie de Fourier exponencial 37

3.3 - Fenmeno de Gibbs 38

3.4 - Teorema de Parseval 42

3.5 - Transformada de Fourier 43

3.6 - Teorema de energia de Rayleigh 46

3.7 - Propriedades da transformada de Fourier e pares de transformadas 46

3.8 - Convoluo 46

3.9 - Aplicao das propriedades 50

3.10 - Modulao em amplitude (AM) 53

3.11 - Teoria da amostragem 55

CAPTULO 4 - TRANSFORMADA Z 59

4.1 - Introduo 594.2 - Definio 59


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1

1 - SISTEMAS LINEARES

1.1 - Introduo

Os conceitos que se pode ter sobre o que um circuito eltrico, uma rede eltrica ou

um sistema eltrico podem ser bastante subjetivos. Porm, quando se fala em sistema, seimagina algo mais complexo tal como um sistema de ensino, de sinalizao ou de defesa.

Em engenharia, a palavra sistema utilizada para descrever algo que completo eque tem uma relao causa-efeito. Assim, em um automvel existem vrios sistemas taiscomo o de combusto, o de refrigerao, o de frenao e o eltrico. Pode-se dizer,porm, que o automvel um sistema e que os demais blocos que o compem sosubsistemas. Desta forma, ainda continua sendo subjetiva a conceituao daquilo que um sistema.

Em engenharia eltrica, isto se torna ainda mais complexo, pois um simples circuito

RLC pode servir para simular a porta de um elevador, que um sistema enquanto umcircuito integrado pode ser considerado um simples elemento de um sistema. Por estarazo, ao longo desta apostila, estas palavras sero utilizadas indistintamente. Falar-se-,por exemplo, na resposta do sistema a um impulso, no passando o mesmo de umsimples circuito RC ou RLC.

1.2 - Sistemas lineares, invariantes no tempo e causais

Ao se pensar em uma variao linear, imagina-se que seja suficiente que a funoseja definida por uma reta. Porm, do ponto de vista da resposta de um sistema linear, talreta tem que passar pela origem, pois no pode haver um sinal de sada se o sinal de

entrada nulo.Um sistema dito linear se puder ser representado por uma ou mais equaes

diferenciais lineares (aquelas em que os coeficientes so constantes). A propriedade maisimportante destes sistemas o fato de poder aplicar o princpio da superposio, que dado pela equao

ad y

dtb

d x

dti

i

ii

n

i

i

ii

k

0 0

onde x a varivel de entrada e y a de sada. Isto significa que a sada global podeser calculada a partir da soma das sadas individuais. Circuitos prticos constitudos deresistores, indutores, capacitores e fontes de corrente e tenso so sistemas linearesdesde que sejam todos elementos lineares, o que j difcil em termos prticos, pois osvalores j variam em funo da temperatura, por exemplo. Um simples diodo j leva nolinearidade.

Seguem duas equaes, uma delas caracterizando uma funo linear e a outra umafuno no linear.

Ldi t

dt

Ri t( )

( ) 20 linear


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2

d i t

dtKi t

2

23 0

( )( )

no linear

Na prtica, os sistemas no chegam a ser totalmente lineares. Este o caso de umamplificador, cuja sada satura quando o sinal de entrada se torna maior que um valormximo admissvel. Caso isto ocorra, surgem as distores no sinal de sada, o queimplicar no surgimento de componentes espectrais indesejveis. Na figura 1.1, estoilustradas algumas funes no lineares comumente encontradas nos circuitoseletrnicos.

(a) (b) (c)

Figura 1.1 - No linearidade causada por (a) saturao, (b) zonamorta e (c) histerese.

Por ltimo, deve-se dizer que os sistemas lineares realizveis obedecem ao princpioda causalidade. Tal tipo de sistema denominado sistema causal e se caracteriza pelo

fato de no responder a um sinal antes que o mesmo lhe seja aplicado. Em outraspalavras, significa que suas variveis de sada dependem dos valores atuais e dosvalores passados das variveis de entrada (e de sada em caso de realimentao); nuncade valores futuros. Isto pode no ocorrer para sistemas no lineares.

Para o estudo dos sistemas lineares e invariantes no tempo, faz-se uso dastransformadas de Laplace (sistemas analgicos), de Fourier (anlise espectral geral) e z(sistemas discretos), que sero tratadas nos captulos 2, 3 e 4, respectivamente. Para tal, necessrio que se tenha pleno conhecimento dos nmeros complexos, sobre os quaisesto fundamentadas tais transformadas. Por esta razo, faz-se, a seguir, uma rpidareviso dos mesmos.

1.3 - Nmeros imaginrios e complexos

Foi um tanto infeliz a escolha das denominaes imaginrios e complexos paradesignar tais classes de nmeros, pois do a idia de que no pertencem ao mundo fsicoou que so complicados, o que no verdade. Segue uma rpida reviso.

1.3.1 - Nmeros imaginrios

A unidade imaginria, tambm denominada operador imaginrio, que serrepresentada pelo smbolo j (no aqui adotado o smbolo i porque este j utilizado

para corrente eltrica), utilizada para ajudar na soluo de equaes do tipo x2

= -9. Pordefinio j2 = -1, o que leva a j 1, j3 = -j e j4 = 1.

x

y

x

yy

x


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3

1.3.2 - Nmeros complexos

O produto resultante da multiplicao de um nmero real pelo operador imaginrioresulta em um nmero imaginrio enquanto a soma de um nmero real com outroimaginrio gera um nmero complexo. Um nmero complexo do tipo A = a + jb pode ser

representado em trs formas bsicas, que so:1) Forma cartesiana

A a jb onde j a Re(A) e b Im(A)1,

2) Forma polar

A C a bb

a onde C A e atan2 2

3) Forma exponencial

A C e C cos( ) jC sin( ) j

Para se ter uma idia melhor, pode-se representar um nmero complexograficamente sobre o que se denomina plano complexo, como ilustrado na figura 1.2.Como se pode notar, os mesmos so gerados a partir de relaes trigonomtricasbsicas. Surge, ento a identidade de Euler, que dada por

e cos( ) j sin( )j

donde se obtm

cos( ) 12 e e e sen( )1

2 je e j j j j

As operaes matemticas bsicas com dois nmeros complexos A e Brepresentados por

A a j b C ej 1 e B c + j d D e

j 2

podem ser obtidas da seguinte forma:

1) Soma algbrica

A B (a+ c) j (b+ d)

2) Multiplicao

A . B (ac bd) j (bc ad) = C . D ej (

1 2)

3) Diviso


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4

)

21(j

eDC

22c

ad)(bcj+bd)(ac

BB

BA

B

A

d

onde B c jd denominado conjugado de B.

Figura 1.2 - Plano complexo

Im

Re

b = C sen

a = C cos

C = a b2 2 A


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2 - TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1 - Introduo

Enquanto a Transformada de Fourier (TF), que ser vista no captulo 3, mais

propcia para a anlise espectral, a Transformada de Laplace (TL) melhor para a anlisede transitrios no domnio do tempo, pois permite que se leve em conta as condiesiniciais do sistema. Alm disso, as grandes tabelas da TL encontradas na literaturaenglobam um nmero bem maior de pares de transformadas conhecidas do que as deFourier. Isto se deve, em parte, ao fato da varivel de freqncia da TF se restringir aoeixo imaginrio do plano s. A TF s permite analisar transitrios quando a funo limitada de zero a infinito, como o caso do degrau unitrio e do impulso. No caso doseno, por exemplo, s permite a anlise em regime permanente

2.2 - Definio

Para que se possa obter a TL de um sinal x(t), o mesmo deve satisfazer a condio

x t t( ) e dt .

0

para positivo e real

Comparando com as condies da TF, a presena do termo exponencial e o fato daintegral ser de zero a infinito permitem que um nmero bem maior de funes, tais comot, t2 e ea t para a0 tenha Transformada de Laplace (de um ponto de vista maisrestrito, estas funes no tem TF). Existem, porm, funes como ex, onde x=tn, queno tm qualquer uma das transformadas (na anlise de circuitos, tal tipo de sinal no

utilizado). O par de transformadas dado por:

X s x t st( ) ( )

e dt

0

transformada

x tj

X s st

j

j

( ) ( )

1

2

e ds transformada inversa

A varivel s, utilizada na transformada de Laplace, complexa ( s j ) e passa

o sinal do domnio do tempo para um domnio de freqncias complexas. Assim, asfunes em s so tridimensionais, pois a varivel constitui um plano (plano s) e noapenas um eixo.

Os smbolos utilizados para as integrais so:

X(s) = L [x(t)] e x(t) = L-1[X(s)].enquanto que o par de transformadas simbolizado por x(t) X(s).


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Quando x(t) tem um impulso ou uma descontinuidade na origem, como o caso dodegrau unitrio, necessrio que x(0) seja includo na integral. Vem da o fato de se tercolocado o termo "0-" como limite inferior.

Seguem 4 exemplos, os quais so calculados diretamente atravs da definio.

1) degrau unitrio

x t u t( ) ( )

X s u ts

es

st st st( ) ( )

e dt e dt0 0 0

1 1

2) exponencial decrescente

x t e tat

( ) ( )

u

X ss a

es a

at st s a t s a t( ) ( ) ( )

e e dt e dt0 0 0

1 1

3) rampa

x t t u t( ) ( )

X s sst( )

t e dt0 21

4) impulso unitrio [trata-se de um pulso retangular ou triangular (ver item 3.5), porexemplo, que s definido para t = 0. Seu tempo de durao nulo e sua amplitudetende a infinito, dando-lhe uma rea unitria].

x tA

tA A

tA

( ) lim lim

(t) =A A

0 0

1 1

X s t tst s( ) ( ) ( ) ( )

e dt e dt dt 0

0

00

0 1

2.3 - Propriedades e pares de transformadas

Para se evitar o cansativo uso da definio, faz-se uso de algumas propriedades datransformada de Laplace, que so dadas na Tabela 2.1, e de transformadas j conhecidascomo as da Tabela 2.2, que so as mais utilizadas na anlise de circuitos eltricosbsicos.

Nos prximos 5 exemplos, sero utilizadas algumas propriedades e algumastransformadas j conhecidas.


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1) seno (propriedade da linearidade e transformada da exponencial)

x t te e

j

j t j t

( ) sen

2

X sj s j s j s

( )

12

1 12 2

2) co-seno (propriedade da diferenciao e transformada do seno)

x t te e d t

dt

j t j t

( ) cossen

21

sensen

sen

t

s

d t

dt

s

s

2 2 2 2

0e

X ss

s

s

s( )

10

2 2 2 2

3) produto rampa x exponencial decrescente (propriedade da diferenciao complexa)

es a

dX sds

at

1

e t.x(t)( )

t ed

ds s a s aat.

1 12

4) produto seno x exponencial decrescente (propriedade da translao complexa)

sen . ( ) ( )

t

sx t X s a

2 2e e-at

e-at.sen

t

s a

2 2

e-at.cos

ts a

s a

2 2

5) convoluo de um sinal qualquer com um impulso

Em um sistema linear e invariante no tempo, ocorre uma convoluo (ver item 3.8)do sinal de entrada x(t) com sua resposta ao impulso h(t), gerando um sinal de sada y(t).Fazendo x(t) = (t), obtm-se y(t) = h(t), que a resposta ao impulso.

Em termos prticos, para se obter a resposta ao impulso h(t) de um circuito, deve-seaplicar um pulso relativamente estreito (faixa espectral bem larga) na sua entrada, de tal


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forma que simule um impulso, registrando o sinal de sada, por exemplo, em umosciloscpio de memria. Segue a demonstrao matemtica.

x t t e

X s s a X s H s H ss

s ae

at

at

( ) ( )

( ) ( ). ( ) ( )( )

h(t) y(t) x(t) h(t)

H(s) Y(s)Y y(t)

1

1

1

2.4 - Transformada inversa

Difcil de ser calculada pela sua definio, procura-se obt-la atravs das tabelas jexistentes. Funes mais complexas (funes racionais) devem ser simplificadas demodo que se chegue a vrias transformadas mais simples (fraes parciais), cujastransformadas inversas sejam conhecidas. A tcnica da expanso em fraes parciais mostrada a seguir para equaes com razes simples. Para outras funes maiscomplexas, deve-se procurar maiores informaes na literatura. Segue a demonstraodo mtodo de expanso em fraes parciais.

Seja H(s) uma funo racional prpria (o grau do numerador menor que o dodenominador), do tipo

H sN sD s

a a a a

b b b bn

nn

n

mm

mm

( )( )( )

s s s

s s s1

11 0

11

1 0

n m

Uma vez determinadas as razes de D(s), a mesma pode ser reescrita como

H s

N ss s s s s sm

( )( )

0 1 1

o que equivale a

H s

Ks s

Ks s

Ks s

m

m( )

0

0

1

1

1

1

Basta, agora, determinar-se os valores das constantes Km, que so obtidos da

seguinte forma:

K s s H sm m s sm ( )

Caso a funo seja imprpria (fato inaceitvel do ponto de vista prtico porque leva instabilidade do sistema), basta efetuar, primeiramente, a diviso de N(s) por D(s) atchegar-se a uma funo prpria.

No primeiro caso dos dois exemplos seguintes, o grau de N(s) menor do que ograu de D(s), o que no significa que o sistema seja realizvel e estvel e, no segundocaso, o grau de N(s) maior do que o de D(s), o que j implica que o sistema no realizvel.


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Tabela 2.1 - Propriedades da Transformada de Laplace.

Nome Funo no Tempo Transformada

Linearidade a x t b y t. ( ) . ( ) a X s b Y s. ( ) . ( )

Deslocamento no tempo x t t t t( ) ( ) 0 0u t 00 X s e st( ). 0

Mudana de escala x a t( . ) a 0

1

aX s a

Diferenciao (no tempo) dx t

dt

( )

s X s x. ( ) ( ) 0

d x t

dt

2

2

( )

s X s s x x2 0 0. ( ) . ( ) ( )

Integrao (no tempo)x d

t( ).

0

1s

X s( )

x dt

( ).

1 1 0

sX s

sx d( ) ( ).

Deslocamento na fre-qncia

x t e at( ). X s a( )

Diferenciao na fre-

qncia (multiplicaopor -t)

t x t. ( ) dX s

ds

( )

Integrao na freqncia(diviso por t)

x t

t

( ) X s ds

s

( ).

Convoluo (*)x y t d( ). ( )

X s Y s( ). ( )

Valor Inicial x x t( ) lim ( )0

t 0

lim . ( )s

s X s

Valor final x x t( ) lim ( )

t

lim . ( )s

s X s0

(plos de sX(s)

no SPE)

Periodicidade de x(t) f t f t nT( ) ( ) n = 1, 2, ... F s

e sTsts x t)e dt

T1

1 0

( )( ) (

F1

(*) Obs: Uma demonstrao grfica da convoluo dada no item 3.8.


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Tabela 2.2 - Pares de transformadas

Par x(t) X(s)

1 impulso unitrio (t) 1

2 degrau unitrio u(t) 1/s3 t 1/s2

4 e a t 1/(s+a)

5 t e a t 1/(s+a)2

6 sen t

s2 2

7 cos t ss2 2

8 tn e (m = 1,2,3,... )-a t

n

s a n!

1

9 1

b ae a t b t

e

1

s a s b

10 1

b ab e b t a t

a e

s

s a s b

11

11

1

a b a bb e a t b ta e

1

s s a s b

12 e a t tsen

s a 2 2

13 e a t tcos

s a

s a

2 2

14 1 12aa t e a t

1

s2 s a

15

n t ne sen tn

11

2

2

n

n ns

2

2 22 s

16

1

11

1

2

2

12

e s e n tt nn

t a n

s

s n n2 22 s

17 1 11

1

1

2

2

1

2

e s e n tt nn

ta n

n

n ns s

2

2 22( ) s


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11

1) O grau de N(s) menor do que o de D(s).

H s

s s

s s s

s s

s s

A

s

B

s

C

s( )

2

3 2

22 2

6

2 2

2 2 3s 3

A s H s s

s s

s s

s s

sss s

s 3

s 3

( ) 0

2

0

2

0

2 2

2

2 2

2

1

3

B s s

s s

sss

( ) ( )22 2 1

52

2

2

Hs 3

C s s

s s

ss

s

( ) ( )32 2 13

153

2

3

Hs + 2

h t t t t( ) ( ) 13

15

1315

2 3u e e

Pode-se notar que o termo C/(s - 3) causou uma exponencial crescente, o queimplica que o sistema instvel. O termo (s - 3) foi proveniente do fato do denominadorter termos positivos e negativos, o que no pode ocorrer. A raiz s3 = 3 se encontra naparte direita do plano s (semi-plano direito - SPD), isto , s3 = Re(s) = = 3. Para que osistema seja totalmente estvel, todas as razes do denominador (plos) devero estarlocalizadas no semi-plano esquerdo (SPE). Este assunto ser tratado mais adiante.

2) O grau de N(s) maior do que o de D(s)

F ss s s

s ss

s

s ss

s

s( )

( )

3 2

2 2 2

3 3 2

2 21

2 21

1 1

Sabe-se que

s

st

st X s a

2 2 2 2

cos( ) sen( ) ( ), e x(t)e-at

A ltima frao de F(s) pode ser alterada de forma que se chegue a funes do tipoX(s+a). Para que se obtenha um co-seno, o nmero 1 deve ser somado ao numerador.Para compensar tal soma, o nmero 1 tambm subtrado.

F(s ss

ss

s

s)

( )

( )

( )

1

1 11

1 1

1 12 2

F(s ss

s s)

( ) ( )

1

1

1 1

1

1 12 21 (t) s (t)


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f t u t e at t t( ) ( ) sen( ) cos( ) (t)

2.5 - Aplicao da transformada de Laplace a circuitos eltricos

Considere-se, primeiramente, os elementos bsicos de um circuito eltrico que so oresistor (R), o indutor (L) e o capacitor (C). Quando os mesmos so submetidos a fontesde tenso e/ou corrente, como mostra a Figura 2.1, surgem as equaes bsicas, que sodadas por:

Resistor

v t R i t V s R I s

i t G v t I s G V s

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Indutor

v

i dt

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

t Ld i t

dt

V s sL I s L i

tL

v t i I ssL

V sis

0

10

1 0

Capacitorv dt

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

tC

i t v V ssC

I sv

s

t Cd v t

dtI s sC V s C v

1

01 0

0

A partir destas equaes, pode-se, atravs da lei das malhas e da lei dos ns,

chegar-se s equaes integro-diferenciais dos circuitos, as quais no seriam de fcilresoluo atravs do mtodo clssico. Com a aplicao da transformada de Laplace, taisequaes so transformadas em algbricas. Posteriormente, aplicando-se a transformadainversa, volta-se ao domnio do tempo caso seja necessrio.

v(t) Ri(t)

v(t) Ri(t)

v(t) Ci(t)

(a) (b) (c)

Figura 2.1 - Elementos bsicos de um circuito eltrico. (a) ResistorR, (b) indutor L e (c) capacitor C.

Seguem alguns exemplos.

1) Calcular a corrente i(t) e as tenses vr(t) e vc(t) no circuito RC ilustrado na Figura 2.2aps ligar a chave. A tenso inicial sobre o capacitor deve ser considerada nula.


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+

-V

RS

i(t) C

Figura 2.2 - Circuito RC srie.

Como a tenso da fonte contnua, pode-se fazer v(t)=Vu(t)=V. Assim, a equaoda malha fica sendo

V Ri t C i t d t Vs RI s sC I s i t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0

onde a carga inicial do capacitor dada por

i t dt Qc( ) ( ) 0

0 0 .

Desenvolvendo a equao, isolando I(s) e calculando a tenso sobre o capacitor,vem

I s RsC

V

s( )

1

I sV

s RsC

V

R sRC

tVR

e tt

RC( ) ( ) ( )

1 1i u

Vc s sC I s sC

V

R sRC

RC

V

s sRC

( ) ( )

1 1

1

1

1

Usando a tabela de transformadas, pode-se calcular a tenso sobre o capacitor.

1 1

s a s b b ae eat bt

onde a 0 e b

1RC

v tV

RC RC

e e V ec RCt

tRC( )

1

1

101

t


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14

Uma forma mais fcil de se calcular a tenso sobre o capacitor calcular,primeiramente, a tenso sobre o resistor e subtrair esta da tenso da fonte , comomostrado abaixo.

V s R I s RV

s RsC

V

sRC

t V e tr

t

RC( ) ( ) ( ) ( )

1 1 v ur

ou ainda

v u ur( ) ( ) ( ) ( )t R i t RVR

e t V e tt

RC

t

RC

Agora, basta fazer

v t V v t V V e V ec r

tRC

tRC( ) ( )

1

O produto RC denominado constante de tempo. Fazendo-se t =RC na equao devc(t), obtm-se

v t V V e V e VcRC

RC( ) ( , ) ,

1 1 03679 063211 V

Isto significa que, considerando nulas as condies iniciais, a tenso sobre ocapacitor atinge 63,21% do valor mximo V durante a primeira constante de tempo (t =0 a t = RC), chegando a este valor em, aproximadamente, 5 constantes de tempo. Nocaso da tenso sobre o resistor, esta decai de forma inversa, como ilustrado nos grficosde i(t), vr(t) e vc(t) a seguir, onde se considerou V=10, e R=2 e C=0,5.

(a) (b)

Figura 2.3 - Grficos de (a) i(t) e (b) vr(t) e vc(t).

Obs: Como se assume, na transformada de Laplace, que a varivel tempo vlidade zero a infinito, o termo u(t) opcional.


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15

2) Calcular i(t) no circuito RL-RLC da Figura 2.4 aps a passagem do interruptor para aposio 2 em t=0. Considerar V1=V2=100V, R=50, L=100mH, C=1mF e i(t) no sentidoconvencional.

_

+V1

R

Li(t)

C R+

V2_

1 2

Figura 2.4 - Circuito do exemplo 2.

Posio (1) - Considerando que o sistema j esteja em repouso (j ocorreu umtransiente), o que faz com que apenas o resistor esteja influenciando no circuito, pode-secalcular a corrente atual (futuro valor inicial i(0)).

i t( )

10050

2(sentido convencional)

Passando o interruptor para a posio 2, a equao geral da malha fica sendo:

100 501

000101 i dt( ) , ( ) ,

( )t i t

di tdt

Com a aplicao da transformada, vem

100

50 1000 01 2 0 2s

sI ss

s I s I onde i( )( )

, ( ) ( ) ( )

I s s

s

s

s s

ss s

( ),

,

10002

501000

01

1000 2

500 10000

1000 221 4792s

Aplicando o mtodo de fraes parciais, chega-se a

I sA

sB

s s s( )

21 4791042458

121

1958458

1479

e

i t( ) , , 2275 427521 479e et t .

interessante observar, neste exemplo, que, apesar do circuito final ser do tipoRLC, o mesmo no oscilou, fornecendo uma corrente composta por duas funes

exponenciais. O grfico est ilustrado na Figura 2.5. Percebe-se que a corrente inicial(t = 0) -2A, como previsto.


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SINAIS E SISTEMAS


16

Figura 2.5 - Corrente na malha RLC do circuito dado no exemploanterior.

2.6 - Funes de transferncia de sistemas lineares

Considere-se um sistema linear e invariante no tempo com suas variveis deentrada e de sada nos domnios do tempo e da freqncia complexa, como ilustrado naFigura 2.6. Tais variveis podem ser as mais diversas, tais como tenso, corrente, fora,torque, ngulo, deslocamento e outras. denominada funo de transferncia H(s) arelao Y(s)/X(s). Por exemplo, em circuitos eltricos, pode-se considerar funes taiscomo os ganhos de tenso, corrente, transcondutncia e transresistncia deamplificadores e a variao da velocidade angular do motor em funo do ngulo de girodo potencimetro (de eixo) de controle.

Figura 2.6 - Sistema linear e invariante no tempo.

Ser dada, a partir deste ponto, especial ateno aos filtros analgicos. Por estarazo, nos prximos exemplos, ser considerada como funo de transferncia, o ganho(ou atenuao) de tenso, i.e., H(s)=Av(s)=Vo(s)/Vi(s). Seguem 6 exemplos.

1) No circuito RC da Figura 2.7, que um filtro passa-baixas, pode-se aplicar comotenso de entrada, com a chave j fechada, um impulso e tomar-se a tenso sobre ocapacitor como varivel de sada. Desta forma, a funo de transferncia dada por

H sV s

V s

V sRC s

RC RC

sRC

a

s a

o

i

c( )( )

( )

( )

1

11

1

1

1

h(t)

H(s)

x(t)

X(s)

y(t) = x(t) h(t)

Y(s) = X(s) . H(s)


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SINAIS E SISTEMAS


17

enquanto que a respectiva resposta ao impulso, que a transformada inversa de H(s), dada por

h t a eRC

eatt

RC( ) 1

.

possvel obter H(s) aplicando-se qualquer tipo de sinal entrada do circuito,porm os clculos ficam mais fceis se o impulso for utilizado. A tenso de sada tambmpode ser calculada a partir de um divisor de tenso ou de corrente. Desta forma, nocircuito em questo, fazendo Z1(s)=R e Z2(s)=1/sC (considerando nulas as condiesiniciais), a tenso de sada obtida da seguinte maneira.

V s I s s V sZ s

Z s Z so i( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

Z22

1 2

Isolando-se, agora, a relao Vo(s)/Vi(s), vem

H sZ s

Z s Z ssC

RsC

sRCRC

sRC

( )( )

( ) ( )

2

1 2

1

11

1

1

1

como visto anteriormente.

Vi(s)

R

CI(s) Vo(s)

C

Vi(s) RI(s) Vo(s)

(a) (b)

Figura 2.7 - Filtros RC de primeira ordem tipo (a) passa-baixas e

(b) passa-altas.2) No circuito da Figura 2.7-b, inverteram-se as posies de R e C, que o torna um filtropassa-altas. Tomando-se a tenso sobre o resistor como tenso de sada, obtm-se:

H sZ s

Z s Z sR

RsC

sRCsRC

s

sRC

( )( )

( ) ( )

2

1 2 1 1 1

Para calcular h(t), efetua-se a diviso do numerador pelo denominador, que resultaem


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SINAIS E SISTEMAS


18

H ss

sRC

RC

sRC

as a

( )

1

1

1

11

donde vem

h t t a e tRC

eatt

RC( ) ( ) ( )

1

.

Observando-se o polinmio do denominador de H(s) em ambos os exemplos,percebe-se que os mesmos so de ordem 1, o que causado pelo fator s do capacitor.Por esta razo, estes filtros so ditos de primeira ordem. Alm disto, tal polinmio omesmo em ambos os casos.

Nos prximos 4 exemplos, sero analisados os circuitos da Figura 2.8. Trata-se decircuitos RLC simples, nos quais apenas a posio dos componentes varia. A introduodo indutor provocar o aparecimento de outro fator s, elevando o grau do polinmio dodenominador para 2, tratando-se, assim, de filtros de segunda ordem.

Vi(s)

R

CI(s)

L

Vo(s) Vi(s)

R C

I(s) L Vo(s)

(a) (b)

Vi(s) I(s) R Vo(s)

L C

R

L

CVo sI(s)Vi(s)

(c) (d)

Figura 2.8 - Filtros RLC de segunda ordem tipo (a) passa-baixas,(b) passa-altas, (c) passa-faixa e (d) corta-faixa.

3) No caso do circuito da Figura 2.8-a, que um filtro passa-baixas, H(s) ser dada por


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SINAIS E SISTEMAS


19

H sZ s

Z s Z ssC

R sLsC

s LC sRCLC

s sRL LC

( )( )

( ) ( )

2

1 22 2

1

11

1

1

1

Esta equao pode ser comparada equao 16 da tabela de transformadas, que padronizada e que, aps a mudana do termo n para 0, passa a ser

H ss

( )

0

2

20 0

22 s

tambm utilizada uma outra forma, que

H s

s Q

( )

02

20 0

2

s

Por comparao, deduz-se que:

0

20 0 0

1 1 1

2

12

1

LC LC LC

LR R

LC

XR

Lf Q

O termo 0 a freqncia de ressonncia dada em rad/s, enquanto que f0 afreqncia de ressonncia dada em Hz. Os termos Q e so denominados,respectivamente, fator de qualidade e fator de amortecimento. Este ltimo utilizado nasfunes de resposta ao impulso (ver tabela de transformadas). Obs: Na freqncia deressonncia, XL=XC.

4) O circuito da Figura 2.8-b um filtro passa-altas e tem H(s) dada por

H ssL

R sLsC

s LC

s LC sRC

s

s sRL LC

s

s( )

1 1 1 2

2

2

2

2

2

20 0

2 s

5) O circuito da Figura 2.8-c, por sua vez, um filtro passa-faixa, cuja funo de

transferncia

H sR

R sLsC

sRC

s LC sRC

sRL

s sRL LC

s( )

1 1 12

22 20

20 0

2

s

s

6) Por ltimo, o filtro corta-faixa ilustrado na Figura 2.8-d, tem

H s

sLsC

R sLsC

s LC

s LC sRC

sLC

s s RL LC

s

s( )

1

1

1

1

1

1 2

2

2

2

2

20

2

20 0

2

s


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SINAIS E SISTEMAS


20

Como se pode observar, os denominadores so iguais.

Exerccios: Atravs da obteno de H(s), determinar o tipo de filtro de cada um doscircuitos da figura 2.9.

Vi(s)

R1 C1

R2 C2 Vo(s)

Vi(s)

R

LI(s) C Vo(s)

(a) (b)

L

Vi(s)

C

R Vo(s)I(s)

(c)Figura 2.9 - Filtros de segunda ordem tipo (a) passa-faixa RC-RC,(b) passa-faixa RLC e (c) corta-faixa RLC.

2.7 - Plos e zeros

Diz-se que H(s) tem um plo no ponto onde seu valor tende a infinito e um zero ondeseu valor tende a zero. No caso, do filtro passa-baixas RC estudado anteriormente (verfigura 2.7), o plo est localizado em s = -1/RC enquanto o zero ocorre quando stende a infinito. Como s uma varivel complexa, H(s) uma funo tridimensional. Nafigura 2.10, est ilustrado o mdulo de H(s) completo para a = -1 e | | = || 3 e tambmcom um corte feito sobre o eixo imaginrio, onde s = j, o qual representa a transformadade Fourier de h(t), ou seja, H(j). Acompanham, ainda, as curvas de contorno (vistasuperior do |H(s)|), que mostram a localizao do plo e tambm as curvas de respostaem freqncia para 0 3 (|H(j)| e fase).

Tanto os plos quanto os zeros podem ser reais, imaginrios ou complexos. Asposies que eles ocupam no plano s, fazem variar o tipo de filtro, suas curvas deresposta em freqncia e a resposta que os mesmos oferecem ao sinal de entrada(impulso, degrau e outros) do ponto de vista do grau de estabilidade, i.e., se so ou noestveis, tendendo ou no a oscilar, principalmente quando se trata de filtros ativos. As

respostas ao impulso e ao degrau so as mais utilizadas quando se estuda um sistemaqualquer como um todo (filtros, osciladores, amplificadores, etc.).


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SINAIS E SISTEMAS


21

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.10 - Detalhes da funo de transferncia de um filtro passa-baixas RC de ordem 1. (a) Mdulo de H(s), (b) vista de H(j ), (c)vista da localizao do plo e (d) curvas de resposta em freqncia.

Para que o sistema seja realizvel (causal), necessrio que o nmero de zerosseja igual ao nmero de plos. Isto significa que o grau do polinmio do numerador seja,no mximo, igual ao do denominador. Alm disso, para que o sistema seja estvel,

necessrio que os plos estejam localizados, no semi-plano esquerdo (SPE) do plano s.Se os mesmos estiverem sobre o eixo imaginrio (=0 nos sistemas que envolvem, aomenos, um polinmio de segunda ordem), o sistema oscilar e, caso estejam no semi-plano direito (SPD), o sistema ser totalmente instvel. Neste ltimo caso, os circuitospassivos no so realizveis, pois envolvem componentes negativos. Pode-se, dequalquer forma, simul-los com a ajuda de componentes ativos se necessrio.

Seguem alguns exemplos do clculo dos plos e zeros referentes aos exemplos dadosanteriormente.


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22

1) Filtro passa-altas de primeira ordem

H ss

s( )

11 zero em s = 0 e 1 plo em s = -1

2) Filtro passa-baixas de segunda ordem

H s LC

s sRL LC

s( )

1

1 220

2

20 0

2

s

Esta funo tem: 2 zeros quando s tende a infinito

2 plos (s1 e s2) dados por

s12

0 02

02

0 022

2

2 4

21,

Os sistemas de segunda ordem podem ser subdivididos em trs tipos, que so

a) 0 1 subamortecido (plos complexos e sada em forma de senideamortecida)

b) = 1 amortecimento crtico (s1 = s2, plos iguais e reais, tendendo a sercomplexos)

c) 1 sobreamortecido (plos reais com sada definida por exponenciais,no havendo oscilao)

O circuito da figura 2.4, com os valores pr-determinados, forneceu uma corrente i(t)composta por duas funes exponenciais, sendo, portanto, sobreamortecido.

Se = 0, o sistema oscilar fornecendo uma senide pura. Este o caso dososciladores propriamente ditos (ver exemplo do oscilador ponte de Wien). No caso dofiltro RLC, isto ocorre para R = 0, no havendo, do ponto de vista terico, perdas nosistema.

No caso dos filtros RLC de segunda ordem tipo passa-altas, passa-faixa e cortafaixa, variar to somente a posio dos zeros, como mostrado a seguir.

3) Filtro passa-altas de segunda ordem

H ss

s sRL LC

s

s( )

2

2

2

20 0

21 2 s2 zeros na origem (s=0)

4) Filtro passa-faixa de segunda ordem


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23

H ss

RL

s sRL LC

s( )

20

20 0

212

2

s

s1 zero na origem (s = 0)

1 zero quando s

5) Filtro corta-faixa de segunda ordem

H ss

LC

s sRL LC

s

s( )

2

2

20

2

20 0

2

1

1 2

s2 zeros em s = j

Obs: Nos dois ltimos exemplos, no pode ser igual a zero, pois H(s) se tornaria nula

para o filtro passa-faixa (resistor curto-circuitando a sada) e tenderia a 1 no caso do filtrocorta-faixa, uma vez que os zeros estariam no mesmo lugar dos plos, cancelando oefeito dos mesmos.

2.8 - Resposta em freqncia

Para se obter a resposta em freqncia de um sistema, basta tomar H(s) e substituirs por j. De posse de H(j), que uma funo complexa, calcula-se o respectivomdulo, denominado, aqui, de H() e o ngulo de fase (), ou seja:

H j H j H sN s

D s

a jb

c jd

js j

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

onde

H H jN jD j

N j

D ja b

c d( ) ( )

( )( )

( )

( )

2 2

2 2e

( ) ( ) Im[ ( )]Re[ ( )]

( )( )

Im[ ( )]Re[ ( )]

Im[ ( )]Re[ ( )]

j tg H jH j

jj

tgN jN j

tgD jD j

1 1 1ND

Como exemplo, determine-se a curva de resposta em freqncia de um filtro corta-

faixa com funo de transferncia H(s), H s ss s

( ) 2

24

2 4

H jj

j j j( )

( )

( )

2 42 2 4

4 2

4 2 2

H j( )

4

4 2

4

16 8 4

4

16 4

2

2 2 2

2

2 4 2

2

2 4


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24

H H j( ) ( )

4

16 4

2

2 4e

( )

02

41

2tg

Os respectivos grficos se encontram plotados na figura 2.11 com escalas lineares.

(a) (b)

Figura 2.11 - Curvas de resposta em freqncia de um filtro corta-faixa. (a) Ganho H() e (b) fase ().

2.9 - Respostas ao impulso e ao degrau

Outra forma de se avaliar os sistemas atravs da verificao das suas respostasao impulso h(t) e ao degrau yu(t). Para o filtro passa baixa de segunda ordem, estasequaes so dadas por

h t( )

n t ne sen t t 0n

11

2

2

y te

u( ) tan

11

11

2

2 12

t

n

nsen t t 0

Para os demais tipos de filtros, deve-se determinar as mesmas atravs das tabelasde transformadas e aplicando as propriedades.

Para mostrar a influncia do fator , segue, nas figuras 2.12 a 2.16, uma srie deilustraes, as quais mostram a resposta ao impulso h(t) e ao degrau yu(t), onde seutilizou =[0,1 0,5 0,707 1] para o filtro corta-faixa e para o filtro passa-faixa que contm otermo no numerador e =[0 0,5 0,707 1] para os demais. Para as curvas de resposta emfreqncia H(), mostradas em escala linear, e HdB(), em decibis, alm de (),alterou-se o valor mnimo de para 0,25 em todos os casos, pois um valor menor queeste causaria um ganho muito alto, fazendo com que os detalhes das demais curvas no

pudessem ser observados. Obs: Como os filtros podem ser ativos ou passivos


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25

H ss

( )

0

2

20 0

22 s

resposta ao impulso (min 0 ) resposta ao degrau (min 0 )

H() (min 0 25, ) HdB() (min 025, )

() (min 025, ) () (min 025, )

Figura 2.12- Filtro passa-baixas.


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SINAIS E SISTEMAS


26

H ss

s( )

2

20 0

22 s

resposta ao impulso ( min 0 ) resposta ao degrau (min 0 )

H() (min 025, ) HdB() (min 025, )

() (min 025, ) () (min 0 25, )

Figura 2.13- Filtro passa-altas


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27

H ss

s( )

2 0 022 s

resposta ao impulso ( min 0 ) resposta ao degrau (min 0 )

H() (min 025, ) HdB() (min 025, )

() (min 025, ) () (min 0 25, )

Figura 2.14- Filtro passa-faixa (tipo 1)


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28

H ss

( )

2

20

20 0

2

s

s

resposta ao impulso ( min 01, ) resposta ao degrau (min 01, )

H() (min 025, ) HdB() (min 025, )

() (min 025, ) () (min 0 25, )

Figura 2.15- Filtro passa-faixa (tipo 2)


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29

H ss

s( )

20

2

20 0

22

s

resposta ao impulso ( min 025, ) resposta ao degrau (min 025, )

H()(min 025, ) HdB()(min 025, )

() (min 025, ) () (min 0 25, )

Figura 2.16- Filtro corta-faixa


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30

empregou-se a palavra ganho. No caso dos passivos, seria mais apropriada a palavraatenuao.

Pode-se dizer, finalmente, que a resposta ao impulso e ao degrau, acompanhadasda resposta em freqncia, podem fornecer muito mais dados sobre o sistema do que

uma anlise esquemtica.2.10 - Lugar das razes (root locus)

Como visto anteriormente, basta variar o valor de para alterar totalmente oposicionamento dos plos (lugar das razes do denominador no plano s) e, porconseqncia, o comportamento de um mesmo tipo de circuito. Por sua vez, oposicionamento dos zeros altera o tipo de circuito (tipo de filtro, por exemplo). Com baseno par 17 da tabela de transformadas (filtro passa-faixa com numerador independente de), pode-se dizer que, se tende a zero, ento o sistema tende a oscilar com freqncian, tornando-se instvel.

Tudo isto ser demonstrado, a seguir, atravs da anlise do lugar das razes dopolinmio do denominador para um circuito oscilador tipo ponte de Wien.

O filtro passa-faixa dado pelo circuito RC-RC ilustrado na figura 2.17. Fazendo R1= R2 =R e C1 = C2 =C, a funo de transferncia dada por:

H sZ s

Z s Z s( )

( )

( ) ( )

2

1 2onde

Z1( )s R sC 1 e Z s R sC

RsC

s

sRC

2

1

1 1( )

Substituindo e simplificando obtm-se

H s RCs

sRC

sR C

( )

1

3 122 2

Da equao acima, j se pode concluir que

0

22 2 0 01 1 1

2

315

R C RC RC RCf 20 ,

Para facilitar os clculos, R e C sero normalizados (R=C=1), obtendo-se, portanto,

H ss

s s( )

2 3 1


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SINAIS E SISTEMAS


31

Figura 2.17 - Filtro passa-faixa RC-RC de ordem 2.

cujos zeros esto em s = 0 e s = e cujos plos esto sobre o eixo real com valores s1 = -2,6180 e s2 = - 0,3820. Com a idia bsica de que, para se obter um oscilador, deve-seaplicar realimentao positiva a um amplificador, ser acrescentado um amplificador comganho varivel K interligando a sada do filtro com sua entrada, como ilustra a figura2.18, servindo o filtro como elo de realimentao.

Figura 2.18- Circuito amplificador realimentado atravs de um filtropassa-faixa.

Da teoria bsica da realimentao, sabe-se que as funes de transferncia de umsistema com realimentao negativa ou positiva, como o ilustrado na figura 2.19, sodadas, respectivamente por

G sA s

s s1 1( )

( )

( ) ( )

Ae G s

A s

s s2 1( )

( )

( ) (

A

Obs: 1) O produto (s).A(s) denominado ganho de malha (GM).

2) Se o ganho A(s) do sistema tender a infinito, ento G(s) depender to somentede (s). Isto ocorre, por exemplo, nos amplificadores, os quais utilizam realimentaonegativa para fins de estabilidade. Este o caso dos amplificadores ilustrados na figura

Vi(s)

R1 C1

R2 C2 Vo(s)

_

+

R C

C

KR

R 1 2

1

R1

R2

R


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SINAIS E SISTEMAS


32

2.20. Como o amplificador operacional tem um ganho terico infinito (ordem de 107 naprtica), os ganhos de tenso Av dos circuitos s dependem de R1 e R2.

Figura 2.19 - Sistema realimentado.

Os ganhos respectivos do circuito inversor (entrada no terminal -) e do circuito noinversor, so dados por

ARRv

2

1e A

RRv

1 21

(a) (b)

Figura 2.20 - Amplificador de tenso utilizando amplificadoroperacional. (a) Circuito inversor e (b) no inversor.

Desta forma, com base em G2(s) (realimentao positiva), o sistema global da figura2.18 passar a ter uma funo de transferncia dada por

G sK

GM

K

KH s

K

Ks

s s

( )( )

1 1 1

3 12

Agora, para que o sistema oscile, ser necessrio que os plos do sistema globalestejam sobre o eixo imaginrio. Para calcul-los, basta fazer 1-GM=0 e determinar ovalor de K que far com o polinmio predominante seja do tipo s2 + 0

2. Assim, vem

+

_+

Y(s)X(s)

(s)

A(s)

R2

Vi

Vo_

+

R1

VoVi

R2

_

+

R1


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38/80

SINAIS E SISTEMAS


34

equivalente, como mostra a figura 2.22(a) ou um resistor com coeficiente negativo detemperatura (NTC) em srie com R2.

Tabela 2.3 - Lugar das razes para -1 K 7

K s K K13

22 6 5

2 K s K K2

32

2 6 52

K

Re(s1) Im(s1) Re(s2) Im(s2)-1,0 -0,2679 0,0000 -3,7321 0,0000-0,5 -0,3139 0,0000 -3,1861 0,00000,0 -0,3820 0,0000 -2,6180 0,00000,5 -0,5000 0,0000 -2,0000 0,00001,0 -1,0000 0,0000 -1,0000 0,00001,5 -0,7500 0,6614 -0,7500 -0,66142,0 -0,5000 0,8660 -0,5000 -0,86602,5 -0,2500 0,9682 -0,2500 -0,96823,0 0,0000 1,0000 0,0000 -1,00003,5 0,2500 0,9682 0,2500 -0, 96824,0 0,5000 0,8660 0,5000 -0,86604,5 0,7500 0,6614 0,7500 -0,66145,0 1,0000 0,0000 1,0000 0,00005,5 2,0000 0,0000 0,5000 0,00006,0 2,6180 0,0000 0,3820 0,00006,5 3,1861 0,0000 0,3139 0,00007,0 3,7321 0,0000 0,2679 0,0000

Figura 2.21 - Lugar das razes do polinmio D s s K s( ) ( ) 2 3 1

para 0,5 K 5,5.


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40/80


41/80

SINAIS E SISTEMAS


37

x t bn sin n tn

( )

0

1

Obs: Pode ocorrer que o sinal seja uma funo mpar somada a um nvel mdio.

3.2.2 - Srie de Fourier exponencial (espectro bilateral)

No caso da srie exponencial, que apresenta como grande vantagem o clculo deapenas uma integral, as consideraes gerais so as seguintes:

x t cnjn t

n

( )

e 0

cn T

x t jn t dtT

T

1 0

2

2

e

/

/

cn 1

2an j bn j b

2 2

c n an n cn c n

cn c n cn c n an bn

1

2

22 2

cn

Como visto anteriormente, a funo exponencial pode ser decomposta em

cos + j sen. Para funes pares, a integral pode ser feita exclusivamente em funo doco-seno enquanto que, para funes mpares, pode ser feita em funo do seno.

Antes de demonstrar o clculo de algumas sries, vale definir a funo sincilustrada na figura 3.1, que dada por

sinc x( ) =sen( x)

x

1 para x = 0

0 para valores inteiros

Figura 3.1 - Funo sinc(t)


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SINAIS E SISTEMAS


38

Seguem alguns exemplos:

1) Obter a srie trigonomtrica da onda quadrada ilustrada na figura 3.2.

Figura 3.2 - Onda quadrada de simetria mpar e suas 7 primeirascomponentes.

Consideraes iniciais : a) a funo mpar e o nvel mdio nulo, i.e., a0 = 0,portanto basta calcular bn o que resulta em:

bT

A nf t A nf tn

2

2 20 01

2

0

1

sen sen dt dt onde A = 1 e f0 = 1/2

b n t A n t n tn

dt n tn

dtn

22 212

2 12

1

2

0

1

1

2

0

1sen sen sen sen

dt dt n n

bn

nnn

1

2 2 12

1

cos cos(n ) cos(n )

bn

nn 2

1

cos( )

bn para n

para nn =

, 3, 5, ...

, 4, 6, ...

4 1

0 2

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b71,27 0,00 0,42 0,00 0,25 0,00 0,18

3.3 - Fenmeno de Gibbs

Sempre que ocorre uma variao um tanto abrupta na forma de onda do sinaloriginal, aparece uma certa oscilao no sinal obtido atravs da srie. Este o fenmenode Gibbs. No caso da onda quadrada, por exemplo, medida que se aumenta o nmero


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SINAIS E SISTEMAS


40

2) Obter o espectro bilateral do trem de pulsos retangulares ilustrado na figura 3.4.

Figura 3.4 - Trem de pulsos (T=1 e =0,25)

Consideraes iniciais : a) a funo par e, portanto, pode-se calcular cn em funode um co-seno, o que resulta em:

cn = A f sinc(n fo o ) equao geral

cn = 0,5 sinc(n 0,25) equao para A = 2, T = 1 e = 0,25

funo esta ilustrada na figura 3.5

Figura 3.5 - Componentes espectrais (cn) do trem de pulsos para|n|15.

3) Neste exemplo, demonstrada a aplicao da srie de Fourier a um circuito RL, oqual causar variaes de amplitude e fase nas componentes, filtrando assim o sinal deentrada. Para isto, considere-se um circuito RL tipo srie, onde R=1 e L=0.5H, sobre oqual aplicada um sinal v(t) tipo triangular, que definido por uma srie infinita.Determinar-se- i(t) e ambas as formas de onda, considerando-se apenas as 7 primeirascomponentes (n variando de 1 a 7). Seja, ento,

v t t t t t t( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

8 13

3 15

5 17

7 19

92 2 2 2 2


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41

v t t t t t( ) , cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

08111

33

1

55

1

77

2 2 2

A partir da impedncia vista pelo gerador, em relao a cada uma das componentesde v(t), pode-se determinar cada uma das componentes de i(t), somando-as a seguir.

Z j j( ) , 1 0 5 onde = 1

i tZ j j

o1

08111

08111 05

0725 26 6( ),( )

,,

, ,

i tZ j j

o2

00903

00901 15

0050 56 3( ),( )

,,

, ,

i t Z j jo

3

0032

5

0032

1 25 0012 682( )

,

( )

,

, , ,

i tZ j j

o4

00167

00321 35

0004 741( ),( )

,,

, ,

i t t o t o t o t o( ) , cos( , ) , cos( , ) , cos( , ) , cos( , ) 0725 266 005 3 563 0 012 3 682 0004 7 741

Estas funes esto ilustradas na figura 3.6, donde se pode verificar que:

(a) (b)

Figura 3.6 - Formas de ondas. (a) Componentes senoidais de v(t)e i(t). e (b) formas finais de vi(t) e i(t).

a) a corrente i(t) est atrasada em relao tenso v(t), confirmando que o indutor se

ope a variaes de corrente e


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SINAIS E SISTEMAS


42

b) a corrente i(t) tem uma forma de onda mais suave, o que implica que, se a tenso desada for obtida sobre o resistor, obter-se um sinal com a mesma forma de onda. Nestecaso o sinal de entrada ter passado por um filtro passa-baixas, enquanto que, se forobtida sobre o indutor, ter passado por um filtro passa-altas.

3.4 - Teorema de ParsevalUm sinal peridico tem uma determinada potncia enquanto que um sinal no

peridico tem uma certa energia. No caso de um sinal contnuo v(t)=V ser aplicado a umaresistncia eltrica R, pode-se dizer que a potncia dissipada sobre a resistncia dadapor:

P VV

R

V

R V I

2

Por sua vez, a potncia instantnea de um sinal dada por:

p t v t v tv t

R

v t

R( ) ( ) ( )

( ) ( ) i(t)

2

Para um sinal puramente senoidal do tipo v t A sin fot( ) ( ) 2 , A a tenso de

pico e A 2 a tenso eficaz. A potncia eficaz igual quela que seria produzida porum sinal contnuo de igual valor. Por exemplo, um sinal senoidal de 110 Vef, que tem umatenso Vpico = 110 x 1,4142 Vp, produzir uma potncia eficaz

Pef R 1102

/

a qual equivale potncia produzida por um sinal contnuo de 110 V. A potncia de picoser dada por:

Ppico R R ( . , ) / / 110 141422 2 1102 2. Pef

Considerando-se, agora,. um sinal peridico, representado por uma srieexponencial, que a soma de diversas componentes senoidais, e que R=1 (valornormalizado), pode-se dizer que a potncia mdia do sinal dada por:

PT

x t tT

cn

Tj f t

n

1 1 2 0x dt x(t) e dt

0 0

T

( ) ( )

P cT

x t cnj f t

nn

n

e dt c0

T

n1 2 0( )

P T x t n 1

dt c2

0

T

n

2

( )


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43

3.5 - Transformada de Fourier

Da mesma forma que a Srie de Fourier utilizada na anlise de sinais peridicos, aTransformada de Fourier utilizada na anlise de sinais no peridicos. Para que sepossa utiliz-la, o sinal x(t) deve ter um nmero finito de descontinuidades entre

- e + e satisfazer a condio

x t dt( )

.

Tais condies so denominadas condies de Dirichlet. A partir delas, chega-se aopar integrais de Fourier, conhecido como par de transformadas, que so dadas por:

X f x t j ft( ) ( )

e dt2 transformada

x t X f j ft( ) ( )

e df2 transformada inversa

A transformada de Fourier passa o sinal do domnio do tempo para o domnio dafreqncia enquanto que a transformada inversa, ou anti-transformada, passa o sinal dodomnio da freqncia para o domnio do tempo.

Os smbolos utilizados para as integrais so:

X(f) = F[x(t)] e x(t) = F-1 [X(f)].

Exemplos: Obter as respectivas transformadas de Fourier das funes retngulo, tringuloe impulso especificadas a seguir.

1) A funo retngulo definida por

x t At

( )

A para t

0 para

-2 2

2

Portanto,

X f x t j ft A e j ft A( ) ( )

e dt dtsin( f )

f2 2

2

2

X f A sinc f( ) ( )

Esta funo est ilustrada na figura 3.7 para A = 1 e dois valores distintos de .


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Par x(t) X(f) Comentrios1

At

A sinc f Clculo direto

2 A 2W sinc 2Wt A

fW2

Dualidade com o par 1

3A

t

A sinc f2 Convoluo com o par 1

4 e u tat ( ) a 0 12a j f

Clculo direto

5 t e u tat ( ) a 0

1

2 2a j f

Diferenciao do par4 emrelao a a

6 e ta t u( ) a 0

2

22 2a

a f

Clculo direto

7 ( )t 1 Clculo direto com t=08 1 ( )f Dualidade com o par 79 ( )t t 0 e j ft 2 0 Deslocamento e par 7

10 ej f t2 0 ( )f f 0 Dualidade com o par 9

11 cos 2 0f t 1

2 0 0 f f f f

Identidade de Euler e par10

12 sen 2 0f t 12 0 0j

f f f f Identidade de Euler e par10

13 u t( ) 12

12j f

f

( )Integrao e par 7

14 sgn ( )t 1j f

Pares 8 e 13 e super-posio

15 1t

j fsgn( ) Dualidade com o par 14

16

( )( )

x txt d

1

j fsgn( ) X(f) Convoluo e par 15

17( )t nTs

n

f f nfs sn

( )

Teorema da amostragem

onde fs 1

Ts

Como a integral de convoluo de difcil resoluo, comum determinar-se Y(s)ou Y(f) e, a partir da, determinar-se a transformada inversa y(t). No caso da transformadade Fourier, tem-se a vantagem de se aplicar a transformada rpida, que um algoritmoespecial para se determinar X(f), H(f) e Y(f) em tempo mnimo, quando comparado a

outros.


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49

Figura 3.10 - Convoluo de duas funes.

Segue a demonstrao da transformada de Fourier da convoluo.

Y f( ) F x t t( ) ( )h

Y f x t j ft( ) ( ) ( )

h d e dt 2

Y f x h t j ft( ) ( ) ( )

e dt d2

Y f x j f( ) ( )

H(f) e d2

Y f x H f fj f( ) ( ) ( ) ( )

H(f) e d X 2

Da mesma forma,

x()

h()

h(-)

h(t-)

h(t-)

y(t)

t

1

1

1

t=1-1

t=2

-2

y(1)=0,75

y(2)=1

y(0)=0

t=2

t=2

1

t=1

0,75


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52

Y f sinc f ej f j f

A( )

e 2j2j

Y f j A

sinc f f( )

sen 2

Chega-se, assim, TF da derivada da funo tringulo. Utilizando-se, agora, apropriedade da integral, vem:

X f Y fj f

( ) ( )

(f)2

1

2onde Y(f).(f) / 2 = Y(0) / 2 = 0

X fY fj f

j Aj f

f f( )( )

sen 2

22

sinc

X fAf

f f( ) sen

sinc

X f A ff

f( )

sen

sinc

X f A f( ) sinc2

como visto anteriormente.

5) Transformada das funes co-seno e seno

Sabendo-se que (a) a TF da funo ( )t igual a 1, (b) que

cos( )2 2 20 0 01

2 f t j f t e j f te

sen( )21

2 2 20 0 0 f t j ej f t e j f t ,

e (c) que, pela propriedade do deslocamento em freqncia,

x t j f t f f( ) ( )e X2 0 0 , obtm-se:

cos( ) ( ) ( )2120 0 0

f t f f f f

sen( ) ( ) ( )2 120 0 0 f t j f f f f


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53

3.10 - Modulao de sinais em amplitude (AM)

A propriedade da modulao mostra que:

x t f t X f f X f f( ) cos( ) ( ) ( )2

1

20 0 0

x t f t j X f f X f f( ) sen( ) ( ) ( )21

20 0 0

Considere-se, agora, que se deseja transmitir (teoricamente, pois, na prtica, noexiste uma funo sinc) um sinal do tipo

x t A( ) ( ) sinc(t ) sinc t2 2 .

Com A=1 e =2, atravs do teorema da dualidade, chega-se a

X f A Af f

( )

= 2

Multiplicando-se x(t) por uma cosenide, denominada de portadora, com freqnciaf0=3, obtm-se um sinal do tipo AM-DSB/SC (amplitude modulation - double sideband /supressed carrier ou modulao em amplitude com banda lateral dupla e portadorasuprimida), o qual no oferece vantagens na prtica. Tal sinal e seu respectivo espectro(propriedade da modulao) so dados por:

y t( ) ( ) 2 2sinc t cos(2 3t)

Y(f)

1

2

1

2

32

32

f f

Outro tipo de modulao o AM-DSB (amplitude modulation - double sidebandoumodulao em amplitude com banda lateral dupla). O sinal primeiramente multiplicadopor uma constante 0 < ma < 1, que depende das amplitudes de x(t) e da portadora,denominada ndice de modulao e, posteriormente, acrescida de um nvel contnuo iguala 1. Sua grande vantagem a facilidade de gerao e de recepo. Por isso, utilizada

na transmisso de sinais nas faixas de ondas mdias e curtas. Como desvantagens,ocupa o dobro da faixa espectral do sinal AM-SSB equivalente (ver prximo pargrafo) econsome a maior parte da potncia na transmisso da portadora e no das bandaslaterais, que levam a informao. Para os mesmos sinais dados anteriormente, o sinal notempo e seu respectivo espectro so dados por:

y t( ) , ( ) 1 08 2 2. sinc t cos(2 3t)

Y(f) 0,4

1

23 3

3

2

3

2 ( ) ( )f f

f f

O surgimento de outras componentes espectrais implica que o sistema demodulao no linear.


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54

Existem dois outros tipos de modulao AM. Um deles o AM-SSB (amplitudemodulation - single sidebandou modulao em amplitude com banda lateral nica). Comoocupa somente a metade da faixa espectral do sinal AM comum, ela utilizada para finsde telefonia (dobra a capacidade de transmisso de canais telefnicos para uma mesmafaixa de transmisso) e de rdio-amadorismo. Necessita-se transmitir uma pequena

amostra da portadora para viabilizar a recepo do sinal modulante. O outro, denominadoAM-VSB (amplitude modulation - vestigial sideband ou modulao em amplitude combanda lateral vestigial utilizado para transmisso do sinal de imagem de televiso.

Seguem, na figura 3.11, os grficos relativos aos sinais AM-DSB/SC e AM-DSBanalisados anteriormente.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.11 - Sinais modulados em amplitude vistos nos domnios

do tempo e da freqncia. (a) e (b) AM-DSB/SC e (c) e (d) AM-DSB.

Analisando-se, especialmente, o espectro do sinal AM-DSB na faixa que vai de 0 a 5(a escala pode ser considerada normalizada), pode-se distinguir a portadora com f0=3,alm das bandas laterais inferior (BLI de 2 a 3) e superior (BLS de 3 a 4). Em SSB,apenas uma delas transmitida. No caso de VSB, devido aos fatos de se necessitartransmitir um sinal de imagem, que tem uma banda bastante larga, incluindo um nvelcontnuo (f=0), o qual corresponde ao brilho, e dos filtros prticos no teremcaractersticas de corte prximas do ideal, acaba-se por transmitir a BLS, que ficadeteriorada pela ao de corte do filtro na regio localizada prxima da portadora. A ao

do filtro tambm acaba por transmitir parte da BLI, o que vem a compensar as perdasocorridas na BLS.


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3.11 - Teoria da amostragem

Todo sinal que tem uma faixa de freqncias limitada pode ser representado poramostras tomadas em instantes discretos denominados instantes de amostragem. Istopermite, por exemplo, que os sinais contnuos passem a ser digitalizados, i.e, convertidos

em nmeros que tm um nmero finito de dgitos. Desta forma, os sinais podem serprocessados por computadores.

Tendo como base a figura 3.12, segue a demonstrao matemtica do teorema daamostragem.

s t t nTn

( ) ( )

c T tnj nf ts

1 2

0

0

( ) e dt

cT

fn s 1

S f f f nfs sn

( ) ( )

O sinal amostrado xa(t) obtido multiplicando-se o sinal original x(t) (informao ou

sinal modulante, pois modula o trem de impulsos) pelo trem de impulsos enquanto que oespectro de xa(t) vem da convoluo de X(f) com S(f).

x t x t t x nT t nTan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

s

X f X f f f f nfa s sn

( ) ( ) ( ) ( )

S X

Como pode ser obervado atravs do grfico de Xa(f), para que no hajasobreposio espectral (interferncia), a freqncia de amostragem deve ser igual oumaior que o dobro do valor da freqncia mxima do sinal modulante, ou seja, fs 2fmax.Este o teorema da amostragem. Do ponto de vista prtico, adota-se fs 2fmax. Porexemplo, em telefonia, para fmx = 3,4kHz , fs = 8kHz.

Para se recuperar X(f) (parte de Xa(f) que est centrada na origem), basta passarxa(t) por um filtro passa-baixas ideal, com faixa de freqncia de -fmax a +fmax (fs = 2 fmax).Assim, o sinal recuperado xr(t), que dever ser igual a x(t), ser

xr h e Xr X( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t xa t t f H f a f

O filtro ter uma resposta em freqncia H(f) e uma resposta ao impulso h(t), quesero dadas, respectivamente, por:


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Figura 3.12 - Amostragem ideal de um sinal com espectrolimitado.

H ff

ff

Tf

fs max max( )

12 2

h t f f f t sinc f tsmax max s( ) ( ) ( )

12 2sinc

(t+4T)

fs(f+4fs)

(t-4T)

fs(f-4fs)

(t)

f f

s t

S(f)

xa(t)

Xa(f)

Xa(f)

t

f

t

f

f

T

fs

T

fs

x(t).(t-4T)x(t)

H(f)

X(f-2fs).fs

1/fs


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Assim, xr(t) e seu respectivo espectro sero dados por

X f Tf

ff f nfr

maxs a s

n

( ) ( )

2. X

x t h t t h t x nT t nTr an

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

x t sinc f t x nT t nTr sn

( ) ( ) ( ). ( )

x t x nT f t nTr sn

( ) ( ) ( )

sinc

Isto significa que, do ponto de vista da amostragem ideal, o sinal original recomposto a partir de uma soma de funes sinc, centralizadas em t= {....-2T, -T, 0, T, 2T...}, tendo cada uma delas amplitude igual ao valor de x(t) naqueleponto, i.e., {....x(-2T), x(-T), x(0), x(T), x(2T), x(3T)...}.

Do ponto de vista prtico, o fato do filtro passa-baixas no ter ganho nulo acima desua freqncia de corte, implicar na recuperao de algumas componentes espectraisque esto acima de fs/ 2, o que acarretar em distoro do sinal original. Por esta razo,deve o filtro ter uma atenuao adequada e a freqncia de amostragem sersuficientemente maior que o dobro de fmx. Alm deste tipo de distoro, aparecero,

entre outras, aquelas introduzidas pelo processo de digitalizao e preciso dos filtrosdigitais. Isto no invalida o uso dos processadores digitais de sinais.

No exemplo ilustrado na figura 3.14, o espectro do sinal original tem uma largura defaixa infinita. Por esta razo, impossvel recuperar o sinal x(t) sem que haja distoro domesmo, por maior que seja o nmero de amostras considerado. Sem dvida, o aumentodo nmero de amostras acarretar num erro menor. No primeiro caso [(a), (c), (e)], soconsideradas 9 amostras e, no segundo [(b), (d), (f)] , tal nmero aumentado para19amostras.


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N=9 N=19

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 3.13 - Influncia do nmero de amostras na recuperaode x(t); (a) e (b) sinal original e suas amostras, (c) e (d)recuperao do sinal como uma soma de sincs; (e) e (f)comparao entre o sinal original e o recuperado.


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4 - TRANSFORMADA Z

4.1 - Introduo

Uma vez dominada a teoria da amostragem, pode-se dar incio ao processamento

de sinais discretos. Para isto, de fundamental importncia o conhecimento datransformada z. Como ocorre com a varivel s na transformada de Laplace, a varivelz tambm complexa e forma um plano cujos eixos so Re(z) e Im(z). Neste captulo,sero tratados apenas alguns aspectos mais importantes. Para maiores detalhes, o leitordeve recorrer literatura especializada em processamento digital de sinais (PDS).

4.2 - Definio

Para defini-la, considere-se um sinal contnuo x(t) e sua forma amostrada xa(t). Apartir da transformada de Laplace, com base nas propriedades da linearidade e do atraso,obtm-se

X s x kTakTs

k

( ) ( )

e0

Fazendo eTs = z e escrevendo Xa(s) = X(z), a transformada z de xa(t) dada por

X z X s X z T x kTa ak

( ) ( ) ln( ) / ( )

z-kT0

Como so considerados apenas os valores nos instantes de amostragem, astransformadas z de xa(t) e x(t) so iguais, ou seja

[ ( )] [ ( )] ( ) ( )x t x t X z x kTak

z-kT0

Esta forma da transformada z denominada unilateral e nela so consideradasapenas a amostra atual e as passadas, i.e., x(n), x(n-1), x(n-2)...etc, sendo utilizadaquando o sistema causal. Outra forma a bilateral, na qual so consideradas tambmas amostras futuras x(n+1), x(n+2)...etc. Neste caso, o sistema no causal e nemrealizvel e X(z) dada por

X z x kTk

( ) ( )

z-kT

Quando o sistema tem uma funo de transferncia H(z) em forma de funoracional, ou seja, dada pela diviso de um polinmio por outro, as razes do numeradorso os zeros e as do denominador so os plos, como ocorre com os sistemas contnuos.Dependendo da localizao dos plos no plano z, o sistema ser ou no estvel. Parase compreender melhor este assunto, necessrio saber o que a regio deconvergncia (ROC - region of convergence) de H(z).

4.3 - Regio de convergncia


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Considere-se uma srie infinita dada por

S A A A An

n

0

2 31 ...

onde A uma constante. Se o valor absoluto de A for menor que 1, a srie ter (convergepara) um valor finito, podendo ser escrita na forma

S A A A AA

n

n

0

2 311

1... para A 1


1) S n

n

05 1 0 5 025 0125 00625 06667

1

1 050, , , , , ... ,

( . )

2)S n

n

02 1 02 004 0008 00016 1251

1 0 20, , , , , ... ,

,

3)S n

n

05 1 05 025 0125 00625 21

1 050, , , , , ...

.

4) S j j j jn

n

05 0 5 1 05 0 5 00 0 5 10 100 , , , , , , .. , ,+ (-0,25 + j0,25).

5)S n

n

2 1 2 4 80

... no converge

Isto significa que a regio de convergncia da srie se encontra dentro de umacircunferncia de raio unitrio.

A transformada z de uma seqncia de nmeros e sua respectiva ROC poderdiferir dependendo do ponto onde se encontrar a amostra x(0), o que poder tornar aseqncia causal ou no causal. Por exemplo (a seta indica a origem),

x n z12 1 1 21 2 3 5 3( )

, 2 , 3 , 5 , 3 , 0 X (z) z z z

1

x n21 2 3 41 1 2 3 5 3( )

, 2 , 3 , 5 , 3 , 0 X (z) z z z z

2

Pode-se ver que X1(z) tender a infinito para z=0 e z=, o que significa sua ROC todo o

plano z, exceto estes pontos. Por sua vez, a ROC de X2(z) todo o plano z, excetoz=0. Note-se aqui que x2(n) uma seqncia causal. Desduz-se que no basta calcular-se a transformada. tambm necessrio citar qual a respectiva ROC. Quando no se


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61

indica qual a origem da seqncia, considera-se a primeira amostra da srie como x(0).Seguem mais dois exemplos:

1) x n nn( ) ( ) u sendo u n( ) 1 para n 0 (degrau)

X z AA

n n

n

n

n

n

n

( )

z z

z0

1

0 01

11

11

V-se que a funo X(z) uma srie infinita e que s no ir convergir no pontoonde ocorre o plo, que calculado a partir de

1 0 11 1 z z z

Sabe-se que a srie infinita e converge somente quando |A| 1. Para determinar aROC, faz-se

A z z z 1 z ROC:-1 -1

Obs: Fazendo = 1, obtm-se a transformada do degrau unitrio, a qual tem um plo emz = 1, cuja srie no converge. Um sistema que tenha este tipo de resposta ao impulsono ser estvel.

2) x n n( ) ( )

1

01

para n 0

para n 1, 2, ...X(z) z = 1 ROC: todo o plano z0

4.4 - Propriedades e pares de transformadas

Como no caso da TL e da TF, faz-se uso de propriedades e pares de transformadasj conhecidos no estudo da transformada z (ver tabelas 4.1 e 4.2).

Tabela 4.1 - Propriedades da transformada z.

Nome Funo no Tempo TransformadaLinearidade a x nT b y nT( ) ( ) a X z b Y z( ) ( ) Deslocamento no tempo x nT kT( ) X z( ) z-k

Mudana de escala a nTn x a = r ej T( ) X za

Diferenciao de X(z)(ou multiplicao por nT)

nT x nT( ) Tz

dX z

dz

( )

Convoluox kT nT kT

k

( ) ( )h

X z z( ) ( )Y

Valor Inicial x x nT( ) lim ( )0

n 0

lim ( )z

X z

Valor final x x nT( ) lim ( )

n

lim ( ) ( )z

z z

1

11 X


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Par x(nT) X(z) ROC1 ( )nT 1 z

(todo o plano z)2 u nT( ) z

z 1 z 1

3 nT

zT

z 1 2

z 1

4 anT z

z aT z a

T

5 e anT z

z e aT z e

-aT

6 n e a nT

e z

z e

aT

aT

2

z e-aT

7 sen nT sen( )cos( )

T

z T

z

z2 2 1

z 1

8 cos nT z zz

cos( )

cos( )

T

z T2 2 1

z 1

9 r nT nTsen r T

z T r

T

T T

sen( )

cos( )

z

r z

2 2

2

z r T

10 r cosnT nT z zr z

r T

z T r

T

T T

cos( )

cos( )

2 22

z r T

11 e a nT nTsen e Tz T e

aT

aT aT

sen( )

cos( )

z

e z2 22

z e-aT

12 e a nT cos nT z - e ze z

-aT cos( )

cos( )

T

z T eaT aT2 22

z e-aT

Obs: Normalmente T normalizado, i.e., T = 1.

4.5 - Transformada inversa

A transformada inversa definida por uma integral complexa, que inclui um contornoe que, no caso de funes racionais (os plos esto dentro do contorno), pode serdeterminada utilizando-se o teorema dos resduos de Cauchy ( para maior comprenso,deve-se estudar a teoria de variveis complexas). De acordo com este teorema, se ocontorno de integrao estiver dentro da ROC, que, por sua vez, inclui o crculo de raiounitrio sobre o plano z (em outras palavras, a ROC est localizada sobre e fora docrculo unitrio), a srie x(n) ser convergente. Isto quer dizer que, para sriesconvergentes, os plos de X(z) devem estar localizados dentro do crculo unitrio, que ocaso dos sistemas estveis.


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Quando os plos de X(z) estiverem localizados sobre o crculo unitrio (ROClocalizada dentro e fora do crculo), os sistemas sero instveis, mas ainda serorealizveis, que o caso dos osciladores (ver o exemplo do degrau unitrio demonstradoanteriormente). Por ltimo, se os plos estiverem fora do crculo unitrio (ROC localizadadentro do crculo), o sistema ser totalmente instvel

Pode-se, a partir destas consideraes, estabelecer algumas relaes entre osplanos s e z, que so:

1) O semi-plano esquerdo equivale regio interior do crculo unitrio.

2) O eixo j equivale ao crculo unitrio.

3) O semi-plano direito equivale regio exterior do crculo unitrio.

Com base nestes princpios, a tranformada inversa definida por

x nTj

X z dzn

C

( ) ( ) 12

1

z

Para funes racionais, este tipo de integral pode ser avaliado atravs da teoria dosresduos de Cauchy. Outros dois mtodos so a expanso em fraes parciais e ainverso por diviso (obteno de uma srie infinita).

4.5.1 - Mtodo dos resduos (para plos simples)

Seja X0(z) uma funo racional com o denominador expandido em um produto de

fatores do tipo z-pi, onde pi so os plos. Ento,

X z X zN z

z p

n

ii

N01

1

( ) ( )( )

z

x nT s X zz pi

N

i( ) Re ( )

10 n 0 (sistemas causais)

Re ( ) lim ( ) ( )s X z z p z z p zz p i i z pi iz p X Xi 0 0

0


1) X zb z

( )

1

1 1ROC: z > b e 0 < b < 1

Como |z| |b|, a ROC no inclui o plo z = b, mas inclui o crculo unitrio, pois0 b 1, conclui-se que o sistema causal e estvel.


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X z X zb z

z

z bz n

n

01

111

1( ) ( )

z z

Re ( ) lims X z z bz b

z bz b

n

z b

n

z b

z

n

0

Finalmente, como o sistema causal, pode-se escrever

x nT bn( ) u(nT) ou

x n bn( ) u(n) ou ainda

x n bn( ) para n 0

2)

X zA

z z( )

, ,,

0 25 0505

ROC: z

X z X z

A z

z z

A z

z zn

01

025 05 025 05( ) ( )

, , , ,

z

z

z

n -1 n

O fato de X0(z) possuir um plo em z = 0 obriga a se calcular o valor de x(0)independentemente, da seguinte forma:

x s X z s X z s X zz z z( ) Re ( ) Re ( ) Re ( ), ,0 0 0 0 25 0 0 5 0

x

A

z z

A

z z

A

zz z z

( ), , , ,

, ,

0025 05 05 025

00 0 25 0 5

z

Para n 0

x nA z

z

A z

zz z( )

, ,, ,

n-1 n-1

025 050 5 0 25

x n A n n( ) , , 8 0 5 16 0 25

Para se obter uma equao genrica para n 0, faz-se

x n A n n( ) , , 8 05 16 0 25 u(n 1) pois u(n-1)=0.

4.5.2 - Mtodo das fraes parciais

Este mtodo j foi visto para a transformada de Laplace.


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Seja H(z) uma funo racional. Aps determinao dos plos, expande-se H(z)/z emfraes parciais, de forma que se possa reconhecer cada um dos termos na tabela detransformadas com facilidade. Considerando

H z

A A A A

z p z p z p

M

N( )

0 1 2

1 12

z z z

m m-1 m-2

Para que todos os coeficientes sejam reais, os zeros e plos complexos devemocorrer em pares conjugados. Para plos distintos e simples, H(z) pode ser expandida naforma

H zC

z p

C

z p

C

z pN

N( )

1

1

2

2sendo

C z p H zi i z pi

i 1, 2, N( )

Exemplo:

H z

A( )

z 0,25 z 0,5ROC: z 0,5

Por convenincia, expande-se H(z)/z em fraes parciais. Isto facilita a obteno datransformada inversa de cada termo.

H z

z

C

z z

C

z z

( )

, ,

1 2

025 05 onde

CH(z)

zA1

zA

z zz025

0516

0 25

,,,

CH(z)

zA2

zA

z zz05

0258

0 5

,,,

Desta forma, obtm-se

H z

zA

z z z z

( )

, ,

16

025

8

05

H z A

z z z zA

zz

zz( )

, , , ,

8

05

16

025

8

05

16

0251 1z z z z

Como a equao genrica do tipo

H z bz zz b bn( ) 11 1 h(n) para 0 b 1


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Finalmente, a partir da propriedade do atraso, deduz-se que

h n A n n( ) , 8 0,5 1 116 025

Pode-se ver que este resultado idntico ao de x(n), que foi obtido atravs domtodo dos resduos.

4.5.3 - Mtodo da inverso por diviso (long division)

A partir de uma funo H(z) do tipo

H zA A A A

B B BM

N

( )

0 1 2

1 2

+ z z z

1 + z z z

-1 -2 -M

-1 -2 -N

que representa um sistema causal, efetua-se a diviso, obtendo uma srie do tipo

h n h h h( ) ( ) ( ) 0 2+ (1) z z-1 -2

Este mtodo apenas permite que se tenha uma rpida idia da transformada em questo,no tendo muita utilidade, a no ser que ocorra uma diviso exata entre os polinmios.Segue um exemplo:

H zz

z z( )

, , , ,

2

2 1 2075 0125

1

1 075 0125z z

H z( ) , , 1 075 043751 2z z

h n( ) , , 1 075 0 4375(n 1) (n 2)

4.6 - Convoluo discreta

A convoluo discreta, definida pela equao abaixo, permite que se obtenha o sinalde sada de um sistema linear e invariante no tempo a partir do sinal de entrada, bastandoque se convolua o mesmo com a resposta ao impulso do sistema.

y n x m n mm

n

( ) ( ) ( ) h0

Pode ser resolvida diretamente, de uma forma mais simples do que a convoluocontnua, uma vez que envolve uma somatria e no uma integral, ou atravs datransformada z, com a aplicao da propriedade da convoluo (do produto dastransformadas, obtm-se a tranformada inversa, que a convoluo).

Para ser resolvida diretamente, deve-se aplicar as mesmas regras j vistas para aconvoluo contnua, que so:

1) inverte-se uma das funes, no caso h(-m),

2) desloca-a sobre a outra [h(n-m)]


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3) multiplicam-se as amostras [x(m).h(n-m)]

4) somam-se os respectivos produtos.

Segue um exemplo de convoluo discreta usando dois mtodos.

a) Resoluo direta

y n x n h n n( ) ( ) ( ) ( ) onde x 2 3 2 1 e h(n) 1 2 31

m -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x(m)

h(n-m) 1 2 3 2 1 n y(n)h(-1-m) 3 2 1 -1 0h(0-m) 3 2 1 0 1

h(1-m) 3 2 1 1 4h(2-m) 3 2 1 2 10h(3-m) 3 2 1 3 14h(4-m) 3 2 1 4 14h(5-m) 3 2 1 5 8h(6-m) 3 2 1 6 3h(7-m) 3 2 1 7 0h(8-m) 3 2 1 8 0

b) Convoluo atravs da aplicao da transformada

x n( ) 1 12 3 2 1 X(z) 2 z 3z 2z z-1 -2 -3 -4

h n( ) 1 12 3 4 5 H(z) 2 z 3z-1 -2

y n x n X z( ) ( ) ( ) h(n) Y(z) H(z)

Y z( ) 1 4 14 8 3z 10 z 14 z z z z-1 -2 -3 -4 -5 -6 n

y n( ) 1 4 3 14 8 3 (n 1) 10 (n 2) 14 (n ) (n 4) (n 5) (n 6)

4.7 - Funes de transferncia de sistemas discretos

A anlise de sistemas lineares discretos est centrada no conceito da funo detransferncia do sistema. Como j visto anteriormente,

Y z X z z( ) ( ) ( ) H

Se x(n) uma funo impulso, ento X(z) = 1, fazendo com que o sinal de sada seja aresposta ao impulso. O sistema poder responder ao impulso com um nmero finito (FIR -finite impulse response) ou infinito (IIR - infinite impulse response) de amostras. Trsconceitos sero brevemente tratados a seguir. So eles: (I) funes de transferncia de


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sistemas IIR e FIR, (II) estabilidade do sistema em funo da localizao dos plos noplano z e (III) resposta no domnio da freqncia.

4.7.1 - Funes de transferncia de sistemas IIR e FIR

Seja uma funo de transferncia genrica H(z) dada por

H zY z

X z

A

B

i

M

i

N( )

( )

( )

z

z

-i

i=0

-i

i=1

1

Isolando-se Y(z) e tirando a transformada inversa, vem:

Y z X z A Y z Bi

M

i

N

( ) ( ) ( ) z z-i

i=0

-i

i=1

y n A Bii

M

ii

N( )

x(n i) y(n i)

0 0

A segunda somatria, que conseqncia da somatria no denominador de H(z) (odenominador no apenas igual unidade), implica em realimentao do sistema, ouseja, a amostra atual de y(n) depender no s das amostras referentes ao sinal deentrada, mas tambm das amostras passadas de y(n). Isto far com que a aplicao de

uma funo impulso na entrada venha causar uma resposta de durao infinita. Por outrolado, no havendo os termos Bi (o denominador de H(z) igual unidade), a resposta aoimpulso ter durao finita. Em outras palavras, o sinal de sada uma convoluo dosinal de entrada com h(n), que constituido apenas dos termos Ai, i.e.,

y n A hii

M

i

M( )

x(n i) (i) x(n i)

0 0

Nos dois exemplos seguintes, determina-se a resposta ao impulso e a equaogenrica de y(n).

1) Sistema de resposta infinita ao impulso (IIR)

H z( ),

1

1 025 z-2

Y z X z( ) ( ) , 025 Y(z) z-2

y n x n( ) ( ) , 0 25 y(n 2)


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y n x n x n n n x n x n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h(n) 1 1

Trata-se de um filtro diferenciador (amostra atual - amostra anterior) bastante bsico,cujo sinal de sada obtido a partir de

y n x n x nT

( ) ( ) ( ) 1 onde T=1.

4.7.2 - Estabilidade do sistema

No que diz respeito estabilidade do sistema em funo da localizao dos plos noplano z, j foi visto que, para que h(n) seja convergente, os plos do sistema devemestar no interior do crculo unitrio. Isto significa que |pi| 1 para i=1,2,..,N para

h n s H zz pi

N

i

( ) Re ( )

1

pin-1

Deve-se ressaltar aqui que todos os sistemas FIR so estveis, pois seus plosesto sempre na origem, como se pode ver no exemplo anterior, onde

H z zz

z( )

111 plo: z = 0 zero: z = 1

4.7.3 - Resposta em freqncia

A resposta de um sistema discreto no domn

sinais e sistemas - utfpr

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